Bài giảng Giải tích 1 - Chương: Phương trình vi phân cấp 2

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương: Phương trình vi phân cấp 2

1. II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 1.Định nghĩa •Phương trình vi phân cấp 2 tổng quát có dạng: F(x, y, y', y") = 0 hay y"= f (x, y, y') Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y'(x), y"(x) là các đạo hàm của nó. •Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 là hàm y = (x,c1,c2)
2. • Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho các hằng số c1, c2 những giá trị cụ thể được gọi là nghiệm riêng. 2. Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 y"= f (x, y, y') thỏa mãn điều kiện đầu: y(x0) = a ; x0 ,a,b là các số cho trước. y'(x0) = b
3. 3. Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được 3.1 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa y a- Dạng: F(x, y', y") = 0 b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(x) = y' VD1: Giải phương trình vi phân y"− 1 y'= x(x −1) x −1 Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt z(x) = y'
4. Phương trình đầu z'− 1  z = x(x −1) x −1 Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với hàm cần tìm là z(x) 1 dx − 1 dx x−1 x−1 z(x) = e [ x(x −1).e dx + c1] z(x) = (x −1)[ x(x −1). 1 dx + c ] x −1 1 2 z(x) = (x −1)(x + c ) 2 1
5. 3 2 y'= x − x + c x − c 2 2 1 1 4 3 2 y = x − x + c x − c x + c 8 6 1 2 1 1 là nghiệm tổng quát của phương trình. VD2: Giải phương trình vi phân: y"= 2(y'−1).cotg x Nhận xét: Phương trình này không chứa y nên ta đặt z(x) = y' Phương trình đầu z'= 2(z −1).cotg x
6. dz = 2.cotg xdx (ÐK : Z −1 0) z −1 dz = 2cotg xdx z −1 ln z −1 = 2ln sin x + c1 2 z −1= c1 sin x 2 y'=1+ c1 sin x y = x + c (x − 1sin 2x) + c là nghiệm 1 2 4 2 tổng quát của phương trình.
7. 3.2 Phương trình vi phân cấp 2 không chứa x a- Dạng: F(y, y', y") = 0 b- Cách giải: Hạ bậc bằng cách đặt z(y) = y' dy y"= dz = dz  = z  dz dx dy dx dy 2 VD1: Giải phương trình vi phân: y.y"−y' = 0 y(0) =1 thoả điều kiện y'(0) = 2
8. Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt z(y) = y' y"= dz  z dy 2 Từ phương trình đầu ta có: y dz  z − z = 0 dy dy = dz ; (ĐK : y 0, z 0) y z ln y + c1 = ln z z = c1 y
9. y'= c1 y dy = c dx y 1 ln y = c1x + c2 c1x y = c2e là nghiệm tổng quát của phương trình. Từ điều kiện đầu ta tính được c1 = 2 , c2 =1 Vậy nghiệm của bài toán thoả điều kiện đầu là y = e2x
10. y = 0 Trường hợp: loại vì không thoả mãn y'= 0 điều kiện đầu VD2: Giải phương trình vi phân yy"= y'(y'+1) Nhận xét: Phương trình này không chứa x nên ta đặt z(y) = y' y"= dz  z dy Từ phương trình đầu ta có: y  dz  z = z(z +1) dy
11. dy dz = (ĐK : z 0, z +1 0; y 0) z +1 y ln z +1 = ln y + c1 z +1= c1 y z = c1 y −1 y'= c1 y −1 dy = dx c1y −1
12. 1 ln c1 y −1 = x + c2 c1 1 c1 x (c1 y −1) = c2e là nghiệm tổng quát của phương trình. Trường hợp: y = 0 y'= 0 y'= −1
13. thoả mãn phương trình đầu nên ta nhận các nghiệm y = 0 y = c y = −x + c 4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là: y"+a1y'+a2y = f (x) với ai là các hằng số thực.
14. a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng số: y"+a1 y'+a2 y = 0 (*) 2 Phương trình k + a1k + a2 = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (*). Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt k1 , k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) k1x k2x là: y = c1e + c2e
15. Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 = k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: k1x y = (c1 + c2 x)e Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1 = + i k2 = − i Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (*) x là: y = e (c1 cos x + c2 sin x)
16. VD1: Giải phương trình vi phân: y"+4y'+3y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: k 2 + 4k + 3 = 0 có nghiệm k1 = −1, k2 = −3 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x −3x y = c1e + c2e
17. VD2: Giải phương trình vi phân: y"−10y'+25y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: k 2 −10k + 5 = 0 có nghiệm kép k1 = k2 = 5 Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: 5x y = (c1 + c2 x)e
18. VD3: Giải phương trình vi phân: y"+2y'+4y = 0 Ta có: Phương trình đặc trưng: k2 + 2k + 4 = 0 k1 = −1+ 3i có nghiệm phức: k2 = −1− 3i Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là: −x y = e (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x)
19. b)Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số: y"+a1 y'+a2 y = f (x) Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: y = y + y y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: y"+a y'+a y = 0 Với 1 2 * y là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: y"+a1 y'+a2 y = f (x)
20. Cách tìm nghiệm riêng y* x Trường hợp f (x) = e Pn (x) ✓Nếu α không phải là nghiệm của phương trình 2 đặc trưng: k + a1k + a2 = 0 * x Lúc này: y = e .H n (x) ✓Nếu α là nghiệm bội h của phương trình đặc 2 trưng: k + a1k + a2 = 0 Lúc này: * h x y = x .e .H n (x)
21. VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−3y'+2y = e3x (x2 + x) ( ) Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: y = y + y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng k 2 − 3k + 2 = 0 có x 2x nghiệm k1 =1 , k2 = 2 y = c1e + c2e
22. Bước 2: Tìm y* Ta có: f (x) = e3x (x2 + x) α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên y* = e3x.(Ax2 + Bx + C) là nghiệm riêng của phương trình đầu. Lấy y* thế vào phương trình đầu (*) ta tính được: A= ½ , B=-1, C=1 x 2x 3x 2 Vậy y = (c e + c e ) + e (1 x − x +1) 1 2 2
23. VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"−4y'+4y = xe2x Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: y = y + y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng k 2 − 4k + 4 = 0 có 2x nghiệm kép k1 = k2 = 2 y = (c1 + c2 x)e
24. Bước 2: Tìm nghiệm y* Ta có: f (x) = e2x x α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên y* = x2e2x.(Ax + B) là nghiệm riêng của phương trình đầu. Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được A = 1 , B = 0 6 2x 2 2x Vậy y = (c + c x)e + x (1 x).e 1 2 6
25. •Trường hợp x f (x) = e [Pn (x)cos x + Qm (x).sin x] ✓ Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì * x y = e [Hl (x)cos x + Kl (x)sin x] l = max{m, n} ✓ Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình đặc trưng thì * h x y = x .e [Hl (x)cos x + Kl (x)sin x] l = max{m, n}
26. VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y"+9y =18cos3x −30sin3x Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng k2 + 9 = 0 có nghiệm phức là: k1 = 3i, k2 = −3i ox y = e (c1 cos3x + c2 sin 3x) * Bước 2: Tìm y f (x) = (18cos3x −30sin3x) ( = 0,  = 3,m = 0,n = 0)
27. Ta có: i = 3i là nghiệm của phương trình đặc trưng nên y* = xeox (Acos3x + Bsin3x) Lấy y * thế vào phương trình đầu ta tính được A = 5 , B = 3 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là: y = y + y* = (c1 cos3x + c2 sin3x) + x(5cos3x + 3sin3x) • Trường hợp f (x) = f1(x) + f2(x)
28. x Với f1(x), f2 (x) có dạng e Pn (x) hay x e [Pn (x)cos x + Qm (x)sin x] * * * Khi đó: Nghiệm riêng y = y1 + y2 * là nghiệm riêng của phương trình: y1 Với y"+a1 y'+a2 y = f1(x) * y2 là nghiệm riêng của phương trình: y"+a1 y'+a2 y = f2 (x)
29. VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: y"−y'= 5ex −sin 2x Nghiệm tổng quát của phương trình này là: y = y + y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng k2 − k = 0 có nghiệm k1 = 0,k2 =1 ox x y = c1e + c2e
30. * Bước 2: Tìm y với x f (x) = f1(x) + f2 (x) f1(x) = 5e , * * * f2 (x) = −sin 2x . Vậy y = y1 + y2 * Với y1 là nghiệm riêng của phương trình x y"−y'= 5e ( =1, Pn (x) = 5) Ta có: =1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: * x y1 = x.e .A
31. * x Lấy y1 thế vào phương trình y"−y'= 5e ta tính được A = 5 * Với y2 là nghiệm riêng của phương trình: y"−y'= −sin 2x ( = 0,  = 2, Pn (x) = 0, Qm (x) = −1) Ta có: i = 2i không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: * y2 = Acos 2x + Bsin 2x
32. * Lấy y2 thế vào phương trình y"−y'= −sin 2x ta tính được A = − 1 , B = 1 10 5 Vậy * * y = y + y1 + y2 ox x x = (c e + c e ) + 5xe + (− 1 cos 2x + 1sin 2x) 1 2 10 5 5. Phương trình Euler 2 a) Dạng: x y"+a1xy'+a2y = f (x)
33. b)Cách giải: x = et , trong miền x 0 Đổi biến: t x = −e , trong miền x 0 Giả sử đặt x = et t = ln x y' = y' .t = 1  y' x t x t y" = − 1  y' + 1 (y"  1) = 1 (y" − y' ) xx x2 t x tt x x2 tt t
34. VD: Giải phương trình Euler: x2y"−xy'+y = ln x (trong miền x>0) Đặt: x = et t = ln x y' = 1  y' x x t y" = 1 (y" − y' ) xx x2 tt t " ' Thế yxx , yx vào phương trình đầu ta được:
35. " ' ytt − 2yt + y = t Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng y = y + y * • Phương trình đặc trưng k 2 − 2k +1 = 0 có nghiệm kép k1 = k2 =1 t y = (c1 + c2t).e • f (t) = t ( = 0,Pn(t) = t)
36. = 0 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng y* = eot.(At + B) là nghiệm riêng của " ' phương trình ytt − 2yt + y = t (*) Lấy y * thế vào phương trình (*) ta tính được A =1, B = 2 y* = (t + 2) t y = (c1 + c2t)e + (t + 2) y = (c1 + c2 ln x)x + (ln x + 2)