Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phép tính vi tích phân hàm một biến - Nguyễn Văn Phong

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 5: Phép tính vi tích phân hàm một biến - Nguyễn Văn Phong

1. PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 23
2. Nội dung 1 HÀM SỐ 2 HÀM SỐ SƠ CẤP 3 CÁC PHÉP TOÁN 4 GIỚI HẠN HÀM SỐ 5 HÀM LIÊN TỤC 6 ĐẠO HÀM 7 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 23
3. Hàm số Định nghĩa Hàm số f là một liên kết mỗi phần tử x ∈ X ⊂ R với một phần tử duy nhất y ∈ Y ⊂ R, ký hiệu f (x). Ta viết f : X → Y x 7→ y = f (x) Khi đó y được gọi là ảnh của x qua f (hay ta còn nói f biến x thành y); X được gọi là miền xác định của f , ký hiệu Df ; Tập Y = {y = f (x) |x ∈ D } là tập ảnh của f hay còn gọi là tập xác định của f , ký hiệu Rf . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 23
4. Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh 1. Hàm f : X → Y là đơn ánh nếu ∀x ∈ D, f (x) = f (x 0) ⇒ x = x 0. 2. Hàm f : X → Y là toàn ánh nếu f (X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f (x) = y. 3. Hàm f : X → Y là song ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃!x ∈ X : f (x) = y. Nghĩa là, f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 23
5. Hàm sơ cấp 1. Hàm luỹ thừa và căn thức: √ f (x) = x n và f (x) = n x với x ∈ N 2. Hàm mũ và Logarit: x f (x) = a và f (x) = logax, với 0 < a 6= 1. 3. Hàm lượng giác: f (x) = sin x; f (x) = cos x; f (x) = tan x. 4. Hàm lượng giác ngược: f (x) = arcsin x; f (x) = arccos x; f (x) = arctan x. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 23
6. Các phép toán Với các hàm số f , g : X → Y , ta có i) (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) ii) (f · g)(x) = f (x) · g(x) iii) (f /g)(x) = f (x)/g(x) iv) f : X → Y ; g : Y → Z. Hàm h : X → Z xác định h(x) = g ◦ f(x) = g [f(x)]. Được gọi là hàm hợp của f và g. v) Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó, ∀y ∈ Y , ∃!x = f −1(y) ∈ X : f (x) = y. Bấy giờ hàm f −1 : Y → X được gọi là hàm ngược của f và ∀x ∈ X , y ∈ Y , ta có x = f−1(y) ⇔ f(x) = y Hơn nữa, ta có f f−1(x) = x và f−1 [f(x)] = x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 23
7. Ví dụ Xác định g ◦ f , f ◦ g, f ◦ f , g ◦ g, với a) f (x) = cos x và g(x) = x 2 x − 1 b) f (x) = 2x + 1 và g(x) = 2 c) Phân tích hàm sau thành các hàm sơ cấp f (x) = pln (tan (cos (2x + 1))) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 23
8. Giới hạn hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn của f tại a, ký hiệu lim f (x) = L x→a Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu |x − a| < δε thì |f (x) − L| < ε. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 23
9. Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới hạn trái của f tại a, ký hiệu lim f (x) = L x→a− Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu −δε < x − a < 0 thì |f (x) − L| < ε. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 23
10. Giới hạn trái - Giới hạn phải Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói R là giới hạn phải của f tại a, ký hiệu lim f (x) = R x→a+ Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao cho ∀x ∈ Df nếu 0 < x − a < δε thì |f (x) − R| < ε. Ta nói lim f (x) tồn tại nếu x→a lim [f (x)] = lim [f (x)] = lim [f (x)] x→a− x→a+ x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 23
11. Các tính chất của giới hạn i) Nếu f (x) = C(hằng số) thì lim f (x) = C x→a ii) Nếu f (x) b thì lim f (x) b > x→a > iii) Nếu ϕ (x) 6 f (x) 6 ψ (x) và lim ϕ (x) = lim ψ (x) = A thì lim f (x) = A x→a x→a x→a iv) Nếu lim f (x) = A và lim g (x) = B thì x→a x→a a. lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B x→a x→a x→a b. lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = AB x→a x→a x→a . c. lim [f (x)/g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A/B; B 6= 0 x→a x→a x→a h i lim g(x) d. lim [f (x)]g(x) = lim f (x) x→a = AB x→a x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 23
12. Các dạng vô định thường gặp 1. Dạng ∞ − ∞ xảy ra khi ta tính lim [f (x) ± g (x)] x→a ∞ 0 2. Dạng hay xảy ra khi ta tính lim [f (x) /g (x)] ∞ 0 x→a 3. Dạng 0 × ∞ xảy ra khi ta tính lim [f (x) · g (x)] x→a 4. Dạng 1∞; 00; ∞0 xảy ra khi ta tính lim [f (x)]g(x) x→a Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 23
13. Một số giới hạn cơ bản sin x 1 − cos x 1 1) lim = 1 2) lim = x→0 x x→0 x 2 2 tan x ex − 1 3) lim = 1 4) lim = 1 x→0 x x→0 x ln(1 + x) arcsin x 5) lim = 1 6) lim = 1 x→0 x x→0 x arctan x (1 + x)α − 1 7) lim = 1 8) lim = α x→0 x→0 x x x  1 1 9) lim 1 + = e 10) lim (1 + x) x = e x→∞ x x→0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 23
14. Vô cùng bé Định nghĩa Hàm α (x) được gọi là vô cùng bé (VCB), khi x → a nếu lim α (x) = 0 x→a Hơn nữa, nếu α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, khi đó 1. α(x) ± β(x), α(x) × β(x), Cα(x) cũng là VCB, khi x → a 2. α(x) × g(x) cũng là VCB, khi x → a, với hàm g(x) bị chặn Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 23
15. So sánh hai vô cùng bé Cho α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, ta đặt α(x) k = lim . x→a β(x) Khi đó 1. Nếu k = 0 ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x), 2. Nếu k = ∞ ta nói α(x) là VCB cấp thấp hơn β(x), 3. Nếu k 6= 0 ∧ k 6= ∞ ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. Đặc biệt nếu k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 23
16. Vô cùng bé Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Giả sử f (x) và g (x) là tổng hữu hạn của các VCB khi x → a, khi đó f (x) VCB cấp thấp nhất của tử lim = lim x→a g(x) x→a VCB cấp thấp nhất của mẫu Một số VCB tương đương khi x → 0 cần nhớ sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x ex − 1 ∼ x ln(1 + x) ∼ x √ n x x 2 1 + x − 1 ∼ n 1 − cos x ∼ 2 ax − 1 ∼ xlna (1 + x)r − 1 ∼ rx Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 23
17. Hàm liên tục Định nghĩa Hàm f (x) xác định trên Df gọi là liên tục tại a, nếu i) f (x) xác định tại a ∈ Df , ii) lim f (x) tồn tại, x→a iii) lim f (x) = f (a). x→a Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm sau đây x a) f (x) = 3x + 1 tại x = 1, b) f (x) = tại x = 0, |x|  2x + 1, x > 0 c) f (x) = tại x = 0. 1, x 6 0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 23
18. Đạo hàm Định nghĩa Hàm số f :(a, b) → R gọi là khả vi tại x0 ∈ (a, b) nếu f (x + ∆x) − f (x ) giới hạn lim 0 0 tồn tại ∆x→0 ∆x Giới hạn này gọi là đạo hàm của f tại x0, ký hiệu 0 f (x0 + ∆x) − f (x0) ∆f f (x0) = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Ý nghĩa: 0 Tính xấp xỉ bởi công thức y − y0 = f (x0)(x − x0) Tính vận tốc tức thời Tỷ lệ thay đổi của f (x) đối với x tại điểm x0 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 23
19. Đạo hàm cấp cao Định nghĩa Giả sử f có đạo hàm cấp n, f n, tại x ∈ (a, b). Khi đó, đạo hàm cấp n + 1 của f được định nghĩa f (n+1)(x) = (f (n))0(x) Tính chất. Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 18 / 23
20. Các tính chất Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x ∈ (a, b) thì: 1. (f + g)0(x) = f 0(x) + g 0(x) 2. (αf )0(x) = αf 0(x), với α ∈ R 3. (fg)0(x) = f 0(x)g(x) + f (x)g 0(x) f 0 f 0(x)g(x) − f (x)g 0(x) 4. (x) = g g 2(x) 5. (g ◦ f )0(x) = g 0(f (x))f 0(x) 6. Nếu f −1 tồn tại, khả vi tại y = f (x) và f 0(x) 6= 0 thì 1 1 (f −1)0(y) = = f 0(x) f 0(f −1(y)) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 19 / 23
21. Đạo hàm các hàm sơ cấp f (x) f 0(x) f (x) f 0(x) √ 1 x n nx n−1 n x √ n n x n−1 1 ex ex ln x x 1 sin x cos x arcsin x √ 1 + x 2 1 cos x − sin x arccos x −√ 1 + x 2 1 1 tan x = 1 + tan2 x arctan x cos2 x 1 + x 2 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 20 / 23
22. Ứng dụng đạo hàm 1. Tính gần đúng Áp dụng, công thức sau: 0 f (x) − f (x0) = f (x0)(x − x0) (1) 2. Khai triển Taylor Giả sử f :(a, b) → R khả vi đến cấp n + 1. Khi đó, với x0, x ∈ (a, b), ta có công thức khai triển Taylor sau f 0 (x ) f 00 (x ) f (x) = f (x ) + 0 (x − x ) + 0 (x − x )2 + 0 1! 0 2! 0 f (n) (x ) + 0 (x − x )n + R (x) n! 0 n Trong đó Rn là phần dư. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 21 / 23
23. Ứng dụng đạo hàm 3. Khai triển Maclaurent Trong khai triển Taylor, khi x0 = 0, ta có công thức khai triển Maclaurent f 0 (0) f 00 (0) f (x) = f (0) + (x) + (x)2 + 1! 2! f (n) (0) + (x)n + R (x) n! n Trong đó Rn là phần dư. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 22 / 23
24. Ứng dụng đạo hàm 4. Quy tắc L’hospital f (x) 0 ∞ Giả sử lim có dạng hay . Khi đó, x→a g(x) 0 ∞ f 0(x) f (x) Nếu lim = A thì lim = A x→a g 0(x) x→a g(x) Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) GIẢI TÍCH Toán cao cấp - MS: MAT1006 23 / 23