›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện

pdf 174 trang ngocly 1480
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_mo_dau_so_phuc_le_van_luy.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện

  1. Nội dung chương 0 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 0 SỐ PHỨC Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 1 / 86
  2. Nội dung chương 0 Nội dung Chương 0. SỐ PHỨC 1. Dạng đại số của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức 3. Căn của số phức 4. Định lý cơ bản của Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 2 / 86
  3. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  4. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  5. • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  6. • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  7. Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  8. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 3 / 86
  9. Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  10. • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  11. • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  12. • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  13. z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  14. Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  15. = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  16. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  17. 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86
  18. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  19. i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  20. ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  21. z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  22. iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  23. v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  24.  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  25. 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86
  26. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  27. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  28. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  29. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  30. p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  31. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86
  32. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  33. 4 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. |z| = p32 + (−4)2 = 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  34. |z|4 = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  35. p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  36. −3 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; |z0| = p(−6)2 + 82 = 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  37. |z0|−3 = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  38. z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  39. = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  40. z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  41. = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  42. |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  43. = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  44. z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  45. 5 1 = = . 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| = z0 |z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  46. 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86
  47. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 8 / 86 2. Dạng lượng giác của số phức
  48. Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 8 / 86
  49. p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 8 / 86
  50. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 8 / 86
  51. Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  52. • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  53. • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  54. Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  55. π π cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  56. π π i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = cos 0 + i sin 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  57. π π cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = cos 0 + i sin 0; i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  58. √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  59. √ 1 3  π π  2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ • 1 + i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  60.  π π  2 cos + i sin ; 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3 • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  61. √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  62. √ 1 3  2π 2π  2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ •− 1 + i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  63.  2π 2π  2 cos + i sin ; 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  64. √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  65. √ 1 3  4π 4π  2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ •− 1 − i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  66.  4π 4π  2 cos + i sin . 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  67. 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 9 / 86
  68. • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 10 / 86
  69. z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 10 / 86
  70. Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 10 / 86
  71. 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 10 / 86
  72. √ √ √ 2 2 √ h π π i 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có 1 − i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  73. √ h π π i 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 1 − i = 2( − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  74. √ √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 2 2 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  75. √ 3 1 h π π i 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 2 2 4 4 √ 3 − i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  76. h π π i 2 cos(− ) + i sin(− ) . 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 3 − i = 2( − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  77. Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  78. √ h π π π π i = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ z1 = (1 − i)( 3 − i) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  79. √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  80. √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  81. √ 2 h π π π π i = cos(− + ) + i sin(− + ) 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 1 − i z2 = √ 3 − i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  82. √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  83. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 11 / 86
  84. zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  85. Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  86. Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  87. √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  88. Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  89. 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 12 / 86
  90. √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 13 / 86
  91. √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 13 / 86
  92. = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 13 / 86
  93. Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 13 / 86
  94. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 13 / 86
  95. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  96. = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  97. = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  98. Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  99. sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  100. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 14 / 86
  101. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 15 / 86
  102. Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 15 / 86
  103. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 15 / 86
  104. 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 15 / 86
  105. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 15 / 86
  106. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  107. k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  108. Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  109. 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  110. 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  111. 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  112. 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  113. 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  114. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  115. √  π π  2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác 1 + i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  116. π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  117. Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  118. √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  119. √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  120. √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  121. 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 17 / 86
  122. Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  123. √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  124. Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  125. Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  126.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  127.  x2 = 4;  Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i. Giải. Ta có a = 3, b = 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  128. Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  129. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  130. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 18 / 86
  131. 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  132. √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  133. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  134. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  135. (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  136. − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  137. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 19 / 86
  138. √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  139. √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  140. xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  141. Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  142. √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  143. −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 = − 3i; 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ z = = 1 2a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  144. √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  145. −(2i + 1) − (3 − 10i) = −1 + 2i. 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ z = = 2 2a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  146. 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 20 / 86
  147. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  148. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  149. √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  150. −96 ± 36i 2 1 = − ± i. 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 z = = a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  151. 2 1 − ± i. 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i z = = = a 144 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  152. Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  153. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  154. (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  155. hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86
  156. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 Lêhay Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 21 / 86 (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0.
  157.  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  158.  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  159. • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  160. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  161. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  162. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86
  163. Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86
  164. Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86
  165. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86
  166. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86
  167. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86
  168. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  169. (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  170. = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  171. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  172. Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  173. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86
  174. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86