›
›

Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục - Võ Văn Định

pdf 196 trang ngocly 1060
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục - Võ Văn Định", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thiet_dieu_khien_tu_dong_chuong_2_mo_ta_toan_ho.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục - Võ Văn Định

  1. BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG GVTH: Võ Văn Định NĂM 2009 1
  2. CHƯƠNG 2: MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 2.1 Khái niệm 2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối 2.3 Sơ đồ dịng tín hiệu 2.4 Phương pháp khơng gian trạng thái 2.5 Tĩm tắt 2
  3. 2.1 KHÁI NIỆM Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết điều khiển là rất đa dạng và cĩ bản chất vật lý khác nhau như hệ thống điều khiển động cơ, lị nhiệt, máy bay, phản ứng hĩa học Do đĩ, cần cĩ cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển cĩ bản chất vật lý khác nhau, cơ sở đĩ chính là tốn học. Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính cĩ thể biểu diễn bằng phương trình vi phân bậc cao. Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khĩ khắn 3
  4. 2.1 KHÁI NIỆM Cĩ hai phương pháp mơ tả tốn học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là: - Phương pháp hàm truyền đạt - Phương pháp khơng gian trạng thái Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đĩ phương pháp khơng gian trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt các biến phụ (biến trạng thái). Mỗi phương pháp mơ tả hệ thống đều cĩ ưu điểm riêng 4
  5. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace a. Định nghĩa: Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t) là: F(s) L f (t) f (t).e st dt (2.1) 0 Trong đĩ: s: là biến phức (biến Laplace) s =  + j L : là tốn tử biến đổi Laplace F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ 5
  6. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace b. Tính chất của phép biến đổi Laplace  Tính tuyến tính Nếu hàm f1(t) cĩ biến đổi Laplace là L{f1(t)} = F1(s) và hàm f2(t) cĩ là L{f2(t)} = F2(s) L a 1 f1(t) a 2 f2 (t) a 1 F 1(s) a 2 F 2 (s) (2.2) 6
  7. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace b. Tính chất của phép biến đổi Laplace  Ảnh của đạo hàm Nếu hàm f(t) cĩ biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì: df (t) L  sF(s) f (0 ) (2.3) dt  Trong đĩ f(o+) là điều kiện đầu Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì: df (t) L  sF(s) (2.4) dt  7
  8. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace b. Tính chất của phép biến đổi Laplace  Ảnh của tích phân Nếu hàm f(t) cĩ biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì: t  F(s) L f ()d  (2.5) 0  s 8
  9. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace b. Tính chất của phép biến đổi Laplace  Định lý chậm trễ Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta cĩ f(t-T), khi đĩ: f(t) f(t-T) t t T L f (t T) e Ts. L f (t) e Ts.F(s) (2.6) 9
  10. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace b. Tính chất của phép biến đổi Laplace  Định lý giá trị cuối Nếu hàm f(t) cĩ biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì: lim f (t) limsF(s) (2.7) t s 0 10
  11. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ bản Các tín hiệu cơ bản là: hàm nấc, hàm mũ, hàm sin 11
  12. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm xung đơn vị (hàm dirac) (t) Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mơ tả nhiễu tác động vào hệ thống t 0 0 khi t 0 (t) thỏa (t)dt 1 khi t 0 12
  13. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm xung đơn vị (hàm dirac) (t) Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mơ tả nhiễu tác động vào hệ thống t 0 0 khi t 0  (t)dt 1 (2.8)  (t) thỏa khi t 0 Theo định nghĩa: 0 0 L (t) (t).e stdt (t).e stdt (t).e 0dt 1 (2.9) 0 0 0 L (t) 1 13
  14. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm nấc đơn vị Trong các hệ thống điều khiển ổn định hĩa, tín hiệu vào cĩ dạng hàm nấc đơn vị u(t) 1 khi t 0 u(t) (2.10) 1 0 khi t 0 t 0 Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace: st 0 st st e e e 1 L u(t) u(t).e dt e dt (2.11) 0 0 s 0 s s s 1 L u(t) s 14
  15. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm dốc đơn vị Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi f(t) t khi t 0 f (t) t.u(t) (2.12) 1 0 khi t 0 t 0 1 Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace: t.e st e st 1 f (t) f (t).e stdt t.e stdt L  2 2 0 0 s s 0 s 1 L f(t) (2.13) s2 15
  16. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm mũ f(t) 1 at t at e khi t 0 f (t) e .u(t) (2.15) 0 0 khi t 0 Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace: (a s)t at st (a s)t e 1 L f (t) e .e dt e dt 0 0 s a 0 s a 1 L f(t) (2.16) s a 16
  17. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.1 Phép biến đổi Laplace c. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản  Hàm sin f(t) sint khi t 0 1 f (t) (sint).u(t) (2.17) t 0 khi t 0 0 e jt e jt Từ cơng thức Euler ta cĩ: sin t 2. j Theo định nghĩa ta cĩ: e jt e jt 1 1 1  (sint).u(t) .e stdt L  2 2 0 2 j 2 j s j s j s   L f(t) (2.18) s2 2 17
  18. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt a. Định nghĩa: r(t) c(t) Hệ thống Tín hiệu vào Tín hiệu ra Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính bất biến lên tục đều cĩ thể mơ tả bởi phương trình vi phân hệ số hằng: dn c()()() t d n 1 c t dc t a a a a c ( t ) 0dtn 1 dt n 1 n 1 dt n dm r()()() t d m 1 r t dr t b b b b r ( t ) (2.19) 0dtm 1 dt m 1 m 1 dt m 18
  19. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt a. Định nghĩa: Trong đĩ các hệ số ai = (0n) và bj= (0m) là thơng số của hệ thống (a0 0; b0 0); n là bậc của hệ thống. Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n m, hệ thống được gọi là khơng hợp thức nếu n < m. chỉ cĩ các hệ thống mới tồn tại trong thực tế. Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) rất khĩ khăn, nhờ vào phép biến đổi Laplace ta khảo sat hệ thống một cách dễ dàng. 19
  20. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt a. Định nghĩa: Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được: n n 1 (a0s a1s an 1s an )C(s) m m 1 (b0s b1s bm 1s bm )R(s) m m 1 C(s) b0s b1s bm 1s bm n n 1 R(s) a0s a1s an 1s an 20
  21. dn c()()() t d n 1 c t dc t a a a a c ( t ) 0dtn 1 dt n 1 n 1 dt n dm r()()() t d m 1 r t dr t b b b b r ( t ) (2.19) 0dtm 1 dt m 1 m 1 dt m n n 1 (a0 s a 1 s an 1 s a n ) C ( s ) m m 1 (b0 s b 1 s bm 1 s b m ) R ( s ) m m 1 C(s) b0s b1s bm 1s bm n n 1 R(s) a0s a1s an 1s an 21
  22. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt a. Định nghĩa: C(s) b sm b sm 1 b s b Đặt: 0 1 m 1 m G(s) n n 1 (2.20) R(s) a0s a1s an 1s an G(s) là hàm truyền của hệ thống Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện ban đầu bằng 0 Hàm truyền khơng phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào bậc và thơng số của hệ thống. Do đĩ ta cĩ thể dùng hàm truyền để mơ tả hệ thống. 22
  23. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh là các bộ điều khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ thống Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện. Cĩ hai loại mạch hiệu chỉnh: mạch hiệu chỉnh thụ động và mạch hiệu chỉnh tích cực. Mạch hiệu chỉnh thụ động cĩ độ lợi 1 Mạch hiệu chỉnh tích cực cĩ độ lợi >1 23
  24. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động Khâu tích phân bậc 1 R vi(t) i(t) C vo(t) Quan hệ dịng điện và điện áp trên tụ C cho ta: dv (t) dv (t) i(t) C c C 0 dt dt 24
  25. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động Khâu tích phân bậc 1 R vi(t) i(t) C vo(t) Theo định luật Kirchoff ta cĩ: vR (t) vC (t) vi (t) dv (t) R.i(t) v (t) v (t) RC 0 v (t) v (t) (2.21) C i dt 0 i 25
  26. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động Khâu tích phân bậc 1 Biểu thức (2.21) chính là phương trình vi phân mơ tả khâu tích phân bậc một. Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace biểu thức (2.21), ta được: Vo 1 RCsVo (s) Vo (s) Vi (s) G(s) Vi RCs 1 26
  27. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động Khâu tích phân bậc 1 Đặt T =RC phương trình trên sẽ trở thành: 1 G(s) (2.22) Ts 1 27
  28. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động Khâu vi phân bậc 1 Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta cĩ: C Ts G(s) (2.23) vi(t) i(t) vo(t) Ts 1 R Với: T = RC 28
  29. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: R1 b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động C Khâu sớm pha vi(t) i(t) vo(t) Chứng minh tương tự như R2 khâu tích phân bậc 1 ta cĩ: Ts 1 G(s) K (2.24) C Ts 1 R R R C K 2 và T 1 2 C R R R R Trong đĩ: 1 2 1 2 R1 R2 và T RC 1 29 R2
  30. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b1. Khâu hiệu chỉnh thụ động R1 Khâu trễ pha vi(t) vo(t) R i(t) 2 Chứng minh tương tự như khâu tích phân bậc 1 ta cĩ: C Ts 1 G(s) K (2.25) C Ts 1 KC 1 và T (R1 R2 )C Trong đĩ: R1 T R C 2 30 R1 R2
  31. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu tỉ lệ P (Proportional) Khâu tỉ lệ cĩ đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào. R2 G(s) KP (2.26) R1 R2 Trong đĩ: vi KP vo R1 31
  32. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral) Khâu tỉ lệ cĩ đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào. C R2 KI G(s) KP (2.27) s R1 vi Trong đĩ: vo R2 1 KP ; KI R1 R1C 32
  33. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral) Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PI là: t v (t) K v (t) K v ()d (2.28) o P i I i 0 33
  34. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative) Khâu vi phân tỉ lệ PD cĩ đặc điểm tín hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào và vi phân của tín hiệu vào. R2 G(s) KP KD.s (2.29) R1 Trong đĩ: C v i v R2 o KP ; KD R2C R1 34
  35. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative) Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PD là: dv (t) v (t) K v (t) K i (2.30) o P i D dt 35
  36. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative) Khâu vi tích phân tỉ lệ PID cĩ đặc điểm tín C R 2 hiệu ra tỉ lệ với tín hiệu vào, vi phân của tín 2 hiệu vào và tích phân của tín hiệu vào. R1 KI C1 G(s) KP KD.s (2.31) vi s vo Trong đĩ: R1C1 R2C2 1 KP ; KD R2C1 ; KI R1C2 R1C236
  37. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt b. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh: b2. Khâu hiệu chỉnh tích cực Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative) Quan hệ trong miền thời gian tín hiệu ra và tín hiệu vào của khâu PID là: t dv (t) v (t) K v (t) K v ()d K i (2.32) o P i I i D 0 dt 37
  38. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Ví dụ tính tốn hàm truyền Động cơ một chiều kích từ độc lập Sơ đồ nguyên lý của động cơ điện một chiều: KT R Lư ư Uư Eư  M1, B, J 38
  39. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Trong đĩ: Lư - điện cảm phần ứng  - tốc độ gĩc Rư - điện trở phần ứng Mt - moment tải Uư - điện áp phần ứng B - hệ số ma sát Eư - sức phản điện động J - moment quán tính 39
  40. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Theo định luật Kirchoff ta cĩ phương trình cân bằng điện áp ở mạch điện phần ứng: di (t) U (t) i (t).R L ư E (t) (2.33) ư ư ư ư dt ư Trong đĩ: Eư(t) - sức phản điện phần ứng Eư(t) = K(t) (2.34) K - là hệ số  - từ thơng kích từ 40
  41. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Áp dụng định luật Newton cho chuyển động quay, ta cĩ phương trình cân bằng moment trên trục động cơ: d(t) M (t) M (t) B(t) J (2.35) d t dt Trong đĩ: Mđ – là moment động cơ : Mđ = Kiư(t) (2.36) 41
  42. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Biến đổi Laplace các phương trình (2.33), (2.34), (2.35), (2.36) ta cĩ: Uư (s) Iư (s).Rư LưsIư (s) Eư (s) (2.37) Eư (s) K(s) (2.38) Mđ (s) Mt (s) B(s) Js(s) (2.39) Mđ (s) KIư (s) (2.40) 42
  43. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Đặt : Lư Tư Là hằng số thời gian điện từ động cơ. Rư J T Là hằng số thời gian điện cơ của động cơ. C B 43
  44. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Ta cĩ thể viết lại (2.37) và (2.39) như sau: Uư (s) - Eư (s) Rư (1 Tus)Iư (s) Uư (s) - Eư (s) Iư (s) (2.41) Rư (1 Tc s) Md (s)- Mt (s) B(1 Tcs)(s) M (s)- M (s) (s) d t (2.42) B(1 Tcs) 44
  45. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.2 Hàm truyền đạt c. Hàm truyền đạt của một số đối tượng điều khiển Động cơ một chiều kích từ độc lập Từ các biểu thức (2.38), (2.40), (2.41), (2.42) ta cĩ sơ đồ cấu trúc của động cơ một chiều như sau: Mt(s) 1 1 Uư(s) Rư Iư(s) Mđ(s) B (s) K 1 Tưs 1 Tcs K 45
  46. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối a. Sơ đồ khối Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử cơ bản trong hệ thống điều khiển. Trong thực tế hệ thống gồm nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau. Một cách đơn giản nhưng hiệu quả rất nhiều trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là dùng sơ đồ khối. Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mơ tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối gồm ba thành phần chính: khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh. 46
  47. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối a. Sơ đồ khối Khối chức năng: tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền. Điểm rẽ nhánh: tại điểm rẽ nhánh các tín hiệu đều bằng nhau. Bộ tổng: tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng các tín hiệu vào. x y x y x y G z z c) a) b) y = xG x = y = z y = x - z a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng 47
  48. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ thống nối tiếp R(s) R2(s) C2(s) C(s) G (s G (s) G (s) R (s) 1 C (s) 2 R (s) n C (s) 1 ) 1 n n Hàm truyền tương đương của hệ thống nối tiếp: C(s) Cn(s) C1(s).Cn(s) Cn(s) G(s) G1(s). R(s) R1(s) R1(s).C1(s) R2(s) Cn(s) C2 (s).Cn(s) Cn(s) G1(s). G1(s). G1(s).G2 (s). R2(s) R2(s).C2 (s) R3(s) n G1(s).G2 (s) Gn (s) Gi (s) (2.44) 48 i 1
  49. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ thống song song R1(s) C1(s) G1(s ) R(s) R2(s) C2(s) C(s) G2(s ) Rn(s) Cn(s) Gn(s ) C(s) C (s) C (s) C (s) G(s) 1 2 n R(s) R(s) C (s) C (s) C (s) n (Tổng đại số) 1 2 n G (s) (2.45) i 49 R1(s) R2(s) Rn (s) i 1
  50. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp một vịng R(s) E(s) C(s) R(s) E(s) C(s) G(s) G(s) Cht(s) Cht(s) H(s) H(s) a) Hồi tiếp âm b) Hồi tiếp dương 50
  51. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp một vịng Hàm truyền hồi tiếp âm: R(s) E(s) C(s) C(s) G(s) Gk (s) Cht(s) R(s) H(s) Ta cĩ: C(s) E(s).G(s) R(s) E(s) Cht (s) (do E(s) R(s) Cht (s)) E(s) C(s).H(s) (do Cht(S) C(S).H(s)) E(s) E(s).G(s).H(s) (do C(s) E(s).G(s)) 51
  52. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp một vịng R(s) E(s) C(s) Hàm truyền hồi tiếp âm: G(s) Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta cĩ: Cht(s) H(s) G(s) G (s) (2.46) k 1 G(s).H(s) Trường hợp đặc biệt khi H(s) = 1 ta cĩ hệ thống hồi tiếp âm đơn vị. Trong trường hợp này (2.46) trở thành: G(s) Gk (s) (2.47) 1 G(s) 52
  53. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp một vịng R(s) E(s) C(s) Hàm truyền hồi tiếp dương: G(s) C(s) G (s) Cht(s) k R(s) H(s) Ta cĩ: C(s) E(s).G(s) R(s) E(s) Cht (s) (do E(s) R(s) Cht (s) ) E(s) C(s).H(s) (do Cht (S) C(S).H(s) ) E(s) E(s).G(s).H(s) (do C(s) E(s).G(s) ) 53
  54. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp một vịng Hàm truyền hồi tiếp dương: R(s) E(s) C(s) G(s) Lập tỷ số giữa C(s) và R(S) ta cĩ: Cht(s) H(s) G(s) G (s) (2.48) k 1 G(s).H(s) 54
  55. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vịng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương với sơ đồ khối để là xuất hiện các dạng kết nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp một vịng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngồi. Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đĩ cĩ quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau. 55
  56. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:  Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau: x1 x3 x1 x3 G(s) G(s) x2 x2 1/G(s) x1 = x2 ; x3 = x1.G(s) x3 = x1.G(s); x = x .(1/G(s)) = x .G(s).(1/G(s)) = x 2 3 1 561
  57. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:  Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước : x1 x3 x1 x3 G(s) G(s) x2 x2 G(s) x3 = x1.G(s); x3 = x1.G(s); x2= x1.G(s) x2 = x3 = x1.G(s) 57
  58. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:  Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau: x x x x 1 G(s) 2 1 G(s) 2 x3 x G(s) 3 x2 = (x1- x3) G(s) x2 = x1.G(s) - x3.G(s) = (x - x ).G(s) 1 3 58
  59. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:  Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước: x x x x 1 G(s) 2 1 G(s) 2 x3 x3 1/G(s) x2 = x1.G(s) - x3 x2 = (x1 - x3.[1/G(s)]).G(s) = x .G(s) - x 1 3 59
  60. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là:  Chuyển vị trí hai bộ tổng: x x x1 x4 1 4 x x x2 x3 3 2 x4 = (x1 - x2) + x3 x4 = (x1 + x3) - x2 60
  61. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Các phép tương đương sơ đồ khối thường dùng là: Tách một bộ tổng thành hai bộ tổng: x3 x3 x x x1 x4 1 4 x x2 2 x4 = x1 - x2 + x3 x4 = (x1 – x2) + x3 61
  62. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Chú ý: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:  Chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng x3 x3 x1 x4 x1 x4 x2 x2 x4 = x1 - x2 x4 = x1 - x2 x3 = x4 = x1 - x2 x3 = x1 62
  63. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối b. Hàm truyền đạt của hệ thống biểu diễn bằng sơ đồ khối Hệ hồi tiếp nhiều vịng Chú ý: Hai cách biến đổi sơ đồ khối sau đây rất hay bị nhầm lẫn là biến đổi tương đương:  Chuyển vị trí hai bộ tổng khi giữa hai bộ tổng đĩ cĩ điểm rẽ nhánh x4 x4 x1 x5 x1 x5 x2 x3 x3 x2 x4 = x1 - x2 x4 = x1 + x3 x5 = (x1 - x2) + x3 x5 = (x1 + x3) - x2 63
  64. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống Tính hàm truyền tương đương của hệ thống G1(s ) R(s) C(s) G2(s 1 2 ) G3(s ) G4(s ) 64
  65. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống Biến đổi tương đương sơ đồ khối như sau: - Chuyển vị trí hai bộ tổng 1 và 2, đặt GA(s) = [G3(s)//G4(s)], ta được sơ đồ khối tương đương: G1(s ) R(s) C(s) G2(s 2 1 ) GA(s) 65
  66. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống - GB= [G1(s) // hàm truyền đơn vị] - GC(s) = vịng hồi tiếp [G2(s), GA(s)] R(s) C(s) GB(s) GC(s) GA(s) G3(s) G4 (s) GB (s) 1 G1(s) G2 (s) G2 (s) GC (s) 1 G2 (s).GA(s) 1 G2 (s).[G3(s) G4 (s)] 66
  67. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối c. Ví dụ tính hàm truyền tương đương của hệ thống R(s) C(s) GB(s) GC(s) - Hàm truyền tương đương của hệ thống: Ght (s) GB (s).GC (s) [1 G1(s)].G2 (s) Ght (s) 1 G2 (s).[G3(s) G4 (s)] 67
  68. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối Nhận xét: Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản và trực quan dùng để tìm hàm truyền tương đương của hệ thống. Khuyết điểm của phương pháp biến đổi sơ đồ khối là khơng mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể cĩ thể nhiều cách biến đổi sơ đồ khác nhau tùy theo trực giác của người giải bài tốn. 68
  69. 2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 2.2.3 Đại số sơ đồ khối Nhận xét: Ngồi ra, khi tính hàm truyền tương đương ta phải thực hiện nhiều phép tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các phép tính này hay bị nhầm lẫn. Do đĩ phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp để tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản. Đối với các hệ thống phức tạp ta cĩ một phương pháp hiệu quả hơn, đĩ là phương pháp sơ đồ dịng tín hiệu sẽ đề cập đến ở mục 2.3 tiếp theo. 69
  70. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason a. Định nghĩa: Để biểu diễn hệ thống tự động, ngồi phương pháp sử dụng sơ đồ khối ta cịn cĩ thể sử dụng phương pháp sơ đồ dịng tín hiệu. So sánh sơ đồ khối và sơ đồ dịng tín hiệu của hệ thống như hình: R(s) C(s) R(s) 1 E(s) G(s) 1 C(s) G(s) -H(s) a) H(s) b) a) Sơ đồ khối b) Sơ đồ dịng tín hiệu 70
  71. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason a. Định nghĩa: Định nghĩa: Sơ đồ dịng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh. - Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống. - Nhánh: là đường nối trực tiếp giữa hai nút, trên mỗi nhánh cĩ mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và cĩ ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ tín hiệu giữa hai nút. - Nút nguồn: là nút chỉ cĩ các nhánh hướng ra. - Nút đích: là nút chỉ cĩ các nhánh hướng vào. 71
  72. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason a. Định nghĩa: Định nghĩa: - Nút hỗn hợp: nút cĩ tất cả các nhánh ra và các nhánh vào. Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của các tín hiệu vào. - Đường tiến: đường gồm các nhánh liên tiếp cĩ cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần. - Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đĩ. 72
  73. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason a. Định nghĩa: Định nghĩa: - Vịng kín: đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp cĩ cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần. - Độ lợi của vịng kín: tích của các hàm truyền của các nhánh trên vịng kín đĩ. 73
  74. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason b. Cơng thức Mason: Hàm truyền tương đương của hệ thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dịng tín hiệu cĩ thể tính theo cơng thức sau: 1 G  k Pk (2.49) k Trong đĩ: Pk - độ lợi của đường tiến thứ k. - định thức của sơ đồ dịng tín hiệu. 1 Li LiLj Li Lj Lm (2.50) i i, j i, j,m 74
  75. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason b. Cơng thức Mason: Li - Tổng độ lợi vịng của các vịng kín cĩ trong i sơ đồ dịng tín hiệu. - Tổng các tích độ lợi vịng của hai vịng khơng Li Lj i, j dính nhau. - Tổng các tích độ lợi vịng của ba vịng LiLj Lm i, j,m khơng dính nhau. k - Định thức con của sơ đồ dịng tín hiệu, k được suy ra từ bằng các bỏ đi các vịng kín cĩ dính tới đường tiến P . k 75
  76. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.1 Sơ đồ dịng tín hiệu và cơng thức Mason b. Cơng thức Mason: Chú ý: - “Khơng dính” = khơng cĩ nút chung nào. - “Dính” = cĩ ít nhất một nút chung. 76
  77. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason Bài ví dụ: Tính hàm truyền tương đương của hệ thống mơ tả bởi sơ đồ dịng tín hiệu như sau: G7 G6 R(s) G1 G2 G3 G4 G5 1 C(s) -H1 -H2 77
  78. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason Giải: G7 G6 R(s) G1 G2 G3 G4 G5 1 C(s) -H1 -H2 - Độ lợi của các đường tiến: P1 = G1.G2.G3.G4.G5 ; P2 = G1.G4.G5 G6; P3= G1.G2.G7 - Độ lợi của các vịng kín: L1 = - G4.H1 ; L2 = - G2.G7.H2 ; L3 = - G6.G4.G5.H2 ; L4 = - G2.G3.G4.G5.H2 78
  79. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason Giải: - Định thức của sơ đồ dịng tín hiệu; = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4) + L1.L2 - Các định thức con: 1 = 1 ; 2 = 1 ; 3 = 1 - L1 Hàm truyền tương đương của hệ thống là: 1 G (P.Δ P.Δ P.Δ ) Δ 1 1 2 2 3 3 G .G .G .G .G G .G .G .G G .G .G (1 G .H ) G 1 2 3 4 5 1 6 4 5 1 2 7 4 1 1 G4H1 G2.G7.H2 G6.G4.G5.H2 G2.G3.G4.G5.H2 G4.H1.G2.G7H2 79
  80. 2.3 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 2.3.2 Tính hàm truyền tương đương dùng cơng thức Mason Trong trường hợp hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối, muốn áp dụng cơng thức Mason, trước tiên ta phải chuyển sơ đồ khối sang sơ đồ dịng tín hiệu. Khi từ sơ đồ khối sang sơ đồ dịng tín hiệu cần chú ý: - Cĩ thể gộp hai bộ tổng liền nhau thành một nút. - Cĩ thể gộp một bộ tổng và một điểm rẽ nhánh liền sau nĩ thành một nút. - Khơng thể gộp một điểm rẽ nhánh và một bộ tổng liền sau nĩ thành một nút 80
  81. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.1 Khái niệm Như ta đã biết, quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống liên tục bất kỳ cĩ thể mơ tả bằng phương trình vi phân bậc n. Nghiên cứu hệ thống dựa trên phương trình vi phân bậc n rất khĩ khăn, do đĩ cần mơ tả tốn học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn Phương pháp hàm truyền chuyển quan hệ phương trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace. 81
  82. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.1 Khái niệm Nghiên cứu hệ thống mơ tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn bằng phương trình vi phân, tuy nhiên hàm truyền cĩ một số khuyết điểm sau: - Chỉ áp dụng được khi điều kiện ban đầu bằng 0. - Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, khơng thể áp dụng mơ tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian. - Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số. 82
  83. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.1 Khái niệm Một phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống tự động là phương pháp khơng gian trạng thái. Phương pháp khơng gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng các đặt n biến trạng thái. Phương pháp khơng gian trạng thái khắc phục được khuyết điểm của phương pháp hàm truyền. 83
  84. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái  Trạng thái Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t t0 ta hồn tồn cĩ thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t t0. Hệ thống bậc n cĩ n biến trạng thái. Các biến trạng thái cĩ thể chọn là biến vật lý hay khơng phải là biến vật lý. Phương pháp mơ tả hệ thống bằng cách sử dụng các biến trạng thái gọi là phương pháp khơng gian trạng thái. 84
  85. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái  Véctơ trạng thái n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi là véctơ trạng thái, ký hiệu: T x x1 x2 xn  (2.51) Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta cĩ thể chuyển phương trình vi phân bậc n mơ tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau: x(t) Ax(t) Br(t) (2.52) c(t) Cx(t) Dr(t) 85
  86. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái  Véctơ trạng thái x(t) Ax(t) Br(t) (2.52) c(t) Cx(t) Dr(t) Trong đĩ : a11 a12  a1n b1 a a  a b A 21 22 2n B 2      an1 an2  ann bn D d1 C c1 c2  cn  86
  87. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái  Véctơ trạng thái Phương trình (2.52) được gọi là phương trình trạng thái của hệ thống. Nếu A là ma trận thường, ta gọi (2.52) là phương trình trạng ở thái thường; nếu A là ma trận chéo, ta gọi (2.52) là hệ phương trình trạng thái ở dạng chính tắc. Đối với hệ thống hợp thức chặt (bậc của tử số hàm truyền nhỏ hơn bậc mẫu số) thì D = 0. 87
  88. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.2 Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái  Véctơ trạng thái Hệ thống mơ tả bởi hệ phương trình trạng thái (2.52) cĩ thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ trạng thái như sau: D r(t) x x c(t) B C A 88
  89. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào Cho hệ thống mơ tả bởi phương trình vi phân: d nc(t) d n 1c(t) dc(t) a a a c(t) b r(t) (2.53) dtn 1 dtn 1 n 1 dt n 0 Để ý rằng trong phương trinh (2.53) hệ số a0 = 1. Nếu a0 1 ta chia hai vế phương trình vi phân cho a0 để được dạng (2.53). 89
  90. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái - Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra: x1(t) c(t) - Biến trạng thái thứ i (i = 2  n) đặt theo quy tắc: biến sau bằng đạo hàm biến trước: xi (t) xi 1(t) Phương pháp đặt biến trạng thái như trên (biến sau bằng đạo hàm của biến trước) gọi là phương pháp tọa độ pha. 90
  91. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Áp dụng cách đặt biến trạng thái như mơ tả ở trên ta cĩ: x1(t) c(t) x2 (t) x1(t) x2 (t) c (t) x3(t) x2 (t) x3(t) c (t)  d n 1c(t) d nc(t)   xn (t) xn 1(t) xn (t) n 1 xn (t) n dt dt 91
  92. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Thay các biến trạng thái vào phương trình (2.53) ta được: xn (t) a1xn (t) an 1x2 (t) anx1(t) b0r(t) 92
  93. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Kết hợp phương trình trên với quan hệ giữa các biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: x1(t) x2(t) x2 (t) x3(t)  (2.54) x (t) x (t) n 1 n xn (t) an x1(t) an 1x2(t) a2xn 1(t) a1xn (t) b0r(t) 93
  94. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Viết lại (2.54) dưới dạng ma trận: x1(t) 0 1 0  0 x1(t) 0 x (t) 0 0 1  0 x (t) 0 2 2        .r(t)  xn 1(t) 0 0 0  1 xn 1(t) 0 xn (t) an an 1 an 2  a1 xn (t) b0 94
  95. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Đáp ứng của hệ thống: x1(t) x (t) 2 c(t) x1(t) 1 0  0 0  xn 1(t) xn (t) 95
  96. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Vậy hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) (2.55) c(t) Cx(t) 96
  97. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Trong đĩ: x1(t) 0 1 0  0 x (t) 0 0 1  0 2 x(t)  A     xn 1(t) 0 0 0  1 xn (t) an an 1 an 2  a1 97
  98. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Trong đĩ: 0 0 B  C 1 0  0 0 0 b0 98
  99. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Ví dụ: Cho hệ thống điều khiển cĩ quan hệ tín hiệu vào - tín hiệu ra mơ tả bằng phương trình vi phân sau: 2c(t) 5c(t) 6c(t) 10c(t) r(t) 99
  100. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải: Chia hai vế phương trình vi phân cho 2, ta được: c(t) 2,5c(t) 3c(t) 5c(t) 0,5r(t) Đặt các biến trạng thái như sau: x1 c(t) ; x2 x1(t) ; x3 x2 (t) 100
  101. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải: Áp dụng cơng thức (2.55), ta cĩ hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống như sau: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) 101
  102. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải: Với: x1(t) 0 1 0 0 1 0 x(t) x (t) A 0 0 1 0 0 1 2 x3(t) a3 a2 a1 5 3 2,5 102
  103. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống khơng cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải: Với: 0 0 C 1 0 0 B 0 0 b0 0,5 103
  104. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào Xét bài tốn xây dựng hệ phương trình trạng thái cho hệ thống: d nc(t) d n 1c(t) dc(t) a a a c(t) dtn 1 dtn 1 n 1 dt n d mr(t) d m 1r(t) dr(t) b b b b r(t) (2.56) 0 dtm 1 dtm 1 m 1 dt m Để cĩ thể áp dụng các cơng thức dưới đây, m phải thỏa mãn điều kiện m = n - 1 (các hệ số b0, b1, cĩ thể bằng 0). 104
  105. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái - Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra: x1(t) c(t) - Biến trạng thái thứ i (i = 2  n) đặt theo quy tắc: xi (t) xi 1(t) i 1r(t) 105
  106. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Với quy tắc đặt biến trạng thái như trên, hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) 106
  107. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái Trong đĩ : 0 1 0  0 1 0 0 1  0  2 A     B  0 0 0  1 n 1 an an 1 an 2  a1 n C 1 0  0 0 107
  108. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Quy tắc đặt biến trạng thái 1 b0 2 b1 a11 Với : 3 b2 a12 a21  n bn 1 a1n 1 an 11 108
  109. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Xét hệ bậc 3 cĩ quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra qua phương trình vi phân sau: d 3c(t) d 2c(t) dc(t) a a a c(t) dtn 1 dtn 1 2 dt 3 d 2r(t) dr(t) b b b r(t) (2.57) 0 dt2 1 dt 2 109
  110. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Đặt các biên trạng thái như sau: x1(t) c(t) (2.58) x2 (t) x1(t) 1r(t) c(t) 1r(t) (2.59) x3(t) x2 (t) 2r(t) c(t) 1r(t) 2r(t) (2.60) 110
  111. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Với cách đặt biến trạng thái như trên ta cĩ: (2.59) c(t) x2 (t) 1r(t) (2.61) (2.60) c(t) x3(t) 1r(t) 2r(t) (2.62) c(t) x3(t) 1r(t) 2r(t) (2.63) 111
  112. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Thay (2.58), (2.61), (2.62) và (2.63) vào phương trình (2.57) ta được: x3(t) 1r(t) 2r(t) a1x3(t) 1r(t) 2r(t) a2x2 (t) 1r(t) a3x1(t) b0r(t) b1r(t) b2r(t) x3(t) a3x1(t) a2x1(t) a1x3(t) (b0 1)r(t) (b1 2 a11)r(t) (b2 a12 a21)r(t) (2.64)112
  113. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Chọn 1, 2 sao cho đạo hàm của tín hiệu vào trong biểu thức (2.64) bị triệt tiêu: b0 1 0 1 b0 b1 2 a11 0 2 b1 a11 Đặt: 3 b2 a12 a21 113
  114. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Thay vào (2.64) ta được: x3(t) a3x1(t) a2x2(t) a1x3(t) 3r(t) (2.65) Kết hợp (2.59), (2.60) và (2.65) ta được hệ phương trình: x1(t) x2 (t) 1r(t) x2 (t) x3(t) 2r(t) x3(t) a3x1(t) a2x2 (t) a1x1(t) 3r(t) 114
  115. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Viết lại dưới dạng ma trận: x1(t) 0 1 0 x1(t) 1 x (t) 0 0 1 x (t)  .r(t) 2 2 2 x3(t) a3 a2 a1 x3(t) 3 115
  116. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Trong đĩ: 1 b0 2 b1 a11 3 b2 a12 a21 116
  117. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Sau đây ta chứng minh các kết quả trên cho hệ bậc 3, trường hợp hệ bậc n sẽ suy ra tương tự Đáp ứng của hệ thống: x1(t) c(t) x (t) 1 0 0 x (t) 1   2 x3(t) 117
  118. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Ví dụ áp dụng: Thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống cĩ quan hệ tín hiệu vào và tín hiệu ra qua phương trình vi phân sau: c(t) 5c(t) 6c(t) 10c(t) 10r(t) 20r(t) 118
  119. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải : Đặt biến trạng thái như sau: x1(t) c(t) x2 (t) x1(t) 1r(t) x3(t) x2 (t) 2r(t) 119
  120. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải : Hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x1(t) 0 1 0 x1(t) 1 x (t) 0 0 1 x (t)  .r(t) 2 2 2 x3(t) a3 a2 a1 x3(t) 3 120
  121. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải : Trong đĩ: 1 b0 0 2 b1 a11 10 5 0 10 3 b2 a12 a21 20 5 10 6 0 30 121
  122. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải : Thay các thơng số của hệ vào phương trình trạng thái, ta được: x1(t) 0 1 0 x1(t) 0 x (t) 0 0 1 x (t) 10 .r(t) 2 2 x3(t) 10 6 5 x3(t) 30 122
  123. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.3 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ phương trình vi phân  Vế phải của phương trình vi phân mơ tả hệ thống cĩ chứa đạo hàm của tín hiệu vào • Giải : Đáp ứng của hệ thống: x1(t) c(t) x (t) 1 0 0 x (t) 1   2 x3(t) 123
  124. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Nếu hệ phương trình cho dưới dạng hàm truyền, ta cĩ thể biến đổi Laplace ngược để chuyển quan hệ hàm truyền thành phương trình vi phân, sau đĩ áp dụng phương pháp thành lập hệ phương trình trạng thái như trình bày ở mục 2.4.3. 124
  125. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Ví dụ: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống cĩ sơ đồ khối như sau: R(s) 10 C(s) s(s 3) 1 s 2 125
  126. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Hàm truyền của hệ thống kín: 10 G() s s.( s 1 ) G() s k 1 H( s ). G ( s ) 1 10 1 s 2 s.( s 1 ) 10.( s 2 ) s.( s 3 ).( s 2 ) 10 126
  127. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: C(s) 10.(s 2) 10s 20 R(s) s.(s 3).(s 2) 10 s3 5s2 6s 10 (s3 5s2 6s 10).C(s) (10s 20).R(s) c(t) 5c(t) 6c(t) 10c(t) 10r(t) 20r(t) 127
  128. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Đặt biến trạng thái như sau: x1(t) c(t) x2 (t) x1(t) 1r(t) x3(t) x2 (t) 2r(t) 128
  129. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x1(t) 0 1 0 x1(t) 1 x (t) 0 0 1 x (t)  .r(t) 2 2 2 x3(t) a3 a2 a1 x3(t) 3 129
  130. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Trong đĩ: 1 b0 0 2 b1 a1b0 10 5 0 10 3 b2 a1b1 a2b0 20 5 10 6 0 30 130
  131. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Thay các thơng số của hệ vào phương trình trạng thái, ta được: x1(t) 0 1 0 x1(t) 0 x (t) 0 0 1 x (t) 10 .r(t) 2 2 x3(t) 10 6 5 x3(t) 30 131
  132. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối A- Biến đổi hàm truyền thành phương trình vi phân Giải: Đáp ứng của hệ thống: x1(t) c(t) x (t) 1 0 0 x (t) 1   2 x3(t) 132
  133. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Xét hệ thống bậc n cĩ hàm truyền là: m m 1 C(s) b0s b1s bm 1s bm n n 1 (2.66) R(s) s a1s an 1s an Để thuận lợi cho việc xây dựng hệ phương trình biến trạng thái, trong biểu thức (2.66) hệ số a0 =1 (nếu a0 1, ta chia tử số và mẫu số cho a0) và m = n -1 (các hệ số b0, b1 cĩ thể bằng 0). 133
  134. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Đặt biến phụ Y(s) sao cho: m m 1 C(s) (b0s b1s bm 1s bm ).Y(s) (2.67) n n 1 R(s) (s a1s an 1s an ).Y(s) (2.68) Biến đổi Laplace ngược hai vế (2.67) và (2.68) ta được: dm y()()() t d m 1 y t dy t c( t ) b b b b y ( t ) (2.69) 0dtm 1 dt m 1 m 1 dt m dn y()()() t d n 1 y t dy t r( t ) (n a1 n 1 a n 1 a n y ( t ) (2.70) dt dt dt 134
  135. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Xét phương trình (2.70), ta đặt các biến trạng thái nhứ sau: x1(t) y(t) x (t) x (t) y(t) 2 1 x (t) x (t) x (t) y(t) (2.71) 3 2 1  d n 1y(t) xn (t) xn 1(t) dtn 1 135
  136. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phương trình vi phân (2.69) ta được: c(t) b0xn (t) b1xn 1(t) bm 1x2 (t) bmx1(t) Viết dưới dạng véc tơ: c(t) C.x(t) (2.74) Với: C bm bm 1  b1 b0  (2.75) 136
  137. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy ra được hệ phương trịnh trạng thái: x(t) Ax(t) Br(t) (2.72) Trong đĩ: (2.73) x1 (t) 0 1 0  0 1 x (t) 0 0 1  0  2 2 x(t)  ; A     ; B  0 0 0  1  xn 1 (t) n 1 a a a  a  xn (t) n n 1 n 2 1 137 n
  138. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Tĩm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phương pháp tọa độ pha, hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và (2.75) 138
  139. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Ví dụ ứng dụng: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống cĩ sơ đồ khối dưới đây bằng phương pháp tọa độ pha: R(s) 10 C(s) s(s 3) 1 s 2 139
  140. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Giải: Hàm truyền của hệ thống là: C(s) 10s 20 R(s) s3 5s2 6s 10 Đặt biến phụ Y(s) thỏa: C(s) (10s 20).Y(s) R(s) (s3 5s2 6s 10).Y(s) 140
  141. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Giải: Suy ra: c(t) 0y(t) 10y(t) 20y(t) r(t) y(t) 5y(t) 6y(t) 10y(t) Đặt các biến trạng thái: x1(t) y(t) x2 (t) x1(t) y(t) x3(t) x2 (t) y(t) 141
  142. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Giải: Áp dụng các cơng thức từ (2.72) đến (2.75), ta cĩ hệ phương trình mơ tả trạng thái hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) 142
  143. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối B- Phương pháp tọa độ pha Giải: Trong đĩ: 0 1 0 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 1 B 0 a3 a2 a1 10 6 5 1 C b2 b1 b0  20 10 0 143
  144. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Nhận xét: Mặt dù ví dụ cho ở sơ đồ khối mục A và mục B là như nhau nhưng hệ phương trình trạng thái thành lập được ở hai ví dụ trên lại khác nhau. Điều này khơng cĩ gì vơ lý vì là bản chất các biến trạng thái là các biến phụ được đặt ra nhằm chuyển phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình vi phân bậc nhất, do cách đặt biến trạng thái ở hai ví dụ trên là khác nhau nên kết quả hệ phương trình biến trạng thái bắt buộc phải khác nhau. 144
  145. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta cĩ thể đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối. Ví dụ 1: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống cĩ sơ đồ khối như sau: R(s) 10 C(s) s(s 1)( s 3) 145
  146. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái được đặt như sau: R(s) 1 X3(s) 1 X2(s) 10 X1(s) C(s) s (s 1) (s 3) 146
  147. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta cĩ các quan hệ sau: 10 X (s) X (s) 1 s 3 2 sX1(s) 3X1(s) 10X2 (s) x1(t) 3x1(t) 10x2(t) (2.76) 147
  148. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: 1 X (s) X (s) 2 s 1 3 sX2 (s) X2 (s) X3(s) x2 (t) x2 (t) x3(t) (2.77) 148
  149. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: 1 X (s) R(s) C(s) 3 s sX3(s) R(s) X1(s) x3(t) x1(t) r(t) (2.78) 149
  150. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta được hệ phương trình trạng thái: x1(t) 3 10 0 x1(t) 0 x (t) 0 1 1 x (t) 0 .r(t) (2.79) 2 2 x3(t) 1 0 0 x3(t) 1 150
  151. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Đáp ứng của hệ thống: x1(t) c(t) x (t) 1 0 0 . x (t) 1   2 x3(t) 151
  152. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống cĩ sơ đồ khối như sau: R(s) E(s) 3 X2(s) s 2 X1(s) C(s) s 4 s 5 X3(s) s 1 s 6 152
  153. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Với các biến trạng thái như sơ đồ khối, ta cĩ các quan hệ sau: s 2 X (s) X (s) 1 s 5 2 sX1(s) 5X1(s) 2X2 (s) sX2 (s) (2.80) 153
  154. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: 3 3 X (s) E (s) R(s) X (s) 2 s 4 2 s 4 3 sX2 (s) 4X2 (s) 3X3(s) 3R(s) (2.81) s 1 X (s) X (s) 3 s 6 1 sX3(s) X1(s) 6X3(s) sX1(s) (2.82) 154
  155. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta được: sX1(s) 5X1(s) 2X2 (s) 4X2 (s) 3X3(s) 3R(s) sX1(s) 5X1(s) 2X2 (s) 3X3(s) 3R(s) (2.83) 155
  156. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được: sX3(s) X1(s) 6X3(s) 5X1(s) 2X2 (s) 3X3(s) 3R(s) sX3(s) 4X1(s) 2X2 (s) 9X3(s) 3R(s) (2.84) 156
  157. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phương trình trạng thái: x1(t) 5x1(t) 2x2 (t) 3x3(t) 3r(t) x2 (t) 4x2 (t) 3x3(t) 3r(t) x3(t) 4x1(t) 2x2 (t) 9x3(t) 3r(t) 157
  158. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phương trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Giải: Viết lại dưới dạng ma trận: x(t) Ax(t) Br(t) Trong đĩ: x (t) 5 2 3 3 1 x(t) x (t) ; A 0 4 3 ; B 3 2 4 2 9 3 x3 (t) Đáp ứng của hệ: c(t) x1(t) Cx(t) C 1 0 0 158
  159. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Để thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Thành lập biến phương trình trạng thái ở dạng thường: x(t) Ax(t) Br(t) (2.85) c(t) Cx(t) 2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái: x(t) My(t) 159
  160. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Thay x ( t ) My ( t ) vào phương trình (2.85) My(t) AMy(t) Br(t) c(t) CMy(t) y(t) M 1AMy(t) M 1Br(t) c(t) CMy(t) y(t) Ay(t) Br(t) c(t) Cy(t) 160
  161. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Trong đĩ: A M 1AM B M 1B C CM Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương trình (2.85). Để (2.86) cĩ dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận M-1AM chỉ cĩ đường chéo khác 0. 161
  162. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M được chọn như sau: 1 1 1  1      1 2 3 n 2 2 2 2 M 1 2 3  n     n 1 n 1 n 1 n 1 1 2 3  n Trong đĩ I, (i = 0  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là nghiệm của phương trình: det(I –A) = 0 162
  163. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Ví dụ: Cho hệ thống cĩ hàm truyền: C(s) 3s 1 G(s) R(s) s2 3s 2 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái chính tắc mơ tả hệ thống. 163
  164. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Áp dụng phương pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) Trong đĩ: 0 1 0 A B C 1 3 2 3 1 164
  165. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình: det(I A) 0 1 0 0 1 det  0 0 1 2 3  1 det 0 2  3 165
  166. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : 1 1 2 3 2 0 2 2 Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là: 1 1 1 1 M 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 M 1 ( 2) ( 1) 1 1 1 1 1 166
  167. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Với cách biến đổi trên, ta được hệ phương trình biến trạng thái cĩ dạng: y(t) Ay(t) Br(t) c(t) Cy(t) 167
  168. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trong đĩ: 1 2 1 0 1 1 1 1 0 A M AM 1 1 2 3 1 2 0 2 1 2 1 0 1 B M B 1 1 1 1 2 1 C CM 1 3  1 2 1 1 168
  169. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Vậy hệ phương trình biến trạng thái chính tắc mơ tả hệ thống là: y1(t) 1 0 y1(t) 1 .r(t) y2 (t) 0 2 y2(t) 1 y1(t) c(t)  1 2 y2 (t) 169
  170. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống mơ tả bởi hpt trạng thái: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) Biến đổi Laplace hai vế phương trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0), ta được: sX(s) AX(s) BR(s) (2.88) C(s) CX(s) (2.89) 170
  171. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Từ (2.88) suy ra: (sI A)X(s) BR(s) X(s) (sI A) 1 BR(s) CX(s) C(sI A) 1 BR(s) Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta được C(s) C(sI A) 1 BR(s) C(s) G(s) C(sI A) 1 B (2.90) R(s) 171
  172. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Cơng thức (2.90) cho phép ta tính được hàm truyền khi biết hệ phương trình trạng thái: Ví dụ: cho hệ thống cĩ hệ phương trình biến trạng thái là: x1(t) 0 1 x1(t) 0 .r(t) x2(t) 2 3 x2 (t) 1 x1(t) c(t) 1 3 x2 (t) Tính hàm truyền của hệ thống? 172
  173. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Giải: Hàm truyền của hệ thống là: G(s) C(sI A) 1 B Ta cĩ: 1 0 0 1 s 1 (sI A) s 0 1 2 3 2 s 3 1 1 s 1 1 s 3 1 (sI A) 2 2 s 3 s 3s 2 2 s 173
  174. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái Giải: Ta cĩ: 1 1 s 3 1 0 1 1 (sI A) B 2 2 s 3s 2 2 s 1 s 3s 2 s 1 1 1 3s 1 C(sI A) B 1 3 s2 3s 2 s s2 3s 2 3s 1 Vậy ta cĩ hàm truyền: G(s) s2 3s 2 174
  175. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống cĩ phương trình trạng thái như sau: x(t) Ax(t) Br(t) (2.91) c(t) Cx(t) (2.92) Muốn tính được đáp ứng của hệ thống khi biết tin hiệu vào r(t), trước tiên ta phải tính được nhiệm x(t) của phương trình (2.91). 175
  176. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.91) ta được: sX(s) x(0 ) AX(s) BR(s) (sI A)X(s) x(0 ) BR(s) X(s) (sI A) 1x(0 ) (sI A) 1 BR(s) (2.93) Đặt: (s) (sI A)-1 , thay vào phương trình (2.93) ta được: X(s) (s)x(0 ) (s)BR(s) (2.94) 176
  177. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94), ta được: t x(t) (t)x(0 ) (t )Br()d (2.95) 0 Trong đĩ: (t) L 1[(s)] L 1[(sI A) 1] (2.96) Ma trận (t) được gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính (t) theo (2.96) tương đối khĩ khăn, nhất là đối với các hệ thống bậc ba trở lên, do trước tiên phải tính ma trận nghịch đảo, sau đĩ thực hiện phép biến đổi Laplace ngược. Cơng thức dẫn ra dưới đây sẽ cho việc tính tốn (t) dễ dàng hơn. 177
  178. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì: x(t) (t)x(0 ) (2.97) Mặt khác, khi r(t) = 0 phương trình (2.91) trở thành: x(t) Ax(t) (2.98) Nhiệm của (2.98) là: x(t) eAt x(0 ) (2.99) 178
  179. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái So sánh (297) và (2.99) suy ra: (t) eAt (2.100) Theo định lý Haley – Hamilton, ta cĩ: At 2 n 1 (t) e C0I C1[A] C2[A] Cn 1[A] (2.101) Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của phương trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính được các hệ số Ci (i = 0 (n-1)). 179
  180. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Tĩm lại: • Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta thực hiện các bước sau đây: 1- Tính ma trận quá độ (t) theo cơng thức (2.96) hoặc (2.101). 2- Tính nghiệm của phương trình biến trạng thái theo cơng thức (2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì: t x(t) (t )Br()d 0 180
  181. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Tĩm lại: • Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phương pháp biến trạng thái, trước tiên tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái, sau đĩ tính: c(t) Cx(t) 181
  182. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Ví dụ: Cho hệ thống cĩ hàm truyền là: s G(s) s2 3s 2 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mơ tả hệ thống trên 2- Tìm ma trận quá độ 3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu bằng 0). 182
  183. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái C(s) s Theo đề bài ta cĩ: R(s) s2 3s 2 (s2 3s 2)C(s) sR(s) c(t) 3c(t) 2c(t) r(t) Đặt biến trạng thái như sau: x1(t) c(t) x2 (t) x1(t) r(t) 183
  184. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái Hệ phương trình trạng thái mơ tả hệ thống là: x(t) Ax(t) Br(t) c(t) Cx(t) Trong đĩ: 0 1 0 1 1 1 A B a2 a1 2 3 2 3 184
  185. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái do 1 = b0 = 1 2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3 C = [ 1 0 ] 185
  186. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Cách 1: (t) L 1[(s)] L 1[(sI A) 1] Ta cĩ: 1 0 0 1 s 1 (sI A) s 0 1 2 3 2 s 3 1 1 s 3 1 1 s 3 1 (s) (sI A) 2 s 3s 2 2 s (s 1)(s 2) 2 s 186
  187. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ s 3 1  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) (t) 1[(s)] 1 L L 2 s  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)  1 s 3  1 1  L  L  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)   1 2  1 s  L  L  (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)  187
  188. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ 1 2 1  1 1 1  L  L  (s 1) (s 2) (s 1) (s 2) L 1[(s)]   1 2 2  1 1 2  L  L  (s 1) (s 2) (s 1) (s 2) (2e t e 2t ) (e t e 2t ) (t) t 2t t 2t ( 2e 2e ) ( e 2e ) 188
  189. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Cách 2: At Φ(t) e C0I C1A (2.102) Các trị riêng của A là nghiệm của phương trình det(sI - A) = 0 1 0 0 1 det  0 0 1 2 3 1 1 2 3 2 0  2 2 189
  190. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay A = i vào cơng thức (2.102), ta được: 1t t e C0 C11 e C C 0 1 e2t C C  2t 0 1 2 e C0 2C1 t 2t C0 2e e t 2t C1 e e 190
  191. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay C0 và C1 vào cơng thức (2.102), ta được: t 2t 1 0 t 2t 0 1 (t) (2e e ) (e e ) 0 1 2 3 (2e t e 2t ) (e t e 2t ) (t) t 2t t 2t ( 2e 2e ( e 2e ) Ta thấy ma trận quá độ tính theo hai cách đều cho kết quả giống nhau 191
  192. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống Trước tiên ta tìm nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phương trình trạng thái là: t x(t) (t )Br()d 0 t (2e (t  ) e 2(t  ) ) (e (t  ) e 2(t  ) ) 1 d (t  ) 2(t  ) (t  ) 2(t  ) 0 ( 2e 2e ( e 2e ) 3 192
  193. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống t (e (t  ) 2e 2(t  ) ) x(t) d (t  ) 2(t  ) 0 (e 4e ) t (t  ) 2(t  ) (e 2e )d 0 t (t  ) 2(t  ) (e 4e )d 0 193
  194. 2.4 TĨM TẮT Chương này đã trình bày hai phương pháp mơ tả tốn học hệ thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp khơng gian trạng thái. Tùy theo hệ thống và bài tốn điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn bài tốn mơ tả tốn học phù hợp. Nếu bài tốn là bài tốn phân tích, nếu hệ thống cĩ một ngõ vào, một ngõ ra và nếu quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra cĩ thể biểu diễn bằng một phương trình vi phân hệ số hằng thì cĩ thể chọn phương pháp hàm truyền đạt hay phương pháp khơng gian trạng thái đều được. 194
  195. 2.4 PHƯƠNG PHÁP KHƠNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống t 2t x1(t) e e x(t) t 2t x2 (t) 1 e 2e Đáp ứng của hệ thống là: x1(t) t 2t c(t) 1 0 x1(t) e e x2(t) 195
  196. 2.4 TĨM TẮT Nếu hệ thống khảo sát là hệ biến đổi theo thời gian hay hệ phi tuyến, hệ đa biến thì phương pháp khơng gian trạng thái nên được sử dụng. Nếu bài tốn là bài tốn thiết kế hệ thống điều khiển tối ưu thì bất kể hệ thống loại gì ta phải chọn phương pháp khơng gian trạng thái. 196