Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1. Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Ví dụ : Kiểm tra 3 sp. Gọi X là số sp đạt yêu cầu trong 3 sp kiểm tra. Đỏ : Đạt yêu cầu X có thể nhận các Xanh : Không đạt giá trị khác nhau X = 3 tương ứng với các biến cố khác nhau. X = 2 X = 1 X đgl đại lượng X = 0 ngẫu nhiên.
3. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN • Khi thực hiện một phép thử, bằng một quy tắc (hay một hàm) ta có thể gán các giá trị bằng số cho các kết quả của phép thử đó. Quy tắc đó đgl một đại lượng ngẫu nhiên. • Khi thực hiện phép thử, ĐLNN sẽ nhận 1 và chỉ 1 giá trị nào đó trong tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận. Việc 1 ĐLNN nhận 1 giá trị cụ thể là 1 biến cố. ❖Lưu ý : Không có P(X) chung chung mà chỉ có P(X = x1), P(X = x2), , P(a < X < b),
4. I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phân loại ĐLNN: • ĐLNN đgl rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là 1 tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Cho ví dụ? • ĐLNN đgl liên tục nếu các giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín cả 1 khoảng trên trục số.
5. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Một hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể nhận với các xác suất tương ứng đgl phân phối xác suất của ĐLNN. • Bảng phân phối xác suất. • Hàm mật độ xác suất • Hàm phân phối xác suất.
6. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất : Giả sử ĐLNN X có thể nhận 1 trong các giá trị x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, , pn (tức là pi = P(X = xi), i = 1, n). Khi đó, bảng phân phối xác suất của X có dạng: X x1 x2 xk P p p p 1 2 k n pi = 1 i = 1
7. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Bảng phân phối xác suất : Ví dụ : Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sp loại A và 4 sp loại B. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sp. Gọi X là số sp loại A có trong 3 sp lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
8. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 6A 4B 3 sp X P
9. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm mật độ xác suất : Hàm mật độ xác suất của ĐLNN liên tục X, ký hiệu là f(x), thỏa mãn các điều kiện sau: (i) f(x) 0,  x + (ii) f(x)dx = 1 - b (iii) P(a < X < b) = f(x)dx a
10. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm mật độ xác suất : Minh họa hình học : 0.45 0.4 P(a < X < b) 0.35 0.3 f(x) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 0.5 1 a 1.5 2 2.5 b 3 3.5
11. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Nhận xét : dựa vào bảng PPXS và hàm mật độ XS, ta thấy: Đối với ĐLNN rời rạc : Đối với ĐLNN liên tục :
12. II. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm phân phối xác suất : Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X (ký hiệu F(x)) được định nghĩa bởi biểu thức: F(x) = P(X < x) Đối với ĐLNN rời rạc : F(x) =  pi xi < x Đối với ĐLNN liên tục : x F(x) = f(t)dt -
13. III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên : Nếu với mỗi giá trị có thể có của ĐLNN X, qua hàm f(X) ta xác định được 1 giá trị của ĐLNN Y thì Y đgl hàm của ĐLNN X: Y = f(X). Ví dụ : Tìm phân phối xác suất của Y = X2, biết rằng X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau: X -2 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2
14. III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên : X P
15. III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Hàm của hai hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên : Nếu ứng với mỗi bộ giá trị có thể nhận của (X1, X2, , Xn), qua hàm Z = (X1, X2, , Xn), ta có 1 giá trị có thể nhận của ĐLNN Z thì Z đgl hàm của n ĐLNN (X1, X2, , Xn). Ví dụ : Cho X là ĐLNN có thể nhận các giá trị 0, 1, 2; Y là ĐLNN có thể nhận các giá trị -1, 0, 3. Khi đó: X + Y
16. III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên : Hai ĐLNN đgl độc lập với nhau nếu phân phối xác suất của ĐLNN này không phụ thuộc gì vào việc ĐLNN kia nhận giá trị bằng bao nhiêu. • Nếu X, Y độc lập với nhau thì: P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b) • Nếu Y phụ thuộc vào X thì: P[(X = a)(Y = b)] = P(X = a).P(Y = b/X = a)
17. III. HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Sự độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên : Ví dụ 1: X , X là số sp loại A 7A 3B 6A 4B 1 2 trong 3 sp lấy từ hộp 1, hộp 2. 3 sp 3 sp Ví dụ 2: Y , Y là số sp 7A 3B 6A 4B 1 2 3 sp loại A trong 3 sp lấy từ hộp 3 sp 1, hộp 2.
18. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Nếu X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị x1, x2, , xn với các xác suất tương ứng p1, p2, , pn thì kỳ vọng toán của X được xác định bởi biểu thức: n E(X) =  xii p i = 1 Ví dụ : Tìm kỳ vọng của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất như sau: X -2 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2
19. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng toán được xác định bởi: + E(X) = xf(x)dx - Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán?
20. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Kỳ vọng toán : E(X) Ví dụ : Giả sử ta có 1 cái túi đựng 10 quả cam, trong đó có 2 quả nặng 200g, 5 quả nặng 250g, 3 quả nặng 300g. Gọi X là khối lượng của 1 quả cam được lấy ngẫu nhiên từ túi trên. Khi đó X là ĐLNN có bảng phân phối xác suất: X 200 250 300 P 0,2 0,5 0,3 E(X) = 200x0,2 + 250x0,5 + 300x0,3 = 255 E(X) chính là giá trị trung bình của ĐLNN X.
21. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phương sai : Var(X) hoặc D(X) Var(X) = E[(X – E(X))2] = E(X2) – [E(X)]2 Nếu X là ĐLNN rời rạc : n n n 2 22 Var(X) =  [xi - E(X)] p i =  x i p i -  x i p i i=1 i=1 i=1 Ví dụ : Tìm phương sai của ĐLNN X có bảng phân phối xác suất như sau: X -2 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2
22. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Phương sai : Var(X) hoặc D(X) Var(X) = E[(X – E(X))2] = E(X2) – [E(X)]2 Nếu X là ĐLNN liên tục : + + + 2 22 Var(X) = [(x - f(x)] f(x)dx = x f(x)dx- xf(x)dx - - - Ý nghĩa của phương sai? Phương sai phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của ĐLNN xung quanh giá trị trung bình.
23. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Độ lệch chuẩn : (X) σ(X) = Var(X) Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với ĐLNN. Giá trị tin chắc nhất : Mod(X) Nếu X rời rạc : Mod(X) là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bảng phân phối xác suất. Nếu X liên tục : Mod(X) là giá trị của X mà tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại.
24. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giá trị tin chắc nhất : Mod(X) Ví dụ : Tìm Mod(X), với X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau: X -2 0 1 2 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Lưu ý: Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Trung vị : Med(X) Là giá trị chia phân phối của ĐLNN thành 2 phần bằng nhau.
25. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Các tính chất của kỳ vọng toán và phương sai: • E(C) = C (với C là hằng số). • E(CX) = C.E(X) (với C là hằng số). • E(X1 + X2 + + Xn) = E(X1) + E(X2) + + E(Xn) • E(X1X2 Xn) = E(X1).E(X2) E(Xn) (nếu các ĐLNN này độc lập với nhau)
26. IV. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Các tính chất của kỳ vọng toán và phương sai: • Var(C) = 0 (với C là hằng số). • Var(CX) = C2.Var(X) (với C là hằng số). • Var(X1 + X2 + + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + + Var(Xn) (nếu các ĐLNN này độc lập với nhau)
27. Tổng kết chương 2 • ĐLNN rời rạc – bảng phân phối xác suất ĐLNN liên tục – hàm mật độ xác suất. • Cách lập bảng phân phối xác suất? • Công thức tìm E(X), Var(X), Mod(X)? • Các tính chất của E(X) và Var(X)?