Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến - Nguyễn Văn Phong

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Phép tính tích phân hàm một biến - Nguyễn Văn Phong

1. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 24
2. Nội dung 1 ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT 2 ĐỊNH LÝ CĂN BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 24
3. Bài toán tìm diện tích Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 24
4. Tích phân xác định Phân hoạch Cho [a, b], các số thực x0, x1, , xn, thỏa x0 = a < x1 < x2 < ··· < xn = b Khi đó, P = {x0, x1, x2, , xn}, được gọi là một phân hoạch của [a, b]. Tổng Riemann Cho hàm f xác định trên [a, b] và P là một phân hoạch ∗ của [a, b], với xi ∈ [xi−1, xi ] và ∆xi = |xi − xi−1|. Ta gọi Pn ∗ R(f , P) = i=1 f (xi )∆xi là tổng Riemann của f ứng với phân hoạch P Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 24
5. Tích phân xác định Định nghĩa Cho hàm f xác định trên [a, b]. Ta định nghĩa tích phân xác định của hàm f trên [a, b] là Z b n X ∗ f (x) dx = lim f (xi )∆xi a n→∞ i=1 nếu giới hạn bên phải tồn tại. Khi đó, ta còn nói f là khả tích Riemann trên [a, b]. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 24
6. Ví dụ Tìm diện tích của miền giới hạn bởi f (x) = x 2, x = 0, x = 1 . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 24
7. Ví dụ Để tính diện tích của S, trước tiên ta phân hoạch đoạn 1 [0, 1] thành n đoạn có ∆x = và chọn x ∗ lần lượt là n i 1/n, 2/n, , n/n. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 24
8. Ví dụ Ta có tổng Riemain 112 122 1n2 R = + + + n n n n n n n 1 1 = . 12 + 22 + + n2
   n n2 1 n (n + 1)(2n + 1) = n3 6 Khi đó, R 1 2 1 n (n + 1)(2n + 1) 1 x dx = lim Rn = lim = 0 n→∞ n→∞ n3 6 3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 24
9. Các tính chất của tích phân Cho f , g khả tích trên [a, b], k ∈ R khi đó: Z a Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx; f (x)dx = 0 b a a Z b Z b Z b [f (x) + kg(x)]dx = f (x)dx + k g(x)dx a a a Nếu c ∈ (a, b) thì f cũng khả tích trên các khoảng [a, c] và [c, b]. Và khi đó: Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c Z b Nếu f (x) = c(const) thì f (x)dx = c(b − a) a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 24
10. Các tính chất của tích phân Z b Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0. a Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì Z b Z b f (x)dx ≥ g(x)dx a a Z b Z b Hàm |f | khả tích và |f (x)|dx ≥ f (x)dx a a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 24
11. Định lý cơ bản của vi tích phân Định lý Nếu f liên tục trên [a, b] thì hàm F xác định bởi Z x F (x) = f (t)dt, a 6 x 6 b, a là liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b), và F 0(x) = f (x). Z x Ví dụ: Tìm F 0(x) biết F (x) = tsin tdt. 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 24
12. Công thức Newton-Leibnitz Định lý Nếu f liên tục trên [a, b], thì Z b b f (x)dx = F (x)|a = F (b) − F (a) a trong đó F là một nguyên hàm của f , nghĩa là F 0 = f Ví dụ: Z 2 1. Tính ex dx 1 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2, y = 0, x = 1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 24
13. Nguyên hàm Định nghĩa Hàm F (x) được gọi là một nguyên hàm của f (x) nếu F 0(x) = f (x) Khi đó, G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) và được gọi là tích phân bất định của f , ký hiệu Z f (x)dx Từ định nghĩa trên ta thấy, nguyên hàm và đạo hàm là hai hàm ngược của nhau,i.e., Z 0 Z f (x) dx = f (x) và (f (x))0dx = f (x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 24
14. Công thức đổi biến Định lý Giả sử hàm u = g(x) khả vi liên tục trên [a, b] và f là hàm liên tục trên miền ảnh của g. Khi đó: Z b Z g(b) f (g(x))g 0(x)dx = f (u)du a g(a) Nhận xét: từ (f [g (x)])0 = f 0 [g (x)] × g 0 (x) lấy tích phân hai vế, ta có Z Z f 0 [g (x)] × g 0 (x) dx = (f [g (x)])0dx = f (g (x)) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 24
15. Tích phân từng phần Công thức tích phân từng phần Z b Z b 0 b 0 f (x)g (x)dx = f (x)g(x)|a − g(x)f (x)dx a a Hoặc viết gọn: Z b Z b b udv = uv|a − vdu a a Xuất phát từ (f (x) g (x))0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) Ta nhận được công thức tích phân từng phần Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 24
16. Tích phân hàm chẵn, lẻ Giả sử f liên tục trên [−a, a] 1. Nếu f chẵn (nghĩa là f (−x) = f (x)) thì Z a Z a f (x)dx = 2 f (x)dx −a 0 2. Nếu f lẻ (nghĩa là f (−x) = −f (x)) thì Z a f (x)dx = 0 −a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 24
17. Tích phân suy rộng 1. Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa R t 1. Nếu a f (x) dx tồn tại với mọi t > a, thì Z +∞ Z t f (x) dx = lim f (x) dx a t→∞ a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 24
18. Tích phân suy rộng 1. Loại I (miền không bị chặn) Định nghĩa R b 2. Nếu t f (x) dx tồn tại với mọi t 6 b, thì Z b Z b f (x) dx = lim f (x) dx −∞ t→−∞ t R +∞ R a 3. Nếu cả hai a f (x) dx và −∞ f (x) dx tồn tại thì Z +∞ Z a Z +∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx −∞ −∞ a Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 24
19. Ví dụ Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại). Z +∞ 1 Z +∞ a) dx b) e−x dx 1 x 0 Z 0 Z 0 −x 1 c) xe dx d) 2 dx −∞ −∞ (1 − x) Z +∞ 1 Z +∞ 1 √ e) dx f) α dx 1 x 1 x Z +∞ 1 Z +∞ 1 g) 2 dx h) 2 dx −∞ 1 + x −∞ x + 2x + 5 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 24
20. Tích phân suy rộng 2. Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa 1. Nếu hàm f liên tục trên [a, b) và không liên tục tại b, thì Z b Z t f (x) dx = lim f (x) dx − a t→b a 2. Nếu hàm f liên tục trên (a, b] và không liên tục tại a, thì Z b Z b f (x) dx = lim f (x) dx + a t→a t Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 24
21. Tích phân suy rộng 2. Loại II (hàm không bị chặn) Định nghĩa 3. Nếu hàm f không liên tục tại c, với a < c < b, và R c R b cả hai a f (x)dx và c f (x)dx là hội tụ, thì Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a a c Nhận xét: Nếu tích suy rộng tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói phân kỳ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 24
22. Ví dụ Tính các tích phân suy rộng sau, (nếu nó tồn tại). Z 1 1 Z 1 a) √ dx b) ln (1 − x)dx 0 x 0 Z 2 1 Z 1 1 c) 2 dx d) α dx −1 x 0 x Z 5 1 Z 3 1 e) √ dx f) dx 2 x − 2 0 x − 1 Z 1 g) ln xdx 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 24
23. Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh Giả sử f và g là các hàm liên tục, và f (x) ≥ g(x) ≥ 0, với x ≥ a. R +∞ R +∞ 1) Nếu a f (x)dx hội tụ, thì a g(x)dx hội tụ R +∞ R +∞ 2) Nếu a g(x)dx phân kỳ, thì a f (x)dx phân kỳ +∞ Z 2 Ví dụ. Khảo sát sự hội tụ của e−x dx. 1 HD: Đặt f (x) = e−x và g(x) = e−x 2 . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 24
24. Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn tỷ số Cho f , g là các hàm số dương. f (x) Z +∞ 1. Nếu lim = α ∈ (0, +∞), thì f (x)dx x→+∞ g(x) a Z +∞ và g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ a f (x) Z b 2. Nếu lim = α ∈ (0, +∞), thì f (x)dx và x→b g(x) a Z b g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 24
25. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các tích phân sau: Z +∞ x 2 + ln x + 1 1. 5 2 dx 1 x + 3x + 3 Z +∞ x 3 + 2x − 1 2. √ dx 4 3 3 1 x + x + x + 1 + 2 Z 1 1 3. dx p3 2 0 (x − 1) (x + 2) Z 1 sin x 4. √ dx 0 x x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 24 / 24