Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Trần Quang Việt

Nội dung text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier - Trần Quang Việt

1. Ch-4: Bi ểu di ễn tín hi ệu dùng bi ến đổi Fourier Lecture-7 4.1. Bi ểu di ễn tín hi ệu không tu ần hoàn dùng bi ến đổi Fourier 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1. Bi ểu di ễn tín hi ệu không tu ần hoàn dùng bi ến đổi Fourier 4.1.1. Bi ến đổi Fourier 4.1.2. Điều ki ện tồn tại bi ến đổi Fourier 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
2. 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Tín hi ệu không tu ần hoàn được xem nh ư tín hi ệu tu ần hoàn có chu kỳ dài vô hạn Xét f(t) là tín hi ệu không tu ần hoàn: f( t ) và fT0 (t) là tín hi ệu tu ần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với chu kỳ T0: f( t ) T 0 T0 Ta có quan hệ gi ữa f(t) và f (t) nh ư sau: f(t)= lim f (t)  T0 T0  T0→∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Bi ểu di ễn fT0 (t) dùng chu ỗi Fourier 1T/20 1 S 2 sinn ω S D = f (t)e-jn ω0t dt= e -jn ω 0 t dt= 0 n∫ T 0 ∫ -T0 /2 -S T0 T 0 Tn 00ω T0 D n 2sin ωS 2π ω=n ω 0 = n ω T0 nω0 ω0= 2 π / T 0
   Gấp đôi T0: T0 D n 2sin ωS 2π ω=n ω 0 = n ω T0 nω0 ω0= 2 π / T 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2
3. 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Ti ếp tục tăng T0 T0 D n 2sin ωS 2π ω=n ω 0 = n ω T0 nω0 ω0= 2 π / T 0
   Khi T0∞, T 0Dn  hàm liên tục T /2 ∞ 0 -jn ω t  -j ωt lim[] T .D = lim f (t)e0 dt = f(t)e dt=F( ω) 0 n∫ T 0 ∫ T0→∞ T 0 →∞ -T0 /2  - ∞
   Ph ổ của tín hi ệu không tu ần hoàn: F(n ω0 ) 1 D( ω)= lim [Dn ]= lim = F( ω) lim [ ∆ω ] = 0 T→∞ T →∞∆ω → 0 0 0 T0 2 π  Ph ổ của tín hi ệu không tu ần hoàn có tính ch ất phân bố  Hàm mật độ ph ổ tín hi ệu, F( ω), được xem là ph ổ tín hi ệu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1. Bi ến đổi Fourier
   Tích phân Fourier ∞ ∞ jn ω0t 1 jn ∆ωt f(t)= lim f (t) = lim∑ Dn e =lim F(n ∆ω)e ∆ ω T0 ∑ T 0 →∞ T 0 →∞ ∆ω →∞ n=−∞ n=−∞ 2π 1 ∞ f(t)= ∫ F( ω)ejωt d ω 2π −∞
   Tóm lại ta có kết qu ả: f(t) ↔ F( ω ) ∞ F( ω)= f(t)e− jωt dt Ph ươ ng trình phân tích – Bi ến ∫−∞ đổi Fourier thu ận 1 ∞ f(t)=∫ F( ω)ejωt d ω Ph ươ ng trình tổng hợp – Bi ến 2π −∞ đổi Fourier ng ược Cho phép phân tích/t ổng hợp tín hi ệu f(t) thành/t ừ các thành ph ần tần số, ejωωωt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
4. 4.1.2. Điều ki ện tồn tại bi ến đổi Fourier
   Tín hi ệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F( ω) hữu hạn và năng lượng sai số bằng 0.
   Điều ki ện Dirichlet:  Điều ki ện 1: |f(t)|dt 0: ∞ ∞ ∞ 1 1 F( ω)= eu(t)e−−at j ωt dt= e − (a+j ω)t dt=− e − (a+j ω)t = ∫−∞ ∫ 0 a+j ω 0 a+j ω 1 e−at u(t); a>0 ↔ a+j ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4
5. 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản 1 F(ω ) = a2+ω 2 ∠F()ω = − tan(−1 ω /) a F(ω ) ∠F(ω ) 1/ a π / 2 ω ω −π / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản
   f(t)=u(t): +∞ +∞ +∞ 1 F()()ω =∫ utedt−jtω = ∫ edt − jt ω =− e − jt ω = ? −∞ 0 ω j 0 u( t ) 1 −at e u( t ) ut()= lim eut−at () a→0 t 0 +∞ 1 a− j ω  ⇒ ω =−at − jω t = = F()lim∫ eutedt () lim lim 2 2  a→0−∞ a → 0a+ jω a → 0  a + ω  a 1 ⇒ F(ω )= lim 2 2 + a→0 a+ω j ω Di ện tích bằng πππ 1 ⇒ F()ω= πδ () ω + jω u() t↔πδ ()1/ ω + j ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
6. 4.1.3. Bi ến đổi Fourier của một số tín hi ệu cơ bản
   f(t) xung cổng đơ n vị: 0 t >τ /2 t re ct ( τ ) = 1 t <τ / 2 τ / 2 jωτ/2− j ωτ /2 +∞ τ / 2 t −jtω − jt ω1 jt ω e− e F()ω =∫ rectedt ()τ = ∫ edt =− e = −∞ − τ / 2 ω ω j−τ / 2 j j2sin( ωτ) sin ( ωτ ) t ωτ ⇔=F()ω2 = τ 2 = τ sin c ωτ ⇒ ↔τ ωτ ()2 rect(τ ) sin c ( 2 ) jω ()2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tính ch ất tuy ến tính: f1 (t)↔ F 12 ( ω); f (t) ↔ F 2 ( ω) a11 f (t)+a 22 f (t)↔ a 11 F( ω)+a 22 F ( ω)
   Phép dịch th ời gian: ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt ∫−∞ ∞ f (t)=f(t− t ) ↔ F ( ω)= f(t − t )e− jωt dt 1 01∫−∞ 0 ∞ − jω(τ +t ) − = f(τ )e0 d τ =F( ω)e jωt0 ∫−∞ −jω t 0 Linear phase shift ftt(−0 ) ↔ F ()ω e Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6
7. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier Ví dụ: −ωτ / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Phép dịch tần số (điều ch ế): ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt ∫−∞ ∞ ∞ − − − f (t)=f(t)ejω0t↔ F ( ω)= f(t)e j ω0 t ejωt dt = f(t)ej( ω ω 0 )t dt= F( ω − ω ) 1 1 ∫−∞ ∫−∞ 0 jω0t f(t)e↔ F( ω − ω 0) 1 1 Ví dụ: f(t)cos ω t↔ F( ω −ω) + F( ω+ ω ) 02 0 2 0 1 1 f(t)sin ω t↔ F( ω −ω) − F( ω+ ω ) 0j2 0 j2 0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7
8. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tính đối ng ẫu: ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt ∫−∞ 1 ∞ 1 ∞ f(t)=∫ F( ω)ejωt d ω f(− t)=∫ F( ω)e− jωt d ω 2π −∞ 2π −∞ 1 ∞ ∞ f( − ω)=∫ F(t)e− jωt dt 2πf( − ω)=∫ F(t)e− jωt dt 2π −∞ −∞ F(t)↔ 2 πf( − ω) Ví dụ: δ(t)↔ 1 1↔ 2 πδ ( − ω)=2 πδ (ω) t ωτ π ω  ↔ rect τsinc  sinc ()ω0t↔ rect   τ 2 ω02ω 0  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Phép tỷ lệ th ời gian: ∞ ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt f (t)=f(at)↔ F ( ω)= f(at)e− jωt dt ∫−∞ 1 1 ∫−∞ ω ∞ − j τ 1 a 1 ω  a > 0 : F1 ( ω)=∫ f( τ)e d τ = F   a −∞ a a  1 ω  ω f(at)↔ F   1 ∞ − j τ 1 ω  a = F |a| a  a < 0 : F1 ( ω)=∫ f( τ)e d τ   −a −∞ −a a 
   Phép đảo th ời gian: ∞ f(t)↔ F( ω)= f(t)e− jωt dt f(− t) ↔ F( − ω) ∫−∞ Ví dụ: e−at u(t)↔ 1/(a + j ω) eu(at − t) ↔ 1/(a − j ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 8
9. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tích ch ập trong mi ền th ời gian: f1 (t)↔ F 12 ( ω); f (t) ↔ F 2 ( ω) +∞ f(t)=f (t)∗ f (t) ↔ F( ω)= f (t) ∗ f (t)e− jωt dt 12∫−∞ 12 +∞ +∞ F( ω)= f ( τ)f (t − τ)d τ  e− jωt dt ∫−∞ ∫ −∞ 1 2  +∞ +∞ +∞ − jωt  − jωτ = f1 ( τ) f 2 (t − τ)e dt d τ = f ( τ)F ( ω)e d τ ∫-∞ ∫ - ∞  ∫−∞ 1 2 +∞ =F ( ω) f ( τ)e− jωτ d τ = F ( ω)F ( ω) 2∫−∞ 1 12 f1 (t)∗ f 2 (t) ↔ F 12 ( ω)F ( ω) 2t T ωT Ví dụ: rect(T )↔ 2 sinc ( 4 ) 2t 2tT t T 2 2 ωT Có: rect(T )∗ rect( T2T4 )= ∆( ) ↔ sinc ( 4 ) t T 2 ωT ∆( T) ↔ 2sinc ( 4 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
   Tích ch ập trong mi ền tần số: f1 (t)↔ F 12 ( ω); f (t) ↔ F 2 ( ω) +∞ 1 jωt f(t)=∫ [F1 ( ω)∗ F 2 ( ω)]e d ω 2π −∞ +∞ +∞ 1 jωt = ∫[ ∫ F1 ( τ)F 2 ( ω-τ)d τ]e d ω 2π −∞ −∞ +∞ +∞ 1 jωt = ∫F1 ( τ)[ ∫ F 2 ( ω-τ)e d ω]d τ 2π −∞ −∞ +∞ +∞ 1 jτt jxt = ∫F1 ( τ)e [ ∫ F 2 (x)e dx]d τ 2π −∞ −∞ +∞ = f (t) F ( τ)ejτt d τ = 2πf (t)f (t) 2∫−∞ 1 1 2 2πf12 (t)f (t)↔ F( 1ω) ∗ F 2 ( ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 9
10. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
    Đạo hàm trong mi ền th ời gian: +∞ f(t)↔ F( ω) f(t)= 1 F( ω)ejωt d ω 2π ∫−∞ +∞ df(t) 1 jωt df(t) = 2π ∫ jωF( ω)e d ω ↔ jωF( ω) dt −∞ dt dn f(t) ↔ (j ω)n F( ω) dt n
    Tích phân trong mi ền th ời gian: +∞ t f(t)∗ u(t) = f( τ)u(t − τ)dτ = f( τ)d τ ∫−∞ ∫−∞ f(t)∗ u(t) ↔ F( ω)[ πδ (ω)+1/j ω] = πF(0) δ(ω)+F( ω)/j ω t f( τ)d τ↔ π F(0) δ(ω)+F( ω)/j ω ∫−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
    Liên hi ệp ph ức và tính đối xứng liên hi ệp ph ức: ∞ +∞ − jωt 1 jωt f(t)↔ F( ω)= f(t)e dt f(t)= 2π F( ω)e d ω ∫−∞ ∫−∞ +∞ +∞ f* (t)= [1 F( ω)e j ωt* d ω] = 1 F * ( ω)e− j ωt d ω 2π ∫−∞2π ∫ −∞ +∞ =1 F* ( − ω)e j ωt d ω 2π ∫−∞ f* (t)↔ F * ( − ω) F( − ω)=F* ( ω) f(t):Real |F( ω)| : even function of ω ∠F( ω) : odd function of ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 10
11. 4.2. Các tính ch ất của bi ến đổi Fourier
    Định lý Parseval: +∞ +∞ +∞ +∞ 2 * 1 jωt ∗ E= |f(t)| dt = f(t)f (t)dt = f(t)[2π F( ω)e d ω] dt f ∫−∞ ∫−∞ ∫−∞ ∫ −∞ +∞ +∞ +∞ = 1 F* ( ω)[ f(t)e -j ωt dt]d ω = 1 F* ( ω)F( ω)d ω 2π ∫−∞ ∫ −∞ 2π ∫−∞ +∞ E= 1 |F( ω)|2 d ω Định lý Parseval f 2π ∫−∞ |F( ω)| 2 Mật độ ph ổ năng lượng ω Ví dụ: f(t)=sinc(t)↔ F( ω)=2 πrect(2 ) +∞ 1 1 2 2 ω Ef = 2π 4 π rect (2 )d ω =2π dω = 4π ∫−∞ ∫−1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn
    Bi ểu di ễn tín hi ệu tu ần hoàn dùng chu ỗi Fourier: +∞ jn ω t 1 − f(t)= D e 0 jn ω0t ∑ n với: Dn =∫ f(t)e dt T0 n= −∞ T0
    Bi ến đổi Fourier cho tín hi ệu tu ần hoàn: +∞ f(t)↔ F( ω)=∑ 2 πDnδ(ω − nω 0 ) n= −∞
    Ví dụ 1: f ( t) T0=4S T0 1 n π +∞ nπ Dn = sinc( ) F( ω)= ∑ πsinc( ) δ(ω − nω0 ) 2 2 n= −∞ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11
12. 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn F( ω) π 2 2 ω −ω0 ω0 ∞
    Ví dụ 2: xác định ph ổ của hàm phân bố lược f(t)= ∑ δ(t− kT) k= −∞ f(t) 1 t -2T -T 0 T 2T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3. Bi ến đổi Fourier của tín hi ệu tu ần hoàn 1 +∞ 2π 2n π − Dn = F( ω)= ∑ δ(ω ) T n= −∞ T T F( ω) 2π T 4π 2π 0 2π 4π ω − − T T T T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 12