Bài giảng Toán cao cấp B1 - Trần Bá Tịnh

79 trang ngocly 1170

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp B1 - Trần Bá Tịnh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_toan_cao_cap_b1_tran_ba_tinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp B1 - Trần Bá Tịnh

ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM GIẢNG DẠY VÀ THỰC HÀNH CƠ BẢN −− BÀI GIẢNG PHẦN PHÉP TÍNH VI - TÍCH PHÂN. LÝ THUYẾT CHUỖI Dùng cho sinh viên các ngành: Nông - Lâm - Ngư - Y khoa Biên soạn: TS. Trần Bá Tịnh TS. Nguyễn Vũ Tiến Huế, 10 - 2006
1 Lời nói đầu Được sự phân công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm giáo dục và thực hành cơ bản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi thực hiện biên soạn bài giảng về các môn học Toán cao cấp B1 và B2. Bài giảng này nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về giải tích cổ điển cần cho các ngành sinh học, nông lâm, thổ nhưỡng, khoa học môi trường, thủy sản . và một số ngành khoa học công nghệ khác. Bài giảng được biên soạn theo đề cương chi tiết của bộ chương trình GIÁO DỤC HỌC ĐẠI CƯƠNG do Bộ Giáo Dục ban hành theo quyết định số 3244/GD-ĐT ngày 12/09/1995 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và đào tạo . Bài giảng do tổ bộ môn Toán – Tin chúng tôi biên soạn trước mắt phục vụ cho đối tượng là là sinh viên các trường đã nêu, theo chương trình của dự án ở mức C trong Đại Học Huế. Lần đầu tiên biên soạn theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự trao đổi, đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để hoàn thiện bài giảng theo định hướng về một bài giảng chung môn học Toán cao cấp B1 và B2. Các tác giả
2 MỤC LỤC Chương 1 4 Hàm số và giới hạn hàm số 4 §1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 4 §2. HÀM SỐ 11 §3. DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 22 §4. GIỚI HẠN HÀM SỐ 24 §5. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 29 Chương 2 33 Đạo hàm và vi phân 33 §1. ĐẠO HÀM 33 §2. VI PHÂN 41 Chương 3 43 Tích phân không xác định 43 §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 43 §2. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN 44 KHÔNG XÁC ĐỊNH 44 §3. CÁC CÔNG THỨC TRUY HỒI 47 §4. TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ 48 §5. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VÔ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN 50 Chương 4 51 Tích phân xác định 51 §1. ĐỊNH NGHĨA 51 §2. MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 53 §3. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH CỦA HÀM LIÊN TỤC 56 §4. SỰ PHÂN CHIA KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN 57 _CẬN LẤY TÍCH PHÂN 57 I. Sự phân chia khoảng lấy tích phân 58 II. Cận lấy tích phân 58 §5. HÀM SỐ GIỚI HẠN TRÊN_GIỚI HẠN DƯỚI CỦA 59 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 59 §6. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM 59 §7. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 61 I. Đổi biến trong tích phân xác định 61 II. Phương pháp tích phân từng phần 63 §8. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 63
3 I. Tính diện tích miền phẳng 64 II. Tính thể tích 64 III. Tính độ dài cung 65 §9. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 66 I. Tích phân suy rộng loại I (Khoảng lấy tích phân vô hạn) 66 II. Tích phân suy rộng loại II (hàm đạt giá trị ở vô cùng) 66 III. Các định lý so sánh 67 Chương 5 68 Chuỗi số 68 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 68 ĐƠN GIẢN 68 §2. DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG 70 §3. SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI BẤT KÌ 73 I. Sự hội tụ tuyệt đối 73 II. Sự hội tụ của chuỗi đan dấu. Dấu hiệu Laibnit 74 §4. CHUỖI HÀM 74 I. Định nghĩa 74 II. Chuỗi lũy thừa 75 III. Chuỗi Taylo và ứng dụng 76
4 Chương 1 Hàm số và giới hạn hàm số §1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ I. Tập hợp - Các phép toán 1. Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không có định nghĩa chung. Người ta thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp học sinh trong mỗi lớp, tập hợp các số tự nhiên, các tập hợp số vô tỉ, số hữu tỉ, tập hợp các điểm của một đoạn thẳng, tập hợp các nghiệm của một phương trình Người ta kí hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa: A, B, C ., X,Y Phần tử của tập hợp là vật (hay đối tượng nghiên cứu) nằm trong tập hợp. Kí hiệu các phần tử bằng các chữ thường a, b, c, , x, y Khi cho tập hợp A, phần tử a thuộc A được viết a ∈ A ; phần tử b không thuộc A được viết b ∉ A (hay b∈ A). Thí dụ: 1- Cho tập X= {1,2,3,4} thì 2∈ X ; 6∉ X 2- Gọi X là tập các nghiệm của phương trình x2 + 3x − 4 = 0 X:={x/ x2 + 3x − 4 = 0} thì 1 ∈ X ; 3 ∉ X 3- Các tập hợp số thường gặp N:={0, 1, 2, 3, } ; N*:={1, 2, 3, 4 }; Z; Q; R 1.1. Cách mô tả tập hợp Muốn mô tả tập hợp ta phải làm đủ rỏ để biết một phần tử nào đó có thuộc tập hợp của ta hay không. Thường có 2 cách: 1- Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp vào trong dấu {} Thí dụ: A:= {x,y,z,t} Tập hợp này có 4 phần tử x, y, z, t Có nghĩa x∈ A, y∈ A, z∈ A, t∈ A Nhưng u∉ A,v∉ A Việc liệt kê có thể triệt để hoặc không triệt để. Nếu liệt kê không triệt để ta có thể dùng dấu 2- Nêu các tính chất đặc trưng của các phần tử tạo thành tập hợp Thí dụ: K là tập hợp các số chẵn dương K:= {x/x∈ N, x chia hết cho 2} Có nghĩa 4∈ K nhưng 5∉ K 1.2. Tập con
5 Cho hai tập A và B, nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói rằng A là một tập con của B và viết A ⊆ B; nếu A là con của B và B có ít nhất một phần tử không là phần tử của A thì ta nói rằng A là tập con thực sự của B và viết A ⊂ B Nếu A ⊂ B ta còn nói A bao hàm trong B ; B chứa A ; A là bộ phận của B. Thí dụ: cho A := {x / x2+3x-4 = 0} B := {-4,1,2,3} thì AB C := {-4,1} thì A ⊆ C 1.3. Tập bằng nhau Cho hai tập A và B, ta nói rằng tập A bằng tập B và viết A=B nếu A ⊆ B và B ⊆ A Thí dụ: cho A := {x/x2-5x+6=0} và B:= {2,3} Thì A = B 1.4. Tập rỗng Theo quan niệm thông thường thì một tập hợp cần có ít nhất một phần tử mới có nghĩa. Tuy nhiên trong toán học để tiện cho việc lập luận người ta đưa thêm vào khái niệm tập rỗng viết là φ . Nó là tập không có phần tử nào và là tập con của bất kì tập hợp A nào, φ ⊆ A Thí dụ: {x ∈ R / x2+x+1 = 0} = φ 1.5. Biểu diễn hình học- Biểu đồ Ven Để dễ hình dung một số quan hệ giữa các tập hợp người ta dùng biễu diễn hình học gọi là biểu đồ Ven .Xem tập hợp là tập điểm trong một hình vòng phẳng. Mỗi điểm trong vòng là một phần tử trong tập hợp (H.1). Khi đó quan hệ A ⊂ B được biểu diễn ở hình H.2 2. Các phép toán về tập hợp 2.1. Phép hợp Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi các phần tử thuộc A hoặc thuộc B Kí hiệu: C = A ∪ B = {x/ x ∈ A hoặc x ∈ B} Biễu diễn bằng biểu đồ ven trên H.3
6  Aν ∪ ∪ ∪ ν Mở rộng cho nhiều tập hợp A ν : = A1 A2 An ; =1 n ν 2.2. Phép giao Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Kí hiệu: C = A ∩ B = {x/ x ∈ A và x ∈ B} Giao A ∩ B biễu diễn bằng sơ đồ ven trên H.4  Aν ∩ ∩ ∩ ν Mở rộng chonhiều tập hợp A ν : = A1 A2 An ; =1 n ν Đặc biệt nếu C = A ∩ B = φ ta nói rằng A và B rời nhau. 2.3. Tính chất Các tính chất sau đối với các phép toán về tập hợp được suy từ định nghĩa: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A A ∪ A = A A ∩ A = A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Các tính chất trên đều được chứng minh bằng định nghĩa. Ta chứng minh tính chất đầu tiên. x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ⇒ x ∈ B hoặc x ∈ A ⇒ x ∈ B ∪ A ⇒ A ∪ B ⊆ B ∪ A x ∈ B ∪ A ⇒ x ∈ B hoặc x ∈ A ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ B ∪ A ⊆ A ∪ B Vậy A ∪ B = B ∪ A 2.4. Hiệu của hai tập hợp Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi tất cả các phần tử vừa thuộc A mà không thuộc B Kí hiệu: C = A\B := {x / x ∈ A,x∉ B} Hiệu A\B biễu diễn bằng sơ đồ ven trên H.5
7 A Nếu B ⊂ A thì A\B = B Gọi là phần bù của B trong A (H.6) Kí hiệu: A\B = B = CAB 2.5. Tích Đề các Cho hai tập hợp A và B không rỗng , với mỗi a ∈ A và mỗi b ∈ B ta lập cặp (a,b) gọi là một cặp sắp xếp thứ tự với phần tử của tập A trước và phần tử của tập B sau , tích Đề các của tập A và tập B là tập C . Kí hiệu: C= A x B và được đọc là “A tích Đềcác B” và biễu diễn : C= A x B := {(a,b) \ a ∈ A,b ∈ B} Thí dụ: Cho A={a1,a2} B={b1,b2,b3} C=A x B = {(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3)} ν Mở rộng tích Đề các cho n tập hợp A ν , = 1 n là tập hợp các bộ có thứ tự (a1,a2, .,an) *trong đó aν ∈ Aν Kí hiệu: A1 x A2 x x An Nếu Aν = A với ∀ ν = 1 n     thì aν ∈ Aν và AxAxAx xA = An n II. Ánh xạ 1. Định nghĩa Ánh xạ từ tập E tới tập F là một quy luật f liên hệ giữa E và F sao cho với phần tử x ∈ E tạo ra duy nhất một phần tử y ∈ F Kí hiệu: f: E → F hay E f → F Và gọi E là tập nguồn, F là tập đích Phần tử y ∈ F được tạo ra từ phần tử x ∈ E bởi quy luật f gọi là ảnh của x và x gọi là tạo ảnh (hay nghịch ảnh) của y. Ta viết: y =f(x) hay x → y=f(x) hay x f → y
8 f(x) đọc là “f của x” hay “f tại x” Chú ý rằng mỗi phần tử x ∈ E có duy nhất một ảnh y ∈ F nhưng mỗi y ∈ F có thể có nhiều tạo ảnh hoặc không có tạo ảnh nào . Tập tạo bởi các tạo ảnh của tất cả các phần tử x ∈ E gọi là ảnh của E qua F và viết là f(E). f(E):= {y / y=f(x), x ∈ E} Ta luôn có: f(E) ⊂ F Thí dụ: E là tập các sinh viên trong một lớp học F là tập tên gọi. Khi đó có thể xảy ra các trường hợp: mỗi sinh viên có một tên và các tên đó khác nhau hoặc là có một số sinh viên cùng tên hoặc có những tên mà không có sinh viên nào đặt cả. 2. Đơn ánh → ≠ Định nghĩa: Ánh xạ f: E F được gọi là đơn ánh nếu với x1 x2 là hai phần tử của E thì ≠ f(x1) f(x2) (1-1) ⇒ Và f(x1) = f(x2) x1=x2 (1-1)’ Thí dụ: 1. Ánh xạ f: R → R cho bởi quy luật x3=y có nghiệm x= 3 y là một đơn ánh. 2. Ánh xạ f: R → R+ cho bởi quy luật x2=y có hai nghiệm khác nhau .Vậy ánh xạ này không là đơn ánh. 3. Toàn ánh Định nghĩa: Ánh xạ f: E → F là một toàn ánh nếu f(E) = F và ta gọi f là ánh xạ từ E lên F. Để kiểm tra f có phải là toàn ánh không ta chỉ cần kiểm tra xem với y∈ F bất kì có tồn tại nghịch ảnh hay không. Thí dụ: 1. f : R → R cho bởi x3=y Ánh xạ này là một toàn ánh . 2. f : R → R cho bởi x2=y Ánh xạ này không là toàn ánh . 3. f : R → R+ cho bởi x2=y Ánh xạ này là một toàn ánh . 4. Song ánh Định nghĩa: Ánh xạ f: E → F gọi là một song ánh nếu nó vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Thí dụ: 1. f : R → R cho bởi x3=y Ánh xạ này là một song ánh . 2. f : R → R+ cho bởi x2=y Ánh xạ này không là song ánh . 5. Ánh xạ ngược của một song ánh – Tương ứng 1-1 Xét 2 tập E và F và f là một song ánh từ E lên F. Vì f là song ánh nên với phần tử y ∈ F sẽ tồn tại duy nhất x ∈ E ứng với nó theo một quy luật nào đó nên nó cũng là một ánh xạ. Định nghĩa: Song ánh f: E → F tạo ra một ánh xạ từ F tới E. Ánh xạ này gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f và kí hiệu là: f-1
9 f -1: F → E với đặc điểm là: nếu f(x) = y thì f-1(y)=x (x ∈ E,y ∈ F) nếu f-1(y)=x thì f(x)=y (y ∈ F,x ∈ E) Theo định nghĩa f-1 cũng là một song ánh . Thí dụ: Song ánh f: R → R xác định bởi y = x3 R ∋ x f → y=x3 ∈ R Có ánh xạ ngược f-1 : R → R xác định bởi x= 3 y − R ∋ y  f 1→ x= 3 y ∈ R Song ánh này tạo ra môt tương ứng 1-1 giữa R và R 6. Hợp (Tích của 2 ánh xạ) Cho 3 tập hợp X,Y,Z và hai ánh xạ f và g f : X  → Y, g :Y  → Z x ∈ X; f(x) = y ∈ Y duy nhất y ∈ Y, g(y) = z ∈ Z duy nhất Như vậy với mỗi x ∈ X tạo ra duy nhất z ∈ Z .Theo định nghĩa quy luật này là một ánh xạ. Ta viết g[f(x)] = z X ∋ x  → z = g[f(x)] ∈ Z Định nghĩa: Ánh xạ hợp (tích) của hai ánh xạ f và g từ tập X tới tập Z (qua trung gian Y) gọi là hợp của f và g (hay tích của f và g). Kí hiệu: gof Thí dụ : gof : X  → Z
10 Cho X = Y = Z = R x ∈ R  → y = f(x) = x2∈ R y ∈ R  → z = g(y) = y-5 ∈ R Ánh xạ hợp gof :R  → R xác định như sau: x ∈ R  → (gof)(x) = g[f(x)] = x2-5 ∈ R Chú ý: 1/ Hợp của hai đơn ánh là một đơn ánh . Hợp của hai toàn ánh là một toàn ánh. Hợp của hai song ánh là một song ánh. 2/ Nếu f : E  → F là một song ánh Khi đó tồn tại f-1:F  → E và ta có : x∈ E  → (f-1of)(x) = f-1[f(x)] = f-1(y) = x y∈ F  → (fof-1)(y) = f[f-1(y)] = f(x) =y Có nghĩa là f-1of và fof-1 là các ánh xạ đồng nhất trong E và F -1 -1 Kí hiệu: IE=f of ; IF=fof 7. Tập hữu hạn – Tập đếm được – Tập không đếm được Thí dụ : Xét các tập hợp: A = {a,b,c,d} có 4 phần tử B = {x1,x2,x3,x4} có 4 phần tử M = {1,2,3, .,n} có n phần tử. Những tập này có số hữu hạn các phần tử N*= {1,2,3, .,n, .} X = {x1,x2,x3, xn } R = {số thực} Những tập này có vô số các phần tử. 7.1. Lực lượng của tập hợp Ta nói hai tập E và F có cùng lực lượng nếu tồn tại một tương ứng 1-1 giữa chúng. Hay điều kiện cần và đủ để hai tập hợp E và F cùng lực lượng là giữa chúng tồn tại một song ánh. Thí dụ: Xét các tập A,B có 4 phân tử như đã đưa ra . Giữa A và b có tương ứng 1-1 ↔ ↔ ↔ ↔ a x1, b x2, c x3, d x4 Ta nói 4 là lực lượng của A và B. 7.2. Tập hữu hạn –Tập đếm được – Tập không đếm được + Tập M có n phần tử và các tập cùng lực lượng với nó gọi là tập hữu hạn + Tập N* có vô số phần tử và các tập cùng lượng với nó gọi là các tập vô hạn đếm được. + Các tập có cùng lực lượng với các tập con của N* gọi là các tập đếm được .
11 +Tập R có vô số phần tử và các tập cùng lực lượng với nó gọi là tập vô hạn không đếm được. §2. HÀM SỐ I. Khái niệm hàm số - Các định nghĩa 1. Định nghĩa: Cho tập số thực X, ta sẽ gọi một ánh xạ f từ tập X vào tập số thực R là một hàm số .Tập X được gọi là miền xác định và tập ảnh y= f(X) của ánh xạ được gọi là tập giá trị của hàm số f. Kí hiệu: x f → y; X f → Y = f(X) Hay y = f(x) x : gọi là biến số độc lập. y = f(x) gọi là giá trị của hàm số tại x Muốn cho một hàm số cần phải : − Cho miền xác định X của hàm − Cho ánh xạ f. Thí dụ: a, x  → x có miền xác định R+ và f là phép lấy căn bậc 2. b, x  → 2x + 3 có miền xác định là R và ánh xạ f là hàm số bậc nhất.Miền giá trị là R 2. Các phương pháp cho hàm số 2.1. Phương pháp giải tích Là cách cho dưới dạng phương trình trong đó một vế là y hoặc f(x) là giá trị của hàm tại x, một vế là các biểu thức giải tích của x. Thường được áp dụng trong nghiên cứu lí thuyết . Thí dụ: y = -2x2 + 5x + 1 hàm bậc hai y = E(x) hàm phần nguyên của x  1 x > 0  y=sign x =  0 x = 0   − 1 x < 0 2.2. Phương pháp lập bảng Phương pháp lập bảng thường được sử dụng trong thực tế. Ta lập một bảng gồm 2 hàng và nhiều cột. Trong một hàng ghi các giá trị của biến độc lập, hàng kia ghi các giá trị của hàm theo biến độc lập đó. Mỗi một cột ứng với một giá trị của biến độc lập và giá trị của hàm tại biến đó. Thí dụ: Đo tốc độ gió trong một ngày với mốc thời gian đo là đầu mỗi giờ .Ta có bảng: t(giờ) 1 2 3 . 23 24 v(m/s) V1 V2 V3 V23 V24 2.3. Phương pháp đồ thị
12 Trong kĩ thuật cũng như trong lĩnh vực khoa học cơ bản có nhiều đại lượng chúng ta cần xác định thông qua các công cụ đo. Mặc dù ta không biết được quy luật chính xác của hàm nhưng giá trị cụ thể của hàm theo biến độc lập hoàn toàn xác định được thông qua đồ thị. Chúng ta chỉ việc kẻ các đường gióng theo các trục tọa độ để xác định. 3. Phép toán trên hàm số 3.1. Tổng, hiệu, tích, thương của 2 hàm số  Cho hàm số f(x) xác định trên X1 và g(x) xác định trên X2. Gọi X=X1 X2 f Khi đó tổng, hiệu, tích, thương của f(x), và g(x) được cho bởi các quy luật f+g, f-g, f.g, xác g định trên tập X và: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f - g)(x) = f(x) - f(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) f f (x) (x) = với g(x) ≠ 0 ∀ x∈ X g g(x) 3.2. Phép bằng nhau Hai hàm f(x) và g(x) gọi là bằng nhau trên tập X nếu f(x)=g(x) với ∀ x∈ X Kí hiệu: f = g 3.3. Phép lớn hơn (bé thua) Hàm f(x) gọi là lớn hơn (bé thua) hàm g(x) trên X nếu f(x) > g(x) (f(x) g (hay f< g) 4. Đồ thị hàm số Ta giả thiết rằng có một song ánh là ánh xạ đồng nhất giữa tập số thực R với các điểm trên đường thẳng L. Như vậy ta xem đường thẳng như một trục số thường kí hiệu là x. Ta thường xây dựng một song ánh từ tập tích Đề các R x R vào một mặt phẳng P bằng cách vẽ thêm trục số y vuông góc trục số x tại điểm x = 0 . Các đơn vị chọn trên 2 trục số này có thể giống hoặc khác nhau (thường chọn giống nhau). Trục Ox là trục hoành và trục Oy là trục tung
13 H.10 Điểm O là gốc tọa độ . Dấu của các giá trị trên trục số được biểu hiện trên hình vẽ . Mặt phẳng P với các trục tọa độ như vừa xây dựng được gọi gọi là mặt phẳng tọa độ. Một điểm M được xác định bởi 2 giá trị tọa độ của nó là hoành độ và tung độ bằng cách như sau. Từ M kẻ đường thẳng song song với Oy cắt Ox tại giá trị x gọi là hoành độ của M. Từ M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại giá trị y gọi là tung độ của M. Kí hiệu là M(x,y). Theo quy luật của hàm số ta xác định đươc tập hợp các điểm của M(x,y) = M(x,f(x)) với x∈ X. Đường cong nối các điểm M(x,y) gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) trong mặt phẳng tọa độ Oxy đã cho. 5. Các tính chât của hàm số 5.1. Hàm số đơn diệu – Hàm số không đơn điệu Định nghĩa: Hàm số f gọi là đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm) trên miền xác định nào đó ∈ nếu mỗi giá trị x1,x2 X từ x1 f(x2)) thì ta nói rằng hàm số tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên X. Hàm số f(x) được gọi là đơn điệu từng khúc trong một miền nào đó nếu ta có thể chia miền đó thành một số hữu hạn các khoảng (đoạn) sao cho hàm số đơn điệu trong mỗi khoảng (đoạn) đó. 5.2. Hàm số bị chặn và hàm số không bị chặn Định nghĩa: Hàm số f(x) bị chặn trong tập X nếu tồn tại số K > 0 sao cho: f (x) < K (1-3) Nếu tập X= (- ∞ ,+ ∞ ) thì ta nói f(x) bị chặn trên toàn trục số hay f(x) bị chặn. Từ (1-3) ta có : -K ≤ f(x) ≤ K (1-4) Như vậy nếu vẽ đồ thị hàm số f(x) ta thấy đồ thị đó nằm giữa giải được xác định bởi hai đường thẳng y = ± K Hàm số f(x) được gọi là hàm số bị chặn trên (hay bị chặn dưới ) trong X nếu tồn tại một số K tùy ý sao cho: f(x) ≤ K ( hay f(x) ≥ K) (1-5) Chú ý:
14 Hàm số f có thể không bị chặn trong một khoảng nào đó, nhưng bị chặn trên (hoặc chặn dưới) trong khoảng đó. Thí dụ: 1 Hàm số : y= không bị chặn trong (0,+ ∞ ) nhưng bị chặn dưới bởi O. x Hàm số f có thể bị chặn trong mọi đoạn [α , β ] ⊂ (a,b) nhưng không bị chặn trong đoạn (a,b). 5.3. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ Định nghĩa: Tập đối xứng : Tập X được gọi là tập đối xứng đối với gốc tọa độ nếu x∈ X thì –x∈ X. Thí dụ: đoạn [-a,a], khoảng (-b,b), (- ∞ ,+ ∞ ) Hàm số f(x) xác định trên tập X đối xứng được gọi là hàm số chẵn nếu ∀ x∈ X ta có: f(x) = f(-x) (1-6) Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy là trục đối xứng. Hàm số f(x) xác định trên tập X đối xứng được gọi là hàm số lẻ nếu ∀ x∈ X ta có: f(x) = f-(x) (1-7) Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Các phép toán: Định lý: a) Tổng hoặc hiệu của hai hàm số chẵn ( hoặc lẻ ) là một hàm số chẵn (hoặc lẻ) b) Tích của hai hàm số chẵn hoặc lẻ là hàm số chẵn. c) Tích của hàm số chẵn với hàm số lẻ là hàm số lẻ. 5. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là hàm số tuàn hoàn trên tập xác định X của nó nếu tồn tại số l ≠ 0 sao cho: f( l+x ) = f(x) với x+l, x ∈ X (1-8) Số dương T bé nhất trong các số l thỏa mãn (1-8) gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f(x). Ta có: l = k.T, k∈ N Thí dụ: 1− f(x)={x} = x-[x] phần nguyên của x
15 H.11 Chu kì T=1.  1 x ∈ Q 2– D(x)=  (Q là tập các số hữu tỉ)  0 x ∉ Q Với r là số hữu tỉ ta có : x+r là số hữu tỉ nếu x là số hữu tỉ x+r là số vô tỉ nếu x là số vô tỉ. Vậy D (r + x) = D(x) nếu r là hữu tỉ - D(x) tuần hoàn với các số r hữu tỉ. Từ thí dụ này ta có nhận xét hàm số tuần hoàn có thể không có chu kì. 6. Hàm số hợp Cho hàm số x =ϕ (t) xác định trên tập T và X = ϕ (T) y = f(x) xác định trên tập X và Y = f(X) Nếu với t∈ T theo cách nào đó ta xác định được y = f(x) thông qua x = ϕ (t) thì hàm số ứng theo quy luật này sẽ xác định trên T và có tập giá trị là Y. Ta gọi hàm số mới này là hàm số hợp của các hàm f và ϕ . Kí hiệu: F=foϕ và F(t) = foϕ (t) = f[ϕ (t)] (1-9) Thí dụ: x =ϕ (t) = t3-3t+1 y = f(x) =x2 F = foϕ =y ⇒ y = (t3-3t+1)2 Ta có thể mở rộng cách định nghĩa trên cho hợp của nhiều hàm số. Cho y=f(x), u=ϕ (x), x= g(t) Ta có: F=foϕ og 7. Hàm số ngược Cho hàm số f là một song ánh từ tập X vào tập Y. Khi đó ứng với mỗi giá trị y∈ Y sẽ xác định duy nhất x∈ X , phép tương ứng này xác định cho ta một hàm số, được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Kí hiệu: f -1 Hàm số f -1 có tập xác định là Y . Vì quy ước biến của các hàm số là x nên viết là f -1(x) nhưng hiểu ngầm x∈ Y.
16 Nếu biểu diễn đồ thị của hàm số f(x) và f-1(x) trên cùng một hệ trục Oxy thì đồ thị của chúng luôn đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tử thứ nhất . Thí dụ: y = 2x-3 y + 3 Và x = 2 H.12 Hàm số f(x) và hàm số ngược f-1(x) cùng tính đơn điệu, tức là cùng tăng nghiêm ngặt (hoặc cùng giảm nghiêm ngặt). II. Các hàm số cơ bản 1. Hàm số lũy thừa: y= x α α ∈ R - Miền xác định , phụ thuộc α Nếu α ≥ 0 , α ∈ N* miền xác định là R Nếu α 0 và không đi qua (0,0) nếu α >0 1 Với: α = , p∈ Z p Nếu p∈ N*, p chẵn. Miền xác định là R+ p∈ N*, p lẻ. Miền xác định là R p∈ Z miền xác định cũng phụ thuộc p chẵn hay lẻ Với α là một số vô tỉ ta có quy ước.
17 Nếu α >0 xét ∀ x ≥ 0 Nếu α 0 H.13 2. Hàm số mũ: y=ax (a>0, a ≠ 1) - Số a gọi là cơ số của hàm số mũ . - Miền xác định R – Miền gía trị R+ - Hàm tăng nghiêm ngặt với a>1 và giảm nghiêm ngặt với 0 0,a 1 x - Hàm số y= logax là hàm số ngược của hàm số mũ y=a - Miền xác định là R+ và miền giá trị là R. - Hàm số tăng nghiêm ngặt với a>1 giảm nghiêm ngặt với a<1 . - Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1,0) và luôn nằm phía bên phải của trục tung.
18 H.14 Các tính chất: loga x.y = log ax + log ay x y log a = log ax - log ay k log ax = k. log ax N= alogaN log ac = log ab. log bc log a c log bc = log a b 4. Hàm số lượng giác: y = sin x; y = cos x; y = tg x, y = cotg x Đây là các hàm số xác định trên đường tròn lượng giác . H.15 Trên hình vẽ: OP =cos x ; OQ =sin x AT =tg x ; BC = cotg x - Hàm y = sinx ,y= cos x có miền xác định là Rvà miền giá trị là [-1,1].
19 π - Hàm y = tg x có miền xác định là mọi giá trị x ≠ (2k+1) , k ∈ Z và miền giá trị là R 2 - Hàm y = cotg x có miền xác định là mọi giá tri x ≠ k, π k ∈ Z và miền giá trị là R. - Trên hình vẽ là đồ thị của các hàm số y= sin x , y= cos x , y=tg x ,y= cotg x H.16 H.17 - Các hàm lượng giác đều là các hàm tuần hoàn . Hàm số y = sin x , y= cos x có chu kì T=2 π Hàm số y = tg x , y= cotg x có chu kì T= π 5. Các hàm lượng giác ngược: Xét các hàm số lượng giác trong miền xác định của nó và theo từng chu kì ta thấy rằng đó là các hàm tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trong một khoảng cụ thể tương ứng. Khi đó nó sẽ tồn tại các hàm số ngược và được gọi là các hàm lượng giác ngược.
20 Cụ thể: a, Hàm số y = arcsin x π π - Miền xác định là khoảng đóng [-1,1] và miền giá trị [- , ] 2 2 - Đồ thị của nó đối xứng với hàm số y=sin x qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. H.18 b, Hàm số y = arccos x - Miền xác định là khoảng đóng [-1,1] vá miền giá trị [0, π ] - Là một hàm số giảm nghiêm ngặt và đồ thị có hình dạng như H.19 π π - Vì sin x = cos( -x) nên ta có : arcsin x + arccos x = 2 2 H.19 c, Hàm số y = arctg x
21 π π - Miền xác định là R và miền giá trị [- , ] 2 2 - Là một hàm số tăng và đồ thị có hình dạng như H.20 H.20 d, Hàm số y = arccotg x - Miền xác định là R và miền giá trị [0, π ] - Là một hàm số giảm và đồ thị có hình dạng như H.21 H.21 π π - Vì tg x = cotg( -x) nên ta có : arctg x + arccotg x = 2 2 6. Các hàm số sơ cấp: Định nghĩa: Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân , chia, ) các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản .
22 Thí dụ: π y = sin 4x + cos (2x + ) +3 4 y = 3-x + x2+9 y = 5 x 3 - log(3x+7) + 1 x + 1 + x 2 + sin x y = x − 1 + x 2 Trong các hàm sơ cấp , ta đặc biệt chú ý đến hai loại hàm số : các đa thức và các hàm hữu tỉ, vì khi tính giá trị của các hàm này người ta chỉ cần thực hiện các phép toán số học đối với các biến. §3. DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ I. Định nghĩa dãy số Định nghĩa: Cho hàm số a xác định trên tập các số tự nhiên N* 1, 2, 3, 4 , n . Các giá trị tương ứng của hàm số là a(1), a(2), a(3), .a(n) . Ta gọi tập các số a(1), a(2), .,a(n), viết theo thứ tự đã cho là một dãy số. (gọi tắt là dãy). Kí hiệu: a1, a2, a3, an hoặc {an} (1-10) an - (n=1,2,3, .) gọi là số hạng hay phần tử của dãy . k - chỉ số của số hạng ak Khi cho dãy người ta cho số hạng tổng quát an Thí dụ: n 1 2 3 n Cho dãy {a } = { } = , , , , , n n + 1 2 3 4 n + 1 2 2 {an} = {n } = 1,4,9, .,n , . Về phương diện hình học dãy số a1, a2, a3, an là tập hợp các điểm dạng (n,an) trong mặt phẳng tọa độ vì vậy ta có thể xem các điềm dạng (n,an) là một dãy số. II. Định nghĩa giới hạn dãy số ε ε 1. Định nghĩa: Số a được gọi là giới hạn của dãy số {an} nếu với mỗi số >0 , ∃ N =N( ) sao cho ∀ n > N ta đều có: − ε an a < (1-11) lim → → ∞ Kí hiệu: n→ ∞ an=a hoặc an a khi n (1-12) Dãy {an} có giới hạn a hữu hạn gọi là một dãy hội tụ. Nếu không tồn tại giới hạn thì dãy {an} gọi là một dãy phân kì. Thí dụ: n 1. Chứng minh: {a }={ } có giới hạn là 1. n n + 1
23 ε Thật vậy, nếu {an} có giới hạn là 1, theo định nghĩa với >0 − ε ε Ta có: an 1 N ta có bất đẳng thức trên luôn thõa mãn. n + 1 1 1 − 1 = n n ε  1  Chọn N= thì ta luôn có : a − 1 N ta có N ta có : (− 1) − l 1 (n=2k). Điều này mâu thuẫn với giả thiết hội tụ của dãy đã cho. Vậy dãy đã cho phân kì. 4. Dãy số {an} ={n} là phân kì lim Giả sử ngược lại {an}={n} hội tụ , tức n→ ∞ n=a Chọn ε = 1 khi đó n − a N Ta có: n-a 0 N1, N2 sao cho : − ε ∀ n > N1 an a N2 an b < ∀ Đặt N= max (N1,N2) Khi đó n ≥ N cả hai bất đẳng thức trên đều thõa mãn. Ta có: − − + − ≤ − + − ε a b = a un un b a un un b <2 . Theo định nghĩa a − b = 0 tức là a = b .
24 Vậy giới hạn của dãy là duy nhất. III. Tính chất giới hạn của dãy số Các tính chất của giới hạn dãy số được thể hiện qua các định lí. Định lí 1: Nếu các dãy {an} và {bn} hội tụ thì các dãy: an ≠ ∀ lim ≠ {an+bn},{an-bn},{an.bn},{ } (nếu bn 0 n và n → ∞ bn 0) cũng hội tụ và ta có : bn lim lim lim a, n→ ∞ ( an+bn) = n→ ∞ an+ n → ∞ bn (1-13) lim lim lim b, n → ∞ ( an-bn) = n → ∞ an - n → ∞ bn (1-14) lim lim lim c, n→ ∞ (an.bn)= n → ∞ an. n → ∞ bn (1-15) lim a a → ∞ n lim n n d, n → ∞ ( )= (1-16) bn limbn n→ ∞ Chú ý với giả thiết một trong hai dãy là hằng , chẳng hạn an= C ta có: lim lim lim n → ∞ (an+bn)= n → ∞ (C+bn) = C+ n→ ∞ bn (1-13)’ lim lim lim n → ∞ (an.bn)= n → ∞ (C.bn)=C. n → ∞ bn (1-15)’ ⇒ lim lim n → ∞ (-an)= - n→ ∞ an (1-17) Định lí 2: Nếu dãy {an} hội tụ thì dãy { an } cũng hội tụ và lim n → ∞ an = lim an (1-18) n→ ∞ Định lí 3: Nếu các dãy {an}, {bn} hội tụ và an ≤ bn ∀ n thì lim ≤ lim n → ∞ an n → ∞ bn (1-19) ≤ ≥ lim ≤ lim ≥ Đặc biệt nếu an k và bn h thì n → ∞ an k ; n → ∞ bn h (1-19)’ lim ∃ Định lí 4: Nếu dãy {an} hội tụ và n → ∞ an = a b) thì N sao cho ∀ an b) n>N lim lim ≤ ≤ Định lí 5: Nếu các dãy {an},{bn} hội tụ và n → ∞ an= n→ ∞ bn và nếu an cn bn thì dãy {cn} cũng hội tụ và hội tụ về cùng một giới hạn . lim lim lim n → ∞ an = n → ∞ bn = n → ∞ bn lim lim Định lí 6: Nếu dãy { an } hội tụ và n→ ∞ an =0 thì dãy {an} cũng hội tụ và n→ ∞ an = 0 §4. GIỚI HẠN HÀM SỐ
25 I. Các định nghĩa 1. Định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm ⊆ Xét hàm số f xác định trên tập X R, x0 là một điểm giới hạn của X. ε Định nghĩa 1: Số l được gọi là giới hạn của hàm số f khi x dần đến x0, nếu với mỗi >0, ∃ δ δ ε − ε ∈ − δ = ( )>0, sao cho f (x) l 0, ( )>0 sao cho: f (x) l với x x0 0  S(x)=Sign x =  0 x = 0   − 1 x x0 ) nếu với mỗi >0, ∃ ( )>0 sao cho: − < ε − δ ∈ f (x) l với x x0 < ∀ x X lim Kí hiệu: → + f(x) = l = f(xo + 0) (1-23) x x0 0 Khi x0 =0 thay cho 0 + 0 ta viết +0
26 3. Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận Giả sử hàm số f xác định trong một tập số thực X không bị chặn, x0 là điểm giới hạn của X. Định nghĩa 4: Ta gọi số l là giới hạn của hàm số f khi x → + ∞ nếu với mỗi ε >0 tồn tại số M > 0 lớn tùy ý sao cho : f (x) − l M lim → → ∞ Kí hiệu: x→ + ∞ f(x)=l hay f(x) l khi x + (1-24) 1 Thí dụ: lim =0 x→ + ∞ x 2 + 1 1 1 1 Thật vậy với ε >0 để − 0 = x2> x 2 + 1 x 2 + 1 ε 1 1 Đặt M= ta luôn có − 0 M ε x 2 + 1 Định nghĩa 5: Ta gọi số l là giới hạn của hàm số f khi x → - ∞ nếu với mỗi ε >0 tồn tại số M > 0 lớn tùy ý sao cho: f (x) − l A với mọi x ∈ X thõa mãn − δ ∞ → x x0 < (A) thì xem như quy ước ta nói rằng hàm số f có giới hạn + khi x x0 lim ∞ Kí hiệu: → f(x)= + (1-26) x x0 1 Thí dụ : lim = + ∞ x→ 1 (x − 1) 2 1 1 Ta có : (x-1)2< nếu 0< x − 1 < = δ A A Định nghĩa 7: Nếu với mỗi số dương A ∃ δ (A) sao cho f(x)<-A với mọi x ∈ X thỏa mãn − δ ∞ → x x0 < (A) thì xem như quy ước ta nói rằng hàm số f có giới hạn - khi x x0 lim ∞ Kí hiệu: → f(x) = - (1-27) x x0 Chú ý: ở đây khi x → ± ∞ ta cũng có thể viết : lim ∞ lim ∞ x→ + ∞ f(x)= + , x→ − ∞ f(x) = + lim ∞ lim ∞ x→ + ∞ f(x)= - , x→ − ∞ f(x) = - (1-28) II. Tính chất và phép toán của giới hạn hàm số 1. Tính chất của giới hạn hàm số Cho hàm số f(x) được xác định trong tập X ⊆ R và a là điểm giới hạn của X. Tính chất của giới hạn hàm số được thể hiện qua các định lí sau:
27 lim Định lý 1: Nếu x→ a f(x)=l và nếu A 0 (hoặc l 0 ( hoặc f(x) 0 thì l 0 f(x) l’ thì tồn tại một khoảng J chứa điểm a sao cho ∀ x ∈ J ∩ X và x ≠ a ta có f(x) > g(x) Định lí 4: Cho hai hàm số f và g cùng xác định trên tập X và f(x)> g(x) ∀ x ∈ X. Nếu lim lim ≥ x → a f(x) = l và x → a g(x) = l’ thì l l’ Định lý 5: Cho 3 hàm số f,g,h cùng xác định trên tập X và g(x) < f(x) <h(x) lim lim lim Nếu x → a g(x) = x → a h(x) = l thì x → a f(x) =l lim lim Định lý 6: Nếu x → a f(x) = l thì x → a f (x) = l (1-30) 2. Các phép toán Cho các hàm f(x),g(x) cùng xác định trên tập X ⊆ R Giả thiết rằng các hàm số này có giới hạn hữu hạn tại Q là điểm giới hạn của X. Khi đó chúng thõa mãn định lí sau: Định lí 7: lim lim lim 1, x → a [f(x)+g(x)] = x → a f(x) + x → a g(x) (1-31) lim lim lim 2, x → a [f(x)-g(x)] = x → a f(x) - x → a g(x) (1-32) lim lim lim 3, x → a [f(x).g(x)] = x → a f(x) . x → a g(x) (1-33) lim f (x) f (x) x→ a lim lim ≠ 4, x → a [ ] = nếu x → a g(x) 0 (1-34) g(x) lim g(x) x→ a Nhận xét: Định lí trên vẫn đúng cho trường hợp khi các hàm số f(x), g(x) có giới hạn bằng vô cùng. 3. Vô cùng bé –Vô cùng lớn – So sánh các vô cùng bé 3.1. Khái niệm vô cùng bé – Vô cùng lớn Định nghĩa 8: Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) được gọi là một đại lượng vô cùng → α α ∈ lim bé trong quá trình x ( [a,b]) nếu x→ α f(x)=0 (1-35) Nhận xét : Định nghĩa này cũng đúng cho quá trình x → ± ∞ áp dụng cho các khoảng (a,+ ∞ ) hay (- ∞ ,a)
28 Định nghĩa 9: Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) được gọi là đại lượng vô cùng lớn khi x → α ( α ∈ [a,b]) nếu với mỗi số M>0 lớn tùy ý cho trước , ∃ δ >0 sao cho với mọi x ∈ (a,b) thỏa mãn x − α < δ ta đều có : f (x) ≥ M (1-36) Nhận xét : lim ∞ lim ∞ → α + Nếu x→ α f(x) =+ hay x→ α f(x) = - thì f(x) là đại lượng vô cùng lớn khi x + Định nghĩa trên cũng đúng khi x → ± ∞ 3.2. Tính chất và phép toán Tính chất và phép toán đối với các đại lượng vô cùng lớn và đại lượng vô cùng bé được phát biểu bằng các mệnh đề như sau: 1. Tổng của hai đại lượng vô cùng bé là một vô cùng bé (xét trong cùng một quá trình) 2. Tích của một đại lượng vô cùng bé với một đại lượng bị chặn là một vô cùng bé. lim α α 3. Điều kiện cần và đủ để x→ α f(x)=A là luôn viết f(x)= A+ (x) trong đó (x) là vô cùng bé khi x → a 4. Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một vô cùng lớn 5. Tổng của một vô cùng lớn với một đại lượng bị chặn là một vô cùng lớn. 6. Nghịch đảo của một vô cùng bé α (x) ( α (x) ≠ 0)là một vô cùng lớn và ngược lại nghịch đảo một vô cùng lớn và là một vô cùng bé . Nhận xét : Từ mệnh đề 6 ta có thể nghiên cứu một trong hai đại lượng vô cùng lớn hoặc vô cùng bé, từ đó suy ra cho đại lượng kia bằng cách lấy nghịch đảo đại lượng nghiên cứu . 3.3. Phân loại các vô cùng bé Chúng ta xét các vô cùng bé α , β , γ , trong cùng một quá trình khi x → a (hoặc x → ± ∞ ) Định nghĩa 10: α β 1. Nếu là một vô cùng bé (hoặc ngược lại nếu là một vô cùng lớn) thì ta nói β là β α một vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé α (hay α là vô cùng bé bậc thấp hơn so với β ) Kí hiệu : β = o( α ) (đọc là ô nhỏ của α ) β α β lim ≠ α β 2. Nếu (hay ) có giới hạn khác 0 , tức là x→ α =A 0 thì ta nói , là hai đại α β α lượng vô cùng bé cùng bậc Kí hiệu: β = O( α ) hay α = O( β ) (đọc là ô lớn ) α lim α β α ≈ 3. Nếu đăc biệt x→ α β =1 thì ta nói và là hai vô cùng bé tương đuơng. Kí hiệu β hay β ≈ α (1-37)
29 0 Chú ý: Chúng ta có thể sử dụng định nghĩa vô cùng bé tương đương để khử dạng vô định khi 0 β tìm giới hạn thương của hai vô cùng bé α Thật vậy nếu α ≈ α , β ≈ β β β β α β α lim lim Khi đó = . . vì x→ α = 1 và x→ α = 1 α β α α β α β β lim lim Nên x→ α = x→ α (1-38) α α 1 Thí dụ: Biết rằng 1 + x -1 ≈ x và sin 2x ≈ 2x khi x → 0 2 1 lim 1 + x − 1 lim x 1 Nên → = → 2 = x 0 x 0 4 sin 2x 2x Để so sánh các vô cùng bé cũng như phân loại chúng, ta chọn một trong các vô cùng bé làm chuẩn và gọi là vô cùng bé cơ bản. Khi đó ta có thể biểu diễn các vô cùng bé còn lại qua vô cùng bé cơ bản . Giả sử α là vô cùng bé cơ bản thi các vô cùng bé khác có dạng c α k , c ∈ R, k ∈ R+. Định nghĩa 11: Nếu vô cùng bé β cùng bậc với c α k tức là β lim ≠ x→ α = c 0 (1-39) α k Thì ta nói β là vô cùng bé bậc k so với α và c α k là phần chính của vô cùng bé β . Thí dụ : α =x , β = 1 – cosx khi x → 0 Cho α là vô cùng bé cơ bản x 2.sin 2 1 − cos x 2 1 Khi đó lim = lim = x→ 0 2 x→ 0 x x 4.( ) 2 2 2 1 Nên phần chính của β (x) = 1- cos x là x2 2 §5. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ I. Các định nghĩa ∈ Định nghĩa 12: Cho hàm số y=f(x) xác định trong khoảng (a,b) và điểm x0 (a,b). Hàm số đó được gọi là một hàm số liên tục tại điểm x0 nếu:
30 lim → f(x) = f(x0) (1-40) x x0 Kí hiệu: ∆ y = f(x) - f(x0) số gia hàm số ∆ x = x - x0 số gia đối số Nếu f(x) liên tục tại x0 thì : lim ∆ lim ∆ y = 0 hay → y = 0 ∆ x→ 0 x x0 (1-41) Thí dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 0  1  x.sin x ≠ 0 f(x)=  x  0 x = 0 1 1 vì sin bị chặn bởi 1 nên lim x.sin = 0 = f(0). Vậy f(x) liên tục tại điểm x = 0. x x→ 0 x 0 Định nghĩa 13: Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b]. Hàm số f(x) được gọi là liên tục trái tại điểm b (hay liên tục phải tại điểm a) nếu: lim x→ b− 0 f(x) = f(b-0) = f(b) (1-42) lim x→ α + 0 f(x) = f(a+0) = f(a) (1-43) Hàm số liên tục trái hay phải tại điểm x0 được gọi là hàm số liên tục một phía tại điểm đó. Thí dụ: Xét tính liên tục một phía của hàm:  x 2 x ≥ 1 f(x)=  tại x0=1  3x + 1 x < 1 lim lim 2 Ta có x→ 1+ 0 f(x) = x→ 1+ 0 x = 1 = f(1) nên hàm số liên tục phải tại x0 = 1 lim lim ≠ x→ 1− 0 f(x) = x→ 1− 0 3x+1 = 4 f(1) nên hàm số không liên tục trái tại x0=1 Định lý 8: Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 là nó phải liên tục phải và liên tục trái tại điểm đó. Định nghĩa 14: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a,b] nếu nó liên tục trong khoảng (a,b) liên tục trái tại điẻm b và liên tục phải tại điểm a. Định nghĩa 15: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b). Hàm số này được gọi là hàm ∈ gián đoạn tại điểm x0 [a,b] nếu nó không liên tục (hay nó không liên tục một phía) tại điểm đó. Người ta chia gián đoạn cuả hàm số thành hai loại: a, Gián đoạn loại I: là gián đoạn tại điểm x0 nhưng tồn tại f(x0+0) và f(x0-0). ≠ Đặc biệt nếu f(x0+0) = f(x0-0) f(x0) thì hàm f(x) được gọi là gián đoạn khử được tại điểm x0. b, Gián đoạn loại II : là các gián đoạn còn lại của f(x) không thuộc gián đoạn loại I.   sin x x ≠ 0  Thí dụ: 1. Cho hàm f(x)= x =  0 x 0
31 sin x sin x Ta có: lim = lim = 1 ≠ 0 = f(0) x→ + 0 x x→ 1− 0 x Vậy hàm số gián đoạn loại I khử được. Nếu thay f(0) = 1 thì hàm trở thành liên tục tại x = 0.  1 x > 0  2. Cho hàm dấu sign x =  0 x = 0   − 1 x 0 (hay f(a) 0 (hay f(x) 0 và f(b)<0.
32 a + b Bước 1 : Chia đoạn [a,b] thành 2 phần bằng nhau bởi điểm chia . 2 a + b a + b Nếu f( ) = 0 thì c = và định lý được chứng minh. 2 2 a + b a + b a + b Nếu f( ) ≠ 0 tức f( ) 0 2 2 2 a + b Ta chọn đoạn [a1,b1] sao cho trên đoạn này f(a1).f(b1) < 0 với a1,b1 là điểm ( 2 ) và một trong 2 điểm a hoặc b. + a1 b1 Bước 2: Áp dụng cách làm như bước 1 đối với đoạn [a1,b1] nếu f( )=0 ta xác định 2 được c và định lý được chứng minh . a + b 1 1 ≠ Nếu f( ) 0 ta thực hiện chọn đoạn [a2,b2] để f(a2).f(b2)<0 2 Bằng cách tiến hành như vậy ta lập được dãy con đoạn [an,bn] với f(an).f(bn)<0 lim − lim lim ∈ Vì n→ ∞ (bn an )= 0 nên n→ ∞ an = n→ ∞ bn = c, c [a,b] lim lim Ta luôn có x→ C + 0 f(x) khác dấu x→ C − 0 f(x) nhưng vì f(x) liên tục trên [a,b] nên liên tục tại c. Vậy f(c)=0. Định lý được chứng minh. Định lí 15: (Định lý Bônxanô – cosi thứ hai) Nếu hàm số f(c) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a)=A , f(b)=B thì hàm số đó sẽ nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B. Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó. Chú ý: Nếu chỉ giả thiết hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) thì các định lý từ 13 đến 15 sẽ không còn đúng nữa. 1 Thí dụ: Hàm số f(x)= liên tục trong khoảng (0,1) nhưng không bị chặn trên khoảng đó. x Định lý 16: Mỗi hàm sơ cấp đơn giản liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
33 Chương 2 Đạo hàm và vi phân §1. ĐẠO HÀM I. Hai bài toán dẫn đến đạo hàm 1. Bài toán thứ nhất: Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng Xét chất điểm chuyển động thẳng theo quy luật cho bởi biểu thức: S = S(t) (2-1) S - quãng đường đi được của chất điểm trong quãng thời gian t t - thời gian Ta cần xác định vận tốc v của chất điểm a)Nếu chất điểm chuyển động đều thì: S(t ) − S(t ) v = 2 1 − (2-2) t 2 t1 b)Nếu chất điểm chuyển động không đều thì công thức (2-2) chỉ cho chúng ta vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian [t1 , t 2 ]. Vậy muốn biểu thị vận tốc của chất điểm tại thời điểm t ta cần: 1-Định nghĩa vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động thẳng 2-Tính vận tốc tức thời đó Ta nhận thấy rằng nếu khoảng thời gian t − to càng bé thì: S(t) − S(t ) v = o t − (2-3) t t o Cho ta biểu thức càng chính xác về vận tốc tại điểm to. Do đó vận tốc tức thời của chuyển động thẳng S = S(t) tại thời điểm to được xem là giới hạn S(t) − S(t ) o = lim v t (2-4) t → t − 0 0 t t o Kí hiệu: ∆f = S(t) - S(to) = ∆S ∆t = t – to Công thức (2-4) được viết lại: ∆ s lim (2-5) ∆ t→ 0 ∆ t 2. Bài toán thứ hai: Tỉ khối địa phương của thanh không đồng chất
34 Xét thanh thẳng AB có thiết diện không đổi. Tỉ khối trung bình của thanh là tỉ số d giữa khối lượng và chiều dài của thanh. a)Nếu thanh đồng chất thì d là hằng số. b)Nếu thanh không đồng chất thì d là một hàm số theo tọa độ của trục thanh. Như vậy để xác định được tỉ khối địa phương chúng ta cần: 1-Định nghĩa tỉ khối địa phương theo tọa độ trục thanh 2-Xác định giá trị của tỉ khối đó Cụ thể: chọn trục thanh là trục tọa độ xx’. Lấy một đầu mút (chẳng hạn mút A) làm gốc O. Khi đó chiều dài AB = l là dương. Xem các điểm của thanh trên một thiết diện là giống nhau (thực tế có sự sai khác), khi đó mỗi điểm trên thanh sẽ hoàn toàn xác định bởi hoành độ của điểm đó. Gọi m là khối lượng của đoạn thanh OM (OM = x) thì m = m(x) = f(x). Xét tỉ khối trung bình của một mẫu thanh dài (x – xo) xác định bởi: − f (x) f (x o ) − (2-6) x x o Nếu chiều dài mẫu càng bé thì (2-6) cho ta độ chính xác càng cao của sự phân bố vật chất xung quanh điểm xo. Ta có định nghĩa: f (x) − f (x ) Ta xem giới hạn lim o là tỉ khối địa phương của thanh thẳng tiết diện đều AB x→ 0 − x x o tại điểm xo. (2-7) Kí hiệu ∆f = f(x) – f(xo) ∆x = x- xo Công thức (2-7) được viết lại: ∆ f ∆ f lim = lim (2-8) ∆ → → x 0 ∆ x x x0 ∆ x 3. Kết luận: Để xác định vận tốc tức thời vt của chuyển động thẳng đều hay tỉ khối địa phương của thanh đồng tiết diện đều, ta đều dẫn đến bài toán tìm giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia đối số khi số gia đối số tiến đến không Từ hai bài toán trên ta dẫn đến khái niệm đạo hàm của hàm số. II. Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến số Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trong khoảng (a,b) và xo∈(a,b) tùy ý. Với số gia ∆x sao cho xo + ∆x ∈ (a,b) ta lập tỉ số ∆ f f (x + ∆ x) − f (x ) = o o (2-9) ∆ x ∆ x ∆ f Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim = A thì số A được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại ∆ x→ 0 ∆ x điểm x = xo. f (x + ∆ x) − f (x ) ∆ o o = f Kí hiệu f’(xo) = A = lim lim (2-10) ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆ x Rõ ràng khi xo thay đổi, giá trị của f’(xo) cũng thay đổi tức đạo hàm f’ của hàm số f(x) cũng là một hàm số.
35 Gọi f’- đạo hàm của hàm số f f’(xo) - giá trị đạo hàm của hàm số f tại điểm xo Kí hiệu f’(xo) = [f(x)]’|x=xo = f’(x)|xo (2-11) III. Ý nghĩa hình học của đạo hàm 1.Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong (C) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C). Lấy điểm cố định M∈(C), M(x,y) và điểm M’ M1 chạy trên (C). f(x)+∆x Dựng cát tuyến MM1. Khi M1 chạy trên f(x+∆x) (C) MM1 sẽ quay xung quanh điểm M. T ϕ Vị trí giới hạn của cát tuyến MM1 khi M1 tiến đến M dọc theo (C) là tiếp tuyến của đường M α cong (C) tại M. Kí hiệu MT f(x) M1 H.22 2.Ý nghĩa hình học của đạo hàm O x x+∆x Giả sử đường cong (C) là đồ thị của hàm số y = f(x). Giả thiết hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x. M1 có tọa độ là (x + ∆x, f(x + ∆x)). ϕ - góc giữa cát tuyến MM1 với chiều dương Ox. α - góc giữa tiếp tuyến MT với chiều dương Ox. Theo định nghĩa tiếp tuyến ta có: α = lim ϕ tgα = lim tgϕ → hay → M1 M M1 M M H f (x + ∆ x) − f (x) ∆ f Ta có tgϕ = 1 = = (2-12) MH (x + ∆ x) − x ∆ x ∆ f ∆ f Hay tgα = lim = lim (2-13) → M M1 ∆ x M1→ M ∆ x Theo định nghĩa vế phải của (2-13) chính là đạo hàm f’(x). Vế trái của (2-13) là hệ số góc của tiếp tuyến MT của đường cong (C) tại M. Vậy đạo hàm của hàm số f(x) tại x có giá trị bằng hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm đó. Đây chính là ý nghĩa hình học của đạo hàm. IV. Các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm Ta có thể thực hiện lấy đạo hàm của một lớp khá rộng các hàm số bằng cách kết hợp việc thiết lập các quy tắc cơ bản lấy đạo hàm tổng quát với việc tìm đạo hàm của các số riêng biệt.
36 Định lý 1: Cho hàm số f và g xác định trong khoảng (a,b) và có đạo hàm tại điểm xo∈(a,b), f (x) khi đó f ± g, kf (với k là số thực bất kì) f.g và (g(x) ≠ 0 với ∀x ∈ (a,b)) cũng có đạo hàm tại g(x) điểm xo và ta có: 1-(f ± g)’(xo) = f’(xo) ± g’(xo) (2-14) 2-(k.f)’(xo) = k.f’(xo) (2-15) 3-(f.g)’(xo) = f’(xo).g(xo) + f(xo).g’(xo) (2-16) f '(x ).g(x ) − f (x ).g'(x ) f = o o o o 4-( )'(x o ) 2 (2-17) g g (x o ) Chứmg minh: (f ± g)(x + h) − (f ± g)(x ) f (x + h) ± g(x + h) − [f (x ) ± g(x )] 1-Ta có: o o = o o o o h h [f (x + h) − f (x )] ± [g(x + h) − g(x )] [f (x + h) − f (x )] g(x + h) − g(x ) = o o o o = o o ± o o h h h Chuyển qua giới hạn ta nhận được kết quả (2-14) Thí dụ: 1.Tính đạo hàm của hàm số hằng y = c ∆y ≡ 0 ∀x → y’(x) ≡ 0 2.Tính đạo hàm của hàm đồng nhất y = x ∆ y Do ∆y = ∆x nên = 1 ⇒ (x)’=1 ∆ x 3.Tính đạo hàm của hàm lũy thừa y=xn, n ∈ N+ Cho số gia ∆x. Khi đó: n(n − 2) ∆y = (x + ∆x)n - xn = nxn-1∆x + xn-2∆x2 + + ∆xn 2! ∆ y n(n − 2) = nxn-1 + xn-2∆x + + ∆xn-1 ∆ x 2! Chuyển qua giới hạn khi ∆x → 0 ta nhận được (xn)’ = n.xn-1 4.Định nghĩa các đạo hàm một phía Giả sử hàm số f(x) xác định với mọi xo ≤ x ≤ b٭ f (x + h) − f (x ) Nếu tồn tại lim o o thì ta nói rằng hàm số f có đạo hàm bên phải tại điểm h→ + 0 h xo. Kí hiệu f’(+xo) hay f’(xo+0) Giả sử hàm số f(x) xác định với mọi a ≤ x ≤ xo٭ + − f (x o h) f (x o ) Nếu tồn tại lim thì ta nói rằng f có đạo hàm bên trái tại điểm xo. h→ − 0 h Kí hiệu f’(−xo) hay f’(xo−0)
37 Hàm số f(x) nếu có đạo hàm tại điểm xo thì nó có các đạo hàm bên trái và đạo hàm bên٭ phải tại điểm xo. Điều khẳng định ngược lại là không hẳn đúng. Thí dụ: hàm số y = |x| có đạo hàm trái tại (x’)(-o) = −1 và (x’)(+o) = 1. Nó không có đạo hàm tại xo = 0. .Các đạo hàm bên trái và bên phải điểm xo, gọi chung là các đạo hàm một phía٭ kf (x + h) − kf (x ) f (x + h) − f (x ) h→ 0 2-Ta có o o = k. o o → k.f ' (x ) h h o (f.g)(x + h) − (f.g)(x ) f (x + h).g(x + h) − f (x ).g(x ) 3-Ta có o o = o o o o h h f (x + h).g(x + h) − f (x ).g(x + h) + f (x ).g(x + h) − f (x ).g(x ) = o o o o o o o o h [f (x + h) − f (x )].g(x + h) [g(x + h) − g(x )] = o o o + f (x ) o o h o h qua giới hạn ta nhận được (2-16) 4-Để chứng minh ta chỉ cần xét trường hợp khi f(x) ≡ 1 g(x + h) − g(x ) 1 − 1 = − o o Ta có + + chia cho h và qua giới hạn ta có: g(x o h) g(x o ) g(x o )g(x o h) '   g ' (x )  1  = − o   (x o )  g  g(x o )  1  Thực hiện tiếp theo cho hàm  f ⋅  (x ) kết hợp với 3 ta nhận được (2-17).  g  o Định lý 2: (Đạo hàm của hàm số hợp) Nếu hàm y = f(x) có đạo hàm tại x = xo và z = g(y) xác định trong khoảng chứa điểm yo=f(xo) có đạo hàm tại y = yo thì hàm hơp z = gof(x) có đạo hàm tại điểm xo và ta có: z’(xo) = g’(yo)f’(xo) (2-18) Chứng minh: Theo định nghĩa đạo hàm ta có: y – yo = f(x) − f(xo) = (x − xo)[f’(xo) + ε(x)] trong đó ε(x) → 0 khi x → xo và g(y) − g(yo) = (y − yo)[g’(yo) + δ(y)] trong đó δ(y) → 0 khi y → yo Nên z(x) − z(xo) = g[f(x)] − g[f(xo)] = g(y) − g(yo) = (y − yo)[g’(yo) + δ(y)] = (x − xo)[f’(xo) + ε(x)][g’(yo) + δ(y)] Khi x → xo thì ε(x) → 0, theo tính liên tục của f(x) tại xo ta cũng có y → yo và do đó δ(y)→0. z(x) − z(x ) o ε δ Do đó: − = [f’(xo) + (x)][g’(xo) + (y)] x x o Chuyển qua giới hạn ta nhận được (2-18). Định lý 3: (Đạo hàm của hàm số ngược)
38 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục và tăng nghiêm ngặt trong khoảng (a,b) và giả thiết rằng x=ϕ (y) là hàm ngược xác định trong lân cận của điểm y = yo = f(xo) (xo ∈ (a,b)). Khi đó nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = xo và f’(xo) ≠ 0 thì hàm số x = ϕ(y) có đạo hàm tại y = yo và ta có: ϕ = 1 '(yo ) (2-19) f '(x o ) Chứng minh: ϕ − ϕ (y) (yo ) Theo định nghĩa đạo hàm ta xét tỉ số − y yo Ta có: ϕ(y) = x, ϕ(yo) = xo, y = f(x), yo = f(xo) nên: ϕ (y) − ϕ (y ) x − x o = o = 1 − − − y yo f (x) f (x o ) f (x) f (x o ) − x x o Vì y − yo ≠ 0, x − xo ≠ 0 và giả thiết tồn tại f’(xo), chuyển qua giới hạn ta nhận được (2-19). V. Sự liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại xo thì nó liên tục tại xo. Thật vậy vì f có đạo hàm tại xo nên ∆f = [f’(xo) + α(x)]∆x với α(x) → 0 khi x → xo. Hơn nữa khi x → xo, ∆f → 0. Tức là f liên tục tại xo. Điều khẳng định ngược lại không hẳn đúng. Thí dụ: Xét hàm f(x) = |x| Hàm này liên tục tại x = 0, nhưng không tồn tại f’ tại x = 0. VI. Đạo hàm cấp cao Cho hàm số f(x) xác định, liên tục trong khoảng (a,b). Giả sử f(x) có đạo hàm tại ∀x∈(a,b), khi đó đạo hàm f’ cũng là một hàm số xác định và liên tục trong khoảng (a,b). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm tại xo ∈ (a,b) thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm cấp hai của hàm số f tại điểm xo. Kí hiệu f”(xo). Tiếp tục theo cách suy diễn như vậy ta có thể định nghĩa đạo hàm cấp n. Định nghĩa đạo hàm cấp cao: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) và f(x) được gọi là có đạo hàm cấp n tại xo∈ (a,b) nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp (n−1) trong (a,b) và hàm số đạo hàm cấp (n−1) có đạo hàm tại điểm xo. (n) (n−1) Kí hiệu f (xo) = [f (x)]’|x=xo VII. Đạo hàm các hàm sơ cấp 1.Đạo hàm của hàm số logarit và hàm số mũ Xét hàm số logarit y = logax với a>0, a≠1 và xo>0 log (x + h) − log x  x + h    a o a o = 1  o  = 1  + h  Ta có: .loga   loga  1  h h  x o  h  x o 
39 x o → 1 x  h  1  x  h x o h 1 = o  +  =  + o  → khi h→0 . .log a  1  .log a 1 .log a e x o h  x o  x o  h  x o 1 Vậy (log x)’ = .log e (2-21) a x a Đặc biệt nếu a = e công thức (1-21) được viết lại 1 (lnx)’= (2-21)’ x Nếu x 0 Ta biểu diễn hàm y dưới dạng y = eαlnx và thực hiện lấy đạo hàm của hàm số này theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp. 1 x α Ta có: y’(x) = eαlnx.(αlnx)’ = α. .eαlnx = α. = αxα−1 (1-23) x x Đặc biệt khi α ∈ N+ ta trở lại công thức: (xn)’ = nxn−1 (1-24) Công thức (1-23) vẫn đúng trong trường hợp x 0 nên áp dụng (2-23) ta có: y’ = (−1)α+1.α(−x)α−1 = αxα−1 3.Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược a)y = sinx ∆ x ∆ x ∆ x sin 2sin(x + ) sin 2 ∆ x Xét: ∆ y sin(x + ∆ x) − sin x 2 2 = .cos(x + ) = = ∆ x 2 ∆ x ∆ x ∆ x 2 Chuyển qua giới hạn (sinx)’ = cosx (1-25) b)y = cosx
40 ∆ x ∆ x ∆ x sin − 2sin(x + )sin 2 ∆ x Xét: ∆ y cos(x + ∆ x) − cos x 2 2 = − .sin(x + ) = = ∆ x 2 ∆ x ∆ x ∆ x 2 Chuyển qua giới hạn (cosx)’ = −sinx (1-26) c)y = tgx sin x Ta viết: y = tgx = cos x + ∆ sin(x x) − sin x ∆ + ∆ − + ∆ y = tg(x x) tgx = cos(x x) cos x ∆ x ∆ x ∆ x sin(x + ∆ x).cos x − cos(x + ∆ x).sin x sin ∆ x 1 = = . ∆ x.cos x.cos(x + ∆ x) ∆ x cos x.cos(x + ∆ x) 1 Chuyển qua giới hạn (tgx)’ = (1-27) cos2 x d)y = cotgx Thực hiện tương tự như cách làm đối với tính đạo hàm của tgx ta có 1 (cotgx)’ = − (1-28) sin 2 x − π π e)y = arcsinx với x = sinx, ≤ y ≤ 2 2 Theo quy tắc lấy đạo hàm của hàm số ngược 1 1 (arcsinx)' = = ( sin y)' cos y − π π Vì y ∈ ( , ) nên cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 , do đó: 2 2 1 ( arcsin x)' = 1 − x 2 f)Tương tự ta nhận được công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác ngược còn lại − 1 ( arccosx )' = 1 − x 2 1 ( arctgx)' = 1 + x 2 − 1 ( arccotgx)' = 1 + x 2 g)Đạo hàm các hàm Hypecbollic e x − e − x = y = shx٭ 2
41 1 − 1 − (shx)’ = (e x − e x )' = (ex − e x ) = chx (2-33) 2 2 :Tương tự ta nhận được công thức tính đạo hàm của٭ (chx)’ = shx (2-34) §2. VI PHÂN I. Định nghĩa vi phân Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x ∈ (a,b) ∆ y Tức tồn tại y’ = f’(x) = lim ∆ x→ 0 ∆ x ∆ y f (x + ∆ x) − f (x) Lập = y' = − f '(x) = α (∆ x) (2-35) ∆ x ∆ x với α(∆x) là vô cùng bé khi ∆x → 0. Do đó α.∆x là vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x. Từ (2− 35) ta nhận được: ∆y = f(x+∆x) − f(x) = f’(x).∆x + α.∆x = f’(x).∆x + O(∆x) (2-36) Vì f’(x) tại mỗi x nhận giá trị bằng số và không phụ thuộc ∆x, nên f(x).∆x là một đại lượng tỉ lệ với ∆x. Ta có Nhận xét: ,(Nếu y = f(x) có đạo hàm tại điểm x thì tại đó số gia ∆y có thể biểu diển dưới dạng (1−36٭ tức nó được phân tích thành tổng của một đại lượng tỉ lệ với ∆x và một vô cùng bé bậc cao so với ∆x (Khi ∆x → 0). Đảo lại nếu số gia ∆y tại điểm x của hàm số y = f(x) có thể biểu diễn dưới dạng٭ ∆y = f(x + ∆x) − f(x) = A.∆x + O(∆x) (2-37) Ở đây A không phụ thuộc ∆x, thì hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x. ∆ y Từ (1-37) ta có: = A + O(1) với O(1) → 0 khi ∆x→0 ∆ x Vậy ra y’ = f’(x) = A Như vậy điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có thể phân tích số gia ∆y của nó thành tổng dạng (2-36) là f(x) phải có đạo hàm f’(x) tại x. Số hạng thứ nhất f’(x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) và được kí hiệu là dy. dy = f’(x).∆x (2-38) Xét hàm đồng nhất y = x. Do y’(x) ≡ 1 nên: dy = dx = ∆x. Ta quy ước dx ≡ ∆x (vi phân của biến số x đồng nhất với số gia), nên công thức (2-38) được viết lại: dy = f’(x).dx (2-39)
42 Hàm số f(x) có vi phân tại xo được gọi là hàm khả vi tại điểm đó II. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng Nhận xét: Theo biểu diễn (1-37) ∆y = f’(x)∆x + O(∆x). Khi ∆x khá bé ta thấy f’(x)∆x xấp xỉ số gia ∆y của hàm. Nếu f’(x) ≠ 0 thì f’(x)∆x là phần chính tuyến tính của số gia ∆y. Như vậy nếu biết được giá trị của hàm tại điểm xo nào đó ta có thể tính được giá trị gần đúng của hàm trong lân cận điểm này với độ chính xác tùy ý tùy thuộc vào việc chọn số gia đối số ∆x. Giá trị gần đúng xấp xỉ vi phân của hàm tại xo cộng với giá trị của hàm tại điểm đó (f’(xo) ≠0). Ta có công thức: f(x) ≈ f(xo) + f’(xo).∆x (2-40) Thí dụ: 1.Tính giá trị gần đúng của 3 28 3 Ta xét hàm f(x) = x và xo = 27, ∆x = 1 Áp dụng công thức (2-40) , ta có: − 1 1 1 82  1  1 f(28) = 3 28 ≈ f (27) + f '(27).1 = 3 + . = 3 + = = 3 27 +  3 27  3 9 27 27  3  2.Tính giá trị gần đúng của sin46o π π Ta xét hàm y = sinx và x = 45o = , ∆ = o 4 180 Áp dụng công thức (2-40), ta có: π o o o 2 2 π 2 π 2(π + 180) sin 46 ≈ sin 45 + sin 45 . = + . = (1 + ) = 180 2 2 180o 2 180 360 III. Tính bất biến của dạng biểu thức vi phân Giả sử y = f(x) và x = ϕ(t) là các hàm số khả vi tại xo và tại to, với xo = ϕ(to) và giả sử rằng ta thiết lập được hàm hợp y = f[ϕ(t)]. Khi đó ta có: dy = df = (f(ϕ(t)))’.dt = f’(x).x’(t).dt = f’(x).dx Ta nhận thấy dù x là biến độc lập hay x là hàm khả vi của một biến độc lập khác thì dạng vi phân cấp 1 của nó vẫn không thay đổi. Đây chính là tính bất biến dạng của biểu thức vi phân. IV. Vi phân cấp cao Giả sử hàm số y = f(x) khả vi trong (a,b). Vi phân dy = f’(x)dx được gọi là vi phân cấp 1 của hàm y = f(x) tại x ∈ (a,b). Nếu hàm số đạo hàm f’(x) cũng có đạo hàm tại x, lấy vi phân của hàm dy = f’(x)dx trong đó xem dx = ∆x là không đổi. Biểu thức nhận được, gọi là vi phân cấp 2 của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu d2f = d2y. d2f = d2y = d[dy] = d[f’(x)dx] = f”(x)dx2 dy2 = f”(x)dx2 (2-41) Tương tự chúng ta thiết lập được công thức của các vi phân cấp 3, 4, , n của hàm số f(x). Biểu thức tổng quát được cho dưới dạng: dny = f(n)(x).dxn (2-42) Thí dụ: Xét hàm số y = f(x) = 8x4 + 3x2 + 5x + 2
43 dy = (32x3 + 6x + 5)dx d2y = (96x2 + 6)dx2 Chương 3 Tích phân không xác định §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT I. Định nghĩa nguyên hàm của hàm số Định nghĩa 1: Ta nói rằng hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trong một khoảng nào đó (hữu hạn hoặc vô hạn), nếu tại mỗi điểm khoảng này dF(x) = f (x) (3-1) dx Thí dụ: 1. F(x) = sinx là nguyên hàm của f(x) = cosx. = − x 2. F(x) = 1 − x 2 là nguyên hàm của hàm số f (x) với -1 < x < 1 1 − x 2 Người ta còn gọi nguyên hàm của một hàm số là tích phân không xác định của hàm số đó, kí hiệu ∫ f (x)dx . d(F(x) + C) dF(x) Mặt khác = = f (x) (3-2) dx dx nên F(x) +C với C∈ R là hằng số tùy ý cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x). Nên ta có: ∫ f (x)dx = F(x) + C (3-3) Nếu nói F(x) là tích phân không xác định của hàm f(x) thì phải hiểu đó là tích phân được lấy trên miền mà hàm số xác định. II. Các tính chất của tích phân không xác định Giả sử trong khoảng (a,b) các hàm F(x) và φ(x) là nguyên hàm của các hàm f(x) và ϕ(x). Khi đó: Các hàm [f(x) ± ϕ(x)] cũng có nguyên hàm và ∫ [f (x) ± ϕ (x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ ϕ (x)dx = F(x) ± φ (x) + C (3-4)
44 Với số k ∈ R, k.f(x) cũng có nguyên hàm và ∫ k.f (x)dx = k.∫ f (x)dx = k.F(x) + C (3-5) III. Các công thức cơ bản của tích phân không xác định 1. ∫ dx = x + C 1 + 2. ∫ x n dx = x n 1 + C với n ≠ −1 n + 1 dx 3. ∫ = ln x + C x 1 4. ∫ a x dx = .a x + C với a > 0, a ≠ 1 ln a 5. ∫ e x dx = e x + C 6. ∫ sin xdx = − cos x + C 7. ∫ cos xdx = sin x + C dx 8. ∫ = arcsin x + C = − arccosx + C 1 − x 2 dx 9. ∫ = arctgx + C = − arccot gx + C 1 + x 2 Để lấy tích phân của hàm f(x) ta sẽ phân tích f(x) thành biểu thức là tổ hợp của các hàm cơ bản mà các hàm đó công thức lấy tích phân đã được biết. Khi đó dựa vào các tính chất của tích phân không xác định ta hoàn toàn lấy được tích phân của hàm f(x) đã cho. §2. CÁC PHƯƠNG PHÁP LẤY TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH Để lấy tích phân của hàm f(x) ta phải biến đổi f(x) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng mới sẽ thực hiện được việc lấy tích phân thông qua các công thức lấy tích phân của các hàm cơ bản. Ta có hai phương pháp cơ bản lấy tích phân không xác định sau: I. Phương pháp thế Giả sử trong khoảng (a,b) ta có: ∫ f (x)dx = F(x) + C (3-6) x = ϕ(t) liên tục cùng với đạo hàm cấp một của nó trong đoạn [α,β] và a ≤ ϕ(t) ≤ b ∀t∈ [α,β]. Khi đó hàm F được xem là hàm hợp F(ϕ(t)) xác định trên [α,β]. Ta có: dF(ϕ (t)) = F'(ϕ (t)).ϕ '(t) (3-7) dt
45 dF(ϕ (t)) Vì F’(x) = f(x) nên viết lại (3-7) = f (ϕ (t)).ϕ '(t) dt Hay ∫ f (ϕ (t))ϕ '(t)dt = F[ϕ (t)] (3-8) So sánh (3-6) và (3-8) ta thấy rằng có thể việc lấy tích phân theo (3-8) là thực hiện được. Sau khi lấy được tích phân theo t, trở về biến cũ x ta có được biểu thức tích phân không xác định F(x) cần tính. Như vậy thực chất của phép đổi biến số là ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx theo biến mới theo phép thế x = ϕ(t), dx = ϕ’(t)dt và thực hiện tích phân theo t ∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ (t)).ϕ '(t)dt Thí dụ: 1.Tính ∫ (a + bx) n dx n ≠1, b ≠ 0 dt Thế a+bx = t ⇒ bdx = dt ⇒ dx = b t x 1 1 1 + 1 1 + ∫ (a + bx) n dx = ∫ t n dt = . t n 1 + C = . (a + bx) n 1 + C b b n + 1 b n + 1 Khi n = −1 ta có: dx t 1 dt 1 x 1 ∫ = ∫ = ln t + C = ln a + bx + C a + bx b t b b dx 2.Tính ∫ a > 0 và a > x2 a − x 2 Thế x = at, dx = adt dx t adt dt x x ∫ = ∫ = ∫ = arcsin t + C = arcsin + C a − x 2 a − at 2 1 − t 2 a Nếu trao đổi vai trò của x và t trong công thức (3-8) ta nhận được: ∫ f (ϕ (x)).ϕ '(x)dx = ∫ f (t)dt = F(t) + C (3-9) Đây là dạng chúng ta thường hay gặp. Thí dụ: 2x + 1 1. Tính ∫ dx x 2 + x + 1 Dễ thấy d(x2 + x +1) = (2x + 1)dx Thế x2 + x + 1 = t 2x + 1 t dt x ∫ dx = ∫ = ln t + C = ln x 2 + x + 1 + C x 2 + x + 1 t 2.Tính ∫ (a + bx 2 ) n .xdx b ≠ 0, n ≠ −1 1 Thế a + bx2 = t, xdx = dt 2b
46 t x 1 1 1 + 1 1 + ∫ (a + bx 2 )xdx = .∫ t n .dt = . .t n 1 + C = . (a + b 2 ) n 1 + C 2b 2b n + 1 2b n + 1 dx 3.Tính ∫ x 2 + a   2  x  Thế x + a + x = t ⇒  + 1 dx = dt  a + x 2  x + a + x 2 dx dt dx = dt ⇒ = a + x 2 a + x 2 t t x dx dt 2 ∫ = ∫ = ln t + C = ln x + a + x + C (3-10) x 2 + a t 4.Tính ∫ sin n x cos xdx dsinx = cosxdx. Thế sinx = t t x 1 + 1 + ∫ sin n x cos xdx = ∫ t n dt = .t n 1 + C = sin n 1 x + C n + 1 n + 1 xdx 5.Tính ∫ n ≠ 1 (x 2 + 1)n Thế x2+1 = t t x 1 1 xdx = 1 dt = − 1 ⋅ 1 + = − ⋅ + ∫ ∫ − C n − 1 C (x 2 + 1)n 2 t n 2(n − 1) t n 1 2(n − 1) ( x 2 + 1) II. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử các hàm u(x) và v(x) liên tục và có đạo hàm trong khoảng (a,b). Khi đó u(x).v(v) cũng liên tục và có đạo hàm trong khoảng đó. Ta có: d[u(x).v(x)] = du(x).v(x) + u(x).dv(x) ∫ d[ u(x).v(x)] = ∫ [ u(x)dv(x) + v(x)du(x)] u(x).v(x) = ∫ u(x)dv(x) + ∫ v(x)du(x) Ta suy ra: ∫ u(x)dv(x) = u(x).v(x) − ∫ v(x)du(x) (3-11) ∫ v(x)du(x) = u(x).v(x) − ∫ u(x)dv(x) (3-12) Các công thức (3-10),(3-11) cho phép chúng ta chuyển việc tính ∫ u(x)dv(x) về việc tính ∫ v(x)du(x) (hay ngược lại) mà đối với tích phân sau ta thực hiện việc lấy tích phân một cách dễ dàng hơn. Đặc biệt những tích phân dạng ∫ x k ln m xdx , ∫ x k eax dx , ∫ x k sin bxdx , ∫ x k cos bxdx thường dùng quy tắc này. Thí dụ: 1.Tính ∫ xe x dx Đặt u(x) = x ⇒ du(x) = dx
47 dv(x) = exdx ⇒ v(x) = ex ∫ xe x dx = x.e x − ∫ e x dx = x − x + x.e e C 2.Tính ∫ ln xdx 1 Đặt u(x) = lnx ⇒ du(x) = dx x dv(x) = dx ⇒ v(x) = x ∫ ln xdx = x.ln x − ∫ dx = x ln x − x + C (3-13) Từ các ví dụ ta bổ sung các công thức (3-10), (3-13) vào bảng các công thức tích phân cơ bản. §3. CÁC CÔNG THỨC TRUY HỒI Trong quá trình lấy tích phân ta thường hay gặp một số dạng hàm dưới dấu tích phân là luỹ thừa bậc n của một hàm nào đó với n ∈ N. Ta đưa ra một số các công thức truy hồi sau: = n 1. I n ∫ sin xdx n ≠ 0 cos x sin n − 1 x n − 1 I = − + I − (3-14) n n n n 2 = n 2. I n ∫ cos xdx n ≠ 0 sin x cos n − 1 x n − 1 I = + I − (3-15) n n n n 2 dx 3. I = ∫ n ≠ 1 n cosn x − = sin x + n 2 I n − In − 2 (3-16) ( n − 1) cos n 1 x n − 1 = dx 4. I n ∫ n n ≠ 1 ( x 2 + 1) − = x + 2n 3 I n n − 1 I n − 1 (3-17) ( 2n − 2)( x 2 + 1) 2n − 2 Việc chứng minh các công thức (3-14), (3-15), (3-16), (3-17) được thực hiện bằng phương pháp tích phân từng phần. Sau đây ta sẽ chứng minh các công thức (3-14) và (3-17). = n •Xét I n ∫ sin xdx Ta có: sin n x = sin n − 2 x.sin 2 x = sin x n − 2 (1 − cos2 x ) = n = n − 2 − 2 = − n − 2 2 I n ∫ sin xdx ∫ sin x(1 cos x)dx I n − 2 ∫ sin cos xdx − − Tính ∫ sin n 2 x cos 2 xdx = ∫ cos x sin n 2 xdsin x Đặt u = cosx ⇒ du = −sinxdx
48 1 dv = sin n-2 xdsinx ⇒ v = sin n-1x n -1 n − 1 − 1 − 1 cos x sin x 1 Vậy ∫ sin n 2 x cos 2 xdx = cos x.sin n 1 x + ∫ sin n xdx = + I n − 1 n − 1 n − 1 n − 1 n Thế vào biểu thức In ta được: cos x sin n − 1 x 1 I = I − − + I n n 2 n − 1 n − 1 n cos x sin n − 1 x n − 1 ⇒ I = − + I − . Điều phải chứng minh. n n n n 2 = dx •Xét I n ∫ n ( x 2 + 1) = 1 ⇒ = − 2nxdx Thực hiện tích phân từng phần với u n du n + 1 ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) dv = dx ⇒ v = x dx x 2n.x 2dx x dx dx = = + = + 2n − 2n I n ∫ n n ∫ n + 1 n ∫ n ∫ n + 1 ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ( x 2 + 1) ⇒ = x + − I n 2nIn 2nI n + 1 ( x 2 + 1) − ⇒ = x + 2n 1 I n + 1 n I n 2n( x 2 + 1) 2n Trong công thức trên nếu thay n bởi n−1 ta nhận được − = x + 2n 3 I n n − 1 I n − 1 . Điều phải chứng minh ( 2n − 2)( x 2 + 1) 2n − 2 §4. TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ P( x ) Xét hàm hữu tỉ R(x) = Q( x) Ở đây P(x),Q(x) là các đa thức bậc m, n. Nếu m > n, R(x) gọi là một hàm phân thức không thực sự m < n, R(x) gọi là một hàm phân thức thực sự. Bằng phép chia đa thức ta luôn đưa R(x) về dạng tổng của một đa thức với một hàm phân thức thực sự. P( x ) Xét R(x) = là phân thức thực sự thì ta luôn có thể phân tích nó thành tổng của các Q( x) phân thức cơ bản với các tích phân của các phân thức cơ bản có các dạng sau:
49 A A 1. ∫ dx 2. ∫ k dx x − a ( x − a ) Mx + N Mx + N 3. ∫ dx 4. ∫ n dx x 2 + px + q ( x 2 + px + q) Với A, M, N, a, p, q ∈ R; k, n ∈ N+ và 4q − p2 > 0 Ta chỉ ra rằng các tích phân của các phân thức cơ bản đều lấy được tích phân. Các tích phân (1), (2) là hai dạng quen thuộc với: A dx ∫ dx = A.∫ = A ln x − a + C x − a x − a A = dx = − A ⋅ 1 + ∫ dx A.∫ − C (k ≠ 1) ( x − a ) k ( x − a ) k k − 1 ( x − a ) k 1 Các tích phân (3), (4) được tính với phép thế: 1 x + p = t ; dx=dt 2 p 2 đặt a > 0, a 2 = q − 4 Khi đó: x 2 + px + q = t 2 + a 2 1 Mx + N = Mt + (N − Mp) 2 Tích phân (3) có dạng:  1  Mt +  N − Mp  M 2tdt  1  dt Mx + N t  2  = ∫ +  N − Mp  ∫ ∫ dx = ∫ dt 2 t 2 + a 2  2  t 2 + a 2 x 2 + px + q t 2 + a 2 M 1 t = ln( t 2 + a 2 ) + arctg + C 2 2 a + − + Mx N = M ( 2 + + ) + 2N Mp 2x p + Vậy ∫ 2 dx ln x px q arctg C (3-19) x + px + q 2 4q − p 2 4q − p 2 Tích phân (4) có dạng:  1  Mt +  N − Mp  M 2tdt  1  dt Mx + N t  2  = ∫ +  N − Mp  ∫ = 2 2 n   2 2 n ∫ n dx ∫ n dt 2 ( t + a ) 2 ( t + a ) ( x 2 + px + q) ( t 2 + a 2 ) Ta lấy tích phân của tích phân thứ nhất bằng cách đổi biến. u = t 2 + a 2 ; du = 2tdt
50 2tdt = du = − 1 ⋅ 1 + ∫ n ∫ n − 1 C ( t 2 + a 2 ) u n − 1 u Tích phân thứ hai được lấy dựa vào công thức truy hồi (3-17) sau khi rút a 2 ra ngoài và thế t = u. a Thực hiện trở về biến x, chúng ta nhận được biểu thức cuối cùng của tích phân (4) cần tính. Ta kết luận rằng mọi hàm hửu tỉ đều có thể thực hiện lấy tích phân của chúng. §5. TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VÔ TỈ DẠNG ĐƠN GIẢN Với hàm đại số là các hàm vô tỉ dưới dạng đơn giản, là chứa luỹ thừa số mũ phân của biến đối lập của một nhị thức hay một phân thức, bằng các phép thế thích hợp ta cũng có thể thực hiện lấy được tích phân của chúng. Các phép thế đó là: ax + b x = z p ; ax + b = z p ; = z p . Với p – MSCNN của các số mũ phân a'x + b' Thí dụ: 1.Với phép thế x = z p dx = dx a)Tính ∫ ∫ 1 1 (1 + 3 x ) x (1 + x 3 )x 2 p = 6. Thế x = z6; dx = 6t5dz z 5 2 dx 6z dz z dz x = = 6 ⋅ = − + 6 6 ∫ ∫ 2 3 ∫ 2 6z 6arctgz C = 6. x − 6.arctg x + C (1 + 3 x ) x (1 + z )z 1 + z 1 2 x = x b)Tính ∫ dx ∫ 1 dx 1 + 4 x 1 + x 4 p = 4. Thế x = z4; dx = 4z3dz x z z 5dz  z 5 z 4 z3 z 2  ∫ dx = 4∫ = 4 − + − + z  − 4ln z + 1 + C 1 + 4 x 1 + z  5 4 3 2  x  1 1 1 1  = 4 4 x 5 − x + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x  − 4ln(4 x + 1) + C  5 4 3 2  2.Với phép thế ax + b = z p dx = dx Tính ∫ ∫ 1 x x + 1 x( x + 1) 2 p = 2; x + 1 = z2; dx = 2zdz dx z dz z − 1 x + 1 − 1 ∫ = 2∫ = ln + C = ln + C x x + 1 z 2 − 1 z + 1 x + 1 + 1 ax + b 3.Với phép thế = z p a'x + b'
51 1 1 1 + x 1  1 + x  2 Tính ∫ ⋅ dx = ∫ ⋅   dx x x x  x  + 2zdz 1 x 2 = p = 2; = z ; dx 2 x (z 2 − 1) 1 + x − 1 1 1 + x z z 2 z − 1 x 1 + x x ∫ ⋅ dx = − 2.∫ dz = − 2z − ln + C = − 2 − ln + C x x z 2 − 1 z + 1 x 1 + x + 1 x Chương 4 Tích phân xác định §1. ĐỊNH NGHĨA I. Bài toán diện tích hình thang cong Giả sử hàm số y = f(x) xác định trong khoảng [a,b], chia [a,b] thành một số hữu hạn n các đoạn có chiều dài tương ứng là ∆x1, ∆x2, , ∆xn. Trên mỗi đoạn ∆xi ta chọn tùy ý các điểm ξi (i = 1,n ). Thiết lập tổng n = ξ ∆ A ∑ f ( i ). x i (4-1) i= 1 Về mặt hình học tổng A là tổng diện tích của các hình chữ nhật có một cạnh là ( ξ ) ∆ f i và cạnh kia là x i H.23 Ở đây được hiểu ∆xi vừa là độ dài vừa là kí hiệu chính đoạn đó. Cách chia [a,b] thành n đoạn con ∆xi được gọi là một phép phân hoạch δ của đoạn [a,b]. δ = ∆ Kí hiệu max x i Do các đoạn ∆xi là chọn tùy ý nên với mỗi số n cho trước ta luôn chọn được phép phân hoạch {δn}. Dãy phân hoạch {δn} được gọi là dãy phân hoạch chuẩn nếu: δ = lim n 0 n→ ∞ (4-2) Ứng với mỗi δn ta thiết lập tổng An tương ứng. Với dãy phân hoạch {δn} ta nhận được dãy tổng {An}. Ở đây ta có vô số các dãy tổng {An} ứng với {δn}, tùy theo việc ta chọn các điểm ξi ∈
52 ∆xi. Nếu với {δn} là dãy phân hoạch chuẩn và việc chọn hợp lý ξi ∈ ∆xi, là có thể nhận được giá trị của tổng ứng ∆n xấp xỉ với diện tích của hình thang cong S = {x = a, x = b, y=0, y = f(x)}. Việc tính chính xác diện tích hình thang cong S dẫn đến việc tìm giới hạn của dãy tổng {An}. Về mặt hình học giới hạn này luôn tồn tại. II. Định nghĩa hàm khả tích – Tích phân xác định Nếu một hàm số f(x) có tính chất là với mỗi dãy phân hoạch chuẩn {δn}, dãy tổng tương ứng {An} hội tụ (không phụ thuộc việc chọn các điểm ξi), thì ta nói rằng hàm f(x) khả tích trong khoảng đóng [a,b]. Khi đó mọi dãy tổng {An} ứng với dãy phân hoạch chuẩn {δn} đều có cùng một giới hạn. Định nghĩa 1: Giới hạn chung của các dãy tổng {An} ứng với dãy phân hoạch chuẩn {δn} gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trong khoảng đóng [a,b]. b Kí hiệu ∫ f (x)dx (4-3) a Hàm số y = f(x) liên tục trong khoảng đóng [a,b] sẽ khả tích trên đoạn đó. Diện tích của miền D giới hạn bởi đường cong liên tục y = f(x), trục toạ độ Ox và các đường thẳng x=a, x=b chính là b giá trị của tích phân xác định ∫ f (x)dx . Nói cách khác định nghĩa diện tích miền D như là giá trị a b của tích phân ∫ f (x)dx . a Trong biểu thức tích phân xác định thay cho biến độc lập x ta có thể biểu diễn qua các biến số bất kì khác. Tức là: b b b ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (z)dz (4-4) a a a III. Các thí dụ 1. Tích phân xác định của hàm y = c Hàm hằng y = c khả tích trong mọi khoảng đóng [a,b]. Lấy một phân hoạch δ tùy ý đoạn [a,b] gồm các đoạn ∆xi. Chọn ξi ∈ ∆i tùy ý.Ta có f(ξi) ≡ c ∀ξi. n n n = ( ξ ) ∆ = ∆ = ∆ = − Tổng A ∑ f i . x i ∑ c. x i c.∑ x i c.(b a) i = 1 i = 1 i = 1 b b Vậy ∫ f (x)dx = ∫ cdx = c.(b − a) (4-5) a a Đây chính là diện tích của hình chữ nhật được giới hạn bởi đường thẳng y = c, song song với Ox, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b 2. Tích phân xác định của hàm đồng nhất y = x Hàm y = x khả tích trong mọi khoảng [a,b]. Lấy phân hoạch δ đoạn [a,b] gồm các đoạn ∆xi được xác định bởi các điểm chia a = ao < a1 < a2 < < an = b. ∆xi = ai − ai−1 (i = 1, 2, , n).
53 Lấy điểm ξi ∈ ∆xi tùy ý. Ta có f(ξi) ≡ ξi n n = ξ ∆ = ξ ∆ Lập tổng: A ∑ f ( i ) x i ∑ i x i (4-6) i= 1 i= 1 + a i a i− 1 Giả sử xi là trung điểm của đoạn ∆xi, tức x = i 2 Ta viết lại (4-6) dưới dạng mới: n n = ∆ + ( ξ − ) ∆ A ∑ x i x i ∑ i x i x i (4-7) i= 1 i= 1 Xét số hạng thứ nhất của tổng A n n a + a n a 2 − a 2 ∆ = i i− 1 − = i i− 1 ∑ x i x i ∑ (a i a i− 1 ) ∑ i= 1 i= 1 2 i= 1 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 b2 − a2 = 1 − o + 2 − 1 + + − n − 1 = 2 2 2 2 2 2 2 Xét số hạng thứ hai của tổng A n n n ( ξ − ) ∆ ≤ ξ − ∆ ≤ ξ − δ ∑ i x i x i ∑ i x i x i ∑ i x i i= 1 i= 1 i= 1 ∆ x i Chú ý với xi là trung điểm đoạn ∆xi và ξI ∈ ∆xi tùy ý ta luôn có: ξ − x < i i 2 n n = ( ξ − ) ∆ ≤ 1 δ ∆ = 1 δ ( − ) Vậy R ∑ i x i x i .∑ x i b a i= 1 2 i= 1 2 Nếu chọn một dãy phân hoạch chuẩn {δn} bất kì ta luôn có: b 2 − a 2 A = + R n 2 n 1 Ở đây R ≤ b − a δ n 2 n = δ = lim R n 0 lim n 0 Chuyển qua giới hạn n→ ∞ vì n→ ∞ 2 − 2 2 − 2 = b a + = b a Tức lim A n lim R n n→ ∞ 2 n→ ∞ 2 b b 2 − a 2 Vậy ∫ xdx = a 2 Đây chính là diện tích của hình thang được giới hạn bởi đường y = x, trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. §2. MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất của tích phân xác định được thể hiện qua các định lý sau:
54 Định lý 1: Tổng của hai hàm số f(x) và ϕ(x) khả tích trong khoảng đóng [a,b] là một hàm khả tích trên đoạn đó và: b b b ∫ [f (x) + ϕ (x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ ϕ (x)dx (4-9) a a a Chứng minh: Với phân hoạch δ bất kì, ta lập các tổng: n = ( ξ ) ∆ A ∑ f i x i i= 1 n = ϕ ( ξ ) ∆ A' ∑ i x i với ξi ∈ ∆xi i= 1 n n n + = ( ξ ) ∆ + ϕ ( ξ ) ∆ = [ ( ξ ) + ϕ ( ξ )]∆ A A' ∑ f i x i ∑ i x i ∑ f i i x i i = 1 i = 1 i = 1 Nếu {δn} là một dãy phân hoạch chuẩn, khi đó: + ' = + ' lim(A n A n ) lim An lim A n n→ ∞ n → ∞ n→ ∞ Theo giả thiết f(x) và ϕ(x) khả tích trên các giới hạn ở vế phải là tồn tại. Điều đó có nghĩa là giới hạn của vế trái (4-10) là tồn tại. Tức hàm số f(x) + ϕ(x) khả tích trong [a,b] và: b b b ∫ [f (x) + ϕ (x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ ϕ (x)dx a a a Đây chính là điều cần phải chứng minh. Định lý 2: Tích của một hằng số k với một hàm số f(x) khả tích trong khoảng đóng [a,b] cũng là một hàm khả tích trong khoảng này và: b b ∫ k.f (x)dx = k.∫ f (x)dx (4-11) a a 1 Thí dụ: Tính I = ∫ ( bx + c)dx 0 1 1 1 1 1 − 0 1 Ta có: I = ∫ bxdx + ∫ cdx = b.∫ xdx + ∫ cdx = b. + c(1 − 0) = b + c 0 0 0 0 2 2 Định lý 3: Nếu hàm số f(x) đồng nhất bằng 0 hầu khắp nơi trên khoảng đóng [a,b] trừ một b số hữu hạn điểm thì: ∫ f (x)dx = 0 a ≠ M = max f (x) ∈ Chứng minh: Giả sử k là số điểm mà tại đó hàm f(x) 0, và ∀ x , x [a,b]. Khi đó với mọi phân hoạch δ ta có: A ≤ 2k.M. δ Như vậy nếu {δn} là một dãy phân hoạch chuẩn, khi đó dãy tổng {An} tương ứng với nó luôn có: ≤ δ A n 2k.M. n δ = = lim n 0 lim A n 0 Vì n→ ∞ nên n→ ∞
55 b Hay ∫ f (x)dx = 0 . Điều cần chứng minh. a Định lý 4: Nếu các hàm số f(x) và ϕ(x) chỉ khác nhau tại một số hữu hạn điểm trên khoảng đóng [a,b] và giả thiết một trong các hàm số này khả tích thì ta khẳng định rằng hàm số kia cũng khả tích và hơn nữa b b ∫ f (x)dx = ∫ ϕ (x)dx a a Chứng minh: Xét hàm f(x) − ϕ(x), ta thấy rằng nó bằng không hầu khắp nơi trên khoảng đóng [a,b], trừ một số hữu hạn điểm. Theo định lý 3: b ∫ [f (x) − ϕ (x)]dx = 0 (4-12) a Giả sử rằng ϕ(x) là hàm khả tích. Vì f(x) = [f(x) − ϕ(x)] + ϕ(x). Như vậy ta có thể xem f(x) là tổng của hai hám số khả tích trên khoảng đóng [a,b] nên f(x) cũng là một hàm khả tích trên khoảng đó. Do (4-12) nên: b b b b ∫ f (x)dx = ∫ [f (x) − ϕ (x)]dx + ∫ ϕ (x)dx = ∫ ϕ (x)dx a a a a Đây là điều cần phải chứng minh. Định lý 5: Nếu hàm số f(x) khả tích trong khoảng đóng [a,b], a < b. Nếu f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b] b thì ∫ f (x)dx ≥ 0 a Do các tổng A đều dương nên giới hạn dương. Định lý 6: Nếu các hàm f(x) và g(x) khả tích trên khoảng đóng [a,b] và nếu f(x) ≤ g(x), ∀x b b ∈[a,b] thì ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx . a a Ta chứng minh định lý này dựa vào định lý 5 khi xét: g(x) − f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a,b] b Nên ∫ [g(x) − f (x)]dx ≥ 0 a b b b b ⇒ ∫ g(x)dx − ∫ f (x)dx ≥ 0 . Do vậy ∫ f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx a a a a Định lý 7: Nếu hàm số f(x) khả tích trên khoảng đóng [a,b] thì hàm |f(x)| cũng khả tích trên đoạn đó và: b b ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx (4-13) a a Áp dụng đối với tổng A ta có: n n = ξ ∆ ≤ ξ ∆ A ∑ f ( i ) x i ∑ f ( i ) x i i= 1 i = 1
56 nên ta nhận được (4-13). Định lý 8: Hàm số f(x) khả tích trên khoảng đóng [a,b] và nếu m, M là các trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên [a,b] thì: b m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b − a) (4-14) a n = ξ ∆ Chứng minh: Lấy phân hoạch δ, lập tổng: A ∑ f ( i ) x i i= 1 n n n ∆ ≤ ξ ∆ ≤ ∆ Ta có: ∑ m x i ∑ f ( i ) x i ∑ M. x i i= 1 i= 1 i− 1 n − ≤ ξ ∆ ≤ − Hay m(b a) ∑ f ( i ) x i M(b a) i= 1 b Do f(x) khả tích nên m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M(b − a) . Điều cần chứng minh. a Chia cả 2 vế của (4-14) cho (b−a) ta có: 1 b ≤ f (x)dx ≤ m − ∫ M (4-15) b a a 1 b µ = f (x)dx µ Đặt − ∫ . Ta gọi là giá trị trung bình của tích phân xác định và cũng chính b a a là giá trị trung bình cảu hàm f(x) trên đoạn [a, b]. §3. ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH CỦA HÀM LIÊN TỤC Xét hàm số f(x) xác định, liên tục trên [a, b] với δ là phép phân hoạch bất kì đoạn [a, b]. Gọi mi, Mi là các giá trị bé nhất và lớn nhất của f(x) trên ∆xi, ta lập các tổng: n ∆ S = ∑ M i x i (4-16) i = 1 n ∆ s = ∑ m i x i (4-17) i = 1 Ở đây S, s được gọi là các tổng Dacbu treê và dưới của hàm f(x) ứng với phân hoạch δ của [a, b]. Ta luôn có: s ≤ A ≤ S (4-18) Với {δn} là dãy phân hoạch chuẩn thì đối với hàm f(x) liên tục trên [a, b], người ta đã chứng minh được rằng: − = lim(Sn s n ) 0 (4-19)
57 Nếu ta tăng số điểm chia của phân hoạch δ thì với phép phân hoạch mới δ’ ta luôn có tổng trên sẽ giảm và tổng dưới sẽ tăng lên và vì vậy tổng trên của một phân hoạch bất kì luôn lớn hơn tổng dưới của một phân hoạch bất kì khác.Tức là với hai phân hoạch δ, δ’ ta có: s’ ≤ S (4-20) Định lý 9: Nếu hai hàm số f(x) liên tục trên [a,b] thì f(x) khả tích trên [a, b] Chứng minh: Theo giả thiết f(x) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đó. Nghĩa là với ε>0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho ε x , x ∈ [a, b] ; |x − x | 0 ta tách [a,b] thành 2 phần: một phần là lân cận (xo − ε, xo + ε) và phần còn lại. Trên phần còn lại f(x) lên tục nên liên tục đều. Với số ε > 0 nêu trên ∃δ = δ(ε) > 0 và ta xem. Ta luôn xem δ < ε mà không có gì mâu thuẫn, khi đó với phân hoạch δ các điểm chia luôn rơi vào 2 trường hợp: − Nằm hoàn toàn ngoài lân cận (xo − ε, xo + ε). Kí hiệu là i’ − Có một số điểm nằm trong lân cận đó. Kí hiệu là i”. Gọi W là biên độ lớn nhất của các giá trị của f(x) trên [a, b]. Khi đó Mi − ni ≤ W với mọi khoảng chia ∆xi. n − ∆ − ∆ − ∆ Ta có: S − s = ∑ (M i m i ) x i = ∑ (M i' m i' ) x i' + ∑ (M i" m i" ) x i" i = 1 i' i" ε ∆ − ∆ ≤ ∑ x i' − Ở đây ∑ (M i' m i' ) x i' < ε(b a) i' i' ∆ − ∆ ≤ ∑ x i" ∑ (M i" m i" ) x i" w < 4εw i" i" ⇒ S −s ≤ ε[(b−a) + 4w] = ε*. Chứng tỏ rằng f(x) khả tích trên [a, b]. §4. SỰ PHÂN CHIA KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN _CẬN LẤY TÍCH PHÂN
58 I. Sự phân chia khoảng lấy tích phân Định lý 11: Nếu a < b < c và nếu hàm số f(x) khả tích trong khoảng [a, c] thì b c c ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx (4-21) a a a Chứng minh: Lập dãy phân hoạch chuẩn {δn} của [a, c] sao cho b là một điểm chia của bất kì phân hoạch δn nào. Kí hiệu An là dãy tổng tương ứng của {δn}. Kí hiệu ∆xi’ là các đoạn chia thuộc [a, b], ∆xi” là đoạn chia thuộc [b, c] và ξi’ ∈ ∆xi’, ξi” ∈ ∆xi” ξ ∆ ξ ∆ An = ∑ f ( i' ) x i' + ∑ f ( i" ) x i" i' i" ξ ∆ ξ ∆ Đặt An’ = ∑ f ( i' ) x i' ; An” = ∑ f ( i" ) x i" i' i" Do f(x) khả tích trên [a, c]. Và do {δn} là phân hoạch chuẩn nên An’ và An” đều có giới hạn hữu hạn khi n → ∞. Tức là f(x) khả tích trên [a, b], [b, c]. Ta nhận được (4-21). II. Cận lấy tích phân Định nghĩa 2: Giả sử hàm f(x) khả tích trong [a, b], a < b, khi đó ta đặt b a ∫ f (x)dx = − ∫ f (x)dx (4-23) a b a Hệ quả: ∫ f (x)dx = 0 (4-24) a Định lý 12: Nếu a, b, c là các hàm số bất kì thì f(x) khả tích trên mọi đoạn lập bởi a, b, c thì b c c ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx (4-25) a b a Chứng minh: 1. Nếu a < b < c thì (4-25) suy ra từ (4-21) 2. Nếu a< c < b khi đó theo (4-21) ta có: c b b ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx a c a b b c ⇒ ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx a c a b c c ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx . Điều phải chứng minh. a b a Nhận xét: 1. Nếu a = b hoặc a = c hoặc b = c thì định lý là hiển nhiên. 2. Công thức (4-25) có thể viết lại dưới dạng
59 b c a ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ≡ 0 (4-26) a b c b Định nghĩa 3: Các số a, b trong biểu thức tích phân ∫ f (x)dx được gọi là các cận của tích a phân xác định. Nó không phụ thuộc vào giá trị đại số mà chỉ phụ thuộc vào vị trí. Nếu vị trí nằm phía trên ta gọi là cận trên, vị trí nằm phía dưới gọi là cận dưới. §5. HÀM SỐ GIỚI HẠN TRÊN_GIỚI HẠN DƯỚI CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Để đưa ra cách tính tích phân xác định khi biết được nguyên hàm của tích phân không xác định của nó chúng ta xây dựng các hàm số của giới hạn trên và dưới của tích phân xác định như sau. Định nghĩa 3: Nếu hàm số f(x) khả tích trên [a, b] và với x, α ∈ [a, b] bất kì ta lập hàm: x F(x) = ∫ f (t)dt − gọi là hàm của giới hạn trên α α và φ(x) = ∫ f (t)dt − gọi là hàm của giới hạn dưới của tích phân xác định của hàm f(x) x Ở đây φ(x) = −F(x) (4-27) Các hàm F(x), φ(x) phụ thuộc vào việc chọn điểm α ∈ [a, b]. Chứng minh: Xét điểm xo ∈ [a, b] và với λ đủ bé để xo + λ ∈ [a, b] Ta có: + λ + λ x 0 x 0 x 0 − = F(xo + λ) − F(xo) = ∫ f (t)dt ∫ f (t)dt ∫ f (t)dt (4-28) α α x0 Vì f(x) khả tích trên [a, b] nên f(x) bị chặn trên đó. Ta suy ra |f(x)| < L ∀x ∈ [a, b]. + λ + λ + λ x 0 x 0 x 0 Vậy |F(xo + λ) − F(xo)| = ∫ f (t)dt ≤ ∫ | f (t) | dt ≤ ∫ Ldt = L.|λ| x 0 x 0 x 0 Rõ ràng khi λ → 0 Ta có F(xo + λ) → F(xo). Tức hàm F(x) liên tục tại xo. Điều này thỏa mãn ∀xo ∈ [a, b] nên F(x) liên tục trên [a, b]. §6. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM
60 Định lý 14: Nếu hàm số f(x) khả tích trên [a, b] với α, x ∈ [a, b] ta luôn có đạo hàm của x hàm số F(x) = ∫ f (t)dt tồn tại và bằng giá trị của hàm f(x) tại mỗi điểm mà hàm này liên tục. α Chứng minh: Giả sử f(x) liên tục tại xo∈[a, b]. Với ε > 0, ∃η = η(ε) sao cho ∀x ∈ [a, b] mà |x − xo|<η thì |f(x) − f(xo)| < ε (4-29) x Xét F(x) = ∫ f (t)dt , α ∈ [a, b] α x x 0 x − = Ta có: F(x) − F(xo) = ∫ f (t)dt ∫ f (t)dt ∫ f (t)dt (4-30) α α x 0 F(x) − F(x ) 1 x 0 = ∫ f (t)dt = f(c) là giá trị trung bình của hàm x − x x − x 0 0 x 0 Với t ∈ [xo, x] ta có: |t − to| ≤ |x − xo| < η , vì vậy f(t) cũng thỏa mãn (4-29), tức f(c) thõa mãn (4-29). Vậy F(x) − F(x ) − 0 f(xo) ε < − < f(xo) + ε x x 0 F(x) − F(x ) 0 − f (x ) < ε hay − 0 x x 0 F(x) − F(x ) 0 = Có nghĩa lim f (x 0 ) (4-31) x → x − 0 x x 0 Theo giả thiết f(x) liên tục tại xo, nên f(x) hữu hạn. Vế trái (4-31) theo định nghĩa là đạo hàm của F(x) tại xo. Điều phải chứng minh Ta có: F’(x) = f(x) (4-32) tại những điểm x mà f(x) liên tục. Suy ra các định lý sau: Định lý 15: Hàm số f(x) liên tục trên [a, b] có nguyên hàm trong khoảng này và nguyên hàm đó có biểu diễn x F(x) = ∫ f (t)dt + C (4-33) α Định lý 16: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) liên tục trên [a, b] thì với x,α∈ [a,b] ta có: x ∫ f (t)dt = F(x) − F(α) (4-34) α x Chứng minh: Theo giả thiết F(x) = ∫ f (t)dt là một nguyên hàm nên nó có biểu diễn (4-33) α
61 x F(x) = ∫ f (t)dt + C α α Nếu đặt x = α ta nhận được F(α ) = ∫ f (t)dt + C = C α x Suy ra F(x) = ∫ f (t)dt + F(α ) α x Hay ∫ f (t)dt = F(x) − F(α ) . Điều phải chứng minh. α Nhận xét: Nếu trong (4-34) đặt x = b, α = a ta nhận được: b ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) (4-35) a Đây là công thức Niutơn−Lépnít cho phép ta tính tích phân xác định qua nguyên hàm F(x) của tích phân không xác định của nó. Ta có thể viêt đơn giản hơn: b b ∫ f (x)dx = F(x) (4-36) |a a §7. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Đổi biến trong tích phân xác định b Xét tích phân ∫ f (x)dx (4-31) a Sử dụng phép thế x = ϕ(t) (4-32) d[ϕ (t)] dx = d[ϕ(t)] = ⋅ dt = ϕ’(t)dt dt f(x) = f [ϕ(t)] a = ϕ(α) ; b = ϕ(β) b β Khi đó ∫ f (x)dx = ∫ f [ϕ (t)].ϕ '(t)dt (4-32) a α Chú ý: Khi sử dụng phép biến đổi biến số ta hoặc là đổi cận, hoặc là tích phân không xác định theo biến mới, tiếp đó trở về biến ban đầu và tính theo các cận đã cho. 1 Thí dụ 1: Tính ∫ x 1 + x 2 dx 0 Đặt 1 + x 2 = t ; x2 = t 2 − 1
62 Ta có x = 0 ; t = 1 x = 1 ; t = 2 tdt dx = t 2 − 1 1 2 3 t t 2 2 2 − 1 ∫ x 1 + x 2 dx = ∫ t 2 dt = = |1 0 1 3 3 1 ln(1 + x) Thí dụ 2: Tính ∫ dx + 2 0 1 x dt Đặt x = tgt ; dx = cos 2 t Ta có x = 0 ; t = 0 x = 1 ; t = π 4 π 1 π 4 π 4 2 cos( − t) ln(1 + x) t ∫ dx = ∫ ln(1 + tgt)dt = ∫ ln 4 dt + 2 0 1 x 0 0 cos t π 4 π 4 π π 4 = ∫ ln 2dt + ∫ ln cos( − t)dt − ∫ ln cos tdt 0 0 4 0 π 4 π π 4 Chú ý: ∫ ln cos( − t)dt = ∫ ln cos tdt 0 4 0 1 π 4 ln(1 + x) 1 π 4 π Vậy ∫ dx = ∫ ln 2dt = ln 2.t = ln 2 + 2 |0 0 1 x 0 2 8 π x sin x Thí dụ 3: Tính ∫ dx + 2 0 1 cos x π π Ta tách miền lấy tích phân thành 2 khoảng [0, ] , [ , π ] 2 2 π π π x sin x 2 x sin x x sin x ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx + 2 + 2 + 2 0 1 cos x 0 1 cos x π 21 cos x Biến đổi tích phân thứ hai bằng cách đặt x = π − t ; dx = −dt π π x sin x 0 (π − t)sin(π − t) 2(π − t)sin t ∫ dx = − ∫ dt = ∫ dt + 2 + 2 π − + 2 π 21 cos x π 2 1 cos ( t) 0 1 cos t π π π π x sin x 2 x sin x 2 π sin x 2 x sin x Viết lại ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx − ∫ dx + 2 + 2 + 2 + 2 0 1 cos x 0 1 cos x 0 1 cos x 0 1 cos x π 2 π 2 2 π sin x d cos x π 2 π = ∫ dx = − ∫ = − π ln cos x = + 2 + 2 |0 0 1 cos x 0 1 cos x 4
63 II. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử f(x), ϕ(x) liên tục cùng các đạo hàm của nó trên [a, b] và F(x) = f(x).ϕ(x) Khi đó F’(x) = f’(x).ϕ(x) + f(x).ϕ’(x) (4-33) b b Mặt khác ∫ F'(x)dx = F(x) (4-34) |a a Tích phân hai vế (4-33) ta có: b b ∫ F'(x)dx = ∫ [f '(x)ϕ (x) + f (x)ϕ '(x)]dx a a b b = ∫ f '(x)ϕ (x)dx + ∫ f (x)ϕ '(x)dx (4-35) a a Từ (4-34), (4-35) ta rút ra: b b b ∫ f '(x)ϕ (x)dx = f (x)ϕ (x) − ∫ f (x)ϕ '(x)dx (4-36) |a a a b b b Và ∫ f (x)ϕ '(x)dx = f (x)ϕ (x) − ∫ f '(x)ϕ (x)dx (4-37) |a a a π Thí dụ 1: Tính ∫ x cos xdx 0 Đặt f(x) = x, ϕ’(x) = cosx. ⇒ ϕ(x) = sinx π π π π π ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx = ∫ d cos x = cos x = − 2 |0 |0 0 0 0 1 Thí dụ 2: Tính ∫ x 2 (1 − x)3 dx 0 (1 − x) 4 Đặt f(x) = x2, ϕ’(x) = (1−x)3 ; ⇒ ϕ(x) = − 4 1 2 4 1 4 1 x (1 − x) 1 (1 − x) 4 1 Vậy ∫ x 2 (1 − x)3 dx = − + 2∫ x dx = ∫ x(1 − x) 4 dx |0 0 4 0 2 0 1 (1 − x)5 Đặt f*(x) = x , ϕ’*(x) = (1−x)4, ⇒ ϕ * (x) = − 2 5 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: ∫ x 2 (1 − x)3 dx = ∫ x(1 − x) 4 dx = − x(1 − x)5 + ∫ (1 − x)5 dx |0 0 2 0 10 10 0 1 1 1 1 = − ⋅ (1 − x) 6 | = 10 6 0 60 §8. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
64 I. Tính diện tích miền phẳng Giả sử trong mặt phẳng Oxy ta cho các đường cong y1 = f(x), y2 = g(x). Gọi D là miền phẳng giới hạn bởi các đường cong y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, x = b. Ta xác định diện tích SD của miền D dựa vào tích phân xác định Ta có: SD = S1 − S2 H.24 Trong đó S1 = diện tích hình thang cong giới hạn bởi y1 = f(x), y = 0, x = a, x = b S2 = diện tích hình thang cong giới hạn bởi y2 = g(x), y = 0, x = a, x = b b b b − = [ − ] Tức SD = ∫ f (x)dx ∫ g(x)dx ∫ f (x) g(x) dx (4-38) a a a Trong trường hợp tổng quát ta có: b − SD = ∫ | f (x) g(x) | dx (4-39) a Chú ý: Để tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi một số hữu hạn các đường cong ta cần qua các biên. 1. Xác định giao điểm của các đường cong 2. Xác định diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong 3. Tính tích phân xác định theo các miền phẳng chỉ ra Thí dụ: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong y 2 = 2px và x 2 = 2py Hai đường cong cắt nhau tại x=0, x=2p, y=0, y=2p. Theo hình vẽ ta có: 2 = 2p − x SD ∫ ( 2px )dx 0 2p 3 2 3 x = ( 2p.x 2 − ) 2p =4 p 2 3 6p 0 H.25 II. Tính thể tích
65 Xét vật thể V trong hệ Oxyz như cho trên hình vẽ. Ta xem thể tích V là tổng của các trụ có đáy là S(xi ) và chiều cao là ∆ xi nào đấy. Như vậy nó có dạng là một tổng tích phân. Vậy công thức tính tổng thể tích là: b V= ∫ S(x)dx (4-40) a H.26 Trong trường hợp vật là khối tròn xoay do một hình phẳng là hình thang cong {y=f(x), x=a, x=b}cho trong mặt phẳng Oxy và quay quanh trục Ox. Khi đó S(x) chính là hình tròn bán kính f(x). b b b Vậy: V= ∫ S(x)dx = ∫ π f 2 (x)dx = π ∫ f 2 (x)dx (4-41) a a a III. Tính độ dài cung Giả sử trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta xét đường cong s cho dưới dạng tham số: x = ϕ (t)   (4−42) y = ψ (t) với t ∈ [α, β] và s(t) không tự cắt. Để tính chiều dài của s từ t0 = α đến t1 = β ta thực hiện như sau: H. 27 + Trên s(t) ta lấy điểm Mi(ti ) với I = 1, n. Ta thiết lập các dây cung M i M i + 1 và lập tổng: n 2 2 ∑ M M + + − + − i i 1 . Ở đây: M i M i + 1 = (x i + 1 x i ) (y i + 1 y i ) n + 1 − ϕ ' − = ϕ ' ∆ Mặt khác xi + 1 xi = (t i )(t i + 1 t i ) (t i ) t i − ψ ' − = ψ ' ∆ yi+ 1 yi = (t i )(t i + 1 t i ) (t i ) t i n n ϕ '2 * + ψ '2 * ∆ Vậy ∑ M i M i+ 1 = ∑ (t i ) (t i ) t i (4-43) n + 1 n + 1 ∆ (4-41) có dạng của một tổng tích phân. Khi ti →0 ta nhận được giới hạn của nó chính là chiều dài của cung s(t). β β = ϕ '2 + ψ '2 Tức là: s(t) α ∫ (t) (t)dt (4-44) α Nhận xét: 1/ Trong trường hợp đường cong cho dưới dạng x = x
66 y = f(x) b b = + '2 thì s(x) a ∫ 1 f (x)dx (4-45) a 2/ Nếu đường cong s(t) được cho bởi phương trình tham số trong không gian: x = ϕ(t) y = ψ(t) z = χ(t) β b = ϕ '2 + ψ '2 + χ '2 thì s(t) a ∫ (t) (t) (t)dt (4-46) α Thí dụ: Tổng độ dài của một cung Xycloit cho bởi phương trình x = a(t-sint) y = acost , t ∈ [0, 2π] có: x ' (t) = a(1 − cos t) y'(t) = − a sin t Π Π Π Π 2 2 2 t 2 t s = ∫ a 2 (1 − cost)2 + a 2 sin 2 tdt = ∫ a (2 − 2cost)dt = a ∫ 2sin dt = -4a ∫ d cos 0 0 0 2 0 2 t Π = -acos 2 = 8a 2 0 §9. TÍCH PHÂN SUY RỘNG I. Tích phân suy rộng loại I (Khoảng lấy tích phân vô hạn) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,b], b>a. Nếu: b 1. ∃ lim ∫ f (x)dx hữu hạn thì ta gọi giới hạn này là tích phân suy rộng loại 1. n→ ∞ a 2. Không tồn tạo giới hạn trên ta nói tích phân đã cho phân kì. Nhận xét: Định nghĩa được mở rộng cho cận ở -∞ và khoảng (-∞, +∞). + ∞ dx b dx − x b − 1 + 1 1 Thí dụ 1: Tính ∫ 2 = lim ∫ 2 = lim 1 = lim[ ]= 1 (1 + x) b→ + ∞ 1 (1 + x) b→ + ∞ 1 + x b→ + ∞ 1 + b 2 2 0 0 dx dx = + 0 lim (ln 2 − ln x + 2 ∞ Thí dụ 2: Tính ∫ = lim ∫ lim ln x 2 a = → − ∞ = - − ∞ x + 2 a→ − ∞ a x + 2 a→ − ∞ a Tích phân đã cho phân kì. II. Tích phân suy rộng loại II (hàm đạt giá trị ở vô cùng)
67 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) đạt giá trị vô cùng tại một số hữu hạn điểm ∈ [a, b]. Ta phân x i [a, b] thành hữu hạn các khoảng con và nếu trên các khoảng con đó: lim ∫ f (x)dx tồn tại hữu x → x i ξ hạn thì ta nói tổng giới hạn đó là tích phân suy rộng loại hai của hàm f(x) trên [a, b ]. Nếu có ít nhất một giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân của f(x) là phân kì. 2 1 Thí dụ: Tính ∫ dx − 2 0 (1 x) 2 x 2 1  dx dx  1 x 1 2 Ta có: ∫ dx = lim ∫ + ∫  = lim + lim − 2 x → 1 − 2 − 2 x → 1− 0 − |0 x → 1+ 0 − |x 0 (1 x)  0 (1 x) x (1 x)  1 x 1 x  1 1  = lim − 1 − 1 −  = −2 x → 1  x − 1 x − 1 III. Các định lý so sánh Định lý 1: Cho f(x), g(x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] hữu hạn và b lớn tùy ý và 0≤f(x)≤ g(x) ∀x ≥ a + ∞ + ∞ Khi đó: nếu ∫ g(x)dx hội tụ suy ra ∫ f (x)dx hội tụ a a + ∞ + ∞ nếu ∫ f (x)dx phân kì thì ∫ g(x)dx phân kì a a Định lý 12: Giả sử f(x), g(x) là hai hàm không âm, khả tích trên mọi đoạn [a, b] hữu hạn, b f (x) + ∞ lớn tùy ý. Khi đó nếu tồn tại lim = k (0 < k < +∞) thì các tích phân suy rộng ∫ f (x)dx và x → + ∞ g(x) a + ∞ ∫ g(x)dx sẽ cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì. a
68 Chương 5 Chuỗi số §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN I. Các khái niệm đơn giản Trước đây xét dãy số với tổng của một số hữu hạn các số hạng. Cho dãy {an}, ai là các số n ∑ a i i = 1 Lập tổng n số hạng đầu An = = a1 + a2 + + an Ta lập dãy mới {Ak}: A1, , Ak ∞ ∑ a n lim A n n → ∞ n = 1 Định nghĩa: Nếu dãy {An} có giới hạn A = thì ta nói A là tổng của chuỗi số và viết: ∞ ∑ a n n = 1 A = a1 + + an + = Nếu A là một số hữu hạn chuỗi được gọi là hội tụ, chuỗi không hội tụ được gọi là phân kì. An - gọi là tổng riêng của chuỗi số. an - gọi là số hạng tổng quát.
69 Nhận xét: + Sự hội tụ của chuỗi có thể qui về sự tồn tại của giới hạn của dãy tổng riêng. + Ngược lại sự tồn tại giới hạn của dãy cũng có thể quy về sự hội tụ của chuỗi. Cho dãy x1, , xn tồn tại giới hạn Lập chuỗi x1 + (x2 − x1) + + (xn − xn−1) + Ở đây tổng riêng chính là các số hạng của dãy. II. Các tính chất đơn giản Áp dụng tiêu chuẩn cosi cho sự hội tụ của dãy An ta suy ra 1. Điều kiện hội tụ của chuỗi số Điều kiện cần và đủ để chuỗi số (A) hội tụ là: với số ε > 0 tìm được số tự nhiên N sao cho − ⇐ + + N và ∀ số nguyên p ta có: | A n + p A n | | a n + 1 a n + p | Đặc biệt nếu p = 1 ⇒ |an+1| < ε ⇒ Hệ quả Hệ quả: Điều kiện cần để chuỗi số (A) hội tụ là: (không là điều kiện đủ) = lim a n 0 n → ∞ 2. Số dư và các tính chất: ∞ ∑ a n + k k = 1 Gọi chuỗi: an+1 + an+2 + = (δ) nhận được từ chuỗi (A) bằng cách bỏ đi n số hạng đầu là số dư của (A). Các chuỗi (A) và (δ) cùng hội tụ hoặc phân kì. Nếu khi chúng hội tụ thì tổng của (δ) kí hiệu là Rn: ∞ = − Rn = lim ∑ a n + k lim(A n + m A n ) = A − An m→ ∞ m→ ∞ k = 1 Ở đây A - Tổng của chuỗi An - Tổng riêng của n số hạng = − = lim R n lim(A A n ) 0 Khi đó: n → ∞ n → ∞ 3. C ác phép t ính tr ê n chu ỗi s ố h ội t ụ + Nếu (A) hội tụ thì chuỗi số ∞ = + + + + ∑ c.a n ca1 ca 2 ca n n = 1 (CA) cũng hội tụ và có tổng là C.A + Nếu hai chuỗi số (A), (B) hội tụ và A, B có tổng tương ứng là thì chuỗi (A + B): ∞ + = + + + + + + + ∑ (a n b n ) (a 1 b1 ) (a 2 b 2 ) (a n b n ) n = 1 cũng hội tụ và có tổng là A + B Ví dụ 1: Chuỗi số là cấp số nhân a + aq + aq2 + + aqn + với q ≠ 1
70 a − aq n q n − 1 S = = a ⋅ n 1 − q q − 1 = a * Khi |q| n. = n → ∞ phân kì khi n → ∞ 2 n n §2. DẤU HIỆU HỘI TỤ CỦA CHUỖI DƯƠNG Định nghĩa: Ở đây ta chỉ xét chuỗi với các số hạng đều không âm (an ≥ 0). Khi đó An là dãy số đơn điệu tăng. Chuỗi như vậy là chuỗi dương. I. Điều kiện hội tụ Định lý: Điều kiện cần và đủ để chuỗi dương (A) hội tụ là dãy tổng riêng bị chặn trên. An n. = n n + 1 2n − 1 2n 2 Nếu xét tràn chuỗi ta gộp các số hạng theo từng nhóm gồm 2k số hạng 1 1 1 1 1 1 1 1 + , + + + , + + , 2 3 4 5 6 7 8 15 1 ta có tổng mỗi nhóm đều > ⇒ dãy tổng riêng không bị chặn trên → chuỗi phân kì. 2 II. Các định lý so sánh Định lý 1: Cho hai chuỗi số dương (A), (B), nếu kể từ số hạng nào đó (n > N) mà an < bn thì:
71 + Từ (B) hội tụ suy ra (A) hội tụ + Từ (A) phân kì suy ra (B) phân kì. Định lý 2: Cho hai chuỗi số dương (A), (B) a Nếu có giới hạn lim n = k (0 ≤ k ≤ ∞) thì: n → ∞ b n + Từ sự hội tụ (B) và k 0 suy ra (A) phân kì Định lý 3: Cho hai chuỗi dương (A), (B) a + b + Nếu kể từ một số hạng nào đó (chẳng hạn n > N) n 1 0) n = 1 n 2 3 n ∞ 1 + Với S = 1. Ta có nó là chuỗi điều hòa ∑ phân kì. n = 1 n + Với S nên chuỗi cũng phân kì. n s n + Với S > 1 chuỗi hội tụ. (Chứng minh bằng dấu hiệu tích phân). Ví dụ 1: Xét chuỗi: ∞ 1 1 1 hội tụ (Định lý 1). n = 1 n(n + 1) n(n + 1) n 1 1 = Hay lim 3 : 2 1 → hội tụ (Định lý 2) n → ∞ n 2 n(n + 1) ∞ 1 Ví dụ 2: ∑ p (p > 0) n = 2 (ln n) 1 1 Với n khá lớn: (ln n)p . Phân kì (ln n) p n III. Các dấu hiệu hội tụ (Cosi − Dalămbe − Rap (Raab)) Sử dụng chuỗi mẫu (A): ∞ Chuỗi hội tụ ∑ q n = q + q 2 + + q n + 0 < q <1 n = 1 ∞ Chuỗi phân kì ∑ 1n = 1 + 1 + + 1 + n = 1
72 1. D ấu hi ệu C os i n Định lý: Gọi Cn = a n − Nếu với n khá lớn Cn ≤ q 1 chuỗi phân kì. C = 1 chưa có kết luận gì. 2. Dấu hiệu Dalămbe a = n + 1 Định lý: Gọi D n a n − Nếu với n khá lớn Dn ≤ q 1 chuỗi phân kì Không có kết luận gì khi C = 1 3. Dấu hiệu Rap (So sánh với chuỗi Riman)  a  =  − n + 1  Định lý: Gọi R n n 1   a n  Khi đó: − Nếu với n đủ lớn Rn ≥ n > 1 chuỗi số hội tụ − Nếu kể từ một lúc nào đó Rn ≤ 1 chuỗi phân kì. = lim R n R Hệ quả: n → ∞ − Nếu R > 1 chuỗi hội tụ − Nếu R < 1 chuỗi phân kì − Nếu R = 1 chưa có kết luận gì. 4. D ấu hi ệu t ích ph â n
73 ∞ Cho chuỗi dương ∑ a n trong đó các số n = 1 hạng lập thành một dãy giảm a1 ≥ an ≥ an ≥ ≥ an ≥ (>0) Xét hàm f(x) giảm trên [1, +∞) Có an = f(n) Tổng riêng •An = a1 + + an là diện tích hình bậc thang ngoại tiếp hình thang cong lấp bởi f(x) •An+1 − a1 = a2 + a3 + + an+1 là diện tích hình bậc thang nội tiếp hình thang cong. Nên: n + 1 ≥ ≥ − A n ∫ f (x)dx A n + 1 a 1 1 ∞ Định lý: Cho chuỗi dương ∑ a n có các số hạng giảm dần, f(x) hàm số liên tục giảm trên n = 1 [1,+∞) và f(n) = an. Khi đó chuỗi (A) đồng thời hội tụ hay phân kì với tích phân suy rộng ∞ ∫ f (x)dx . 1 Nếu A − Tổng của chuỗi I là giá trị của tích phân. Ta có: I ≤ A ≤ I + a1 ∞ ∞ ∑ 1 ds Trở lại xét: Chuỗi Riman s đồng hội tụ hay phân kì với ∫ s = n 1 n 1 x ∞ ∞ 1 dx ∞ Trở lại: ∑ phân kì vì ∫ = ln(ln x)| phân kì = 2 n 2 n ln n 2 x ln x §3. SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI BẤT KÌ. I. Sự hội tụ tuyệt đối Đưa về chuỗi ∞ = + + + ∑ | a n | | a1 | | a n | (|A|) n = 1 Ta có: |An+p − An| = |an+1 + + an+p| ≤ |an+1| + + |an+p| Định lý: Nếu chuỗi (|A|) hội tụ → (A) hội tụ Điều ngược lại không hẳn đúng. Định nghĩa: Nếu chuỗi (|A|) hội tụ thì ta nói chuỗi (A) hội tụ tuyệt đối. Trái lại nếu chỉ có chuỗi (A) hội tụ (chuỗi (|A|) không hội tụ) thì ta nói chuỗi (A) bán hội tụ
74 II. Sự hội tụ của chuỗi đan dấu. Dấu hiệu Laibnit Chuỗi đan dấu: Chuỗi Laibnit là chuỗi có số hạng luân phiên đổi dấu, tức có dạng: ∞ − n − 1 = − + + − n − 1 + ∑ ( 1) C n C1 C 2 C3 ( 1) C n n = 1 Trong đó Cn > 0 ∀n Định lý Laibnit: Nếu các số hạng của chuỗi (L) giảm về giá trị tuyệt đối = limC n 0 Tức là Cn+1 < Cn và n → ∞ thì chuỗi đó hội tụ ∞ n − 1 (− 1) 1 1 − 1 Ví dụ: ∑ = 1− + − + (− 1) n 1 + hội tụ. n = 1 n 2 3 n §4. CHUỖI HÀM I. Định nghĩa ∞ = + + + + * Xét chuỗi ∑ u n (x) u1(x) u 2 (x) u n (x) (5-1) n = 1 Trong đó các số hạng un(x) đều là các hàm số xác định trên tập X. Ta gọi chuỗi đã cho là chuỗi hàm ∞ * Với x = xo chuỗi hàm (5-1) trở thành chuỗi số ∑ u n (x 0 ) n = 1 Nếu chuỗi số này hội tụ thì xo gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm Nếu chuỗi số này phân kì thì xo gọi là điểm phân kì của chuỗi hàm * Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là tập hội tụ * Tổng của chuỗi hàm số là một hàm số xác định trong tập hội tụ của nó. Ví dụ 1: Cho chuỗi hàm 1 + x + x2 + + xn + Chuỗi này hội tụ với |x| < 1. Tập hội tụ là (−1, 1) 1 u − u 1 − x n 1 Tổng S(x) = = lim 1 n = lim = 1 − x n → ∞ 1 − x n → ∞ 1 − x 1 − x ∞ sin nx Ví dụ 2: Xét chuỗi hàm ∑ 2 2 n = 1 n + x | sin nx | 1 Do |sin nx| < 1 ⇒ < ∀x ∈ R n 2 + x 2 n 2 ∞ 1 ⇒ Do ∑ 2 hội tụ chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối. n = 1 n * Chuỗi hàm số hội tụ đều
75 ∞ Giả sử chuỗi hàm số ∑ u n (x) hội tụ trên tập X và có tổng là hàm S(x). Gọi Sn(x) là tổng n = 1 = lim Sn (x) S(x) ∀ ∃ riêng thứ n của chuỗi hàm đã cho thì n → ∞ . Tức là với ε > 0, N = N(ε,x) sao cho ∀n > N ta có |Sn(x) −S(x)| 0, ∃N = N(ε). Sao cho ∀n > N |Sn(x) − S(x)| 0 ∃N sao cho ∀p>q>N n = 1 ta có: |Sp(x) − Sq(x)| |x1|. n = 0 ∞ n * Bán kính hội tụ: Rõ ràng ∑ a 0 x luôn hội tụ tại x = 0. Từ định lý ABen suy ra ∃R (0≤ n = 0 R<+∞) sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trong các khoảng (−∞, R) và (R, +∞). Tại x=±R chuỗi hàm có thể hội tụ hoặc phân kì. Số R được gọi là bán kính hội tụ. Khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi. ∞ n Định lý: Cho chuỗi lũy thừa ∑ a n x . Nếu n = 0 a n + 1 = ρ n = ρ lim hoặc lim | a n | n → ∞ n → ∞ a n 1 ρ ∞ ρ ∞ Thì bán kính hội của chuỗi là ρ (nếu = 0 thì R=+ và = + thì R = 0). Chứng minh: a + 1 Nếu lim n 1 = ρ , 0 < ρ < +∞ thì với mọi x, |x| < ta có: n → ∞ ρ a n
76 n + 1 a + x a + 1 lim n 1 = lim n 1 ⋅ | x | ρ thì n+ 1 an+ 1x 1 > ρ ⋅ >1 n ρ an x an+ 1 nên theo dấu hiệu Dalanbe chuổi bất kì. Khi ρ=∞ thì hiển nhiên R=0 và khi ρ=0, lim n→ ∞ an =0 nên chuỗi hội tụ với ∀ x tức R=+∞. 1 Bán kính hội tụ của chuỗi là ρ 1 n = ρ Ta có khi lim an , sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cosi ta hoàn toàn chứng minh được là n→ ∞ ρ bán kính hội tụ của chuỗi. ∞ xn Thí dụ 1: Chuỗi ∑ n= 0 n! a n+ 1 1 → → ∞ ∞ ∀ Ta có = + 0 khi n , nên bán kính hội tụ là R=+ , tức chuỗi hội tụ với x an n 1 ∈ R ∞ Thí dụ 2: Chuỗi ∑ nn xn n= 1 n = n n = → ∞ Ta có an n n , nên R=0, tức chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất x=0 III. Chuỗi Taylo và ứng dụng Xét hàm số f(x) có bán kính hội tụ R. Hàm f(x) được gọi là khai triển thành chuỗi luỹ thừa ∞ ∞ n n ∈ trên khoảng (-R, R) nếu có chuỗi luỹ thừa ∑ an x sao cho f(x)= ∑ an x với ∀ x (-R, R) n= 0 n= 0 * Định lý: Nếu f(x) khai triển được thành chuỗi luỹ thừa trên khoảng (-R, R) thì f(x) có đạo (K ) = ∈ hàm mọi cấp trên (-R, R) và f (0) K!aK với K N Vì chuỗi luỹ thừa là đa thức bậc n, nên nó có đạo hàm mọi cấp cho đến n+1. Nên định lý trên là hiển nhiên * Với hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp trên khoảng (-R, R), khi đó ta có chuỗi hàm: ∞ f (n) (0) S(x) = ∑ xn gọi là khai triển Taylo của hàm trong lân cận điểm 0 n= 0 n! Nếu xét trong lân cận điểm a ∈ (-R, R) ta có khai triển Taylo của hàm f(x) là: