Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 6: Tổng thể và mẫu

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 6: Tổng thể và mẫu

1. Chương 6 TỔNG THỂ VÀ MẪU
2. I. TỔNG THỂ Khái niệm tổng thể: Tổng thể là tập hợp các phần tử mang thông tin về dấu hiệu X* cần nghiên cứu. Ví dụ : Nghiên cứu về năng suất lúa ở đồng bằng sông Cửu Long. Dấu hiệu X* cần nghiên cứu: năng suất lúa. Thông tin cần thu thập: số tấn/ha. Các phần tử mang thông tin: các thửa ruộng. Tổng thể: tập hợp tất cả các thửa ruộng ở đồng bằng sông Cửu Long.
3. I. TỔNG THỂ Khái niệm tổng thể: Đối với tổng thể, ta sử dụng một số khái niệm sau: ❖Kích thước tổng thể (N) : là số phần tử của tổng thể. ❖Giá trị của tổng thể (xi) : là các giá trị của X* đo được trên các phần tử của tổng thể. ❖Tần số của xi (Ni) : là số phần tử nhận giá trị xi. ❖Tần suất của xi (Ni) : là tỷ số giữa tần số của xi và kích thước tổng thể.
4. I. TỔNG THỂ Khái niệm tổng thể: k k Ta luôn có:  Ni = N pi = 1 i = 1 i = 1 Bảng cơ cấu của tổng thể: * Giá trị của X x1 x2 xk Tần số Ni N1 N2 Nk Tần suất pi p1 p2 pk k ❖Trung bình tổng thể (): μ =  xii p i = 1
5. I. TỔNG THỂ Khái niệm tổng thể: ❖Phương sai tổng thể (2): kk 2 2 2 2 σ =  (xi - μ) p i = x i p i - μ i = 1 i = 1 ❖Độ lệch chuẩn của tổng thể (): σ = σ2 ❖Tỷ lệ tổng thể (p): p = M/N Trong đó M là số phần tử có tính chất A. p cũng chính là xác suất lấy được phần tử có tính chất A khi chọn ngẫu nhiên 1 phần tử từ tổng thể.
6. I. TỔNG THỂ Đại lượng ngẫu nhiên gốc: Nếu lấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra 1 phần tử và gọi X là giá trị của dấu hiệu X* đo được trên phần tử ấy thì X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau: X x1 x2 xk P p1 p2 pk X đgl ĐLNN gốc và quy luật phân phối xác suất của X đgl quy luật phân phối gốc.
7. I. TỔNG THỂ Đại lượng ngẫu nhiên gốc: X x1 x2 xk P p1 p2 pk Các tham số của ĐLNN gốc: k ❖Kỳ vọng toán: E(X) =  xii p = μ i = 1 ❖Phương sai: k 22 Var(X) = E[(X - E(X)) ] =  [xii - E(X)] p i=1 k 22 =  [xii - μ] p = σ i=1
8. II. MẪU Khái niệm mẫu: Từ tổng thể lấy ra n phần tử theo phương pháp có hoàn lại, khi đó ta được 1 mẫu có kích thước n. * Gọi Xi là giá trị của dấu hiệu X đo được trên phần tử thứ i của mẫu (i = 1, 2, , n). Khi đó ta có X1, X2, , Xn là các ĐLNN độc lập có cùng quy luật phân phối với ĐLNN gốc X.
9. II. MẪU Khái niệm mẫu: ❖Mẫu ngẫu nhiên: 1 bộ gồm n ĐLNN X1, X2, , Xn độc lập và có cùng phân phối xác suất với ĐLNN gốc X đgl 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n. Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: WX=(X1, X2, , Xn) ❖Mẫu cụ thể: Khi phép thử đã được thực hiện, ta thu được kết quả là (x1, x2, , xn) thì (x1, x2, , xn) đgl 1 mẫu cụ thể kích thước n. Ký hiệu mẫu cụ thể: Wx = (x1,x2, ,xn).
10. II. MẪU Khái niệm mẫu: Một mẫu cụ thể chính là một giá trị của mẫu ngẫu nhiên. Ví dụ: Quan sát 1 khu nhà ở mới có 100 hộ gia đình sống ở đó và ghi nhận số em bé có trong mỗi hộ, ta được bảng số liệu sau: Số em bé trong mỗi hộ 0 1 2 Số hộ 20 30 50 Ta lấy 1 mẫu gồm 5 hộ gia đình. Gọi Xi là số em bé có trong hộ thứ i (i = 1, 2, , 5).
11. II. MẪU Khái niệm mẫu: Số em bé trong mỗi hộ 0 1 2 Số hộ 20 30 50 Mẫu ngẫu nhiên: (X1, X2, X3, X4, X5). Chọn ngẫu nhiên (có lặp) 5 hộ gia đình và ghi nhận số em bé của từng hộ này. Giả sử số em bé có trong hộ thứ 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là 1, 0, 0, 1, 2. Vậy ta được 1 mẫu cụ thể: (1, 0, 0, 1, 2). Chọn 5 hộ gia đình khác, ta lại được 1 mẫu cụ thể khác: (0, 2, 0, 1, 1).
12. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Trung bình mẫu: 1 n Trung bình mẫu ngẫu nhiên: X =  Xi n i = 1 ത là hàm của các ĐLNN X1, X2, , Xn nên ത cũng là một ĐLNN. 1 n Trung bình mẫu cụ thể: x =  xi n i = 1 ҧ là một giá trị cụ thể được tính dựa vào bộ số cụ thể (x1, x2, , xn). ҧ là một giá trị cụ thể của ത.
13. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Trung bình mẫu: Ví dụ: Cho tập {1, 2, 3, 4}. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 3 phần tử từ tập này để tạo thành 1 mẫu. Tìm bảng phân phối xác suất của ത và tính E( ത), Var( ത).
14. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Tính chất của trung bình mẫu ngẫu nhiên: ➢E( ത) =  σ2 ➢Nếu chọn mẫu có hoàn lại:Var(X) = ➢Nếu chọn mẫu không hoàn lại: n σ2 N - n Var(X) = . n N - 1 ➢Khi chọn mẫu có hoàn lại, dựa vào định lý giới hạn trung tâm, ta có: 1 n σ2 X =  Xi ~ N(μ; ) (n 30) nni = 1
15. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Phương sai mẫu: Phương sai mẫu ngẫu nhiên: n ˆ 221 S =  (Xi - X) n i = 1 መ2 푆 là hàm của các ĐLNN X1, X2, , Xn መ2 nên 푆 cũng là một ĐLNN. 1 n ˆ22 Phương sai mẫu cụ thể: s =  (xi - x) n i = 1 푠Ƹ2 là một giá trị cụ thể được tính dựa vào bộ số cụ thể (x1, x2, , xn). 푠Ƹ2 là một giá trị cụ thể của 푆መ2.
16. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Phương sai mẫu điều chỉnh: Phương sai mẫu ngẫu nhiên: n 221 S =  (Xi - X) n - 1 i = 1 2 S là hàm của các ĐLNN X1, X2, , Xn nên S2 cũng là một ĐLNN. Phương sai mẫu cụ thể: n 221 s =  (xi - x) n - 1 i = 1 s2 là một giá trị cụ thể được tính dựa vào bộ số cụ thể (x1, x2, , xn). s2 là một giá trị cụ thể của S2.
17. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Phương sai mẫu điều chỉnh: Ví dụ: Cho tập {1, 2, 3, 4}. Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 3 phần tử từ tập này để tạo thành 1 mẫu. Tìm bảng phân phối xác suất của S2 và tính E(S2), Var(S2).
18. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Tính chất của phương sai mẫu điều chỉnh: Nếu chọn mẫu có hoàn lại thì: * E(S2) = 2 n 2 (Xi - μ) 2 *  2 ~ χ (n) i = 1 σ (n - 1)S2 * ~ χ2 (n - 1) σ2 X - μ * ~ T(n - 1) S n
19. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Độ lệch chuẩn mẫu: S = S2 ❖Tỷ lệ mẫu: Xét tập hợp có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A. Từ tập này, chọn mẫu có hoàn lại gồm n phần tử. Gọi Yi là số phần tử có tính chất A trong lượt lấy thứ i. Khi đó Yi là các ĐLNN độc lập, có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 với xác suất tương ứng: P(Yi = 1) = p và P(Yi = 0) = 1 – p.
20. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Tỷ lệ mẫu: 1 n Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên: F =  Yi n i = 1 F là hàm của các ĐLNN X1, X2, , Xn nên F cũng là một ĐLNN. m Tỷ lệ mẫu cụ thể: f = n f là một giá trị cụ thể được tính dựa vào số lượng phần tử có tính chất A trong mẫu (m) và kích thước mẫu (n). f là một giá trị cụ thể của F.
21. II. MẪU Các tham số đặc trưng của mẫu: ❖Tính chất của tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên: ➢E(F) = p pq ➢Var(F) = n ➢Dựa vào định lý giới hạn trung tâm, ta có: 1n pq F =  Xi ~ N(p; ) (n 30) nni = 1
22. Tổng kết chương 6 • Các tham số đặc trưng của tổng thể? • Các tham số đặc trưng của mẫu? Tính chất của các tham số đó? • Lập bảng phân phối xác suất của trung bình mẫu ngẫu nhiên, phương sai mẫu điều chỉnh?