›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Tích phân hàm một biến - Nguyễn Phúc Sơn

pdf 38 trang ngocly 3160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Tích phân hàm một biến - Nguyễn Phúc Sơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_7_tich_phan_ham_mot_bien_nguye.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Tích phân hàm một biến - Nguyễn Phúc Sơn

  1. Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Trường Đại học Kinh tế - Luật Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 17 tháng 11 năm 2014 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  2. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  3. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  4. Tích phân từng phần. Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  5. Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  6. Ôn tập kiến thức tích phân Nguyên hàm và tích phân bất định. Tích phân xác định và ý nghĩa. Bảng các tích phân thông dụng. Phương pháp đổi biến. Tích phân từng phần. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  7. Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt Z x F (x) = f (t)dt, x > a a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là ¢ Z +∞ Z x f (x)dx = lim F (x) = lim f (t)dt a x→∞ x→∞ a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  8. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt Z x F (x) = f (t)dt, x > a a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là ¢ Z +∞ Z x f (x)dx = lim F (x) = lim f (t)dt a x→∞ x→∞ a Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  9. Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt Z x F (x) = f (t)dt, x > a a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là ¢ Z +∞ Z x f (x)dx = lim F (x) = lim f (t)dt a x→∞ x→∞ a Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  10. Tích phân suy rộng Định nghĩa Cho hàm f liên tục. Đặt Z x F (x) = f (t)dt, x > a a Tích phân suy rông với cận trên vô hạn là ¢ Z +∞ Z x f (x)dx = lim F (x) = lim f (t)dt a x→∞ x→∞ a Nếu giới hạn trên hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại thì tích phân suy rộng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  11. Tích phân suy rộng (tt) Tượng tự, tích phân với cận dưới vô hạn là Z b lim f (t)dt x→−∞ x Tích phân với 2 cận vô hạn là Z b Z x lim f (t)dt + lim f (t)dt x→−∞ x x→∞ a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  12. Tích phân suy rộng (tt) Tượng tự, tích phân với cận dưới vô hạn là Z b lim f (t)dt x→−∞ x Tích phân với 2 cận vô hạn là Z b Z x lim f (t)dt + lim f (t)dt x→−∞ x x→∞ a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  13. Ví dụ thường gặp 1 R ∞ dx, α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi a x α và chỉ khi α ≤ 1 Tính chất tích phân suy rộng Z ∞ Z ∞ Z ∞ rf (x) ± g(x)sdx = f (x)dx ± g(x)dx a a a Z ∞ Z ∞ k · f (x)dx = k · f (x)dx a a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  14. Tính chất tích phân suy rộng Z ∞ Z ∞ Z ∞ rf (x) ± g(x)sdx = f (x)dx ± g(x)dx a a a Z ∞ Z ∞ k · f (x)dx = k · f (x)dx a a Ví dụ thường gặp 1 R ∞ dx, α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi a x α và chỉ khi α ≤ 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  15. Tính chất tích phân suy rộng Z ∞ Z ∞ Z ∞ rf (x) ± g(x)sdx = f (x)dx ± g(x)dx a a a Z ∞ Z ∞ k · f (x)dx = k · f (x)dx a a Ví dụ thường gặp 1 R ∞ dx, α > 0 hội tụ khi và chỉ khi α > 1 và phân kỳ khi a x α và chỉ khi α ≤ 1 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  16. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho f (x) lim = k, k hữu hạn x→∞ g(x) R ∞ R ∞ thì a g(x)dx và a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì R ∞ R ∞ Nếu a g(x)dx hội tụ thì a f (x)dx cũng hội tụ và R ∞ R ∞ a f (x)dx ≤ a g(x)dx R ∞ R ∞ Nếu a f (x)dx phân kỳ thì a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  17. R ∞ R ∞ thì a g(x)dx và a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì R ∞ R ∞ Nếu a g(x)dx hội tụ thì a f (x)dx cũng hội tụ và R ∞ R ∞ a f (x)dx ≤ a g(x)dx R ∞ R ∞ Nếu a f (x)dx phân kỳ thì a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho f (x) lim = k, k hữu hạn x→∞ g(x) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  18. Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì R ∞ R ∞ Nếu a g(x)dx hội tụ thì a f (x)dx cũng hội tụ và R ∞ R ∞ a f (x)dx ≤ a g(x)dx R ∞ R ∞ Nếu a f (x)dx phân kỳ thì a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho f (x) lim = k, k hữu hạn x→∞ g(x) R ∞ R ∞ thì a g(x)dx và a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  19. Tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Nếu 0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ a thì R ∞ R ∞ Nếu a g(x)dx hội tụ thì a f (x)dx cũng hội tụ và R ∞ R ∞ a f (x)dx ≤ a g(x)dx R ∞ R ∞ Nếu a f (x)dx phân kỳ thì a g(x)dx cũng phân kỳ. Tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn Nếu f (x), g(x) ≥ 0 và liên tục sao cho f (x) lim = k, k hữu hạn x→∞ g(x) R ∞ R ∞ thì a g(x)dx và a f (x)dx cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  20. R ∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: p(x) Nếu f (x) = trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài q(x) ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì 1 f (x) ∼ x α−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó, Z ∞ Z ∞ f (x)dx = − [−f (x)]dx a a Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và k f (x) ∼ , tức là lim f (x)x α = k. Khi đó, x α x→∞ R ∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  21. Một số trường hợp hay gặp: p(x) Nếu f (x) = trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài q(x) ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì 1 f (x) ∼ x α−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó, Z ∞ Z ∞ f (x)dx = − [−f (x)]dx a a Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và k f (x) ∼ , tức là lim f (x)x α = k. Khi đó, x α x→∞ R ∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. R ∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  22. Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó, Z ∞ Z ∞ f (x)dx = − [−f (x)]dx a a Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và k f (x) ∼ , tức là lim f (x)x α = k. Khi đó, x α x→∞ R ∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. R ∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: p(x) Nếu f (x) = trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài q(x) ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì 1 f (x) ∼ x α−β Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  23. Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và k f (x) ∼ , tức là lim f (x)x α = k. Khi đó, x α x→∞ R ∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. R ∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: p(x) Nếu f (x) = trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài q(x) ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì 1 f (x) ∼ x α−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó, Z ∞ Z ∞ f (x)dx = − [−f (x)]dx a a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  24. Tiêu chuẩn hội tụ (tt) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử f (x) ≥ 0, limx→∞ f (x) = 0 và k f (x) ∼ , tức là lim f (x)x α = k. Khi đó, x α x→∞ R ∞ a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi α > 1. R ∞ a f (x)dx phân kỳ khi và chỉ khi α ≤ 1. Một số trường hợp hay gặp: p(x) Nếu f (x) = trong đó deg(p) = α và deg(q) = β ngoài q(x) ra, hệ số lớn nhất của p và q dương thì 1 f (x) ∼ x α−β Nếu f (x) không dương thì ta dùng hàm −f (x). Khi đó, Z ∞ Z ∞ f (x)dx = − [−f (x)]dx a a Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  25. Dưới dạng tích phân, ta có Z K(t) = I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q0(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Z Q(x) = Q0(x)dx Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K(t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K(t) chính là I(t), do đó K 0(t) = I(t), t > 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  26. Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q0(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Z Q(x) = Q0(x)dx Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K(t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K(t) chính là I(t), do đó K 0(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có Z K(t) = I(t)dt Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  27. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K(t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K(t) chính là I(t), do đó K 0(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có Z K(t) = I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q0(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Z Q(x) = Q0(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  28. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế Quỹ vốn là nguyên hàm của lượng đầu tư. Gọi K(t) và I(t) lần lượt là quỹ vốn và lượng đầu tư của một doanh nghiệp tại thời điểm t. Quan sát: Lượng tăng của K(t) chính là I(t), do đó K 0(t) = I(t), t > 0 Dưới dạng tích phân, ta có Z K(t) = I(t)dt Xác định hàm theo giá trị cận biên. Nếu Q(x) là đại lượng cần tính thì Q0(x) được gọi là cận biên (marginal) của Q. Khi đó, Z Q(x) = Q0(x)dx Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  29. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư Ta xét bài toán ngược: lượng cung và cầu của một loại hàng hóa thay đổi theo giá P của hàng hóa đó.Khi đó, ta có hàm ngược của hai hàm cung và cầu: P = S(Qs ) P = D(Qd ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  30. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư Ta xét bài toán ngược: lượng cung và cầu của một loại hàng hóa thay đổi theo giá P của hàng hóa đó.Khi đó, ta có hàm ngược của hai hàm cung và cầu: P = S(Qs ) P = D(Qd ) Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  31. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là R Q0 D(Q )dQ . 0 d d Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là Z Q0 CS = D(Qd )dQd −P0·Q0 0 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  32. Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là Z Q0 CS = D(Qd )dQd −P0·Q0 0 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là R Q0 D(Q )dQ . 0 d d Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  33. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là R Q0 D(Q )dQ . 0 d d Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là Z Q0 CS = D(Qd )dQd −P0·Q0 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  34. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của người tiêu dùng Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền người tiêu dùng thực trả là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà người tiêu dùng có thể trả là R Q0 D(Q )dQ . 0 d d Như vậy, thặng dư của người tiêu dùng (Consumer’s surplus) là Z Q0 CS = D(Qd )dQd −P0·Q0 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  35. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là R Q0 S(Q )Q . 0 s s Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là Z Q0 PS = P0 ·Q0 − S(Qs )Qs 0 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  36. Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là Z Q0 PS = P0 ·Q0 − S(Qs )Qs 0 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là R Q0 S(Q )Q . 0 s s Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  37. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là R Q0 S(Q )Q . 0 s s Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là Z Q0 PS = P0 ·Q0 − S(Qs )Qs 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
  38. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế (tt) Thặng dư của nhà sản xuất Xét điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó, Tổng số tiền nhà sản xuất thực thu là P0 · Q0. Số tiền lớn nhất mà nhà sản xuất có thể thu là R Q0 S(Q )Q . 0 s s Như vậy, thặng dư của nhà sản xuất (Producer’s surplus) là Z Q0 PS = P0 ·Q0 − S(Qs )Qs 0 Tiến sĩ Nguyễn Phúc Sơn Chương 7: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN