›
›

Bài giảng môn Đồ họa kỹ thuật - Phần I: Hình họa

ppt 101 trang ngocly 3430
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Đồ họa kỹ thuật - Phần I: Hình họa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_mon_do_hoa_ky_thuat_phan_i_hinh_hoa.ppt

Nội dung text: Bài giảng môn Đồ họa kỹ thuật - Phần I: Hình họa

  1. BÀI GIẢNG ĐỒ HOẠ KỸ THUẬT
  2. Phần I Hình họa
  3. Chương 1 Mở đầu Cơ sở của biểu diễn
  4. Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế. Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều. Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3 chiều lên mặt phẳng 2 chiều? Gaspard Monge Hình họa
  5. 1.1- Đối tượng môn học - Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng
  6. 1.2- Các phép chiếu S 1- Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu - Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc A Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π. *Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu A’ + Điểm S gọi là tâm chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của П điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm
  7. b) Tính chất phép chiếu П C’ C S A’ A C S E F’ B B A D B’ F D D’ C’=D’ E’ A’ B’ T’ П b) a) Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm - Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng ’A B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)
  8. 2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu a - Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một s điểm A bất kỳ trong không gian. A - Qua A kẻ đường thẳng a//s . ’A là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π. * Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình A’ chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu П + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s Hình 0.3 Xây dựng phép + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của chiếu xuyên tâm điểm A
  9. b) Tính chất phép chiếu C - Nếu đường thẳng AB không song song a) s M B với phương chiếu s thì hình chiếu song song D của nó là đường thẳng’ A B’ A - Nếu CD song song với phương chiếu s C’=D’ thì hình chiếu song song của nó là một điểm A’ B’ C’=D’ M’ - Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc ’A B’ П + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: b) I K A'M' AM N Q s = M'B' MB M P - Nếu MN//QP thì: M'N' //P' Q' M'N' MN = N’ P'Q' PQ M’ I’ K’ Q’ - Nếu IK// Π thì: I' K'//IK П P’ I' K'= IK Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song
  10. a 3- Phép chiếu vuông góc a) - Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc s A biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính A’ chất của phép chiếu song song, ngoài ra П có thêm các tính chất sau: + Chỉ có một phương chiếu s duy B nhất b) + Giả sử AB tạo với П một góc φ thì: s A’B’=AB.cosφ A A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương φ pháp hình chiếu thẳng góc B’ П A’ Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc
  11. Chương 2 Biểu diễn, liên thuộc
  12. 2.1 – Điểm a) 2.1.1 Đồ thức của một điểm Π1 a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu A1 A - Trong không gian lấy hai mặt phẳng x Ax vuông góc nhau П1 và П2. - Mặt phẳng П có vị trí thẳng đứng. 1 Π2 A2 - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (x = П1∩П2 ) b) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng Π1 A1A П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng x Ax П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2 trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm A2 A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b) Π2 Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
  13. a) * Các định nghĩa và tính chất Π 1 A - Mặt phẳng П : mặt phẳng hình chiếu đứng 1 1 A - Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng x A - Đường thẳng x : trục hình chiếu x - A1: hình chiếu đứng của điểm A Π2 A2 - A2: hình chiếu bằng của điểm A - GọiA x là giao của trục x và mặt phẳng (AA A ) 1 2 b) - Trên đồ thức, A ,A , A cùng nằm trên một 1 x 2 Π1 đường thẳng vuông góc với trục x gọi là A1A đường dóng thẳng đứng. x Ax A2 Π2 Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
  14. * Độ cao của một điểm a) Π1 - Ta có: AxA1 = A2A gọi là độ cao của A1 điểm A A - Quy ước: x Ax + Độ cao dương : khi điểm A nằm Π2 A2 phía trên П2 + Độ cao âm: khi điểm A nằm phía dưới П2. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: b) + Độ cao dương: A nằm phía trên Π1 1 A1A trục x + Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x x Ax A2 Π2 Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
  15. * Độ xa của một điểm a) Π1 A1 - Ta có: AxA2 = A1A gọi là độ xa của điểm A A - Quy ước: x Ax + Độ xa dương : khi điểm A nằm Π2 A2 phía trước П1 + Độ xa âm: khi điểm A nằm phía sau П1. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: b) A1 + Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x x Ax + Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x *Chú ý: Với một điểm A trong không gian A2 có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Π2 Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của không gian. Như vậy đồ thức của một một điểm trên hệ thống hai mặt điểm A có tính phản chuyển phẳng hình chiếu
  16. b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu a) - Trong không gian, lấy ba mặt phẳng z Π 1 A Az П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một. 1 + Gọi x là giao điểm của П và П (y = П ∩П ) A3 1 2 1 2 A + Gọi y là giao điểm của П và П (y = П ∩П ) A 2 3 2 3 x x O Ay + Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3) A2 y A2 Π2 - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3 Π3 b) z A Π1 A1 3 Π3 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng A Az П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên A A Hình 1.2.a cho đến khi П trùng với П ,П trùng x x O y 2 1 3 y với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b) Ay A2 Π2 y Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
  17. b) Các định nghĩa và tính chất a) z Bổ xung thêm các định nghĩa Π 1 A Az và tính chất sau: 1 A3 - Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh A A - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu x x O Ay - A : hình chiếu cạnh của điểm A 3 A2 y A2 - Gọi Π2 Ax = x (A1AA2) Ay = y (A2AA3) Az = z (A1AA3) Π3 z - Trên đồ thức: b) Π A1 A3 Π3 1 A Az + A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường x Ax O Ay dóng thẳng đứng y + A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường Ay thẳng song song với trục x gọi là đường A2 dóng nằm ngang. Π2 y Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
  18. b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) a) * Độ xa cạnh của một điểm z Π1 A A1 z - Ta có: A z A 1 = A y A 2 = OA x = A 3 A A A gọi là độ xa cạnh của điểm A 3 A - Quy ước: x x O A + Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm A y A 2 y Π2 2 phía bên trái П3 + Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm phía bên phải П3. Π3 - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: z b) Π A A3 Π + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên 1 1 A 3 phải trục x Az + Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái x Ax O Ay trục x y Ay A2 Π2 y Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu
  19. 2.1.2 Một số định nghĩa khác 2.1.2.1– Góc phần tư - Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. + Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV) Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV B Π1 1 Π A1 ( II ) 1 C2 ( I ) B2 x ( III ) C1 D1 A2 A2 Π2 D2 Π2 ( IV ) Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV các góc phần tư I, II, III, IV
  20. 2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I.(Pg1) + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác2 II.(Pg ) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV) Π1 C1 =C 2 Π1 A1 ( II ) B2 (Pg1) x Ax Bx Cx Dx ( III ) x ( I ) A A B 2 2 1 D =D Π2 1 2 Π ( IV ) 2 (Pg2) Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)
  21. 2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức. Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức z(+) a) Δ’ b) Δ’ z(+) c) z(+) A A A 1 z 3 Δ B3 B1 Bz Δ C2 Cy B2 By O A x(+) Ax y x(+) Cx Cy O y(+) y(+) O Δ C Cz x(+) Bx 3 A Ay 2 B C1 y By y(+) Δ’ y(+) y(+) y(+) z(+) Δ’ z(+) d) e) D E =E x(+) Dx O y 1 2 y(+) E3 Ez=Ey Δ D 1 Dz Δ D3 O y(+) D x(+) Ex 2 Dy Δ’ Ey y(+) y(+)
  22. 2.2 - Đường thẳng 2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Π1 B Vì một đường thẳng đươc xác định bởi 1 hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một l1 A B đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt 1 l thuộc đường thẳng đó. x Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; A l2 AB l , A B B A 2 2 Π2 A(A1,A2) B(B1, B2) B1 - l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng l1 của đường thẳng l A - l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng 1 của đường thẳng l l2 Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường B thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất 2 trong không gian thì đồ thức đường thẳng có A2 tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l
  23. 2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng 1- Đường thẳng không song song với Π3 Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng. A l A1 l1 (l // 3 ) A2 l2 l Π1 1 l1 A1 A1 l x x A l2 l2 A2 A2 Π2 Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng
  24. 2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh) I1 P1Q1 Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) I2 P2Q2 Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu: I3 P3Q3 I PQ I3 P3Q3 I PQ z P1 P3 I3 I1 Q1 Q3 x O P2 y I2 Q2 y Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh
  25. P1 Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. α Nếu: I P I P 1 1 = 2 2 I PQ I Q I Q I I 1 1 2 2 1 Q I1P1 I2P2 I PQ I’1 I1Q1 I2Q2 - Qua P kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với t 1 Q o 1 P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90 ). x - Trên t lấy: P1 I = P2I2 P IQ = P2Q2 2 - Vẽ I I'1 //Q Q1 - Nếu I '1  I 1 thì tỉ số đơn bằng nhau I PQ I - Nếu I ' 1 I 1 thì tỉ số đơn khác nhau I PQ 2 Q2 Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh
  26. 2.2.3- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12) - Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 Þ M1 l1 , M2 x - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 Þ N1 x , N2 l2 M1 Π 1 M1 l1 l1 l N N x 1 1 x M2 M2 l2 l2 N2 Π2 N2 Hình 2.12. Vết của đường thẳng
  27. Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) C1 Giải: B * Tìm vết M, N của đường thẳng l: 2 M1 N2 A M2 x Þ M2≡ l2∩x Þ M1 l1 1 l2 N1 x Þ N1≡ l1∩x Þ N2 l2 * Xét l đi qua góc phần tư nào? - Xét A MN: A có độ cao dương, độ xa âm A2 l1 Þ A thuộc góc phần tư thứ II x M N1 2 Þ l đi qua góc phần tư thứ II. C2 - Xét B MN: B có độ cao âm, độ xa âm; B1 Þ B thuộc góc phần tư thứ III Þ l đi qua góc phần tư thứ III Góc (III) Góc (II) Góc(I) - Xét C MN : C có độ cao dương, độ xa dương; Þ C thuộc góc phần tư thứ I Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng Þ l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III
  28. 2.3- Mặt phẳng 2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng c) I Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng 1 b a1 1 a) A1 C1 b) A1 l1 B1 a2 b2 I2 C2 A l2 2 d) A2 c1 B2 d Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng 1 Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành d2 cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không c2 phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng
  29. 2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: a1 các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình I1 chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14) b1 x a2 I 2 b a1  b1  I1 2 a  b  I a 2  b2  I2 (a,b // 3 ) I1I2 ⊥ x Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau
  30. b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh P Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và 1 l1 đường thẳng l thỏa mãn: α l1∩P1Q1 ≡ I1 I1 I l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? I’1 Q (Hình 2.15) Giải: t Ta có: I l Þ PQ∩l I PQ Q1 Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay x không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên P2 I2 l Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau Q2 2 (một trong hai đường thẳng là đường cạnh)
  31. 2.3.1.2- Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: a1 Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng b1 cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên x đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh b Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không 2 phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ a thức các hình chiếu đứng của chúng song song và 2 các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16) Hình 2.16. Hai đường thẳng song a // b a1 // b1 song không phải là đường cạnh (a,b // 3 ) a 2 // b2
  32. 2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) 2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11) I1 I 1 I1 l1 21 21 l’1 11 11 11 K1 b b1 l1 b 1 l a 1 a1 a1 1 1 l l a 2 2 2 b2 b b2 a2 2 a2 K2 12 l’ 12 22 2 12 22 l2 I2 I2 I2 a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 b) l1 đi qua I1 c) l song song với một trong - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22) - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) 1 K l’→l qua IK hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(1 ,1 ) Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1 1 2 l2 đi qua 12, l2//b2
  33. Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12) M1 mα Giải: - Lấy M ≡ l ∩ m → M x 1 1 α 2 l1 - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2 nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm x N1 M2 l2 nα N2 Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1 Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng - Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết
  34. 2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 I1 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. l1 21 Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình K1 11 chiếu bằng K2 . (Hình 3.13) b a 1 Giải: 1 - Gắn điểm K vào một đường thẳng l (α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 l2 (Điểm thuộc đường thẳng) b2 a2 K2 1 2 2 2 l2 I2 Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2
  35. Cho mặt phẳng α(m , n ). Ví dụ 2: α α mα Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2 K1 (Hình 3.14) M1 Giải: - Gắn K vào đường thẳng a (α) K2 → a qua K . Tìm K ? a1 1 1 2 α x x M N1 - K2 a2 2 Chú ý: a Trong hai bài toán cơ bản trên, 2 n nếu cho hình chiếu bằng của đường α N thẳng và của điểm, tìm hình chiếu 2 đứng của chúng, ta cũng làm tương tự Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2
  36. 2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu z z Π1 m p p 1 Π3 x α O x m2=n1=p2 O y n y Π2 Hình 3.2. Vết của mặt phẳng y Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pα
  37. a) c) b) mα mα m1 x αx m2=n1=x αx x x n2 nα nα Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)
  38. Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên M1 m đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4) α M’1 a1 I1 Hình 3.4. Ví dụ b tìm vết của một 1 αx x N1 M’ N’1 M2 mặt phẳng 2 a2 Giải: I2 b2 - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết N2 của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng nα N’ a và b. 2 + Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b Chú ý: Þ m đi qua M , M’ α 1 1 Không cần tìm vết bằng + mα ∩ x ≡ αx N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b + Tìm vết bằng N(N ,N ) của a 1 2 vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng + Vết bằng nα đi qua αx và N2
  39. 2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện) 2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a) - Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b) S1 a) b) A 1 l1 A1 B1 B1 C1 C1 C2 C2 A 2 A2 S2 l2 B2 B2 Hình 5.1. Biểu diễn đa diện Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.
  40. Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón) - Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh. S1 l1 O1 O1 O2 O2 S2 l2 Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.
  41. S 2.4.2 Điểm thuộc mặt 1 Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt P1 J1 của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2) Giải: M1 N1 Q * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi 1 qua đỉnh S, đó là SE và SE’. A B1 I1 * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA 1 C1 E ≡E’1 Q’1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với C2 cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 E’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường A2 thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường M’2 J2 N P’2 thẳng song song cạnh đáy hình chóp. 2 I2 Q2 Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp. S2 E2 M2 P2 Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1 B2
  42. Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc a1 Q1 các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, k1 Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. t1 (Hình 5.3) b1 k’1 N1 M1 P1 Giải: A1 Q’1 c1 * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng H1 E1≡E’1 t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N : Gắn điểm N vào đường thẳng a B1 2 1 G1 C * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). 1 C P b Þ P1 b1 B’ 2 E’ 2 * Tìm Q , ngược lại: gắn Q vào đường 2 1 H2 c2 thẳng k (k//a,b) P’2 A N M’2 2 2 G 2 t’ s’2 Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu 2 k các điểm bằng cách gắn các điểm vào 2 E 2 M a Q2 đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ 2 2 B2 t2 P2 b Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1 2
  43. S Điểm thuộc mặt cong 1 Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. P1 K1 Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2) Giải: M1 N1 Q - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M 1 - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ J O1 I1 - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa 1 E ≡E’ Q’ điểm P 1 1 1 - Tìm Q : Vẽ đường sinh SI chứa Q. I 1 E’2 2 Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón M’2 P’2 Q2 J2 K2 S ≡ O N2 2 2 P2 M Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón. 2 Tìm M2 , N2, P2, Q1 E2
  44. Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M , a1 k’ 1 s1 1 N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) P’1 . Giải: M1 l1 N1 - Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Q1 Chân đường sinh: E1, E’1. J 1 H k1 Trên hình chiếu bằng có E , E’ . 1 2 2 E1≡E’1 P1 T1 Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. O1 G1 M2 a2, M’2 a’2 H2 T2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. E’2 N1 s1, N2 s2 . G2 - Tìm P : Ngược lại cách tìm M l2 1 2 M’2 J2 Q2 P2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 k2 O2 a’ O2T2 ⊥ l2. N2 2 Từ T1 vẽ đường sinh l1 Þ Q1 l1 E2 s2 Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ T’2 M2 là hình tròn, ta có thể gắn các điểm a vào đường tròn song song đáy trụ Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. 2 Tìm M2 , N2, P1, Q1
  45. (u ) Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. 1 E1 M N1 1 Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) (v1) Giải: P1 O1 - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: (v2) N1 (u1) Þ N2 (u2) P’2 M’2 P1 (v1) Þ P2 (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự. (u2) E O2 N2 2 M2 Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ? P2
  46. 2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu 2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Π1 A1 B1 h1 h A1 1 B1 h A B x x h2 A A2 2 B2 Π2 h2 B2 Hình 2.2. Đường bằng * Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB - Góc h2,x = h, П1= α
  47. b) Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: CD// П1 D1 f1 Π1 D1 f 1 C1 C1 D β x x β f C β f2 f2 C2 D2 C D Π2 2 2 Hình 2.3. Đường mặt * Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD - Góc f1,x = f, П2= β
  48. c) Đường cạnh * Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. z z Π1 p1 α E E 3 1 E α E E1 α 3 p p Π 3 1 p 3 p 3 F1 F F1 3 x O x Ax O β E F3 y 2 β F β E p2 A2 2 F2 y Π2 F2 p2 y Hình 2.4. Đường cạnh * Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF - Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β
  49. Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất. (Hình 2.4) z z Π1 p1 α E3 E1 E α E E 3 1 p p 3 1 p p 3 Π3 F1 F F1 3 x O x Ax O β E F3 y 2 F β E2 p2 A2 1 F Π 2 y 2 F2 p2 y Hình 2.4. Đường cạnh
  50. 2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2 B Π1 mα A1 1 C1 α1 mα A1 B1 C1 C x A x B C C2 A2 2 A2 B2 Π2 B2 Hình 3.8. Mặt phẳng bằng *Tính chất : − m // x −ABC ( ) A2B2C2 = ABC Chú ý: (α)//П2 do đó (α) ⊥ П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng
  51. b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1 C1 Π1 C 1 β A1 A C 1 B B1 1 x x A B nβ n β β2 A B2 C2 2 A B2 C Π2 2 2 Hình 3.9. Mặt phẳng mặt *Tính chất : − n // x − ABC () A1B1C1 = ABC ⊥ Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng
  52. c) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3 z z Π1 C1 C3 C1 B3 B B B1 1 C B3 C 3 m mγ γ γ Π A p p3 3 1 A3 A1 x O x O y B A3 2 A E2 nγ A2 nγ Π y A 2 C2 2 C2 Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh y *Tính chất : − m ⊥ x, n ⊥ x. − ABC () A3B3C3 = ABC Chú ý: () ⊥ 1 () // 3 Þ Þ (γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng () ⊥  2
  53. 2.5.2.- Các đối tượng chiếu 2.5.2.1Các đường thẳng chiếu a) Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: AB ⊥ 1 A ≡ B Π1 1 1 A1=B1 A x x B A2B2 ⊥ x A2 A2 B Π2 2 B2 Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng * Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1 - Hình chiếu bằng A2B2 ⊥ x - A2B2=AB
  54. b) Đường thẳng chiếu bằng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: CD ⊥ 2 C1 Π1 C1 C D1 D1 D x x C1D1 ⊥ x C2≡D2 C2≡D2 Π2 Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng * Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2 - Hình chiếu đứng C1D1 ⊥ x - C1D1=CD
  55. c) Đường thẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. z Π1 z E1 F1 ≡F E1 F1 E3 3 E F Π3 E3 ≡F3 x O x O E2 F2 y Π2 E2 F2 y Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh * Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3 - E2F2//E1F1//x - E1F1=E2F2=EF
  56. 2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng ( ) ⊥ 1 C1 Π mα B1 1 n ⊥ x C1 α1 B1 C A1 α mα A1 φ x x x φ B C2 A n α n α A Π2 2 B2 Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng *Tính chất : Chú ý: -Vết bằng n ⊥ x mα là hình chiếu đứng của mặt - ABC ( ) A1B1C1 m phẳng chiếu đứng (α) nên - m , x = (α) , П = φ (Hình 3.5) α 2 thường thay mα bởi α1
  57. b) Mặt phẳng chiếu bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng () ⊥ 2 B1 Π1 A h B m 1 mβ 1 β β A C x 1 x x φ C φ nβ A2 B2 A2 β2 Π2 C2 B2 nβ Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng C2 *Tính chất : Chú ý: n là hình chiếu bằng -Vết đứng m ⊥ x β của mặt phẳng chiếu bằng (β) - ABC () A2B2C2 n nên thường thay nβ bởi β2 - nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)
  58. c) Mặt phẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng () ⊥ 3 mγ z Π mγ z 1 pγ A α A A 1 3 α A3 B3 B B Π B1 3 3 C3 pγ x O x C1 O β C β 3 y γ C nγ y Π2 nγ y Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh *Tính chất : − m // x, n  // x − ABC () A3B3C3 p − p ,z = ,1 = − p , y = ,2 = 
  59. a) 2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc l 2.5.3.1- Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một a mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả α các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a) l ⊥ ( ) l ⊥ a ( ) b) l 2.5.3.2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường b O thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng β a đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b) 2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức Hình 3.38. Đường thẳng và - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau mặt phẳng vuông góc của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.
  60. * Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu x thành một góc vuông (Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình O y chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П. - Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn: O’ y’ x’ 1) xOy = 90 П 2) x' O'y' = 90 3) Ox ⊥ , Oy//  a) Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông
  61. 4- Ví dụ: I1 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2). ≡ φ ≡ g Tìm hình chiếu vuông góc H(H , H ) của điểm l1 1 1 1 2 C I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) 1 11 Giải: A1 h1 - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2) H1 D1 - Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2) f1 E1 - Qua I vẽ l ⊥ α(ABC): 21 B1 +Vẽ I1l1 ⊥ C1f1 + Vẽ I2l2 ⊥ A2h2 - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC) 1 (Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) A2 2 Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên f E mặt phẳng α(ABC) 2 2 C2 H2 D2 h2 Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H , H ) l2 1 2 2 của điểm I lên mặt phẳng (α). 2 B g2 I2 2
  62. Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng I1 cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) được cho trên đồ thức. (Hình 3.40) mα Giải: M1 - Qua I vẽ đường thẳng l ⊥ α(mα, nα) : I +Vẽ I1l1 ⊥ mα H1 + Vẽ I2l2 ⊥ nα - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα) N1 x - Tìm độ lớn thật của IH M2 Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ H2 I đến α(mα, nα) g2 Δy N2 l2 n Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ α I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) I2
  63. Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα). I1 Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41) mα a1 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt b1 phẳng kia. x Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I b2 - Vẽ đường thẳng Ib ⊥ α(mα, nα) a2 - β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) ⊥ α(mα, nα) nα Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α) I2
  64. Chương 3 Thay mặt phẳng hình chiếu Các bài toán về lượng
  65. Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.
  66. 3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu Π 3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu a) 1 Π’1 A1 a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: '1 ⊥ 2 A’1 * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: x Ax A - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới. A’1 - Giả sử điểm A trong hệ thống (П , П ) có hình chiếu 1 2 A’ x là (A1 , A2). A - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. Π2 2 x’ Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. b) A1 ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống Ax x Π1 (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. Π2 *Tính chất: A’1 - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ A’x + A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ A2 x’ + A’xA’ 1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi) Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1
  67. Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng B1 AB đối với П2 A1 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặt x Ax Bx Π1 - AB đã cho ở vị trí bất kỳ. Π2 B - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới 2 (П’ , П ) đoạn thẳng AB là đường mặt . 1 2 A 2 B’x Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2. x’ A’x - Để thực hiện: φ A’ +Chọn x’//A2B2 1 B’1 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) - Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1 Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2
  68. b) Thay mặt phẳng П thành mặt phẳng П’ 2 2 A’2 Điều kiện: '2 ⊥ 1 Cách xây dựng như thay П1 thành П’1 A’ x * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong A1 phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3) *Tính chất: x Ax Π1 - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П П’ ) 1, 2 Π2 + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’ A’ =A A x 2 x 2 A2 Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2
  69. A’ Ví dụ 2: 2 Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC B’2 được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) A’ x Giải: A1 Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức B’ C’2 - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. x C’x - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) B1 Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A B C . 1 1 1 C1 Tìm A’2B’2C’2? A x x Bx Cx Π1 - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật Π2 của ΔABC. C2 A2 B2 Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC
  70. 3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu A1 a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 rồi thay П2 thành П’2 x Ax Π1 Điều kiện: '1 ⊥ 2 Π2 '2 ⊥ '1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A2 A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước x’’ x’ A’ trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là x giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5) Giải: A’2 A” A’1 x - Tìm A’1: A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2 Π’2 Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2 Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2 A1
  71. Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). B1 Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống x Ax Bx Π1 mới.(Hình 4.6) Π2 B Độ cao âm A1 2 Giải: A2 - Thay П1thành П’1 để trong hệ thống A’1 (П’1,П2), AB là đường mặt. B’x + Muốn vậy, chọn trục x’//A B . 2 2 x’ A’ x B’ + Tìm A’1B’1? 1 (Độ cao điểm A âm) A”x ≡ B”x - Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống A’ ≡ B’ (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. 2 2 + Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1. x’’ + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng) Hình 4.6. Ví dụ 3
  72. b) Thay mặt phẳng П thành mặt phẳng П’ 2 2 x’’ A’’x rồi thay П1 thành П’1 A’2 A’1 Điều kiện: '2 ⊥ 1 '1 ⊥ '2 Thực hiện phép thay tương tự như mục a) A’ x Π’1 Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A x’ A1 trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2. A (Hình 4.7). x x Π1 Giải: Π2 Tìm A’2: A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2 Tìm A’1: A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1 A2 Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax rồi thay П1 thành П’1
  73. A’1 Ví dụ 4: B’1 Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác x’’ ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8) x’ B”x Giải: B’2 B’x - Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ A”x thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng B1 C’1 chiếu bằng. A’2 C”x Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. f1 A’x Chọn trục x’⊥A1f1. 11 C’2 Tìm A’2B’2C’2? A1 C’ - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ x C1 thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt B x Ax x Cx Π1 phẳng mặt. B2 Π2 Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2. 12 f2 Tìm A’1B’1C’1? A2 - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC. C2 Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC
  74. Chương 4 Giao của các đối tượng
  75. 4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng 4.1.1 Trường hợp đặc biệt b1 a)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếu l’1 a1 Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của 21 giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên K ≡ l1 trên hình chiếu suy biến của đối tượng 1 chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán 11 liên thuộc Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường x thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l a vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). 2 Giải: - l ⊥ П Þ K ≡ l 1 1 1 1 - Tìm K đưa về bài toán cơ bản 1 2 2 K2 b2 (điểm thuộc mặt phẳng) l2 22 l’2 Þ K2 ≡ l’2 ∩l2
  76. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Giải: 21 C1 - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 - Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng thuộc mặt phẳng A1 11 B1 A2 22 C g2 2 12 B2
  77. Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ 2 chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. 1 (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với f1 B1 mặt phẳng hình chiếu bằng П2). X1 Giải: d1 V1 Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. C1 h m 1 α O Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước 1 D1 hình chiếu bằng của giao tuyến. U 1 Y + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. A1 1 + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. 11 2 X2 d 2 + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB. 2 C2 B2 Π1 Hình 6.9. d U O2 V Giao của (α ) B 2 2 f V 2 với trụ chiếu C nα mα O đứng trong U D A2 x 12 D2 không gian A Y2 h O2 2 Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(m , n ) α Π2 α α với mặt trụ chiếu bằng
  78. b- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượng Nguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu. Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. g1 Giải: α1 - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1 x β2 g2
  79. Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. ( ) ⊥ 1 g1 Þ g ⊥ 1 () ⊥ 1 Giải: α1 β1 - (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 x - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 + g2 ⊥ x g2 Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)
  80. S1 Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp: Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường α1 sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) B1 X1 - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình C ≡D ≡ K J1 1 1 I1 1 chiếu đứng là đoạn A1B1. - A B là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng. A1 2 2 (E1) - Lấy I1 là trung điểm A1B1 Þ I2 là trung điểm của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng. (E2) C2 - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón). X2 C2 D2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác. A2 J2 I2 B2 K2 S2 Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp X’2 D2
  81. 4.1.2 Trường hợp tổng quát Trường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. a) Đường thẳng cắt mặt phẳng Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và φ mặt phẳng (α) l Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: K g + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l α + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α) Chú ý: Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g
  82. Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) l P1 C1 2 Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC). 1 Giải: A1 K1 - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ l BC 11≡ 11 Tìm được K ≡ l ∩ (α) P1 * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) B1 l l -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1 ,P2 ) và l2 BC BC l BC l BC (P1 , P2 ): P1 l1 ; P1 B1C1 ; P2 ≡ P2 l 12 g2 l BC A2 Trên hình chiếu đứng P1 cao hơn P1 Þ 22 l BC trên hình chiếu bằng P2 thấy, P2 khuất C l K2 2 Þ P2 K2 thấy. 12 l l l BC - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11 ,12 )  P2 P2 l Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12 Þ trên hình chiếu đứng : 1 thấy, 1 l khuất Þ 1 1 B l 2 11 K1 khuất.
  83. Ví dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37) mα Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: M1 - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) K1 - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g (Bài toán cơ bản 1) 2 N1 x - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1 l1 M2 g Þ K(K1,K2) ≡ l ∩(α) 2 K2 l2 nα Chú ý: N2 Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự. Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).
  84. b) Mặt phẳng cắt mặt phẳng Dùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giải: g Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). α Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó β bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: k J l - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). φ - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) k’ J’ l’ J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt φ’ phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Chú ý: Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β). (φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu. Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l
  85. Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d. Tìm giao của hai mặt phẳng d1 c1 E l’ F 1 k’1 J’1 1 1 (φ’1) A 1 k1 B1 J1 C1 l1 D1 (φ1) a1 g1 b1 x a2 c2 d2 A2 k 2 D2 b2 g 2 l2 C2 k’ J E 2 B2 2 2 F2 J’2 l’2 Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ
  86. Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt M1 của hai mặt phẳng đó m α mβ Giải: g1 - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): M N1 2 x + M1≡ mα∩mβ Þ M2 x + N2≡ nα∩nβ Þ N1 x g2 nβ - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g đi qua các điểm M và N 2 2 2 N2 Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ) nα Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ)
  87. b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem sách giáo khoa)
  88. l1 S1 4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện) T1 4.2.1 Trường hợp đặt biệt K1 H1 Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài I toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc O1 1 đường thẳng. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l G1 với mặt nón được cho như trên hình 6.10. T’1 S2 Giải: l ≡I ≡K - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , 2 2 2 H ≡ G do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2 2 2 - Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón O2
  89. B1 Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ. ( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên K vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1) 1 Giải: C1 Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, A1 I1 l1 do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của giao điểm. D1 Tìm I K : Bài toán điểm thuộc đường thẳng : 2 2 A2 B2 D2 C2 I2 , K2 thuộc l2. l2 Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất. I2 K2 Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng
  90. 4.2.2 Trường hợp tổng quát S a)Đường thẳng cắt đa diện 1 Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp l1 được cho trên đồ thức. 31 I1 Giải: K J1 1 21 Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, 11 ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) B1 A1 C1 - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 C2 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho. A 32 S 2 J2 12 K l2 α 2 S I 1 3 2 2 K Chú ý: I C Mặt phẳng (α) được chọn l 22 là mặt phẳng chiếu. 2 A B2 B
  91. b)Đường thẳng cắt mặt cong * Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát α S S k α K k K I I I’ R I’ 1 F J 2 1 F J 2 - Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, k) - Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2. - Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1. - 12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k
  92. * Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15) a) k b) k K α K α I I’ R I I’ O O 1 F J 2 1 F J 2 - Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ. - Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2. - Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1. - 12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J . Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k
  93. *Đường thẳng cắt mặt cầu Ví dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) f1 được cho như trên hình 6.11. K1 Giải: (C1) O1 (S1) - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào 11 của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. I1 - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn (C): (C2) ≡ (φ2). - Tìm (C1). - Ta có: I1, K1 ≡ (C1)∩ f1 (S2) I2, K2 f2 O2 Hình 6.11. Ví dụ 1: (C2) K I2 2 f2 ≡ φ2 Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) 12
  94. 4.3 Giao hai đa diện S1 Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: 51 ≡5’1 4 E 1 - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó 1 giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. D F - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của 1 21 1 1 =1’ 31 ≡3’1 1 1 B hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51. A 1 1 C1 - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt D F2 2 E2 C2 của hình chóp. 3’2 1’ - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai A2 2 3 triển như hình 5.12 S S S S 2 D 5’2 1 12 1’ S2 E 5 5’ 52 4 F 3 3’ 42 (-) 22 2 D 1 1’ B2 A B C A
  95. Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một 5 lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13) 1 4’1 E F D E 21 (-) C 41 4 3 61 B 6 1 3’1 11 A1 A 5 2 H1 31 B (-) 4’ 3’ 1 G1 C1 C D1 F1 E1 C2 Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất 3 ≡3’ H2 2 2 42≡4’2 G D giao tuyến trên hình chiếu đứng 2 2 F2 A2 22 52 1 B2 2 62 E2
  96. S1 4.4- Giao của đa diện với mặt cong Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các 1 A1 ≡A’1 1 B1 ≡B’1 đường bậc 2. 21 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. 41 5 6 1 Giải: 1 - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình C1 ≡C’1≡31 chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 C A 2 B2 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. 2 Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. 32 - Nhận xét: 5 6 2 + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt 2 phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 22 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình S2 4 nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 2 12 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, 2’2 do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4. 6’2 5’2 3’2 B’ A’2 C’2 2
  97. S1 4.5- Giao của hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay 11 X (Hình ) 1 Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là 21 41 đường cong ghềnh bậc 4. Y1 - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu 31 đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. 32 Y2 + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. 22 + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. X2 - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm 42 12 S2 thêm các điểm X, Y Hình 6.18 X’2 2’ Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay 2 3’2 Y’2
  98. 71 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với 51 mặt cầu (Hình ) 6 Giải: 1 21 - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. 31 - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: 32 + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. 22 + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất 62 của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất 52 của trụ 72 5’2 + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu. 6’2 Hình 6.19 2’ Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2 3’2
  99. Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.
  100. S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo 11 một đường bậc hai thứ hai. 21 31 32 22 S2 12 2’2 3’2
  101. S1 Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau 51 8 tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường 71 1 cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó. 61 21 31 32 52 2 62 2 S2 72 82 6’ 2 2’ 5’2 2 3’2