Bài giảng Điều kiển tự động -Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

60 trang ngocly 1320

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Điều kiển tự động -Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dieu_kien_tu_dong_chuong_2_mo_ta_toan_hoc_phan_tu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Điều kiển tự động -Chương 2: Mô tả toán học phần tử và hệ thống liên tục

Chöông 2 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC PHAÀN TÖÛ VAØ HEÄ THOÁNG LIEÂN TUÏC Noäi dung chöông naøy nhaèm giaûi quyeát hai vaán ñeà: - Xaùc ñònh moâ hình toaùn hoïc cho caùc phaàn töû. - Xaùc laäp moái lieân keát giöõa caùc moâ hình toaùn hoïc rieâng thaønh moät moâ hình toaùn hoïc chung cho toaøn boä heä thoáng. Heä thoáng ñieàu khieån trong thöïc teá raát ña daïng. Caùc phaàn töû cuûa heä thoáng coù theå laø cô, ñieän, nhieät, thuyû löïc, khí neùn, Ñeå nghieân cöùu caùc heä thoáng coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau chuùng ta caàn döïa treân moät cô sôû chung laø toaùn hoïc. Khi nghieân cöùu heä thoáng tröôùc heát chuùng ta caàn bieát heä thoáng goàm nhöõng thieát bò gì, coù nhöõng phaàn töû naøo vaø tìm caùch moâ taû chuùng baèng caùc moâ hình toaùn hoïc. Moâ hình caàn phaûi ñaûm baûo ñoä chính xaùc nhaát ñònh, phaûn aùnh ñöôïc caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa heä thoáng thöïc, nhöng ñoàng thôøi phaûi ñôn giaûn cho vieäc bieåu dieãn, phaân tích. Trong nhieàu tröôøng hôïp, ñeå coù moät moâ hình toaùn töông ñoái ñôn giaûn, chuùng ta phaûi xem xeùt boû qua moät vaøi thuoäc tính vaät lyù ít quan troïng trong heä thoáng vaø lyù töôûng hoaù moät soá hieän töôïng vaät lyù thöïc teá. Ñeå moâ taû phaàn töû vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc ngöôøi ta thöôøng duøng caùc daïng moâ hình toaùn hoïc sau ñaây : - Phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng. - Haøm truyeàn - Phöông trình traïng thaùi. Hai daïng moâ hình phöông trình vi phaân vaø haøm truyeàn thích hôïp vôùi heä SISO. Moâ hình phöông trình traïng thaùi ñaëc bieät thích hôïp vôùi heä MIMO. 2.1 Moâ hình phöông trình vi phaân Toång quaùt, moái quan heä giöõa tín hieäu vaøo r(t) vaø tín hieäu ra y(t) cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc coù theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân : dny(t)dn 11y(t)dmmr(t)dr(t) a+a+ +ay(t)=b+b++ br(t) ndtnn 1dtn 110mmdtmm10dt (2-1) Trong ñoù: ai , bi laø caùc haèng soá, ñöôïc xaùc ñònh töø thoâng soá cuûa caùc phaàn töû . Soá muõ n laø baäc cuûa heä thoáng. Heä thoáng coù m £n ñöôïc goïi laø heä thoáng hôïp thöùc. Chæ coù caùc heä thoáng hôïp thöùc môùi toàn taïi trong thöïc teá. Moâ hình phöông trình vi phaân ñöôïc xaây döïng theo phöông phaùp lyù thuyeát, töùc laø ñöôïc thieát laäp döïa treân caùc ñònh luaät vaät lyù bieåu dieãn caùc quaù trình ñoäng hoïc xaûy ra beân trong vaø caùc quan heä giao tieáp vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi cuûa heä thoáng. 13
- Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû cô khí laø ñònh luaät II Newton, quan heä giöõa löïc vaø bieán daïng, quan heä giöõa ma saùt vaø vaän toác. - Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû ñieän laø ñònh luaät Kirchhoff, quan heä doøng ñieän- ñieän aùp treân ñieän trôû, ñieän caûm, tuï ñieän. - Caùc ñònh luaät cô baûn chi phoái caùc phaàn töû nhieät laø ñònh luaät truyeàn nhieät vaø ñònh luaät baûo toaøn naêng löôïng. - Ví duï 2.1. Xaùc ñònh phöông trình vi phaân moâ taû heä cô khí goàm loø xo - khoái löôïng - giaûm chaán coù sô ñoà nhö hình 2.1a. F(t) v m y(t) k Fd b (a) (b) (c) (d) Hình 2.1 Boä giaûm chaán (hình 2.1b) goàm moät xylanh daàu vaø moät piston, moät trong hai thaønh phaàn naøy ñöôïc laép coá ñònh coøn phaàn kia di ñoäng. Khi coù chuyeån ñoäng töông ñoái giöõa piston vaø xylanh, daàu seõ chaûy töø buoàng naøy sang buoàng kia cuûa xylanh qua khe hôû giöõa piston vaø xylanh hoaëc qua moät loã nhoû trong piston. Löïc ñaåy daàu qua khe hôû coù taùc duïng caûn trôû chuyeån ñoäng, ta goïi laø löïc ma saùt nhôùt hay löïc giaûm chaán. Löïc giaûm chaán Fd ngöôïc chieàu vaø tæ leä vôùi vaän toác v: Fd = b.v vôùi b laø heä soá ma saùt nhôùt, [N.s/m ] Boä giaûm chaán cuõng ñöôïc bieåu dieãn ñôn giaûn nhö hình 2.1c vaø 2.1d. Giaû söû taïi t=0 heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng. Theo ñònh luaät II Newton, ta coù phöông trình caân baèng löïc: d2 ydy m=F=F(t) bk.y(t) dt2 åi dt Trong ñoù : - Tín hieäu vaøo : löïc F(t) taùc duïng töø beân ngoaøi, [N] - Tín hieäu ra : löôïng di ñoäng y(t) cuûa khoái löôïng m, [m] m : khoái löôïng [kg] b : heä soá ma saùt nhôùt (heä soá giaûm chaán), [N.s/m] k : ñoä cöùng loø xo, [N/m] dy2 dy m : löïc quaùn tính ; bF= : löïc giaûm chaán dt2 dt d k.y(t) : löïc loø xo 14
Þ Phöông trình vi phaân baäc hai moâ taû quan heä vaøo-ra : d2 ydy m+b+=ky(t)F(t) dt2 dt Ví duï 2.2. Xaùc ñònh phöông trình vi phaân cuûa maïch ñieän RC noái tieáp. i R C u uc - Tín hieäu vaøo : ñieän aùp ngoõ vaøo u , [Volt] - Tín hieäu ra : ñieän aùp ra u c giöõa hai baûn tuï ñieän, [Volt] Theo ñònh luaät Kirchhoff, ta coù: u=uR +ucc=+Riu 1 du maø : u=idtÞ=iC c c Cò dt Þ Phöông trình vi phaân baäc nhaát moâ taû quan heä vaøo-ra : du u=+RCuc dt c 2.2 Pheùp bieán ñoåi Laplace Ñeå xaùc ñònh haøm tín hieäu ra cuûa heä thoáng khi bieát haøm tín hieäu vaøo, ta caàn phaûi giaûi phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng. Pheùp bieán ñoåi Laplace giuùp ta giaûi phöông trình vi phaân moät caùch ñôn giaûn, thuaän lôïi hôn so vôùi caùch giaûi thoâng thöôøng. 2.2.1 Ñònh nghóa · Cho haøm thời gian f(t) xaùc ñònh vôùi t ³ 0, bieán ñoåi Laplace cuûa f(t) laø: ¥ F(s)==L[f(t)]òf(t)e-stdt (2-2) 0 Trong ñoù: L -laø kyù hieäu pheùp bieán ñoåi Laplace (toaùn töû Laplace). F(s) -goïi laø aûnh Laplace hay bieán ñoåi Laplace cuûa haøm f(t). s -laø bieán phöùc, goïi laø bieán Laplace. Ñieàu kieän ñeå f(t) coù bieán ñoåi Laplace laø tích phaân ôû coâng thöùc ñònh nghóa (2-2) hoäi tuï. · Quaù trình toaùn hoïc ngöôïc laïi -Tìm haøm goác f(t) töø haøm aûnh F(s)- ñöôïc goïi laø pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc vaø kyù hieäu laø L -1. Cho haøm phöùc F(s), bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa F(s) laø: 1 f(t)==L-1[F(s)]F(s)etsds (t ³ 0) (2-3) 2jpò ÑC vôùi C laø ñöôøng cong kín ñöôïc löïa choïn trong mieàn s; j laø soá aûo ñôn vò. 15
2.2.2 Tính chaát § Tính ñôn aùnh Bieán ñoåi Laplace laø pheùp bieán ñoåi moät-moät, töùc laø öùng vôùi moãi haøm f(t) cho tröôùc chæ coù duy nhaát moät aûnh F(s) vaø ngöôïc laïi. § Tính tuyeán tính Neáu F(s), F1(s), F2(s) laø aûnh Laplace cuûa f(t), f1(t), f2(t) vaø k laø haèng soá thì : L [f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) vaø L[kf(t)] = kF(s) -1 -1 L [F1(s) ± F2(s)] = f1(t) ± f2(t) vaø L [kF(s)] = kf(t) Tính chaát naøy xuaát phaùt töø tính tuyeán tính cuûa pheùp tích phaân trong coâng thöùc ñònh nghóa bieán ñoåi Laplace vaø Laplace ngöôïc. § AÛnh cuûa ñaïo haøm -st Laáy tích phaân töøng phaàn ò udv = uv - ò vdu vôùi u==e; vf(t) ta coù: ¥¥ éùdf(t) -st st¥st L=L[f&&(t)]=f(t)edt=f(t)e+sf(t)edt=-sF(s)f(0) êú òò0 ëûdt 00 trong ñoù: f(0) laø giaù trò cuûa haøm f(t) taïi thôøi ñieåm t = 0. Vôùi moät haøm f(t) cho tröôùc, giaù trò f(0+) vaø f(0-) coù theå khaùc nhau. Khi ñoù coù söï phaân bieät: L+ [f&(t)]=sF(0)-+f(0) L- [f&(t)]=-sF(0)f(0)- Töø keát quaû treân ta coù theå suy ra aûnh caùc ñaïo haøm baäc cao nhö sau: L[&f&(t)]=L{f&[f&(t)]}=sL[f&(t)]-f&&(0)=s2 F(s) sf(0)f(0) L[f(3)(t)]=s32F(s)-sf(0) sf&(0)&&f(0) n (n)nn ii(1) L[f(t)]=sF(s)-åsf (0) (2-4) i=1 vôùi f(0),f&(0),&&f(0), ,f(n-1) (0) laø giaù trò cuûa haøm f(t) vaø caùc ñaïo haøm taïi thôøi ñieåm t= 0, ñöôïc goïi laø caùc ñieàu kieän ñaàu. Neáu xeùt söï khaùc nhau giöõa L + vaø L– thì thay vì t=0 ta duøng t=0+ hoaëc t=0- . Neáu caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta coù coâng thöùc ñôn giaûn: L[f()nn(t)]= s.F(s) (2-5) § AÛnh cuûa tích phaân éùt F(s) Lêúòf(t)dt = (2-6) ëû0 s 16
§ AÛnh cuûa haøm treã Haøm treã (hay haøm chuyeån dòch) ñöôïc ñònh nghóa: f(t-T) = f(t) khi t ³ T = 0 khi t 0 thì ñònh lyù giaù trò cuoái khoâng aùp duïng ñöôïc. 17
2.2.3 Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn Trong muïc naøy chuùng ta tìm bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn thöôøng duøng trong phaân tích heä thoáng ñieàu khieån. Ta giaû thieát laø chæ xeùt caùc haøm f(t) trong mieàn t ³ 0 vaø coi f(t)=0 khi t 0 hoaøn toaøn coù theå xaùc ñònh neáu bieát caùc ñieàu kieän ban ñaàu vaø haøm taùc ñoäng (tín hieäu vaøo) ôû thôøi ñieåm t=0. - Haøm baäc thang ñôn vò Haøm baäc thang ñôn vò ñöôïc ñònh nghóa: ì1 khi t ³ 0 1(t) =í 1 1(t) 0 khi t t0 0 t0 Neáu laáy dieän tích ht0 baèng 1 ñôn vò, thì h=1/ t0. Khi t0®0 thì chieàu cao h®¥ nhöng dieän tích vaãn baèng 1. Tröôøng hôïp ñaëc bieät naøy cuûa haøm xung ñöôïc goïi laø haøm xung ñôn vò, hay haøm xung Dirac, kyù hieäu laø d(t). d1(t) ì0 khi t ¹ 0 d()t ==í dt î¥ khi t = 0 d(t) +¥+0 t Haøm d(t) coù tính chaát: d(t)dt=d=(t)dt1 òò 0 -¥ 0 AÛnh Laplace: ¥00++ F(s)=L[d(t)]=òd(t)e st0dt=òòd(t)edt=d=(t)dt1 000 Haøm xung Dirac coù ñoä roäng baèng 0 vaø ñoä lôùn voâ cuøng neân chæ laø haøm toaùn hoïc thuaàn tuyù, trong thöïc teá chæ toàn taïi caùc tín hieäu gaàn ñuùng vôùi xung Dirac. 18
Haøm xung Dirac thöôøng ñöôïc duøng ñeå moâ taû caùc nhieãu taùc ñoäng trong khoaûng thôøi gian raát ngaén (töùc thôøi). Ngoaøi ra, khaùi nieäm xung Dirac cuõng raát höõu ích ñeå moâ taû quaù trình rôøi raïc hoaù moät tín hieäu lieân tuïc baát kyø nhö chuùng ta seõ ñeà caäp ñeán sau naøy. - Haøm muõ e-at (a > 0) ¥¥ e1-(s+a)t ¥ F(s)=L[e-at]=e-ate-stdt=e-(s+a)tdt =-= òò 0 00 ss+a+a - Haøm doác ñôn vò r(t) ìtkhi t ³ 0 r(t)==t.1(t) í t 0khi t < 0 î 0 e-st Laáy tích phaân töøng phaàn udv = uv - vdu vôùi u=t vaø v= ta coù: ò ò -s ¥¥te st¥est 11 F(s)=L[t]=te-st dt=+dt0=+= òò0 22 00-ss ss Cuõng coù theå duøng tính chaát aûnh cuûa tích phaân : éùtL[1(t)]1 F(s)=L[t]=Lêú1(t)dt == ò s 2 ëûêú0 s Theo caùch töông töï ta coù theå tính ñöôïc aûnh cuûa haøm t2,t3n, ,t . - Haøm löôïng giaùc Söû duïng coâng thöùc Euler : coswt±jsinw=te±wjt , ta coù theå bieán ñoåi : ejwt-+e-jwteejwt-wjt sinwt=;costw= 2j2 Suy ra: ¥¥ejwt-we-wjt 1æö11 L[sinwt]=(sinwt)e stdt=estdt =-= òò ç÷22 002j2jèøs-jwsj+w s+w ¥¥ejwt+e-wjt 1æö11s L[coswt] =(coswt)e stdt=estdt =+= òò ç÷22 0022èøs-jwsj+w s+w ¥¥ejwt-e-jwtee-(s+a-jw)t-w-(s+a+wj)t L[e-atsinwt] =e-a-testdt==dt òò 22 002j2j (s)+a+w ¥¥ejwt+e-jwte-(s+a-jw)t+es-(s+a+wj)t +a L[e-atcoswt] =e-a-testdt==dt òò 22 0022(s)+a+w Nhaän xeùt: Caùc aûnh L[e-at sinwt] vaø L[e-at coswt] cuõng coù theå tính baèng coâng thöùc (2-9). 19
- Baûng toùm taét caùc bieán ñoåi Laplace thöôøng duøng: STT f(t) F(s) 1 1. 1(t) s 2. d(t) 1 1 3. e -at (a >0) s + a a 4. 1 – e-at s(s)+a t K 5. - K (1e- T ) s(Ts +1) 1 6. t s2 n! 7. tn sn+1 1 8. t. e-at (s)+a 2 n-1 1 t -at 9. e n (n-1)! (s)+a 1 1 10. ee at-bt ba-( ) (s++a)(sb) tt TT 1 1-+12eeTT12 11. s(T s +1)(Ts+1) T1 T2TT12 1 2 1ee atbt 1 12. ++ aba(a b)b(ba) s(s + a)(s + b) 1 atat 1 - 13. 2 (1-eate ) 2 a s(s+ a) 1 1 -at 14. 2 (at1e-+ ) 2 a s(s+ a) s 15. costw s22+w w 16. sintw s22+w s + a 17. e-at costw (s + a)2 + w2 w 18. e-at sintw (s + a)2 + w2 20
2.2.4 Tìm bieán ñoåi Laplace ngöôïc Baøi toaùn ñaët ra laø tìm haøm thời gian y(t) khi bieát aûnh Laplace Y(s). Thoâng thöôøng, aûnh Laplace Y(s) coù daïng haøm höõu tæ : P(s) bsm+bsm1- ++ b Y(s) ==mm-10 (m<n) nn1- Q(s) ans+an-10s++ a Bieán ñoåi ngöôïc L-1[Y(s)] coù theå tính baèng coâng thöùc ñònh nghóa nhöng caùch naøy phöùc taïp. Coù moät caùch tieän duïng hôn, ñoù laø phaân tích Y(s) thaønh toång caùc phaân thöùc ñôn giaûn roài aùp duïng caùc coâng thöùc bieán ñoåi cô baûn cho töøng thaønh phaàn cuûa toång. nn 11 y(t)=L[Y(s)]==ååL[Yii(s)]y(t) (2-11) i==1i1 Daïng haøm y(t) phuï thuoäc vaøo nghieäm cuûa mẫu số Q(s). Caùc nghieäm naøy coù theå laø nghieäm ñôn (nghieäm thöïc rieâng bieät), nghieäm boäi, hoaëc nghieäm phöùc. Döôùi ñaây chuùng ta seõ laàn löôït khaûo saùt caùc tröôøng hôïp cuï theå. 1) Maãu soá cuûa Y(s) chæ coù caùc nghieäm ñôn Giaû söû Q(s) coù n nghieäm ñôn laø s 1, s2, , sn . Khi ñoù coù theå phaân tích : Q(s)=ann(s-s12)(s s) (ss) P(s) AAAA Y(s)==12++ +in++ Q(s)s-s12s-ss si ssn trong ñoù A i (i = 1,2, ,n) laø caùc heä soá haèng. Nhaân caû hai veá cuûa phöông trình vôùi (s-s i), ta ñöôïc: A1(s-si ) A2(s-si ) An (s-si ) (s-si )Y(s)= + + +Ai + + s-s1 s -s2 s -sn Neáu laáy giôùi haïn khi s® si thì taát caû caùc thaønh phần coù chöùa (s-si) ôû veá phaûi ñeàu baèng 0, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc: A=lim[(s-s)Y(s)]=-[(ss)Y(s)] (2-12) ii iss=i ss® i éù -1 Ai sti Tra baûng, ta coù : Lêú=Aei ëûss-i n st i s12tst stn Suy ra: y(t)=åAie=A1e+A2ne++ Ae (2-13) i1= 2s1+ Ví duï 2.3. Tìm bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa Y(s) = 2s2 ++6s4 Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù an=2 vaø hai nghieäm s=-1 ; s=-2 neân coù theå phaân tích: 2s+12s++12s1 AA Y(s) ===+12 2s22+6s+42(s++3s2) 2(s+1)(s+2)s++1s2 21
Xaùc ñònh caùc heä soá : 2s+11 A1=lim[(s+1)Y(s)]=lim =- s®-1s1®- 2(s+2)2 2s+13 A2=lim[(s+2)Y(s)]==lim s®-2s2®- 2(s+1)2 13 Þ Y(s) =-+ 2(s++1)2(s2) Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc: 13 y(t)=L-1[Y(s)]=-+ee t2t 22 2) Maãu soá cuûa Y(s) coù nghieäm boäi Neáu Q(s) coù (n-r) nghieäm ñôn vaø moät nghieäm boäi s k laëp r laàn, ta phaân tích : r Q(s)=-an(ss12)(s-s) (s sn-rk)(ss) AABBB Y(s)=1+ +n r+rr+11++ rr-1 s-s1 s sn-rk(s skk)(ss) ss Caùc heä soá Ai (i =1,2, ,n-r) xaùc ñònh nhö tröôøng hôïp nghieäm ñôn ñaõ bieát. Caùc heä soá Bi (i= r, ,2,1) ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch nhaân caû hai veá cuûa phöông r trình treân vôùi (ss-k) , sau ñoù laáy ñaïo haøm baäc (r-i) cuûa caû hai veá roài laáy giôùi haïn khi s® sk . Ta coù keát quaû cuoái cuøng nhö sau: 1déùri- B=-lim(ss)r.Y(s) ikêúri- { } (2-14) (r-i)! ss® k ëûds Nhaän xeùt: - Neáu sk laø nghieäm keùp, caàn xaùc ñònh hai heä soá B 2, B1 : d éù22éù B2=limëû(s-sk)Y(s);B1k=-limêú(ss)Y(s) s®®skkssëûds - Neáu sk laø nghieäm boäi ba, caàn xaùc ñònh ba heä soá B 3 , B2, B1 : d éù33éù B3=limëû(s-sk)Y(s);B2k=-limêú(ss)Y(s); s®®skkssëûds 1déù2 B=-lim(ss)3Y(s) 1kêú2 2ss® këûds Bieán ñoåi Laplace ngöôïc haøm aûnh Y(s) ta ñöôïc: nr- r1- sti t sktskktst y(t)=åAie+Bre+ ++B21teBe (2-15) i1= (r-1)! 2 Ví duï 2.4. Cho aûnh Laplace Y(s) = . Haõy xaùc ñònh haøm y(t). s(s++3)(s1) 2 Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù hai nghieäm ñôn s1=0 ; s2=-3 vaø moät nghieäm keùp s k= -1 22
Do ñoù coù theå phaân tích : AABB Y(s) =1+2++21 s(s++3)(s+1) 2 (s1) Xaùc ñònh caùc heä soá : 22 A1 =lim[sY(s)]==lim s®®0s0(s++3)(s1) 2 3 21 A2=lim[(s+4)Y(s)]=lim =- s®-3s3®- s(s+1) 26 2 2 B2 =lim[(s+1)Y(s)]=lim1=- s®-1s1®- s(s+ 3) éùdéùdæö2-+2(2s3)1 B=lim(s+1)2 Y(s)=lim=lim =- 1 êúêúç÷ 22 s®-1ëûdss®-1ëûdsèøs(s+3)2s1®- s(s+3) 2111 Þ Y(s) = 3s6(s++3)(s+1) 2 2(s1) Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta ñöôïc: 211 y(t)=L-1[Y(s)]=-e-3t tee tt 362 3) Maãu soá cuûa Y(s) coù nghieäm phöùc Nghieäm phöùc luoân coù töøng caëp lieân hôïp, ta kyù hieäu laø p 1,2 = a ± jw. 2 2 Giöõa chuùng coù moái quan heä : (s-p 1)(s-p2) = (s-a-jw)(s-a+jw) = (s-a) + w . Tröôøng hôïp nghieäm phöùc cuõng coù theå phaân tích töông töï nhö tröôøng hôïp nghieäm ñôn nhöng ñeå thuaän tieän hôn, ta thöôøng duøng caùch neâu döôùi ñaây. Neáu Q(s) coù (n-2) nghieäm ñôn vaø 2 nghieäm phöùc p 1,2 thì coù theå phaân tích : Q(s)= ann(s-s1) (s-s-212)(s p)(sp) 22 =ann(s-s12) (s s- )[(sa)]+w A12An- C12(s-a)C+w Y(s) =+ ++22 (s s1)(ss)n-2(s-a) +w Caùc heä soá Ai , C1 vaø C2 coù theå xaùc ñònh baèng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña thöùc, hoaëc aùp duïng coâng thöùc sau : Aii=-lim[(ss)Y(s)] (i=1,2, ,n-2) ss® i 1 C1=Im[(s p12)(sp)Y(s)] sp= w{ 1 } 1 C2=Re[(s p12)(sp)Y(s)]sp= (2-16) w{ 1 } trong ñoù : Im_Phaàn aûo ; Re_Phaàn thöïc Bieán ñoåi Laplace ngöôïc haøm aûnh Y(s) ta ñöôïc: n2- sti atat y(t)=å Aie+C12ecoswt+wCesint (2-17) i1= 23
Bieåu thöùc naøy theå hieän haøm sin taét daàn theo haøm muõ khi phaàn thöïc a 0 vaø dao ñoäng khoâng ñoåi khi a= 0 . Ñeå ñöa veà daïng haøm sin ta coù theå aùp duïng coâng thöùc : æöab asinwt±bcoswt=a22+bç÷sinwt±wcost (2-18) ç÷2222 èøa+ba+b a b Neáu ñaët =jcos thì =jsin a22+b a22+b Þ asinwt±bcoswt=a22+b(sinwtcosj±sinjwcost) =a22+bsin(wt)±j 5(s+1) Ví duï 2.5. Xaùc ñònh haøm y(t) khi bieát aûnh Laplace Y(s)= s(s2+2s +5) Giaûi. Maãu soá cuûa Y(s) coù moät nghieäm ñôn s = 0 vaø hai nghieäm phöùc p 1,2= -1± 2j Do ñoù coù theå phaân tích : AC(s++1)2C Y(s) =+12 s s2++2s5 æö5(s+1) A=lim[sY(s)]==lim1 ç÷2 s0® s0®èøs++2s5 1 1ìü5(s+1) C1=Im[(s p1)(sp2)Y(s)] sp= =Im1íýs=-+12j =- w{ 1} 2sîþ 1 1ìü5(s+1) C=Re(s p)(sp)Y(s) ==Re2 2{[12]sp= 1} íýs=-+12j w 2sîþ Cuõng coù theå duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña thöùc : 5(s+1)AC(s+1)+2C(A+C)s2 +(2A+C++2C)s5A Y(s) ==+=12112 s(s2+2s+5)s s22+2s+5s(s++2s5) 5A = 5 A = 1 Þ A + C1 = 0 Û C1 = -1 2A+ C1+ 2C2 = 5 C2 = 2 1-(s+1)++2(2)1s12(2) Þ Y(s) =+=-+ sss2+2s+5(s+1)2+(2)2(s++1)22(2) Bieán ñoåi Laplace ngöôïc ta thu ñöôïc : y(t) = 1-+e ttcos2t2esin2t -t æö21 = 1+-e.5ç÷sin2tcos2t èø55 = 1+5e-t sin(2t)-j 21 trong ñoù: j=arccos=arcsin=°26,57 55 24
Chuù yù: Neáu phaân tích nhö tröôøng hôïp nghieäm ñôn vaø duøng coâng thöùc Euler ñeå chuyeån haøm muõ phöùc veà daïng sin, cos ta cuõng nhaän ñöôïc keát quaû treân. 5(s+1)AAA Y(s) ==1++22 s(s2+2s+5)ss1+-2js++12j A1 ==lim[s.Y(s)]1 ; s0® 1 1 A2 =lim[(s+1-2j)Y(s)]j= ; A3 =lim[(s+1+2j)Y(s)]j=-+ s®-+12j 2 s® 12j 2 æ11ö-(1-2j)tæö-+(12)jt Þ y(t)=1-ç+j÷e ç÷je è22øèø æ11ö ttæö =1-ç+j÷e(cos2t+jsin2t) -ç÷ je( cos2tjsin2t) è22øèø =1-+e ttcos2t2esin2t 4) Tröôøng hôïp toång quaùt Xeùt aûnh Laplace: P(s) bsm+bsm1- ++ b Y(s) ==mm-10 (m£ n) nn1- Q(s) ans+an-10s++ a Giaû söû Q(s) coù l nghieäm ñôn, rj nghieäm boäi sk laëp r laàn vaø q caëp nghieäm phöùc. Ta coù theå phaân tích Y(s) thaønh toång caùc thaønh phaàn toái giaûn: l ArjqrBC(s-a)D+w Y(s)K=+i++iiiii (2-19) ååååi22 i=1ss-i j=1i==1(s-skj)i1 (s-a)ii+w trong ñoù: - Haèng soá K laø keát quaû pheùp chia P(s) cho Q(s) khi m=n. Neáu m<n thì K=0. - Caùc haèng soá Ai, Bi, Ci, Di coù theå xaùc ñònh theo caùc coâng thöùc (2-12), (2-14), (2-16) ñaõ neâu hoaëc duøng phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá ña thöùc. Aùp duïng caùc bieán ñoåi cô baûn cho töøng thaønh phaàn cuûa toång, ta ñöôïc: 1) L-1[K]=dK(t) éù -1 Ai sti 2) Lêú=Ai e.1(t) ëûss-i i1- éùB t st 3) L-1êúi =Bekj i i(i-1)! ëûêú(s-s)kj éùC(s-a) 4) L-1 i =wCeati cos(t) êú22 ii ëûêú(s-a)i+w éùDw 5) L-1 ii =wDeati sin(t) êú22 ii ëûêú(s-a)ii+w Haøm thôøi gian y(t) = L-1[Y(s)] seõ laø toång caùc bieán ñoåi ngöôïc cuûa caùc thaønh phaàn rieâng leû. 25
2.2.5 ÖÙng duïng bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân Xeùt heä thoáng tuyeán tính lieân tuïc baát bieán coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t), ñöôïc moâ taû baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng : dny(t)dn 11y(t)dmmr(t)dr(t) a+a+ +ay(t)=b+b++ br(t) ndtnn 1dtn 110mmdtmm10dt Hay döôùi daïng töông ñöông: (n)(n-1)(m)(m-1) any(t)+ an-1y(t)+ + a0y(t) = bmr(t)+ bm-10r(t)+ + br(t) (2-20) Baøi toaùn ñaët ra laø tìm nghieäm y(t) khi bieát tröôùc tín hieäu vaøo r(t) vaø caùc ñieàu kieän ban ñaàu cuûa heä thoáng. Vôùi phöông phaùp coå ñieån thì vieäc tìm nghieäm toaøn phaàn yeâu caàu phaûi xaùc ñònh haèng soá tích phaân töø caùc ñieàu kieän ñaàu. Neáu duøng phöông phaùp bieán ñoåi Laplace thì ñieàu naøy laø khoâng caàn thieát vì ñieàu kieän ñaàu ñaõ bao goàm trong bieán ñoåi Laplace cuûa caùc thaønh phaàn ñaïo haøm. Trình töï öùng duïng bieán ñoåi Laplace ñeå giaûi phöông trình vi phaân coù theå toùm taét theo sô ñoà döôùi ñaây: Phöông trình vi phaân giaûi tröïc tieáp Nghieäm y(t) theo bieán t Haøm goác Bieán ñoåi Bieán ñoåi -1 Laplace L Laplace ngöôïc L Haøm aûnh Phöông trình ñaïi soá Nghieäm Y(s) theo bieán s giaûi phöông trình ñaïi soá Bieán ñoåi Laplace töøng soá haïng cuûa phöông trình vi phaân (2-20), ta ñöôïc : (n)n L[any(t)]=-asnnY(s)I(s) (n 1)n1 L[an-1y(t)]=-asn 1Y(s)I(s)n1 (m)m L[bmr(t)]=-bmmsR(s)I(s) (m 1)m1 L[bm-1r(t)]=-bm 1sR(s)I(s)m1 trong ñoù : (n-1) I(s)n, I(s)n-1, laø caùc ña thöùc chöùa caùc ñieàu kieän ñaàu y(0), , y (0). (m-1) I(s)m, I(s)m-1, laø caùc ña thöùc chöùa caùc ñieàu kieän ñaàu r(0), , r (0). Thay caùc bieán ñoåi vaøo phöông trình vi phaân vaø saép xeáp laïi, ta ñöôïc: nn 11mm (ans+an 1s+ +a0)Y(s)=(bmms+b10s+ ++b)R(s)I(s) 26
Vôùi I(s)=I(s)n+I(s)n 11+ -I(s)mm I(s) mm-1 (bmms+b-10s+ ++b)R(s)I(s) Þ Y(s) = nn-1 (2-21) anns+a-10s++ a Sau khi tính ñöôïc Y(s) ta coù theå xaùc ñònh nghieäm y(t) baèng caùch laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc : y(t)=L-1[Y(s)] d2 ydy Ví duï 2.6. Giaûi phöông trình vi phaân : +3+=2y(t)0 dt2 dt dy vôùi ñieàu kieän ñaàu y(0) = a vaø (0) =b. dt Giaûi. Laáy biến đổi Laplace caû hai veá phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc : 2 [sY(s) syy(0)&(0)] + 3[sY(s) - y(0)] + 2Y(s) = 0 Û [s2Y(s) - as - b] + 3[sY(s) - a] + 2Y(s) = 0 Û (s2+3s+2)Y(s) = as + (3a+b) as+(3a+b)as+(3a+b)2a++bab Û Y(s) ===- s2 ++3s2 (s+1)(s+2)s++1s2 Suy ra: y(t)=L-12[Y(s)]=(2a+b)e tt-+(ab)e vôùi t³ 0 d2 ydy Ví duï 2.7. Giaûi phöông trình vi phaân : +2+=10y(t)8r(t) dt2 dt dy(0) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0)0==, tín hieäu vaøo r(t) =1(t). dt Giaûi. Bieán ñoåi Laplace caû hai veá phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc : (s2 +2s+=10)Y(s)8R(s) 1 Tín hieäu vaøo baäc thang ñôn vò r(t)=1(t) Þ R(s)= s 844(s+1)(4/3)(3) Þ Y(s) == s(s2+2s+10)5s 5[(s+1)2+32]5[(s++1)223] Haøm thôøi gian: y(t)=L-1[Y(s)] 444 Þ y(t)= e ttcos3tesin3t vôùi t³ 0 5515 4410-t æö13 4410 -t =-+eç÷sin3tcos3t =-esin(3t)+j 515 èø1010 515 13 vôùi: j=arccos=arcsin=°71,57 1010 27
2.3 Haøm truyeàn Xeùt heä thoáng tuyeán tính lieân tuïc baát bieán coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t), ñöôïc moâ taû baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính heä soá haèng : dny(t)dn 11y(t)dmmr(t)dr(t) a+a+ +ay(t)=b+b++ br(t) ndtnn 1dtn 110mmdtmm10dt Giaû thieát caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0, bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc : nn 11mm (ans+an 1s+ +a0)Y(s)=(bmms+b10s++ b)R(s) mm-1 Y(s) bmms+b-10s++ b Bieåu thöùc G(s) ==nn-1 (2-22) R(s) anns+a-10s++ a ñöôïc goïi laø haøm truyeàn (hay haøm truyeàn ñaït) cuûa heä thoáng. Ñònh nghóa: Haøm truyeàn laø tæ soá giöõa aûnh Laplace cuûa tín hieäu ra vaø aûnh Laplace cuûa tín hieäu vaøo khi caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0. Ñeå coù haøm truyeàn ta thöïc hieän caùc böôùc sau ñaây: 1) Vieát phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng (hay phaàn töû). 2) Laáy bieán ñoåi Laplace cuûa phöông trình vi phaân, vôùi giaû thieát taát caû caùc ñieàu kieän ban ñaàu baèng 0. 3) Laäp tæ soá tín hieäu ra Y(s) treân tín hieäu vaøo R(s). Tæ soá naøy chính laø haøm truyeàn. Nhaän xeùt: - Khaùi nieäm haøm truyeàn chæ duøng cho phaàn töû vaø heä thoáng tuyeán tính baát bieán. - Bieåu thöùc haøm truyeàn chæ phuï thuoäc vaøo caùc thoâng soá a i, bi vaø baäc n cuûa heä thoáng maø khoâng phuï thuoäc vaøo theå loaïi vaø giaù trò (bieân ñoä) tín hieäu vaøo, tín hieäu ra. - Vieäc giaû thieát caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0 laø döïa treân quan ñieåm duøng haøm truyeàn ñeå nghieân cöùu baûn chaát ñoäng hoïc cuûa heä thoáng. Ñieàu kieän ñaàu khaùc 0 chæ phaûn aùnh ñaëc tính ñoäng hoïc öùng vôùi caùc tröôøng hôïp rieâng cuï theåù. - Vì haøm truyeàn laø phaân thöùc ñaïi soá khoâng coù pheùp vi phaân vaø tích phaân neân duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû vaø nghieân cöùu heä thoáng seõ thuaän lôïi hôn nhieàu so vôùi duøng phöông trình vi phaân. Vôùi khaùi nieäm haøm truyeàn, quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra coù theå bieåu dieãn döôùi daïng phöông trình ñaïi soá : Y(s) = R(s). G(s) (2-23) (tín hieäu ra = tích cuûa tín hieäu vaøo vaø haøm truyeàn) Ñieàu naøy giuùp cho coâng vieäc xaùc ñònh tín hieäu ra cuûa heä thoáng öùng vôùi moät tín hieäu vaøo cho tröôùc ñöôïc ñôn giaûn hôn nhieàu. § Ña thöùc maãu soá cuûa haøm truyeàn ñöôïc goïi laø ña thöùc ñaëc tính: nn-1 A(s)=anns+a-10s++ a (2-24) Neáu cho maãu soá cuûa haøm truyeàn baèng 0, ta coù phöông trình ñaëc tính: nn-1 anns+a-10s+ +=a0 (2-25) 28
Treân cô sôû khaûo saùt caùc nghieäm hoaëc caùc heä soá cuûa phöông trình ñaëc tính, ta coù theå ñaùnh giaù tính oån ñònh cuûa heä thoáng. Vaán ñeà xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng seõ ñöôïc trình baøy rieâng ôû chöông 4. § Haøm truyeàn G(s) cuõng ñöôïc vieát döôùi daïng zero-cöïc nhö sau: m Õ(s-z)i Y(s) i=1(s z1m) (sz) G(s)===KKn (2-26) R(s)(s p1n) (sp) Õ(s-p)i i1= Trong ñoù : zi (i=1 m) -laø nghieäm cuûa ña thöùc töû soá, goïi laø caùc zero. pi (i=1 n) -laø nghieäm cuûa ña thöùc maãu soá, goïi laø caùc cöïc (pole). pi cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính. b K = m - ñoä lôïi (gain). an § Vôùi heä thoáng MIMO coù q ngoõ vaøo vaø p ngoõ ra ta phaûi vieát haøm truyeàn rieâng cho töøng caëp ngoõ vaøo-ra: Yi (s) Gij = (i=1, ,p ; j=1, ,q) (2-27) Rj(s) Quan heä vaøo-ra cuûa heä MIMO ñöôïc vieát ôû daïng ma traän: G G éY11(s)ùéù111q éùR(s) êúêúêú Y(s)= G(s).R(s) Û êMú= êúMOMMêú (2-28) êúêúêú ëYp(s)ûëûGp1L GpqqëûR(s) trong ñoù : T Y(s)= [Y1p(s)L Y(s)] - laø aûnh Laplace cuûa veùctô tín hieäu ra T R(s)= [R1q(s)L R(s)] - laø aûnh Laplace cuûa veùctô tín hieäu vaøo éùG11 G1q Y(s) êú G(s) ==êúMOM - laø ma traän haøm truyeàn. (2-29) R(s) êú ëûGGp1L pq § Moät heä thoáng hay phaàn töû tuyeán tính coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t), sau khi ñaõ ñöôïc moâ hình hoaù vaø coù haøm truyeàn G(s) thöôøng ñöôïc bieåu dieãn ñôn giaûn, tröïc quan baèng moät khoái nhö hình veõ: R(s) Y(s) r(t) y(t) G (s) Hay: G(s) Caùch bieåu dieãn naøy raát tieän cho vieäc cho vieäc xaây döïng moâ hình cuûa moät heä thoáng phöùc taïp goàm nhieàu khoái gheùp noái tieáp, song song hoaëc phaûn hoài. 29
2.4 Sô ñoà khoái 2.4.1 Caùc thaønh phaàn cuûa sô ñoà khoái Sô ñoà khoái cuûa moät heä thoáng laø hình veõ moâ taû chöùc naêng cuûa caùc phaàn töû vaø söï taùc ñoäng qua laïi giöõa caùc phaàn töû trong heä thoáng. Sô ñoà khoái coù ba thaønh phaàn cô baûn laø khoái chöùc naêng, boä toång ( hay boä so) vaø ñieåm reõ nhaùnh. · Khoái chöùc naêng: U(s) Y(s) G(s) Quan heä vaøo-ra: Y(s) = U(s). G(s) (tín hieäu ra cuûa khoái = tích cuûa tín hieäu vaøo vaø haøm truyeàn) · Boä toång: Tín hieäu ra cuûa boä toång baèng toång ñaïi soá cuûa caùc tín hieäu vaøo. x + e= x–y x u= x+ y y y Löu yù : - Daáu coäng trong sô ñoà thöôøng ñöôïc löôïc boû. - Caùc bieåu dieãn sau ñaây laø töông ñöông : · Ñieåm reõ: Tín hieäu treân nhaùnh chính vaø caùc nhaùnh reõ laø nhö nhau. x x x 2.4.2 Ñaïi soá sô ñoà khoái Ñaïi soá sô ñoà khoái laø thuaät toaùn bieán ñoåi töông ñöông caùc sô ñoà khoái. Hai sô ñoà khoái ñöôïc goïi laø töông ñöông nhau neáu chuùng coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo, tín hieäu ra nhö nhau. Ñeå tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái phöùc taïp, ta thöôøng tìm caùch bieán ñoåi sô ñoà khoái ñeå laøm xuaát hieän caùc daïng keát noái ñôn giaûn roài laàn löôït tính caùc haøm truyeàn töông ñöông theo nguyeân taéc ruùt goïn daàn töø trong ra ngoaøi. Sau ñaây laø moät soá quy taéc bieán ñoåi sô ñoà khoái thöôøng duøng. 1) Heä noái tieáp U Y1 Y2 Yn-1 Y U n Y G1(s) G2(s) Gn(s) Û ÕGi(s) i1= Theo sô ñoà khoái ta coù: Y(s)=U(s).G12(s).G(s) Gn(s) Þ Haøm truyeàn töông ñöông: Ys() n G(s)===G12(s).G(s) Gn(s)ÕGsi() (2-30) Us() i=1 30
2) Heä song song G(s) 1 U Y U n Y G2(s) Û åGi(s) i1= Gn(s) Theo sô ñoà khoái ta coù: Y(s)=U(s)G12(s)+U(s)G(s)++ U(s)Gn(s) Þ Haøm truyeàn töông ñöông: Ys() n G(s)==G12(s)+G(s)+ +=Gni(s)åGs() (2-31) Us() i=1 3) Heä hoài tieáp moät voøng · Hoài tieáp aâm R Y R G(s) Y G(s) Û 1+G(s)H(s) H(s) Töø sô ñoà khoái ta coù caùc phöông trình moâ taû quan heä vaøo-ra: -Y(s)H(s) + R(s) = E(s) E(s)G(s) = Y(s) Þ [-Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s) Þ Haøm truyeàn cuûa heä kín hoài tieáp aâm : Y(s)G(s) G(s) == (2-32) k R(s)1+G(s)H(s) Tröôøng hôïp ñaëc bieät khi haøm truyeàn maïch phaûn hoài H(s)=1, ta coù heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò. Khi ñoù coâng thöùc (2-32) trôû thaønh: Y(s)G(s) G(s) == (2-33) k R(s)1+G(s) · Hoài tieáp döông R E Y R G(s) Y G(s) Û + 1-G(s)H(s) H(s) Töø sô ñoà khoái ta coù caùc phöông trình quan heä : Y(s)H(s) + R(s) = E(s) E(s)G(s) = Y(s) Þ [Y(s)H(s) + R(s)] G(s) = Y(s) Y(s)G(s) Þ Haøm truyeàn : G(s) == (2-34) k R(s)1-G(s)H(s) 31
· Heä hoài tieáp coù nhieãu taùc ñoäng Xeùt heä hoài tieáp (heä kín) coù sô ñoà khoái: ± Z1 ± Z2 R E Y Gc(s) G(s) H(s) Neáu coi nhieãu z1(t)=z2(t)=0, ta coù phöông trình quan heä: [-Y(s)H(s)+R(s)].Gc(s).G(s) = Y(s) Þ Haøm truyeàn cuûa tín hieäu vaøo r(t): (thöôøng ñöôïc coi laø haøm truyeàn cuûa heä kín, neáu khoâng tính ñeán nhieãu) Y(s) Gc(s)G(s) Gk(s)=GR(s) == (2-35a) R(s)1+Gc(s)G(s)H(s) Neáu coi tín hieäu vaøo r(t)=0 vaø nhieãu z 2(t)=0, ta coù : [-Y(s)H(s)G c(s)± Z1(s)].G(s) = Y(s) Þ Haøm truyeàn cuûa nhieãu z 1(t): Y(s)± G(s) GZ1(s) == (2-35b) Z1(s)1+Gc(s)G(s)H(s) Neáu coi tín hieäu vaøo r(t)=0 vaø nhieãu z 1(t)=0, ta coù : -Y(s)H(s)G c(s)G(s) ± Z2(s) = Y(s) Þ Haøm truyeàn cuûa nhieãu z 2(t): Y(s)1± GZ2 (s) == (2-35c) Z2 (s)1+Gc (s)G(s)H(s) Aùp duïng nguyeân lyù xeáp choàng ñaùp öùng, ta coù theå bieåu dieãn quan heä vaøo-ra cuûa heä kín coù nhieãu nhö sau: Gc(s)G(s)R(s) G(s)Z12(s)Z(s) YS (s)=åYi(s) =±± 1+++Gccc(s)G(s)H(s)1G(s)G(s)H(s)1G(s)G(s)H(s) (2-35d) Nhaän xeùt: Neáu laáy Gc (s)H(s)1>> vaø Gc (s)G(s)H(s)1>> thì Gz1(s) vaø Gz2 (s) seõ xaáp xæ 0, töùc laø aûnh höôûng cuûa nhieãu seõ bò suy giaûm maïnh. Maët khaùc, neáu Gc (s)G(s)H(s)1>> thì GR (s)=»Y(s)/R(s)1/H(s) , neân Y(s)» R(s)/H(s) , töùc laø khi ñoù ñaùp öùng cuûa heä kín khoâng coøn phuï thuoäc vaøo G c(s) vaø G(s) maø chæ phuï thuoäc vaøo H(s). Nhö vaäy, heä kín coù öu ñieåm laø ít nhaïy caûm vôùi nhieãu cuõng nhö vôùi söï thay ñoåi cuûa caùc thoâng soá beân trong cuûa heä thoáng. Ñaây laø ñieàu khoâng theå ñöôïc ñoái vôùi heä hôû. Tuy nhieân cuõng caàn löu yù laø ñieàu kieän Gc (s)G(s)H(s)1>> seõ laøm taêng tính dao ñoäng cuûa ñaùp öùng neân vaán ñeà oån ñònh cuûa heä kín seõ phöùc taïp hôn heä hôû. 32
4) Chuyeån ñieåm reõ ra tröôùc moät khoái U Y U Y G(s) G(s) Û Y Y G(s) 5) Chuyeån ñieåm reõ ra sau moät khoái U Y U Y G(s) Û G(s) U U 1 /G(s) 6) Chuyeån boä toång (boä so) ra tröôùc moät khoái U1 Y=U1G –U2 U1 Y=U1G –U2 G Û G U2 U2 1/G 7) Chuyeån boä toång (boä so) ra sau moät khoái U Y=(U -U )G U Y=U G-U G 1 1 2 1 G 1 2 G Û U2 U2 G 8) Hoaùn vò, nhaäp hoaëc taùch caùc boä toång U3 U 1 Y U1 Y U1 Y Û Û U U 2 3 U3 U2 U2 Y= U1-U2+U3 Y= U1+U3-U2 Y= U1-U2+U3 9) Chuyeån veà daïng hoài tieáp ñôn vò R Y R 1 Y G Û GH H H Löu yù: Caùc bieán ñoåi sau ñaây laø khoâng töông ñöông. · Chuyeån vò trí ñieåm reõ vaø boä toång: U =U U3=U4=U1-U2 3 1 U U 1 Û 1 U4=U1-U2 U4=U1-U2 U2 U2 · Chuyeån vò trí hai boä toång khi giöõa hai boä toång ñoù coù ñieåm reõ: U4=U1-U2 U4=U1+U3 U U 1 Û 1 U5 U5 U 2 U3 U3 U2 33
Ví duï 2.8. Tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng sau : R(s) Y(s) G G G 1 2 3 H 1 H2 H3 Giaûi. Laàn löôït ruùt goïn sô ñoà khoái töø trong ra ngoaøi, ta ñöôïc: Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm G 1–H1 : G1 Gtñ1 = 1+ GH11 Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm G tñ1–G2– H2 : GG12 GG 1+GH GG G =tñ12 ==11 12 tñ2 1+GGHGGH 1++GHGGH tñ1 221+122 11122 1+GH11 Haøm truyeàn Gk(s) cuûa heä thoáng cuõng laø haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm Gtñ2 –G3– H3 . Ta coù: Y(s) GGtñ2 3 G1GG23 Gk (s) === R(s)1+Gtñ2G3H31+G1H1++G1G2H2G1G2GH33 Ví duï 2.9. Tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng sau : 2(s+1) G5 r 1 1 1 y 20 s +1 A s + 2 B s G1 G G G 2 3 4 CAÙCH GIAÛI 1 : Chuyeån ñieåm reõ A ra sau khoái G 3 ta ñöôïc sô ñoà töông ñöông : 2(s+1) G5 r 1 1 B 1 y 20 +1 + 2 s s s A G1 G2 G3 G4 1G 3 (Löu yù laø treân sô ñoà naøy, caùc ñieåm A vaø B coù theå hoaùn vò nhau hoaëc ñaët truøng nhau ñeàu ñöôïc vì khoâng coøn khoái naøo ôû giöõa chuùng.) 34
Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp döông G 2–G3–G5 : GG23 Gtñ1= 1-G2GG35 Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm G 1–Gtñ1 –1/G3 : r y G1 Gtđ1 G4 1G 3 G1GG23 GG 1-GGGGGG G =1tñ1==235123 tñ21GG 12 1-+G2G3G5GG12 1++G1G1tñ1 G31-G2GG35 Cuoái cuøng, heä thoáng töông ñöông vôùi heä hoài tieáp aâm ñôn vò G tñ2–G4–1 : r y Gtđ2 G4 Do ñoù haøm truyeàn töông ñöông cuûa toaøn heä thoáng laø: G1G2GG34 GG 1-+GGGGGGGGG G =tñ2 4 ==235121234 tñ 1GGGGGG 1GGGGGGGGG +tñ2 41+1234 -235++121234 1-+G23GG5GG12 Y(s)20 Thay soá vaøo ta ñöôïc: G == tñ R(s) s32+21s++40s20 CAÙCH GIAÛI 2 : Tröôùc tieân, chuyeån ñieåm reõ B ra tröôùc khoái G 3 ta ñöôïc sô ñoà töông ñöông : G5 G3 y r 1 AB 1 1 20 s+1 s2+ s G1 G2 G 3 G4 Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp döông G 2–G3–G5 : G2 Gtñ1= 1-G2GG35 Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm ñôn vò G 1–Gtñ1 –1 : 35
r G1 Gtđ1 G3 G4 GG1 tñ1 GG12 Gtñ2== 1+G1Gtñ11-+G2G3G5GG12 Cuoái cuøng, heä thoáng töông ñöông vôùi heä hoài tieáp aâm ñôn vò G tñ2–G3–G4 –1 : r y Gtđ2 G G4 3 Suy ra haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng laø: Gtñ2GG34 G1G234GG 20 Gtñ ===32 1+Gtñ2G3G41-G2G3G5++G1G2G1G234GG s+21s++40s20 CAÙCH GIAÛI 3 : Tröôùc tieân, chuyeån boä so cuoái ra tröôùc khoái G 1 vaø chuyeån ñieåm reõ B ra tröôùc khoái G3 ta ñöôïc sô ñoà töông ñöông: 1/G1 G5 G3 r B y G1 G2 G3 G4 A Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp döông G 1–G2–G3–G5–1/G1 : G1G2GG12 Gtñ1== 1 G1G23GG5(1/G1)1G235GG Haøm truyeàn cuûa maïch kín hoài tieáp aâm ñôn vò G tñ1 –1 : Gtñ1 GG12 Gtñ2== 1+Gtñ11-+G2G3G5GG12 Cuoái cuøng, heä thoáng tương đương với heä hoài tieáp aâm ñôn vò G tñ2–G3–G4 –1. Suy ra haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng laø: Gtñ2GG34 G1G234GG 20 Gtñ ===32 1+Gtñ2G3G41-G2G3G5++G1G2G1G234GG s+21s++40s20 Nhaän xeùt : Caû ba caùch giaûi treân ñeàu cho keát quaû nhö nhau. 36
2.5 Haøm truyeàn cuûa caùc khaâu vaät lyù ñieån hình Caùc khaâu (phaàn töû) cuûa heä thoáng ñieàu khieån coù theå laø cô khí, ñieän, thuyû löïc, khí neùn, nhieät, Trong muïc naøy chuùng ta seõ xaây döïng haøm truyeàn cuûa caùc khaâu vaät lyù thöôøng gaëp trong kyõ thuaät. 2.5.1 Phaàn töû cô khí Caùc heä cô khí chuyeån ñoäng thaúng coù 3 thoâng soá cô baûn laø khoái löôïng, ñoä cöùng vaø ma saùt nhôùt. Vôùi chuyeån ñoäng quay thì 3 thoâng soá töông öùng laø moâmen quaùn tính, ñoä cöùng xoaén vaø ma saùt nhôùt. Khoái löôïng ñaëc tröng cho quaùn tính. Ñoä cöùng ñaëc tröng cho hoaït ñoäng cuûa löïc ñaøn hoài töông töï nhö löïc cuûa loø xo. Ma saùt nhôùt (hay giaûm chaán) ñaëc tröng cho phaàn töû haáp thuï naêng löôïng. 〈 Heä loø xo - khoái löôïng - giaûm chaán F(t) y(t) m F(t) y(t) k b m k b k b m y(t) F(t) Hình 2.2 Heä loø xo - khoái löôïng - giaûm chaán - Tín hieäu vaøo : löïc F(t) taùc duïng töø beân ngoaøi, [N] - Tín hieäu ra : löôïng di ñoäng y(t) cuûa khoái löôïng m, [m] Giaû söû taïi t=0 heä ñang ôû traïng thaùi caân baèng vaø khoâng tính ñeán löïc troïng tröôøng. Theo ñònh luaät II Newton ta coù phöông trình caân baèng löïc: d2 ydy m=F=F(t) bk.y(t) dt2 åi dt Trong ñoù, m : khoái löôïng, [kg] b : heä soá ma saùt nhôùt (giaûm chaán), [N.s/m ] k : ñoä cöùng loø xo, [N/m ] dy2 m : löïc quaùn tính, [N] dt2 dy b : löïc giaûm chaán, [N] dt k.y(t) : löïc loø xo, [N] Þ Phöông trình vi phaân moâ taû quan heä vaøo - ra : d2ydy m+b+=ky(t)F(t) dt2 dt Bieán ñoåi Laplace hai veá vôùi ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc: (ms2+bs+=k)Y(s)F(s) Laäp tæ soá tín hieäu ra treân tín hieäu vaøo ta ñöôïc haøm truyeàn baäc hai: 37
Y(s)1 G(s) == (2-36) F(s) ms2++bsk Þ Sô ñoà khoái : F(s) 1 Y(s) 2 ms++bsk Nhaän xeùt: - Neáu khoái löôïng m laø nhoû, khoâng ñaùng keå, ta coù haøm truyeàn baäc nhaát: Y(s)1 G(s) == F(s)bsk+ - Neáu chæ coù thaønh phaàn loø xo, ta coù haøm truyeàn tæ leä: Y(s)1 G(s) == F(s)k - Neáu chæ coù thaønh phaàn giaûm chaán, ta coù haøm truyeàn tích phaân: Y(s)1 G(s) == F(s)bs 〈 Phaàn töû quay M 1 w M Jsb+ J M 1 q w,q s(Js+ b) Hình 2.3 Xeùt moät truïc mang taûi quay coù quaùn tính J nhö hình 2.3. Taïi caùc beà maët tieáp xuùc khi quay (oå ñôõ, phanh haõm, ) seõ xuaát hieän moâmen ma saùt Mms ngöôïc chieàu chuyeån ñoäng vaø tæ leä vôùi vaän toác goùc w. dq M=bbw= vôùi b : heä soá ma saùt nhôùt ms dt Truïc quay cuõng chòu bieán daïng ñaøn hoài töông töï nhö moät loø xo xoaén. Moâmen ñaøn hoài xoaén Mx ngöôïc chieàu chuyeån ñoäng vaø tæ leä vôùi goùc quay q cuûa truïc. Mx=kq(t)=wkò dt vôùi k: ñoä cöùng loø xo xoaén Trong thöïc teá aûnh höôûng cuûa ñaøn hoài xoaén treân truïc ñoäng cô vaø caùc taûi quay thöôøng ñöôïc boû qua (noùi caùch khaùc, coi truïc laø cöùng tuyeät ñoái). Aùp duïng ñònh luaät II Newton cho chuyeån ñoäng quay, ta coù phöông trình caân baèng moâmen : dw J=M=Mb-w dt å i trong ñoù: M : moâmen taùc ñoäng, [Nm] J : moâmen quaùn tính cuûa vaät quay, [kg.m 2 ] w : vaän toác goùc, [ rad/s] b : heä soá ma saùt nhôùt (giaûm chaán quay), [Nm.s/rad] 38
Xeùt M laø tín hieäu vaøo, w laø tín hieäu ra, ta coù : dw J+bMw= dt Bieán ñoåi Laplace hai veá vôùi ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc: Jsw(s)+bw=(s)M(s) Laäp tæ soá tín hieäu ra treân tín hieäu vaøo ta ñöôïc haøm truyeàn: w(s)1 G(s) == (2-37a) M(s)Jsb+ Xeùt M laø tín hieäu vaøo, goùc quay q laø tín hieäu ra, ta coù : q(s)1 G(s) == (2-37b) M(s)s(Js+ b) 〈 Hoäp giaûm toác baùnh raêng Caùc hoäp giaûm toác baùnh raêng thöôøng ñöôïc M2 z4 söû duïng ñeå giaûm toác ñoä, taêng moâmen, hoaëc ñeå J ñaït hieäu suaát truyeàn naêng löôïng cao nhaát töø b ñoäng cô sang taûi. z2 Trong thöïc teá caùc baùnh raêng vaø caùc boä z3 M1 truyeàn ñoäng cô khí noùi chung ñeàu coù khe hôû z1 (ñoä rô) nhaát ñònh giöõa caùc khôùp. Ñoä rô seõ gaây Hình 2.4 neân caùc haønh trình cheát, aûnh höôûng ñeán ñoä chính xaùc truyeàn ñoäng vaø tính oån ñònh cuûa heä thoáng. Caùc aûnh höôûng naøy mang tính phi tuyeán. Trong phaàn naøy ta giaû ñònh boä truyeàn khoâng coù khe hôû vaø coi heä laø tuyeán tính. Xeùt heä cô khí goàm moät taûi quay coù moâmen quaùn tính J, ma saùt nhôùt b vaø moät hoäp giaûm toác goàm 4 baùnh raêng nhö hình veõ 2.4. Goïi w1, q1 laàn löôït laø vaän toác goùc, goùc quay cuûa truïc ngoõ vaøo hoäp giaûm toác w2, q2 laàn löôït laø vaän toác goùc, goùc quay cuûa truïc ngoõ ra hoäp giaûm toác M1, M2 laàn löôït laø moâmen taùc ñoäng leân truïc vaøo vaø ra hoäp giaûm toác. z1, z2, z3, z4 laàn löôït laø soá raêng cuûa caùc baùnh raêng. Giaû thieát laø caùc truïc baùnh raêng vaø taûi coù ñoä cöùng raát lôùn (khoâng coù ñaøn hoài), boû qua ma saùt trong hoäp giaûm toác. Ta coù: Mwq z1z31 1=22==.k== Với i là tæ soá truyeàn cuûa hoäp giaûm toác. M2wq11z2z4i 2 ww21(s)k(s) 1 w1(s)11 Þ == Þ ==22 M21(s)M(s)Jsb+ M1(s)kJs+ kb J11sb+ 2 Vôùi J1 = kJ laø moâmen quaùn tính quy veà truïc vaøo hoäp giaûm toác 2 b1 = kb laø heä soá ma saùt quy veà truïc vaøo hoäp giaûm toác Nhaän xeùt: Vôùi hộp giảm tốc thì i>1, k M1 . 39
〈 Boä truyeàn truïc vítme- ñai oác Xeùt boä truyeàn vitme- ñai oác nhö hình veõ: y(t) w(t) Tín hieäu vaøo : vaän toác goùc w(t) cuûa vítme [rad/s] Tín hieäu ra: löôïng di ñoäng y(t) cuûa baøn maùy gaén lieàn vôùi ñai oác, [m] Goïi P [m] laø böôùc cuûa vítme, ta coù phöông trình quan heä: P t y(t)=w.ò(t)dt 2p0 Bieán ñoåi Laplace hai veá vôùi ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc: Pw(s) Y(s).= 2sp Laäp tæ soá tín hieäu ra treân tín hieäu vaøo ta ñöôïc haøm truyeàn tích phaân: Y(s)PK == wp(s)2ss P vôùi K = : heä soá tích phaân 2p 2.5.2 Phaàn töû ñieän · Maïch RL noái tieáp - Tín hieäu vaøo : ñieän aùp u(t) R - Tín hieäu ra : doøng ñieän i(t) L i u Aùp duïng ñònh luaät Kirchhoff ta coù: di u=u+u=+LRi LR dt Bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc: U(s)=+(LsR)I(s) I(s)1 Þ Haøm truyeàn : G(s) == (2-38) U(s)LsR+ · Maïch RC noái tieáp i - Tín hieäu vaøo : ñieän aùp u R C u uc - Tín hieäu ra : ñieän aùp u c ôû tuï ñieän C. Theo ñònh luaät Kirchhoff ta coù: u=uR +ucc=+Riu 1 du maø : u=idtÞ=iC c c Cò dt 40
du Þ Phöông trình vi phaân baäc nhaát : u=+RCuc dt c U(s) 1 Þ Haøm truyeàn: G(s) ==c (2-39) U(s)RCs1+ · Maïch RLC noái tieáp - Tín hieäu vaøo : ñieän aùp u L R - Tín hieäu ra : ñieän aùp u c u uc Theo ñònh luaät Kirchhoff ta coù: i C u=uRL++uuc di Û u=L++Riu (*) dt c 1 du di du2 maø : u=idtÞ=iC c ; = C c c Cò dt dt dt2 Theá vaøo (*), ta ñöôïc phöông trình vi phaân baäc hai : d2 udu u=LCcc++RCu dt2 dt c U(s) 1 Þ Haøm truyeàn: G(s) ==c (2-40) U(s) LCs2 ++RCs1 · Boä khueách ñaïi caùch ly Xeùt heä thoáng treân hình 2.5. Heä thoáng goàm hai maïch RC gheùp noái vôùi nhau baèng moät boä khueách ñaïi caùch ly coù heä soá khueách ñaïi K. Boä R u 1 C1 khueách ñaïi R2 i uo caùch ly C2 - K - Hình 2.5 Boä caùch ly coù taùc duïng taïo caùch ly veà ñieän giöõa caùc taàng maïch ñieän hay giöõa maïch ñieàu khieån vaø maïch ñoäng löïc. Thoâng thöôøng, caùc boä caùch ly coù toång trôû vaøo raát lôùn coøn toång trôû ra raát nhoû. Do ñoù noù khoâng taïo ra taùc ñoäng phuï taûi (nhieãu) khi gheùp taàng caùc maïch thaønh phaàn. Haøm truyeàn chung seõ laø haøm truyeàn heä noái tieáp : U(s) 11 o = .K. (2-41) Ui(s)R1C1s++1R22Cs1 · Caûm bieán Caùc caûm bieán thöôøng coù tín hieäu ra yht(t) tæ leä vôùi tín hieäu vaøo y(t). Ví duï: Moät caûm bieán ño aùp suaát trong taàm 0 ¸10 bar vaø chuyeån thaønh ñieän aùp trong taàm 0¸10V seõ coù haøm truyeàn laø H(s)=K =1; Moät caûm bieán nhieät ño nhieät ñoä trong taàm 0¸500°C vaø chuyeån thaønh ñieän aùp 0 ¸10V seõ coù haøm truyeàn laø H(s)=K =0,02. 41
· Khueách ñaïi thuaät toaùn (op-amp) Khueách ñaïi thuaät toaùn (op-amp, operation amplifier) laø moät vi maïch ñi ện tử (IC) coù chöùc naêng khueách ñaïi tín hieäu vôùi heä soá khueách ñaïi raát lôùn. Op-amp thöôøng ñöôïc gheùp noái thaønh caùc maïch caûm bieán, boä loïc tín hieäu, boä ñieàu khieån. Hình 2.6 bieåu dieãn kyù hieäu vaø hình daïng voû ngoaøi cuûa moät op-amp ñieån hình. Nguoàn ñieän cung caáp (V+,V-) coù giaù trò ±15Volt. Veà cô baûn op-amp coù 2 ngoõ vaøo (ngoõ ñaûo vaø ngoõ khoâng ñaûo) vaø moät ngoõ ra. Thoâng thöôøng thì choïn ñaát laø 0V vaø ño caùc tín hieäu vaøo, ra so vôùi ñaát. Tín hieäu u 1 vaøo ngoõ (-) seõ bò ñaûo coøn u 2 vaøo ngoõ (+) khoâng bò ñaûo. Tín hieäu ngoõ ra u 0 tæ leä vôùi hieäu cuûa hai tín hieäu vaøo: u0=K(u2-u1)= K(u12u) Dot beside 741 Op Amp Pin 1 8-pin DIP Pin 1 V+ Inverting Input 2 Non-Inverting Input 3 u1 -15V rail 4 u0 u2 V– 5 Top View Output 6 +15V rail 7 8 The Most usual 741 Pakage Hình 2.6. Kyù hieäu vaø hình daïng thöïc teá cuûa moät op-amp. Tín hieäu vaøo u1 vaø u2 coù theå laø tín hieäu moät chieàu hay xoay chieàu. K laø heä soá khueách ñaïi, giaù trò K»105¸106 vôùi tín hieäu moät chieàu vaø xoay chieàu khi taàn soá <10Khz. Heä soá naøy giaûm khi taàn soá taêng vaø K »1 ôû taàn soá 1Mhz ¸ 50Mhz. Boä khueách ñaïi laø tuyeán tính lyù töôûng khi khoâng coù doøng vaøo cöûa vaøo vaø ñieän aùp ra khoâng bò aûnh höôûng (suït aùp) bôûi taûi noái vaøo noù. Noùi caùch khaùc, toång trôû vaøo cuûa boä khueách ñaïi laø voâ cuøng lôùn vaø toång trôû ra cuûa boä khueách ñaïi baèng 0. Trong thöïc teá, coù moät doøng raát nhoû ñi vaøo cöûa vaøo op-amp vaø toàn taïi moät aûnh höôûng nhoû cuûa taûi leân ñieän aùp ra. Trong tính toaùn lyù thuyeát ta thöôøng giaû ñònh op- amp laø moät boä khueách ñaïi tuyeán tính lyù töôûng. · Boä khueách ñaïi ñaûo Xeùt maïch khueách ñaïi ñaûo duøng R i 2 op-amp bieåu dieãn treân hình 2.7. 2 R1 i1 iV - Tín hieäu vaøo: ñieän aùp u i uV iV ui - Tín hieäu ra: ñieän aùp u 0 u0 Hình 2.7 Boä khueách ñaïi ñaûo 42
uui - v uuv0- Ta coù: i 1 = ; i 2 = R 1 R 2 Vì doøng vaøo op-amp raát nhoû, coù theå boû qua (i V » 0), neân ta coù i1 = i2 uu- uu- Þ iv = v0 RR12 Vì K(0-=uv0)u vaø K>>1, neân u V » 0 . u u Do ñoù : i =- 0 RR12 U(s)u(t) R Haøm truyeàn: G(s) =00==- 2 Ui (s)ui1(t)R R Heä soá khueách ñaïi : K =- 2 R 1 Neáu R1=R2 thì maïch op-amp hoaït ñoäng nhö moät maïch ñaûo daáu. · Boä khueách ñaïi vi sai Boä khueách ñaïi vi sai laø maïch khueách ñaïi hieäu ñieän aùp cuûa 2 tín hieäu vaøo, maø caû hai khoâng baèng 0. Sô ñoà maïch ñöôïc trình baøy ôû hình 2-8. R R a 2 u 1 u a R uV b u 2 ub u 0 R g Hình 2.8 Boä khueách ñaïi vi sai (boä so ñieän aùp) - Tín hieäu vaøo : ua vaø ub ; Tín hieäu ra : u 0 Giaû ñònh u1 = u2 (hay uV » 0 ) vaø duøng boä phaân aùp R b vaø Rg : Rg u1 = u2 = .u b RRbg+ Doøng ñieän chaïy qua R a vaø R2 ñöôïc theå hieän nhö sau: uu- uu- a01 = 1 RRa 2 Töø ñaây ruùt ra: æRöRæöRæöRR u = 2+1u-2u=g 22+-1uu (2-42) 0 ç÷1baaç÷ç÷ èRaøRaèøRbg+RèøRRaa Töø phöông trình (2-42) vaø khi cho R 2 = Ra = Rg , ta coù : u0 = ub – ua 43
2.5.3 Ñoäng cô ñieän DC Ñieån hình cuûa loaïi naøy laø ñoäng cô ñieän moät chieàu kích töø ñoäc laäp, ñieàu khieån baèng ñieän aùp phaàn öùng. Sô ñoà nguyeân lyù cuûa loaïi ñoäng cô naøy ñöôïc theå hieän treân hình 2.9, trong ñoù doøng kích töø i k ñöôïc giöõ khoâng ñoåi. ik = const L R u e J i w Mt Hình 2.9 Sô ñoà nguyeân lyù ñoäng cô ñieän DC - Tín hieäu vaøo laø ñieän aùp u ñaët vaøo phaàn öùng, [Volt;V] - Tín hieäu ra laø vaän toác goùc w cuûa ñoäng cô, [rad/s; s-1] Söû duïng ba phöông trình cô baûn : 1) Phöông trình maïch ñieän phaàn öùng : di u=L++wRiK (2-43) dt e Trong ñoù: R_ ñieän trôû phaàn öùng, [ W] L_ ñieän caûm phaàn öùng, [Henry; H=V.s/A] i_ doøng ñieän phaàn öùng, [A] Ke _haèng soá sức ñieän ñoäng, [V.s /rad] Keew= : söùc ñieän ñoäng ôû phaàn öùng, [V]. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, ta ñöôïc: U(s)=LsI(s)+RI(s)+wKe (s) Þ U(s)-Kew(s)=+(LsR) I(s) Sô ñoà khoái töông öùng : U(s) 1 I(s) LsR+ E(s) w(s) K e 2) Phöông trình moâmen ñieän töø cuûa ñoäng cô : Vôùi doøng kích töø ik khoâng ñoåi thì töø thoâng khe khí F=ki2k laø khoâng ñoåi vaø moâmen ñieän töø M cuûa ñoäng cô tæ leä vôùi doøng ñieän phaàn öùng: M = Km i (2-44) Trong ñoù Km laø haèng soá moâmen cuûa ñoäng cô , [N.m/A] Km =k1F=k1kki2 , vôùi k1 laø haèng soá phuï thuoäc keát caáu ñoäng cô, k 2 laø haèng soá ñaëc tröng ñoaïn tuyeán tính cuûa töø thoâng thay ñoåi theo i k . 44
Bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc: M(s) = Km I(s) Sô ñoà khoái töông öùng: I(s) M(s) K m 3) Phöông trình caân baèng moâmen treân truïc ñoäng cô : dw M=J+BMw+ (2-45) dt t Trong ñoù: J _moâ men quaùn tính cuûa ñoäng cô vaø taûi quy veà truïc ñoäng cô, [kg.m 2] B_heä soá ma saùt nhôùt cuûa ñoäng cô vaø taûi quy veà truïc ñoäng cô, [Nm.s] Mt _moâ men phuï taûi (nhieãu), [Nm] Bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc: M(s)=Jsw(s)+Bw+(s)Mt (s) M(s)-Mt(s)=(Js+wB) (s) Sô ñoà khoái töông öùng : Mt(s) M(s) 1 w(s) JsB+ Keát noái caùc sô ñoà khoái thaønh phaàn ôû treân ta coù sô ñoà khoái cuûa ñoäng cô : Mt(s) U(s) 1 I(s) M(s) 1 w(s) K LsR+ m JsB+ E(s) w(s) Ke 〈 Haøm truyeàn cuûa ñoäng cô DC vôùi tín hieäu ra vaän toác : Km w(s) (Ls++R)(JsB) K G(s) ===m (2-46) U(s)KK (Ls+R)(Js++B)KK 1+ me me (Ls++R)(JsB) w(s) K G(s) == m Hay: 2 (2-47) U(s) LJs+(LB+RJ)s++(KmeKRB) L Ñaët t= : haèng soá thôøi gian ñieän töø. t R J t= : haèng soá thôøi gian cô. c B 45
w(s) KK/RB Þ G(s) ===mm U(s)RB(tts+1)(stc++1)KKme 2æöKKme tttcs+(ttc+t)s1++ç÷ èøRB w(s)K G(s) == Hay: 2 (2-48) U(s) T12s++Ts1 tttcRB (ttc+t )RB Km trong ñoù: T1= ; T2= ; K= KmeK+RB KmeK+RB KmeK+RB Ñieän caûm L cuûa phaàn öùng raát nhoû, thöôøng coù theå boû qua, khi ñoù ta coù : Km w(s)KK RB+KK G(s) ==m ==me (2-49) U(s)RJsRBKKRJ Ts1 +++me s1+ RB+KKme K trong ñoù: K=m : heä soá khueách ñaïi RB+KKme RJ T = : haèng soá thôøi gian RB+KKme Nhaän xeùt: - Toång quaùt, ñoäng cô DC ñieàu khieån vaän toác ñöôïc moâ taû baèng haøm truyeàn baäc hai. Neáu boû qua ñieän caûm thì coù theå moâ taû baèng haøm truyeàn baäc nhaát. - Ñoäng cô DC ñieàu khieån baèng ñieän aùp phaàn öùng töï baûn thaân noù laø moät heä kín coù tín hieäu hoài tieáp laø söùc ñieän ñoäng. 〈 Neáu tín hieäu ra goùc quay q (ñieàu khieån ñònh vò), ta coù sô ñoà khoái: Mt(s) I(s) M(s) U(s) 1 1w(s) 1q(s) Km LsR+JsB+s w(s) K e Haøm truyeàn vôùi tín hieäu ra goùc quay q (ñieàu khieån ñònh vò): Km q(s)1(Ls++R)(JsB) æö Km G(s) ===ç÷ (2-50) U(s)KK ss(Ls+R)(Js++B)KK 1+ me èø [ me] (Ls++R)(JsB) Neáu boû qua ñieän caûm cuûa phaàn öùng, ta coù: Km q(s)KKRB+KK G(s) ==m ==me (2-51) U(s)s(RJs+RB++KmeK)æöRJ s(Ts1) sç÷s1+ èøRB+KKme trong ñoù K vaø T ñöôïc xaùc ñònh töông töï nhö ôû coâng thöùc (2-49). 46
2.5.4 Boä servo thuyû löïc Xeùt boä servo thuyû löïc (coøn goïi laø kích thuyû löïc) goàm hai boä phaän cô baûn laø van ñieàu khieån vaø xylanh löïc nhö treân hình 2.10. Daàu ra Daàu vaøo Daàu ra x Van ñieàu khieån Q Q y p2 p1 Taûi Xylanh löïc Hình 2.10. Boä servo thuyû löïc - Tín hieäu vaøo : löôïng di ñoäng x cuûa van - Tín hieäu ra : löôïng di ñoäng y cuûa piston vaø taûi troïng. § Nguyeân lyù laøm vieäc : Van ñieàu khieån laø loaïi van caân baèng, töùc laø ôû traïng thaùi oån ñònh, caùc löïc taùc duïng leân noù luoân ñöôïc caân baèng. Neáu di ñoäng noøng van sang phaûi, daàu töø nguoàn caáp seõ qua cöûa van vaøo buoàng phaûi cuûa xylanh, ñaåy piston qua traùi, daàu ôû buoàng traùi cuûa xylanh seõ qua cöûa van veà beå daàu. Ngöôïc laïi, neáu di ñoäng noøng van sang traùi thì piston seõ qua phaûi. Ñeå ñieàu khieån vò trí cuûa taûi troïng ta chæ caàn laøm dòch chuyeån noøng van baèng moät löïc raát nhoû. Noùi caùch khaùc, chæ caàn taùc ñoäng leân van moät coâng suaát vaøo raát nhoû, ta coù theå ñieàu khieån moät coâng suaát ra raát lôùn. § ÖÙng duïng : Boä servo thuyû löïc ñöôïc duøng roäng raõi trong caùc maùy naâng chuyeån, maùy eùp nhöïa, heä ñieàu khieån baøn tröôït cuûa caùc maùy coâng cuï coù coâng suaát lôùn, heä thoáng ñieàu chænh toác ñoä ñoäng cô Diesel, § Moâ taû toaùn hoïc : Goïi Q laø löu löôïng daàu chaûy vaøo xylanh, [m 3/sec] 2 Dp=p1-p2 laø hieäu aùp giöõa hai buoàng xylanh, [N/m ] x laø löôïng di ñoäng cuûa van, [m] Trong caùc van vaø xy lanh thuyû löïc, löu löôïng Q laø haøm cuûa hai bieán: x vaø Dp. Moái quan heä giöõa Q, x vaø Dp laø quan heä phi tuyeán: Q= f(x, Dp) Tuyeán tính hoaù phöông trình phi tuyeán naøy taïi laân caän ñieåm laøm vieäc ( Q , x , Dp ) baèng caùch khai trieån Taylor vaø giöõ laïi caùc soá haïng tuyeán tính ta coù: ¶¶ff Q-Q=+(x-x)+(Dp-Dp) (2-52) ¶xp¶D Trong ñoù Q=Df(x,p). Caùc ñaïo haøm rieâng laáy taïi xx= ; Dpp=D . 47
Ñaët: ¶f K0=> 1 ¶xx=x;Dpp=D ¶f K0=> (2-53) 2 ¶Dpx=x;Dpp=D Do ñieàu kieän laøm vieäc bình thöôøng töông öùng vôùi Q=0 , x=0, Dp=0 neân töø (2-52) vaø (2-53) ta coù phöông trình tuyeán tính hoaù: Q=K12x-DKp (2-54) (Daáu tröø ôû veá phaûi theå hieän khi Dp taêng thì Q giaûm vaø ngöôïc laïi.) Quan heä tuyeán tính hoaù giöõa Q, x vaø Dp ñöôïc bieåu dieãn treân hình (2.11). Hoï ñöôøng ñaëc tính naøy bao goàm caùc ñöôøng thaúng song song caùch ñeàu theo thoâng soá x. Mieàn gaàn goác toaï ñoä ñöôïc quan taâm nhieàu nhaát vì söï hoaït ñoäng cuûa heä thoáng thöôøng xaûy ra gaàn ñieåm naøy. x=2x1 Q x=x1 x=0 x=-x 1 x=-2x1 Dp Hình 2.11 Ñöôøng ñaëc tính tuyeán tính hoaù cuûa boä servo thuyû löïc Löu löôïng daàu Q chaûy vaøo xylanh baèng toác ñoäï thay ñoåi theå tích daàu trong xylanh, töùc laø baèng tích cuûa tieát dieän piston A vaø vaän toác piston : dy QA= (2-55) dt Löïc F taïo ra bôûi piston baèng tích cuûa tieát dieän piston vaø hieäu aùp: F=DA.p (2-56) Keát hôïp (2-56) vôùi (2-54) vaø (2-55) ta ñöôïc: Aæödy F=-ç÷K1xA (2-57) K2 èødt Vôùi moät löïc toái ña ñònh tröôùc, neáu hieäu aùp ñuû lôùn thì dieän tích piston hoaëc theå tích xylanh coù theå nhoû. Nhö vaäy ñeå toái thieåu hoaù troïng löôïng cuûa boä servo thuyû löïc thì chuùng ta phaûi coù aùp suaát nguoàn ñuû lôùn. Giaû thieát laø piston löïc dòch chuyeån moät taûi bao goàm khoái löôïng taûi vaø löïc ma saùt. Theo ñònh luaät II Newton ta coù: 48
d2 ydy m+=bF (2-58) dt2 dt Töø (2-58) vaø (2-57) ta ñöôïc: d2 ydyAæödy m2 +b=-ç÷K1xA dt dtK2 èødt Suy ra phöông trình vi phaân cuûa boä servo thuyû löïc: 22 dyæöAdy AK1 m2+ç÷bx+= (2-59) dt èøK22dtK Trong ñoù m laø khoái löôïng cuûa taûi, b laø heä soá ma saùt nhôùt. Bieán ñoåi Laplace hai veá, ta ñöôïc: 2 2 æöA AK1 msY(s)+ç÷b+=sY(s)X(s) èøKK22 Haøm truyeàn cuûa boä servo thuyû löïc: Y(s)1K G(s) === (2-60) X(s)éùæömKbKA+2 s(Ts+1) ssêúç÷22+ ëûèøAK11AK AK1 Vôùi: K = 2 : heä soá khueách ñaïi bKA2 + mK2 T = 2 : haèng soá thôøi gian bKA2 + mK2 Trong thöïc teá, haèng soá thôøi gian T = 2 thöôøng coù giaù trò raát nhoû neân bKA2 + coù theå boû qua. Haøm truyeàn ñôn giaûn hoaù seõ coù daïng tích phaân: Y(s)K G(s) == (2-61) X(s)s Neáu phaân tích chi tieát hôn veà söï roø daàu, ñoä ñaøn hoài cuûa daàu, löïc thuyû ñoäng , haøm truyeàn seõ coù daïng: Y(s)K G(s) == (2-62) X(s)s(T12s++1)(Ts1) vôùi T1, T2 laø caùc haèng soá thôøi gian. Thöïc teá caùc haèng soá thôøi gian phuï thuoäc vaøo theå tích daàu trong toaøn boä heä thoáng, theå tích naøy caøng nhoû thì caùc haèng soá thôøi gian caøng nhoû. 49
2.5.5 Heä thoáng chaát loûng Khi khaûo saùt caùc heä thoáng coù lieân quan ñeán doøng chaûy cuûa chaát loûng, ta caàn phaân bieät hai tröôøng hôïp: chaûy taàng vaø chaûy roái. Neáu chæ soá Reynold Re 4000 thì ñoù laø doøng chaûy roái. Heä thoáng coù doøng chaûy taàng ñöôïc moâ taû baèng phöông trình vi phaân tuyeán tính. Heä thoáng coù doøng chaûy roái ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình vi phaân phi tuyeán, heä thoáng naøy coù theå tuyeán tính hoaù vôùi giaû thieát caùc bieán chæ thay ñoåi nhoû töø giaù trò oån ñònh (tuyeán tính hoaù taïi ñieåm laøm vieäc). Heä chaát loûng coù thuyû trôû, dung löôïng vaø quaùn tính thuyû löïc. Caùc thoâng soá naøy töông töï nhö ñieän trôû, ñieän dung vaø ñieän caûm ôû heä thoáng ñieän. 1) Thuyû trôû (trôû khaùng thuyû löïc) Thuyû trôû ñaëc tröng cho taùc duïng caûn trôû doøng chaûy cuûa van, oáng daãn. Coâng thöùc toång quaùt ñeå xaùc ñònh thuyû trôû : söï thay ñoåi hieäu aùp d(Dp) R == (2-63) söï thay ñoåi löu löôïng dQ PaN/m2 Ñôn vò SI ñeå ño thuyû trôû laø: ==N.s/m5 m33/sm/s Vôùi doøng chaûy taàng (tuyeán tính), hieäu aùp tæ leä vôùi löu löôïng: Q Dp = p1– p2 = R.Q (2-64) p1 p2 Thuyû trôû ôû doøng chaûy taàng laø moät haèng soá: 128Lh R = = haèng soá (2-65) pd4 h _ñoä nhôùt ñoäng löïc cuûa chaát loûng, Pa/s hay N.s/m2 L, d _chieàu daøi vaø ñöôøng kính trong cuûa oáng daãn, m Vôùi doøng chaûy roái (phi tuyeán), hieäu aùp ñöôïc tính theo coâng thöùc Fanning : 2 D=pKQr (2-66) 8rfL trong ñoù: K = : heä soá chaûy roái (2-67) r p25d r_khoái löôïng rieâng cuûa chaát loûng , kg/m 3 f_heä soá ma saùt cuûa oáng daãn, N.s/m Thuyû trôû ôû doøng chaûy roái R r xaùc ñònh bôûi : d(Dp) R==2KQ=D2K.p (2-68) rdQ rr Thuyû trôû cuõng coù theå xaùc ñònh döïa vaøo ñoà thò aùp suaát-löu löôïng thu ñöôïc töø thöïc nghieäm nhö treân hình 2.12b) baèng caùch laáy ñoä doác cuûa tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong taïi ñieåm laøm vieäc. Ñoái vôùi töøng loaïi van, do töøng haõng saûn xuaát, seõ coù caùc ñöôøng cong thöïc nghieäm D=pf(Q) cuï theå. 50
2) Dung löôïng (dung khaùng thuyû löïc) Q Dung löôïng C cuûa boàn chöùa ñöôïc xaùc ñònh baèng söï thay ñoåi theå tích chaát loûng trong boàn chöùa caàn thieát ñeå taïo neân söï thay ñoåi moät ñôn vò aùp suaát, töùc laø: dV p h C= [m3/Pa hay m5/N] (2-69) dp AÙp suaát trong boàn chöùa phuï thuoäc vaøo chieàu cao h cuûa coät chaát loûng, gia toác troïng tröôøng g, vaø khoái löôïng rieâng r cuûa chaát loûng: p=rgh Þ dp=rgdh (2-70) Söïï thay ñoåi theå tích chaát loûng trong boàn: dV==A.dhQ.dt (2-71) vôùi A_tieát dieän ngang cuûa boàn chöùa,[m 2] dVAdh A Töø (2-69), (2-70), (2-71) ta coù: C === (2-72) dprrgdhg Töø (2-69) vaø (2-71) ta coù: dV==C.dpQ.dt 1 A Þ p= Qdt vôùi C= (2-73) Cò rg 3) Quaùn tính thuyû löïc Löïc taùc duïng leân tieát dieän A 0 cuûa oáng daãn baèng tieát dieän nhaân vôùi hieäu aùp : F = A0.Dp dv Theo ñònh luaät II Newton ta coù: F=A.D=pm (2-74) 0 dt 2 v-toác ñoä doøng chaûy[m/s] ; A 0 -tieát dieän oáng daãn [m ]; m-khoái löôïng chaát loûng 3 [kg] ; m=rLA0 r-khoái löôïng rieâng cuûa chaát loûng[kg/m ]; L-chieàu daøi oáng[m] dv Do: dQA= 0 dt rLdQ Neân: D=p. (2-75) A0 dt DrpL Ñaïi löôïng J== [ Pa.s2/m3] goïi laø quaùn tính thuyû löïc. Noù ñaëc tröng dQ/dtA0 cho hieäu aùp caàn thieát ñeå laøm taêng moät ñôn vò löu löôïng trong 1 giaây. Duøng khaùi nieäm quaùn tính thuyû löïc J ta coù theå bieåu dieãn hieäu aùp caàn thieát ñeå taêng toác doøng chaát loûng trong oáng daãn nhö sau: dQ rL D=pJ vôùi J= (2-76) dt A0 Keát hôïp caû ba yeáu toá thuyû trôû, dung löôïng, quaùn tính thuyû löïc ta coù phöông trình toång quaùt cuûa heä thoáng coù doøng chaûy taàng : dQ1 J+RQ+Qdtp=D (2-77) dtCò 51
Ví duï 2.10. Xeùt heä thoáng moät boàn chöùa nöôùc treân hình 2.12a), caùc bieán ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Q : löu löôïng oån ñònh ban ñaàu (haèng soá), m 3 /s 3 q1 : thay ñoåi nhoû cuûa löu löôïng vaøo so vôùi giaù trò oån ñònh, m /s 3 q2 : thay ñoåi nhoû cuûa löu löôïng ra so vôùi giaù trò oån ñònh, m /s H : möùc nöôùc oån ñònh (haèng soá), m h : thay ñoåi nhoû cuûa möùc nöôùc so vôùi giaù trò oån ñònh, m. Van ñieàu khieån Qq+ Dp 1 D(Dp) DD(P) R = DQ Dp Hh+ Qq+ DQ 2 0 Q Q C,p R (a) (b) Hình 2.12. a) Heä thoáng möùc chaát loûng b) Ñöôøng cong aùp suaát - löu löôïng Giaû thieát doøng chaûy laø chaûy taàng vaø vì vaäy heä thoáng laø tuyeán tính. Neáu chaûy roái, heä thoáng cuõng coù theå tuyeán tính hoaù vôùi söï thay ñoåi cuûa caùc bieán laø nhoû. Löôïng thay ñoåi theå tích chaát loûng trong boàn: dV=Adh=-(q12q)dt (2-78) Boû qua quaùn tính thuyû löïc. Vôùi doøng chaûy taàng ta coù: Drppgh q === (2-79) 2 RRR Thay (2-79) vaøo (2-78) ta ñöôïc: dhrgh Aq=+ dtR1 æöAdhR Û Rç÷+=hq1 èørrgdtg dhR Û RC+=hq (2-80) dtgr 1 Bieán ñoåi Laplace hai veá vôùi giaû thieát ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc: R (RCs+=1) H(s)Q(s) (2-81) rg 1 Û (ts+=1) H(s)KQ1 (s) (2-82) RA Vôùi t==RC : haèng soá thôøi gian rg R K = : heä soá khueách ñaïi rg 52
Xeùt q1 laø tín hieäu vaøo, h laø tín hieäu ra, ta coù haøm truyeàn baäc nhaát: H(s)R/rgK == (2-83) Q1(s)RCs+1t+s1 Xeùt q1 laø tín hieäu vaøo, q 2 laø tín hieäu ra, ta coù haøm truyeàn baäc nhaát: Q2 (s) 11 rg == vì Q2 (s)= H(s) (2-84) Q1(s)RCs+1t+s1 R Ví duï 2.11. Xeùt heä thoáng treân hình 2.13. Trong heä coù hai boàn chöùa noái thoâng vôùi nhau baèng moät ñoaïn oáng ngaén. Ñaây laø daïng heä thoáng baäc hai coù taùc ñoäng töông hoã, nghóa laø heä coù hai phaàn töû tích naêng trong ñoù phaàn töû thöù hai coù taùc ñoäng vaøo phaàn töû thöù nhaát. Giaû thieát caùc bieán cuûa heä chæ thay ñoåi nhoû tính töø giaù trò oån ñònh (tuyeán tính hoaù) vaø boû qua quaùn tính thuyû löïc. Ta coù caùc phöông trình sau: p1-p2=rg(h1-=h2) Rq11 (2-85) dh Crg1=-qq (2-86) 11dt p2=r=gh2Rq22 (2-87) dh Crg2=-qq (2-88) 2dt 12 Van ñieàu khieån Qq+ Hh11+ R1 R2 Hh22+ Qq+ 2 C1, p1 Qq+ 1 C2, p2 Hình 2.13. Heä thoáng möùc chaát loûng coù söï taùc ñoäng töông hoã Töø caùc phöông trình (2-85) ñeán (2-88) ta laäp caùc sô ñoà khoái ôû hình 2.14a Baèng vieäc noái caùc tín hieäu thích hôïp, ta coù sô ñoà khoái cuûa toaøn boä heä thoáng nhö hình 2.14b. Baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô ñoà khoái, ta coù sô ñoà khoái ñôn giaûn nhö hình 2.14e Neáu q laø tín hieäu vaøo, q2 laø tín hieäu ra, ta coù haøm truyeàn cuûa heä laø: Q2(s) 1 = 2 Q(s) R1C1R2C2s+(R1C1+R2C2++R21C)s1 53
H1(s) rg Q1(s) H2(s) rg Q2(s) R 1 R 2 H2(s) a) Q(s) 1 H1(s) Q1(s) 1 H2(s) C1rgs C2rgs Q1(s) Q2(s) Q(s) 1 H1(s) rg Q (s) 1 rg Q2(s) 1 C1rgs R Crgs R 1 2 H2(s) 2 b) RCs 21 Q(s) 1 rg Q (s) 1 rg Q2(s) 1 Crgs R C2rgs R 2 c) 1 1 Q(s) 1 1 Q2(s) d) R11Cs1+ R22Cs1+ R21Cs 1 Q (s) e) Q(s) 2 RCRCs2 +(RC+RC++RC)s1 1122112221 Hình 2.14. a) Sô ñoà khoái caùc phaàn töû cuûa heä thoáng treân hình 2.13 b) Sô ñoà khoái toaøn boä heä thoáng c) ♦ e) Caùc sô ñoà khoái ruùt goïn. 54
2.5.6 Phaàn töû nhieät Phaàn töû nhieät coù hai thoâng soá ñaëc tröng laø nhieät trôû vaø nhieät dung. 1) Nhieät trôû Nhieät trôû laø ñaëc tính ngaên caûn söï truyeàn nhieät cuûa moâi tröôøng (vaät theå hay löu chaát). Nhieät trôû R khi truyeàn nhieät giöõa hai moâi tröôøng ñöôïc ñònh nghóa : Söï thay ñoåi hieäu nhieät ñoä ; [°K] R= Söï thay ñoåi toác ñoä truyeàn nhieät; [W] Caùch xaùc ñònh nhieät trôû phuï thuoäc vaøo phöông phaùp truyeàn nhieät. Coù ba phöông phaùp truyeàn nhieät laø: daãn nhieät, ñoái löu nhieät vaø böùc xaï nhieät. · Truyeàn nhieät baèng daãn nhieät hoaëc ñoái löu : q=K.Dq (2-89) trong ñoù: q _ toác ñoä truyeàn nhieät (thoâng löôïng nhieät), W Dq _ hieäu nhieät ñoä, °K K_ heä soá , W/°K Heä soá K ñöôïc cho bôûi: kA K= neáu daãn nhieät DX K=HA neáu ñoái löu nhieät vôùi k : heä soá daãn nhieät cuûa vaät daãn, W/(m. °K) A : dieän tích beà maët truyeàn nhieät, m 2 DX : ñoä daøy vaät daãn nhieät, m H : heä soá ñoái löu nhieät giöõa hai moâi tröôøng, W/(m 2.°K) - Nhieät trôû daãn nhieät vaø ñoái löu nhieät: d(Dq)1 R== [°K/W] (2-90) dqK Vì k vaø H haàu nhö khoâng ñoåi neân nhieät trôû cuûa hai loaïi naøy laø haèng soá. · Truyeàn nhieät baèng böùc xaï nhieät giöõa hai vaät theå: 44 q=Kr()q12-q (2-91) trong ñoù: q _ toác ñoä truyeàn nhieät (thoâng löôïng nhieät), W K r _heä soá phuï thuoäc vaøo ñoä phaùt xaï, kích thöôùc, caáu truùc beà maët phaùt xaï vaø kích thöôùc, caáu truùc beà maët nhaän nhieät. q1 _ nhieät ñoä tuyeät ñoái cuûa boä phaùt , °K q2 _ nhieät ñoä tuyeät ñoái cuûa phaàn thu, °K 55
Vì haèng soá Kr raát nhoû neân truyeàn nhieät böùc xaï laø ñaùng keå khi nhieät ñoä cuûa boä phaùt lôùn hôn nhieàu so vôùi phaàn thu, töùc laø q1 >> q2 . Tröôøng hôïp naøy phöông trình (2-91) coù theå vieát laïi laø: 4 qK=qr 4 44 vôùi q=q12-q laø ñoä cheânh leäch nhieät hieäu quaû cuûa boä phaùt vaø phaàn thu. Þ Nhieät trôû böùc xaï nhieät : d1q R == 3 (2-92) dq 4Kr q Nhieät trôû böùc xaï coù theå xem laø haèng soá trong moät daûi ñieàu kieän hoaït ñoäng nhoû quanh ñieåm laøm vieäc (tuyeán tính hoaù). Nhieät dung: Nhieät dung C laø nhieät löôïng caàn thieát ñeå laøm thay ñoåi moät ñôn vò nhieät ñoä. C= mc Vôùi m _ khoái löôïng cuûa vaät hay löu chaát ñang xeùt, kg c _ nhieät dung rieâng cuûa vaät hay löu chaát ñang xeùt, J/(kg. °K) C _nhieät dung cuûa heä thoáng nhieät, J/ °K Goïi q1 laø doøng nhieät chaûy vaøo vaø q 2 laø doøng nhieät chaûy ra, (q 1-q2) ñöôïc tích tuï laïi trong phaàn töû döôùi daïng noäi naêng. Ta coù phöông trình caân baèng nhieät: ddqq q-q==mcC (2-93) 12 dtdt Ví duï 2.12. Xeùt moät buoàng trao ñoåi nhieät nhö moâ taû treân hình 2.15. Giaû söû raèng buoàng nhieät ñöôïc caùch ly ñeå loaïi boû söï thaát thoaùt nhieät ra moâi tröôøng chung quanh, khoâng coù nhieät löu tröõ trong boä phaän caùch ly vaø chaát loûng trong buoàng ñöôïc troän hoaøn haûo töùc laø coù nhieät ñoä ñoàng nhaát. Vì vaäy chæ caàn duøng moät bieán nhieät ñoä duy nhaát ñeå moâ taû nhieät ñoä cuûa chaát loûng trong buoàng vaø chaát loûng chaûy ra. Goïi: Qi _ nhieät ñoä cuûa chaát loûng vaøo ôû traïng thaùi xaùc laäp, °K Qo _ nhieät ñoä cuûa chaát loûng ra ôû traïng thaùi xaùc laäp, °K G _ löu toác khoái löôïng cuûa chaát loûng ôû xaùc laäp, kg/s m _khoái löôïng chaát loûng trong buoàng, kg c _nhieät dung rieâng cuûa chaát loûng, J/kg. °K C _nhieät dung, J/°K R _nhieät trôû, °K/W H _ toác ñoä gia nhieät ôû xaùc laäp, W Giaû thieát nhieät ñoä cuûa chaát loûng vaøo ñöôïc giöõ khoâng ñoåi ôû Qi vaø toác ñoä gia nhieät bôûi ñieän trôû nung thay ñoåi ñoät ngoät töø H ñeán H+hi, trong ñoù hi laø löôïng thay ñoåi nhoû cuûa toác ñoä gia nhieät. Toác ñoä truyeàn nhieät trong chaát loûng luùc ñoù thay ñoåi ñoät ngoät töø H ñeán H+hO . Nhieät ñoä cuûa chaát loûng ra seõ thay ñoåi töø Qo ñeán Qo +q. 56
Trong tröôøng hôïp naøy ta coù : q 1 ho=Gcq;C=mc;R== ho Gc Phöông trình vi phaân bieåu dieãn söï caân baèng nhieät theo (2-93) : dq dq C=-hh ; hay RC+q=Rh dt i o dt i Þ Haøm truyeàn giöõa q vaø hi laø: Q(s)R = Hi(s)RCs1+ vôùi: Q(s)=qL[ (t)] vaø Hii(s)=L[h(t)] Boä nung noùng Qi(s) Q(s) Hi(s) 1 R RCs laïnh Mixer (a) (b) Hình 2.15. Sô ñoà nguyeân lyù vaø sô ñoà khoái cuûa buoàng trao ñoåi nhieät Trong thöïc teá nhieät ñoä cuûa chaát loûng chaûy vaøo coù theå dao ñoäng vaø taùc ñoäng nhö moät nhieãu phuï taûi. (Neáu muoán nhieät ñoä chaát loûng ra khoâng ñoåi thì phaûi laép ñaët moät boä ñieàu khieån toác ñoä gia nhieät ñeå buø vaøo söï dao ñoäng cuûa nhieät ñoä chaát loûng vaøo). Neáu nhieät ñoä cuûa chaát loûng vaøo thay ñoåi ñoät ngoät töø Qi ñeán Qii+q trong khi toác ñoä gia nhieät H vaø toác ñoä doøng chaûy G ñöôïc giöõ khoâng ñoåi. Khi ñoù toác ñoä truyeàn nhieät seõ thay ñoåi töø H ñeán H+ hO vaø nhieät ñoä cuûa chaát loûng ra seõ thay ñoåi töø Qo ñeán Qo+qi. Phöông trình caân baèng nhieät trong tröôøng hôïp naøy laø: dq dq dq C=-hh ⌠ C=Gchq- ⌠ RC +q=q dt i o dt i o dt i Þ Haøm truyeàn giöõa q vaø qi laø: Q(s)1 = (2-94) Q+i (s)RCs1 trong ñoù: Q(s)=qL[ (t)] vaø Qii(s)=qL[ (t)] Neáu heä thoáng nhaän caû hai taùc ñoäng vaøo laø hi vaø qi trong khi toác ñoä gia nhieät H vaø toác ñoä doøng chaûy G ñöôïc giöõ khoâng ñoåi thì söï thay ñoåi q cuûa nhieät ñoä chaát loûng ra coù theå bieåu dieãn baèng phöông trình vi phaân: dq RC+q=q+Rh (2-95) dt ii Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng nhieät cho tröôøng hôïp naøy ñöôïc bieåu dieãn treân hình 2.15b . 57
2.6 Graph tín hieäu Beân caïnh phöông phaùp bieåu dieãn heä thoáng ñieàu khieån baèng sô ñoà khoái, ngöôøi ta coøn duøng graph tín hieäu (sô ñoà doøng tín hieäu) do S.J. Mason ñöa ra naêm 1953. Phöông phaùp naøy coù öu ñieåm laø ñöa ra ñöôïc coâng thöùc toång quaùt ñeå tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù caáu truùc phöùc taïp maø khoâng caàn phaûi bieán ñoåi sô ñoà. 1) Ñònh nghóa Graph tín hiệu laø moät sô ñoà goàm caùc nhaùnh vaø nuùt. - Nuùt: Moãi nuùt laø moät ñieåm bieåu dieãn moät bieán hay moät tín hieäu trong heä thoáng. - Nhaùnh: Moãi nhaùnh laø moät ñöôøng noái tröïc tieáp hai nuùt, treân moãi nhaùnh coù ghi muõi teân chæ chieàu cuûa tín hieäu vaø ghi haøm truyeàn cho bieát moái quan heä giöõa tín hieäu ôû hai nuùt. X1 G X2 = G.X1 - Nuùt nguoàn: laø nuùt chæ coù caùc nhaùnh hướng ra. - Nuùt ñích: laø nuùt chæ coù caùc nhaùnh hướng vaøo. - Nuùt hoãn hôïp: laø nuùt coù caû caùc nhaùnh ra vaø caùc nhaùnh vaøo. - Ñöôøng tieán: laø ñöôøng goàm caùc nhaùnh lieân tieáp coù cuøng höôùng tín hieäu ñi töø nuùt nguoàn ñeán nuùt ñích vaø chæ qua moãi nuùt moät laàn. Haøm truyeàn cuûa moät ñöôøng tieán baèng tích caùc haøm truyeàn cuûa caùc nhaùnh treân ñöôøng tieán ñoù. - Voøng kín: laø ñöôøng kheùp kín bao goàm caùc nhaùnh lieân tieáp coù cuøng moät höôùng tín hieäu vaø chæ ñi qua moãi nuùt moät laàn. Haøm truyeàn cuûa moät voøng kín baèng tích caùc haøm truyeàn cuûa caùc nhaùnh treân voøng kín ñoù. 2) Ñaïi soá graph tín hieäu - Caùc nhaùnh noái tieáp: X1 X2 X3 X1 G1G2 X3 ⌠ G1 G2 - Caùc nhaùnh song song: G1 X1 GG12+ X2 X1 X2 ⌠ G 2 - Nuùt hoãn hôïp: X 1 G X1 1 G1G3 X3 G3 X4 X4 ⌠ X2 G2 X2 G2G3 X3=+X1G1XG22 ; X4=X3G3=+X1G1G3X2GG23 58
- Khöû voøng kín: GG 12 X G1 X2 G2 X3 X1 G1G2 X3 1-GG23 X3 1 ⌠ ⌠ X1 G3 G2G3 X=XG ì322 GG12 í Û X3=+X1G1G2X3GG23 Û XX31= îX2=+X1G1XG33 1-GG23 - Söï töông quan giöõa sô ñoà khoái vaø graph tín hieäu : Y(s) R(s) R(s) G(s) Y(s) G(s) Y(s) R(s) E(s) 1 G(s) Y(s) G(s) R(s) E(s) H(s) -H(s) Z(s) Z(s) 1 Y(s) R(s) E(s) 1 G1(s) G2(s) G1(s) G2(s) Y(s) ) R(s) E(s) H(s) -H(s) Z(s) Z(s) R(s) E(s) Y(s) 1 1 G(s) G(s) 1 Y(s) R(s) E(s) Y(s) H(s) -H(s) R(s) Y1(s) R(s) G 1 1 11 Y1(s) G11 G12 G21 G12 G21 Y2(s) R2(s) G Y2(s) G22 R2(s) 22 59
3) Coâng thöùc Mason Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng töï ñoäng bieåu dieãn baèng graph tín hieäu coù theå tính theo coâng thöùc: 1 GP=Då kk D k trong ñoù : Pk : Haøm truyeàn cuûa ñöôøng tieán thöù k D : Ñònh thöùc cuûa graph tín hieäu D=1-åLi+ååLiLj-+LiLjmL ii,ji,j,m å Li : Toång caùc haøm truyeàn cuûa caùc voøng kín coù trong sô ñoà graph. å LLij: Toång caùc tích haøm truyeàn cuûa hai voøng kín khoâng dính nhau. (khoâng dính = khoâng coù nuùt naøo chung; dính = coù ít nhaát moät nuùt chung) å LiLLjm: Toång caùc tích haøm truyeàn cuûa ba voøng kín khoâng dính nhau. Dk : Ñònh thöùc con thöù k, suy ra töø D baèng caùch boû ñi caùc voøng kín coù dính vôùi ñöôøng tieán thöù k. Neáu heä thoáng cho ôû daïng sô ñoà khoái, muoán aùp duïng ñöôïc coâng thöùc Mason, tröôùc heát ta phaûi chuyeån sô ñoà khoái thaønh sô ñoà graph. Khi chuyeån töø sô ñoà khoái sang graph tín hieäu caàn löu yù: - Coù theå goäp hai boä toång (hoaëc hai ñieåm reõ) lieàn nhau thaønh moät nuùt. - Coù theå goäp moät boä toång vaø moät ñieåm reõ nhaùnh lieàn sau noù thaønh moät nuùt. - Khoâng theå goäp moät ñieåm reõ vaø moät boä toång lieàn sau noù thaønh moät nuùt. Ví duï 2.13. Tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö hình veõ: H 2 G4 R(s) Y(s) G1 G2 G3 H1 Giaûi. Graph tín hieäu töông ñöông : -H2 G4 1 G1 G2 G3 1 R(s) Y(s) -H1 -1 Heä có hai đường tiến: P1= G123GG ; P2= GG14 Heä coù naêm voøng kín: 60
L1=-G1GG23 ; L2=-GG14 ; L3=-GH21 ; L4=-G232GH ; L5=-GH42 Nhaän xeùt: - Caùc voøng kín vaø ñöôøng tieán coù chung ít nhaát moät nhaùnh Gi thì seõ coù ít nhaát hai nuùt chung neân chuùng dính nhau. Tröôøng hôïp naøy chæ caàn kieåm tra nhanh haøm truyeàn caùc voøng kín vaø ñöôøng tieán töông öùng, khoâng nhaát thieát phaûi kieåm tra treân graph. - Caùc voøng kín vaø ñöôøng tieán khoâng coù nhaùnh Gi naøo chung vaãn coù theå dính nhau ôû moät nuùt hoaëc khoâng dính, khi đó caàn kieåm tra cuï theå treân graph. Heä thoáng cho ôû ví duï naøy coù 5 voøng kín ñeàu dính nhau neân: D=1-(L1+L2345+L++LL) Caû 5 voøng kín ñeàu dính vôùi caùc ñöôøng tieán P 1 vaø P2 neân: D=1 1 ; D=2 1 Haøm truyeàn cuûa heä thoáng tính theo coâng thöùc Mason: 1 G1G2G3+ GG14 G(s)=(PP1D1+22D=) D1+G1G2G3++G1G4G2H1++G23GH2GH42 Ví duï 2.14. Tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng moâ taû bôûi sô ñoà graph sau ñaây: G G7 6 G1 G G3 G4 G5 1 2 Y(s) R(s) -H1 -H 2 Giaûi. Haøm truyeàn cuûa caùc ñöôøng tieán: P1= G1G2G345GG ; P2= G1GGG645 ; P3= G1GG27 Haøm truyeàn cuûa caùc voøng kín : L1=-GH41; L2=-G2GH72 ; L3=-GGGH6452; L4=-G2G3GGH452 Voøng moät khoâng dính vaøo voøng hai neân: D=1-(L1+L2+L3++L4)LL12 Caû boán voøng kín ñeàu dính vôùi P 1 vaø P2. Nhö vaäy, boû ñi L1, L2, L3, L4 vaø L1L2 trong D , ta ñöôïc: D12=D=1 Voøng L1 khoâng dính vôùi P 3 neân: D31=-1L Haøm truyeàn cuûa heä thoáng tính theo coâng thöùc Mason: Y(s)1 G(s)==(PD+PD+DP) R(s) D 112233 GGGGG+GGGG++GGG(1GH) = 12345164512741 1+G4H1+G2G7H2+G6G5G4H2++G2G3G4G5H2G4H1GGH272 61
2.7 Moâ hình phöông trình traïng thaùi 2.7.1 Khaùi quaùt Duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû vaø nghieân cöùu heä thoáng thuaän lôïi hôn duøng phöông trình vi phaân nhöng vaãn coøn moät soá haïn cheá: - Chæ aùp duïng ñöôïc vôùi ñieàu kieän ban ñaàu baèng 0. - Chæ moâ taû ñöôïc quan heä tuyeán tính moät vaøo, moät ra (heä SISO). - Chæ aùp duïng ñöôïc cho heä thoáng tuyeán tính baát bieán, khoâng aùp duïng ñöôïc cho heä phi tuyeán hay heä coù thoâng soá bieán ñoåi theo thôøi gian. Ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà treân, ngöôøi ta duøng phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi. Phöông phaùp naøy söû duïng kieán thöùc veà ñaïi soá ma traän thay cho haøm bieán phöùc vaø khaûo saùt ñöôïc khoâng chæ rieâng quan heä giöõa caùc tín hieäu vaøo, ra maø caû söï thay ñoåi caùc bieán soá khaùc beân trong heä thoáng vaø aûnh höôûng cuûa caùc giaù trò ban ñaàu cuûa chuùng tôùi tín hieäu ra. Ví duï, beân caïnh tín hieäu ra cuûa ñoäng cô laø vaän toác chuùng ta cuõng muoán quan saùt caû gia toác, doøng ñieän, toån hao naêng löôïng, Traïng thaùi cuûa heä thoáng laø taäp hôïp nhoû nhaát caùc bieán (goïi laø bieán traïng thaùi) maø neáu bieát giaù trò caùc bieán naøy taïi thôøi ñieåm t=t 0 vaø bieát caùc tín hieäu vaøo ôû t³ t0, ta hoaøn toaøn coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñaùp öùng cuûa heä thoáng taïi moïi thôøi ñieåm t ³ t0. Vôùi heä thoáng tuyeán tính baát bieán, thôøi ñieåm ñaàu thöôøng ñöôïc choïn laø t 0 =0. Bieán traïng thaùi khoâng nhaát thieát phaûi laø nhöõng thoâng soá ño ñöôïc (bieán vaät lyù). Caùc bieán khoâng ñaïi dieän cho caùc ñaïi löôïng vaät lyù (chæ laø bieán toaùn hoïc) cuõng coù theå choïn laøm bieán traïng thaùi. Moät heä thoáng coù theå moâ taû baèng caùc moâ hình traïng thaùi khaùc nhau, tuyø theo caùch choïn bieán traïng thaùi. Ñeå moâ taû heä thoáng baäc n caàn duøng n bieán traïng thaùi, hôïp thaønh veùctô coät goïi laø veùctô traïng thaùi, kyù hieäu laø: T x= [x1x2n x ] (2-96) Duøng bieán traïng thaùi ta coù theå chuyeån phöông trình vi phaân baäc n moâ taû heä thoáng thaønh heä n phöông trình vi phaân baäc nhaát vieát döôùi daïng ma traän nhö sau : x&(t)=+Ax(t)Br(t) : phöông trình traïng thaùi (2-97) y(t)=+Cx(t)Dr(t) : phöông trình ñaàu ra (2-98) trong ñoù: x(t) laø veùctô traïng thaùi r(t) laø tín hieäu vaøo, y(t) laø tín hieäu ra cuûa heä. · Vôùi heä tuyeán tính baát bieán MIMO thì A, B, C, D laø caùc ma traän heä soá haèng. · Vôùi heä tuyeán tính baát bieán SISO thì A laø ma traän, B laø vectô coät, C laø vectô haøng, D laø moät haèng soá. éùa11a121 an éùb1 êúaa a êúb êú21222n êú2 A = ; B = ; C = [ c1 c2 cn ] ; D = d1 êú êúM êúêú ëûan12an ann ëûbn · Neáu heä tuyeán tính baát bieán SISO coù haøm truyeàn vôùi baäc töû soá nhoû hôn baäc maãu soá (goïi laø heä hôïp thöùc chaët) thì D = 0. 62
Ví duï 2.15. Vieát phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân hình 2.16. k1y1 by11& k1 b m1 1 y1(t) m1 k2(y2-y1) b2(y&&21-y) k2 b2 Hình 2.16 m2 y (t) m2 2 F(t) F(t) Giaûi phoùng caùc lieân keát vaø vieát caùc phöông trình caân baèng löïc, ta ñöôïc: 2 éùdy2dy12dy F-b2 k2(y2-=y12)m ëûêúdtdt dt 2 2 éùdy2dy1dy11dy b2-+k2(y2-y1)-b1-=k1ym11 ëûêúdtdtdt dt2 Ñaët caùc bieán traïng thaùi : dy dy xy= ; xy= ; x = 1 ; x = 2 1122 3 dt 4 dt Ta vieát ñöôïc caùc phöông trình traïng thaùi : xx&13= xx& 24= 2 dy11k2b1+ bb22 x&3=2 =-(k1+k2)x1+x2-+xx34 dt m1m1mm11 2 dy2k2k2b22bF(t) x&4=2=x1-x2+xx34-+ dt m2m2m2mm22 Hay: ìx& (t)=+Ax(t)Br(t) í îy(t)=Cx(t) éù0010 êú éùx1 éùx&1 0001 êú êú êú x x êú êú2 êú& 2 k1++k2k2b1bb22 Vôùi: x = ; x& = ; A=êú ; êúx3 êúx& 3 êúm1m1mm11 êú êú x x êúkkbb ëû4 ëû& 4 êú2 222 ëûm2m2mm22 éù0 êú0 êú éù1000 éùéùyx11 B = êú0 ; C = êú; y(t) ==êúêú; r(t)=F(t) êú ëû0100 ëûëûyx22 êú1 êú ëûm2 63
2.7.2 Laäp phöông trình traïng thaùi töø phöông trình vi phaân 1) Phöông trình vi phaân khoâng chöùa ñaïo haøm tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng tuyeán tính SISO coù tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t), moâ taû bôûi phöông trình vi phaân: dnydyn1- +a+ +=ay(t)br(t) (2-99) dtnn-1dtn1- 00 Ñeå yù laø ôû veá traùi coù heä soá an= 1. Neáu an ¹ 1 ta coù theå chia hai veá cho an ñeå ñöa veà daïng treân. Ñaët n bieán traïng thaùi theo qui taéc: Bieán sau baèng ñaïo haøm cuûa bieán tröôùc, bieán thöù nhaát baèng tín hieäu ra. x1=y(t),x2==x&&1, ,xxnn1- (2-100) dn-1nydy Þ x2=y&(t),x3=&y&&(t), ,xnn==,x dtn-1ndt Thay caùc bieán traïng thaùi vaøo phöông trình vi phaân, ta ñöôïc : x&n+an-1xn+ +a1x2+=a0x10br (2-101) Keát hôïp (2-100) vaø (2-101) ta ñöôïc: ìxx&12= ï xx&23= ï í (2-102) ïxx= ï&n-1n îïx&n=-a0x1-a1x2- -+an-1xn0br Vieát döôùi daïng ma traän ta ñöôïc: éxx&11ùé010L 00ùéùéù êxxúê00100úêúêú ê&22úêL úêúêú êMMú=+êMMMOMMúêúêúr êúêúêúêú êxx&n 1úê000 10úêún1 êú êúêúêúêú ëxx&nnûë-a0-a1 a2 abn-10ûëûëû Ñaùp öùng cuûa heä thoáng : éùx1 êúx êú2 y(t)=[10 00] êúM êú êúxn1- êú ëûxn Vaäy heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: ìx&=+AxBr í (2-103) îy=+CxDr 64
éùx1 éù0100L éù0 êúx êú0010êú0 êú2 êúL êú Trong ñoù : x = êúM ; A= êúMMMOM; B = êúM ; êú êúêú êúxn1- êú000 1 êú0 êú êúêú ëûxn ëû-a0-a1 a2 an1- ëûb0 C = [1 0 0 0] ; D= 0. Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng coù theå bieåu dieãn nhö hình veõ: x x x =y r n n-1 x2 1 b0 ò ò ò ò an-1 an-2 a1 a0 Hình 2.17 Ví duï 2.16. Xeùt heä thoáng cô khí treân hình 2.18. Giaû thieát heä thoáng laø tuyeán tính. Löïc taùc ñoäng F(t) töø beân ngoaøi laø tín hieäu vaøo vaø khoaûng dòch chuyeån y(t) cuûa khoái löôïng m laø tín hieäu ra. y(t) ñöôïc ño töø vò trí caân baèng. Theo ñònh luaät II Newton ta coù : d2ydy m=F=F(t) bk.y(t) F(t) dt2 åi dt k Û m&y&&+by+=kyF m Ñaët caùc bieán traïng thaùi : y(t) x1=y,x21==xy&& b Þ xy&2 = && Thay vaøo phöông trình vi phaân, ta ñöôïc : ìxx&12= ï Hình 2.18 í kb1 x=-x-+xF îï& 2m12mm x 2 x1=y Phöông trình ñaàu ra : yx= 1 r = F 1 ò ò Vieát laïi döôùi daïng ma traän : m é010ùéù b/m k/m éxx&11ùêúéùêú êú=+kb1êú F ëxx& 22ûê úëûêú ëmmmûëû éùx1 y= [10] êú ëûx2 65
2) Phöông trình vi phaân coù chöùa ñaïo haøm tín hieäu vaøo Xeùt heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vi phaân : dnydn 1ydnrdrn1 +a+ +ay(t)=b+b++ br(t) (2-104) dtnn 1dtn 10ndtnn10dtn1 Vôùi tín hieäu vaøo r(t), tín hieäu ra y(t). Caùc heä soá b n, bn-1, ,b0 coù theå baèng 0. Ñaët n bieán traïng thaùi nhö sau: - Bieán thöù nhaát : Neáu baäc veá phaûi < n (töùc b n=0), ñaët x1 = y Neáu baäc veá phaûi = n (töùc b n¹0), ñaët x1 = y – β0r - Bieán thöù i (i=2,3, ,n): xi=xr&i 1-bi1 vaø ñaët: x&n=-an-1xn-an 2xn1- -a1x2-a0xr1n+b Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö treân, ta seõ xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá: ìb=0nb ï ïb1=ban 1-bn10 ïb2=bn-2-aan 1b1-bn20 í (2-105) ïM ïb=b-ab-ab- -aab-b ïn-11n-1n-2n 2n32110 îïbn=b0-an-1bn-1-an 2bn2- -aa1b1-b00 Phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng seõ laø : ìx&=+AxBr í (2-106) îy=+CxDr trong ñoù : éù0100L éùb1 êú0010êúb êúL êú2 A=êúMMMOM; B=êúM ; C = [ 1 0 0 0] ; D= b0 =bn êúêú êú000 1 êúbn1- êúêú ëû-a0-a1 a2 an1- ëûbn Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng coù theå bieåu dieãn nhö hình veõ: bn-1 b1 b0 y(t) r(t) x x x b n 2 1 n ò ò ò Hình 2.19 an-1 a1 a0 66
Ví duï 2.17. Vieát phöông trình traïng thaùi cuûa heä coù phöông trình vi phaân : &y&&(t)+5y&&&(t)++6y(t)8y(t)=+8r&(t)24r(t) (1) Giaûi. Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: ìxy1 = ï íx2=xr&11-b ï îx3=xr& 22-b vaø ñaët: x& 3=-a2x3-a1x2-a0x1+b3r=-5x3-6x2-8xr13+b ìyx= 1 ï Ta ñöôïc: íy&&=x1=xr21+b ï î&y&&=x2+b1r&&=x3+b21rr+b Þ &y&&&=x3+b2r&+b1&r&=-5x3-6x2-8x1+b3r+b21&rr+b && Þ &y&&+5&y&&++6y8y=(-5x3-6x2-8x1+b3r+b21r&+b &&r) +(5x3+5rb2+5b1r&)+(6x2+6b+11r)8x Û &y&&+5&y&&++6y8y=b1&r&&+(b2+5b1)r+(b3+5b21+b6)r (2) Ñoàng nhaát (2) vôùi phöông trình (1) ta ñöôïc : ìb=1 0 ï íb2+5b12=88Þb= ï îb32+5b+6b1=24Þb3=24-5b21-6b=-16 Vaäy heä phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng laø: ìx&1=x2+b=12rx ï íx& 2=x3+b23r=+x8r ï îx& 3=-5x3-6x2-8x1+b3r=-8x123-6x 5x16r Hay döôùi daïng ma traän: éxx&11ùéù010éùéù0 êúêú x=+êú001xêú8r ê& 22úêúêúêú ëêxx& 33ûúëûêú 865ëûêúëûêú-16 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng : éùx1 êú y==x12[100x]êú ëûêúx3 Ví duï 2.18. Vieát phöông trình traïng thaùi cuûa heä coù phöông trình vi phaân : &y&(t)+8y&(t)+4y(t)=2&u&&(t)++10u(t)3u(t) Giaûi. Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: ìx10=yu-b í îx2=xu&11-b 67
vaø ñaët: x& 2=-a1x2-a0x1+b2u=-8x2-4xu12+b Ta ñöôïc: y=xu10+b y&=x&1+b0u&&=x2+b10uu+b &y&=x&2+b1u&+b0&u&=-8x2-4x1+b2u+b10uu&+b && Þ &y&+8y&+4y=(-8x2-4x1+b210u+bu&+b &&u) +(8x2+8b1u8+b0u&)+(4x10+b4u) Û &y&+8y&+4y=b0&u&&+(b1+8b0)u+(b2+8b10+b4)u Ñoàng nhaát heä soá vôùi phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc : ìb=0 2 ï íb1+8b0=10Þb10=10-86b=- ï îb2+8b1+4b0=3Þb2=3-8b10-4b=43 Vaäy heä phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng laø: ìx&1=x2+b12u=-x6u í îx& 2=-8x2-4x1+b2u=-4x12-+8x43u Hay döôùi daïng ma traän: éxx&11ùéù016éùéù- êú=+êúêúêúu ëx& 22ûëû 48ëûxëû43 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: éùx1 y=+[10]êú2u ëûx2 2.7.3 Laäp phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn vaø sô ñoà khoái Caùch 1: Bieán ñoåi haøm truyeàn thaønh phöông trình vi phaân, sau ñoù söû duïng caùc phöông phaùp ñaõ neâu ôû phaàn tröôùc. Ví duï 2.19. Laäp phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau: r e 2 4 y s s2+ 1 s3+ Giaûi. Haøm truyeàn cuûa heä thoáng: 24 . s(s+ 2) 8(s+ 3) G(s) == 241 1+ s(s+2)(s++3)8 s(s++2)(s3) Y(s)8(s++3)8s24 Þ == R(s)s(s+3)(s++2)8 s32+5s++6s8 Þ (s32+5s+6s+8)Y(s)=+(8s24)R(s) 68
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta thu ñöôïc phöông trình vi phaân: &y&&(t)+5y&&&(t)++6y(t)8y(t)=+8r&(t)24r(t) Töø keát quaû ôû ví duï 2.17 ta ñöôïc phöông trình traïng thaùi cuûa heä laø : éxx&11ùéù010éùéù0 êxú=+êú001êúxêú8r ê& 22úêúêúêú ëêxx& 33ûúëûêú 865ëûêúëûêú-16 éùx1 êú y==x12[100x]êú ëûêúx3 Caùch 2: Ñaët bieán traïng thaùi tröïc tieáp treân sô ñoà khoái. Haõy xeùt baøi toaùn ôû ví duï 2.19 vaø ñaët caùc bieán traïng thaùi ngay treân sô ñoà khoái. r e 2 x2 4 x1=y s s2+ x 1 3 s3+ Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö treân, ta coù caùc quan heä: 4 X(s)= X(s) 12s2+ Þ sX1(s)+=2X12(s)4X(s) Þ x&1(t)=-+2x12(t)4x(t) (1) 22 X(s)=E(s)=-[R(s)X(s)] 23ss Þ sX23(s)=-+2X(s)2R(s) Þ x& 23(t)=-+2x(t)2r(t) (2) 1 X(s)= X(s) 31s3+ Þ sX3(s)+=3X31(s)X(s) Þ x& 3(t)=-x13(t)3x(t) (3) Keát hôïp (1), (2) vaø (3) ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi: éx&11(t)ùéù-240éùx(t) éù0 êx(t)ú=êú00-+2êúx(t)êú2r(t) ê& 22úêúêúêú ëêx& 33(t)ûúëûêú103-ëûêúx(t) ëûêú0 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng : 69
éùx1(t) êú y(t)==x12(t)[100]êúx(t) ëûêúx3(t) Nhaän xeùt: Vôùi cuøng moät sô ñoà khoái, haøm truyeàn, hay phöông trình vi phaân nhöng tuøy theo caùch ñaët caùc bieán traïng thaùi maø ta coù theå laäp ñöôïc caùc heä phöông trình traïng thaùi khaùc nhau. Do ñoù, moät heä thoáng coù theå moâ taû baèng nhieàu moâ hình traïng thaùi. Ví duï 2.20 Haõy laäp phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau: r 8 y s(s++2)(s3) Giaûi. Veõ laïi sô ñoà khoái cuûa heä thoáng treân vôùi caùc bieán traïng thaùi ñöôïc ñaët nhö sau: r1x3 1x2 8x1= y ss2+s3+ Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö treân, ta coù caùc quan heä: 8 X(s)=X(s) 12s3+ Þ sX1(s)+=3X12(s)8X(s) Þ x&1(t)=-+3x12(t)8x(t) (1) 1 X(s)=X(s) 23s2+ Þ sX2(s)+=2X23(s)X(s) Þ x&2(t)=-+2x23(t)x(t) (2) 1 X(s)=-[R(s)X(s)] 31s Þ sX31(s)=-R(s)X(s) Þ x&31(t)=-+x(t)r(t) (3) Keát hôïp (1), (2) vaø (3) ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi: éx&11(t)ùéù-380éùx(t) éù0 êx(t)ú=êú0-+21êúx(t)êú0r(t) ê&22úêúêúêú ëêx&33(t)ûúëûêú-100ëûêúx(t) ëûêú1 70
éùx1 (t) êú Ñaùp öùng cuûa heä thoáng : y(t)==x12(t)[100] êúx(t) ëûêúx3(t) Nhaän xeùt: Neáu chuyeån ñoåi thöù töï caùc khoái trong sô ñoà khoái ta seõ thu ñöôïc caùc moâ hình traïng thaùi khaùc nhau. 2.7.4 Tìm haøm truyeàn töø phöông trình traïng thaùi Cho heä SISO coù moâ hình traïng thaùi : ìx&=+AxBr í îy=+CxDr Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình thöù nhaát vôùi caùc ñieàu kieän ñaàu baèng 0, ta ñöôïc : sX(s) = AX(s)+ BR(s) Û (sI –A)X(s) = BR(s) ( vôùi I laø ma traän ñôn vò) Û X(s) = (sI –A)–1 BR(s) Töông töï, aûnh Laplace cuûa phöông trình thöù hai laø: Y(s) = CX(s)+ DR(s) Vôùi hai keát quaû treân ta suy ra: Y(s) = [C(sI –A)–1 B + D] R(s) Haøm truyeàn cuûa heä thoáng : Y(s) G(s)==C(sI-+A)-1BD R(s) Nhaän xeùt : - Ñeå traùnh phaûi tính ma traän nghòch ñaûo, coù theå duøng coâng thöùc: det(sI-+ABC) G(s)=C(sI-A)-1 B+D=-+1D det(sI-A) - Phöông trình det(sI–A) = 0 chính laø phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng. Noùi caùch khaùc, caùc giaù trò rieâng cuûa ma traän A chính laø caùc cöïc cuûa G(s). Ví duï 2.21. Cho heä thoáng coù phöông trình traïng thaùi : éx&11(t)xùé 512ùéùéù êú=+êúêúêúr(t) ëx&22(t)xûë100ûëûëû éùx1(t) y(t)=[10,5]êú ëûx2(t) Haõy xaùc ñònh haøm truyeàn cuûa heä thoáng. 71
Giaûi. Caùch 1: G(s)=-C(sIA)B-1 (D= 0) é10ùé-5-+1ùéùs51 Ta coù: (sI-A)s=êú-=êúêú ë01ûë10ûëû-1s Aùp duïng coâng thöùc tính nghòch ñaûo ma traän caáp hai : -1 -1 éabù1 éùdb- M ==êúêú ëcdûdet(M) ëû-ca -1 11és 1ùéùs1 Ta ñöôïc: (sI-A) ==êú2 êú det(sI- A)ë1s++5ûs++5s1ëû1s5 -1 11és-1ùé2ùéù2s (sI-A)B==22êúêúêú s+5s+1ë1s+ 5ûë02ûs++5s1ëû -1 1éù2s 2s1+ C(sI-A)B==22[10,5]êú s+5s+1ëû2 s++5s1 2s1+ Do ñoù : G(s) = s2 ++5s1 Caùch 2: é10ùé-5-+1ùéùs51 sI-As=êú-=êúêú ë01ûë10ûëû-1s és+51ùé2ùés++51ùé21ùéùs72 sI-A+BC=êú+êú[10,5] =êú+=êúêú ë-1sûë0ûë 1sûë00ûëû1s det(sI-+ABC) G(s)=C(sI-A)-1 B1=- (D=0) det(sI- A) s2 +7s++22s1 G(s)1=-= s22+5s+1s++5s1 72