Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể - Lê Trường Giang

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể - Lê Trường Giang

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chƣơng 4 ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Bài 3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Giảng viên Ths Lê Trƣờng Giang
2. Bài 3. Ước lượng khoảng tham số trung bình tổng thể Cho tổng thể X có tham số trung bình EX  . Một mẫu XXX 12 ,,  n lấy ra từ tổng thể có trung bình mẫu là X . Bài toán: Giả sử trung bình tổng thể  chưa biết, hãy tìm khoảng (1;2) chứa  sao cho P  12  với  là độ tin cậy cho trước.
3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể  2 đã biết và kích thƣớc mẫu n 30 (hoặc kích thƣớc mẫu n 30 và X có phân phối chuẩn) Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng X  Theo định lý giới hạn trung tâm, ta có ZN 0,1  n Ta đi tìm z thỏa P z Z z  1
4. HƢỚNG DẪN XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG Ta có P z Z z  z x2 zz 0 0  1     z  z e2 dx . 0 1 0 1 0 2 0 2 0 z x2 1 Đặt  z e 2 dx . 0 2 0  Khi đó ta suy ra zz thỏa  0 z  .  2 2 2 Vậy từ (1) ta có X   Pz z  P X z  X z      2 2 2 n 2 n n
5. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể  2 đã biết và kích thƣớc mẫu n 30 (hoặc kích thƣớc mẫu n 30 và X có phân phối chuẩn) Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  x2 1 - 2 f(x)= 2π e γ 2  Carl Friedrich Gauss XX , ;  z . (1777 - 1855) 2 n o -Z γ Z γ z 2 2
6. 3.2. Khoảng ước lượng một phía Khoảng tin cậy tối đa của  với độ tin cậy    xz1 .  2 n Khoảng tin cậy tối thiểu của  với độ tin cậy   xz1 .  2 n
7. Ví dụ 1 Giả sử chiều cao của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính –Marketing tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 55 cmcm. Chọn ngẫu nhiên 6464 bạn sinh viên nữ, người ta tính được chiều cao trung bình là 160160 cm. Với độ tin cậy 9595%%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của các bạn sinh viên nữ UFM.
8. Hướng dẫn tra bảng 2 Bảng 2 : Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss) x 2  0.95 1 t  x exp dt zz 0,475 1,96 0 0 z 0,475 2 0 2 2 2 2 X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06.06 .07 .08 .09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0389 0438 0478 0517 0557 0396 0636 0675 0714 0753 0.2 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0.3 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0.4 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0.5 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 0.6 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0.7 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 0.8 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 0.9 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1.0 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 1.1 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 1.2 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1.3 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1.4 1492 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1.5 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1.6 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1.7 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1.8 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1.91.9 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 2.0 4772 4778 4783 4788 4793 4793 4803 4808 4812 4817 2,1 4821 4826 4830 4834 4838 4838 4846 4850 4854 4857
9. Ví dụ 1 Hƣớng dẫn Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 1 ( n 30 và biết  2 ) Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có x 160 cm ; 5 cm Bước 3: Độ chính xác của ước lượng  5  z0,95 . 1,96. 1,225 cm 2 n 64 Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình x ; x 158,775 cm ;161,225 cm
10. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 2: Kích thƣớc mẫu n 30, phƣơng sai tổng thể  2 chƣa biết Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  s XX , ;  z . 2 n
11. 3.2. Khoảng ước lượng một phía Khoảng tin cậy tối đa của  với độ tin cậy  s  xz1 .  2 n Khoảng tin cậy tối thiểu của  với độ tin cậy s  xz1 .  2 n
12. Ví dụ 2A Trong một đợt khảo sát về chiều cao (đơn vị m) của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính – Marketing (UFM). Người ta chọn ngẫu nhiên 100 bạn sinh viên và nhận được kết quả cho trong bảng sau: Chiều cao (1,4; 1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] Số SV 10 25 40 15 10 Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình của các bạn sinh viên UFM với độ tin cậy 95%?
13. Ví dụ 2A Hƣớng dẫn Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 2 ( n 30 và chưa biết  2 ) Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có x 1,64 m ; s 0,1096 m Bước 3: Độ chính xác của ước lượng s 0,1096  zm0,95 . 1,96. 0,0215 2 n 100 Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình x ; x 1,6185 m ;1,6615 m
14. Ví dụ 2B Theo dõi doanh thu của một đại lý bán xăng dầu qua một số ngày thu được kết quả: Doanh thu(triệu đồng) 11 12 13 14 15 Số ngày 3 7 10 7 4 Ƣớc lƣợng doanh thu trung bình tối thiểu của đại lý trên với độ tin cậy 95%?
15. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 3: n 30, tổng thể X có phân phối chuẩn với  2 chƣa biết Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  s XX , ;  tn(1). 1  γ 2 n 1-γ 1-γ 2 2 o -t 1-γ (n-1) t 1-γ (n-1) t 2 2
16. 3.2. Khoảng ước lượng một phía Khoảng tin cậy tối đa của  với độ tin cậy  s  x t n 1. 1  n Khoảng tin cậy tối thiểu của  với độ tin cậy s  x t n 1. 1  n
17. Ví dụ 3 Một hãng sản xuất bóng đèn đã đưa vào thử nghiệm để xác định tuổi thọ trung bình. Chọn một mẫu 20 bóng đèn cùng loại để thực nghiệm. Tuổi thọ của 20 bóng đèn được cho trong bảng sau (đơn vị nghìn giờ): Tuổi thọ (5 ;5,5] (5,5 ; 6] (6 ; 6,5] (6,5 ; 7] Số bóng đèn 3 6 7 4 Giả sử tuổi thọ bóng đèn tuân theo luật phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?
18. Hướng dẫn tra bảng 4 Bảng 4 n-1 0.10 0.05 0.0250,025 0.01 0.005 0.001 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.675 66.619 Bảng phân vị Student 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.326 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.213 n bậc tự do 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 P T t ( n 1) 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144  95%;n 1 19 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 12 1.356 1.782 2.179 2.861 3.055 3.930 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 tt(19) (19) 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 1  0,025 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 2 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 P T t (19) 0,025 1199 1.328 1.719 2,0932.093 2.539 2.861 3.579 0,025 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 t (19) 2,093. 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 0,025 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385
19. Ví dụ 3 Hƣớng dẫn Bƣớc 1. Thuộc trường hợp 3 ( n 30 ,  2 chưa biết và X có pp chuẩn) Bƣớc 2. Từ mẫu tính các giá trị xs 6,05; 0,497. Bƣớc 3. Độ chính xác s 0,497  tn1  ( 1). 2,093. 0,233 2 n 20 Bƣớc 4. Khoảng ước lượng cho trung bình với độ tin cậy 95% xx ; 5,817;6,283 . Nghìn giờ
20. Các bƣớc tìm khoảng ƣớc lƣợng cho trung bình tổng thể Bước 1: Nhận dạng bài toán. Bước 2: Tính toán dựa trên mẫu x , tính s nếu chưa biết phương sai. . Bước 3: Tính độ chính xác  Bước 4: Kết luận khoảng tin cậy cho trung bình xx ,
21. Bảng tóm tắt kiến thức Trƣờng hợp 1 Trƣờng hợp 2 Trƣờng hợp 3 2 Chƣa biết 2, Bƣớc 1 Biết  và n 30 Hoặc Chƣa biết 2 n < 30 Biết  2 , n 30 và X pp chuẩn và n 30 và X pp chuẩn Bƣớc 2 x x,s xs,  s s  z  tn( 1) Bƣớc 3  z 1  2 n n 2 n 2 Bƣớc 4 xx ;
22. T.H Điều kiện Bài toán ước Khoảng ước lượng Giá trị  lượng  n 30  z xx ;  Hai phía 2 n n 30 Biết x ,  Tối thiểu (pp)  z 1  XN; 2  2 n ;x  Tối đa (pt)   z 1  2 n s  z Hai phía xx ; 2 n s n 30 Tối thiểu x ,  z 1  2 n Tối đa ;x  s  z 1 Chưa  biết 2 n s  tn1  1 n Hai phía xx ; 2 s x ,  tn1  1 Tối thiểu n s Tối đa ;x   tn 1 1  n
23. Đề bài: Điều tra năng suất lúa (tấn/ha) trên diện tích 90 hecta trồng lúa của một vùng, người ta thu được bảng số liệu sau: Năng suất 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 Số hecta 8 17 25 12 13 10 5 Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở vùng đó với độ tin cậy 97%?
24. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!