›
›

Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Giải tích Vetor - Châu Văn Bảo

pdf 57 trang ngocly 210
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Giải tích Vetor - Châu Văn Bảo", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_truong_dien_tu_chuong_1_giai_tich_vetor_chau_van_b.pdf

Nội dung text: Bài giảng Trường điện từ - Chương 1: Giải tích Vetor - Châu Văn Bảo

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP. HCM KHOA ĐIỆN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ĐỐI TƯỢNG: SV NGÀNH ĐIỆN 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 1
  2. Giới thiệu 1. Số tiết: 45 tiết 2. Yêu cầu: · Thi giữa kỳ · Tiểu luận · Thi kết thúc 4. Tài liệu tham khảo: § Nguyễn Kim Đính Trường điện từ NXB ĐH Quốc Gia TP. HCM, 2006 § William H. Hayt, Jr & John A. Buck Engineering Electromagnetics, Sixth Edition McGraw-Hill International Edition 2006 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 2
  3. NỘI DUNG 1. Giải tích Vector 2. Định luật Coulomb và cường độ trường điện 3. Mật độ từ thông, định luật Gauss’s và Divergence 4. Năng lượng và điện thế 5. Dòng điện và vật dẫn điện kim loại 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 3
  4. NỘI DUNG 6. Vật liệu cách điện và tụ điện 7. Trường từ dừng 8. Lực từ, vật liệu và điện cảm 9. Trường biến thiên và hệ phương trình Maxwell 10. Sóng điện từ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 4
  5. Chương 1 Giải tích Vetor 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 5
  6. 1.1 Vô hướng và Vectơ · Vôhướng dùng để chỉ các đạilượngmàgiátrị chỉ phụ thuộcmộtsốthực. „ VD: Nhiệt độ tạitừng điểmtrongphònghọclàmộttrường vôhướng. · Vectơ: dùng để chỉ các đạilượng vừacó độ lớnvừacó hướng trongkhônggian. „ VD: Lực,vậntốc,giatốc · Vectơ A đượckýhiệu: A · Độ lớnvectơ A kýhiệu: A 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 6
  7. 1.2 Đại số vectơ Figure 1.1a Figure 1.1b · Cộng vectơ bằng quitắchìnhbìnhhình (Fig1.1a) hoặcbằngquitắcnối-đuôi-vào–đầu (Fig1.1b) · CộngVectơ theoquitắcsau: * Giaohoán :A+B=B+A *Kếthợp :A+(B+C)=(A+B)+C 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 7
  8. 1.2. Đại số vectơ · A - B = A + (–B) · Phânbố · k(A + B) = kA + Kb · (r + s) (A + B) = r (A + B) + s (A + B) = rA + rB + sA + sB · (k + h) A = kA + hB 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 8
  9. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC (RCS) Figure 1.2a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 9
  10. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC · Hệ tọa độ vuông góc thuận (Fig 1.2a). Đinh ốc quay thuận từ trục x sang trục y theo góc nhỏ sẽ tiến theo chiều trục z. · Gọi P(x,y,z) là một trong không gian 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 10
  11. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Figure 1.2b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 11
  12. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC · Fig 1.2b biểu diễn P (1, 2, 3) and Q (2, –2, 1) · Điểm P có x = 1, y = 2, and z = 3 · Điểm Q is có x = 2, y = –2 and z = 1 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 12
  13. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Figure 1.2c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 13
  14. 1.3 HỆ TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC Fig 1.2c biểu diễn P (x, y, z). Nếu chúng ta tăng x,y, và z bỡi dx, dy và dz, ta có P’ rất gần P. P’ (x + dx, y + dy, z + dz). · Thể tích dv = dxdydz · Diện tích các mặt dSz =dxdy, dSx=dydz, dSy=dzdx · Đường chéo dL=PP'=(dx)2++(dy)22()dz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 14
  15. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ P o o Figure 1.3 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 15
  16. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ Điểm P(x,y,z) , vector r = OP(Fig 1.3a) · Tổng các thành phần: r = x + y + z · In Fig 1.3b, ax, ay và az vectors đơn vị, có độ lớn bằng 1 · Các vectơ ax, ay và az hướng theo chiều tăng của tọa độ thực, tương ứng với các mặt phẳng x = 0, y = 0, and z = 0. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 16
  17. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ Figure 1.3c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 17
  18. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ · In Fig 1.3c rp = ax + 2aayz + 3 rQ = 2ax – 2aayz + RPQ=-rrQP=ax 42aayz „ Tổng quát, if P (x, y, z), P1 (x1, y1, z1), and P2 (x2, y2, z2), then rP=xax++yzaayz R=(x-x)a+(y-y)aa+-()zz P12P21x21yz21 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 18
  19. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ • B trường vectơ: B=Bxax++BByaayzz „ Bx, By, and Bz là hình chiếu B lên các trục x, y, z „ Bx=Bxax,,By==BByayBazzzHình chiếu thành phần của B 〈 Độ lớn của B là 222 ||B =B=Bx++BByz (1) · Vectơ đơn vị theo hướng r rr ar== r x2++yz22 · Vectơ đơn vị theo hướng B là: BB a B == B 222 Bx++BByz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 19
  20. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ EXAMPLE 1.1 Tìm vectơ đơn vị từ gốc O đến G (2, –2, –1) SOLUTION. Vectơ đơn vị theo hướng G là G=22ax aayz Độ lớn của G, G =(2)2+(-2)22+(-=1)3 Vectơ đơn vị theo hướng G là G 221 a==a-a-a=0.667a 0.667aa0.333 GG 3x33yzyyz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 20
  21. 1.4 Vectơ đơn vị và thành phần của vectơ DRILL PROBLEM D1.1 Cho 3 điểm M (–1, 2, 1), N (3, –3, 0), và P (–2, –3, –4), tìm: a (a) R MN ; (b) RR M N + MP ; (c) r M ; (d) MP ; (e) 23rrPN- ANSWERS (a) 45ax aayz (b) 3ax 106aayz (c) 2.45 (d) -0.14ax 0.7aayz0.7 (e) 15.56 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 21
  22. 1.5 Trường vectơ Gọi P (x, y, z) , và r là vectơ vi trí của P. · T là hàm vô hướng của vectơ T = T(r) tức là hàm vô hướng của ba biến x, y, z T==T(r)T(x,yz,) (C1) · Trường vectơ A là một hàm vectơ r Figure C1.1 A=A(r) Ax, Ay, Az là các hàm vô hướng của x, y, z A(r)=Ax(x,y,z)ax++Ay(x,y,z)aayAzz(x,yz,) (C2) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 22
  23. 1.5 Trường vectơ BT: 1.2 Một trường vectơ S được cho trong tọa độ vuông bỡi: (x-1)a+(yz-2)aa++(1) S =125 xyz (x-1)2+(yz-2)22++(1) (a) Tìm S tại P (2, 3, 4) (b) Xác định vectơ đơn vị chỉ hướng của S tại P (c) Viết phương trình mặt cong, sao cho |S| = 1 ANSWERS (a) 5.95ax++11.90aayz23.8 (b) 0.218ax++0.436aayz0.873 (c) (x-1)2+(yz-2)2+(+=1)22(125) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 23
  24. 1.6 Tích vô hướng · InFigC1.2, tíchvôhướng, (or tích chấm) của hai vectơ A và B là: Figure C1.2 AB×=AB cosθ AB (3) · Tích chấm có tính chất giao hoán A×B=×BA (4) · Nếu ax, ay, và az là 3 vectơ đơn vị của hệ tọa độ vuông góc, thì: ax×ax=ay×ay=aazz×=1 (C3) ax×ay=ay×ax=ay×az=az×ay=az×ax=aaxz×=0 (C4) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 24
  25. 1.6 Tích vô hướng · In Fig C1.2, nếu cho A và B dưới dạng A=Aa++AAaa và xxyyzz B=Bxax++BByaayzz thì, từ (C3) và (C4), ta có AB×=AxBx++AyByABzz (5) · Tích chấm của A với chính nó là độ lớn bình phương 2 2 A×AA==A (6) · Nếu aA là vectơ đơn vị thì: aaAA×=1 (C5) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 25
  26. 1.6 Tích vô hướng Figure 1.4a Figure 1.4b · In fig 1.4a, thành phần vô hướng của B theo hướng xác định bỡi vectơ đơn vị a là: B×a==BacosθθBaBcos Ba (C6) ! BcosqBa dương nếu 0 £ θ £° 90 và âm nếu 90°£θBa £°180 · In Fig 1.4b, thành phần vectơ của B theo hướng của a là (B×=a)aa(BcosθBa ) (C7) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 26
  27. 1.6 Tích vô hướng VD 1.2 Cho trường vectơ G=yxax-+2.53aayz Và điểm Q (4, 5, 2). Tìm: (a) Vectơ G tại Q (b) Thành phần vô hướng của GQ tại Q theo hướng vectơ 1 a=(2a+-aa2) N3 xyz (c) Thành phần vectơ GQ theo hướng vectơ aN (d) Góc θ Ga giữa GQ và aN 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 27
  28. 1.6 Tích vô hướng SOLUTION (a) Thay tọa độ của của Q vào biểu thức của G , ta được G(rQ)=G(Q)=GQ=5ax-+103aayz (b) Sử dụng (C6), ta có thành phầnvô hướng của G tại Q 11 G×a=(5a-10a+3a)×(2a+aa-2)=(10-10-6)2=- QNxyz33xyz (c) Dùng (C7), ta có thành phần vectơ của G tại Q 1 (G×a)a=(-2)(2a+a-2a)=-1.333a-+0.667aa1.333 QNN3 xyzxyz (d) Góc giữa GQ và aN từ (C6) ta có: GaQ×=NGcosθGa -2=25++1009cosθGa và θGa =999×° 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 28
  29. 1.6 Tích vô hướng BT 1.3 Ba đỉnh của một tam giác ABC có tọa độ A (6, –1, 2), B (–2, 3, –4), and C (–3, 1, 5). Tìm: (a) RAB (b) RAC (c) Góc θ B AC ở đỉnh A (d) Hình chiếu của RAB lên RAC ANSWERS (a) -8ax+-46aayz (b) -9ax+-23aayz (c) 53.6° (d) -5.94ax++1.139aayz1.979 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 29
  30. 1.7 Tích chéo (tích hữu hướng) Figure 1.5 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 30
  31. 1.7 Tích chéo Trong Fig 1.5, tích chéo, or tíchcó hướng of A and B is a vector, kí hiệu: A × B và đọc “A tích chéo B”. · Độ lớn: of A × B is AB´=ABsinθAB (C8) ·Phương: Vuông góc với A and B. · Chiều: là chiều tiến của 1 đinh ốc thuận khi ta quay đinh ốc từ A đến B theo góc nhỏ θ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 31
  32. 1.7 Tích chéo · Biểu thức có thể được viết: A´=Ba(ABsin)θABN (7) Trong đó: aN làphápvector đơnvịcủamặtphẳng(A,B)có hướngtiếncủađinh ốcthuậnquaytừAsang B. · Tích chéo có tính đối giao hoán: B × A = –A × B (C9) · Diệntích củatamgiáchợpbỡihaivector A and B is S=ABsinθAB =´AB (C10) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 32
  33. 1.7 Tích chéo · Ba vector đơn vị trong tọa độ vuông (RCS): ax´ax=ay´ay=aazz´=0 (C11) ax´ay=-ay´=aaxz ay´az=-az´=aayx (C12) az´ax=-ax´=aazy · If A = A x a x ++ AA y aa y zz and B = B x a x ++ BB y aa y zz , then , using (C11) and (C12), we have axaayz AB´=AxAAyz (9) BxBByz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 33
  34. 1.7 Tích chéo EXAMPLE C1.1 If A = 23 a x -+ aa yz and B = - 4 a x -+ 25 aa yz , find the cross product A × B SOLUTION Using (9), we have axaayz AB´=-231 425 = [(–3) (5) –(1)(–2)]ax –[(2) (5) –(1)(–4)]ay + + [(2) (–2) –(–3)(–4)] az =-13ax 14aayz16 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 34
  35. 1.7 The Cross Product DRILL PROBLEM D 1.4 Ba đỉnh của 1 tam giác ABC có tọa độ là: A (6, –1, 2), B (–2, 3, –4) và C(–3, 1, 5). Tìm: (a) RRAB´ AC (b) Diện tích của tam giác ABC. (c) Một vector pháp đơn vị của mặt phẳng chứa tam giác ABC ANSWERS (a) 24ax++78aayz20 (b) 42 (c) 0.286ax++0.928aayz0.238 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 35
  36. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ (CCS) Figure C1.3 · Trong Fig C1.3 , điểm M nằm trong mặt phẳng xy cho bỡi: (1) Khỏang cách ρ từ gốc O đếm điểm M (2) Góc f nằm giữa trục x và tia OM 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 36
  37. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ (CCS) Cylindrical Coordinate System Figure 1.6a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 37
  38. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Trong hình 1.6a, P’ là hình chiếu của P lên trục z, và M là hình chiếu của P lên mặt phẳngxy ( tức là z = 0) · In the tọa độ trụ của P là bộ ba: (1) ρ là khỏang cách từ O đếm M (2) φ là góc ox và vectơ OM (3) z là khỏang cách từ P đến mặt phẳng z = 0. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 38
  39. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Quan hệ giữa hệ tọa trụ và hệ tọa độ vuông góc, ta có x = ρφcos y = ρφsin (10) zz= · Ngược lại, ρρ=xy22+³(0) y φ = tan-1 (11) x zz= ! Ρ≥0 và φ phải xét dấu x và y ví dụ: · If x = –3 and y = 4, then ρ = 5 and φ =°126,9 · If x = 3 and y = –4, then ρ = 5 and φ = -° 5 3 ,1 or 3 0 6 .9 ° . 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 39
  40. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.6b 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 40
  41. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ • Trong hình 1.6b, ta có 3 vectơ đơn vị của CCS tại điểm P (ρφ1,11,)z Các vectơ đơn vị (1) aρ chỉ hướng tăng của ρ (2) aφ chỉ hướng tăng của φ (3) az chỉ hướng tăng của z. 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 41
  42. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.6c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 42
  43. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ · Trong hình 1.6c, giả sử ρ, φ và z tăng lên một lượng vi phân dρ, dφ và dz · Hai mặt trụ bán kính ρ và ρ+dρ, hai nửa mặt phẳng tạo với nửa xOz các φ và φ + dφ và hai mặt phẳng nằm ngang có độ cao z và z+dz sẽ bao một thể tích vi phân có dạng hình nêm cụt có: Chiều dài ba cạnh là: dρ, ρdφ and dz . Diện tích mặt: ρdρdφ, dρdz, and ρdφdz. Thể tích: dv = ρdρdφdz 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 43
  44. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Figure 1.7 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 44
  45. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Nếu Pz(ρφ,,)làmộtđiểmtrongmiền R, và r là vectơ vị trí của P, thì · Trườngvôhướng T được địnhnghĩamộthàmcủar, orcó3biếnthực: T=Tz(ρφ,,) (13) · Trường vectơ A được định nghĩa là hàm vectơ của r: A(r)=Aρ(ρ,φ,z)aρ++Aφφ(ρ,φ,z)aaAzzz(ρφ,,) (C14) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 45
  46. 1.8 HỆ TỌA ĐỘ TRỤ DRILL PROBLEM D 1.5 (a) Find the rectangular coordinates of the point Cz(ρφ=4.4,=-115°=,2) (b) Find the cylindrical coordinates of the point D(x=-3.1,yz=2.6,=-3) (c) Specify the distance from C to D ANSWERS (a) C(x = –1.860, y = –3.99, z = 2) (b) Dz(ρφ=4.05,=140.0°,=-3) (c) RCD = 8.36 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 46
  47. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU The Spherical Coordinate System (SCS) · Tronghình1.8a, điểm P đượcchobỡi: (1) r làkhỏangcáchtừgốc Ođến điểm P (r ≥ 0) (2) θ làgócgiữatrục z và vectơ OP (0 ≤θ≤180o) (3) φ làgóctạobỡitrụcxvà vectơ OM (Fig1.6a) Figure 1.8a 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 47
  48. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Trong hình 1.8b, điểm gồm có P (r, θ, φ) (1) r = constant: mặt cầu (2) θ = constant: mặt nón (3) φ = constant: nửa mặt phẳng tạo với nửa mặt phẳng xOz. · Giao của mặt nón và mặt cầu là một circle có bán Figure 1.8b kính r = rsinq 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 48
  49. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Tronghình1.8c,các vectơđơnvịtạiđiểm P(r1,q1,f1) ar chỉ hướngtăngcủar, aθchỉ hướngtăngcủaθ. aφchỉ hướngtăngcủaφ. Figure 1.8c 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 49
  50. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU Figure 1.8d 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 50
  51. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Tronghình1.8d,vàgiả sử cho r, θ và φ tănglênmột lượngviphân dr, dθ và dφ · Haimặtcầucóbánkính r và r+dr;vàhaimặtnóncó nữa đỉnh θ and θ+dθ ;andhainửamặtphẳng φ and φ +dφ sẽ baomộtthể tíchviphâncódạnggầnđúng mộthìnhhộpviphân với: Độ dài3cạnhlà:dr,rdθ and rsinθdφ Diện tích 3 mặt: rdrdθ, rsinθdrdφ and r2sinθdθdφ. Thể tích: dv= r2 sinθdrddθφ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 51
  52. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU · Quan hệ giữa hệ tọa cầu và hệ tọa vuông góc xr= sinθφcos yr= sinθφsin (15) zr= cosθ · Ngược lại r=x2++yz22(r ³ 0) z θθ=cos-1 (0°££°180) 222 (16) y x++yz φ = tan-1 x 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 52
  53. 1.9 HỆ TỌA ĐỘ CẦU Nếu Pr ( , θφ ,) là một điểm trong miền R, và r là vectơ vị trí của P, then: · T là một trường vô hướng được định nghĩa là hàm thực của r , or 3 biến thực: T= Tr(,θφ,) (C15) · Trường vectorAđược định nghĩa như là hàm vector của r, or 3 biến thực A(r)=Arr(r,θ,φ)a++Aθ(r,θ,φ)aaθArφφ(,θφ,) (C16) 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 53
  54. TÍCH CHẤM VUÔNG GÓC -TRỤ 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 54
  55. TÍCH CHẤM VUÔNG GÓC –CẦU 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 55
  56. TÍCH CHẤM VUÔNG TRỤ –CẦU 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 56
  57. 1.9 The Spherical Coordinate System DRILL PROBLEM D 1.7 (a) Find the spherical coordinates of the point C (–3, 2, 1) (b) Find the rectangular coordinates of the point D (r = 5 , θ = 20o, φ = –70o) (c) Specify the distance from C to D ANSWERS (a) Cr(=3.74,θφ=74.5°,=°146.3) (b) D(x=0.585,yz=-=1.607,4.70) (c) RCD = 6.29 16/01/2013 CHÂU VĂN BẢO-ĐHCN TP.HCM 57