›
›

Bài giảng Toán kinh tế - Bài 1: Đại số tuyến tính - Trần Lộc Hùng

pdf 120 trang ngocly 2660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán kinh tế - Bài 1: Đại số tuyến tính - Trần Lộc Hùng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_kinh_te_tran_loc_hung.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán kinh tế - Bài 1: Đại số tuyến tính - Trần Lộc Hùng

  1. Toán Kinh tế PGS.TS. Trần Lộc Hùng Trường Đại học Tài chính - Marketing thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng 05 năm 2011 Bài 1. Đại số tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  2. Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  3. Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  4. Đại số tuyến tính 1 Ma trận 2 Định thức 3 Hệ phương trình tuyến tính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  5. Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  6. Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  7. Ma trận 1 Các định nghĩa 2 Các phép toán ma trận 3 Phép biến đổi sơ cấp PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  8. Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn. + 1 Hai số m và n nguyên dương, (m, n ∈ Z ) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  9. Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn. + 1 Hai số m và n nguyên dương, (m, n ∈ Z ) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  10. Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn. + 1 Hai số m và n nguyên dương, (m, n ∈ Z ) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  11. Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn. + 1 Hai số m và n nguyên dương, (m, n ∈ Z ) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  12. Định nghĩa Một bảng chữ nhật gồm (m × n)phần tử   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là một ma trận cấp (m × n), ký hiệu A = (aij )mn. + 1 Hai số m và n nguyên dương, (m, n ∈ Z ) 2 Các ma trận thường được ký hiệu A, B, C, 3 Phần tử aij ∈ (A) là phần tử dòng i cột j của ma trận A 4 Nếu m=n, thì A là ma trận vuông cấp n, ký hiệu A = (aij )n. 5 Tập hợp tất cả các ma trận cấp (m × n), ký hiệu Mm×n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  13. Ma trận Ví dụ 1 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  14. Ma trận Ví dụ 1 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  15. Ma trận Ví dụ 1 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 1 Ma trận vuông cấp 3 2 A ∈ M3×3 3 Có 9 phần tử PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  16. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  17. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  18. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  19. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  20. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  21. Phân loại 1 Ma trận không 2 Ma trận đơn vị 3 Ma trận chuyển vị 4 Ma trận tam giác 5 Ma trận hình thang 6 Ma trận con PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  22. Ma trận đơn vị Một ma trận (aij )n, aii = 1, aij = 0, i, j = 1, n  1 0 0   0 1 0  In =     0 0 1 được gọi là một ma trận đơn vị cấp (n), ký hiệu In. 1 Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 2 Các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  23. Ma trận đơn vị Một ma trận (aij )n, aii = 1, aij = 0, i, j = 1, n  1 0 0   0 1 0  In =     0 0 1 được gọi là một ma trận đơn vị cấp (n), ký hiệu In. 1 Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 2 Các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  24. Ma trận không Một bảng chữ nhật gồm (m × n) số 0  0 0 0   0 0 0  O =     0 0 0 được gọi là một ma trận không cấp (m × n), ký hiệu O = (0)mn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  25. Ma trận chuyển vị T Ma trận chuyển vị A của ma trận A = (aij )m×n là ma trận   a11 a21 an1 T a12 a22 an2  A =     a1m a2m anm 1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  26. Ma trận chuyển vị T Ma trận chuyển vị A của ma trận A = (aij )m×n là ma trận   a11 a21 an1 T a12 a22 an2  A =     a1m a2m anm 1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  27. Ma trận chuyển vị T Ma trận chuyển vị A của ma trận A = (aij )m×n là ma trận   a11 a21 an1 T a12 a22 an2  A =     a1m a2m anm 1 Các phần tử của AT đối xứng với các phân tử của A qua đường chéo chính 2 Dễ dàng thấy (AT )T = A 3 Có quan hệ AT = BT ⇐⇒ A = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  28. Ma trận chuyển vị Ví dụ 1 Ma trận 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 có ma trận chuyển vị AT Ma trận chuyển vị 1 4 7 T A = 2 5 8 3 6 9 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  29. Ma trận tam giác Ma trận A = (aij )m×n là ma trận tam giác, nếu các phần tử nằm trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0   a11 a12 a1n  0 a22 a2n  A =     0 0 amn hoặc   a11 0 0 a21 a22 0  B =     am1 am2 anm PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  30. Ma trận hình thang Ma trận A = (aij )m×n là ma trận hình thang, nếu   a11 a12 a1,n−1 a1n  0 a22 a2,n−1 a2n  A =     0 0 am,n−1 amn PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  31. Ma trận con Ma trận A = (aij )m×n có ma trận con Aij , là ma trận A bỏ đi các phần tử ở hàng i và cột j 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 có ma trận con 4 6 A = 12 7 9 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  32. Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  33. Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  34. Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  35. Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  36. Các phép toán ma trận 1 Phép so sánh hai ma trận 2 Phép cộng (trừ) ma trận 3 Phép nhân ma trận với một số 4 Phép nhân hai ma trận 5 Phép biến đổi ma trận PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  37. Phép so sánh hai ma trận Định nghĩa Hai ma trận (A) = (aij )m×n và (B) = (bij )m×n cùng cấp được gọi bằng nhau nếu aij = bij ; i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  38. Ví dụ về phép so sánh hai ma trận Ma trận A Có a=1, b=0, c=8, và d=0 để hai ma trận A và B bằng nhau, trong đó a 1 3 A = 1 b + 1 6 0 c 9 và Ma trận B 1 −2d + 1 3 B = 1 1 6 0 8 9 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  39. Phép cộng (hiệu) hai ma trận Định nghĩa Tổng (hiệu) của hai ma trận (A) = (aij )m×n và (B) = (bij )m×n cùng cấp, là ma trận C = (cij ), cij = aij ± bij ; i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  40. Ví dụ về phép cộng hai ma trận Ma trận A 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 và Ma trận B 1 2 3 B = 0 1 2 0 0 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  41. Ví dụ về phép cộng hai ma trận Ma trận C=A+B 2 4 6  C = 4 6 8  7 8 10 và Ma trận D=A-B 0 0 0 D = 4 4 4 7 8 8 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  42. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A + B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  43. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A + B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  44. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A + B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  45. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n, khi đó 1 A+B=B+A 2 A+(B+C)=(A+B)+C 3 A+O=O+A=A 4 (A + B)T = AT + BT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  46. Phép nhân ma trận với một số Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij )m×n với một số λ, là một ma trận B = (bij ), bij = λaij ; i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  47. Ví dụ về phép nhân ma trận với một số Ma trận A 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 và Ma trận B=2A  2 4 6  B =  8 10 12 14 16 18 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  48. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A + B) = αA + αB 2 (α + β)A = αA + βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  49. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A + B) = αA + αB 2 (α + β)A = αA + βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  50. Các tính chất Cho các ma trận cùng cấp A, B, C ∈ Mm×n và các số thực α, β. Khi đó 1 α(A + B) = αA + αB 2 (α + β)A = αA + βA 3 (αA)T = αAT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  51. Phép nhân hai ma trận Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij )m×n với một ma trận B = (bij )n×p là một ma trận Pn C = (cij )m×p; cij = k aik bkj i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , p PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  52. Ví dụ về phép nhân hai ma trận Ma trận A 1 1 1 A = 0 1 1 0 0 1 và Ma trận B 1 0 1 B = 0 1 1 1 0 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  53. Ví dụ về phép nhân hai ma trận Ma trận AB 2 1 2 AB = 1 1 1 1 0 0 và Ma trận BA 1 1 2 BA = 0 1 2 0 1 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  54. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  55. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  56. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  57. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  58. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  59. Các tính chất Cho các ma trận A, B, C sao cho các tính tích các ma trận thực hiện được. Giả sử cho trước các số thực α, β. Khi đó 1 α(AB) = (αA)B 2 (AB)C = A(BC) 3 A(B + C) = AB + AC 4 (A + B)C = AC + BC 5 AB 6= BA 6 (AB)T = BT AT PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  60. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  61. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  62. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1 Nhân các phần tử của một hàng thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai hàng thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của hàng thứ j các phần tử hàng thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  63. Ví dụ về phép biến đổi sơ cấp Ma trận A 1 2 3 A = 2 −1 1 2 −1 2 Ma trận A sau các phép biến đổi sơ cấp thành ma trận B Ma trận B 1 2 3  B = 0 −5 −5 0 0 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  64. Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  65. Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  66. Các phép biến đổi sơ cấp theo cột Cho ma trận A = (aij )m×n. Các phép biến đổi sau được gọi là phép biến đổi sơ cấp theo cột 1 Nhân các phần tử của một cột thứ i với cùng một số α 6= 0. 2 Hoán vị hai cột thứ i và thứ j 3 Cộng vào các phần tử của cột thứ j các phần tử cột thứ i đã nhân với cùng một số α 6= 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  67. Ví dụ về phép biến đổi sơ cấp theo cột Ma trận C 1 −1 0 C = 1 2 1 2 −1 1 Ma trận C sau các phép biến đổi sơ cấp theo cột thành ma trận D Ma trận D 1 −1 0  D = 0 1 1  0 0 −2/3 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  68. Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  69. Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  70. Định thức 1 Định nghĩa 2 Các phương pháp tính định thức 3 Định thức và ma trận nghịch đảo PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  71. Định nghĩa Cho một ma trận A vuông cấp n   a11 a12 a1n a21 a22 a2n A =   .   an1 an2 ann Định thức của ma trận A, ký hiệu det(A) =| aij |, là một số thực xác định bởi a11 a12 a1n a21 a22 a2n det(A) = = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin, an1 an2 ann i+j trong đó Aij = (−1) Mij với Mij là định thức có từ ma trận A bằng cách bỏ dòng i và cột j, i, j = 1, 2, n. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  72. Chú ý Ta còn có a11 a12 a1n a21 a22 a2n det(A) = = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj . an1 an2 ann PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  73. Ví dụ về định thức cấp 2 Ma trận cấp 2 a a  A = 11 12 a21 a22 có định thức cấp 2 Định thức cấp 2 a11 a12 D = = a11a22 − a12a21. a21 a22 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  74. Ví dụ về định thức cấp 3 Ma trận cấp 3   a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  75. Ví dụ về định thức cấp 3 có định thức cấp 3 Định thức cấp 3 a11 a12 a13 det(A) = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  76. Ma trận Ví dụ 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 có định thức det(A) = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  77. Quy tắc Sarius Quy tắc PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  78. Quy tắc Sarius 1 Viết theo thứ tự hai cột 1 và cột 2 2 Ba số hạng đầu mang dấu cộng (+) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính 3 Ba số hạng mang dấu trừ (-) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  79. Quy tắc Sarius 1 Viết theo thứ tự hai cột 1 và cột 2 2 Ba số hạng đầu mang dấu cộng (+) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính 3 Ba số hạng mang dấu trừ (-) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  80. Quy tắc Sarius 1 Viết theo thứ tự hai cột 1 và cột 2 2 Ba số hạng đầu mang dấu cộng (+) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo chính 3 Ba số hạng mang dấu trừ (-) trong định thức là tích của các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  81. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  82. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  83. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  84. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  85. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  86. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  87. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  88. Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  89. Ví dụ Dựa vào các tính chất của định thức, sau các phép biến đổi, ta có det(A) = 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  90. Ma trận nghịch đảo Cho ma trận A = (aij )n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1, là ma trận B sao cho Ma trận nghịch đảo A × B = In 1 Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  91. Ma trận nghịch đảo Cho ma trận A = (aij )n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1, là ma trận B sao cho Ma trận nghịch đảo A × B = In 1 Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  92. Các định lý 1 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  93. Các định lý 1 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  94. Các định lý Giả sử A là một ma trận khả nghịch. Khi đó, ma trận nghịch đảo A−1 xác định bởi 1 A−1 = CT det(A) ở đây   c11 c12 c1n c21 c22 c2n C =     cn1 cn2 cnn i+j với cij = (−1) det(Mij ), det(Mij ) là định thức của ma trận con ứng với phần tử aij của ma trận A, cij được gọi là phần bù đại số ứng với phần tử aij của ma trận A. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  95. Ví dụ Ma trận 1 1 1 A = 1 2 3 1 4 9 có det(A) = 2 6= 0. Có ma trận  6 −5 1  T C = −6 8 −2 2 −3 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  96. Ví dụ Khi đó, ma trận nghịch đảo A−1 của ma trận A là  3 −5/2 1/2 −1 A = −3 4 −1  1 −3/2 1/2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  97. Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa  a x + a x + ··· + a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2   am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm 1 Gồm m phương trình tuyến tính bậc nhất 2 Có n ẩn số (x1, x2, , xn) 3 Bộ nghiệm (α1, α2, . . . , αn) thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  98. Ma trận hệ số và ma trận ẩn Ma trận   a11 a12 a1n a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn được gọi là ma trận hệ số. Ma trận X   x1 x2 X =    .   .  xn được gọi là ma trận ẩn PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  99. Ma trận hệ số và ma trận ẩn Ma trận   b1 b2  B =    .   .  bm được gọi là ma trận hệ số tự do. Ma trận A là ma trận hệ số mở rộng   a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2  A =     am1 am2 amn bm PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  100. Hệ phương trình tuyến tính dạng ma trận Dạng ma trận AX = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  101. Hệ Crame Định nghĩa  a x + a x + ··· + a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2   an1x1 + an2x2 + ··· + annxn = bn 1 Gồm n phương trình tuyến tính bậc nhất và n ẩn (m=n) 2 Có n ẩn số (x1, x2, , xn) 3 Bộ nghiệm (α1, α2, . . . , αn) thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ 4 Định thức khác 0, det(A) 6= 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  102. Định lý Crame Định lý Hệ Crame có duy nhất nghiệm (α1, α2, . . . , αn), thỏa mãn det(A ) α = j , j = 1, 2, , n j det(A) 1 Định thức cơ sở det(A) 6= 0 2 Định thức Aj là định thức ma trận cơ sở (A) có cột thứ j bị thay bởi cột hệ số tự do B a11 a12 b1 a1n a21 a22 b2 a2n det(Aj ) = an1 an2 bn ann PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  103. Chú ý Ma trận có cột thứ j được thay bởi cột hệ số tự do B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  104. Hệ Crame Ví dụ Giải hệ phương trình bằng phương pháp Crame  2x + 3y + 2z = 9  x + 2y − 3z = 14  3x + 4y + z = 16 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  105. Định thức cơ sở 2 3 2 Có det(A) = 1 2 −3 = −6 6= 0 nên hệ có duy nhất nghiệm 3 4 1 (x, y, z) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  106. Nghiệm Nghiệm của hệ phương trình là (2, 3, -2) 9 3 2 2 9 2 2 3 9 14 2 −3 1 14 −3 1 2 14 16 4 1 3 16 1 3 4 16 x = = 2, y = = 3, z = = −2. −6 −6 −6 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  107. Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  108. Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  109. Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  110. Phương pháp khử Gauss 1 Đưa hệ phương trình đang xét (AX=B)về một hệ phương trình tương đương bằng phép biến đổi sơ cấp 2 Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  111. Phương pháp khử Gauss 1 Đưa hệ phương trình đang xét (AX=B)về một hệ phương trình tương đương bằng phép biến đổi sơ cấp 2 Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  112. Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  113. Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  114. Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  115. Phép biến đổi sơ cấp Sau một số hữu hạn bước, hệ phương trình (AX=B) với ma trận mở rộng A được đưa về một hệ phương trình tương đương với ma trận mở rộng A0 dạng sau   a11 ∗ ∗ ∗ ∗ b1  0 a ∗ ∗ ∗ b   22 2   ∗ ∗ ∗    0   A =  0 0 arr ∗ ∗ br  ,    0 0 0 0 0 br+1     0 0 0 0 0 bm trong đó aii 6= 0 (1 ≤ i ≤ r) và các dấu ∗ ký hiệu các số thực có thể khác 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  116. Nhận xét 1 Nếu một trong các số thực br+1, , bm khác 0, thì hệ phương trình vô nghiệm 2 Nếu br+1 = ··· = bm = 0, thì hệ phương trình có nghiệm. Hơn nữa, mỗi nghiệm của hệ phương trình đều có thể nhận được bằng cách gán cho xr+1, , xn các giá trị thực tùy ý, rồi giải duy nhất x1, , xr theo các giá trị đã gán cho xr+1, , xn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  117. Nhận xét 1 Nếu một trong các số thực br+1, , bm khác 0, thì hệ phương trình vô nghiệm 2 Nếu br+1 = ··· = bm = 0, thì hệ phương trình có nghiệm. Hơn nữa, mỗi nghiệm của hệ phương trình đều có thể nhận được bằng cách gán cho xr+1, , xn các giá trị thực tùy ý, rồi giải duy nhất x1, , xr theo các giá trị đã gán cho xr+1, , xn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  118. Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau  x − 3x + 2x − x = 2  1 2 3 4 2x1 + 7x2 − x3 = −1  4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 1 −3 2 −1 2  1 −3 2 −1 2  A = 2 7 −1 0 −1 −→ 0 13 −5 2 −5 4 1 3 −2 1 0 13 −5 2 −7 1 −3 2 −1 2  −→ 0 13 −5 2 −5 = A0. 0 0 0 0 −2 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  119. Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau  x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 3  x + 5x − 9x + 8x = 1 1 2 3 4 . 2x + 7x + 3x + x = 5  1 2 3 4  5x1 + 18x2 + 4x3 + 5x4 = 12 1 3 5 −2 3  1 3 5 −2 3  1 5 −9 8 1  0 2 −14 10 −2   −→   2 7 3 1 5  0 1 −7 5 −1 5 18 4 5 12 0 3 −21 15 −3 1 3 5 −2 3  0 1 −7 5 −1 −→   . 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)
  120. tiếp ví dụ 2 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ ( x = 6 − 26x + 17x 1 3 4 . x2 = −1 + 7x3 − 5x4 Do đó hệ có nghiệm là (6 − 26a + 17b, −1 + 7a − 5b, a, b), với a, b tùy ý. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)