›
›

Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở Logic

ppt 60 trang ngocly 1130
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở Logic", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_toan_roi_rac_chuong_1_co_so_logic.ppt

Nội dung text: Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Cơ sở Logic

  1. TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics)
  2. Chương 1 Cơ sở Logic §Logic mệnh đề §Logic vị từ
  3. Nội dung chính p Khái niệm mệnh đề p Các phép toán logic p Dạng mệnh đề p Các quy tắc suy diễn p Các phương pháp chứng minh p Vị từ và lượng từ hóa
  4. 1. Định nghĩa mệnh đề: p Mệnh đề (Proposition): là một diễn đạt có giá trị chân lý (chân trị) xác định (đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng lại vừa sai). Ví dụ 1.1: Các diễn đạt sau, diễn đạt nào là mệnh đề? p Mặt trời quay quanh trái đất p 3+1 = 5 p Trái đất quay quanh mặt trời, p x + 2 = 8 p Mấy giờ rồi? p phải hiểu kỹ điều này. p Hà nội là thủ đô của Việt Nam p Sài gòn nằm ở miền bắc việt nam p x+1=5 nếu x=1
  5. Mệnh đề (tt) Kí hiệu: 1 (hoặc T): Chân trị đúng. 0 (hoặc F): Chân trị sai. P, Q, R, dùng cho kí hiệu các mệnh đề. Ví dụ 1.2: P: Hà Nội là Thủ Đô của Việt Nam Q: Quy Nhơn thuộc tỉnh Bình Định R: Việt Nam thuộc châu Á S: Long An là tỉnh thuộc khu vực miền trung của Việt Nam.
  6. 2. Các phép toán logic ØPhép phủ định (Negation operator) ØPhép nối liền (Conjunction operator) ØPhép nối rời (Disjunction operator) ØPhép kéo theo (Implication operator) ØPhép kéo theo hai chiều (Biconditional operator)
  7. 2.1. Phép phủ định (Negation operator) p Phủ định của mệnh đề P (kí hiệu ¬P: đọc là “Không P”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu P có chân trị 0 và có chân trị 0 nếu P có chân trị 1. ◊Bảng chân trị P ¬P 0 1 1 0 ◊Ví dụ 2.1: P: “Hà nội là thủ đô của Việt Nam” P: “Hà nội không phải là thủ đô của Việt Nam” Q:  “1-4 = 8” Q: ” 1-4  8”
  8. 2.2. Phép nối liền (Conjunction Operator) p Phép nối liền hai mệnh đề P và Q (kí hiệu PQ: đọc là “P và Q”) là mệnh đề có chân trị 1 nếu cả P và Q có chân trị 1 hoặc có chân trị 0 nếu ít nhất một trong 2 mệnh đề P hay Q có chân trị 0. p Bảng chân trị: P Q PQ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  9. Ví dụ về phép nối liền Ví dụ 2.2: “Hôm nay là chủ nhật và ngày mai là thứ 7” là một mệnh đề có chân trị 0. Ví dụ 2.2: “Tổng các góc trong một tam giác bằng 180o và trong tam giác vuông có một góc 90o” là mệnh đề có chân trị 1 Ví dụ 2.3: “Trong một tam giác cân có 2 cạnh bằng nhau và mặt trời quay quanh trái đất” là một mệnh đề có chân trị 0.
  10. 2.3. Phép nối rời (Disjunction Operator) p Phép nối rời kết hợp hai mệnh đề P,Q (kí hiệu P Q: đọc là “P hay Q”) là mệnh đề có chân trị 0 nếu cả P và Q có chân trị 0 hoặc có chân trị 1 nếu P có chân trị 1 hay Q có chân trị 1. p Bảng chân trị: P Q PQ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
  11. 2.4 Phép kéo theo (Implication Operator) p Mệnh đề “Nếu P thì Q” (kí hiệu P Q: đọc là P kéo theo Q, hay P là điều kiện đủ của Q hay Q là điều cần của P) là mệnh đề có chân trị 0 nếu P có chân trị 1 và Q có chân trị 0, có chân trị 1 trong các trường hợp còn lại. p Bảng chân trị: P Q P Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
  12. Ví dụ về phép kéo theo Ví dụ 2.4: P: “Nếu 3<5 thì Cá không thể sống dưới nước” Có chân trị ? Q: “Nếu 2+1=4 thì tổng các góc trong một tam giác bằng ”. Có chân trị ? R: “Nếu cá sống dưới nước thì cá biết bơi”: Có chân trị ? S: “Nếu chúng ta không còn gì để ăn thì sáng mai mặt trời sẽ mọc” Có chân trị ?
  13. 2.5. Phép kéo theo 2 chiều p Mệnh đề “Nếu P thì Q và ngược lại”, kí hiệu P Q (còn đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q” hoặc “P là điều kiện cần và đủ để có Q”) có chân trị 1 nếu cả 2 mệnh đề P và Q có cùng chân trị, có chân trị 0 trong các trường hợp còn lại. p Bảng chân trị: P Q PQ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
  14. 3. Dạng mệnh đề Tóm tắt: ü Định nghĩa ü Bảng chân trị ü Tương đương Logic ü Hệ quả Logic ü Các quy tắc thay thế ü Các luật logic ü Các phương pháp chứng minh
  15. 3.1. Dạng mệnh đề p Định nghĩa: Dạng mệnh đề là một biểu thức Logic (bao gồm các hằng mệnh đề, biến mệnh đề được kết hợp bởi các phép toán logic). Ví dụ 1: Cho dạng mệnh đề theo 2 biến mệnh đề p, q: E(p,q)=(pq) p ü Bản thân E(p,q): Chưa phải là mệnh đề. ü Nếu thay biến mệnh đề p bởi mệnh đề P và biến mệnh đề q bởi mệnh đề Q. Khi đó E(P, Q) là mệnh đề (có chân trị xác định) p Bảng chân trị cho biết chân trị của dạng mệnh đề theo chân trị xác định của các biến mệnh đề.
  16. 3.1. Dạng mệnh đề (tt) Ví dụ 3.1: Lập bảng chân trị của dạng mệnh đề: E(p,q)=(pq) p p q p pq pq p 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
  17. Dạng mệnh đề (tt) Ví dụ 3.2: Viết lại thành dạng mệnh đề là lập bảng chân trị cho diễn đạt: “Bạn được phép đi xe máy nếu bạn trên 16 tuổi và có sức khỏe tốt”. Gọi: p: Bạn được phép đi xe máy. q: Bạn trên 16 tuổi. p q r qr qr p r: Bạn có sức khỏe tốt. ? ? ? ? ? Dạng mệnh đề cho diễn đạt trên: qr p. Bảng chân trị :
  18. 3.2 Tương đương logic & hệ quả logic ü Hai dạng mệnh đề E và F tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị. Kí hiệu E F (còn đọc là “E tương đương logic với F” hoặc “F tương đương Logic với E”). ü Dạng mệnh đề gọi là hằng đúng (tautology) nếu nó luôn có chân trị 1. ü Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (mâu thuẩn- Contradiction) nếu nó luôn có chân trị 0. ü E và F tương đương logic khi và chỉ khi EF là một hằng đúng. ü F là hệ quả logic của E (kí hiệu E F) nếu E F là hằng đúng.
  19. Tương đương logic & hệ quả logic (tt) Ví dụ 3.3: Chứng minh (p q) p. Xét dạng mệnh đề E(p,q)= [(p q)] p Bảng chân trị của E: p q p q (p q) [(p q)] p 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 Ta thấy chân trị của dạng mệnh đề [(p q)] p luôn là 1. Vậy: [(p q)] p
  20. Tương đương logic & hệ quả logic (tt) Ví dụ 3.4: Dùng bảng chân trị để chứng minh: (qr q) (q  r  p) Bảng chân trị của dạng mệnh đề: (qr q)  (q  r  p) p q r qr q q r q  r  p 0 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 ? ? ? ? 0 1 0 ? ? ? ? 0 1 1 ? ? ? ? 1 0 0 ? ? ? ? 1 0 1 ? ? ? ? Dựa vào bảng chân 1 1 0 ? ? ? ? trị, ta suy ra đều cần 1 1 1 ? ? ? ? chứng minh?
  21. 3.3. Các quy tắc thay thế: p Quy tắc thay thế thứ nhất Trong một dạng mệnh đề, nếu thay thế một biểu thức con bởi một dạng mệnh đề tương đương logic thì được dạng mệnh đề mới vẫn tương đương logic dạng mệnh đề ban đầu. Ví dụ 3.5: Cho dạng mệnh đề: (p q) r Do p q ¬p  q nên theo quy tắc thay thế thứ nhất, ta có: (p q) r (¬p  q ) r
  22. 3.3. Các quy tắc thay thế (tt) p Quy tắc thay thế thứ 2: Giả sử dạng mệnh đề E(p1, p2, ) là hằng đúng, Nếu thay thế thành phần pi trong E bởi một dạng mệnh đề bất kỳ thì cũng nhận được dạng mệnh đề kết quả là hằng đúng. Ví dụ 3.6: Cho dạng mệnh đề: E(p,q)=(p q)  (p  q) Ta đã chứng minh được E(p,q) là hằng đúng. Thay p bởi rs, ta được dạng mệnh đề: E’(r,s,q)= [(rs) q]  [(rs)  q] Theo quy tắc thay thế thứ 2, ta có E’(r,s,q) cũng là hằng đúng.
  23. 3.4. Các qui luật logic p Với p,q,r và s là các biến mệnh đề. Ta có các tương đương logic sau: 1. Phủ định của phủ định (Double negation) ¬¬p  p 2. Quy tắc De Morgan (DeMorgan’s Rules) ¬(p  q)  ¬p  ¬q ¬(p  q)  ¬p  ¬q 3. Luật giao hoán (Commutative Rules) p  q q  p p  q q  p
  24. Qui luật logic (tt) 4. Luật kết hợp (Associative Rules) p  (q  r) (p  q)  r p  (q  r) (p  q)  r 5. Luật phân phối (Distributive Rules) p (q  r) (p  q)  (p  r) p  (q  r) (p  q)  (p  r) 6. Luật lũy đẳng (Idempotent Rules) p  p p p  p p
  25. Qui luật logic (tt) 7. Luật trung hòa p  1 p p  0 p 8. Luật phần tử bù (Negation rules) p  ¬p 0 p  ¬p 1 9. Luật thống trị p  0 0 p  1 1 10. Luật hấp thụ (absorption rules) p  (p  q) p p  (p  q) p
  26. 3.5 Các quy tắc suy diễn p Phương pháp khẳng định (Modus Ponens) Được thể hiện bởi hằng đúng: [(p q)  p] q Ví dụ 3.7: Nếu tôi học chăm thì tôi đạt kết quả tốt Mà tôi học chăm Vậy: Tôi đạt kết quả tốt (phương pháp khẳng định). Viết bằng kí hiệu logic: p: “Tôi học chăm”; q: “Đạt kết quả tốt” p q p q (phương pháp khẳng định)
  27. 3.5 Các quy tắc suy diễn p Tam đoạn luận Được thể hiện bởi hằng đúng: [(p q)  (q r)] (p r) Ví dụ 3.8: Nếu An đi học thì Dũng ở nhà Nếu Dũng ở nhà thì Dũng làm bài tập Vậy: Nếu An đi học thì Dũng làm bài tập Ví dụ 3.9: A, B và C là 3 cầu thủ của đội bóng. Huấn luyện viên quy định: Nếu A tham gia trận đấu thì B không được tham gia Nếu B không được tham gia trận đấu thì C cũng không được tham gia Vậy: Nếu A tham gia trận đấu thì C không được tham gia.
  28. 3.5 Các quy tắc suy diễn p Phương pháp phủ định (quy tắc Modus Tollens) Thể hiện bởi hằng đúng: [(p q)  ¬q] ¬p
  29. 3.5 Các quy tắc suy diễn p Tam đoạn luận rời [(p  q)  ¬p] q Ví dụ: Giả sử cuộc thi điền kinh có 2 người tham gia A và B. A phải đạt giải nhất hay B phải đạt giải nhất mà: A không đạt giải nhất Vậy: B phải đạt giải nhất
  30. Các quy tắc suy diễn (tt) p Quy tắc mâu thuẩn (phản chứng) Ta có tương đương logic [(p1p2  pn)  q] [(p1p2  pn ¬q) 0] p Quy tắc chứng minh theo trường hợp: Thể hiện bởi hằng đúng: [(p r)  (q r)] [(p  q)  r]
  31. Một số ví dụ Ví dụ 3.7: Cho diễn đạt: Nếu An học chăm thì An được xếp hạng cao trong học tập Mà An không được xếp hạng cao. Vậy An không học chăm (Phương pháp phủ định). Viết một cách hình thức cho suy diễn trên như sau: Gọi p: “An học chăm” q: “An được xếp hạng cao trong học tập” Ta có: p q (tiền đề) q (tiền đề)  p (Phương pháp phủ định)
  32. Một số ví dụ Ví dụ 3.8: Rút gọn (pq)(pq) Ta có: (pq)(pq)  (pq)(pq) (luật De Morgan)  [(p q)  p] [(p q)  q] (luật phân phối)  p [(p  q) (q q)] (luật hấp thụ, phân phối)  p [(p  q)  0] (luật phần tử bù)  p (p  q) (luật trung hòa)  p (luật hấp thụ)
  33. Một số ví dụ p Từ nhận xét trên, ta có 2 đoạn chương trình trên là tương đương: if ((p || q) && (!(!p && q))) if (p) { { Thực hiện S; Thực hiện S; } } p Ví dụ 3.8b: Chứng minh [(pq) r] [p (q r)]
  34. Một số ví dụ p Từ nhận xét trên, ta có 2 đoạn chương trình trên là tương đương: if (p) if (p && q) if (q) r; r; z=0; z=0; for (int i=1; i =10) && (y =10) z+=1; if (y<=8)) (b) } z+=1; (a) }
  35. Một số ví dụ Ví dụ 3.9: Chứng minh: pq p (rq) r (st) s t Ta có: pq (tiền đề) nên p (Đơn giản nối liền) Và p (rq) (tiền đề) Nên r q (khẳng định)
  36. Một số ví dụ Suy ra r (đơn giản nối liền) Hơn nữa r (st) (tiền đề) nên st (khẳng định) Mà s (tiền đề) Nên t (phủ định) Ví dụ 3.10: a,b,c,d và e là 5 thành viên trong một đội bóng. Giả sử huấn luyện viên có các quy định như sau: ü Nếu b không tham gia vào trận đấu thì a cũng không tham gia. ü Nếu b tham gia vào trận đấu thì c cũng tham gia ü Nếu c tham gia vào trận đấu thì d cũng tham gia ü Nếu trong trận đấu sắp tới cả 2 cầu thủ d và e đều không tham gia thì a có tham gia không? c có tham gia không?
  37. 4. Logic vị từ 4.1 Vị từ: p Định nghĩa 4.1: Vị từ là một khẳng định có dạng p(x,y,z, ) trong đó x, y, z, là các biến lấy giá trị trong các tập hợp A, B, C, cho trước sao cho: n p(x,y,z, ) không phải là mệnh đề n Nếu thay x,y,z, bởi các phần tử cố định nhưng tuỳ ý a A, b B, c C, ta được mệnh đề p(a,b,c, ). x, y, z, gọi là các biến tự do
  38. 4. Logic vị từ (tt) Ví dụ 4.1: § Cho n N, p(n)=“ n chia hết cho 3.” p(n): Không phải là mệnh đề. Nhưng: p(10): là mệnh đề có chân trị 0 p(15): là mệnh đề có chân trị 1 p(n) là một vị từ theo biến n N. Ví dụ 4.2: p(x,y)=“x2+y2>5” là một vị từ theo 2 biến x, y R. p(n)=“n là số nguyên tố” là vị từ theo biến n, n N
  39. 4. Logic vị từ (tt) q Định nghĩa 4.2: Cho p(x), q(x) là các vị từ theo một biến x A. i) Phép phủ định: Phủ định p(x), kí hiệu p(x) là một vị từ sao chovới x=a A cố định nhưng tùy ý thì p(a) là phủ định của p(a). ii) Phép nối liền (tương ứng nối rời, kéo theo, kéo theo 2 chiều) của p(x) và q(x), kí hiệu p(x)q(x) (tương ứng p(x)q(x), p(x) q(x), p(x)q(x)) là vị từ theo biến x mà khi thay x bởi a A cố định nhưng tùy ý thì được mệnh đề p(a)q(a) (tương ứng p(a)q(a), p(a) q(a), p(a)q(a))
  40. 4. Logic vị từ (tt) 4.2 Lượng từ: Cho vị từ p(x), x A. Có 3 trường hợp xảy ra: o Với mọi a A, mệnh đề p(a) đúng. Kí hiệu “a A, p(a) ” o Với một số giá trị a A (không cần phải tất cả), mệnh đề p(a) đúng. Kí hiệu:”a A, p(a) ” o Với mọi a A, mệnh đề p(a) sai. KÍ hiệu: “a A, ¬p(a) ” Định nghĩa: Các mệnh đề “x A, p(x)” Và :”x A, p(x)” gọi là lượng từ hóa của p(x) bởi lượng từ phổ dụng  và lượng từ tồn tại .
  41. 4. Logic vị từ (tt) Tóm tắt ý nghĩa của các lượng từ: Mệnh đề Đúng khi: Sai khi: x, p(x) p(x) đúng với mọi x Có một giá trị x, p(x) sai x, p(x) Có một giá trị x, p(x) đúng p(x) sai với mọi x Định lý: Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa của vị từ p(x,y,z, ) bởi các lượng từ là một mệnh đề có được bằng cách thay lượng từ  bằng lượng từ  và thay lượng từ  bằng lượng từ  và thay vị từ p(x,y,z, ) bằng vị từ p(x,y,z, ) Ví dụ:  (x y, p(x,y)) x y, p(x,y) Mệnh đề Mệnh đề tương đương Đúng khi: x, p(x) x, p(x) Có một giá trị x, p(x) sai x, p(x) x, p(x) p(x) sai với mọi x
  42. 4. Logic vị từ (tt) Bảng tóm tắt ý nghĩa các lượng từ hai biến Mệnh đề Đúng khi: Sai khi: x y, p(x,y) P(x,y) đúng với mọi cặp x,y Có một cặp x, y mà p(x,y) sai y x, p(x,y) x y, p(x,y) Với mọi x có một y để Có một x để p(x,y) sai với p(x,y) đúng mọi y x y, p(x,y) Có một x để p(x,y) đúng Với mọi x có một y để p(x,y) với mọi y sai x y, p(x,y) Có một cặp x, y để p(x,y) P(x,y) sai với mọi cặp x,y y x, p(x,y) đúng
  43. 4. Logic vị từ (tt) Ví dụ 4.3: Tìm chân trị của các mệnh đề: a) x [0,1], x3+4x2-5=0 b) x [0,1], x3+4x2-5=0 Ví dụ 4.4: Với x R, xét các vị từ: p(x): x 0 q(x):x2 0 r(x): x2 – 4x – 5 = 0 s(x): x2 – 3 0 Xét xem các mệnh đề sau là đúng hay sai? a) x, p(x)  r(x) b) x, p(x) r(x) c) x, p(x) q(x) d) x, q(x) s(x) e) x, r(x) p(x) f) x, r(x) q(x)
  44. 4. Logic vị từ (tt) p Định lý: Cho p(x,y) là vị từ theo 2 biến x, y. Các mệnh đề sau là hằng đúng: i) [x A,y B, p(x,y)] [y B,x A, p(x,y)] ii) [x A, y B, p(x,y)] [y B, x A, p(x,y)] iii) [x A, y B, p(x,y)] [y B, x A, p(x,y)] q Quy tắc đặc biệt hóa phổ dụng: x A, p(x) đúng thì p(a) đúng với a A, a cố định nhưng bất kỳ. q Quy tắc tổng quát hóa phổ dụng: Nếu p(a) đúng với a A bất kỳ thì mệnh đề: x A, p(x) đúng.
  45. 4. Logic vị từ (tt) p Mệnh đề: Trong mệnh đề lượng từ hóa của vị từ p(x,y,z, ). Nếu ta hoán vị 2 lượng từ liền kề thì ta được: ü Mệnh đề mới tương đương với mệnh đề cũ nếu 2 lượng từ được hoán vị có cùng loại. ü Mệnh đề mới là hệ quả logic của với mệnh đề cũ nếu 2 lượng từ được hoán vị có dạng .
  46. 4. Logic vị từ (tt) Ví dụ 4.5: Cho A={x là sinh viên} p(x): “x là sinh viên khoa cntt” q(x): “x phải học toán rời rạc”. Coi lý luận: Mọi sinh viên khoa CNTT đều phải học toán rời rạc Mà Cường là sinh viên khoa CNTT, nên Cường phải học toán rời rạc Viết dạng logic vị từ: Gọi a: “ Cường là một sinh viên” (a A) Do x A, p(x) q(x) (tiền đề) nên p(a) q(a) (đặc biệt hóa phổ dụng) Mà p(a) (Tiền đề) nên: q(a) (pp khẳng định) Mà Cường là sinh viên khoa CNTT, nên Cường phải học toán rời rạc A: “Cường là sinh viên khoa CNTT”
  47. 4. Logic vị từ (tt) Ví dụ 4.6: Chứng minh: x, [p(x) q(x)] x, [q(x) r(x)] x, [p(x) r(x)] Ta có: x, [p(x) q(x)] (tiền đề) x, [q(x) r(x)] (tiền đề) Với a bất kỳ nhưng cố định ta có: p(a) q(a) (đặc biệt hóa phổ dụng) q(a) r(a) (đặc biệt hóa phổ dụng) p(a) r(a) (tam đoạn luận) Vậy: x, [p(x) r(x)] (tổng quát hóa phổ dụng)
  48. 4. Logic vị từ (tt) Ví dụ 4.8: Chứng minh: A={Các tam giác} p(x): x có 2 cạnh bằng nhau q(x): x là tam giác cân r(x): x có 2góc bằng nhau Lý luận sau:”Nếu tam giác không có 2 góc bằng nhau thì tam giác này không có 2 cạnh bằng nhau. Đúng hay sai?
  49. 5. Nguyên lý quy nạp: Để chứng minh p(n) đúng với mọi n N và n n0. Ta có thể dùng nguyên lý quy nạp như sau: § Kiểm chứng p(n0) đúng § Nếu p(n) đúng (n n0 ) thì p(n+1) đúng § Kết luận: p(n) đúng  n n0 Nghĩa là sử dụng suy diễn sau: p(n0) n > n0, p(n) p(n+1) n n0, p(n)
  50. 5. Nguyên lý quy nạp (tt) Ví dụ 5.1: Chứng minh rằng: 1.1! + 2.2!+ +n.n!=(n+1)!-1 Giải: Đặt: p(n)=“1.1! + 2.2! + + n.n! = (n+1)! - 1” Ta có: p(1)=“1.1! = (1+1)! – 1” đúng Giả sử p(n) với n 1 đúng, ta chứng minh p(n+1) cũng đúng. Do p(n) đúng nên: 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n+1)! – 1 1.1! + 2.2! + + n.n!+(n+1).(n+1)! = (n+1)! – 1+(n+1).(n+1)! 1.1! + 2.2! + + n.n!+(n+1).(n+1)! = (n+1)!(1+n+1) –1 1.1! + 2.2! + + n.n!+(n+1).(n+1)! = (n+2)! –1 Vậy p(n+1) cũng đúng. Theo nguyên lý quy nạp, ta có: n 1, p(n) đúng.
  51. 5. Nguyên lý quy nạp (tt) Ví dụ 5.2: Số tiền có được sau n tháng tiết kiệm được cho bởi công thức: fv = pv*(1+rate)n. Trong đó: pv: Số tiền gởi. rate: Lãi suất mỗi tháng. n: Số tháng gởi. chương trình: v=pv; while (n>0) { v=v*(1+rate); n ; } fv=v; Chứng minh tính đúng đắn của chương trình (nghĩa là sau khi ra khỏi vòng lặp, biến v có giá trị v*(1+rate)n , với v=pv)
  52. 5. Nguyên lý quy nạp (tt) Xét vị từ p(n):“bắt đầu vòng lặp với v, rate, n thì khi kết thúc chương trình, giá trị mới của v là: v*(1+rate)n”. Ta cần chứng minh p(n) đúng n N. ü Với n = 0, không thực hiện bất kỳ lần lặp nào, do đó v có giá trị v= v*(1+rate)0,Với v=pv. Nghĩa là p(0) đúng. ü Giả sử với n=k, p(k) đúng. Nghĩa là nếu bắt đầu vòng lặp với các giá trị v=pv, rate, k thì sau khi kết thúc vòng lặp giá trị mới của v là v*(1+rate)k = pv*(1+rate)k . ü Ta chứng minh p(k+1) cũng đúng?
  53. 5. Nguyên lý quy nạp (tt) Vì k+1>k 0, nên vòng lặp được lặp nhiều hơn khi n=k là 1 lần. Sau lần lặp đầu tiên,v có giá trị v*(1+rate) = pv*(1+rate) và n = k. Bắt đầu phần lặp còn lại với v=pv*(1+rate) , rate, k, sau khi kết thúc vòng lặp, giá trị mới của v là: v*(1+rate)k (do giả thiết quy nạp) = pv*(1+rate)*(1+rate)k = pv*(1+rate)k+1 p(k+1) đúng Theo nguyên lý quy nạp, p(n) đúng n N.
  54. Bài tập p Bài 1: Cho biết chân trị của các mệnh đề sau: a) =2 và tổng các góc trong một tam giác bằng 180o b) Nếu 2>3 thì nước sôi ở 100oC Nếu =1 thì tổng các góc trong một tam giác bằng 170o Bài 2:Lập bảng chân trị cho các dạng mệnh đề sau: a) p (p  q)  q b) p (p  q)  q c) (p -> q) -> (q->p)
  55. Bài tập Bài 3: Viết dạng phủ định (bằng biểu thức logic và diễn bằng ngôn ngữ tự nhiên) của các dạng mệnh đề sau: a) Nếu P là hình ngũ giác thì P là hình đa giác b) Nếu Tom là cha của Ann, thì Jim là chú của Ann, Sue là cô của Ann và Mary là em họ của cô ấy. p Bài 4: Viết 2 phát biểu khác nhau sử dụng “phép kéo theo” có nghĩa tương đượng với phát biểu “Học C là điều kiện cần thiết để học C++“
  56. Bài tập p Bài 5: Cho dạng mệnh đề: (p  q)  (r  q) biến đổi dạng mệnh đề này thành dạng mệnh đề tương đương chỉ sử dụng các phép nối logic  và  p Bài 6: Các phát biểu nào sau đây tương đương với phát biểu “Nếu n chia hết cho 30 thì n chia hết cho 2, 3 và 5”: a) Nếu n không chia hết cho 30 thì n chia hết cho 2 hoặc n chia hết cho 3 hoặc n chia hết cho 5 b) Nếu n không chia hết cho 30 thì n không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 hoặc không chia hết cho 5 c) Nếu n chia hết cho 2 , cho 3 và cho 5 thì n chia hết cho 30. d) Nếu n không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 hoặc không chia hết cho 5 thì n không chia hết cho 30
  57. Bài tập p Bài 7: Chứng minh dạng mệnh (p  r)  (q  r) tương đượng logic với dạng mệnh đề: [(p  r)  (p  r)]  [(q  r)  (q  r)] q Bài 8: Cho biết chân trị của các mệnh đề sau nếu không gian khảo sát là tập các số nguyên: q n, (n2 0) q nm, (n < m2) q n m, (m+n = 0) q n m (n+m=4  n-m =1 ) q n m p (p=(m+n)/2)
  58. Bài tập p Bài 9: Xác định giá trị chân lý của các mệnh đề sau: n x R, x2 = 2 n x R y R, x+y  y+x n x R y R, (x+2y = 2)(2x+4y=5) n x R, 2x2+3x-5 =0 n x R, (3x2+4x+5 =0) (2x3+3x-1=0) n x [0,5], 2/3.x3+2x>=-2
  59. 5. Nguyên lý quy nạp (tt) Bài 10: Ta có định nghĩa về giới hạn của dãy số: nếu với mọi số thực >0 cho trước bé tùy ý, có thể tìm được chỉ số N() sao cho với mọi n> N() thì |xn-a| 0, >0, x D, |x – a| < |f(x)-f(a)|< Viết dạng phủ định của mệnh đề trên.
  60. Bài tập Bài 12) Chứng minh: