Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phương trình vi phân - Nguyễn Phương

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phương trình vi phân - Nguyễn Phương

1. Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
2. 1 Các khái niệm cơ bản Các định nghĩa Bài toán Cauchy 2 Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li Phương trình đẳng cấp Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Phương trình vi phân tuyến tính 3 Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai có thể hạ cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng 4 Ứng dụng trong kinh tế Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn cầu 2
3. Các khái niệm cơ bản Các định nghĩa Định nghĩa - Phương trình vi phân là phương trình gồm biến độc lập x, hàm số phải tìm y(x) và đạo hàm các cấp của y(x). Phương trình vi phân có dạng tổng quát (n) F(x, y, y0, , y ) = 0 (1) hay (n) (n 1) y = f(x, y, y0, , y − . - Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình. - Nghiệm của phương trình vi phân là hàm thỏa mãn phương trình đó. - Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1) là nghiệm có dạng y = y(x, c1, c2, , cn), trong đó c1, c2, , cn là các hằng số tùy ý. Khi các giá trị c1, c2, , cn là những giá trị cụ thể thì ta được một nghiệm riêng của phương trình vi phân (1). 3
4. Các khái niệm cơ bản Các định nghĩa Ví dụ Cho các phương trình vi phân a)y 0 = 2x là phương trình vi phân cấp 1. b)y 00 + 3xy y = 3x là phương trình vi phân cấp 2. − Ví dụ Cho các phương trình vi phân y0 = x( ). x2 ∗ Xét hàm số y = 2 + C, ta có: y0 x = 0. x2 − suy ra y = 2 + C là nghiệm tổng quát của ( ). x2 ∗ Thế x = 2, y = 1 vào y = 2 + C, ta được: C = 1 2 − y = x 1 là nghiệm riêng của (*) ứng với điều kiện ban đầu y(2) = 1. ⇒ 2 − 4
5. Các khái niệm cơ bản Bài toán Cauchy Định nghĩa Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Dạng tổng quát của bài toán Cauchy   (n) (n 1) y = f(x, y, y0, , y − ;  (n) (2) y(x0) = y0; y0(x0) = y1; ; y (x0) = yn 1). − với x0, y0, y1, , yn 1 là các giá trị cho trước. − Định lý (Định lý về tồn tại và duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân với điều kiện ban đầu (2). Nếu hàm (n 1) f(x, y, y0, , y − ) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận điểm M(x0, y0, , yn 1) thì tồn tại duy nhất nghiệm y(x) của phương trình vi phân với điều kiện ban− đầu (2). 5
6. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li Dạng 1: f(x)dx + g(y)dy = 0. Với dạng này ta lấy tích phân hai vế ta được Z Z f(x)dx + g(y)dy = C, với C là hằng số. Ví dụ Giải phương trình vi phân lnx 2y dx + dy = 0. x y2 1 − Giải Tích phân hai vế ta được: Z ln x Z 2y dx + dy = C. x y2 1 − ln2(x) hay + ln(y2 1) = C 2 − 6
7. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li Dạng 2: f1(x)g2(y)dx + f2(x)g1(y)dy = 0. Với dạng này ta làm như sau: i) Nếu f2(x), g2(y) = 0, ta thử xem với các giá trị làm cho f2(x), g2(y) = 0 có thỏa phương trình vi phân trên không. ii) Nếu f2(x), g2(y) , 0, ta chia hai vế cho f2(x).g2(y) ta được Dạng 1. 7
8. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li Ví dụ Giải phương trình x2(y + 1)dx + (x3 1)(y 1)dy = 0. − − Giải +) Với (x3 1).(y + 1) = 0; − Với x=1 thì dx = 0. Thay vào phương trình ta được 0 = 0. Vậy x = 1 là một nghiệm phương trình. Với y = 1 thì dy = 0. Thay vào phương trình ta được 0 = 0. Vậy y = 1 là một nghiệm− phương trình. − +) Với (x3 1).(y + 1) , 0, ta chia hai vế phương trình cho (x3 1)(y + 1) ta được − − x2 y 1 dx + − dy = 0. x3 1 y + 1 − Lấy tích phân hai vế Z x2 Z y 1 1 dx + − dy = c hay ln x3 1 + y 2ln y + 1 = c. x3 1 y + 1 3 | − | − | | − 8
9. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân với biến số phân li Ví dụ Giải phương trình xdy + (y + 1)dx = 0, với điều kiện y(1) = 0. Giải Với x , 0, y , 1, chia cả hai vế phương trình cho x(y + 1), ta được: − dy dx + = 0. y + 1 x Tích phân hai vế Z dy Z dx + = c hay ln y + 1 + ln x = C y + 1 x | | | | Suy ra x(y + 1) = C hay y = C 1. x − Vì y(1) = C 1 = 0 nên C = 1. − 1 Vậy nghiệm cần tìm là y = 1. x − 9
10. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình đẳng cấp Định nghĩa Hàm M(x, y) gọi là thuần nhất bậc r nếu M(tx, ty) = trM(x, y), t > 0. Định nghĩa Phương trình vi phân dạng P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với P(x, y), Q(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc, được gọi là phương trình vi phân đẳng cấp. Đối với phương trình dạng này ta đưa về dạng y  y = g 0 x y sau đó đặt u = ta được phương trình biến số phân li. x 10
11. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình đẳng cấp Ví dụ Giải phương trình (x y)dx + xdy = 0. − Giải: Ta có P(x, y) = x y, Q(x, y) = x là các hàm thuần nhất bậc một, do đó phương trình trên− là đẳng cấp. +) Nếu x=0 thay vào phương trình ta được 0=0, nên x=0 là một nghiệm. +) Nếu x , 0, chia hai vế phương trình cho x ta được  y  1 dx + dy = 0. − x y Đặt u = , suy ra y = ux, dy = udx + xdu và ta được x dx (1 u)dx + udx + xdu = 0 hay + du = 0. − x Tích phân hai vế ta được Z dx Z + du = c hay ln x + u = c. x | | Vậy ta được y ln x + = c. | | 11x
12. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất: y0 + p(x)y = 0 Nghiệm tổng quát của phương trình là R p(x)dx y = Ce− . Ví dụ 2 Giải phương trình y0cos x + y = 0. Giải: Biến đổi phương trình về dạng phương trình thuần nhất: y y + = 0 0 cos2x R dx 2 tgx Nghiệm tổng quát là y = C.e− cos x = C.e− . 12
13. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính: y0 + p(x)y = q(x). (3) Đối với dạng này ta giải như sau: Bước 1. Giải phương trình thuần nhất y0 + p(x)y = 0, tìm được nghiệm R p(x)dx y = Ce− . R p(x)dx Bước 2. Xét y = C(x)e− , tìm C(x) bằng cách thế y và y’ vào (3), ta tìm được nghiệm của (3) là Z R ! R p(x)dx p(x)dx y = q(x)e + C e− . Lưu ý: Ta có thể tìm nghiệm của (3) theo công thức y = A(x) [B(x) + C], với R R p(x)dx R p(x)dx R q(x) với A(x) = e− ; B(x) = q(x)e = A(x) dx 13
14. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ y Giải phương trình y + = x. 0 x Giải R y 1 dx lnx C Phương trình y + = 0 có nghiệm là y = C.e x = Ce = . 0 x − − x C(x) xC0(x) C(x) Xét y = , khi đó y = − . Thay vào phương trình ta được x 0 x2 C0(x) C(x) C(x) 2 + = x hay C0(x) = x , x − x2 x2 x3 và ta được C(x) = 3 + C.  x3  1 x2 C Vậy nghiệm tổng quát là y = 3 + C x = 3 + x . 14
15. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2 Giải phương trình vi phân y0 cos x + y = tan x, với y(0) = 0. Giải Trước hết ta đưa phương trình về dạng y tan x y0 + = , cos2 x cos2 x y Phương trình thuần nhất y + = 0 có nghiệm 0 cos2 x R dx 2 tan x y = C.e− cos x = C.e− . tan x tan x 1 tan x Xét y = C(x)e− , khi đó y0 = C0(x).e− C(x).e− và ta thay − cos2 x vào phương trình trên ta được tan x tan x C(x) tan x C(x)e− tan x C0(x)e− .e− + = , − cos2 x cos2 x cos2 x 15
16. Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến tính tan xetanx suy ra C (x) = hay 0 cos2 x Z tan xetan x C(x) = dx + C = (tan x 1)etan x + C. cos2 x − Vậy nghiệm tổng quát là  tan x  tan x tan x y = (tan x 1)e + C e− hay y = tan x 1 + Ce− . − − tan0 Ta có y(0) = tan 0 1 + Ce− = 1 + C = 0, do đó C=1. Vậy nghiệm riêng là− − tan x y = tan x 1 + e− . − 16
17. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai có thể hạ cấp a) Phương trình khuyết y và y00 : y00 = f(x) Dạng này ta lấy tích phân hai lần ta được nghiệm. b) Phương trình y00 = f(x, y0) (khuyết y) và y00 = f(y, y0) (khuyết x), Dạng này ta đặc z = y0 ta đưa được về phương trình vi phân cấp 1. Ví dụ 2 Giải phương trình y00 = x . Giải Z 3 2 2 x y00 = x y0 = x dx = + C1 ⇒ 3 ! Z x3 x4 y = + C1 dx y = + C1x + C2 ⇒ 3 ⇒ 12 17
18. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai có thể hạ cấp Ví dụ 2 Giải phương trình y00.y = (y0) . Giải Đặt z = y0, khi đó y00 = (y0)0 = zx0 = zy0 .yx0 = zy0 .z 2 dz dy Phương trình đã cho trở thành y.z0 .z = z = . y ⇐⇒ z y Lấy tích phân ta được Z dz Z dy = lnz = lny + C z = cy. z y ⇐⇒ ⇐⇒ dy Ta có y = cy, suy ra = cdx hay lny = cx + C. 0 y c x Vây nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = c1e 2 . 18
19. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng có dạng y00 + py0 + qy = f(x), (4) với p, q là các hằng số thực. Hơn nữa, i) Nếu f(x) = 0 thì (3.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất. ii) Nếu f(x) , 0 thì (3.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất. 19
20. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng Cách giải PTVP thuần nhất Giải phương trình vi phân thuần nhất: y00 + py0 + qy = 0. Xét phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0 (5) Ta có các trường hợp sau: i) Nếu (5) có hai nghiệm phận biệt k1, k2, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là k1x k2x y(x) = C1e + C2e . ii) Nếu (5) có nghiệm kép k = k1 = k2, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là kx kx y(x) = C1e + C2xe . iii) Nếu (5) có nghiệm phức α iβ, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ± αx y(x) = e (C1 cos βx + C2 sin βx). 20
21. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng Cách giải PTVP không thuần nhất. Định lý Nếu y1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, y là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất, thì nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyên tính không thuần nhất là y = y1 + y. 21
22. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không αx thuần nhất khi f(x) = e Pn(x). a) Bước 1: Tìm dạng nghiệm riêng. Xét phương trình đặc trưng k2 + pk + q = 0, so sánh α với nghiệm của phương trình đặc trưng, ta có các trường hợp sau: αx Nếu α không là nghiệm phương trình đặc trưng thì y = e Qn(x). αx Nếu α là nghiệm đơn phương trình đặc trưng thì y = xe Qn(x). 2 αx Nếu α là nghiệm kép phương trình đặc trưng thì y = x e Qn(x). b) Bước 2: Tìm nghiệm riêng. Thay nghiệm có dạng tìm được ở bước 1 vào phương trình, đồng nhất hệ số của các đa thức ở hai vế. 22
23. Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng Ví dụ 2x Giải phương trình y00 5y0 + 4y = xe . − Giải Phương trình đặc trưng k2 5k + 4 = 0, suy ra k = 1 và k = 4. − x 2x Do đó nghiệm của phương trình thuần nhất là y1 = c1e + C2e . Ta thấy α = 2 không là nghiệm của phương trình đặc trưng, Pn(x) = x là đa thức bậc một, cho nên dạng nghiêm riêng là y = e2x(Ax + B). Thay y, y0, y00 vào phương trình không thuần nhất ban đầu ta được 2Ax A 2B = x. − − − 1 1 Đồng nhất ta được A = , B = .   −2 4 suy ra y = e2x x + 1 . − 2 4 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là   x 2x 2x x 1 y = c1e + C2e + e + . − 2 4 23
24. Ứng dụng trong kinh tế Tìm hàm cầu khi biết hệ số co dãn cầu dQD P dQD dP Hệ số co dãn của cầu theo giá là ED = . , hay = ED . dP QD QD P Ví dụ: Tìm hàm cầu Q = f(P) biết hệ số co dãn của cầu theo giá P là 5P 2P2 ED = − − và Q = 500 khi P = 10. Q Giải. dQ P dQ P 5P 2P2 Ta có: ED = . . = − − dQ = ( 5 2P)dP dP Q ⇔ dP Q Q ⇔ − − Nghiệm tổng quát là: Q = C 5P P2. Với Q(10) = 500 500 = C −5.10− 102 C = 650. Vậy hàm cầu là Q⇒= 650 5P− P2.− ⇒ − − 24