Bài giảng trọng tâm Mũ – Loga - Đặng Việt Hùng

90 trang ngocly 1010

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng trọng tâm Mũ – Loga - Đặng Việt Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_trong_tam_mu_loga_dang_viet_hung.pdf

Nội dung text: Bài giảng trọng tâm Mũ – Loga - Đặng Việt Hùng

Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 LUY ỆN THI ĐẠ I H ỌC TR ỰC TUY ẾN §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GI ẢNG TRỌNG TÂM MŨ – LOGA Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 1) Khái ni ệm v ề L ũy th ừa L ũy th ừa v ới s ố m ũ t ự nhiên: an = aaa. . a , v ới n là s ố t ự nhiên. − 1 L ũy th ừa v ới s ố nguyên âm: a n = , v ới n là s ố t ự nhiên. an m m L ũy th ừa v ới s ố m ũ h ữu t ỉ: an =n am = ()n a v ới m, n là s ố t ự nhiên. 1 Đặt bi ệt, khi m = 1 ta có an = n a . 2) Các tính ch ất c ơ b ản c ủa L ũy th ừa a0 =1, ∀ a Tính ch ất 1:  a1 = a, ∀ a a>1: aam >⇔> n mn Tính ch ất 2 (tính đồng bi ến, ngh ịch bi ến):  0 ⇔ b m ⇔ m > 0 Tính ch ất 3 (so sánh l ũy th ừa khác c ơ s ố): v ới a > b > 0 thì  am a , b 0 b n b Ví d ụ 1: Vi ết các bi ểu th ức sau d ưới d ạng l ũy th ừa v ới s ố m ũ h ữu t ỉ, (coi các bi ểu th ức đã t ồn t ại) b a a) A= 4 x2 3 x . b) B = 5 3 . c) C = 5 23 2 2. a b 2 3 2 5 b2 b d) D = 3 3 . e) D= 4 3 a 8 . f) F = . 3 2 3 3 b b Ví d ụ 2: Có th ể k ết lu ận gì v ề s ố a trong các tr ường h ợp sau? − 2 1 0,2 − − −3 − 1 1  2 a) ()a−13 21. a + c)   () 1 − a 2 . e) ()2−a4 >() 2 − a . f) >  . a  a Ví dụ 3: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: − 1  1  1 a) A =3232 +−−()2 () 32 ++− 2 32     Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 b) B =+4 1025 + +− 4 1025. + 4x Ví d ụ 4: Cho hàm s ố f( x )= . 4x + 2 a) Ch ứng minh r ằng n ếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1. 1 2  2010  b) Tính t ổng Sf= + f ++ f   . 2011 2011  2011  Ví d ụ 5: So sánh các c ặp s ố sau 5 10 10 5 2 3 π  2 π  3 π  π  3  4 4  2 a)   và   b)   và   c)   và   2  2  2  5  5  7  3 2  6   7  π  5 π  2 d)   và   e)   và    7   8  6  5  Ví d ụ 6: Tìm x th ỏa mãn các ph ươ ng trình sau? x+1 5 2  8 − 1 1) 4x = 5 1024 2)   = 3) 81 3 x = 2 5  125 32 x−2 x− x x2 −5 x + 6 2x 1  2 8  27 3  4) ()3 3 =   5) .  = 6)   =1 9  9 27  64 2  −x 37x− 73 x − 12x− 8  0,25  x 9  7 7) .32 =   8) 0,2= 0,008 9) =  0,125 8  49  3 x x 1 − − 1 10) ()12 .() 3 = 11) 71x .4 1 x = 6 28 II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 1) Khái niệm v ề Logarith = ⇔ = y Logarith c ơ s ố a c ủa m ột s ố x > 0 được ký hi ệu là y và vi ết d ạng y log a xxa Ví d ụ: Tính giá tr ị các bi ểu th ức logarith sau ( ) log2 4; log 3 81; log2 32; log 2 8 2 Hướng d ẫn gi ải: • = ⇔y =⇔ =→ = log42 y 2 4 y 2 log422 • =⇔y = = 4 ⇔=→ = log813 y 3 81 3 y 4 log813 4 y 10 • =⇔( ) ===5 ( ) ⇔=→ = log32y2 2 322 2 y10 log32102 y 7 • ( ) =⇔( ) = =3 =( ) ⇔=→( ) = log822 y 2 822.2 2 y 7 log8272 Chú ý: Khi a = 10 thì ta g ọi là logarith c ơ s ố th ập phân, ký hi ệu là lg x ho ặc log x Khi a = e, (v ới e ≈ 2,712818 ) được g ọi là logarith c ơ s ố t ự nhiên, hay logarith Nepe, ký hi ệu là ln x, ( đọc là len- x) 2) Các tính ch ất c ơ b ản c ủa Logarith • Bi ểu th ức logarith t ồn t ại khi c ơ s ố a > 0 và a ≠ 1, bi ểu th ức d ưới d ấu logarith là x > 0. • = = ∀ loga 1 0 ;log a a 1, a b> c ⇔ a > 1 • Tính đồng bi ến, ngh ịch bi ến c ủa hàm logarith: logb> log c ⇔  a a b< c ⇔0 < a < 1 3) Các công th ức tính c ủa Logarith x = ∀ ∈ Công th ức 1: loga a x , x ℝ ,(1) Ch ứng minh: x= ⇔ x = x Theo định ngh ĩa thì hi ển nhiên ta có log a a x a a Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 4 8 ==5 == 4 ( ) = Ví d ụ 1 : log322 log2 2 5;log2 16 log 2 2 log 2 2 8 Ví d ụ 2 : Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: a5 a3 a 2 a) P = log . b) Q= log aaaa . 1 4 a a a a Hướng d ẫn gi ải: 1 2 1 2 28 1 67 3 2 + + 28 3 67 67 − aaa5 aaa 5 3 a 5 3 a 15 − 1  60 67 a) Ta có = = ==a15 4 =→= a 60 Plog a 60 = log  =− . 4 11 11 3 1 1   a a + a  60 aa24. a 24 a 4 a a 1 3 7 15 15 15 15 b) Ta có aaaa= aaaa.2 = aaa . 4 = aaa .8 =→= 16 Q log a 16 = log a 8 = . a a () 8 Ví d ụ 3: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: 1) log1 125= 2) 5 log2 64= 3) log16 0,125= 4) log0,125 2 2= 3 5) log3 3 3 3= 6) 8 7 log7 7 7 343= Ví d ụ 4: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: 3 5 a) P=loga ( aaa ) = =3 2 4 5 = b) Qloga ( aaaa ) Công th ức 2: alog a x = x, ∀ x > 0 , (2) Ch ứng minh: = ⇒ =t( ) ⇔ t = t Đặt loga xtxa , 2 aa 1log3 4 1 1 log3 4   log 4 log2 3 log5 6 3  2 Ví d ụ 1: 2== 3,5 6,3() =() 32  =() 3 ==() 42 2     Ví d ụ 3: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: log 64 1) 2log8 15 = 2) 22 2 = 1  log81 5 3)   = 4) 3  log3 4 ( 3 9) = ( ) = + Công th ức 3: logaxy . log a x log a y , (3) Ch ứng minh: log a x x= a + Áp d ụng công th ức (2) ta có  →xya. =logax . a log a y = a log aa xy log y= a log a y + ( ) =logax log a y = + ⇒ Áp d ụng công th ức (1) ta được : logax . y log a a log aa x log y dpcm Ví d ụ 1: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: =( ) =+=3 +=+ a) log22 24 log 8.3 log 2222 8 log 3 log 2 log 3 3 log 2 3 =( ) = + =3 + =+= b) log8133 log 27.3 log 3333 27 log3 log 3 log 3 3 1 4 Ví d ụ 2: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: 4 4 10 a) log 43 16= log 4 + log 3 16 = log 22 + log 23 =+= 2 . 2 22 22 3 3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 5 1 1 −3 − 1  13 110 b) log2733= log27 + log 3 3 = log33 + log33 = log + log   =−−=− 3 . 1 11111 1   3 333333 3  3 33 6 2 c) log 8325 log 8 log 5 32 log 23 log 2 log 2 log 2 6 2 8. 2=+ 22 = 222 +=( ) + 2 ( ) =+=   x = − Công th ức 4: loga  log ax log a y , (4) y  Ch ứng minh: log x  a log a x x= a x a − ụ ứ → = = logax log a y Áp d ng công th c (2) ta có  log y a y= a log a y y a a x  − Áp d ụng công th ức (1) ta được : log  = logalogax log a y = log x − log y⇒ dpcm ay  a aa 32 5 4 5 4 7 = −3 =2 −3 =−= Ví d ụ: log2 log 2 32 log 2 16 log2 22 log2 . 3 16 2 3 6 m = Công th ức 5: logab m .log a b , (5) Ch ứng minh: m Theo công th ức (2) ta có ba= logab⇒ bam =( log a bmb) = a .log a m =m.log a b = Khi đó logab log a a m .log a b⇒ dpcm ==3 ==2 log2 27 log 2 3 3log 25 3; log 36 log 5 6 2log 5 6 Ví d ụ 1 : 1 1 5 log4 32= log() 324 = log32 = 2 24 2 4 Ví d ụ 2 : − 2   4 −1 +3 =−2 +=6 .45 == 1 =− 2log11 6 log 400 3log 1 45 log 11 6 log 400 log 11 45 log log 11 81 log  4. 332 3 33 3320 33  3  1 50 3 Ví d ụ 3 : log 3− log12 +=− log50 log 3 log 12 += log50 log == log25 2. 52 5555 552 3 5 1 Công th ức 6: logn b= log b , (6) a n a Ch ứng minh: y n ny Đặt log n by= ⇒ ( a) = ba ⇔ = b a 1 Lấy logarith c ơ s ố a c ả hai v ế ta được : logany = log bny ⇔ = log by⇒ = log b aa an a 1 hay logn b= log b⇒ dpcm a n a 1 log 16= log 16 = log16 == 2.4 8. 2 1 1 2 22 2 Ví d ụ 1 : 1 log 64= log 64 = log 64 == 5.6 30. 52 1 1 2 25 5 m Hệ qu ả: T ừ các công th ức (5) và (6) ta có : logbm = log b an n a 3 1 911 11 11 4 ===3 4 4 = == Ví d ụ 2: log3 125log 1 () 5 log55 ; log() 322 log3 () 2 log 2 . 5 1 2 2 ()2 2 53 4 3 3 3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6   + 27 log 27 log 1   3 3 5 9  Ví d ụ 3: Tính giá tr ị bi ểu th ức A = 3 . 1 1  4 log+ log 3 1   813  3  Hướng d ẫn gi ải: 2 log 27= log( 3 3) = 2 33 33   27  33 113 1326 log= log  = log35 =−=− 2. . 1 5  −1 2 3 9  3 2   1 5 5 3 35  − 2 27  log 27+ log 26 3 3 1 5  2 − 1 − 9  4 log= log 34 =− 4.2log3 =−→= 8 A 3 =5 = . 3 1 3 4 − + 81 32 1 1  8 4 5 log+ log 3 1   813  3  = log c b Công th ức 7: (Công th ức đổ i c ơ s ố) log a b , (7) log c a Ch ứng minh: log b = logab⇒ = log a b = ⇒ = c ⇒ Theo công th ức (2) ta có balogcc b log() a log ac ba .log log a b dpcm log c a Nh ận xét : + Để cho d ễ nh ớ thì đôi khi (7) còn được g ọi là công th ức “ch ồng” c ơ s ố vi ết theo d ạng d ễ nh ận bi ết nh ư sau = logab log a c .log c b =log b b = 1 + Khi cho b = c thì (7) có d ạng loga b . logba log b a Ví d ụ 1 : Tính các bi ểu th ức sau theo ẩn s ố đã cho: = → = = a) Cho log142a A log49 2 ? = → = = b) Cho log315a B log15? 25 Hướng d ẫn gi ải: =⇔=( ) =+ ⇒ = − a) Ta có log2 14a a log 2 2.7 1 log 22 7 log 7 a 1. = = =−( ) Khi đó Alog2 49 2log 2 7 2 a 1 . −  =1 − = 1 a log3 5 1 1 1  a a b) Ta có log 3 =a ⇔ a = = →  15 log 15 1+ log 5 a 3 3 log 3 =  5 1− a 1 1 log 15 1 1 B =log 15 =3 =a = a = →=B . 25 log252log51− a 21()−a 21() − a 3 3 2 a Ví d ụ 2: Cho loga b = 3. Tính b b a) A = log . b) B = log . b a ab a a Hướng d ẫn gi ải: = = 1 Từ gi ả thi ết ta có logab 3⇒ log b a . 3 a) b 11 1 1 A==−=−=log log b log a − = ba b b b  b logb− log a log b − log a a a a log log  b b a a b a  a  a Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 7 1 1 1 131− 31 − = − = − = →=A . 1− 2loga log b − 2 2 − − − b a 1− 3232 32 3 2 b   log a − − =b = b === b a loga b 1 = 3 1 Cách khác: Ta có được A log log2   log b b b    − a a 2 ab log b 2 3− 2 a     a log a a  a a2 b 11 1 1 b) B==−=−=log . log b log a − = ab ab ab + + alogb abababab loga log b log b loga log a 1 1 1 1231− 231 − = − = − = →B = . 1 11+ log b 11 + + + log a +a + 13 31 31 2b 22 3 2 b2 2   2 log a − − =b = b === b a 2loga b 1 = 2 3 1 Cách khác: Ta có B log log2   logab . ab ()ab + a a  aloga ab 1 log a b 1+ 3 Ví d ụ 3: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: = a) log6 3.log3 36 = b) log3 8.log4 81 1 c) log .log3 2= 25 25 Ví d ụ 4: Cho loga b = 7. Tính = a = 3 2 a) A log . b) Blogb ab . a b 3 b a Ví d ụ 5 : Tính các bi ểu th ức sau theo ẩn s ố đã cho: 49 a) Cho log 7=a ; log 5 =→= b P log = ? 25 2 3 5 8 b b) Cho loga= 2 → Q = log = ? ab ab a Công th ức 8: alogbc= c log b a , (8) Ch ứng minh: log b a = ⇒ logbbacac= log .log ⇔= log b c log a c = log b a ⇒ Theo công th ức (7): logbc log b aca .log a a a( a) c dpcm 1 log2 27 Ví dụ 1: 49log7 2=== 2 log 7 49 22 4;2() = 27log2 2 == 272 33 Ví d ụ 2: Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau: log3 4 a) A =36log6 5 + 3 − 3 log 9 36 = − log 3 32 log3 2 .4 2 b) B = = 27 log3 4 c) C =81log3 5 + 27 log 9 36 + 3 4log 9 7 = BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Bài 1. Tính giá tr ị các bi ểu th ức sau 1) log 54 5 2) 3) log 27 25 −1 log3 3 729 9 3 1 log 4  1  2 3 4) log 3 5) log3 3 3 6)   9 3 3 ( )  9  log27 81 1  3+ 2log 3 3log 3+ 2log 5 7)   8) 10 10 9) 4 8 16 3  Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 8 1 log 2− log 5 log3 2− 2log 27 3 9 1 10) 92 11) 42+ log2 3 12) 3 3 3log 8 log 16 13) 25log5 6+ 49 log 7 8 14) 10 10 15) 7 − log7 15 log 7 30 1 1 log 5 log 7 16) 31+ log9 4+ 42− log2 3 + 5 log 125 27 17) 25 8 + 49 6 Bài 2. Quy đổi các bi ểu th ức sau theo các ẩn đã cho 3 a) Cho log 23 = a ; log 25 = b. Tính log2 3; log 2 135; log 2 180 theo a, b. b) Cho log 53 = a, tính log 25 15. c) Cho log 96 = a, tính log 18 32. d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log 30 8. Bài 3. Ch ứng minh các đẳ ng th ức sau (v ới gi ả thi ết các bi ểu th ức đề u có ngh ĩa) a+ b 1 a) lg=() lga + lg b , v ới a2 + b2 = 7 ab . 3 2 1 b) lg()ab+− 2 2lg 2 =() lg ab + lg , v ới a2 + 4 b2 = 12 ab 2 2a+ 3 b loga+ log b c) log = c c , v ới 4 a2 + 9 b2 = 4 ab c 4 2 d) Cho log 12 18 = a, log 24 54 = b, ch ứng minh r ằng: ab + 5( a – b) = 1. log c logb+ log x e) a =1 + log b f) log bx = a a a ax + log ab c 1 log a x logN− log N log N 1 1 1k ( k + 1) g) a b= a , v ới b2 = ac . h) + ++ = logN− log N log N logxx log log x 2log x b c c a a2 a k a Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9 02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 1. Hàm s ố m ũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1 ). • T ập xác đị nh: D = R. • T ập giá tr ị: T = (0; + ∞). • Khi a > 1 hàm s ố đồ ng bi ến, khi 0 0, a 1 ) • T ập xác đị nh: D = (0; +∞). • T ập giá tr ị: T = R. • Khi a > 1 hàm s ố đồ ng bi ến, khi 0 < a < 1 hàm s ố ngh ịch bi ến. • Nh ận tr ục tung làm ti ệm c ận đứ ng. 3. Gi ới h ạn đặ c bi ệt 1 1  x • lim(1+=x )x lim 1 +=  e • x→0 x →±∞ x  ln(1+x ) ln(1 + u ) lim= 1 → lim = 1 x→0x u → 0 u ex−1 e u − 1 sinx sin() u x • lim= 1 → lim = 1 • lim= 1 → lim = 1 x→0x u → 0 u x→0x x → 0 u( x ) Ví d ụ 1. Tính các gi ới h ạn sau: − x e2x −1 e 3 −1 e3x− e 2 x 1) lim 2) lim 3) lim x→0 x x→0 x x→0 x ln(1+ 3x ) ln(1+ 4x ) e−4x −1 4) lim 5) lim 6) lim x→0 x x→0 2x x→0 3x Hướng d ẫn gi ải: e2x−1 e 2 x − 1  1) lim= lim .2  = 2 x→0x x → 0 2 x  −x − x  e3−1 e 3 − 11 −   1 2) lim= lim .  = − → → −   x0x x 0 x 3   3 3  3x 2 x ee3x− 2 x (e−1) −( e − 1 ) ee3x −1 2 x − 1 3) lim= lim = lim − lim =−= 321. x→→0x x 0 xx →→0 xx x 0 ln(1+ 3x ) ln(1 + 3 x )  4) lim= lim .3  = 3 x→0x x → 0 3 x  ln(1+ 4x ) ln(1 + 4 x )  5) lim= lim .2  = 2 x→02x x → 0  4 x  e−4x−1 e − 4 x − 14 −   4 6) lim= lim .    = − x→03x x → 0 − 433 x    BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP Tính các gi ới h ạn sau: 2 ln( 1+ 4 x) ex − cos x eax− e bx 1) lim 2) lim 3) lim x→0 x → 2 → sin x 0 x x 0 x 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 x+1 sin2x sin x x e− e x  1  x 4) lim 5) lim   6) lim 1 +  x→0 x x→+∞ 1+ x  x→+∞ x  x+1 2x− 1 x x +1  3x − 4  3 2x + 1  7) lim   8) lim   9) lim   x→+∞ x − 2  x→+∞ 3x + 2  x→+∞ x −1  4. Đạo hàm c ủa hàm m ũ và logarith ya=x → ya′ = x .ln a Hàm m ũ:  ya=u → yua′ = ′ . u .ln a ye=x → ye′ = x Đặc bi ệt, khi a = e thì ta có  ye=u → yue′ = ′ . u  = →′ = 1 ylog a x y x.ln a Hàm logarith:   u′ y=log u → y ′ =  a u.ln a  ′ 1 y=ln x → y = x Đặc bi ệt, khi a = e thì ta có   u′ y=ln u → y ′ =  u Chú ý: B ảng đạ o hàm c ủa m ột s ố hàm c ơ b ản th ường g ặp: Hàm s ơ c ấp Hàm h ợp y= k → y ′ = 0 yku= → y′ = ku. ′ ′ =1 →′ = − 1 =1 →′ = − u y y 2 y y 2 − x x − u u yx=n → ynx′ = . n 1 ⇒ yu=n → ynuu′ = . n 1 . ′ ⇒ 1 u′ y= x → y ′ = y= u → y ′ = 2 x 2 u y=sin x → y′ = cos x y=sin u → yu′ = ′ .cos u   y=cos x → y′ = − sin x y=cos u → yuu′ = − ′ .sin ′  = →′ = 1  = →′ = u ytan x y 2 ytan u y 2  cos x  cos u   −1 −u′ y=cot x → y ′ = y=cot u → y ′ =  sin 2 x  sin 2 u  u uv′− u ′ v y= → y ′ =  v v 2  yuv=. → y′ = uv ′ + uv ′ Ví d ụ 2. Tính đạo hàm c ủa các hàm s ố sau: x2 − x + 1 1) y=4 x3 −3 x + 2 2) y = 3 y=4 x3 −3 x + 2 3) y=3 sin2 () 2 x − 1 x + 3 Hướng d ẫn gi ải: − 1 1 3 1) yxx=4 3 −+=32() xx 3 −+ 324 →= y′ .33()() xxx2 − 3 −+ 32 4 4 1 −3 ′ xxxx22−+1 −+ 1 3 11  xx 22 −+ 3 xx −+ 1  2) y=3 =  → y ′ =.   .  = xx++3 3  33  xx ++  3  −3 ′ − 3 1xx2 −+ 13 (21)(3) xxxx −+−+−2 11  xx 2 −+ 13 xx 2 +− 54 =  = 33x + (x+ 3)2  33x + ( x + 3) 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 2 2 21′ 41 3) yxxy=3 sin21() − =  sin21()−   3 →=′ . .sin21()() x −= . cos21() x − 33 sin21()x− 3 3 sin21() x − BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: Bài 1: Tính đạo hàm c ủa các hàm s ố sau: 3 1+ 1 + 5 x 11 x + 4 1) y = 2) y=9 + 6 5 x 9 3) y = 4 sin 1+ 2 x 3 4) yx=( 2 −4 x + 4 ) e x 5) y=( x5 − xe) − 2 x 6) y= e−3x .sin 4 x −1 2x x x e+ e − 7) y= x. e 3 8) y = 9) y= e sin3x 4 x e2x− e x 10) y= cos x . e cot x 11) y= 2x . e cos x 12) y=ln( x2 + 4 x − sinx ) ln( 2x + 1 ) 13) y= ecos x .ln( cos x ) 14) y=ln( x + x 2 + 1 ) 15) y = x +1 ln( x− cot x ) 16) y=log( x4 − cos 2 x ) 17) y = 18) yx=(2 − 1)ln(3 xx2 + ) 1 − 2 3x 4 Bài 2: Ch ứng minh r ằng các hàm s ố sau th ỏa mãn h ệ th ức ch ỉ ra t ươ ng ứng? 2 − x 1) yxe=.2 → xy ' =() 1 − xy2 2) yx=( +1) . ex → yye ' − = x 3) ye=4x +2 e− x → y '''13'12 − yy − = 0 5) ye=−x .sin x → yyy ''2'2 + + = 0 6) ye=sin x → y'.cos xyxy − .sin − '' = 0 1 7) y= xe2.x → y '' − 2 yye ' + = x 2 2xy 1 8) yxe=()()2 +1.x + 2011 → y ' = + exx ()2 + 1 9) y=ln → xye ' + 1 = y x2 +1 1+ x 1 1+ ln x 10) y= → xy' = y() y .ln x − 1 11) y= →2 xyxy2 ' =() 2 2 + 1 1+x + ln x x()1− ln x Ví d ụ 3. Gi ải các ph ươ ng trình và b ất ph ươ ng trình sau, v ới các hàm s ố cho d ưới đây? 1) fx'()2();= fxfx () = exx ( 2 ++ 3 x 1 ) 1 2) fx'( )+ fx ( ) = 0; fxx ( ) = 3 ln x x − − 3) fx'()0;()= fxe =21x + 2. e 12 x +− 7 x 5 4) fxgxfxx'( )> '( ); ( ) =+− ln( x 5); gx ( ) =− ln( x 1) 1 + 5) fxgxfx'()< '(); () = .52x 1 ;() gx =+ 5 x 4ln5 x 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ PHẦN 1 DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Khái ni ệm: Là ph ươ ng trình có d ạng ax = b , trong đó 0 < a ≠ 1. Cách gi ải: + N ếu b ≤ 0 thì ph ươ ng trình vô nghi ệm. ≤ x = ⇔ = + N ếu b 0 thì abxlog a b Ví d ụ m ẫu: Gi ải ph ươ ng trình 2xx+ 2+1 + 2 x + 2 =+ 5 x 2.5 x − 1 . Hướng d ẫn gi ải: + + − 1 Ta có 2xxxxx++ 212 2 =+ 5 2.5 1 ⇔++ 2 xxx 2.22.2 2 =+ 5 xx 2.5. 5 2 7  5 x ⇔++() x =+ xxx ⇔ = ⇔ =⇔= 124.2 1 .5 7.2 .5  5x log55 5 5  2 2 = Vậy ph ương trình đã cho có 1 nghi ệm là x log5 5. 2 BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: 1) 7x+ 7 x+1 + 7 x + 2 = 342 2) 5x+ 10.5 x−1 + 18 = 3.5 x + 1 3) 2x+1+ 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3 x − 1 + 3 x − 2 4) 3x+ 3 x+1 + 3 x + 2 = 351 5) 2x+1+ 2 x + 2 = 3 x − 2 + 3 x − 3 6) 7.5x− 2.5 x −1 = 11 7) 14.7x+ 4.32 x = 19.3 2 xx − 7 8) 4x+1+ 4 x − 1 = 2.6 x − 4.6 x − 2 9) + − 1x  1 x1  1 x 2 +  +  = 22 2  2  2 DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ a =1 Cơ s ở ph ươ ng pháp : S ử d ụng các công th ức l ũy th ừa đưa ph ươ ng trình v ề d ạng afx()= a gx () ⇔   fx()= gx () am. a n= a mn+ m a − = am n an Các công th ức l ũy th ừa c ơ b ản: n m ()()am= a mn. = a nm . = a n m − 1 n am= an → a n = an Ví d ụ m ẫu: Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau x+10 x + 5 2 + − + −2 + 1 1) 2x3 x 2= 16 x 1 2) 3 x4 x = 3) 16x−10= 0,125.8 x − 15 243 Hướng d ẫn gi ải: = xx2 +−321 x + xx2 +− 32442 x + 2 x 2 1) 2= 162 ⇔ = 2 ⇔+−=xx 3244 x +⇔−−=→ xx 60  x = − 3 Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm là x = 2 và x = –3. = − −+xx241 −+ xx 2 452 − x 1 2) 3= ⇔ 33 = ⇔−+x 45 x =−⇔  243 x = 5 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = −1; x = 5. x+10 x + 5 3) 16x−10= 0,125.8 x − 15 ,() 1. Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13 x−10 ≠ 0  x ≠ 10 Điều ki ện: ⇔  x−15 ≠ 0  x ≠ 15 x+10 x + 5 1 − 4.− 3. x+10 x + 5 Do 16= 2;0,1254 == 2 3 ;8 = 2 3 nên ta có ()1⇔ 2x−10 = 2.23 x − 15 ⇔ 4. =−+ 33. 8 x−10 x − 15 + = 4(x 10) 60 2 x 0 ⇔ = ⇔()x −−5 x 150 = 15 x −→ 150  x−10 x − 15 x = 20 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = 0; x = 20. Ví d ụ 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: − x x − x 1 2   9  27 − + x 1 1)  .   = 2) 4.9x1= 3 2 2 x 1 3) ()52+ =() 52 − x+1 3   8  64 Hướng d ẫn gi ải: 29xx 27  29  x 33  3 x 3 3 1) .=⇔  .  = ⇔  = →=x 3. 38 64  38  4  4 4 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất x = 3. − + 2x3− 0 x 1 − 2x 1 − −+4.9 −2 − 3 2x 3  3 3 x1= 2x1 ⇔ =⇔ 2x32 =⇔ 2x3 =⇔ == ⇔= 2) 4.932+ 13.2 13.2() 1 1  x. 2x 1 2  2 2 3.2 2 3 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất x = . 2 x x2 x 3 − + − + 81 81 18.81  9 9 3 Cách khác: 4.9xxxx1= 32 21 ⇔ 16.81 1 = 9.2 21 ⇔ 16. =⇔=⇔=⇔= 9.2.4 x   x . 81 4 16  2 2 2 x−1 x−1 3) ()52+ =() 52 − x+1 ,1.() Điều ki ện: x+10 ≠ ⇔ x ≠− 1. 1 −1 Do ()52521+() −=→ 52 −= =() 52 + 5+ 2 1− x  1  x =1 ()11⇔−=x ⇔−() x 11 +  =⇔ 0 x+1 x + 1  x = − 2 Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm là x = 1 và x = –2. Ví d ụ 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 1   x −1 2 x−5 x 6 22 2 2 1) 2() 2x +3 2 x  = 4 2) ()32+ =() 32 − 3) 5xx− 3+1 = 25( x − 1 − 3 x − 2 )   Hướng d ẫn gi ải: 2 1  x −1 + x > 0 1) 2() 2x 3 2 x  = 4,() 1 . Điều ki ện:  ≠    x 1 3( x + 1 ) + x() x −1 3()x 1 ()12⇔ =⇔ 22 =⇔− 22530xx −=⇔=⇔= x 3 x 9. x() x −1 Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x = 9. x2 −5 x 6 2) ()32+ =() 32,2. − () 1 −1 Do ()32321+() − =→−() 32 = =() 32. + ()3+ 2 x2 −5 x − 6 x = 2 ()2⇔() 32 + =() 32 + ⇔−+=⇔x2 560 x  x = 3 Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x = 2 và x = 3. Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 22+ 22 − − 2222222222 2 2 3) 53xx−=1 25( xx 1 − 3 2 ) ⇔−=−⇔−=− 53.3 xxxxxxxx 5 3 5 53.3 3 59 5 9 x2 x 2 3 32 25 2  5 125  5 5 ⇔5x = 3 x ⇔ = ⇔  = →=±x 3. 5 9 3 273  3 Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x = ± 3. BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: x2 − x −5 2 x + 3 x− x 2 − 3  2 1) ()0,2= 5 6x 10 2) =  3) 2  3 41x− 23 x + (322+) =( 322 − ) 2 − 2 − x 3 x x − 2 − − 2 − 1  4) ()9.3= 81 x 1 5) 105x 4 x 1 = 1 6) ex 1 =   e  x−1 5x− 7 x+1 4 x − 2 1  x 2 − − 1  1 7)   =16.()3 4 8) 9x4 x 1 =   9) 27x−1= .81 x + 2 8  3  9 x x 1  1  53x− x3 21 x 2 − 10) 3x . =   11) ()10− 3 =() 19610 + 3  27  DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ a f( x ) = Cơ s ở ph ươ ng pháp : Bi ến đổ i ph ươ ng trình v ề d ạng Aa.2()fx+ Ba . fx () + C = 0 →  a f( x ) = − 1 2 Chú ý : an=; a2 n = () a n an Ví d ụ m ẫu: Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình: 25x− 30.5 x + 125 = 0 Hướng d ẫn gi ải: 2 Ph ương trình đã cho t ươ ng đươ ng: (5x) − 30.5 x + 125 = 0 . Đặt t = 5x , điều ki ện t > 0. t = 5 Khi đó ph ươ ng trình tr ở thành: t2 −30 t + 125 =⇔ 0  t = 25 + V ới t=⇔555x =⇔ x = 1 . + V ới t=25 ⇔ 5x = 25 ⇔ 5 x =⇔= 52 x 2 . Vậy ph ươ ng trình đã cho có 2 nghi ệm là x = 1 và x = 2. Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình: 3x+2 + 3 − x = 10 . Hướng d ẫn gi ải:  x = = 0 3 1 3 = + − 1 2 x 0 xx2 +=⇔+=⇔ x() xx − +=⇔ ⇔ Ta có 3 3 10 9.3 10 9.3 10.3 10 1 −  3x 3x = = 3 2 x = − 2  9 Vậy ph ươ ng trình đã cho có 2 nghi ệm là x=0, x = − 2. Ví d ụ 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: x 1) 5x− 51− x + 40 = 2) 3x − 8.32 + 15 = 0 3) 32x+ 8− 4.3 x + 5 + 27 = 0 Hướng d ẫn gi ải: 1) 5x− 51− x + 40,1. = () Điều ki ện: x ≥ 0. 2  x = = = x5 x x 51x 0 x 0 ()1⇔ 5 − +=⇔ 40() 5 + 4.5 −=→ 50  ⇔ ⇔  x = 5 5x = 5  x =1 x 1 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 Cả hai nghi ệm đề u th ỏa mãn điều ki ện, v ậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x = 0 và x = 1.  x x = 2x x ( 3) 3 x = 2 2) 3x − 8.32 +=⇔ 150() 3 − 8.() 3 +=→ 150 ⇔   x x =log 5 = log 25  =  3 3 ()3 5 = = Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x2 ; x log3 25. 3x+4 = 3⇒ x = − 3 28xx++− 5 +=⇔ 2(4) xx ++ − 4 +=⇔ 2(4) xx ++ − 4 +=→ 3) 3 4.3 270 3 4.3 .3270 3 12.3 270  + 3x 4= 93 = 2 ⇒ x = − 2 Vậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là x = –2 và x = –3. BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: 1) 92x− 3 2 x − 60 = 2) 2x− 4 x −1 = 1 3) 25x− 5 x − 12 = 0 4) 100x− 10 x +1 + 16 = 0 5) 9x− 10.3 x + 9 = 0 6) 3x+ 2.32− x = 9 DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Lo ại 1: Ph ươ ng trình có ch ứa af(x) ,b f(x) ,c f(x) ,d f(x) m  n a= c = d f( x ) = trong đó   . Để gi ải ph ươ ng trình d ạng này ta chia c ả hai v ế cho b với bmin{ abcd , , , } hay b b  b gọi m ột cách dân rã, ta chia c ả hai v ế c ủa ph ươ ng trình cho bi ểu th ức l ũy th ừa mà có c ơ s ố nh ỏ nh ất. Ví d ụ 1. Gi ải ph ươ ng trình: 3.9x+ 7.6 x − 6.4 x = 0 . Hướng d ẫn gi ải:   x 3= 2 ⇒ = − 2x x   x 1 3  3 2  3 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng: 3.+ 7. −=⇔ 6 0 .    x 2  2 3    = −3 < 0 2  Vậy ph ươ ng trình đã cho có 1 nghi ệm là x = −1. Ví d ụ 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: −1 − 1 − 1 1) 64.9x− 84.12 x + 27.16 x = 0 2) 4x+ 6 x = 9 x 3) 324x++ 45.6 x − 9.2 22 x + = 0 4) ( ĐH kh ối A – 2006): 3.8x+ 4.12 xx −− 18 2.27 x = 0 Hướng d ẫn gi ải: 1) Chia c ả hai v ế c ủa (1) cho 9 x ta được 4  x 4 x x2 xx   = 12  16  4  4 3  3 x =1 ()1⇔− 6484. + 27. =⇔ 0 27. − 84. +=→ 640  ⇔     x 2  = 9  9  33  4 16  4 x 2 = =  3 9  3 Vậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x = 1 và x = 2. 2) Điều ki ện: x ≠ 0. 3  t 1+ 5 tt2 tt   = 1t t t  96  33 2  2 Đặt −=t,2469() ⇔+=⇔ − −=⇔ 10  − −=⇔ 10 x 44  22 3  t 1− 5   = < 0 2  2 315 t + 15 +  1 3  Từ đó ta được   = ⇔=tlog  →=−=− x log  . 22  3  2  t 1+ 5  2  2   2 3) 324x++ 45.6 xx − 9.2 22 + =⇔ 0 81.9 xxx + 45.6 − 36.4 = 0 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16  x −2 3= 4 =  3 xx2 xx   96   33  2 9  2 ⇔81. + 45.  −=⇔ 36081.  + 45.  −=⇔ 360 →=−x 2. 44   22   x 3    = −1 0) → b fx () = t Chú ý: ( 21+)( 211 −=) ; ( 2 + 32)( −= 31) M ột s ố c ặp a, b liên h ợp th ường g ặp: ()52+() 52 −= 1;() 743743 +() −= 1 2 322± =( 21 ± ) M ột s ố dạng h ằng đẳ ng th ức th ường g ặp: 2 743± =() 2 ± 3 Ví d ụ mẫu. Gi ải các ph ươ ng trình sau: x x x x 1) ( 23+) +−( 23) = 4 2) ( 338+) +−( 3 38) = 6 −2 2 − − x x + (x 1) x 2 x 1 4 3) ()5− 21 ++ 75() 21 = 2 x 3 4) ()23+ +−() 23 = 2− 3 Hướng d ẫn gi ải: x x 1) ( 2+ 3) +−( 2 3) = 4,1.() x x x ( +)( −) =⇔+( ) ( −) =→−( ) = 1 Do 23231 23.23 1 23 x ()2+ 3 x x 1 Đặt ( 2+ 3) =t ,(0) t >→( 2 − 3 ) = . t 1 t =2 + 3 Khi đó ()1⇔t + − 40 = ⇔ t2 − 410 t += →  t t =2 − 3 x 2 V ới t =+23 ⇔( 232323 +) =+ =( +) →=x 2. Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 − x −1 2 V ới t =−23 ⇔( 232323 +) =− =+() =( 23 +) →=−x 2. Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x = ±2. x x 2) ( 33+ 8) +−( 3 3 8) = 6,2.() x x x 1 ( 3+)( 3 −=+) 3 ()() +=⇔+( 3) ( 3 −) =→−( 3 ) = Do 3838 38381 38.38 1 38 x ()3 3+ 8 x x 1 Đặt ( 3 38+) =t ,(0) t >→( 3 38 −) = . t 1 t =3 + 8 Khi đó ()2⇔t + − 60 = ⇔ t2 − 610 t + = →  t t =3 − 8 x x V ới t =+38 ⇔( 3 38383838 +) =+ ⇔+() 3 =+ →=x 3. x x −1 − 1 V ới t =−38 ⇔( 3 383838 +) =− =−() ⇔+() 383 =−() 38 →=−x 3. Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x = ±3. x x x x + 5− 21  5 + 21  3) ()52175212−++=⇔() x 3   + 7.  = 8,3.() 2  2  xx x x 521521−+ 521521 −−   521 − 1 Ta có =.  = 1 →  =    x 22 22  2 5+ 21    2  x x 521+  5211 − Đặt =t,( t > 0) →  = . 2  2 t t =1 1 Khi đó ()3⇔ + 7807t − = ⇔ t2 − 810 t += →  1 t t =  7 x 5+ 21  V ới t=1 ⇔  = 1 → x = 0. 2  x 15211+   1  V ới t=⇔  =→= x log  . 727  5+ 21  7  2 x = 0  Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm = 1  x log +    5 21 7   2 (x− 1)2 x 2 − 2 x − 1 4 xx2 −+21 xx2 −− 21 4) ()23+ +−() 23 = ⇔−+() 2323() +−−() 2323() = 4 2− 3 xx2−2 xx 2 − 2 xx2 − 2 xx 2 − 2 ()232323−() +() + +−() 23 =⇔+ 423() +−() 23 = 4,4.() xx2 −2 xx2 − 2 1 Đặt t=+()23 ,(0) t >→−() 23 = . t Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18 2 −  +x2 x = + 1 t =+23()23 23 x2 −= 21 x Khi đó ()4⇔+−=⇔−+=→t 40 t2 410 t  ⇔ ⇔  x2 −2 x 2 − = − t t =2 − 3  + = − x2 x 1 ()23 23 V ới ph ươ ng trình xx2−21 =⇔ xx 2 − 210 −=⇔=± x 22 V ới ph ươ ng trình xx2−2 =−⇔ 1 xx 2 − 210 +=⇔= x 1. x =1 Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm  x =2 ± 2 BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: x x x x +  −  ()+ +−() = 735+ 735 = 1) 5 24 5 24 10 2)  7  8 2  2  x x x x 3) ( 526−) ++() 526 = 10 4) ( 4− 15) ++() 4 15 = 8 x x x2 x 2 − 1 5) ( 21−+) ( 21 +−) 220 = 6) ()10++ 3() 10 − 3 =+ 10 4 x x x 7) ( 5+ 21) +−( 5 21) = 5.2 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19 04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ BẢN Khái ni ệm: = ( ) Là ph ươ ng trình có dạng logafx ( ) log a gx ( ), 1 . trong đó f(x) và g(x) là các hàm s ố ch ứa ẩn x c ần gi ải. Cách gi ải: a>0; a ≠ 1  - Đặt điều ki ện cho ph ươ ng trình có ngh ĩa  f( x )> 0  g( x )> 0 fx()= gx () - Bi ến đổ i (1) v ề các d ạng sau: ()1 ⇔ a =1 Chú ý: = ⇔ = b - V ới d ạng ph ươ ng trình loga fx ( ) b fx ( ) a 2n = = n - Đẩy l ũy th ừa b ậc ch ẵn: logax 2 n log a x , n ếu x > 0 thì nloga x log a x g( x )≥ 0 = ⇔ - V ới ph ươ ng trình sau khi bi ến đổ i được v ề d ạng fx() gx ()  2  fx()= [] gx () x =log a x = loga axa ; x x  - Các công th ức Logarith th ường s ử d ụng: log()xy=+ log x log y ; log  =− log x log y a aaay  aa m 1 logxm = log x ; log b = an a a nlog b a Ví d ụ m ẫu: Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 +−=() + =1 () + 1) log1( x 3 x 4) log 1 2 x 2 2) lgx lg x 1 3 3 2 − 8x = 1 2 − + = 3) log2 log 1 x 4) log5−x ( x 2 x 65) 2 4 2 2 Hướng d ẫn gi ải: x >1 2  x+3 x − 4 > 0 x 1    2 +−=() +⇔ +> ⇔>− ⇔= →= 1) log1()xxxx 34log22220 1   x 1  x 2 x 2. 3 3 2  2   = − xx+−=+3422 x xx +−= 60 x 3  Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = 2. x > 0  >  x 0 x > 0 >  1+ 5 1   x 0  x = 1+ 5 2) lgx= lg() x +⇔+> 1 x 1 0 ⇔  ⇔  ⇔ →=x 2 =() + 2 = +  2 2  lg()x lg x 1 x x 1  2 2lgx= lg() x + 1  1− 5 x =  2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 1+ 5 Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x = . 2 − 8x = 1 () 3) log2 log 1 x , 3 . 4 2 2 8−x > 0 Điều ki ện:  ⇔0 0 81−x 8 − x−1 81 − x () ⇔ =− ⇔ =⇔2 =⇔−=() Khi đó 3 log2 log 2 x x xx8 4 42 4 4 x ⇔−xx2 +816 = ⇔() x − 402 =→= x 4. Nghi ệm x = 4 th ỏa mãn điều ki ện, v ậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = 4. 2 − + = () 4) log5−x (x 2 x 65) 2, 4 5−x > 0 x  2 x2 x 65 0 ()x−1 + 64 > 0, ∀∈ x R Khi đó ()()4⇔xx2 − 2655 + = − xx2 ⇔ 8400 + =→=− x 5. Nghi ệm x = –5 th ỏa mãn điều ki ện, v ậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = –5. Bình lu ận: Trong các ví d ụ 3 và 4 chúng ta c ần ph ải tách riêng điều ki ện ra gi ải tr ước r ồi sau đó m ới gi ải ph ươ ng trình. Ở ví d ụ 1 và 2 do các ph ươ ng trình t ươ ng đối đơn gi ản nên ta m ới g ộp điều ki ện vào vi ệc gi ải ph ươ ng trình ngay. Ví d ụ 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 1 1) lg( x+− 3) 2lg( x −= 2) lg0,4 2) log()x++ 5 log x −= 3 log2() x + 1 25 5 2 5 1  3) log() 4x++− 15.2 x 27 2log = 0 2 1 x −  2 4.2 3  Hướng d ẫn gi ải: 1) lg( x+− 3) 2lg( x −= 2) lg0,4,( 1) . x+>3 0  x >− 3 Điều ki ện: ⇔  ⇔x > 2. x−2 > 0  x > 2 2 ( x+3) ( x + 3 ) 2 2 Khi đó, ()()()1⇔+−−= lgx 3 lg x 2 lg0,4 ⇔ lg = lg0,4 ⇔ ==⇔−−+= 0,4 2()()x 2 5 x 3 0 ()x−22() x − 2 2 5 x = 7 2  ⇔2x − 13 x − 7 = 0 → 1 x = −  2 Đối chi ếu v ới điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x = 7. 1 1 2) log()x++ 5 log x −= 3 log2()() x + 1, 2. 25 5 2 5  x+>5 0 x >− 5   Điều ki ện: x−>3 0 ⇔  x > 3 ⇔> x 3.   210x + > 1 x > −  2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 21 () ⇔1() ++ 1() −= 1 ()()()() +⇔  + −  = + Khi đó, 2 log5555x 5 log x 3 log2 x 1 log xx 5 3  log2 5 x 1 2 2 2 ⇔( xx +5)( − 321) = xxx +⇔2 + 21521 − = xx +⇔ 2 = 16 →=± x 4. Đối chi ếu v ới điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x = 4. 1  3) log() 4x++− 15.2 x 27 2log = 0,() 3. 2 1 x −  2 4.2 3  4x+ 15.2 x + 27 >∀∈ 0, x R Điều ki ện:  4.2x − 3 > 0 1  1 2  đ () ⇔+++()x x =⇔()x ++ x  = Khi ó 3 log42 15.2 27 2log 2x 0 log 2 4 15.2 27 x 0 4.23−  4.23 −   x = 2 2x+ x + 2 3 x x 1  2 15.2 27 2x x  ⇔+()415.227 +  =⇔ 1 =⇔ 115.2 − 39.2180 −=→ 2 4.2x− 3  16.22 x − 24.2 x + 9 2x = − 1. 2 2 Đặ =()()()() −→2 −=2 − 2  =  −  = 2 t txlog2 1 log 2 x 1 log 2 x 1   2log 2 xt 1  4 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 22  = −  ()− = − − =1  = 3 t 1 log2 x 1 1 x1  x 2   2 2 Khi đó ()1⇔−−=⇔ 4t t 50 5 →5 ⇔ ⇔  t = log()x − 1 = 5 5  2    4  4 x−=124  x =+ 12 4 3 5 Cả hai nghi ệm đề u th ỏa mãn điều ki ện, v ậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm là x=; x = 12. + 4 2 2 ( −−) ( −=) ( ) 2) log2 2x 8log 1 2 x 5,2. 4 Điều ki ện: x 0  ⇔ 0.   2 =[] −2 = −()() + 2 = + 2 log1 (4x )  log 2 (4 x ) log 22 4 log xx  log 2 2   Ta có 2  x2 log= logx2 − log 8 = 2log x − 3 28 2 2 2 x = 2 logx = 1 ()()()⇔ ++2 −=⇔2 + −=⇔2 ⇔  Khi đó 4 log2x 2 2log 2 x 38 log 22 xx 6log 70  − 1 logx = − 7 x =2 7 = 2  128 1 Vậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x=2; x = . 128 Ví d ụ 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 9 1) 2logx − 2 = log 2) log 5+ log 5x = + log2 5 5 x 5 x x4 x   3  2− 3 + = 3−x = 1 + 3) log2xx 14log 16 x x 40log 4 x x 0 4) log323  .logx log  log 2 x x  3  2 Hướng d ẫn gi ải: 1 1) 2logx − 2 = log ,() 1. 5 x 5 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 23 Điều ki ện: x > 0; x ≠ 1. () ⇔1 −=− ⇔ −+ 1 =⇔()2 − +=⇔ =→= 1 2.log5x 2 log5x log 5 x 2 0 log 555 xxxx 2log 10 log 1 5. 2 log 5 x Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất x = 5. 9 2) log 5+ log5x = + log2 5,() 2. x x4 x Điều ki ện: x > 0; x ≠ 1. 1 5 2 2 log 5 = 1 91  1  15   x Ta có ()2⇔ log5 ++() 1log5 =+ log5 ⇔ log5 − 3. log5 +=→ 0 2 2 xx x  x  x  1 1 2 42  2  24   log 5 = 2x 2  =  5 =  = 5 logx 5 5 →x 5 ⇔ x 5 Từ đó ta được  =   logx 5 1 x = 5 x = 5 Các nghi ệm này đều th ỏa mãn, v ậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x=5; x = 5 5. 2− 3 + = ( ) 3) log2xx 14log 16 x x 40log 4 x x 0, 3. x > 0  > 1 x 0 x ≠   2x ≠ 1  2 Điều ki ện: ⇔  1 16x ≠ 1  x ≠ 16 4x ≠ 1   1 x ≠  4 2 42 20 Khi đó ()3⇔− 2logx 42log x + 20log x =⇔ 0 − + = 0 2x 16 x 4 x () () () logx 2x log x 16 x log x 4 x 2 42 20 2 42 20 ⇔ − + =⇔−+=0 0,() * . + + + +++ logxxxxxxx log 2 log x log 16 log x log 4 1 log x 2 1 log x 16 1 log x 4 1 21 10 Đặt t =log2,*() ⇔− + =⇔+ 0()()()()()() 1412tt +−+++++= 211 tt 12101 tt 14 0 x 1+t 14 + t 12 + t t = 2 2 2 2 2  ⇔8tt ++− 61212()() tt +++ 31104 tt ++=⇔ 51 0 6 tt −−=→ 7100 5 t = −  6 = ⇔ = ⇔2 =→=± V ới t2 logx 2 2 x 2 x 2. −6 5 5 −5 −− 56  5 − 6 1 V ới t=−⇔ log2 =−⇔ x2x6 =⇔ 65  = 2 →= x2 5 = x   5 6 6   64 1 Đối chi ếu v ới điều ki ện ta được nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x=2; x = . 5 64 3  3  −x = 1 + () 4) log323  .logx log  log 2 x , 4 . x  3  2 Điều ki ện: x > 0. 11 111 ()4⇔−() 1logxxx .log −() log3 − log 3 =+ log x ⇔−() 1log xxx .log − 3log +=+ log x 323322 2 323 222 2 1 ⇔−logxxxx log .log −−=⇔− 3log log x 0 log x 2log xx .log −= 6log x 0 22332 2 2 23 3 ⇔( −) − = ( ) log2x 1 2log 3 x 6log 3 x 0, * . = ( ) ⇔−( ) − =⇔−−( ) = Do log3x log 3 2.log 2 x nên * log2xx 1 2log 3 6log 32 2.log x 0 log 2 xx 1 2log 33 6log 2 0  =  = = x 1 x 1 log2 x 0   ⇔ ⇔−   →  − − =  =1 6log3 2 = 1 3  3 1 2log3x 6log 3 2 0 log3x log 3   x =  2 2 64   8 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 24 3 Các nghi ệm này đều th ỏa mãn điều ki ện, v ậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x=1; x = . 8 Ví d ụ 1. Gi ải ph ươ ng trình sau: logx log x a) 3= 27 log9 (3x ) log 243 (27 x ) Gi ải. 1 1 Điều ki ện 0 0; x ≠ ; x ≠ . 2 8 2logx4log4( x) 2log x 42log( + x ) Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới ⇔2 =2 ⇔2 = 2 () () +() + log2 2x 3log 2 8 x 1 log 2 x 33 log 2 x x = 2 t =1 = ()()()+= + +⇔+−=⇔2 ⇔  Đặt log 2 x t ta có 3tt 322 t t 1 tt 340  1 t = − 4 x =  16 1  Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm S = ;2  . 16  x+ x +1 + = c) log2( 2 1.log) 2 ( 2 2) 6 Gi ải. Điều ki ện x ∈ ℝ Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng ( x+)  +( x +=⇔)  2 ( xx ++) ( +−=) log2 2 1 log2 22 log 2 1  6 log 2 2 1 log 2 2 1 6 0 214x+ =  2 x = 3 t = 2 x + = 2 +−=⇔ ⇔ ⇔  ⇒ = Đặt log2 ( 2 1 ) t ta thu được t t 6 0  1 7 x log2 3 t = − 3 2x+= 1  2 x =− 8  8 = { } Kết lu ận nghi ệm S log2 3 . − − = d) 4 log3x 1 log 3 x 4 Gi ải. Điều ki ện x ≥ 3 . Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 25 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 4logx−− 1 log x =⇔ 4 8log xx −− 1log = 8 32 3 33 =( ≥ ) −=+⇔( −=+) 2 +⇔− 2 + = Đặt log3 x t t 1 thu được 8tt 1 8 64 ttt 1 1664 tt 481280 Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình sau: 49 a) log (9x4 )+ 2log (27 x 4 ) + 3log 9 = 3x 9x3 3x 5 Điều ki ện x>0;3 xx ≠ 1;93 ≠ 1; 3 x ≠ 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 49 2log 3+ 4logx + 6log 3 + 8log x + 6log 3 = 3x 3 x 9x3 9 x 3 3x 5 2 4 6 8 649 ⇔++ + + = 1log+++x 1log3 23log x 2log33 + 1 5 3 x3 x log x + 3 2 2+ 4logx 6 + 8log x ⇔3 + 3 +12 = 49 + + + 1log3x 2 3log 3 x 2log 3 x 1 5 24+t 68 + t 12 49 Đặt log x= t ⇒ + + = 3 1+t 23215 + t t + 49 ⇔+()426ttt()2 ++++ 72() 862 ttt()() 2 +++ 31123 tt 2 ++= 52() 213 ttt +()2 ++ 52 5 ⇔540()()ttt32 + 112 ++= 108 34 496 ttt 32 +++ 13 9 2 ⇔94ttt3 + 77 2 −−=⇔− 99 72 0() t 194() tt2 + 171 += 72 0  t =1 x = 3   − −  −171 − 3 2497  171 3 2497 ⇔=t ⇔= x 3 188  188    −171 + 3 24 97  −171 + 3 2497  = 188 t = x 3  188 x3 58 b) log (4x3 )+ 2log = 2x 2x2 8 15 Gi ải. Điều ki ện x>0;2 x ≠ 1;2 x 2 ≠ 1 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 58 6 18 1 58 3log26log−+()x − 3log2 =⇔ − +− 3 = 2x 2x2 2 x 2 15 log2+ 2 12log +x 1log + x 15 x 2 2 6logx − 18 ⇔2 −1 = 13 + + 1 2log2x 1 log 2 x 15 = Đặt log 2 x t thu được Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 26 − 6log2 x 18− 1 = 13 1+ 2logx 1 + log x 15 2 2 6t − 18 1 13 −=⇔156()()tt2 −−= 14 19 132 tt 2 ++⇔ 3 1 64 tt 2 − 249 −= 298 0 2t+ 1 t + 115 − − = c) log2x 4 log 4 x 5 0 Điều ki ện x ≥ 1. =() ≥ Đặt log4 x t t 0 , ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t = 5 x = 45 tt2 −450 − = ⇔ ⇒ t=⇔ 5log xx =⇔=⇔ 5 4 5  = − () 4  5 t1 L x = − 4 Kết lu ận nghi ệm S ={ − 4;4 }. + + = d) log2x 10log 2 x 6 9 6 Điều ki ện x>0;log x ≥ − 2 10 + =( ≥ ) Đặt 10log2 x 6 t t 0 , ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới t 2 − 6 t = 6 +=⇔2 + − =⇔ ⇒ += ⇔ =⇔= ttt9 10960 10log2 x 636 log 2 xx 3 8 10 t= − 16 () L Kết lu ận S = {8} . Ví d ụ 3. Gi ải ph ươ ng trình sau: + − = a) 3logx 4 2log4 x 4 12log 16 x 4 0 Điều ki ện xx>≠0; 1;4 x ≠ 1;16 x ≠ 1 3 2 12 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới + − = 0 + + log4x 1 log 4 x log 4 x 2 =( ≠− − ) Đặt log4 x t t 2; 1;0 thu được t =1 3 2 12 2 2 22  + = ⇔3()()()tt +++ 322 tt += 212 tt +⇔−−=⇔ 7 tt 60 6 t t+1 t + 2 t = −  7 • =⇔ =⇔= t1 log4 x 1 x 4 . 6 6 −6 • t=−⇔log x =−⇔= x 4 7 . 74 7 b) x+lg(4 −= 5x ) x lg 2 + lg 3 Điều ki ện 5x < 4 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 3.2 x x+−=lg(45)lg2x x +⇔= lg3 x lg =⇔ x 3.2xxx = 1045()() −⇔= 3545 xx − 4− 5 x Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 27 t =1 x = 0 Đặt 5x =t( t > 0 ) thu được 34=t() −⇔ t t2 − 430 t +=⇔ ⇒  =  = t 3 x log5 3 = { } Kết lu ận S 0;log5 3 . ++ += c) log4x 1 log 2 x 3 5 1 Điều ki ện x > 4 ++ += Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng log4x 1 2log 4 x 3 5 =( ≥ − ) Đặt log4 x t t 1 thu được tt++1 2 +=⇔++ 3 5 3 t 4 2 2 tt2 ++=⇔ 5 3 25 2 2 tt 2 ++=− 5 3 21 3 t t=143 x = 4 143 ⇔4() 2tt2 ++=− 5 3 9 tt 2 126 +⇔− 441 tt 2 146 +=⇔ 429 0  ⇔  t = 3 x = 43 + + 3 = d) log 4 x log 1 x log 8 x 5 16 Điều ki ện x > 0 1 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới logx− log xx + log =⇔ 5 log xx =⇔= 4 16 . 22 4 22 2 Ví d ụ 4. Gi ải ph ươ ng trình sau: −+2 2 −−= a) log2xx ( 1) log 2 x .log( 2 xx ) 2 0 x > 0 Điều ki ện  ⇔x > 1 x() x −1 > 0 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới −+2 2 −−= log2xx ( 1) log 2 x .log( 2 xx ) 2 0 +()() −+ + −= log2x 2log 2 x 1 log 222 xxx() log log 1 2 ⇔+()() −++2 −= log2x 2log 2 x 1 log 222 xxx log .log 1 2 ⇔()() + −+2 + −= log2x 2log 2 x 1 log 22 xx log 2 0 ⇔()()()() + −+ + −= log2x 2log 2 x 1 log 2 x 2log 2 x 1 0 ⇔()() + −+ −=  log2x 2 log 2 x 1 log 2 x 1  0 x = 2 logx = − 2  = 1  2 x 1 ⇔  ⇔4 ⇔x = ()2 − =   log2 x x 1 2 4 x− x −2 = 0  x = − 1 2 −+− = b) log2x log 2 x log 3 x log 23 xx .log 0 Điều ki ện x > 0 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 28 2 −+− =⇔( −+) ( −=) log22323xxxxx log log log .log 0 log 22 xx log 1 log 3 x 1log 2 x 0 = log2 x 1 ⇔()()logxxx − log log −=⇔ 1 0 ⇒ x = 2 2 3 2 = () logx 2 log x 3 VN c) log( xx−2 −+ 13log) ( xx + 2 −= 12) 2 2 Điều ki ện xx−2 −>1 0; xx + 2 −> 1 0; x ≥ 1 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 3 3 ⇔log( xx −−+2 1log) ( xx +−=⇔ 2 12log) ( xxxx −−+−=2 1)( 2 12) 2 2 2 2 x ≤ 2 5 ⇔+−=⇔+−=⇔( xx214) xx 2 12  ⇔= x x2−=1 x 2 − 4 x + 4 4 5  Kết h ợp điều ki ện ta có nghi ệm S =   . 4  BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN: Bài 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) log 16+ log 64 = 3 x2 2x Điều ki ện x>0; x2 ≠ 1;2 x ≠ 1 . 2 6 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới + = 3 + log2x 1 log 2 x =( ≠ ≠− ) Đặt log2 xtt 0; t 1 thu được  = − 1  −1 2 6 2 2 t = 3 + =⇔++=3 2263t ttt +⇔ 3 3 tt −−=⇔ 520 3 ⇒ x 2 t1+ t   = t = 2 x 4 − + = b) log4x 8 log 2 x 2 log 9 243 0 1 1 Điều ki ện x>0; x ≠ ; x ≠ . 4 2 3 1 5 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới − + = 0 + + log2x 2 1 log 2 x 2 = Đặt log 2 x t thu được 3 1 5 − +=⇔+−−+0 66225t t() tt2 ++= 320 t+2 t + 1 2 t = − 1  1 x = 2  ⇔5t + 19 t + 14 =⇔ 0 14 ⇒  2  = − 14 t  −  5 x = 2 5 Bài 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 29 − = a) 3logx 16 4log16x 2log 2 x Điều ki ện 0 ) 2 + − = ⇔ ⇒ x+ =⇔ x =⇔ = Đặt log2 ( 4 1) t t 0 ta có t230 t  log411412 () x 0 t= − 3 () L Bài 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: a) lg 2 x − 3lg x = lg x 2 − 4 Điều ki ện x > 0 t=1  x = 10 Đặt lg x= t thu được ttt2 −=−⇔−324()() t 1 t −=⇔ 40  ⇔  t=4  x = 10000 Kết lu ận S = {10;10000 }. − + = b) log 1 x 3 log 1 x 2 0 3 3 Lời gi ải. Điều ki ện x ≥1. t =1 Đặt logx= t( t ≥ 0 ) , ph ươ ng trình đã cho tr ở thành tt2 −+=⇔−320()() tt 1 − 20 =⇔ 1  = 3 t 2 =⇔ =⇔= 1 t1 log1 x 1 x . 3 3 =⇔ =⇔= 1 t2 log1 x 2 x . 3 9 Bài 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau: −2 = a) log3 3 log 3 x 1 x Điều ki ện 0<x ≠ 3 . Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 30 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới −log2x =⇔ 1() log 2 x +− 11log() x = 1 − 3 3 3 log3 3 log 3 x = 2+( −=⇔−−=⇔) 23 2 −+=⇔= ⇒ = Đặt log 3 x t thu được (t111) t ttt 0 ttt( 1001) t x . 1+ 2log 2 9 − = − b) 1 2logx 3.log9 (12x ) log 9 x Điều ki ện 0 0 ươ đ ươ đươ ớ ( x−+) ( x −=)  Ph ng trình ã cho t ng ng v i log5 5 11 log 5 5 1  2 5x − 1 = 5 x = log 6 t =1 5 ( x −) = ()+=⇔+−=⇔2 ⇔ ⇔  Đặt log5 5 1 t thu được tt1 2 tt 20  1 26 t = − 2 5x − 1 = x = log  25  5 5 + = + b) log2x 2log 7 x 2 log 27 xx .log Điều ki ện x > 0 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới − =− ⇔( −) =−( ) log227xxx log .log 2 2log 727 xxx log 1 log 2 1 log 7 x logx = 1 x = 7 ⇔−()()1 logx log x −=⇔ 2 0 7 ⇔ 7 2  =  = log2 x 2 x 4 + = + c) log23xx .log 3 3log 3 x log 2 x Điều ki ện x > 0 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới ⇔ −=−⇔ −= − log2323xxxx .log log 3log 3 log 23 xx( log 1) 3log( 3 x 1 )  = = ⇔() −() −=⇔log3 x 1 ⇔ x 3 log3x 1 log 2 x 3 0  =  = log2 x 3 x 8 Bài 6. Gi ải các ph ươ ng trình sau: +++2 2 ++= a) log37x+ (912xx 4 ) log 23 x + (6 xx 23 21) 4 3 Điều ki ện − <x ≠− 1 2 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 31 ++2 + += log37x+()()() 2x 3 log 23 x + 2 x 33 x 7 4 1 ⇔2log() 231x +++ = 4 3x+ 7 + log3x+ 7 () 2x 3 1 ⇔2log() 23x ++ = 3 3x+ 7 + log3x+ 7 () 2x 3 t =1 1 2 Đặt log+ ( 2x+ 3 ) = t ta có 2t+=⇔ 32 t − 310 t +=⇔  1 3x 7 t t =  2 =⇔ +=⇔+=+⇔=− t1log3x+ 7 ( 2312337 x) xxx 4 .  3 1 1 x ≥ − 1 t=⇔log+ () 23 xxx +=⇔+=+⇔ 23 37  2 ⇔=− x . 23x 7 2 4 4x2 + 12 x += 93 x + 7 1  Kết h ợp điều ki ện ta thu được nghi ệm S = −  . 4  ( −−2) ( +−= 2) ( −− 2 ) b) log2xx 1.log 3 xx 1log 6 xx 1 Điều ki ện xxx≥1; −2 −> 1 0; xx + 2 −> 1 0 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới ( −2 − ) log3 x x 1 ()+2 −=() − 2 − .log3xx 1 log 6 xx 1 log3 2 2− 2 −  log3 x() x 1 ⇔  =() −−⇔2() −−= 2 log6xx 1 log 6 xx 1 0 log3 2 x2 ≥1 ⇔−=−⇔x1 x2 1 ⇔= x 1 x2−2 x += 1 x 2 − 1 Kết h ợp điều ki ện ta có nghi ệm S = {1}. Bài 7. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 4 26 a) − = + − log3x 1 log 9 3 x 2 3 1 Điều ki ện x>0; x ≠ ; x ≠ 27 3 2 4 26 2 826 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới − =⇔ − = logx+ 11 3 log x + 1log x − 33 3 ()1+ logx − 2 3 3 2 3 = Đặt log 3 x t thu được 2 8 26 − =⇔−−6t 1824() t += 1 26() tt2 −− 2 3 t+1 t − 3 3 t = 2 x = 9 2  ⇔26t − 34 t − 36 =⇔ 0 ⇒  9  9 − t = −  = 13  13 x 3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 32 1 2 b) + = − 1 2+ 3 − log(42x ) 3 log16 4 x 2 1 Điều ki ện x>0;4 x2 ≠ ; x ≠ 1 8 1 2 14 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới + =−⇔1 + =− 1 5+ 2logx3 5 + 2log x 3log x 2 2+ logx − 2 2 2 2 2 = Đặt log 2 x t ta có 1 4 + =−⇔++1 3tt 8 206 + t2 + 15 t = 0 2t+ 5 3 t t = − 1  1 x = 2  ⇔3t + 13 t + 10 =⇔ 0 10 ⇒  2  = − 10 t  −  3 x = 2 3 + + = c) log24x log4 2 x 3 2 1 Điều ki ện x ≥ 32 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 1 ()1log+xx + log +=⇔ 5 2 2log xx ++ 5log =⇔ 3 2log x +=− 5 3log x 2 22 22 2 2 = Đặt log 2 x t thu được t ≤ 3 1 253tt+=−⇔ ⇔=−⇔ txx 1log1 =−⇔= 4t+ 20 = t2 − 6 t + 9 2 2 Bài 8. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ++ += a) log93x 2 log3 9 x 1 5 1 Điều ki ện x ≥ 27 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới logx++ 4() log x += 3 5 32 3 =( ≥ − ) Đặt log3 x t t 3 ta có 1 311 t++4() t +=⇔++ 35 t 2() tt2 ++ 71225 = 2 2 2 t ≤13 ⇔22()t2 ++ 7 t 12 =−⇔ 393 t  8tt2+ 56 += 96 9 t 2 − 234 t + 1521 t ≤ 13 ⇔ ⇔t = 5⇒ x = 243 t2 −290 t + 1425 = 0 2+ 2 − = b) log2 (8x ) log 2 (4 x ) 5 7 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 33 >2 ≥ Điều ki ện x0;log2 (4 x ) 5 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới + ++2 −=⇔2 + −=− 3 2log2x() 2 log 2 x 5 7 log 22 xx 4log 1 4 2log 2 x = Đặt log 2 x t ta có t≤2  t ≤ 2 t2 +−=−⇔4 t 1 4 2 t  ⇔  ⇔=t1⇒ x = 2 tt2+−=−+4 14 tt 2 16 16  3 tt 2 −+= 20 170 Kết h ợp điều ki ện, k ết lu ận S = {2} . Bài 9. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 4  2 + +x =− 14 a) logx (4x ) 2log3 (2 x ) log 2 x   x 4  3 2 8 1 Điều ki ện x>0; x ≠ 2; x ≠ . 2 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 4  3  2+ 2 +x −=−⇔ 172 + 2 +x =− 17 log2x   1 log 2 x   x x3 43  x  x  83  log2x   log   log2x 3log 2 x  2  2x 8  2  2 8x  17 ⇔ +3log   =− x  2x 2  3 3log   2x 2  t = − 1   x = 8+ =− 17 ⇔2 ++ =⇔  Đặt log 2x   t ta có 3t 98170 t t 8 2  3t 3 t = −  9 x  x 1 • t=⇔1log  =⇔=⇔ 1 2 xxx() 410 −= ⇒ x = . 2x 2  2 4 8x  8 • t =−⇔log   =− 92x  2  9 1x 65 b) log (4x2 )+ 4log 2 x − log = x3 x 2216 x 2 4 12 2 1 Điều ki ện x>0; xx ≠≠ 1; 2; x ≠ 4 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 34 2 21 65 ()1log2++ − .log()x −= log4 3x x2  44x 4 x 12 log   2x 2  2 2 11 165  ⇔++()1 log 2 − −  = x 2 − + + 3 log2xx log2 2 x 412log21log x 4 x  12     2 2 11 165 ⇔++()1 log 2 − −  = 3x 2 1 412log2+ 1  12 −x 1 + + +   log211logx 2 x  2log2x  2 2 112log 2  65 ⇔()1 + log 2 + − −x  = x 2 1 + + 3 − 4 1 2logx 2 2log x 2 1  12 log 2+ 1 1 x 1+ logx 2 2 211− 2log 2 6522() log 2+ 1 11− 2log 2 65 ⇔++()1log2 − .x =⇔++() 1log2x − . x = x 2− log 2 +x − + 3x 42log2112x 3 2log2x 42log2112 x + logx 2 1 = Đặt logx 2 t ta thu được 222211265++−ttt(2t+ 2)( 5 − t ) 11265 − t +−. =⇔ − . = 3 2−+tt 42112 32() − tt 42112 + ⇔4225()()()()()()()t + − tt 213122 +−− tt −= 652 − tt 21 + ⇔2()ttt2 −− 4521()()() ++− 2 tt 3117 +=⇔− 0 4 ttt3 45 2 ++= 17 240   t =1   x = 2  41− 1297  ⇔=t ⇔= x log 2  8  41− 1297   8  41+ 1297  = = x log− 2 t  41 1297  8  8 Bài 10. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 1 1 c) log (9x2 )+ log (27 x ) = − x 3x3 3 2 2 Điều ki ện x>0;3 x3 ≠ 1; x ≠ 3 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 21113+ + =−⇔ + 1 + 11 =− x 3 3 −1  () + 2log327 x 2log3x x 2 log3 x x log3 3 x + 2log33x 2 log 3x 2 log x  3 3 3  3 3 11 ⇔ + + =− 1 1 3  2log3()+ 3 2 − 2 1 + x log 3+ 1 1 + log x   x 3 logx 3  3log 3 3() log 3+ 1 3l og 3+ 1 ⇔3 +x + 1 =−⇔ 1 x + x = − 1 1 log 3 ()+() + − ()+ − x 2log3x 3 2log3 x 3 2 1log3x 2log3x 3 2 + + logx 3 1 log x 3 1 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 35 = Đặt logx 3 t ta thu được 3(t + 1 ) 3t + 1 1 + =−⇔61()()()()()()tt + +++ 3311 t −=− ttt 1 + 3 1−t 23() t + 2 t= − 1 () L − 1 ⇔613411()()()()tttt + += − +⇔  ⇒ x = 3 11 t = − 11 x2 d) log2 + 4log (16x ) = 9 2 8 8 Điều ki ện x > 0 . Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 2 4 3216 ()2logx−++ 3() 4log x =⇔ 9 4log2 xx − log += 0 23 2 22 3 3 = log2 x 2 x = 4 ⇔ ⇔   2 2 log x =  = 3  2 3 x 2 x 57 e) log2+ 3log (8x 2 ) = 2 164x 4 Điều ki ện x>0;4 x ≠ 1 Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới 1  2 57 logx−+ 4  9log 2 + 6log x = 22  4x 4 x 4 2 1  9 657 2 9+ 6log x ⇔log4x −+  + =⇔−+() log84.x 2 = 57 22  2log+ x 2 42 2log+ x 2 1+ 2 log 2 x = Đặt log 2 x t ta có 2 9+ 6 t ()t−+8 4. =⇔+ 57() ttt 2()2 −+++=+ 16 64 3624 tt 57 114 t + 2 x = 4 t = 2  +   6 61 ⇔−3 2 −+=⇔−() 2 − − =⇔=+ ⇒ = 2 ttt14 500 ttt 2() 12250 t 661 x 2  + t =6 − 61  6 61 x = 2 2 MỘT S Ố CÁC BÀI TOÁN CH ỌN L ỌC KHÁC Bài 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau: 2 ( 2 + + ) + ( 2 + − )= a) log 2+ 3 x 1 x log 2− 3 x 1 x 6 Gi ải: 2 2  +> = ≥ 2 x1 xxx   x+1 − x > 0 Do ⇒  ()∀x ∈ R ( x2+−1 xx)( 2 ++=> 1 x ) 10  2 + + >   x1 x 0 −1 ⇔2 +++2 ++=⇔2 ++= Ta có: PT2log xx 1) log−1 xx 1) 63log xx 1) 6 + ( ( + ( 2 3 ()2+ 3 2 3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 36 2 ⇔log( xx2 ++=⇔ 1) 2 xx 2 ++=+ 1( 23743*) =+ () 2+ 3 Nh ận th ấy PT (*) có v ế trái là hàm s ố đồ ng bi ến và v ế ph ải là h ằng s ố nên PT này có nhi ểu nh ất 1 nghi ệm, nh ận th ấy x = 4 3 là nghi ệm c ủa PT này. V ậy PT đã cho có 1 nghi ệm duy nh ất x = 4 3 + ( ) = b) log 2 2 log 2 4x 3 x Gi ải: x > 0 ĐK:  x ≠ 2 log 2 1 log 2 Ta có: PT⇔2 ++log4log x =⇔ 3 + log x =⇔⇔ 1 PT2 ++ log4log x = 3 2 2 2 1− log x 2 2 2 2 log 2 log 2 x 2 x logx = 0 x =1 ⇔logxx()() log − 2 = 0 ⇒ 2 ⇔ TM 2 2  = = log2 x 2 x 4 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm x=1; x = 4 Bài 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: + 3 + ( 4 )= a) log 3 x log 1 x log 3 3x 3 3 Gi ải: ĐK: x > 0 ⇔ − ++ =⇔ =⇔= Ta có: PTlog33 x 3log x 14log 3 x 3 log 3 xx 1 3 Vậy PT có x = 3 là nghi ệm duy nh ất. 7 b) log 2− logx + = 0 x 4 6 Gi ải ĐK: x>0; x ≠ 1 ⇔1 − 1 +=⇔ 7 =⇔= Ta có: PTlog2 x 0 log 2 xx 3 8 log2 x 2 6 Vậy PT có nghi ệm duy nh ất x = 8 Bài 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau: + = a) log 5 x log 3 x log 5 3.log9 225 Gi ải: ĐK: x > 0 Ta có: log 3.log 152 = log 3.log 15 = log 3.( 1 +=+ log 5) log 3 1 532 535 35 = ⇔ = t Đặt log3 x t x 3 t += +⇔= = PT đã cho tr ở thành: log35t log31 5 t 1 hay x 3 Vậy PT đã cho có nghi ệm duy nh ất x = 3 ()− + 1 = + ()+ b) log 2 3x 1 2 log 2 x 1 log x+3 2 Gi ải: 1 ĐK: x > 3 3x − 1 Ta có: PT⇔log3()()() x −− 1 log x += 3 log4log + x +⇔ 1 =+ 4()() xVN 1 2 2 22 x + 3 Vậy PT đã cho vô nghi ệm. Bài 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau: ( x + )= − ( x+1 − ) a) log 2 4 4 x log 1 2 3 2 Gi ải: Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 37 ⇔x += x + x+1 −⇔+= xxx + 1 − Ta có: PT log42( 4) log2 2 log2 2 ( 3) 4 422( 3 ) 2 ⇔(2x) − 3.240 x −=⇔=⇔= 2 x 4x 2 Vậy PT đã cho có nghi ệm duy nh ất x = 2 + = b) 4.log9 x log x 3 3 Gi ải: x > 0 ĐK:  x ≠ 1 = log3 x 1 = 1  x 3 Ta có: PT⇔2log x + =⇔ 3 ⇔  3  = 1 = log 3 x log x x 3  3 2 Vậy PT đã cho có hai nghi ệm x=3; x = 3 Bài 5. Gi ải các ph ươ ng trình sau: x a) log4 2x+ log 4 2 x + log4 = log x 2x 22 2 Gi ải: ĐK: x > 2 x Ta có: PTxx⇔log 2 + log 2 + log = 2 log x ⇔+++ 2 log x log 2 log x −= 1 2 log x 2x 2222 x 22 = > Đặt tlog2 x 1 PT đã cho tr ở thành: 2 1 ()t +1 2+++−=tt 12 t ⇔ +−= t 12 tttttttt ⇔+= 112() −+⇔() −+−=⇔= 1101() t t t Từ đó suy ra x = 2 là nghi ệm PT đã cho. 3 () − x = 1 + b) log 3 3x .log 2 x log 3 log 2 x 3 2 Gi ải: ĐK: x > 0 111 1 Ta có: ()1log+xxx .log − 3log +=+ log x ⇔+() 1log xxxx .log − 3log = log 323222 2 3232 2   ⇔+ −=⇔+log2x −=⇔ log 2 x +−= log 2 x 6 log2xxxx 2log 2 .log 3 6log 3 0 log 2 xx 2log 2 . 6 0 log2 x  1 2  0 log22 3 log 3 log 22 3 log 3  = = = log2 x 0 log2 x 0 x 1    ⇔logx 6 ⇔− ⇔  +2 − =  =log2 64 log 2 3 = 8  = 8 1 2 0 log2x log 2 x  log2 3 log 2 3  2 3  3 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm. Bài 6: Gi ải các ph ươ ng trình sau: x2 29 1 a) 2 + + = Đ = 3log1 (8x ) 2log2 (4 x ) log 4 ( /s: x ) 2 2 2 2 2 3 2 x+ − x =− 3 b) 2log1 log 4 8x 3log 2 (Đ/s: x = 4) 4 4 162 a) ĐK: x > 0 2 129x 2 1 29 PT⇔3log(8)2 x + 4log(4) x + log =⇔+ 33log()() x +++ 42 log x() 2log x −= 1 222222 2 22 2 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 38  =− ⇔ = 1 log2 x 1 x 2 2 ⇔logx + 21.log x +=⇔ 20 0  2 2 1 logx=− 20 ⇔ x =  2 220 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên b) ĐK: x > 0 x 1− 312 − 3 PT⇔2log2 + log8 xx − 33log() −=⇔ 4 2log() x −++ 1() 3log xx − 9log += 12 22222 2 2 2 22 2 logx= 2 ⇔ x = 4 25 2 ⇔2 − +=⇔  −17 2log2x log 2 x 17 0 −17 2 logx= ⇔ x = 2 4  2 4 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên Bài 7: Gi ải các ph ươ ng trình sau: x2 a) log2+ 2log(3) 2 x + log(27 x ) = 8 (Đ/s: x = 3) 3 3 9 9 27 1 b) log (9x )+ log + log (3 x ) += 3 0 (Đ/s: x = ) 3 x x2 9 3 a) ĐK: x > 0 2 x 112 11 2 PT⇔4log2 + log(3) 2 xx + log27 =⇔ 8 42log() x −++ 1() 1log x ++=() 3log x 8 333322 3 2 3 2 3 = ⇔ = log3 x 1 x 3 ⇔2 − −=⇔  −4 33log3x 29log 3 x 4 0 −4 logx= ⇔ x = 3 33  3 33 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên b) ĐK: 0<x ≠ 1 ⇔ + −+1 +=⇔ ++ 311 ++ += PTx2log(9)3 log27x 2 log(3)33 x 0 2log 3 x 4 log3 x 1 0 2 log3 x 2 2  =− ⇔ = 1 log3 x 1 x 5 3 11 3 ⇔logx + +=⇔ 0 5log2 x + 11.log x +=⇔ 60  23 logx 2 3 3  −6 −6 3 = ⇔ = 5 log3 x x 3  5 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên Bài 8: Gi ải các ph ươ ng trình sau: 11 a) log (4x2 )+ log (8 x ) = (Đ/s: x = 4) 4 x 2 1 21 b) 3log (9x2 )+ log (3 x ) = (Đ/s: x = 3 ) 3 2x 2 2 + = Đ = c) log25 (125x ) 2logx2 (5 x ) 5 ( /s: x 5 ) a) ĐK: 0<x ≠ 1 ⇔+2 + +=⇔11 + 37 −= PT1log4 x log81x log2 x 0 2 log2 x 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 39 = ⇔ = log2 x 2 x 4 ⇔2 − +=⇔  2log2x 7log 2 x 6 0 3 logx= ⇔ x = 8  2 2 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên b) ĐK: 0 =2 + > a) ĐK: x 0 .Đặt tlog3 x 1 0 ta có: ⇔2 +− = ⇒ = ⇒ 2= ⇔ = 3± 3 PTtt60 t 2log3 x 3 x 3 Vậy PT đã cho có 2 nghi ệm nh ư trên b) ĐK: 0<x ≠ 1 −  2 ⇔1 + =+⇔+2 =+2 PT4. log22 x  2log x logx 4 1 log 22 x 2log x 1 2  log 2 x  logx= 1 ⇔ x = 2  2 1 ⇔log3xxx + 2log 2 − log −=⇔ 2 0 log xx =−⇔= 1 222 2 2  1 logx=− 2 ⇔ x =  2 4 Vậy PT đã cho có 3 nghi ệm nh ư trên BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: 2 2 2 ()()−=+ − 2 1) (log 2x) – 3log 2x = log 2x – 4 2) log2x 1 3 log 2 x 1 −( ) = − − = 3) 3 log2x log 2 4 x 0 4) 3 log3x log 3 3 x 1 0 5) log2 x+ 3log x + log x = 2 6) log( 2x+ 1.log) ( 2 x +1 + 2) = 6 2 2 1 2 2 2 ()2 − + = 2+ 2 +−= 7) 2log3x 5log9 3 x 3 0 8) log3x log 3 x 1 5 0 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 40 7 2 9) log 2− logx + = 0 10) log3 x−3 log x = − x 4 6 2 2 3 1 4 1 3 11) + = 3 12) + = 2 − + − 5 4lgx 1 lg x 4 log3x log 3 x 2 9 13 1 2 13) + = 14) + = 1 − + − + 7 lgx 11 lg x 12 2 log2x 4 log 2 x = log3x= log 27 x 15) logx 2.log2 x 2 log 4 x 2 16) log9 (3x ) log 243 (27 x ) + 1 2log9 2 − = − 17) 1 2logx 3.log9 (12x ) log 9 x Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 41 05. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÔNG CHÍNH TẮC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITH DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Cơ s ở c ủa ph ươ ng pháp: Xét ph ươ ng trình f(x) = g(x), (1). N ếu f(x) đồng bi ến (ho ặc ngh ịch bi ến) và f(x) là hàm h ằng thì (1) có nghi ệm duy nh ất x = xo. N ếu f(x) đồng bi ến (ho ặc ngh ịch bi ến) và f(x) ngh ịch bi ến (ho ặc đồ ng bi ến) thì (1) có nghi ệm duy nh ất x = xo. Các b ước th ực hi ện: Bi ến đổ i ph ươ ng trình đã cho v ề d ạng (1), d ự đoán x = xo là m ột nghi ệm c ủa (1). Ch ứng minh tính đồ ng bi ến, ngh ịch bi ến hay h ằng s ố c ủa (1). D ựa vào tính đồng bi ến, ngh ịch bi ến k ết lu ận ở trên để ch ứng t ỏ khi x > xo và x → > > → 1 thì hàm s ố đồ ng bi ến, ng ược l ại hàm ngh ịch bi ến. Tổng ho ặc tích c ủa hai hàm đồng bi ến (ho ặc ngh ịch bi ến) là m ột hàm đồng bi ến (ho ặc ngh ịch bi ến), không có tính ch ất t ươ ng t ự cho hi ệu ho ặc th ươ ng c ủa hai hàm. V ới nh ững phươ ng trình có d ạng fx;a( u( x ) ) = 0, hay đơ n gi ản là ph ươ ng trình có ch ứa x ở c ả h ệ s ố và trên l ũy th ừa, ta coi đó là ph ươ ng trình ẩn là hàm m ũ và gi ải nh ư bình th ường. Bài toán s ẽ quy v ề vi ệc gi ải ph ươ ng trình bằng ph ươ ng pháp hàm s ố để thu được nghi ệm cu ối cùng. Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau x 1) 3x = 5 − 2 x 2) 2x = 32 + 1 3) x x ()322+ +−() 322 = 6 x Hướng d ẫn gi ải:  f( x )= 3 x 1) 3x = 5 − 2,1.x ( ) Đặt  gx()52= − x → gx′ () =− f (1) = 3 Khi x > 1 thì  → (1) vô nghi ệm. g( x ) g (1) = 3 x x x x 3   1  x=+⇔=2 x +⇔ + = () 2) 2312() 31    1,2. 2   2  x x  x x =31 + →′ = 3311 +  2 thì f(x) f(2) = 1 → (2) vô nghi ệm. Vậy x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình đã cho. x x x x 322+  322 −  3) ()3223226++−=⇔() x   +  = 1,3.() 6  6  xx x x 322+− 322  322 ++−+ 322322  322 Đặt fx()= + →= fx′ ()  ln +  ln < 0. 66  6666  Do đó f(x) là hàm ngh ịch bi ến. Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 42 Nh ận th ấy x = 1 là m ột nghi ệm c ủa (3). Khi x > 1 thì f(x) f(1) = 1 → (3) vô nghi ệm. Vậy x = 1 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình đã cho. 1x  1 x Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình −+()3x 11.  ++= 3 x 100 . 4  2 Hướng d ẫn gi ải: 1  x t=3 x + 10 Đặt t=   ⇒ t > 0. Khi đó ph ươ ng trình đã cho tr ở thành t2 −()3 x + 11 tx + 3 +=⇔ 10 0  2  t =1 1  x + V ới t=⇔1  =⇔= 1 x 0 . 2  1  x + V ới t=+⇔310 x  =+ 310 x (*). 2  Ta có x = −2 th ỏa mãn ph ươ ng trình (*) nên là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (*). 1  x Mà hàm s ố y =   luôn ngh ịch bi ến trên R, hàm s ố y = 3 x + 10 luôn đồng bi ến trên R. Do đó x = −2 là nghi ệm 2  duy nh ất c ủa ph ươ ng trình (*). Vậy ph ươ ng trình đã cho có 2 nghi ệm là x=0, x = − 2. Ví d ụ 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau 1) 25x− 2(3 −x ).5 x +−= 2 x 7 0 2) 3.25x−2+ (3x − 10).5 x − 2 +−= 3 x 0 2 2 3) 4x+− (x2 7).2 x +− 124 x 2 = 0 4) 4xx2+ .3x + 3 1+ x = 2.3. x xx 2 ++ 2 6 Hướng d ẫn gi ải: 1) 25xx−− 2(3xx ).5 +−=⇔−− 2 7 0 52 xx 2(3 xx ).5 +−= 2 7 0,( 1) . Ta coi (1) là ph ươ ng trình b ậc hai ẩn 5 x. Ta có ∆=−′ ()()()3x2 − 27 x −=−+−+=−+=− xx2 6927 xxx 2 810 x 4 2 5x = 3 −x +() x − 4 5x = − 1 Xét ph ươ ng trình ( )⇔ 5x 2 = 3 − x . Đặt →  gx()3=− x  gx′ ()10 =− f (2) = 1 Khi x >2 → → ( ) vô nghi ệm. g() x g (2) = 1 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 43 25 →x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa ( ), v ậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x=log ; x = 2. 5 3 2 2 3) 4x+− (x2 7).2 x +− 124 x 2 =⇔+− 0 4 tt ( t 7).2 +−= 124 ttx 0,( =≥2 0) () 3 Ta có ∆=−()()()t72 − 4.124 − ttt =−2 14 +−+ 494816 tttt =++=+ 2 21 1 2  − +( + ) t 7t t 1 2 = t 2 24= →=t 2. Khi đó, ()3 ⇔ ⇔   − −() + t t 7t t 1 2= 3 − t , (*) 2 =  2 V ới t=2 ⇔ x =± 2. V ới 2t = 3 −t →= t 1 ⇔ x = ± 1. Vậy ph ươ ng trình đã cho có 4 nghi ệm x=±1; x =± 2. 4) 4xx2+ .3x + 3 1+ x = 2.3. x xx 2 ++ 2 6,() 4. Điều ki ện: x ≥ 0. ()4.⇔xx2 ( 42.3 −xx) +( 3 −+− 263) 1+ x =⇔ 0223 xx 2 ( −−−+−= xxx) ( 23) 323( ) 0  x 2− 3 = 0 2 ⇔−()232x ()x2 −+=→ x 30 →=x log2 ⇔= x () log2. 2 − + = () 3 3 2x x 3 0 vn o Ví d ụ 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau : 2 2 2 2 2 2 2 a) 312−x− 3 12 + x = 4.3x − x b) 5xx++42− 5 284 xx ++ =++x 2 42 x c) 2sinx+ 3 sin x −( 2 cx os + 3 cx os ) = 2cos2 x 2 2 2 a) PT⇔−=31212−x 3 + x 4.3 x − x ⇔ 3 xx −+ 21 − 3 xx ++ 21 = 4 x Ta có ( xx2+21 +−) ( xx 2 − 214 +=) xuvx ⇔−= 4 . Ph ươ ng trình đã cho có d ạng 3vu− 3 =−⇔uv 3 u += u 3 v + v Xét hàm s ố ft()= 3t + t⇒ ft '()= 3ln310 t + > . Suy ra f(t) đồng bi ến, do đô ta có uv=⇔4 x =⇔= 0 x 0 2 2 b) PT⇔5xx++422842 − 5 xx ++ =++= xx 42284( xxxx 2 ++−++) ( 2 42 ) 2 2 ⇒5xx++422+++=( xx 425) 284 xx ++ +( 284 xx 2 ++⇔) fufv ()() = Xét hàm s ố ft()= 5t + t⇒ ft '()= 5ln510 t + > . x = −2 − 2 Suy ra f(t) đồng bi ến, do đô ta có uv=⇔ x2 +4 x +=→ 2 0  x = −2 + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) PT ⇔+−+=2sinxxcxcx 3 sin( 2 os 3 os) 2cos2x ⇔++ 2 sin xx 3 sin 2sin 2 x =++( 2 cxcx os 3 os) 2cos 2 x . Xét hàm s ố ft()= 2tt + 3 + 2, ttRft ∈ ⇒ '()= 2ln23ln32 tt + +> 0 π π π Suy ra cos2x= sin 2 x ⇔ cos2 x =⇔= 0 2 xkxπ ⇔=+ kkZ;() ∈ 2 4 2 Ví d ụ 5. Gi ải các ph ươ ng trình sau : 1−x2 1 − 2 x − − 1 1 2 2 1 1 2 − + − a) e2x 5− e x 1 = − b) 2x− 2 x = − c) 2x31 x− 2 x 2 +x 2 − 3 x −+= x 30 2x− 5 x − 1 2 x −11 − 1 1 a) e2x 5− = e x 1 − ⇒ ftet()=−t ;0 >⇔ fte '() =+> t 0 . 2xx− 5 − 1 t t 2 x = 3 Ch ứng t ỏ hàm s ố f(t) đồ ng bi ến. Do đó 2x− 5 = x − 1 ⇔  x = 4 2 1−x 1 − 2 x 2 2 2 2 11121−x − x  xx − 2 2  11  b) 22;x−=− x −  = =−=− 12   . 2 xxx2 2  x 2  x 2 x  Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 44 1 1 1 Cho nên ph ươ ng trình đã cho có d ạng 22ab−=()ba −⇔+ 2 a a =+ 2 b b 2 2 2 1 1 Xét hàm đặc tr ưng ft()2=t + tft⇒ '()2.ln2= t + > 0 . 2 2 1 1  Ch ứng t ỏ hàm f(t) luôn đồng bi ến. Suy ra −  =→=0x 2 2 x  2 2 c) PT⇔2x−3 x + 1 − 2 x − 2 + xxx 2 −−+=⇔ 3302x−312 x + + xx −+= 312 x − 2 +− x 2 Bằng cách xét như các bài trên ta có k ết qu ả x≥3  x ≥ 3 xxxxxx2−+=−⇔31233 2 −=−⇔ ⇔  →= x 3 −=−+3x 69 x  x = 3 x x Ví d ụ 6. Gi ải ph ươ ng trình (cos360) +( cos72 0 ) = 3.2 − x Do cos720= sin18 00 ;cos36 = sin54 0 = sin3.18 0 . Cho nên đặt t= t =sin180 > 0 , và dùng công th ức nhân ba ta có : cos360= sin54 0 ⇔− 1 2sin18 20 = 3sin18 0 − 4sin18 3032 ⇔−−+= 4t 2 t 3 t 1 0  − − =1 5  f (0)= 0 Dễ dàng tìm d ược hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là x = 0 và x = 2. 2 2 ()− 2 2 2 2 b) 422xxx−−+=1x 1 +⇔ 12 221 xxxxx −−−+ += 22 21 + 1 . Đặt : ax=22;12 − xb =− x 2⇒ abx+= 2 − 21 x + . Khi đó ph ươ ng trình có d ạng : a + 2= 1a = 0 ⇔+=222abab +⇔−+ 1()()()() 21212 a ba −=⇔− 0 2112 a −=⇔ b 0  ⇔  2b = 1 b = 0 2( x2 − x ) = 0 x=0; x = 1 ⇔ ⇔  ⇒ x=0; x = ± 1 2 = − = 1−x = 0 x1; x 1 − + − + −+−+ −+ c) xx21.22x+ +=x3 2 2 .2 x 3 4 +⇔ 2x− 12112( xx .22 x + −= x − ) ( .2x3432 −⇔ 2 x ) 2412x − 12( xx −=) x 32 ( 41 2 − ) 1  1  1 4x2 − 1 = 0 x=± x =± = ± 2x−3 + 2 x− 1   x ⇔−()412x () −=⇔ 2 0  ⇔2 ⇔ 2 ⇒ 2 x−3 + 2 x−1    2− 2 = 0 x−+=−32 x 1  xx −=− 3 3 x ≥ 3 Ví d ụ 8. Gi ải các ph ươ ng trình sau : Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 45 x x a) 6x+ 8 x = 10 x b) ( 526+) +−( 526) = 10 x x x x x x 1  1 1 c) (23−) ++( 23) = 2 x d) 3x− +− 2 x  − =−+ 26x 3  2 6 68xx  68 xx  6688 x x a) 6810x+=⇔+=⇔=+−⇔= x x  1()fx  1'() fx  ln + .ln 0      10  10  10  10  Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất là x = 1 x x x x x x −+  −+ −++=⇔x 2323 + =⇔= 2323 + −= c) ()23232()  1()f x  10 22  22 − x −  + x +  =23 23 + 23 23 > ⇒ f'( x )  ln   ln  0 2  2  2  2  Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất là x = 1. 111x  x x  111x x x d) 3x− +− 2 x  − =−+⇔++= 26322x x x  + + + 6 326   326 VTfx=() =++→ 3xx 2 2 fx '() = 3ln3 xx + 2ln2 > 0; f (1) = 7 1x  1 x  1 x VP= g( x ) = +  +  + 6 . Là m ột hàm s ố ngh ịch bi ến, m ặt khác g(1) = 7 3  2  6 Ch ứng t ỏ x = 1 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình . Ví d ụ 9. Gi ải các ph ươ ng trình sau : a) 4x− 3 x = 1 b) 2x+ 3 x + 5 x = 10 x c) 3xx+ 4 + 12 x = 13 x d) 3x+ 5 x = 6x + 2 13xx  13 xx a) 431134xx−=⇔+=⇔ xx  + =⇔ 1()f x =  + −= 10 44  44 1x  1 3 x  3 Ta có fx'( )= ln  + ln  < 0⇒ fx ( ) là hàm ngh ịch bi ến. 4  4 4  4 Mặt khác f(1) = 0 nên ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất là x = 1 2x  3 x  5 x b) 2x++=⇔ 3 x 5 x 10 x  +  +  = 1 10  10  10 235xxx  223355 x x x Đặt fx( )= + + − 1⇒ fx '( )=  ln + ln + ln < 0 10 10 10  10 10 10 10 10 10 Suy ra f(x) là hàm ngh ịch bi ến, nên ph ươ ng trình s ẽ có nghi ệm duy nh ất. Mặt khác f(1) = 0, v ậy ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất x = 1. 3x  4 x  12 x c) 341213xx++=⇔ x x  +  +  = 1 13  13  13 3xxx 4 12  3 x 34 x 41212 x Đặt fx( )= + + − 1⇒ fx '( )=  ln + ln + ln < 0 13 13 13  13 13 13 13 13 13 Vậy f(x) là hàm s ố ngh ịch bi ến. Mặt khác f(2) = 0 nên ph ươ ng trình có nghi ệm duy nhất x = 2. Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 46 d) 356xx+=+⇔x 2 fx ()3562 =+−− xx x . Rõ ràng ph ươ ng trình có hai nghi ệm là x = 0 và x = 1. Ta có fx'( )=+− 3xx .ln3 2 ln 2 6; fx ''( ) = 3 xx (ln 3)2 + 2 (ln 2) 2 > 0 limfx ()= +∞ ;lim fx () = − 6 x→+∞ x →−∞ Suy ra f'( x ) là m ột hàm s ố liên t ục , đồ ng bi ến và nh ận c ả giá tr ị d ươ ng lẫn giá tr ị âm trên R, nên ph ươ ng trình f'( x )= 0 có nghi ệm duy nh ất x0. Ta l ập b ảng bi ến thiên s ẽ suy ra hai nghi ệm c ủa phươ ng trình, s ẽ không còn nghi ệm nào khác. BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: − 1 1) 2x =x + 9 2) 5x + 2x − 70 = 3) 3.9x+ 4.3x x + 4 x −= 3 0 3 x 1  x 4) 82 + 1 = 3 x 5)   =2x + 5 6) 4x+−( x 9.2) x −+= 3 x 180 3  x x x x 3  7 7) ()32− ++() 32 = () 23 8)   + = 2x 5  5 DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH = V ới ph ươ ng trình d ạng loga f(x) g(x) : - D ự đoán x = xo là m ột nghi ệm. - S ử d ụng tính đồ ng bi ến, ngh ịch bi ến c ủa hàm logarith để ch ứng minh nghi ệm x = xo là duy nh ất. Ho ặc ta có th ể f′( x ) sử d ụng công c ụ đạ o hàm c ủa hàm s ố logarith y=log fx ( ) → y ′ = để k ết lu ận tính đồ ng bi ến. a f( x ).ln a = V ới ph ươ ng trình d ạng loga[ f ( x )] log b [ g( x ) ] trong đó a, b nguyên t ố cùng nhau:  = t tloga [ f ( x ) ]  f( x ) = a Đặt →  →khu x Aa.t + Bb . t = C , (1). = [] t tlogb g ( x ) g( x ) = b (1) được gi ải b ằng ph ươ ng pháp hàm s ố cho ph ươ ng trình m ũ đã xét đến. Từ đó ta gi ải được t → x. Chú ý: a> 1 a> 1   A> 0 A 0 logb f ( x ) V ới nh ững ph ươ ng trình có ch ứa hàm logarith ở l ũy th ừa d ạng a thì thông th ường ta đặ t t = log bf(x). Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau logx log x − = 2 +2 = 2 1) log2 (3x ) x 2) x 3 5 log x = + ( +6 ) = 3) log7x log 3 ( x 2 ) 4) log2x 3 log 6 x Hướng d ẫn gi ải: − = ( ) 1) log2 (3x ) x , 1 . Điều ki ện: x 0 Nh ận th ấy x = 1 là m ột nghi ệm c ủa (1), do đó x = 1 là nghi ệm duy nh ất. 2 logx log x 2) x +32 = 5 2 ,2.( ) Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 47 Điều ki ện: x > 0 4 t  3 t Đặt logx=→= t x 2,2435t() ⇔+=⇔ ttt   +  = 1,*.() 2 5   5 Ta d ễ dàng nh ận th ấy (*) có nghi ệm duy nh ất t = 2. Vậy x = 4 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình đã cho. = + () 3) log7x log 3 ( x 2,) 3. Điều ki ện: x > 0. t t = t  t tlog 7 x x = 7  x = ( 7 ) t 7   1  Đặ ⇔ ⇔ →() +=⇔t   + = () t  t  7 23  2.  1,*. t=log() x + 2 + = t    3  x 2 3  x +2 = 3 3  3   t t =7 + 1  → Đặt f() t   2.   f(t) là hàm ngh ịch bi ến (t ổng c ủa các hàm ngh ịch bi ến, ho ặc dùng đạo hàm 3   3  cũng ok). Do t = 2 là m ột nghi ệm nên đây chính là nghi ệm duy nh ất c ủa (*). Vậy x = 49 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình đã cho. log x ( +6 ) = () 4) log2x 3 log 6 x , 4. Điều ki ện: x > 0. t t() tt tttt 3  1 Đặt logxtx=→= 6,4log63() ⇔ + =⇔ t 6323 += ⇔ +  =→=−⇔= 1 tx 1 . 6 2 2  6 MỘT S Ố BÀI TOÁN CH ỌN L ỌC Bài 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau 2 logx log x log x +2 = 2 ( +6 ) = a) x 3 5 b) log2x 3 log 6 x Hướng d ẫn gi ải: 2 logx log x a) x +32 = 5 2 ,1.( ) Điều ki ện: x > 0 4 t  3 t Đặt logx=→= t x 2,1435t() ⇔+=⇔ ttt   +  = 1,*.() 2 5   5 Ta d ễ dàng nh ận th ấy (*) có nghi ệm duy nh ất t = 2. Vậy x = 4 là nghi ệm duy nh ất c ủa ph ươ ng trình đã cho. log x ( +6 ) = b) log2x 3 log 6 x ,() 2. Điều ki ện: x > 0. Đặt t t() tt tttt 3  1 logxtx=→= 6,2log63() ⇔ + =⇔ t 6323 += ⇔+  =→=−⇔= 1 tx 1 . 6 2 2  6 Bài 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( sử d ụng tính đơn điệu) x+ = − x a) log5 ( 3) 3 ĐKX Đ: x > − 3 +=−⇔ ++= log5 (x 3) 3 x log 5 ( xx 3) 3( 1 ) = + + > − Xét hàm fx( ) log5 ( x 3) x với (x 3) Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 48 1 Đạo hàm: fx'() = +>∀>− 103 x⇒ fx() đồng bi ến trên (−3, +∞ ) ()x + 3 ln 5 Suy ra (1) có nghi ệm duy nh ất ho ặc vô nghi ệm. Nh ận th ấy x = 2 là nghiêm c ủa (1). Vậy x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa pt −x = x b) log2 (3 ) ĐKX Đ: x ∀ 0 = ∈ t+ t = Đặt: log 2 x t( t ℝ ) ⇒ ()()2:2 2.3 3* Xét hàm: f() t =2t + 2.3 t với t ∈ℝ Đạo hàm: ft'()()= 2.ln2t + 2.3ln3 t >∀∈ 0 tftℝ ⇒ đồng bi ến trên ℝ Suy ra (3) có nghi ệm duy nh ất ho ặc vô nghi ệm. Nh ận th ấy x =1là nghiêm c ủa (3). Vậy x =1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt ++ += d) log3 (x 1) log 5 (2 x 1) 2( 4 ) 1 ĐKX Đ: x > − 2 = ++ + Xét hàm: fx( ) log3 ( x 1) log 5 (2 x 1) 1 1 1 1  Đạo hàm: fx'() = + >∀>− 0 xfx⇒ () đồng bi ến trên −, +∞  ()x+1ln3() 2 x + 1ln5 2 2  Suy ra (4) có nghi ệm duy nh ất ho ặc vô nghi ệm. Nh ận th ấy x = 2 là nghiêm c ủa (4). Vậy x = 2 là nghi ệm duy nh ất c ủa pt − −+ −=+ e) 4(x 2)[ log2 ( x 3) log 3 ( x 2)] 15( x 1) Bài 3. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( mũ hóa k ết h ợp v ới sử d ụng tính đơn điệu) Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 49 log x (x+6 ) = x a) log2 3 log 6 ĐKX Đ: x > 0 ( +log6 x) = ⇔+ log6 x = log 6 x log2x 3 log 6 x x 3 2 t tt t t 3  Đặt logx= t ⇒ 6+=⇔+ 3 2 3  = 1() * 6 2  Dễ th ấy VT đồ ng bi ến trên ℝ suy ra (*) có nghi ệm duy nh ất ho ặc vô nghi ệm. Nh ận th ấy x = − 1là m ột nghi ệm Vậy x = − 1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt log( x+ 3 ) b) 4 7 = x ĐKX Đ: x > 0 + = tt= −⇔ tt − = Đặt log7 ( x 3 ) t ⇒ 4 7 3 7 4 3*() Dễ th ấy VT đồ ng bi ến trên ℝ suy ra (*) có nghi ệm duy nh ất ho ặc vô nghi ệm. Nh ận th ấy x =1là m ột nghi ệm Vậy x =1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt log 92 logx log 3 c) x2= x.3 2 − x 2 ĐKX Đ: x > 0 2 log 92 logx log 3 log 3 log 32 log 3 log 3 log 3 2 log x 2 xx2=.3 2 − xxxxx 2 ⇔( 2) +− 2 .0 2 =⇔ xxx 2( 2 −+=⇔ 10310) 2 −+= x t t t t t 3   1  Đặt logx= t ⇔ x = 2⇒ 3−+=⇔ 4 1 0  +   = 1 2 4   4  Dễ th ấy t =1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt ⇔x = 2 Vậy x = 2 Bài 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( mũ hóa k ết h ợp v ới sử d ụng tính đơn điệu) log 3 log 5 a) xx+2 = x 2 ( x > 0) log 3 log 5 logx log x xx+22 = x( x >⇔+ 0) x 3 22 = 5 t t t t t 3   5  Đặt: logx= t() t ∈ ℝ ⇒ 2=+⇔ 3 5  +   = 1 2 2   2  1 Dễ th ấy t = − 1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt ⇔x = 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 50 1 Vậy x = 2 2 logx log x b) x +32 = 5 2 ĐKX Đ: x > 0 = ∈ t+ t = t Đặt log2 x t() t ℝ ⇒ 4 3 5 (đã làm) Ta được t= 2⇒ x = 4 Vậy: x = 4 c) 6.9log2x + 6.x2 = 13. x log 2 6 ĐKX Đ: x > 0 3 t  2  t 13 Đặt: logx= t ⇒ 6.9t+= 6.4 t 13.6 t ⇔  +   = 2 2   3  6 9 t  4  t 9t 94  t 4 Xét f() t=  +   () t ∈ ℝ . Đạo hàm: f'() t = .ln +  .ln 6   6  6 66  6 +t > 0⇒ ft '( ) > 0 ⇒ ft( ) đồng bi ến trên ℝ+ . Nh ận th ấy x =1là nghi ệm c ủa pt suy ra x =1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt trên ℝ+ +t < 0⇒ ft( ) < 0 ⇒ ft( ) ngh ịch bi ến trên ℝ− . Nh ận th ấy x = − 1là nghi ệm c ủa pt suy ra x = − 1là nghi ệm duy nh ất c ủa pt trên ℝ− Vậy x = ± 1 Bài 5. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( đặt ẩn không hoàn toàn ) 2 +− +−= a) log3 xx ( 12)log3 x 11 x 0 t = − 1 = 2 −− +−=⇔+ +−=⇔ Đặt: log3 xttxt⇒ ()()() 1211 x 0 tt 1 11 x 0  t=11 − x  1 1  1 x = x= x = ⇔3 ⇔ ⇔   3  3 t =11 − 3 t t=2  x = 9 1  Vậy x ∈,9  3  2 −+ += b) xxx.log2 2( 1).log 2 x 4 0 t=2t = 2  t = 2  x = 4 = 2 −++=⇔− −=⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Đặt: log2 xtxt⇒ 2140()()() xt t 2 xt 20    xt=2t.2t = 2  t = 1  x = 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 51 Vậy x ∈{2,4 } Bài 6. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( đặt ẩn không hoàn toàn ) 2 + − = − a) log 2 x (x 1)log 2 x 6 2x ĐKX Đ: x > 0 t = − 2 Đặt: logxttxt=⇔+−2 ()()() 162 =− xt ⇔+ 22() t −+− x 102 =⇔  2 −+t −2 = t 2() 21 0 = −  1 t 2 x = ⇔ ⇔ 4 t=1() do __ VP dong _ bien  x = 2 1  Vậy x ∈ , 2  4  +2 +++ +−= b) (x 2)log3 ( x 1) 4( x 1)log( 3 x 1) 16 0 ĐKX Đ: x > − 1 + = ⇒ ( +) 2 +( +−=⇔+) ( ) ( ++−=)  Đặt log(1)3 x txtxt 2 4 1160 t 4 xtt 1 40  =−= − =−  80 t4t 4  t 4 x = − ⇔ ⇔⇔  ⇔ 81 ()()x++−=140 tt3.t t+ t − 40 =  t = 1__ VPdongbien  x = 2 80  Vậy x ∈ − ,2  81  Bài 7. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( ph ươ ng pháp m ũ hóa ) + = a) log7 (x 2) log 5 x ĐKX Đ: x > 0 + = = > + > > Đặt log7 (x 2) log 5 x t . Nh ận xét x0⇒ log(7 x 2) 0⇒ t 0 x +2 = 7 t ⇒ ⇒ 527t+= t ⇔ 75 tt − = 2 x = 5t Xét f( t ) =7t − 5 t . Đạo hàm ft'( ) = 7ln7t − 5ln5 t >∀> 0 tft 0 ⇒ ( ) đồng bi ến trên ℝ Dễ th ấy pt có nghi ệm duy nh ất t=1⇒ x = 5 Vậy x = 5 +4 = b) 2log6 (x x ) log 4 x ĐKX Đ: x > 0 +4 = = Đặt 2log6 (xx ) log 4 xt 2  x+4 x = 6t 2 t  1 t ⇒ ⇒ 2262t+=⇔ t t   +  =⇔= 11t (do VT ngh ịch bi ến) ⇔x = 16 x = 42t 3   3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 52 Vậy x =16 3 + = c) log2 ( 9x 1) log 6 12 x ĐKX Đ: x > 0 3 + =( ) = log(2 9x 1) log 6 12 x 3 t  3 9x + 1 = 2 3t 3 3 331 t  t 2 ⇒ ⇒ 3.6123t+=⇔ 3 t 3 .618 tt +=⇔ 3 .  +  =⇔= 1 t (do VT ngh ịch 12x = 6 3t 4 4 448   3 bi ến) ⇔x = 3 Vậy x = 3 Bài 7. Gi ải các ph ươ ng trình sau ( ph ươ ng pháp m ũ hóa ) +3 = a) log2 (1x ) log 7 x ĐKX Đ: x > 0 1+3 x = 8 t t   t +3 = = +=⇔t t 1 + 7 =⇔= Đặt log2 (1x ) log 7 x 3 t ⇒ ⇒ 178   11t (do VT ngh ịch x = 73t 8  8  bi ến) ⇔x = 343 Vậy x = 343 + = + b) log3 (x 2) log 2 ( x 1) ĐKX Đ: x > 0 += += Đặt log3 (x 2) log 2 ( x 1) t  x +2 = 3 t 1t  2  t ⇒ ⇒ 312t=+⇔ t  +   =⇔= 11t (do VT ngh ịch bi ến) ⇔x = 1  x +1 = 2 t 3  3  Vậy x =1 c) 2−−= 2 −− log4 5 (xx 2 3) 2log(2 xx 2 4) Đặt: 2−−= 2 −−= log4 5 (xx 2 3) 2log2 ( xx 2 4) 2 t t  2 t t − − = t = x2 x 3( 5 ) t 2  1  x 0 ⇒ ⇒ ()521= + ⇒  +  =⇔= 12t (do VT ngh ịch bi ến) ⇔  2 t 5  5  x = 2 x−2 x − 4 = 2 Vậy x ∈{0,2 } Bài 8. Gi ải các ph ươ ng trình sau log3x log 3 x 2x a) ( 10+ 1) −( 10 − 1 ) = 3 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 53 ĐKX Đ: x > 0 2 log3xx log 3 2x log3 xxx log 3 log 3  2 log 3 x ()101+−−=⇔+() 101() 101() 101 −−−() 101 =x .101() − 3   3  1+ 10 log 3 x x =()10 − 1 logx log x 2 2 2 3 3  3 ⇔−x x .101() − −() 101 − =⇔ 3     3 1− 10 log 3 x x=()101 − ( loai )  3 log() 10− 1101− log() 10− 1 − 1 101 −log() 10− 1 − 1 101 − ⇔x3 − xx =⇔0 3 = ⇔= x 3 3 3 3 log() 10− 1 − 1 10− 1 Vậy x = 3 3 2logx 1+ log x 2 b) 32− 2x 2 − 80 x = log 2x log 6 log 4 x 2 c) 42−x 2 = 2.3 2 ĐKX Đ: x > 0 + + 1 log2x 1 log 2 x log 2x log 6 log 4 x2 1+ log xx log ()1+ log x 9  3 422−=x 2.3 2 ⇔−= 4 22 62.92 ⇔ 2 +  −= 10 4  2 + + + 1 log2x 1 log 2 x 1 log 2 x −log 2 3   3   31 3 ⇔ +  −=⇔  =⇔ =− ⇔= 2 1  2  1  0  log2x log 3 2 x 2 2   2   22 2 − log3 2 Vậy x = 2 2 log x −3log x d) 2.x2 + 2. x 8 − 5 = 0 ĐKX Đ: x > 0 log x −3log x logx− log x 2.xx2 + 2.8 −=⇔ 5 0 2. xx2 + 2. 2 −= 5 0 log x Đặt x2 = t( t ≠ 0) = log 2 x = t 2 x = 2 = =  x 2 2   log2x .log 2 x 1  log 2 x 1  ⇒ 2t +−=⇔⇔ 5 0 1 1 ⇔ ⇔  ⇔ 1 (th ỏa mãn)  =  log 2 x =− =−  = t t x = log2x .log 2 x 1  log 2 x 1 x  2  2  2 1  Vậy x ∈2,  2  Bài 9. Gi ải các ph ươ ng trình sau + = + a) log2x 2.log 7 x 2 log 27 xx .log x = 7 logxx+ 2.log =+ 2 log xx .log ⇔() log x −− 12() log x =⇔ 0 27 27 7 2 x = 4 Vậy x ∈{4,7 } + = + b) log23xx .log 3 3log 3 x log 2 x Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 54 x = 3 logxx .log+= 3 3log xx + log ⇔() log x −− 1() 3 log x =⇔ 0 23 32 3 2 x = 8 Vậy x∈{3,8 } +++2 2 ++= c) log37x+ (912xx 4 ) log 23 x + (6 xx 23 21) 4 3 ĐKX Đ: x > − 2 +++2 2 ++=⇔ +++ += log37x+ (912xx 4 )log 23 x + (6 xx 23 21) 4 2log 37x+()() 2 x 3 1log 23 x + 3 x 7 4 ⇔ ++ += 2log37x+( 2x 3) log 23 x + ( 3 x 7) 3 =  = − ( ) t 1  + = + x4 loai + = ≠ +=⇔1  ⇔3x 72 x 3 ⇔  Đặt log3x+ 7 ( 2x 3) t( t 0 ) ⇒ 2t 3 1  1 t t = 2x+ 3 = 3 x + 7 x= − () tm  2  4 1  Vậy: x ∈ −  4  Bài 10. Gi ải các ph ươ ng trình sau + + = a) logx2 (2x ) log2−x x 2 Sửa: + + = logx2 (2x ) log2+x x 2 ĐKX Đ: 0 1) log5 (x 3) 3 x 2) xx x,( x 0) log(x+ 3 ) 7 = 2 −−+= ++ 3) 4 x 4) log(2xx 6) x log( 2 x 2) 4 ( +) = 2 − − = 5) log2 1x log 3 x 6) log3( x 3 x 13) log 2 x Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 55 2 −−= + = 7) log4( x x 8) log 3 x 1 8) log2 (cosx) 2log 3 (cot x) = + + 3 −+ −= 9) 2log2x 3log 3 ( 1 x x ) 10) log2 (x 3) log 3 (x 2) 2 ++ += − −+ −=+ 11) log3 (x 1) log 5 (2 x 1) 2 12) 4(x 2)[ log2 ( x 3) log 3 ( x 2)] 15( x 1) DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái ni ệm: Là ph ươ ng trình có d ạng afx(). b gx () = c ,( 1 ) trong đó a, b nguyên t ố cùng nhau, f(x) và g(x) th ường là hàm b ậc nh ất ho ặc b ậc hai. Cách gi ải: Lấy logarith c ơ s ố a ho ặc c ơ s ố b c ả hai v ế c ủa (1) ta được () ⇔fxgx()() =⇔ fx () + gx () =⇔+ = () 1 loga(ab .) log aaaa c log a log b log cfxgxb () ()log aa log, c 2. (2) thu được là ph ươ ng trình b ậc nh ất c ủa x, ho ặc ph ươ ng trình bậc 2 có th ể gi ải đơn gi ản. Chú ý: Nh ững d ạng ph ươ ng trình ki ểu này chúng ta c ố g ắng s ử d ụng tính ch ất c ủa hàm m ũ để bi ến đổ i sao cho c = 1. Khi đó vi ệc logarith hóa hai v ế v ới c = 1 s ẽ cho ph ươ ng trình thu được đơn gi ản h ơn r ất nhi ều. Ví d ụ 1. Gi ải các ph ươ ng trình sau 2 1) 3.2x x +1 = 72 2) 5.3x x = 1 3) 73x+ 9.5 22 xx = 5 + 9.7 3 x Hướng d ẫn gi ải: x x +1 +3 .2 −−− 1) 3.2xx1=⇔ 72 =⇔ 13.2 xx 222 =⇔ 16 x =→= 1x 2. 9.8 Vậy ph ươ ng trình có nghi ệm x = 1. xx2 =⇔ xx2 =⇔ xx +2 =⇔ +=2 2) 5.3 1 log3( 5.3) log1 333 log5 log3 0x log5 3 x 0 x = 0 ⇔x()log 5 + x = 0 → 3  = − x log3 5 Vậy ph ươ ng trình đã cho có hai nghi ệm x = 0 và x = –log 35. 3) 73223xxxx+=+⇔=⇔=⇔ 9.5 5 9.7 8.7 3232 xxxx 8.5 7 5 lg7( 3 x) = lg5( 2 x ) ⇔ 3.lg72.lg50x − x = →x(3lg7 − 2lg5) =⇔= 0 x 0. Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm x = 0. Ví d ụ 2. Gi ải các ph ươ ng trình sau: x+1 2x− 1 2 1) 5.8x x = 500 2) 5.2x x+1 = 50 3) 2x−3= 5 x − 5 x + 6 4) x2lg x =10 x Hướng d ẫn gi ải: x+1 1) 5.8x x = 500,() 1. Điều ki ện: x ≠ 0. x+1 x − 3 x − 3  3 − − x − 3 () ⇔x x =⇔=⇔3 2 x 3 x  x  =()3 x ⇔=−() 1 5.2 5.2 2 5 log22  log5 2 3x log52   x x = 3 ⇔()()log 5x2 − 3 log 5 − 1 x − 3 = 0 →  1 2 2 x = log  5 2 2x− 1 2) 5.2x x+1 = 50,() 2. Điều ki ện: x ≠ –1. − − − 21x 21 x− 21 x −  −1 − 1 2x − 1 () ⇔xx+1 =⇔2 x 2 x + 1 =⇔ x 2 x + 1  ==⇔−+−() = 2 5.2 5.2 5.2 1 log5.22  log10 2 1x 2log502   x +1 x = 2 x −2 = 0 ⇔−+−()() + =→ ⇔  ()1+ log 5 1 x2 x 2 x 1log502  +() + =  =−2 =− 1x 1log52 0 x  log2 5 lg5 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 56 1 Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x=2 ; x = − . lg5 xxx−−+356=2 ⇔ x − 3 = xx2 −+ 56 ⇔−=−+ 2 3) 2 5 log22( ) log5 2 ( ) x 3( x 56log5 x ) 2 x = 3 x −3 = 0 ⇔()() −  − −  = → ⇔  x31 x 2log52  0  log 50 xlog 5= 1 + 2log 5 x =2 = log 50  2 2  5  log2 5 = = Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x3; x log5 50. 4) x2lg x = 10x,( 4.) Điều ki ện: x > 0.  = lgx 1 x =10 2lgx 2  ()4⇔ lg()x = lg() 10 x ⇔ 2lg xx −−=⇔ lg 1 0 1 ⇔  lg x = x = 10  2 Vậy ph ươ ng trình có hai nghi ệm x=10 ; x = 10. Ví d ụ 3. Gi ải ph ươ ng trình x−1 x x x a) 5.8x x = 500 b) 3.8x x+1 = 36 c) 34= 4 3 − 31()x− 31() x − x 1 − = 2 − x − 3 x 3 a) 5.8xx=⇔ 500 5.2 x x =⇔ 5.23 2 2 x =⇔=− 5 3 x () 3x log5 ⇔ 2  = − x x log2 5 x 3x 3x − ≠ − x+1 2 x − 2 x 1 2+ log 4 b) 3.8x x+1 =⇔= 36 3 2.32 2 ⇔ 3x + 1 =⇔ 4 = log4 ⇔  ⇒ x = 3 + 3 ()− = + − x 1  1 log3 4x 2 log 3 4 1 log3 4 x x x 4  4=⇔= 3 x x ⇔ = ⇒ = () c) 3 4 4 3 .log3 4  log 3 4x log 43 log 4 3  3 Ví d ụ 4. Gi ải các ph ươ ng trình sau : − a) 53 log 5 x = 25 x b) 9. xlog 9 x = x 2 2 3() logx3 − log x c) xlog2 9= x2 .3 log 2x − x log 2 3 d) x 3 =100.3 10 GI ẢI x > 0  > 3− log x  x 0 2 a) 55 =⇔ 25x53 ⇔  ⇔=→= x5 x 5  = 25 x 53= 5 2x 2 5log 5 x b) 9. xlog 9 x = x 2 ⇔ Lấy loga c ơ s ố 9 hai v ế , ta có ph ươ ng trình : x>0  x > 0 x > 0 ⇔ ⇔  ⇔⇔=>  x 9 0 +()()2 − = −=2 = 1 log9x 2log 9 x 0  log 9 x 1 0 log9 x 1 c) xlog2 9= x2 .3 log 2x − x log 2 3 . S ử d ụng công th ức : alogcb= b log c a . Ph ươ ng trình bi ến đổ i thành : 3log 2 x > 0 ⇔−9log2xx2 .33033 log 2 x +=⇔ log 2 x log 2 x() log 2 x −+=⇔ x2 10 ⇔=− 3log 2 x x 2 1 3log 2 x −x2 + 1 = 0 = ⇒ =t ↔2 = t Đặt : tlog2 xx 2 x 4 . Ph ươ ng trình : 3 t  1  t ⇔3log 2 x =−==−⇔x2 1341t t   +   −= 10 . 4   4  31tt  3311 t t Xét hàm s ố ft( )=+−→= 1 ft '( )  ln + ln < 0 . 44  4444 Ch ứng t ỏ hàm s ố f(t) là m ột hàm s ố ngh ịch bi ến. = → = Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì ph ươ ng trình có nghi ệm duy nh ất log2 x 1 x 2 . 2 3() logx3 − log x d) x 3 =100.3 10 . L ấy log hai v ế , ph ươ ng trình tr ở thành : Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 57   = 2 tlog x 3() logx3 − log x  3 3 2  1 x3 =100. 10 ⇔ 3() log xxx − log  log =+⇔ 0  log 2 x =3  > 2logx log x 2log x  t   0 ⇔−=⇔4.22 6 2 18.3 2 6log2x  3 2log 2 x ⇔  2  4− = 18.    4  2 18t2 + t − 40 = t > 0   logx − 2  = −1 0 ta được t > 0  lg x  lgx 2lg x 3   logx − 2     t = > 0  = −1 2 t 0 log()x − 16 2− 2 − +  3 2 − 2log3()()x 16 log 3 x 161 t =2 > 0  log3 ()x 16 2 a) 2224+ =⇔ ⇔⇔=  t = − 6 22 t2 +2 t − 24 = 0   t = 4 ⇒ 2− =⇔ 222 −==⇔ = →= log3 ( x 162) x 1639 xx 25 5 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 58 ()log x 2 2 2  2 1+()() log x log x 2log 2 x t =2 > 0 b) 22 +=⇔ 224x2log2 x 2.22 += 2242()log 2 x ⇔  t2 −2 t − 224 = 0 t > 0  −2 1 2  =− = =  ()log x 4 2 log2 x 2 x 2 ⇔t = − 14 ⇔=⇔22 2() logx =⇔ 4  ⇔ 4 2 logx = 2   4  2 =2 = t =16 = 2 x 2 4 2 − − − c) xlgx 3lgx 4,5 =10 2lg x  lgx = 0 x =1   3− 10 2 − −  3− 10  Lấy lg hai v ế ⇒ ()lgx 3lgx 4,5 lgxxxx=− 2lg ⇔ lg() lg2 − 3lg −+=⇔ 4,5 2 0 lg x = ⇔= x 10 2 x  2    3+ 10  3+ 10  = 2 lg x = x 10  2 BÀI T ẬP LUY ỆN T ẬP: 9 2 2 1) 4x+2 x − 8= 5 x − 2 2) 7.2x x+1 = 392 3) 2.3x9− x = 8 2x− 1 2 − 3 −2 − 4) 5.2x x+1 = 50 5) 2x2 x .3 x = 6) 3x1= 5 x 1 2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn
Khóa h ọc LT ĐH môn Toán – Th ầy Đặng Vi ệt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 59 06. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH SƠ CẤP Khái ni ệm:  f() x ≥( ≤ ;; ) 0  Là b ất ph ươ ng trình có d ạng f( x ) , trong đó f(x) và g(x) là các hàm đa th ức.  ≥() ≤; 0  g( x ) Cách gi ải: - Gi ải các ph ươ ng trình f(x) = 0 và g(x) = 0 để tìm ra các nghi ệm c ủa các ph ươ ng trình đó. - Xét d ấu các bi ểu th ức theo quy t ắc: bỏ h ết các h ạng t ử có l ũy th ừa b ậc ch ẵn, x ắp x ếp các nghi ệm (không ch ứa lũy th ừa b ậc ch ẵn) theo th ứ t ự trên tr ục s ố r ồi đan d ấu. - T ừ tr ục xét d ấu, ta được t ập nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình t ươ ng ứng v ới tr ường h ợp l ấy d ấu nào. Chú ý: ∆ =b2 − 4 ac =2 + +  ′ - V ới b ất ph ươ ng trình b ậc hai f( x ) ax bx c có bi ệt th ức 2 , n ếu 1  f( x )> 0 ⇔ 3 x  2 3− 7 f()0 x>⇔ << x 1 Nh ận xét:  2 Để xét d ấu, ta l ấy m ột giá tr ị b ất k ỳ trong m ột kho ảng x < 0 nào đó (thông th ường là kho ảng c ận v ới vô c ực, nh ư  trong ví d ụ trên ta l ấy giá tr ị x = 100 thay vào thì th ấy  được ngay c ả t ử s ố và m ẫu s ố đề u d ươ ng).  3+ 7 1<x < 2 f( x )< 0 ⇔   3− 7 0 <x <  2 Học offline: S ố 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th ất Tùng ( Đối di ện ĐH Y Hà N ội) Học online: www.moon.vn