›
›

Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến

ppt 37 trang ngocly 40 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_4_bien_ngau_nhien_hai_chi.ppt

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Nguyễn Văn Tiến

  1. Chương 4 Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1
  2. Yêu cầu • Phân phối lề • Phân phối và các đặc trưng cĩ điều kiện • Cov(X, Y) • Hệ số tương quan Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 2
  3. Khái niệm vectơ ngẫu nhiên • Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ cĩ thứ tự (X1, X2, ,Xn) với X1, X2, ,Xn là các biến ngẫu nhiên. • Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều ký hiệu là (X,Y) với X là biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y là biến ngẫu nhiên thứ 2. • Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là liên tục hay rời rạc. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 3
  4. Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y) • Là bộ cĩ thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu nhiên. • Nếu X và Y rời rạc ta cĩ bnn hai chiều rời rạc • Nếu X và Y liên tục ta cĩ bnn hai chiều liên tục • Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất phức tạp nên ta khơng xét trường hợp này. • Trong phần này ta chỉ xét biến hai chiều rời rạc (X,Y). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 4
  5. Hàm ppxs đồng thời • Cho biến ngẫu nhiên (X, Y) • Hàm ppxs của biến hai chiều (X,Y): F(x,y) Fxy( ,,,,) = PXxYy( )  xyR Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 5
  6. Tính chất iF)0,1 x y ( ) iiF), x( y ) không giảm theo từng biến. iiiFyF),,0 (− =− x ) = ( ) F (+ ,1 + ) = ivxxyy);Vớitacó:1212 P( xXxyYy1212 = , ) F( xyF22211211,,,, xyF) −−+( xyF xy) ( ) ( ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 6
  7. Chú ý Fx( ;,+ ) = PXxY( + ) = PXxFx( ) = X ( ) F(+ ;; yPX) =( + YyPYyFy ) =( ) = Y ( ) • Đây là các phân phối riêng của X và Y tương ứng. Chúng được gọi là phân phối biên duyên (phân phối lề) của biến hai chiều (X, Y). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 7
  8. Tính độc lập của các biến nn • Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị khác khơng ảnh hưởng đến phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên kia. • Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biến ngẫu nhiên (X,Y). Khi đĩ, X và Y độc lập khi và chỉ khi: F( x,. y) = FXY( x) F( y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 8
  9. Bảng ppxs của (X,Y) y1 y2 yj ym ∑ x1 p11 p12 p1j p1m p1● x2 p21 p22 p2j p2m p2● xi pi1 pi2 pij pim pi● xn pn1 pn2 pnj pnm pn● ∑ p●1 p●2 p●j P●m 1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 9
  10. Ppxs đồng thời của (X,Y) • Trong đĩ: i), pij= P( X = x i Y = y j ) nm ii)1 pij = ij==11 mn iii); pi••== p ij p j p ij ji==11 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 10
  11. Ppxs thành phần (phân phối lề) • Bảng phân phối xác suất của X: X x1 x2 xn P p1● p2● pn● • Bảng phân phối xác suất của Y: Y y1 y2 ym P p●1 p●2 p●m Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 11
  12. Ví dụ 1 • Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) cĩ bảng phân phối xác suất: Y X 1 2 3 1 0,10 0,25 0,10 2 0,15 0,05 0,35 • Tìm luật ppxs của các biến X và Y. • Tính F(2,3) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12
  13. Hai bnn độc lập • Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc lập nếu: PXxYy( =i, = j) = PXxPYy( = i) ( = j ) hay pij= p i•• p j • Dấu hiệu: • Hai hàng bất kỳ tỷ lệ. • Hai cột bất kỳ tỷ lệ. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13
  14. Ví dụ 2 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 • Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2) • Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y). Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14
  15. Ppxs cĩ điều kiện • Từ cơng thức điều kiện ta cĩ: P( X== xij, Y y ) pij P( X= xij Y = y) = =, i = 1, n P( Y= y j ) p• j P( X== xij, Y y ) pij P( Y= yji X = x) = =, j = 1, m P( X= xii) p • Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15
  16. Bảng ppxs điều kiện 1 • PPXS của X với điều kiện Y=yj X x12xx n p1 j p2 j p nj P( X== xij Y y ) p•••jjppj • Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj 1 E( X Y= yj) =( x1 p 1 j + x 2 p 2 j + + x n p nj ) p• j Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 16
  17. Bảng ppxs điều kiện 2 • PPXS của Y với điều kiện X=xi Y y1 y2 ym pi1 p i2 p im PY( ==yji X x ) . ppi••• ip i • Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi 1 E( Y X= xi) =( y1 p i 1 + y 2 p i 2 + + y m p im ) pi• Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17
  18. Ví dụ 3 • Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau: Y X 1 2 3 6 0,10 0,05 0,15 7 0,05 0,15 0,10 8 0,10 0,20 0,10 • Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)? • Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)? Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18
  19. Ví dụ 4 • Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y (triệu đồng) của một cơng ty cĩ bảng ppxs đồng thời như sau: Y 500 700 900 X (400-600) (600-800) (800-1000) 30 0,10 0,05 0 50 0,15 0,20 0,05 80 0,05 0,05 0,35 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19
  20. Ví dụ 4 • Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu? A. 60,5 B. 48,3333 C. 51,6667 D. 76,25 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20
  21. Các tham số đặc trưng của bnn • Kỳ vọng • Phương sai • Hệ số tương quan • Hiệp phương sai Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21
  22. Kỳ vọng của X • Bảng phân phối xác suất của X: X x1 x2 xn P p1● p2● pn● n E( X) = xi. P( X = x i) = x i p1• = X ii=1 E( X) =  xi pij ij Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22
  23. Kỳ vọng của Y • Bảng phân phối xác suất của Y: Y y1 y2 ym P p●1 p●2 p●m m E( Y) = yj. P( Y = y j) = y j p• j = Y jj=1 E( Y) =  yj pij ji Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23
  24. Kỳ vọng của hàm theo X,Y • Cho X,Y cĩ phân phối đã biết. Đặt Z=g(X,Y) là biến mới. • Ta cĩ: EgXY( ( ,,,)) = gxyPXxYy( i j) ( = i = j ) ij E( g( X,, Y)) =  g( xi y j) p ij ij Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24
  25. Ví dụ • Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 EZEXY( ) =( +) =(0 + 0) .0,1 +( 0 + 1) .0,2 +(0 + 2) .0,3 +( 1 + 0) .0,05 +( 1 + 1) .0,15 +(1 + 2) .0,2 = 1,75 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25
  26. Phương sai của X, Y • Được tính như đối với biến ngẫu nhiên một chiều. • Sử dụng bảng phân phối xác suất lề của X, Y. 2 2 2 VXEXEXEX( ) =( −( )) =( ) − (X ) 2 2 2 VXEYEYEY( ) =( −( )) =( ) − (Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26
  27. Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng tốn của tích các sai lệch của các bnn đĩ và kỳ vọng tốn của chúng. cov( XYEXY , ) =( −XY)( − ) cov( X , Y) =− E( XY ) XY Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27
  28. Tính chất Covariance 1 1) cov( XYYX ,) = cov( , ) 2)cov( XXVX , ) = ( ) 3) cov( XXYXYXY+ ',) = cov( ,) + cov( ', ) 4)cov(kX , Y) = k cov( X , Y ) 5)cov(aX+ c , bY + d) = ab cov( X , Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28
  29. Tính chất Covariance 2 6)Nếu X và Y độc lập thì cov( XY ,) = 0, ngược lại không chắc đúng. 7)VXYVX( +) =( ) +VYX( ) + 2cov( ,Y ) 8) V( aX bY) = a2 V( X) + b2 V( Y) 2 ab cov( X, Y ) 2 9) cov( XY, ) VXVY( ). ( ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 29
  30. Hệ số tương quan • Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu và định nghĩa bởi cơng thức: cov( XY , ) XY, = XY • Hệ số tương quan cịn ký hiệu là: ( X,;, Y) r( X Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30
  31. Tính chất i)− 1 XY, 1 với mọi X, Y. ii)Nếu X và Y độc lập thì XY, = 0. XY, nếu ab>0 iii) aX++ c, bY d = − XY, nếu ab 0 XY, = −1 nếu a<0 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31
  32. Ý nghĩa • Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y. • Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng chặt. • Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến tính càng yếu. • Khi ρX,Y = 0 ta nĩi X và Y khơng tương quan. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32
  33. Hàm hồi qui của X đối với Y • Kỳ vọng cĩ điều kiện: E( X Y= y) là một hàm theo y, được gọi là hàm hồi quy của X đối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ Decartes gọi là đường hồi quy. Chú ý: y y12, y , , ym Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33
  34. Hàm hồi qui của Y đối với X • Kỳ vọng cĩ điều kiện: E( Y X= x) là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Y đối với X. Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy. Chú ý: x x12, x , , xn Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 34
  35. Bài tập • 1. Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp cĩ 3 bi đỏ, 2 bi vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bị đỏ và số bi vàng cĩ trong 2 bi lấy ra. • A) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y • B) Tính P(X+Y<2) • C) Tìm phân phối xác suất biên (phân phối lề) của X và Y. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 35
  36. Bài tập • 2. Cho bnn rời rạc X, Y cĩ phân phối xác suất đồng thời như sau: Y 1 2 3 X 4 0,10 0,15 0,1 5 0,25 0,20 0,2 • Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 36
  37. Bài tập • 3. Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %) cĩ ppxs đồng thời như sau: Y -2 5 10 X - 1 0,10 0,05 0 4 0,15 0,20 0,05 8 0,05 0,05 0,35 • A) Tính Cov(A,Y) • B) Tìm tỉ lệ đầu tư vào A, B để thu nhập hàng năm ít rủi ro nhất Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 37