Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Lý thuyết chuỗi - Ngô Quang Minh

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 7: Lý thuyết chuỗi - Ngô Quang Minh

1. 10/13/2012 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi Đ1. Khỏi niệm cơ bản về chuỗi số • Tổng số hạng đầu tiờn được n Snn u12uu Đ2. Chuỗi số dương gọi là tổng riờng thứ của chuỗi số. Đ3. Chuỗi số cú dấu tựy ý n • Nếu dóy hội tụ đến số hữu hạn thỡ ta núi Sn  S Đ1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ n Ơ chuỗi số hội tụ và cú tổng là S , ta ghi là uS .  n 1.1. Định nghĩa Ngược lại, ta núi chuỗi số phõn kỳ. n 1 • Cho dóy số cú vụ hạn cỏc số hạng u12,uu, ,n, Biểu thức VD 1. Xột sự hội tụ của chuỗi nhõn aqn 1 với a 0. u u uu  12 nn Giải n 1 n 1 được gọi là chuỗi số. • : chuỗi phõn kỳ. q 1 Sn na • Cỏc số u,uu, ,, là cỏc số hạng và u được gọi là 11 qqnn 12 n n • q 1: S ua số hạng tổng quỏt của chuỗi số. n 1 11 qq ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi Với thỡ a chuỗi hội tụ. 1 q 1 Sn 11 chuỗi hội tụ. 1 q n 1 Với q 1 thỡ S chuỗi phõn kỳ. n VD 3. Xột sự hội tụ của chuỗi số 1 . ln1 n 1  n Vậy aq hội tụ q 1. n 1 n 1 Giải. Ta cú: 1 1 ln 1 ln(nn 1)ln VD 2. Xột sự hội tụ của chuỗi số  . n n 1 nn( 1) Giải. Ta cú: Sn ( ln1 ln2) ( ln2ln3) 1111 ( ln3 ln4) [ lnnn ln(1)] Sn 1.22.33.4nn( 1) ln(n 1) chuỗi phõn kỳ. 1 11 11 11 1 1 VD 4. Xột sự hội tụ của chuỗi số . 2 23 341 nn  n 1 n ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 1.2. Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Giải. 1111 Sn 1 234 n • Nếu chuỗi hội tụ thỡ , un lim0un  n 1 chuỗi phõn kỳ. n 1 Sn nn. n ngược lại nếu lim0u thỡ u phõn kỳ. n n  n n 1 4 VD 5. Xột sự hội tụ của chuỗi số n .  4 n 1 32nn Giải. Ta cú: 4 n chuỗi phõn kỳ. un 10 32nn4 1
2. 10/13/2012 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 5 VD 6. Xột sự hội tụ của chuỗi số n . Đ2. CHUỖI SỐ DƯƠNG  4 2.1. Định nghĩa Giải. Ta cú: n 1 n 1 n5 • u được gọi là chuỗi số dương nếu un 0, . u 0 chuỗi phõn kỳ.  n n n 4 n 1 n 1 Khi thỡ chuỗi số là dương thực sự. 1.3. Tớnh chất unn 0, 2.2. Cỏc định lý so sỏnh • Nếu hội tụ thỡ: uvnn, nn 11 Định lý 1. Cho hai chuỗi số dương uv, thỏa: nn nn 11 ()u v uv. nnnn 0 u v,  nn. n 1nn 11 nn 0 • Nếu u hội tụ thỡ: uu . • Nếu v hội tụ thỡ u hội tụ.  n nn  n  n n 1 n 1 n 1 nn 11 • Tớnh chất hội tụ hay phõn kỳ của chuỗi số khụng đổi • Nếu phõn kỳ thỡ phõn kỳ. nếu ta thờm hoặc bớt đi hữu hạn số hạng.  u n  vn n 1 n 1 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 1 VD 1. Xột sự hội tụ của chuỗi số . Giải. Xột hàm số f(t) tt ln(1) ta cú:  n n 1 n.2 t f (t) 0,t 0 f(tt) 0,0 Giải. Ta cú: 11 . nn ,1 n 1 t n.22 11 ln 1 0,1 n . Do 1 hội tụ nờn 1 hội tụ. nn  n  n n 1 2 n 1 n.2 1 1 Do ln1 phõn kỳ nờn phõn kỳ. VD 2. Xột sự hội tụ của chuỗi điều hũa 1 bằng cỏch    n 1 n n 1 n n 1 n so sỏnh với 1 .  ln1 n 1 n ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi n Định lý 2 VD 3. Xột sự hội tụ của chuỗi số 2(n 1) bằng cỏch  n 1 n n 1 n.3 Cho hai chuỗi số uv, thỏa: 2 nn so sỏnh với . nn 11  n 1 3 u và với đủ lớn và n . n n un 0 vn 0 n lim k 2(nn 1) 211 n v Giải. Ta cú : . n n 1 n.3 3 33n • Nếu k 0 thỡ u phõn kỳ v phõn kỳ. n n  n  n 2 2(n 1) n 1 n 1 Do hội tụ nờn hội tụ.   n 1 n 1 3 n 1 n.3 • Nếu thỡ hội tụ hội tụ. k un vn Chỳ ý n 1 n 1 1 • Nếu 0 k thỡ uv, cựng tớnh chất. Chuỗi hội tụ khi 1 và phõn kỳ khi 1. nn  nn 11 n 1 n 2
3. 10/13/2012 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi n 1 VD 4. Xột sự hội tụ của chuỗi số . 1 n 1  5 Do hội tụ nờn hội tụ. n 1  3  5 23n n 1 n 1 2 23n n 111 2.n Giải. Ta cú : . 23nn53 2 1 n 1 Do  hội tụ nờn  hội tụ. n 1 n3 n 1 23n5 Cỏch khỏc nn 11 Khi n thỡ: . : 53 23n5 2.nn222. ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi n 2.3. Cỏc tiờu chuẩn hội tụ 2 n 2 nn21 chuỗi hội tụ. 2.3.1. Tiờu chuẩn D’Alembert 1 3(n 1)3 2 u nn 21 Cho chuỗi số dương và n 1 . un lim D  n n 2 n 1 un 5(n !) • Nếu thỡ chuỗi hội tụ. VD 6. Xột sự hội tụ của chuỗi số . D 1  (2n)! • Nếu D 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. n 1 • Nếu D 1 thỡ chưa thể kết luận. u 5nn 1(n 1)!(n1)!5.nn!! Giải. Ta cú: n 1 : n u(2nn 2)!(2)! 11 n VD 5. Xột sự hội tụ của chuỗi số 1 . n  n 2 n 1 3 5(n 1) 5 1 chuỗi phõn kỳ. nn 1 un 1 1nn 2 11 (2nn 2)(21)4 Giải. Ta cú: : nn 1 un 33 nn 1 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 2.3.2. Tiờu chuẩn Cauchy n VD 8. Xột sự hội tụ của chuỗi số n .  n Cho chuỗi số dương và n . n 1 3 un lim uCn  n Giải. Ta cú: n n chuỗi phõn kỳ. n 1 un • Nếu C 1 thỡ chuỗi hội tụ. 3 • Nếu C 1 thỡ chuỗi phõn kỳ. • Nếu C 1 thỡ chưa thể kết luận. n2 VD 7. Xột sự hội tụ của chuỗi số 1 .  n 1 2 n Giải. Ta cú: n 1 chuỗi hội tụ. un 01 2 3
4. 10/13/2012 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 2.3.3. Tiờu chuẩn Tớch phõn Maclaurin – Cauchy VD 10. Xột sự hội tụ của chuỗi số 1 . Cho hàm số fx() liờn tục, khụng õm và giảm trờn nửa  3 n 2 nnln khoảng [kk; ), Ơ. Khi đú: Giải. Ta cú: hoọi tuù hoọi tuù. dxdt 1  f(n) f()xdx hội tụ hội tụ. nk 33  3 k 2xln xtln2 n 2 nnln VD 9. Xột sự hội tụ của chuỗi số 1 .  3 n 1 n2 Giải. Ta cú: dx 1 phõn kỳ chuỗi phõn kỳ. 3 2  3 2 1 x n 1 n ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi Đ3. CHUỖI SỐ Cể DẤU TÙY í ( 1)n VD 2. Xột sự hội tụ của chuỗi số  . 3.1. Chuỗi đan dấu n 1 n Giải. Dóy 1 giảm ngặt và 1 chuỗi hội tụ. a) Định nghĩa. Chuỗi số n được gọi là un 0 ( 1) un n n n 1 chuỗi số đan dấu nếu . n unn 0, 21 VD 3. Xột sự hội tụ của chuỗi số ( 1)n . ( 1)n 21n  n 1 VD 1. , ( 1)n 1 là cỏc chuỗi đan dấu. n 1 2   n 1 n 1 n n 1 2 Giải. 111 khụng cú kết luận. un 0 b) Định lý Leibnitz 222n 1 Nếu dóy giảm nghiờm ngặt và thỡ chuỗi {}unn Ơ un 0 n n 21 Đặt v (1) , ta cú: n n n 1 ( 1) u hội tụ. Khi đú, ta gọi là chuỗi Leibnitz. nn 112  n n 1 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi n 111 VD 4. Xột sự hội tụ của chuỗi số ( 1) . • Với n 2:kv .  n n 21k n 2 n (1) 222 Giải 111 • Với n 2kv 1: . nn n 2222k ( 1)nn( 1) n (1) (1) n1 2 nn 1nn 11 n (1) Do  lim v nờn vv 0 phõn kỳ. n n nn • 1 là chuỗi điều hũa nờn phõn kỳ. n 1  n 2 n 1 n • ( 1) n là chuỗi Leibnitz nờn hội tụ.  n 1 n 2 n Vậy chuỗi ( 1) phõn kỳ.  n n 2 n (1) 4
5. 10/13/2012 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi 3.2. Chuỗi cú dấu tựy ý b) Định lý a) Định nghĩa Nếu u hội tụ thỡ chuỗi cú dấu tựy ý u hội tụ.  n  n • Chuỗi được gọi là chuỗi cú dấu tựy ý. n 1 n 1 uunn, Ă n 1 cos()nn • u được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu u hội tụ. VD 6. Xột sự hội tụ của chuỗi số .  n  n  2 n 1 n 1 Giải n 1 n n • u được gọi là bỏn hội tụ nếu u hội tụ và  n  n 1 1 cos()n n 1 n 1 Do u và hội tụ nờn hội tụ. n 2  2  2 phõn kỳ. n n 1 n n 1 n  un n 1 Vậy chuỗi số đó cho hội tụ tuyệt đối. n nn 1 VD 5. Chuỗi số ( 1) là bỏn hội tụ. VD 7. Xột sự hội tụ của chuỗi số ( 1) (2) .   n n 1 n n 1 3 ỉ Chương 7. Lý thuyết chuỗi Giải. Ta cú: ( 1)n ( 2)n 11( 1)nn(2) . 3n33nn n Chuỗi ( 1) hội tụ theo tiờu chuẩn Leibnitz.  n n 1 3 n ( 2)2n 1 ( 2)n 1 Do 2. nờn hội tụ. n  n 3 3 n 1 3 nn 1 Vậy ( 1) (2) hội tụ.  n n 1 3 5