Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 10: Tích phân kép (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 10: Tích phân kép (Phần 2)

1. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP
2. TỌA ĐỘ CỰC M y r r=+ x22 y 0 x x== rcos , y r sin [0,2 ] hay [ − , ]
3. TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC a r b D :  j j −1 = Dij (rij, ) D =
4. Tổng tích phân Sn= f( r i cos j , r i sin j ) r i r ij, f( x , y ) dxdy= lim Sn d→0 D limSn = f ( r cos , r sin ) rdrd d→0 D
5. Công thức đổi biến sang tọa độ cực x== rcos , y sin f( x , y )dxdy= f ( r cos , r sin )r drd DD
6. Một số đường cong và miền D trong tọa độ cực x== rcos , y r sin R R D -R R -R R x2+ y 2 R 2 x2+= y 2 R 2 0 rR rR= 02
7. 22 x+= y2 Rx x22+ y2 Rx • • R 2R 0 rR 2 cos rR= 2 cos − 22
8. x22+= y2 Ry x22+ y2 Ry 2R rR= 2 sin R• • 0 rR 2 sin 0
9. rr= 2() D r12()() r r D :  rr= 1()  (0  − 2 ) f( r cos , r sin ) rdrd D  r2 () = d f( r cos , r sin ) rdr r1()
10. VÍ DỤ 22 22 xy+ 1 1/ Tính: I=+ x y dxdy với D : D y 0 r = 1 x== rcos , y r sin 01 r D : 0 -1 1 1 1 I== r. rdrd d r2 dr ==d 33 D 00 0
11. 2/ Tính: I=− () x y dxdy D 14 xy22 + D : y x, y − x x== rcos , y r sin r = 1 r = 2 12 r D : 3 44
12. I=−() x y dxdy 12 r D D : 3 =− (r cos r sin ). rdrd 44 D 3 4 2 =− d r2 (cos sin ) dr 1 4 3 4 81 7 =(cos − sin ) − d =− 2 33 3 4
13. x22+ y2 y 3/ Tính: I= xdxdy với D : D yx − r = 2sin x== rcos , y r sin 0 r 2sin D : 3 4 2sin 2 1 I== rcos rdrd d r cos rdr =− 6 D 3 0 4
14. 4/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: x2+ y 2 =4 x , x 2 + y 2 = 2 x , y = x , y = 0 r = 4cos x== rcos , y r sin 0 D 4 2cos r 4cos r = 2cos
15. 0 S( D )= 1 dxdy D 4 D 2cos r 4cos = rdrd D 4 4cos = d rdr 0 2cos 33 =+ 42
16. 22 x+ y − x 5/ Tính: I= xydxdy với D : D 30xy yx= 3 4 0 3 0 r − cos r = - cos
17. ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT y (,)(,)x y D u v D x = x(u,v), y= y(u,v) D(,) x y xx D J ==uv D(,) u v yyuv 1 x J = D(,) u v Công thức đổi biến D(,) x y f(,) x y dxdy= f ((,),(,)) x u v y u v J dudv DD
18. Áp dụng đổi biến tổng quát Tọa độ cực: x== rcos , y r sin xxr cos −r sin Jr= = = yr y sin r cos f( x , y ) dxdy= f ( r cos , r sin )rdrd DD
19. Hình tròn tâm tùy ý: D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 v y Dời gốc tọa độ đến tâm u b • x = u + a, y = v + b xx 10 a x J =uv = = 1 yyuv 01 f( x , y ) dxdy= g ( u , v ).1 dudv D u2+ v 2 R 2 Đổi tiếp sang u== rcos , v r sin tọa độ cực:
20. Tóm tắt: D: (x – a)2 + (y – b)2 R2 v x = a + rcos , y = b + rsin y r J = r u b • a 0 rR x D : 02 fxydxdy( , )= far ( + cos , b + r sin )rd rd DD
21. xy22 Đổi biến trong ellippse D :1+ ab22 b x = arcos , y = brsin D J = abr a xy22 0 r 1 +=r 2 D : ab22 0 2 f( x , y ) dxdy= f ( ar cos , br sin )abr drd DD
22. 1/ Tính: I= xydxdy với D là nửa trên của D hình tròn: (x – 2)2 + (y + 1)2 9 u x = 2 + rcos , y = -1 + rsin J = r 03 r D : v 0 I= (2 + r cos )( − 1 + r sin ) rdrd D
23. I= (2 + r cos )( − 1 + r sin ) rdrd D 3 = d ( − 2 − r cos + 2 r sin + r2 sin cos ) rdr 00 = −9 + 18
24. Ví dụ xy22 2/ Tính: I= xydxdy, D : + 1; y 0; x 0 94 D x = 3rcos , y = 2rsin 2 J = 3.2.r = 6r Miền D được viết lại: 3 r 2 1 3rr cos 0,2 sin 0
25. r 2 1 01 r 3rr cos 0,2 sin 0 cos 0,sin 0 01 r D : 0 2 2 1 xydxdy= d 3 r cos .2 r sin .6 rdr D 00 9 = 2
26. 3/ Tính diện tích miền giới hạn bởi x2 ellipse + y2 =1, y = 0, y = x , x 0 3 x==3 r cos , y r sin Jr= 3 Miền D được viết lại: • x2 +y2 1, 0 y x 3 0 r 1, 0 rr sin 3 cos
27. 0 r 1, 0 rr sin 3 cos 0 r 1, 01 r sin 0 tan = 3 cos 0 3 3 1 S( D )== dxdy d 3 rdr D 00
28. Tính đối xứng của miền D trong tính tp kép D đối xứng qua oy D1 = D  {(x,y)/ x 0} D D1 f(x,y) chẵn theo x: f( x , y ) dxdy= 2 f ( x , y ) dxdy DD1 f(x,y) lẻ theo x: f( x , y ) dxdy = 0 D