Bài giảng Toán kinh tế - Chương 7: Phương trình vi phân

Nội dung text: Bài giảng Toán kinh tế - Chương 7: Phương trình vi phân

1. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM: Định nghĩa: Phương trình vi phân có dạng: F(x,y,y(1),y(2), ,y(n)) = 0 Trong đó : x là biến độc lập, y làm hàm số của x, y(n) là đạo hàm cấp n của y theo x. Nếu ta đưa được : y(n) = f(x,y,y(1),y(2), ,y(n-1)) thì phương trình được gọi là dạng giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất. 169
2. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Cấp của phương trình : Đạo hàm cấp cao nhất của đạo hàm hàm số y = f(x) có trong phương trình vi phân được gọi là cấp của phương trình vi phân. Nghiệm PT vi phân cấp 1 phụ thuộc một tham số : y = y(x,C), C R Nghiệm PT vi phân cấp 2 phụ thuộc hai tham số : y = y(x,C1,C2), C1,C2 R Nghiệm PT vi phân cấp n phụ thuộc n tham số : y = y(x,C1,C2, Cn), C1,C2, Cn R 170
3. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nghiệm tổng quát : Nghiệm của phương trình có dạng : y = y(x,C1,C2, Cn), C1,C2, Cn R được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. Nghiệm riêng : Khi cho các tham số Ci bởi giá trị cụ thể thì ta được nghiệm gọi là nghiệm riêng của phương trình vi phân. Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng của phương trình vi phân không được suy ra từ nghiệm tổng quát được gọi là nghiệm kỳ dị. 171
4. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1: Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = 0 Nếu giải được đối với y’, phương trình vi phân có dạng : y' = f(x,y) Định lý tồn tại duy nhất nghiệm : Cho phương trình vi phân cấp 1 y’ = f(x,y). Nếu f(x,y) liên tục trong miền chứa (x0,y0) thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0. Nếu f(x,y) cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất. Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu người ta gọi là bài toán Cauchy. 172
5. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân không chứa hàm phải tìm: F(x,y’) = 0 Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng : y' = f(x) Tích phân hai vế. Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + 1 thỏa điều kiện y(1) = 1. Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng : x = f(y’) Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt => dy = tdx = tf’(t)dt Ví dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 5 173
6. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình không chứa biến độc lập: F(y,y’) = 0 Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng y’ = f(y) dy dy f(y) dx , f(y) 0 dx f(y) Ví dụ : Giải phương trình y’ = 1 + y2 Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :y = f(y’) Đặt y’ = t => y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx dy f'(t)dt f'(t)dt y' t t dy tdx dx x dx t t Ví dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 1 174
7. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trường hợp 3 : Ta có thể chuyển về dạng : y = y(t) => dy = f’(t)dt dy y' g(t) g(t) dx f'(t)dt dx g(t) Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 1 175
8. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân có dạng : dy/dx = f(ax + by) Đặt z = ax + by, ta đưa về dạng phương trình không chứa biến độc lập. dz dz a bf(z) dx dx a bf(z) Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : dy x2 2xy y2 dx 176
9. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình với biến phân ly: Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = 0 Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy y Phương trình thuần nhất : y' f x y dy xdz z y xz z x dx dx dy dz xdz z x f(z) f(z) z dx dx dx x2 y2 Ví dụ : Giải phương trình y' 2xy 177
10. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x) Giải phương trình: y’ + p(x)y = 0 - Nếu y ≠ 0 : y' C p(x)dx p(x) lny p(x)dx C y e 0e y 0 p(x)dx y C1e , (C1 0) - y = 0: là nghiệm của phương trình Nghiệm viết tổng quát lại như sau : p(x)dx y Ce , (C R) 178
11. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giải phương trình: y’ + p(x)y = q(x) Lagrange : y C(x)e p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx C'(x)e p(x)C(x)e p(x)C(x)e q(x) p(x)dx p(x)dx C'(x)e q(x) C'(x) e q(x) p(x)dx C(x) e q(x)dx C p(x)dx p(x)dx Nghiệm của PT: y e e q(x)dx C 3y 1 Ví dụ : Giải phương trình : y' 2 x 179
12. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình vi phân Bernoulli: y’ + p(x)y = q(x)y , ≠ 0 và ≠ 1 - Nếu y ≠ 0 : y- y’ + p(x)y1- = q(x) Đặt z = y1- => z’ = (1 - )y- y’ z' (1 )p(x)z (1 )q(x) - Nếu y = 0, >0 Đây cũng là một nghiệm Ví dụ : Giải phương trình : y’ – 2xy = 2x3y2 180
13. C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3. ỨNG DỤNG: Tìm hàm cầu khi biết hệ số co giãn : Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) cho biết hệ số co giãn: 10P 4P2  thỏa Q = 1.000 khi P = 20. QP Q 181