›
›

Bài tập Số phức - Lê Lễ

pdf 52 trang ngocly 3010
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Số phức - Lê Lễ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_so_phuc_le_le.pdf

Nội dung text: Bài tập Số phức - Lê Lễ

  1. TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) BÀI TẬP SỐ PHỨC (98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI)
  2. Bài tập số phức LỜI GIỚI THIỆU Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến hình học phức Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức. Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn đạt các vấn đề về số phức. Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các em học sinh, sinh viên và quý vị nói cười thoải mái. Người dịch. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 2
  3. Bài tập số phức Mục lục1 Mục lục 3 1. Dạng đại số của số phức 5 1.1 Định nghĩa số phức 5 1.2 Tính chất phép cộng 5 1.3 Tính chất phép nhân 5 1.4 Dạng đại số của số phức 6 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i 8 1.6 Số phức liên hợp 8 1.7 Môđun của số phức 10 1.8 Giải phương trình bậc hai 14 1.9 Bài tập 17 1.10 Đáp số và hướng dẫn 22 2. Biểu diễn hình học của số phức 24 2.1 Biểu diễn hình học của số phức 24 2.2 Biểu diễn hình học của Môđun 25 2.3 Biểu diễn hình học các phép toán 25 2.4 Bài tập 28 2.5 Đáp số và hướng dẫn 29 3. Dạng lượng giác của số phức 29 3.1 Tọa độ cực của số phức 29 3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức 31 3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức 36 3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức 38 3.5 Bài tập 39 3.6 Đáp số và hướng dẫn 42 4. Căn bậc n của đơn vị 43 4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức 43 4.2 Căn bậc n của đơn vị 45 4.3 Phương trình nhị thức 49 4.4 Bài tập 50 4.5 Đáp số và hướng dẫn 51 1 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 3
  4. Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 4
  5. Bài tập số phức 1. Dạng đại số của số phức 1.1 Định nghĩa số phức Xét R2 R R{( x , y )|xy , R }. xx12 Hai phần tử (x11,)y và (x22,)y bằng nhau ⇔ . yy12 2 ∀ ((x1,yy 1 ), x 2,) 2 ∈ ℝ : 2 Tổng z1z 2(,)(,)(,) x 1 y 1 x 2y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 ∈ ℝ . 2 Tích z12.z( x 11 , y ).( x 22 , y ) ( x 12xxy 1212 y ,x yy 21 ) ∈ ℝ . Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng. Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân. Ví dụ 1. a) z12( 5,6),z (1, 2) z12z ( 5,6) (1, 2) ( 4,4) . z12z ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) . 1 1 1 b) z ( ,1),z ( , ) 122 3 2 1 1 1 5 3 z z ( ,1 ) ( , ) 12 2 3 2 6 2 1 1 1 1 1 7 z z (,)(,) 12 6 2 4 3 3 12 Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ gọi là một số phức. 1.2 Tính chất phép cộng (1) Giao hoán: z1z 2 z 2 z 1,, z 1 z 2 C . (2) Kết hợp: (,z1z 2) z 3z12( z z 3), z 1, z 2z 3 C . (3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0)C , z 0 0 z z , z C . (4) Mọi số có số đối: z C, z C : z ( z ) ( z ) z 0. Số z1z 2 z 1() z 2 : hiệu của hai số z12, z . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, z1z 2(,)(,)(,) x 1 y 1 x 2y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 ∈ ℂ. 1.3 Tính chất phép nhân (1) Giao hoán: zz1 2z 2z 1, z 1, z 2 C . Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 5
  6. Bài tập số phức (2) Kết hợp: (z1 .z 2 ). z 3 z12 .() z . z 3,, z 1 z 2, z 3 C . (3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1)C , z .1 1. z z , z C . (4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: z C*, z 1 C : z . z 1 z 1 . z 1. Giả sử z(,) x y C* , để tìm z1 ( x ', y ') , xx yy 1 (xy , ).(xy ', ') (1 , 0) . Giải hệ, cho ta yx xy 0 xy x' , y . Vậy xy2 2xy 2 2 1 xy z 1 (,) z x2 y 2 x 2 y 2 Thương hai số z1(x 1 , y 1 ), z (xy , ) ∈ ℂ*là z x y xxyyxyyx 1z.(,).( z1 x y , )( 1 1 , 1 1 ) C . z1 1 1 x2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia. Ví dụ 2. a) Nếu z (1,2) thì 1 2 1 2 z 1 (,)(,) . 12 2 2 1 22 2 55 b) Nếu z12(1,2),z (3,4) thì z 3 8 4 6 11 2 1 (,)( , ) . z2 9 16 9 16 25 25 Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ*, 0 1 2 n z1;z z ; z z . z ; z  z z z , n nguyên dương. n znn()z 1 , n nguyên âm. 0n 0 , mọi n nguyên dương. (5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: z1.(z 2 z 3 ) z1 . z2 z 1 .zz 3,, z 1 z 2 , 3 C Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là một trường. 1.4 Dạng đại số của số phức Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây: Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 6
  7. Bài tập số phức Xét song ánh2 fR: R{0}, f ( x ) (x ,0) . Hơn nữa (x ,0) ( y ,0) ( x y ,0) ; (x ,0).( y ,0) ( xy ,0). Ta đồng nhất (x,0)=x. Đặt i=(0,1) z( x , y ) ( x ,0) (0, y ) ( x ,0) ( y ,0).(0,1) x yi( x ,0) (0,1)( y ,0) x iy . Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ , trong đó i2=-1. Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân : i2 ii. (0,1).(0,1) ( 1,0) 1. Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó: C {x yi | x R , y R , i2 1}. x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i. (1) Tổng hai số phức z1zxy 2()() 1 1 i xy 2 2 i () xx 1 2)( yyiC 1 2 . Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực (phần ảo) của hai số đã cho. (2) Tích hai số phức zi12.)(z( x 11 y ).()() x 2 y 2i x 1212 xy y x 1221y x y i C . (3) Hiệu hai số phức z1zxy 2()() 1 1 i xy 2 2 i () xx 1 2)( yyiC 1 2 . Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần thực(phần ảo) của hai số phức đã cho. Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý i2 1 là đủ. Ví dụ 3. a) z125 6ii ,z 1 2 z12z( 5 6 i ) (1 2 i ) 4 4 i . z12z( 5 6 i )(1 2 i ) 5 12 (10 6)i 7 16 i . 1 1 1 b) z i, z i 122 3 2 2 f là một đẳng cấu Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 7
  8. Bài tập số phức 1 1 1 1 1 1 5 3 z z( i ) ( i ) (1 )i i 12 2 3 2 2 3 2 6 2 1 1 1 1 1 1 1 1 7 z z( i )( i ) ( ) i i . 12 2 3 2 6 2 4 3 3 12 1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i i01;i 1 i ; i 2 1; i 3 i 2 . i i , . iii43. 1; iiiiiii 5 4 . ; 6 5 . 1; ii 7 6 .i i Bằng quy nạp được : i4n1;ii 4 n 1i ; 4 n 2 1;i 4 n 3 i , ∀ n∈ ℕ* Do đó in { 1,1,ii , }, ∀ n∈ ℕ . Nếu n nguyên âm , có 1 iin()().i 1 n n() n i Ví dụ 4. a) i105i 23 i 20 i 34i 4.26 1 i 4.5 3 i 4.5 i 4.8 2 ii1 1 2 . b) Giải phương trình : z3 18 26i , z x yi , x , y Z . Ta có (x yi)3()()x yi 2 x yi( x 2 y 2 2 xyi )( x yi) (x33xy 2 ) (3 x 2 y y 3 ) i 18 26 i . Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được: x323 xy 18 3x23 y y 26 Đặt y=tx, 18(3x2y y 3) 26( x 33)x y 2 ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0) ⇒ 18(3t t32) 26( 1 3t )⇒ (3tt 1)(3 2 12t 13) 0. Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó x=3, y=1⇒ z=3+i. 1.6 Số phức liên hợp Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z. Định lý. (1) z z z R, (2) z z , (3) z.z là số thực không âm, Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 8
  9. Bài tập số phức (4) z1 z 2 z 1 z 2 , (5) z1. z 2 z 1. z 2 , (6) zz11() , z C* , zz11 * (7) , z2 C , z2 z2 z zz z (8) Re(z ), Im(z)= 22i Chứng minh. (1) z z x yi xy i. Do đó 2yi=0⇒ y=0⇒ z=x∈ ℝ . (2) z x yi,. z x yi z (3) z.z( x yi )( x yi ) x22 y 0 (4) z1 z 2((xx 1 x 2)() y 1 y 2 i 1 x 2)() y 1 y 2 i (x1 y 1i)() x2 y 2 i z 1 z 2 . (5) zz12.((xy 12 xy 12)())( ixyxy 12 21x 12 xyy 12 ix 12yyx 21) (x1 iy 1 )( x 2 iy 2 ) z 1 z 2 . 1 1 1 (6) z. 1 (zz . ) 1 .( ) 1, z z z tức là ()().zz11 zz111 1 1 (7) (z1 . ) z 1 .( ) z 1 . . z2 z 2 z 2 zz22 (8) z z( x yi ) (x yi ) 2 x . z z( x yi ) ( xyi ) 2 y i . z zz z Do đó: Re(z ), Im(z)= 22i Lưu ý. a) Việc tính số nghịch đảo của số phức khác 0, được tiến hành: 1 z x yi x y i z z. z x2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 b) Tính thương hai số phức: zzz1 12. ( xyixyi 1122 )( ) ( x 1212x yy ) x 1221y xy 2 2 2 2 2 2 i z2z22.z x 2 y 2 x 2 y 2xy 2 2 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 9
  10. Bài tập số phức Khi thực hành tìm số nghịch đảo, tìm thương thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý i2 1 là đủ. Ví dụ 5. a) Tìm số nghịch đảo của zi10 8 . 1 1(10 8ii ) 10 8 zi11(10 8 ) 10 8i (10 8 i )(10 8 i ) 1022 8 10 8i 5 2 i 164 82 41 5 5i 20 b) Tính z . 3 4ii 4 3 (5 5i )(3 4 i ) 20(4 3 i ) 5 35i 80 60 i z . 9 16i22 16 95i 25 2 75 25i 3 i . 25 c) Cho z12, zC. Chứng tỏ Ez1 z 2 z 1 z 2 là một số thực Ezz1 2 zz 1 2 zz 1 2 zz 1. 2 E ER . 1.7 Môđun của số phức Số ||z xy22gọi là Môđun của số phức z=x+yi. Ví dụ 6. Cho z14 3ii , z 2 3 , z 3 2 , 2 2 2 22 |z1 |435,| | z23 0 (3)3,||2 z 2 . Định lý. (1) |z |Re( z ) | z |, |z | Im (z ) | z |. (2) | z | 0,|z | 0z 0 . (3) |zz ||| | z |. (4) z.zz2 . (5) | z1z 2| | z 1 ||| z 2 . (6) | z1| |z 2 | | z 1 z 2 | | z 1 | | z 2 |. (7) |,zz1| |z | 1C * zz11|| * (8) | | , zC2 . zz22|| (9) | z1| |z 2 | | z 1 z 2 | | z 1 | | z 2 |. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 10
  11. Bài tập số phức Chứng minh Dễ kiểm tra (1)-(4) đúng 2 2 2 (5) | z12.|z (.)( z 1212 z z z )(.)( z 1122 zz z )||| z 1 z 2 | | z1zz 2| | 1 ||z 2 | . 2 2 2 (6) | z12z| ( zzzz 1212 )( ) ( zzzz 1212 )( ) | z 1| zzz 12122z || z Bởi vì z1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 , kéo theo z1212zzz2 ezz ( 12 )2| zz 12 |2||| zz 12 |2|||z 12 z |. Do đó 22 | z1z 2| (| z 1 | | z 2 |) . Nên | z1zz 2| |z 1 || 2 | . Bất đẳng thức bên trái có được do: | z ||z z z || z z |||| z z z ||| z 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 |z1 | | z 2 | | z 1 z 2 | 1 1 1 1 (7) z. 1|z |. 1 . z zz | z | Nên |,zz1| |z | 1C * . zz1111 1 1 | | (8) |z1 | | z 1 z 2 | | z 1|| z 2 | | z 1|| z 2 | . zz222 | z | (9) | z1| |z 1 z 2 z 2 | | z 1 z 2 | | z 2 | Nên |z1 z 2 | | z 1 | | z 2 | . Mặt khác |z1z 2| |z 1 ( z 2 ) | | zz 1 | | z 2| | z 1 | | 2 | . Bất đẳng thức là đẳng thức Re( z1 z 2 ) | z 1 || z 2 |, tức là z12tz , t là số thực không âm. Bài tập 1. Chứng minh 2 2 2 2 ||zz1 2| |z 1 z 2 2(| z 1 | | z 2 | ) . Lời giải. Sử dụng tính chất (4), 22 | zz12| |z 12 z| ( z 1212 z )( z z)() z 1212 z )( z z 2 2 2 2 | z1|z 1221 z z z | z 2 | | z 1 | z 1221 z zz | z 2 | 22 2(| z12| |z | ) . zz12 Bài tập 2. Chứng minh nếu | z1| |zz 2 | 1, 1z 2 1 thì là số thực. 1 zz12 Lời giải. Sử dụng tính chất (4), Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 11
  12. Bài tập số phức 2 1 z1z 1| z 1 | 1, z 1 . z1 1 Tương tự, z2 , đặt số trên là A, z2 11 z zzz z z AA1 212 1 2 . 1 zz 11 1 zz 12 1 12 zz12 Vậy A là số thực. Bài tập 3. Cho a là số thực dương và đặt 1 MzC*,| z | a . 0 z Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z∈ M0. Lời giải. 1 1 1zz22 1 a2|z | 2 ( z )( z ) | z | 2 z z z| z |22 |z | |z |4 ( z z ) 2 2 | z | 2 1 . ||z 2 Do đó ||z 4|za | 2 ( 2 2) 1 (zz ) 2 0. a22 a 4 4 a 2 a 2 2 a 4 4 a 2 |z |2 [ ; ] 22 a a2244 a a |z | [ ; ] . 22 a a2244 a a max |zz | ,min | | . 22 z M, z z . Bài tập 4. Chứng minh mọi số phức z, 1 | z 1| , hoặc | z2 1| 1. 2 Lời giải. Phản chứng 1 | z 1| và | z2 1| 1. 2 Đặt z=a+bi⇒ z2ab 2 2 2.abi Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 12
  13. Bài tập số phức 1 (1 a2b 2) 2 4 a 2 b 2 1,(1 a ) 2b 2 , 2 (a2 b 2 )2( 2 a 2 b 2 )0,2( a 2 b 2 )410. a Cộng các bất đẳng thức được (a2 b 2 ) 2 (2 a 1) 2 0.Mâu thuẫn Bài tập 5. Chứng minh 77 |1z | |1 z z2 | 3 , ∀ z, |z|=1. 2 6 Lời giải. Đặt tz|1 | [0;2] . t 2 2 t 2 (1z )(1 z )22() Re z Re () z . 2 Khi đó |1 z z22| ||7 2t .Xét hàm số f :[0;2] R, f ( t )tt | 7 22 |. Được 7 7 7 7 f ( )t | 7 2 t2 | f ( ) 3 . 22 6 6 Bài tập 6. Xét Hz{C , z x 1xR i , x }. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số phức z H,| z | | w |,wH . Lời giải. Đặt y1 yi , y R . Là đủ nếu chứng minh được ,tồn tại số thực duy nhất x sao cho Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 13
  14. Bài tập số phức (x 1)2x 2( y 1) 2 y 2 , ∀ y∈ R. Nói cách khác , x là điểm cực tiểu hàm số 11 fR: R, f ( y ) ( y 1)2 y 2 2 y 2 2 y 1 2( y ) 2 , 22 Do đó điểm cự tiểu là 1 1 1 x z i. 2 2 2 Bài tập 7. Cho x,y,z là các số phức phân biệt sao cho y tx(1 t ) z , t (0;1). Chứng minh rằng ||||||||||||z y z x y x . |z y | | z x | | y x | Lời giải. Từ hệ thức y tx(1 t ) z , z y t( z x ). Bất đẳng thức |z | | y | | z | | x | . |z y | | z x | trở thành |z | |y | tx(| z | | |), hay | y | (1t ) | z | t| x |. Vận dụng bất đẳng thức tam giác cho y(1 t ) z tx , ta có kết quả. Bất đẳng thức thứ hai , được chứng minh tương tự, bởi y tx(1 t ) z tương đương với y x(1 t )( z x ). 1.8 Giải phương trình bậc hai Phương trình bậc hai với hệ số thực ax2 bx c 0, a 0 vẫn có nghiệm phức trong cả trường hợp biệt thức b2 4 ac âm. Phân tích vế trái b ax[( )2 ] 0 24aa2 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 14
  15. Bài tập số phức b hay (x )(2i 2)0 2 . 22aa b i b i Do đó xx,. 1222aa Rõ ràng hai nghiệm là hai số phức liên hợp và phân tích nhân tử được 2 ax bx c a( x x12 )( x x ) trong cả trường hợp Δ<0. Bây giờ xét phương trình bậc hai với hệ số phức az2 bz c 0, a 0 Sử dụng phân tích như trên , được b a[(z )2 ] 0 24aa2 b ⇒ (z )2 hay 24aa2 (2az b )2 , Đặt y=2az+b, phương trình trở thành y2 u vi, u,v∈ℝ Phương trình có nghiệm r u r u y ( (sgnv )i ). 1,2 22 ở đây r=|Δ| và sgnv là dấu của v.Vậy nghiệm phương trình ban đầu là 1 z ()by . 1,22a 1,2 Quan hệ nghiệm và hệ số bc zzzz,, 1 22a 1 2 a Và luôn có phân tích nhân tử 2 az bz c a( z z12 )( z z ) . Bài tập 8. Giải phương trình hệ số phức z2 8(1i ) z 63 16 i 0. Lời giải. (4 4i )2 (63 16 i ) 63 16 i Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 15
  16. Bài tập số phức r | | 6322 16 65 . Phương trình y2 63 16i 65 63 65 63 Có nghiệm y (ii ) (1 8 ) . Kéo theo 1,2 22 z1,2 4 4ii (1 8 ). Do đó zz125 12i , 3 4i Ta có thể dùng cách khác để giải phương trình bậc hai trên. (4 4i )2 (63 16 i ) 63 16 i Tìm hai căn bậc hai của 63 16i , tức là tìm z x yi, z2 63 16i xy2263 x 1 x22 y2 xyi 63 16 i . xy 8 y 8 Δ’ có hai căn bậc hai là 1-8i, -1+8i. Phương trình có hai nghiệm z 4(1i ) (1 8 i ) 5 12 i , 1 z2 4(1i ) (1 8 i ) 3 4 i Bài tập 9. Cho p, q là hai số phức , q≠ 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm phương trình bậc p hai x2 px q 0 có Môđun bằng nhau, thì là một số thực q Lời giải. gọi x1, x2 là các nghiệm phương trình và rx| 12|.||x Khi đó 22 p( x1 x 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 2 22 2 2 2 2 2 Re ( x12 x ) q x1 x 2 x 2 x 1 r r r Là số thực. Hơn nữa p2 Re(x x)| x x|, r2 do đó 0 . 1 2 1 2 q2 p Vậy là một số thực. q Bài tập 10. Cho a,b,c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a|=|b|=|c|. a) Chứng minh rằng nếu một nghiệm phương trình az2 bz c 0 có Môđun bằng 1 thì b2=ac. b) Nếu mỗi phương trình az22 bz c0, bz cz a 0 có một nghiệm có Môđun bằng 1 thì |a-b|=|b-c|=|c-a|. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 16
  17. Bài tập số phức Lời giải. c 1 a) gọi zz12, là các nghiệm phương trình với |z1|=1. Từ z2 . kéo theo a z1 c 1 b 2 | z2 | | |. 1.Bởi vì z12za,| | |b |,ta có | z12z | 1. Hệ thức tương az| 1 | a đương với 11 (z1z 2)( z 1 z 2 ) 1, tức là (zz12 )( ) 1. zz12 bc (z z),2 z z hay ( )2 ⇒ b2 ac. 1 2 1 2 aa b) Theo câu a) b22ac,c ab . Nhân các hệ thức được b2c 2 a 2 bc a 2 b c. Do đó a2b 2 c 2 ab bc ca. Hệ thức tương đương với ()ab2()(b c 2 c a) 2 0, Tức là ()a b 2(bc ) 2 2( abbc )( ) ( ca ) 2 2( abb )(c ). Kéo theo ()a c 2 (abb )(c ) . Lấy giá trị tuyệt đối, được 2 , ở đây |b c |, | c a |, | a b |. Tương tự được 22, . Cộng các hệ thức, được 2 2 2 Tức là ( )()(2 2)0 2 . Do đó α=β=γ. 1.9 Bài tập 1. Cho các số phức z11 2i ,z 2 2 3 i , z 3 1 i . Tính a) z1zz 2 3 , b) z1 z 2zz 2 z 3 3 z 1 , c) z1zz 2 3 , 2 2 2 d) z1zz 2 3 , z z z e) 1 2 3 , zzz2 3 1 22 zz12 f) 22. zz23 2. Giải phương trình a) z5 7 i 2 i ; Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 17
  18. Bài tập số phức b) 2 3i z 5 i ; c) z(2 3 i ) 4 5 i ; z d) 32i . 13i 3. Trong C, giải phương trình sau a) zz2 1 0; b) z3 1 0. n 4. Cho z=i. Tính zk , tùy theo số nguyên dương n . k 0 5. Giải phương trình a) z(1 2 i ) 1 3 i ; b) ()1 iz2 1 7i. 6. Cho z=a+bi. Tính z234,,.z z 2 7. Cho z0 a bi. Tìm z∈ C sao cho z z0. 8. Cho z=1-i. Tính zn , n nguyên dương. 9. Tìm các số thực x, y sao xho a) (1 2i ) x (1 2 y ) i 1 i ; xy33 b) i; 33ii 1 c) (4 3i )x2(3 2i ) xy 4 y 2 x 2 (3 xy 2y 2 )i . 2 10. Tính a) (2i )( 3 2 i )(5 4 i ); b) (2 4i )(5 2 i ) (3 4 i )( 6 i ); 1 ii1 c) ((;))16 8 11ii 1ii 3 1 7 d) ((;)6 )6 22 3 7ii 5 8 e) . 2 3ii 2 3 11. Tính a) i2000i 1999 i 201 i 82i 47; 23 n b) Ein 1;i i i n≥ 1; c) ii1 i 2 3i 2000; Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 18
  19. Bài tập số phức d) i 5()()();i 7 i 13 i 100 i 94 12. Giải phương trình a) z2 i; b) z2 i; 12 c) z2 i ; 22 1 13. Tìm các số phức z≠ 0 sao cho z R z 14. Chứng minh rằng 77 a) E1 (2i 5) (2 i 5) R ; 19 7iinn 20 5 b) E R . 2 9ii 7 6 15. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 a) |z1 z2| | z2z 3 | | z 3 z1 || z 1 | | z2 | | z3 | | z 1 z 2z 3 | ; 2 2 2 2 b) |1zz12z| |1 z 2 | (1 | z 1 | )(1 | z 2 | ); 2 2 2 2 c) |1zz12z| |1 z 2 | (1 | z 1 | )(1 | z 2 | ); 2 2 2 2 d) |z1 z 2zz 3| | z1 2 z 3 | |z 1z 2zz 3 | | z 1 z 2 3 | 2 2 2 2 4(|z1 | |z 2 | | z 3 | ) . 1 1 16. Cho z C*3,.| z |2 Chứng minh | z | 2. z3 z 17. Tìm tất cả các số phức z sao cho |zz | 1,| 22z |1. 18. Tìm tất cả các số phức z sao cho 48zz22| | 8. 19. Tìm tất cả các số phức z sao cho z3 z. 20. Xét z∈ ℂ , Re(z)>1. Chứng minh 1 1 1 | |. z 2 2 13 21. Cho các số thực a,b và i .Tính 22 ((a bcc22)) a b . 22. Giải phương trình a) |z | 2 z 3 4 i ; Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 19
  20. Bài tập số phức b) |z | z 3 4 i ; c) z3 2 11i , z x yi , x , y Z d) iz2 (1 2 i ) z 1 0; e) z426(1iz ) 5 6i 0; f) (1i )z2 2 11i 0. 23. Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z32(3iz ) 3z ( m i ) 0 Có ít nhất một nghiệm thực. 24. Tìm tất cả các số phức z sao cho zz' ( 2)(z i) là số thực. 1 25. Tìm tất cả số phức z sao cho | z | | |. z 26. Cho z12,,zCsao cho | z1z 2| 3,| z 1 | | z 2 | 1. Tính | z12z |. 27. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1ii 3 1 3 (()nn ) 2. 22 28. Cho số nguyên n>2. Tìm số nghiệm phương trình zn 1 iz . 29. Cho z1,,zz 2 3 là ba số phức | z1| |zz 2 | | 3 |R 0 . Chứng minh 2 |z1223z|| z z | | z 3112 z || z z | | z 2331 z|| z z | 9 R . v() u z 30. Cho u,v,w là ba số phức |u | 1,| v| 1, w . Chứng minh | w| 1|z |1. uz. 1 31. Cho z1,,zz 2 3 là ba số phức sao cho zz1 2z 30,| z 1 | | z 2 | | z 3 | 1. Chứng minh 222 z1zz 2 3 0 . 32. Cho các số phức z12,,,z zn sao cho | zz12||||zn |0r Chứng tỏ (z z )( z z ) ( z z )( z z ) E 1 2 2 3n 1 n n 1 là số thực. zz12 zn 33. Cho các số phức phân biệt z1,,zz 2 3 sao cho Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 20
  21. Bài tập số phức |z1|| | z 2 | z 3 |0 Nếu z1z 2 z 3,, z 2 z 3 z 1 z 3zz 1 2 là các số thực, chứng tỏ z1zz 2 3 1. 2 34. Cho x12, x là các nghiệm phương trình x x 10. Tính 2000 2000 a) x12x ; 1999 1999 b) x1 x2 ; nn c) x12x; n N . 35. Phân tích thành tích các đa thức bậc nhất các đa thức a) x4 16; b) x3 27; c) x3 8 ; d) x42x 1. 36. Tìm tất cả các phương trình bậc hai hệ số thực có một trong các nghiệm sau a) (2ii )(3 ) ; 5 i b) ; 2 i c) i512ii 80 3i 45 4 38 . 37. (Bất đẳng thức Hlawka) chứng minh |z12z| | z 23 z | | z 311 z | | z | | z 2 | |z 3 | | z 123123 z z |, z , z, z C Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 21
  22. Bài tập số phức 1.10 Đáp số và hướng dẫn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 22
  23. Bài tập số phức 8. Với mọi số nguyên k không âm, ta có Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 23
  24. Bài tập số phức 37. 2| z1zzz 2|.| 2 3 | 2| zzzzzz 2 ( 1 2 3) 13 |2||.| zzzz 2 1 2 3 |2|||| zz 1 3 2| z23z|.| z3 z 1 |2||.| z 3 z12 z z3 |2|z 2 || z 1 | 2| z31z|.| z1 z 2 |2||.| z 1 z12 z z3 |2|z 2 || z 3 | Cộng các bất đẳng thức với 2 2 2 2 2 2 2 |z1z 2| | z23 z | | z31 z ||| z 1 | | z2 | | z 3 | z12 z z 3 | có điều phải chứng minh. 2. Biểu diễn hình học của số phức 2.1 Biểu diễn hình học của số phức Định nghĩa. Điểm M(x,y) trên mặt phẳng Oxy gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z=x+yi. Số phức z=x+yi gọi là tọa độ phức của điểm M(x,y). ta dùng ký hiệu M(z) để chỉ tọa độ phức của M là z. Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như trên gọi là mặt phẳng phức. Các điểm M,M’ (tương ứng với z, z ) đối xứng nhau qua Ox. Các điểm M,M’’ (tương ứng với zz, ) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.  Mặt khác, ta có thể đồng nhất số phức z=x+yi với v OM , M(x,y) . Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 24
  25. Bài tập số phức 2.2 Biểu diễn hình học của Môđun z x yi. OM x22 y| z |. Khoảng cách từ M(z) đến O là Môđun của số phức z. Lưu ý. a) Với số thực dương r, tập các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn ℭ (O;r). b) Các số phức z, |z| r là các điểm nằm ngoài đường tròn ℭ (O;r). 13 Ví dụ 7. Các số phức zki, 1,2,3,4 được biểu diễn trong mặt phẳng phức k 22 bởi bốn điểm trên đường tròn đơn vị tâm O. Bởi vì | z1| |zz 2 | | 3 |||z 4 1. 2.3 Biểu diễn hình học các phép toán (1) Phép toán cộng và nhân. Xét số phức z x y i, z x y i và các vectơ tương   1 1 1 2 2 2 ứng v11 x i y1 j, v2 x 2 i y 2 j . Tổng hai số phức z1z 2()()() x 1 y 1i x 2 y 2i x 1 x 2)(y 1 y 2 i . Tổng hai vectơ   v v()() x x i y y j . 1 2 1 2  1 2 Tổng z12z tương ứng với vectơ tổng vv12. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 25
  26. Bài tập số phức Ví dụ 8. a) (3 5i ) (6 i ) 9 6 i : biểu diễn hình học của tổng ở hình 1.5. b) (6 2i ) ( 2 5 i ) 4 3 i : biểu diễn hình học ở hình 1.6.   Tương tự, hiệu z12z tương ứng với vectơ vv12 c) Ta có (3i )(23)(3 i i )(23) i 52 i , hình 1.7. d) (3 2)i (2 4) i (3 2) i (2 4) i 5 2 i , hình 1.8. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 26
  27. Bài tập số phức Khoảng cách hai điểm M (x , y ), M ( x , y ) bằng Môđun của số phức z z bằng độ dài   1 1 1 2 2 2 12 vectơ vv. 12   22 M1M 2| z 1 z 2 | | v 1 v 2 | ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) . (2) Tích của số phức với số thực. Xét số phức z=x+yi và vectơ tương ứng v xi yj . Nếu λ là số thực thì tích λ z=λ x+λyi tương ứng với vectơ v xi yj . Nếu λ >0 thì vv, cùng hướng và | vv| | | . Nếu λ<0 thì ngược hướng và | vv| ||. Tất nhiên , λ =0 thì v 0 . Ví dụ 9. a) Ta có 3(1 2ii ) 3 6 , hình 1.10 b) 2( 3 2ii ) 6 4 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 27
  28. Bài tập số phức 2.4 Bài tập 1. Biểu diễn hình học các số phức sau trên mặt phẳng phức z13i , z 2 4 2i , z 3 5 4 i ,z 4 5 i , zz51, 6 3ii ,z 7 2 ,z 8 4. 2. Biểu diễn hình học các hệ thức a) ( 5 4i ) (2 3 i ) 3 i ; b) 4 i 6 4i 2 3i ; c) ( 3 2i ) ( 5 i ) 2 3 i ; d) (8i ) (5 3 i ) 3 4 i ; e) 2( 4 2ii ) 8 4 ; f) 3( 1 2ii ) 3 6 . 3. Biểu diễn hình học z a) |z 2| 3; b) |zi | 1; c) |zi 1 2 | 3 ; d) |zz 2 | | 2 | 2; e) 0 Re(z ) 1; f) 1 Im(z ) 1; z 2 g) Re( )0; z 1 1 z h) R z 4. Tìm tập các điểm M(x,y) trong mặt phẳng phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 28
  29. Bài tập số phức | x2 4 i y 4 | 10 . 5. Cho z121ii ,z 1 . Tìm z3∈ ℂ sao cho các điểm biểu diễn của z1,, z 2 z 3 tạo thành tam giác đều. 6. Tìm các điểm biểu diễn z, z23, z sao cho chúng tạo thành tam giác vuông. 7. Tìm các điểm biểu diễn số phức z sao cho 1 | z |2. z 2.5 Đáp số và hướng dẫn 3. a) Đường tròn tâm (2,0) bán kinh 3. b) Hình tròn tâm (0,-1) bán kính 1. c) Phần ngoài đường tròn tâm (-1,-2) bán kính 3. 7.Hợp hai đường tròn x2y 22 y 1 0, x 2 y 2 2 y 1 0 . 3. Dạng lượng giác của số phức 3.1 Tọa độ cực của số phức Trong mặt phẳng Oxy, cho M(x,y) khác gốc tạo độ. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 29
  30. Bài tập số phức Số thực r xy22gọi là bán kính cực của điểm M. Số đo θ∈ [0;2π) của góc lượng giác   (Ox, OM) gọi là argument của M. Cặp có thứ tự (r,θ) gọi là tọa độ cực của M, viết M(r,θ). Song ánh hR: Rh (0,0) (0, ) [0,2 ),((,x y )) (, r ) Điểm gốc O là điểm duy nhất có r=0, θ không xác định. Mỗi điểm M trong mặt phẳng có P là giao điểm duy nhất của tia OM với đường tròn đơn vị tâm O. Rõ ràng xrcos . yrsin Xét argument cực của M với các trường hợp sau: y a) Nếu x≠ 0, từ tan , được x y arctank , x ở đây 0,xy 0 & 0 k 1,x 0, y R 2,xy 0, 0 b) Nếu x= 0, và y≠ 0 được Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 30
  31. Bài tập số phức ,0y 2 . 3 ,0y 2 Ví dụ 10. Tìm các tọa độ cực của M1(2, 2),MMMMMMM 2 ( 1,0), 3 ( 2 3, 2), 4 ( 3,1), 5 (3,0), 6 ( 2,2), 7 (0,1), 8 (0, 4) Dễ thấy 77 r 222 ( 2) 2 2; arctan( 1) 2 2 ,M (2 2, ) . 1 14 4 1 4 r2 1;2 arctan0 ,M 2 (1, ) 3 7 7 r 4; arctan ,M (4, ) 332 3 6 6 3 r 2; arctan ,M (2, ) 4 43 6 4 6 r553;2 arctan0 0 0,M (3,0) 33 r 2 2; arctan( 1) ,M (2 2, ) 6 6444 6 r 1; ,M (1, ) 7 72 7 2 33 r 4; ,M (1, ) . 8 82 8 2 Ví dụ 11.Tìm tọa độ vuông góc của các điểm cho bởi tọa độ cực 27 MMM(2, ), (3, ),( 1 ,1 ) . 1 3 2 4 3 2 1 2 3 x 2cos 2( ) 1,yM 2sin 2 3, ( 1, 3) . 13 2 1 3 2 1 7 3 2 7 32 3 2 3 2 x 3cos ,yM 3sin , ( , ) . 24 2 24 22 2 2 Tương tự xy3cos1, 3 sin1,M 3 (cos1,sin1) . 3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức Cho số phức z=x+yi ta có thể viết z dạng cực: zr(cos isin ) , r=|z|∈ [0,∞), θ là một argument của z và [0;2 ) . Với z≠ 0, r và θ xác định duy nhất. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 31
  32. Bài tập số phức Xét zr(cos isin ) , đặt 2,k k Z thì zr[cos( 2k ) i sin( 2 k )]r (cos i sin ) Tức là , với số phức bất kỳ z có thể viết z r(costir sin t ), 0, t R . Khi đó ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác. Tập Argz{, t t 2k , k Z }gọi là argument mở rộng của z. Do đó hai số phức z12,0z biểu diễn dạng lượng giác rr12 zz11r1(cos t1 i sin t ),2 r2 (cos t22 i sint ) bằng nhau , k∈ ℤ t12tk2 Ví dụ 12. Viết các số sau dưới dạng cực và xác định tập Argz a) z1 1 i , b) z2 22i , c) z3 13i , d) z4 13i a) P1( 1, 1) nằm ở góc phần tư thứ ba. y 5 r ( 1)22 ( 1) 2, arctan arctan1 1 x 44 55 z 2(cosi sin ) 1 44 5 Arg z { 2kk ,Z }. 1 4 b) P2 (2,2) nằm ở góc phần tư thứ nhất r 2 2, 224 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 32
  33. Bài tập số phức z 2 2(cosi sin ) 2 44 Ar gz { 2k ,k Z } 2 4 c) P3( 1, 3) thuộc góc phần tư thứ hai 2 r 2, 333 22 z 2(cosi sin ) 3 3 3 2 Argz { 2kZ ,k }. 3 3 d) P4 (1, 3) thuộc góc phần tư thứ tư 5 r 2, 443 55 z 2(cosi sin ) 4 3 3 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 33
  34. Bài tập số phức 5 Argz { 2kZ ,k }. 4 3 Ví dụ 13. Viết các số phức sau dưới dạng cực a) z1 2i , b) z2 1, c) z3 2 , d) z4 3i . Và xác định Arg của chúng. a) Điểm P1(0,2) thuộc phần dương trục tung, nên r 2, ,zi 2(cos sin ) 1 12 1 2 2 Argz { 2k, k Z } 1 2 b) Điểm P2 ( 1,0) thuộc phần âm trục hoành, nên r 1, ,zi cos sin 222 Arg z2 { 2k } c) Điểm P3 (2,0) thuộc phần dương trục hoành, nên r 2, 0,zi 2(cos0 sin0) 3 3 3 Argz3 {2k , k Z } d) Điểm P4 (0, 3)thuộc phần âm trục tung, nên 3 3 3 r 3, ,z 2(cosi sin ) 4 42 4 2 2 3 Argz { 2kZ ,k } 4 2 Rõ ràng 1 cos0ii sin 0; i cos sin ; 22 33 1 cosii sin ;i cos sin . 22 Bài tập 11. Viết số phức sau dưới dạng cực za1 cosa i sin a , (0,2 ) . Lời giải. aa ||z (1 cosa )2 sin 2 a 2(1 cos a ) 4cos 2 2 | cos |. 22 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 34
  35. Bài tập số phức a a) Nếu a (0, ) (0, ) , P nằm góc phần tư thứ nhất . Do đó 22 sin a a a arctan arctan(tan ) , 1 cosa 2 2 . a a a zi2cos (cos sin ) 2 2 2 a b) Nếu a ( ,2 ) ( , ) , P nằm góc phần tư thứ tư . Do đó 22 a a a arctan(tan ) 2 2 , 2 2 2 a a a zi2cos [cos( ) sin( )] 2 2 2 c) Nếu a , thì z=0. Bài tập 12. Tìm các số phức z sao cho z z | z | 1,| | 1. z z Lời giải. Đặt z cosx i sin x ,x [0,2 ). z z|| z22 z 1 | | z z|| z 2 | cos2x i sin 2 x cos2 x i sin 2 x | 2 | cos2x | Do đó 1 1 cos2x hoặc cos2x . 2 2 1 Nếu cos2x thì 2 5 7 11 x,,, x x x 1 62 634 6 6 1 Nếu cos2x thì 2 2 4 5 x,,, x x x 53 6 3 7 3 8 3 Do đó có 8 nghiệm zkkcosx k i sin x k 1,2,3, ,8. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 35
  36. Bài tập số phức 3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức (1) Phép nhân Định lý. zz11r1(cos t1 i sin t ),2 r2 (cos t22 i sint ) Khi đó zt1.z 2 r 1rt 2[ cos( t 1 2 ) i sin(t 1 2 )] . Chứng minh. z1.z 2 r 1r 2(( cos t 1 i sin t 1 ) cos t22 i sint ) rr [(cos t cos t sin t sin t ) i (sin t cos tsin t cos t )] 1 2 1 2 1 2 122 1 rr1 2[cos( t 1 t 2) i sin(tt 1 2 )] Lưu ý a) Một lần nữa ta lại | z1z 2| | z 1 ||| z 2 . b) arg(z1z 2) argz 1 argz 2 2 k , 0,argz argz 2 k 12. 1,argz12 argz 2 c) Có thể viết Azrg( 1z 2) { argz 1 argz 2 2 k, k Z} d) Mở rộng với n≥ 2 số phức . Nếu zkr k(cost k i sin t k ), k 1,2, , n z1zzrrr 2n 1 2 n[cos( tt 1 2 titt n ) sin( 1 2 t n )] Công thức trên có thể viết nn nn zkr k(cost k i sin t k ) . kk11kk11 Ví dụ 14. Cho z121i ,zi 3 . 77 z 2(cosii sin ),z 2(cossn i ) 124 4 6 6 77 zz 2 2[cos( )i sin( )] 12 4 6 4 6 23 23 2 2(cos isin ) 12 12 (2) Lũy thừa của một số phức Định lý. (De Moivre3) Cho zr(cost is i n t ) và n∈ ℕ , ta có znnr(cos nt i sinn t ) . Chứng minh. Dùng công thức nhân với z z12z zn được n z r r.r[] cos( t ttt ) i sin( tt ) n nn 3 Abraham de Moivre (1667-1754), nhà toán học Pháp. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 36
  37. Bài tập số phức = rn (cosnt i sinnt ) Lưu ý. a) Chúng ta tìm lại được | znn| ||z . b) Nếu r=1, thì (cost i sin t )n cos nt i sin nt . c) Ta có thể viết Arzg n {n . argz 2kZ , k }. Ví dụ 15. Tính (1i )1000 . 1 i 2(cosi sin ) . 44 1000 (1)i 1000 2( cos1000i sin1000 ) 44 2500 (cos250i sin250 ) 2 500 Bài tập 13. Chứng minh sin5t 16sin53 t 20sin t 5sin t ; . cos5t 16cos53 t 20cos t 5cos t Lời giải. Dùng công thức Moivre và khai triển nhị thức (cost i sin t )5, cos5t i sin5 t cos5 t 5 i cos 4 t sin t 10 i 2 cos 3 t sin 2 t . 10i3 cos 2 t sin 3 t 5 i 4 cos t sin 4 t i 5 sin 5 t Do đó cos5t i sin5 t cos5 t 10cos3 t (1 cos 2 t ) 5cos t (1 cos 2 t ) 2 i[sin t (1 sin2 t ) 2 sin t 10(1 sin 2 t )sin35 t sin t ] Đồng nhất hai vế cho điều phải chứng minh. (3) Phép chia. Định lý. Giả sử zz11r(cos t11 i sin t ),2 r2 (cos t 2 i sin t 2 ) 0 z1 r 1(cos t 1 i sin t 1 ) z2 r2(cos t 2 i sin t 2 ) r1(cos t 1 i sin t 1 )(cos t22 i sin t ) r(cos22 t sin t ) 2 2 2 r1 [(cost1 cos t 2 sin t 1 sin t 2 ) i (sin t 1 cos t 2 sin t 2 cos t 1 )] r2 r1 [cos(t1 tt2 ) i sin( t 1 2 )] r2 Lưu ý. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 37
  38. Bài tập số phức zz|| a)Ta có lại kết quả | 11| ; zz22|| z1 b) Arg( ){argz12 argzk 2kZ , }; z2 11 c)Với z 1,z z , z1 [cos( t ) i sin( t )]; 12zr d)Công thức De Moivre còn đúng cho lũy thừa nguyên âm, tức là với n nguyên âm, ta có znnr(cos nt i sinn t ) . Bài tập 14. Tính (1ii )10 ( 3 ) 5 z . ( 1i 3)10 Lời giải. 10 77 2 (cosii sin )10.2 5 (cos sin ) 5 z 4 4 6 6 44 210(cosi sin ) 10 33 35 35 5 5 210 (cosii sin )(cos sin ) 2266. 40 40 210 (cosi sin ) 33 55 55 cosi sin 3 3 cos5i sin5 1 40 40 cosi sin 3 3 3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức Xét số phức zz11r1(cos1 i sin ),2 r2 (cos22 i sin ) . Gọi P12, P là giao điểm của đường tròn ℭ (0,1) với tia OM12,OM . Dựng P3 thuộc đường tròn và có argument cực 12, chọn M 3 thuộc tia OMPO3, 3OM 1.OM 2 . Gọi z3 là tọa độ phức của M3. Điểm M 3(,)rr 1 2 1 2 biểu diễn tích z12z . Gọi A là điểm biểu diễn của z=1. OM3 OM 2 OM 3 OM 2 và M2 OM 3 AOM 1 . Suy ra hai tam giác OM121 OM OA OAM1,OM 2M 3 đồng dạng. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 38
  39. Bài tập số phức z3 Để xây dựng biểu diễn hình học của thương, lưu ý điểm tương ứng của là M1. z2 3.5 Bài tập 1. Dựa vào tọa độ vuông góc ,tìm tọa độ cực của các điểm a) M1( 3,3) b) M2 ( 4 3, 4) c) M 3 (0, 5) d) M 4 ( 2, 1) e) M 5 (4, 2) 2. Dựa vào tọa độ cực ,tìm tọa độ vuông góc các điểm a) P(2, ) 1 3 3 b) P (4,2 arcsin ) 2 5 c) P3 (2, ) d) P4 (3, ) e) P (1, ) 5 2 3 f) P (4, ) 6 2 3. Biểu diễn arg(z ) và arg(z ) qua arg(z). 4. Biểu diễn hình học các số phức z: a) |z | 2 ; b) ||zi 2 ; Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 39
  40. Bài tập số phức c) ||zi 3; 5 d) argz ; 4 3 e) arg z ; 2 f) arg z ; 2 g) arg(z ) (,) 63 |zi 1 | 3 h) 0 argz 6 5. Viết các số sau dưới dạng cực a) z1 6 6i 3; 13 b) z i ; 2 44 13 c) z i ; 3 2 2 d) z4 9 9i 3; e) z5 3 2i ; f) z6 4i 6. Viết các số sau dưới dạng cực a) za1 cosa i sin a , [0,2 ), b) za2 sina i (1 cos a ), [0,2 ) , c) z3 cosa sin ai (sina cos a ),a [0,2 ) , d) za4 1 cosa i sin a , [0,2 ) . 7. Sử dụng dạng cực của số phức để tính tích sau đây 13 a) ( i)( 3 3 i )(2 3 2 i ); 22 b) (1i )( 2 2 i ) i ; c) 2i ( 4 4 3ii)() 3 3 ; d) 3(1ii )( 5 5 ) Mô tả các kết quả dạng đại số 8. Tìm |z |,arg z , Argz ,arg z,arg(z ) Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 40
  41. Bài tập số phức a) z(1 i )(6 6 i ) ; b) z (7 7 3(i))1 i . 9. Tìm |z| và argument cực của z: (2 3 2i )8 (1i )6 a) z , (1i )6 (2 3 2i )8 ( 1i )4 1 b) z , ( 3ii )10 (2 3 2 ) 4 c) zi(1 3)nn() 1i 3 . 10. Chứng tỏ công thức Moivre đúng với số nguyên âm 11. Tính a) (1 cosa i sin a )n ,a [0,2 ), n N , 1 1 b) zn , nếu z 3. zn z Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 41
  42. Bài tập số phức 3.6 Đáp số và hướng dẫn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 42
  43. Bài tập số phức 4. Căn bậc n của đơn vị 4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức Xét số nguyên n≥ 2 và số phức w 0 . Như trong trường số thực ℝ , phương trình zn w 0 được dùng định nghĩa căn bậc n của số w. Ta gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n của w. Định lý. Cho w r(cos i sin ) là số phức với r>0 và θ∈ [0,2π). Căn bậc n của w gồm n số phân biệt, cho bởi 22kk z n r(cos i sin ), k 0,1, , n 1. k nn Chứng minh. Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức là z (cos isin ). Theo định nghĩa, ta có zn w, nên n (cosn i sin n ) r (cos i sin ) Do đó 2 n r, n 2 k , k Zn r , k . k nn Vậy nghiệm phương trình có dạng n zikr(cos ksn i k ), k Z Lưu ý rằng 0 0 1n 1 2 . Do đó k ,kn {0,1, , 1}là argument cực . Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt của phương trình là z0,,,z 1zn 1 . Đến đây ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là k=nq+r, q∈ Z, r∈{0,1,2, ,n-1} 22 (nq r ) r 2 q 2 q . krn n n n Rõ ràng zkrz . Do đó {,}{,,,}zkn k Z z0 z 1 z 1 . Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. Biểu diễn hình học các căn bậc n của w≠ 0 (n≥ 3) là đỉnh của một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n r , r=|w|. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 43
  44. Bài tập số phức Để chứng minh điều này, ký hiệu M 0(z 0 ), M 1 ( z 1 ), ,Mznn 1 ( 1 ) . Bởi vì nn OMk|z k | r , k {0,1, , n 1}M k C (0, r ) . Mặt khác , số đo cung  M kkM 1 bằng 2(kk 1) ( 2 ) 2 arg z argz, k {0,1, , n 2 }. kk1 nn 22 ⇒ MM bằng 2 (n 1) . n 10 nn    Bởi vì các cung MM0M1,,M11MM2 , n 0 bằng nhau nên đa giác M 0M 1M n 1 đều. Ví dụ 16. Tìm các căn bậc ba của z=1+i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức. Dạng lượng giác của z là z 2(cosi sin ) . 44 Các căn bậc ba của z 22 z 6 2[cos(k ) i sin( k )], k 0,1,2 k 1233 12 ⇒ z 6 2(cosi sin ), 0 12 12 33 z 6 2(cosi sin ), 1 4 4 17 17 z 6 2(cosi sin ), 2 12 12 Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn z0,,zz 1 2 lần lượt là 3 17 M (6 2, ) , M (6 2, ) , M (6 2, ) 0 12 1 4 2 12 Tam giác đều biểu diễn kết quả hình 2.6 Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 44
  45. Bài tập số phức 4.2 Căn bậc n của đơn vị Một nghiệm phương trình zn 10gọi là một căn bậc n của đơn vị. Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác , 1 cos0isin 0, từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là 22kk cosi sin , k {0,1, ,n 1}. k nn ⇒ 0 cos0i sin0 1, 22 22 cosi sin . (đặt cosi sin ) 1 nn nn 44 cosi sin 2 , 2 nn 2(nn 1) 2( 1) cosi sin n 1 . n 1 nn 21n Ký hiệu Un {1, , , , },cũng cần nhắc lại . Như phần trước đã đề cập, Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n≥ 3) là các điểm tạo thành một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1. Chẳng hạn i) Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình z2 10) là -1,1. ii) Với n=3, căn bậc ba của 1( nghiệm phương trình z3 10)cho bởi 22kk cosi sin , k∈ {0,1,2}, k nn ⇒ 0 1, 2 2 1 3 cosii sin , 1 3 3 2 2 4413 cosii sin 2 2 3322 Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn ℭ (O,1). Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 45
  46. Bài tập số phức iii) Với n=4, các căn bậc bốn của 1 là 22kk cosik sin , {0,1,2, 3}. k 44 Ta có 0 cos0i sin0 1, cosi sin i , 1 22 2 cosi sin 1, 33 cosi sin i . 3 22 23 Tức là U4 {1,i , i ,ii } {1, i , 1, }. Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp đường tròn ℭ (O,1). Số k U n gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị , nếu mọi số nguyên dương m<n ta có m k 1 . Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 46
  47. Bài tập số phức Định lý. a) Nếu n|q thì nghiệm bất kỳ của zn 10cũng là nghiệm zq 10. b)Các nghiệm chung của phương trình zm 10và zn 10là các nghiệm của d z 10, d=UCLN(m,n), tức là UmUU n d . c)Các nghiệm nguyên thủy của zm 10là 22kk cosi sin , 0 k m , UCLN ( k , m ) 1. k mm Chứng minh. a)Nếu q=pn thì zq1 (z n ) p 1 ( z n 1)( z( q 1) z n 1) . Do đó điều phải chứng minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên. 22pp b)Xét cosi sin là một nghiệm của zm 10và p mm 22qq ' cosi sin là một nghiệm của zn 10. Bởi vì q mm 22pq || | '| 1, ta có , 2r , r Z . pq pq m n pq Cho ta r pn qm rmn. mn Mặt khác, m m', d n n ', d UCLN (',')1. m n pn qm rmn n p m q rm n d . mp'|n' m| p pp mZ, p' và 2p 2 p ' m ' 2 p ' arg và d 1. p m m' d d p Ngược lại , d| m , d | n , bất kỳ nghiệm của zd 10là nghiệm của zm 10 và zn 10(tính chất a). p p c)Trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho k 1. Từ hệ thức k 1. Suy ra 2kp kp 2k , k’∈ ℤ . Tức là kZ' . Xét d=UCLN(k,m) và k=k’d, m=m’d, ở đây m m k pd k p UCLN(k’,m’)=1. Ta có Z . Bởi vì k’ và m’ nguyên tố cùng nhau , ta có m’|p. m d m p Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn k 1là p=m’. Kết hợp với hệ thức m=m’d suy m ra p ,(,)d UCLN k m . d Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 47
  48. Bài tập số phức m Nếu là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức p 1, p suy k k UCLN(,) k m ra p=m, tức là UCLN(k,m)=1. Lưu ý . Từ b) ta thu được phương trình zm 10và phương trình zn 10có nghiệm chung duy nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n)=1. Định lý. Nếu U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình zn 10 là r,, r11 r n , r là một số nguyên dương cho trước. Chứng minh. Cho r là một số nguyên dương và h {0,1, ,n 1}. Khi đó ((rh)n n) r h 1, tức là rhlà một nghiệm của zn 10. Chỉ cần chứng minh r,,r 1 , r n 1 phân biệt. Giả sử không phân biệt, tức tồn tại r h12 r h r h2 h 1 h 2 r hh1rh 2, 1h 2 mà .Khi đó ( 1) 0 . Nhưng rh2 hh12 0 1. Đối chiếu với 0 h12h n và ω là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, ta có mâu thuẩn. Bài tập 15. Tìm số cặp thứ tự (a,b) các số thực sao cho ()abi 2002 abi . Lời giải. Đặt z=a+bi⇒ z a bi,| z | a22 b . Hệ thức đã cho trở thành z2002 z . ||z 2002|z 2002 | | z | | z | | z| (| z | 2001 1) 0. Do đó |z|=0, tức là (a,b)=(0,0) hoặc |z|=1. Trong trường hợp |z|=1, ta có z2002z z 2003 z. z |z | 2 1. Do phương trình z2003 1 có 2003 nghiệm phân biệt⇒ có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu. Bài tập 16. Hai đa giác đều cùng nội tiếp trong một đường tròn. Đa giác thứ nhất có 1982 cạnh, đa giác thứ hai có 2973 cạnh. Tìm số đỉnh chung của hai đa giác đó. Lời giải. Số đỉnh chung bằng số nghiệm chung của hai phương trình z19821 0,z 2973 1 0 . Ứng dụng định lý trên, số nghiệm chung là d UCLN(1982,2973) 991. Bài tập 17. Cho U n là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và z là số phức sao cho | z k | 1,kn 0,1,, 1. Chứng minh z 0 . Lời giải. Từ giả thiết , được (z kk)(z ) 1 |zz |2 kkzn,k 0,1, , 1. Lấy tổng các hệ thức trên, nn11 n | z |2 z(kk).z 0. kk00 Do đó z=0. Bài tập 18. Cho P0P 1Pn 1 là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 48
  49. Bài tập số phức a) P0PPPPP 1. 0 2 0n 1 n 2 (nn 1) b) sin sin sin n n n 2n 1 3 (2n 1) 1 c) sin sin sin 2n 2 n 2 n 2n 1 Lời giải. a)Không mất tổng quát, giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị, P0 1. Xét đa thức 22 fznn1 (z 1)( z ) ( z 1 ) , cosi sin . nn Rõ ràng nf'(1) (1 )(1 21)( 1n ). Lấy Môđun hai vế được kết quả. b)Ta có 22k k k k k 11k cosii sin 2sin2 2 sin cos n n n n n k k k 2sin (sini cos ) n n n k Do đó |1 k | 2sin ,kn 1,2, , 1. Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh. n c)Xét đa giác đều QQ0 1Q 2n 1 nội tiếp trong đường tròn , các đỉnh của nó là điểm biểu diễn hình học của căn bậc 2n của đơn vị. Theo a) Q0 Q 1.2 Q 0QQQ 2 0 2n 1 n Bây giờ xét đa giác đều QQ022 Qn , ta có Q0Q2. Q 0QQ 4 0Q 2n 2 n Do đó QQQ0 1.2 0QQQ 3 0 2n 1 . Tính toán tương tự phần b) ta được (2k 1) Q Qk2sin , 1,2 n và ta có điều phải chứng minh 0 2k 1 2n 4.3 Phương trình nhị thức Phương trình nhị thức là một phương trình có dạng zn a 0 , n∈ ℕ và n≥ 2. Giải phương trình là tìm căn bậc n của số phức –a. Đây là một dạng đơn giản của phương trình bậc n hệ số phức. Theo định lý cơ bản, phương trình có đúng n nghiệm. Và cũng dễ thấy trong trường hợp này phương trình có n nghiệm phân biệt. Ví dụ 17. a) Giải phương trình z3 80. 8 8(cosi sin ) , các nghiệm là Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 49
  50. Bài tập số phức 22kk z 2(cosik sin ), 0,1,2 . k 33 b) Giải phương trình z63zi(1i ) 0 . Phương trình tương đương với (z331)(z i ) 0. Giải phương trình nhị thức z331 0,z i 0 có các nghiệm 22kk cosik sin , 0,1,2 và k 33 22kk z cos22ik sin , 0,1,2. k 33 4.4 Bài tập 1. Tìm các căn bậc hai của z a) zi1 ; b) zi; 1 i c) z ; 22 d) zi2(1 3) ; e) zi7 24 . 2. Tìm các căn bậc ba của z a) zi; b) z 27 ; c) zi22; 13 d) z i ; 22 e) zi18 26 . 3. Tìm các căn bậc bốn của z a) zi2 12 ; b) z 3 i ; c) zi; d) zi2 ; e) zi7 24 . 4. Tìm căn bậc 5,6,7,8, 12 các số trên. 4 5. Cho Unn{,,,}0 1 1 là các căn bậc n của đơn vị. Chứng minh 4 Un cùng với phép nhân là một nhóm Abel. Nó còn là nhóm xyclic sinh bởi căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 50
  51. Bài tập số phức a) j kU n, j, k {0,1, , n 1}; 1 b) jnU, j {0,1, , n 1}. 6. Giải phương trình a) z3 125 0; b) z4 16 0 ; c) z3 64i 0 ; d) z3 27i 0. 7. Giải phương trình a) z72iz 4 iz 3 2 0 ; b) z63iz i 10; c) (2 3iz ) 6 105i ; d) z10( 2i )zi 5 2 0 . 8. Giải phương trình z425(zz 1)(z 1). 4.5 Đáp số và hướng dẫn Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 51
  52. Bài tập số phức Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 52