›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Hoàng Anh Khoa

pdf 37 trang ngocly 4260
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Hoàng Anh Khoa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke_nguyen_hoang_anh_khoa.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Hoàng Anh Khoa

  1. BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 01 năm 2015
  2. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT 1.1. Giải tích tổ hợp 1.1.1. Quy tắc đếm a) Quy tắc nhân: Công việc có k giai đoạn. Giai đoạn i có ni cách thực hiện thì có tất cả n1. n2 nk cách hoàn thành công việc b) Quy tắc cộng: Công việc được hoàn thành bởi 1 trong k hành động. Hành động i có ni cách thực hiện thì có tất cả n1+ n2+ + nk cách hoàn thành công việc 1.1.2. Chỉnh hợp, tổ hợp a) Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ gồm k phần tử có thứ tự lấy từ n phần tử khác nhau (1≤k≤n). n! Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Ak n (n k)! b) Hoán vị của n phần tử: Hoán vị của n phần tử là một bộ sắp thứ tự của n phần tử khác nhau Số hoán vị của n phần tử: Pn n! c) Tổ hợp: Tổ hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n) là một bộ gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử khác nhau không kể thứ tự. n! Số tổ hơp chập k của n phần tử: Ck n (n k)!k! 1.1.3. Nhị thức Newton: n a bn k an k b k Cn k0 1.1.4. Các ví dụ 1. Có bao nhiêu cách xếp 12 sinh viên vào 4 lớp A, B, C, D sao cho mỗi lớp có 3 sinh viên. 2. Một chồng sách gồm có 3 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa khác nhau. a) Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách đó theo từng môn. b) Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách đó sao cho 4 sách Lý đặt kề nhau. 3. Có bao nhiêu cách phát 10 món quà khác nhau cho 3 người sao cho người nào cũng có ít nhất một món quà. 1
  3. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.2. Phép thử - biến cố 1.2.1. Phép thử: Là hành động, thí nghiệm để nghiên cứu hiện tượng nào đó. 1.2.2. Biến cố: Là hiện tượng có thể xảy ra hay không xảy ra trong kết cục của một phép thử Quy ước: Dùng chữ cái in hoa để kí hiệu cho biến cố Ví dụ: Phép thử là gieo 1 con xúc xắc. Biến cố “xuất hiện mặt 3 chấm”, “xuất hiện mặt có số chấm là số chẳn”. . . 1.2.3. Các phép toán về biến cố - Biến cố chắc chắn Ω : biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố không thể  : biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử. - Biến cố tích AB: biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy ra. - Biến cố tổng A + B: biến cố xảy ra nếu ít nhất 1 trong 2 biến cố A,B xảy ra. - Quan hệ kéo theo AB: Nếu A xảy ra thì B xảy ra. - Biến cố đối lập: biến cố đối lập của biến cố A là biến cố A =“A không xảy ra” - Biến cố xung khắc: A và B gọi là xung khắc nếu A.B= 1.3. Xác suất của biến cố 1.3.1. Định nghĩa xác suất cổ điển Định nghĩa: Nếu trong một phép thử có n biến cố đồng khả năng, trong đó có m biến cố thuận lợi cho biến cố A thì tỉ số m/n gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A). Vậy m P(A) n Trong đó m: số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, kí hiệu n(A) n : số biến cố sơ cấp đồng khả năng, kí hiệu n(Ω) n(A) P(A) n( ) Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6. Giải Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng 6 Số biến cố đồng khả năng n(Ω) = 6.6 = 36 Số biến cố thuận lợi cho A là n(A) = 5 n(A) 5 Vậy P(A) n( ) 36 2
  4. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1.3.2. Định nghĩa xác suất theo quan niệm thống kê Thực hiện n lần một phép thử thấy có m lần xuất hiện biến cố A. Khi đó, tỉ số fn(A):=m/n gọi là tần suất xuất hiện biến cố A khi thực hiện n lần phép thử. Nếu giới hạn limfn (A) tồn tại thì xác suất của biến cố A kí hiệu P(A) xác định n bởi công thức: P(A) limfn (A) n Trong thực tế, khi n đủ lớn ta có: P(A) fn (A) 1.3.3. Tính chất của xác suất Cho A, B là các biến cố bất kỳ trong một phép thử ta có: 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P() = 0 và P(Ω) = 1 2. Nếu A.B =  thì P(A + B) = P(A) + P(B) 3. P(Ā) = 1 – P(A) 1.4. Xác suất có điều kiện 1.4.1. Định nghĩa: Cho A, B là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử và P(A)>0. Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là một số ký hiệu là (P A/B) được xác định bởi công thức: P(AB) P(A / B) P(B) 1.4.2. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) Các biến cố A1,A2, ,An gọi là độc lập nếu Ai và Aj độc lập với mọi i ≠ j. 1.5. Công thức tính xác suất 1.5.1. Công thức nhân: Cho A, B là hai biến cố của một phép thử, ta có P(AB) P(A).P(B/A) Mở rộng: P(A1A2A3 An-1An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) P(An/A1A2A3 An-1) Đặc biệt, nếu A1, A2, , An độc lập từng đôi thì P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An) Ví dụ 2: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất: a) cả 2 quả đều đỏ. b) cả 2 quả đều xanh. c) hai quả khác màu d) quả lấy từ hộp thứ nhất là quả màu đỏ, biết rằng 2 quả khác màu. 3
  5. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Giải a) Gọi A là biến cố cả 2 quả đều đỏ A1 là biến cố quả lấy từ hộp 1 là quả màu đỏ A2 là biến cố quả lấy từ hộp 2 là quả màu đỏ Ta có A1, A2 độc lập 3 4 6 P(A) P(AA) P(A)P(A) . 0,24 1 2 1 2 5 10 25 b)Gọi B là biến cố cả 2 quả đều xanh. 2 6 6 P(B) P(A.A) P(A).P(A) . 0,24 1 2 1 2 5 10 25 c) Gọi C là biến cố hai quả khác màu. P(C) = P(A B)=1 – P(A + B) =1 – [ P(A) + P(B)] = 0,52 d) Gọi D là biến cố quả lấy từ hộp thứ nhất là quả màu đỏ, biết rằng 2 quả khác màu. 36 . P(A1 C) P(A 1 A 2 ) 5 10 9 P(D) = P(A1/C) = P(C) P(C) 0,52 13 1.5.2. Công thức cộng: Cho A, B là hai biến cố của một phép thử, ta có P(A B) P(A) P(B) P(AB) Mở rộng: nn n1 P  Ai  P(A i )  P(A i A j )  P(A i A j A k ) ( 1) P(A 1 A 2 A n ) i1 i1 1ijn 1ijkn Đặc biệt, nếu AiAj =  với mọi i ≠ j thì P(A1+A2+ +An)=P(A1)+P(A2)+ +P(An) Ví dụ 3: Phát ngẫu nhiên 9 món quà cho 3 người. Tính xác suất có ít nhất một người không nhận được quà. 1.5.3. Công thức xác suất đầy đủ, công thức bayes Nhóm đầy đủ: {Ai | i = 1, 2, 3, n } là một nhóm đầy đủ nếu Giả sử {Ai | i = 1, 2, 3, n } là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố xảy ra chỉ khi một trong các biến cố Ai xảy ra, khi đó: a. Công thức xác suất đầy đủ P(A) P(A)P(A/A)1 1 P(A 2 )P(A/A 2 ) P(A n )P(A/A n ) b. Công thức Bayes P(A)P(A/A) P(A)P(A/A) P(A / A) i i i i i P(A) n P(Akk )P(A / A ) k1 4
  6. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Ví dụ 4: Một phân xưởng có số lượng nam công nhân gấp 4 lần số lượng nữ công nhân. Tỷ lệ công nhân tốt nghiệp THPT đối với nữ là 15%, nam là 25%. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng này. Tính xác suất: a) chọn được: - nam công nhân - nữ công nhân b) chọn được công nhân đã tốt nghiệp THPT. c) chọn được nam công nhân tốt nghiệp THPT. d) chọn được công nhân nữ, biết rằng người này đã tốt nghiệp THPT. Giải a) Gọi A là biến cố chọn được công nhân nam => là A biến cố chọn được công nhân nữ 4 1 P(A) và P(A) 5 5 b) Gọi B là biến cố chọn được công nhân đã tốt nghiệp THPT. Ta có A, là nhóm đầy đủ nên 41 P(B )= P(A).P(B/A) + P(A ).P(B/ ) = .0,25 .0,15 0,23 55 c) Gọi C là biến cố chọn được công nhân nam tốt nghiệp THPT. 4 P(C) = P(AB) = P(A).P(B/A) = .0,25 = 0,2 5 d) Gọi D là biến cố chọn được công nhân nữ, biết rằng người này đã tốt nghiệp THPT. 1 .0,15 P(A.B) P(A).P(B/A) 3 P(D) P(A / B) 5 P(B) P(B) 0,23 23 5
  7. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Câu1: Hai bạn Đào và Mai học xa nhà. Xác suất để Đào và Mai về thăm nhà vào ngày chủ nhật tương ứng là 0,2 và 0,25. Tính xác suất vào ngày chủ nhật: a) cả hai về thăm nhà. b) cả hai không về thăm nhà. c) có đúng 1 người về thăm nhà. d) Mai về thăm nhà, biết có đúng một người về thăm nhà. Câu 2: Một tín hiệu S được truyền từ điểm A đến điểm B. Tín hiệu sẽ được nhận tại B nếu cả hai công tắc I và II đều đóng. Giả sử rằng khả năng để công tắc thứ nhất và thứ hai đóng, tương ứng là 0,8 và 0,6. Cho biết hai công tắc hoạt động độc lập nhau. Tính xác suất: a) tín hiệu được nhận tại B. b) công tắc thứ I mở, biết rằng tại B không nhận được tín hiệu S. c) công tắc thứ II mở, biết rằng tại B không nhận được tín hiệu S. d) cả hai công tắc I và II mở, biết rằng tại B không nhận được tín hiệu S. Câu 3: Có 3 hộp: mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i viên bi trắng (i = 1,2,3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi. a) Tìm xác suất lấy được 3 viên bi trắng. b) Tính xác suất lấy được đúng không viên bi trắng c) Tính xác suất lấy được đúng 1 viên bi trắng d) Nếu trong 3 bi lấy ra có đúng 1 bi trắng, tìm xác suất viên bi trắng đó là của hộp thứ nhất? Câu 4: Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả. Xác suất ném trúng rổ của mỗi người lần lượt là 0,5; 0,6 và 0,7. Tính xác suất: a) cả 3 người đều ném trúng rổ. b) có ít nhất một người ném trúng rổ. c) có đúng một người ném trúng rổ. d) người thứ nhất ném trúng rổ, biết có đúng một người ném trúng rổ. Câu 5: Hai bạn Bình và Yên cùng dự thi môn xác suất thống kê một cách độc lập. Khả năng để Yên thi đạt môn này là 0,6 và xác suất để có ít nhất một trong hai bạn thi đạt là 0,9. Tính xác suất: a) bạn Bình thi đạt. b) cả hai bạn đều thi đạt. c) có ít nhất một bạn thi hỏng. 6
  8. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Câu 6: Có hai chuồng gà: chuồng I có 12 con gà mái và 8 con gà trống; chuồng II có 15 con gà mái và 10 con gà trống. Quan sát thấy có 2 con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II; sau đó, có 1 con gà chạy từ chuồng II ra ngoài. Tính xác suất: a) hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà mái. b) trong hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II có 1 con gà trống và 1 con gà mái. c) hai con gà chạy từ chuồng I sang chuồng II là 2 con gà trống. d) con gà chạy từ chuồng II ra ngoài là con gà trống. Câu 7: Có hai chuồng thỏ, chuồng I có 8 thỏ đen và 12 thỏ trắng; chuồng II có 6 thỏ đen và 15 thỏ trắng. Quan sát thấy từ chuồng I có 1 con thỏ chạy sang chuồng II; sau đó, từ chuồng II có 2 con thỏ chạy ra ngoài. Tính xác suất: a) con thỏ từ chuồng I chạy sang chuồng II: - là thỏ trắng. - là thỏ đen. b) hai con thỏ chạy từ chuồng II ra ngoài là hai con thỏ trắng. c) trong 2 con thỏ chạy ra từ chuồng 2 có 1 con thỏ trắng và 1 thỏ đen. d) hai con thỏ chạy từ chuồng II ra ngoài là hai con thỏ đen. Câu 8: Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu (một xạ thủ bắn một viên đạn). Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ I và II lần lượt là 0,8 và 0,9. a) Tính xác suất cả hai xạ thủ đều bắn trúng mục tiêu. b) Tính xác suất có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. c) Biết có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Tính xác suất xạ thủ I bắn trúng mục tiêu. d) Biết có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu, xạ thủ bắn trượt lần thứ nhất tiếp tục bắn lần thứ hai. Tính xác suất lần hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Câu 9: Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài Tú lơ khơ 52 lá. Tính xác suất: a) rút được 2 lá bài Cơ. b) rút được 2 lá bài Rô màu đen. c) rút được 2 lá bài Cơ, biết rằng hai lá này màu đỏ. d) rút được 2 lá bài cùng màu. 7
  9. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 2. BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1. Khái niệm 2.1.1. Định nghĩa: Hàm số X xác định trên không gian biến cố sơ cấp  được gọi là biến ngẫu nhiên (BNN) Ví dụ 1: Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo 10 lần một đồng xu, khi đó X là một BNN và X có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Ví dụ 2: Gọi X là số hạt giống nảy mầm khi gieo n hạt, khi đó X là một BNN và X có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2, 3, , n. Kí hiệu X( ) = {1,1,2, ,n}. Ví dụ 3: Gọi X là thời gian sử dụng của bóng đèn (đơn vị giờ). Khi đó, X là BNN có thể nhận các giá trị trong khoảng [0,+ ) 2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên Dựa vào tập giá trị của BNN người ta chia BNN thành hai loại là BNN rời rạc và BNN liên tục Định nghĩa: BNN mà tập hợp các giá trị nó có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc, ngược lại gọi là BNN liên tục. Ví dụ: Trong các ví dụ trên: BNN X trong ví dụ 1 và ví dụ 2 là BNN rời rạc, BNN X trong ví dụ 3 là BNN liên tục 2.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2.1. Bảng phân phối xác suất: là bảng cho biết thông tin các giá trị có thể nhận và xác suất để nhận các giá trị đó. Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, x3, xn với các xác suất tương ứng là P(X = xi) = pi. Ta có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 X3 xn P p1 p2 P3 pn Chú ý: p1 + p2 + + pn = 1. Ví dụ 1: Một sinh viên làm 2 thí nghiệm A, B với xác suất thành công của các thí nghiệm tương ứng là 0,6 và 0,7. Gọi X là số thí nghiệm sinh viên làm thí nghiệm thành công. Lập bảng phân phối xác suất của X. Giải Các giá trị X có thể nhận X(Ω) = {0;1;2} Gọi A là biến cố sinh viên làm thí nghiệm A thành công B là biến cố sinh viên làm thí nghiệm B thành công Ta có A, B độc lập P(X = 0) = P(A.B) =P(A).P(B) = 0,4.0,3 =0,12 8
  10. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa P(X = 1) P(A.B A.B) P(A).P(B) P(A).P(B) = 0,6.0,3 + 0,4.0,7=0,46 P(X = 2) P(A.B) P(A)P(B) = 0,6.0,7 = 0,42 Bảng phân phối xác suất X 0 1 2 P 0,42 0,46 0,42 2.2.2. Hàm phân phối Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X kí kiệu F(x) được xác định bởi công thức F(x) = P(X 0,5. n 3. Kì vọng: EX  xii p i1 Tính chất: 1. EC = C 2. EkX = kEX 3. E(X Y) = EX EY , trong đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. n 2 4. Phương sai: VX  (xii EX) p i1 Tính chất: 1. VC = 0 2. VkX = k2VX 3. V(X Y) = VX + VY , trong đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. n Chú ý: VX = E(X2 ) - (EX)2 với EX22 x p  i i i1 5. Độ lệch chuẩn: σ(X) = VX 9
  11. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Ví dụ 2: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X -2 0 1 2 3 P 0,1 0,2 0,1 0,5 0,1 a) Tìm hàm phân phối xác suất của X . b) Tính xác suất P (0 ≤ X < 3). c) Tính mốt, trung vị, kì vọng, phương sai của X. Giải a) Hàm phân phối xác suất 0 , x 2 0,1 , 2 x 0 0,3 , 0 x 1 F(x) 0,4 , 1 x 2 0,9 , 2 x 3 1 , x 3 b) P(0 X 3) F(3) F(0) 0,9 0,1 0,8 c) ModX = 2 MedX = 2 EX = -2.0,1 + 0.0,2 + 1.0,1 + 2.0,5 + 3.0,1 = 1,2 EX2 = (-2)2.0,1 + 02.0,2 + 12.0,1 + 22.0,5 + 32.0,1 = 3,4 VX = EX2 – (EX)2 = 3,4 – 1,22 = 1,96 2.3. Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3.1. Hàm mật độ: Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ của một BNN liên tục X nào đó, nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau: i) f(x) ≥ 0 ii) f (x)dx 1 b iii) P(a< X <b) = f (x)dx a 2.3.2. Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X kí kiệu F(x) được xác định bởi công thức F(x) = P(X<x) Nhận xét: F(x) là hàm liên tục 10
  12. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Nếu X là BNN liên tục thì P(X = x0) = 0. Nếu X là BNN thì P(a≤X<b)=P(a<X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X≤b)=F(b)–F(a) f(x) = F’(x) tại những điểm f(x) liên tục 2.3.3. Các đặc trưng 1. Mod: Mốt của X, kí hiệu modX là giá trị làm hàm mật độ đạt giá trị lớn nhất 2. Trung vị: Trung vị của X, kí hiệu ModX là giá trị x* sao cho F(x*) = 0,5. 3. Kì vọng: E(X) xf(x)dx Tính chất: 1. EC = C 2. EkX = kEX 3. E(X Y) = EX EY , trong đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. 4. Phương sai: VX (x EX)f(x)dx2 Chú ý: VX = E(X2 ) - (EX)2 trong đó E(X)22 xf(x)dx Tính chất: 1. VC = 0 2. VkX = k2VX 3. V(X Y) = VX + VY , trong đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Ví dụ 3: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất như sau: 0 ;x 0 3 F(x) ax b;0 x 1 1 ;1 x a. Xác định hàm mật độ f(x) của biến ngẫu nhiên X, biết f liên tục trên R\{0;1}. b. Tính kì vọng, phương sai. Giải limF(x) limF(x) x 0 x 0 b0 a. Vì F(x) là hàm liên tục nên limF(x) limF(x) 1 a b x 1 x 1 a = 1 và b = 0 0 ;x 0  x 1 Hàm mật độ f (x) F'(x) 2 3x ;0 x 1 11
  13. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b. Tính EX; V(X). EX = xf (x)dx 0 1 = xf (x)dx + xf (x)dx + xf (x)dx 0 1 1 1 1 x4 3 = xf (x)dx = x.3x2 dx = 3. = 4 0 0 4 0 EX2 = x2 f (x)dx 1 = x22 .3x dx 0 1 1 x5 3 = 3x4 dx = 3. = 0 5 0 5 2 2 2 3 3 3 VX = EX – (EX) = 5 4 80 12
  14. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Câu 1: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II. Chọn ngẫu nhiên (đồng thời) từ kiện hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại II được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X . Câu 2: Kiện hàng I có 12 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm, kiện hàng II có 15 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi kiện hàng ra 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được. Lập bảng phân phối xác suất của X . Câu 3: Lô hàng I có 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô hàng II có 14 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II. Sau đó, từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra từ lô hàng II. Lập bảng phân phối xác suất của X. Câu 4: Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 P 0,2 0,5 p a) Xác định p. b) Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X. Câu 5: Một sinh viên được làm thí nghiệm A tối đa 3 lần, nếu có 1 lần thành công thì dừng lại, xác suất thành công của mỗi lần thí nghiệm là 0,7. Gọi X là số lần sinh viên làm thí nghiệm. Lập bảng phân phối xác suất của X. Câu 6: Một xạ thủ có 3 viên đạn, anh ta lần lượt bắn từng viên đạn vào một mục tiêu cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết đạn. Biết xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,6. Gọi X là số viên đạn xạ thủ bắn. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Câu 7: Một hộp có 5 viên bi trong đó có 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp bi trên, gọi X số bi đỏ được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Câu 8: Một chùm có 5 chìa khóa trong đó có 3 chìa mở được ổ khóa. Một người mở ổ khóa bằng cách thử ngẫu nhiên từng chìa cho đến khi mở được ổ khóa (loại chìa đã thử ra khỏi chùm). Tính số lần thử trung bình để mở được ổ khóa. Câu 9: Cho hàm số 0 , x ; 22 f (x) a.cosx , x ; 22 a) Xác định a để f(x) là hàm mật độ của một BNN X nào đó. b) Tìm hàm phân phối của X, tính P(0 ≤ X ≤ /4) c) Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X 13
  15. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa CHƯƠNG 3. CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG 3.1. Phân phối nhị thức - Dãy phép thử Becnulli: Là dãy n phép thử độc lập thỏa mãn 2 điều kiện sau: 1. Mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai biến cố A hoặc Ā; 2. P(A) = p không đổi trong mọi phép thử. - Định nghĩa: Ký hiệu X là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Becnulli với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Khi đó ta nói X có phân phối nhị thức với tham số n, p. Kí hiệu X~B(n;p) k k n k Ta có P(X = k) = Cn p (1 p) với k = 0, 1, , n. Ví dụ 1: Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 3 lần gieo. Lập bảng phân phối xác suất của X. Tính xác suất để trong 3 lần gieo có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp. Giải Coi việc gieo 3 lần đồng xu như tiến hành 3 phép thử Bernoulli với xác suất xuất hiện mặt sấp là p = 1/2. Vậy X~B(3;1/2) Bảng phân phối xác suất của X X 0 1 2 3 P 0,125 0,375 0,375 0,125 Xác suất trong 3 lần gieo có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp là: P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/2 Đặc biệt: Khi n =1 ( hay X~B(1;p) ) ta nói X có phân phối “không - một” và kí hiệu X ~ A(p). Bảng phân phối xác suất của BNN X ~ A(P). X 0 1 P 1-p p Nếu X ~ A(p) thì EX = p và VX = p(1-p) Định lý: Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) thì E(X) = np và V(X) = np(1-p) Chứng minh Gọi Xi là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử thứ i, i = 1,2 , n. Khi đó, Xi ~ B(0;1) và X = X1 + X2 + + Xn Vậy EX = E(X1 + X2 + + Xn) = np VX = V(X1 + X2 + + Xn) = np(1-p) 14
  16. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.2. Phân phối Poisson. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số > 0, kí hiệu X~P() nếu tập giá trị của nó X(Ω)={0;1;2; ;n; } và: k P(X k) e  k! Định lý: Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số  thì EX=VX= Bài toán dẫn đến phân phối Poisson Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t1; t2) thỏa 2 điều kiện: - Số lần xuất hiện của một biến cố A trong khoảng thời gian (t1;t2) không ảnh hưởng tới xác suất suất hiện biến cố A trong khoảng thời gian kế tiếp - Số lần xuất hiện của biến cố A trong khoảng thời gian tỉ lệ thuận tỉ lệ thuận với độ dài của khoảng đó. Khi đó X~P() với =c(t2-t1), c là cường độ xuất hiện A (số lần xuất hiện biến cố A trên một đơn vị thời gian). Ví dụ 2: Số xe máy cần qua trạm trung chuyển ở hầm Hải Vân là một biến ngẫu nhiên trung bình cứ 2 phút có 3 xe. Năng lực phục vụ của xe trung chuyển là 10 phút phục vụ được 20 xe. Tính xác suất có xe máy phải đợi hơn 10 phút mới được phụ vụ. Giải Số xe đến hầm trong 1 phút c = 3/2 =1,5.  = 1,5.10 = 15 Gọi X là số xe đến hầm trong 10 phút, ta có X ~ P(15) Xác suất có xe phải đợi hơn 10 phút là P(X>10)=1 – P(X≤10) = 3.3. Phân phối Chuẩn 3.3.1. Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn, ký hiệu là X~Ν(μ,σ2) nếu hàm mật độ của nó có dạng: (x  )2 1 2 f (x) e 2  2 Đặc biệt, nếu μ = 0 và σ2 = 1 thì BNN X gọi là BNN có phân phối chuẩn tắc, ký hiệu X~Ν(0;1). Khi đó hàm mật độ và hàm phân phối tương ứng có dạng: xt22x 11 f (x) e22 và F(x) e dt 22 15
  17. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Đồ thị: hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X~N(0;1) 3.3.2. Các định lí Định lí: Nếu X ~N(µ,σ2) thì EX = μ và VX = σ2 2 2 2 2 Định lí: Nếu X1~N(µ1,σ1 ) và X2 ~N(µ2,σ2 ) thì X1+X2 ~N(µ1+µ2,σ1 + σ2 ) (Xem [4] trang 100) 3.3.3. Tính xác suất của phân phối chuẩn TH1: X~N(0;1) Ta có P(a 30; np>5 và n(1-p)>5 ta xem X N(np;np(1-p)) 16
  18. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3.4. Phân phối khi bình phương Định nghĩa: BNN X gọi là có phân phối “khi bình phương” với n bậc tự do, kí hiệu X~χ2(n) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: 0 , khi x 0 xn 1 1 f (x) 22 n e .x ,khi x > 0 n 2.2  2 trong đó  (x) tx 1 e t dt là hàm Gamma 0 Đồ thị: hàm mật độ của BNN X~ χ2(10) Định lí: Nếu X1,X2, ,Xn là n BNN độc lập và có cùng phân phối chuẩn tắc thì n 2 2 XX  i ~ χ (n) i1 Định lí: Nếu X ~ χ2(n) thì EX = n và VX = 2n Định lí: Nếu X ~ χ2(n) thì X F N(n;2n) Tính toán xác xuất cho phân phối “Khi bình phương” cho trong bảng phụ lục 2 Ví dụ 3: Cho X~2(10). Tìm t biết P(X 30) ta xem X N(n;2n) 2 Chú ý: Trong MS-Excel ta có: α (k)=chinv(α,k) 3.5. Phân phối Student Định nghĩa : BNN X gọi là có phân phối Student với n bậc tự do (kí hiệu X~t(n)) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng : n n  2 2 x 2 f (x) 1 n1 n1 (n 1)  2 17
  19. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Đồ thị: hàm mật độ của BNN X~ t(10) X Định lí: Nếu X~N(0, 1) và Y~ 2(n) thì Z ~t(n) Y n Tính toán xác xuất cho phân phối student cho trong bảng phụ lục 3 Ví dụ 4: Cho X ~ t(12). Tìm t biết P(X<t)= 0,99 Chú ý: Trong MS-Excel ta có: tα(k) = Tinv(α,k) BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Câu 1: Một xạ thủ bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu, xác xuất trúng của mỗi viên là 0,6. Để phá hủy được mục tiêu cần phải bắn trúng ít nhất 3 viên, tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy. Câu 2: Trọng lượng sản phẩm X (đơn vị gam) do một máy tự động sản xuất ra có phân phối chuẩn X~N(100;2,56). Sản phẩm được coi là đạt kĩ thuật nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gam. a) Tìm tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kĩ thuật của nhà máy b) Cho máy sản suất 100 sản phẩm, tính xác suất có trên 90 sản phẩm đạt kĩ thuật. 18
  20. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Chương 4. LÝ THUYẾT MẪU 4.1. Đám đông, mẫu ngẫu nhiên 4.1.1. Đám đông, BNN của đám đông Đám đông là tập hợp tất cả các đối tượng cần nghiên cứu Dấu hiệu cần nghiên cứu thay đổi qua các phần tử của đám đông gọi là biến ngẫu nhiên của đám đông. Ví dụ: Nghiên cứu về trọng lượng của các lon sữa A trên thị trường ở TP Huế Đám đông là: Tập hợp các trên thị trường tại TP Huế Biến ngẫu nhiên: trọng lượng của các lon sữa 4.1.2. Mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể, thống kê Trong thực tế ta thường không thể nghiên của tất cả các phần tử của đám đông, để nghiên cứu các dấu hiệu của đám đông ta dùng phương pháp chọn mẫu. Mẫu là một bộ phận của đám đông phản ảnh được các tính chất của đám đông a) Mẫu ngẫu nhiên: là tập hợp n biến ngẫu nhiên (X1,X2 , Xn) độc lập có cùng luật phân phối với biến NN của đám đông b) Cách chọn mẫu ngẫu nhiên: Chọn ngẫu nhiên đơn giản, chọn mẫu theo nhóm, chọn theo ý kiến chuyên gia Chú ý: Trong trong môn học này ta chỉ xét cách chọn mẫu sao cho mỗi phần tử của đám đông đều có khả năng được chọn là như nhau c) Mẫu cụ thể: Giả sử Xi nhận giá trị là xi với i =1,2, ,n. Khi đó, (x1,x2, ,xn) gọi là một mẫu cụ thể kíc h thước n. d) Thống kê: Một hàm của mẫu ngẫu nhiên φ(X1,X2 , Xn) gọi là một thống kê 4.1.3. Cách trình bày mẫu ngẫu nhiên cụ thể Trường hợp 1: Mẫu nhỏ hoặc nhận ít giá trị ta dùng bảng phân phối tần số thực nghiệm dạng X a1 a2 ak Tần số n1 n2 nk trong đó, ai có ni giá trị với i = 1,2, ,k. Chú ý: n1+n2+ +nk=n. Đặt fi=ni/n ta có bảng PP tần suất X a1 a2 ak Tần suất f1 f2 fk Chú ý: f1+f2+ +fn=1 19
  21. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Trường hợp 2: Mẫu lớn và các giá trị phân tán ta dùng bảng phân phối ghép lớp dạng X b -b b -b b -b 0 1 1 2 k-1 k Tần số n n n 1 2 k k-1 k Chú ý: bi thuộc khoảng bi-1-bi . Chọn số khoảng k sao cho 2 <n<2 Ngoài ra ta có thể dùng các loại biểu đồ 4.2. Các đặc trưng mẫu Giả sử đám đông X có EX = μ, VX = σ2 và p là tỉ lệ các phần tử có tính chất A của đám đông. Cho (X1, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên kích thước n và (x1,x2, ,xn) là một mẫu cụ thể kích thước n. 4.2.1. Tỉ lệ mẫu a) Định nghĩa 1 n 1 n Tỉ lệ mẫu FX  i , tỉ lệ mẫu thực nghiệm fx  i n i1 n i1 b) Các số đặc trưng của tỉ lệ mẫu - Kì vọng EF = p p(1 p) - Phương sai VF n c) Phân phối xác suất của tỉ lệ mẫu p(1 p) - Khi n đủ lớn theo định lí giới hạn trung tâm ta có F N p, hay n Fp G n N(0;1) p(1 p) Fp - Trong thực hành khi n đủ lớn và p chưa biết ta xem:G n N(0;1) f (1 f ) 4.2.2. Trung bình mẫu a) Định nghĩa 1 n Trung bình mẫu: XX  i n i1 11n k k Trung bình mẫu thực nghiệm x  xi  a i n i  a i f i nni 1 i 1 i 1 Chú ý: Trường hợp dùng bảng phân phối tần số (suất) ghép lớp thì ai=(bi-1+bi)/2 20
  22. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa b) Các số đặc trưng - Kì vọng EX = μ - Phương sai V =σ2/n c) Phân phối xác suất của trung bình mẫu 2 2  X  - Trường hợp X ~ N( , ) thì X ~ N  , hay G n N(0;1) n  - Trường hợp n > 30 theo định lí giới hạn trung tâm ta có: XX   G n N(0;1) hay G n N(0;1)  s 4.2.3. Phương sai mẫu n 2 2 1 Phương sai mẫu : khi  biết: SX  i  n i1 n 2 2 1 khi  chưa biết: SXX  i n i1 4.2.4. Phương sai mẫu hiệu chỉnh, độ lệch tiêu chuẩn a) Định nghĩa n 2 2 1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh: SXX  i n1 i1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm: nk22 2 11 s  xi x n i a i x n 1i 1 n 1 i 1 Độ lệch tiêu chuẩn: ss 2 n 1 n Chú ý: s2 2 2 trong đó 22 x x xx  i n1 n i1 b) Số đặc trưng: ES2 = σ2 c) Phân phối xác suất của phương sai mẫu hiệu chỉnh n.S2 - Nếu và μ đã biết thì G  ~2 (n) 2 n1 - Nếu và μ chưa biết thì G S22 ~  (n 1) 2 X  Hệ quả: Nếu và σ2 chưa biết thì G n ~ t(n 1) S 21
  23. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Câu 1: Tỉ lệ phế phẩm của lô hàng là 5%. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của lô hàng nếu có từ 30 phế phẩm trở lên thì lô hàng không được phép xuất khẩu. Tính xác suất lô hàng được xuất khẩu. Câu 2: Kiểm tra trọng lượng của một nhóm sinh viên nam được kết quả như sau X (kg) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 Tần số 5 15 20 15 3 2 Tính trung bình mẫu thực nghiệm, phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm Câu 3: Thời gian của một cuộc điện thoại đường dài tại một tổng đài là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 8 phút, độ lệch tiêu chuẩn 2 phút. Chọn ngẫu nhiên một mẫu 25 cuộc điện thoại đường dài ở tổng đài a) Tìm độ lệch tiêu chuẩn của trung bình mẫu b) Tính xác suất để trung bình mẫu từ 7,8 đến 8,2 phút. 22
  24. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Chương 5. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 5.1. Khái niệm Giả sử khi nghiên cứu ĐLNN X và biết được phân phối của X thuộc một loại phân phối nào đó (chẳng hạn biết X có phân phối chuẩn hoặc biết X có phân phối Poisson, nhưng lại không biết các tham số). Muốn xác định hoàn toàn phân phối của X ta phải xác định được các giá trị tham số của phân phối đó. Chính vì vậy, việc đi tìm ước lượng cho các tham số của phân phối là cần thiết. 5.2. Ước lượng điểm 5.2.1. Khái niệm: Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) của ĐLNN X, giả sử θ là tham ẩn cần ước lượng. Khi đó ước lượng điểm của tham số θ là ĐLNN Tn = φ(X1, X2, , Xn) chỉ phụ thuộc vào (X1, X2, , Xn). 5.2.2. Các tiêu chuẩn ước lượng a) Ước lượng không chệch: Ước lượng Tn của tham số θ được gọi là ước lượng không chệch nếu ETn = θ Ta có F, X , S2 là ước lượng không chệch cho p, μ, σ2. b) Ước lượng vững: Ước lượng Tn của tham số θ được gọi là ước lượng vững nếu thỏa mãn điều kiện lim PTn   1,  0. n Ta có F, , S2 ước lượng vững cho p, μ, σ2. c) Ước lượng hiệu quả: Định nghĩa: Thống kê Tn gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai bé nhất trong các ước lượng không chệch của tham số . 1 Định lí: Nếu ETn = θ và VTn 2 thì Tn là ước lượng hiệu quả lnf (X, ) nE  của tham số . (xem [1] trang 129) Ta có F, , S2 là ước lượng hiệu quả cho p, μ, σ2. 5.3. Ước lượng khoảng: Khái niệm Khoảng (θ1, θ2) được gọi là khoảng ước lượng của θ với độ tin cậy 1 - α nếu P(θ1 < θ < θ2) = 1 - α. θ2- θ1=2ε : ε gọi là độ chính xác của khoảng tin cậy 23
  25. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Bài toán: Từ mẫu (x1,x2, ,xn) tìm khoảng (θ1; θ2) sao cho P(θ1 10 và n(1-f)>10) ta có Fp G n N(0;1) f (1 f ) Khoảng tin cậy đối xứng n = . ; f = . -1 Với độ tin cậy 1-α = α = tα/2 = φ (0,5-α/2) bảng phụ lục 1 f (1 f ) Độ chính xác ε = t /2 n Khoảng tin cậy (f-ε; f+ε) Ví dụ 1: Để ước lượng tỉ lệ người Việt Nam có nhóm máu O. Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 1000 người được kết quả có 360 người có nhóm máu O. a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỉ lệ người Việt Nam có nhóm máu O. b) Với tỉ lệ mẫu và độ tin cậy như câu a. Nếu muốn khoảng ước lượng có độ chính xác ε = 0,01 thì cần lấy mẫu gồm bao nhiêu người. Giải a) Ta có n = 1000 ; f = 0,36 ; 1 - = 0,95 => = 0,05 -1 -1 Mức phân vị t /2 = (0,5 - /2) = (0,475) = 1,96 f(1 f) 0,36.(1 0,36) Độ chính xác  t = 1,96 0,03 1000 2 n Khoảng tin cậy (f -  ; f +  ) = (0,33; 0,39) b) Ta có 2 ff(1 ) => nt 2  = 8851 Vậy cần chọn mẫu khoảng 8851 người 24
  26. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5.3.2. Ước lượng khoảng cho kỳ vọng Trường hơp:n > 30 X  - Nếu σ2 đã biết G n N(0;1)  X  - Nếu σ2 chưa biết G n N(0;1) s Trường hơp:n ≤ 30 X  - Nếu X ~ N( ,2 ) và σ2 đã biết thì G n ~ N(0;1)  X  - Nếu và σ2 chưa biết thì G n ~ t(n 1) S Các bước ước lượng đối xứng cho kì vọng 2 biết 2 chưa biết n > 30 n = ; 1 - = n = ; 1 - = Mức phân vị: t /2 = Mức phân vị: t /2 =  s Độ chính xác:  = t = Độ chính xác:  = t = 2 n 2 n Khoảng tin cậy: (x  ;x  ) = Khoảng tin cậy: = n ≤ 30 n = ; 1 - = n = ; 1 - = Mức phân vị: t /2 = Mức phân vị: t /2(n-1) = X có s phân Độ chính xác:  = = Độ chính xác:  = t (n 1). = n phối 2 chuẩn Khoảng tin cậy: = Khoảng tin cậy: = Ví dụ 2: Để ước lượng khối lượng trung bình của các bao gạo trong kho, người ta cân ngẫu nhiên 21 bao gạo trong kho được kết quả như sau: (đơn vị: kg) 50 48 49 48 50 51 50 49 50 51 50 52 51 51 50 51 50 49 51 50 49 a) Lập bảng phân phối tần số mẫu thực nghiệm, tính trung bình mẫu thực nghiệm, phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho khối lượng trung bình của các bao gạo trong kho. Biết khối lượng các bao gạo trong có phân phối chuẩn. Giải 25
  27. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa a) Bảng phân phối tần số mẫu thực nghiệm X 48 49 50 51 52 Tần số 2 4 8 6 1 1 x 48.2 49.4 50.8 51.6 52.1 50 21 1 52522 x2 48 2 .2 49 2 .4 50 2 .8 51 2 .6 52 2 .1 21 21 2221 52522 s 50 1,1 20 21 b) n = 21 = 0,05 Mức phân vị t0,025(20) = 2,0860 1,1 Độ chính xác  2,0860. = 0,4774 21 Khoảng tin cậy (49,5226; 50,4774) 5.3.3. Ước lượng khoảng cho phương sai nS2 - Nếu X ~ N( ,2 ) và μ đã biết thì G  ~2 (n) 2 n1 - Nếu và μ chưa biết thì G S22 ~  (n 1) 2 Các bước ước lượng cho phương sai X có phân phối chuẩn μ biết μ chưa biết n = n = 1 - = => = 1 - = => = 2 2 Mức phân vị:  (n) Mức phân vị:  (n 1) 2 2 2 2  (n)  (n 1) 1 1 2 2 Khoảng tin cậy Khoảng tin cậy ns22 ns (n 1)s22 (n 1)s ; ; 22 22  (n) (n)  (n 1)  (n 1) 1 1 22 22 26
  28. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Ví dụ 3: Tuổi thọ của một loại thiết bị A (đơn vị: tháng) có phân phối chuẩn, người ta điều tra ngẫu nhiên 15 thiết bị loại này được kết quả: 23 25 23 23 22 24 26 24 24 22 24 25 25 23 24 a) Tính trung bình mẫu thực nghiệm, phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Với độ tin cậy 98% hãy tìm khoảng tin cậy cho phương sai của tuổi thọ của loại thiết bị A. Giải a) Bảng phân phối tần số thực nghiệm X 22 23 24 25 26 Tần số 2 4 5 3 1 x = 23,8 x2 = 1703/3 s2 = 46/35 b) n = 15 Độ tin cậy 1 - = 0,98 => = 0,02 2 Mức phân vị (14) 29,1412 0,01 2 (14) 4,6604 1 0,01 46 46 2214. 14. (n 1)s (n 1)s Khoảng tin cậy: ; = 35 35 (0,63; 3,95). 22 ;  (n 1)  (n 1) 29,1412 4,6604 1 22 27
  29. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 5 Câu 1: Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của lô hàng thấy có 15 phế phẩm. Với độ tin cậy 98% hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của lô hàng. Câu 2: Tuổi thọ của một loại thiết bị A (đơn vị: tháng) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, người ta điều tra ngẫu nhiên tuổi thọ của 21 thiết bị loại này được kết quả: 34 34 35 35 34 36 35 33 34 33 36 35 35 36 37 35 36 36 35 36 35 a) Lập bảng phân phối tần số thực nghiệm, tính trung bình mẫu thực nghiệm, tính phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tuổi thọ trung bình của loại thiết bị A. c) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy cho phương sai của tuổi thọ của loại thiết bị A. Câu 3: Tuổi thọ của một loại thiết bị A (đơn vị: tháng) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, người ta điều tra ngẫu nhiên tuổi thọ của 40 thiết bị loại này được kết quả: 40 41 41 39 41 42 38 38 39 39 39 41 41 41 39 42 41 40 40 40 41 40 39 39 40 40 41 40 40 39 40 40 41 39 40 40 41 40 40 38 a) Lập bảng phân phối tần số thực nghiệm, tính trung bình mẫu thực nghiệm, tính phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tuổi thọ trung bình của loại thiết bị A. Câu 4: Một cửa hàng vật liệu xây dựng nhập xi măng từ cơ sở sản xuất A. Trọng lượng của các bao xi măng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên trọng lượng X(kg) của 20 bao xi măng từ lô hàng mới nhập về, thu được số liệu sau: X 49 - 49.5 49.5 - 50 50 – 50.5 50.5 - 51 Số bao 3 7 9 1 a) Tính trọng lượng trung bình và phương sai hiệu chỉnh của các bao xi măng trên. b) Với độ tin cậy 95%, tìm khoảng ước lượng đối xứng của trọng lượng trung bình của các bao xi măng. 28
  30. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 6.1. Khái niệm 6.1.1. Giả thuyết thống kê: Giả thuyết thống kê là giả thuyết nói về: - Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên gốc của đám đông như tỉ lệ f, trung bình μ, phương sai σ2. - Dạng quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên gốc của đám đông - Tính độc lập của đám đông. Trong chương trình của môn học này ta chỉ đề cập đến giả thuyết thống kê nói về các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên gốc của đám đông. 6.1.2 Các bước cần thiết để kiểm định một giả thuyết thống kê - Phát biểu giả thuyết H0:  =0 và đối thuyết H1:  (>, tα/2} + Khi H1: p > p0 miền bác bỏ Wα = { g > tα } + Khi H1: p < p0 miền bác bỏ Wα = { g <- tα } Ví dụ 1: Ở một nước, một đảng chính trị tuyên bố rằng 45% cử tri sẽ bỏ phiếu cho ông A là ứng cử viên của họ. Chọn ngẫu nhiên 200 người hỏi ý kiến có 80 người sẽ bầu cho ông A. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về tuyên bố trên. Giải Giả thuyết H0: p = 0,45, đối thuyết H1: p ≠ 0,45 29
  31. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Mức ý nghĩa = 0,05 => t /2 = 1,96. Miền bác bỏ Wα = {|g| > 1,96} fp 0 0,4 0,45 Ta có g = n = 200 = - 1,42 W p00 (1 p ) 0,45.(1 0,45) Vậy chưa đủ cơ sở để bác bỏ tuyên bố trên. 6.3. Kiểm định giả thuyết về trung bình của đám đông Bài toán: Giả sử μ là kì vọng (trung bình) của đám đông X, chưa biết. Với mức ý nghĩa α, kiểm định giả thuyết H0: μ = μ0 (μ0 đã biết) Khi H0 đúng ta sử dụng các tiêu chuẩn kiểm định G trong các trường hợp sau: 2 X  Trường hợp 1: n > 30, σ đã biết ta có G 0 n N(0;1)  + Khi H1: μ ≠ μ0 miền bác bỏ Wα = {|g| > tα/2} + Khi H1: μ > μ0 miền bác bỏ Wα = { g > tα } + Khi H1: μ 30, σ2 chưa biết: G 0 n N(0;1) s Miền bác bỏ như trường hợp 1 X  Trường hợp 3: n ≤ 30, X~N(µ,2) và σ2 đã biết thì G 0 n ~ N(0;1)  Miền bác bỏ như trường hợp 1 X  Trường hợp 4: n≤30, X ~ N( ,2 ) và σ2 chưa biết thì G 0 n ~ t(n 1) S + Khi H1: μ ≠ μ0 miền bác bỏ Wα = {|g| > tα/2(n-1)} + Khi H1: μ > μ0 miền bác bỏ Wα = { g > tα(n-1) } + Khi H1: μ t0,01(24) = 2,4922. Miền bác bỏ Wα = {g < - 2,4922} x 0 49,25 50 g = n = 25 = - 4,6296 W . Vậy nghi ngờ trên đúng. s 0,81 30
  32. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 6.4. Kiểm định giả thuyết về phương sai của đám đông Bài toán: Giả sử đám đông X có phân phối chuẩn N(μ,σ2) phương sai V(X)=σ2 2 2 2 chưa biết. Với mức ý nghĩa α, kiểm định giả thuyết H0: σ = σ0 (σ0 đã biết) 2 nS 2 - Nếu μ đã biết thì G 2 ~ (n) 0 2 2 2 2 + Khi H1:  ≠ 0 miền bác bỏ Wα = {g  (n)} 1 2 2 2 2 + Khi H1:  > miền bác bỏ Wα = { g >  (n) } 2 2 + Khi H1:  (n-1)} 2 + Khi H1:  > miền bác bỏ Wα = { g > (n-1) } 2 + Khi H1:  1,2. 2 Mức ý nghĩa = 0,05 =>  0,05(11) = 19,6751. Miền bác bỏ Wα = { g > 19,6751 } (n 1)s2 11.1,4773 g = 2 = = 13,5419 W . Chấp nhận H0 0 1,2 31
  33. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa BÀI TẬP CHƯƠNG 6 Câu 1: Lô hàng là đủ tiêu chuẩn xuất khẩu nếu tỉ lệ phế phẩm của nó không vượt quá 2%. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của lô hàng thấy có 15 phế phẩm. Với mức ý nghĩa 5% lô hàng có được xuất khẩu không? Câu 2: Trọng lượng của sản phẩm A (đơn vị: kg) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, người ta kiểm tra ngẫu nhiên trọng lượng của 21 sản phẩm này được kết quả: 35 35 34 36 34 34 35 33 36 35 35 33 34 36 36 36 35 36 37 35 35 a) Lập bảng phân phối tần số thực nghiệm, tính trung bình mẫu thực nghiệm, tính phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Trọng lượng trung bình của loại thiết bị A theo quy định là 36 kg, nghi ngờ trọng lượng trung bình của loại thiết bị A giảm so với quy định. Với mức ý nghĩa 1% hãy cho kết luận về nghi ngờ trên. c) Nghi ngờ về độ đồng đều về trọng lượng sản phẩm có xu hướng giảm sút so với quy định. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về nghi ngờ trên biết phương sai của trọng lượng sản phẩm A theo quy định là 1 (kg)2. Câu 3: Trọng lượng của các bao gạo là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình bình thường là 50kg. Nghi ngờ máy đóng bao gạo làm việc không bình thường làm cho trọng lượng trung bình của các bao gạo có xu hướng giảm sút. Người ta cân thử ngẫu nhiên 40 bao được khối lượng như sau: 49 50 49 48 50 51 48 49 50 50 50 49 49 50 49 48 50 51 49 49 50 49 50 49 48 50 50 50 51 50 51 48 49 49 50 51 48 49 50 50 a) Lập bảng phân phối tần số thực nghiệm, tính trung bình mẫu thực nghiệm, tính phương sai mẫu hiệu chỉnh thực nghiệm. b) Với mức ý nghĩa 1% hãy cho kết luận về nghi ngờ trên. Câu 4: Mức hao phí xăng của một loại ô tô chạy từ A đến B là một biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, có trung bình là 50 lít. Đoạn đường được xử lý lại, người ta cho rằng mức hao phí xăng trung bình giảm xuống. Quan sát ngẫu nhiên 50 ô tô cùng loại, người ta thu được số liệu sau Mức hao phí X 48,5 – 49 49 – 49,5 49,5 – 50 50 – 50,5 50,5 – 51 Số chuyến 5 15 15 10 5 Hãy kết luận về ý kiến trên với mức ý nghĩa 5%. 32
  34. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa x t2 1 Phụ lục 1: Hàm Laplace ()x e2 dt 2 0 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 x 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 (x) 0.49865010 0.49903240 0.49931286 0.49951658 0.49966307 x 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 (x) 0.49976737 0.49984089 0.49989220 0.49992765 0.49995190 x 4.0 4.5 5.0 (x) 0.49996833 0.49999660 0.49999971 33
  35. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 2 2 Phụ lục 2: X ~ (n) ; P(X >  ()n ))=α α n\α 0.995 0.99 0.975 0.95 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.00004 0.0002 0.0010 0.0039 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 5.9915 7.3778 9.2103 10.5966 3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 7.8147 9.3484 11.3449 12.8382 4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 9.4877 11.1433 13.2767 14.8603 5 0.4117 0.5543 0.8312 1.1455 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 12.5916 14.4494 16.8119 18.5476 7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777 8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 15.5073 17.5345 20.0902 21.9550 9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 16.9190 19.0228 21.6660 23.5894 10 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 18.3070 20.4832 23.2093 25.1882 11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 19.6751 21.9200 24.7250 26.7568 12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 21.0261 23.3367 26.2170 28.2995 13 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 22.3620 24.7356 27.6882 29.8195 14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 23.6848 26.1189 29.1412 31.3193 15 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 24.9958 27.4884 30.5779 32.8013 16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 26.2962 28.8454 31.9999 34.2672 17 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 27.5871 30.1910 33.4087 35.7185 18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 28.8693 31.5264 34.8053 37.1565 19 6.8440 7.6327 8.9065 10.1170 30.1435 32.8523 36.1909 38.5823 20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 31.4104 34.1696 37.5662 39.9968 21 8.0337 8.8972 10.2829 11.5913 32.6706 35.4789 38.9322 41.4011 22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 33.9244 36.7807 40.2894 42.7957 23 9.2604 10.1957 11.6886 13.0905 35.1725 38.0756 41.6384 44.1813 24 9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 36.4150 39.3641 42.9798 45.5585 25 10.5197 11.5240 13.1197 14.6114 37.6525 40.6465 44.3141 46.9279 26 11.1602 12.1981 13.8439 15.3792 38.8851 41.9232 45.6417 48.2899 27 11.8076 12.8785 14.5734 16.1514 40.1133 43.1945 46.9629 49.6449 28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 41.3371 44.4608 48.2782 50.9934 29 13.1211 14.2565 16.0471 17.7084 42.5570 45.7223 49.5879 52.3356 30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 43.7730 46.9792 50.8922 53.6720 34
  36. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa Phụ lục 3: X~t(n) ; P(X>tα(n)) = α α tα(n) n\α 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 1 63.6567 31.8205 15.8945 12.7062 6.3138 3.0777 2 9.9248 6.9646 4.8487 4.3027 2.9200 1.8856 3 5.8409 4.5407 3.4819 3.1824 2.3534 1.6377 4 4.6041 3.7469 2.9985 2.7764 2.1318 1.5332 5 4.0321 3.3649 2.7565 2.5706 2.0150 1.4759 6 3.7074 3.1427 2.6122 2.4469 1.9432 1.4398 7 3.4995 2.9980 2.5168 2.3646 1.8946 1.4149 8 3.3554 2.8965 2.4490 2.3060 1.8595 1.3968 9 3.2498 2.8214 2.3984 2.2622 1.8331 1.3830 10 3.1693 2.7638 2.3593 2.2281 1.8125 1.3722 11 3.1058 2.7181 2.3281 2.2010 1.7959 1.3634 12 3.0545 2.6810 2.3027 2.1788 1.7823 1.3562 13 3.0123 2.6503 2.2816 2.1604 1.7709 1.3502 14 2.9768 2.6245 2.2638 2.1448 1.7613 1.3450 15 2.9467 2.6025 2.2485 2.1314 1.7531 1.3406 16 2.9208 2.5835 2.2354 2.1199 1.7459 1.3368 17 2.8982 2.5669 2.2238 2.1098 1.7396 1.3334 18 2.8784 2.5524 2.2137 2.1009 1.7341 1.3304 19 2.8609 2.5395 2.2047 2.0930 1.7291 1.3277 20 2.8453 2.5280 2.1967 2.0860 1.7247 1.3253 21 2.8314 2.5176 2.1894 2.0796 1.7207 1.3232 22 2.8188 2.5083 2.1829 2.0739 1.7171 1.3212 23 2.8073 2.4999 2.1770 2.0687 1.7139 1.3195 24 2.7969 2.4922 2.1715 2.0639 1.7109 1.3178 25 2.7874 2.4851 2.1666 2.0595 1.7081 1.3163 26 2.7787 2.4786 2.1620 2.0555 1.7056 1.3150 27 2.7707 2.4727 2.1578 2.0518 1.7033 1.3137 28 2.7633 2.4671 2.1539 2.0484 1.7011 1.3125 29 2.7564 2.4620 2.1503 2.0452 1.6991 1.3114 30 2.7500 2.4573 2.1470 2.0423 1.6973 1.3104 35
  37. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục, 2004. 2. Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng, NXB Giáo dục, 2008. 3. Đặng Hùng Thắng, Thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục, 2008. 4. Đinh Văn Gắng, Bài tập xác suất và thống kê, NXB Giáo dục, 2003. 5. Nguyễn Văn Cao, Trần Thái Ninh, Giáo trình lí thuyết xác suất và thống kê toán, NXB Thống kê, Hà Nội, 2005. MỤC LỤC Trang Chương 1. Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất 1 Chương 2. Biến ngẫu nhiên 8 Chương 3. Các phân phối xác suất thường dùng 14 Chương 4. Lý thuyết mẫu 19 Chương 5. Lý thuyết ước lượng 23 Chương 6. Kiểm định giả thuyết thống kê 30 Phụ lục 1 33 Phụ lục 2 34 Phụ lục 3 35 Tài liệu tham khảo 36 36