Bài giảng Lý thuyết độ đo và tích phân (Phần 2) - Nguyễn Thị Bích Thìn

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết độ đo và tích phân (Phần 2) - Nguyễn Thị Bích Thìn

1. ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHOA TOÁN - ỨNG DỤNG ——————– ∞ ∞ ∞ ——————– LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN BÀI GIẢNG TÓM TẮT Thu Trang - Bích Thìn loptoan141@gmail.com Sai Gon University Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Bích Thìn Trần Thị Thu Trang Giảng viên hướng dẫn: TS. Lê Minh Tuấn Tp. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2015 1
2. CHƯƠNG I ĐỘ ĐO DƯƠNG - HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC ∗Nhắc lại về cơ sở B⊂P(X) Ta nói B là một cơ sở tôpô trên X S B=X B∈B Nếu B1, B2 ∈B , B1 ∩ B2 6=∅ ∀x∈ B1 ∩ B2, ∃ B3 ∈ B x∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 ∗Ví dụ: Cho X={a,b,c,d} n o Cơ sở B= {a},{b},{c,d} n o Xây dựng tôpô T = {a,b,c,d},{a,b},{a,c,d},{b,c,d},{a},{b},{c,d},∅ ∗Ví dụ:Cho X={a,b,c,d} n o Cơ sở con C= {a,b},{b,c,d} n o Cơ sở B= {b},{a,b},{b,c,d} n o Tôpô T = ∅,{b},{a,b},{b,c,d},{a,b,c,d} ∗Ví dụ:Giao của 2 tập đếm được là quá lắm đếm được. Giao 2 tập hữu hạn là hữu hạn. Giao 2 tập quá lắm đếm được là quá lắm đếm được. Hợp của các tập vô hạn đếm được là tập vô hạn đếm được. Hai tập vô hạn đếm được nhân với nhau là tập vô hạn đếm được. Q,Z,N là tập đếm được. R là tập không đếm được. Tập hợp các số từ 1 đến 10 là tập không đếm được. Tập hợp các số hữu tỉ từ 1 đến 10 là tập đếm được. FĐỊNH NGHĨA: [-∞,∞]=R∪{-∞,∞} (-∞,∞]=R∪{∞} [-∞,∞)=ThuR∪{-∞} Trang - Bích Thìn a+∞=∞+a=∞ ∀a∈(-∞,∞) a-∞=-∞+a=-loptoan141@gmail.com∞ ∀a∈(-∞,∞) a.(-∞)=-∞ ∀a∈(0,∞) a.(∞)=∞ ∀a∈(0,∞)Sai Gon University a.(-∞)=∞ ∀a∈(-∞,0) a.(∞)=-∞ ∀a∈(-∞,0) FĐỊNH NGHĨA:Cho M⊂P(X),với X6=0,ta nói M là một σ- đại số trong X nếu: i)X∈M ii)XA∈M ∀A∈M(với XA=Ac:phần bù của M) ∞ S iii) An∈M ∀{An}n∈N⊂M n=1 ∗Ví dụ:X={a,b,c,d} n o M= ∅,X,{a},{b,c,d} 2
3. ♣BÀI TẬP: 1.Cho 1 họ M,kiểm tra xem có phải là σ- đại số không ? cm: 3 điều kiện 2Cho M là σ- đại số,hãy chứng minh một số tính chất liên quan. cm:{An}n∈N⊂M ∞ S → An∈M n=1 ∞ S X An∈M n=1 ∞ T c A n ∈M n=1 B1, ,Bn, ∈M c c c B 1,B 2, ,B n, ∈M ∞ T c c (B n) ∈M n=1 ∞ T Bn∈M n=1 FĐỊNH NGHĨA: Cho X là một tập hợp.Nếu tồn tại một σ- đại số M trên X ta nói X là một không gian đo được.Với mọi A ∈M,A được gọi là các tập đo được. FĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và µ là một ánh xạ đi từ M→[0,∞].Ta nói µ là một độ đo dương nếu: ∞ S ∗∀{An}n∈N⊂M,Ai∩Aj=∅ ∀i,j Ta có µ( An)=Σµ(A n) n=1 ∗∃B∈M, µ(B)<∞ FĐỊNH NGHĨA: Cho M là một σ- đại số trên X và ánh xạ µ:M→C.Ta nói µ là một độ đo phức nếu:∀{An}n∈N⊂M sao cho Ai∩Aj=∅ ∀i6=j ∞ S Ta có µ( An)=Σµ(An) n=1 Cho X là một không gian đo được với σ- đại số M và µ là một độ đo trên M,ta nói (X,M,µ) là một không gian đo được với độ đo µ ♣BÀI TẬP: 2.1 Cho X6=∅Thu.CM:{X, Trang∅} và P(X) là - các Bíchσ- đại số Thìn trong X,còn có các σ đại số khác trong X hay không? Giải: loptoan141@gmail.com ∗ M={∅,X} là σ- đại số trong X ta kiểm tra 3 tính chất: i) X∈{∅,X} hiển nhiênSai Gon University ii) A∈{∅,X} A = =⇒ X A = X ∈ { ,X} =⇒ ∅  ∅ A = X =⇒ XA = ∅ ∈ {∅,X} ⇒XA∈{∅,X} iii)∀{An}⊂M={∅,X} ∞ S Ta chứng minh: An∈M={∅,X} n=1 TH1:∃i0∈ :Ai0=X ∞ N S An=X∈{∅,X} n=1 TH2:An=∅ ∀n∈N 3
4. ∞ S =⇒ An=∅∈{∅,X} n=1 ∗M=P(X)={A:A⊂X} là σ- đại số trong X i)X∈P(X)(Vì X⊂X) ii)A∈P(X) Ta chứng minh XA∈ P(X) A∈P(X)=⇒A⊂X=⇒XA⊂X=⇒XA∈P(X) ∞ S iii)∀{An}⊂P(X) Ta chứng minh An∈P(X) n=1 Ta có:An⊂X, ∀n∈N ∞ ∞ S S =⇒ An⊂X=⇒ An∈P(X) n=1 n=1 ∗X6= =⇒∃a∈X ∅ n o Xét M= ∅,{a},X{a},X i)X∈M(hiển nhiên) ii)A∈M  A = ∅ ⇒ XA = X ∈ M A = {a} =⇒ XA = X{a} ∈ M =⇒ A = X{a} =⇒ XA = {a} ∈ M A = X =⇒ XA = ∅ ∈ M Vậy XA∈ M iii)∀{An}n∈N ⊂ M ∞  S A1 = {a} An = X nếu ∃Ai0 = X hay n=1 A2 = X = {a} ∞ S An = ∅ nếu An = ∅ ∀n ∈ N n=1 ∞  S An 6= X∀Ai0 = {a} An = ∅ nếu n=1 An 6= X{an} ∞  S An 6= X An = X{a} nếu n=1 An 6= {a} ∃Ai0 = X{a} 2.2 Cho B là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng .Tìm một σ-đại số nhỏ nhất M trong X sao cho B ⊂ M. Gọi F là họ tất cả các σ- đại số trên X chứa B Đặt T =ThuT F ⊂ TrangP (X) - Bích Thìn F ∈F Cần chứng minhloptoan141@gmail.comT là σ đại số. ∗ Kiểm tra X ∈ T : Ta có: X∈F,∀F ∈ FSai Gon University =⇒X ∈ T F=T F ∈F ∗ Kiểm tra ∀A ∈ T ,Ac ∈ T Lấy A ∈ T tùy ý Ta có A ∈ F,∀F ∈ F Vì F là một σ- đại số nên Ac ∈ F ,∀F ∈ F =⇒ Ac ∈ T F= T F ∈F ∗ Kiểm tra ý thứ 3: T ∀{An} ⊂ F (F là σ đại số chứa B) F ∈F =⇒ {An} ⊂ F, ∀F ∈ F 4
5. ∞ S =⇒ An ∈ F (vì F là σ đại số trong X) ∀F ∈ F n=1 ∗ Tìm một σ- đại số nhỏ nhất . Lấy G là σ- đại số bất kì chứa B =⇒ G ∈ F =⇒ T F ⊂ G F ∈F Vậy T ∈ G Vậy T là σ- đại số nhỏ nhất. 2.3 giống câu 2.2 chỉ thay X bằng R 2.4 Xác định các σ- đại số M trong tập hợp các số nguyên dương N sao cho {n} ∈ M với mọi n∈ N. Giải: Ta chứng minh : M = P (N) = 2N ∗M ⊂ P (N), ∀B ∈ M =⇒ B ⊂ N =⇒ B ∈ P (N) ∗ lấy A∈ P (N) =⇒ A ⊂ N TH1:A= {n1, n2, , nk} k S A= {ni} ∈ M(Mlà σ- đại số và {ni} ∈ M, ∀i = 1, k) i=1 TH2 : A = {n1, n2, , nk, } ∞ S A= {nk} ∈ M (vì M là σ- đại số và {nk} ∈ M, ∀k ∈ N) k=1 2.5 Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M,và cho {Bi}i∈I là một họ quá lắm đếm được trong M.Chứng minh ∩i∈I Bi và ∪i∈I Bi đều thuộc về M. Giải: {B1}i∈I ⊂ M ∞ S CM: Bi ∈ M i=1 ∞ T Bi ∈ M i∈I Giải:TH1:I hữu hạn Giả sử :I=Thu{x1, , x Trangn} - Bích Thìn Đặt Bxk = ∅ ∈ M,∀k ≥ n + 1 n ∞ ∗ S B = S Bloptoan141@gmail.com= S B ∈ M(tính chất iii),B ∈ M, ∀k ∈ i xk xk xk N i∈I k=1 k=1 ∗Bi ∈ M =⇒ XBi ∈ M, ∀i ∈ I S Sai Gon University =⇒ (XBi) ∈ M(cmt) i∈I T =⇒ X Bi ∈ M i∈I T =⇒ Bi ∈ M i∈I TH2:I đếm được ∗I = {x1, x2, , xk, } ∞ S S = Bxk ∈ M(Vì Mlàσđại số và Bxk ∈ M, ∀k ∈ N i∈I k=1 ∗Bi ∈ M =⇒ XBi ∈ M, ∀i ∈ I S =⇒ (XBi) ∈ M(cmt) i∈I 5
6. T =⇒ X Bi ∈ M i∈I T =⇒ Bi ∈ M i∈I Thí dụ 2.1.1 tchsccphnttrongA, A 6= iv) ∅ (A)= ∅ 1,A = ∅ Cho A={1},B={2} ∅(A ∪ B) = 2 ∅(A) + ∅(B) = 3 =⇒ ∅(A ∪ B) 6= ∅(A) + ∅(B) nên ∅(A)không là độ đo Định nghĩa 2.1.6: Cho (X,M, µ) là một không gian đo được .Cho M∗là tập tất cả các tập con E của X sao cho có hai tập A và B trong M sao cho A⊂ E ⊂ B và µ(BA) = 0.Lúc đó ta đặt µ∗(E) = µ(A). Định lý 2.1.1: (X,M∗, µ∗) là một không gian đo được . Chứng minh:gồm 2 ý ? ý 1:chứng minh M∗ là σ-đại số. i)Vì M ⊂ M∗ nên X ∈ M =⇒ X ∈ M∗ ii)Lấy E ∈ M∗ tùy ý =⇒ ∃ A,B ∈ M,A ⊂ E ⊂ B, µ(BA)=0 Ac,Bc ∈ M : Bc ⊂ Ec ⊂ Ac µ(AcBc) = µ(BA) = 0 =⇒ Ec ∈ M∗ ∞ S ∗ ∗ iii) En ∈ M (En ∈ M ) n=1 ∗ Với mỗi En ∈ M , ∃An,Bn ∈ M An ⊂ En ⊂ Bn và µ(BnAn) = 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ S S S S S An ⊂ En ⊂ Bn, An ∈ M, Bn ∈ M n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ S S Ta cần chứng minh:µ( Bn An) = 0 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ S S S S S Ta có : Bn An = (Bn An) ⊂ (BnAn) n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ ThuS TrangS -S Bích Thìn =⇒ 0 ≤ µ( Bn An) ≤ µ( (BnAn)) n=1 n=1 n=1  ∞  S loptoan141@gmail.com∞ Mà µ (BnAn) ≤ Σn=1µ(BnAn) = 0 n=1 ∞ ∞ S S do đó µ( Bn SaiAn) = 0 Gon University n=1 n=1 ∞ S ∗ =⇒ En ∈ M n=1 Vậy M∗ là σ-đại số ? ý 2: chứng minh µ∗ là độ đo dương ∗ {En} là dãy các phần tử rời nhau trong M ∗ Với mỗi En ∈ M Tồn tại An,Bn ∈ M , sao cho ∗ An ⊂ En ⊂ Bn và µ − ∗98(BnAn) = 0 =⇒ µ (En) = µ(An) ∞ ∞ ∞ S S S Ta có : An ⊂ En ⊂ Bn n=1 n=1 n=1 6
7. ∞ ∞ S S µ( Bn An) = 0 n=1 n=1 ∞ ∞ ∗ S S ∞ ∞ ∗ µ ( En) = µ( An) = Σn=1µ(An) = Σn=1µ (En) n=1 n=1 Chứng minh :∃B ∈ M∗ sao cho µ∗(B) µ(A) • A,B ∈ M µ(A ∪ B) = µ(AB) + µ(BA) + µ(A ∩ B) µ(A) − µ(B) = µ(A ∩ B) ĐỊNH NGHĨA 2.1.7: (X, M∗, µ∗) được gọi là đầy đủ hóa của (X, M, µ).Nếu M∗ = M ta nói µ là một độ đo đầy đủ. TÍNH CHẤT SUY RA TỪ ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 : Cho (X, M là một không gian đo được và f:X→Y với (Y, T ) là một không gian tô pô ta nói f là một ánh xạ đo được trên (X,M) nếu và chỉ nếu f −1(B) ∈ M với mọi B ∈ T THEO ĐỊNH LÍ 2.1.4 ,CM TÍNH CHẤT: i)M(∅) = 0 ii)M(A ∪ C) = M(A) + M(C),A ∩ C 6= ∅ Chứng minh:i) chọn A1 = B, Ak = ∅, ∀k > 2 ta được ∞ S ∞ µ( An) = Σn=1µ(An) n=1 ∞ =⇒ Σn=1µ(An) do µ(B) 3 ∞ S ∞ µ( An) = Σn=1µ(An) n=1 ∞ ⇐⇒ µ(A ∪ C) = µ(A) + µ(C) + Σn=3µ(An) ⇐⇒ µ(AThu∪ C) = µ Trang(A) + µ(C) - Bích Thìn BÀI TẬP: 2.6 Cho X là mộtloptoan141@gmail.com tập khác trống , cho M là P(X).Đặt µ(A) =| A |(bản số của A,cardinal of A ).Lúc đó µ có là một độ đo dương trên M hay không? Chứng minh: i)Lấy {An} ⊂ M,Ai ∩ Aj = ∅∀i 6= j ∞ Sai Gon University S ∞ M( An) = Σn=1M(An) n=1 ∞ S ∞ | An |= Σn=1 | An | n=1 ∞ ∞ S S TH1:Nếu | An |< ∞ =⇒ µ( An) < +∞ n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ S P P ?∃Ai :| Ai |= ∞ =⇒ µ( An) = µ(Ai) + µ(An) = µ(An) n=1 n=1 n=1 ? | Ai |< ∞, ∀i ∈ N ∞ ∞ P P =⇒ | An |= ∞ vì nếu | An |< ∞ n=1 n=1 7
8. ∞ ∞ P P =⇒ | Ak |< | Ak |< ∞ k=1 k=1 n S =⇒| Ak |< ∞, ∀n k=1 cho n → ∞ ∞ ∞ S P =⇒| Ak |≤ | Ak |< ∞ k=1 k=1 ∞ S TH2:Nếu | An |< ∞ → ∃n1, n2, , nk n=1 | Ai |= 0, ∀i ∈ N{n1, , nk} ∞ k k ∞ S S P P =⇒ M( An) =| Ani |= | Ani |= | An | n=1 i=1 n=1 n=1 ii) ∅ ∈ M µ(∅) =| ∅ |= 0 < ∞ 2.7: Cho X là một không gian đo được với một σ- đại số M , cho µ là một độ đo trên M, và A ∈ M.Đặt N = {A T E : E ∈ M} và η(D) = µ(D), ∀D ∈ N.Chứng minh (A, N, η) là một không gian đo được. T i) Lấy {An} ⊂ N,Ai Aj 6= ∅, ∀i 6= j ∞ ∞ S P Ta chứng minh :η( An) = η(An) n=1 n=1 ∞ ∞ S S VT =η( An) = µ( An) n=1 n=1 ∞ ∞ P P = µ(An) = η(An) n=1 n=1 ∞ ∞ S P Vậy η( An) = η(An) n=1 n=1 ii) Ta chứng minh :∃B ∈ N η(B) < ∞ Ta có :µ là độ đo dương(gt) =⇒ ∃B ∈ M : µ(B) < ∞ T T T =⇒ (B E) ∈ N : η(B E) = µ(B E) 6 µ(B) < ∞ Chứng minh N là σ đại số trên E i)E = E T E ∈ N vì (E ∈ M ii)A ∈ N =⇒ A = B T E, B ∈ M T S EA = E(B E) = (EB) (EE) T = (EBThu) = EB TrangE (Vì E -B ⊂ BíchE) =⇒ E ThìnA ∈ N iii) Lấy {An} ⊂ N ∞ loptoan141@gmail.comS Ta chứng minh: An ∈ N n=1 T Ta có:{An} ⊂ N =⇒SaiAn = B Gonn E, Bn University∈ M, ∀n ∈ N ∞ ∞ ∞ S S T S T An = (Bn E) = ( Bn) E n=1 n=1 n=1 ∞ S Bn ∈ M vì M là σ-đại số n=1 Vậy (A, N, η) là một không gian đo được . 2.8 Cho X là một không gian đo được với một σ-đại số M, µ là một độ đo trên M, và f là một song ánh từ X vào một tập hợp Y .Đặt N = {f(E): E ∈ M} và ν(D) = µ(f −1(D)), ∀D ∈ N Chứng minh:(Y, N, ν) là một không gian đo được . F Chứng minh N là σ-đại số trên Y 8
9. i)Y=f(X) ∈ N(do f là song ánh)X ∈ M ii) A ∈ N =⇒ A = f(B),B ∈ M Y A = Y f(B) = f(XB)doXB ∈ M =⇒ Y A ∈ N ∞ S iii) Lấy {An} ⊂ N ta chứng minh An ∈ N n=1 {An} ⊂ N =⇒ ∃B ∈ M : An = f(Bn), ∀n ∈ N ∞ ∞  ∞  S S S An = f(Bn) = f Bn ∈ N n=1 n=1 n=1 ∞ S do Bn ∈ M n=1 Vậy N là σ-đại số. F Cứng minh ν là độ đo trên N T i)∀{Ai} ⊂ N,Ai Aj 6= ∅, ∀i 6= j ∞ ∞ S P Ta chứng minh:ν( An) = ν(An) n=1 n=1  ∞   ∞  ∞ ∞ −1 S S −1 P −1 P VT=µ f ( An) = µ f (An) = µ (f (An)) = ν(An) n=1 n=1 n=1 n=1 ii)µ là độ đo =⇒ ∃B ∈ M, µ(B) < ∞ do f song ánh =⇒ ∃A ∈ N A=f(B) =⇒ B = f −1(A) =⇒ ν(A) = µ (f −1(A)) = µ(B) < ∞ 2.13 Cho X là một không gian đo được với một σ đại số M và cho µ là độ đo dương trên M ∞ S .Cho {Bm} là dãy tăng các phần tử trong M.Chứng minh µ( Bk) = limm→∞µ(Bm) k=1 Đặt A1 = B1,A2 = B2B1, , Ak+1 = Bk+1Bk, ∀k ∈ N{0}  T Ai Aj = ∅, ∀i 6= j  n n Ta có: S T Ak = Bk = Bn k=1 k=1 ∞ ∞ S P Ta có :µ( An) = µ(An) n=1 n=1 Đặt sn = µ(A1) + µ(A2) + + µ(An) = µ(B1)Thu + µ(B2) − Trangµ(B1) + + -µ( BíchBn) − µ(B Thìnn−1) = µ(Bn)  ∞  ∞ S P =⇒ µ An = µ(An) = limn→∞sn = limn→∞µ(Bn) n=1 loptoan141@gmail.comn=1 2.16 ∀a ∈ R, f −1 ((a, +∞))Sai∈ M Gon University =⇒ Xf −1 ((a, +∞)) ∈ M f −1(R(a, +∞)) ∈ M f −1((−∞, a]) ∈ M, ∀a ∈ R ∞  1  Ta có:(−∞, a) = S −∞, a − n=1 n  ∞  1  =⇒ f −1((−∞, a)) = f −1 S −∞, a − n=1 n ∞  1  = S f −1 −∞, a − ∈ M n=1 n 9
10. 2.17 f(X) hữu hạn trong R f(X)={a1, a2, , an} f(A1) = {a1} f(A2) = {a2} f(An) = {an}  T Ai Aj = ∅, ∀i 6= j  ∞ S Ak = X  k=1 f(x) = a1XA1 (x) + a2fA2(x) ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 trang 42 ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 trang 42 (X, M, µ) ,E ∈ M , f đo được F(f) = {S:hàm đơn/0 ≤ S ≤ f }   R fdµ := sup R Sdµ/S ∈ F(f) F E ĐỊNH LÝ 3.1.1 trang 43 BÀI TẬP 3.1 trang 47 f : N → [0, ∞]; M = P(N) f:đo được ;µ(A) =| A | ∞ R fdµ = P N n=1 BÀI TẬP 3.2 trang 47 R R i) fdµ = (f.XE )dµ E X  R VT=sup Sdµ/S hàm đơn : 0 6 S 6 f } E  n n  P T P = sup Ckµ(Ak E/S = Ck.XAK , 0 6 S 6 f R k=1 R k=1 (S.XE)dµ = (S.XEdµ sao cho 0 6 s.XE 6 XE.f X E n R P T = CkX (Ak E) E k=1   R VP=supThutdµ/tlahamdon Trang; 0 6 -t Bích6 XE.f Thìn X  m m  P P = sup dlµ(loptoan141@gmail.comBl)/t = dl.XBl ; 0 6 t 6 XE.f l=1 l=1  m m  P T P = sup dlµ(Bl ESai)/t = Gondl.XBl ; University 0 6 t 6 XE.f l=1 l=1  m  R P = sup t.dµ/t = dl.XBl ; 0 6 t 6 XE.f E l=1 ĐỊNH LÍ 3.1.1 Chứng minh định lí 3.1.1   R R iv) (Cf)dµ = sup Sdµ/shamdon; 0 6 S 6 cf E E  n n  P T P = sup Ck.µ(Ak E)/Shamdon; S = Ck.X (Ak); 0 6 S 6 C.f k=1 k=1  n n  P Ck S P Ck s = sup C. µ(Ak)/ = .X (Ak); 0 6 6 f k=1 c c k=1 c c 10
11.   R = sup C tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f E   R =c.sup tdµ/thamdon; 0 6 t 6 f E ĐỊNH LÍ 3.1.2 ĐỊNH LÍ 3.1.3 BÀI TẬP 3.3 TRANG 47 Ta có:∀n ∈ N, fn(X) 6 f(x)∀X R R =⇒ ∀n ∈ N, fndµ 6 fdµ X X ∀m, n ∈ N, m > n : fm > fn R R =⇒ fmdµ > fndµ X X R Đặt a= lim fndµ n−→∞X R R Ta chứng minh:a > fdµ , đặt b = fdµ X X Nếu a > r.b, ∀r ∈ (0, 1) thì a > b S hàm đơn:0 6 S 6 f R a > r. Sdµ X n P S = Ck.X (Ak) k=1 ∀m ∈ N đặt Em = {x ∈ X/fm(X) > r.S} ∞ S E1 ⊂ E2 ⊂ ⊂ En, En = X R R m=1 R R R a = lim fndµ > fndµ > fndµ > X Sdµ = r. Sdµ X X En En En a lim r. R sdµ r. R sdµ > n−→∞ > En X ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 trang 44 BÀI TẬP: 1)Cho hàm f đo được ,cm | f |là hàm đo được 2)Cho f là hàm phức đo được cmr:|| f || đo được n BÀIThu TẬP CÓ Trang THI: Cho -fn Bích(x) = x ,X Thìn= [0, 1] .Hỏi fn(x) hội tụ điểm về đâu ? giải: Lấy x1 = 0 =⇒ fn(0) = 0, fn(0) → 0 1 1 1 1 x = =⇒ f ( ) = , f ( ) → 0khin → ∞ loptoan141@gmail.com2 2 n 2 2n n 2 n x3 = r, 0 < r < 1 =⇒ fn(r) = r ; fn(r) → 0 khi n → ∞ Sai Gon University 0, voix = 1 x4 = 1 =⇒ fn(1) = 1 f(x)= 1, voi0 6 x 6 1 LÝ THUYẾT: 1)f∼ g ⇐⇒ µ ({x/f(x) 6= g(x)}) = 0 2)f=u+i.v u = u+ − u− u+(x) = sup {u(x), 0} u(x) = sup {0, −u(x)} 3){x/f(x) 6= h(x)} ⊂ {x/f(x) 6= g(x)} ∪ {x/g(x) 6= h(x)} 4)f, g ≥ 0 R (f + g)dµ = R fdµ + R gdµ A=B+C 11
12. B+C ⊂ A sup B + C ≤ sup A sup B + sup C ≤ sup A BÀI 3.8 TRANG 49 i)h=f+g h+ − h− = (f + − f −) + (g+ − g−) R h+ = R f + + R g+ R h− = R f − + R g− ii)α ∈ C, α 6= 0 ∀c ∈ C :| c |= 1 c.α =| α | α =| α | .eiarg(α) c = e−iarg(α) BÀI 3.9 TRANG 49 R α = fdµ ∈ C R R ∃c ∈ C, | c |= 1 : c fdµ =| fdµ | R cfdµ =| R fdµ | cf=u+iv R (cf)dµ = R udµ + i R vdµ √ √ | cf |= u2 + v2 > u2 =| u | | f |=| cf |>| u | R R R R R Ta có:| fdµ |= cfdµ = udµ 6 | u | dµ 6 | f | dµ X X X X X BÀI 3.10 TRANG 49 fm −→ f | fm |6 g gm = 2g− | fm − f ∗ | f |6 g R R | fdµ |6 | f | dµ | fn − f |6| fn | + | f |6 2g gn = 2g− | fn − f | R R 2gdµ 6 lim inf (2g− | fn − f |)dµ R n−→∞ R = 2gdµ + lim inf(− | fn − f | dµ) X Thu TrangX - Bích Thìn R R 2gdµ − lim sup | fn − f | dµ R n−→∞ R R 2gdµ − lim loptoan141@gmail.comsup | fn − f | dµ. lim sup | fn − f | dµ 6 0 R n−→∞ n−→∞ lim | fn − f | dµ = 0 n−→∞ Sai Gon University ĐỊNH NGHĨA 4.2.1 ĐỊNH LÍ 4.2.1 BÀI TẬP 2.20 TRANG 39 x−2, x ∈ {0} f(x)= R ∞, x = 0 Ánh xạ f có đo được trên (R, B) Giải: ∀a ∈ R Xét f(x) 0 12
13. ·x 6= 0 f(x) √  a ⇐⇒  −1 x 0 1 (1) ⇐⇒ x a 1  f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B a Với a  1 f −1 ((−∞, a)) = −∞, ∪ (0, +∞) ∈ B a Vậy f đoThu được Trang - Bích Thìn BÀI 2.22 TRANG 39 x−1, x ∈ {0} f(x) = loptoan141@gmail.comR 0, x = 0 ánh xạ f có là một ánhSai xạ đo Gon được trên University(R, B) không? Giải: ∀a ∈ R +a > 0 Nếu x=0 f(x) x a 1  f −1 ((−∞, a)) = (−∞, 0] ∪ , +∞ ∈ B a + a=0 13
14. Nếu x=0 f(x) 1 CM g đo được ∀a ∈ R ta chứng minh ∞ −1 S g ((a, +∞]) = fm ((a, +∞]) ∈ M m=1 ∞ S Lấy x ∈ fm ((a; +∞)) n=1 −1 ⇒ ∃mo ∈ N : x ∈ fm ((a, +∞)] → fmo (x) fm0 (x) > a m>1 → sup f(x) 1 Lấy x ∈ g−1 ((a, +∞)) ⇐⇒ g(x) > a =⇒ ∃no ∈ N : fn0 (x) > a −1 =⇒ x ∈ fn0 ((a, +∞)) ∞ S −1 =⇒ x ∈ fn (a, +∞) n=1 ii)h(x) = inf fm(x), ∀x ∈ X m>1 CM: g đo được ∀a ∈ R Ta chứng minh: ∞ h−1 ((a, +∞]) = T f −1 ((a, +∞]) Thum=1 Trang - Bích Thìn −1 +Lấy x ∈ h ((a, +∞)) =⇒ h(x) > a mà fn(x) > h(x), ∀x ∈ N =⇒ fn(x) > a,loptoan141@gmail.com∀a ∈ N =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N ∞ =⇒ x ∈ T f −1 ((a, +Sai∞)) Gon University n=1 +Lấy x ∈ T f −1 ((a, +∞)) =⇒ x ∈ f −1 ((a, +∞)) , ∀n ∈ N =⇒ fn(x) > a, ∀n ∈ N −1 =⇒ inf fm(x) > a =⇒ h(x) > a =⇒ x ∈ f ((a, +∞)) m>1 ĐỊNH LÍ 3:Nếu F là một họ các tập con của X thì tồn tại σ-đại số nhỏ nhất M∗ trong X sao cho F ⊂ M∗ Nhận xét:σ-đại số M∗ này còn được gọi là σ đại số sinh bởi F Chứng minh: Gọi Ω là tập hợp tất cả σ-đại số M trên X sao cho F ⊂ M∗ .Vì P(X) ∈ Ω nên Ω 6= 0 .Đặt M∗ := T M Ta sẽ cm:M∗ là một σ-đại số nhỏ nhất chứa F M∈Ω 14
15. Thu Trang - Bích Thìn loptoan141@gmail.com Sai Gon University 15