Bài giảng Quá trình và thiết bị cơ học - Chương 3: Động lực học cơ hệ

Nội dung text: Bài giảng Quá trình và thiết bị cơ học - Chương 3: Động lực học cơ hệ

1. Chương 3: Động lực học cơ hệ 1.CÁC KHÁI NIỆM 1.1. DI CHUYỂN KHẢ DĨ VÀ SỐ BẬC TỰ DO CỦA CƠ HỆ - CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ THƯỜNG BỊ RẰNG BUỘC BỞI NHỮNG ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC NHẤT ĐỊNH TẬP HỢP CÁC ĐIỀU KIỆN ĐÓ GỌI LÀ LIÊN KẾT. ❖TẬP HỢP NHỮNG DI CHUYỂN VÔ CÙNG BÉ BẢO TOÀN LIÊN KẾT CỦA HỆ GỌI LÀ DI CHUYỂN KHẢ DĨ CỦA HỆ. ❖ VÍ DỤ: SỐ DI CHUYỂN KHẢ DĨ CỦA ĐIỂM M. r1 = kr2 ri = k1r1 + k2r2
2. ❖Di chuyển khả dĩ độc lập r1 = kr2 ri = k1r1 + k2r2 ❖Số bậc tự do của cơ hệ bằng số di chuyển khả dĩ độc lập. 1.2. Toạ độ suy rộng của cơ hệ - Tập hợp các thông số đủ để xác định vị trí của cơ hệ trong một hệ quy chiếu xác định gọi là các toạ độ suy rộng của cơ hệ ký hiệu: q1, q2, q3, qm. - Toạ độ đề các của các chất điểm có thể biểu diễn qua toạ độ suy rộng. - Nếu các toạ độ suy rộng là độc lập toạ độ suy rộng đủ (q1, q2, qn). - Nếu không ta có toạ độ suy rộng dư (qn+1, qn+2, qm), m>n. - Số toạ độ suy rộng dư bằng số phương trình liên kết. ❖ Ví dụ: - Khảo sát hai thanh liên kết bản lề loại 5 với nhau và với giá như hình vẽ: - Vị trí của của chúng có thể xác định như sau:
3. ➢ { , } - Số toạ độ suy rộng đủ. ➢ {xA, yA, xB, yB} m-n = 2 Phương trình liên kết: 2 2 2 xA + yA = OA 2 2 2 (xB − xA ) + (yB − yA ) = AB Trong trường hợp các phương trình liên kết không chứa các vận tốc suy rộng liên kết hình học Nếu không chứa thời gian liên kết dừng. Trong phạm vi giáo trình ta chỉ khảo sát các cơ hệ chịu liên kết hình học và dừng. 1.3. Các đặc trưng hình học khối của vật rắn 1.3.1. Khối tâm của vật rắn
4. - Vị trí khối tâm của vật rắn được xác định như sau: lim m r 1 r = N →  k k = rdm c N M v lim N → mk k=1 - Chiếu phương trình này lên các trục toạ độ toạ độ (xc, yc, zc) của khối tâm. 1.3.2. Mô men quán tính của vật rắn - Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z ký hiệu Iz, là một đại lượng vô hướng xác định theo công thức: N I = lim m 2 = 2dm z N→  k k k−1 v - Trong trường hợp
5. 1.4. Các lực tác dụng lên cơ hệ - Lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ thay đổi theo thời gian, không những phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của chất điểm chịu lực mà còn phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của tất cả các chất điểm thuộc cơ hệ. - Gọi F là lực tác dụng lên chất điểm M . k k Fk = Fk (t,r1,r2, ,rn ,v1,v2, ,vn ) ❖Lực tác dụng lên cơ hệ gồm: - Ngoại lực: Lực từ bên ngoài tác dụng lên chất điểm Mk của cơ hệ ký hiệu . Fck - Nội lực: Lực do các chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng lẫn nhau ký hiệu . Fik - Lực liên kết: Ký hiệu R, là lực liên kết tác dụng lên chất điểm thuộc cơ hệ. k - Lực hoạt động là lực không phụ thuộc vào loại lực liên kết. 1.5. Lực suy rộng 1.5.1. Biểu thức công của lực trong di chuyển khả dĩ Ak = Fkrk = (Fkxxk + Fkyyk + Fkzzk )
6. - Giả sử số toạ độ suy rộng đủ của cơ hệ là:q1, q2, q3, qn. Vì xk là hàm số của qi nên: n n n xk yk zk xk =  qi yk =  qi zk =  qi k=1 qi k=1 qi k=1 qi - Thay vào biểu thức của ta có: Ak n n x y z n k k k Ak =   Fkx + Fky + Fkz = Qiqi i=1 k =1 qi qi qi i=1 1.5.2. Lực suy rộng n x y z n r - Đại lượng: k k k k Qi =  Fkx + Fky + Fkz =  Fk k=1 qi qi qi k=1 qi - Thứ nguyên của lực suy rộng phụ thuộc vào thứ nguyên của toạ độ suy rộng (lực hoặc mômen). 1.6. Liên kết lý tưởng ❖Là liên kết mà tổng công của các lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ đều bằng 0, thực tế nếu bỏ qua ma sát và tính đàn hồi các liên kết sau đây: - Các vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng;
7. - Hai vật rắn luôn tựa vào nhau (bỏ qua ma sát); - Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc (ma sát trục, trượt); - Hai vật lăn không trượt với nhau. - Dễ dàng thấy: R rk Qi =  Rk = 0 qi 2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ 2.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ - Đối với các cơ hệ chịu liên kết hình học, dừng, và lý tưởng điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu. A = F r = 0  k  k k - là lực hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm M . Fk k - là di chuyển khả dĩ của điểm M . rk k 2.2. Điều kiện cân bằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng đủ Từ nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có:
8. n Ak =  Fkrk = Qiqi =0 i=1 - Do c¸c to¹ ®é suy réng ®ñ ®éc lËp víi nhau nªn c¸c qi còng ®éc lËp ®èi víi nhau. VËy: Qi = 0 (i = 1, 2, 3 n) §Þnh lý: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó c¬ hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc, dõng vµ lý tëng c©n b»ng t¹i mét vÞ trÝ lµ c¸c lùc suy réng cña c¸c lùc ho¹t ®éng øng víi c¸c to¹ ®é suy réng ®ñ ph¶i ®ång thêi triÖt tiªu . r - NÕu ®Æt:V * = k th× nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ cã thÓ viÕt k dt díi d¹ng: * Fkvk = 0 - Ph¬ng tr×nh nµy gäi lµ ph¬ng tr×nh c«ng suÊt DCKD. 2.3. VÝ dô
9. 3. NGUYÊN LÝ ĐA LĂM BE 3.1. NGUYÊN LÝ ĐA LĂM BE ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM - CÁC LỰC THỰC SỰ ĐẶT VÀO CHẤT ĐIỂM CÙNG LỰC QUÁN TÍNH CỦA CHẤT ĐIỂM TẠO THÀNH MỘT HỆ LỰC CÂN BẰNG. F = ma - THEO ĐINH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐLH (NIU TƠN 2): - BIẾN ĐỔI TA CÓ:F − (ma) = F + Fqt = 0 3.2. NGUYÊN LÝ ĐA LĂM BE Đ ỐI VỚI CƠ HỆ - KHẢO SÁT CHẤT ĐIỂM THỨ Ke THUỘCi CƠ HỆ: Fk − (ma) = Fk + Fk + Fqt = 0 n - LẤY TỔNG HAI VẾ TỪe 1 ĐẾN N (HỆ LỰC PHẲNG) TA CÓ:  Fk + Rqt = 0 k=1 n e  mo (Fk )+ M oqt = 0 k=1
10. 3.3. Thu gọn hệ lực quán tính 3.3.1. Vật rắn chuyển động tịnh tiến n Rqt =  − mk ak = −Mac k =1 - Hợp lực quán tính đặt tại khối tâm của vật. 3.3.2. Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định - Thu gọn hệ lực quán tính về O ta được. n Rqt =  − mk ak = −Mac k =1 n n n  n  M oqt = mo (Fkqt )+ mo (Fkqt )= mo (− mk ak )= −J z k =1 k=1 k =1 3.3.3. Vật rắn chuyển động song phẳng - Thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được. RCqt = −Mac MCqt = −JCzc 3.4. Ví dụ
11. 4.ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 4.1.1. VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN - THEO NGUYÊN LÝ ĐA LĂM BE: N d 2r N F + R = 0 c   k qt M 2 = Mrc = Fk k=1 dt N N k=1   MxC =  Fkx MyC =  Fky k=1 k=1 4.1.2. VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH N N m F + M = 0   o ( k ) oqt J z =  mo (Fk ) k =1 k =1 Fk - TRONG ĐÓ LÀ CÁC LỰC NGOÀI KỂ CẢ PHẢN LỰC LIÊN KẾT. 4.1.3. CHUYỂNN Đ ỘNG SONG PHẲNGN CỦA TẤM PHẲNGN My = F JCz  = mo (Fk ) - TRONGMxC = HỆ TOẠFkx ĐỘ ĐỀ CÁC:C  ky   k =1 k=1 k=1
12. 4.2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ – Phương trình Lagrange loại 2 - Khảo sát cơ hệ chịu liên kết hình học và lý tưởng có vị trí xác định nhờ n toạ độ suy rộng đủ: q1, q2, q3 qn. - Theo nguyên lý Đa lăm be: qt qt qt F1, F2 FN,R1, R2 RN , F1 , F2 FN  0 - Do liên kết lý tưởng nên các lực liên kết triệt tiêu nhau nên điều kiện cân bằng sẽ là: F qt Qi + Qi = 0 Trong đó: i = 1, 2 n -Từ biểu thức động năng T của cơ hệ theo các toạ độ suy rộng và vận tốc suy rộng có thể chứng minh: qt d T T Qi = − − dt qi qi T = T(q1,q2 , qn ,q1,q2 , qn ) F Qi Là lực suy rộng của các lực hoạt động.
13. - Thay vào phương trình điều kiện cân bằng d T T F − = Qi dt qi qi - Đây là phương trình Lagrange II mô tả chuyển động của cơ hệ. - Nếu các lực hoạt động gồm các lực có thế với hàm thế năng  và các lực hoạt động khác không thế có lực suy rộng Q*i thì phương trình Lagrange loại II có thể viết như sau: d T T  i = 1, 2, n − = − + Q* 5. Ví dụ i dt qi qi qi