›
›

Bài giảng Mô hình toán - Trần Thị Xuyến

pdf 57 trang ngocly 3320
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Mô hình toán - Trần Thị Xuyến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_mo_hinh_toan_tran_thi_xuyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng Mô hình toán - Trần Thị Xuyến

  1. HỌC VIỆN NGÂN HÀNG BỘ MÔN TOÁN ———————o0o——————– BÀI GIẢNG MÔ HÌNH TOÁN Giảng viên: Trần Thị Xuyến Địa chỉ: Bộ môn Toán, phòng 302, tòa nhà 7 tầng, HVNH Email: xuyen.tran.hvnh @ gmail.com Website: xuyentranhvnh.wordpress.com Cellphone: 0915 170 752 Office: 0438 522 969 HÀ NỘI - 2016
  2. GIỚI THIỆU MÔN HỌC 1. Phân bố thời gian • Lý thuyết: 60 % • Bài tập, thảo luận, kiểm tra: 40 % 2. Giáo trình, tài liệu tham khảo • Giáo trình Mô hình toán kinh tế, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng. • Giáo trình Bài tập mô hình toán kinh tế, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng. • Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình Thúy, NXB kinh tế quốc dân. • Giáo trình mô hình toán kinh tế, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân. • Giáo trình lý thuyết mô hình toán kinh tế, PGS TS Hoàng Đình Tuấn, NXB Kinh tế quốc dân. 3. Đánh giá học phần • Điểm chuyên cần: 10 % • Kiểm tra giữa kì lần 1: 15 % (Tuần thứ 12) • Kiểm tra giữa kì lần 2: 15 % Yêu cầu mỗi nhóm làm bài tập trên file Word theo yêu cầu, đề bài trong cuốn BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN, HỌC VIỆN NGÂN HÀNG và thuyết trình. Hình thức trình bày: File Word 2007 trở lên, đặt tên file: tên nhóm+lớp ca mấy thứ mấy, đánh công thức bằng công cụ Equation trong Word, Trang bìa ghi rõ họ tên thành viên trong nhóm, nhóm trưởng, email và số điện thoại của nhóm trưởng, lớp thứ mấy ca mấy. Chú ý: đánh máy đề bài và lời giải ngay dưới đề bài. Hạn nộp là tuần thứ 1
  3. 2 kể từ sau buổi học cuối của chương nhóm phụ trách. Bài thuyết trình nhóm với đề tài tùy chọn theo yêu cầu của giáo viên. Trình bày trước lớp vào tuần thứ 15. Yêu cầu: trình bày sáng tạo, rõ ràng. Điểm kiểm tra giữa kỳ lần 2 là trung bình cộng của 2 điểm: điểm bài tập nộp và điểm thuyết trình. • Thi hết học phần : 60 % 2
  4. PHẦN 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tài liệu tham khảo: Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, Phần I: Đại số tuyến tính, Lê Đình Thúy, NXB kinh tế quốc dân. 1.1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1.1 Ma trận và các phép toán ma trận A. Các khái niệm cơ bản về ma trận 1. Ma trận là một bảng số sắp xếp theo dòng và theo cột. 2. Ma trận có m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m x n 3. Ma trận cấp m x n được viết dưới dạng:   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n  A =     am1 am2 amn Hoặc A = [aij]mxn, aij là phần tử trên dòng i, cột j. 1. Hai ma trận cùng cấp A = [aij]mxn,B = [bij]mxn gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu aij = bij, ∀i = 1, , m; j = 1, , n 2. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0. 3. Ma trận đối của ma trận A = [aij]mxn là −A = [−aij]mxn B. Các dạng ma trận Ma trận vuông: Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. 3
  5. Ma trận vuông có n dòng, n cột gọi là ma trận vuông cấp n.   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n  A =     an1 an2 ann Đường chéo nối góc trên bên trái với góc dưới bên phải là đường chéo chính, còn lại là đường chéo phụ. Ma trận tam giác. Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía đường chéo chính bằng 0.   a11 a12 a1n    0 a22 a2n    , (aij = 0, ∀i > j)   0 0 ann   a11 0 0    a21 a22 0    , (aij = 0, ∀i < j)   an1 an2 ann Ma trận đơn vị: Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu là In hoặc E là ma trận có aii = 1, i = 1, n, các phần tử còn lại bằng 0  1 0 0     0 1 0      0 0 1 C. Các phép toán tuyến tính đối với ma trận Cho ma trận A = [aij]mxn,B = [bij]mxn, k ∈ R 1. A + B = [aij + bij]mxn 2. kA = [kaij]mxn 3. A − B = A + (−B) = [aij − bij]mxn Các tính chất của phép toán tuyến tính đối với ma trận : Định lí: Cho A, B, C là các ma trận cấp m x n; k, l ∈ R. (A + B) + C = A + (B + C),A + B = B + A 4
  6. A + 0 = A, A + (−A) = 0 1A = A, k(A + B) = kA + kB (k + l)A = kA + lA, k(lA) = (kl)A D. Phép nhân ma trận Cho ma trận A = [aij]mxn,B = [bij]nxp. Tích của ma trận A và B là một ma trận, kí hiệu AB có cấp m x p xác định bởi AB = [cij]mxp với cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj, i = 1, , m; j = 1, , p. (Phần tử cij ở dòng i, cột j của ma trận AB có được bằng cách lấy vectơ dòng i của ma trận A nhân vô hướng với vectơ cột j của ma trận B) Chú ý: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán. Ví dụ: Cho các ma trận:     2 −1 " # −1 0 −2 1 2 3 A =  3 4  ,B = ,C =  0 1 −2    −4 −5 −6   1 0 1 −1 0 Hãy tính: 1. A(BC); (AB)C 2. A(B + C); AB + AC E. Phép chuyển vị ma trận 0 T Cho ma trận A = [aij]mxn, ma trận chuyển vị của A kí hiệu A (hoặc A ) có 0 cấp n x m được xác định bởi A = [aji]nxm∀i = 1, , m; j = 1, , n. Chú ý: (AB)0 = B0.A0 1.1.2 Định thức A. Khái niệm định thức Cho ma trận A vuông cấp n. Định thức của ma trận A gọi là định thức cấp n, kí hiệu |A| hay detA là một số thực được tính như sau: Định thức cấp 1: detA = a 11 a11 a12 Định thức cấp 2: detA = = a11a22 − a21a12 a21 a22 5
  7. a a a 11 12 13 Định thức cấp 3: detA = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = (a11a22a33 + a12a23a31 + a32a21a13) − (a31a22a13 + a32a23a11 + a21a12a33) Ví dụ: Tính các định thức sau 4 −3 5 4 −3 5 4 3 1 a. 3 −2 8 ; 1 −7 −5 ; −3 −2 −7 1 −7 −5 3 −2 8 5 8 −5 4 3 1 4 3 1 8 −6 10 b. 0 0 0 ; −8 −6 −2 ; 3 −2 8 5 8 −5 5 8 −5 1 −7 −5 −2 −1 −13 c. −3 −2 −7 ; 5 8 −5 Phần bù đại số Phần bù của phần tử aij kí hiệu Mij là định thức nhận được từ định thức của ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j. i+j Phần bù đại số của phần tử aij là Aij = (−1) Mij . Định thức cấp n: Cho ma trận vuông A cấp n, Khai triển theo dòng i: detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin Khai triển theo cột j: detA = a1jA1j + a2jA2j + + anjAnj 1.1.3 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho −1 AB = BA = In thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Kí hiệu: A . Khi đó ta nói ma trận A khả nghịch. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 6
  8. Ma trận phụ hợp Ma trận phụ hợp của ma trận vuông A cấp 3 là  0 A11 A12 A13 ∗   A =  A21 A22 A23  A31 A32 A33 với Aij là phần bù đại số của aij . Định lí Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông A khả nghịch là |A|= 6 0. Khi đó A−1 được tính theo công thức: 1 A−1 = A∗ |A| Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau     1 2 −3 1 0 2     a.A =  3 2 −4  ; b.B =  2 −1 3  ; 2 −1 0 4 1 8 1.2 Hệ phương trình tuyến tính A. Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 1: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số có dạng tổng quát:  a x + a x + + a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a x + a x + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (1.1)    am1x1+ am2x2+ + amnxn = bm với aij và bi(i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) là các hệ số; xj(j = 1, 2, , n) là các ẩn số. Định nghĩa 2:Hệ phương trình tương đương Hai hệ phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Các phép biến đổi của hệ phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm của hệ đó gọi là các phép biến đổi tương đương hoặc các phép biến đổi sơ cấp. Khi bi = 0, i = 1, 2, , m, hệ (1.1) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.   a11 a12 a1n    a21 a22 a2n  A =   gọi là ma trận hệ số của hệ (1.1)   am1 am2 amn 7
  9.   a11 a12 a1n b1    a21 a22 a2n b2  A =   gọi là ma trận mở rộng của hệ (1.1)   am1 am2 amn bm Các phép biến đổi tương đương Các phép biến đổi tương đương đưa hệ phương trình tuyến tính về hệ mới tương đương với nó gồm có: 1. Đổi chỗ hai phương trình của hệ. 2. Nhân hai vế của một phương trình với một số α 6= 0. 3. Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách lấy hai vế của một phương trình khác (trong cùng một hệ) nhân với một số k bất kì rồi cộng vào hai vế của phương trình đó. Phương pháp GAUSS (Phương pháp khử ẩn liên tiếp) A. Xét hệ tam giác  a x + a x + + a x = b  11 1 12 2 1m m 1  a x + a x = b 22 2 2m m 2 (1.2)    ammxm = bm aii 6= 0, i = 1, 2 , m. Cách giải: Từ phương trình cuối suy ra x = bm . m amm Thay lần lượt vào các phương trình phía trên ta tìm được: xm−1, xm−2, , x1. Hệ có nghiệm duy nhất. Ví dụ:   3x1− x2+ 2x3+ x4 = −1   x2+ 3x3− 2x4 = 15  −x3+ 3x4 = −6   −2x4 = 4 Hệ trên có nghiệm duy nhất (4, 11, 0, −2). 8
  10. B. Xét hệ hình thang  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1m m 1n n 1  a x + a x + + a x = b 22 2 2m m 2n n 2 (1.3)    ammxm+ + amnxn = bm m < n, aii 6= 0, i = 1, 2 , m. Cách giải: Gọi x1, x2, , xm là các ẩn chính, các ẩn còn lại là các ẩn tự do. Đặt xm+1 = αm+1, , xn = αn . Ta tìm được x1, , xm theo αm+1, , αn. Hệ phương trình dạng hình thang có vô số nghiệm. Ví dụ: Giải hệ sau  x + x − x − 3x − 2x = −15  1 2 3 4 5 − x2+ 2x3+ x4+ 3x5 = 10   −x3− 2x4− 4x5 = −6 C. Hệ tổng quát (1.1): Cách giải: Biến đổi hệ đã cho về dạng tam giác hoặc hình thang. 1. Khử dần các ẩn xi, i = 1, 2 2. Nếu trong hệ đã khử ẩn có xuất hiện phương trình dạng: • 0x1 + 0x2 + + 0xn = b, b 6= 0(∗) thì hệ phương trình vô nghiệm. • 0x1 + 0x2 + + 0xn = 0 thì loại phương trình đó ra khỏi hệ. • Quá trình khử ẩn kết thúc khi • Hệ nhận được chứa phương trình dạng (*) thì hệ vô nghiệm. • Hệ nhận được có dạng tam giác thì hệ có nghiệm duy nhất. • Hệ nhận được có dạng hình thang thì hệ có vô số nghiệm. Ví dụ: Giải hệ sau  x − 3x + x + 5x = 7  1 2 3 4  x − 2x − 2x − 3x = 3 a. 1 2 3 4  3x1− x2+ 2x3+ = −1   2x1+ 3x2+ 2x3− 8x4 = −7 9
  11.  x − 3x + 2x − x = 8  1 2 3 4  3x − 8x + x − 3x = 7 b. 1 2 3 4  2x1− x2 −5x4 = 6   −x1− 3x2+ x3− 8x4 = 1 D. Hệ thuần nhất  a x + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1n n  a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n (1.4)    am1x1+ am2x2+ + amnxn = 0 Thuật toán GAUSS đối với hệ thuần nhất kết thúc ở các trường hợp sau: 1. Hệ cuối cùng là một hệ tam giác thì hệ ban đầu chỉ có nghiệm duy nhất 0 = (0, 0, , 0) gọi là nghiệm tầm thường . 2. Hệ cuối cùng là một hệ hình thang thì hệ ban đầu có vô số nghiệm. Nhận xét: Nếu một hệ thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn thì luôn có nghiệm không tầm thường. Ví dụ: Giải hệ sau   x1+ 2x2− x3+ x4 = 0   2x1− x2+ 2x3− x4 = 0  3x1+ x2+ x3 = 0   −x1+ 2x2+ x3 −2x4 = 0 1.3 KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n CHIỀU 1.3.1 Véctơ n chiều và không gian vectơ A. Vectơ n chiều Ta gọi một tập hợp n số thực được sắp xếp thành một dòng hoặc một cột được gọi là vectơ n chiều. Vectơ x = (x1, x2, , xn) có xj, j = 1, 2, , n là thành phần thứ j. 10
  12. Vectơ 0n là vectơ có các thành phần bằng 0. Vectơ đơn vị thứ j là vectơ có thành phần thứ j bằng 1 còn các thành phần còn lại bằng 0. Các phép toán vectơ: Cho hai vectơ x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn), k ∈ R 1. x = y ⇔ xj = yj∀j = 1, 2, , n 2. x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) 3. x − y = x + (−y) = (x1 − y1, x2 − y2, , xn − yn) 4. kx = (kx1, kx2, , kxn) Các tính chất của phép toán vectơ 1. x + (y + z) = (x + y) + z 2. x + y = y + x 3. x + 0n = 0n + x 4. x + (−x) = (−x) + x = 0n 5. 1.x = x.1 = x 6. (k + l)x = kx + lx 7. k(x + y) = kx + ky 8. k(lx) = (kl)x B. Khái niệm không gian vectơ n chiều Tập tất cả các vectơ n chiều cùng với phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số thực thỏa mãn 8 tính chất trên gọi là không gian vectơ n chiều, gọi tắt là không gian Rn. 1.3.2 Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian Rn Tổ hợp tuyến tính: 11
  13. n Cho hệ vectơ (α1, α2, , αm) trong không gian R . Tổ hợp tuyến tính của m vectơ trên là vectơ n chiều có dạng α = k1α1 + k2α2 + + kmαm, (k1, , km ∈ R) (hay α biểu thị tuyến tính qua các vectơ đã cho) . Ví dụ: Cho hệ vectơ {x1 = (1, 2), x2 = (2, 1)}, x = (3, 5) vectơ x có biểu diễn tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho không? Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính: Hệ m vectơ (α1, α2, , αm) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số thực r1, r2, , rm không đồng thời bằng 0 sao cho r1α1 + r2α2 + + rmαm = 0 Độc lập tuyến tính: Hệ m vectơ được gọi là độc lập tuyến tính nếu chúng không phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là nếu r1α1 + r2α2 + + rmαm = 0 thì r1 = r2 = = rm = 0 Cách xét sự phụ thuộc tuyến tính cho hệ vectơ X1, , Xm Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với hệ thức r1X1 + r2X2 + + rmXm = 0 với các ẩn là r1, r2, , rm • Nếu hệ có nghiệm duy nhất (0, 0, , 0) thì hệ độc lập tuyến tính. • Nếu hệ có vô số nghiệm thì hệ phụ thuộc tuyến tính. Chú ý: Để xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ n chiều có số vectơ đúng bằng n, bạn có thể tính định thức ma trận với hệ vectơ dòng (hoặc hệ vectơ cột) là hệ n vectơ đó. Ví dụ: Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ sau: a.{x1 = (1, 2, 1); x2 = (0, −1, 3); x3 = (1, 1, 4)} b.{x1 = (1, 2, 3, −4); x2 = (3, 2, 5, 7); x3 = (4, −1, 1, 2); x4 = (5, 3, −2, 4)} 12
  14. 1.3.3 Cơ sở của hệ vectơ Cho hệ m vectơ n chiều X1, , Xm(1.5). Cơ sở của hệ vectơ (1.5) là hệ con thỏa mãn 2 điều kiện: 1. Độc lập tuyến tính 2. Mọi vectơ của (1.5) đều biểu diễn tuyến tính được qua hệ con đó. Nhận xét: • Một hệ vectơ có thể có nhiều cơ sở khác nhau. • Số vectơ trong các cơ sở của cùng một hệ là bằng nhau. 1.3.4 Hạng của một hệ vectơ Định nghĩa: Hạng của một hệ vectơ là số vectơ của cơ sở của hệ vectơ đó. Chú ý: 1. Hạng của một hệ m vectơ trong không gian Rn là một số tự nhiên r ≤ m; r ≤ n. 2. Hạng của một hệ vectơ là số vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong hệ vectơ đó. 1.3.5 Hạng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận Amxn. Hạng của ma trận là hạng của hệ vectơ cột hoặc hệ vectơ dòng của nó. Kí hiệu: r(A) Cách tìm hạng của ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển về ma trận tam giác hoặc hình thang. 13
  15. PHẦN 2: MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ 14
  16. CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU CÁC MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình mô hình toán kinh tế, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng. 2. Giáo trình bài tập mô hình toán kinh tế, Bộ môn Toán, Học viện Ngân hàng. 3. Giáo trình mô hình toán kinh tế, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân. 4. Giáo trình lý thuyết mô hình toán kinh tế, PGS TS Hoàng Đình Tuấn, NXB Kinh tế quốc dân. 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Khái niệm mô hình kinh tế và mô hình toán kinh tế . a. Mô hình Mô hình là một biểu diễn đơn giản nhưng đầy đủ những đặc trưng cơ bản của đối tượng mà nó mô tả. b. Mô hình kinh tế Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực hoạt động kinh tế gọi là mô hình kinh tế. c. Mô hình toán kinh tế Mô hình toán kinh tế là mô hình kinh tế được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. d. Mô hình hóa Mô hình hóa là phương pháp nghiên cứu một đối tượng nào đó gián tiếp thông qua mô hình của nó. Ví dụ 1.1: Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hóa A nơi người bán và người mua gặp nhau và hình thành mức giá ban đầu. Với mức giá đó, lượng hàng hóa người bán muốn bán gọi là lượng cung, lượng hàng hóa người mua muốn mua gọi là lượng cầu. Nếu cung lớn hơn cầu, thì giá sẽ giảm và nếu cầu lớn hơn cung thì mức giá mới cao hơn được hình thành. Với mức giá mới, hình thành lượng cung mới và lượng cầu mới. Qúa trình tiếp diễn khi cung bằng cầu ở một mức giá gọi là giá cân bằng. 15
  17. Mô hình toán kinh tế Gọi S, D là đường cung, đường cầu tương ứng. Ứng với mức giá p ta có: 0 dS S = S(p) là hàm tăng theo p, tức là S (p) = dp > 0. 0 dD D = D(p) là hàm giảm theo p, tức là D (p) = dp 0 0 dD D = D(p),D (p) = dp 0 ∂p ∂D D = D(p, M, T ), < 0 ∂p S = D 1.1.2 Cấu trúc mô hình toán kinh tế 1. Các biến số a. Biến nội sinh (Biến được giải thích): là các biến phản ánh, thể hiện trực tiếp sự kiện, hiện tượng kinh tế và các giá trị của chúng phụ thuộc vào giá trị của các biến khác trong mô hình. Ví dụ 1.2: Trong mô hình MHIA, các biến S, D, p là các biến nội sinh. b. Biến ngoại sinh (Biến giải thích): là các biến số mà giá trị của chúng được hình thành từ bên ngoài mô hình và các biến ngoại sinh có mức độ độc lập nhất định đối với các biến số khác trong mô hình. Ví dụ 1.3: Trong mô hình MHIB, các biến M, T là các biến ngoại sinh. c. Tham số kinh tế: là các biến số mà trong phạm nghiên cứu đối tượng, chúng thể hiện các đặc trưng tương đối ổn định , ít biến động hoặc có thể giả thiết là ổn định. Các tham số của mô hình phản ánh xu hướng, mức độ ảnh hưởng của các biến tới biến nội sinh. Hiểu theo nghĩa hẹp, các tham số chính là hệ số trong mô hình. Đôi khi các biến số kinh tế cũng được coi là tham số. Ví dụ 1.4: Nếu trong mô hình MHIB có S = αpβT γ thì α, β, γ là các tham số của 16
  18. mô hình. 2. Mối liên hệ giữa các biến số a. Phương trình định nghĩa (đồng nhất thức): Phương trình thể hiện quan hệ định nghĩa giữa các biến số hoặc giữa hai biểu thức ở 2 vế của phương trình. Ví dụ 1.5: π = TR − TC NX = EX(Y, P, ER) − IM(Y, P, ER) b. Phương trình hành vi: Phương trình mô tả quan hệ giữa các biến do tác động của các quy luật hoặc do giả định. Từ phương trình hành vi có thể biết được sự biến động của biến nội sinh khi các biến số khác thay đổi. Ví dụ 1.6: S = S(p),D = D(p) c. Phương trình điều kiện: Phương trình mô tả quan hệ giữa các biến số trong các tình huống có điều kiện mà mô hình đề cập. Ví dụ 1.7: S = D 1.1.3 Phân loại mô hình toán kinh tế 1. Phân loại theo đặc điểm cấu trúc và công cụ toán học sử dụng 1. Mô hình tối ưu 2. Mô hình cân bằng 3. Mô hình tất định, mô hình ngẫu nhiên 4. Mô hình toán kinh tế và mô hình kinh tế lượng. 5. Mô hình tĩnh, mô hình động. 2. Phân loại theo quy mô, phạm vi, thời hạn 1. Mô hình vĩ mô, mô hình vi mô 2. Mô hình ngắn hạn, mô hình dài hạn. 17
  19. 1.2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MÔ HÌNH 1.2.1 Nội dung phương pháp mô hình Phương pháp mô hình cố gắng diễn tả lý thuyết kinh tế, sử dụng phương tiện toán học: biến số, hàm số, phương trình, và các suy luận toán học để: 1. Giải mô hình từ đó kiểm tra tính phù hợp của lý thuyết. 2. Mô hình có lời giải thì ta sử dụng suy luận toán học xây dựng kịch bản (tham số thay đổi, biến số tăng hoặc giảm) và dự kiến chính sách. Các bước của phương pháp mô hình Bước 1: Đặt vấn đề Trả lời các câu hỏi: 1. Xác định vấn đề cần nghiên cứu là gì? 2. Mục tiêu của nghiên cứu là gì? 3. Các yêu cầu của nghiên cứu ? Bước 2: Mô hình hóa Dựa vào cơ sở lý luận để ta xem xét cần đưa vào các biến số nào. Sau đó ta xem xét vai trò của các biến số để thiết lập hệ thức toán học mô tả quan hệ giữa các biến số. Bước 3: Phân tích mô hình Sử dụng các phương pháp phân tích mô hình để phân tích. Kết quả của bước này có thể dùng để hiệu chỉnh mô hình cho phù hợp với thực tiễn. Bước 4: Giải thích kết quả Dựa vào các kết quả phân tích mô hình, ta sẽ đưa ra lời giải cho vấn đề nghiên cứu 1.2.2 Phân tích so sánh tĩnh Ý nghĩa: Sau khi giải mô hình, ta xác định được Nghiệm của mô hình tức là hệ thức toán 18
  20. học giữa từng biến nội sinh theo biến ngoại sinh , tham số và có thể theo biến nội sinh khác. Chúng ta quan tâm phân tích khi các biến ngoại sinh, nội sinh thay đổi thì sẽ tác động thế nào tới nghiệm. Phân tích này gọi là phân tích tĩnh. 1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh a. Đo lường sự thay đổi tuyệt đối 0 Xét hàm số y = f(x1, x2, , xn) tại x = x . Gọi số gia của xi là ∆xi và số gia tương ứng của hàm số là ∆yi, tức là: ∆yi = f(x1, x2, , xi + ∆xi, , xn) − f(x1, x2, , xi, , xn) Lượng thay đổi trung bình của y theo x là ∆yi = MF i ∆xi i Nếu y khả vi theo x thì MF = ∂f i i ∂xi 0 Ý nghĩa: MFi cho biết tại x = x , khi xi thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi MFi đơn vị khi các biến số khác không đổi. Trong trường hợp tất cả các biến ngoại sinh xi đều thay đổi một lượng ∆xi thì y sẽ thay đổi xấp xỉ là: ∂f ∂f ∂f ∆y ≈ .∆x1 + .∆x2 + + .∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn Trong trường hợp biến nội sinh y liên hệ với các biến ngoại sinh x1, x2, , xn theo hàm ẩn F (y, x1, , xn) = 0 thì ∂y ∂F = − ∂xi ∂x ∂F i ∂y Ví dụ 1.9: Cho hàm sản xuất Q = 3.K0,5.L0,5. a. Tại K = 100,L = 144, khi K tăng 1 đơn vị , L không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? b. Tại K = 100,L = 144, khi K tăng 2 đơn vị , L giảm 6 đơn vị thì sản lượng thay đổi như thế nào? b. Đo lường sự thay đổi tương đối: Hệ số co dãn 0 Xét hàm số y = f(x1, x2, , xn), x = x . 0 y 0 ∂f xi Ta có n hệ số co giãn riêng E (x ) = . 0 xi ∂xi f(x ) 0 Ý nghĩa: Hệ số co giãn riêng cho biết tại x = x , khi xi thay đổi 1 % thì y thay đổi bao nhiêu %, khi các biến số khác không đổi. Khi tất cả các biến đều thay đổi 1 % thì ta dùng hệ số co giãn toàn phần n y 0 X y 0 Ex(x ) = Exi (x ) i=1 Ví dụ 1.10: Cho hàm sản xuất Q = 3.K0,5.L0,5. a. Khi K tăng 1 % , L không đổi thì sản lượng thay đổi như thế nào? 19
  21. b. Khi K và L đều giảm 1% thì sản lượng thay đổi như thế nào? 2. Tính hệ số tăng trưởng Giả sử y = f(x1, x2, , xn, t) với t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng của y là: ∂y r = ∂t y y Khi y = f(x1(t), x2(t), , xn(t)) thì n X y ry = Exi rxi i=1 Ví dụ 1.11: Cho hàm sản xuất Q = 0, 2.K0,4.L0,8 trong đó K(t) = 120 + 0, 1t và L(t) = 200 + 0, 3t Tính hệ số tăng trưởng của Q tại thời điểm t = 10. 3. Tính hệ số thay thế, bổ sung, chuyển đổi 0 0 Giả sử y = f(x1, x2, , xn) , tại x = x , y(x ) = y0. Nếu hai biến xi, xj thay đổi và cố định các biến khác sao cho y = y0 thì sự thay đổi của 2 biến này theo tỷ lệ ∂f ∆xi ∂xj MRS(i, j) = = − ∂f ∆xj ∂xi 1. Nếu ∆xi 0 thì ta nói x có thể bổ sung được cho x với tỉ lệ ∆xi . ∆xj i j ∆xj Ý nghĩa: Khi x tăng 1 đơn vị thì phải tăng x một lượng ∆xi đơn vị để y = y j i ∆xj 0 không đổi. 3. Nếu ∆xi = 0 thì ta nói x và x không thể thay thế hoặc bổ sung cho nhau. ∆xj i j 0,5 2 Ví dụ 1.12: Cho hàm lợi ích của hộ gia đình U = 2X1 X2 với X1,X2 là số đơn vị hàng hóa 1, 2. Tại X1 = 5,X2 = 4 nếu tăng X2 lên 1 đơn vị thì X1 thay đổi như thế nào để lợi ích của hộ gia đình không đổi? 4. Quy mô sản xuất và hiệu quả Xét hàm sản xuất Y = f(X1,X2, , Xn) và t > 1. Hàm sản xuất Y = f(X1,X2, , Xn) gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu thỏa mãn k điều kiện: f(tX1, tX2, , tXn) = t .f(X1,X2, , Xn) 20
  22. 1. Nếu f(tX1, tX2, , tXn) > tf(X1,X2, , Xn) thì hàm sản xuất biểu thị hiệu quả tăng theo quy mô. 2. Nếu f(tX1, tX2, , tXn) = tf(X1,X2, , Xn) thì hàm sản xuất biểu thị hiệu quả không đổi theo quy mô. 3. Nếu f(tX1, tX2, , tXn) 0) ∂Q ∂Q 1. Tìm và giải thích ý nghĩa kinh tế ∂K , ∂L tại điểm K = 27,L = 64. 2. Tìm các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L. 3. Nếu L, K cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu %? 4. Với hàm sản xuất trên thì tăng quy mô có hiệu quả không? 5. Hai yếu tố K, L trong hàm có quan hệ bổ sung hay thay thế cho nhau không? 6. Hàm số trên có thỏa mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần không? 7. Giả sử vốn K có nhịp tăng 3 % năm và lao động có nhịp tăng 6 % năm thì nhịp tăng của Q là bao nhiêu phần trăm? 8. Tại các mức sử dụng đầu vào K = 27,L = 64, giả sử ∆K = 0.1, ∆L = −0.3 là các mức biến động của vốn và lao động. Tìm các mức thay đổi riêng dKQ và dLQ và giải thích ý nghĩa kinh tế của các đại lượng đó. Tìm và giải thích ý nghĩa của vi phân toàn phần dQ. 1.2.3 Áp dụng phân tích tĩnh đối với một số mô hình kinh tế phổ biến I Mô hình tối ưu 1 Mô hình phân tích hành vi sản xuất a. Mô hình cực tiểu hóa chi phí Đặt vấn đề : Doanh nghiệp phải lựa chọn các yếu tố đầu vào để sản xuất lượng sản phẩm theo yêu cầu cho trước sao cho chi phí thấp nhất . Mô hình hóa: Tìm (K, L) sao cho TC = wK.K + wL.L → min với điều kiện ràng buộc f(K, L) = Q với wK, wL là giá vốn và lao động. Trong đó, T C, K, L là biến nội sinh, Q, wK, wL là biến ngoại sinh. Giải mô hình: 21
  23. Lập hàm Lagrăng: La = wK.K + wL.L + λ(Q − f(K, L)) Điều kiện cần: giải hệ phương trình  ∂La = w + λ ∂f = 0  ∂K K ∂K ∂La ∂f ∂L = wL + λ ∂L = 0  ∂La  ∂λ = Q − f(K, L) = 0 Giải hệ ta được: ∂f w ∂K = K ∂f w ∂L L Vậy điều kiện cần để tối thiểu hóa chi phí là tỉ lệ thay thế giữa các yếu tố đầu vào bằng tỉ giá của chúng. Điều kiện đủ: Tính định thức 0 g g 1 2 H = g1 L11 L12 g2 L21 L22 0 0 00 00 00 Với g1 = gK, g2 = gL,L11 = LaK2 ,L12 = L21 = LaLK,L22 = LaL2 tính tại mỗi điểm dừng. Nếu H > 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm dừng. Nếu H < 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm dừng. ∗ ∗ Phân tích mô hình: Ký hiệu giá trị tối ưu là TC = TC (Q, wK, wL), giá trị của nhân tử Lagrăng làλ∗ . Ta có: Tác động của sản lượng tới chi phí tối thiểu là: ∂T C∗ = λ∗ ∂Q Tác động của giá các yếu tố đầu vào tới chi phí tối thiểu là: ∂T C∗ = K∗ ∂wK ∂T C∗ = L∗ ∂wL Ví dụ 1.14: Cho hàm sản xuất của doanh nghiệp Q = 25K0,5L0,5 và giá vốn pK = 16, giá lao động pL = 4. i. Tìm mức sử dụng lao động và vốn để sản xuất sản lượng Q = 1250 với chi phí nhỏ nhất. ii. Tính hệ số co giãn của tổng chi phí tối thiểu theo sản lượng tại Q0. iii. Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10 % thì với mức sản lượng như trước, mức sử dụng vốn và lao động thay đổi như thế nào? 22
  24. iv. Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới tổng chi phí tối thiểu. b. Mô hình tối đa hóa sản lượng Bài toán: Tìm (K, L) sao cho Q = f(K, L) → max với điều kiện ràng buộc wKK + wL.L = M với wK, wL là giá các yếu tố vốn và lao động, M là ngân sách phục vụ việc sản xuất. Trong đó, Q, K, L là biến nội sinh, M, wK, wL là biến ngoại sinh. Các bước tương tự như mô hình cực tiểu hóa chi phí. Ví dụ 1.15: Cho hàm sản xuất của doanh nghiệp Q = K0,5 + L0,5 và giá vốn pK = 5 USD, giá lao động pL = 2 USD , ngân sách cố định là 3500 USD. i. Tìm mức sử dụng lao động và vốn để tối đa hóa sản lượng. ii. Phân tích tác động của ngân sách tới sản lượng tối đa. c. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận Đặt vấn đề: Doanh nghiệp cần tính toán mức cung sản phẩm và giá bán trên thị trường sao cho lợi nhuận tối đa. Ta sẽ xét trường hợp doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo và doanh nghiệp độc quyền. Mô hình hóa: Xác định Q để làm lợi nhuận π = TR(Q) − TC(Q) → max Các biến nội sinh là: Q, π. Giải mô hình: Điều kiện cần: giải phương trình MR(Q) = MC(Q) ⇒ Q∗ Điều kiện đủ: π00(Q∗) < 0 Phân tích so sánh tĩnh: Gọi π∗ là lợi nhuận tối đa Ta dựa vào phương trình hàm ẩn MR(Q∗) = MC(Q∗) ta có thể tính tác động của các biến ngoại sinh tới sản lượng và lợi nhuận tối đa. Chú ý: Đối với doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo ∂π∗ = Q∗ ∂p Ví dụ 1.16: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm MC = 2Q2 − 12Q + 25 và chi phí có định FC và giá bán sản phẩm là p. i. Tìm hàm tổng chi phí biết FC = 100 ii. với p = 39,FC = 100, tìm mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận. iii. Nếu giá p tăng 5% thì mức sản lượng và lợi nhuận tối đa sẽ thay đổi như thế nào? 2 Mô hình phân tích hành vi người tiêu dùng Mô hình tối đa hóa lợi ích tương tự như mô hình tối thiểu hóa chi phí sản 23
  25. xuất của doanh nghiệp. Ví dụ 1.17: Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu thụ hàng hóa A và B có 0,25 0,5 dạng U = 40XA XB và giá một đơn vị hàng hóa A là 2 USD, giá một đơn vị hàng hóa B là 5 USD. i. Có ý kiến là hàng hóa A luôn thay thế hàng hóa B với tỷ lệ 1:1. Nhận xét ý kiến trên. ii. Tìm mức cầu hàng hóa A và B biết thu nhập là 300 USD. II Mô hình cân bằng thị trường • Mô hình cân bằng thị trường một hàng hóa Đặt vấn đề : Làm thế nào để phân tích tác động của các yếu tố tới sự hình thành giá và lượng cân bằng trên thị trường của một loại hàng hóa. Mô hình hóa: Giả sử hàm cung có dạng S = S(p, a, b, ) , hàm cầu có dạng D = S(p, M, pi, ) với D, S, p là biến nội sinh, a, b, M, pi là các biến ngoại sinh. Theo luật cung cầu: ∂S ∂D > 0; < 0 ∂p ∂p Giải mô hình: Giá và lượng cân bằng (p∗,Q∗) là nghiệm của phương trình: S = D Phân tích so sánh tĩnh: Để phân tích tác động của các yếu tố ngoại sinh tới giá và lượng cân bằng (p∗,Q∗) ta dùng công thức đạo hàm hàm ẩn. Ví dụ 1.18: Cho hàm cầu hàng hóa A là D = 1, 5M 0,3p−0,2 và hàm cung S = 1, 4p0,3. Hãy xác định tác động của thu nhập M tới giá cân bằng. • Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô Tổng cung của nền kinh tế ký hiệu là Y . Tổng cầu của nền kinh tế bao gồm các thành phần cấu thành C, I, G, EX, IM C: tiêu dùng của dân cư; C = C0 + β(Y − T ) với C0 là phần thu nhập tự định, không phụ thuộc vào thu nhập khả dụng Y − T . I: Đầu tư của khu vực tư nhân; G: Chi tiêu của Chính phủ EX: Xuất khẩu IM: nhập khẩu 24
  26. Phương trình cân bằng : Y = C + I + G + EX − IM Như vậy ta có mô hình: ( Y = C +I +G +EX − IM C = C0 +β(Y − T ) Các biến nội sinh gồm Y, C, I, T và các biến số còn lại là ngoại sinh. Giải mô hình: sau khi giải hệ trên, ta tìm được thu nhập cân bằng phụ thuộc vào các biến ngoại sinh khác. Phân tích mô hình: Phân tích tác động của chi tiêu chính phủ, thuế suất, tới sự thay đổi của thu nhập cân bằng. Ví dụ 1.20: Cho nền kinh tế với các chỉ tiêu như sau:   Y = C +I +G +EX − IM   C = βYd  IM = αYd   Yd = (1 − t)Y với Y là thu nhập quốc dân, I là đầu tư tư nhân, G là chi tiêu chính phủ, C là tiêu dùng dân cư, Yd là thu nhập khả dụng, EX là xuất khẩu, IM là nhập khẩu, t là thuế suất của thuế thu nhập. i. Với G = 400,I = 250, EX = 178, β = 0, 8, α = 0, 2, t = 0, 1, hãy xác định thu nhập cân bằng và tình trạng ngân sách. ii. Với các chỉ tiêu ở câu a, có ý kiến cho rằng nếu xuất khẩu giảm 10 % thì chính phủ có thể tăng chi tiêu 10 % mà không ảnh hưởng tới thu nhập cân bằng. Nhận xét ý kiến trên. 25
  27. CHƯƠNG 2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Tài liệu tham khảo: 1. Giáo trình quy hoạch tuyến tính, GS.Trần Túc, NXB ĐH kinh tế quốc dân. 2. Giáo trình mô hình toán kinh tế, chương 3, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân. 2.1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1.1 Mô hình bài toán QHTT Mô hình bài toán QHTT trong kinh tế Ví dụ 1: Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8a. Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 triệu trên mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4 triệu trên mỗi a. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180. Mô hình hóa ví dụ 1 Gọi diện tích trồng đậu và cà tương ứng là x1, x2(a) • Diện tích trồng 2 loại cây là 8a nên ta có x1 + x2 ≤ 8 • Tổng số công không quá 180 nên 20x1 + 30x2 ≤ 180 • Số tiền thu được là 3x1 + 4x2 (triệu) • Do x1, x2 là diện tích nên x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Mô hình bài toán QHTT của ví dụ 1 Xác định x1, x2 sao cho 3x1 + 4x2 ⇒ max Với các điều kiện: x1 + x2 ≤ 8 20x1 + 30x2 ≤ 180 26
  28. x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Ví dụ 2: Công ty kinh doanh xăng dầu cần cung ứng xăng cho 3 trạm bán lẻ A, B, C. Công ty có thể đưa xăng từ tổng kho I, II. Dự định cung ứng xăng cho các trạm của kho I là 20 tấn, kho II là 40 tấn. Nhu cầu tiêu thụ xăng hàng tuần của 3 trạm lần lượt là 20, 15,15 (tấn). Chi phí được cho dưới bảng (đơn vị nghìn đồng/tấn). Công ty cần lập kế hoạch cung ứng xăng đến các trạm như thế nào để đảm bảo nhu cầu các trạm với chi phí nhỏ nhất? A B C I 500 400 700 II 600 500 500 Mô hình hóa ví dụ 2 • Gọi lượng xăng chuyển từ kho I, kho II đến các trạm lần lượt là: x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C (tấn) • Điều kiện x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C ≥ 0 x1A + x2A = 20 x1B + x2B = 15 x1C + x2C = 15 • Theo đề bài: x1A + x1B + x1C ≤ 20 x2A + x2B + x2C ≤ 40 • Tổng chi phí là: 500x1A + 400x1B + 700x1C + 600x2A + 500x2B + 500x2C Mô hình bài toán QHTT của ví dụ 2 Xác định x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C sao cho 500x1A + 400x1B + 700x1C + 600x2A + 500x2B + 500x2C ⇒ min Với các điều kiện: x1A + x2A = 20 x1B + x2B = 15 27
  29. x1C + x2C = 15 x1A + x1B + x1C ≤ 20 x2A + x2B + x2C ≤ 40 x1A, x1B, x1C, x2A, x2B, x2C ≥ 0 2.1.2 Các khái niệm cơ bản BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT Tìm vectơ x = (x1, x1, , xi, , xn) sao cho: X f(x) = cjxj ⇒ min(max) (1.1) n X aijxj = bi, i ∈ I1 (1.2) j=1 n X aijxj ≥ bi, i ∈ I2 (1.3) j=1 n X aijxj ≤ bi, i ∈ I3 (1.4) j=1 S S Kí hiệu: I = I1 I2 I3 aij, bi, cj, j = 1, , n là các hằng số. xj, j = 1, , n là các ẩn số của bài toán. • Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu. • Hệ (1.2) đến (1.4) gọi là hệ ràng buộc (hệ điều kiện của bài toán). • Ràng buộc xj ≥ 0 hay xj ≤ 0 gọi là ràng buộc dấu của xj. ∗ • Ai : vectơ dòng bao gồm các thành phần là các hệ số aij trong ràng buộc thứ i. ∗ • Xét các ràng buộc không phải ràng buộc dấu, hệ vectơ Ai tương ứng với các ràng buộc này sẽ tạo thành một ma trận A. Vectơ cột thứ j kí hiệu là Aj. 28
  30. ∗ • Một nhóm ràng buộc có hệ vectơ Ai tương ứng độc lập tuyến tính được gọi là các ràng buộc độc lập tuyến tính. • Một vectơ x thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán gọi là một phương án của bài toán. • Phương án x thỏa mãn ràng buộc i với dấu bằng thì nói phương án x thỏa mãn chặt ràng buộc i. • Phương án x thỏa mãn ràng buộc i với dấu bất đẳng thức thì nói phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc i. • Phương án tối ưu (Phương án tốt nhất) là phương án mà tại đó giá trị của hàm mục tiêu đạt cực đại hoặc cực tiểu (theo yêu cầu của bài toán). • Phương án tốt hơn: Xét bài toán f(x) ⇒ Min và x1, x2 là 2 phương án. x1 gọi là tốt hơn x2 nếu f(x1) f(x2). • Phương án cực biên (PACB): Là phương án thỏa mãn chặt ít nhất n ràng buộc độc lập tuyến tính. • Phương án cực biên không suy biến: là phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc. • Phương án cực biên suy biến: là phương án cực biên thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc. • Nếu tất cả các phương án cực biên của bài toán đều không suy biến thì bài toán gọi là không suy biến, ngược lại gọi là bài toán suy biến. Ví dụ 1: Cho bài toán f(x) = 3x1 + 4x2 ⇒ max x1 + x2 ≤ 8 2x1 + 3x2 ≤ 18 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT: 29
  31. A. Dạng chính tắc n X f(x) = cjxj ⇒ Min(Max) j=1 n X aijxj = bi, (i = 1, m) j=1 xj ≥ 0, (j = 1, n) Cách viết khác của dạng chính tắc n X f(x) = cjxj ⇒ Min(Max) j=1 n X xjAj = b j=1 xj ≥ 0, (j = 1, n) Hoặc Ax = b, x ≥ 0 Mối quan hệ giữa dạng tổng quát và dạng chính tắc Mọi bài toán QHTT đều có thể quy về bài toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu của 2 bài toán trùng nhau và từ PATƯ của bài này suy ra PATƯ của bài còn lại. • Nếu xj ≤ 0 thì đặt tj = −xj ⇒ tj ≥ 0. 0 00 0 00 • Nếu xj không có ràng buộc dấu thì đặt xj = xj − xj với xj, xj ≥ 0. Pn Pn • Nếu một ràng buộc có dạng j=1 aijxj ≤ bi thì có thể thay bằng j=1 aijxj + p p p xi = bi với xi ≥ 0 và hệ số của xi trong f(x) bằng 0. Pn Pn • Nếu một ràng buộc có dạng j=1 aijxj ≥ bi thì có thể thay bằng j=1 aijxj − p p p xi = bi với xi ≥ 0 và hệ số của xi trong f(x) bằng 0. Ví dụ 2: Chuyển bài toán sau về dạng chính tắc: f(x) = 15x1 + 12x2 − x3 + 5x4 ⇒ Min 3x1 + x2 + 3x3 + 2x4 ≥ 60 4x1 − 4x2 + x3 + 4x4 ≤ 160 x1, x2 ≤ 0; x3, x4 ≥ 0 30
  32. B. Bài toán dạng chuẩn n X f(x) = cjxj ⇒ min(max) j=1   x1 +a1m+1xm+1 + a1m+2xm+2 + + a1nxn = b1   x2 +a2m+1xm+1 + a2m+2xm+2 + + a2nxn = b2    xm +amm+1xm+1 + amm+2xm+2 + + amnxn = bm xj ≥ 0(j = 1, n), bi ≥ 0, i = 1, m Bài toán có một PACB là (b1, b2, , bm, 0, , 0) Ví dụ 3: Tìm 1 PACB của bài toán sau f(x) = 2x1 − 3x2 + 4x3 − x5 ⇒ min  x +x +3x +2x = 15  1 2 3 4 −2x1 −x3 +x4 +x5 = 10   3x3 −x4 +x6 = 20 xj ≥ 0(j = 1, 6) Ví dụ 4: Chuyển bài toán về dạng chính tắc và chỉ ra 1 PACB f(x) = x1 − 3x2 − 4x3 + 3x5 ⇒ max  x +x +3x +2x ≤ 15  1 2 3 4 −2x1 −x2 −x3 +x4 +x5 ≥ 10   −x2 +3x3 −x4 ≤ 20 xj ≥ 0(j = 1, 6) Các tính chất chung Tính chất 1: Sự tồn tại PACB Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng n thì bài toán có PACB. Tính chất 2: Sự tồn tại PATƯ Nếu bài toán có phương án và trị số hàm mục tiêu bị chặn dưới (trên) trên tập phương án thì bài toán có PATƯ. Tính chất 3: Tính hữu hạn của số PACB Số PACB của mọi bài toán QHTT đều hữu hạn. 31
  33. 2.1.3 Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT A. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Xuất phát từ một PACB, tìm cách đánh giá PACB đó. Nếu như PA đó chưa tối ưu thì tìm cách chuyển sang một PACB mới tốt hơn. Qúa trình được lặp đi lặp lại và sau hữu hạn bước ta sẽ kết luận được hoặc bài toán không giải được hoặc sẽ tìm được PACB tối ưu. Khi nghiên cứu PP Đơn hình ta sẽ xét bài toán dạng chính tắc. B. ĐẶC ĐIỂM PACB CỦA BÀI TOÁN CHÍNH TẮC Định lí PA x của bài toán dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các vectơ Aj tương ứng với các thành phần dương của PA là độc lập tuyến tính. Nhận xét Ta luôn xét hệ phương trình ràng buộc của bài toán dạng chính tắc gồm m pt độc lập tuyến tính với m < n, hạng A = m. Một PACB sẽ có không quá m thành phần dương. PACB không suy biến có đúng m thành phần dương. PACB suy biến có ít hơn m thành phần dương. Ví dụ 5: Cho bài toán QHTT f(x) = −2x1 − 3x2 + 6x3 + 2x4 ⇒ Min −x1 + x2 − 3x3 + 3x4 = −5 2x1 − x2 − 3x3 − 2x4 = 1 xj ≥ 0, j = 1, 4 Ta có (2, 0, 1, 0) là một phương án cực biên không suy biến. C.CƠ SỞ CỦA PACB CỦA BÀI TOÁN CHÍNH TẮC Định nghĩa Một hệ m(m < n) vectơ Aj độc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các vectơ tương ứng với các thành phần dương của PACB x là cơ sở của PACB ấy. Kí hiệu một cách quy ước là J, trong đó J = {j : Ajnằm trong cơ sở} Chú ý: PACB x có cơ sở là J. Ta hiểu: • Số phần tử của J: |J| = m 32
  34. •{Aj, j ∈ J} độc lập tuyến tính. •{Aj, j ∈ J} ⊃ {Aj, xj > 0} Xét PACB x = (x1, x2, , xn) cơ sở J. Ta gọi xj(j ∈ J) là thành phần cơ sở; xk(k không thuộcJ) là thành phần phi cơ sở và xk = 0(∀k không thuộcJ). PACB x cơ sở J thì nó thỏa mãn n X X X X b = xjAj = xjAj + xkAk = xjAj j=1 j∈J k không thuộcJ j∈J Các vectơ Ak biểu diễn được duy nhất qua cơ sở J với các hệ số phân tích là xjk, tức là: X Ak = xjkAj j∈J Đại lượng ∆k(k không thuộcJ) gọi là ước lượng của biến xk theo cơ sở J được tính bằng công thức: X ∆k = cjxjk − ck; ∆j = 0(j ∈ J) j∈J Ví dụ 6: Cho bài toán QHTT f(x) = 3x1 − x2 + 3x4 + 2x5 ⇒ max  2x +x +x = 4  1 3 4 −x1 +x2 +3x3 = 3   3x1 −5x3 +x5 = 4 xj ≥ 0∀j = 1, , 5 Xác định PACB, cơ sở J tương ứng, xác định hệ số phân tích của Ak và tính ước lượng của biến xk(k không thuộcJ) theo cơ sở J. D. QUAN HỆ GIỮA PACB VÀ PA CỦA BT CHÍNH TẮC 0 Xét PACB x , cơ sở J0. Với mỗi chỉ số k không thuộc J xác định một phương zk có các tọa độ sau:   −xjk (j ∈ J0) k  zj = 0 (j không thuộc J0, j 6= k)   1 (j không thuộc J0, j = k) Xét sự di chuyển theo phương zk, tức là xét các vectơ có dạng x(θ) = x0 + θzk với θ ≥ 0. 33
  35.  x0 − θx (j ∈ J )  j jk 0 xj(θ) = 0 (j không thuộc J0, j 6= k)   θ (jkhông thuộc J0, j = k) 0 Để x(θ) là phương án thì cần xj − θxjk ≥ 0∀j ∈ J0 1. Nếu xjk ≤ 0∀j ∈ J0 thì x(θ) là PA ∀θ ≥ 0 Ta gọi zk là phương vô hạn. 0 2. Nếu ∃x > 0 thì ứng với x > 0 ⇒ θ ≤ xj jk jk xjk 0 Gọi θ = min xj 0 xjk>0 xjk Giả sử bài toán không suy biến, x(θ) là PA khi 0 ≤ θ ≤ θ0. k 0 Khi đó z gọi là phương hữu hạn, x(θ0) là PACB mới và f(x(θ)) = f(x )−θ.∆k. 0 k • Nếu ∆k > 0 thì f(x(θ)) f(x ) nên z gọi là phương tăng. k • Nếu ∆k = 0 thì z là phương không đổi. E. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PP ĐƠN HÌNH Xét bài toán dạng chính tắc với hàm f(x) ⇒ min Định lí 2 : Dấu hiệu tối ưu 0 Nếu đối với PACB x , cơ sở J0 của bài toán dạng chính tắc mà ∆k ≤ 0(∀k không thuộc J0) thì x0 là PATƯ. Nhận xét: • PA x bất kì là tối ưu khi và chỉ khi xk = 0 nếu ∆k 0 và xjk ≤ 0(∀j ∈ J0) thì bài toán không giải được. Xét bài toán dạng chính tắc với hàm f(x) ⇒ min 34
  36. Định lí 4 : Dấu hiệu điều chỉnh PACB 0 Nếu bài toán QHTT dạng chính tắc có PACB x với cơ sở J0 mà mỗi ∆k > 0 đều tồn tại xjk > 0 thì có thể chuyển sang một PACB mới tốt hơn trong trường hợp bài toán không suy biến. Trong trường hợp bài toán suy biến, ta tìm được PA mới x1 tương đối tốt hơn x0 tức: f(x1) ≤ f(x0). F. THUẬT TOÁN CỦA ĐƠN HÌNH 0 Giả thiết bài toán QHTT dạng chính tắc có PACB x với cơ sở J0 gồm m vectơ đầu tiên. Bước 1 : Lập bảng đơn hình ứng với PACB x0 Hs BCS PA c1 c2 cr cm cm+1 cs cn x1 x2 xr xm xm+1 xs xn 0 c1 x1 x1 1 0 0 0 x1,m+1 x1s x1n 0 c2 x2 x2 0 1 0 0 x2,m+1 x2s x2n 0 cr xr xr 0 0 1 0 xr,m+1 xrs xrn 0 cm xm xm 0 0 0 1 xm,m+1 xms xmn 0 f(x) f(x ) 0 0 0 0 ∆m+1 ∆s ∆n Bước 2 : Kiểm tra dấu hiệu tối ưu 0 • Nếu ∆k ≤ 0(∀kkhông thuộcJ0) thì x là PATƯ. 0 • Nếu tồn tại ∆k > 0 thì x không là PATƯ và chuyển sang bước 3. Bước 3 : Kiểm tra tính không giải được của bài toán • Nếu tồn tại ∆k > 0 và xjk ≤ 0(∀j ∈ J0) thì bài toán không giải được. • Nếu với mỗi ∆k > 0 đều tồn tại xjk > 0 thì chuyển sang bước 4. Bước 4 : Chọn vectơ đưa vào cơ sở và xác định vectơ loại khỏi cơ sở Giả sử max ∆k = ∆s(∆k > 0), vectơ As được đưa vào cơ sở. 35
  37. x0 0 Tính θ = min j và giả sử θ = xr (r ∈ J , x > 0). 0 j∈J0,xjs>0 xjs 0 xrs 0 rs Vectơ Ar bị loại khỏi cơ sở, phần tử trục của phép biến đổi là xrs. Lập một bảng mới, ở vị trí xr ghi xs và thay cs cho cr và chuyển sang bước 5. Bước 5 : Biến đổi bảng Tính các dòng của bảng mới (từ cột thứ 3 trở đi) theo quy tắc: • Dòng vectơ đưa vào (xs) (dòng chuẩn)= dòng vectơ loại ra (xr) trong bảng cũ : phần tử trục. • Dòng (xj) trong bảng mới = (dòng chuẩn) . (−xjs) + dòng (xj) trong bảng cũ • Dòng cuối trong bảng mới = (dòng chuẩn) . (−∆s) + dòng cuối trong bảng cũ Chú ý khi áp dụng thuật toán 1. Đối với bài toán có hàm f(x) ⇒ max ta có thể chuyển về giải bài toán với hàm g(x) = −f(x) ⇒ min và chú ý fmax = −gmin hoặc có thể giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu ∆k ≥ 0. 2. Trường hợp bài toán suy biến thì θ0 có thể bằng 0 và ta vẫn thực hiện như bình thường. 3. Nếu khi chọn vectơ đưa vào cơ sở hoặc đưa ra khỏi cơ sở có nhiều vectơ trong diện lựa chọn thì có thể chọn bất kì trong số đó. Chú ý Khi áp dụng thuật toán sẽ có 2 trường hợp xảy ra: 0 • Bài toán ở dạng chuẩn, tìm ngay được PACB x , cơ sở J0 là cơ sở đơn vị và ta áp dụng ngay thuật toán đơn hình. 0 • Khi PACB x , cơ sở J0 chưa là cơ sở đơn vị, ta phải biến đổi ma trận hệ số mở rộng [A|b] để đưa các vectơ cơ sở thành các vectơ đơn vị. Sau đó đưa toàn bộ kết quả vào bảng đơn hình để thực hiện thuật toán. Ví dụ 7: Cho bài toán f(x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 ⇒ min  2x +4x +3x +x = 152  1 2 3 4 4x1 +2x2 +3x3 +x5 = 60   3x1 +x3 +x6 = 36 36
  38. xj ≥ 0(j = 1, 6) 1. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình. 2. Tìm một PACB tối ưu khác. G. CÁCH TÌM PACB Lập bài toán phụ P Pn Xét bài toán dạng chính tắc: f(x) = j=1 cjxj ⇒ min n X aijxj = bi(bi ≥ 0∀i = 1, m) j=1 xj ≥ 0(j = 1, n) g Pm g Bài toán phụ P có dạng:P (x, x ) = i=1 xi ⇒ min n X g aijxj + xi = bi(i = 1, m) j=1 g xj ≥ 0(j = 1, n), xi ≥ 0(i = 1, m) g g g g m Trong đó: x = (x1, x2, , xm) ∈ R là vectơ biến giả. Nhận xét • x là PA của bài toán xuất phát ⇔ (x, xg = 0) là PA của bài toán phụ P. • x là PACB của bài toán xuất phát ⇔ (x, xg = 0) là PACB của bài toán phụ P. • Việc tìm PACB của bài toán ban đầu (nếu có) sẽ dẫn tới tìm PA của bài toán P có dạng (x, xg = 0). Hơn nữa vì P (x, xg) ≥ 0 nên (x, xg = 0) chính là PATƯ của bài toán P. Dùng thuật toán đơn hình giải bài toán P tìm được PATƯ (x, xg) và P (x, xg) = Pmin. 1. Trường hợp 1: Pmin > 0 Bài toán xuất phát không có phương án. 37
  39. 2. Trường hợp 2: Pmin = 0 Khi đó xg = 0, PATƯ có dạng (x, xg = 0), J là cơ sở. Do đó x là PACB của bài toán xuất phát. g • Nếu J không chứa Aj thì J cũng là cơ sở PACB x của bài toán xuất phát. Do đó từ x , áp dụng thuật toán đơn hình và chú ý tính lại ∆k theo hàm f và kiểm tra điều kiện tối ưu theo hàm f. g • Nếu J chứa ít nhất một vectơ biến giả Aj thì ta loại bỏ các cột xk phi cơ sở mà ∆k(P ) < 0 . Sau đó tính lại ∆k theo hàm f và tiếp tục thuật toán. Chú ý: • Chỉ cần cộng thêm biến giả vào những phương trình cần thiết. • Một biến giả bị loại khỏi cơ sở thì cột tương ứng không cần tính tiếp. • Chỉ áp dụng công thức đổi cơ sở cho hàng ước lượng khi 2 bảng kế tiếp cùng hàm mục tiêu. • Nếu như tất cả các biến giả bị loại khỏi cơ sở thì kết thúc giải bài toán P, tính lại dòng ∆k theo hàm f và tiếp tục thuật toán. Ví dụ 8: giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình f(x) = 6x1 + 4x2 + x3 ⇒ min  2x +2x +3x +x = 10  1 2 3 4 4x1 +8x2 +2x3 = 16   4x1 +4x2 +x3 = 8 xj ≥ 0(j = 1, 4) Ví dụ 9: giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình 1 f(x) = 2x + 4x + x − 3x ⇒ min 1 2 2 3 4  2x +2x +3x +3x ≤ 50  1 2 3 4 4x1 +8x2 +2x3 +3x4 = 80   4x1 +4x2 +x3 +2x4 = 40 xj ≥ 0(j = 1, 4) 38
  40. 2.2 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 2.2.1 CÁCH THÀNH LẬP BT ĐỐI NGẪU A. CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU KHÔNG ĐỐI XỨNG Xét bài toán dạng chính tắc (I): n X f(x) = cjxj ⇒ min j=1 n X aijxj = bi(i = 1, m) j=1 xj ≥ 0(j = 1, n) Bài toán đối ngẫu của bài toán (I), kí hiệu Ib có dạng: m X fb(y) = biyi ⇒ max i=1 m X aijyi ≤ cj(j = 1, n) i=1 Nhận xét: • Nếu f(x) ⇒ min thì fb(y) ⇒ max và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng ≤. • Nếu f(x) ⇒ max thì fb(y) ⇒ min và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng ≥. • Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia. • Số ràng buộc không kể ràng buộc dấu của bài toán này bằng số biến của bài toán kia. Cặp ràng buộc đối ngẫu Hai ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu. 39
  41. Ví dụ Trong bài toán (I) và Ib có n cặp ràng buộc đối ngẫu m X xj ≥ 0 ↔ aijyi ≤ cj(j = 1, n) i=1 Ví dụ 1: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu f(x) = 2x1 − x2 + 2x3 + x4 ⇒ min  x +2x +x = 20  1 2 3 2x1 −x2 +5x3 = 15   x1 +3x2 +4x3 +x4 = 25 xj ≥ 0(j = 1, 4) Ví dụ 2: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu f(x) = −2x1 + 3x2 + 4x3 − 2x4 + x5 ⇒ max  x +2x −5x +x = −10  1 2 3 4 3x1 +4x2 +2x3 +5x4 = 2   4x1 −5x2 +6x3 −x4 +3x5 = 8 xj ≥ 0(j = 1, 5) B. CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐỐI XỨNG BÀI TOÁN GỐC BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Pn Pm f(x) = j=1 cjxj ⇒ min fb(y) = i=1 biyi ⇒ max Pn j=1 aijxj ≥ bi(i = 1, m) yi ≥ 0(j = 1, m) Pm xj ≥ 0(j = 1, n) i=1 aijyi ≤ cj(j = 1, n) Cặp ràng buộc đối ngẫu m X xj ≥ 0 ↔ aijyi ≤ cj(j = 1, n) i=1 n X aijxj ≥ bi ↔ yi ≥ 0(j = 1, m) j=1 C. TỔNG QUÁT 40
  42. BÀI TOÁN GỐC BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Pn Pm f(x) = j=1 cjxj ⇒ min fb(y) = i=1 biyi ⇒ max Pn j=1 aijxj = bi(i ∈ I1) yi không có ràng buộc dấu (i ∈ I1) Pn j=1 aijxj ≥ bi(i ∈ I2) yi ≥ 0(j ∈ I2) Pn j=1 aijxj ≤ bi(i ∈ I3) yi ≤ 0(j ∈ I3) xj không có ràng buộc dấu Pm (j ∈ J1) i=1 aijyi = cj(j ∈ J1) Pm xj ≥ 0(j ∈ J2) i=1 aijyi ≤ cj(j ∈ J2) Pm xj ≤ 0(j ∈ J3) i=1 aijyi ≥ cj(j ∈ J3) Ví dụ: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu f(x) = −2x1 + 3x2 + 4x3 − 2x4 + x5 ⇒ min  x +2x −5x +x ≤ −10  1 2 3 4 3x1 +4x2 +2x3 +5x4 ≥ 2   4x1 −5x2 +6x3 −x4 +3x5 = 8 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x4 ≤ 0 Ví dụ: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ rõ các cặp ràng buộc đối ngẫu f(x) = −2x1 + 3x2 + 4x3 − 2x4 + x5 ⇒ max  x +2x −5x +x ≥ −10  1 2 3 4 3x1 +4x2 +2x3 +5x4 = 2   4x1 −5x2 +6x3 −x4 +3x5 ≤ 8 x1 ≥ 0, x4 ≤ 0 2.2.2 TÍNH CHẤT BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU D. CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU Xét cặp bài toán đối ngẫu tổng quát với hàm mục tiêu f(x) → min(max) và fb(y) → max(min) Tính chất 1 Với mọi cặp phương án x và y của 2 bài toán đối ngẫu ta luôn có: f(x) ≥ (≤)fb(y) Tính chất 2 Nếu 2 PA x, y của một cặp bài toán đối ngẫu mà f(x) = fb(y) thì x, y tương ứng là 41
  43. 2 PATƯ. Định lí đối ngẫu: Nếu một trong hai bài toán đối ngẫu giải được thì bài toán kia cũng giải được và khi đó với mọi cặp PATƯ x∗, y∗ ta luôn có:f(x) = fb(y∗) Hệ quả 1 : Điều kiện cần và đủ để 2 bài toán đối ngẫu giải được là mỗi bài toán có ít nhất một phương án. Hệ quả 2 : Điều kiện cần và đủ để một bài toán có phương án còn một bài toán không có phương án là trị số hàm mục tiêu của bài toán có phương án không bị chặn trên tập phương án của nó. Định lí 2: Đối ngẫu Điều kiện cần và đủ để hai phương án x và y của một cặp bài toán đối ngẫu tối ưu là: trong các cặp ràng buộc đối ngẫu, nếu một ràng buộc thỏa mãn lỏng thì ràng buộc kia thỏa mãn chặt. Hệ quả Nếu một ràng buộc là lỏng đối với một PATƯ của bài toán này thì ràng buộc đối ngẫu của nó phải là chặt đối với mọi PATƯ của bài toán kia. Tức là: Khi xét cặp bài toán đối ngẫu đối xứng ta có Pm 1. Nếu xj > 0 thì i=1 aijyi = Cj Pm Hoặc nếu i=1 aijyi > Cj thì xj = 0 Pn 2. Nếu j=1 aijxj 0 thì j=1 aijxj = bi. Ứng dụng: Phân tích tính chất tối ưu của một PA Giả sử x là PATƯ. Mọi PATƯ y của BTĐN phải thỏa mãn chặt các ràng buộc đối ngẫu với các ràng buộc mà x thỏa mãn lỏng. Tập hợp các ràng buộc này tạo thành hệ phương trình đối với y. • Nếu hệ vô nghiệm thì x không là PATƯ. • Nếu hệ có nghiệm thì thử nghiệm đó vào các ràng buộc còn lại của BTĐN: Nếu mọi nghiệm đều không thỏa mãn thì x không là PATƯ. Nếu có 1 nghiệm y thỏa mãn thì x là PATƯ và y cũng là PATƯ của BTĐN. Ứng dụng: Xác định tập PATƯ 42
  44. TH1 Nếu x là PATƯ của bài toán gốc thì theo cách phân tích trên ta xác định được tập PATƯ của BTĐN. TH2 Từ 1 PATƯ nào đó của BTĐN thì làm tương tự như trên, ta xác định được tập PATƯ của bài toán gốc. VÍ DỤ 1 Cho bài toán: f(x) = 3x1 + 9x2 − 2x3 + x4 − 4x5 ⇒ min −x1 + 5x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = −6 3x1 − 4x2 + 2x3 − x4 + x5 = 4 4x1 − x3 + 2x4 − 3x5 ≥ 2 xj ≥ 0, j = 1, 5 a. Viết bài toán đối ngẫu. b. Phân tích các tính chất của vectơ x0 = (2, 0, 0, 8, 6) đối với bài toán. Xác định tập phương án tối ưu và các phương án cực biên tối ưu của bài toán. Ý nghĩa của đối ngẫu Xét bài toán (II) sau: n X f(x) = cjxj ⇒ max j=1 n X aijxj ≤ bi(i = 1, m) j=1 xj ≥ 0(j = 1, n) Và bài toán IIb có dạng: m X fb(y) = biyi ⇒ min i=1 m X aijyi ≥ cj(j = 1, n) i=1 43
  45. yi ≥ 0(i = 1, , m) Với nội dung kinh tế của bài toán (II) là: Sử dụng m loại tài nguyên khác nhau (lao động, nguyên vật liệu, thiết bị, ) mà khối lượng của chúng bị hạn chế bởi các lượng b1, b2, , bm để sản xuất n loại sản phẩm. Biết rằng định mức chi phí loại tài nguyên i, i = 1, , m cho một đơn vị sản phẩm j là aij, j = 1, , n. Cho biết ước lượng giá trị của một đơn vị sản phẩm j là Cj. Hãy xác định khối lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất được (đặc trưng bởi xj) sao cho chi phí tài nguyên không vượt quá số lượng đã cho và tổng giá trị sản phẩm đạt cực đại. Như đã biết có nhiều loại tài nguyên tham gia vào quá trình sản xuất, kết quả của quá trình sản xuất của từng loại tài nguyên phải được đánh giá để biết được loại tài nguyên nào có ích, loại nào không cần thiết. Việc đánh giá không đúng đắn sẽ dẫn tới sự lãng phí và những hậu quả tai hại cho nền kinh tế và quá trình sản xuất tiếp theo. Giải quyết như thế nào về vấn đề đánh giá tài nguyên để từ đó chủ trương mua bán, dự trữ nguồn tài nguyên hợp lí là nội dung của bài toán đối ngẫu IIb . Trong bài toán IIb , yi là trị giá ước lượng của một đơn vị tài nguyên loại i, fb(y) là tổng giá trị của nguồn tài nguyên sử dụng cho việc sản xuất các loại sản phẩm, ràng buộc j là trị giá chung của các loại tài nguyên tiêu phí cho một đơn vị sản phẩm loại j và không dưới giá trị một đơn vị sản phẩm loại j. Hãy tìm phương án đánh giá giá trị ước lượng tài nguyên sao cho tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng nhỏ nhất với điều kiện chi phí các tài nguyên dùng cho một sản phẩm không dưới giá trị của nó. Dựa vào định lý đối ngẫu đối với cặp bài toán này, ta phân tích ý nghĩa kinh tế trong mối quan hệ của chúng. Giả sử x là phương án sản xuất tối ưu của bài toán II; y là phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên tối ưu của bài toán IIb ; x, y thỏa mãn định lý đối ngẫu II. Pm 1. Nếu xj > 0 thì i=1 aijyi = Cj. Nội dung kinh tế: xj > 0 nghĩa là trong PA sản xuất tối ưu, sản phẩm j được đưa vào sản xuất thì ước lượng giá trị các tài nguyên sử dụng sản xuất ra một sản phẩm loại j đúng bằng giá trị của nó. Điều này chứng tỏ việc chuyển dịch giá trị các tài nguyên vào sản phẩm được sử dụng hết, không lãng phí và việc sản xuất này là hợp lý. Pn Nếu j=1 aijxj < bi thì yi = 0 Pn Nội dung kinh tế: j=1 aijxj < bi có nghĩa là trong PA sản xuất tối ưu, chi phí chung về tài nguyên loại i nhỏ hơn khối lượng tài nguyên hiện có, khi đó giá trị ước lượng tài nguyên này bằng 0 ( yi = 0). Điều này là hợp lí vì trong 44
  46. PA sản xuất tối ưu, tài nguyên i không được sử dụng hết thì không nên mua thêm tích lũy loại tài nguyên đó vì mua thêm nó không ảnh hưởng tới PATƯ và tổng giá trị các sản phẩm, do vậy trong PA đánh giá tài nguyên i được xem là không có giá trị. Pn 2. Nếu yi > 0 thì j=1 aijxj = bi. Nội dung kinh tế:yi > 0 chứng tỏ loại tài nguyên i có giá trị và nó được sử dụng hết vào sản xuất sản phẩm trong PATƯ. Do đó cần mua thêm dự trữ loại tài nguyên này cho các quá trình tiếp theo. Pm Nếu i=1 aijyi > Cj thì xj = 0 Pm Nội dung kinh tế: i=1 aijyi > Cj chứng tỏ giá trị tài nguyên sử dụng để sản xuất loại sản phẩm j không được chuyển dịch hết vào sản phẩm. Như vậy quá trình sản xuất gây lãng phí và do đó sản phẩm loại j không nên đưa vào PA vì sẽ làm giảm tổng số tiền lãi. Quan hệ giữ hàm mục tiêu của bài toán II và IIb ứng với hai PA x, y bất kỳ cũng chứa đựng nội dung kinh tế rõ rệt. Trong quá trình sản xuất suy cho cùng không thể tạo ra những sản phẩm có giá trị cao hơn mà cùng lắm là bằng tổng giá trị các nguồn tài nguyên được sử dụng. Vì vậy chỉ có những PA đánh giá y và PA sản xuất x sao cho tổng giá trị sản phẩm sản xuất được bằng tổng giá trị các nguồn tài nguyên sử dụng mới là các PATƯ được chấp nhận. VÍ DỤ 2: Một nhà máy có 3 phương pháp sản xuất I, II, III để sản xuất 3 mặt hàng 1, 2,3. Nếu áp dụng cách sản xuất thứ j trong một đơn vị thời gian thì chi phí là cj và thu được aij đơn vị hàng hóa loại i. Các số liệu được cho ở bảng. Yêu cầu đối với nhà máy là cần phải sử dụng các phương pháp sản xuất sao cho đảm bảo nhu cầu về sản phẩm đồng thời tổng chi phí là ít nhất. I II III bi 1 4 4 2 16 2 5 3 1 20 3 1 1 1 3 cj 10 8 2 1. Lập mô hinh toán của bài toán trên? Viết bài toán đối ngẫu. 2. Chứng tỏ vectơ x = (4, 0, 0) là PATƯ của bài toán gốc. 45
  47. CHƯƠNG 3 BẢNG CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH Tài liệu tham khảo: Giáo trình mô hình toán kinh tế - chương 2, PGS TS Phạm Quang Dong, NXB kinh tế quốc dân 3.1 MÔ HÌNH BẢNG CÂN ĐỐI LIÊN NGÀNH - BẢNG I/O 3.1.1 Các khái niệm cơ bản trong bảng cân đối liên ngành- Bảng I/O 1. Ngành Trong bảng cân đối liên ngành, khái niệm ngành dùng để chỉ các đơn vị kinh tế sản xuất ra một loại hàng hóa duy nhất hoặc một số hàng hóa có thể thay thế hoàn toàn cho nhau được. Ngày nay phân loại ngành trong bảng I/O dựa vào phân loại hoạt động sản xuất hay phân ngành kinh tế trong hệ thống tài khoản quốc gia SNA 2. Giá trị sản xuất GO: là chỉ tiêu phản ánh kết quả sản xuất (giá trị của những sản phẩm vật chất và dịch vụ) của toàn bộ nền kinh tế trong một thời gian nhất định (thường là 1 năm). 3. Chi phí (Nhu cầu) trung gian bao gồm toàn bộ chi phí về sản phẩm vật chất và dịch vụ cho quá trình sản xuất. Trong chi phí trung gian không bao gồm khấu hao tài sản cố định. 4. Nhu cầu cuối cùng là giá trị sản phẩm còn lại sau mỗi quá trình sản xuất và phân phối sản phẩm cho các ngành khác. Phần này được sử dụng cho tiêu dùng dân cư, tích lũy tài sản và xuất khẩu . 5. Giá trị gia tăng (VA) là phần còn lại của giá trị sản xuất sau khi trừ đi chi phí trung gian. Nó chính là phần giá trị mới do lao động tạo ra và phần khấu hao. VA = tiền công của lao động + Thuế sản xuất và thuế hàng hóa - trợ cấp + Khấu hao + Thặng dư sản xuất Phân loại bảng cân đối liên ngành. 46
  48. 1. Căn cứ vào hình thái biểu hiện của các chỉ tiêu trong bảng cân đối liên ngành, ta có bảng cân đối dạng hiện vật hoặc dạng giá trị. 2. Căn cứ vào yếu tố thời gian có hay không có trong mô hình ta có bảng cân đối tĩnh hoặc động. 3. Căn cứ vào phạm vi địa lý, xây dựng bảng cân đối theo lãnh thổ, theo ngành hoặc theo xí nghiệp. 3.1.2 Bảng I/O dạng hiện vật Ngành sx Tổng SL Đơn vị Phân phối sử dụng SP cc 1 2 n 1 Q1 KW/h q11 q12 q1n q1 T 2 Q2 1000 q21 q22 q2n q2 3 n Qn 1000m qn1 qn2 qnn qn Lđ Q0 ngày q01 q02 q0n q0 Trong đó: Qi : Sản lượng sản phẩm ngành thứ i.; qi: Sản phẩm cuối cùng của ngành i; qij: Số sản phẩm ngành j mua từ ngành i hay ngành i cung cấp cho ngành j; Q0: Tổng số lao động; q0j: lượng lao động được sử dụng trong ngành j; q0: lượng lao động được sử dụng trong ngành khác. Các tính chất: Phương trình phân phối sản phẩm dạng hiện vật: n X Qi = qij + qi(i = 1, n) (1) j=1 Phương trình phân phối lao động dạng hiện vật: n X Q0 = q0j + q0 (2) j=1 Hệ số chi phí trực tiếp dạng hiện vật (hệ số kỹ thuật): qij αij = ∀i, j Qj 47
  49. Ý nghĩa: Để có một đơn vị sản phẩm ngành j, ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm là αij đơn vị. Ma trận   α11 α12 α1n    α21 α22 α2n  α =     αn1 αn2 αnn gọi là ma trận hệ số kỹ thuật. Ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật. Phương trình (1) có thể viết dưới dạng ma trận: (I − α)Q = q ⇔ Q = (I − α)−1.q. −1 Ma trận θ = [θij] = (I − α) gọi là Ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật. Ý nghĩa: Để tạo ra một đơn vị sản phẩm cuối cùng của ngành j thì ngành i phải sản xuất một lượng sản phẩm là θij . vectơ hệ số sử dụng lao động q0j β0j = ∀j Qj β = (β01, β02, , β0n) gọi là vectơ hệ số sử dụng lao động Ý nghĩa: β0j cho biết để hoàn thành 1 đơn vị sản phẩm thì ngành j phải sử dụng hết β0j đơn vị lao động. Ví dụ 1: Cho bảng CĐLN dạng hiện vật sau Ngành sx Tổng SL Phân phối sửdụng SP cc 1 2 3 1 100 30 25 25 20 2 80 30 22 15 23 3 50 18 15 12 5 Lđ 20 15 12 Năm t 1. Xác định ma trận hệ số kỹ thuật, nêu ý nghĩa kinh tế của α23 2. Xác định vectơ hệ số sử dụng lao động, nêu ý nghĩa kinh tế của β02 3. Xác định Ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật, nêu ý nghĩa kinh tế của θ31 48
  50. 3.1.3 Bảng I/O dạng giá trị Tổng giá trị Giá trị nhu cầu trung gian Giá trị nhu cầu cuối cùng C G I E Tổng X1 X11 X12 X1n z11 z12 z13 z14 x1 X2 X21 X22 X2n z21 z22 z23 z24 x2 Xn Xn1 Xn2 Xnn zn1 zn2 zn3 zn4 xn Nhập khẩu Y11 Y12 Y1n z1 z2 z3 z4 Tiền lương Y21 Y22 Y2n Khấu hao Y31 Y32 Y3n Thuế Y41 Y42 Y4n Lợi nhuận Y51 Y52 Y5n Tổng X1 X2 Xn V1 V2 V3 V4 Trong đó: Xi : Tổng giá trị sản phẩm ngành thứ i.; xi: Giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành i; Xij: Giá trị sản phẩm ngành j mua từ ngành i hay ngành i cung cấp cho ngành j; Y1j: Gía trị yếu tố nhập khẩu được sử dụng trong ngành j; Y2j: Gía trị yếu tố tiền lương được sử dụng trong ngành j; Y3j: Gía trị yếu tố khấu hao được sử dụng trong ngành j; Y4j: Gía trị yếu tố thuế được sử dụng trong ngành j; Y5j: Gía trị yếu tố lợi nhuận của ngành j; zi1: giá trị dành cho tiêu dùng của các ngành i. zi2: giá trị dành cho chi tiêu chính phủ của các ngành i. zi3: giá trị dành cho tích lũy tài sản của các ngành i. zi1: giá trị dành cho xuất khẩu của các ngành i. z1, z2, z3, z4: giá trị lượng nhập khẩu dùng cho tiêu dùng, chi tiêu chính phủ, tích lũy tài sản và xuất khẩu. V1,V2,V3,V4: toàn bộ giá trị tiêu dùng, chi tiêu chính phủ, tích lũy tài sản và xuất khẩu. Các tính chất: Phương trình phân phối sản phẩm dạng giá trị: n X Xi = Xij + xi(i = 1, n) (3) j=1 49
  51. Phương trình cơ cấu giá trị sản phẩm từng ngành: n 5 X X Xj = Xij + Yhj (4) i=1 h=1 Hệ số chi phí trực tiếp và toàn bộ n X Xi = Xij + xi(i = 1, n) j=1 n X XijXj ⇒ Xi = + xi(i = 1, n) Xj j=1 Đặt Xij aij = (j = 1, n) ⇒ 0 ≤ aij < 1 Xj aij : gọi là hệ số chi phí trực tiếp (hệ số kinh tế, kỹ thuật, hệ số công nghệ) dạng giá trị. Ý nghĩa: aij : Cho biết để có một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành j thì ngành i phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một khối lượng sản phẩm có giá trị là aij. A = [aij]nxn: Ma trận hệ số chi phí trực tiếp (hệ số kinh tế, kỹ thuật, hệ số công nghệ). Khi đó: n X xi = Xi − aijXj(i = 1, n) j=1 x = (E − A)X ⇒ X = (E − A)−1.x Đặt C = (E − A)−1 C = [cij]nxn: Ma trận hệ số chi phí toàn bộ. cij: Cho biết để sản xuất một đơn vị giá trị sản phẩm cuối cùng của ngành j thì ngành i phải sản xuất ra một lượng sản phẩm có giá trị cij. Hệ số đầu vào các yếu tố sơ cấp: Yhj bhj = (j = 1, n, h = 1, 5) Xj Ma trận B = [bhj]5xn gọi là ma trận hệ số đầu vào các yếu tố sơ cấp Ý nghĩa: Phần tử bhj cho biết để có được một đơn vị giá trị sản phẩm của ngành j thì ngành này phải sử dụng trực tiếp bhj đơn vị giá trị yếu tố sơ cấp đầu vào thứ 50
  52. h. Hệ số nhu cầu cuối cùng: T Đặt V (t) = (V1,V2,V3,V4). Ta có: zik dik = , Vk Ma trận D = (dik)nx4 gọi là ma trận cơ cấu nhu cầu cuối cùng Ý nghĩa: Phần tử dik cho biết để có một đơn vị nhu cầu cuối cùng thứ k thì ngành i phải đóng góp dik đơn vị giá trị sản phẩm. Nhân tử sản lượng: Ký hiệu Oj là nhân tử sản lượng của ngành j. n X Oj = cij i=1 Ý nghĩa: Phần tử Oj cho biết khi ngành j tăng thêm một đơn vị giá trị tiêu dùng cuối cùng và các ngành khác không đổi sẽ kích thích nền kinh tế sản xuất tăng thêm Oj giá trị sản phẩm. Ví dụ 2: Cho bảng CĐLN dạng giá trị năm t như sau: Tổng giá trị Giá trị nhu cầu trung gian Giá trị nhu cầu cuối cùng C I E Tổng 300 60 40 20 30 45 105 180 200 40 20 10 20 20 90 130 100 35 20 10 20 10 5 35 Nhập khẩu 30 20 10 Tiền lương 20 20 15 Khấu hao 20 15 10 Thuế 25 15 10 Lợi nhuận 70 50 15 Tổng 300 200 100 70 75 200 1. Tìm ma trận hệ số kỹ thuật, giải thích ý nghĩa kinh tế của a23 2. Tìm ma trận hệ số đầu vào các yếu tố sơ cấp, giải thích ý nghĩa kinh tế của b42 3. Tìm ma trận cơ cấu nhu cầu cuối cùng, giải thích ý nghĩa kinh tế của d32 4. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ, giải thích ý nghĩa kinh tế của c31 5. Phân tích tác động và tìm nhân tử sản lượng của 3 ngành trên. 51
  53. 3.2 ỨNG DỤNG LẬP KẾ HOẠCH NĂM SAU DẠNG A 3.2.1 Bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật Bài toán Giả sử trong năm kế hoạch t ta biết α(t), β(t) và trong ngắn hạn α(t) ≈ α(t + 1), β(t) ≈ β(t + 1). Yêu cầu sản phẩm cuối cùng năm t + 1 là q(t + 1). Lập kế hoạch sản xuất cho năm t + 1. Chú ý: Quan hệ cân đối trong năm t + 1 vẫn được đảm bảo: Q(t + 1) = [E − α(t + 1)]−1q(t + 1) Các bước lập kế hoạch cho năm t + 1 Bước 1: Tìm α(t + 1), β(t + 1) Tính Qij(t) αij(t + 1) ≈ αij(t) = Qj(t) q0j(t) β0j(t + 1) ≈ β0j(t) = Qj(t) Bước 2: Tìm θ(t + 1) Tính E − α(t + 1) ⇒ θ(t + 1) = [E − α(t + 1)]−1 Bước 3: Tìm Q(t + 1) = θ(t + 1).q(t + 1) Bước 4: Tìm Qij(t + 1) = αij(t + 1).Qj(t + 1) Bước 5: Tìm q0j(t + 1) = β0j(t + 1).Qj(t + 1) Ví dụ 3: Với bảng CĐLN ở ví dụ 1, và giả thiết α(t) ≈ α(t + 1), β(t) ≈ β(t + 1). Hãy lập kế hoạch sản xuất cho năm t + 1 biết qT (t + 1) = (25; 30; 25) 3.2.2 Bảng cân đối liên ngành dạng giá trị Giả sử trong năm kế hoạch t ta biết A(t),B(t) và trong ngắn hạn A(t) ≈ A(t + 1),B(t) ≈ B(t + 1). 52
  54. T Cho biết V (t + 1) = (V1,V2,V3,V4). Lập kế hoạch sản xuất cho năm t + 1. Chú ý: Quan hệ cân đối trong năm t + 1 vẫn được đảm bảo: X(t + 1) = [E − A(t + 1)]−1x(t + 1) Các bước lập kế hoạch cho năm t + 1 Bước 1: Tìm A(t + 1),B(t + 1),D(t + 1) Tính Xij(t) aij(t + 1) ≈ aij(t) = Xj(t) yhj(t) bhj(t + 1) ≈ bhj(t) = , h = 1, , 5 Xj(t) zik(t) dik(t + 1) ≈ djk(t) = , k = 1, 2, 3 Vk(t) Bước 2: Tìm C(t + 1) Tính E − A(t + 1) ⇒ C(t + 1) = [E − A(t + 1)]−1 Bước 3: Tìm giá trị nhu cầu cuối cùng zik(t + 1) = dik(t + 1).Vk(t + 1) 3 3 3 T X X X x (t + 1) = ( z1j, z2j, z3j) j=1 j=1 j=1 Bước 4: Tìm X(t + 1) = C(t + 1).x(t + 1) Bước 5: Tìm Xij(t + 1) = aij(t + 1).Xj(t + 1) Bước 6: Tìm yhj(t + 1) = bhj(t + 1).Xj(t + 1) 3.3 Xác định giá sản phẩm và chỉ số giá 3.3.1 Xác định giá sản phẩm Giả sử chúng ta có bảng cân đối liên ngành dạng hiện vật với ma trận hệ số kỹ thuật α. Ta đều biết, giá của mỗi đơn vị sản phẩm của ngành j gồm 2 bộ phận cấu thành 53
  55. 1. Bộ phận thứ nhất là chi phí mua nguyên nghiên liệu của các ngành i để tạo nên đơn vị sản phẩm đó. 2. Bộ phận thứ 2 là phần chi phí cho các yếu tố sơ cấp như: khấu hao, lao động sản xuất ra sản phẩm, thuế giá trị gia tăng, Gọi Pj là giá một đơn vị sản phẩm của ngành j. n X Pj = Pi.αij + wj(j = 1, n) i=1 Pn trong đó i=1 Pi.αij là chi phí nguyên vật liệu để sản xuất, wj là giá trị gia tăng trên một đơn vị sản phẩm. Gọi P = (Pj), w = (wj), khi đó: n X Pj − Pi.αij = wj(j = 1, n) i=1 ⇒ (I − α0).P = w ⇔ P 0.(I − α) = w0 ⇔ P 0 = w0.(I − α)−1 = w0.θ(5) với θ là ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng hiện vật. Ý nghĩa của (5): nếu trong năm t + 1, ta biết được sự thay đổi giá chi phí của các yếu tố sơ cấp đầu vào trên một đơn vị sản phẩm thì sẽ xác định được sự thay đổi giá trên mỗi đơn vị sản phẩm của các ngành trong điều kiện θ không đổi. ∆P 0 = ∆w0.θ Ví dụ 5: Cho ma trận hê số chi phí toàn bộ dạng hiện vật không đổi của năm t và năm t + 1là   1, 628 0, 866 0, 866   θ =  0, 314 1, 45 0, 433  0, 381 0, 381 2, 251 Giả sử năm t + 1 dự kiến giá chi phí cho các yếu tố đầu vào sơ cấp cho bởi vectơ w0 = (30; 50; 60). i. Tính giá thành một đơn vị sản phẩm của mỗi ngành. ii. Nếu mức biến động của giá chi phí của các yếu tố sơ cấp đầu vào trên một đơn vị sản phẩm các ngành là ∆w0 = (3; 5; 4) thì sự thay đổi giá trên mỗi đơn vị sản phẩm của các ngành như thế nào? 54
  56. 3.3.2 Xác định chỉ số giá theo bảng cân đối liên ngành dạng giá trị Với bảng cân đối liên ngành dạng giá trị, gọi Pj(t) là giá mỗi đơn vị sản phẩm của ngành j trong năm t, Pj(t + 1) là giá mỗi đơn vị sản phẩm của ngành j trong năm t + 1. Khi đó, chỉ số giá được tính theo công thức Pj(t + 1) kj(t + 1) = = kj(j = 1, n) Pj(t) Gọi 1. PNK là giá mỗi đơn vị sản lượng nhập khẩu 2. PLD là giá mỗi đơn vị nhân công lao động 3. PKH là giá khấu hao được tính cho mỗi đơn vị sản phẩm 4. PT là thuế giá trị gia tăng của mỗi đơn vị sản phẩm 5. PLN là giá trị lợi nhuận mỗi đơn vị sản phẩm mang lại Chỉ số giá các yếu tố sơ cấp xác định bởi công thức: PNK(t + 1) w1(t + 1) = = w1 PNK(t) PLD(t + 1) w2(t + 1) = = w2 PLD(t) PKH (t + 1) w3(t + 1) = = w3 PKH (t) PT (t + 1) w4(t + 1) = = w4 PT (t) PLN (t + 1) w5(t + 1) = = w5 PLN (t)   k1    k2  Gọi K =   là vectơ chỉ số giá các ngành.   kn   w1    w2  w =   là vectơ chỉ số giá các yếu tố sơ cấp đầu vào.   w5 Ta có: n 5 X X aij + bhj = 1(j = 1, n) i=1 h=1 55
  57. Nên: n 5 X X ki.aij + wh.bhj = kj(j = 1, n) i=1 h=1 ⇔ K = A0.K + B0.w ⇔ (E − A0).K = B0.w ⇔ K0.(E − A) = w0.B ⇔ K0 = w0.B.(E − A)−1 = w0.B.C(6) Ý nghĩa công thức (6): Nếu cho biết trước vectơ chỉ số giá các yếu tố sơ cấp thì chỉ số giá cho các ngành năm t + 1 được tính như công thức (6). Nếu biết mức thay đổi chỉ số giá các yếu tố đầu vào là ∆w thì sự thay đổi vectơ chỉ số giá là: ∆K0 = ∆w0.B.C Ví dụ 6: trở lại ví dụ 2, giả sử năm t + 1 chỉ số giá các yếu tố sơ cấp được dự kiến là w0 = (1, 2; 1, 15; 1, 1; 1, 1; 1, 16). i. Tính vectơ chỉ số giá cho các ngành. ii. Nếu chỉ số giá các yếu tố sơ cấp trong năm t + 1 tăng trưởng dưới dạng ∆w0 = (0, 05; 0, 045; 0, 02; 0, 025; 0, 04) thì chỉ số giá của các ngành thay đổi như thế nào? 56