›
›

Bài giảng Giải tích 4 - Chương I: Tích phân bội - Nguyễn Thị Phương Lan

pdf 38 trang ngocly 2540
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 4 - Chương I: Tích phân bội - Nguyễn Thị Phương Lan", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_4_chuong_i_tich_phan_boi_nguyen_thi_phuo.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 4 - Chương I: Tích phân bội - Nguyễn Thị Phương Lan

  1. Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Khoa Toán Hệ : Tổng hợp Khóa : 33 Năm học : 2011-2012 Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan 1
  2. Chương I: TÍCH PHÂN BỘI $1 TÍCH PHÂN 2-LỚP 1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó. Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó Þ$=P+ sup{SQ( )}. {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó Þ$=P- inf{S(Q')}. P+-,P lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D. Ta có "Q,Q':S(Q) £P+-££PS(Q'). 1. Định nghĩa. Nếu P+-==PSD( )thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau: a) D đo được Û">ε 0 bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác QÌÉD,Q'D sao cho S(Q') - ε 0 bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho SQ( ) < ε . 2
  3. Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được Û biên ¶Dcủa nó có diện tích – không. Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong có diện tích - không. a) y = f(x), xÎ[a;b], trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), yÎ[c;d], trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), tÎ[a;b], trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện x'22(t) +y'(t) ¹0,"Ît[a;b]. Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là miền đo được. 4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T Ì 3 dựa R vào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), (x,yD)Î trong đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được. 1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D. d(D) = supdist(M,M') M,M'DÎ Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được D1,D2n, ,D được gọi là một phép phân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: n a) D=Dii,DÌD,"=i1,n. Ui1= b) Với "¹ij,Dijvà D không có điểm trong chung. Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung. 1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện một phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung D1,D2n, ,D . Gọi DDi là diện tích của mỗi miền con Di (i=1,n), dD( i )là đường kính của Di ,d(π ) = maxdD( i )là đường kính phân hoạch. Trong 1££in mỗi miền con Di chọn một cách tùy ý điểm N,i(ξηii) . Lập tổng tích phân: nn σπ =ååf(Ni)DDi=Df(ξηi,Dii). i==1i1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn N,i(ξηii) . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I= lim σ π d0()π ® 3
  4. mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn N,i(ξηii) thì I được gọi là tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là òò f(x,y)dxdy . D Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D. Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần để nó khả tích. 1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung D1,D2n, ,D . Đặt nn n s(ππ) =ååmiDDi;S( ) =DMDii và ω(π) =S(π) -sD(πω) =Då ii i==1i1 i1= trong đó mii=inff(x,y) ;M==supf(x,y),i1,n (x,yD)Î i (x,yD)Î i ω i=Mii-=m,i1,n và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong miền Di . Các tổng s(ππ),S( ) lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của f(x,y) ứng với phân hoạch π . Tập hợp các tổng dưới {s(π )} và tổng trên {S(π )} Darboux là các tập khác rỗng và bị chặn trên và dưới. Định nghĩa. Đại lượng I* =sups{ (π )}được gọi là tích phân dưới Darboux. Đại lượng I* =infS{ (π )}được gọi là tích phân trên Darboux. * Định lý. Nếu I* ==II thì f(x,y) khả tích trong miền D. 1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích. Định lý 1. Giả sử D Ì 2 là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị R chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu n limω(πω)=limiiD=D0. dππ®®0d0å () ()i1= Chứng minh. * (Þ)Vì f(x,y) khả tích nên I* ==IIÛ ">ε 0 bé tùy ý đều $δπ>"0: mà d(πδ) - (tính chất của infimum và supremum) 2 2 Vậy ω(π) =S(π) -s(π) <εÞ=lim0ωπ( ) . d0()π ® 4
  5. * (Ü)Giả sử có lim0ωπ( ) = . Khi đó từ các bất đẳng thức s(π) ££I* I£"S,(ππ) d0(π )® * mà d(πδ) 0,0$δ=>δε( ) sao cho trong miền con bất kỳ của D ε có đường kính bé hơn δ thì dao độ ω 0bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên $K>£0:f(x,y)K, "Î(x,yD) . Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C) ε bởi hình đa giác Q có diện tích SQ( ) 0 đủ bé sao cho với mỗi miền con DDi Ì ° có đường kính dD( i ) < δ thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là ε ω i< ,SD(°) là diện tích của D° . 2SD(°) Xét phân hoạch π sao cho DQ1 º , các miền con D2,D3n, DDÌ ° có đường kính dD( i ) < δ , i= 2,n. Khi đó nnε ω(π)=ωω1DD1+ååiDDi<(M1-m1i)(SQD)+D i==2i22SD(°) 5
  6. εε <2K+=SD(°) ε. 4K 2SD(°) Vậy f(x,y) khả tích trong miền D. W Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân I=òò xydxdy,D={(x,y):0£x£1,0££y1}. D 1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định). Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân. 1. òò dxdy=SD( ), trong đó S(D) là diện tích miền D. D 2. òòëûéùαf(x,y)±βg(x,y)dxdy=αòòf(x,y)dxdy±=βòò g(x,y)dxdy;αβ,const . DDD 3. Giả sử D1ÌD,D2ÌÈD, D = D1D2;D12,D không có điểm trong chung, f(x,y) khả tích trong các miền D12,D khi đó f(x,y) khả tích trong D và òòf(x,y)dxdy=+òòf(x,y)dxdyòò f(x,y)dxdy . DDD12 4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì f(x,y)cũng khả tích trong D và òòf(x,y)dxdy£òò f(x,y)dxdy. DD 5. Nếu f(x,y)³0,"(x,y)ÎDÞ³òò f(x,y)dxdy0. D Nếu f(x,y)£g(x,y),"(x,y)ÎDÞ£òòf(x,y)dxdyòò g(x,y)dxdy . DD 6. (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục trong D thì $(ξ,η)Î=D:òò f(x,y)dxdyf(ξη,).SD( ). D $2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP 2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp. bddb 1. òdxòf(x,y)dy()12.òòdyf(x,y)dx2() acca bdy22(x) xy() 3. òdxòf(x,y)dy()34.òòdyf(x,y)dx4() ay11()xcxy() 6
  7. trong đó các hàm y12(x),yx( ) liên tục trên [a;b], các hàm x12(y),xy( ) liên tục trên [c;d]. Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại: - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={(x,y):a£x£b,c££yd} thì các tích bddb phân (1) và (2) tồn tại và òdxòf(x,y)dy= òòdyf(x,y)dx . acca - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={(x,y):a£x£b,y12(x) ££yyx( )} thì tích phân (3) tồn tại. - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={(x,y):c£y£d,x12(y) ££xxy( )} thì tích phân (4) tồn tại. 2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý) Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={(x,y):a£x£b,y12(x) ££yyx( )} và nếu các hàm yx,yxliên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân fx,ydxdy và 12( ) ( ) òò ( ) D b yx2 ( ) òòf(x,y)dxdy= òòdxf(x,y)dy . Dayx1() Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau. b yx2 ( ) Bổ đề. Nếu m£f(x,y) £M,"(x,y)ÎDthìm.S(D) ££òòdxf(x,y)dyM.SD( ), ayx1() trong đó S(D) là diện tích của D. Chứng minh Định lý1. b yx2 ( ) Đặt I= òòdxf(x,y)dy , I tồn tại. ayx1() Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân òò f(x,y)dxdy cũng tồn tại. Ta cần D chứng minh I = òò f(x,y)dxdy . D Chọn phân hoạch π xác định bởi các phương trình: x=x0,x=x1, ,x=xn(a=x0<x1< <xn=b)vày=ϕ0(x),y==ϕϕ1n(x), ,yx( ) 1 trong đó ϕϕ()x=y()x,()x=y()x+-éùy()xy()x, , 0111n ëû21 n ϕ ()x=y()x+éùy()x-=y()xyx(). n1n ëû212 ϕ x by22(x) nxxkkyx( ) nn j( ) Xét I=òdxòf(x,y)dy==åòdxòf(x,y)dyåå òòdxf(x,y)dy . k=1k==1j1 ay1()xxk-1y1()xxxk 1ϕ j1() 7
  8. Vì f(x,y) liên tục trong các miền con Dkj={(x,y) :xk 1£x£xk,ϕϕj1j(x) ££yx( )} nên nó đạt giá trị lớn nhất Mkj và bé nhất mkj trong miền đó Þmkj£f(x,y) £Mkj,"Î(x,yD) kj . Từ bổ đề xk ϕ j(x) ÞmDD£dxfx,ydy£MDDD,(Dlà diện tích của D). kjkjòò() kjkjkj kj xxk 1ϕ j1() Vậy nnnn ååmkjDDkj£I£ååMkjDDkj Ûs(ππ) ££IS( ). (*) k=1j=1k==1j1 Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên lims(ππ) ==limS( ) f(x,y). d(ππ)®®0d0() òò D Vậy từ (*) ta có b yx2 ( ) I==òdxòf(x,y)dyòò f(x,y)dxdy . W ay1()xD Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có 1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={(x,y):c£y£d,x12(y) ££xxy( )} và nếu các hàm x12(y),xy( ) liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân òò f(x,y)dxdy và D d xy2 ( ) òòf(x,y)dxdy= òòdyf(x,y)dx . Dcxy1() 2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện của định lý. 3. Nếu D là hình chữ nhật D={(x,y):a£x£b,c££yd} và hàm f(x,y) liên tục trong D thì bddb òòf(x,y)dxdy==òdxòf(x,y)dyòòdyf(x,y)dx . Dacca Đặc biệt nếu f(x,y) = f12(x).fy( ) và D là hình chữ nhật thì bd fx,ydxdy= fxdx.fydy. òò() òò12() () Dac 2.1.3 Các ví dụ. Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I = òò f(x,y)dxdy về tích phân lặp theo các thứ tự khác D nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1). 8
  9. 1 b) D giới hạn bởi: x=2,y==x,y . x Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau : 24x- 2 0 y2 a) I= òòdxf(x,y)dy , b) I=òòdyf(x,y)dx . 10 -1 2y1 Ví dụ 3. Tính tích phân sau: òò (x22+ y)dxdy , D giới hạn bởi: D y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3. 2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp. 2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp. Giả sử DÌ Oxy là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = òò f(x,y)dxdy , trong đó f(x,y) liên tục trong D. D Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), (u,vD)Î * (5) thỏa mãn các điều kiện sau : 1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D* Ì O'uv . 2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền D* lên miền D. 3. Định thức hàm Jacobi D(x,y) x'uuy' J==¹0,"Î(u,vD) * (có thể trừ một số điểm). D(u,v) x'vvy' Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp òòf(x,y)dxdy=òò féùëûx(u,v),y(u,v) Jdudv . (6) D D* Ví dụ. Tính các tích phân a) òò (2x+ 3y)dxdy , D giới hạn bởi: D y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3. xy- b) òò exy+ dxdy,D:x³³0,y0,x+£y1. D 2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực. Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực (r,ϕ ) là x=rcosϕ,y=rsinϕ,r³0,02££ϕπ. Nếu r>0,02£<ϕπ thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có D(x,y) x'rry' cosϕϕsin J===r¹0,"Î(r,Dϕ) * (trừ tại gốc O(0,0)). D(r,ϕ) x'ϕϕy' -rsinϕϕrcos 9
  10. Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực òòf(x,y)dxdy=òò f(rcosϕ,rsinϕϕ)rdrd (7) D D* Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ. - Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 02££ϕπ. - Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức xy22+. Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp: 11x-2 I=òòdxf(x,y)dy. 01x- Ví dụ 2. Tính các tích phân : dxdy a) ,D:1£x22+y£4,x³³0,y0, òò 22 D1++xy b) òò (x2+y2)dxdy,D:x22+£y2x . D c) òò x2+y2dxdy,D:x2+y2³2y,x22+y£1,x³³0,y0. D 2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng. xy22 - Trong trường hợp D là hình elip +£1, vành elip hoặc một phần của ab22 hình elip, vành elip có thể đổi biến số x==arcosϕϕ,ybrsin . - Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số x=a+rcosϕϕ,y=+brsin . Ví dụ 4. Tính tích phân: x2y2xy22 1 dxdy,D:+£1,x³0,y³>0;a,b0. òò 2222 D abab $3 TÍCH PHÂN 3-LỚP 3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được TÌ3. Thực hiện một phép phân hoạch πchia T thành n miền R con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung T1,T2n, ,T . Gọi DTi là thể tích của mỗi miền con Tii=1,n , dT(i)là đường kính của Ti, d(π)=maxdT(i) là ( ) 1££in đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con Ti chọn một cách tùy ý điểm Ni(xi,yii,z ). Lập tổng tích phân 10
  11. nn σπ=ååf(Ni)DTi=Df(xi,yi,zTii) . i==1i1 Ta thấy σπ phụ thuộc vào πvà các điểm chọn Ni(xi,yii,z ). Định nghĩa. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I=lim σπ d0()π® mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn Ni(xi,yii,z ) thì ta nói I là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký hiệu là òòò f(x,y,z)dxdydz . T Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T. Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân 2-lớp. 3.2 Cách tính tích phân 3-lớp. Tương tự như tích phân 2-lớp, phương pháp cơ bản để tính tích phân 3-lớp là đưa tích phân 3-lớp về tích phân lặp và tính liên tiếp 3 tích phân đơn. 3.2.1 Tích phân 3-lớp trong hệ Đề các. Giả sử TÌ3 là miền đóng, bị chặn và đo được. R Xét tích phân I = òòò f(x,y,z)dxdydz , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T. T Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,y). Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt z==z12(x,y),zz(x,y) trong đó z12(x,y)£z(x,y,) "Î(x,y)D(x,y) và là các hàm số liên tục trong D(x,y) thì z2(x,y) I=òòòdxdyf(x,y,z)dz . (1) D(x,y) z1(x,y) - Nếu D(x,y)={(x,y):a£x£b,y12(x)££yyx()} thì từ (1) b y22(x)z(x,y) Þ=Iòdxòòdyf(x,y,z)dz. ay11()xz(x,y) - Nếu D(x,y)={(x,y):c£y£d,x12(y)££xxy()} thì từ (1) d x22(y)z(x,y) Þ=Iòdyòòdxf(x,y,z)dz. cx11()yz(x,y) Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể xét đến hình chiếu của T lên các mặt phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau. Đặc biệt nếu T là hình hộp chữ nhật T={(x,y,z):a£x£b,c£y£d,ezf££} bdf thì I = òdxòòdyf(x,y,z)dz (2) ace 11
  12. và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý. Nếu f(x,y,z) = f1(x).f23(y).fz( ) và T là hình hộp chữ nhật thì bdf I= fxdx.fydy.fzdz. ò1() òò23() () ace Ví dụ. Tính các tích phân a) òòò xydxdydz,T:x³0,y³0,z³0,x+y+£z1, T b) òòò zdxdydz,T:0£z£R2 xy22. T 3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp. 1. Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp. Xét tích phân I = òòò f(x,y,z)dxdydz , trong đó f(x, y, z) liên tục trong T. T Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w); (u,v,wT)Î * (3) thỏa mãn các điều kiện sau: a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được T* Ì O'uvw . b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền T* lên miền T. c) Định thức hàm Jacobi x'y'z' D(x,y,z) uuu J==x'y'z'¹0,"Î(u,v,wT) * (có thể trừ một số điểm). D(u,v,w) vvv x'wy'wwz' Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp òòòf(x,y,z)dxdydz=òòò féùëûx(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) Jdudvdw . (4) T T* 2. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ. Tọa độ trụ của điểm M(x,y,z)ÎOxyz là bộ ba số (r,ϕ,z) , trong đó(r,ϕ ) là tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ của điểm M có mối liên hệ x=rcosϕ,y=rsinϕ,z=z;r³0,0£ϕπ£2,z-¥ 0,0£ϕπ<2,z-¥<<+¥ thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ trụ, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có cosϕϕsin0 D(x,y,z) J==-rsinϕrcosϕϕ0=r¹0,"Î(r,,zT) * (trừ các điểm thuộc trục D(r,ϕ,z) 001 Oz). Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ 12
  13. òòòf(x,y,z)dxdydz= òòò f(rcosϕ,rsinϕϕ,z)rdrddz . (5) T T* Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz. - Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn. Ví dụ. Tính các tích phân a) òòò zx2+y2dxdydz,T:x22+y£2y,0££za. T b) òòò (x2+y2+z2)dxdydz,T:x22+z££ya. T 3. Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu. Tọa độ cầu của điểm M(x,y,z)ÎOxyz là bộ ba số(r,,θϕ) , trong đó r= OM, uuruuuur uuuruuuur θ = (Oz,OM,) ϕ = (Ox,OM') , M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy. Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ x=rsinθcosϕ,y=rsinθsinϕ,z=rcosθ;r³0,0£ϕ£2π,0££θπ. Nếu r>0,0£ϕ 0;R0, T b) òòò x2+y2+z2dxdydz,T:x2+y22+£zz. T $4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2-LỚP, 3-LỚP 4.1 Ứng dụng trong hình học. 4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo được D được tính theo công thức S(D) = òò dxdy. D 13
  14. Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường a) y22=2px,y=2qx,x22=2ry,x=2sy;0p 0),,y==xyx. 2 4.1.2 Tính diện tích của mặt. Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z = f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy. Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công thức S=1++p22qdxdy, trong đó p=z',q=z',dS=1++p22qdxdy . òò xy D Ví dụ. Tính diện tích của phần mặt cầu x2+y22+=z4 nằm trong mặt trụ x22+=y2x. 4.1.3 Tính thể tích của vật thể. 1. Thể tích của vật thể đóng, bị chặn và đo được TÌ3 được tính theo công thức R V(T)=òòò dxdydz . T 2. Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt z=z1(x,y), phía trên bởi mặt z=z2(x,y), trong đó các hàm z12(x,y)vàz(x,y) liên tục trong miền D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D thì thể tích của T được tính theo công thức VT=dxdydz=-éùzx,yzx,ydxdy . ()òòòòò ëû21()() TD Ví dụ. Tính thể tích của phần hình trụ x22+=y2ax , a>0 nằm giữa paraboloid x22+=y2az và mặt phẳng Oxy . 4.1 Ứng dụng trong vật lý. 4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý. Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm M(x,y)ÎDlà ρ(x,y), giả thiết hàm ρ(x,y)liên tục trong miền D. Ta có 1. Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức m=òò ρ(x,y)dxdy . D 2. Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức 11 x==xρρ(x,y)dxdy;yy(x,y)dxdy. GGòòòò mmDD Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì 11 x==xdxdy;yydxdy , GGòòòò S(D)DDS(D) trong đó S(D) là diện tích của miền D. 14
  15. Ví dụ. Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a, OB = b. Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến cạnh OA. Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng. 4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý. Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)ÎT là ρ (x,y,z), giả thiết hàm ρ (x,y,z) liên tục trong miền T. Ta có 1. Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức m= òòò ρ (x,y,z)dxdydz . T 2. Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức 11 x==xρρx,y,zdxdydz;yyx,y,zdxdydz; GGòòò( ) òòò ( ) mmTT 1 z= zρ x,y,zdxdydz G òòò ( ) m T Đặc biệt. Nếu T là vật thể đồng chất thì 111 x=xdxdydz;y==ydxdydz;zzdxdydz , GòòòGGòòòòòò V()TTV()TTTVT() trong đó V(T) là thể tích của miền T. Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T:a2£x2+y2+z22£b,0<<ab. Biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)ÎT bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Ví dụ 2. Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón z=+xy22 và mặt cầu x2+yz22+=1. 15
  16. Chương II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT $1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 1.1 Một số khái niệm về đường cong: Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t) ; tÎ[a;b] (1) Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là: 1. Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện (x(t1),y(t1)) ¹(x(t2),y(t2)) ;"t1,t2ι(a;b),tt12. Ngoài ra nếu (xa( ),y(a)) º (x(b),yb( )) thì (C) là đường cong đóng (kín). Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín). 2. Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa mãn điều kiện x'22(t) +y'(t) ¹0,"Ît[a;b]. 3. Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn. Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm M(x(t11),yt( )) đứng trước điểm N(x(t2),y(t2)) Ût1<t2,"Ît12,t[a;b]. Khi đó điểm A= (xa( ),ya( )) gọi là điểm đầu, điểm B= (x(b),yb( )) gọi là điểm cuối. Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có hướng. Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B). Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng, Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miền khác nhau với biên chung (C), một miền bị chặn (phần trong), một miền không bị chặn (phần ngoài). Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan. Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại gọi là hướng âm. Chú ý: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các y=Îy(x),x[a;b], có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt x=t,y=Îy(t);t[a;b]. 2. Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; tÎ[a;b] cũng được định nghĩa tương tự. 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): 1.2.1 Bài toán tính khối lượng của đường cong: 1.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài): Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn. Trên (C) cho hàm f(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia(C) thành n cung nhỏ tùy ý 16
  17. bởi các điểm chia: AººA0,A1n, ,AB. Đặt Dsilà độ dài của cung nhỏ thứ i, i=1,n; d(π)=Dmaxsi là đường kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ AA¼i-1ilấy 1££in điểm M,i(ξηii)bất kỳ. Lập tổng tích phân: nn σπ=ååf(Mi)Dsi=Df(ξηi,sii) . i==1i1 Ta thấy σπphụ thuộc vàoπvà các điểm chọn M,i(ξηii). Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limIσπ= mà giới hạn đó không phụ d0(π)® thuộc vào πvà các điểm chọn M,i(ξηii) thì I được gọi là tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên (C). Ký hiệu òf(x,y)ds (2) (C) Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên (C). Nhận xét: 1. Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của (C). 2. Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z) lấy trên đường cong không gian (C) và ký hiệu òf(x,y,z)ds . (C) 3. Nếu (C) trơn hoặc trơn từng khúc và f(x,y) liên tục trên (C)thì tồn tại tích phân đường loại một òf(x,y)ds. (C) 4. Độ dài của đường cong (C) được tính theo công thức l=òds . (C) 5. Khối lượng của đường cong phẳng (C) được tính theo công thức m=òρ(x,y)ds , trong đó ρ(x,y) là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc (C), (C) ρ(x,y) liên tục trên (C). Khối lượng của đường cong không gian (C) được tính theo công thức m=òρ(x,y,z)ds, trong đó ρ(x,y,z) là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) thuộc (C) (C), ρ(x,y,z) liên tục trên (C). 6. Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 1.3 Cách tính tích phân đường loại một: 1.3.1 Định lý: Giả sử (C) là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu f(x,y) liên tục trên (C)thì tồn tại tích phân đường loại 17
  18. một ò f(x,y)ds và (C) b 22 òòf(x,y)ds=+fëûéùx()t,y()tx'()ty'()tdt . (3) (Ca) Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con[ti-1i;t],i=1,n. Lập tổng tích phân: t nnïïìüi σ=fξ,ηDs=+féùxττ,yx'22ty'tdt (4) πåå( ii) iíýëû( ii) ( ) ò() () i==1i1 îþïïti1- trong đó τiÎ[ti-1;ti],i==1,nvàMi(ξi;ηi) Mi(x(ττii);y( )) . Mặt khác tích phân I ở vế phải của (3) có thể biểu diễn dưới dạng: n ti 22 I=+åòfëûéùx()t,y()tx'()ty'()tdt (5) i1= ti1- Từ (4) và (5) ta có: n ti σ-I=féxττ,yù-+féùxt,ytx'22ty'tdt (6) π åò{ ë( ii) ( )ûëû() ()} () () i1= ti1- vì f(x,y) và x(t), y(t) liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó liên tục đều trên đoạn đó. Ngoài ra khi d0(π ) ® thì Dti=ti-ti1- ®0,"=i1,n. Do đó ">ε 0 bé tùy ý, $δ>0:"<πmà d(πδ) thì ε féx(ττ),y()ù-<féùx()t,yt() (7) ëiiûëûl trong đó l là độ dài của đường cong (C). Giả sử d(πδ) < khi đó từ (7) ta được ε n ti σε-I<x'22t+=y'tdt π å ò () () l i1= ti1- Vậy limIσ π = . d0(π )® W Hệ quả: 1. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các y=Îy(x),x[a;b] thì: b 2 òòf(x,y)ds=+fëûéùx,y()x1y'()xdx (Ca) 2. Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực r=Îr(ϕ),;ϕ[αβ] thì: 18
  19. β 22 òòf(x,y)ds=+fëûéùr()ϕcosϕ,r()ϕsinϕr()ϕr'd()ϕϕ. (C) α 3. Nếu (C) đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; tÎ[a;b] và f(x,y,z) liên tục trên (C) thì: b 222 òòf(x,y,z)ds=fëûéùx()t,y()t,z()tx'()t++y'()tz'()tdt . (Ca) Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia (C) thành hữu hạn cung trơn. 1.3.2 Các ví dụ: 1. Tính các tích phân: a) I=+ò(xy)ds,C()là biên của tam giác với các đỉnh O(0;0), A(1;0), (C) B(0;1). b) I=òxyzds,C()là một đoạn của đường đinh ốc: (C) x=acost,y=asint,z=bt;tÎ>[0;2π],a,b0. 2. Tính khối lượng của đường tròn (C):x22+=yax,a>0, biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x;y) thuộc (C)bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ. $2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ): Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng. Trên (C) cho các hàm hai biến P==P(x,y),QQ(x,y) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch πchia (C) thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia AººA0,A1n, ,AB. Đặt Dsilà độ dài của cung AA¼i-1i; Dxi,Dyi,i=1,n lần lượt là hình chiếu của cung AA¼i-1i lên trục hoành và trục tung, d(π)=Dmaxsi là đường 1££in kính phân hoạch. Trên mỗi cung nhỏ AA¼i-1ilấy điểm M,i(ξηii)bất kỳ. Lập các tổng tích phân nnnn åP(Mi)Dxi=åP(ξi,ηi)Dxivà ååQ(Mi)Dyi=DQ(ξηi,yii). i=1i=1i==1i1 Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn nn limP(ξi,ηi)DDxivà limQ(ξηi,yii) d(ππ)®®0ååd0() i==1i1 mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào πvà các điểm chọn M,i(ξηii) thì chúng được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm P==P(x,y),QQ(x,y) lấy trên đường cong (C). Ký hiệu 19
  20. òòP(x,y)dxvàQ(x,y)dy . (CC) () Tổng của chúng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát. Ký hiệu òPdx+Qdy . (C) Nhận xét: 1. Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của(C): òòPdx+Qdy=-+PdxQdy C(A,B) C(B,A) 2. Đối với đường cong đóng, có hướng dương tích phân đường loại hai được định nghĩa: òPdx+Qdy=òòPdx+Qdy++PdxQdy , (iC) (AmB) (BnA) trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc(C). Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa: òòPdx+Qdy=-+PdxQdy . ji(C) 3. Nếu (C) trơn hoặc trơn từng khúc và các hàm P==P(x,y),QQ(x,y)liên tục trên (C)thì tồn tại tích phân đường loại hai òPdx+Qdy . (C) 4. Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến P=P(x,y,z),Q==Q(x,y,z),RR(x,y,z) lấy trên đường cong không gian(C). Ký hiệu là òP(x,y,z)dx,òòQ(x,y,z)dyvàR(x,y,z)dz . (C) (CC) () Tổng của chúng cũng được gọi là tích phân đường loại hai tổng quát và ký hiệu là òPdx++QdyRdz . (C) 5. Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định. 2.2 Cách tính tích phân đường loại hai: 2.2.1 Định lý: Giả sử(C) là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1). Nếu các hàm P==P(x,y),QQ(x,y) liên tục trên (C) thì tồn tại tích phân đường loại hai òPdx+Qdy và (C) b òòPdx+Qdy=+{Pëéx()t,y()tûùx'()tQëûéùx()t,y()ty'()t}dt . (Ca) Chứng minh: Chỉ cần chứng minh b òòP(x,y)dx=Péùëûx()t,y()tx'()tdt (1) (Ca) Dễ thấy tích phân I ở vế phải của (1) tồn tại. 20
  21. Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức. Giả sử πlà một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [ti-1i;t],i=1,n; τiÎ[ti-1;ti],i==1,nvàMi(ξi;ηi) Mi(x(ττii);y( )). n Lập tổng tích phân σπ =DåP(ξηi,xii) . i1= ti n ti Vì Dx=x-x=xt-=xtx'tdt nênI= Péùxt,ytx'tdt iii 1()i(i1) ò() åòëû() () () i1= ti1- ti1- nttiiε Þσ-I=Péxττ,yù- 0 . 21
  22. 2.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai: Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số x = x(s), y = y(s) ; sÎ[0;S] trong đó x(s), y(s) có đạo hàm liên tục, độ dài cung s được chọn làm tham số. Gọi α là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox. Ta có cosαα==x'(s),siny's( ). Nếu dọc theo (C)cho các hàm P==P(x,y),QQ(x,y) liên tục thì òòPdx+Qdy=+(PcosααQsin)ds . (CC) ( ) Tương tự nếu (C)là đường cong không gian thì òòPdx+Qdy+=Rdz(Pcosα+Qcosβγ+Rcos)ds, (CC) ( ) trong đó α,,βγ lần lượt là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng dương của Ox, Oy, Oz. 2.4 Công thức Green: Định lý 1: Giả sử D Ì 2 là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là đường cong R đóng (C) có hướng dương, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trong D cho các hàm P= P(x,y,) Q= Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì æö¶¶QP òPdx+Qdy=-òò ç÷dxdy . (1) (iCD) èø¶¶xy Chứng minh: Để chứng minh (1) chỉ cần chứng minh: ¶¶PQ òPdx=-=òòdxdyvàòQdyòò dxdy . (iiC) D¶¶yx(CD) Xét D={(x,y):a£x£b,y12(x) ££yyx( )} trong đó y12(x),yx( ) liên tục trên [a;b]. Ta có: bbyx2( ) ¶¶PPy=yx2() -dxdy=-dxdy=- éùP(x,y) dx òò¶¶yyòòòëûêúy=yx1() Day1()xa bb = - Px,yxdx +Px,yxdx òò( 21()) ( ()) aa =òP(x,y)dx+=òòP(x,y)dxPdx . (AmB) (BnAC) (i) ¶Q Tương tự ta cũng có òQdy= òò dxdy . W (iCD) ¶x Hệ quả: Diện tích của miền D được tính theo công thức: 1 S(D)=-òxdyydx , trong đó(C)là biên có hướng dương của D. 2 (iC) 22
  23. Các ví dụ: ydx- xdy 1. Cho I = , C là đường cong đóng có hướng dương không đi ò 22 ( ) (iC) xy+ qua gốc tọa độ. Tính I nếu: a) (C) là đường tròn tâm O(0:0) bán kính R. b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1;1). B(4;2), C(2;6). 2. Tính tích phân: ò (exxsiny-ay)dx++(ecosya)dy,(AmO)là nửa đường (AmO) tròn x22+y=>2x,y0 có hướng từ điểm A(2;0) đến điểm O(0;0). 2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân: Định lý 2: (Định lý về 4 mệnh đề tương đương): Giả sử D Ì 2 là miền mở, đơn liên và trong D cho các hàm R P==P(x,y),QQ(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng. Khi đó 4 mệnh đề sau là tương đương: ¶¶PQ 1. Trong miền D xảy ra hệ thức: =,"Î(x,yD) . ¶¶yx 2. Tích phân òPdx+=Qdy0,C( )là đường cong đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn (iC) từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 3. Tích phân ò Pdx+ Qdy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ C(A,B) thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 4. Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó trong D. Chứng minh: (12Þ ) hiển nhiên (theo công thức Green). (23Þ ) nối A và B bởi hai đường trơn (AmB) và (AnB) bất kỳ nằm hoàn toàn trong D. Ta chứng minh òòPdx+Qdy=+PdxQdy . (AmB) (AnB) ¶u (34Þ ) Ta chứng minh tồn tại hàm u(x,yD)Î sao cho = P(x,y,) ¶x ¶u = Q(x,y) . Giả sử A(x;yD)Î cố định , M(x ; y) thay đổi trong D. Xét hàm số ¶y 00 u (M) = u(x,y) =òPdx+Qdy+=C,Cconst . (AM) Hàm u hoàn toàn xác định vì tích phân ở vế phải không phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Xét điểm M1 (x+Îh;y) D,h khá bé. Nối A và M bởi một đường trơn tuỳ ý trong D, M và M1 bởi đường thẳng song song với trục hoành. Ta có 23
  24. u(x+-h,y) u(x,y) 11æö =ç÷Pdx+Qdy-Pdx+Qdy=Pdx+=Qdy hhhç÷òòò èø(AM11) (AM) (MM ) 1xh+ =òP(t,y)dt=P(x+qh,y),01<q< (theo định lý giá trị trung bình). hx u(x+-h,y)u(x,y) ¶u Þlim=limP(x+qh,y)==P(x,y). h®®0hxh0 ¶ ¶u Tương tự =Q(x,y). ¶y (41Þ) hiển nhiên. W Hệ quả: 1. Nếu Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì òPdx+Qdy=-u(B)uA(), C(A,B) trong đó C(A,B)là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong D. 2. Nếu D=2 và Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) trong D thì Rxy ux,y=Px,ydx++Qx,ydyC ()òò(0) () xy00 yx hoặc ux,y=Qx,ydy++Px,ydxC, ( ) òò( 0) ( ) yx00 trong đó C = const, (x00,y ) là một điểm bất kỳ thuộc D. Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức 6xeydx+(3x2y++y1)edy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Tìm hàm u(x,y). $3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT 3.1 Một số khái niệm về mặt trong không gian: Mặt (S) trong không gian thường được cho bởi phương trình F(x,y,z) = 0. (1) Nếu giải ra được đối với các biến x, y, z thì (S) được cho dưới dạng hiện z=Îz(x,y),(x,yD) (2) trong đó z (x, y) liên tục trong D. Nếu không thể giải được đối với bất cứ biến nào thì (S) được cho dưới dạng ẩn. Mặt (S) trong không gian cũng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x=x(u,v),y=y(u,v),z=Îz(u,v);(u,vD) (3) trong đó x(u,v),y(u,v),z(u,v)là các hàm số liên tục trong D. Chú ý: Nếu chọn x = u, y = v, z = z (u , v) ; (u,vD)Îthì (2) là trường hợp riêng của (3). 24
  25. Định nghĩa 1: Mặt (S) được gọi là - Mặt đơn nếu với hai giá trị khác nhau của tham số đều tương ứng với hai điểm khác nhau thuộc (S). - Mặt được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ nếu mỗi đường thẳng song song với các trục tọa độ chỉ cắt(S)tại không quá một điểm. - Mặt trơn nếu tại mỗi điểm của nó đều tồn tại một mặt phẳng tiếp xúc và khi dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác vị trí của mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên tục. Nếu (S)được cho bởi (2) thì (S)trơn khi z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục trong D. - Mặt trơn từng mảnh nếu (S)gồm hữu hạn các mảnh trơn. Định nghĩa 2: Nếu từ mỗi điểm M của mặt trơn (S) đều có thể kẻ được một pháp r r tuyến đơn vị nM( ) sao cho hàm véc tơ nM( )liên tục trên (S) thì (S) được gọi là mặt định hướng (mặt hai phía). Mặt hai phía được đặc trưng bởi tính chất phép vòng quanh trọn một lần theo chu tuyến đóng bất kỳ thuộc (S) và không cắt biên của (S) không làm thay đổi hướng của pháp tuyến thành hướng ngược lại. Mặt không phải là mặt hai phía được gọi là mặt một phía. Mặt hai phía còn gọi là mặt có hướng và việc chọn một phía xác định bằng cách chọn hướng của pháp tuyến được gọi là phép định hướng mặt. Nếu (S)là mặt hai phía thì nó có phía trên và phía dưới (mặt không kín), phía ngoài và phía trong (mặt kín). Ví dụ: - Mặt phẳng là mặt hai phía. - Mặt trơn bất kỳ xác định bởi phương trình z = z (x,y) là mặt hai phía. - Mọi mặt kín không có điểm tự cắt đều là mặt hai phía (mặt cầu, mặt elipxoid). - Lá Mebius là mặt một phía. Trong chương này ta chỉ xét đến mặt hai phía. Chú ý: Nếu (S) là mặt trơn, hai phía được xác định bởi phương trình z = z (x,y) thì phía trên (phía ngoài) của (S)các véc tơ pháp tuyến có cosin chỉ phương là ruuur p cosαγ=cos(n,Ox) =-=-pcos . 1++pq22 ruuur q cosβγ=cos(n,Oy) =-=-qcos . 1++pq22 ruur 1 cosγ ==cos(n,Oz) , trong đó p==z'xy,qz' . 1++pq22 Đối với phía dưới (trong) được lấy dấu ngược lại. 25
  26. Định nghĩa 3: Giả sử (S) là mặt hai phía được giới hạn bởi chu tuyến đóng (C). Hướng vòng quanh (C) của mặt (S) được gọi là hướng dương tương ứng với phía của mặt nếu một người quan sát đứng trên phía ấy và chuyển động trên (C) theo hướng đó thì mặt (S) luôn nằm ở bên trái. Hướng ngược lại được gọi là hướng âm. 3.2 Tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích): Cho (S) là mặt trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ. Giả sử trên (S)cho hàm ba biến f(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia (S)thành n mảnh nhỏ tùy ý (S12),(S,) , (Sn )bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt DSi là diện tích của mảnh con(Si ), d(Si )là đường kính của (Si ), i=1,n d(π ) = maxdS( i ) là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh 1££in con (Si )lấy điểm Mi(xi,yii,z ) bất kỳ. Lập tổng tích phân nn σ π =ååf(Mi)DSi=Df(xi,yi,zSii). i==1i1 Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn Mi . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limIσ π = mà giới hạn đó không phụ d0(π )® thuộc vàoπ và các điểm chọn Mi thì I được gọi là tích phân mặt loại một (tích phân mặt theo diện tích ) của hàm f(x,y,z) lấy trên (S). Ký hiệu là: òò f(x,y,z)dS (1) ()S Nếu tích phân (1) tồn tại thì ta nói hàm f(x,y,z) là khả tích trên(S). Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại một không phụ thuộc vào phía của(S). 2. Nếu (S) là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và f(x, y, z) liên tục trên (S) thì tồn tại tích phân mặt loại một. 3. Diện tích của mặt (S) được tính theo công thức S= òò dS. ()S 4. Khối lượng của mặt (S)được tính theo công thức m= òò ρ (x,y,z)dS, ()S trong đó ρ (x,y,z) là khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)Î (S), hàm ρ (x,y,z) liên tục trên (S). 5. Tích phân mặt loại một có các tính chất tương tự như tích phân hai l 3.3 Cách tính tích phân mặt loại một: Xét òò f(x,y,z)dS, trong đó f(x,y,z) liên tục trên (S). ()S Giả sử (S)là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy và được cho bởi phương trình z = z (x,y). Khi đó z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên 26
  27. tục trong D là hình chiếu đơn trị của (S)lên mặt phẳng Oxy. Ta có dS= 1++p22qdxdy và: 22 òòf(x,y,z)dS=òò fëûéùx,y,z(x,y) 1++pqdxdy . ()SD Tổng quát nếu (S) trơn, hai phía, được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x=x(u,v),y=y(u,v),z=Îz(u,v);(u,vD) 222 æD(x,y) öæD(y,z) öæöD(z,x) thì dS= EG-F2dudv=ç÷++ç÷ç÷dudv và: èD(u,v) øèD(u,v) øèøD(u,v) 2 òòf(x,y,z)dS=-òò fëûéùx(u,v),y(u,v),z(u,v) EGFdudv . ()SD Ví dụ 1: Tính các tích phân a) òò (2x++yz)dS,S( ) là phần mặt phẳng x + y + z = 1 thuộc góc phần tám thứ ()S nhất. b) òò z2(x22+ y)dS,S( ) là phần mặt cầu x2+y2+z22=a,x³0,y³>0(a0) . ()S Ví dụ 2: Tính diện tích mặt (S) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số: x=rcosϕ,y=rsinϕ,z=bϕ;0£r£a,02££ϕπ. $4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI 4.1 Tích phân mặt loại hai (tích phân mặt theo tọa độ): Cho (S) là mặt có hướng trơn, hai phía, bị chặn và được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ. Giả sử trên (S)cho các hàm ba biến P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) liên tục. Thực hiện một phép phân hoạch π chia (S) thành n mảnh nhỏ tùy ý(S1),(S2n), ,S( ) bởi lưới các đường cong trơn hoặc trơn từng khúc. Đặt DSi là diện tích của mảnh con (Si ), d(Si )là đường kính của(Si ),i=1,n ;d(π ) = maxdS( i ) 1££in là đường kính phân hoạch. Trên mỗi mảnh con (Si ) lấy điểm Mi(xi,yii,z )bất kỳ, uur gọi ni là pháp tuyến với (S) tại Mi . Lập các tổng tích phân nnuuruuuruuruuur σσ1=ååP(Mi)DSicos(ni,Ox),2=DQ(Mi)Siicos(n,Oy,) i==1i1 n uuruur σ 3=DåR(Mi)Siicos(n,Oz). i1= Ta thấy các tổng tích phân phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn Mi(xi,yii,z ). Định nghĩa: Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn 27
  28. limσ i (i=1,2,3) d0(π )® mà các giới hạn đó không phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn Mi(xi,yii,z ) thì các giới hạn đó được gọi là các tích phân mặt loại hai ( tích phân mặt theo tọa độ ). Ký hiệu là: I=Px,y,zcosαdS,I==Qx,y,zcosβγdS,IRx,y,zcosdS (1) 1òò( ) 23òò( ) òò ( ) ()S()SS() và tổng của chúng được gọi là tích phân mặt loại hai tổng quát, ký hiệu là òò (Pcosα++QcosβγRcos)dS . (2) ()S Nhận xét: 1. Tích phân mặt loại hai đổi dấu khi đổi phía của (S). 2. Nếu (S) là mặt trơn hoặc trơn từng mảnh, hai phía và các hàm P = P(x, y, z) , Q = Q(x, y, z) , R = R(x, y, z) liên tục trên (S) thì tồn tại tích phân (2). 3. Ta có cosαdS=dydz, cosβγdS=dzdx,cosdS=dxdy (3) chính là hình chiếu của vi phân diện tích mặt (S)lên các mặt phẳng tọa độ. Do (3) nên các tích phân mặt loại hai thường được ký hiệu: I=Px,y,zdydz,I==Qx,y,zdzdx,IRx,y,zdxdy . 1òò( ) 23òò( ) òò ( ) ()S()SS() và tích phân mặt loại hai tổng quát chính là: òò(Pcosα+Qcosβγ+Rcos)dS=òò Pdydz++QdzdxRdxdy (4) ()SS() (4) chính là công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại một và tích phân mặt loại hai. 4.2 Cách tính tích phân mặt loại hai: Từ định nghĩa có thể tính tích phân mặt loại hai theo công thức của tích phân mặt loại một. Xét òòR(x,y,z)dxdy= òò R(x,y,z)cosγdS, trong đó R(x,y,z) liên tục trên (S). ()SS() Giả sử (S)là mặt trơn, hai phía, được chiếu đơn trị lên mặt phẳng Oxy. Gọi D là hình chiếu đơn trị của (S)lên mặt phẳng Oxy, giả sử (S) được cho bởi phương trình z = z (x,y), z (x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D. Ta có: 22 1 dS= 1+p+qdxdy,cosγγ=±;p==z'xy,qz';cos lấy dấu dương 1++pq22 nếu (S)là mặt trên (ngoài), dấu âm nếu (S)là mặt dưới (trong) và ì +>òò Rëûéùx,y,z(x,y)dxdy,khicos0γ ïD òò R(x,y,z)dxdy =í ()S ï-<òò Rëûéùx,y,z(x,y)dxdy,khicos0γ îD 28
  29. Ví dụ: Tính các tích phân 1 1. I=òò xdydz++dzdxxzdxdy,S( ) là phía trên của mặt cầu x2+y22+=z1 ()S 8 nằm trong góc phần tám thứ nhất. 2. I=òò(y-z)dydz+(z-x)dzdx+-(xy)dxdy,S( )là phía ngoài của phần mặt ()S nón z=x22+y0( ££zh). 4.3 Công thức Gauss-Ostrogradxki: Định lý 3: Giả sử TÌ 3là miền đóng, đơn liên, bị chặn có biên là mặt kín Strơn R ( ) hoặc trơn từng mảnh. Nếu trong T cho các hàm ba biến P=P(x,y,z),Q==Q(x,y,z),RR(x,y,z)liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì: æö¶P¶¶QR òòPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òòò ç÷++ dxdydz ()STèø¶x¶¶yz trong đó tích phân mặt ở vế trái được lấy theo phía ngoài. Chứng minh: tương tự như định lý1, 2.4 Hệ quả: Thể tích của miền T đóng, bị chặn được tính theo công thức: 1 V()T=òò xdydz++ydzdxzdxdy 3()S trong đó (S)là biên của T và tích phân mặt được lấy theo phía ngoài. Ví dụ: Tính tích phân I=òò xzdydz++x22ydzdxyzdxdy,S( ) là phía ngoài của biên của vật thể T ()S được giới hạn bởi các mặt z=x2+y2,x22+y=1,x³0,y³³0,z0. 4.4 Công thức Stokes: Định lý 4: Giả sử (S) là mặt có hướng, trơn có biên (C) là đường đóng, Jordan, trơn hoặc trơn từng khúc. Nếu trên (S) cho các hàm P==P(x,y,z),QQ(x,y,z), R=R(x,y,z) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì: æ¶R¶Qöæö¶P¶Ræö¶¶QP òPdx+Qdy+Rdz=òò ç-÷dydz+ç÷-dzdx+-ç÷dxdy (iCS) ()è¶y¶zøèø¶z¶xèø¶¶xy éùæ¶R¶Qöæö¶P¶Ræö¶¶QP = òò êúç-÷cosα+ç÷-cosβγ+-ç÷cosdS ()Sëûè¶y¶zøèø¶z¶xèø¶¶xy trong đó tích phân đường được lấy theo hướng dương tương ứng với phía của (S). 29
  30. æö¶¶PP Chứng minh: chỉ cần chứng minh òòòç÷dzdx-=dxdyPdx . ()SCèø¶¶zy(i) Công thức Stokes còn được viết dưới dạng “hình thức” dydzdzdxdxdycosαcosβγcos ¶¶¶¶¶¶ òPdx+Qdy+Rdz==òòòò dS. (iC) ()SS¶x¶y¶z() ¶x¶¶yz PQRPQR Nhận xét: 1. Nếu(S)ÌOxy thì công thức Stokes trở thành công thức Green. 3 2. Giả sử miền TÌ¡ có tính chất mọi đường kín (C) trơn từng khúc trong T đều là biên của một mặt trơn từng mảnh nằm hoàn toàn trong T. Nếu các hàm P==P(x,y,z),QQ(x,y,z), R=R(x,y,z) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong T thì điều kiện cần và đủ để tích phân lấy theo đường cong không gian òPdx++QdyRdz không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ C(A,B) phụ thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bất kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm hoàn toàn trong T là ¶R¶Q¶P¶R¶¶QP =,=,=,"Î(x,y,zT) (4). ¶y¶z¶z¶x¶¶xy (4) cũng là điều kiện cần và đủ để biểu thức Pdx + Qdy + Rdz là vi phân toàn phần của hàm u(x,y,z) nào đó trong miền T và nếu M0(x0,y00,z ) là một điểm bất kỳ thuộc T thì xzy ux,y,z=Px,y,zdx+Qx,y,zdy++Rx,y,zdzC, ( ) ò( 000) òò( ) ( ) x0yz00 trong đó C = const. Ví dụ: Tính tích phân I=òydx++zdyxdz,C() là giao tuyến của các mặt (iC) x+y+z=0,x2+y2+z22=>a(a0), chiều trên (C) ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z > 0. 4.5 Dạng vectơ của các công thức Gauss-Ostrogradxki và Stokes: Ta nói trong miền TÎ3 xác định một trường vectơ nếu ứng với mỗi điểm r¡ M(x,y,zT)Îcó một vectơ FM() gốc tại M, với các tọa độ P(M),Q(M),RM() là những hàm số của M. Nói một cách khác, cho một trường vectơ có nghĩa là cho một hàm vectơ rrruruuruur F=F(M)=F(x,y,z)=P(x,y,z)e1++Q(x,y,z)e23R(x,y,ze) ururur 3 trong đó e1,,ee23 là cơ sở chính tắc của ¡. 30
  31. Trong phần này ta giả thiết thêm các hàm P, Q, R liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong T. Ví dụ về trường vectơ là trường vận tốc của chất lỏng chuyển động, trường lực hấp dẫn, r Giả sử trong miền T cho mặt định hướng (S) mà vectơ pháp tuyến đơn vị là n ruruuruur (n=e1cosα++e23cosβγecos với các cosin chỉ phương là hàm liên tục trên (S)). Định nghĩa: Đại lượng rr F=òò F,ndS (1) ()S r được gọi là thông lượng của trường vectơ FM( ) qua mặt (S). Nhận xét: Vì tích vô hướng rr F,n=Pcosa+Qcosb+gRcos nên (1) có dạng rr òòF,ndS=òò (Pcosa+Qcosb+gRcos)dS (2) ()SS() 4.5.1 Công thức Gauss-Ostrogradxki dưới dạng vectơ: r ¶P¶¶QR Nếu vectơ FM( ) có các tọa độ P(M),Q(M),RM( ) thì tổng ++ ¶x¶¶yz r r được gọi là dive của vectơ F và ký hiệu là div F, đó là đại lượng vô hướng. Công thức Gauss-Ostrogradxki được phát biểu dưới dạng r Thông lượng F của trường vectơ FM( ) qua mặt kín (S) hướng ra phía ngoài được tính theo công thức r F=òòò divFdxdydz , T trong đó T là miền được giới hạn bởi (S). r r Giả sử divFM( ) liên tục và divF(M00 ) > . Khi đó có thể tìm được lân cận r khá bé của M0 sao cho divF(M0) > trên (S) là một mặt kín trong lân cận ấy. Từ r công thức Ostrogradxki suy ra thông lượng của trường vectơ FM( ) qua mặt kín (S) từ trong ra ngoài là dương. Theo ý nghĩa ấy ta gọi điểm M0 là một điểm nguồn. Nếu r r div F(M00 ) < ta gọi điểm M0 là một điểm rò. Nếu divF(M) ="0,M thì thông r lượng của trường vectơ FM( ) qua mọi mặt kín (S) đều bằng không. Khi đó ta nói r trường vectơ FM( ) có thông lượng bảo toàn. Ví dụ: Dùng Công thức Gauss-Ostrogradxki để tính thông lượng của vectơ ruruuruur F=3xe1+-2ye234ze qua phía ngoài của mặt tứ diện T:x³0,y³0,z³0,x+y+£z1. 31
  32. 4.5.2 Công thức Stokes dưới dạng vectơ: r Cho trường vectơ FM( ) có các tọa độ P(M),Q(M),RM( ). Ta gọi tích phân r đường dọc theo đường kín (C) là lưu số của F dọc theo (C). Vectơ xoáy hay rôta r của F là vectơ có các tọa độ ¶R¶Q¶P¶R¶¶QP -,, ¶y¶z¶z¶x¶¶xy uurr và ký hiệu là rotF. Với các định nghĩa trên, ta có thể phát biểu công thức Stokes như sau r Lưu số của trường vectơ F dọc theo một đường kín (C) bằng thông lượng của uurr rotF qua một mặt định hướng (S) nào đó có biên (C). Ví dụ: Dùng Công thức Stokes để tính lưu số của vectơ r2ur22uuruur F=ye1+-ze23xe theo biên đóng có hướng dương của tam giác với đỉnh A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) . BÀI TẬP CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI 1. Hãy đưa các tích phân 2-lớp òò f(x,)ydxdy về tích phân lặp theo các thứ tự khác D nhau: a) D là tam giác với các đỉnh A(2,1), B(5,2), C(3,7). b) D là hình phẳng giới hạn bởi Parabol y=x22,4yx=- . . c) D là hình phẳng giới hạn bởi các đường yx= , y=x+3,y=-2x+1,yx=-+25. d) D là hình tròn(xy-2)22+(-£3)4. 2. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp: 216-x2 1 2-y 1 32- y a) òòdxf(x,)ydy b) òòdyf(x, y)dx c) òòdyf(x,)ydx 0 8xx- 2 0 2 yy- 2 0 y 11-x2 2 2 y 22-x d) òòdxf(x,)ydy e) òòdyf(x, y)dx f) òòdxf(x,)ydy -1 2 0 2 -6x2 1x 2 yy- -1 4 3. Tính các tích phân 2- lớp sau trong tọa độ Đề các: a) òò xydxdy , D:44xy22+£ b) òò (x+y)dxdy,D={(x,y):1xy+£} D D x2 æöx c) dxdy,D:x£2,y£³x,1xy d) lnç÷2,+dxdyD: y =1 và yx= 2 . òò y2 òò ç÷ D D èøy e) òò x+ydxdy,D={(x,y):xy££1,1} D 4. Chuyển sang tọa độ cực và tính các tích phân sau: y x a) òò arctgdxdyD,: 1 £ xy22+£9 , ££yx3 , xy³³0,0. D x 3 32
  33. 1 xy22 b) dxdyD,: x22+y£1,xy³³0,0. òò 22 D 1++xy c) òò (1 x22y)dxdyD,: x£x22+y£2x,3x££yx . D d) òò (1++x2y),dxdyD là giao của hai hình tròn x2+y2£2x,2x22+£yy. D 2 2 2 4-y a ayy- e) òòdyx22+ydx. f) òòdy(1-x22->y)dxa,0. 02yy-2 00 5. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a) òò xy2dxdyD,:y£x2 £3y,12££xy D 22 -(x++xyy) 22 b) òò edxdyD,:x+xyy+£1 D c) òò xdxdyD,:x£y£x+1,-2x+1£yx£-+25 D d) òò xdxdyD,:x22+y£4xy-+24 D xy22 xy22 e) 4 dxdyD,:1£+£4,xy³³0,0 òò 22 22 D ab ab f) òò (x++y)2sinπ(xy)dxdyD,:x+y£1,xy³³0,0. D 6. Tính các tích phân 3- lớp sau trong tọa độ Đề các: xyz a) òòò xydxdydz ,T:++£1(a,b,c>0),x³0,yz³³0,0. T abc b) òòò (2x+-3)yzdxdydz , T: x³0,y³0,0£z£3,xy+£2. T c) òòò ()x++yzdxdydz , T:0£x£1,0£yz£1,0££1. T d) òòò zdxdydzT,là phần giao của hai hình cầu x2+y2+z2£1,2x2+y22+£zz T x2yz22 e) x2dxdydzT, là hình elipxôit ++£1. òòò 222 T abc 7. Chuyển sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu tính các tích phân: a) òòò (1++x22y)dxdydz T: z³0,x2+y2£1,.z£+xy22 T b) òòò ()x22+ydxdydz , T : a2£x2+y2+z22£b,z³0,(0<<ab). T c) òòò ()x22+ydxdydz , T : x2+y2£z£1 xy22 T 33
  34. 22 2222 d) òòò x+ydxdydz , T : x y z 6 xy T 11-xa2 111-x2 f) òdxòòdy()x2++y22zdz g) òdxòòdy(x2++y22z)dz 00 1x2 -1-1-+x2xy22 222 RRx22- R xy h) òdxòòdy()x22+ydz ,R>0 -R Rx22 0 8. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường: a)ra=cosϕ , rb=cosϕ (0) 0) 9. Tính thể tích của vật thể T : a) z=1 xy22 , yx= , yx=3 , z=0 thuộc góc 1/8 thứ nhất. b) z=+xy22 , z=+xy c) 2z=x22+y,4yz+= d) x2+y2£z£11+ xy22 10. Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường: x22yxy a) y22=4x+4,yx=-+24 b) +=1,1+=. 25953 11. Tính khối lượng của vật thể giới hạn bởi mặt parabôlôit x22+=y2az và bởi mặt cầu x2+y2+z22=>30aa( ), biết khối lượng riêng tại mỗi điểm bằng tổng các tọa độ. 12. Khối lượng riêng của hình cầu T x2+y22+z£>20RzR( )tại mỗi điểm thuộc T bằng bình phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ. Tính tọa độ trọng tâm của hình cầu. BÀI TẬP TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT 1) Tính các tích phân đường theo độ dài sau: a) òxydsC,()là biên của hình vuông x+y=>aa,0. (C) 22 π b) òexy+dsC,( ) là biên của hình quạt tròn {(r,ϕϕ):0£ra£,0££ }. ()C 4 xy22 c) xydsC, là 1/4 elip +=1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. ò () 22 (C) ab d) ò(x2++y22z),dsC() là cung của đuờng cong: (C) x=acost,y=asint,z=bt(0£t£2π,ab>>0,0) 2222 2 ìx+y+=za e) òxdsC,() là đường tròn í ,0a> (C) îx+yz+=0 34
  35. ìx2+y2+=zR22 f) ò (x+ y)dsC,( ) là 1/4 đường tròn í nằm trong góc phần tám (C) î yx= thứ nhất. 2) Cho đường cong (C) có phương trình x=cost,y=sint,z=tt(0££2,π ) tính khối lượng của (C) biết rằng khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (C) bằng khoảng cách từ (C) đến gốc tọa độ. 3) Tính các tích phân đường theo tọa độ sau: a) ò xdy- ydxC,( ) là đường gấp khúc nối các điểm (0,0),(1,0), (1,2) . (C) b) ò(2,a-+y)dxxdyC( ): x=a(t-sint),y=a(1-costt) 02££π . (C) dx+ dy c) ò ,(C) là biên của hình vuông với các đỉnh A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1). (iC) xy+ xy22 d) x2-y2dx++x22ydyC, là elip có hướng dương +=1. ò ( ) ( ) ( ) 22 (iC) ab e) ò(y2-z2)dxz+( 2-x2)dy+-(x22y)dz,C( ) là đường cong đóng, biên của phần (iC) mặt cầu x2+y22+=z1 thuộc góc phần tám thứ nhất, có hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn về phía z dương. f) òxydx++yzdyzxdzC,( ) là 1/4 đường tròn x=cost,y==sint,z1 chạy theo (C) chiều tăng của tham số từ A(1;0;1) đến B(0;1;1). g) òydx++zdyxdzC,( ) là một vòng của đường xoắn ốc (C) x=acosty=asint,z=bt,0£t£2π ,ab>>0,0. 4) Áp dụng công thức Green tính các tích phân sau: xy22 a) xy22dy- xdxC, là elip +=1. ò ( ) 22 (iC) ab b) ò(xy+exysinx+x+y)dx+(xy-e- +-xsin,y)dyC( ) : x22+=yx2 . (iC) c) ò (x2+y2)dx+-(x22y)dyC,( ) là biên của tam giác OAB với O(0;0) , (iC) A(1;0) ,B(0;1). d) ò2(x22+y)dx++x(4y3,)dyC( ) là đường nối các điểm O(0;0) , A(1;1),B(0;2). (C) 5) Tích phân đường : x2+y2æö3x2 y23yx22 I=+ò ç÷dxdy (AB)xyèøxy 35
  36. trong đó (AB) là đường không cắt các trục Ox, Oy có phụ thuộc vào đường lấy tích phân không. Tính I trên cung (AB) xác định bởi p x=t+cos22t,y=1+sint,0t££ . 2 (x-y)dx++(xy)dy 6) Tìm m để biểu thức m là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) (xy22+) nào đó . Với m đã tìm được tìm hàm u(x,y). (x-y)dx++(xy)dy 7) Cho tích phân I= ,C, trong đó (C) là đường cong đóng ò 22 () (iC) xy+ có hướng dương, không đi qua gốc tọa độ. Hãy tính tích phân I nếu: a) (C) là đường tròn x2+y22=>RR,0. b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1,1) , B(5,0) , C(3,4). xy22 8) Cho tích phân đường: y22dx-xdyC, là đường elip +=1 có hướng ò () 22 (iC) ab dương. a) Tính trực tiếp tích phân I. b) Tính I theo công thức Green. 9) Tính các tích phân mặt loại 1 sau: a) òò (x++yz)dS ,(S) là biên của hình lập phương ()S {(x,y,z):0£x£1,0£y£1,0££z1}. æö4y xyz b) òò ç÷z++2xdS , (S) là phần mặt phẳng ++=1 thuộc góc 1/8 thứ nhất. ()Sèø3 234 c) òò (y+z+-a22x)dS , (S) là phần mặt trụ x2+=ya22 nằm giữa hai mặt phẳng ()S z = 0 và z = h. d) òò (yz++zxxy)dS,S() là phần mặt nón z=+xy22 nằm trong mặt trụ ()S x22+y-2ax=>0(a0). đ) òò (y22+z)dS,S()là phần mặt paraboloid x=4 yz22 nằm ở trên mặt phẳng ()S x = 0. e) òò x22+ydS,S() là mặt cầu x2+y2+z22=>a(a0). ()S dS f) òò ,S() là biên của hình tứ diện xác định bởi ()S1++xy x³³0,y0,z³0,x+y+£z1. 36
  37. 10) Hãy tính diện tích của phần mặt cầu x2+yz22+=1 nằm trong mặt trụ xyx22+=. 1 11) Cho (S) có phương trình: z=(x22+£yz),1. Tính khối lượng của (S) nếu khối 2 lượng riêng tại mỗi điểm thuộc (S) bằng khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng Oxy. 12) Tính các tích phân mặt loại 2 sau: 2222 22 ìx+y+=zR a) òò xyzdxdy,S() là phía trên của ½ mặt cầu í ()S î z0£ b) òò x22dydz+zdxdy,S() là phía trong của phần mặt nón x2+y22=z,0££z1. ()S c) òò xdydz++ydzdxzdxdy,S() là phía ngoài của mặt cầu x2+y2+=zR22, (R0>) ()S d) òò xdydz+-ydzdxzdxdy,S() là phía ngoài của ½ mặt cầu x2+y22+z=³1,z0. ()S e) òò yzdydz++xzdxdzxydxdy,S() là phía trên của tam giác tạo bởi giao tuyến của ()S mặt phẳng x+y+z=>a(a0) với các mặt phẳng toạ độ. 13) Dùng công thức Gauss-Ostrogradxki , tính các tích phân mặt sau: 1. òò xzdydz++yxdzdxzydxdy,S()là phía ngoài của biên của hình chóp ()S x³0,y³0,z³0,x+y+£z1. 2. òò x2dydz++y22dzdxzdxdy,S() là phía ngoài của biên của hình lập phương ()S T={(x,y,z):0£x£a,0£y£a,0z££³a,a0} 3. òò xdydz++dzdxxz2dxdy,S() là phía ngoài của biên của 1/8 hình cầu ()S x2+y22+z£1,x³0,y³³0,z0. 4. òò x2dydz++y22dzdyzdxdy,S() là phía ngoài của mặt cầu ()S (x-a)2+(y-b)22+(z-c)=>R2(R0) 5. òò x2dydz++y22dzdxzdxdyS,() là phía ngoài của phần mặt nón ()S x2+y22=z,0££zh 12) Dùng công thức Stokes tính các tích phân sau: ìx2+y2+=zR22 a) òzdx++xdyydz,C() là đường tròn í (iC) îx+y+=zR 37
  38. b) òydx++z22dyxdz,C( ) là giao tuyến của mặt cầu x2+y22+=z4 với mặt phẳng (iC) z3= có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0 với mặt có hướng (S) có biên (C) là : i) Phía trên của phần mặt cầu z=4 xy22 với 3££z2. ii) Phía trên của phần mặt phẳng z3= với x22+£y1. 38