Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 8: Thiết kế bộ lọc số - Đinh Đức Anh Vũ

Nội dung text: Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 8: Thiết kế bộ lọc số - Đinh Đức Anh Vũ

1. dce 2011 Chương 8 Thiết kế Bộ lọc Số BK TP.HCM ©2011, TS. Đinh Đức Anh Vũ
2. dce 2011 Nội dung • Bộ lọc lý tưởng • Bộ lọc thực tế – Bộ lọc với đáp ứng xung hữu hạn (FIR) • Bộ lọc tuyến tính pha – Phương pháp cửa sổ – Phương pháp mẫu tần số • Bộ lọc tuyến tính pha tối ưu • Bộ biến đổi Hilbert • So sánh các phương pháp thiết kế – Bộ lọc với đáp ứng xung vô hạn (IIR) • Phương pháp xấp xỉ đạo hàm • Phương pháp bất biến xung DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 2
3. dce 2011 Giới thiệu • Phương pháp thiết kế bộ lọc tần số – Đặc tính bộ lọc được mô tả bởi đáp ứng biên độ và pha – Tùy theo đáp ứng mong muốn, bộ lọc nhân quả FIR hoặc IIR sẽ được chọn • FIR – Được dùng khi có yêu cầu đáp ứng pha tuyến tính trong passband – Nhiều thông số hơn IIR → Độ phức tạp tính toán cao • IIR – Có các thuỳ biên ở dải stopband thấp hơn bộ lọc FIR có cùng số tham số → được dùng nhiều hơn so với FIR (khi độ méo pha trong passband có thể chấp nhận được) – Độ phức tạp tính toán không cao và tiêu tốn ít bộ nhớ – Xác định các hệ số bộ lọc DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 3
4. dce 2011 Tính nhân quả • Xét bộ lọc lý tưởng ω  c = 1 ω ≤ ωc  π n 0 H (ω) =  h(n) = ω ω 0 ω < ω ≤ π  c sin( cn) n ≠ 0  c  π ωcn H(ω) 1 ωc = π/4 ω -ωc ωc Bộ lọc không nhân quả → không hiện thực được DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 4
5. dce 2011 Đ/k để bộ lọc nhân quả • Định lý Paley-Wiener π h(n) có năng lượng hữu hạn ∫ ln H (ω) dω < ∞ h(n) = 0 ∀n<0 −π π ln H (ω) dω < ∞ jΘ()ω ∫ VoiΘ=(),()ωω H H () ω e −π π h( n ): nhân qua 2 ∫ H (ω) dω < ∞ −π – H(ω) chỉ được phép = 0 tại một tập hữu hạn các tần số – |H(ω)| không được là hằng số cho một khoảng tần • Việc chuyển từ passband sang stopband không được thẳng góc – HR(ω) và HI(ω) phụ thuộc nhau → Phổ biên độ và phổ pha không thể chọn độc lập được DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 5
6. dce 2011 Đ/k để bộ lọc nhân quả 1 he (n) = 2 [h(n) + h(−n)] h(n) = he (n) + ho (n) 1 ho (n) = 2 [h(n) − h(−n)] h(n) nhân quả h(n) = 2he (n)u(n) − he (0)δ (n) n ≥ 0 ho (n) = he (n) n ≥1 h(n) = 2ho (n)u(n) + h(0)δ (n) n ≥1 h(n) được mô tả bởi he(n) h(n) = he (n) + ho (n) h(n) thực F F H(ω) được mô tả bởi HR(ω) H(ω) được mô tả bởi HI(ω) và h(0) H (ω) = H R (ω) + jH I (ω) π BĐ Hilbert rời rạc ω = − 1 λ ω −λ λ H I ( ) 2π ∫ H R ( )cot( 2 )d −π DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 6
7. dce 2011 Đ/k để bộ lọc nhân quả • Ví dụ: xác định đáp ứng tần số của h/t ổn định với đáp ứng xung là hàm thực và chẵn, nếu biết 1− a cosω H (ω) = a <1 R 1− 2a cosω + a2 1 jω − jω cosω = 2 [e + e ] 1− 1 a(z + z −1) z − a(z 2 +1) / 2 H (z) = 2 = R 1− a(z + z −1) + a2 (z − a)(1− az) ROC : a < z <1/ a 1 n 1 n he (n) = 2 a + 2 δ (n) h(n) = a u(n) 1 H (ω) = 1− ae− jω DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 7
8. dce 2011 Bộ lọc tần số trong thực tế M • LTI − jωk N M ∑bk e = − − + − k =0 y(n) ∑ ak y(n k) ∑bk x(n k) H (ω) = N k =1 k =0 1+ a e− jωk • Đặc trưng ∑ k Transition Band k =1 |H(ω)| δ1: Passband ripple 1+δ 1 δ2: Stopband ripple ωp: Passband edge ripple 1-δ1 ωs: Stopand edge ripple Passband ripple StopBand δ2 ω 0 ωp ωs π DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 8
9. dce 2011 Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng • Bộ lọc FIR • Bộ lọc FIR tuyến tính pha M −1 – H(ω) có pha Ө(ω) là hàm tuyến tính y(n) = ∑bk x(n − k) – Đ/k: h(n) = ± h(M–1–n) k =0 n = 0, 1, , M-1 M −1 −k h(k) = bk H (z) = ∑ h(k)z k =0 M −1 y(n) = ∑ h(k)x(n − k) • Thay z bởi z-1 k =0 • Nhân 2 vế với z-(M-1) • h(n) = ± h(M–1–n) * 1/z1 z −(M −1) H (z −1) = ±H (z) z1 • Nếu z1 là nghiệm (hoặc zero) của H(z) 1/z2 z2 1 * z1 thì 1/z1 cũng là nghiệm * • Để h(n) thực thì z1 cũng là nghiệm * và 1/ z1 cũng là nghiệm 1/z1 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 9
10. dce 2011 Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng − −− • Hàm h/t H( z )= h (0) + h (1) z1 ++ hM ( − 1) z(M 1) M −3  − 2 −− −− −−(1)M(12)Mn (12) Mn z2 h(M −1 )+± h () n z22 z M le 2 ∑   n=0 =  M − 2 1  −−(1)M− (12)Mn−− (12) Mn−− z2 h() n z 22± z M chan  ∑   n=0 • Đáp ứng xung đơn vị đối xứng h(n) = h(M – 1 – n) − ω ( M −1) j 2 H (ω) = H (ω)e M −3 r  2 M −1 + ω Mn−−12 h(22 ) 2∑ h ( n )cos ( ) M le  n=0 Biên độ thực H ()ω =  r M −1  2 ω Mn−−12 2∑ h ( n )cos (2 ) M chan  n=0 M −1 −ω( 2 ) H r (ω) > 0 Đặc tính pha Θ(ω) = Tuy ến tính  M −1 −ω( 2 ) +π H r (ω) < 0 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 10
11. dce 2011 Bộ lọc FIR – Tính đối xứng & phản đối xứng • Đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng h(n) = –h(M–1–n) – Khi M lẻ h[(M–1)/2] = 0 − ω ( M −1) −π j[ 2 2 ] H (ω) = H r (ω)e M −3  2 ω Mn−−12 2∑ h ( n )sin (2 ) M le  n=0 Biên độ thực H ()ω =  r M −1  2 ω Mn−−12 2∑ h ( n )sin (2 ) M chan  n=0  π −ω( M −1) H (ω) > 0 Đặc tính pha Θ ω = 2 2 r Tuy ến tính ( )  3π M −1  2 −ω( 2 ) H r (ω) < 0 • Đối xứng hay phản đối xứng ? – Tùy Không thích hợp h(n) = –h(M–1–n) H (0) = 0 r cho các bộ lọc thông thấp M lẻ H (π) = 0 r và thông cao DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 11
12. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ • Giả sử ∞ ω = − jωn – Hd(ω): hàm đáp ứng tần số mong muốn H d ( ) ∑ hd (n)e = n π0 ω – h (n): hàm đáp ứng xung đơn vị mong muốn = 1 ω j n ω d hd (n) 2π ∫ H d ( )e d • hd(n) có chiều dài vô hạn −π • Để chiều dài hd(n) hữu hạn, cắt hd(n) tại điểm n = M-1 – Nhân hd(n) với hàm cửa sổ w(n) 1 n = 0,1, , M −1 – Cửa sổ hình chữ nhật w(n) =  • Đáp ứng xung mẫu của bộ lọc 0 otherwise h(n) = h (n)w(n) d π h (n) n = 0,1, , M −1 ω = 1 ω − d H ( ) 2π ∫ H d (v)W ( v)dv =  −π 0 otherwise – Với Hd(ω) cho trước, thì W(ω) có tác dụng làm trơn Hd(ω) – Một W(ω) tốt khi • Có thuỳ chính phải rộng, cao hơn nhiều so với thuỳ phụ • w(n) không nên giảm xuống 0 tại hai bên cạnh DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 12
13. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP cửa sổ ωM M −1 − jωM sin( 2 ) − jωn 1− e W (ω) = −π ≤ ω ≤ π = = ω W (ω) e − jω ∑ sin( 2 ) n=0 1− e M −1 ωM − ω − sin(ωM / 2) −ω( 2 ) sin( 2 ) ≥ 0 = e j (M 1)/ 2 Θ(ω) =  ω M −1 ωM sin( / 2) π −ω( 2 ) sin( 2 ) < 0 Độ rộng của thùy chính: 4π /M [được đo bởi điểm zero đầu tiên của W(ω)] Nhận xét: - Thuỳ chính hẹp hơn khi M tăng - Các thuỳ phụ tương đối lớn so với thuỳ chính và không thay đổi khi M tăng - Chiều cao thuỳ phụ tăng khi M tăng DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 13
14. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Hd(ω) được định nghĩa tại M điểm tần số cách đều 2π M −1 ωαk =+=M (k )k 0,1, , 2 M le M k =0,1, ,2 − 1 M chan α = 0| 1 M −1 2 − jωn H d (ω) = ∑ hd (n)e n=0 2π H d (k +α) ≡ H d [ M (k +α)] M −1 − j2π (k +α )n/ M α=0, 2 công thức H d (k +α) = ∑ hd (n)e k = 0,1,, M −1 này chính là công thức n=0 DFT và IDFT M −1 = 1 +α j2π (k +α )n/ M =  − hd (n) M ∑ H d (k )e n 0,1, , M 1 k =0 * Chuỗi h(n) thực H d (k +α) = H d (M − k −α) Chỉ cần định nghĩa Hd(ω) tại (M+1)/2 điểm khi M lẻ hoặc tại M/2 điểm khi M chẵn DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 15
15. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP lấy mẫu tần số • Mẫu tần số 2π j[βπ / 2−2π (k +α )(M −1)/ 2M ] H d (k +α) = H r ( M (k +α))e β = 0 {h ( n )} doi xung Với  β =1 {h ( n )} phan doi xung • Định nghĩa các mẫu tần số thực G(k+m) k 2π G(k +α) = (−1) Hr ( M (k +α)) jkπ j[βπ / 2−2π (k+α )(M −1)/ 2M ] Hd (k +α) = G(k +α)e e • Tùy theo giá trị α (0|½) và β (0|1), H(k) và h(n) sẽ có công thức đơn giản – Ví dụ khi α = 0 và β = 0 1 U jπk / M =++2π k 1 H(k) = G(k)e k = 0,1,, M −1 hn( ) G (0) 2∑ Gk ( )cosM ( n 2 ) M k =1 G(k) = (−1)k H (2πk ) r M  M −1 khi M le voi U = 2 G(k) = −G(M − k)  M  2 −1 khi M chan DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 16
16. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – Phương pháp tối ưu • Bài toán xấp xỉ Chebyshev – Tối ưu: sai số xấp xỉ giữa đáp ứng t/s mong muốn và thực tế phân bố đều trên passband và stopband ⇒ tối thiểu hóa các sai số cực đại – Bộ lọc có gợn sóng trong cả passband và stopband DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 17
17. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 1: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M lẻ (M −3)/ 2 H ω = h M −1 + h n ω M −1 − n r ( ) ( 2 ) 2 ∑ ( )cos ( 2 ) n=0 k = (M-1)/2 – n (M −1)/ 2 H r (ω) = ∑ a(k)cosωk k =0 h( M −1) k = 0 α(k) = 2  M −1 M −1 2h( 2 − k) k =1,2,, 2 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 18
18. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 2: đáp ứng xung đơn vị đối xứng và M chẵn M / 2−1 H ω = h n ω M −1 − n r ( ) 2 ∑ ( )cos ( 2 ) n=0 k = M/2 – n M / 2 H ω = b k ω k − 1 r ( ) ∑ ( )cos ( 2 ) k=1 M M b(k) = 2h( 2 − k) k =1,2,, 2 M / 2−1 ω = ω ω H r ( ) cos 2 ∑b'(k)cos k 1 k =0 b'(0) = 2 b(1) M b'(k) + b'(k −1) = 2b(k) k =1,2,, 2 − 2 M M b'( 2 −1) = 2b( 2 ) DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 19
19. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 3: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M lẻ (M −3)/ 2 H ω = h n ω M −1 − n r ( ) 2 ∑ ( )sin ( 2 ) n=0 k = (M-1)/2 – n (M −1)/ 2 Hr (ω) = ∑c(k)sinωk k=1 M −1 M −1 c(k) = 2h( 2 − k) k =1,2,, 2 M −3 M −1 c'( 2 ) = c( 2 ) M −5 M −3 (M −3)/ 2 c'( 2 ) = 2c( 2 ) H r (ω) = sinω ∑c'(k)cosωk    k =0 M −5 c'(k −1) − c'(k +1) = 2c(k) 2 ≤ k ≤ 2 c + 1 c = c DSP – Thiết kế Bộ lọc Số '(0) 2 '(2) (1)©2011, Đinh Đức Anh Vũ 20
20. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Trường hợp 4: đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng và M chẵn M / 2−1 H ω = h n ω M −1 − n r ( ) 2 ∑ ( )sin ( 2 ) n=0 k = M/2 – n M / 2 H ω = d k ω k − 1 r ( ) ∑ ( )sin ( 2 ) k=1 M M d(k) = 2h( 2 − k) k =1,2,, 2 M / 2−1 H ω = ω d k ωk r ( ) sin 2 ∑ '( )cos M M k=0 d'( 2 −1) = 2d( 2 ) M d'(k −1) − d'(k) = 2d(k) 2 ≤ k ≤ 2 −1 1 d'(0) − 2 d'(1) = d(1) DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 21
21. dce 2011 Bộ lọc FIR tuyến tính pha – PP tối ưu • Tổng quát Hr (ω) = Q(ω)P(ω) 11truong hop  ω cos 2 truong hop 2 Q()ω =  sinω truong hop3  ω sin 2 truong hop 4 (M− 1) / 2 truong hop1  L M /2− 1 truong hop 2 P(ω) = ∑α(k)cosωk L =  k=0 (M− 3) / 2 truong hop3 M /2− 1 truong hop 4 DSP – Thiết kế Bộ lọc Số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 22