Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 10: Cơ học lượng tử - Nguyễn Như Xuân

Nội dung text: Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 10: Cơ học lượng tử - Nguyễn Như Xuân

1. HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SƯ BỘ MƠN VẬT LÝ NGUYỄN NHƯ XUÂN VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG 2
2. Chƣơng 10: CƠ HỌC LƢỢNG TỬ NỘI DUNG I – Tính sĩng – hạt của vật chất II – Hệ thức bất định Heisenberg III – Hàm sĩng và ý nghĩa thống kê của nĩ IV – Phương trình cơ bản của CHLT
3. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 1 – Tính sĩng - hạt của ánh sáng:  Các hiện tượng thể hiện tính sĩng: Tán sắc, giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng.  Các hiện tượng thể hiện tính hạt: Bức xạ nhiệt, Quang điện, Tán xạ Compton.  Các thuyết về bản chất của ánh sáng:  Thuyết hạt của Newton  Thuyết sĩng của Huygens  Thuyết sĩng điện từ của Maxwell  Thuyết photon của Einstein (1905)
4. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT: 2 – Hàm sĩng phẳng: d u a cos2  t u a cos 2 (  t ) O M  Sĩng M r rn phẳng a cos 2 (  t ) đơn )  sắc O n d = rcos = r .n rn i 2 i(  t ) (Wt p r )  ae ae ae i(  t k r ) h 34 2 pk 2 1,05.10 Js kn 
5. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 3 – Giả thuyết của De Brogile: Một hạt tự do cĩ năng lƣợng và động lƣợng xác định thì tƣơng ứng với một sĩng phẳng đơn sắc. Năng lƣợng của hạt liên hệ với tần số của sĩng tƣơng ứng theo hệ thức: W h   Động lƣợng của hạt h liên hệ với bƣớc sĩng p hay p k của sĩng tƣơng ứng  theo hệ thức: Ý nghĩa triết học: là hai mặt đối lập, thể hiện sự mâu thuẫn bên trong của các sự vật hiện tƣợng.
6. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT 4 – Thực nghiệm xác nhận tính chất sĩng của electron: Sự nhiễu xạ của chùm electron qua khe hẹp chứng tỏ 1 chùm hạt electron cĩ tính chất sĩng. 0.8 0.6 0.4 Cường độ tỉ đối I/Io 0.2 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Hoành độ x (mm)
7. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT Ví dụ 1: Một electron cĩ động năng ban đầu 10eV, đƣợc gia tốc bởi hiệu điện thế 90V. Tìm bƣớc sĩng De Brogile của electron sau khi đƣợc gia tốc. Giải Động năng của electron sau khi đƣợc gia tốc: W W0 eU 10 90 100eV Quan hệ giữa động năng W và động lƣợng p: hh 2 Bƣớc sĩng De Brogile:  p 2mW p 2mW 34 6,625.10 10 Thay số:  1,23.10 m 2.9,1.10 31 .100.1,6.10 19
8. I – TÍNH SĨNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT Ví dụ 2: Máy bay khối lƣợng 1 tấn, chuyển động với tốc độ 1440km/h thì cĩ bƣớc sĩng De Brogile bằng bao nhiêu? Giải Bƣớc sĩng De Brogile của máy bay: hh6,625.10 34  1,66.10 39 m p mv 1000.400
9. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 1 – Hệ thức bất định: Đối với hạt vi mơ, cĩ những đại lƣợng xác định chính xác đồng thời, nhƣng cũng cĩ những đại lƣợng khơng thể xác định chính xác đồng thời. Hệ thức xác định sai số khi đo đồng thời các đại lƣợng đĩ đƣợc gọi là hệ thức bất định Heisenberg. Tổng quát: F, G là hai đại lượng đo đồng thời, tương ứng với hai tốn 1 ( F)2 .( G) 2 K 2 tử tuyến tính Hermite F,G 4 Và FG GF iK
10. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 1 – Hệ thức bất định: Đối với tọa độ và động lượng: x. p hay x. p h hay x. p xx2 x y. p hay y. p h hay y. p yy2 y z. p hay z. p h hay z. p zz2 z Đối với năng lượng và thời gian: E. t hay E. t h hay E. t 2
11. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 2 – Nghiệm lại hệ thức bất định đối với tọa độ: Sau khi qua khe hẹp, các electron cĩ thể rơi vào các cực đại nhiễu 0 x xạ. Sai số nhỏ nhất của px ứng với trƣờng hợp p hạt rơi vào cực đại giữa: 0 px p.sin  hh px p.sin p. . b  bb Vì: xb nên: x. px h
12. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG 3 – Ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg: Việc khơng thể xác định chính xác đồng thời các đại lƣợng vật lý là do lƣỡng tính sĩng - hạt của vi hạt. Nĩ mang tính khách quan. Hệ thức bất định Heisenberg là cơ sở tốn học cho biết giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển (nhƣng khơng hạn chế khả năng nhận thức của con ngƣời) về thế giới vi mơ. Khơng thể dùng các khái niệm cổ điển để mơ tả qui luật vận động của các vi hạt.
13. II – HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Ví dụ: Electron chuyển động trên trục Ox trong phạm vi 10–8 m. Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg, xác định sai số nhỏ nhất trong phép đo tốc độ của electron. Giải Ta cĩ: x. px x.m. vx vx min( v ) x.m x max( x).m 6,625.10 34 min( v ) 7,3.104 m / s x 2 .10 8 .9,1.10 31
14. III– HÀM SĨNG VÀ Ý NGHĨA THỐNG KÊ 1 – Hàm sĩng: Mỗi trạng thái của vi hạt đƣợc đặc trƣng bởi một hàm phức  (r, t) gọi là hàm sĩng. Ví dụ: Hàm sĩng của một vi hạt tự do cĩ dạng tƣơng tự nhƣ sĩng phẳng đơn sắc: i (wt p r ) i(  t k r ) (r,t) oo e  e Trong đĩ biên độ 0 của hàm sĩng được xác định 2 2 * * bởi: 0 = || =  , với  là liên hợp phức của 
15. III– HÀM SĨNG VÀ Ý NGHĨA THƠNG KÊ 2 – Ý nghĩa thống kê của hàm sĩng: Bình phƣơng mơdun của hàm sĩng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm thấy hạt. | |2 mat do xac suat Suy ra: Xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích dV là: | |2 .dV Vì xác suất tìm thấy hạt trong tồn khơng gian luơn bằng 1, nên: | |2 dV 1 (Điều kiện chuẩn hĩa của hàm sĩng) toanK/G
16. III– HÀM SĨNG VÀ Ý NGHĨA THƠNG KÊ 3 – Điều kiện của hàm sĩng: Hàm sĩng  (r, t) đặc trƣng cho trạng thái vật lý của một vi hạt, nên nĩ phải thỏa mãn các điều kiện: • Đơn trị • Liên tục • Giới nội • Đạo hàm bậc nhất phải liên tục
17. III– HÀM SĨNG VÀ Ý NGHĨA THƠNG KÊ Ví dụ: Một vi hạt chuyển động dọc theo trục Ox, trong đoạn [0, a]. Hàm sĩng của nĩ cĩ dạng:  (x) A.e ikx a) Xác định liên hợp phức và mơdun của hàm sĩng đĩ. b) Xác định hệ số A theo a. c) Tính xác suất tìm thấy hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2. Giải ikx Liên hợp phức:  *(x) A.e Modun của hàm sĩng: | |22  .  * A |  | A
18. III– HÀM SĨNG VÀ Ý NGHĨA THƠNG KÊ a b) Từ đk chuẩn hĩa của hàm sĩng: | |2 dx 1 a 0 2 1 A dx 1 A 0 a c) Xác suất tìm hạt trong phạm vi từ 0 đến a/2: a/2 a/2 a | |22 dx A dx A2 . 0,5 50% 2 00
19. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 1 – Phương trình cơ bản: Một vi hạt chuyển động trong trường lực thế U( r ) i Thì hàm sĩng của nĩ cĩ dạng: (r,t) e wt  (r ) Trong đĩ: W là năng lượng của vi hạt,  ( r ) là Phần phụ thuộc tọa độ khơng gian của hàm sĩng, thỏa mãn phương trình: 2m (r) 2 [W U(r)]  (r) 0 PT trên là pt Schrodinger, hay pt cơ bản của CHLT
20. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2m (*) (r) 2 [W U(r)]  (r) 0 Tốn tử gọi là tốn tử Laplace. 2  2  2 Trong hệ tọa độ Descarter: x2  y 2  z 2 W là năng lƣợng của hạt; U là thế năng của hạt. (*) là phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2, cĩ vai trị nhƣ phƣơng trình của ĐL II Newton trong CHCĐ.
21. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2m (*) (r) 2 [W U(r)]  (r) 0 Nếu 1, 2, , n là các nghiệm riêng của (*) thì  = Ci i cũng là nghiệm của (*). Trường hợp hạt chuyển động tự do thì U = 0, (*) trở thành: 2mW  2  0 ( ) Nghiệm của ( ) chính là hàm sĩng De Broglie: i (Wt p r ) (r,t) 0 e
22. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 – Ứ/dụng PTCB giải bài tốn giếng thế 1 chiều: U 0 khi 0 x a • Thế năng: U khi x 0  x a 2m • PT cơ bản: (r) 2 [W U(r)]  (r) 0 x 2mW • Suy ra: (r )  (r ) 0 (1) O a 2 Vì chỉ xét một phƣơng d2 2mW  0 (2) Ox, nên (1) trở thành: dx22 Nghiệm của (2) là: (x) Asin kx Bcoskx Với A, B là các hằng số tích phân, sẽ được xác định từ điều kiện của bài tốn; k là hệ số: 2 2mW k 2
23. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 2 2mW (x) Asin kx Bcoskx (3) k 2 (4) Vì hạt chỉ ở trong hố thế, nên: (0)  (a) 0 n Từ (3) suy ra: B = 0; sinka = 0 k (n 1,2, ) a Từ điều kiện chuẩn hĩa của hàm sĩng: a nx 2 | (x) |2 dx 1 A 2 sin 2 ( )dx 1 A 0 a a 2n Vậy, hàm sĩng:  (x) sin( x) n aa 22 (4) Suy ra năng lượng của vi hạt: Wn 2 (6) n 2ma2
24. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT Kết luận: Trong giếng thế một chiều, sâu vơ hạn, mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sĩng: 2n  (x) sin( x) n aa 22 Và năng lƣợng: Wn 2 n 2ma2 Năng lƣợng của hạt biến thiên gián đọan, tỉ lệ thuận với bình phƣơng những số nguyên liên tiếp – ta nĩi năng lƣơng bị lƣợng tử hĩa.
25. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT Ví dụ: Giả sử c/đ của electron trong nguyên tử Hydro đƣợc coi là chuyển động trong giếng thế một chiều, sâu vơ hạn, bề rộng a. Xác suất tìm thấy electron sẽ lớn nhất ở vị trí nào, nếu xét ở trạng thái cơ bản và trang thái kích thích thứ 2? Giải: 2 n x  (x) sin( ) Hàm sĩng của vi hạt trong giếng thế: n aa 2 n x Mật độ xác suất tìm thấy vi hạt: (x)|  (x)|22 sin( ) n aa Xác xuất tìm thấy hạt lớn nhất tại vị trí cĩ mật độ xác suất lớn nhất. nx (x) sin2 ( ) 1 max a
26. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT nx nx nx (x) sin2 ( ) 1 sin( ) 1 k max a a a2 a ka x Với k = 0, 1, 2, . . .; và x < a 2n n aa Ở trạng thái cơ bản: n = 1 x ka 22 Ở trạng thái kích thích thứ 2: n = 3 a ka a a 5a x x ; ; 2.3 3 6 2 6
27. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT 3 – Hiệu ứng đường ngầm: - Xét vi hạt cĩ khối lượng m cĩ năng lượng W chuyển động theo phương x từ trái sang phải, đập vào hàng rào thế (Hàng rào thế là miền khơng gian mà tại đĩ thế năng lớn hơn các miền lân cận nĩ). + Theo quan điểm của CH cổ điển thì một hạt cĩ năng lượng tồn phần W < thế năng Umax hạt khơng thể vượt ra khỏi hàng rào. + Theo quan điểm của cơ học lượng tử thì vi hạt vẫn cĩ khả năng xuyên qua hàng rào thế năng bằng dời chuyển "đường ngầm" - gọi là hiệu ứng đƣờng ngầm.
28. IV– PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHLT hệ số truyền qua hàng rào thế năng cĩ dạng: 2 x2 D Dexp 2 m U ( x ) W dx o x1 - Tuy năng lượng W < UO nhưng D vẫn luơn luơn khác 0, như vậy vẫn cĩ hạt xuyên qua hàng rào thế năng dù ít hay nhiều (tùy thuộc D nhỏ hay lớn). - Với vi hạt cĩ khối lượng m xác định, D phụ thuộc vào bề rộng a của hàng rào: khi a nhỏ thì hệ số D lớn, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ nét trong kích thƣớc vi mơ và là một hiện tƣợng biểu hiện rõ tính chất sĩng của vi hạt, điều mà hạt vĩ mơ chuyển động khơng thể cĩ.
29. ƠN TẬP + Phần lý thuyết gồm các nội dung: Giả thuyết Đơbrơi, các cơng thức về hệ thức bất định Heisenberg. Khái niệm về hàm sĩng Đơbrơi và các tính chất, ý nghĩa thống kê của nĩ. Phương trình Schrodinger 1 chiều trong các hố thế cao vơ hạn. Khái niệm và Giải thích hiệu ứng đường ngầm bằng hệ thức bất định Heisenberg. + Phần bài tập: 5.1-5.6. 5.11, 5.12, 5.13, 5.21, 5.23, 5.24, 5.28