›
›

Bài giảng Giải tích 2 - Bài 4: Tích phân mặt loại I & II

ppt 32 trang ngocly 2750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Giải tích 2 - Bài 4: Tích phân mặt loại I & II", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptbai_giang_giai_tich_2_bai_4_tich_phan_mat_loai_i_ii.ppt

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Bài 4: Tích phân mặt loại I & II

  1. BÀI 4. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I & II
  2. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
  3. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Nhận xét: Tích phân mặt loại 1 có các tính chất như tích phân đường loại 1.
  4. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
  5. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Chú ý: Nếu hình chiếu của S xuống mp Oxy chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi S là một mặt trụ song song với Oz) thì phải chiếu S xuống các mp khác, không chiếu xuống mp Oxy.
  6. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: D= S: x22 + y 9. Oxy Vậy (x2+ y 2 + z 2 ) ds = 2( x 2 + y 2 ). 2 dxdy = SD
  7. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: S: z= R2 − x 2 − y 2 D= S: x2 + y 2 R 2 Oxy Vậy R2 (x2+ y 2 ) ds = ( x 2 + y 2 ). dxdy = 2 2 2 SDR−− x y
  8. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I Ta có: S:1 z= − x − y 01 x DS= : Oxy 01 yx − Vậy (x+ y + z ) ds = ( x + y + z ). 3 dxdy = SD
  9. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
  10. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
  11. 1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
  12. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.1. Mặt định hướng • Xem mặt cong S là tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa mãn phương trình : F(x,y,z) = 0 (1). ''' • Mặt S gọi là mặt trơn nếu vector gradient = F (,,)(,,) x y z F x F y F z liên tục và khác  trên S (hay nói cách khác hàm F(x,y,z) có các đạo ''' hàm riêng FFF x ,, y z liên tục và không đồng thời bằng 0 trên S). • Chú ý rằng mặt cong S thường cho bởi phương trình z= f(,),(,) x y x y G (2). Khi đó ta có thể coi phương trình trên là trường hơp riêng của dạng '' F( x , y , z )= f ( x , y ) − z = 0 có F( x , y , z ) = ( fxy , f , − 1). '' Và khi đó mặt S là mặt trơn khi và chỉ khi các đạo hàm riêng ff xy , liên tục trên G.
  13. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.1. Mặt định hướng Định nghĩa:
  14. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.1. Mặt định hướng
  15. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2
  16. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2
  17. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2
  18. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.1. Định nghĩa 2.1.2. Định nghĩa tích phân mặt loại 2
  19. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.2. Liên hệ với tích phân mặt loại 1 Chú ý: n=−( c os , c os  , c os  ) pháp vector đơn vị của mặt S.
  20. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép) Giả sử cần tính tích phân Rdxdy= Rcos ds (3), SS trong đó, S là mặt cong có phương trình z = z(x,y) (trơn hoặc trơn từng khúc) với pháp vector định hướng n lên trên (tức là phía trên của mặt cong và pháp vector tạo với hướng dương của trục Oz một góc nhọn). Vế phải (3) là giới hạn của tổng tích phân mặt loại 1 n  R(, xi y i ,(, z x i y i )).os. c S i (4) i=1 Mặt khác, ta có cos . Sii D (5), DS = . với ii Ox y Chú ý: Do tạo với Oz góc nhọn nên c os  0 và D i lấy dấu +.
  21. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép) Thế (5) vào (4) ta được tổng tích phân kép, qua giới hạn ta được Rxyzxy(,,(,)) dxdy= Rxyzxy (,,(,)) dxdy , SD trong đó DS= . Oxy Nếu đổi hướng của mặt S (tức đổi phía của S) thì c os  0 và Di lấy dấu - , tức là R(,,) x y z dxdy=− R (,,(,)) x y z x y dxdy . SD Tương tự, ta có Pdydz= P( x ( y , z ), y , z ) dydz , SDyz Qdxdz= Q( x , y ( x , z ), z ) dxdz . SDxz
  22. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép) Chú ý: Nếu hình chiếu của S xuống một mặt phẳng nào đó (ví dụ mặt phẳng Oxy) chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi S là một phần mặt trụ có các đường sinh song song với trục Oz) thì tích phân tương ứng với các biến vi phân của mặt phẳng đó bằng 0 (tức Rdxdy = 0 ). S
  23. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3 Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép) Ví dụ: Tính I = yzdxdy , S - phía ngoài của mặt giới hạn bởi S x2+ y 2 R 2 , x 0, y 0,0 z h . S2 Ta có: S4 I = = + + + + , S3 S5 trong đó SSSSSS1 2 3 4 5 SS12, − hai mặt đáy; SS 34 , − hai mặt bên nằm trong Oxz, Oyz tương ứng; S 5 − mặt trụ cong. Vì === 0 (xem chú ý 2.3) và yzdxdy = 0 (vì z = 0) nên S SSS3 4 5 1 2 R hR3 I= yzdxdy = h ydxdy = h sin d r2 dr = . r 22 3 S2 x+ y R 00 xy 0, 0
  24. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
  25. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.3. Phương pháp tính (Đưa về tích phân kép)
  26. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II * Dùng liên hệ với tích phân mặt loại 1
  27. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4. Định lý Stokes (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân đường) Cho mặt định hướng S trơn từng khúc với biên là chu tuyến C trơn từng khúc và không tự cắt (chu tuyến đơn giản). Cho các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền mở chứa S. Khi đó ta có công thức Stokes: RQPRQP      − dydz + − dxdz + − dxdy = Pdx + Qdy + Rdz (5), SC y  z  z  x  x  y trong đó, hướng của chu tuyến C được lấy theo hướng dương ứng với mặt định hướng S. * Để dễ nhớ có thể viết công thức Stokes ở dạng “hình thức” sau dydz dxdz dxdy    = Pdx + Qdy + Rdz. SCx  y  z PQR
  28. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4. Định lý Stokes (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân đường) Lưu ý: Công thức Stokes thường được dùng ở dạng liên hệ giữa tích phân đường loại 2 và tích phân mặt loại 1. RQPRQP      Pdx+ Qdy + Rdz = − cos + − c os  + − c os  ds (6), CS y  z  z  x  x  y với n =− ( c os , c os  , c os  ) vector pháp đơn vị ứng với phía của mặt cong S. * Để dễ nhớ có thể viết công thức Stokes ở dạng “hình thức” sau cos c os  c os     Pdx+ Qdy + Rdz = ds. CSx  y  z PQR
  29. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4. Định lý Stokes (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân đường) Ví dụ: Tính tích phân I = x 23 y dx + dy + zdz , trong đó C là đường tròn C x2+= y 2 R 2 trong mặt phẳng z = 0 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục Oz. Theo định lý Stokes, chuyển tích phân trên thành tích phân mặt S, với S là hình tròn x 2 + y 2 R 2 trong mặt phẳng Oxy hướng lên trên (theo chiều dương của trục Oz). Vậy I= x2 y 3 dx + dy + zdz = 0 dydz + 0 dxdz − 3 x 2 y 2 dxdy = C x2+ y 2 R 2 2 R 2 66R 2 2 5 3 sin 4 rR = −3 c os sin d r dr = − − . = − . 008 40 60 8
  30. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.4. Định lý Stokes (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân đường) Ví dụ: Tính tích phân I = ydx + zdy + xdz , với C là đường tròn giao của mặt C cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2 và mặt phẳng x + y + z = 0 và hướng tích phân trên C là hướng dương khi nhìn từ ngọn của tia Oz. Gọi S là hình tròn với biên là đường tròn C. Theo định lý Stokes ta có: I= − dydz + dxdz + dxdy = − ( c os + c os  + c os  ) ds , SS cos , c os  , c os  − các cosin chỉ hướng của vector pháp n của mặt phẳng 111 x+ y + z = 0. Mà ta có: n = ,,, vậy 333 I= −3 ds = − 3 R2 . S
  31. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.5. Định lý Gauss – Ostrogratski (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội ba) Cho  là miền đóng, bị chặn trong không gian, với biên S trơn từng khúc (tức là có thể chia S thành hữu hạn các mặt trơn). Cho các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền mở chứa  . Khi đó ta có công thức: PQR   Pdydz+ Qdxdz + Rdxdy = + + dxdydz,() S  x  y  z trong đó tích phân mặt được lấy theo phía ngoài của mặt S. Chú ý: Nhờ công thức G – O, ta có thể tính thể tích vật thể bằng cách tính tích phân mặt nếu lấy P = x, Q = y, R = z. Khi đó () trở thành: 3dxdydz= xdydz + ydxdz + zdxdy  S 1 V(),  = xdydz + ydxdz + zdxdy 3 S với S là mặt biên của lấy theo phía ngoài.
  32. 2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 2.5. Định lý Gauss – Ostrogratski (liên hệ giữa tích phân mặt và tích phân bội ba) Ví dụ: Tính tích phân I = x 3 dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy , với S là phía ngoài mặt cầu x2+ y 2 + z 2 = R 2 . S Theo công thức G – O ta có: I=3 ( x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz .  Chuyển sang tọa độ cầu 2 R 12 I==3 d sin  d  45 d R . 0 0 0 5