›
›

Bài giảng Vật lý hạt cơ bản

pdf 54 trang ngocly 2330
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Vật lý hạt cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_vat_ly_hat_co_ban.pdf

Nội dung text: Bài giảng Vật lý hạt cơ bản

  1. LỜI GIỚI THIỆU Bài giảng Vật lý hạt cơ bản được biên soạn cho các Sinh viên ngành Sư phạm Vật lý năm thứ 4 trường Đại học Cần Thơ. Vật lý hạt cơ bản là môn học nghiên cứu về các hạt nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất và tương tác giữa chúng. Cấu trúc của bài giảng được bố trí như sau: Chương 1 giới thiệu về lịch sử phát hiện, phân loại các hạt cơ bản, và các nhóm đa tuyến. Chương 2 giới thiệu về các trường lượng tử tự do là trường ứng với các hạt tự do thông qua các toán tử sinh, huỷ hạt Chương 3 giúp sinh viên có một cái nhìn ban đầu về tương tác giữa các hạt thông qua các khái niệm về Lagrangian tương tác, ma trận tán xạ, Chương 4 trình bày lí thuyết trường gauge, khảo sát sự phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs để xây dựng một trường gauge có khối lượng mô tả quá trình tương tác yếu. Chương 5 giới thiệu mô hình Weinberg-Sallam thống nhất tương tác điện từ-yếu, lí thuyết thống nhất lớn, lí thuyết dây, lí thuyết M trong xu hướng thống nhất cả 4 loại tương tác: điện-từ, yếu, mạnh và hấp dẫn. Phần Bài tập giúp sinh viên có được kĩ năng tính toán cũng như củng cố lại các kiến thức đã được học. Thời gian giảng dạy môn học là 30 tiết (2 đơn vị học trình) nên để có thể nắm được các vấn đề tốt trên lớp, sinh viên cần phải đọc bài giảng trước ở nhà và tham khảo các tài liệu có liên quan đến bài giảng. Bài giảng chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên về nội dung cũng như cách trình bày của bài giảng. Cần Thơ, tháng 09 năm 2007 Huỳnh Anh Huy i
  2. Mục lục Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 1 1.1 MỞĐẦU 1 1.2 PHÂN LOẠI CÁC HẠT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HẠT CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 CÁC ĐA TUYẾN SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 CÁC ĐA TUYẾN SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 16 2.1 CƠ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON . . . . . . . . . . . 16 2.2 HÌNH THỨC LUẬN LAGRANGE TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT . . 18 2.3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 ĐỊNH LÍ NO¨ETHER’S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.6 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7 TRƯỜNG VECTƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 TRƯỜNG SPINƠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 33 3.1 LAGRANGIAN TƯƠNG TÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 MA TRẬN TÁN XẠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 ĐỊNH LÝ WICK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 GIẢN ĐỒ FEYNMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 4. LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE 41 4.1 TRƯỜNG GAUGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT - CƠ CHẾ HIGGS . . . . . . . . . . . . 43 ii
  3. Mục lục iii Chương 5. MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 45 5.1 TƯƠNG TÁC YẾU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 TƯƠNG TÁC ĐIỆN TỪ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 MÔ HÌNH THỐNG NHẤT WEINBERG SALLAM . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.4 PHƯƠNG HƯỚNG THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo 52
  4. Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN Trong chương này ta điểm qua những phần chính của vật lý hạt cơ bản. 1.1 MỞ ĐẦU a. Vài nét về lịch sử Hạt cơ bản đầu tiên được tìm thấy là electron e− (Thomson, 1897): sau khi nghiên cứu kĩ tính chất của tia âm cực. Thomson đã khẳng định rằng tia này chính là chùm các hạt mang điện tích âm giống nhau - đó là các hạt e−. Trước đó, vào năm 1900 Planck khi nghiên cứu hiện tượng bức xạ của vật đen tuyệt đối đã đưa ra khái niệm lượng tử ánh sáng (sau này được gọi là photon γ), và vào năm 1905 Einstein đã vận dụng khái niệm này và giải thích thành công hiệu ứng quang điện. Thí nghiệm trực tiếp chứng tỏ sự tồn tại của photon đã được tiến hành bởi Millikan vào những năm 1912-1915 và Compton vào năm 1922. Năm 1911 Rutherford đã khám phá ra hạt nhân nguyên tử và sau đó (năm 1919) đã tìm thấy trong thành phần hạt nhân có hạt proton p với khối lượng bằng 1840 lần khối lượng electron, và điện tích dương về mặt trị số đúng bằng điện tích electron. Thành phần khác của hạt nhân, hạt neutron n, được Heisenberg và Ivanenko đề xuất trên lí thuyết và đã được Chadwick tìm thấy trong thực nghiệm tương tác của hạt α với nguyên tố Be vào năm 1932. Hạt n có khối lượng gần bằng hạt p, nhưng không mang điện tích. Bằng việc phát hiện ra hạt neutron n các nhà vật lý đã hoàn thành việc khám phá ra các thành phần cấu tạo nên nguyên tử và do đó cấu tạo nên thế giới vật chất. Cũng cần nói thêm là trong vật lý hạt cơ bản, với tư cách là một chuyên ngành độc lập trong vật lý học, được người ta xem như bắt đầu không phải từ lúc phát hiện ra e− mà là từ việc phát hiện ra hạt neutron n. Năm 1930 để giải thích sự hao hụt năng lượng trong hiện tượng phân rã β, Pauli đã giả thiết sự tồn tại của hạt neutrino ν, hạt này mãi đến năm 1953 mới thực sự được tìm thấy (Reines, Cowan). Hạt neutrino không có khối lượng, không điện tích và tương tác rất yếu với vật chất. Từ những năm 30 đến đầu những năm 50 việc nghiên cứu hạt cơ bản liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu tia vũ trụ. Năm 1932, trong thành phần của tia vũ trụ Anderson đã phát 1
  5. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 2 hiện ra hạt positron e+, là phản hạt của electron e− và là phản hạt đầu tiên được tìm thấy trong thực nghiệm. Sự tồn tại của positron e+ đã được tiên đoán bằng lí thuyết bởi Dirac trước đó ít lâu, trong những năm 1928-1931. Năm 1936 Anderson và Neddermeyer đã tìm thấy trong tia vũ trụ các hạt µ±, có khối lượng lớn hơn khối lượng electron khoảng 200 lần, nhưng lại rất giống e−, e+ về các tính chất khác. Năm 1947 cũng trong tia vũ trụ nhóm nghiên cứu của Powell đã phát hiện ra các hạt meson π±, có khối lượng khoảng 274 lần khối lượng electron. Hạt π có một vai trò đặc biệt quan trọng trong tương tác giữa các nuclon (proton, neutron) trong hạt nhân nguyên tử và đã được Yukawa tiên đoán bằng lí thuyết từ năm 1935. Cuối những năm 40 - đầu những năm 50 là giai đoạn phát hiện ra các hạt lạ, những hạt đầu tiên (meson K±, hạt λ) được tìm thấy trong tia vũ trụ, còn những hạt tiếp theo được tìm trong các máy gia tốc, là kết quả các quá trình tán xạ (va chạm) của các hạt p hay e− ở năng lượng cao. Từ những năm 50 trở đi các máy gia tốc là công cụ chính để nghiên cứu hạt cơ bản. Ngày nay năng lượng đạt được đã lên đến hàng trăm GeV, và trong tương lai không xa, hàng ngàn GeV (tức hàng TeV) Máy gia tốc proton p với hạt nặng vài GeV đã giúp khám phá ra các phản hạt nặng: phản proton (năm 1955), phản neutron (năm 1956), phản sigma (năm 1960), v.v Năm 1964 người ta phát hiện ra hạt hyperon nặng nhất: hạt omega Ω−, với khối lượng gần gấp đôi khối lượng hạt proton. Trong những năm 60 người ta còn khám phá ra rất nhiều hạt không bền gọi là các hạt cộng hưởng, với khối lượng hầu hết lớn hơn khối lượng proton. Đại bộ phận các hạt cơ bản biết được hiện nay (vào khoảng 350 hạt) là các hạt cộng hưởng. Vào năm 1962 người ta phát hiện 2 loại hạt neutrino khác nhau: loại đi kèm với electron νE và loại đi kèm với hạt µ là νµ. Năm 1974 hai nhóm nghiên cứu riêng rẽ do Tinh và Richter lãnh đạo tìm thấy hạt J/ψ, có khối lượng khoảng 3-4 lần khối lượng proton và thời gian sống đặc biệt lớn hơn hạt cộng hưởng. Hạt này mở đầu cho một họ hạt mới - các hạt duyên - được phát hiện lần lượt kể từ năm 1976. Năm 1977, lại một hạt mới nữa, hạt upsilon Υ, với khối lượng bằng cả chục lần khối lượng proton, khởi đầu cho họ các hạt đẹp được tìm thấy từ năm 1981. Trước đó, vào năm 1975 người ta đã tìm thấy hạt τ, với tính chất rất giống hạt e, µ nhưng khối lượng lớn hơn nhiều. Sau đó ít lâu, loại neutrino thứ ba đi với nó, hạt ντ . Mới đây nhất, vào năm 1983 tại phòng thí nghiệm CERN người ta đã tìm thấy các hạt boson vector trung gian W ±, Z dự kiến bởi lí thuyết trước đó ít lâu. Các hạt này có vai trò tương tự hạt photon γ, nhưng lại có khối lượng rất lớn, gấp cả trăm lần khối lượng proton. b. Các kí hiệu Toạ độ không thời gian: xµ = (x0, x1, x2, x3) x0 = ct; x1 = x; x2 = y; x3 = z. Các chỉ số trên và chỉ số dưới của tọa độ không thời gian liên hệ với nhau theo công thức: µ µν ν x = η xν, và xµ = ηµνx µν với η = ηµν là tensor metric không - thời gian nhận các giá trị:
  6. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 3 η00 = 1; η11 = η22 = η33 = −1; và ηµν = 0 (µ 6= ν)  1, với µ = ν, ηµν.η = δµ = µν ν 0, với µ 6= ν, Vector 3 chiều k được viết đậm: ~k = k µν Tích vô hướng: x.y = η xµyν = x0y0 − xy Các chỉ số được lặp lại được hiểu là lấy tổng theo chúng. Đạo hàm được viết tắt như sau: ∂ϕa ∂ ∂ µ µ µ = ∂µϕa, µ = ∂µ, = ∂ ,  = ∂ ∂µ ∂x ∂x ∂xµ c. Biến đổi Lorentz đồng nhất Theo thuyết tương đối, tất cả các đại lượng vật lý phải tương tự nhau, liên quan với nhau qua phép biến đổi Lorentz được định nghĩa như sau: 0 ν xµ = Λµ xν, với detΛ = ±1. (1.1) trong đó  0 1 2 3  Λ0 Λ0 Λ0 Λ0 0 1 2 3  Λ1 Λ1 Λ1 Λ1  Λ =  0 1 2 3  ,  Λ2 Λ2 Λ2 Λ2  0 1 2 3 Λ3 Λ3 Λ3 Λ3 d. Lượng tử hóa lần thứ nhất và lượng tử hóa lần thứ hai Sự lượng tử hoá lần thứ nhất: chuyển từ cơ học cổ điển sang cơ học lượng tử ("Hạt"→ "sóng") bằng cách thay thế các đại lượng vật lí thành các toán tử tuyến tính tự liên hợp thoả mãn các hệ thức bất định; trạng thái của hạt được mô tả bằng hàm sóng thoả phương trình Schr¨odinger. ∗ Những thiếu sót: - Chưa đáp ứng yêu cầu của Thuyết tương đối: Các quá trình vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính liên hệ với nhau qua phép biến đổi Lorentz. Thời gian t và không gian r đóng vai trò bình đẳng trong thuyết tương đối nhưng không bình đẳng trong phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử: ∂ψ(r, t) i = Hψˆ (r, t), (1.2) ~ ∂t 2 với Haminton Hˆ = − ~ ∆ + V (r, t). 2m
  7. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 4 - Tính "hạt" đưa vào lí thuyết một cách hiện tượng luận: bình phương hàm sóng tại một điểm tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt tại điểm đó ở thời điểm đã cho. Cơ học lượng tử không đủ khả năng mô tả các hạt chuyển hoá cho nhau (sinh hạt, huỷ hạt) vì cho rằng các hạt bảo toàn. Do đó, cần xây dựng lí thuyết mới diễn tả được đồng thời hai tính chất "hạt" và "sóng", mô tả quá trình hạt sinh ra và mất đi. Sự lượng tử hoá lần thứ hai: thay thế trạng thái diễn tả hàm sóng thành các toán tử, kết quả là trong sóng xuất hiện tính "hạt", tính gián đoạn, xuất hiện các hiện tượng sinh, huỷ hạt. Mỗi hạt tương ứng với một trường, mỗi trường được mô tả bởi một hàm phụ thuộc vào toạ độ không thời gian gọi là hàm trường. 1.2 PHÂN LOẠI CÁC HẠT CƠ BẢN Hạt cơ bản là những hạt nhỏ nhất không thể phân chia được. Dựa theo tương tác mà trước đây người ta phân loại các hạt theo hằng số tương tác. Có 4 loại tương tác cơ bản: - Tương tác mạnh (tương tác giữa các nuclon trong hạt nhân) với hằng số tương tác αs ∼ 1 - Tương tác điện từ với hằng số tinh tế αem ∼ 1/137 10−5 - Tương tác yếu với hằng số tương tác Fermi GF ∼ 2 Mp - Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua graviton với hằng số hấp dẫn Newton GN ∼ 5.9 × 10−39 2 . Tất cả các hạt có khối lượng đều tham gia tương tác này. Do khối lượng Mp các hạt cơ bản quá nhỏ nên lực hấp dẫn không đáng kể và được coi như một vấn đề riêng biệt. • Phân loại: + Hạt vật chất: - Hadron: tham gia tương tác mạnh là chủ yếu gồm 2 loại: Baryon (đây là các hạt Fermion: p, n, Σ, Ξ, Λ, ) và Meson (là các hạt boson: π0, π±, η, các kaon, ) - Lepton: không tham gia tương tác mạnh, chỉ tham gia tương tác yếu, điện từ, hấp dẫn ± ± ± gồm hai loại: Lepton mang điện (e ,µ ,τ ) và Lepton trung tính (neutrino νe, νµ, ντ ) chỉ tham gia tương tác yếu.
  8. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 5 ± 0 + Hạt trường: truyền tương tác gồm: Gµ, Wµ ,Z , Aµ, gµν Tuy nhiên, trong vật lý hạt cơ bản, phân loại các trường quan trọng nhất là phân loại theo spin. Các hạt có spin nguyên tuân theo thống kê Bose-Einstein gọi là các Boson. Các hạt có spin bán nguyên tuân theo thống kê Fermi-Dirac gọi là các Fermion. Chú ý rằng tất cả các hạt có spin cùng loại có dạng Lagrangian tự do (sẽ nói ở mục sau) giống nhau và như vậy sẽ có hàm truyền với dạng cũng giống nhau. Dưới đây là một vài loại trường thông dụng trong vật lý hạt cơ bản hiện đại: a. Trường vô hướng (spin=0) Trường vô hướng được mô tả bằng hàm φ(x) bất biến với phép đảo toạ độ không gian: 0 φ(x) → φ (x) = φ(x0, −x) = φ(x0, x). (1.3) - Trường vô hướng thực mô tả hạt vô hướng trung hoà - không mang điện. Đó là các hạt σ trong mẫu Weinberg-Salam (WS), các hạt π0,K0, - Trường vô hướng phức mô tả hạt vô hướng mang điện: π±,K±, b. Trường vector (spin=1) Trường vector có bốn thành phần ϕµ(x) thoả quy luật biến đổi: 0 ν ϕµ(x) → ϕµ(x) = Λµ.ϕν(x). (1.4) Từ (1.4), ta có quy luật biến đổi các thành phần: ϕ0(x0, −x) = ϕ0(x0, x) ϕi(x0, −x) = −ϕi(x0, x) Các hạt truyền tương tác như photon, W ±,Z thuộc trường loại này. c. Trường spinor (spin=1/2) Trường spinor có bốn thành phần được mô tả bởi spinor Dirac ψα(x) còn có tên gọi fermion vì tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Đây chính là các trường vật chất. Các spinor gồm: e±, ± ± ± 0 − νe, µ , νµ, τ , ντ , các hạt quark và các hạt thuộc bát tuyến SU(2) như p, n, Σ , Σ, Ξ , Ξ , Λ, thoả quy luật: i β  − ωµν P  0 0 µν ψα(x) → ψα(x ) = e 4 ψβ(x), (1.5) α với ωµν là các thông số biến đổi và
  9. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 6 X i = [γ γ − γ γ ]. (1.6) 2 µ ν ν µ µν Ở đây, γµ là các ma trận Dirac:  1 0 0 0   0 0 0 1   0 1 0 0   0 0 1 0  γ0 =   ; γ1 =   ;  0 0 −1 0   0 −1 0 0  0 0 0 −1 −1 0 0 0  0 0 0 −i   0 0 1 0   0 0 i 0   0 0 0 −1  γ2 =   ; γ3 =   ; (1.7)  0 i 0 0   −1 0 0 0  −i 0 0 0 0 1 0 0 Tuân theo các tính chất: + + 2 2 γ0 = γ0; γi = −γi; γ0 = 1; γi = −1; {γµ, γν} = 2ηµν (1.8) d. Trường với spin=2 Được mô tả bởi tensor hµν(x). Graviton có khối lượng bằng 0, hạt truyền tương tác hấp dẫn là trường có spin = 2. Trong vật lý hạt cơ bản, chúng ta chủ yếu làm việc với các trường có spin nhỏ như vô hướng, vector và spinor. 1.3 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HẠT CƠ BẢN Các lepton chỉ tham gia tương tác yếu và tương tác điện từ (những hạt mang điện). Người ta gọi là tương tác yếu hoặc mạnh do lực tương tác. Trên thực tế điều này biểu hiện bằng thời gian sống: Dưới tác dụng của tương tác, các hạt sẽ phân rã và nếu tương tác càng mạnh −10 thì thời gian sống càng nhỏ: Thời gian sống của tương tác yếu τW > 10 s (rất lâu), trong −23 khi đó thời gian sống của tương tác mạnh τs < 10 s. Proton phân rã theo tương tác siêu yếu ∼ 1030 năm. Các quá trình rã chủ yếu do tương tác yếu và được phân thành 2 loại chính: • Các quá trình lepton thuần tuý − − µ → e + νee + νeµ − − νe + e → e + νe Các quá trình lepton thuần túy rất đơn giản. Nếu có các hadron tham gian phải có tương tác mạnh và vấn đề trở nên phức tạp ở vùng năng lượng thấp. Với việc xây dựng các máy gia tốc năng lượng cao, trong những năm gần đây, người ta càng nghiên cứu ngày càng nhiều τ lepton với các mode rã thuần túy lepton.
  10. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 7 • Các quá trình có hadron tham gia + Rã lepton: meson → lepton − − π → e + νee, − − π → µ + νeµ, + + K → e + νe, + + K → µ + νµ, + Rã bán lepton: hadron → hadron + lepton − n → p + e + νee, + 0 + π → π + e + νe, + 0 + K → π + e + νe, Một số quá trình tán xạ nhưng người ta cũng ghép vào loại này. Ví dụ: − νe + n → e + p, − µ + p → νµ + n + Rã không lepton: hadron → hadron K+ → π+ + π0, Σ+ → p + π0, Σ+ → n + π+, Để giải thích các quá trình nêu trên, người ta đưa ra các số lượng tử: B, L, S, Y, I, I3 a. Barion tích Để mô tả các quá trình có barion tham gia, người ta đưa một số lượng tử mới là số Barion B. Số Barion của các hạt barion đều bằng 1 (n, p, λ, Σ, Ξ, ) của các phản hạt của chúng (n,e p,e λ,e Σe, Ξe, ) thì B đều bằng -1. Các quá trình trên đều tuân theo định luật bảo toàn số barion tích: Trong các quá trình biến đổi, tổng đại số các Barion không đổi (∆B = 0)
  11. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 8 b. Isospin Ta biết rằng tương tác giữa các nuclôn trong hạt nhân có một đặc tính là không phụ thuộc điện tích. Cụ thể tương tác giữa p ↔ p, n ↔ n, p ↔ n là như nhau (nếu các nuclôn đó ở những trạng thái như nhau). Nói cách khác, trong tương tác hạt nhân hai hạt p và n là không phân biệt. Người ta cho rằng khối lượng của p khác khối lượng của n là do p có mang điện tích nghĩa là do tương tác điện từ tạo ra sự khác biệt. Như vậy, trong tương tác hạt nhân, người ta có thể coi p và n là hai trạng thái của cùng một hạt, tức là nuclôn (N). Nếu không để ý đến tương tác điện từ thì hai trạng thái đó tương ứng với cùng một khối lượng, do đó cùng một năng lượng. Nếu để ý đến tương tác điện từ thì hai trạng thái đó tương ứng với hai khối lượng khác nhau chút ít, do đó tương ứng với hai mức năng lượng gần nhau. Ta có thể so sánh tính chất này với tính chất của electron trong nguyên tử. Nếu không để ý đến spin thì mỗi trạng thái electron trong nguyên tử tương ứng với cùng một mức năng lượng, nếu để ý đến spin thì mức năng lượng đó tách thành 2 mức gần nhau,tương ứng với hai trạng thái electron khác nhau về sự định hướng của mômen spin (s = +~ và s = −~). Đối với nuclon để tiện tính toán, người ta cũng đưa ra một đại lượng z 2 z 2 gọi là Isospin I. Ta đã biết nếu hệ có spin thông thường là s thì hệ có 2s + 1 trạng thái ứng với các hình chiếu khác nhau của spin. Tương tự nếu hệ có Isospin I thì hệ sẽ có 2I + 1 trạng thái ứng với giá trị khác nhau của Isospin trên một trục z nào đó. Thành thử khái niệm Isospin cho phép ta mô tả các trạng thái điện khác nhau của cùng 1 một hạt. Thí dụ nuclon có 2 trạng thái điện nghĩa là 2I + 1 = 2, do đó I = , p và n là 2 2 trạng thái khác của nuclon khác nhau về hình chiếu I3 của Isospin. Cụ thể là: 1 • p có I = + 3 2 1 • n có I = − 3 2 Đối với các hadron, GellMann-Nishijima đã đưa ra công thức sau đây, liên hệ giữa điện tích Q, hình chiếu Isospin I3, số lạ S và số Barion B của mỗi hạt: Y (B + S) Q = I + = I + (1.9) 3 2 3 2 ở đây, Y = B + S được gọi là siêu tích, Q là điện tích tính theo đơn vị e. Thí dụ đối với proton: 1 1 + 0 Q = + = 1 2 2 1 1 + 0 đối với neutron: Q = − + = 0 2 2
  12. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 9 c. Số lạ Trong thực nghiệm, các meson K và các barion λ, Σ, Ξ và Ω (nhóm này tạo thành các hyperon) bao giờ cũng được tạo thành từng cặp trong tương tác mạnh gọi là hiện tượng tạo cặp liên hợp Tuy nhiên, các hạt tạo thành này có thời gian sống lớn (> 10−23s) chúng không phân huỷ bằng tương tác mạnh mà đặc trưng cho tương tác yếu. Sự thiếu thuận nghịch này cùng với một số tính chất mới lạ khác, mà các hạt hyperon này có tên là những hạt lạ và đặc trưng bởi lượng tử số lạ S Người ta tính số lạ bằng cách lấy 2 lần giá trị điện tích trung bình trong một đa tuyến rồi trừ đi cho số barion: S = 2Q¯ − B (1.10) Những hadron nào có S 6= 0 đều được gọi là hadron lạ. Số lạ S chỉ bảo toàn trong tương tác mạnh và tương tác điện từ, không bảo toàn trong tương tác yếu. d. Lepton tích Gán cho các lepton một số lượng tử L gọi là số lepton: − − − • L = 1 cho tất cả các lepton e , νe, µ , νµ, τ , ντ + + + • L = −1 cho tất cả các phản lepton e , νee, µ , νeµ, τ , νeτ thì trong tất cả các quá trình số lepton được bảo toàn. Nghĩa là hiệu của số lepton ở trạng thái đầu Li và trạng thái cuối Lf triệt tiêu: 4L = Lf − Li = 0 Nếu ta gán 3 loại lepton La, a = e, µ, τ được gọi là số lepton thế hệ: Lepton Le Lµ Lτ − e ; νe +1 0 0 − µ ; νµ 0 +1 0 − τ ; ντ 0 0 +1 Thực nghiệm cho thấy, các số lepton thế hệ của electron và neutrino liên hợp với chính nó νe cũng như các số lepton của meson µ và neutrino liên hợp νµ , . . . cũng bảo toàn, sự vi phạm là rất nhỏ. Thí dụ: − − µ → e + νee + νµ Lµ: 1 0 + 0 + 1 Le: 0 1 + -1 + 0 Hệ quả của sự bảo toàn lepton thế hệ:
  13. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 10 1. Các quá trình vi phạm số lepton xảy ra với xác suất rất nhỏ. Ví dụ: muon rã chủ yếu theo kênh rã thuần túy lepton. 2. Phân biệt các loại neutrino qua sự bảo toàn các lepton thế hệ. Vì các neutrino νe, νµ, ντ đều là các hạt có spin 1/2 không mang điện và có khối lượng rất nhỏ, nên để phân biệt các loại neutrino người ta phải dùng các phép thử dựa trên quy tắc bảo toàn lepton thế hệ: µa + X → la + Y, a = νe, νµ, ντ (1.11) trong đó X, Y là các vật thử. Nếu ở trạng thái cuối của (1.11) ta thu được lepton la gì − ví dụ µ thì ta nói neutrino ở trạng thái đầu là νµ. 33 Một hệ quả rất đặc sắc của sự bảo toàn số baryon: proton là hạt bền vững τp ≥ 10 năm. Bởi vì proton là baryon với khối lượng nhỏ nhất. Tương tự như vậy: sự bảo toàn số lepton cho ta electron bền vững, bởi vì nó là lepton với khối lượng nhỏ nhất. Trường hợp của neutrino hơi khác do có sự trộn lẫn dẫn đến sự chuyển hóa. 1.4 CÁC ĐA TUYẾN SU(2) a. Nhóm SU(2) Nhóm SU(2) là tổ hợp các ma trận 2x2, unita và có định thức bằng 1 SU(2) = {A : 2x2 : AA+ = A+A = I, detA = 1} (1.12) Bất kì phần tử nào của nhóm SU(2) đều có thể được viết dưới dạng: P A(ω) = ei ωaIa (1.13) τ trong đó, I = a là các vi tử đóng vai trò như isospin còn τ là ma trận Pauli thoả mãn hệ a 2 a thức giao hoán: τ τ  τ a , b = i c (1.14) 2 2 abc 2 Hằng số abc gọi là hằng số cấu trúc nhóm SU(2). Dạng tường minh của các ma trận Pauli như sau:  0 1   0 −i   1 0  τ = ; τ = ; τ = ; (1.15) 1 1 0 2 i 0 3 0 −1
  14. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 11 b. Các đa tuyến SU(2) Giả sử có n hạt nào đó, chúng tương ứng với n toán tử trường ψ1(x), ψ2(x), ψn(x). Dưới tác động của nhóm SU(2), nó biến đổi như sau: P 0 −1 −i ωaMa ψi(x) → ψi(x) ≡ Aψi(x)A = e ψ(x) (1.16) trong đó tham số biến đổi ω thực, Ma(a = 1, 2, 3) là ma trận n × n thỏa mãn hệ thức: [Ma,Mb] = iabcMc Thì n trường tạo thành một đa tuyến n chiều của nhóm biến đổi SU(2). Từ đó suy ra: j [Ia, ψi(x)] = −(Ma)i ψj(x) (1.17) Dưới đây là một vài trường hợp: 0 • Ma = 0, n = 1: toán tử trường không đổi ψ → ψ = ψ. Ta có 1 hạt hay là một đơn tuyến. [Ia, ψ] = 0 (1.18) τ • M = a , n = 2: Đây là trường hợp lưỡng tuyến hay còn gọi là biểu diễn cơ sở. Biểu a 2 diễn này là hàm có chỉ số dưới.   ψ1 ψα = (1.19) ψ2  j τa [Ia, ψi] = − ψj (1.20) 2 i Suy ra:  1 τ3 1 [I3, ψ1] = − ψ1 = − ψ1, (1.21) 2 1 2 và  2 τ3 1 [I3, ψ2] = − ψ2 = ψ2 (1.22) 2 2 2     ψ1 ψp - Ví dụ: Lưỡng tuyến ψα = = có: ψ2 ψn  1  , đối với p,  2 I3 = (1.23)  1  − , đối với n.  2
  15. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 12 c • (Ma)b = −iabc, n = 3. Đây là trường hợp tam tuyến. Dạng tường minh của Ma như sau:  0 0 0   0 0 i   0 −i 0  M1 =  0 0 −i  ; M2 =  0 0 0  ; M3 =  i 0 0  . (1.24) 0 i 0 −i 0 0 0 0 0 Hệ thức giao hoán trong trường hợp này là: [Ia, φb] = iabcφc, (1.25) trong đó:   φ1 φ =  φ2  . (1.26) φ3 Suy ra:   [I3, φ1] = iφ2,   [I3, φ2] = −iφ1, (1.27)    [I3, φ3] = 0. 0 Vậy, φ3 là trạng thái riêng của I3 và có thể đồng nhất với π . Để xây dựng các trạng thái vật lý khác ta đưa vào định nghĩa: 1 φ+ = √ (φ1 − iφ2) (1.28) 2 1 φ− = √ (φ1 + iφ2) (1.29) 2 Khi đó, [I3, φ+] = −φ+, (1.30) và [I3, φ−] = +φ−. (1.31) + − Như vậy, φ+ và φ− là hai trạng thái vật lý và ta đồng nhất với π và π . 1.5 CÁC ĐA TUYẾN SU(3) a. Nhóm SU(3) Nhóm SU(3) là tổ hợp các ma trận 3x3, unita và có định thức bằng 1 SU(3) = {A : 3x3 : AA+ = A+A = I, detA = 1} (1.32)
  16. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 13 Bất kì phần tử nào của nhóm SU(3) đều có thể được viết dưới dạng: P λa i ωa A(ωa) = e 2 với a = 1, 2, , 8. (1.33) Các ma trận λa gọi là các ma trận Gell-Mann thoả mãn các hệ thức giao hoán sau: λ λ λ [ a , b ] = if c , (1.34) 2 2 abc 2 √ 1 3 với f = 1, f = f = f = f = f = f = , f = f = . 123 147 246 257 345 516 376 2 458 678 2 Dạng tường minh của các ma trận Gell-Mann:  0 1 0   0 −i 0   1 0 0   0 0 1  λ1 =  1 0 0  ; λ2 =  i 0 0  ; λ3 =  0 −1 0  ; λ4 =  0 0 0  ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 −i   0 0 0   0 0 0   1 0 0  1 λ5 =  0 0 0  ; λ6 =  0 0 1  ; λ7 =  0 0 −i  ; λ8 = √  0 1 0  i 0 0 0 1 0 0 i 0 3 1 0 −2 Như trong trường hợp trước, việc xây dựng các đa tuyến hoàn toàn tương tự. Chúng ta hãy xét mô hình quark của Gell-Mann. λ b. Tam tuyến quark M = , n = 3 a 2 Trong vật lý học hiện đại, người ta cho rằng các quark là hạt cơ bản. Việc mô hình chuẩn dựa trên mẫu Glashow-Weinberg-Salam và sắc động lực học lượng tử (QCD) đã kiểm chứng với độ chính xác rất cao chứng tỏ điều này. Các quark thực hiện biểu diễn cơ sở của nhóm SU(3) (tam tuyến). Các vi tử của nhóm Ma tác động lên toán tử trường tuân theo hệ thức giao hoán: 1 [M , q ] = − (λ )jq , (1.35) a i 2 a i j với q1 = qu, q2 = qd, q3 = qs. Đồng nhất các√ toán tử isospin, siêu tích với các vi tử của nhóm M1 = I1, M2 = I2, 3 M = I , M = Y , ta có: 3 3 8 2 [I1,2,3, q3] = 0 (1.36) Vậy, q3 là đơn tuyến của nhóm SU(3) đồng vị. Để biết siêu tích của các quark, ta xuất phát từ giao hoán tử: 2 2 1 j 1 j [Y, qi] = √ [M8, qi] = √ − λ8 qj = −√ λ8 qj (1.37) 3 3 2 i 3 i
  17. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 14 1 1 2 Suy ra q có siêu tích Y = , q có Y = , và q có Y = − . 1 3 2 3 3 3 Để phù hợp với thực nghiệm, người ta thấy cần thiết phải đưa số lượng tử mới: số lạ S. 1 Số lạ chỉ gán cho quark thứ ba q và có mối liên hệ với số baryon B = như sau: 3 3 Y = B + S. (1.38) Từ công thức Gell-Mann-Nishijima, ta xác định được điện tích, siêu tích, số Barion và số lạ của các quark như sau: quark I I3 Y Q B S u = q1 1/2 1/2 1/3 2/3 1/3 0 d = q2 1/2 -1/2 1/3 -1/3 1/3 0 s = q3 0 0 -2/3 -1/3 1/3 -1 c. Cấu trúc các hadron theo quark Meson là trạng thái liên kết của quark và phản quark: Hạt K+ K0 π+ π0 π− K0 K− η √ √ Cấu tạo use dse ude (uue + dde)/ 2 ude sde sue (uue + dde) + 2sse)/ 6 I 1/2 1 1/2 0 I3 1/2 -1/2 1 0 -1 1/2 -1/2 0 Y 1 0 -1 0 S 0 0 -1 0 Barion là trạng thái liên kết của 3 quark: + 0 − 0 − Hạt p n Σ Σ √ Σ Ξ Ξ Λ √ Cấu tạo udu udd suu s(ud + du)/ 2 sdd ssu ssd s(ud − du)/ 2 I 1/2 1 1/2 0 I3 1/2 -1/2 1 0 -1 1/2 -1/2 0 Y 1 0 -1 0 S 0 -1 -2 -1 0 - Với n = 1,Ma = 0 → ϕ (x) = ϕ(x): đơn tuyến - Với n = 8,Ma = 8x8 → ϕ1(x), ϕ2(x), , ϕ8(x): bát tuyến Thực nghiệm chứng tỏ, 9 tổ hợp khả dĩ của quark và phản quark tạo thành bát tuyến và đơn tuyến: 3 ⊗ 3∗ = 8 ⊕ 1 (1.39)
  18. Chương 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ HẠT CƠ BẢN 15 d. Các màu của quark Năm 1975, người ta đã phát hiện hàng loạt meson, nhóm SU(3) chưa đủ mô tả các hạt này, cần có các đối xứng bậc cao hơn. Nhóm SU(4) SU(5) SU(6) Quark c (charm) b (bottom) t (top) Q 2/3 -1/3 2/3 Số lượng tử mới c b (beauty) t (truth) Từ công thức cấu tạo của hạt Ω− = (sss) ta thấy 3 quark s ở cùng trạng thái. Như vậy, vi phạm nguyên lí Pauli. Để giải quyết vấn đề này, các quark phải có số lượng tử mới, đó là số màu. Có thể thấy rằng, các quark có 3 màu, toán tử quark phải có hai chỉ số qiα trong đó i = u, d, s, c, b, t là chỉ số vị còn α = r, b, g là chỉ số màu. Để hạn chế số hadron quan sát được, ta giả thiết các hadron phải không màu. Do đó, khi cấu thành các hadron, tổ hợp quark phải thoả quy tắc màu sau: - Các baryon được cấu tạo từ 3 quark có 3 màu khác nhau. - Các meson được cấu tạo từ quark và phản quark cùng màu nhưng màu thay đổi liên tục với xác suất như nhau.
  19. Chương 2 CÁC TRƯỜNG TỰ DO Trong chương này ta sẽ thảo luận những nét chính của hình thức luận Hamilton trong việc chuyển từ lí thuyết cổ điển sang lí thuyết lượng tử. 2.1 CƠ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAMILTON Trong cơ học cổ điển, một hệ được mô tả bởi Lagrangian là một hàm của toạ độ qi và đạo hàm theo thời gian của chúng dq L = L(q , q˙ ), q˙ = i . (2.1) i i i dt Phương trình chuyển động thoả điều kiện Z t2 δ Ldt = 0 (2.2) t1 cho ta phương trình d ∂L ∂L − = 0 (2.3) dt ∂q˙i ∂qi Xung lượng tổng quát được định nghĩa: ∂L pi = . (2.4) ∂q˙i Hamiltonian của hệ là: X H(qi, q˙i) = piq˙i − L. (2.5) i Từ phương trình (2.3) và (2.5), ta có ∂H ∂H p˙i = − , q˙i = . (2.6) ∂q˙i ∂p˙i 16
  20. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 17 Biến thiên theo thời gian của đại lượng A(p, q) có dạng: dA(p, q) X ∂A dqi ∂A dpi = ( . + . ) ≡ {H, A} (2.7) dt ∂qi dt ∂pi dt {H, A} được gọi là móc Poisson cổ điển. Ta có ngay {qi, qj} = {pi, pj} = 0, {pi, qj} = δij (2.8) Chuyển từ lí thuyết cổ điển sang lí thuyết lượng tử bằng cách thay các hàm số bởi toán tử và móc Poisson bằng giao hoán tử. Coi qi và pi là các toán tử thoả mãn giao hoán tử sau [q (t), p (t)] = iδ , i j ij (2.9) [qi(t), qj(t)] = [pi(t), pj(t)] = 0. Các đại lượng quan sát được trở thành các toán tử Hermitic, do đó + + + + qi = qi , pi = pi ,L = L ,H = H . Ví dụ: Dao động tử điều hòa 1 ∂L L = L(q, q˙) = (q ˙2 − q2), p = =q. ˙ (2.10) 2 ∂q˙ Do vậy 1 ∂H ∂H H(p, q) = (p2 + q2), q˙ = = p, p˙ = − = −q (2.11) 2 ∂p ∂q Để phân tích bài toán trị riêng, ta đặt: 1 1 a ≡ √ (q + ip), a+ ≡ √ (q − ip). (2.12) 2 2 Từ hệ thức giao hoán (2.9) ta có [a, a+] = 1. (2.13) Hơn nữa 1 1 1 a+a = (q − ip)(q + ip) = [q2 + p2 − i(pq − qp)] = H − . (2.14) 2 2 2 Định nghĩa toán tử số hạt N = a+a, ta có 1 H = N + (2.15) 2 Tác động của H vào trạng thái chân không và n hạt như sau 1 H|ni = (n + )|ni, 2 1 H|0i = |0i. (2.16) 2
  21. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 18 2.2 HÌNH THỨC LUẬN LAGRANGE TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT Trong cơ học cổ điển, hạt được coi là hạt điểm (không có kích thước) có khối lượng m. Giả sử rằng ở thời điểm t nó ở vị trí x(t). Nếu nó chuyển động trong cùng có thế năng là V (x), khi đó định luật hai Newton nói rằng d2x dV m = F = − (2.17) dt2 dx trong đó F là lực tác động lên hạt. Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ cho ta nhận được điều này. Lagrangian được định nghĩa như sau mdx2 L = T − V = −V (x) (2.18) 2 dt trong đó T và V tương ứng là động năng và thế năng. Tác động S là Z S = Ldt, (2.19) trong đó tích phân lấy theo quỹ đạo từ t1 đến t2. Cụ thể hơn Z t2 S = L(x, x˙)dt. (2.20) t1 Hạt sẽ chuyển động theo quỹ đạo mà tác động là cực tiểu. Ta sẽ chỉ ra rằng khi đó sẽ có định luật Newton. Xét vi phân trên quỹ đạo x(t) → x0(t) = x(t) + a(t), a  x. (2.21) Hạt có điểm đầu và cuối cố định x(t1), x(t2), nên a(t1) = a(t2) = 0 (2.22) Thay x → x0, tác động S biến thiên m  S → S0 = R t2 (x ˙ +a ˙)2 − V (x + a) dt t1 2 1  = R t2 mx˙ 2 + mx˙a˙ − [V (x) + aV 0(x)] dt t1 2 = S + R t2 [mx˙a˙ − aV 0(x)]dt t1 = S + δS
  22. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 19 trong đó Z t2 dV (x) δS = [mx˙a˙ − aV 0(x)]dt, V 0(x) ≡ . (2.23) t1 dx Nếu S cực tiểu theo biến thiên của x, δS = 0. Ta biến đổi số hạng đầu tiên trong (2.23) Z t2 Z t2 Z t2 t2 x˙adt˙ =xa ˙ |t1 − axdt¨ = − axdt¨ (2.24) t1 t1 t1 Ta sử dụng điều kiện (2.22) ở bước cuối cùng. Ta có Z t2 δS = − [max¨ + aV 0(x)]dt = 0. (2.25) t1 Do vậy: mx¨ = −V 0(x) (2.26) chính là định luật Newton. 2.3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH Trong mục này chúng ta đưa các nét cơ bản của cơ học lượng tử tương đối tính. Xét sóng phẳng của hạt tự do ψ = ei(k.r−ωt), (2.27) với k và ω tương ứng là vector truyền và tần số góc. Trong hệ tự nhiên ~ = c = 1, chúng là xung lượng và năng lượng. Hàm sóng trong (2.27) là nghiệm của phương trình Klein-Gordon: ∂2ψ = (∆ − m2)ψ (2.28) ∂t2 mô tả hạt vô hướng (spin=0) tương đối tính. Để tiện theo dõi, ta viết lại phương trình trên 2 ( + m )ψ = 0, (2.29) ∂2ψ trong dó = − ∆  ∂t2 Thay (2.27) vào (2.28) ta có hệ thức E2 = p2 + m2. (2.30) Trường hợp phi tương đối tính p  m, ta có r p2 p2 E = m + 1 = m + . (2.31) m2 2m
  23. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 20 Khi đó hàm sóng mới tương đương có dạng 2 ψ i[pr− p t ] φ = = e 2m (2.32) e−imt sẽ thỏa mãn phương trình Schro¨dinger mô tả hạt phi tương đối tính ∂φ i − 4φ = 0 (2.33) ∂t 2m Như vậy phương trình Schro¨dinger là giới hạn phi tương đối tính của phương trình Klein- Gordon. Bây giờ ta tìm dạng hiệp biến của phương trình Klein-Gordon qua việc đưa vào định nghĩa ∂ P = i µ = 0, 1, 2, 3 (2.34) µ ∂xµ Khi đó toán tử Klein-Gordon có dạng 2 µ 2  + m = −PµP + m . (2.35) Ta muốn tách toán tử Klein-Gordon thành tích của hai số hạng tuyến tính theo Pµ 2  + m = −(P − m)(P + m) (2.36) Để làm được điều này ta biểu diễn P theo hệ tuyến tính của Pµ như sau µ P = Pµγ (2.37) Biến đổi tiếp theo ta có 1 P 2 = (P γµ)(P γν) = P P (γµγν + γνγµ) (2.38) µ ν 2 µ ν Từ (2.38) ta có hệ thức cần thiết γµγν + γνγµ = 2ηµν (2.39) Như vậy, các γµ với chỉ số khác nhau phản giao hoán, nên không là số và chúng có thể chọn ở dạng ma trận 4 x 4. Khi đó chúng có tên gọi là các ma trận Dirac. Bây giờ ta trở lại phương trình (2.29). Kết hợp với (2.36) ta có µ ν (γ Pµ + m)(γ Pν − m)ψ = 0 (2.40) Ta đòi hỏi ψ thỏa mãn một trong hai phương trình sau  ∂   ∂  iγµ + m ψ(x) = 0, hoặc iγµ − m ψ(x) = 0, (2.41) ∂xµ ∂xµ Thông thường người ta chọn phương trình thứ hai. Phương trình trên mô tả hạt có spin 1 2 và có tên gọi là phương trình Dirac. Ta có kết luận: Nếu ψ thỏa mãn phương trình Dirac thì nó thỏa mãn phương trình Klein-Gordon và điều ngược lại không đúng.
  24. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 21 2.4 PHƯƠNG TRÌNH EULER-LAGRANGE Mọi hệ vật lý được miêu tả bởi hàm Lagrangian L (x):  L (x) = L ϕ(x), ∂µϕ(x) (2.42) Dạng của Lagrangian rất phức tạp, tuỳ thuộc vào từng mô hình và cơ chế vật lý mà ta xét nhưng phải thoả mãn 1 số điều kiện bắt buộc: • Lagrangian của trường phải là hàm thực: L ∗(x) = L (x) (2.43) Hệ vật lý mô tả bởi Lagrangian thì toàn bộ kết quả là các đại lượng vật lý là các đại lượng thực nên hàm Lagrangian phải là hàm thực. • Lagrangian thoả mãn nguyên lý bất biến tương đối tính: L 0(x) = L (x) (2.44) Lagrangian là đại lượng không thay đổi với phép biến đổi Lorentz. Tích phân hàm Lagrangian theo không thời gian được gọi là tác dụng: Z S = L (x) d4(x) (tích phân 4 chiều) (2.45) Nguyên lí tác dụng tối thiểu: Khi các trường thay đổi dạng, sự biến thiên của tác dụng vẫn bằng không: δS = 0 (2.46) Từ đòi hỏi δS = 0, chúng ta nhận được phương trình Euler-Lagrangian là phương trình chuyển động của trường có dạng như sau: δL  δL  − ∂µ = 0 (2.47) δϕ(x) δ∂µϕ(x) 2.5 ĐỊNH LÍ NO¨ETHER’S Định lí: Nếu tác dụng không thay đổi, tồn tại một dòng xác định bảo toàn. µ δS = 0 thì ∂µji = 0 (2.48) Ví dụ 1: Dịch chuyển không thời gian x0µ = xµ + δxµ
  25. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 22 Dòng trong trường hợp này chính là tenxơ năng xung lượng: δL Tµν = ∂νϕ − L ηµν (2.49) δ(∂µϕ) Vectơ năng xung lượng 4 chiều: Z Pν = T0ν dx (2.50) ∞ Các thành phần không gian (P1,P2,P3) xác định xung lượng P của trường, thành phần thời gian P0 là năng lượng của trường. Như vậy, ứng với phép dịch chuyển thời gian cho năng lượng bảo toàn, còn ứng với phép dịch chuyển không gian cho xung lượng bảo toàn. Ví dụ 2: Đối với phép biến đổi pha: chỉ quay trường và giữ nguyên tọa độ ϕ0(x) = e−iθqϕ(x), ϕ0∗(x) = eiθqϕ∗(x), x0µ = xµ, (2.51) Dòng trong trường hợp này chính là của dòng điện từ: jµ(em) = −iq(ϕ∗∂µϕ − ϕ∂µϕ∗). (2.52) trong đó, q là điện tích của trường ϕ. 2.6 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG a. Trường vô hướng thực Mô tả hạt vô hướng trung hoà (không mang điện), với khối lượng m có một thành phần φ(x). Lagrangian tự do của nó như sau: 1 µ 1 2 2 L (x) = ∂ φ(x)∂µφ(x) − m φ (x) (2.53) 2 2 Thay (2.53) vào (2.47), ta thu được phương trình Euler-Lagrangian cho trường vô hướng: 2 ( + m )φ(x) = 0, (2.54) µ 2 2 2 2 gọi là phương trình Klein-Gordon, trong đó  = ∂ ∂µ = ∂0 − (∂x + ∂y + ∂z ) là toán tử Dalamber. Thay (2.53) vào (2.49), ta nhận được biểu thức cho tensor năng xung lượng cho trường vô hướng thực: 1  T = (∂ φ)2 + ∇~ φ∇~ φ + m2φ2 và T = ∂ φ ∂ φ (2.55) 00 2 0 0i 0 i
  26. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 23 Hàm trường φ(x) là nghiệm của phương trình Euler-Lagrangian (2.54) được viết dưới dạng khai triển Fourier như sau: Z 1 dk n −ikx ikx + o φ(x) = 3/2 e a(k) + e a (k) , (2.56) (2π) 2k0 √ µ 2 2 + trong đó kx = k xµ và k0 = k + m , a (k) và a(k) là các toán tử sinh, hủy hạt có xung lượng k và khối lượng m. Giao hoán giữa các toán tử sinh, huỷ hạt:   +   a(k), a (`) = δ(k − `), (2.57)  a(k), a(`)= 0. Từ hàm trường φ(x) trong phương trình (2.56), ta có thể biểu diễn vectơ năng xung lượng 4 chiều qua các toán tử sinh, huỷ như sau: Z + Pν = dkkν a (k) a(k). (2.58) Dựa vào quy luật giao hoán (2.57), ta suy ra:     Pµ, a(k) = −kµa(k), (2.59)  +  +  Pµ, a (k) = kµa (k). ˆ Xét trạng thái |i(p)i thoả: Pµ|i(p)i = pµ|i(p)i. Ta dễ dàng suy ra: ˆ Pµa(k)|i(p)i = (pµ − kµ)a(k)|i(p)i (2.60) Nhận xét, |i(p)i là trạng thái có xung lượng là pµ trong khi a(k)|i(p)i là trạng thái có xung lượng là pµ − kµ. Do đó, ta có thể nói: a(k) là toán tử hủy hạt với xung lượng k và khối + + lượng m. Tương tự, ta cũng có a (k)|i(p)i là trạng thái có xung lượng pµ + kµ nên a (k) là các toán tử sinh hạt với xung lượng k và khối lượng m. • Sử dụng các toán tử sinh, huỷ để lập các trạng thái tuỳ ý hạt từ chân không - Trạng thái 1 hạt xung lượng k tạo bởi toán tử sinh tác động lên chân không |0i 3 1/2 + |ki = [(2π) 2k0] a (k)|0i (2.61) - Trạng thái 2, 3, hạt với xung lượng k được tạo bởi toán tử sinh tác động lên chân không |0i 3 1/2 3 1/2 + + |k1k2i = [(2π) 2k10] [(2π) 2k20] a (k1)a (k2)|0i (2.62)
  27. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 24 Nhận xét: |k1k2i = |k2k1i, nghĩa là hạt trung hoà có s = 0 tuân theo phân bố Bose- Einstein (hàm đối xứng với phép hoán vị) Sự hủy hạt (hạt ở trạng thái cuối): 3 1/2 h`| = h0|a(`)[(2π) 2`0] (2.63) Tích vô hướng 2 trạng thái: 3 1/2 3 1/2 h`|ki = [(2π) 2k0] [(2π) 2`0] δ(k − `) (2.64) Giao hoán giữa toán tử trường: [φ(x), φ(y)] = ∆(x − y, m) (2.65) trong đó hàm truyền ∆(x − y, m) mô tả sự dịch chuyển từ tọa độ y tới tọa độ x có dạng: Z 1 dk −ikz ikz ∆(z, m) = 3 2 e − e (2.66) (2π) (2k0) b. Trường vô hướng phức Hạt vô hướng mang điện (có 2 thành phần), được mô tả bởi trường vô hướng phức, có Lagrangian tự do như sau + µ 2 + L (x) = ∂µφ (x)∂ φ(x) − m φ (x)φ(x) (2.67) với m là khối lượng nghỉ của lượng tử trường. Phương trình Euler-Lagrangian cho 2 thành phần φ(x) và φ+(x) độc lập nhau: 2 2 + ( + m )φ(x) = 0, và ( + m )φ (x) = 0. (2.68) Các phương trình này là những phương trình Klein-Gordon. Tensor năng xung lượng cho trường vô hướng mang điện: + ~ + ~ 2 + + + T00 = ∂0φ ∂0φ + ∇φ ∇φ + m φ φ và T0i = ∂0φ ∂iφ + ∂0φ ∂iφ (2.69) Hàm trường φ(x) là nghiệm của phương trình Euler-Lagrangian (2.54) được viết dưới dạng khai triển Fourier như sau: Z 1 dk n −ikx ikx + o φ(x) = 3/2 e a(k) + e b (k) , (2π) 2k0 Z + 1 dk n −ikx ikx + o φ (x) = 3/2 e b(k) + e a (k) . (2.70) (2π) 2k0 Nhận xét, nếu φ+(x) = φ(x), trường vô hướng tích điện quy về trường vô hướng thực.
  28. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 25 Giao hoán giữa các toán tử a(k), a+(k), b(k), b+(k):   +   a(k), a (`) = δ(k − `),   b(k), b+(`)= δ(k − `), (2.71)    a(k), a(`)= b(k), b(`)= a(k), b(`)= = 0. Biểu diễn vectơ năng xung lượng 4 chiều qua các hệ số khai triển như sau: Z n + + o Pν = dkkν a (k) a(k) + b (k) b(k) . (2.72) Khác với trường vô hướng thực, trong trường vô hướng phức, ta đưa thêm vào 1 biến động lực mới là điện tích: Z (em) Q = dx Jµ , (2.73) (em) với Jµ được gọi là dòng điện từ thoả định lí N¨oether: (em)  + +  Jµ = iq φ ∂µφ − ∂µφ φ (2.74) Biễu diễn Q qua các hệ số khai triển: Z n o Q = q dk a+(k) a(k) − b+(k) b(k) . (2.75) Dựa vào quy luật giao hoán (2.71), ta suy ra:     Pµ, a(k) = −kµa(k),     +  +  Pµ, a (k) = kµa (k) (2.76)     Pµ, b(k) = −kµb(k),     +  +  Pµ, b (k) = kµb (k). Các hệ thức giao hoán giữa toán tử điện tích và toán tử sinh, hủy hạt:     Q, a(k) = −qa(k),     +  +  Q, a (k) = +qa (k) (2.77)     Q, b(k) = +qb(k),    Q, b+(k)= −qb+(k).
  29. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 26 Xét trạng thái |i(e)i là trạng thái có điện tích e, nghĩa là: Q|i(e)i = e|i(e)i. Ta dễ dàng chứng minh được rằng: trạng thái a(k)|i(e)i là trạng thái có điện tích (e − q), nghĩa là: Qa(k)|i(e)i = (e − q)a(k)|i(e)i (2.78) Như vậy: - a+(k) là các toán tử sinh hạt với xung lượng k và điện tích +q. - a(k) là toán tử hủy hạt với xung lượng k và điện tích +q. - b+(k) là toán tử sinh phản hạt với xung lượng k và điện tích −q. - b(k) là toán tử hủy phản hạt với xung lượng k và điện tích −q. Trạng thái một hạt với xung lượng k được tạo bởi toán tử sinh tác động lên chân không |0i: 3 1/2 + |ki = [(2π) 2k0] a (k)|0i (2.79) Trạng thái một phản hạt với xung lượng ` được tạo bởi toán tử sinh tác động lên chân không |0i: 3 1/2 + |`ei = [(2π) 2`0] b (`)|0i (2.80) Sự hủy hạt: 3 1/2 hk| = h0|a(k)[(2π) 2k0] (2.81) Sự hủy phản hạt: 3 1/2 h`e| = h0|b(`)[(2π) 2`0] (2.82) Tương tự: 3 + + |k1k2i = (2π) a (k1)a (k2)|0i |k`ei = (2π)3a+(k)b+(`)|0i (2.83) 3 (n+m) + + + + + + |k1k2 kn`e1`e2 `emi = (2π) 2 a (k1)a (k2) a (kn)b (`1)b (`2) b (`m)|0i Tích vô hướng: 0 3 1/2 3 1/2 0 hk |ki = [(2π) 2k10] [(2π) 2k20] δ(k − k) 0 3 1/2 3 1/2 0 h`e|`ei = [(2π) 2k0] [(2π) 2`0] δ(` − `) (2.84) h`e|ki = 0 hk|k1k2i = 0
  30. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 27 Tổng quát: = 0 khi r 6= n, hay s 6= m 0 0 0 0 0 0 hk 1k 2 k r`e1`e2 `es|k1k2 kn`e1`e2 `emi (2.85) 6= 0 khi r = n, s = m Giao hoán giữa toán tử trường:  + +  [φ(x), φ(y)] = [φ (x), φ (y)] = 0 (2.86)  [φ(x), φ+(y)] = ∆(x − y, m) 2.7 TRƯỜNG VECTƠ a. Trường vectơ mang điện Lagrangian tự do có dạng 1 L (x) = − F + F µν + m2ϕ+ϕµ, (2.87) 2 µν µ với Fµν = ∂µϕν − ∂νϕµ là tensor cường độ trường. Phương trình Euler-Lagrangian: µ 2 µ + 2 + ∂ Fµν + m ϕν = 0, và ∂ Fµν + m ϕν = 0. (2.88) ν Đưa vào điều kiện ràng buộc ∂ ϕν = 0 ta suy ra phương trình Klein-Gordon cho trường vectơ: 2 2 + ( + m )ϕµ(x) = 0, và ( + m )ϕµ (x) = 0. (2.89) Hàm trường dưới dạng khai triển Fourier: 1 P3 R dk n −ikx ikx + o ϕµ(x) = 3/2 λ=1 εµ(k, λ) e a(k, λ) + e b (k, λ) , (2π) 2k0 (2.90) + 1 P3 R dk n −ikx ikx + o ϕµ (x) = 3/2 λ=1 εµ(k, λ) e b(k, λ) + e a (k, λ) . (2π) 2k0 với εµ(k, λ) là vectơ phân cực, λ là chỉ số phân cực. và a+(k, λ) là toán tử sinh hạt xung lượng k, điện tích +q và trạng thái spin λ a(k, λ) là toán tử hủy hạt xung lượng k, điện tích +q và trạng thái spin λ b+(k, λ) là toán tử sinh phản hạt xung lượng k, điện tích −q, trạng thái spin λ
  31. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 28 b(k, λ) là toán tử hủy phản hạt xung lượng k, điện tích −q, trạng thái spin λ thoả các hệ thức giao hoán:   + a(k, λ), a (`, ρ)] = δ(k − `)δλρ,     +  b(k, λ), b (`, ρ) = δ(k − `)δλρ, (2.91)    các giao hoán tử còn lại = 0. Trạng thái một hạt có xung lượng k và hình chiếu spin λ: 3 1/2 + |k, λi = [(2π) 2k0] a (k, λ)|0i (2.92) Trạng thái một phản hạt có xung lượng k và hình chiếu spin λ: 3 1/2 + |ke, λi = [(2π) 2k0] b (ke, λ)|0i (2.93) Tích vô hướng: 0 0 3 1/2 3 1/2 0 hke , λ |ke, λi = [(2π) 2k0] [(2π) 2`0] δ(k − k )δλλ0 (2.94) b. Trường vectơ trung tính Trường vectơ trung tính là trường ứng với hạt trung hoà, với Lagrangian mô tả có dạng: 2 1 µν m µ L (x) = − FµνF + ϕµϕ , (2.95) 4 2 ν Tương tự, đưa vào điều kiện ràng buộc ∂ ϕν = 0 ta suy ra phương trình Klein-Gordon cho trường vectơ trung tính: 2 ( + m )ϕµ(x) = 0. (2.96) Hàm trường dưới dạng khai triển Fourier: 3 Z 1 X dk n −ikx ikx + o ϕµ(x) = 3/2 εµ(k, λ) e a(k, λ) + e a (k, λ) . (2.97) (2π) 2k0 λ=1 c. Trường điện từ Là trường vectơ trung tính nhưng khối lượng hạt bằng không (photon). Hàm trường được kí hiệu: Aµ(x) Lagrangian mô tả trường: 1 µν L (x) = − AµνA . (2.98) 4 Hàm trường dưới dạng khai triển Fourier: 3 Z 1 X dk n −ikx ikx + o Aµ(x) = 3/2 εµ(k, λ) e a(k, λ) + e a (k, λ) . (2.99) (2π) 2k0 λ=1 trong đó:
  32. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 29 a+(k, λ) là toán tử sinh photon với xung lượng k, trạng thái phân cực λ, a(k, λ) là toán tử hủy photon với xung lượng k, trạng thái phân cực λ. thoả các hệ thức giao hoán:   +  a(k, λ), a (`, ρ)] = −δ(k − `)δλρ, (2.100)  a(k, λ), a(`, ρ)= a+(k, λ), a+(`, ρ)= 0. µ Với trường điện từ, điều kiện ∂ Aµ = 0 không thích hợp vì mâu thuẫn với hệ thức giao hoán:   Aµ(x),Aν(x) = −ηµν∆(x − y, 0) (2.101) Cải biến điều kiện Lorentz: Trung bình hoá mọi trạng thái vật lí khả dĩ bằng 0: µ hi|∂ Aµ(x)|ii = 0. (2.102) Với điều kiện trên, trong tất cả các quá trình vật lý, chỉ có photon ngang (λ = 1, 2) mới cho đóng góp còn các photon dọc (λ = 3) và photon vô hướng (λ = 0) thì cho những đóng góp ngược dấu và khử lẫn nhau. Biểu diễn vectơ năng xung lượng 4 chiều qua các hệ số khai triển như sau: Z X + Pν = dkkν a (k, λ) a(k, λ). (2.103) λ=1,2 2.8 TRƯỜNG SPINƠ Đây là các trường vật chất mô tả bởi hàm trường 4 thành phần:   ψ1(x)  ψ2(x)  ψ(x) =   (2.104)  ψ3(x)  ψ4(x) Suy ra: + ∗ ∗ ∗ ∗  ψ (x) = ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) ψ4(x) (2.105) Liên hệ chỉ số Dirac trên và chỉ số Dirac dưới của trường spinor: +α ∗ ψ (x) = ψα(x). (2.106) Lagrangian của trường spinor: 1 ¯ µ µ ¯  ¯ L (x) = ψγµ∂ ψ − ∂ ψγµψ −mψψ (2.107) 2
  33. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 30 ¯ + với ψ = ψ γ0 Trong thực tế, người ta thường sử dụng Lagranian tự do kể đến các chỉ số Dirac α của trường spinor ψ(x) có dạng sau: 1 ¯α β µ µ ¯α β  ¯α L (x) = ψ (γµ) ∂ ψβ − ∂ ψ (γµ) ψβ −mψ ψα (2.108) 2 α α Phương trình Euler-Lagrangian có dạng: β µ α µ ¯β α ¯α −i(γµ)α∂ ψβ + mψ = 0 và i∂ ψ (γµ)β + mψ = 0 (2.109) Phương trình Euler-Lagrangian viết dưới dạng ma trận: µ µ ¯ ¯ −iγµ∂ ψ + mψ = 0 và i∂ ψγµ + mψ = 0 (2.110) ˆ µ Kí hiệu ∂ = γµ∂ , từ (2.110), ta suy ra phương trình Dirac: (−i∂ˆ + m)ψ = 0. (2.111) Tensor năng xung lượng: 1 T = ψγ¯ ∂ ψ − ∂ ψγ¯ ψ (2.112) µν 2 µ ν ν µ Hàm trường thoả mãn phương trình Dirac có dạng: 1 Z m X n o ψ (x) = dk e−ikxa(k, s)u (k, s) + eikxb+(k, s)v (k, s) . (2.113) α (2π)3/2 k α α 0 s=1,2 với uα(k, s) và vα(k, s) là các spinor Dirac thoả phương trình: ˆ ˆ (k − m)uα(k, s) = 0, và (k − m)vα(k, s) = 0. (2.114) ˆ µ Trong đó kí hiệu: k = γ kµ. Vectơ năng xung lượng: i Z P = dkψ+∂ ψ − ∂ ψ+ψ (2.115) ν 2 ν ν Biễu diễn vectơ năng xung lượng qua các toán tử: 1 Z m X n o P = dk k a+(k, s)a(k, s) + b(k, s)b+(k, s) . (2.116) ν (2π)3/2 k ν 0 s=1,2   Từ quy luật giao hoán Pµ, ψα(x) = −i∂µψα(x), ta suy ra:     Pµ, a(k, s) = −kµa(k, s),     +  +  Pµ, a (k, s) = kµa (k, s) (2.117)     Pµ, b(k, s) = −kµb(k, s),     +  +  Pµ, b (k, s) = kµb (k, s).
  34. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 31 Phản giao hoán các toán tử sinh huỷ hạt:  + k0  {a(k, r), a (l, s)} = δ(k − l)δrs,  m   + k0 (2.118) {b(k, r), b (l, s)} = δ(k − l)δrs,  m    {a(k, r), a(l, s)} = = 0. Điện tích: Z (em) Q = dx J0 , (2.119) (em) ¯ với J0 = qψγµψ. Biểu diễn qua các toán tử sinh, huỷ hạt: Z m X n o Q = q dk a+(k, s)a(k, s) − b+(k, s)b(k, s) . (2.120) k 0 s=1,2 Các hệ thức giao hoán giữa toán tử điện tích và toán tử sinh huỷ hạt:     Q, a(k, s) = −qa(k, ),     +  +  Q, a (k, s) = +qa (k, s) (2.121)     Q, b(k, s) = +qb(k, s),    Q, b+(k, s)= −qb+(k, s). Giao hoán giữa toán tử trường:   ¯β µ  µ β β  ψα(x), ψ (y) = iγ ∂µ + m ∆(x − y, m) = i(γ )α∂µ + mδα ∆(x − y, m) (2.122)   ψα(x), ψβ(y) = 0. Từ quy luật biến đổi Lorentz của trường spinor và tính chất của ma trận Dirac ta suy ra rằng: - ψ¯(x)ψ(x) giống như 1 đại lượng vô hướng. - ψ(x)γµψ(x) giống như 1 đại lượng vectơ. Người ta đưa thêm vào ma trận γ5 sau:  0 0 1 0   0 0 0 1  γ5 =   ; (2.123)  1 0 0 0  0 1 0 0 + 2 Rõ ràng: γ5 = γ5; γ5 = 1; {γ5, γµ} = 0. Ta cũng có thể suy ra các tính chất:
  35. Chương 2. CÁC TRƯỜNG TỰ DO 32 ¯ - ψ(x)γ5ψ(x) giống như 1 đại lượng giả vô hướng. - ψ(x)γ5γµψ(x) giống như 1 đại lượng giả vectơ. Vết của các ma trận: Spγµ = 0 Spγ5 = 0 Spγµγν = 4ηµν Spγ5γµ = 0 Spγµγνγρ = 0 Spγ5γµγν = 0  Spγµγνγργσ = 4 ηµνηρσ − ηµσηνρ − ηµρηνσ
  36. Chương 3 TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 3.1 LAGRANGIAN TƯƠNG TÁC Các biểu thức Lagrangian được giới thiệu trong chương 2 là các Lagrangian mô tả trường tự do ứng với hạt tự do không chịu bất kì tác dụng nào. Thực tế, các hạt này không tồn tại riêng rẽ, do đó, để mô tả trường, ta phải tính đến tương tác của hạt với môi trường xung quanh. Khi ấy, Lagrangian mô tả có dạng: L (x) = L0(x) + Lint(x) (3.1) trong đó: L0(x) là Lagrangian ứng với hạt tự do, Lint(x) là Lagrangian mô tả tương tác của hạt với môi trường xung quanh. Lint(x) phụ thuộc vào mô hình tương tác nhưng phải thoã mãn 2 yêu cầu sau: 0 - Bất biến Lorentz: Lint(x ) = Lint(x). + - Đại lượng thực: Lint(x) = Lint(x). Các ví dụ: - Hệ trường vô hướng tương tác với nhau: 2 Lint(x) = g.φ (x) g là hằng số tương tác. - Hệ gồm 2 trường spinor và vô hướng tương tác với nhau: ¯ Lint(φ, ψ) = k.ψ(x)ψ(x)φ(x). - Hệ gồm trường electron và photon: ¯ µ Lint(ψ, Aµ) = e.ψ(x)γµψ(x)A (x). 33
  37. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 34 3.2 MA TRẬN TÁN XẠ Ma trận tán xạ là một trong những khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử được Heisenberg đưa ra vào năm 1943. Ma trận tán xạ chứa tất cả các thông tin về động lực học của hệ đang xét và có thể dùng nó để mô tả các quá trình tán xạ đàn tính, cũng như các quá trình biến đổi và sinh huỷ hạt. Định nghĩa: S ma trận là tập hợp các đại lượng Sfi mô tả quá trình chuyển dời của hệ lượng tử từ trạng thái i sang trạng thái f khi các hạt tương tác với nhau hay tương tác với trường ngoài. Giả sử ta có trạng thái |ψ(t)i, sự biến đổi của trạng thái được mô tả bởi phương trình: ∂ i |ψ(t)i = Hint(t)|ψ(t)i (3.2) ∂t trong đó Hint(t) là Haminton tương tác giữa các trường: Z Z (Lint) Hint(t) = dxHint(x) = dxT00 (3.3) Đưa vào toán tử U(t2, t1) được định nghĩa bằng phương trình: |ψ(t2)i = U(t2, t1)|ψ(t1)i (3.4) Xét thời điểm xa vô cùng ở quá khứ t1 = −∞, các hạt xem như không tương tác với nhau: |ψ(−∞)i = |ψii (3.5) Xét thời điểm xa vô cùng ở tương lai t2 = ∞, các hạt xem như tự do: |ψ(+∞)i = U(+∞, −∞)|ψ(−∞)i = U(+∞, −∞)|ψii (3.6) hay, |ψ(+∞)i = S|ψii (3.7) trong đó ta định nghĩa: S(t1 = −∞, t2 = ∞) = U(t2, t1) (3.8) Trước thí nghiệm, hạt có trạng thái |ψ(t)i, sau thí nghiệm, ta thu được trạng thái |ψ(+∞)i = S|ψii là chồng chập những trạng thái ứng với những số lượng tử xác định nào đấy: X |ψ(+∞)i = Cf |ψf i (3.9) f Xác suất chuyển dời từ |ψii sang |ψf i sau khi đã có tương tác: 2 2 2 Wi→f = |Cf | ∼ |hψf |ψii| = |hf|S|ii| (3.10)
  38. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 35 S được diễn tả dưới dạng: n −i R ∞ (t)dto S = P e −∞ Hint (3.11) với P -toán tử Dyson: toán tử sắp xếp lại theo thứ tự thời gian. Tác dụng của P lên tích các toán tử là sắp xếp lại các toán tử đó theo thứ tự giảm dần với thời gian khi đi từ trái sang phải: P {A(t1),A(t2), , A(tn)} = A(t1)A(t2) A(tn), (3.12) trong đó: t1 > t2 > > tn. Do đó, ∞ nX (−i)n Z ∞ Z ∞ Z ∞ o S = P dt1 dt2 dtnHint(t1)Hint(t2) Hint(tn) (3.13) n! n=0 −∞ −∞ −∞ n −i R ∞ d4x (x)o Biến đổi S về dạng: S = P e −∞ Hint , ta thu được kết quả cuối cùng: ∞ n Z ∞ Z ∞ Z ∞ X (−i) 4 4 4  S = d x1 d x2 d xnP Hint(x1)Hint(x2) Hint(xn) (3.14) n! n=0 −∞ −∞ −∞ 3.3 ĐỊNH LÝ WICK a. N-tích của toán tử trường N-tích là một tích trong đó các toán tử thừa số sinh đứng bên trái thừa số huỷ nhưng mỗi lần chuyển hai toán tử Boson cho nhau thì không đổi dấu, khi chuyển hai toán tử Fermi cho nhau thì đổi dấu. • Ví dụ: Gọi B, B+: toán tử huỷ và sinh Boson; F, F +: toán tử huỷ và sinh Fermion: N(B1B2) = B1B2 + + N(B1B2 ) = B2 B1 + + + + N(B1 B2B3 ) = B1 B3 B2 + + N(B1F1 ) = F1 B1 + + N(F1F2 ) = −F2 F1 + + + + N(B1F1B2 F2F3 ) = B2 F3 B1F1F2 • Tính chất: h0|N{ }|0i = 0 (3.15)
  39. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 36 b. T-tích T-tích là một tích trong đó các toán tử sắp xếp theo thứ tự giảm dần của thời gian nhưng cứ mỗi lần hoán vị 2 toán tử spinor cho nhau thì thêm thừa số σP T {A1(t1)A2(t2) An(tn)} = σP P {A1(t1)A2(t2) An(tn)} (3.16) σP = +1 nếu số phép hoán vị là chẵn. σP = −1 nếu số phép hoán vị là lẻ. • Ví dụ: φ(x)φ(y)(x0 > y0) T {φ(x)φ(y)} = σP P {φ(x)φ(y)} = . φ(y)φ(x)(y0 > x0) ψα(x)ψβ(y)(x0 > y0) T {ψα(x)ψβ(y)} = −ψβ(y)ψα(x)(y0 > x0) c. Định lý Wick Định lý Wick 1 T-tích của các toán tử bằng tổng các N-tích của chúng với mọi cách chứa các cặp đôi khả dĩ. T [A(x).B(x)] = N[A(x).B(x)] + A(x).B(x) (3.17) trong đó, cặp đôi được định nghĩa thông qua hệ thức: A(x).B(x) = h0|T [A(x).B(x)]|0i (3.18) • Liên hệ giữa cặp đôi và hàm truyền Feyman Z −ikz 1 4 e ∆F (z, m) = 4 d k 2 2 (2π) ε→+0 k − m + iε - Trường vô hướng trung tính: φ(x)φ(y) = i∆F (x − y, m) - Trường vô hướng mang điện: + + + + φ (x)φ(y) = φ(y)φ (x) = i∆F (x − y, m); φ(x)φ(y) = φ (x)φ (y) = 0 - Trường spinor: +α +β ψα(x)ψβ(y) = ψ (x)ψ (y) = 0 ¯β ¯β  β ψα(x)ψ (y) = −ψ (y)ψα(x) = i SF (x − y, m) α với  β ˆ β SF (x − y, m) α= i∂z + m α∆F (z, m);
  40. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 37 - Trường điện từ: Aµ(x)Aν(y) = −iηµν∆F (x − y, 0) • Cặp đôi hai trường khác nhau: A(x)B(y) = 0 ? Khai triển các T-tích sau dưới dạng các N-tích và các cặp đôi: T {ϕ1(x1)ϕ2(x2)} T {φ(x)φ(y)φ(z)} + ¯α T {φ (x)φ(y)ψ (z)ψβ(u)Aµ(v)} Định lí Wick 2 T-tích hổn hợp có thể khai triển như T-tích bình thường nhưng khi đó phải loại đi các số hạng chứa các cặp đôi giữa các thừa số trong cùng một N-tích. - Ví dụ : T {N(ϕ1ϕ2)N(ϕ3ϕ4)} = N{ϕ1ϕ2ϕ3ϕ4} + ϕ1ϕ3N{ϕ2ϕ4} + ϕ1ϕ4N{ϕ2ϕ3} + ϕ2ϕ4N{ϕ1ϕ3} + ϕ2ϕ3N{ϕ1ϕ4} + ϕ1ϕ3 ϕ2ϕ4 + ϕ1ϕ4 ϕ2ϕ3 ? Khai triển các T-tích sau dưới dạng các N-tích và các cặp đôi: ¯α µ ¯γ ν T {N[ψ (x)ψβ(x)A (x)]N[ψ (y)ψδ(y)A (y)]} d. Ứng dụng định lí Wick Ta có thể áp dụng định lí Wick để biễu diễn số hạng khai triển của S-ma trận. Xét Lagrangian tương tác của trường điện từ: ¯ µ Lint(ψ, Aµ) = e.N{ψ(x)γµψ(x)A (x)} (3.19) viết dưới dạng N-tích để bảo đảm trung bình các đại lượng vật lý ở trạng thái chân không bằng 0. Vì: (int) δLint ¯ µ T = ∂νϕ − Lintηµν = −e.N{ψγµψA }ηµν (3.20) µν δ(∂µϕ) Suy ra: (Lint) ¯ µ T00 = −Lint = −e.N{ψγµψA } (3.21) Vậy, (Lint) ¯ µ Hint(x) = T00 = −Lint = −e.N{ψγµψA } (3.22)
  41. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 38 Khi đó, n i R ∞ d4x (x)o S = P e −∞ Lint n P∞ (−i) R 4 4 4 = d x1d x2 d xnP {Lint(x1)Lint(x2) Lint(xn)} n=0 n! n n ∞ (−i) e = P R d4x d4x d4x P {N{ψ¯(x )γ ψ(x )Aµ1 (x ) ψ¯(x )γ ψ(x )Aµn (x )} n=0 n! 1 2 n 1 µ1 1 1 n µn n n P∞ (n) = n=0 S • n = 0 : S(0) = 1 • n = 1 : S(1) = ie R d4xN{ψ¯(x)γµψ(x)Aµ(x)} 1 • n = 2 : S(2) = − e2 R d4xd4yT {N(ψ¯(x)γµψ(x)A (x))N(ψ¯(y)γνψ(y)A (y))} 2 µ ν 1 = − e2(γ )β (γ )δ R d4xd4yT {N(ψ¯α(x)ψ (x)Aµ(x))N(ψ¯γ(y)ψ (y)Aν(y))} 2 µ α ν γ β δ • n = 3 : 3.4 GIẢN ĐỒ FEYNMAN P∞ (n) R 4 4 (n) Xét ma trận tán xạ: S = n=0 S , trong đó: S = d x1 d xnR (x1, x2, , xn) (n) R (x1, x2, , xn) là tổng của nhiều số hạng mà mỗi số hạng đều biễu diễn qua tích của các cặp đôi các toán tử trường và N-tích toán tử trường không bị cặp đôi. Ta có thể biễu diễn số hạng trên dưới dạng giản đồ Feynman nếu sử dụng bảng đối ứng sau: Ví dụ 1:
  42. Chương 3. TƯƠNG TÁC GIỮA CÁC TRƯỜNG 39 Các thừa số trong ma trận S Các thành phần trong giản đồ Hàm truyền photon Đường photon trong Aµ(x)Aν(y) x y Hàm truyền electron Đường electron trong ¯β ψα(x)ψ (y) x y Toán tử trường photon Đường photon ngoài Aµ(x) x Toán tử trường electron Đường electron ngoài ψα(x) x Toán tử trường electron Đường electron ngoài ψα(x) x eγµ Đỉnh eψα(x)γµψα(x)Aµ(x) x Ví dụ 2: Tán xạ e−, p
  43. Chương 4 LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE Hiện nay lí thuyết trường Gauge (trường chuẩn) đã trở thành một trong những cơ sở chính trong vật lý hạt cơ bản. Tất cả các tương tác thông dụng (mạnh, yếu, và điện từ) đã biết được mô tả bởi lí thuyết này. 4.1 TRƯỜNG GAUGE a. Biến đổi Gauge U(1) Xét biến đổi pha (biến đổi điện tích) của nhóm U(1) φ(x) → φ0(x) = e−iωqφ(x), (4.1) trong đó ω là một tham số. • Với ω =const: Mọi Lagrangian bất biến dưới tác dụng của phép biến đổi này. • Với ω = ω(x): Lagrangian không bất biến. Nhận xét: Để Lagrangian bất biến ta thay đạo hàm thông thường bằng đạo hàm hiệp biến Dµ: Dµ = ∂µ − iqAµ(x) (4.2) trong đó Aµ là trường gauge. Để Lagrangian bất biến thì đạo hàm hiệp biến phải biến đổi tương tự như toán tử trường, nghĩa là: 0 −iφω(x)q Dµφ → (Dµφ) = e Dµφ (4.3) Từ đây, ta có quy luật biến đổi của trường chuẩn: 0 Aµ(x) = Aµ(x) − ∂µω(x) (4.4) - Ví dụ 1: Xét trường vô hướng tích điện φ(x) 40
  44. Chương 4. LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE 41 µ + 2 + L0(φ) = ∂ φ ∂µφ − m φ φ (4.5) Để thu được Lagrangian bất biến, ta thay ∂µ → Dµ được: L = L0(φ) + Lint(φ, Aµ) (4.6) + + 2 µ + với Lint(φ, Aµ) = iqAµ(φ ∂µφ − ∂µφ φ) + q A Aµϕ φ là Lagrangian tương tác trường φ và Aµ. Để trọn vẹn, ta mô tả Lagrangian của hệ gồm φ và Aµ như sau: 1 µν L (φ, Aµ) = L0(φ) − F Fµν + Lint(φ, Aµ). (4.7) 4 1 1 Nhận xét, − F µνF là bất biến nhưng m2AµA không bất biến. Do đó, các trường 4 µν 2 µ gauge là trường không có khối lượng (photon là hạt không có khối lượng). - Ví dụ 2: Trường spinor mang điện q, Lagrangian của hệ L (ψ, Aµ) có dạng 1 µν ¯ µ L (ψ, Aµ) = L0(ψ) − F Fµν + qψγµψA (4.8) 4 b. Biến đổi Gauge phi Albel Giả sử ta có r hạt, mỗi hạt ứng với một trường ϕ1(x), ϕ2(x), ϕr(x), các trường này biến đổi theo quy luật: Pp j 0  −ig a=1 ωaMa ϕi(x) → ϕi(x) = e i ϕj(x) (4.9) trong đó Ma là ma trận rxr tuân theo hệ thức giao hoán: [Ma,Mb] = i.fabcMc (4.10) Tương tự, để Lagrangian là bất biến với phép biến đổi trên, ta thay đạo hàm thông thường ∂µ bằng đạo hàm hiệp biến lập theo cách sau: p X j Dµψi(x) = ∂µψi(x) − ig Aµa(Ma)i ψj (4.11) a=1 trong đó, ta đã đưa vào các trường gauge Aµa(a = 1, 2, , p) đòi hỏi biến đổi theo quy luật sau: 0 Aµa(x) = Aµa(x) − ∂µωa(x) (4.12) Đạo hàm hiệp biến cũng đòi hỏi phải biến đổi tương tự như toán tử trường, nghĩa là: j    Pp  −ig ωaMa Dµψi(x) = e a=1 Dµψj (4.13) i
  45. Chương 4. LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE 42 4.2 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT - CƠ CHẾ HIGGS Các trường gauge không có khối lượng. Tương tác yếu là tương tác tầm gần nên hạt truyền tương tác phải có khối lượng. Do vậy, ta phải tìm cách cho trường gauge Aµ có khối lượng. Sự phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs sẽ giúp ta việc này. a. Sự phá vỡ đối xứng tự phát Sự phá vỡ đối xứng tự phát là hiện tượng Lagrangian còn bất biến với biến đổi gauge nhưng chân không (trạng thái cơ bản) là không bất biến với phép biến đổi gauge. Người ta chứng minh rằng, trung bình chân không của toán tử trường là giá trị của trường cổ điển mà tại đó thế năng đạt cực tiểu. Trường vật lý là trường có trung bình chân không bằng 0. Chẳng hạn xét trường vô hướng φ mang điện, dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích: φ(x) → φ0(x) = e−iωqφ(x), (4.14) ta thu được: h0|φ(x)|0i = 0 (4.15) Bây giờ, ta xét trường vô hướng φ(x) và trường gauge Aµ(x) được mô tả bởi Lagrangian toàn phần như sau: µ + 2 + + 2 1 µν L (φ, Aµ) = D φ Dµφ + ρ φ φ − λ(φ φ) − F Fµν. (4.16) 4 Lagrangian trên bất biến với phép biến đổi gauge: φ(x) → φ0(x) = e−igω(x)φ(x), (4.17) nhưng thế năng V (φ) = ρ2φ+φ − λ(φ+φ)2 đạt cực tiểu tại: −iu φ(x) = v = √ , (4.18) 2 r ρ2 với u = . λ Do đó, toán tử trường φ có trung bình chân không là: h0|φ(x)|i = v 6= 0 (4.19) Điều này có nghĩa vi tử Tq tác dụng lên chân không khác 0: Tq|0i= 6 0. Trường φ không phải là trường vật lý. Ta lập trường F (x) = φ(x) − v sao cho h0|φ(x)|i = 0. Khi đó, trường F (x) là trường vật lý. Vì F (x) là trường vô hướng tích điện (phức) nên ta có thể đặt: 1 1 F (x) = √ ϕ(x) − iσ(x)⇒ φ(x) = √ ϕ(x) − i(σ(x) + u), (4.20) 2 2
  46. Chương 4. LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE 43 với ϕ(x) và σ(x) là các trường vô hướng trung tính. Thay φ(x) vào phương trình (4.16), ta thu được: 2 1 µ + 1 + µ 2 2 g 2 µ 1 µν L (φ, Aµ) = ∂ φ ∂µφ + ∂µσ ∂ σ − σ ρ + u AµA + − F Fµν. (4.21) 2 2 2 4 Như vậy, khi ta dịch chuyển toán tử trường thì xuất hiện trường gauge Aµ có khối lượng là mA = gu, và tồn tại trường vô hướng trung tính ϕ không có khối lượng gọi tên là trường Goldstone. Tổng quát hoá, sự phá vỡ đối xứng tự phát trong trường hợp nhóm đối xứng có n vi tử T1|0i= 6 0, T2|0i= 6 0, , Tn|0i= 6 0 thì dẫn đến sự tồn tại n trường vô hướng trung tính không có khối lượng. b. Cơ chế Higgs Phá vỡ đối xứng tự phát đã xây dựng một trường gauge có khối lượng nhưng cũng đồng thời tạo ra một vướng mắc lớn là sự tồn tại trường Goldstone không khối lượng. Ta phải dùng cơ chế Higgs để giải quyết vướng mắc này. Ta biễu diễn toán tử trường ban đầu dưới dạng khác:  i  φ(x) = eiϕ(x)/u −√ (σ + u) (4.22) 2 Thực hiện phép biến đổi: φ(x) → φ0(x) = e−iϕ(x)/uφ(x) (4.23) giống phép biến đổi gauge với ω = ϕ/(gu) ta thu được: i φ(x) = −√ [σ + u] (4.24) 2 Để Lagrangian bất biến, trường gauge biến đổi theo quy luật sau 1 A0 = A − ∂ ϕ (4.25) µ µ gu µ Khi đó, 1 µ 2 2 1 0 0 2 1 2 2 0µ L (φ, Aµ) = ∂µσ∂ σ − ρ σ − (∂µA − ∂νA ) + g u A Aµ 2 4 ν µ 2 g2 λ + σ[2u + σ]A0 A0µ − [4u + σ]σ3. (4.26) 2 µ 4 √ 0 Lagrangian cho thấy rằng, trường Aµ có khối lượng gu, trường Higgs σ có khối lượng 2ρ, trường ϕ đã biến mất. Người ta nói, các trường chuẩn Aµ đã "ăn" các Goldstone boson và trở nên có khối lượng.
  47. Chương 5 MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 5.1 TƯƠNG TÁC YẾU Lí thuyết tương tác vạn năng V-A Feymann, Gell Mann, Marshak và Sudarshan đã đưa Hamiltonian với hằng số tương tác duy nhất cho tất cả các tương tác yếu: GF H = √ J µJ +, (5.1) 2 µ µ trong đó, GF được gọi là hằng số Fermi, J được gọi là các dòng tương tác yếu có cấu trúc như sau: µ had lep J = Jµ + jµ (5.2) với, lep X ¯(ν`) (`) jµ = ψ γµ(1 − γ5)ψ (x) (5.3) `=e,µ,τ lep had had Các dòng jµ ,Jµ là các dòng tương tác yếu của các lepton và các hadron. Dòng Jµ không có công thức tường minh nhưng có thể đoán nhận từ ý tưởng vật lí: had µ µ Jµ = JV − JA (5.4) µ µ Các dòng vectơ JV bảo toàn: ∂µJV = 0. Các dòng trục không bảo toàn, chúng có dạng: µ(∆S=0) µ(∆S=1) JA = cφπ+ và JA = cφK+ (5.5) 5.2 TƯƠNG TÁC ĐIỆN TỪ Điện động lực học lượng tử suy ra từ nguyên lý bất biến gauge mà trong đó nhóm biến đổi là nhóm U(1) một thông số ứng với phép biến đổi điện tích. Trường gauge là trường photon Lagrangian mô tả tương tác điện từ giữa hadron và photon: (em) µ Lint = eJµ A (x) (5.6) (em) ¯ Trường hợp electron Jµ = ψγµψ (em) ¯ µ Lint = eψγµψA (x) (5.7) 44
  48. Chương 5. MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 45 • Xét quá trình tán xạ: e−(k) + p(p) → e−(k0) + p(p0) Phần tử ma trận tán xạ: e2 T = − U¯(k0)γ U(k)hp(p0)|J (em)(0)|p(p0)i, (5.8) fi q2 µ µ với q = p0 − p = k − k0 là xung lượng truyền, U(k) là spinor Dirac của electron. - Trường hợp không có tương tác mạnh 0 (em) 0 ¯ 0 µ hp(p )|Jµ (0)|p(p )i = U(p )γ U(p) (5.9) - Trường hợp có tương tác mạnh   0 (em) 0 ¯ 0 p 0 ν p hp(p )|Jµ (0)|p(p )i = U(p ) γµF1 (t) + iσµν(p − p) F2 (t) M(p) (5.10) i trong đó t = q2, σ = [γ , γ ] và F p(t), F p(t) là các thừa số dạng điện và dạng từ được xác µν 2 µ ν 1 2 µ định từ thực nghiệm. Chẳng hạn: F p(0) = 1, F p(0) = p với µ = 1, 79 đơn vị Magneton 1 2 2M p Bohr, M là khối lượng nuclon. • Xét quá trình tán xạ: e− + n → e− + n Cách làm tương tự: thay p → n nhưng: µ F n(0) = 0,F n(0) = n 1 2 2M • Xét quá trình tán xạ: e−(k) + π+(p) → e−(k0) + π+(p0) Phần tử ma trận tán xạ: e2 T = − U¯(k0)γ U(k)hπ+(p0)|J (em)(0)|π+(p0)i, (5.11) fi q2 µ µ - Trường hợp không có tương tác mạnh + 0 (em) + 0 hπ (p )|Jµ (0)|π (p)i = (p + p)µ (5.12) - Trường hợp có tương tác mạnh + 0 (em) + 0 π hπ (p )|Jµ (0)|π (p)i = (p + p )µF (t) (5.13) với F π(t) được gọi là thừa số dạng điện từ của π và cũng được xác định từ thực nghiệm, ví dụ: F π(0) = 1.
  49. Chương 5. MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 46 5.3 MÔ HÌNH THỐNG NHẤT WEINBERG SALLAM a. Mô hình chuẩn của Weinberg-Sallam Trong tương tác yếu có 2 dòng mang điện: hadr lept Jµ(x) = Jµ (x) + jµ (x) cần 2 vi tử (5.14) Tương tác điện từ có dòng: (em) ¯(`) (`) Jµ (x) = ψ (x)γµψ (x) cần 1 vi tử (5.15) Như vậy, để thống nhất tương tác điện từ, ta cần có 1 nhóm có 3 vi tử nên phải mở rộng ra SU(2)L(1)Y . Áp dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát, ta thu được Lagrangian tương tác toàn phần yếu + điện từ có dạng:   g + g 0 0 em Lint = i √ jµ Wµ + h +i jµZµ + ieJµ Aµ (5.16) 2 2 2cosθw với, 0 Zµ = cosθwbµ3 − sinθwaµ (5.17) 0 Aµ = cosθwbµ3 − cosθwaµ (5.18) 1 W ± = (b ± b ) (5.19) µ 2 µ1 µ2 trong đó: θw là góc Weinberg được định nghĩa: g cosθw = (5.20) pg2 + 4g02 W ± và Z0 là các hạt truyền tương tác yếu có khối lượng: mW gu mZ = = (5.21) cosθw 2cosθw e và G liên hệ với nhau qua: √ 2gg0 2g2 e = G = (5.22) p 2 02 2 g + 4g 8mW Thay số liệu vào, ta thu được: mW ≈ 80GeV, mZ ≈ 90GeV.
  50. Chương 5. MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 47 b. Phân loại lepton và quark trong mô hình W-S Các hạt quark và lepton được chia thành 3 thế hệ như sau: - Thế hệ 1: (e, νe); (u, d) - Thế hệ 2: (µ, νµ); (c, s) - Thế hệ 3: (τ, ντ ); (t, b) Độ xoắn: bất kì trường χ thoả điều kiện: γ5χ = −χ: có độ xoắn trái. γ5χ = +χ: có độ xoắn phải. • Phân loại lepton: Để có dòng mang điện lepton dạng V-A, người ta sắp các hạt xoắn trái vào lưỡng tuyến của nhóm SU(2)L còn các hạt xoắn phải vào đơn tuyến như sau: Lưỡng tuyến trái: − − − (νe, e )L;(νµ, µ )L;(ντ , τ )L Đơn tuyến phải: − − − eR, µR, τR Cũng như nhóm SU(2) đồng vị, công thức của toán tử điện tích: Y Q = I + w (5.23) 3 2 Suy ra siêu tích yếu cho lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phải là: YwL = −1,YwR = −2 • Phân loại quark: Lưỡng tuyến trái: (u, dc)L;(c, sc)L trong đó: dc, sc là pha trộn của quark d và quark s: dc = d.cosθc + s.sinθc, sc = −d.sinθc + s.cosθc, với θc ≈ 0, 26 rad: góc Cabbilo.
  51. Chương 5. MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM 48 Suy ra siêu tích yếu cho lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phải là: 1 (u, d ) Y = c L wL 3 (c, s ) Y = c L wL 3 4 u Y = R wL 3 2 (d ) Y = − c R wL 3 4 cY = wL 3 2 (s ) Y = − c R wL 3 5.4 PHƯƠNG HƯỚNG THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC a. Thống nhất lớn 1964, tương tác điện từ-yếu thống nhất dựa trên cơ sở nhóm gauge SU(2)L ⊗ U(1)Y . 1974, John Iliopoulos đề xuất mô hình chuẩn (SM) thống nhất tương tác điện từ + yếu + mạnh dựa trên nhóm gauge SU(3)C ⊗ SU(2)L ⊗ U(1)Y . b. Lí thuyết dây Hạt cơ bản có kích thước như những sợi dây. Dây chuyển động vạch ra 1 mặt trong không gian gọi là lá thế. Lí thuyết dây là lí thuyết động học trên lá thế. Toạ độ mở rộng: χµ(τ, σ) với τ là thời gian riêng của sợi dây, σ là độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây. Để xác định lí thuyết dây hoàn chỉnh thì số chiều không gian là 10 trong đó có 6 chiều ngoại phụ co lại thành những vòng kín. Có 5 loại lí thuyết dây thích hợp để bó gọn chiều ngoại phụ. c. Lí thuyết M Lí thuyết M là sự mở rộng của lí thuyết dây do tính đối ngẫu dây: kết hợp 2 tính chất tương phản nhau. 5 loại lí thuyết dây được xem là 5 trường hợp giới hạn của lí thuyết M. Lí thuyết M bao gồm cả hấp dẫn có số chiều D=11. Hiện nay lí thuyết M chưa hoàn thiện.
  52. BÀI TẬP 1. Tính giao hoán tử: [a(k), (a+(`))n], [(a(k))n, a+(`)] 2. Tính xung lượng và điện tích của trường vô hướng tích điện của các trạng thái sau đây: |k1k2i, |k`ei, |`e1`e2i 3. Tính giá trị của các toán tử: Z Z N = dka+(k)a(k), Ne = dkb+(k)b(k) trong các trạng thái của trường vô hướng tích điện: |p1p2i, |p`ei, |`e1`e2i 4. Tính giá trị của toán tử F trong trường vô hướng tích điện   F = k xa+(k)a(k) + yb+(k)b(k) trong các trạng thái của trường vô hướng tích điện: |p1 pn`e1 `emi 5. Chứng minh rằng biểu thức khai triển Fourier của trường vô hướng thoả mãn phương trình: 2 ( + m )φ = 0 6. Cho trường spinor, xác định giá trị của các toán tử: X Z X Z N = dka+(k, s)a(k, s), Ne = dkb+(k, s)b(k, s) s=1,2 s=1,2 trong các trạng thái: |p1r1p2r2i, |pr`tei, |`g1t1 `g2t2i 49
  53. 7. Xét trường ψ, chứng minh rằng: µ 2 Từ phương trình Dirac: (−iγµ∂ + m)ψ = 0, suy ra phương trình ( + m )ψ = 0 8. Cho trường spinor, chứng tỏ: ψ¯(x)ψ(x) là đại lượng vô hướng. 9. Tính: Spa,ˆ Spaˆˆbc,ˆ Spaˆˆbcˆdˆ 10. Cho trường vô hướng trung tính, chứng minh: [φ(x), φ(y)] = 0 x0=y0 11. Giả sử có lưỡng tuyến SU(2) ϕi, ψi, chứng minh rằng: +i φ = ϕ ψi là đơn tuyến. 12. Giả sử có 2 tam tuyến đồng vị SU(2): ϕa, ψa, chứng minh rằng: φ = ϕaψa là đơn tuyến.
  54. Tài liệu tham khảo [1] Đào Vọng Đức, "Bài giảng Lí thuyết Trường và Mô hình Chuẩn", (2005) . [2] Đặng Văn Soa, "Đối xứng Chuẩn và Mô hình Thống nhất Điện Yếu", NXB ĐH Sư phạm (2005). [3] Hoàng Ngọc Long, "Nhập môn Lí thuyết Trường và Mô hình Thống nhất Tương tác Điện Yếu", NXB Khoa học và kĩ thuật (2003). [4] Hoàng Ngọc Long, "Cơ sở vật lý hạt cơ bản", NXB Thống kê (2006). [5] Nguyễn Ngọc Giao, "Hạt cơ bản", NXB Trường ĐH Khoa học tự nhiên (1999). [6] Nguyễn Xuân Hãn, "Cơ sở Lí thuyết Trường Lượng tử", NXB ĐHQG Hà Nội (1998). [7] Michio Kaku, "Quantum Field Theory", Oxford University Press (1993). [8] Stephen Gasiorowicz, "Elementary Particle Physics", John WileySons (1966). 51