Bài giảng Toán cao cấp A3 (Đại học)

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp A3 (Đại học)

1. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com 3. Nguy ễn Đình Trí – Phép tính Gi ải tích TO ÁN CAO C P A3 Đ I H C hàm nhi ều bi ến – NXB Giáo d ục. 4. Phan Qu ốc Khánh – Phép tính Vi tích phân ( tập 2) PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH – NXB Giáo d ục. S ti t: 45 5. Đặ ng V ăn Vinh – Slide bài gi ảng Tốn A 3 – ĐH Bách khoa Tp.HCM . Ch ươ ng 1. Hàm s ố nhi ều bi ến s ố 6. Nguy ễn Th ừa H ợp – Gi ải tích ( tập 1, 2) Ch ươ ng 2. Tích phân b ội – NXB ĐHQG Hà N ội. Ch ươ ng 3. Tích phân đườ ng – Tích phân m ặt 7. Nguy ễn Th ủy Thanh – Bài t ập Gi ải tích ( tập 2) Ch ươ ng 4. Ph ươ ng trình vi phân – NX B Giáo d ục. 8. James Stewart – Calculus Early Transcendentals, Tài li ệu tham kh ảo sixth edition – USA 2008 . 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao c ấp A 3 Biên so n: ThS . Đồn Vươ ng Nguyên – ĐHCN TP. HCM. 2. Đỗ Cơng Khanh – Gi ải tích hàm nhi ều bi ến Download Slide bài gi ng To án A3 ti (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP. HCM. dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s §1. Khái ni ệm c ơ b ản • Mi ền ph ẳng D k ể c ả biên ∂D đượ c gọi là mi ền đĩng , §2. Đạo hàm riêng – Vi phân mi ền ph ẳng D khơng k ể biên ∂D là mi ền m ở. §3. C ực tr ị c ủa hàm hai bi ến s ố • Mi ền ph ẳng D đượ c g ọi là mi ền liên thơng n ếu cĩ 1 đườ ng cong n ằm trong D n ối 2 điểm b ất k ỳ thu ộc D . §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN Mi ền liên thơng cĩ biên là 1 đườ ng cong kín đượ c g ọi là mi ền đơ n liên (hình a) ; cĩ biên là nhi ều đườ ng cong 1.1. Các định ngh ĩa kín r ời nhau là mi ền đa liên (hình b). a) Mi ền ph ẳng • Trong m ặt ph ẳng Oxy , hình ph ẳng D gi ới h ạn b ởi các đườ ng cong kín đượ c g ọi là mi ền ph ẳng . T ập h ợp các đườ ng cong kín gi ới h ạn D đượ c g ọi là biên c ủa D , ký hi ệu ∂D hay Γ. Đặ c bi ệt, m ặt ph ẳng Oxy đượ c xem là mi ền ph ẳng v ới biên ở vơ cùng .
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s b) Lân c ận c ủa m ột điểm c) Hàm s ố hai bi ến s ố • Trong m ặt ph ẳng Oxy cho t ập D ⊂ ℝ2. • Kho ảng cách gi ữa 2 điểm M( x , y ) , M( x , y ) là: 1 1 1 2 2 2 Tươ ng ứng f: D → ℝ cho t ươ ng ứng m ỗi (x , y ) ∈ D 2 2 dMM MM xx yy với m ột giá tr ị z= fxy( , ) ∈ ℝ duy nh ất đượ c g ọi là ( 12, ) = 12 =( 12 −) +−( 12 ) . hàm s ố hai bi ến số x, y . 2 • Hình trịn S( M ,ε ) m ở cĩ tâm • T ập D ⊂ ℝ đượ c g ọi là mi ền xác đị nh (MX Đ) c ủa hàm ε số f( x , y ) , ký hi ệu là D . Mi ền giá tr ị c ủa hàm f( x , y ) là: M( x , y ) , bán kính ε > 0 đượ c • f M G== z fxy(,) ∈ℝ (,) xy ∈ D . gọi là m ột lân c ận c ủa điểm M . { f } Chú ý Ngh ĩa là: • Trong tr ườ ng h ợp xét hàm s ố f( x , y ) mà khơng nĩi gì Mxy(,)(,)∈ SM ε⇔ ( xx − )(2 +− yy ) 2 <ε . 000 0 0 thêm thì ta hi ểu MX Đ c ủa hàm s ố là t ập t ất c ả các điểm M( x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f( x , y ) cĩ ngh ĩa. Tốn cao c p A3 Đi h c 1
2. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s • Hàm cĩ nhi ều h ơn hai bi ến đượ c đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. 1.2. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố hai bi ến s ố a) Điểm t ụ VD 1. • Trong mp Oxy cho dãy điểm Mxn( n , y n ), n = 1,2, • Hàm s ố fxy(,)= 3 xy2 − cos xy cĩ D = ℝ2. f Điểm M0( x 0 , y 0 ) đượ c g ọi là điểm t ụ c ủa dãy trên n ếu mọi lân c ận c ủa M đề u ch ứa vơ s ố ph ần t ử c ủa dãy. • Hàm s ố z=4 − x2 − y 2 cĩ MX Đ là hình trịn đĩng 0 • Điểm M( x , y ) đượ c g ọi là điểm t ụ c ủa t ập D ⊂ ℝ2 tâm O(0; 0) , bán kính R = 2. 0 0 0 nếu m ọi lân c ận c ủa điểm M 0 đề u ch ứa vơ s ố điểm • Hàm s ố z=ln(4 − x2 − y 2 ) cĩ MX Đ là hình trịn m ở thu ộc D . tâm O(0; 0) , bán kính R = 2. b) Đị nh ngh ĩa gi ới h ạn (gi ới h ạn b ội) • Điểm M0( x 0 , y 0 ) đượ c g ọi là gi ới h ạn c ủa dãy điểm • Hàm s ố z= fxy( , ) = ln(2 xy +− 3) cĩ MX Đ là n ửa Mx( , y ), n = 1,2, n ếu M( x , y ) là điểm t ụ duy mp m ở cĩ biên d:2 x+ y − 30 = , khơng ch ứa O . n n n 0 0 0 nh ất c ủa dãy.
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s n→∞ xy xy x→0 Ký hi ệu là: lim Mn = M hay Mn → M . y→0 n→∞ 0 0 Gi ải. 0(,)≤fxy = ≤ = x  → 0 . 2 2 2 ℝ ∪ x+ y y • Hàm s ố f( x , y ) cĩ gi ới h ạn là L ∈{ ±∞ } khi Mn Vậy limf (, x y )= 0 . dần đế n M0 n ếu limfx (n , y n ) = L . Ký hi ệu: (x , y )→ (0,0) n→∞ limfxy ( , )= lim fxy ( , ) = lim fML ( ) = . Nh ận xét xx→0(,) xyxy → ( 00 , ) MM → 0 y y • N ếu đặ t xxr=+cos ϕ=+ , yyr sin ϕ thì: → 0 0 0 (,)(,)xy→ xy ⇔ r → 0 . 2x2 y− 31 x − 3 0 0 VD 2. lim = − . (x , y )→ (1, − 1) xy 2 + 3 2 sin(x2+ y 2 ) VD 4. Tìm lim . xy (x , y )→ (0,0) x2+ y 2 VD 3. Tìm limf ( x , y ) , v ới f( x , y ) = . (x , y )→ (0,0) x2+ y 2 Gi ải. Đặ t xr=cos ϕ= , yr sin ϕ , ta cĩ:
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s sin(x2+ y 2 ) sin r 2 c) Gi ới h ạn l ặp lim= lim = 1 . • Gi ới h ạn theo t ừng bi ến khi M d ần đế n M c ủa hàm s ố (,)(0,0)x y→x2+ y 2 r → 0 r 2 n 0 f( x , y ) đượ c g ọi là gi ới h ạn l ặp. 2xy VD 5. Cho hàm s ố f( x , y ) = . Khi x→ x tr ướ c, y→ y sau thì ta vi ết: x2+ y 2 0 0 lim limf ( x , y ) . Ch ứng t ỏ r ằng limf ( x , y ) khơng t ồn t ại. y→ yx → x (x , y )→ (0,0) 0 0 Khi y→ y 0 tr ướ c, x→ x 0 sau thì ta vi ết: Gi ải. Đặ t xr=cos ϕ= , yr sin ϕ , ta cĩ: lim limf ( x , y ) . x→ xy → y r 2 sin 2 ϕ 0 0 limf ( x , y )= lim = sin 2 ϕ . sinx2− sin y 2 (,)(0,0)x y→ r → 0 r 2 VD 6. Xét hàm s ố f( x , y ) = . Ta cĩ: x2+ y 2 Do gi ới h ạn ph ụ thu ộc vào ϕ nên khơng duy nh ất. −sin y2 limlim(,)f x y = lim = − 1 , Vậy limf ( x , y ) khơng t ồn t ại. 2 (x , y )→ (0,0) y→0 x → 0 y → 0 y Tốn cao c p A3 Đi h c 2
3. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s sin x 2 Nh ận xét limlim(,f x y )= lim = 1 . • N ếu lim limfxy ( , )≠ lim lim fxy ( , ) thì khơng t ồn x→0 y → 0 x → 0 2 x yyxx→00 → xxyy → 00 → Vậy limlimfxy (, )≠ limlim fxy (, ) . tại limf ( x , y ) . yx→00 → xy → 00 → (,)xy→ ( xy0 , 0 ) • Đị nh lý • S ự t ồn t ại gi ới h ạn l ặp khơng kéo theo s ự t ồn t ại gi ới ℝ2 hạn b ội và ng ượ c l ại. Trong cho hình vuơng H cĩ 1 đỉ nh là M0( x 0 , y 0 ) và hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trong H . 1.3. Hàm s ố liên t ục • Hàm s ố f( x , y ) liên t ục t ại Mx( , y ) ∈ D ⊂ ℝ2 n ếu N ếu t ồn t ại limfxy (, ) = L ∈ ℝ và m ỗi y∈ Y 0 0 0 (,)xy→ ( xy0 , 0 ) limfxy (,)= fx (,0 y 0 ). tồn t ại ϕ()y = lim fxy (, ) ∈ ℝ thì: (,)xy→ ( xy0 , 0 ) x→ x 0 • Hàm s ố f( x , y ) liên t ục trên t ập D ⊂ ℝ2 n ếu nĩ liên t ục lim limfxy (, )= lim ϕ () y = L . yyxx→ → yy → 0 0 0 tại m ọi điểm thu ộc D.
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Chú ý §2. ĐẠ O HÀM RIÊNG – VI PHÂN Hàm s ố f( x , y ) liên t ục trên mi ền đĩng gi ới n ội D thì nĩ 2.1. Đạ o hàm riêng đạ t giá tr ị l ớn nh ất ( max ) và nh ỏ nh ất ( min ) tr ên D . a) Đạ o hàm riêng c ấp 1 • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên mi ền m ở D ⊂ ℝ2 sinx2− sin y 2 VD 7. Xét sự liên t ục c ủa f( x , y ) = . ch ứa điểm M( x , y ) . Cố đị nh y , n ếu hàm s ố f( x , y ) x2+ y 2 0 0 0 0 0 cĩ đạ o hàm tại x thì ta g ọi đạ o hàm đĩ là đạ o hàm riêng Gi ải. Với (x , y )≠ (0, 0) thì hàm số f( x , y ) xác đị nh nên 0 theo bi ến x của hàm s ố f( x , y ) t ại (x , y ) . liên t ục. 0 0 ∂f Ký hi ệu: f x y hay f/ x y hay x y Tại (0, 0) thì limf ( x , y ) khơng t ồn t ại (VD 6). x (0 , 0 ) x (0 , 0 ) (0 , 0 ). (x , y )→ (0,0) ∂x fxy(, )− fx ( , y ) Vậy hàm s ố f( x , y ) liên t ục trên ℝ2 \ {(0, 0)} . / 0 0 0 Vậy fx ( x0 , y 0 )= lim . x→ x x x 0 − 0
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s • T ươ ng t ự, đạ o hàm riêng theo bi ến y t ại (x , y ) là: x 2 + 1 0 0 VD 2. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = ln . x2+ y 2 + 1 / fx(0 , y)− fx ( 0 , y 0 ) fy (,)lim x y = . 0 0 y→ y y− y x 0 0 VD 3. Tính các đạ o hàm riêng c ủa z = cos t ại (π ; 4) . y Chú ý ∂f df x2 y • Nếu f( x ) là hàm s ố một bi ến x thì f / = = . VD 4. Tính các đạ o hàm riêng c ủa fxyz(,,)= e sin z . x ∂x dx • Hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến cĩ đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. b) Đạ o hàm riêng cấp cao VD 1. Tính các đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố: / / • Đạo hàm riêng (n ếu cĩ) c ủa hàm s ố fx ( x , y ) , fy ( x , y ) 4 32 3 fxy(,)=− x 3 xy + 2 y − 3 xy tại (− 1; 2) . đượ c g ọi là các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa f( x , y ) . Tốn cao c p A3 Đi h c 3
4. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Ký hi ệu: VD 5. Tính các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố: ∂ ∂f  ∂ 2 f fxy( , ) = xe3y + xy 23 − y 4 t ại (− 1; 1) . f// == f f =  = , 2 xx() x   x x ∂x ∂ x   ∂x 2 VD 6. Cho hàm s ố fxy x5 y 4 xy 45 . 2 ( , ) = + − // ∂ ∂f  ∂ f f== f f =  = , (5) y2 yy( y )   2 Giá tr ị c ủa đạ o hàm riêng cấp năm f (1;− 1) là: y ∂y ∂ y   ∂y x3 y 2 ∂ ∂f  ∂ 2 f A. f (5) (1;− 1) = 480 ; B. f (5) (1;− 1) = − 480 ; f// f f   , x3 y 2 x3 y 2 xy== xy() x =  = y ∂y ∂ x  ∂∂ yx (5) (5) C. f 3 2 (1;− 1) = 120 ; D. f 3 2 (1;− 1) = − 120 .   2 x y x y // ∂ ∂f ∂ f fyx== f yx( f y ) =  = . • Đị nh lý Schwarz x ∂x ∂ y  ∂∂ xy N ếu hàm s ố f( x , y ) cĩ các đạ o hàm riêng f//, f // liên • Hàm s ố nhi ều h ơn 2 bi ến và đạ o hàm riêng c ấp cao h ơn xy yx ℝ2 // // 2 cĩ đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. tục trong mi ền mở D ⊂ thì fxy= f yx .
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s VD 7. Đạ o hàm riêng z(m+ n ) ( m ≥ 2) c ủa z= e 2x− y là: b) Đị nh ngh ĩa xm−2 y n x 2 • Nếu trong lân c ận S( M 0 ,ε ) v ới s ố gia x , y mà s ố A. nmn+e2 xy − ; B. mmn+e2 xy − ; (− 1) 2 (− 1) 2 gia f t ươ ng ứng cĩ th ể vi ết đượ c d ướ i d ạng: C. (− 1)m 2 me2 xy− ; D. (− 1)n 2 me2 xy− . =++fAxByOrr. .( ) , = ()() x2 + y 2 , 2.2. Vi phân trong đĩ A, B là nh ững s ố ch ỉ ph ụ thu ộc vào điểm 2.2.1. Vi phân c ấp 1 M( x , y ) và hàm f( x , y ) , khơng ph ụ thu ộc x, y a) Số gia của hàm số 0 0 0 thì đạ i l ượ ng A x B y đượ c g ọi là vi phân c ủa • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trong lân c ận S( M ,ε ) . + . 0 hàm s ố f( x , y ) t ại điểm M( x , y ) . của điểm M( x , y ) . Cho x m ột s ố gia x và y m ột 0 0 0 0 0 0 • Khi đĩ, f( x , y ) đượ c g ọi là kh ả vi t ại điểm M( x , y ) . số gia y, khi đĩ hàm f( x , y ) cĩ t ươ ng ứng s ố gia: 0 0 0 Ký hi ệu là: dfxy(,)0 0 = Ax . + B y =f fx(0 + xy , 0 +− y ) fxy (, 00 ).
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Nh ận xét c) Đị nh lý • Xét nh ững điểm Mx(0+ xy , 0 + y ) d ịch chuy ển • N ếu hàm s ố f( x , y ) cĩ các đạ o hàm riêng trong lân c ận trên đườ ng đi qua M song song Ox . Khi đĩ y = 0 : 0 nào đĩ c ủa (x0 , y 0 ) và các đạ o hàm riêng này liên t ục =f fx(0 + xy , 0)(, − fxy 00 ) =+ AxOx . () tại (x0 , y 0 ) thì f( x , y ) kh ả vi t ại (x0 , y 0 ) . f / ⇒lim =⇒=A A fxyx (,)0 0 . 2x− y 5 x → 0 x VD 8. Cho hàm fxy( , ) = xe − y . Tính df (1;− 1) . f / x2 − y 2 Tươ ng t ự, lim=B ⇒ B = fxyy (,)0 0 . VD 9. Tính vi phân c ấp 1 c ủa hàm ze= sin( xy ) . y →0 y / / Suy ra dfxy(, )= fxyx (, ). + x fxy y (, ). y . 2.2.2. VI PHÂN C ẤP CAO a) Vi phân c ấp 2 • Xét fxy(, )=⇒ x dfxy (,) =⇒ x dx = x . • Gi ả s ử f( x , y ) là hàm kh ả vi v ới x, y là các bi ến độ c T ươ ng t ự, dy= y . V ậy: lập. Các s ố gia dx= x, dy = y tùy ý độ c l ập v ới dfx(, y)= f/ (, x ydx) + f / (, x ydy). x y x, y nên đượ c xem là h ằng s ố đố i v ới x, y . Tốn cao c p A3 Đi h c 4
5. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s • Vi phân c ủa df( x , y ) đượ c g ọi là vi phân c ấp 2 c ủa b) Vi phân c ấp n f( x , y ) . Ký hi ệu và cơng th ức: n dfn= dd n−1 f = Cf k(n ) dxdy knk − . ( ) ∑ n k n− k df2= ddf = fdx′′ 2 +2 fdxdy ′′ + fdy ′′ 2 . x y ( ) x2 xy y 2 k=0 Trong đĩ f()n= f () n , f()n= f () n , Chú ý xn y0 x n x0 yn y n • Nếu x, y là các bi ến khơng độ c l ập (bi ến trung gian) dxn dy0 = dx n , dxdy0 n= dy n . x= x ( ϕ , ψ ) , y= y ( ϕ , ψ ) thì cơng th ức trên khơng cịn đúng n ữa. Sau đây ta ch ỉ xét tr ườ ng h ợp x, y độ c l ập. VD 12. Tính vi phân c ấp 3 c ủa hàm s ố fxy( , ) = xy3 2 . VD 10. Cho hàm s ố fxy(,)= xy23 + xy 2 − 3 xy 35 . 2 Tính vi phân cấp hai df (2;− 1) . VD 13. Tính vi phân d3 z c ủa hàm s ố z= e2x cos 3 y . VD 11. Tính vi phân c ấp 2 c ủa hàm fxy(, )= ln( xy 2 ) .
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s 2.3. Đạ o hàm c ủa hàm s ố h ợp Tính tr ực ti ếp nh ư sau: a) Hàm h ợp v ới m ột bi ến độ c l ập ω(t ) = (3 tt2 − ) 2 sin t • Cho f( x , y ) là hàm kh ả vi đố i v ới x, y và x, y là nh ững ⇒ω=′(t ) 2(3 ttt2 − )(6 − 1)sin ttt + (3 2 − ) 2 cos t hàm kh ả vi đố i v ới bi ến độ c l ập t. Khi đĩ, hàm h ợp c ủa 2 bi ến t là ω()t = fxt ((), yt ()) kh ả vi. Ta cĩ: =2xy (6 t − 1) + x cos t . dx dy 2 2 2 df ω′(t ) = f/ + f / . VD 15. Cho fxy( , )= ln( xyy + ), = sin x . Tính . xdt y dt dx Gi ải VD 14. Tính ω′(t ) v ới hàm s ố fxy( , ) = xy2 và df / / 2 22  22  2/ x=3 t − ty , = sin t . =ln(xy + )  + ln( xy + )(sin  x ) x dx  x  y /dx / dy Gi ải. ω′()t = f . + f . 2x 2sin2 yxxyx 2+ 2sin2 xdt y dt = + = . 2/2/ 2 xyxy22+ 22 + xy 22 + =2(3xytt −+ )t x (sin) t t = 2(6 xyt −+ 1) x cos t .
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s b) Hàm h ợp v ới hai bi ến độ c l ập Gi ả s ử các hàm trên đều kh ả vi, đạ o hàm 2 v ế (*) ta đượ c: • Cho f( x , y ) là hàm kh ả vi đố i v ới x, y và x, y là nh ững F/+ Fz //. = 0, F / + Fz // . = 0 . hàm kh ả vi đố i v ới hai bi ến độ c l ập ϕ, ψ . Khi đĩ, hàm x zx y zy / / hợp c ủa 2 bi ến ϕ, ψ là ωϕψ=(, )f ((, x ϕψ ),(, y ϕψ )) F Fy V ậy z/=−x , z / =− F / ≠ 0 . x/ y / () z kh ả vi. Ta cĩ: Fz F z / // /// // // ω=ϕfxxy. ϕ + fy ., ϕψ ω= fx xy . ψ + fy ψ VD 16. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình: 2.4. Đạ o hàm c ủa hàm s ố ẩn (hai bi ến) / / xyz=cos( x + y + z ) . Tính zx, z y . ℝ2 • Hàm z( x , y ) xác đị nh trên Dz ⊂ th ỏa ph ươ ng trình VD 17. Cho hàm ẩn z( x , y ) th ỏa ph ươ ng trình m ặt c ầu: Fxyzxy(,,(,))= 0, ∀ (,) xy ∈⊂ D D z (*) đượ c g ọi là 2 2 2 / hàm s ố ẩn hai bi ến xác đị nh b ởi (*) . xyz+ + −2 x + 4 yz − 6 −= 20 . Tính zy . Tốn cao c p A3 Đi h c 5
6. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s 2.5. Đạ o hàm theo h ướ ng – Vector gradient • Trong khơng gian Oxyz , đặ t rt( ) = OM . 2.5.1. Hàm vector Khi t thay đổ i thì điểm M thay đổ i và v ạch ra 1 đườ ng • Ánh x ạ r: T ⊂ℝ → ℝ 3 cong. Đườ ng cong này đượ c g ọi là tốc đồ c ủa r( t ) . t֏ rt()= xti (). + ytj (). + ztk (). Ph ươ ng trình tham s ố c ủa t ốc đồ : đượ c g ọi là m ột hàm vector . x= xt(); y = yt (); z = zt () rt()= xt (), yt (), zt () Vậy ( ) T ại điểm M0 thu ộc t ốc đồ c ủa r( t ) , ta cĩ rt(0 ) = OM 0 . Chú ý • Gi ới h ạn lim()rt=⇔ v lim() rt −= v 0 • Nếu r′( t )≠ 0 thì r′( t ) là vector ch ỉ ph ươ ng ti ếp tuy ến tt→ tt → 0 0 0 0 tại điểm M c ủa t ốc đồ . • Đạ o hàm 0 • N ếu r′( t )= 0 thì điểm M đượ c g ọi là điểm k ỳ d ị c ủa rt′′()= xti (). + ytj ′ (). + ztk ′ (). 0 0 tốc đồ .
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s 2.5.2. Đạ o hàm theo h ướ ng b) Cosin ch ỉ ph ươ ng a) Đị nh ngh ĩa G ọi α, β , γ l ần l ượ t là gĩc t ạo b ởi v=(, vvvx y , z ) ≠ 0 Gi ả s ử hàm f(, x y , z ) xác đị nh trong m ột lân c ận c ủa với i, j , k . Khi đĩ cosα , cos β , cos γ đượ c g ọi là các điểm M( x , y , z ) . Xét v=(, vvv , ) ≠ 0 , g ọi là 0 0 0 0 x y z cosin ch ỉ ph ươ ng c ủa v và: v nửa đườ ng th ẳng g ốc M0 theo h ướ ng . vvy v Trên l ấy điểm M sao cho đoạn M M thu ộc lân c ận cosα=x , cos β= , cos γ= z 0 ||v || v || v nĩi trên và đặ t r= M M . 0 Đạ o hàm t ại điểm M theo h ướ ng v của hàm f , ký hi ệu c) Đị nh lý 0 f′( M ) , là gi ới h ạn (n ếu cĩ) Nếu f(, x y , z ) kh ả vi t ại điểm M thì t ồn t ại đạ o hàm t ại v 0 0 fM()− fM ( ) điểm M0 theo h ướ ng v ≠ 0 b ất k ỳ và f′( M )= lim 0 v 0 + ′′ ′ ′ r→0 r fMvx(00 )= fM ( )cos α+ fM y ( 0 )cos β+ fM z ( 0 )cos γ
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s d) Tính ch ất V ậy 1) (.)kf′= kf .( ′ k ∈ ℝ ) ; 2) (fg+ ) ′ = f ′ + g ′ fM fM fMfMfM′ ′ ′ v v v v v ∇(0 ) = grad( 0 ) = ( x ( 000 ),( y ),( z ) )   ′ fg′ fg ′ f  v.− . v 3) (.)fg′= fg ′ . + fg . ′ ; 4)   =(g ≠ 0) . b) Ý ngh ĩa v v v g   2 v g Ta cĩ: 2.5.3. Vector gradient fM′′( )= fM ( )cos α+ fM ′ ( )cos β+ fM ′ ( )cos γ a) Đị nh ngh ĩa vx00 y 0 z 0 Gi ả s ử hàm f(, x y , z ) cĩ các đạ o hàm riêng t ại điểm M . v 0 =∇fM(0 ).(cos α ,cos β ,cos γ=∇ ) fM (0 ). . Vector gradient t ại M c ủa hàm f , ký hi ệu ∇f( M ) hay |v | 0 0 Gọi ϕ là gĩc gi ữa ∇f( M 0 ) và v , ta đượ c gradf ( M ) , là vector 0 ′ ′ ′ fMv′( )= ∇ fM ( ) .cos ϕ ∇=fM()0 fMix (). 0 + fMj y (). 0 + fMk z (). 0 0 0 Tốn cao c p A3 Đi h c 6
7. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Từ cơng th ức trên, ta cĩ: §3. C ỰC TR Ị C ỦA HÀM HAI BI ẾN S Ố 3.1. Đị nh ngh ĩa ( cực tr ị đị a ph ươ ng ) ′ • max(fMv 0 )= ∇ fM ( 0 ) khi ϕ = 0. • Hàm số z= fxy( , ) đạ t cực tr ị đị a ph ươ ng ( gọi t ắt là cực tr ị) t ại M x y n ếu v ới m ọi điểm M x y khá ′ 0( 0 , 0 ) ( , ) • min(fMv 0 )= − ∇ fM ( 0 ) khi ϕ = π . gần nh ưng khác M 0 thì hi ệu f = fxy(,) − fx (,0 y 0 ) V ậy ý ngh ĩa c ủa vector gradient là: h ướ ng c ủa ∇f( M ) 0 cĩ d ấu khơng đổ i. là h ướ ng t ăng nhanh nh ất c ủa hàm f và, hàm f s ẽ gi ảm • N ếu f > 0 thì f( x0 , y 0 ) đượ c g ọi là giá tr ị cực ti ểu nhanh nh ất theo h ướ ng ng ượ c l ại. và M là điểm c ực ti ểu c ủa z= fxy( , ) . 0 • N ếu f 0 • N ếu  ⇒ f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M . • N ếu hàm s ố z= fxy( , ) đạ t c ực tr ị t ại M( x , y ) và  A > 0 0 0 0 0  tại đĩ hàm s ố cĩ đạ o hàm riêng thì: AC− B 2 > 0 ′ ′ • N ếu  ⇒ f( x , y ) đạ t c ực đạ i t ại M . fxyx(,)00= fxy y (,) 00 = 0.  0  A < 0 • Điểm M x y th ỏa fxy′(,)= fxy ′ (,) = 0 đượ c  0( 0 , 0 ) x00 y 00 2 • N ếu AC− B <0 ⇒ fxy (,) khơng đạ t c ực tr ị t ại M 0 . gọi là điểm d ừng , M0 cĩ th ể khơng là điểm c ực tr ị. • N ếu AC− B 2 = 0 thì ta khơng th ể k ết lu ận. b) Điều ki ện đủ Gi ả s ử z= fxy( , ) cĩ điểm d ừng là M và cĩ đạ o hàm 3.3. Phân lo ại c ực tr ị 0 • Trong khơng gian Oxyz , xét m ặt cong S ch ứa đườ ng riêng c ấp hai t ại lân c ận c ủa điểm M . 0 cong (C ) . Chi ếu S lên mp Oxy ta đượ c mi ền D ⊂ ℝ2 Đặ t AfM=//(), BfM =// (), C = fM// () . x 2 0xy 0y 2 0 và đườ ng cong ph ẳng ():γ ϕ (,x y ) = 0 (xem hình v ẽ).
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s Khi đĩ, điểm P∈ S là 3.4. C ực tr ị t ự do 1 ố f x y đị D điểm cao nh ất (hay th ấp Cho hàm s ( , ) xác nh trên . nh ất) so v ới các điểm ở Để tìm c ực tr ị của f( x , y ) , ta th ực hi ện các b ướ c sau: trong lân c ận c ủa nĩ và • Bướ c 1. Tìm điểm d ừng M0( x 0 , y 0 ) b ằng cách gi ải h ệ: hình chi ếu M1 ∈ D là đượ c g ọi là điểm c ực tr ị f/(, x y )= 0  x 0 0 tự do c ủa hàm f x y  ( , ) f/( x , y )= 0.  y 0 0 xác đị nh trên D (vì khơng ph ụ thu ộc vào (γ ) ). Tươ ng • Bướ c 2. Tính Afxy=// (, ), B = fxy// (, ) , tự, điểm P2 ∈ ( C ) là điểm cao nh ất (hay th ấp nh ất) so x 2 00xy 00 với các điểm ở trong lân c ận c ủa nĩ và hình chi ếu Cfxy=// ( , ) ⇒= ACB − 2. y2 0 0 M2 ∈( γ ) là điểm c ực tr ị cĩ điều ki ện ràng bu ộc b ởi ():γ ϕ (,x y ) = 0 c ủa hàm f( x , y ) . • Bướ c 3. D ựa vào điều ki ện đủ để k ết lu ận. Tốn cao c p A3 Đi h c 7
8. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s VD 2. Tìm điểm d ừng c ủa hàm s ố z= xy(1 − x − y ) . 3.5. C ực tr ị cĩ điều ki ện ( cực tr ị v ướ ng ) • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên lân c ận c ủa điểm VD 3. Tìm c ực tr ị c ủa hàm zx=2 + y 2 +4 x − 2 y + 8 . M( x , y ) thu ộc đườ ng cong ():γ ϕ (,x y ) = 0 . VD 4. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z= x3 + y 3 −3 xy − 2 . 0 0 0 f x y Nếu t ại điểm M0, hàm ( , ) đạ t c ực tr ị thì ta nĩi M0 VD 5. Tìm c ực tr ị c ủa z=3 xyy2 +− 3 332 x 2 − y 2 + . là điểm cực tr ị cĩ điều ki ện c ủa f( x , y ) v ới điều ki ện 50 20 VD 6. Cho hàm s ố zxy=++( x > 0, y > 0) . ϕ(,x y ) = 0 . x y Kh ẳng đị nh đúng là: • Để tìm c ực tr ị cĩ điều ki ện c ủa hàm s ố f( x , y ) ta dùng A. z đạ t c ực ti ểu t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực ti ểu z = 39 . ph ươ ng pháp kh ử ho ặc nhân t ử Lagrange . B. z đạ t c ực ti ểu t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực ti ểu z = 30 . a) Ph ươ ng pháp kh ử C. z đạ t c ực đạ i t ại M(2; 5) và giá tr ị c ực đạ i z = 39 . • Từ ph ươ ng trình ϕ(,x y ) = 0 ta rút x ho ặc y th ế vào D. z đạ t c ực đạ i t ại M(5; 2) và giá tr ị c ực đạ i z = 30 . f( x , y ) , sau đĩ tìm c ực tr ị của hàm m ột bi ến.
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s VD 7. Tìm điểm cực tr ị c ủa hàm z= x2 y th ỏa điều kiện: • Bướ c 3. Tính vi phân c ấp 2 t ại M0( x 0 , y 0 ) ứng v ới λ0: x− y +3 = 0 . dLM2()= Ldx′′ 2 + 2 Ldxdy ′′ + Ldy ′′ 2 . 0 x2 xy y 2 b) Ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange Các vi phân dx, dy ph ụ thu ộc vào điều ki ện ràng bu ộc: f / f / Tại điểm c ực tr ị (x , y ) c ủa f , g ọi λ=−x =− y là dxyϕ(,) =ϕ′ (,) xydx +ϕ ′ (,) xydy = 0(1) / /  00x 00 y 00 ϕ ϕ  2 2 x y  (dx )+ ( dy ) > 0 (2). nhân t ử Lagrange . Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:  • Bướ c 1. L ập hàm ph ụ ( hàm Lagrange ): • Bướ c 4. Từ điều ki ện ràng bu ộc (1) và (2), ta cĩ: 2 Lxy(,,)λ= fxy (,) +λϕ (,). xy  Nếu d L( M 0 )> 0 thì f( x , y ) đạ t c ực ti ểu t ại M0. 2 ′ ′ ′  Nếu d L( M ) 0 . 1 p th ỏa điều ki ện ϕ(,x y ) = 0 (ch ỉ c ần tìm điểm d ừng). Tốn cao c p A3 Đi h c 8
9. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
   Ch ươ ng 1. Hàm s nhi u bi n s
   Ch ươ ng 2. Tích phân bi • Bướ c 3. Giá tr ị maxfxy (, ),min fxy (, ) t ươ ng ứng là §1. Tích phân bội hai (tích phân kép) D D §2. Tích phân bội ba giá tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất trong t ất c ả các giá tr ị sau: §3. Ứng dụng của tích phân bội fM( ), , fM (m ) , fN( ), , fN (n ) , fP( ), , fP (p ) . 1 1 1 §1. TÍCH PHÂN B ỘI HAI VD 12. Tìm giá tr ị l ớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 1.1. Bài tốn m ở đầ u (th ể tích kh ối tr ụ cong) 3 fxy( , ) = x2 + y 2 trong mi ền Dx: 2− x + y 2 ≤ . • Xét hàm s ố z= fxy( , ) 4 liên t ục, khơng âm và VD 13. Cho hàm s ố fxy( , ) = x2 + y 2 − xy ++ x y . một m ặt tr ụ cĩ các Tìm giá tr ị l ớn nh ất và nh ỏ nh ất c ủa f( x , y ) trong mi ền đườ ng sinh song song Dx:≤ 0, y ≤ 0, xy +≥− 3 . với Oz , đáy là mi ền VD 14. Tìm max, min c ủa z=sin x +sin y +sin( xy + ) ph ẳng đĩng D trong π π trong mi ền D:0≤≤ x ,0 ≤≤ y . mpOxy . 2 2
   Ch ươ ng 2. Tích phân bi
   Ch ươ ng 2. Tích phân bi • Để tính th ể tích kh ối tr ụ, ta chia mi ền D thành n ph ần 1.2. Tích phân b ội hai khơng d ẫm lên nhau Si , i= 1; n . Diện tích m ỗi ph ần a) Đị nh ngh ĩa • Cho hàm s ố f( x , y ) xác đị nh trên mi ền D đĩng và b ị cũng ký hi ệu là Si . Khi đĩ, kh ối tr ụ cong đượ c chia ch ặn trong mặt ph ẳng Oxy . thành n kh ối tr ụ nh ỏ. Trong m ỗi ph ần Si ta l ấy điểm Chia mi ền D m ột cách tùy ý thành n ph ần khơng d ẫm Mi( x i ; y i ) tùy ý và th ể tích V c ủa kh ối tr ụ là: n lên nhau, di ện tích m ỗi ph ần là Si , i= 1; n . V fxy S . ≈∑ (i ; i ) i Lấy n điểm tùy ý Mxy( ; ) ∈ S , i= 1; n . Khi đĩ, i=1 iii i n • Gọi di =max dABAB (, ) , ∈ S i là đườ ng kính c ủa { } In=∑ fxy( iii ; ) S đượ c g ọi là tổng tích phân c ủa n i=1 S . Ta cĩ: V=lim fxyS (i ; i ) i . f( x , y ) trên D ( ứng v ới phân ho ạch Si và các điểm i maxd → 0 ∑ i i=1 ch ọn Mi ).
   Ch ươ ng 2. Tích phân bi
   Ch ươ ng 2. Tích phân bi n • N ếu t ồn t ại tích phân f( x , y ) dxdy , ta nĩi hàm s ố • Nếu gi ới h ạn I=lim fxyS (i , i ) i tồn t ại h ữu ∫∫ maxd → 0 ∑ i i=1 D f( x , y ) kh ả tích trên mi ền D ; f( x , y ) là hàm d ướ i d ấu hạn, khơng ph ụ thu ộc vào phân ho ạch Si và cách ch ọn điểm Mi thì s ố th ực I đượ c g ọi là tích phân b ội hai c ủa tích phân; x và y là các bi ến tích phân. hàm s ố f( x , y ) trên mi ền D . Nh ận xét Ký hi ệu là: I fxydS . = ∫∫ ( , )  S( D ) = dxdy (di ện tích c ủa mi ền D). D ∫∫ D • Chia mi ền D b ởi các đườ ng th ẳng song song v ới Ox ,  Nếu f(, x y )> 0 , liên t ục trên D thì th ể tích hình tr ụ cĩ Oy ta đượ c S x y hay dS dxdy . i = i. i = các đườ ng sinh song song v ới Oz , hai đáy gi ới h ạn b ởi Vậy I=∫∫ fxydS(,) = ∫∫ fxydxdy (,) . các m ặt z = 0, z= fxy( , ) là V= ∫∫ fxydxdy( , ) . D D D Tốn cao c p A3 Đi h c 9
10. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi b) Đị nh lý • Tính ch ất 3 Hàm f( x , y ) liên t ục trong mi ền D đĩng và b ị ch ặn thì Nếu chia mi ền D thành D1, D 2 b ởi đườ ng cong cĩ di ện kh ả tích trong D . tích b ằng 0 thì: 1.3. Tính ch ất c ủa tích phân bội hai ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fxydxdy (,) + ∫∫ fxydxdy (,) . D D D Gi ả thi ết r ằng các tích phân d ướ i đây đề u t ồn t ại. 1 2 • Tính ch ất 1. fx(,) ydxdy= fu (,) vdudv . ∫∫ ∫∫ 1.4. PHƯƠ NG PHÁP TÍNH D D 1.4.1. Đư a v ề tích phân l ặp • Tính ch ất 2 a) Đị nh lý ( Fubini ) fxy gxydxdy fdxdy gdxdy ; ∫∫[(,)± (,)] = ∫∫ ± ∫∫ Gi ả s ử tích phân I= f( x , y ) dxdy t ồn t ại, trong đĩ D D D ∫∫ D kfxydxdy(,)= k fxydxdy (,) , k ∈ ℝ. ∫∫ ∫∫ D={(,): xyaxbyx ≤≤ , 1() ≤≤ yyx 2 ()} , D D
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi y( x ) 2 Chú ý và v ới m ỗi x∈ [ a ; b ] c ố đị nh, f( x , y ) dy t ồn t ại. ∫ 1) Nếu mi ền D là hình ch ữ nh ật, y( x ) 1 D={(,): xya ≤≤≤≤= xbcyd , }[;][;] ab × cd thì: b y( x ) 2 bd db Khi đĩ: I= ∫ dx ∫ fxydy(,) . fxydxdy(,)= dx fxydy (,)= dy fxydx (,). a y( x ) ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 D ac ca 2) Nếu D={(,): xya ≤≤ x byx , () ≤≤ yyx ()} Tươ ng t ự, n ếu mi ền D là: 1 2 và fxy(, )= uxvy ().() thì: D={(,):() xyxy1 ≤≤ x xycyd 2 (), ≤≤ } b y2( x ) d x2( y ) thì I= ∫ dy ∫ fxydx(,) . ∫∫fxydxdy(,)= ∫ uxdx () ∫ vydy (). D a yx1( ) c x1( y )
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 3) N ếu D={(,):() xyxy1 ≤≤ x xycyd 2 (), ≤≤ } và fxy(, )= uxvy ().() thì: d x2( y ) ∫∫fxydxdy(,)= ∫ vydy () ∫ uxdx (). D c xy1( ) 4) Nếu D là mi ền ph ức t ạp thì ta chia D ra thành nh ững mi ền đơ n gi ản. VD 1. Cho I= ∫∫ f( x , y ) dxdy . Xác đị nh c ận tích phân VD 2. Tính tích phân I= ∫∫ 6 xy2 dxdy . D D lặp với mi ền D gi ới h ạn b ởi y=0, y = 2 xxa , => 0 . Trong đĩ, D =[0; 2] × [ − 1; 1] . Tốn cao c p A3 Đi h c 10
11. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 3. Tính tích phân I=∫∫ (2 x + ydxdy ) . VD 5. Tính tích phân I= ∫∫ ydxdy , trong đĩ mi ền D D D Trong đĩ, Dyx={ ≤≤− 1 y , −≤≤ 2 y 0} . gi ới h ạn b ởi các đườ ng yx= −4, y2 = 2 x . VD 4. Tính tích phân I= ∫∫ ydxdy , D trong đĩ mi ền D gi ới h ạn b ởi các đườ ng yx= +2, yx = 2.
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi b) Đổ i th ứ t ự l ấy tích phân VD 6. Đổ i th ứ t ự l ấy tích phân trong tích phân sau: 3 2y I= ∫ dy ∫ fxydx( , ) . 1 0 d x2 ( y ) b y2( x ) I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) I= ∫ dy ∫ f( x , y ) dx c x1( y ) a y1( x )
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 7. Đổ i th ứ t ự l ấy tích phân trong tích phân sau: VD 8. Đổ i th ứ t ự l ấy tích phân trong tích phân sau: 1 2 −x 2 1x 3 1 I= ∫ dx ∫ fxydy( , ) . I=∫∫ dx fxydy(,) + ∫∫ dx fxydy (,) . 0 x 0x2 1 x 2 9 9 Tốn cao c p A3 Đi h c 11
12. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi ′ ′ 1.4.2. PHƯƠ NG PHÁP ĐỔ I BI ẾN ∂(,)x y xu x v 1 1 a) Cơng th ức đổ i bi ến t ổng quát Chú ý. J = = = = . ∂(,)uvy′ y ′ ∂ (,) uv u′ u ′ Gi ả s ử x= xuv( , ) , y= yuv( , ) là hai hàm s ố cĩ các đạ o u v x y ∂(x , y ) ′ ′ vx v y hàm riêng liên t ục trên mi ền đĩng bị ch ặn Duv trong VD 9. Tính I=( x2 − ydxdy 2 ) , v ới mi ền D là hình mp Ouv . Gọi Dxy là mi ền xác đị nh b ởi: ∫∫ D D xyx xuvy yuv uv D xy ={(,): = (,), = (,),(,) ∈ uv } . ch ữ nh ật gi ới h ạn b ởi các đườ ng th ẳng: xy xy xy xy . Nếu hàm f( x , y ) kh ả tích trên Dxy và Jacobien +=1, += 3, −= 2, −= 5 ∂(x , y ) x′ x ′ J = =u v ≠ 0 trong D ′ ′ uv ∂(u , v ) yu y v thì ∫∫fxydxdy(,)= ∫∫ fxuv ((,),(,)). yuv Jdudv . Dxy D uv
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 10. Tính di ện tích hình ph ẳng gi ới h ạn b ởi 4 parapol: b) Đổ i bi ến trong t ọa độ c ực y x2 y x 2 x y2 x y 2 . =, 2 = , =, 3 = Trong mp Oxy , xét mi ền D . Vẽ 2 tia OA, OB ti ếp xúc v ới miền D và (Ox, OA) =α ,( Ox , OB ) =β . Khi đĩ: OM≤ OM ≤ OM  1 2 M∈ D ⇔  α≤Ox, OM ≤β .  ( )
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi  Chú ý x= r cos ϕ Đặt  v ới r= OM, ϕ = OxOM , . y= r sin ϕ ( ) 1) Đổ i bi ến trong t ọa độ c ực th ườ ng dùng khi biên c ủa D  là đườ ng trịn ho ặc elip. Khi đĩ, mi ền D tr ở thành: D r r rr . rϕ ={(,):() ϕ1 ϕ≤≤ 2 (), ϕα≤ϕ≤β } 2) Để tìm r1(ϕ ), r 2 ( ϕ ) ta thay xr=cos ϕ= , yr sin ϕ vào ph ươ ng trình c ủa biên D . ∂(x , y ) x′ x ′ cosϕ −r sin ϕ Ta cĩ J ===r ϕ = r . ∂(r , ϕ ) y′ y ′ sinϕ r cos ϕ 3) Nếu c ực O n ằm trong D và m ỗi tia t ừ O ch ỉ cắt biên r ϕ D tại 1 điểm thì: Vậy: 2π r(ϕ ) r (ϕ ) β 2 I=ϕ d fr( cos ϕϕ , r sin ) rdr . fxydxdy(,)=ϕ d fr (cos,sin). ϕ r ϕ rdr . ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ 0 0 Dxy α r 1( ϕ ) Tốn cao c p A3 Đi h c 12
13. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 4) Nếu c ực O n ằm trên biên c ủa D thì: VD 11. Hãy biểu di ễn tích phân I= fxydxdy( , ) β r(ϕ ) ∫∫ D I=ϕ∫ d ∫ fr( cos ϕϕ , r sin ) rdr . trong t ọa độ c ực. Bi ết mi ền D n ằm ngồi đườ ng trịn α 0 2 2 2 2 ():Cx1 + y = 2 x và nằm trong ():Cx2 + y = 4 x . x2 y 2 5) Nếu biên c ủa D là elip + = 1 thì ta đặ t: a2 b 2 x= racos ϕ= , y rb sin ϕ . Khi đĩ, D tr ở thành hình trịn: Drϕ ={(, r ϕ ):0 ≤ϕ≤π 2, 0 ≤≤ r 1} . Ta cĩ Jacobien J= abr và: 2π 1 I=ϕ abd∫ ∫ fra( cos ϕϕ , rb sin ) rdr . 0 0
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2 2 VD 14. Tính di ện tích mi ền D (c ắt tia Oy ) gi ới h ạn b ởi: VD 12. Tính tích phân I= e−(x + y ) dxdy , trong đĩ ∫∫ 22 22 D y= − x , y = 0 và xy+=3 xy +− 3 x . D là hình trịn x2+ y 2 ≤ R 2 . 2  2 x y  VD 13. Tính tích phân I=4 − −   dxdy , ∫∫ a  b  D   D gi ới h ạn b ởi 2 elip n ằm trong gĩc ph ần t ư th ứ nh ất: 22  22 xy xy  ():E+= 1,(): E   += 1 . 1ab 2 2 ab  2
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi  (n − 1)!!  Cơng th ức Walliss  2. , n lẻ π  n  n !! π π  (n − 1)!! 2) sin xdx =   , n lẻ ∫ n 2 2  ( − 1)!! chẵn.  n !! 0 π. , n 1) nxdx n xdx   n !! ∫sin= ∫ cos =   π (n − 1)!! chẵn. 0 0  . , n  n lẻ 2n !! π  0,  n  cos xdx =  (n − 1)!! ∫ π. , n chẵn. Trong đĩ, n !! đọ c là n Walliss , đị nh ngh ĩa nh ư sau: 0  n !!  0!!== 1!! 1; 2!! = 2; 3!! = 1.3; 4!! = 2.4;  lẻ 2π 2 π  0, n n n  5!!= 1.3.5; 6!! = 2.4.6; 7!! = 1.3.5.7; 8!! = 2.4.6.8; 3) sinxdx= cos xdx =  (n − 1)!! ∫ ∫ 2π . , n chẵn. 0 0  n !!  Tốn cao c p A3 Đi h c 13
14. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi π π §2. TÍCH PHÂN B ỘI BA 2 π1!! π 2 4!! 8 VD. sin2 xdx = . = , cos 5 xdx = = , 2.1. Bài tốn m ở đầ u (kh ối l ượ ng v ật th ể) ∫ 2 2!! 4 ∫ 5!! 15 0 0 • Gi ả s ử ta c ần tính kh ối l ượ ng c ủa v ật th ể V khơng đồ ng ch ất, bi ết mật độ (kh ối l ượ ng riêng) t ại điểm P(, x y , z ) là π π 5!! 15 π ρ= ρ()P = ρ (,,) xyz . cos5 xdx = 0 , sin6 xdx = π . = , ∫ ∫ 6!! 48 • Ta chia V thành n ph ần tùy ý khơng d ẫm lên nhau, th ể 0 0 tích m ỗi ph ần là Vi , i= 1, n . Trong m ỗi Vi ta l ấy 2π 2π 7 6 5!! 15 π điểm Pxi( i , y i , z i ) và ký hi ệu đườ ng kính c ủa Vi là di . ∫ sinxdx = 0 , ∫ cosxdx = 2. π = . n 6!! 24 Khi đĩ, khối l ượ ng của V x ấp x ỉ: m≈ρ( P ). V . 0 0 ∑ i i n i=1 • Vậy m=limρ ( P ). V (nếu gi ới h ạn h ữu h ạn). maxd → 0 ∑ i i i i=1
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2.2. Đị nh ngh ĩa tích phân b ội ba • N ếu t ồn t ại tích phân, ta nĩi f(, x y , z ) kh ả tích; f(, x y , z ) • Cho hàm s ố f(, x y , z ) xác đị nh trong mi ền đo đượ c V là hàm d ướ i d ấu tích phân; x, y , z là các bi ến tích phân. trong khơng gian Oxyz . Chia mi ền V nh ư bài tốn n • Hàm số f(, x y , z ) liên t ục trong mi ền V b ị ch ặn và đĩng thì kh ả tích trong V . mở đầ u và l ập t ổng tích phân In:=∑ fxyz (,,) iii V i . i=1 n Nh ận xét • Nếu I=lim fxyzV (,,)iii i tồn t ại h ữu h ạn, maxd → 0 ∑  Nếu f ≥ 0 trên V thì I= f(, x y , z ) dxdydz là kh ối i i=1 ∫∫∫ khơng ph ụ thu ộc vào cách chia mi ền V và cách ch ọn V điểm P thì s ố th ực I đượ c g ọi là tích phân b ội ba c ủa lượ ng v ật th ể V , v ới kh ối l ượ ng riêng v ật ch ất chi ếm i th ể tích V là f(, x y , z ) . hàm s ố f(, x y , z ) trên V . Đặ c bi ệt, n ếu f(,,) x y z ≡ 1 thì I là th ể tích c ủa V . Ký hi ệu: I= fxyzdxdydz(,,) . ∫∫∫  Tích phân b ội ba cĩ các tính ch ất nh ư tích phân kép. V
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai MT C U MT TR TRỊN 2 2 22 (xa− )( +− yb )( +− zc ) = R (xa− )(2 + yb − ) 2 = R 2 Tốn cao c p A3 Đi h c 14
15. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai MT TR ELIP MT TR PARABOL x2 y 2 + = 1 y= ax 2 a2 b 2
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai MT N ĨN MT PARABOLIC z= x2 + y 2 z= x2 + y 2
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai
    Ch ươ ng 2. Mt s mt bc hai MT PARABOLIC MT ELIPSOID x2 y 2 z 2 + + = 1 a2 b 2 c 2 z= a − x2 − y 2 Tốn cao c p A3 Đi h c 15
16. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2.3. PHƯƠ NG PHÁP TÍNH Đặ c bi ệt 2.3.1. Đư a v ề tích phân l ặp • N ếu Dxy ={(,): xyaxbyx ≤≤ , 1() ≤≤ yyx 2 ()} thì: a) Chi ếu mi ền V lên mp Oxy b yx() zxy (,) Gi ả s ử mi ền V cĩ gi ới h ạn trên b ởi m ặt z= z( xy , ) , 2 2 2 fxyzdxdydz(,,)= dx dy fxyzdz (,,). gi ới h ạn d ướ i b ởi z= zxy( , ) , gi ới h ạn xung quanh bởi ∫∫∫ ∫∫∫ 1 V ayxzxy1() 1 (,) mặt tr ụ cĩ đườ ng sinh song song v ới tr ục Oz . Gọi D là hình chi ếu c ủa V trên mp Oxy . xy • N ếu Dxy ={(,):() xyxy1 ≤≤ xxycyd 2 (), ≤≤ } thì: Khi đĩ: d xy2() zxy 2 (,) z( x , y ) 2 ∫∫∫fxyzdxdydz(,,)= ∫∫∫ dy dx fxyzdz (,,). fxyzdxdydz(,,)= dxdy fxyzdz (,,). ∫∫∫ ∫∫ ∫ V cxyzxy1() 1 (,) V Dxy zxy1( , )
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi c) Chi ếu mi ền V lên mp Oyz b) Chi ếu mi ền V lên mp Oxz Gi ả s ử mi ền V cĩ gi ới h ạn (theo chi ều ng ượ c v ới tia Ox ) Gi ả s ử mi ền V cĩ gi ới h ạn (theo chi ều ng ượ c v ới tia Oy ) bởi hai mặt x= xyz2( , ) và x= xyz1( , ) , gi ới h ạn xung bởi hai mặt y= yxz2( , ) và y= yxz1( , ) , gi ới h ạn xung quanh bởi m ặt tr ụ cĩ đườ ng sinh song song v ới tr ục Ox . quanh bởi m ặt tr ụ cĩ đườ ng sinh song song v ới tr ục Oy . Gọi Dyz là hình chi ếu c ủa V trên mp Oyz . Khi đĩ: Gọi D là hình chi ếu c ủa V trên mp Oxz . xz x2( y , z ) Khi đĩ: fxyzdxdydz(,,)= dydz fxyzdx (,,). ∫∫∫ ∫∫ ∫ V Dxyz y2( x , z ) yz 1( , ) ∫∫∫fxyzdxdydz(,,)= ∫∫ dxdz ∫ fxyzdy (,,). Đặ c bi ệt. N ếu mi ền V=[; ab ] × [; cd ] × [; ef ] V Dyxzxz 1( , ) b d f thì ∫∫∫fxyzdxdydz(,,)= ∫∫∫ dx dy fxyzdz (,,). V ace
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 1. Tính tích phân I= ∫∫∫ 8 xyzdxdydz v ới mi ền V VD 3. Tính tích phân I= ∫∫∫ ydxdydz v ới mi ền V V V là hình h ộp ch ữ nh ật V =[1; 2] ×− [ 1; 3] × [0; 2] . gi ới h ạn b ởi x+ y + z = 1 và 3 m ặt ph ẳng t ọa độ . A. I = 12 ; B. I = 24 ; C. I = 48 ; D. I = 96 . VD 2. Tính tích phân l ặp 1 1 2 I=∫ dxdy ∫ ∫ (1 + 2 zdz ) −1x 2 0 và d ựng mi ền l ấy tích phân V . Tốn cao c p A3 Đi h c 16
17. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2.3.2. CƠNG TH ỨC ĐỔI BI ẾN T ỔNG QUÁT VD 4. Tính th ể tích v ật th ể V xác đị nh b ởi: Gi ả s ử x= xuvw(,, ) , y= yuvw(, , ) , z= zuvw(,, ) cĩ −+++xyz xyz −+ + xyz +−≤ 2. đạ o hàm riêng liên t ục trong mi ền Vuvw đĩng b ị ch ặn trong khơng gian Ouvw . ′ ′ ′ xu x v x w VD 5. Tính th ể tích c ủa kh ối elips oi d ∂(,x y , z ) Nếu Jacobien J= = yyy′ ′ ′ ≠ 0 thì x2 y 2 z 2 ∂(,,u v w ) u v w V: + + ≤ R 2 ′ ′ ′ 2 2 2 zu z v z w a b c (a , b , c , R > 0) . ∫∫∫ f(, x y , z ) dxdydz V = ∫∫∫ fxuvw ((,,),(,,),(,,)). yuvw zuvw J . dudvdw . Vuvw
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2.3.3. Đổ i bi ến trong t ọa độ tr ụ Khi đĩ ta cĩ: f(, x y , z ) dxdydz x= r cos ϕ ∫∫∫  V  Đặ t y= r sin ϕ , r ≥ 0, =∫∫∫ fr(cos, ϕϕ r sin, zrdrddz ) ϕ .  z= z Vr z  ϕ ϕ ∈[0; 2 π ] ho ặc ϕ ∈[ −π ; π ] . VD 6 . Tính tích phân: x′ x ′ x ′ I= zx2 + ydxdydz 2 , rϕ z ∫∫∫ Jacobien J= yyy′ ′ ′ = r . V rϕ z với V là kh ối hình tr ụ z′ z ′ z ′ rϕ z ϕ gi ới h ạn b ởi: x2+ y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1.
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 2 2 2 2.3.3. Đổ i bi ến trong t ọa độ c ầu VD 7. Tính I=∫∫∫ ( x + y + zdxdydz ) v ới V là  V x= r sin θ cos ϕ , θ khối hình nĩn gi ới h ạn b ởi x2 y 2 z 2 và z .  + = = 1 Đặ t y= r sin θ sin ϕ ,  z= r cos θ ,  r ≥0, ϕ∈ [0; 2 πθ∈ ], [0; π ] ∂(,x y , z ) Jacobien J = ∂(,r ϕ , θ ) ′ ′ ′ xr xϕ x θ =y′ y ′ y ′ = r 2 sin θ . r ϕ θ ϕ ′ ′ ′ zr zϕ z θ Tốn cao c p A3 Đi h c 17
18. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi Khi đĩ ta cĩ: VD 9. Tính tích phân I=( x2 + ydxdydz 2 ) v ới V fxyzdxdydz(,,)= fr .sin.2 θϕθ drdd . ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ V V V rϕθ là mi ền gi ới h ạn b ởi: xyz2+ 2 + 2 ≤4, y ≥ 0 và z ≥ 0. Với ffxyzfr≡(,, ) = ( sin θϕθϕ cos , r sin sin , r cos) θ . VD 8. Tính tích phân: dxdydz I = . ∫∫∫ 2 2 2 V x+ y + z Trong đĩ V : 1≤x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 .
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 10. Tính tích phân I= x2 + y 2 + zdxdydz 2 , §3. ỨNG D ỤNG C ỦA TÍCH PHÂN B ỘI ∫∫∫ V 3.1. Tính thể tích V c ủa v ật th ể trong đĩ V là mi ền gi ới h ạn b ởi: x2 y 2 z 2 z . + + −≤ 0  Th ể tích V c ủa v ật th ể cĩ đườ ng sinh song song v ới Oz và hình chi ếu trên Oxy là D , hai đáy gi ới h ạn b ởi các mặt z= fxy1(,) ≤ z = fxy 2 (,) là: V= fxy(,) − fxydxdy (,)  . ∫∫ 2 1  D  Th ể tích c ủa v ật th ể là: V( ) = ∫∫∫ dxdydz .
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 1. Tính th ể tích V c ủa v ật th ể gi ới h ạn b ởi VD 2. Tính th ể tích v ật th ể V gi ới h ạn b ởi ph ần hình tr ụ x2+ y 2 = 1 và hai m ặt ph ẳng ph ần hình tr ụ x2+ y 2 −2 y = 0 n ằm trong x+ y + z −5 = 0 , z = 2. hình c ầu x2+ y 2 + z 2 = 4 ứng v ới z ≥ 0. V Tốn cao c p A3 Đi h c 18
19. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 3. Tính th ể tích V c ủa v ật th ể gi ới h ạn b ởi các m ặt: 3.2. Giá tr ị trung bình c ủa hàm trên mi ền đĩng 2 x2+ y 2 =4 − z , x2+ y 2 ≥ 2 và z = 0.  Giá tr ị trung bình c ủa hàm f( x , y ) trên mi ền D ⊂ ℝ đĩng và b ị ch ặn là: 1 f= fxydxdy(,) . S( D ) ∫∫ D  Giá tr ị trung bình c ủa hàm f(, x y , z ) trên mi ền ⊂ ℝ3 đĩng và b ị ch ặn là: 1 f= f(,,) x y z dxdydz . V( ) ∫∫∫ VD 4. Tính giá tr ị trung bình c ủa fxy(,)= x cos xy trong hình ch ữ nh ật D : 0 ≤x ≤ π , 0≤y ≤ 1 .
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi VD 5. Tính giá tr ị trung bình c ủa fxyz(, , ) = xyz trong ℝ3 hình l ập ph ươ ng = [0 ; 2] ×[0 ; 2] ×[0 ; 2].  Xét vật th ể chi ếm mi ền V ⊂ (đĩng và b ị ch ặn) cĩ kh ối l ượ ng riêng là hàm ρ(,x y , z ) liên t ục trên V . 3.3. Kh ối l ượ ng m của v ật th ể Khi đĩ, kh ối l ượ ng c ủa v ật th ể là: 2  Xét b ản ph ẳng chi ếm mi ền D ⊂ ℝ (đĩng và b ị ch ặn) m= ∫∫∫ ρ(,,) xyzdxdydz . cĩ kh ối l ượ ng riêng (m ật độ kh ối l ượ ng hay t ỉ kh ối) t ại V điểm Mxy( , ) ∈ D là hàm ρ(x , y ) liên t ục trên D . Khi đĩ, kh ối l ượ ng c ủa b ản ph ẳng là: m= ∫∫ ρ(,) xydxdy . VD 7. Tính kh ối l ượ ng của vật th ể chi ếm mi ền V gi ới D hạn b ởi các m ặt: z= x + y , x+ y = 1 và 3 m ặt ph ẳng t ọa độ . VD 6. Tính kh ối l ượ ng của bản ph ẳng chi ếm mi ền D Bi ết kh ối l ượ ng riêng là hàm ρ(,xyz , ) = x . gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 ≤ 4, x ≥ 0 và y ≥ 0. Bi ết tỉ kh ối ph ẳng là hàm ρ(x , y ) = xy .
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi
    Ch ươ ng 2. Tích phân bi 3.4. Tr ọng tâm c ủa v ật th ể VD 8. Tìm t ọa độ tr ọng tâm hình ph ẳng D gi ới h ạn b ởi  Tọa độ tr ọng tâm G c ủa b ản ph ẳng D cĩ kh ối l ượ ng x≥0, y ≥ 0, xy +≤ 1 . Bi ết ρ(,)xy= 2 x + y . riêng ρ(x , y ) liên t ục trên D là: 1 1 x= xxydxdyyρ(,), = yxydxdy ρ (,) . VD 9. Tìm t ọa độ tr ọng tâm c ủa v ật th ể đồ ng ch ất V G m∫∫G m ∫∫ 2 2 2 2 D D gi ới h ạn b ởi z = 0, z=2 − x − y và x+ y = 1.  Tươ ng t ự, t ọa độ tr ọng tâm G c ủa v ật th ể V là: Gi ải. V ật th ể đồ ng ch ất nên ρ(,xyz , ) = k ∈ ℝ. 1 • Ta cĩ: m= k dxdydz ⇒ m = kV xG = xρ(,,) xyzdxdyz , ∫∫∫ ∫∫∫ V m V 1 k 1 y= yxyzdxdyzρ(,,) , ⇒x = xdxdyz = xdxdyz . G ∫∫∫ G m∫∫∫ V ∫∫∫ m V V V 1 z= zρ(,,) xyzdxdyz . G ∫∫∫ m V Tốn cao c p A3 Đi h c 19
20. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt §1. T ích phân đườ ng lo ại 1 y §2. Tích phân đườ ng lo ại 2 • Gọi độ dài cung th ứ i là si . L §3. Tích phân m ặt lo ại 1 Trên cung th ứ i l ấy điểm • §4. Tích phân m ặt lo ại 2 M(( xt ), yt ( )) tùy ý. i i i si • • • • §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG LO ẠI I n M Tổng I= fMs( ) i 1.1. Đị nh ngh ĩa n∑ i i i=1 O x x x x x t0 t t t • Gi ả s ử đườ ng cong L trong m ặt ph ẳng Oxy cĩ ph ươ ng i−1 i n trình tham s ố x= x( t ), y= y( t ) v ới t∈ [ a ; b ] và f( x , y ) đượ c gọi là tổng tích phân đườ ng lo ại 1 c ủa hàm s ố là hàm s ố xác đị nh trên L. f( x , y ) trên đườ ng cong L. n Chia L thành n cung khơng d ẫm lên nhau b ởi các điểm • Gi ới h ạn limf ( Mi ) s i t ồn t ại h ữu h ạn max s →0 ∑ i i=1 chia ứng v ới att=0 < 1 < < tbn = . đượ c gọi là tích phân đườ ng lo ại 1 c ủa f( x , y ) trên L.
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Ký hi ệu là f( x , y ) ds hay f( x , ydl ) . 1.2. S ự t ồn t ại tích phân đườ ng lo ại 1 ∫ ∫ a) Khái ni ệm đườ ng cong tr ơn L L Đườ ng cong L cĩ ph ươ ng • Tích phân đườ ng lo ại 1 c ủa hàm s ố f(, x yz , ) trên đườ ng trình x= x( t ) , y= y( t ) đượ c cong L trong khơng gian, ký hi ệu là f(, x y , zds ) , gọi là tr ơn n ếu các đạ o hàm ∫ ′ ′ đượ c đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự. L x( t ) , y( t ) t ồn t ại và khơng đồ ng th ời b ằng 0. Nh ận xét Nĩi cách khác, đườ ng cong L đượ c g ọi là tr ơn n ếu tại  Tích phân đườ ng lo ại 1 cĩ t ất c ả các tính ch ất c ủa tích mọi điểm M∈ L đề u vẽ đượ c ti ếp tuy ến v ới L. phân xác đị nh. b) Đị nh lý  Tích phân đườ ng lo ại 1 khơng ph ụ thu ộc vào chi ều của Nếu đườ ng cong L tr ơn t ừng khúc (hay t ừng đoạn) và cung AB , ngh ĩa là: fds= fds . ∫ ∫ hàm số f liên t ục trên L thì tích phân fds t ồn t ại. AB BA ∫ L
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 1.3. PHƯƠ NG PHÁP TÍNH VD 1. Tính tích phân I= ∫ xds . a) Đườ ng cong L cĩ ph ươ ng trình tham s ố L • N ếu đườ ng cong L trong m ặt ph ẳng cĩ ph ươ ng trình Trong đĩ, L là cung trịn cĩ ph ươ ng trình tham s ố: x= x( t ) , y= y( t ) , v ới a≤ t ≤ b thì: π π x t y t b = cos , = sin , ≤t ≤ . 2 2 6 3 fxyds(,)= fxtyt ((),()) x′ + y ′ dt . ∫ ∫ ()()t t L a VD 2. Tính tích phân I=( x − ydl ) . Trong đĩ, L là ∫ • N ếu đườ ng cong L trong khơng gian cĩ ph ươ ng trình L x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) v ới a≤ t ≤ b thì: đoạn th ẳng n ối điểm A(0; 2) và điểm B(− 2; − 3) . b 2 2 2 2 fxyzds(,,)= f . x′ + y ′ + z ′ dt . VD 3. Tính tích phân I=(1 − 2 x )2 ydl . Trong đĩ, L ∫ ∫ ()()()t t t ∫ L a L Trong đĩ, f≡ fxt( ( ), yt ( ), zt ( )) . là đoạn th ẳng n ối điểm A(1;− 3) và điểm B(1;− 7) . Tốn cao c p A3 Đi h c 20
21. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt VD 4. Tính tích phân I=(2 xy + zds ) . Trong đĩ, L là b) Đườ ng cong L cĩ ph ươ ng trình t ổng quát ∫ L đườ ng xo ắn ốc tr ụ trịn xoay cĩ ph ươ ng trình tham s ố: • N ếu L cĩ ph ươ ng trình y= y( x ) v ới a≤ x ≤ b thì: x= acos t , y= asin t , z= bt , 0≤t ≤ 2 π . b 2 fxyds(,)= fxyx (,()).1 + y′ dx . ∫ ∫ ()x yds VD 5*. Tính tích phân I = . L a ∫ 1+ 4x2 − 4 x 4 L • N ếu L cĩ ph ươ ng trình x= x( y ) v ới a≤ y ≤ b thì: Trong đĩ, L là ph ần giao tuy ến gi ữa 2 mặt: 2 2 2 b z=2 − x − 2 y , z= x 2 fxyds(,)= fxyy ((),). x′ + 1. dy và nằm trong gĩc ph ần 8 th ứ nh ất nối từ điểm A(0; 1; 0) ∫ ∫ ()y L a đế n điểm B(1; 0; 1) .
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Đặ c bi ệt VD 6. Tính tích phân I=∫ ( x + y ) ds v ới L là OAB L • N ếu L cĩ ph ươ ng trình y = α ∈ ℝ v ới a≤ x ≤ b thì: cĩ các đỉ nh O(0; 0), A (1; 0), B (1; 2) . b fxyds(,)= fx (,). α dx VD 7. Tính tích phân ∫ ∫ 2 L a 81− 9 x I= 2 x ds . 2 ∫ 81− 8 x • N ếu L cĩ ph ươ ng trình x = α ∈ ℝ v ới a≤ y ≤ b thì: C Trong đĩ, C là cung b 2 x 2 fxyds(,)= f (,). α ydy +y = 1 ∫ ∫ 9 L a n ằm trong gĩc ph ần t ư th ứ ba.
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt c) Đườ ng cong L trong t ọa độ c ực VD 8. Tính tích phân I= x2 + yds 2 . Trong đĩ, L ∫ • N ếu ph ươ ng trình c ủa đườ ng cong L đượ c cho trong t ọa L độ c ực r= r ( ϕ ) v ới α ≤ϕ≤β thì ta xem ϕ là tham s ố. là đườ ng trịn cĩ ph ươ ng trình ():Cx2+ y 2 − 4 y = 0 . Khi đĩ, ph ươ ng trình c ủa L là:  x= r ( ϕ )cos ϕ , y= r ( ϕ )sin ϕ , α ≤ϕ ≤β . x= r cos ϕ  y= r sin ϕ • Đặ t ffr≡(( ϕ )cos ϕϕ , r ( )sin ϕ ) , ta cĩ cơng th ức:  β 2 fxyds(,)= fr .2 + r′ d ϕ . ∫ ∫ ()ϕ L α Tốn cao c p A3 Đi h c 21
22. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 1.4. Ứng d ụng c ủa tích phân đườ ng lo ại 1 VD 11. Tính độ dài cung trịn a) Tính độ dài của cung ():Cx2+ y 2 − 2 x = 0 nối   3 3  Độ dài l của cung L là l= ds . từ điểm A ;  đế n ∫   L 2 2     VD 9. Tính độ dài l c ủa cung 1 3   B  ;−  và khơng đi qua O . x t 2 2 2   = + 1   L: , t ∈  1; 3  .  2     b) Tính kh ối l ượ ng m và tr ọng tâm G của cung y=ln t + t + 1      Nếu cung L cĩ hàm m ật độ kh ối lượ ng ρ ph ụ thu ộc vào điểm M∈ L thì kh ối l ượ ng c ủa cung là: VD 10. Tính độ dài l c ủa cung L: r= a (1 + cos ϕϕ∈ ), [0; π ] . m= ∫ ρ ds . L
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt  Tr ọng tâm G c ủa cung L ứng v ới ρ= ρ (x , y ) là: §2. TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG LO ẠI II 1 1 2.1. Bài tốn m ở đầ u x= xxydsyρ(,), = yxyds ρ (,). Gm∫ G m ∫ Tính cơng sinh ra do l ực F= F( M ) tác d ụng lên ch ất L L điểm M( x , y ) di chuy ển d ọc theo đườ ng cong L.  Tr ọng tâm G c ủa cung L ứng v ới ρ= ρ (,x y , z ) là: • Nếu L là đoạn th ẳng AB thì cơng sinh ra là: 1 1 1 x= xdsyρ, = ydsz ρ , = zds ρ . W= F. AB = F AB cos F , AB . Gm∫ G m ∫ G m ∫ ( ) L L L • Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nh ỏ bởi VD 12. Cho một dây thép cĩ dạng n ửa đườ ng trịn trong các điểm chia AAA=0, 1 , , An = B . T rên m ỗi cung mp Oyz với ph ươ ng trình y2+ z 2 = 1, z ≥ 0. Ai−1 A i ta lấy điểm Mi( x i , y i ) tùy ý. Bi ết hàm mật độ kh ối l ượ ng ρ(,,)xyz= 2 z . Tìm kh ối l ượ ng và tr ọng tâm c ủa dây thép. Chi ếu F( M ) , A A lần lượt lên tr ục Ox, Oy ta đượ c: i i−1 i
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 2.2. Đị nh ngh ĩa (tích phân đườ ng theo t ọa độ ) FM( )= PMi ( ). + QM ( ). j i i i • Cho hai hàm s ố Px(, y ), Qx (, y ) xác đị nh trên đườ ng và AA= xi. + yj . . ii−1 i i cong L. Chia L như bài tốn mở đầu. Khi đĩ: n I= PM() + xQM () y  đượ c g ọi là tổng tích Khi đĩ, cơng W sinh ra là: n∑  ii ii  n n i=1 W W FMAA phân đườ ng lo ại 2 c ủa Px(, y ), Qx (, y ) trên L. ≈∑i = ∑ ( iii ) −1 i=1 i = 1 n • Gi ới h ạn lim In t ồn t ại h ữu h ạn đượ c g ọi là   max A A =PM () x + QM (). y i−1 i →0 ∑ ii ii  i=1 n tích phân đườ ng lo ại 2 c ủa Px(, y ), Qx (, y ) trên L. Vậy W=lim PMxQMy () + ()  . ∑ ii ii  Ký hi ệu là: ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,). max Ai A i →0 i=1 −1 L Tốn cao c p A3 Đi h c 22
23. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt • Đị nh ngh ĩa t ươ ng t ự trong khơng gian Oxyz :  Tích phân đườ ng lo ại 2 ph ụ thu ộc vào chi ều c ủa L. Do đĩ, khi vi ết tích phân ta c ần ghi rõ điểm đầ u và cu ối: Pxyzdx(,,)+ Qxyzdy (,,) + Rxyzdz (,,) . ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) =− Pxydx (,) + Qxydy (,). L ∫ ∫ AB BA Nh ận xét • Đị nh lý  Tích phân đườ ng lo ại 2 cĩ t ất c ả các tính ch ất nh ư tích Nếu hai hàm s ố Px(, y ), Qx (, y ) liên t ục trong mi ền m ở phân xác đị nh. ch ứa đườ ng cong L tr ơn t ừng khúc thì t ồn t ại tích phân  Từ đị nh ngh ĩa t ổng tích phân, ta cĩ th ể vi ết: đườ ng lo ại 2 c ủa Px(, y ), Qx (, y ) d ọc theo L. ∫Pxydx(,)+ Qxydy (,) = ∫ Pxydx (,) + ∫ Qxydy (,). Chú ý N ếu L là đườ ng cong ph ẳng và kí n l ấy theo chi ều d ươ ng AB AB AB thì ta dùng ký hi ệu: ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,). L
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 2.3. PHƯƠ NG PHÁP TÍNH b) Đườ ng cong L cĩ ph ươ ng trình t ổng quát a) Đườ ng cong L cĩ ph ươ ng trình tham s ố Xét đườ ng cong L ch ứa cung AB . Xét đườ ng cong L ch ứa cung AB . • N ếu L cĩ ph ươ ng trình y= y( x ) thì: • N ếu L cĩ ph ươ ng trình x= x( t ) , y= y( t ) thì: xB t B Pdx+ Qdy = Pxyx(,()) + Qxyx (,()). y′  dx . ∫ ∫ x  Pdx+ Qdy = Pxt((),()) yt x′ + Qxt ((),()) ytydt ′  . ∫ ∫ t t  AB xA t AB A • N ếu L cĩ phươ ng trình x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) thì: • N ếu L cĩ ph ươ ng trình x= x( y ) thì: y t B B   ′ ′ ′ Pdx+ Qdy = Pxy( ( ), yx ).′ + Qxy ( ( ), ydy ) . Pdx++= Qdy Rdz() Px.t ++ Qy . t Rz t dt ∫ ∫ y  ∫ ∫ AB yA AB tA
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Đặ c bi ệt VD 1. Tính tích phân I= dx + xdy . Trong đĩ AB cĩ ∫ • N ếu L cĩ ph ươ ng trình y = α ∈ ℝ thì: AB ph ươ ng trình xty=2,2 = 23 − t v ới A(0; 2) và B(2; 5) . xB Pxydx(,)+ Qxydy (,) = Px (,). α dx ∫ ∫ VD 2. Tính tích phân I= 2 xdx − dy . Trong đĩ, L là x ∫ AB A L x2 y 2 ℝ elip + = 1 l ấy theo chi ều d ươ ng. • N ếu L cĩ ph ươ ng trình x = α ∈ thì: 2 2 a b y B VD 3. Tính tích phân I=( x − ydx ) ++ ( x ydy ) , v ới Pxydx(,)+ Qxydy (,) = Q (,). α ydy ∫ ∫ ∫ L y AB A L là đườ ng n ối điểm O(0; 0) v ới điểm A(1; 1) trong các tr ườ ng h ợp: Tốn cao c p A3 Đi h c 23
24. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 1) L là đườ ng th ẳng y= x ; 2.4. Cơng th ức Green (liên h ệ v ới tích phân kép) a) Xác đị nh chi ều trên biên 2) L là đườ ng cong y= x 2. c ủa miền đa liên VD 4. Tính tích phân I= dx + 4 xydy , v ới BA cĩ  Đườ ng cong L đượ c g ọi là ∫ Jordan n ếu nĩ khơng t ự c ắt. BA  Cho mi ền D là mi ền đa liên, ph ươ ng trình y= x và điểm A(1; 1) , B(4; 2) . liên thơng, b ị ch ặn cĩ biên ∂D Jordan kín tr ơn từng VD 5. Tính tích phân I=∫ dx − ydy + dz . khúc. L Chi ều d ươ ng của ∂D là chi ều Trong đĩ, L là đườ ng cong trong Oxyz cĩ ph ươ ng trình: mà khi di chuy ển d ọc theo x= cos t , y= sin t , z= 2 t biên ta th ấy mi ền D n ằm v ề nối từ điểm A(0; 1;π ) đế n B(1; 0; 0) . phía bên tay trái.
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt b) Cơng th ức Green x2 y 2 VD 6. Tính di ện tích hình elip + ≤ 1. Cho mi ền D (xác đị nh nh ư m ục a). a2 b 2 Nếu P( x , y ) , Q( x , y ) và các đạ o hàm riêng liên t ục trên VD 7. Tính di ện tích hình trịn x2+ y 2 −2 y ≤ 0 . mi ền m ở ch ứa D thì: VD 8. Tính tích phân: Pxydx(,)+ Qxydy (,) = Q′ − Pdxdy ′ . 2 2 −y ∫ ∫∫ ( x y ) I=( x arctan xydx + ) +++ ( x 2 xyyedy ) . ∂D D ∫ C 2 2  Hệ qu ả Trong đĩ, C là đườ ng trịn x+ y −2 y = 0 . Di ện tích c ủa mi ền D đượ c tính theo cơng th ức: xdy− ydx VD 9. Tính I = trong các tr ườ ng h ợp: ∫ 2 2 1 1 2 x+ y SD()= xdy − ydxhaySD () = r (). ϕϕ d L 2∫ 2 ∫ L đườ ố ọ độ O ∂D ∂ D 1) là ng cong kín khơng bao quanh g c t a ; 2 ) L là đườ ng cong kín bao quanh g ốc tọa độ O .
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Gi ải Khi đĩ, ph ươ ng trình tham s ố c ủa L là: −y x xr yr . 1) Do P = , Q = và các đạ o hàm riêng =ϕ()cos, ϕ =ϕ ()sin ϕ , 0 ≤ϕ≤π 2 x2 y 2 x2 y 2 dx xdr′ xd ′ drr d + +  =r +ϕ ϕ=cos ϕ− sin ϕϕ Do  nên: liên t ục trên ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp d ụng Green, ta cĩ: dy= ydr′ + yd ′ ϕ=sin ϕ+ dr r cos ϕϕ d  r ϕ xdy− ydx 22 22 2 ′ ′ xdy− ydx = rcos ϕϕ+ d r sin ϕϕ= d r d ϕ I= =−( QPdxdyx y ) = 0. ∫x2+ y 2 ∫∫ xdy− ydx L D ⇒I = ∫ x2+ y 2 −y x L 2) Hàm P = và Q = khơng liên tục t ại 2π 2 2 2 2 2 r d ϕ x+ y x+ y = =2 π . ∫ 2 O(0; 0) nên ta khơng áp d ụng đượ c cơng th ức Green. 0 r Gi ả s ử L cĩ ph ươ ng trình trong tọa độ c ực là r r . =( ϕ ) Cách khác Tốn cao c p A3 Đi h c 24
25. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 2.5. Điều ki ện để tích phân đườ ng khơng ph ụ thu ộc 3) Tích phân ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,), AB ⊂ D , chỉ ph ụ vào đườ ng l ấy tích phân AB a) Đị nh lý thuộc vào hai đầ u mút A, B mà khơng ph ụ thu ộc vào Gi ả s ử các hàm s ố P, Q và các đạ o hàm riêng c ấp m ột đườ ng n ối gi ữa A v ới B . của chúng liên t ục trong mi ền m ở đơ n liên D . 4) Bi ểu th ức Pxydx(,)+ Qxydy (,) là vi phân tồn ph ần của hàm u x y nào đĩ trong mi ền D . Ngh ĩa là: Khi đĩ, b ốn m ệnh đề sau t ươ ng đươ ng: ( , ) ∃uxy(,): duxy (,) = Pxydx (,) + Qxydy (,) . ′ ′ 1) Py= Q x , ∀ ( xy , ) ∈ D . b) Hệ qu ả Nếu Pxydx(,)+ Qxydy (,) là vi phân tồn ph ần c ủa hàm 2) ∫ Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 d ọc theo m ọi đườ ng u( x , y ) nào đĩ trong mi ền m ở đơ n liên D thì: L Pxydx Qxydy uB uA cong kín L n ằm trong D . ∫ (,)+ (,) = () − (). AB
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt xy− xy + VD 10. Tích phân đườ ng nào sau đây khơng ph ụ thu ộc VD 11. Tính I= dx + dy . Bi ết L là vào các đườ ng tr ơn t ừng khúc n ối hai điểm A, B ? ∫ 22 22 L xy+ xy + A. I=∫ (4 xy3 + 2) xdx ++− ( y 4 2 yxdy ) . đườ ng tr ơn t ừng khúc n ối điểm A(− 1; − 1) và B(− 2; − 2) nằm trong mi ền D khơng ch ứa g ốc t ọa độ O . AB 3 422 B. I=∫ (4 xy +−++ 2 x 1) dx ( y 6 x y − 1) dy . VD 12. Cho bi ết hàm uxy(,)= xey − ye x + 21 x + cĩ vi AB phân tồn ph ần: du=−( eyx ye + 2) dx + ( xe yx − edy ) . C. I=∫ (4 xy3 + 2) x dx −+− ( y 4 2 y x ) dy . (1; 0) yx yx AB Hãy tính I=∫ ( e −+ ye 2) dx +− ( xe edy ) ? D. I=(4 xy3 +−−+ 2 x 1) dxy ( 422 6 xy − 1) dy . (1; 1) ∫ (5; 12) AB xdx+ ydy VD 13. Tính tích phân I = . ∫ 2 2 (3; 4) x+ y
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Chú ý §3. TÍCH PHÂN M ẶT LO ẠI I Gi ả s ử hai hàm s ố P, Q th ỏa đị nh lý. Khi tính tích phân 3.1. Đị nh ngh ĩa (x ; y ) 2 2 • Cho hàm s ố f(, x y , z ) xác đị nh trên m ặt S . Chia m ặt S I=∫ Pdx + Qdy , ng ườ i ta một cách tùy ý thành n ph ần khơng d ẫm lên nhau, di ện x y (1 ; 1 ) tích m ỗi ph ần là S( i = 1,2, , n ) . Trong m ỗi S ta i n i th ườ ng tính theo đườ ng l ấy điểm M và l ập t ổng tích phân I= fM( ) S . g ấp khúc song song v ới i n∑ i i i=1 các tr ục t ọa độ . n (3; 2) • Nếu gi ới h ạn I=lim∑ fMS (i ) i tồn t ại h ữu (x+ 2 ydx ) + ydy maxd ( S i ) → 0 VD 14. Tính tích phân I = theo i=1 ∫ (x+ y ) 2 hạn, khơng ph ụ thu ộc vào cách chia S và cách ch ọn (1; 1) điểm M thì s ố th ực I đượ c g ọi là tích phân m ặt lo ại 1 một đườ ng tr ơn t ừng khúc khơng c ắt ():d x+ y = 0 . i . của hàm f(, x y , z ) trên S . Tốn cao c p A3 Đi h c 25
26. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt b) Chi ếu S lên mp Oxz Ký hi ệu là: I= ∫∫ fxyzdS(,,) . N ếu S cĩ ph ươ ng trình y= yxz( , ) và S cĩ hình chi ếu S trên mp Oxz là D thì: 2 2 I= fxyxzz(,(,),)1 + y′ + y ′ dxdz . ∫∫ ( x) ( z ) 3.2. PHƯƠ NG PHÁP TÍNH D c) Chi ếu S lên mp Oyz a) Chi ếu S lên mp Oxy N ếu S cĩ ph ươ ng trình x= xyz( , ) và S cĩ hình chi ếu N ếu S cĩ ph ươ ng trình z= zxy( , ) và S cĩ hình chi ếu trên mp Oyz là D thì: trên mp Oxy là D thì: 2 2 I= fxyzyz((,),,)1 + x′ + x ′ dydz . ∫∫ ( y) () z 2 2 I= fxyzxy(,,(,))1 + z′ + z ′ dxdy . D ∫∫ ()x( y ) Chú ý D Nếu hình chi ếu c ủa S trên m ặt ph ẳng tọa độ nào đĩ ch ỉ là m ột đườ ng cong thì ph ải chi ếu S lên m ặt ph ẳng khác .
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt VD 1. Tính tích phân I=∫∫ ( x2 + ydS 2 ) . S Trong đĩ S là ph ần mặt nĩn z2= x 2 + y 2 , 0≤z ≤ 1 . VD 3. Tính tích phân I= ∫∫ xyzdS . S Trong đĩ S là 6 m ặt c ủa hình h ộp ch ữ nh ật VD 2. Tính tích phân I= zdS , trong đĩ S là ph ần ∫∫ 0≤x ≤ 1 , 0≤y ≤ 2 , S 0≤z ≤ 3 . m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = 4 v ới x ≥ 0, y ≥ 0.
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 3.3. Ứng d ụng c ủa tích phân m ặt lo ại 1 §4. TÍCH PHÂN M ẶT LO ẠI II  Di ện tích m ặt S là ∫∫ dS . 4.1. Các đị nh ngh ĩa S 4.1.1. M ặt đị nh h ướ ng  Khối lượ ng c ủa m ặt S cĩ hàm m ật độ ρ(,x y , z ) là Cho m ặt S cĩ biên là đườ ng cong kín C . • Di chuy ển pháp vector c ủa S t ừ điểm M∈ S theo m ột m= ∫∫ ρ(,,) x y z dS . đườ ng cong tùy ý (khơng c ắt C ). N ếu khi quay tr ở l ại S điểm M mà pháp vector khơng đổ i chi ều thì S đượ c g ọi Khi đĩ, t ọa độ tr ọng tâm G c ủa m ặt S là: là mặt hai phía ; n ếu pháp vector đổ i chi ều thì S đượ c 1 1 gọi là mặt m ột phía . x= xxyzdSyρ(,,), = yxyzdS ρ (,,), G m∫∫G m ∫∫ S S 1 z= zxyzdSρ(,,) . G m ∫∫ S . Tốn cao c p A3 Đi h c 26
27. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt • Khi m ặt S khơng kín, ta g ọi z • N ếu m ặt S đượ c ghép b ởi hữu hạn m ặt tr ơn (với biên phía trên là phía mà pháp gi ữa các m ặt đĩ là các đườ ng cong) thì S đượ c g ọi là vector l ập v ới tia Oz gĩc nh ọn, n mặt tr ơn t ừng m ảnh . ng ượ c l ại là phía d ướ i. S • Khi m ặt S kín, ta g ọi phía trong M . 4.1.3. Tích phân m ặt lo ại 2 và phía ngồi . • Cho 3 hàm s ố Pxyz(,,), Qxyz (,,), Rxyz (,,) xác đị nh • H ướ ng d ươ ng c ủa biên C là C trên m ặt đị nh h ướ ng tr ơn t ừng m ảnh S . h ướ ng ng ượ c chi ều kim đồ ng h ồ n • G ọi α, β , γ l ần l ượ t là gĩc h ợp b ởi pháp vector đơ n v ị khi nhìn t ừ ng ọn c ủa pháp vector. n n = (cosα ;cos β ;cos γ ) v ới các tia Ox , Oy, Oz . C 4.1.2. M ặt tr ơn • Khi đĩ, tích phân m ặt lo ại m ột: • M ặt S đượ c g ọi là mặt tr ơn nếu pháp vector xác đị nh t ại I=∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ ) dS m ọi điểm M∈ S (cĩ th ể tr ừ S S đượ c g ọi là tích phân m ặt lo ại 2 c ủa P, Q , R trên m ặt S . biên C ) bi ến đổ i liên t ục khi M ch ạy trên S .
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Ký hi ệu là: VD 1. Tìm pháp vector đơ n v ị c ủa m ặt nĩn I=∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . z= x2 + y 2 t ại điểm M (1; 3; 2 ). S Chú ý Bi ết m ặt nĩn đượ c đị nh h ướ ng phía d ướ i nhìn theo  Nếu đổ i h ướ ng c ủa m ặt S thì tích phân đổ i d ấu. hướ ng c ủa tr ục Oz .  Nếu m ặt S kín, h ướ ng l ấy tích phân ra phía ngồi S , thì tích phân đượ c ký hi ệu là: 4.2. Ph ươ ng pháp tính tích phân m ặt lo ại 2 4.2.1. Đư a v ề tích phân m ặt lo ại 1 I Pdydz Qdzdx Rdxdy =∫∫ + + . Nếu m ặt S cĩ pháp vector đơ n v ị là n= (; abc ; ) thì: S  Nếu m ặt S cĩ ph ươ ng trình F(,,) x y z = 0 thì: ∫∫ Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy 1 S n FFF′ ′ ′ = (x ; y ; z ). =(.Pa + Qb . + RcdS .). ()F′2+ () F ′ 2 + () F ′ 2 ∫∫ x y z S
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt VD 2. Tính tích phân I=∫∫ dydz + dzdx + dxdy . 4.2.2. Đư a v ề tích phân kép S Khi tính tích phân I= Pdydz + Qdzdx + Rdxdy , S ∫∫ Trong đĩ, là tam giác giao c ủa m ặt ph ẳng S x+ y + z = 1 v ới 3 m ặt ph ẳng t ọa độ (l ấy phía trên). ng ườ i ta th ườ ng tách riêng thành 3 tích phân: I=∫∫ Pdydz + ∫∫ Qdzdx + ∫∫ Rdxdy . S S S  Nếu m ặt S cĩ hình chi ếu đơ n tr ị lên Oxy là mi ền Dxy và S cĩ ph ươ ng trình z= zxy( , ) thì: ∫∫Rxyzdxdy(,,)= ± ∫∫ Rxyzxy (,,(,)) dxdy . S D xy (d ấu “+” hay “ –” tùy thu ộc vào S ở phía trên hay d ướ i). Tốn cao c p A3 Đi h c 27
28. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt Chú ý  Nếu m ặt S cĩ hình chi ếu đơ n tr ị lên Oxz là mi ền Dxz và S cĩ ph ươ ng trình y= yxz( , ) thì: Nếu hình chi ếu c ủa S xu ống m ặt ph ẳng tọa độ nào đĩ ch ỉ là m ột đườ ng cong thì tích phân t ươ ng ứng b ằng 0. ∫∫Qxyzdzdx(,,)= ± ∫∫ Qxyxz (,(,),) zdzdx . S D xz VD 3. Tính tích phân I= ∫∫ zdxdy , (d ấu “+” khi S h ướ ng v ề phía ng ọn c ủa tia Oy ). S v ới S là phía ngồi c ủa m ặt c ầu:  Nếu m ặt S cĩ hình chi ếu đơ n tr ị lên Oyz là mi ền D 2 2 2 2 yz x+ y + z = R . và S cĩ ph ươ ng trình x= xyz( , ) thì: ∫∫Pxyzdydz(,,)= ± ∫∫ Pxyz ((,),,) yzdydz . S D yz (d ấu “+” khi S h ướ ng v ề phía ng ọn c ủa tia Ox ).
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt PH N THAM KH O 2) Divergence ( độ t ản) Tốn t ử Hamilton Cho vector V= (, PQR , ) , ta cĩ:   ∂P ∂ Q ∂ R ∂ ∂ ∂ ∂∂∂  div V = + + = ∇.V ∇=i. + j . + k . =  ,,  x y z ∂x ∂ y ∂ z ∂∂∂ xyz  ∂ ∂ ∂ 1) Gradient 3) Rotation ( độ xốy) Cho hàm ba bi ến f(, x yz , ) , ta cĩ: Cho vector V= (, PQR , ) , ta cĩ: ∂f ∂ f ∂ f gradff=∇= . i + . j+ . k = ∇.f rotV= R′− QP ′′ , − RQ ′′ , − P ′ = ∇ ∧ V ∂x ∂y ∂ z ( y zz xx y )
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 4) Gradient và ứng d ụng đổ i bi ến b) Đổ i bi ến trong t ọa độ c ầu a) Đổ i bi ến trong t ọa độ tr ụ ∂T1 ∂ T 1 ∂ T T T T gradTi= .r + iθ + () i ϕ ∗∗ ∂1 ∂ ∂ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ gradT= . ir + . . iϕ + .() i z ∗ ∂r r ∂ϕ ∂ z V ới xr=sinθϕ cos , yr = sin θϕ sin , zr = cos θ V ới xr=cosϕ , yr = sin ϕ , zz = , t ừ (∗ ) ta cĩ: t ừ (∗∗ ) ta cĩ: iii, ,= grad x , grad y , grad z ( x y z ) iii, ,= grad x , grad y , grad z ( ) ( x y z ) ( ) Tốn cao c p A3 Đi h c 28
29. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt 4.3. Cơng th ức Gauss – Ostrogradski 4.4. Cơng th ức Stokes (tham kh o) (m ối liên h ệ gi ữa tích phân m ặt và b ội ba) (m ối liên h ệ gi ữa tích phân đườ ng và m ặt lo ại 2) Cho V là m ột kh ối bị ch ặn v ới biên S kín, tr ơn t ừng Cho S là m ặt đị nh h ướ ng, tr ơn t ừng mảnh cĩ biên ∂S mảnh h ướ ng ra phía ngồi. Gi ả s ử P, Q , R là các hàm Jordan tr ơn t ừng khúc. Gi ả s ử P, Q , R là các hàm s ố cĩ đạ o hàm riêng liên t ục trong mi ền m ở ch ứa V . cĩ đạ o hàm riêng liên t ục trong mi ền m ở ch ứa S . Khi đĩ: Khi đĩ: Pdydz+ Qdzdx + Rdxdy Pdx++ Qdy Rdz = R′ − Q ′ dydz ∫∫ ∫ ∫∫ ( y z ) S ∂S S =P′ + Q ′ + R ′ dxdydz . +P′ − R ′ dzdx ∫∫∫ ()x y z ∫∫ ()z x V S 3 3 3 +Q′ − P ′ dxdy . VD 4. Tính I=∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , v ới S ∫∫ ()x y S S là mặt phía ngồi c ủa m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 . (H ướ ng ∂S là h ướ ng d ươ ng phù h ợp v ới h ướ ng c ủa S ).
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt VD 5. Tính tích phân ydx+ zdy + xdz . Trong đĩ C là 4.5. Các ví d ụ tr ắc nghi ệm tích phân m ặt lo ại 2 ∫ C VD 6. Tính tích phân I= dxdy , v ới S là mặt d ướ i đườ ng trịn giao c ủa m ặt c ầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 và m ặt ∫∫ S ph ẳng x+ y + z = 0, h ướ ng tích phân trên C là h ướ ng y2 dươ ng khi nhìn t ừ ng ọn c ủa tia Oz . của m ặt x2 + ≤1, z = 2 . 9 z A. I = −3 π ; B. I =3 π ; R C. I = −9 π ; D. I =9 π . n O S y x C
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt
    Ch ươ ng 3. Tích phân đư ng – Tích phân mt VD 7. Tính I= ∫∫ zdxdy , v ới S là mặt trên c ủa m ặt VD 9. Tính I=∫∫ xdydz +2 zdzdx + dxdy với S là S S z = 2 đượ c gi ới h ạn b ởi xy+≤1, x ≥ 0, 0 ≤≤ y 1 . mặt ngồi c ủa m ặt c ầu xyz2+ 2 +− 2 2 z = 0, z ≤ 1 . A. I = 1; B. I = 2; C. I = 3; D. I = 4. 2π z A. I = − ; VD 8. Tính tích phân 3 3 I=3 xdxdy + 2 xdydz − ydzdx 2π ∫∫ B. I = − ; S 3 v ới S là mặt biên ngồi c ủa elipsoid π O 2 C. I ; y2 z 2 = :x 2 + + ≤ 1 . y 3 4 9 1 π x D. I = − . A. I =144 π ; B. I =32 π ; 3 C. I =8 π ; D. I =36 π . Tốn cao c p A3 Đi h c 29
30. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân §1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân Gi ải. Gi ả s ử Ixy(,)∈ ( C ) , h ệ s ố gĩc ti ếp tuy ến t ại I là: §2. Phương trình vi phân cấp 1 §3. Phương trình vi phân cấp cao PI PI y yx′()tan= α=− =− ⇒ yx ′ () =− (*). PA OP x §1. KHÁI NI ỆM C Ơ B ẢN V Ề C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Nh ận th ấy hàm y=, C ∈ ℝ th ỏa (*). 1.1. Bài tốn mở đầu x a) Bài tốn 1 C 6 Thay t ọa độ của M vào y = ta đượ c y = . • Tìm ph ươ ng trình đườ ng x x cong ():C y= fx () đi qua b) Bài tốn 2 điểm M(2; 3) sao cho m ọi đoạn c ủa ti ếp tuy ến v ới (C ) Tìm v ận t ốc nh ỏ nh ất để khi phĩng một v ật theo phươ ng nằm gi ữa hai tr ục t ọa độ th ẳng đứ ng sao cho v ật khơng r ơi tr ở l ại trái đấ t ? Cho đề u b ị ti ếp điểm chia thành biết l ực c ản c ủa khơng khí là khơng đáng k ể. hai ph ần b ằng nhau ?
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân dv M kM Gi ải. Gọi kh ối l ượ ng c ủa trái đấ t và v ật phĩng là M, m . (1)⇔v =− k . ⇔ vdv =− dr 2 2 Kho ảng cách t ừ tâm trái đấ t đế n trọng tâm c ủa v ật phĩng dr r r là r , R là bán kính c ủa trái đấ t. kM v2 kM ⇒vdv =− dr ⇒= + C (2). Theo đị nh lu ật h ấp d ẫn Newton, l ực hút tác d ụng lên v ật ∫ ∫ r 2 2 r 1 Mm là f= k . (k là h ằng s ố h ấp d ẫn). Tại thời điểm t = 0 thì r= R và v= v nên: r 2 0 2 2  vkM v2 kM v kM  Ph ươ ng trình chuy ển độ ng c ủa v ật là: 0 0  (2) ⇒=−C1 ⇒= + −  (3). dr2 Mm dr 2 M 2R 2 r 2 R  m.=− k . ⇔ =− k . (1).   2 2 2 2 dt r dt r 2 2 v0 kM v 2kM Mặt khác Khi r → +∞ thì − = ≥ 0⇒v ≥ . 2R 2 0 R d2 r dv dv dr dv = =. = v . Thay các giá trị k, M , R ta được v≈ 11,2 kms / . dt 2 dt dr dt dr 0
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân 1.2. Khái ni ệm c ơ b ản v ề ph ươ ng trình vi phân (ptvp) • Nghi ệm c ủa (*) trên kho ảng D nào đĩ là hàm y= ϕ ( x ) • Phươ ng trình ch ứa đạ o hàm ho ặc vi phân c ủa m ột ho ặc xác đị nh trên D sao cho khi thay y= ϕ ( x ) vào (*) ta vài hàm c ần tìm đượ c g ọi là ph ươ ng trình vi phân . đượ c đồ ng nh ất th ức trên D . • Ph ươ ng trình vi phân n ếu cĩ nghi ệm thì sẽ cĩ vơ s ố • C ấp cao nh ất c ủa đạ o hàm cĩ trong ph ươ ng trình vi nghi ệm sai khác nhau m ột hằng s ố C . phân đượ c g ọi là cấp c ủa p hươ ng trình vi phân đĩ. • Gi ải ph ươ ng trình vi phân là đi tìm t ất c ả các nghi ệm • D ạng t ổng quát c ủa phươ ng trình vi phân c ấp n là: của ph ươ ng trình vi phân đĩ. Fxyy(, ,′ , , y (n ) )= 0 (*). • Đồ th ị nghi ệm y= ϕ ( x ) của m ột ph ươ ng trình vi phân đượ c g ọi là đườ ng cong tích phân . N ếu t ừ (*) ta gi ải đượ c theo y(n ) thì ptvp cĩ d ạng: Chú ý (n ) ( n − 1) y= fxyy( , ,′ , , y ) . • Nghi ệm của m ột ph ươ ng trình vi phân thường đượ c biểu diễn dưới dạng hàm ẩn. Tốn cao c p A3 Đi h c 30
31. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân §2. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP I VD 1. Tìm hàm y= y( x ) th ỏa y′ − x = 0. 2.1. Khái ni ệm c ơ b ản v ề phươ ng trình vi phân c ấp 1 Biết đườ ng cong tích phân đi qua điểm M(2; 1) . • Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 là ph ươ ng trình cĩ d ạng x 2 Gi ải. Ta cĩ: yx′−=⇔0 yxy ′ =⇒= + C (1). tổng quát F(,, x y y ′ )= 0 (*). Nếu t ừ (*) ta gi ải đượ c 2 theo y′ thì (*) tr ở thành y′ fxy . x 2 = ( , ) Th ế M(2; 1) vào (1) ta đượ c C=−⇒1 y = − 1 . • Nghi ệm c ủa (*) cĩ d ạng y= y( x ) ch ứa h ằng s ố C đượ c 2 ′ 2 gọi là nghi ệm t ổng quát . Khi th ế điều ki ện y0= y( x 0 ) VD 2. Tìm nghi ệm k ỳ d ị c ủa ptvp y=1 − y . cho tr ướ c (th ườ ng g ọi là điều ki ện đầ u) vào nghi ệm Gi ải. Với điều ki ện −1 ≤y ≤ 1 , ta cĩ: tổng quát ta đượ c giá tr ị C c ụ th ể và nghi ệm lúc này 0 dy y′ =1 − y2 ⇒ = 1 − y 2 đượ c g ọi là nghi ệm riêng c ủa (*). dx • Nghi ệm thu đượ c tr ực ti ếp t ừ (*) và khơng th ỏa nghi ệm dy ⇒ = dx , −1 0 thì fkxky(,)= kn fxy (,) . VD 6. Gi ải ptvp xy2(+ 1) dx +− ( x 3 1)( y − 1) dy = 0 . Ch ẳng h ạn, hàm số: x− y f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 0, 2x+ 3 y 4x2 + 3 xy 2 1 f( x , y ) = là đẳ ng c ấp b ậc 1, VD 7. Gi ải ptvp xy′ + y = y th ỏa điều ki ện y(1) = . 5x− y 2 f(,) x y= 3 x2 − 2 xy là đẳ ng c ấp b ậc 2. Tốn cao c p A3 Đi h c 31
32. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân b) Ph ươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp x2− xy + y 2 • Phươ ng trình vi phân đẳ ng c ấp cấp 1 cĩ d ạng: VD 8. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = . xy y′ = fxy( , ) (2). Trong đĩ, f( x , y ) là hàm số đẳ ng c ấp b ậc 0. x+ y VD 9. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ = Ph ươ ng pháp gi ải x− y   với điều ki ện đầ u y(1)= 0 . y  Bướ c 1. Bi ến đổ i (2) ⇔y′ = ϕ  . x   y Bướ c 2. Đặ t u= ⇒ y′ = u + xu ′ . VD 10. Gi ải phươ ng trình vi phân: x du dx y y Bướ c 3. (2)⇒+u xu′ =ϕ⇒ ( u ) = xy′ ln= y ln + x (x , y > 0) . ϕ(u ) − u x x x (ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) ( đây là ptvp cĩ bi ến phân ly).
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.2.3. Ph ươ ng trình vi phân tồn ph ần  Ph ươ ng pháp gi ải • Cho hai hàm s ố Pxy(, ), Qxy (, ) và các đạ o hàm riêng ′ ′ Bướ c 1. T ừ (3) ta cĩ ux = P (3 a) và uy = Q (3 b). của chúng liên t ục trong mi ền m ở D , th ỏa điều ki ện ′ ′ Bướ c 2. L ấy tích phân (3 a) theo bi ến x ta đượ c: Qx= P y , ∀ (, xy ) ∈ D . Nếu t ồn t ại hàm u( x , y ) sao cho duxy(,)= Pxydx (,) + Qxydy (,) uxy(,)=∫ Pxydx (,) =ϕ (,) xy + Cy () (3 c). thì phươ ng trình vi phân cĩ d ạng: Trong đĩ, C( y ) là hàm theo bi ến y . Pxydx(,)+ Qxydy (,) = 0 (3) đượ c g ọi là phươ ng trình vi phân tồn ph ần. Bướ c 3. Đạ o hàm (3 c) theo bi ến y ta đượ c: u′= ϕ ′ + C ′ ( y ) (3 d). • Nghi ệm t ổng quát c ủa (3) là uxy( , ) = C . y y Nh ận xét Bướ c 4. So sánh (3 b) và (3 d) ta tìm đượ c C( y ) . Thay C( y ) vào (3 c) ta đượ c u( x , y ) . uxyx′(,)= Pxy (,), uxy y ′ (,) = Qxy (,) .
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân VD 11. Cho ph ươ ng trình vi phân: 2.2.4. Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 • Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 cĩ d ạng: (3y2++ 2 xy 2) xdx +++ ( x 2 6 xy 3) dy = 0 (*). y′ + pxy( ) = qx ( ) (4). 1) Ch ứng t ỏ (*) là phươ ng trình vi phân tồn ph ần. 2) Gi ải p hươ ng trình (*). • Khi q( x )= 0 thì (4) đượ c g ọi là p hươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 thu ần nh ất. Ph ươ ng pháp gi ải VD 12. Gi ải ptvp x y dx ey xdy . (+− 1) + ( + ) = 0 (ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố Lagrange ) − p( x ) dx Bướ c 1. Tìm bi ểu th ức A( x ) = e ∫ . VD 13. Gi ải phươ ng trình vi phân: p( x ) dx Bướ c 2. Tìm bi ểu th ức Bx()= qxe (). ∫ dx . [(x++ y 1) exy + edx ]( ++ e x xedy y ) = 0 . ∫ Bướ c 3. Nghi ệm t ổng quát là y AxBx C  . =() () +  Tốn cao c p A3 Đi h c 32
33. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân ∫ p( x ) dx q( x ) Nh ận xét . Bx( )= qxe ( ). dx = dx . VD 15. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ − x2 y = 0 ∫ ∫ A( x ) Chú ý th ỏa điều ki ện đầ u y= − e 9. • Khi tính các tích phân trên, ta ch ọn h ằng s ố là 0. x =3 • Ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố là đi tìm nghi ệm − p( x ) dx t ổng quát c ủa (4) d ướ i d ạng: y= Cxe( )∫ . VD 16. Gi ải phươ ng trình y′ + ycos x = e −sin x . VD 14. Trong ph ươ ng pháp bi ến thiên h ằng s ố, ta đi tìm y nghi ệm t ổng quát c ủa y′ +2 = 4ln x x d ướ i d ạng: x C( x ) C( x ) A. y = ; B. y = ; yy′ x x x 2 x 3 VD 17. Gi ải phươ ng trình −2 tan2 = sin4 . C( x ) C( x ) C. y = ; D. y = − . x x
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân 2.2.5. Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli Bướ c 2. Đặ t zy=1−α ⇒ z′ =(1 −α ) yy ′ −α , ta được: • Ph ươ ng trình vi phân Bernoulli cĩ d ạng: (5)⇒z′ +−α (1 ) pxz ( ) = (1 −α ) qx ( ) α y′ + pxy( ) = qxy ( ) (5). (đây là phươ ng trình tuy ến tính c ấp 1). • Khi α = 0 ho ặc α = 1 thì (5) là tuy ến tính c ấp 1. • Khi px()= qx () = 1 thì (5) là pt cĩ bi ến phân ly. y VD 18. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ + = xy 2 Ph ươ ng pháp gi ải (với α khác 0 và 1) x với điều ki ện đầ u x=1, y = 1 . Bướ c 1. Với y ≠ 0, ta chia hai v ế cho yα: y′ y (5)⇒ +px ( ) = qx ( ) VD 19. Gi ải phươ ng trình vi phân y′ −2 xy = xy3 4 . yα y α −α1 −α ⇒yy′ + pxy() = qx () .
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân §3. PH ƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO x 7 3 VD 2. Gi ải ptvp y′′ = e 2 v ới y(0)= − , y ′ (0) = . 3.1. Các d ạng ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 khuy ết 4 2 3.1.1. Ph ươ ng trình khuy ết y và y’ 3.1.2. Ph ươ ng trình khuy ết y • Phươ ng trình vi phân khuyết y và y′ cĩ dạng: • Phươ ng trình vi phân khuyết y cĩ dạng: y′′ = f( x ) (1). y′′= fxy( , ′ ) (2). Ph ươ ng pháp gi ải Ph ươ ng pháp gi ải • Đặ t z= y ′ đư a (2) v ề ph ươ ng trình tuy ến tính c ấp 1. • L ấy tích phân hai v ế (1) hai l ần: y′′= fx() ⇒= y ′ fxdx () =ϕ+ () x C y′ ∫ 1 VD 3. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x − . x ⇒=ϕy() xdxCx + =ψ+ () x CxC + . ∫ 1 1 2 y′ VD 4. Gi ải pt vi phân y′′ − − x( x −= 1) 0 VD 1. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ = x 2 . x − 1 với điều kiện y(2)= 1, y ′ (2) = − 1 . Tốn cao c p A3 Đi h c 33
34. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân 3.1.3. Ph ươ ng trình khuy ết x 3.2. Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 tuy ến tính • Phươ ng trình vi phân khuyết x cĩ dạng: với h ệ s ố h ằng y′′= fyy( , ′ ) (3). 3.2.1. Ph ươ ng trình thu ần nh ất • Phươ ng trình thuần nhất cĩ dạng:
    Ph ươ ng pháp gi ải dz dzdy dz y′′++= ay ′ ay0, ( aa , ∈ ℝ) (4). • Đặ t z= y ′ ta cĩ: y′′=== z ′ . = z . 1 2 12 dx dydx dy Ph ươ ng pháp gi ải. Xét ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa (4): • Khi đĩ, (3) tr ở thành pt vp v ới bi ến s ố phân ly. 2 k+ ak1 + a 2 = 0 (5). VD 5. Gi ải phươ ng trình vi phân y y′′ y ′ 2 . (1− ) + 2( ) = 0
    Tr ườ ng h ợp 1 VD 6. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ (1 − 2 y ) = 0 Ph ươ ng trình (5) cĩ hai nghi ệm th ực phân bi ệt k1, k 2 . kx kx 1 1 2 với điều ki ện y(0)= 0, y ′ (0) = . Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi ệm riêng y1= e, y 2 = e 2 kx kx 2 và nghi ệm t ổng quát là y= Ce1 + Ce 2 . VD 7. Gi ải phươ ng trình vi phân 2yy′′=( y ′ ) + 1 . 1 2
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Tr ườ ng h ợp 2 y′′ y ′ y Ph ươ ng trình (5) cĩ nghi ệm kép th ực k . VD 8. Gi ải phươ ng trình vi phân +2 − 3 = 0 . kx kx Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi ệm riêng y1= e, y 2 = xe kx kx VD 9. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′−6 y ′ + 9 y = 0 . và nghi ệm t ổng quát là y= C1 e + C 2 xe .
    Tr ườ ng h ợp 3 VD 10. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′ +16 y = 0 . Ph ươ ng trình (5) cĩ hai nghi ệm ph ức liên h ợp k=α± i β . VD 11. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′+2 y ′ + 7 y = 0 . Khi đĩ, (4) cĩ hai nghi ệm riêng: ye=αxcos β= xye , α x sin β x 1 2 VD 12. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình: và nghi ệm t ổng quát là: y′′− y ′ + y = 0. αx yeC=( 1cos β+ xC 2 sin β x ) .
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân 3.2.2. Ph ươ ng trình khơng thu ần nh ất VD 13. Gi ải phươ ng trình vi phân y′′−2 y ′ + yx = ( a). • Phươ ng trình khơng thu ần nh ất cĩ d ạng: Gi ải. Xét ph ươ ng trình thu ần nh ất: ′′ ′ ℝ y′′−2 y ′ + y = 0 ( b). y++= ay12 ay fx( ), ( aa 12 , ∈ ) (6). Ta cĩ: k2 −210 k += ⇔ k = 1 a) Ph ươ ng pháp gi ải t ổng quát x x ⇒y1 = e, y 2 = xe là 2 nghi ệm riêng c ủa ( b). • N ếu (4) cĩ hai nghi ệm riêng yx( ), yx ( ) thì (6) cĩ 1 2 Suy ra, nghi ệm t ổng quát c ủa ( a) cĩ d ạng: nghi ệm t ổng quát là y= Cxyx11()() + Cxyx 22 ()(). x x y= Cxe1(). + Cxxe 2 (). . • Để tìm C x và C x , ta gi ải h ệ Wronsky : 1( ) 2( ) Ta cĩ h ệ Wronsky: Cxyx′()()+ Cxyx ′ ()() = 0  x x  11 22 eCx.()′+ xeC .() ′ x = 0   1 2 Cxyx′′()() + Cxyx ′′ ()() = fx ().  x x  11 22 eCx.′ ()+ ( x + 1). eCx ′ () = x   1 2 Tốn cao c p A3 Đi h c 34
35. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân Gi ải h ệ b ằng đị nh th ức Crammer, ta đượ c: b) CÁC PH ƯƠ NG PHÁP GI ẢI ĐẶ C BI ỆT  2 −x
    Ph ươ ng pháp c ộng nghi ệm Cx′( ) = − xe  1 • Đị nh lý C′( x ) = xe −x Nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình khơng thu ần nh ất  2 (6) b ằng tổng nghi ệm t ổng quát c ủa ph ươ ng trình thu ần nh ất (4) v ới 1 nghi ệm riêng c ủa (6). Cx()= Cxdxex′ () =−x (2 +++ 22) x C  1∫ 1 1 VD 14. Cho ph ươ ng trình vi phân: ⇒  Cx()= Cxdx′ () =− ex−x (1) ++ C . y′′−2 y ′ + 2 y = (2 + xe2 ) x (*).  2∫ 2 2 1) Ch ứng t ỏ (*) cĩ 1 nghi ệm riêng là y= x2 e x . V ậy ph ươ ng trình ( a) cĩ nghi ệm t ổng quát là: 2) Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa (*). x x VD 15. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: y= Ce1 + Cxe 2 ++ x 2. yy′′+ ′ =2sin2 x + 4cos2 x , bi ết 1 nghi ệm riêng là y= − cos 2 x .
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ph ươ ng pháp ch ồng ch ất nghi ệm
    Ph ươ ng pháp tìm nghi ệm riêng c ủa ph ươ ng trình • Đị nh lý vi phân tuy ến tính c ấp 2 v ới h ệ s ố h ằng Cho phươ ng trình y′′+ ay ′ + ay = fx( ) + fx ( ) (7) . 1 2 1 2 Xét ph ương trình y′′+ ay ′ + ay = fx( ) (6) Nếu y( x ) và y( x ) l ần l ượ t là nghi ệm riêng c ủa 1 2 1 2 và y′′+ ay ′ + ay = 0 (4). y′′+ ay ′ + ay = fx( ) , y′′+ ay ′ + ay = fx( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 αx thì nghi ệm riêng c ủa (7) là: • Tr ườ ng h ợp 1: f(x) cĩ d ạng e Pn(x) (P( x ) là đa th ức b ậc n ). y= yx1() + yx 2 (). n 2 Bướ c 1. Nghi ệm riêng của ( 6) cĩ d ạng : VD 16. Tìm nghi ệm t ổng quát c ủa y′′− y ′ = 2 cos x (*). Cho biết y′′− y ′ = 1 và y′′− y ′ = cos2 x l ần l ượ t cĩ mα x y= xeQx.n ( ) 2 1 nghi ệm riêng y= − x , y= −cos2 x − sin2 x . (Qn ( x ) là đa th ức đầ y đủ b ậc n ). 1 2 10 10
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân Bướ c 2. Xác đị nh m: fx e3x x 2 2 Gi ải. Ta cĩ ( )= ( + 1) , α =3,P2 ( x ) = x + 1 . 1) N ếu α khơng là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng Suy ra nghi ệm riêng cĩ dạng: của (4) thì m = 0. m x 2) N ếu α là nghi ệm đơ n c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng y= xe3( Ax 2 + Bx + C ) . của (4) thì m = 1. Do α = 3 là nghi ệm đơ n c ủa phươ ng trình đặ c tr ưng 3) N ếu α là nghi ệm kép của ph ươ ng trình đặ c tr ưng k2 −2 k − 3 = 0 nên m = 1. của (4) thì m = 2. Suy ra nghi ệm riêng cĩ d ạng y= xe3x ( Ax 2 + Bx + C ) . Bướ c 3. Thế y= xeQxm.α x ( ) vào (6) và đồ ng nh ất th ức n Th ế y= xe3x ( Ax 2 + Bx + C ) vào ph ươ ng trình đã cho, ta đượ c nghi ệm riêng c ần tìm. đồ ng nh ất th ức ta đượ c: VD 17. Tìm nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 1 1 9 A=, B =− , C = . y′′−−=2 y ′ 3 yex3x ( 2 + 1) . 12 16 32 Tốn cao c p A3 Đi h c 35
36. ĐH Cơng nghi p Tp.HCM Saturday, August 06, 2011 dvntailieu.wordpress.com
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân   3x 1 2 1 9  Bướ c 2. Xác đị nh s : Vậy nghi ệm riêng là y= xe x − x + . 12 16 32   1) N ếu α± i β khơng là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa (4) thì s = 0. VD 18. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: 2) N ếu α± i β là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng y′′+2 y ′ += yxex + 2 e − x . của (4) thì s = 1. sα x Bướ c 3. Th ế yxeRx=[k ()cosβ xHx + k ()sin β x ] • Tr ườ ng h ợp 2 vào (6) và đồ ng nh ất th ức ta đượ c nghi ệm riêng. αx f(x) cĩ d ạng e [Pn(x)cos βx + Q m(x)sin βx] VD 19. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: (Pn ( x ) là đa th ức b ậc n , Qm ( x ) là đa th ức b ậc m ). y′′+−=2 y ′ 3 yex cos x + 3 xe x sin x . Bướ c 1. Nghi ệm riêng cĩ d ạng: x sα x Gi ải. Ta cĩ fx()= e (cos x + 3sin) x x yxeRx=[ ()cosβ xHx + ()sin β x ] k k ⇒=α1, β = 1,n = 0, m = 1, k = 1 . (Rxk( ), H k ( x ) là đa th ức đầ y đủ b ậc k= max{ n , m } ).
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân Suy ra nghi ệm riêng cĩ dạng: V ậy d ạng nghi ệm riêng c ần tìm là: s x y= xeAx[( + B )cos x ++ ( Cx D )sin] x . y= xeAxx [(2 ++ Bx C )cos x +++ ( Dx2 Ex F )sin] x . Do α±i β =1 ± i khơng là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đặ c tr ưng k2 +2 k − 3 = 0 nên s = 0. VD 21. Tìm nghi ệm tổng quát c ủa phươ ng trình vi phân: Vậy d ạng nghi ệm riêng là: y′′ + y = 3 sin x (*). y= eAxx [( + B )cos x ++ ( Cx D )sin x ] . 3.3. PHƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN C ẤP CAO VD 20. Tìm dạng nghi ệm riêng c ủa phươ ng trình vi phân: tuy ến tính thu ần nh ất v ới h ệ s ố h ằng y′′−+=2 yyex ′ 2x [(2 + 1)cos xxx + sin] . • Ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất c ấp n cĩ d ạng: y()n+ ay (1) n− + ay (2) n − + + ayay′ += 0 (8). Gi ải. Ta cĩ α=1, β = 1,k = 2 . 1 2n− 1 n Trong đĩ, a∈ℝ, i = 1,2, , n . 1 ± i là nghi ệm c ủa k2 −220 k += ⇒ s = 1 . i
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân
    Ch ươ ng 4. Ph ươ ng tr ình vi phân • Đị nh lý VD 22. Gi ải phươ ng trình y′′′−2 yy ′′ −+ ′ 2 y = 0 . N ếu ph ươ ng trình đặ c tr ưng c ủa (8) Gi ải. Ph ươ ng trình đặ c tr ưng: n n−1 n − 2 kak+ + ak ++ aka += 0 3 2 1 2n− 1 n kkk−2 −+=⇔=± 20 k 1, k = 2 . cĩ n nghi ệm th ực đơ n kk, , , k , k Vậy ph ươ ng trình cĩ 3 nghi ệm riêng: 1 2n− 1 n −x x2 x y= e, y = ey , = e thì ph ươ ng trình (8) cĩ n nghi ệm riêng 1 2 3 −x x2 x kx kx kx kx và nghi ệm t ổng quát là y= Ce + Ce + Ce . 1 2n− 1 n 1 2 3 yeye1==, 2 , , yn− 1 = e , ye n = và nghi ệm t ổng quát là: VD 23. Gi ải phươ ng trình vi phân y(4) y′′ y . −5 + 4 = 0 kx kx kx kx 1 2n− 1 n Ht yCe=1 + Ce 2 ++ Cen− 1 + Ce n . ℝ Trong đĩ, Ci ∈, i = 1,2, , n . Tốn cao c p A3 Đi h c 36