Bài giảng Đại số tuyến tính - Đoàn Vương Nguyên

117 trang ngocly 3260

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Đoàn Vương Nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_doan_vuong_nguyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Đoàn Vương Nguyên

MỤC L ỤC Ch ươ ng I. Ma tr ận – Định th ức 1. Ma tr ận 5 1.1. Khái ni ệm ma tr ận 5 1.2. Các phép tốn trên ma tr ận 6 1.3. Các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận 14 1.4. Ma tr ận b ậc thang và b ậc thang rút g ọn 15 1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch 16 2. Định th ức 19 2.1. Ma tr ận con c ấp k 19 2.2. Định ngh ĩa đị nh th ức 19 2.3. Các tính ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức 20 2.4. Định lý Laplace v ề khai tri ển đị nh th ức 22 2.5. Định lý Laplace m ở r ộng 23 2.6. Ứng d ụng đị nh th ức tìm ma tr ận ngh ịch đả o 28 2.7. Hạng c ủa ma tr ận 29 Bài t ập tr ắc nghi ệm ch ươ ng I 32 Ch ươ ng II. H ệ ph ươ ng trình tuy ến tính 1. H ệ ph ươ ng trình t ổng quát 35 1.1. Định ngh ĩa 35 1.2. Hệ Cramer 36 1.3. Gi ải h ệ t ổng quát b ằng ph ươ ng pháp Gauss 39 1.4. Điều ki ện cĩ nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính 41 2. Hệ ph ươ ng trình thuần nh ất 43 2.1. Định ngh ĩa 43 2.2. Nghi ệm c ơ b ản c ủa h ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất 44 2.3. Cấu trúc nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính 46 Bài t ập tr ắc nghi ệm ch ươ ng II 47 Ch ươ ng III. Khơng gian vector 1. Khái ni ệm khơng gian vector 49 1.1. Định ngh ĩa 49 1.2. Tính ch ất c ủa khơng gian vector 49 1.3. Các ví d ụ v ề khơng gian vector 49 1.4. Khơng gian vector con 50 2. Sự độ c l ập tuy ến tính – phụ thu ộc tuy ến tính 50 2.1. Tổ h ợp tuy ến tính 50 2.2. Độc l ập tuy ến tính và ph ụ thu ộc tuy ến tính 52 2.3. Hệ vector trong Rn 54 3. Số chi ều, c ơ s ở c ủa khơng gian vector 55 3.1. Khơng gian sinh b ởi m ột h ệ vector 55 3.2. Số chi ều và c ơ s ở 56 4. Tọa độ c ủa vector 58 4.1. Tọa độ c ủa vector đố i v ới m ột c ơ s ở 58 4.2. Tọa độ c ủa vector trong các c ơ s ở khác nhau 60 Bài t ập tr ắc nghi ệm ch ươ ng III 62
Ch ươ ng IV. Ánh x ạ tuy ến tính 1. Khái ni ệm ánh x ạ tuy ến tính 64 1.1. Định ngh ĩa 64 1.2. Nhân và ảnh c ủa ánh x ạ tuy ến tính 65 2. Ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính 67 2.1. Khái ni ệm ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính 67 2.2. Định lý chuy ển đổ i ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính 72 2.3. Thu ật tốn tìm ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính 73 3. Tr ị riêng – Vector riêng 74 3.1. Ma tr ận đồ ng d ạng 74 3.2. Đa th ức đặ c tr ưng và ph ươ ng trình đặc tr ưng 75 3.3. Tr ị riêng, vector riêng 76 3.4. Khơng gian con riêng 78 3.5. Định lý Cayley – Hamilton 81 4. Chéo hĩa ma tr ận vuơng 82 4.1. Khái ni ệm ma tr ận chéo hĩa được 82 4.2. Điều ki ện ma tr ận chéo hĩa được 82 4.3. Ma tr ận làm chéo hĩa ma tr ận vuơng 82 4.4. Thu ật tốn chéo hĩa ma tr ận vuơng 83 Bài t ập tr ắc nghi ệm ch ươ ng IV 86 Ch ươ ng V. Dạng tồn ph ươ ng 1. Khái ni ệm dạng tồn ph ươ ng 89 1.1. Dạng song tuy ến tính 89 1.2. D ạng tồn ph ươ ng 90 1.3. D ạng tồn ph ươ ng chính t ắc 91 2. Đư a d ạng tồn ph ươ ng về d ạng chính t ắc b ằng chéo hĩa tr ực giao 93 2.1. Khơng gian Euclide 93 2.1.1. Định ngh ĩa 93 2.1.2. Chu ẩn c ủa m ột vector 93 2.1.3. Cơ s ở tr ực chu ẩn 93 2.2. Thu ật tốn chéo hĩa tr ực giao 95 2.2.1. Ma tr ận tr ực giao 95 2.2.2. Thu ật tốn 96 3. Đư a d ạng tồn ph ươ ng về d ạng chính t ắc b ằng các thu ật tốn khác 99 3.1. Thu ật tốn Lagrange 99 3.2. Thu ật tốn Jacobi 101 3.3. Thu ật tốn bi ến đổ i s ơ c ấp ma tr ận đố i x ứng 103 4. Nh ận di ện đường và m ặt b ậc hai 105 4.1. Nh ận di ện đường bậc hai 105 4.1.1. Định ngh ĩa 105 4.1.2. Phân lo ại đường b ậc hai 105 4.1.3. Rút g ọn đường Conic 105 4.2. Nh ận di ện mặt b ậc hai 107 4.2.1. Định ngh ĩa 107 4.2.2. Sơ l ược v ề luật quán tính Sylvester và d ạng tồn ph ươ ng xác định d ấu 107 4.2.3. Phân lo ại mặt b ậc hai 109 4.2.4. Rút g ọn m ặt b ậc hai 110 Bài t ập tr ắc nghi ệm ch ươ ng V 111 Đáp án Bài t ập tr ắc nghi ệm 116 Tài li ệu tham kh ảo 117
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận Ch ươ ng I MA TR ẬN – ĐỊNH TH ỨC 1. MA TR ẬN 1.1. Khái ni ệm ma tr ận Định ngh ĩa 1 ℝ • Một ma tr ận (matrix) A cĩ cấp m× n trên là một h ệ th ống g ồm m× n số th ực aij (i=1,2, , mj ; = 1,2, , n ), được s ắp thành b ảng gồm m dịng và n c ột a a a   11 12 1 n    a a a  A =  21 22 2 n .  ⋮ ⋮ ⋱⋮      a a a   m1 m 2 mn  • Ma tr ận A nh ư trên được vi ết g ọn là A= ( a ij ) m× n . • Các s ố th ực aij được g ọi là các ph ần t ử c ủa ma tr ận (aij ) m× n n ằm ở dịng th ứ i và c ột th ứ j . • Ma tr ận cĩ t ất c ả các ph ần t ử đề u b ằng 0 được g ọi là ma tr ận khơng. • C ặp s ố (m , n ) được g ọi là kích th ước c ủa ma tr ận A . Hai ma tr ận cĩ cùng kích th ước được g ọi là cùng c ấp. ℝ ℝ • T ập h ợp các ma tr ận c ấp m× n trên được ký hi ệu là Mm× n ( ) .   1− 2 5  Ví d ụ 1. Xét ma tr ận A =  , ta cĩ A∈ M (ℝ ) và   2× 3 0 3 6  a11 = 1, a12 = − 2 , a13 = 5 , a21 = 0 , a22 = 3 , a23 = 6 . Định ngh ĩa 2 ℝ Xét ma tr ận A=() aijmn× ∈ M mn × () . ℝ • Khi m= n , ta g ọi A là ma tr ận vuơng c ấp n . Ký hi ệu (aij ) n× n , Mn× n ( ) được vi ết g ọn là (aij ) n và Mn (ℝ ) . m Aa⋯ a M ℝ • Khi = 1, ta g ọi =(11 1n ) ∈ 1 × n () là ma tr ận dịng. a   11    • Khi n = 1, ta g ọi A= ⋮ ∈ M ( ℝ ) là ma tr ận c ột.   m×1 a  m1  ℝ • Khi m= n = 1, ta g ọi A=() a11 ∈ M 11× () là ma tr ận 1 ph ần t ử. Định ngh ĩa 3 • Đường chéo ch ứa các ph ần t ử a11, a 22 , , a nn của ma tr ận vuơng A= ( a ij ) n được g ọi là đường chéo chính c ủa A , đường chéo cịn l ại được g ọi là đường chéo ph ụ. • Ma tr ận vuơng A= ( a ij ) n cĩ t ất c ả các ph ần t ử n ằm ngồi đường chéo chính đề u b ằng 0 được g ọi ⋯ là ma tr ận chéo (diagonal matrix), ký hi ệu là A= diag( aa11 22 a nn ) . • Ma tr ận chéo c ấp n g ồm t ất c ả các ph ần t ử trên đường chéo chính đề u b ằng 1 được g ọi là ma tr ận đơ n v ị c ấp n (Identity matrix), ký hi ệu là In hay I . 5
Bài giảng Đại số Tuyến tính • Ma tr ận vuơng cĩ t ất c ả các ph ần t ử n ằm phía d ưới (tươ ng ứng, trên) đường chéo chính đề u b ằng 0 được g ọi là ma tr ận tam giác trên (tươ ng ứng, dưới). • Ma tr ận vuơng cĩ t ất c ả các c ặp ph ần t ử đố i x ứng v ới nhau qua đường chéo chính b ằng nhau được gọi là ma tr ận đố i x ứng. Ví d ụ 2.     3 0 0  −1 0 0          A =0 − 4 0  , B =  0 5 0  là các ma tr ận chéo;     0 0 6    0 0 0       1 0 0  1 0    I =  , I = 0 1 0  là các ma tr ận đơn v ị; 2   3   0 1    0 0 1       3 1 2  1− 2    C =  , D = 0 1 0  là các ma tr ận tam giác trên;     0 0    0 0 2        3 0 0  1 0    E =  , F =  4 0 0  là các ma tr ận tam giác d ưới;     2 5     −1 5 2        3 4− 1   1− 2    G =  , H =  4 1 0  là các ma tr ận đố i x ứng.     −2 5    −1 0 2   Định ngh ĩa 4 Hai ma tr ận A= ( a ij ) và B= ( b ij ) được g ọi là b ằng nhau khi và ch ỉ khi chúng cùng cấp và aij= b ij ( ∀ ij , ) , ký hi ệu là A= B .     1 x y  1 0− 1  Ví d ụ 3. Cho hai ma tr ận A =   và B =  .     z2 t  2u 3  Ta cĩ A= B khi x=0, y =− 1, zut = 2, = 2, = 3 . 1.2. Các phép tốn trên ma tr ận 1.2.1. Phép c ộng và tr ừ hai ma tr ận A a B b Cho hai ma tr ận = (ij ) m× n và = (ij ) m× n , ta định ngh ĩa AB a b ± =(ij ± ijmn ) × Ví d ụ 4.         −102  202   104  −102  202   − 300  +   =   , −   =   .           23− 4   5 − 31   70 − 3  234−   531 −   −− 365  Nh ận xét Phép c ộng ma tr ận cĩ tính ch ất giao hốn và tính ch ất kết h ợp. 6
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 1.2.2. Phép nhân vơ h ướng ℝ Cho ma tr ận A= ( a ij ) m× n và s ố λ ∈ , ta định ngh ĩa λA= ( λ a ij ) m× n Ví d ụ 5.       −110  3 − 30  264  132  −3 =   , = 2   .       −20 − 4   6 0 12  −408   − 204  Chú ý • Phép nhân vơ h ướng cĩ tính phân ph ối đối v ới phép cộng ma tr ận. • Ma tr ận −1. A = − A được g ọi là ma tr ận đố i c ủa ma tr ận A . Ví d ụ 6.        1− 2  9 − 8   5 − 10   18 − 16  −13 6                    5 4 0− 2  2 8  =  20 0  −  4 16  = 16 − 16  .          −2 4   − 1 4   − 10 20   − 2 8   −8 12       −2 7   6 2  Ví d ụ 7. Cho A =   và B =   . Tìm ma tr ận X th ỏa 2X+ 4 I = 2 AB − .     2  3 9  −8 4  Gi ải. Ta cĩ: 1 2X+ 4 I = 2 AB − ⇔2X = 2 AB −− 4 I ⇔XA =− B − 2 I 2 2 2 2        −271  62   10  −27  31   20  ⇔=X  −   − 2   ⇔=X  −   −   .           39 2 − 84   01  39  − 42   02    −7 6  Vậy X =   .    7 5   1.2.3. Phép nhân hai ma tr ận A a B b Cho hai ma tr ận = (ij ) m× n và = (jk ) n× p , ta định ngh ĩa AB c = (ik ) m× p trong đĩ cababik=+++ ik11 ik 22 abi innk ( = 1, , mk ; = 1, , p ) . Chú ý Điều ki ện để phép nhân AB th ực hi ện được là s ố c ột c ủa ma tr ận A (ma tr ận tr ước) b ằng s ố dịng của ma tr ận B (ma tr ận sau). Nh ận xét • S ố dịng c ủa ma tr ận tích AB bằng s ố dịng c ủa ma tr ận A , s ố c ột c ủa ma tr ận tích AB b ằng s ố c ột của ma tr ận B . 7
Bài giảng Đại số Tuyến tính • Sơ đồ nhân hai ma tr ận A và B : cột k cột k dịng i dịng i Ví d ụ 8.   4     ()1 2 3 5 = (1.4 + 2.5 + 3.6) = (32) ,   6    3 4 5  1 2  =+ (1.3 2.6) (1.4 + 2.7) (1.5 + 2.8) = (15 18 21) , ()()  6 7 8    1 2 2 0 1.2+ 2(1) − 1.0 + 2.0   0 0 =  =  ,    0 0− 1 0 0.2 +− 0.(1) 0.0 + 0.0   0 0     2 0   111−   44 −   1− 1  =   .     −203    − 79  −1 3     1 2 3  Ví d ụ 9. Cho ma tr ận A =   . Th ực hi ện các phép tính sau: 1) AI ; 2) I A .   3 2 4 5 6   Gi ải   1 0 0      123   123  10123    123  1) AI =0 1 0  =   ; 2) I A =   =   . 3     2      456   456  01456    456  0 0 1       1 0− 1  −1 − 2 1          Ví d ụ 10. Cho hai ma tr ận A =2 − 2 0  và B = 0 − 3 1  .     3 0− 3    2− 1 0   Th ực hi ện các phép tính sau: 1) AB ; 2) BA . Gi ải     10−−− 1121    −− 311            1) AB =−2200  − 31  =−  220  .      30− 32   − 10   −− 933      −−1 2110  −−− 1   24 2            2) BA =0 − 312  − 20  =−  36 − 3  .      2− 1030   − 3   02 − 2  8
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận Nh ận xét • Tích c ủa hai ma tr ận khác khơng cĩ th ể là m ột ma tr ận khơng. • Phép nhân hai ma tr ận khơng cĩ tính ch ất giao hốn. Tính ch ất Cho các ma tr ận A , B , C và s ố λ ∈ ℝ . Gi ả thi ết rằng các phép tính đều th ực hi ện được, ta cĩ: i) ()ABC= ABC () (tính ch ất kết h ợp); ii) AB(+ C ) = AB + AC (tính ch ất phân ph ối bên trái); iii) (A+ BC ) = AC + BC (tính ch ất phân ph ối bên ph ải); 4i) λ()()AB= λ AB = AB () λ ; ℝ 5i) AIn= A = IA m , v ới A∈ M m× n ( ) .      1 223   0− 523   Ví d ụ 11. Th ực hi ện phép tính sau: A =  +    .      −1354     7 − 254    Gi ải. Ta cĩ:     1211 − 25 − 20   − 13 − 9  A = +   =   .      139   4 13   17 22  Cách khác 12  0− 523    1− 323   −13 − 9             A = +      =    =   . −13  7 − 254    6 1  54   17 22                1− 120  1 32   − 12   − 1             Ví d ụ 12. Th ực hi ện phép tính A =−−−2 301  2110   − 21   .       −1142   −− 1 331   0   − 2 Gi ải. Ta cĩ:      51− 42  − 12   − 1  −−1 9 8  − 1   − 24                      A =38 310  − 21    =23 0 − 10  1  =−  3  .           7− 7 − 14   3 1 0   − 2  −−35 21 28   − 2   − 42  Cách khác Th ực hi ện phép nhân t ừ ph ải sang trái ta cĩ:      1− 120  1 3   − 7  1− 1 2  − 3   − 24                      A =2 − 30  −− 1 21   3  =2 − 301  −=−   3  .           −1142   −−− 1 3   2  −1 1 4   − 11   − 42  1.2.4. Lũy th ừa ma tr ận vuơng Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) . • L ũy th ừa ma tr ận A được đị nh ngh ĩa theo quy n ạp nh ư sau: 0 1k+ 1 k k ℕ A= IAn , = AA , = AAAA ( = ∀∈ k ) ℕ k • Nếu A khác ma tr ận khơng và ∃k ∈ \ {0; 1} sao cho A = (0ij ) n thì A được g ọi là ma tr ận l ũy ℕ k linh. Số k∈, k ≥ 2 bé nh ất sao cho A = (0ij ) n được g ọi là c ấp c ủa ma tr ận l ũy linh A . 9
Bài giảng Đại số Tuyến tính   0 1 0      Ví d ụ 13. Ma tr ận A = 0 0 1  là l ũy linh c ấp 3 vì:   0 0 0           010010    000  000010    000            A2 =001001   =  001  ≠ (0) , A3 =001001   =  000  = (0) .      ij 3      ij 3           000000     000  000000     000  Tính ch ất k k ℕ i) [(0ijn ) ]= (0 ijn ) , (In ) = I n , ∀k ∈ . km+ k m ℝ ℕ ii) A= AA., ∀∈ AMn (),, ∀∈ km . km k m ℝ ℕ iii) A=(), A ∀∈ AMn (), ∀∈ km , . Chú ý A aa⋯ a k kk⋯ k • N ếu = diag(11 22 nn ) thì A= diag( aa11 22 a nn ) . • N ếu A, B∈ M n (ℝ ) th ỏa AB= BA ( giao hốn ) thì các h ằng đẳ ng th ức quen thu ộc c ũng đúng v ới A , B . Khi AB≠ BA thì các h ằng đẳ ng th ức đĩ khơng cịn đúng n ữa.   1 0 0      Ví d ụ 14. Xét ma tr ận chéo A =0 − 1 0 , ta cĩ:   0 0 2   100100   100  12 0 0          2       2  A =−0 100  −= 10   010  =− 0(1) 0  ,              2  002002     004   0 0 2   100100   100  13 0 0          3       3  A =0100  −=−=− 10   0 10   0(1) 0  .              3  004002     008   0 0 2       3 5   2− 5  Ví d ụ 15. Xét hai ma tr ận A =   và B =   , ta cĩ:     1 2   −1 3  • AB= BA = I 2 , 2 2 35 2− 5   50 250  2        • (A+= B )  +   =   =   , 12− 13   05   025      2    2 2 2 35  352 − 5   2 − 5  • A++=2 AB B  + 2    +         12  1213 −   − 13      1425  20 9− 25   25 0  = ++   =   .      59   02− 514   025  Suy ra (AB+ )2 =+ A 2 2 AB + B 2 . 10
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận     1 2  2 1  Ví d ụ 16. Xét hai ma tr ận A =   và B =   , ta cĩ:     1 0  4 3     10 7  3 4  • AB= ≠   = BA ,    21   78  2 2 12 21  33 2418  2        • (A+= B )  +   =   =   , 10  43  53   3024      2     2 2 2 12  1221   21  • A++=2 AB B  + 2   +        10   1043    43      32 2014   8 5   3121  =+  +   =   .       12 4 2   2013   2517  Suy ra (AB+ )2 ≠+ A 2 2 AB + B 2 .   3 2 1− 1  Ví d ụ 17. Cho hàm s ố fx()= 2 x − 4 x và ma tr ận A =  . Tìm ma tr ận f( A ) + I .   2 0 1   Gi ải. Ta cĩ:         2 1− 11  − 1   1 − 2  3 1− 11  − 2   1 − 3  A =   =   , A =   =   .           0101     01  0101     01  Suy ra:        13−  12 −   10  26−  48 −   10  − 12  f() A+= I 2 − 4   +   = −   +  =   . 2            01   01   01  02   04   01  0− 1  Ví d ụ 18. Tìm ma tr ận D= ( ABC ) 5 , trong đĩ:      −21  30   01  A=, B =   , C =   .      10   81−   12    −1 0  Gi ải. Ta cĩ: ABC =  .    0 3   5 5   −10 (1) − 0  − 10  Vậy D = =  =   .  5    03 0 3   0243    2011 2 0  Ví d ụ 19. Tìm ma tr ận (I− A ) , v ới A =  . 2   1 0       10  20   − 10  Gi ải. Ta cĩ: I−= A  −   =   2      01   10   − 11      2 −10  − 10   10  ⇒−=(I A )    ==   I 2      2 −11   − 11   01  1005 ⇒−(IA )2010 =− ( IA ) 2  = () I 1005 = I . 2 2  22    2011 −10  − 10  Vậy (I− A ) = I .  =   . 2 2    −11   − 11  11
Bài giảng Đại số Tuyến tính α α  cos− sin  n Ví d ụ 20. Cho ma tr ận A =  . Tìm A, ∀ n ∈ ℕ .   sinα cos α  Gi ải • Ta cĩ: α α  α α  0 1 0  cos0− sin0  1 cos1− sin1  A = =   , A= A =   ,      0 1  sin0α cos0 α  sin1α cos1 α  α αα  α  2α 2 α αα  α α  2 cos− sin  cos − sin  cos− sin − 2 sin cos  cos2− sin 2  A =    =   =  .     2 2    sinα cos α   sin α cos α   2 sinαα cos cos α− sin α   sin 2α cos2 α  kα k α  k cos− sin  • Gi ả s ử A =   (∗ )   sinkα cos k α  • V ới n= k + 1, t ừ (∗ ) ta cĩ: kα k αα  α  kα k α  k+1 cos− sin  cos − sin  cos(+ 1) − sin( + 1)  A =    =  .      sinkα cos k α   sin α cos α  sin(k+ 1)α cos( k + 1) α   nα n α  n cos− sin  Vậy A= , ∀ n ∈ ℕ .   sinnα cos n α  A a i+ j 2 Ví d ụ 21. Cho ma tr ận = (ij ) 40 cĩ các ph ần t ử aij =( − 1) . Tìm phần t ử α25 c ủa ma tr ận A . Gi ải Ph ần t ử α25 c ần tìm là tích dịng th ứ 2 c ủa A và c ột th ứ 5 c ủa A . Các ph ần t ử trên dịng th ứ 2 của A là: 2+ 1 a21 =−( 1) =− 1 , a22 = 1, , a2 39 = − 1, a2 40 = 1. Các ph ần t ử trên c ột th ứ 5 c ủa A là: 1+ 5 a15 =( − 1) = 1 , a25 = − 1 , , a39 5 = 1, a40 5 = − 1 . Vậy α =−1.1 +−+ 1( 1) +− ( 1).1 +− 1( 1) =− 40 . 25 40 số hạng A a ai j A2 Ví d ụ 22. Cho ma tr ận = (ij ) 100 cĩ các ph ần t ử ij =( − 1) . . Tìm ph ần t ử α76 c ủa ma tr ận . Gi ải Ph ần t ử α76 c ần tìm là tích dịng th ứ 7 c ủa A và c ột th ứ 6 c ủa A . Các ph ần t ử trên dịng th ứ 7 c ủa A là: 7 a71 =−( 1) .1 =− 1 , a72 = − 2 , , a7 99 = − 99 , a7 100 = − 100 . Các ph ần t ử trên c ột th ứ 6 c ủa A là: 1 a16 =−( 1) .6 =− 6 , a26 = 6 , , a99 6 = − 6 , a100 6 = 6 . Vậy α76 =6(1 −+−++ 2 3 4 99 − 100) =− 300 . A a a i j A2 Ví d ụ 23. Cho ma tr ận = (ij ) 100 cĩ các ph ần t ử ij =( − 1) .3 . Tìm phần t ử α34 c ủa ma tr ận . Gi ải Ph ần t ử α34 c ần tìm là tích dịng th ứ 3 c ủa A và c ột th ứ 4 c ủa A . Dịng th ứ 3 c ủa A là (3−− 32 − 3 3 − 3 99 − 3) 100 12
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận Cột th ứ 4 c ủa A là (3−44 3 − 3 4 − 3 44 3) T 1− ( − 3)100 3 5 V ậy α =3(34 −+−+ 3 2 3 3 3 99 − 3) 100 =3.3.4 = (13) − 100 . 34 1− ( − 3) 4 1.2.5. Phép chuy ển v ị ℝ T Cho ma tr ận A∈ M m× n ( ) . Ma tr ận chuy ển v ị (Transposed matrix) c ủa A , ký hi ệu là A , là m ột ma tr ận cấp n× m nh ận được t ừ A b ằng cách chuy ển t ất c ả các dịng trong A thành các c ột tươ ng ứng c ủa AT . Phép bi ến đổ i ma tr ận A thành ma tr ận AT được g ọi là phép chuy ển v ị. 1 4      1 2 3  T  Ví d ụ 24. Ma tr ận chuy ển v ị c ủa A =   là A = 2 5 .     4 5 6     3 6   Tính ch ất T T T ℝ i) (AB+ ) = A + B , ∀A, B ∈ M m× n ( ) . T T ℝ ℝ ii) (λA )= λ . A , ∀∈A M m× n ( ), ∀∈λ . T T ℝ iii) (A ) = A , ∀A ∈ M m× n ( ) . T T T ℝ ℝ 4i) (AB ) = BA , ∀∈AMmn×(), ∀∈ BM np × () .    1− 1       0 1− 2  Ví d ụ 25. Cho hai ma tr ận A =  0 2  và B =   .       −1 0 − 3   −3 − 2   1) Tính (AB ) T ; 2) Tính BT A T và so sánh k ết qu ả v ới (AB ) T . Gi ải 1) Ta cĩ:    11−    111   0 1− 2    AB =02  =−−  206      −1 0 − 3    −3 − 2  2 − 3 12   T  111  122−     T    ⇒()AB =− 20 −= 6  10 − 3  .    2− 3 12   1 − 6 12  2) Ta cĩ: 0− 1      T 1 0− 3  T  A= , B =  1 0      −1 2 − 2     −2 − 3   01−  122 −      T T  1 0− 3   ⇒=B A 10  =−  103  .     −1 2 − 2    −2 − 3  1 − 6 12  Vậy BAT T= ( AB ) T . 13
Bài giảng Đại số Tuyến tính 1.3. Các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận 1.3.1. Định ngh ĩa A Cho ma tr ận A= ( a ij ) m× n (m ≥ 2) . Ta g ọi phép bi ến đổ i s ơ c ấp dịng trên là m ột trong các d ạng sau d↔ d 1) Hốn v ị dịng i và dịng k cho nhau để A tr ở thành B : A→i k B . d→λ d 2) Nhân dịng i với s ố λ ≠ 0 để A tr ở thành C : A→i i C . d→ d + λ d 3) Thay dịng i bởi t ổng dịng i v ới λ l ần dịng k để A thành D : A→i i k D . Chú ý i) Trong dạng 3), s ố th ực λ cĩ th ể là 0. d→ d + λ d ii) Trong th ực hành ta th ường làm g ộp A→i i k E . iii) T ươ ng t ự, ta c ũng cĩ các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên cột c ủa ma tr ận. Ví d ụ 26. Dùng các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dịng để đưa ma tr ận sau đây về ma tr ận tam giác trên:   2 1− 1      A =1 − 2 3 .   3− 1 2   Gi ải. Ta cĩ: 211−   123 −     d↔ d   1 2   A =123 − →  211 −     312−   312 −      123−  123 −  ddd→ −2  ddd→ −   2 2 1 3 3 2   →d d d 057 − →  057 −  . 3→ 3 − 3 1       057−    000  Ví d ụ 27. Dùng các phép bi ến đổ i s ơ c ấp để đưa ma tr ận sau đây về ma tr ận đơn v ị:   1 1− 1      B =1 − 2 2 .   2− 1 2   Gi ải. Ta cĩ: 111−   110    c→ c + c   3 3 2   B =122 − →  120 −     212−   211 −  110   100    ddd→− ddd →+   2 1 2 3 3 2   →d→ d − 2 d 030 →1 010  . 3 3 1 d d d   1→ 1 − 2   1 3   031−  d→ d  001  23 2 1.3.2. Ma tr ận s ơ c ấp Ma tr ận thu được t ừ ma tr ận đơn v ị In b ởi đúng m ột phép bi ến đổ i s ơ c ấp dịng hay cột được g ọi là ma tr ận s ơ c ấp. 14
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận Ví d ụ 28. Ch ứng t ỏ rằng các ma tr ận sau đây là s ơ c ấp:       0 0 1  1 0 0  1 0 0              A = 0 1 0  , B =0 − 5 0  và C = 2 1 0  .       1 0 0   0 0 1   0 0 1   Gi ải. Ta cĩ: 100   001     c↔ c   I=010 →1 3  010  = A , 3       001   100  100  100     d→− 5 d   I =010 →2 2  050 −  = B , 3       001  001  100  100    d→ d + 2 d   I =010 →2 2 1  210  = C . 3       001  001  Do các ma tr ận A, B , C thu được t ừ ma tr ận đơn v ị I 3 b ởi đúng m ột phép bi ến đổ i s ơ c ấp dịng hay cột nên là các ma tr ận s ơ c ấp. 1.4. Ma tr ận b ậc thang và b ậc thang rút g ọn 1.4.1. Ma tr ận b ậc thang Định ngh ĩa • Trong m ột ma tr ận, m ột dịng cĩ t ất c ả các ph ần t ử đề u b ằng 0 được g ọi là dịng b ằng khơng hay dịng khơng. • Trong m ột ma tr ận, phần t ử khác 0 đầ u tiên tính t ừ trái sang ph ải của một dịng được g ọi là ph ần t ử cơ s ở c ủa dịng đĩ. • Ma tr ận b ậc thang là ma tr ận khác khơng cĩ cấp m× n (m , n ≥ 2) th ỏa cả hai điều ki ện sau 1) Các dịng b ằng khơng ở phía d ưới các dịng khác khơng; 2) Phần t ử c ơ s ở c ủa một dịng b ất k ỳ n ằm bên ph ải ph ần t ử cơ s ở c ủa dịng ở phía trên dịng đĩ. Ví d ụ 29. • Các ma tr ận sau là bậc thang:     1 0 2  0 1 2 3      I , A = 0 0 3  , B = 0 0 4 5  . n         0 0 0   0 0 0 1   • Các ma tr ận sau khơng ph ải là b ậc thang:       0 2 7  2 3 5  0 3 5              C = 0 3 4  , D = 0 0 0 , E = 0 0 0  .       0 0 5   0 1 3   5 0 0   Định lý Mọi ma tr ận đề u cĩ th ể đưa được về ma tr ận bậc thang b ằng một s ố hữu h ạn các phép bi ến đổ i sơ c ấp. 15
Bài giảng Đại số Tuyến tính 1.4.2. Ma tr ận b ậc thang rút g ọn Định ngh ĩa Ma tr ận b ậc thang rút g ọn là ma tr ận b ậc thang cĩ ph ần t ử c ơ s ở c ủa m ột dịng b ất k ỳ đề u b ằng 1 và là ph ần t ử khác 0 duy nh ất c ủa c ột ch ứa ph ần t ử đĩ.     1 3 0 0  0 1 0 3      Ví d ụ 30. Các ma tr ận I , A = 0 0 1 0 , B = 0 0 1 2  là các ma tr ận b ậc thang rút g ọn. n         0 0 0 1   0 0 0 0     1 2 3  Ma tr ận C =   khơng ph ải là b ậc thang rút g ọn.   0 0 1  1.5. Ma tr ận kh ả ngh ịch 1.5.1. Định ngh ĩa • Ma tr ận vuơng A c ấp n được g ọi là kh ả ngh ịch n ếu t ồn t ại ma tr ận vuơng cùng c ấp B sao cho AB= BA = I n . • Ma tr ận B là duy nh ất và được g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa ma tr ận A , ký hi ệu là B= A −1 . Chú ý i) (A−1 ) − 1 = A ii) N ếu ma tr ận B là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A thì A c ũng là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa B .     2 5   3− 5  Ví d ụ 31. A =   và B =   là hai ma tr ận ngh ịch đả o c ủa nhau vì AB= BA = I .     2 1 3   −1 2     0 0 1    Ví d ụ 32. Cho bi ết ma tr ận A = 0 1 0  th ỏa đẳng th ức: A3− A 2 − AI + = (0 ) . Tìm A−1 .   3ij 3   1 0 0   Gi ải. Ta cĩ: AAAI3 2 AAAI3 2 AA2 AI I − −+=3(0ij ) 3 ⇔−+ += 3 ⇔( − ++3 ) = 3 .   0 0 1    Vậy A−1=− AAI 2 + + = 0 1 0 . 3     1 0 0   Ví d ụ 33. Cho A∈ M n (ℝ ) là ma trận l ũy linh c ấp k . −1k − 1 Ch ứng minh r ằng (IAn − ) = A +++ AI n . Gi ải. Ta cĩ: k−1k − 1 k k − 1 2 (IAAn − )( +++= AIn )( A +++−+ AIAA n )( +++ AA ) k =−IAIn =− n(0 ijn ) = I n . k−1 Suy ra A+ + A + I n là ngh ịch đả o c ủa (In − A ) . −1k − 1 Vậy (IAn − ) = A +++ AI n . Chú ý i) N ếu ma tr ận vuơng A cĩ ít nh ất 1 dịng (hay 1 c ột) bằng khơng thì khơng kh ả ngh ịch. 16
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận ii) I−1 = I ; (AB ) −1= BA − 1 − 1 . iii) N ếu ac− bd ≠ 0 thì −1   ab1  cb−  = .      dcac− bd − da      2 5  2 1  Ví d ụ 34. Cho hai ma tr ận A =   và B =  .     1 3  3 2   Th ực hi ện các phép tính: 1) (AB ) −1 ; 2) B−1 A − 1 . Gi ải 1) Ta cĩ: −1 −1 2 5  2 1    19 12  7− 12  7 − 12  −1       1    (AB ) =    =   = =   . 1332    117  19.7− 11.12 −11 19  − 11 19           2) Ta cĩ:       −1 1 3− 5  3 − 5  −1 1 2− 1  2 − 1  A = =   , B = =         2.3− 1.5 −12   − 12  2.2− 3.1 −32   − 32      −1 − 1 2− 13  − 5   7 − 12  ⇒B A =   =   .      −32   − 12   − 1119  1.5.2. Thu ật tốn tìm ma tr ận ngh ịch đả o bằng phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dịng −1 Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) , ta tìm A (n ếu cĩ) nh ư sau • Bước 1. L ập ma tr ận A I b ằng cách ghép I vào bên ph ải của A . ( n ) n • Bước 2. Dùng phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dịng để đưa A I v ề d ạng A′ B (với A′ là ma tr ận b ậc ( n ) ( ) thang rút g ọn). Khi đĩ: ′ i) nếu A≠ I n thì ta kết lu ận A khơng kh ả ngh ịch; ′ −1 ii) nếu A= I n thì ta kết lu ận A kh ả ngh ịch và A= B .    1− 5  Ví d ụ 35. Tìm ma tr ận ngh ịch đả o (n ếu cĩ) c ủa A =  .   −2 10  Gi ải. Ta cĩ:     1− 510d→ d + 2 d  1510 −  A I = →2 2 1   . ()2    −21001   0021    1− 5  Do A′ =  ≠ I nên ma tr ận A khơng kh ả ngh ịch.   2 0 0    1− 5  Ví d ụ 36. Tìm ma tr ận ngh ịch đả o (n ếu cĩ) c ủa B =  .   1 5  Gi ải. Ta cĩ: 17
Bài giảng Đại số Tuyến tính     1510−d→ d − d  1510 −  B I = →2 2 1   ()2    1501   01011−  1 1  1    d→ d   d→2 d + d 2011 1 1  10  1 1 2   2  2 2  →  →1  .  d→ d  01011− 2 2  0111    10  −   10 10     −1 1  5 5  Vậy B =  .   10 −1 1    1 1− 1      Ví d ụ 37. Tìm ngh ịch đả o (n ếu cĩ) c ủa ma tr ận C = 1 0 1 .   2 1 0   Gi ải. Ta cĩ: 111100−  11 − 1100     d→ d − d   C I =101010 →2 2 1  012110 − −  ()3 d→ d − 2 d   3 3 1   210001  −− 012201  10 10 1 0    d→ d + d   →1 1 2 01 − 21 − 10  . d3→ d 3 − d 2   d→− d   2 2   00 0 − 1 − 11  Vậy ma tr ận C khơng kh ả ngh ịch. 1− 101      0− 110  Ví d ụ 38. Tìm ngh ịch đả o c ủa ma tr ận D =  . 0 0 11      0 0 01  Gi ải. Ta cĩ: 1− 1011000  10001− 11 − 2          0− 1100100  d→ d − d 01000− 11 − 1  D I   3 3 4   . ()4 =  →d→ d − d    2 3 2   0 0 110010  d→ d + d − d 00100 0 1− 1    1 1 2 4       0 0 010001  00010 0 0 1  1− 11 − 2      0− 11 − 1  Vậy D−1 =  . ■ 0 0 1− 1      0 0 0 1  18
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 2. ĐỊNH TH ỨC 2.1. Ma tr ận con c ấp k Định ngh ĩa ℝ Cho ma tr ận A=() aijn ∈ M n () . • Ma tr ận vuơng c ấp k được l ập t ừ các ph ần t ử n ằm trên giao c ủa k dịng và k c ột c ủa A được g ọi là ma tr ận con c ấp k c ủa A . • Ma tr ận Mij cĩ c ấp n − 1 thu được t ừ A b ằng cách b ỏ đi dịng th ứ i và c ột th ứ j được g ọi là ma tr ận con c ủa A ứng v ới ph ần t ử aij .   1 2 3    Ví d ụ 39. Xét ma tr ận A = 4 5 6 , ta cĩ các ma tr ận con ứng v ới các ph ần t ử a là:   ij   7 8 9         5 6  4 6  4 5  M =  , M =   , M =  , 11   12   13   8 9  7 9  7 8        2 3  1 3  1 2  M =   , M =  , M =  , 21   22   23   8 9  7 9  7 8        2 3  1 3  1 2  M =   , M =  , M =  . 31   32   33   5 6   4 6  4 5  2.2. Định ngh ĩa đị nh th ức Định th ức (determinant) c ủa ma tr ận A= ( a ij ) n , ký hi ệu là det A hay |A | , là một s ố th ực được định ngh ĩa quy n ạp theo n nh ư sau n A a a • N ếu = 1 thì det =11 = 11 . a a • Nếu n = 2 thì det A=11 12 = aaaa − . a a 11 22 12 21 21 22 • Nếu n ≥ 3 thì detAaA=1111 + aA 1212 ++ aA 1n 1 n 1+j trong đĩ A1j=( − 1) det( Mj 1 j )( = 1,2, , n ) . Chú ý i) detIn = 1 , det(0ij ) n = 0 . ii) Quy t ắc sáu đường chéo ( Quy t ắc Sarius ): ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗=∗ ∗ ∗+∗ ∗ ∗+∗ ∗ ∗ −∗ ∗ ∗−∗ ∗ ∗−∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ ∗∗∗ (ba ph ần t ử n ằm trên các đoạn n ối thì nhân v ới nhau). 19
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ví d ụ 40. Tính định th ức c ủa các ma tr ận sau:     1 2− 1  3− 2    1) A =   ; 2) B =3 − 2 1  .     1 4    2 1 1   Gi ải 3− 2 1) detA = = 3.4 −−= 1.(2) 14 . 1 4 −21 31 32− 2) detB =− 1.( 1)11+ +− 2( 1) 12 + +−− ( 1)( 1) 13 + =−−3 2.1 +− ( 1).7 =− 12 . 11 21 21 Cách khác. S ử d ụng quy t ắc sáu đường chéo, ta cĩ: detB =− 1.( 2).1 + 2.1.2 + 3.1.( − 1) −−−−2.( 2)( 1) 3.2.1 − 1.1.1 =− 12 . 003− 1      412− 1  Ví d ụ 41. Tính định th ức c ủa ma tr ận A =  . 3 1 0 2      2 3 3 5  Gi ải. Ta cĩ: 13+ 14 + detAA= 0.11 + 0. A 12 + 3. A 13 +− ( 1). A 14 =−3( 1) detM13 −− ( 1) det M 14 41− 1 412 =331 2 + 310 =− 49 . 23 5 233 2.3. Các tính ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) , ta cĩ các tính ch ất c ơ b ản sau 2.3.1. Tính ch ất 1 det(AT )= det A 12 13 Ví d ụ 42. = = − 2 . 34 24 2.3.2. Tính ch ất 2 Nếu hốn v ị hai dịng (hay hai c ột) cho nhau thì định th ức đổ i d ấu. 1 3 2 −1 1 1 1− 1 1 Ví d ụ 43. 2− 2 1 = −2 − 2 1 = − 2 2 1. −1 1 1 1 3 2 3 1 2 Hệ qu ả Định th ức cĩ ít nh ất hai dịng (hay hai c ột) gi ống nhau thì b ằng 0. 3 3 1 x x2 x 3 Ví d ụ 44. 221= 0 ; 1y2 y 5 = 0 . 1 1 7 1 y2 y 5 20
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 2.3.3. Tính ch ất 3 Nếu nhân một dịng (hay một c ột) v ới số th ực λ thì định th ức t ăng lên λ l ần. 3.1 0 3.(− 1) 1 0 − 1 x+ 1 xx3 1 xx 3 Ví d ụ 45. 21− 2 = 321 − 2 ; x+1 yy3 = ( x + 1) 1 yy 3 . 31 7 317 x+ 1 zz3 1 zz 3 Hệ qu ả • Định th ức cĩ ít nh ất 1 dịng (hay 1 c ột) b ằng khơng thì b ằng 0. • Định th ức cĩ 2 dịng (hay 2 c ột) t ỉ l ệ v ới nhau thì b ằng 0. x 0 1 6− 6 − 9 Ví d ụ 46. x2 0 y = 0 ; 2 2− 3 = 0 . x30 y 2 −8 − 3 12 2.3.4. Tính ch ất 4 N ếu đị nh th ức cĩ m ột dịng (hay một c ột) mà m ỗi ph ần t ử là t ổng c ủa hai s ố h ạng thì ta cĩ th ể tách thành t ổng hai định th ức. xxx+1 − 1 110 − xxx Ví d ụ 47. x y y3= xyy 3 + xyy 3 ; 1zz3 1 zz 3 1 zz 3 cos2x 2 3 sin 2 x 2 3 1 2 3 sin2x 56+ cos 2 x 56 = 156. sin2x 8 9 cos 2 x 8 9 1 8 9 2.3.5. Tính ch ất 5 Định th ức s ẽ khơng đổ i n ếu ta c ộng vào một dịng (hay m ột c ột) v ới λ l ần dịng (hay c ột) khác. 1 2 3 Ví d ụ 48. Dùng tính ch ất 5, đư a định th ức sau v ề d ạng tam giác trên: =−1 2 − 1 . 2 3 4 1 d d d ddd123 ddd 12 3 3→ 3 + 2 1 2 3 221→+ 331 →− 2 4 Gi ải. Ta cĩ: =042 = 04 2 = 0 4 2 . 234 012− − 3 0 0 − 2 x 2 2 Ví d ụ 49. Sử d ụng các tính ch ất để tính định th ức = 2x 2 . 2 2 x x+4 x + 4 x + 4 1 1 1 d1→ d 1 + d 2 + d 3 Gi ải. Ta cĩ: = 2x 2 =(x + 4) 2 x 2 2 2 x 2 2 x 21
Bài giảng Đại số Tuyến tính 1 1 1 d2→ d 2 − 2 d 1 =+(x 4)0 x − 2 0 =+− ( xx 4)( 2).2 d3→ d 3 − 2 d 1 0 0x − 2 Chú ý Trong tính ch ất 5, dịng (hay c ột) mà ta mu ốn thay đổ i thì khơng được nhân v ới bất k ỳ s ố th ực nào khác 1. 2.4. Định lý Laplace v ề khai tri ển đị nh th ức i+ j Cho ma tr ận A= ( a ij ) n . G ọi Aij=( − 1) det( M ij ) là ph ần bù đại s ố c ủa ph ần t ử aij , ta cĩ khai tri ển Laplace nh ư sau Khai tri ển theo dịng th ứ i n detAaA= + aA ++ aA = aA ii11 ii 22 inin∑ ijij j=1 Khai tri ển theo c ột th ứ j n detAaA= + aA ++ aA = aA 11jj 22 jj njnj∑ ijij i=1 1 0 0 2 2 0 1 2 Ví d ụ 50. Tính định th ức = b ằng hai cách: 1 3 2 3 3 0 2 1 1) khai tri ển theo dịng 1; 2) khai tri ển theo c ột 2. Gi ải 1) Khai tri ển theo dịng 1, ta cĩ 012 201 =1.1.3 2 3 +− ( 1).2.1 3 2 = 3 . 021 302 2) Khai tri ển theo c ột 2, ta cĩ 1 0 2 =−( 1).3.2 1 2 = 3 . 3 2 1 Nh ận xét Khi tính định th ức, ta nên khai tri ển Laplace theo dịng (hay c ột) cĩ ch ứa nhi ều ph ần t ử 0 nh ất. 1 1 1 2 2− 1 1 3 Ví d ụ 51. Áp d ụng tính ch ất và khai tri ển Laplace, hãy tính định th ức = . 1 2− 12 3 3 2 1 22
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 11 1 2 d→ d − 2 d −3 − 1 − 1 2 2 1 0− 3 − 1 − 1 khai triển cột 1 Gi ải. Ta cĩ = =1 − 2 0 =− 34 . d d d 3→ 3 − 1 01− 20 d→ d − 3 d 4 4 1 0− 1 − 5 00− 1 − 5 Các k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ Định th ức c ủa ma tr ận chéo và tam giác được tính theo cơng th ức: aa⋯ a aaa • det[diag(11 22nn )]= 1122 nn aa11 12 a 1n a 11 0 0 0a a aa 0 • 22 2n = 21 22 = a a a ⋮ ⋮⋱⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 11 22 nn 00 ann aa n1 n 2 a nn 2.5. Định lý Laplace mở r ộng (khai tri ển đị nh th ức theo k dịng hay k c ột) Cho ma tr ận A= ( a ij ) n . Xét k dịng và k c ột nh ư sau: i1< i 2 < < i k và j1< j 2 < < j k • Gọi đị nh th ức c ủa ma tr ận con c ấp k g ồm các ph ần t ử n ằm trên k dịng và k c ột đã xét ở trên là a a⋯ a ij11 ij 12 ij 1 k ⋯ aij a ij a ij δ = 21 22 2 k ⋮ ⋮⋱⋮ a a⋯ a ijk1 ij k 2 ij kk • Định th ức β c ủa ma tr ận con c ấp n− k nh ận được t ừ A b ằng cách b ỏ đi k dịng và k c ột ở trên được g ọi là định th ức con bù c ủa δ . • Đại l ượng ii++++ ijj + ++ j =( − 1) 12k 12 k β được gọi là ph ần bù đại s ố c ủa δ . Định lý Định th ức c ủa m ột ma tr ận vuơng b ằng t ổng c ủa tích m ọi đị nh th ức rút ra t ừ k dịng (hay k c ột) với ph ần bù t ươ ng ứng c ủa chúng. 1 1 1 2      2− 1 1 3  Ví d ụ 52. Xét ma tr ận A =  . 1 2− 12      3 3 2 1  2 3 • Ch ọn hai dịng 2 và 3, hai c ột 1 và 4, ta cĩ định th ức δ = . 1 2 1 1 • Bỏ đi hai dịng và hai c ột đã ch ọn, ta được đị nh th ức β = . 3 2 23
Bài giảng Đại số Tuyến tính 1 1 • Ph ần bù đại s ố c ủa δ là đại l ượng =−( 1)2+ 3 + 1 + 4 β = =− 1 . 3 2 1 1 1 2 2− 1 1 3 Ví d ụ 53. Áp d ụng đị nh lý Laplace m ở r ộng, hãy tính định th ức = . 1 2− 12 3 3 2 1 Gi ải. Ta khai tri ển Laplace theo hai dịng 1 và 2. • Từ hai dịng này ta l ập được sáu định th ức con c ấp hai: 1 1 1 1 1 2 δ = = − 3 , δ = = − 1, δ = = − 1, 1 2− 1 2 2 1 3 2 3 1 1 1 2 1 2 δ = = 2 , δ = = 5 , δ = = 1. 4 −1 1 5 −1 3 6 1 3 • Sáu ph ần bù đại s ố t ươ ng ứng v ới sáu đị nh th ức con trên là: −1 2 2 2 =−( 1)1+ 2 + 1 + 2 =− 5 , =−( 1)1+ 2 + 1 + 3 = 4 , 1 2 1 2 3 1 2− 1 1 2 =−( 1)1+ 2 + 1 + 4 = 7 , =−( 1)1+ 2 + 2 + 3 =− 5 , 3 3 2 4 3 1 1− 1 1 2 =−( 1)1+ 2 + 2 + 4 =− 5 , =−( 1)1+ 2 + 3 + 4 =− 3 . 5 3 2 6 3 3 Vậy =δδ11 + 22 + δ 33 + δ 44 + δ 55 + δ 66 =− 34 . 1 2 3 4 5      5 0 0 3 0    Ví d ụ 54. Tính định th ức c ủa ma tr ận A = 4 5 1 2 3  .     3 1 2 1 4    2 0 0 4 0  Gi ải. Khai tri ển Laplace theo hai dịng 2 và 5. T ừ hai dịng này ta ch ỉ lập được một định th ức con c ấp hai khác khơng là 5 3 δ = = 14 . 2 4 Ph ần bù đại s ố t ươ ng ứng là 2 3 5 =−( 1)2+ 5 + 1 + 4 5 1 3 =− 10 . 1 2 4 Vậy detA =δ . =− 140 . 24
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận Các k ết qu ả đặ c bi ệt c ần nh ớ • D ạng chia kh ối Nếu A , C là hai ma tr ận vuơng và O là ma tr ận khơng thì ta cĩ AB AO = = detA .det C OC BC • D ạng tích Nếu A và C là hai ma tr ận vuơng cùng c ấp thì ta cĩ det(AB )= det A .det B 1 2 3 4 3− 2 7 19 Ví d ụ 55. Tính định th ức = . 0 0 3 0 0 0 4− 1 Gi ải. Định th ức đã cho cĩ d ạng chia kh ối. 1 2 3 0 Vậy =. =−−= (8).(3) 24 . 3− 24 − 1 1 2 3 4 5 5 0 0 3 0 Ví d ụ 56. Tính định th ức = 4 5 1 2 3 . 3 1 2 1 4 2 0 0 4 0 Gi ải. Hốn v ị c ột và dịng nh ư sau: 14325 24000 53000 53000 cc2↔ 4 dd1 ↔ 5 =−42153 = 42153 . 31214 31214 24000 14325 Định th ức thu được cĩ d ạng chia kh ối. 1 5 3 2 4 Vậy =. 2 1 4 =− ( 14).10 =− 140 . 5 3 3 2 5     1 1− 1  2 1 4          Ví d ụ 57. Cho hai ma tr ận A = 2 0 3  và B = 2 1 3 . Tính det(AB ) .     1 2− 3   1 2 1   Gi ải. Ta cĩ: 11− 1214 det(AB )= 20 3.213 = − 3 . 12− 3121 25
Bài giảng Đại số Tuyến tính     T 11− 1214    − 314            Ví d ụ 58. Tính định th ức = 20 3213    0 12  .      12− 3121     1 21  Gi ải. Ta cĩ: 11− 1214 − 314 =20 3.213.0 12 =− 21 . 12− 3121 1 21 0 0 00 x 0x − 1001 Ví d ụ 59. Gi ải phươ ng trình 0 15x 03 = 0 . 324x x 4 x x x 1 3 Gi ải. Hốn v ị cột 1 và c ột 5, ta được: x 0 000 1x − 1000 x 0 0 x 3 3 15x 00 =⇔01x − 10. = 0 1 x 424x x 3 3 15 x 3x x 1 x ⇔xxx2(1)( − 2 −=⇔=∨=∨=± 3)0 x 0 xx 1 3 . 1 −a − a⋯ − a 1a 0⋯ 0 a ⋯ Ví d ụ 60. Tính định th ức c ấp n sau: n = 1 0 0 . ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 1 0 0 ⋯ a n 0 0⋯ 0 1a 0⋯ 0 a ⋯ Gi ải. Cộng t ất c ả các dịng vào dịng 1, ta được đị nh th ức tam giác n = 1 0 0 . ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 1 0 0 ⋯ a n−1 V ậy n = n. a . 1+ a a 00⋯ 0 11+ a a 0⋯ 0 011+ a a ⋯ 0 Ví d ụ 61. Tính định th ức c ấp n sau: = . n 0011+ a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 0000⋯ 1 + a Gi ải. Xem c ột th ứ nhất cĩ d ạng (1+++a 1 0 0 0⋯ 0 + 0) T ta tách định th ức thành t ổng n =A n + B n , trong đĩ: 26
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 1a 00⋯ 0 a a 0 0⋯ 0 11+ a a 0⋯ 0 01+ a a 0⋯ 0 011+ a a ⋯ 0 011+ a a ⋯ 0 A = , B = . n 0011+ a ⋯ 0 n 0011+ a ⋯ 0 ⋮⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 00 0 0⋯ 1 + a 00 0 0⋯ 1 + a Đối v ới An , l ấy dịng th ứ hai tr ừ dịng th ứ nh ất ta được 1a 00⋯ 0 01a 0⋯ 0 011+ a a ⋯ 0 A = . n 0011+ a ⋯ 0 ⋮⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 000 0⋯ 1 + a Khai tri ển An theo c ột th ứ nh ất, ta cĩ An= A n −1 . L ập lu ận t ươ ng t ự, ta được An= A n −1 == A 1 = 1 . Khai tri ển Bn theo c ột th ứ nh ất, ta được Bn= a n −1 . Suy ra: 2 n =1 +a n −1 =+1aa (1 +n−2 ) =++ 1 aa n − 2 2n− 1 2n− 1 = =++ 1a a ++ a 1 =++++1aa a (1 + a ) . 2n− 1 n V ậy =++n 1aa ++ a + a . 4300⋯ 0 1430⋯ 0 0143⋯ 0 Ví d ụ 62. Tính định th ức c ấp n sau: = . n 0014⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 0000⋯ 4 Gi ải. Khai tri ển n theo cột th ứ nh ất, ta được 3000⋯ 0 1430⋯ 0 0143⋯ 0 =4 − . n n −1 0014⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋱⋮ 0000⋯ 4 Khai tri ển ti ếp đị nh th ức c ấp n − 1 trên theo dịng th ứ nh ất, ta được =n4 n−1 − 3 n − 2 (1). Bi ến đổ i (1), ta cĩ: 2 n−2 n −nn−1 =3( nn −− 12 − ) = 3 ( nn −− 23 − ) = = 3( −=2 1 ) 3 (2). 27
Bài giảng Đại số Tuyến tính Bi ến đổ i (1) theo cách khác, ta cĩ: −n3 n−11 = n − − 3 n − 2 = =−= 21 31 (3). 3n+1 − 1 Vậy, t ừ (2) và (3) ta được = . n 2 2.6. Ứng d ụng đị nh th ức tìm ma tr ận ngh ịch đả o 2.6.1. Điều ki ện để ma trận vuơng kh ả ngh ịch Định lý Ma tr ận vuơng A là kh ả ngh ịch khi và ch ỉ khi detA ≠ 0 Ví d ụ 63. Tìm điều ki ện của tham s ố m để ma tr ận sau kh ả ngh ịch:    T   m1  m 0  m − 1 0  A =     .     2  0m   1 m − 1  1 m  Gi ải. Ta cĩ: m1 m 0 m − 1 0 detA= = m5( m − 1) 2 . 0m 1 m − 1 1 m2  m ≠ 0 Vậy A kh ả ngh ịch ⇔detA ≠ 0 ⇔  m ≠ 1.  2.6.2. Thu ật tốn tìm ma tr ận ngh ịch đả o −1 Cho ma tr ận A∈ M n (ℝ ) . Để tìm A , ta th ực hi ện các b ước sau • B ước 1. Tính det A . Khi đĩ: 1) nếu detA = 0 thì ta kết lu ận A khơng kh ả ngh ịch; 2) nếu detA ≠ 0 , ta làm ti ếp b ước 2. T • B ước 2. Tính ma tr ận ph ụ h ợp ( adjunct matrix ) adjA=  ( A )  của A , trong đĩ ij n  i+ j Aij=( − 1) det( M ij ) . • B ước 3. Ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A là 1 A−1 = .adj A det A   1 2 1      Ví d ụ 64. Tìm ma tr ận ngh ịch đả o (n ếu cĩ) c ủa A = 1 1 2  .   3 5 4   Gi ải. Ta cĩ detA = 0 . V ậy A khơng kh ả ngh ịch.    2− 5  −1 Ví d ụ 65. Cho ma tr ận A =  . Tìm A .   −3 4  Gi ải • Ta cĩ detA = − 7 ≠ 0 , suy ra A kh ả ngh ịch. • Tính ma tr ận ph ụ h ợp: 28
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận   43T  45  A=4, A = 3, A = 5, A = 2 ⇒=()A ⇒= adj A () A  =   . 11 12 21 22 ij 2 ij 2    52  32    −1 1 1 4 5  Vậy A=.adj A = −  .   detA 7 3 2    1 2 1      −1 Ví d ụ 66. Cho ma tr ận A = 0 1 1 . Tìm A .   1 2 3   Gi ải • detA= 2 ≠ 0 ⇒ A kh ả ngh ịch. • Ta cĩ: 11 01 01 A= =1, A =− = 1, A = =− 1, 1123 12 13 13 12 21 11 12 A=− =−4, A = = 2, A =− = 0, 2123 22 13 23 12 21 11 12 A= =1, A =− =− 1, A = = 1 3111 32 01 33 01     111−  141 −     ⇒=−()A 420 ⇒= adj A  12 − 1  . ij 3       111−   − 101     1− 4 1  1 1   −1   Vậy A=.adj A = 1 2 − 1 . detA 2   −1 0 1   2.7. H ạng c ủa ma tr ận 2.7.1. Định th ức con c ấp k Định ngh ĩa A a k A Cho ma tr ận = (ij ) m× n . Định th ức c ủa ma tr ận con cấp c ủa được g ọi là định th ức con c ấp k c ủa A . Định lý Nếu ma tr ận A cĩ t ất c ả các đị nh th ức con c ấp k đều b ằng 0 thì các định th ức con c ấp cao h ơn k cũng b ằng 0. 2.7.2. H ạng c ủa ma tr ận Định ngh ĩa Cấp cao nh ất c ủa đị nh th ức con khác 0 c ủa ma tr ận A được g ọi là h ạng c ủa ma tr ận A , ký hi ệu là r( A ) . N ếu A là ma tr ận khơng thì ta quy ước r( A )= 0 . 29
Bài giảng Đại số Tuyến tính    1 21− 3    Ví d ụ 67. Ma tr ận A = − 11 1 0  cĩ tất c ả 12 định th ức con c ấp m ột, C2. C 2 = 18 định th ức   3 4    1 53− 6   3 con c ấp hai và C 4 = 4 định th ức con c ấp ba. Các định th ức con c ấp ba là: 121 12− 3 11 − 321 − 3 −111 =− 110 =− 110 = 110 = 0 . 153 15− 6 13 − 6 53 − 6 1 2 Do cĩ =3 ≠ 0 nên r( A )= 2 . −1 1 Nh ận xét • H ạng c ủa ma tr ận khơng thay đổ i khi ta hốn v ị dịng hay c ột. • N ếu A= ( a ij ) m× n khác khơng thì 1≤rA () ≤ min{ mn , }. • Đặc bi ệt, n ếu A là ma vuơng cấp n thì rA( )= n ⇔ det A ≠ 0   m −1 − 2      Ví d ụ 68. Cho ma tr ận A =  0 3 2 . Ch ứng t ỏ r ằng ma tr ận A cĩ h ạng b ằng 3 v ới m ọi m .    2m 1   Gi ải. Ta cĩ detAmm=− 22 + 3 −<∀ 8 0, m . Vậy r( A )= 3, ∀ m ∈ ℝ . 2.7.3. Thu ật tốn tìm h ạng c ủa ma tr ận • B ước 1. Đư a ma tr ận c ần tìm h ạng v ề dạng bậc thang. • B ước 2. S ố dịng khác khơng c ủa ma tr ận b ậc thang đĩ chính là h ạng c ủa ma tr ận đã cho.   1− 342      Ví d ụ 69. Cho ma tr ận A =2 − 514 . Tìm r( A ) .   3− 856   Gi ải. Bi ến đổ i sơ c ấp dịng trên ma tr ận A , ta được:     1− 3 4 2  1− 3 4 2  d→ d − 2 d   d→ d − d   2 2 1   3 3 2   A →d d d 0 1 − 70  →0 1 − 70  . 3→ 3 − 3 1         0 1− 70   0 0 0 0   Vậy r( A )= 2 . 21− 13      0− 10 0  Ví d ụ 70. Cho ma tr ận B =  . Tìm r( B ) . 01 2 0      0− 11 − 4   Gi ải. Bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận B , ta được: 30
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận 21− 13  21− 13          0− 10 0  0− 10 0  B →   →  . 00 2 0  00 2 0          00 1− 4  00 0− 8  V ậy r( B )= 4 . Chú ý Trong tr ường h ợp tham số ở các c ột đầ u, ta khĩ đư a ma tr ận v ề d ạng b ậc thang. Khi đĩ, ta hốn v ị cột c ủa ma tr ận sao cho tham s ố ở các c ột cu ối, r ồi đưa v ề dạng bậc thang.   m + 1 1 3      Ví d ụ 71. Cho ma tr ận A= 2 m + 2 0  . Tìm giá tr ị c ủa tham s ố m để r( A )= 2 .    2m 1 3   Gi ải. Bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận A , ta được: 3 1m + 1  3 1m + 1      c↔ c   d→ d − d   1 3   3 3 1   A→0 m + 2 2  →0m + 2 2 .     3 1 2 m   0 0m − 1     3 1 2      • Với m = 1, ta cĩ: A→032 ⇒ r () A = 2 .   0 0 0      31− 1  31 − 1        • Với m = − 2 , ta cĩ: A→002 →  002  ⇒= r ()2 A .    00− 3   000  V ậy m=−2 ∨ m = 1 . −12 1 − 11       m −11 − 1 − 1  Ví d ụ 72. Tùy theo giá tr ị của m , tìm h ạng c ủa ma tr ận A =  .  1m 011       1 22− 11   Gi ải. Bi ến đổ i s ơ c ấp trên ma tr ận A , ta được: 1− 112 − 1  111− 2 − 1          c↔ c −1 − 11 − 1 m  d→ d + d 022− 1m − 1  1 5   2 2 1   A →c c   →d d d   2↔ 4   3→ 3 − 1    110m 1  d→ d − d 02− 1m − 22    4 4 1        1− 122 1  001 0 2  111− 2 − 1      d→ d + d 022− 1m − 1  3 3 2   →d→ d − d   . 4 4 3 001m− 1 m + 1      000−m + 1 − m + 1  Vậy v ới m = 1 ta cĩ r( A )= 3 và m ≠ 1 ta cĩ r( A )= 4 . ■ 31
Bài giảng Đại số Tuyến tính BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG I ℝ Câu 1. Cho ma tr ận A∈ M 7× 8 ( ) . Phép nhân th ực hi ện được là: A. AI. 7 ; B. I8. A ; C. I8. AI . 7 ; D. I7. AI . 8 .   1 1 0      0 1− 1  Câu 2. Cho hai ma tr ận A = 1 0 1  và B =   . Ma tr ận X th ỏa X. A= B là:       2 3 1  0 1 1        1 2  1− 1      1− 1 0  1 1 2  A. −1 0 ; B. 1 0 ; C.   ; D.   .             2 0 1  −1 0 1   0 1   2 1     1 2 3      Câu 3. Cho hai ma tr ận A = 4 5 6  và B= diag( abc ) . Ma tr ận tích AB. là:   7 8 9        a2 b 3 c   a2 a 3 a          A. AB.=  456 a b c  ; B. AB.=  456 b b b ;     7a 8 b 9 c   7c 8 c 9 c       a 2 3   1 2 3 c         C. AB.=  45 b 6 ; D. AB.=  45 b 6 .     7 8 9 c  7a 8 9     1 2 3      Câu 4. Cho hai ma tr ận A = 4 5 6  và B= diag( abc ) . Ma tr ận tích B. A là:   7 8 9        a2 b 3 c   a2 a 3 a          A. BA.=  4 a 56 b c  ; B. BA.=  456 b b b ;     7a 8 b 9 c   7c 8 c 9 c       a 2 3   1 2 3 c         C. B. A=  45 b 6 ; D. B. A=  45 b 6 .     7 8 9 c  7a 8 9       4 7 − 102   7  2011 Câu 5. Cho ma tr ận A =      . Ma tr ận A là:      −−1 201     −− 1 4      2011 −15 4  2011 −15 − 56  A. A =   ; B. A =  ;     −56 15   4 15      2011 −15 15  2011 −15 − 56  C. A =  ; D. A =  .      4− 56   15 4  32
Đoàn Vương Nguyên Chương 1. Định thức – Ma trận ℝ i Câu 6. Cho ma tr ận A∈ M 100 ( ) , trong đĩ các ph ần t ử ở dịng th ứ i là C100 (i = 1, ,100) . 2 Phần t ử a1j (j = 1, ,100) c ủa A là: A. 2100 ; B. 100.2 100 ; C. 100(2100 + 1) ; D. 100(2100 − 1) . 3m 0 1       6 2m m 2  Câu 7. Cho ma tr ận A =  . Giá tr ị c ủa tham s ố m để r( A )= 3 là:  93m 0 m + 2      155m + 10 7  m = 0 m = 0 A. m = 0 ; B. m = 1; C.  ; D.  . m = ± 1 m = 1   1m 1 2      231m− m + 2 m + 3  Câu 8. Cho ma tr ận A =  . Giá tr ị c ủa tham s ố m để r( A )= 2 là: 45m− 1 m + 42 m + 7      22m 2 4   A. m = 0 ; B. m = 1; C. m = 2 ; D. m = 3 . Câu 9. Định th ức c ủa ma tr ận λIn (λ ∈ ℝ ) là: A. λ ; B. λ ; C. nλ ; D. λn . 0 1 2 0      7 3 4 1  Câu 10. Cho ma tr ận A =  . Giá tr ị c ủa det A là: 1 2 7 0      0 4 4 0  A. 4 ; B. −4 ; C. 8 ; D. −8 . 1 2 000      5 6 124    Câu 11. Cho ma tr ận A = 3 4 000  . Giá tr ị c ủa det A là:     9 10 0 0 3    7 8 027  A. 12 ; B. −12 ; C. 6 ; D. −6 .     12− 1 − 2   1 21 2          T Câu 12. Cho A =01 − 2 3  và B = − 12 3 1 . Giá tr ị c ủa det(AB . ) là:     20 1 1    0 11− 3   A. 100 ; B. −100 ; C. 125 ; D. −125 . 2+ 2m − 5 12 Câu 13. Cho =m −3 m + 1 − 3 m . Giá tr ị c ủa tham s ố m để < 0 là: m+3 − m − 1 3 m 33
Bài giảng Đại số Tuyến tính m 0 ; B. m 4  x x −1 − 1 1x 2 1 1 Câu 14. Phươ ng trình = 0 cĩ nghi ệm là: 14 1 1 78 9 5 x = − 1 x = 1 x = 2 x = − 2 A.  ; B.  ; C.  ; D.  . x = ± 2 x = ± 2 x = ± 1 x = ± 1     x −3 2 − 4 Câu 15. Phươ ng trình 2x − 620 − = cĩ nghi ệm là: 4 2 3 − x x = − 2 x = − 7 x = ± 2 x = − 2 A.  ; B.  ; C.  ; D.  . x = 7 x = 2 x = 7 x = ± 7       m −2 − 4 − 3      Câu 16. Cho ma tr ận A= 4 m + 6 3  . Giá tr ị c ủa tham s ố m để A kh ả ngh ịch là:    −3 − 3m − 1     m ≠ 1 m ≠ 1 A.  ; B.  ; m ≠ 2 m ≠ − 2     m ≠ 1 m ≠ 1 C.  ; D.  . ■ m ≠ 3 m ≠ − 3   34
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ch ươ ng II HỆ PH ƯƠ NG TRÌNH TUY ẾN TÍNH 1. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH T ỔNG QUÁT 1.1. Định ngh ĩa ộ ệ ồ ươ ậ ấ ứ ẩ • M t h g m m ph ng trình b c nh t ch a n n x j (j= 1,2, , n ) ax+ ax ++ ax = b  111 122 1n n 1 ax+ ax ++ ax = b  211 222 2n n 2 (I )  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯  axax+ ++ ax = b  m11 m 22 mn n m đ ệ ố ℝ trong ĩ, các h s abij, i ∈ ( i = 1,2, , mj ; = 1,2, , n ) , được g ọi là h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát (hay g ọi ng ắn g ọn là h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính). • Ta g ọi: a a⋯ a   11 12 1 n    a a⋯ a  A= 21 22 2 n  ∈ M (ℝ ) là ma tr ận h ệ s ố,  ⋮ ⋮ ⋱⋮  m× n   a a⋯ a  m1 m 2 mn   b   1    b  B= 2  =() b ∈ M ()ℝ là ma tr ận c ột của h ệ s ố tự do  ⋮  i m×1 m × 1   b   m  x   1    x  và X= 2  =() x ∈ M ()ℝ là ma tr ận c ột c ủa ẩn.  ⋮  j n×1 n × 1   x   n  Khi đĩ, h ệ ph ươ ng trình (I ) được vi ết d ưới d ạng ma tr ận là AX= B α   1    α  • α =  2  được g ọi là một nghi ệm c ủa hệ (I ) n ếu Aα = B .  ⋮    α   n  ĩ x x x I ấ ả đẳ ứ đề đượ ỏ Ngh a là, khi thay 1=α 12, = α 2 , , n = α n vào ( ) thì t t c các ng th c u c th a mãn. Quy ước Để ọ ế ệ ướ ạ cho g n, ta vi t nghi m d i d ng α= ( αα1 ; 2 ; ; α n ) .  xx−+2 x + 4 x = 4  12 3 4 Ví d ụ 1. Xét h ệ ph ươ ng trình 2x++ x 4 x =− 3  1 2 3  2x− 7 x = 5  2 3 35
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ta cĩ: x       1  1− 1 2 4   4        x       2  A = 2 1 4 0  , B = − 3, X =   và α =(1; − 1; − 1; 1) là m ột nghi ệm c ủa h ệ.     x  0 2− 70   5   3      x   4  1.2. H ệ Cramer 1.2.1. Định ngh ĩa Hệ Cramer là m ột h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính cĩ s ố ph ươ ng trình b ằng v ới s ố ẩn và định th ức c ủa ma tr ận h ệ s ố khác khơng.  x+2 y + z = 4  x− y +2 z = 3   Ví d ụ 2. Hệ  x−3 y + 6 z = 4 là h ệ Cramer; h ệ 2x+ 3 y + z = 1 khơng ph ải là h ệ Cramer.   5x− y + z = 5  x+4 y − z = 2   1.2.2. Định lý Cramer ( Quy t ắc Cramer ) ệ ℝ Cho h Cramer AX= B , A∈ M n ( ) và detA ≠ 0 . Hệ Cramer AX= B cĩ nghi ệm duy nh ất là det A x=j ( j = 1,2, , n ) j det A đ ậ ậ đượ ằ ộ ứ ủ ở ộ ệ ố ự trong ĩ, các ma tr n Aj nh n c b ng cách thay c t th j c a A b i c t các h s t do B . 2x+ x − x = 1  1 2 3 Ví d ụ 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  x+3 x = 3  2 3 2x+ x + x =− 1  1 2 3 Gi ải. Ta cĩ:     2 1− 1   1 1− 1      A=01 3 ⇒ det A = 4 , A= 3 1 3 ⇒ det A =− 12 ,   1   1     2 1 1   −1 1 1       2 1− 1  2 1 1      A=0 3 3 ⇒ det A = 24 , A=013 ⇒ det A =− 4 . 2   2 3   3     2− 1 1   2 1− 1   Vậy hệ đã cho cĩ nghi ệm duy nh ất là:  detA det A det A  x=1 =−3; x = 2 = 6; x = 3 =− 1  .  1 2 3   detA det A det A   x+2 y + z = 4  Ví d ụ 4. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  x−3 y + 6 z = 4  5x− y + z = 5  36
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Gi ải. Ta cĩ:     1 2 1  4 2 1      A=−1 3 6 ⇒ det A = 75 , A=−4 3 6 ⇒ det A = 75 ,   1   1     5− 1 1   5− 1 1       1 4 1  1 2 4      A=1 4 6 ⇒ det A = 75 , A=−1 3 4 ⇒ det A = 75 . 2  2 3   3     5 5 1   5− 1 5   Vậy h ệ cĩ nghi ệm duy nh ất là (x ; y ; z )= (1; 1; 1) . 1.2.3. Bi ện lu ận s ố nghi ệm c ủa h ệ d ạng Cramer ệ ℝ ậ ứ ố Cho h AX= B , A∈ M n ( ) và ma tr n A ch a tham s m . Ta cĩ các tr ường h ợp sau • Tr ường h ợp 1. Nếu detA ≠ 0 thì h ệ cĩ nghi ệm duy nh ất. ế ệ ệ • Tr ường h ợp 2. N u detA = 0 và ∃j ∈ {1,2, , n } sao cho detAj ≠ 0 thì h vơ nghi m. ế ệ ể ố ệ ặ • Tr ường h ợp 3. N u detA = 0 và detAj = 0 (∀j = 1,2, , n ) thì h cĩ th cĩ vơ s nghi m ho c vơ nghi ệm. Khi đĩ, ta gi ải detA = 0 tìm tham s ố m và thay vào h ệ để gi ải tr ực ti ếp. Ví d ụ 5. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm duy nh ất: mx + 8 z − 7 t = m − 1  3x+ my + 2 z + 4 t = m   mz+ 5 t = m 2 − 1   5z− mt = 2 m + 2  Gi ải. Ta cĩ: m 0 8− 7       3m 2 4  A=  ⇒=−+det Amm2 ( 2 25) . 0 0m 5       0 0 5 −m  Vậy h ệ cĩ nghi ệm duy nh ất khi detA≠ 0 ⇔ m ≠ 0 .  (mx++ 1) ym =+ 2 Ví d ụ 6. Tìm điều ki ện c ủa m để h ệ ph ươ ng trình  cĩ nghi ệm.  x+( m + 1) y = 0  Gi ải. Ta cĩ:   m + 1 1  A=  ⇒=+det Amm ( 2) .   1m + 1   Suy ra detA= 0 ⇔ m =−∨ 2 m = 0 . • Với m = − 2, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành x− y = 0 (vơ s ố nghi ệm).  x+ y = 2 • Với m = 0 , h ệ ph ươ ng trình tr ở thành  (vơ nghi ệm). x+ y = 0  Vậy h ệ cĩ nghi ệm khi m ≠ 0 . 37
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ví d ụ 7. Biện lu ận s ố nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình  mx+ y + z = 1   x+ my + z = m   x+ y + mz = m 2  Gi ải. Ta cĩ: m 1 1 detA= 1 m 1 =+− ( mm 2)( 1) 2 ⇒detA =⇔ 0 m =−∨ 2 m = 1 . 1 1 m  m ≠ − 2 • Với  , ta cĩ detA ≠ 0 . Suy ra hệ cĩ nghi ệm duy nh ất. m ≠ 1  • Với m = 1, h ệ tr ở thành x+ y + z = 1. Suy ra hệ cĩ vơ s ố nghi ệm. • Với m = − 2 , hệ tr ở thành: −++=2xyz 10003  xyz ++=   xyz−2 + =−⇔ 2  xyz − 2 + =− 2   xyz+−=24  xyz +−= 24   Suy ra h ệ ph ươ ng trình vơ nghi ệm. Ví d ụ 8. Biện lu ận s ố nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình (mx−+ 7) 12 y − 6 zm =   10xmy−+ ( 19) + 10 z =− 2 m   12x− 24 ymz −−= ( 13) 0  Gi ải. Ta cĩ: m −7 12 − 6 detA= 10 − m − 19 10 12− 24 13 − m m −7 12 − 6 m −19 12 − 6 =10 −m − 19 10 =30 −m − 19 10 2m− 2 0 1 − m 0 0 1 − m m −19 12 =(1 − m ) =(m − 1)( m 2 − 1) . 30−m − 19 Suy ra detA= 0 ⇔ m =± 1 . • V ới m ≠ ± 1, ta cĩ detA ≠ 0 . Suy ra hệ cĩ nghi ệm duy nh ất. • Với m = − 1 , h ệ ph ươ ng trình tr ở thành: −+8xyz 12 − 6 =− 1  8 xyz − 12 += 6 1   10xyz− 18 + 10 = 2 ⇔  5 xyz − 9 += 5 1   12xyz−+= 24 14 0  6 xyz −+= 12 7 0   38
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 8x− 12 y + 6 z = 1  ⇔4x −=− 2 z 1 . Suy ra h ệ vơ nghi ệm.  2x− z = 1  • Với m = 1, h ệ ph ươ ng trình tr ở thành: 6xyz+−= 12 6 1  6 xyz +−= 12 6 1   10xyz− 20 + 10 =−⇔ 2  5 xyz − 10 + 5 =− 1   12xyz−+= 24 12 0  xyz −+= 2 0    6x+ 12 y − 6 z = 1  ⇔60x = − 1 . Suy ra h ệ vơ nghi ệm.  12x = 1  Chú ý ụ ư ệ ệ Trong ví d 8, khi m = 1 thì detA= det A1 = det A 2 = det A 3 = 0 nh ng h vơ nghi m. 1.3. Gi ải h ệ t ổng quát b ằng phươ ng pháp Gauss Xét h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát AX= B (I ) . Gọi A là ma tr ận mở r ộng, được xác đị nh nh ư sau aa⋯ ab   11 12 1n 1    aa⋯ ab  A= A B =  21 22 2n 2  . ()  ⋮ ⋮⋱⋮⋮    aa⋯ ab   m1 m 2 mn m  Để gi ải h ệ (I ) b ằng ph ươ ng pháp Gauss (cịn được g ọi là ph ươ ng pháp bi ến đổ i s ơ c ấp trên dịng), ta th ực hi ện các b ước sau • B ước 1. Lập ma tr ận m ở r ộng A . • B ước 2. Đư a A v ề b ậc thang b ởi các phép bi ến đổ i s ơ c ấp trên dịng. • B ước 3. Vi ết l ại h ệ và giải ng ược t ừ d ưới lên trên. Chú ý Trong quá trình th ực hi ện b ước 2, n ếu: i) cĩ hai dịng t ỉ l ệ thì ta xĩa đi một dịng; ii) cĩ dịng nào b ằng khơng thì ta xĩa đi dịng đĩ; iii) cĩ ít nh ất một dịng ở dạng (0⋯ 0 |b ) (b ≠ 0) thì ta kết lu ận hệ (I ) vơ nghi ệm. Ví d ụ 9. Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau b ằng ph ươ ng pháp Gauss 2x+ y − z = 1   y+ 3 z = 3  2x+ y + z =− 1  39
Bài giảng Đại số Tuyến tính Gi ải   21− 11      • Ma tr ận m ở r ộng là A=() A B =01 3 3  .   21 1 − 1   • Đư a ma tr ận A v ề d ạng b ậc thang: 2111−   2111 −     d→ d − d   3 3 1   0133→  0133  .    2111 −   0022 −  • H ệ ph ươ ng trình đã cho tr ở thành: 2xyz+−= 1  x =− 3    y+ 3 z = 3 ⇔  y = 6   2z=− 2  z =− 1   V ậy h ệ ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi ệm duy nh ất là (− 3; 6; − 1) . 52x− x + 53 x − x = 3  1 2 3 4 Ví d ụ 10. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 4x+ x + 32 x − x = 1  1 2 3 4 2x+ 7 x − x = − 1  1 2 3 Gi ải   5− 25 − 33      • Ma tr ận m ở r ộng là A==() A B 4 1 3 − 21 .   27 − 10 − 1   • Đư a ma tr ận A v ề d ạng b ậc thang: 5− 2 5 − 33  5− 25 − 33      d→5 d − 4 d   d→ d − 3 d   A →2 2 1 013 − 5 2 − 7  →3 3 2 013 − 5 2 − 7 . d→5 d − 2 d     3 3 1     0 39 − 15 6 − 11   0 0 0 010   Nh ận th ấy dịng 3 c ủa A cĩ d ạng (0⋯ 0 |b ) (b ≠ 0) . Vậy h ệ ph ươ ng trình đã cho vơ nghi ệm.  x+2 y − 3 z + 5 t = 1  Ví d ụ 11. Gi ải h ệ ph ươ ng trình  x+3 y − z + t =− 2  2546x+ y − z + t =− 1  Gi ải. Ta cĩ:      12− 351  12− 351  12 − 351            A =13 − 112 − →012 −−→ 43  012 −− 43  .      25 − 461 −   012 −− 43   000 00   x+2 y − 3 z + 5 t = 1 H ệ ph ươ ng trình tr ở thành   y+2 z − 4 t =− 3  Lúc này h ệ g ồm cĩ 2 ph ươ ng trình và 4 ẩn nên ta cĩ th ể ch ọn x , y làm ẩn chính và z , t làm ẩn ph ụ. 40
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Đặt z =α ∈ ℝ , t =β ∈ ℝ và th ế vào hệ ta được  x =7 + 7α − 13 β  y =−3 − 2α + 4 β  V ậy h ệ ph ươ ng trình đã cho cĩ vơ s ố nghi ệm dưới dạng x =7 + 7α − 13 β  y =−3 − 2α + 4 β  (α , β ∈ ℝ ) . z = α  t = β   x+ 6 xx +− 2 5 xx − 2 =4 −  1 23 45 Ví d ụ 12. Gi ải h ệ ph ươ ng trình 2x+ 12 xx + 6 − 18 xx − 5 =− 5  1 2 3 45 3x+ 18 xx + 8 − 23 xx − 6 =− 2  1 2 3 45 Gi ải. Ta cĩ:      162− 5 − 24 −  162−−− 5 24  162 −−− 5 24            A =2126 −−− 18 5 5  →002 −−→ 8 13  002 −− 8 13  .      3188 −−− 23 6 2   002 − 8 010   0000 17  H ệ ph ươ ng trình tr ở thành x+6252 x + x − x − x =− 4  1 2 3 4 5  2x− 8 x − x = 3  3 4 5  x = 7  5 Đặ ℝ ℝ ế ệ đượ t x2 =α ∈ , x 4 =β ∈ và th vào h ta c x = −6α − 3 β  1 x =5 + 4 β  3 x = 7  5 V ậy h ệ ph ươ ng trình đã cho cĩ vơ s ố nghi ệm dưới dạng (6−−α 3;;5 βα + 4;;7)(, ββ αβ ∈ ℝ ) . Chú ý Trong tr ường h ợp h ệ cĩ vơ s ố nghi ệm, ta g ọi nghi ệm ch ứa tham s ố là nghi ệm t ổng quát . Cho tham s ố giá tr ị c ụ th ể, ta được nghi ệm riêng . 1.4. Điều ki ện cĩ nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát 1.4.1. Định lý Kronecker – Capelli Hệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát AX= B (I ) cĩ nghi ệm khi và ch ỉ khi rA()= rA () đ ℝ ậ ở ộ trong ĩ, A∈ M m× n ( ) và A là ma tr n m r ng. Chú ý i) rA()≤ rA () . ii) N ếu rA()= rA () = n (s ố ẩn) thì h ệ (I ) cĩ nghi ệm duy nh ất. iii) Nếu rA()= rA () < n thì h ệ (I ) cĩ vơ s ố nghi ệm, trong đĩ cĩ n− r ẩn t ự do được l ấy nh ững giá tr ị tùy ý. 41
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ví d ụ 13. Tìm điều ki ện của m để h ệ ph ươ ng trình sau cĩ vơ s ố nghi ệm:   x+2 y + z = 1  2x+ 5 y + 3 z = 5  3x+ 7 y + mz2 = 6  Gi ải. Ta cĩ:      1 2 11  12 11  12 11       A = 2 5 35  →01 13 →  01 13  .       2  2  2  3 7 m 6  01m− 33   00 m − 4 0  Nh ận th ấy 2≤r () A ≤ 3 nên h ệ cĩ vơ s ố nghi ệm khi: rA()= rA ()2 =⇔ m 2 −= 40 . V ậy, v ới m = ± 2 thì h ệ cĩ vơ s ố nghi ệm ph ụ thu ộc vào 1 tham s ố. Ví d ụ 14. Tìm điều ki ện c ủa m để h ệ ph ươ ng trình sau vơ nghi ệm:   x+3 y + z =− 1  −−2x 6 y + ( m − 1) z = 4   4x+ 12 y ++ (3 mzm2 ) =− 3  Gi ải. Ta cĩ: 13 1− 1  131− 1   131 − 1              A=− 26 − m − 14  →00m + 12 → 00 m + 12 .        2 m   2 m  m   412m + 3 − 3  0 0m − 1 +1   00 03 −  • Nếu m = 3 thì rA()= rA () = 2 ⇒ h ệ cĩ vơ s ố nghi ệm (lo ại). • Nếu m = − 1 thì rA()= 1 < 3 = rA () ⇒ hệ vơ nghi ệm (nh ận). V ậy h ệ đã cho vơ nghi ệm khi m ≠ 3 . Chú ý i) Khi tìm điều ki ện c ủa tham s ố để h ệ ph ươ ng trình vơ nghi ệm, ta cĩ th ể tìm điều ki ện để h ệ cĩ nghi ệm. Sau đĩ, ta k ết lu ận ng ược l ại. ii) N ếu ma tr ận m ở r ộng A cĩ các c ột đầ u ch ứa tham s ố thì ta cĩ th ể đổ i c ột trong ma tr ận A (khơng được đổ i v ới c ột h ệ s ố t ự do). Ví d ụ 15. Bi ện lu ận s ố nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình   mx+++ y z t = m   2x+++ 3 yz 2 (5 m − 3) tm =+ 1  (m− 1)32( x +++ y z m2 + mt )4 =  Gi ải. Ta cĩ: m m  m m   1 1 1  1 1 1    c↔ c   A= 2 325 m − 3 m + 1  →1 3 23 2 5m − 3 m + 1       2   2  m−1 3 2 m + m 4  2 3m− 1 m + m 4  m m  1 1 1  d→ d − d   3 3 2  m m m . →d→ d − 2 d 0122 − 5 − 51 −  2 2 1    2 m 00m− 3 m − 43 m + 3 −   42
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m = 3 thì rA()= rA () = 2 ⇒ h ệ cĩ vơ s ố nghi ệm. • Nếu m ≠ 3 thì rA()= rA () = 3 ⇒ hệ cĩ vơ s ố nghi ệm. 1.4.2. Điều ki ện để hai h ệ ph ươ ng trình cĩ nghi ệm chung Mu ốn tìm điều ki ện của tham s ố để hai h ệ ph ươ ng trình cĩ nghi ệm chung, ta ghép chúng thành một hệ r ồi đi tìm điều ki ện của tham s ố để h ệ chung đĩ cĩ nghi ệm. Ví d ụ 16. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố m để hai h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm chung:   xy+ −+= zt2 m + 1 2x+ 5222 y − z + t = m + 1  và  x+7 y − 5 zt −=− m 3x+ 7 y − 3 z + 3 t = 1   Gi ải. Hai h ệ ph ươ ng trình cĩ nghi ệm chung khi h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm:  x+ yz −+ t =2 m + 1   x+7 y − 5 zt − =− m  2x+ 522 y − z + t = 2 m + 1  3x+ 7 y − 3 z + 3 t = 1  Ta cĩ: 11− 112m + 1  11− 112m + 1  11− 112m + 1              17− 5 − 1 − m  06− 4 −− 23m − 1  06− 4 − 23 −m − 1  A =   →   →   . 25− 222m + 1  030 0− 2m − 1  0042−m − 1              37− 33 1  040 06−m − 2   0 0 0 0− 10m − 2  1 Suy ra rArA()= () ⇔− 10 m −=⇔ 2 0 m =− . 5 1 Vậy hai h ệ ph ươ ng trình đã cho cĩ nghi ệm chung khi m = − . ■ 5 2. H Ệ PH ƯƠ NG TRÌNH THU ẦN NH ẤT 2.1. Định ngh ĩa Hệ ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất là tr ường h ợp đặ c bi ệt c ủa h ệ ph ươ ng trình t ổng quát, cĩ d ạng ax+ ax ++ ax = 0  111 122 1 n n ax+ ax ++ ax = 0  211 222 2 n n (II )   ax+ ax ++ ax = 0  m11 m 22 mn n Đặ ệ đượ ế ạ ướ ạ ậ t O = (0i ) m ×1 , h (II ) c vi t l i d i d ng ma tr n là AX= O Chú ý i) Do rA()= rA () nên h ệ (II ) luơn cĩ nghi ệm. Đặ ệ ệ II ệ X đ đượ ọ ệ ầ ườ ii) c bi t, h ( ) luơn cĩ nghi m 0 = (0; 0; ; 0) . Khi ĩ, X0 c g i là nghi m t m th ng của (II ) . 43
Bài giảng Đại số Tuyến tính Nh ận xét • Khi m= n và detA ≠ 0 thì (II ) cĩ duy nh ất nghi ệm t ầm th ường. • Khi m= n và detA = 0 thì (II ) cĩ vơ s ố nghi ệm. Ví d ụ 17. Tìm điều ki ện của tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình sau cĩ duy nh ất nghi ệm t ầm th ường: 3x+ my2 + ( m − 5) z = 0   (m+ 2) y + z = 0   4y+ ( m + 2) z = 0  Gi ải. H ệ ph ươ ng trình cĩ duy nh ất nghi ệm t ầm th ường khi: 3m2 m − 5 m ≠ 0 2  detA≠⇔ 0 0 m + 2 1 ≠ 0 ⇔3(m + 4 m ) ≠ 0 ⇔  m ≠ − 4. 0 4m + 2  Ví d ụ 18. Tìm giá tr ị c ủa tham s ố m để h ệ sau cĩ vơ s ố nghi ệm:  x+ y +−(1 mz ) = 0  (mxy+−+ 1) 2 z = 0   2x− my + 3 z = 0     1 1 1 − m     Gi ải. Ta cĩ A= m +1 − 1 2 .    2−m 3   Hệ đã cho cĩ vơ s ố nghi ệm khi: 1 1 1 − m 0 1 1 − m detA=⇔+− 0 m 11 2 = 0 ⇔+−m 2 1 2 = 0 2−m 3 m+2 − m 3 0 1 1 − m m = 0 ⇔+(m 2)0 m − 1 −= 1 0 ⇔(m + 2)( m2 − 2 m ) ⇔  m = ± 2. 1−m 3  2.2. Nghi ệm c ơ b ản c ủa h ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất  x+ x +2 x + 2 x = 0  1 2 3 4 Ví d ụ 19. Xét h ệ ph ươ ng trình 234x+ x + x + x = 0 (∗ )  1 2 3 4 3x+ 4 x + 6 x + 3 x = 0  1 2 3 4 Ta cĩ:    1122  112 2        A =2341 →  010 − 3  .    3463   000 0  xx++2 x + 2 x = 0  12 3 4 Hệ (∗ ) tr ở thành   x−3 x = 0  2 4 44
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính x = −2α − 5 α  1 1 2 x = 3α V ậy h ệ (∗ ) cĩ vơ s ố nghi ệm dưới dạng  2 2 (α , α ∈ ℝ ) . x = α 1 2  3 1 x = α  4 2 Khi đĩ, ta cĩ các khái ni ệm sau ệ X ℝ đượ ọ ệ ổ ủ ệ 1) Nghi m =−−(2α1 5;3;;)(, α 2 ααα 212 αα 12 ∈ ) c g i là nghi m t ng quát c a h (∗ ) . 2) Bi ến đổ i nghi ệm t ổng quát, ta được X ℝ =−α1( 2; 0; 1; 0) +− α 2 ( 5; 3; 0; 1) ( αα 12 , ∈ ) ệ X X đượ ọ ệ ơ ả ủ ệ Hai nghi m 1 =( − 2; 0; 1; 0) và 2 =( − 5; 3; 0; 1) c g i là nghi m c b n c a h (∗ ) . ệ ệ X X đượ ọ ệ ệ ơ ả ủ 3) H nghi m {1 , 2 } c g i là h nghi m c b n c a (∗ ) . Tổng quát 1) Nếu rA( ) = r < n (s ố ẩn) thì h ệ (II ) cĩ nghi ệm t ổng quát X là x = ϕαα( , , , α )  1 112 n− r x  2= ϕαα 212( , , , α n− r )    x = ϕαα( , , , α )  rr1 2 nr− (,α α , , α ∈ ℝ ) (∗∗ ) x = α 1 2 n− r  r+1 1 x = α  r+2 2   x = α  n n− r đượ ệ ơ ả 2) Thay α1=1, α 2 = 0, , α n− r = 0 vào (∗∗ ) , ta c nghi m c b n X 1= (ϕ 1 (1,0, ,0); ϕ 2 (1,0, ,0); ; ϕ r (1,0, ,0) ; 1; 0; ; 0). đượ ệ ơ ả Thay α1=0, α 2 = 1, , α n− r = 0 vào (∗∗ ) , ta c nghi m c b n X 2= (ϕ 1 (0,1, ,0); ϕ 2 (0,1, ,0); ; ϕ r (0,1, ,0) ; 0; 1; ; 0). đượ ệ ơ ả Thay α1=0, α 2 = 0, , α n− r = 1 vào (∗∗ ) , ta c nghi m c b n X n− r = (ϕ1 (0,0, ,1); ϕ 2 (0,0, ,1); ; ϕ r (0,0, ,1) ; 0; 0; ; 1). ệ X X X đượ ọ ệ ệ ơ ả ủ II 3) H {1 , 2 , ,n− r } c g i là h nghi m c b n c a ( ) . Khi đĩ, ta cĩ XXX=α11 + α 22 ++ α nr− X nr − Ví d ụ 20. Tìm nghi ệm c ơ b ản và nghi ệm t ổng quát c ủa h ệ ph ươ ng trình   x+ y + z = 0  2x− y − 2 z = 0  Gi ải. Ta cĩ:    111  11 1  A = →   .    212−−   034 −−  45
Bài giảng Đại số Tuyến tính  x+ y + z = 0 Hệ đã cho t ươ ng đươ ng v ới   −3y − 4 z = 0  1 4  Cho z , ta được m ột nghi ệm c ơ b ản là X  . = 1 1 = ; − ; 1  3 3  Vậy nghi ệm t ổng quát c ủa h ệ là: 1   1   x α    = x   3  3         4  4 XXy=α ⇔  =−⇔=− α   y αα( ∈ ℝ ) . 1    3  3      z      1  z = α       Chú ý Để tránh các nghi ệm c ơ b ản ở dạng phân s ố, ta cĩ th ể ch ọn ẩn ph ụ và tham s ố thích h ợp khi tìm nghi ệm c ơ b ản. Ví d ụ 21. Tìm nghi ệm c ơ b ản và nghi ệm tổng quát c ủa h ệ ph ươ ng trình   xy+ + z +2 t = 0  2xy−− 2 z + t = 0  Gi ải. Ta cĩ:    1112  11 1 2  A = →   .    2121−−   0343 −−−  Hệ đã cho t ươ ng đươ ng v ới  xy+ + z +2 t = 0   −3y − 4 z − 3 t = 0  Lần l ượt thay z = 3 , t = 0 và z = 0 , t = 1 vào h ệ ta được hai nghi ệm c ơ b ản là: X X 1 =(1; − 4; 3; 0) và 2 =( − 1; − 1; 0; 1) . Vậy nghi ệm t ổng quát c ủa h ệ là: x 1 − 1 x =α − α       1 2       y −4   − 1  y = −4α − α X=αα X + X ⇔= α   + α   ⇔ 1 2 (α , α ∈ ℝ ) . 1122z  1 3  2  0  z = 3α 1 2       1       t  0   1  t = α     2 2.3. C ấu trúc nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính Trong ph ần này, ta xét hai hệ ph ươ ng trình tuy ến tính t ổng quát và tuy ến tính thu ần nh ất đều cĩ vơ số nghi ệm liên k ết v ới nhau nh ư sau AX= B (I ) và AX= O (II ) trong đĩ AMℝ Xx Bb O rA rA n ∈mn×(), = (), jn ×1 = (), im × 1 = (0) im × 1 và ()= () < . Định lý ế ệ ổ ủ ệ ộ ệ ủ ệ N u X là nghi m t ng quát c a h (II ) và X0 là m t nghi m riêng c a h (I ) thì X+ X 0 là nghi ệm t ổng quát c ủa hệ (I ) . 46
Đoàn Vương Nguyên Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ví d ụ 22. Gi ải h ệ ph ươ ng trình   xy+ + z +2 t = 4  (∗ ) 2xy−− 2 z + t = 2  Gi ải. Xét h ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất liên k ết v ới h ệ (∗ ) nh ư sau:   xy+ + z +2 t = 0  (∗∗ ) 2xy−− 2 z + t = 0  Trong ví d ụ 21, ta đã bi ết h ệ (∗∗ ) cĩ nghi ệm t ổng quát là x =α − α  1 2 y = −4α − α  1 2 (α , α ∈ ℝ ) . z = 3α 1 2  1 t = α  2 ặ ệ ộ ệ X M t khác, h (∗ ) cĩ m t nghi m riêng là 0 = (0; 0; 0; 2) . V ậy nghi ệm t ổng quát c ủa h ệ (∗ ) là x =α − α  1 2 y = −4α − α  1 2 (α , α ∈ ℝ ) ■ z = 3α 1 2  1 t =α + 2  2 BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG II  x+4 y + 5 z =− 1  Câu 1. Nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình 2x+ 7 y − 11 z = 2 là:  3x+ 11 y − 6 z = 1  A. (15;− 4; 0) ; B. (94;− 25; 1) ; C. (15−−− 79α ; 4 21 ααα ; ) ( ∈ ℝ ) ; D. (15+−− 79α ; 4 21 ααα ; ) ( ∈ ℝ ) .  2(m+ 1) xm + ( + 10) ym = Câu 2. H ệ ph ươ ng trình  cĩ duy nh ất m ột nghi ệm khi và ch ỉ khi:  mx+( m + 2) y = 2 m  A. m = 2 ; B. m ≠ 2 ; C. m = − 2 ; D. m ≠ − 2 . x+2 y +− (7 mz ) = 2  Câu 3. Giá tr ị c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình 24x+ y − 51 z =  3x+ 6 y + mz = 3  cĩ vơ s ố nghi ệm là: 47
Bài giảng Đại số Tuyến tính A. m = − 1 ; B. m = 1; C. m = − 7 ; D. m = 7 .  3x− y + 2 z = 3 Câu 4. Nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình  là: 2x+ y − 2 z = 7  A. (3; 2α ; α ) ( α ∈ ℝ ) ; B. (1+α ; 0; α ) ( α ∈ ℝ ) ; C. (2;−α + 3; α ) ( α ∈ ℝ ) ; D. (2; 3+ 2α ; α ) ( α ∈ ℝ ) . 3x− 2 y + 2 z = 0  Câu 5. Số nghi ệm cơ b ản của h ệ 2x+ 7 y − 6 z = 0 là:  4x+ 39 y − 34 z = 0  A. 0 nghi ệm; B. 1 nghi ệm; C. 2 nghi ệm; D. 3 nghi ệm.  x+ yz −+ t = 0   x−2 yz ++ t = 0 Câu 6. Số nghi ệm cơ b ản của h ệ  là: 33x− yz ++ 30 t =  5x− yz −+ 5 t = 0  A. 1 nghi ệm; B. 2 nghi ệm; C. 3 nghi ệm; D. 4 nghi ệm.   x−2 y + z = 0 Câu 7. Cho bi ết X = (1; 1; 1) là nghi ệm cơ b ản của h ệ  0 3x+ y − 4 z = 0.    x−2 y + z = 0 Nghi ệm tổng quát của h ệ  là: 3x+ y − 4 z =− 7  A. (α+ 1; α + 2; α + 3) ( α ∈ ℝ ) ; B. (1+αα ; − 3; α + 4) ( α ∈ ℝ ) ; C. (α− 2; α + 3; α + 1) ( α ∈ ℝ ) ; D. (α+ 1; 3 + αα ; − 1) ( α ∈ ℝ ) .  x−3 y + 4 z + 2 t = 0 Câu 8. Bi ết (− 13; 1; 4; 0) , (10; 0;− 3; 1) là hai nghi ệm cơ b ản của h ệ  x+ y +3 z − t = 0.   x−3 y + 4 z + 2 t =− 3 Nghi ệm tổng quát của h ệ  là: x+ y +3 z − t =− 2  A. (10α− 13 βα ; +−− 1; 4 α 3 β 1; βαβ ) ( , ∈ ℝ ) ; B. (10α− 13 ββ ; −−+ 1; 3 α 4 βα ; + 1) ( αβ , ∈ ℝ ) ; C. (−++ 13α 10 β 1; αα ; 4 −− 3 β 1; βαβ ) ( , ∈ ℝ ) ; D. (−+ 13α 10 βα ; −− 1; 4 α 3 ββ ; + 1) ( αβ , ∈ ℝ ) . ■ 48
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector Ch ươ ng III KHƠNG GIAN VECTOR 1. KHÁI NI ỆM KHƠNG GIAN VECTOR 1.1. Định ngh ĩa Cho t ập V khác r ỗng, xét hai phép tốn cộng và nhân vơ h ướng sau: VVV× → ℝ × VV → (xyxy , )֏+ ; (λ , x ) ֏ λ x . Ta nĩi V cùng v ới hai phép tốn trên là m ột khơng gian vector ( vector space – vi ết t ắt là kgvt ) trên ℝ , hay ℝ – khơng gian vector, n ếu th ỏa 8 tính ch ất sau: 1) (x++=++ y ) z x ( yz ),,, ∀ xyzV ∈ ; 2) ∃∈θVx: +=+= θ θ xxxV , ∀∈ ; 3) ∀∈xV,() ∃−∈ xV :() −+=+−= xxx () x θ ; 4) x+=+ y y x, ∀ xyV , ∈ ; 5) λ()xy+= λλ x + yxyV ,,, ∀ ∈ ∀∈ λ ℝ ; 6) ()λ+x =+ λ x xxV , ∀∈∀ ,, λ ∈ ℝ ; 7) ()λx= λ (), x ∀∈∀ xV ,, λ ∈ ℝ ; 8) 1.x= x , ∀ x ∈ V . Chú ý i) M ỗi ph ần t ử thu ộc V được g ọi là m ột vector ; m ỗi ph ần t ử thu ộc ℝ được g ọi là m ột vơ hướng . ii) Vector θ ∈V là duy nh ất và được g ọi là vector khơng . iii) (−x ) ∈ V được g ọi là vector đối c ủa vector x∈ V và m ỗi vector x cĩ m ột vector đố i duy nh ất. 1.2. Tính ch ất c ủa khơng gian vector V 1) 0. x = θ , ∀x ∈ V 2) −x =( − 1). x , ∀x ∈ V 3) λ. θ= θ , ∀λ ∈ ℝ 4) λθλ.x= ⇒ = 0 ∨ x = θ (x∈ V , λ ∈ ℝ ) 5) λ.x= ., x x ≠⇒= θλ (x∈ V ;,λ ∈ ℝ ) 6) λ.xy= λ ., λ ≠⇒= 0 xy (,x y∈ V ;λ ∈ ℝ ) 1.3. Các ví d ụ v ề khơng gian vector 1) Tập h ợp ℝn ==xxx( ; ; ; xx ) ∈= ℝ , i 1,2, , n các b ộ s ố th ực là m ột khơng gian vector { 1 2 n i } với hai phép tốn: xy xyx y x y +=+(1 12 ; + 2 ; ;n + n ) , ℝn ℝ λλλλx=( xx1 ; 2 ; ; xxyn )(, ∈ , λ ∈ ) . n xi được g ọi là thành ph ần th ứ i c ủa vector x=( xx1 ; 2 ; ; x n ) ∈ ℝ . Vector khơng thu ộc ℝn là θ = (0; 0; ; 0) . 2) G ọi Pn [ x ] là t ập h ợp các đa th ức hệ s ố th ực theo bi ến x cĩ b ậc nh ỏ h ơn hay b ằng n . M ỗi ph ần t ử p hay px()∈ Pxn [] cĩ d ạng: 2 n px()=+ a0 axax 1 + 2 ++ axn (ai ∈ℝ , i = 0,1,2, , n ) . 49
Bài giảng Đại số Tuyến tính Pn [ x ] là m ột khơng gian vector v ới hai phép tốn: ((),())pxqx֏ px ()+ qx () và (,())λpx֏ λ px () (λ ∈ ℝ ) . 2 n Vector khơng thu ộc Pn [ x ] là θ =+0 0x + 0 x ++ 0 x . 3) T ập h ợp nghi ệm c ủa một hệ ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất với hai phép tốn c ộng và nhân vơ hướng là m ột khơng gian vector. 4) T ập h ợp V= M m× n (ℝ ) v ới hai phép tốn c ộng ma tr ận và nhân vơ h ướng là m ột kgvt . 1.4. Khơng gian vector con Định ngh ĩa Cho khơng gian vector V , t ập h ợp W⊂ V được g ọi là khơng gian vector con (vectorial subspace) của V n ếu W c ũng là m ột khơng gian vector. Nh ận xét Cho khơng gian vector V , t ập hợp W⊂ V là kgvt con c ủa V n ếu: (x+λ y ) ∈ W , ∀x, y ∈ W , ∀∈λ ℝ . Ví d ụ. • T ập hợp W={θ , θ ∈ V } là kgvt con c ủa kgvt V . • T ập hợp W ={(αβ ; ;0; ;0) αβ , ∈ ℝ} là kgvt con c ủa ℝn . • ℝ2 khơng là kgvt con c ủa ℝ3 vì u =(1; 2) ∈ ℝ2 nh ưng u ∉ ℝ3 . ■ 2. SỰ ĐỘC L ẬP TUY ẾN TÍNH – PHỤ THU ỘC TUY ẾN TÍNH 2.1. Tổ h ợp tuy ến tính Định ngh ĩa Trong khơng gian vector V , xét n vector ui ( i= 1,2, , n ). n T ổng ααuu+++= α u αα u ( ∈ ℝ ) được g ọi là m ột t ổ h ợp tuy ến tính c ủa n vector 11 22 nn∑ iii i=1 n u . Nếu xα u α ℝ thì ta nĩi vector x được bi ểu di ễn (hay bi ểu th ị) tuy ến tính qua n i =∑ i i( i ∈ ) i=1 vector ui (hay h ệ vector {u1 , u 2 , , u n } ). u Ví d ụ 1. Tìm bi ểu di ễn tuy ến tính (n ếu cĩ) c ủa vector x =(1; 7; − 4) qua hai vector 1 =(1; − 3; 2) và u 2 =(2; − 1; 1) . Gi ải. Gi ả s ử vector x được bi ểu di ễn tuy ến tính qua u1 và u2 . Suy ra, t ồn t ại α1, α 2 ∈ ℝ sao cho x=α11 u + α 22 u hay  α+2 α = 1  1 2 α = − 3  1 (1; 7;−= 4)α (1; − 3; 2) + α (2; − 1; 1) ⇔ −3α − α = 7 ⇔  1 2 1 2  α = 2. 2α+ α = − 4   2  1 2 Vậy x= −3 u1 + 2 u 2 . 50
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector u Ví d ụ 2. Tìm bi ểu di ễn tuy ến tính (n ếu cĩ) c ủa vector x =(1; 3; − 1) qua hai vector 1 =(1; − 1; 0) và u 2 =(2; − 1; 0) . Gi ải. Gi ả s ử vector x được bi ểu di ễn tuy ến tính qua u1 và u2 . Suy ra, t ồn t ại α1, α 2 ∈ ℝ sao cho x=α11 u + α 22 u hay  α+2 α = 1  1 2 (1; 3;−= 1)α (1; − 1; 0) + α (2; − 1; 0) ⇔− α − α = 3 (h ệ ph ươ ng trình vơ nghi ệm). 1 2  1 2 0α+ 0 α = − 1  1 2 V ậy vector x khơng cĩ bi ểu di ễn tuy ến tính qua u1 và u2 . 2 Ví d ụ 3. Trong khơng gian P2[ x ] , tìm bi ểu th ị tuy ến tính c ủa vector fx()=− 43 + xx + 2 qua h ệ hai vector: ux()=− 1 + xx + 3 2 và vx()= 7 − 5 xx − 2 . Gi ải. Gi ả s ử f( x ) được bi ểu th ị tuy ến tính qua u( x ) và v( x ) . Suy ra, tồn t ại α1, α 2 ∈ ℝ sao cho fx()=α1 ux () + α 2 vx () hay 2 2 2 −++432xx =−++α1 (1 xx 3) + α 2 (75 −− xx ) 2 2 ⇔−++432xx =−+ (αα12 7)( + αα 12 − 5)(3 xx + αα 12 − ) −α +7 α =− 4  1  1 2 α =   1 ⇔α −5 α = 3 ⇔   2 1 2  1 3α− α = 2  α = − . 1 2  2 2 1 1 V ậy fx()= ux () − vx () . 2 2 Ví d ụ 4. Tìm m để vector u= (1; m ; 5) được bi ểu th ị tuy ến tính qua hai vector u1 =(1; − 3; 2) và u2 =(2; − 1; 1) . Gi ải. Gi ả s ử u được bi ểu th ị tuy ến tính qua u1, u 2 . Suy ra, t ồn t ại a, b ∈ ℝ sao cho u= au1 + bu 2 hay a+2 b = 1  a = 3   (1;m ; 5)= a (1; − 3; 2) + b (2; − 1; 1) ⇔−3abm − = ⇔  b =− 1   2a+= b 5  m =− 8.   V ậy m = − 8 và u=3 u1 − u 2 . ℝ4 m u u u Ví d ụ 5. Trong , Tìm để u1 là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa 2, 3 , 4 trong đĩ: u umm u mu m 1=−(1; 1; 0; 1), 2 = ( ; ; − 1; 2) , 3=(0; 2; 0; ), 4 = (2; 2; − ; 4) . u u u ℝ Gi ải. Gi ả s ử u1 là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa 2, 3 , 4 . Suy ra, ∃a, b , c ∈ sao cho m 0  2  1               m  2   2   − 1  u= au + bu + cu ⇔a + b   + c   =   . 1 2 3 4 −1  0   − m   0                2 m   4   1  51
Bài giảng Đại số Tuyến tính Yêu c ầu đề bài t ươ ng đươ ng với hệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm: ma+2 c = 1  ma+2 b + 2 c =− 1  −a − mc = 0   2a+ mb + 4 c = 1  Ta cĩ: m 0 2 1  m021  10 m 0             m 2 2− 1  02 0− 2  01 0 − 1  A B =   → →   () −1 0 − m 0  −10 − m 0  m 021             2m 4 1  0mm 421−   0 mm 421 −  m  m  1 0 0  1 0 0      0 1 0 −1  010− 1  →   →   ( điều ki ện: 2−m2 ≠ 0 ). 0 0 2 − m2 1  0 0 2 − m2 1         3 2  0 0 4− 2 m 1 + m  000m+ m − 42 m +  u u u V ậy để u1 là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa 2, 3 , 4 thì:  3 2 2m+ 2 m − 8 m += 40 rA( ) = rAB ⇔  ⇔m =1 ∨ m =−± 1 3 . () 2−m2 ≠ 0  2.2. Độc l ập tuy ến tính và ph ụ thu ộc tuy ến tính Định ngh ĩa Trong khơng gian vector V , xét n vector ui ( i= 1,2, , n ). n • H ệ ch ứa n vector {u , u , , u } được g ọi là độc l ập tuy ến tính (vi ết t ắt là đltt) n ếu αu = θ thì 1 2 n ∑ i i i=1 αi =0, ∀i = 1,2, , n . • H ệ ch ứa n vector {u1 , u 2 , , u n } khơng ph ải là độc l ập tuy ến tính thì được g ọi là phụ thu ộc tuy ến tính (vi ết t ắt là pttt). Ví d ụ 6. Trong ℝ2 , xét s ự độc l ập tuy ến tính hay ph ụ thu ộc tuy ến tính c ủa h ệ vector A u u ={1 =− (1; 1), 2 = (2; 3)} . Gi ải. Ta cĩ: α+2 α = 0  α = 0 1 2  1 ααu+ u =⇔ θα(1; −+ 1) α (2; 3) = (0; 0) ⇔ ⇔  1122 1 2 −+α3 α = 0  α = 0. 1 2  2 V ậy h ệ A là độc l ập tuy ến tính. Ví d ụ 7. Trong ℝ3 , xét s ự độc l ập tuy ến tính hay ph ụ thu ộc tuy ến tính của h ệ g ồm 3 vector sau: Bu u u ==−{1 ( 1; 3; 2), 2 = (2; 0; 1), 3 = (0; 6; 5)} . Gi ải. Ta cĩ: 3 αθαu =⇔−( 1; 3; 2) + α (2; 0; 1) + α (0; 6; 5) = (0; 0; 0) ∑ i i 1 2 3 i=1 52
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector −α +2 α = 0  1 2 ⇔ 3α + 6 α = 0 (∗ )  1 3  2α+ α + 5 α = 0  1 2 3   −1 2 0      H ệ (∗ ) cĩ ma tr ận h ệ s ố A =  3 0 6 .    2 1 5   Do r() A = 2 < 3 nên h ệ (∗ ) cĩ nghi ệm khơng t ầm th ường. V ậy h ệ B là ph ụ thu ộc tuy ến tính. Ví d ụ 8. Trong M2× 3 (ℝ ) , xét s ự độc l ập tuy ến tính hay ph ụ thu ộc tuy ến tính c ủa h ệ:  120  230  010          WA== , B =   , C =    .  301  401   201         ℝ Gi ải. Ta cĩ: aA+ bB + cC = (0ij ) 2× 3 (,,a b c ∈ )  a+2 b = 0  2a+ 3 b + c = 0 ⇔  (∗∗ ) 3a+ 4 b + 2 c = 0   a+ b + c = 0  Do hệ (∗∗ ) cĩ vơ s ố nghi ệm nên h ệ W ph ụ thu ộc tuy ến tính. Cách khác Do 2A− B − C = (0ij ) 2× 3 nên hệ W ph ụ thu ộc tuy ến tính. Ví d ụ 9. Trong Pn [ x ] , xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ: 2n− 1 n Uu==={1 1, uxux 2 , 3 , , uxun = , n +1 = x } . Gi ải. Ta cĩ: n+1 λu = θ( λ ∈ ℝ ) ⇔++λλλxx2 ++ λ xn− 1 + λ x n =+++ 00 0 x x n . ∑ i i i 123n n + 1 i=1 Đồng nh ất th ức, ta được λλλ123=== λλn = n + 1 = 0 . V ậy h ệ vector U là độc l ập tuy ến tính. 2 2 2 Ví d ụ 10. Trong P2[ x ] cho h ệ 3 vector V=={ f1 2 xfxx ; 2 =++ 1; fxxm 3 =−+ } . Tìm m để hệ V ph ụ thu ộc tuy ến tính. Gi ải. Ta cĩ: α11f+ α 22 f + α 33 f = θ 22 2 2 ⇔α1(2)x + α 2 ( xx +++ 1) α 3 ( xxmxx −+=++ )0 00 2 2 ⇔(2ααα123 ++ )(x +− αα 23 )( x ++ α 2 mxx α 3 )000 =++ . Yêu c ầu đề bài t ươ ng đươ ng v ới h ệ ph ươ ng trình sau cĩ nghi ệm khơng t ầm th ường: 2α+ α + α = 0  1 2 3  α− α = 0  2 3  α+m α = 0  2 3 53
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ngh ĩa là: 2 1 1 01102−=⇔()m + 10 =⇔ m =− 1 . 0 1 m Định lý H ệ ch ứa n vector là ph ụ thu ộc tuy ến tính khi và ch ỉ khi t ồn t ại trong h ệ một vector là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa n − 1 vector cịn l ại. Hệ qu ả • Nếu h ệ cĩ vector khơng thì hệ ph ụ thu ộc tuy ến tính. • N ếu cĩ m ột b ộ ph ận của h ệ ph ụ thu ộc tuy ến tính thì h ệ pttt. Ví d ụ 11. ℝ3 Au u u • Trong , xét h ệ =={1 (0; 0; 0), 2 = (1; 0; 1), 3 = (0; 1; 2)} . Do 1.u1+ 0. u 2 + 0. u 3 = θ nên h ệ A là ph ụ thu ộc tuy ến tính. 2 2 34 • Trong P4[ x ] , xét h ệ Bvxv=={12 ; =− 3; xv 3 =− (1); x vx 4 = } . 2 2 Ta cĩ bộ ph ận {v1= xv ; 2 = − 3} x là pttt nên h ệ B là pttt . Th ật v ậy, h ệ B pttt do 3.v1+ 1. v 2 + 0. v 3 + 0. v 4 = θ . 2.3. H ệ vector trong Rn Định ngh ĩa n Trong ℝ , xét m vector ui= ( aa ii1 , 2 , , a in ) (i= 1,2, , m ) . Ma tr ận A= ( a ij ) m× n gồm m dịng t ươ ng ứng v ới m vector được g ọi là ma tr ận dịng c ủa h ệ m vector {u1 , u 2 , , u m } .   1− 1 − 2  Ví d ụ 12. H ệ {u=−− (1; 1; 2), u = (4; 2; − 3)} cĩ ma tr ận dịng là A =  . 1 2   4 2− 3  Định lý n Trong ℝ , gi ả s ử h ệ W gồm m vector và cĩ ma tr ận dịng là A∈ M m× n (ℝ ) . • Hệ vector W là độc l ập tuy ến tính khi và ch ỉ khi r( A ) = m . • Hệ vector W là ph ụ thu ộc tuy ến tính khi và ch ỉ khi r( A ) < m . Hệ qu ả • Trong ℝn , h ệ chứa nhi ều h ơn n vector thì ph ụ thu ộc tuy ến tính. • Trong ℝn , h ệ ch ứa n vector là độc l ập tuy ến tính khi và ch ỉ khi detA ≠ 0 Ví d ụ 13. Trong ℝ2 , xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ vector sau: B ={( − 1; 2; 0), (2; 1; 1)} . Gi ải. Ta cĩ:    −120  − 120  A = →   .    211   051  Do r( A )= 2 nên h ệ B là độc l ập tuy ến tính. 54
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector Ví d ụ 14. Trong ℝ3 , xét s ự đltt hay pttt c ủa h ệ vector sau: B ={( − 1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)} . Gi ải. Ta cĩ:     −120  − 120   − 120            A =153 →  073  →  073  .      233   073   000  Do r() A = 2 . m  V ậy =V thì ta g ọi S là h ệ sinh c ủa V hay V được sinh ra b ởi h ệ S . ℝ2 S u u Ví d ụ 17. Trong , cho h ệ ={1 = (1; 0), 2 = (0; 1)} . G ọi v ∈ ℝ2 , v ới v= ( x ; y ) , ta cĩ: vx=( ; 0) + (0; y ) = xuyu .1 + . 2 ⇒∈ v . M ặt khác, do ⊂ ℝ2 nên = ℝ2 . 55
Bài giảng Đại số Tuyến tính ℝ3 S u u Ví d ụ 18. Trong , cho h ệ =={1 (1; 0; − 1), 2 = (0; 1; − 1)} . Gọi v ∈ , v ới v= (; xyz ; ) , ta cĩ: v u u ℝ =+=α1 β 2 (;; αβαβαβ −− )(, ∈ ) . V ậy . V ậy W khơng ph ải là h ệ sinh c ủa ℝ3 .  x+ y + z − t = 0 Ví d ụ 20. Cho h ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất  cĩ hai nghi ệm c ơ b ản là x− y − z + t = 0  X X 1=(0; 1; 0; 1), 2 = (0; − 1; 1; 0) . G ọi X là m ột nghi ệm b ất k ỳ c ủa h ệ ph ươ ng trình trên, ta cĩ: X X X ℝ =α11 + α 22( αα 12 , ∈ ) . V ậy X1, X 2 là khơng gian vector ch ứa t ất c ả các nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình trên, và được g ọi là khơng gian nghi ệm. 3.2. Số chi ều và c ơ s ở Định ngh ĩa • Khơng gian vector V được g ọi là cĩ n chi ều (n – dimension), n ếu t ồn t ại n vector độc l ập tuy ến tính và khơng cĩ b ất k ỳ h ệ độ c l ập tuy ến tính nào ch ứa nhi ều h ơn n vector. Ký hi ệu số chi ều c ủa khơng gian vector V là dim V . • H ệ g ồm n vector độc l ập tuy ến tính trong khơng gian vector V cĩ n chi ều được g ọi là m ột c ơ s ở (basic) c ủa V . Quy ước Khơng gian zero W = {θ } ch ỉ ch ứa 1 vector khơng cĩ số chi ều là 0. Chú ý i) Khơng gian vector cĩ số nhi ều h ữu h ạn được g ọi là khơng gian vector h ữu h ạn chi ều. ii) Khơng gian vector mà trong đĩ ta cĩ th ể tìm được vơ s ố vector độ c l ập tuy ến tính được g ọi là khơng gian vector vơ h ạn chi ều. Trong ph ạm vi ch ươ ng trình, ta khơng xét lo ại khơng gian này. Định lý Nếu h ệ S là một c ơ s ở c ủa khơng gian n chi ều V thì = V . ℝ2 Ví d ụ 21. Trong , xét h ệ vector F={ u1 =− (1; 1), u 2 = (0; 1)} . 56
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector   1− 1  Do det  = 1 ≠ 0 nên hệ F là độc l ập tuy ến tính.   0 1   2 Mặt khác, xét vector v=( a ; b ) ∈ ℝ ta cĩ v= au1 +( a + bu ) 2 . u u v Suy ra h ệ {,1 2 , } là ph ụ thu ộc tuy ến tính. V ậy dimℝ2 = 2 và hệ vector F là m ột c ơ s ở c ủa ℝ2 . Chú ý ℝn Eeaa ai n i) Trong , h ệ vector n={ i = ( ii1 ; 2 ; ; in ), = 1,2, , } n n trong đĩ aij = 1 n ếu i= j , aij = 0 n ếu i≠ j là m ột c ơ s ở c ủa ℝ và dim ℝ = n . Hệ En được g ọi là cơ s ở chính t ắc c ủa ℝn . ii) Trong ℝn , m ọi h ệ g ồm n vector đltt đều là c ơ s ở. iii) Một khơng gian vector hữu h ạn chi ều cĩ th ể cĩ nhi ều c ơ s ở và s ố vector trong các c ơ s ở đĩ là khơng đổi. 2 Ví d ụ 22. Trong P2[ x ] , xét h ệ S=={ f1 1, fxfx 2 = , 3 = } . Nh ận th ấy h ệ S là độc l ập tuy ến tính. 2 Xét f∈ P2[ x ] v ới f= a0 + ax 1 + ax 2 , ta cĩ: 2 fafafaf=0112. + . + 23 . ⇒= {1, f 1 f 2 = xf , 3 = xf ,} là pttt . V ậy dimP2 [] x = 3 và S là m ột c ơ s ở c ủa P2[ x ] . Tổng quát, ta cĩ + dimPxn []= n + 1, ∀ n ∈ ℤ Nh ận xét Trong ℝn , g ọi A là ma tr ận dịng t ạo b ởi m vector c ủa hệ S . • Ta cĩ dim = rA () ≤ n . • N ếu dim = k thì m ọi h ệ g ồm k vector đltt của S đều là c ơ s ở c ủa . Ví d ụ 23. Trong ℝ4 , cho h ệ vector S = {(1; 2; 3; 4), (2; 4; 9; 6), (1; 2; 5; 3), (1; 2; 6 ; 3)} . Tìm s ố chi ều c ủa khơng gian sinh . 1 2 3 4      2 4 9 6  Gi ải. Ma tr ận dịng c ủa 4 vector là A =  . 1 2 5 3      1 2 6 3  1234  1234        003− 2  003 − 2  A → →   . 002− 1  0001        003− 1   0000  V ậy, do r( A )= 3 nên dim = 3 . Ví d ụ 24. Trong ℝ4 , cho h ệ vector Wu u u ={1 =− ( 2; 4; −− 2; 4), 2 =−− (2; 5; 3; 1), 3 =− ( 1; 3; 4; 1)} . Xác định s ố chi ều và tìm một c ơ s ở c ủa . 57
Bài giảng Đại số Tuyến tính Gi ải. Ta cĩ:      −24 −− 24  1212 −  1− 21 2            A =2 −− 531 →  0153 −−−  →0 −−−⇒ 1 5 3 r ()2 A = .      −1341   0153  00 0 0   u u Do h ệ {1 , 2 } là độc l ập tuy ến tính nên: W F u u dim = 2 và m ột c ơ s ở c ủa là = {1 , 2 } . Ta th ường ch ọn hệ {(1;− 2; 1; 2), (0; −−− 1; 5; 3)} làm c ơ s ở. Ví d ụ 25. Tìm điều ki ện c ủa m để h ệ 4 vector sau là c ơ s ở c ủa P3[ x ] : 332 2 F=={, f12 xf = mx − xf , 3 =+ mx 1,24} f 4 =++ x xm . Gi ải. Ta cĩ dimP3 [] x = 4 . 3 2 Do f∈ P3[ x ] cĩ d ạng f= ax3 + ax 2 + ax 1 + a 0 t ươ ng ứng v ới m ột b ộ s ố (;a3 a 2 ; a 1 ; a 0 ) , nên ta 1 0 0 0      m −1 0 0  lập được ma tr ận dịng c ủa h ệ F là A =   .  0 0m 1       0 2 4 m  Vậy F là c ơ s ở c ủa P3[ x ] khi và ch ỉ khi detA≠ 0 ⇔ m ≠± 2 . ■ 4. TỌA ĐỘ C ỦA VECTOR 4.1. Tọa độ c ủa vector đối v ới m ột c ơ s ở Định lý Trong khơng gian vector n chi ều V , cho m ột c ơ s ở được s ắp th ứ t ự B={, uu1 2 , , u n } . Khi đĩ, mọi vector v của V đều vi ết được m ột cách duy nh ất d ưới d ạng t ổ h ợp tuy ến tính của n vector trong B . Quy ước T ừ đây về sau, khi nĩi đế n m ột c ơ s ở là ta ng ầm hi ểu r ằng c ơ s ở đĩ đã được s ắp th ứ t ự. Định ngh ĩa Trong khơng gian vector V , cho c ơ s ở B={, uu1 2 , , u n } . Theo định lý trên, ∀x ∈ V đều vi ết được m ột cách duy nh ất dưới d ạng n xuu=+++=αα α u αα u ( ∈ ℝ ) 11 22 nn∑ iii i=1 α   1    α  ký hi ệu là [x ] =  2  và ta gọi nĩ là t ọa độ của x trong c ơ s ở B . B  ⋮    α   n  Quy ước n Trong ℝ , ta vi ết cơ s ở chính t ắc En là E , và vi ết [x ] E là [x ] . 58
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector ℝ2 B u u x Ví d ụ 26. Trong , cho cơ s ở ={1 =− (2; 1), 2 = (1; 1)} và vector =(3; − 5) . Tìm [x ] B .   a Gi ải. G ọi [x ] =  , ta cĩ: B   b     3  2   1  xaubu=+⇔=[] xaubu [] + [] ⇔ = a   + b   12 12      −5  − 1   1    2a+ b = 3 8 7 ⇔ ⇒=a, b =− . −a + b =− 5 3 3  T 8 7  Vậy x   . [ ] B = −  3 3   4 3 Ví d ụ 27. Trong P4[ x ] , cho f= x + x . Tìm [f ] A , bi ết c ơ s ở A là: f fxfx2 fx 3 fx 4 . { 12=1, =− 1, 3 =− ( 1) , 4 =− ( 1) , 5 =− ( 1) } T Gi ải. G ọi [](f A = α1 α 2 α 3 α 4 α 5 ) , ta cĩ: ff=α11 + α 22 f + α 33 f + α 44 f + α 55 f 4 3 2 3 4 ⇔+=+xxαα12( x −+ 1) α 3 ( x −+ 1) α 4 ( x −+ 1) α 5 ( x − 1) . Đồng nh ất các h ệ s ố, ta được: ααααα−+−+=0  α = 2 12345  1 αααα−+−=2340  α = 7 2345  2 ααα−360 + =⇔  α = 9 345  3 α−4 α = 1  α = 5 4 5  4 α=1  α = 1 5  5 T V ậy [f ]A = (2 7 9 5 1) . Ví d ụ 28. Trong ℝ2 , xét hai c ơ s ở: B u u B v v 1=={ 1 (1; 0), 2 =− (0; 1)} , 2={ 1 =− (2; 1), 2 = (1; 1)} . 1    Cho bi ết [x ] B = . Tìm [x ] B . 2   1 2  a  α      Gi ải. Gọi [x ] =  và [x ] B = , ta cĩ:   1   b  β       1 a2  1  4  x  =  ⇔ xvv = + 2 ⇔ = +2  ⇔= [x ]   .   B   1 2     2 2  b−1  1  1  α  410       α = 4 x  xuuα β α   β    [ ] B =  ⇔=1 + 2 ⇔ =   +   ⇔  1 β 10    − 1  β = − 1         4    Vậy [x ] B =  . 1   −1  59
Bài giảng Đại số Tuyến tính 4.2. T ọa độ c ủa vector trong các c ơ s ở khác nhau 4.2.1. Ma tr ận chuy ển c ơ s ở n V B uu uB vv v Trong khơng gian vector chi ều , cho hai c ơ s ở 1={ 12 , , ,n }, 2 = {, 12 , , n } . Ma tr ận [v ] [ v ] [ v ] được g ọi là ma tr ận chuy ển c ơ s ở t ừ cơ s ở B sang c ơ s ở B , ký ( 1B 2 B nB ) 1 2 1 1 1 hi ệu là P . B1→ B 2 Đặc bi ệt, trong ℝn , ta cĩ P vvv là ma tr ận c ột c ủa các vector theo th ứ t ự đĩ E→ B= ([1 ][ 2 ] [ n ] ) 2 trong cơ s ở B2 . Ví d ụ 29. Trong ℝ2 , tìm ma tr ận chuy ển P v ới hai c ơ s ở: B1→ B 2 B u u B v v 1=={ 1 (1; 0), 2 =− (1; 1)} , 2={ 1 =− (1; 2), 2 = (3; 1)} . a  c      Gi ải. G ọi [v1 ] B =  và [v2 ] B = , ta cĩ: 1   1   b  d  111a = − 1  − 1  a b v   . =+ ⇒ ⇒=[1 ] B   −201 −b = 21  2     311c = 4  4  c d v   . =+ ⇒ ⇒=[2 ] B   101−d =− 11  − 1     −1 4    V ậy PB→ B =  . 1 2    2− 1  Ví d ụ 30. Trong P2[ x ] , tìm hai ma tr ận PF→ G và PG→ F v ới hai c ơ s ở: 2 2 F=={ f1 1, fxfx 2 = , 3 = } , G={ g1 = 1, g 2 =− xxg , 3 =+ x 1} . Gi ải • Tìm PF→ G . Ta cĩ: T g1= f 1 ⇒[ g 1 ]F = (1 0 0) , T g2=−+⇒ ff 23[ g 2 ]F = (0 − 1 1) , T g3=+⇒ f 12 f[ g 3 ]F = (1 1 0) .   1 0 1    Vậy P =0 − 1 1 . F→ G     0 1 0   • Tìm PG→ F . Ta cĩ: T f1= g 1 ⇒[ f 1 ]G = (1 0 0) , T f2=−+ gg 13 ⇒[] f 2 G =− (101) , T f3=−+ ggg 123 + ⇒[] f 3 G =− (111) .   1− 1 − 1    Vậy P = 0 0 1  . G→ F     0 1 1   60
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector Định lý Trong khơng gian vector n chi ều V cho ba c ơ s ở B1 , B2 và B3 . Ta cĩ: i) P= I( i = 1,2,3) ; ii) P= P. P ; iii) P= ( P ) −1 . Bi→ B i n BB13→ BBBB 1223 → → BB12→ BB 21 → Hệ qu ả Trong ℝn , ta cĩ: P= PP. = ( P ) −1 P BB121→ BEEB → → 2 EB → 1 EB → 2 Ví d ụ 31. D ựa vào h ệ qu ả, gi ải l ại ví d ụ 29. Gi ải. Ta cĩ: −1 −1 11  13 − 14       PBB→= P EB → P EB → =  =  . 12() 1 2      01−   − 21   2 − 1  4.2.2. Cơng th ức đổ i t ọa độ x V Trong khơng gian vector n chi ều V , cho hai c ơ s ở B1, B 2 và vector ∈ . Ta cĩ cơng th ức đổ i tọa độ là []x= P .[] x B1 BB 12→ B 2 3 Ví d ụ 32. Trong ℝ , xét hai cơ s ở B1 và B2 . 1− 1 2  1          Cho bi ết PB B = 0 1 3  và [v ]B =  2  . Tìm [v ] . 2→ 1   1   B2     0 0− 2   3  Gi ải. Ta cĩ: 1− 121  5           []vB= P BB .[] v B = 0132   =  11  . 2 21→ 1           00− 23     − 6  V ậy [v ]= (5 11 − 6) T . B2 2 Ví d ụ 33. Trong ℝ , cho c ơ s ở A ={(1; 2), (3; − 4)} và vector x =(3; − 2) . Tìm [x ] A . Gi ải. Ta cĩ:  −1    13  31  433  1  3 []x== P .[] x   =   =  . A AE→ E      24−−   210  212 −−  5  4 Ví d ụ 34. Trong ℝ2 , xét hai c ơ s ở: A ={(2; 3), (1; − 2)} và B ={(3; − 2), (2; 5)} . T Cho bi ết [x ]B = (1 2) , tìm [x ] A . Gi ải. Ta cĩ ma tr ận chuy ển c ơ s ở là:  −1   −1 21  32 1  49  P=( P ) . P =   =   . AB→ EA → EB →      3− 2   − 25 7  13 − 4     14 91   1  22  V ậy []x= P .[] x =   =   . ■ A AB→ B      713− 42    7  5  61
Bài giảng Đại số Tuyến tính BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG III m u m m u Câu 1. Giá tr ị để 1 =(2; + 4; 2 + 7) là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa 2 = (1; 2; 3) và u 3 = (3; 8; 11) là: A. m = − 1 ; B. m = 1; C. m = − 7 ; D. m = 7 . m u m m u u Câu 2. Giá tr ị để 1 =(2; + 4; 3 + 13) là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa 2 = (1; 2; 3) , 3 = (1; 1; 1) u và 4 = (1; 3; 5) là: A. m = − 1 ; B. m = 1; C. m = − 7 ; D. m = 7 . 2 Câu 3. Trong P2[ x ] , giá tr ị m để u1 = x + m là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa u2 =2 x + 3 và 2 u3 = x − x + 1 là: 1 1 A. m = − 2 ; B. m = 2 ; C. m = − ; D. m = . 2 2 Câu 4. Giá tr ị m để vector u1 =(1; 2; m − 3) là t ổ h ợp tuy ến tính c ủa u2 =( − 1; m ; m − 1) và u3 =(1; − 1; 1 − m ) là: m = − 2 m = 1 A. m = 1; B. m = − 2 ; C.  ; D.  . m = 1 m = 2   Câu 5. Giá tr ị của m để h ệ u1 =(1; 2; m − 3) , u2 =( − 1; m ; m − 1) và u3 =(1; − 1; 1 − m ) ph ụ thu ộc tuy ến tính là: m = − 2 m = 1 A. m = 1; B. m = − 2 ; C.  ; D.  . m = 1 m = 2   Câu 6. Giá tr ị c ủa m để h ệ ba vector sau đây ph ụ thu ộc tuy ến tính (m ; 1; 3; 4) , (m ; m ; m + 2; 6) và (2m ; 2; 6; m + 10) là: A. m=0 ∨ m = 1 ; B. m=0 ∨ m =− 2 ; C. m=−2 ∨ m = 1 ; D. m=−∨2 m = 0 ∨ m = 1 . Câu 7. Giá tr ị m để các vector sau t ạo thành m ột c ơ s ở c ủa ℝ3 (1; 2; mmm ), ( ; 2++ 3; 3 m 3), (4; 3 m ++ 7; 5 m 3) là: 4 4 A. m≠3 ∧ m ≠− ; B. m≠−3 ∧ m ≠ ; 3 3 3 3 C. m≠−4 ∧ m ≠ ; D. m≠4 ∧ m ≠− . 4 4 Câu 8. Giá tr ị c ủa m để vector x=(3; m ; m ) ∈ W v ới W u u = là: A. m = − 1 ; B. m = 1; C. m = − 7 ; D. m = 7 . Câu 9. Điều ki ện c ủa m để vector x=(1; 1; m ) ∉ W v ới Wu u u = (1; 1; 1) là: A. m ≠ 0 ; B. m ≠ 1; C. m ≠ 2 ; D. m ≠ 3 . 62
Đoàn Vương Nguyên Chương 3. Không gian vector Câu 10. Tọa độ c ủa x = (1; 2) trong c ơ s ở B ={(1; 4), ( − 2; 5)} là: 1 1   1 −2  1 9  1 9   A.  ; B.  ; C.  ; D.  .         13 −2  13  1   13 2  13 −2  2 T Câu 11. Cho A ={(3; 4), ( − 2; 1)} , B = {(1; 3), (1; 2)} là hai c ơ s ở của ℝ và [x ]A = (1 2) . Tọa độ của vector x trong c ơ s ở B là: −8  8  0  −1  A.   ; B.  ; C.   ; D.   .          9  −9  1   1  3 Câu 12. Trong ℝ cho cơ s ở A = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (0; 1; 2)} . Ma tr ận chuy ển c ơ s ở PA→ E là:          1 2− 1   1 2− 1   1 2− 1   1 1− 1  1   1   1   1           A. −1 − 2 1 ; B.  1 0 1 ; C.  1− 2 1 ; D.  2− 2 0 . 2   2   2   2   −1 0 1   −1 − 2 1   −1 0 1   −1 1 1   Câu 13. Tọa độ c ủa vector x = (2; 3; 6) trong c ơ s ở A = {(1; 2; 3), (1; 3; 4), (2; 4; 7)} là: T T A. []x A = (11 − 1) ; B. [x ]A = (1 − 1 1) ; T T C. [x ]A = (26 35 58) ; D. [x ]A = (17 37 60) . Câu 14. Tọa độ c ủa vector x =(2; − 1; 0) trong c ơ s ở B ={(1; 1; − 1), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} là:          1  −1  1  1 1   1   1   1           A.  7 ; B. −7; C. −7; D. 7. 5   5   5   5   −8   8    8   8   x− y + z = 0  Câu 15. Vector x thu ộc khơng gian nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình 2x+ 4 y − z = 0 là:   x+5 y − 2 z = 0  A. x =(1; − 1; − 3) ; B. x =( − 1; 1; − 2) ; C. x =(3; − 3; 6) ; D. x =(3; − 3; − 6) .  2x+ 4 yz − + t − u = 0 Câu 16. S ố chi ều khơng gian nghi ệm W của h ệ ph ươ ng trình  là: 4x+ 8223 y − z − t + u = 0  A. dimW = 2 ; B. dimW = 3 ; C. dimW = 4 ; D. dimW = 5 . ■ 63
Bài giảng Đại số Tuyến tính Ch ươ ng IV ÁNH X Ạ TUY ẾN TÍNH 1. KHÁI NI ỆM ÁNH X Ạ TUY ẾN TÍNH 1.1. Định ngh ĩa Cho X , Y là hai khơng gian vector trên ℝ . Ánh x ạ T: X→ Y được g ọi là ánh x ạ tuy ến tính từ X vào Y nếu th ỏa mãn hai điều ki ện sau: 1) Tx()α= α Tx (), ∀∈ xX , ∀∈ α ℝ ; 2) Tx(+= y ) Tx () + Ty (), ∀∈ xy , X . Chú ý i) Đối v ới ánh x ạ tuy ến tính, ký hi ệu T( x ) cịn được vi ết là Tx . ớ ầ ượ ủ ii) T(θX ) = θ Y v i θX, θ Y l n l t là vector khơng c a X , Y . iii) Hai điều ki ện trong định ngh ĩa trên tươ ng đươ ng với Tx(+α y ) =+ Tx α Ty , ∀∈∀∈ xy, X , α ℝ Ví d ụ 1. Ch ứng t ỏ ánh x ạ T : ℝ3→ ℝ 2 được đị nh ngh ĩa Txxx xx x x x ạ ế (;;123 )(=−+ 1231 ; 2 + 3) 2 là ánh x tuy n tính. ℝ3 x xxx y yyy Gi ải. Trong , ta xét hai vector = (;1 2 ; 3 ) và = (;1 2 ; 3 ) . V ới α ∈ ℝ tùy ý, ta cĩ: Tx y Tx yx yx y ()(+=+α1 α 12 ; + α 23 ; + α 3 ) xyxyx yx yx y =+−−++(11223αα α 31 ;2233) + α 12 ++ α 2 xxxx x yyyy y Tx Ty =−+(1231 ;23)( ++ 2α 1231 −+ ;23) + 2 = + α . V ậy ánh x ạ T là ánh x ạ tuy ến tính t ừ ℝ3 vào ℝ2 . Ví d ụ 2. Ch ứng t ỏ ánh x ạ f cĩ cơng th ức fxy(;)= ( xy − ;2 + 3) y khơng ph ải là ánh x ạ tuy ến tính t ừ ℝ2 vào ℝ2 . Gi ải. Trong ℝ2 , xét hai vector u = (1; 2) và v =(0; − 1) , ta cĩ: fu(+= v ) f (1; 1) =− (1 1; 2 + 3.1) = (0; 5) , fu( )+ fv ( ) =− ( 1; 8) +−= (1; 1) (0; 7) ⇒fu( +≠ v ) fu () + fv () . V ậy ánh x ạ f khơng ph ải là ánh x ạ tuy ến tính t ừ ℝ2 vào ℝ2 . Ví d ụ 3. Các ánh x ạ sau đây là các ánh x ạ tuy ến tính từ ℝ2 vào ℝ2 . 1) Phép chi ếu vuơng gĩc xu ống tr ục Ox , Oy : Txy(; )= (;0) x , Txy( ; )= (0; y ) . 2) Phép đối x ứng qua tr ục Ox , Oy : Txy(;)= (; x − y ) , Txy(;)= ( − xy ;) . 3) Phép quay m ột gĩc ϕ quanh g ốc t ọa độ O : Txyx( ; )= ( cosϕ − y sin ϕ ; x sin ϕ + y cos ϕ ) . 64
Đoàn Vương Nguyên Chương 4. Áùnh xạ tuyến tính Ví d ụ 4. G ọi C[ a ; b ] là t ập h ợp các hàm m ột bi ến s ố liên t ục trên [a ; b ] . Trên C[ a ; b ] , xác định phép tốn c ộng hai hàm s ố và nhân vơ h ướng thì C[ a ; b ] là một khơng gian vector. Khi đĩ, ta cĩ: b Tf= ∫ f( x ) dx là ánh x ạ tuy ến tính t ừ C[ a ; b ] vào ℝ ; a x Sf=∫ ftdtx(), ∈ [;] ab là ánh x ạ tuy ến tính t ừ C[ a ; b ] vào C[ a ; b ] . a ℝ ℝn ℝ m ạ ế Ví d ụ 5. Cho A∈ M m× n ( ) , ta cĩ TA:→ , TxAx A = [] là ánh x tuy n tính. 1.2. Nhân và ảnh c ủa ánh x ạ tuy ến tính 1.2.1. Định ngh ĩa Cho ánh x ạ tuy ến tính f: X→ Y . • T ập x Xfx θ được g ọi là nhân c ủa f , ký hi ệu là f . { ∈( ) = Y } Ker( ) • T ập {fx( ) x∈ X } được g ọi là ảnh c ủa f , ký hi ệu là Im(f ) . 1.2.2. Tính ch ất Cho ánh x ạ tuy ến tính f: X→ Y , ta cĩ các tính ch ất sau i) Ker(f ) là một khơng gian con c ủa X . ii) Im(f ) là khơng gian con c ủa Y . đơ ỉ iii) f là n ánh khi và ch khi Ker(f )= {θX } . 4i) f là tồn ánh khi và ch ỉ khi Im(f ) = Y . 5i) Nếu = X thì = Im( f ) . Ví d ụ 6. Cho ánh x ạ tuy ến tính f : ℝ3→ ℝ 2 được đị nh ngh ĩa fxxx x x xx x (;;123 )(=+− 1 2 4; 312 − ) . Tìm Ker(f ) và Im(f ) . Gi ải • Tìm Ker(f ) . Ta cĩ: x = 2α x+ x −4 x = 0  1  1 2 3 fxxx(;; )(0;0)=⇔ ⇔=∈  x 2(α α ℝ ) 1 2 3 x− x = 0  2 1 2  x = α  3 Vậy Ker()f== { x (2;2;)ααα ∈ℝ3 , α ∈ ℝ } . • Tìm Im(f ) . Trong ℝ3 , xét c ơ s ở chính t ắc ta cĩ: f (1; 0; 0)= (1 +− 0 0; 1 − 0) = (1; 1) , f (0; 1; 0)= (0 +− 1 0; 0 −= 1) (1; − 1) , f (0; 0; 1)= (0 +− 0 4; 0 − 0) =− ( 4; 0) . 65
Bài giảng Đại số Tuyến tính Do (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) = ℝ3 nên: Im(f )= (1; 1), (1; −−= 1), ( 4; 0) (1; 1), (1; − 1) ==+{(y αβαβ ; −∈ )ℝ2 (, αβ ∈ ℝ )} . Định lý Gi ả s ử X và Y là hai khơng gian vector h ữu h ạn chi ều. Nếu f là ánh x ạ tuy ến tính từ X vào Y thì dimKer(f )+ dimIm( f ) = dim X Hệ qu ả Cho ánh x ạ tuy ến tính f: X→ Y và dimX= dim Y . Khi đĩ, ba điều sau đây là t ươ ng đươ ng: i) f là song ánh; ii) f là đơ n ánh; iii) f là tồn ánh. Ví d ụ 7. Cho ánh x ạ tuy ến tính f : ℝ3→ ℝ 3 xác định nh ư sau: fxyz(;;)(= mx ++ y zx ; + my + zx ; ++ y mz ) . Tìm điều ki ện c ủa m để f cĩ ánh x ạ ng ược f −1 . Gi ải. Áp d ụng h ệ qu ả trên, ta cĩ: f cĩ ánh x ạ ng ược f −1 khi và ch ỉ khi f là đơ n ánh. T ươ ng đươ ng v ới Ker(f )= {θ } . mx+ y + z = 0  T ươ ng đươ ng v ới h ệ x+ my + z = 0 ch ỉ cĩ nghi ệm t ầm th ường.  x+ y + mz = 0  m 1 1  m ≠ − 2 T ươ ng đươ ng 1m 1≠ 0 ⇔  m ≠ 1. 1 1 m  m ≠ − 2 −1  V ậy điều ki ện để f cĩ ánh x ạ ng ược f là  m ≠ 1.  1.2.3. Số khuy ết và h ạng c ủa ánh x ạ tuy ến tính a) Định ngh ĩa Cho ánh x ạ tuy ến tính f: X→ Y . • S ố chi ều c ủa Ker(f ) được g ọi là s ố khuy ết c ủa f , ký hi ệu là d( f ) . • S ố chi ều c ủa Im(f ) được g ọi là hạng c ủa f , ký hi ệu là r( f ) . b) Thu ật tốn tìm s ố khuy ết và h ạng c ủa ánh x ạ tuy ến tính Cho ánh x ạ tuy ến tính f : ℝn→ ℝ m . Tìm s ố khuy ết c ủa f Bước 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình thu ần nh ất f( x ) = θ (∗ ) Bước 2. S ố chi ều khơng gian nghi ệm c ủa (∗ ) là s ố khuy ết của f và các nghi ệm c ơ b ản l ập thành m ột c ơ s ở c ủa Ker(f ) . 66