›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện

pdf 174 trang ngocly 2520
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_mo_dau_so_phuc_le_van_luy.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương mở đầu: Số phức - Lê Văn Luyện

  1. Nội dung chương 0 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 0 SỐ PHỨC Lê Văn Luyện [email protected] Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 1 / 86
  2. Nội dung chương 0 Nội dung Chương 0. SỐ PHỨC 1. Dạng đại số của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức 3. Căn của số phức 4. Định lý cơ bản của Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 2 / 86
  3. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  4. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  5. • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  6. • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  7. Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  8. 1. Dạng đại số của số phức 1. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa. 2 Ta ký hiệu i là số thỏa mãn điều kiện i = −1. Khi đó i∈ / R và i được gọi là đơn vị ảo. Tập số phức được ký hiệu C và C = {a + bi | a, b ∈ R}. Dạng đại số của số phức là: z = a + bi, trong đó • a : được gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu Re(z). • b : được gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z). Ví dụ. Cho z = 3 − 2i. Khi đó Re(z) = 3 và Im(z) = −2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 3 / 86
  9. Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  10. • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  11. • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  12. • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  13. z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  14. Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  15. = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  16. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  17. 1. Dạng đại số của số phức Phép toán trên số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia trên C một cách tự 2 nhiên như trên R (chú ý i = −1.) Mệnh đề. Cho z = a + bi; z0 = c + di. Khi đó • z = z0 ⇔ a = c, b = d; • z ± z0 = (a ± c) + (b ± d)i; • zz0 = (ac − bd) + (ad + bc)i; z (ac + bd) + (bc − ad)i • Nếu z0 6= 0 thì = . z0 c2 + d2 Ví dụ. 1) (2 + 5i)3 = 23 + 3.22.5i + 3.2.52i2 + 53i3 = 8 + 60i − 150 − 125i = −142 − 65i. 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i. 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 4 / 86
  18. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  19. i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  20. ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  21. z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  22. iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  23. v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  24.  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  25. 1. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa. Cho số phức z = a + bi. Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi. Định lý. Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z +z ¯ z − z¯ iii) Re(z) = và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z0 =z ¯ ± z¯0; v) zz0 =z ¯z¯0;  z  z¯ vi) = (z0 6= 0). z0 z¯0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 5 / 86
  26. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  27. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  28. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  29. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  30. p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  31. 1. Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét. i) z =z ¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R. ii) z = −z¯ ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R. Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo. Định nghĩa. Cho số phức z =√a + bi. Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2. Ví dụ. Với z = 3 − 4i, ta có p √ |z| = 32 + (−4)2 = 25 = 5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 6 / 86
  32. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  33. 4 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. |z| = p32 + (−4)2 = 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  34. |z|4 = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  35. p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  36. −3 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; |z0| = p(−6)2 + 82 = 10 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  37. |z0|−3 = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  38. z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  39. = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  40. z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  41. = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  42. |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  43. = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  44. z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  45. 5 1 = = . 10 2 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| = z0 |z0| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  46. 1. Dạng đại số của số phức Ví dụ. Cho các số phức z = 3 − 4i; z0 = −6 + 8i. Hãy tìm môđun của z, z0; z + z0; z − z0; zz0; z/z0; z4 và z0−3. Giải. p 4 |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z4 = |z| = 54 = 625; p −3 |z0| = (−6)2 + 82 = 10 ⇒ z0−3 = |z0| = 10−3 = 0, 001; z + z0 = −3 + 4i ⇒ |z + z0| = p(−3)2 + 42 = 5; z − z0 = 9 − 12i ⇒ |z − z0| = p92 + (−12)2 = 15; |zz0| = |z| |z0| = 5.10 = 50; z |z| 5 1 = = = . z0 |z0| 10 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 7 / 86
  47. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 8 / 86 2. Dạng lượng giác của số phức
  48. Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 8 / 86
  49. p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 8 / 86
  50. 2. Dạng lượng giác của số phức 2. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi. Khi đó có thể xem z như là điểm M(a, b) mặt phẳng tọa độ Oxy và ta gọi M là biểu diễn hình học của z. y 6 •M(a, b) ⇔ z = a + bi b >     ϕ -x O a Gọi ϕ là góc định hướng (Ox, OM) và r là độ dài đoạn OM. Khi đó p r = a2 + b2, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 8 / 86
  51. Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  52. • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  53. • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  54. Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  55. π π cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  56. π π i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = cos 0 + i sin 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  57. π π cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. • 1 = cos 0 + i sin 0; i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  58. √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  59. √ 1 3  π π  2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ • 1 + i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  60.  π π  2 cos + i sin ; 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3 • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  61. √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  62. √ 1 3  2π 2π  2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ •− 1 + i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  63.  2π 2π  2 cos + i sin ; 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  64. √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  65. √ 1 3  4π 4π  2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ •− 1 − i 3 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  66.  4π 4π  2 cos + i sin . 3 3 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3 •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  67. 2. Dạng lượng giác của số phức Như vậy z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Dạng biểu số phức theo r và ϕ được gọi là dạng lượng giác của z. Trong đó • r là môđun của z, r = |z| • ϕ được gọi là đối số (hay argument) của z, ký hiệu ϕ = arg(z). Ví dụ. π π • 1 = cos 0 + i sin 0; i = cos + i sin ; 2 2 √ √ 1 3  π π  • 1 + i 3 = 2( + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  2π 2π  •− 1 + i 3 = 2(− + i ) = 2 cos + i sin ; 2 2 3 3 √ √ 1 3  4π 4π  •− 1 − i 3 = 2(− − i ) = 2 cos + i sin . 2 2 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 9 / 86
  68. • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 10 / 86
  69. z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 10 / 86
  70. Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 10 / 86
  71. 2. Dạng lượng giác của số phức Mệnh đề. Cho các số phức z, z0 6= 0 dưới dạng lượng giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z0 = r0(cos ϕ0 + i sin ϕ0). Khi đó • zz0 = rr0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]; z r • = [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]. z0 r0 Ví dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: √ 1 − i z1 = (1 − i)( 3 − i); z2 = √ . 3 − i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 10 / 86
  72. √ √ √ 2 2 √ h π π i 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có 1 − i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  73. √ h π π i 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 1 − i = 2( − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  74. √ √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 2 2 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  75. √ 3 1 h π π i 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 2 2 4 4 √ 3 − i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  76. h π π i 2 cos(− ) + i sin(− ) . 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 3 − i = 2( − i ) = 2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  77. Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  78. √ h π π π π i = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ z1 = (1 − i)( 3 − i) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  79. √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  80. √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  81. √ 2 h π π π π i = cos(− + ) + i sin(− + ) 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 1 − i z2 = √ 3 − i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  82. √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  83. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Ta có √ √ √ 2 2 √ h π π i 1 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) ; √ 2 2 4 4 √ 3 1 h π π i 3 − i = 2( − i ) = 2 cos(− ) + i sin(− ) . 2 2 6 6 Suy ra √ √ h π π π π i z = (1 − i)( 3 − i) = 2 2 cos(− − ) + i sin(− − ) 1 4 6 4 6 √  5π 5π  = 2 2 cos(− ) + i sin(− ) ; 12 12 √ 1 − i 2 h π π π π i z2 = √ = cos(− + ) + i sin(− + ) 3 − i 2 4 6 4 6 √ 2 h π π i = cos(− ) + i sin(− ) . 2 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 11 / 86
  84. zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  85. Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  86. Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  87. √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  88. Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  89. 2. Dạng lượng giác của số phức Công thức Moivre Định lý. [công thức Moivre] Cho số phức z 6= 0 dưới dạng lượng giác: z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó với mọi số nguyên n ta có zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ). Ví dụ. Tính (1 − i)1945 Giải. Ta viết 1 − i dưới dạng lượng giác √ h  π   π i 1 − i = 2 cos − + i sin − . 4 4 Theo công thức Moivre ta có h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 12 / 86
  90. √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 13 / 86
  91. √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 13 / 86
  92. = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 13 / 86
  93. Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 13 / 86
  94. 2. Dạng lượng giác của số phức h√   π   π i1945 (1 − i)1945 = 2 cos − + i sin − 4 4 √ 1945   1945π   1945π  = 2 cos − + i sin − 4 4 √ h  π   π i = 2972 2 cos − + i sin − 4 4 = 2972(1 − i). Ví dụ. Tính cos 3x theo cos x và sin 3x theo sin x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 13 / 86
  95. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  96. = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  97. = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  98. Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  99. sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  100. 2. Dạng lượng giác của số phức Giải. Đặt z = cos x + i sin x. Theo công thức Moivre ta có z3 = cos 3x + i sin 3x. Mặt khác z3 = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3 cos2 x(i sin x) + 3 cos x(i sin x)2 + (i sin x)3 = (cos3 x − 3 cos x sin2 x) + i(3 cos2 x sin x − sin3 x). Suy ra cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = 4 cos3 x − 3 cos x; sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 14 / 86
  101. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 15 / 86
  102. Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 15 / 86
  103. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 15 / 86
  104. 1 = cos 0 + i sin 0. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 15 / 86
  105. 3. Căn của số phức 3. Căn của số phức Định nghĩa. Căn bậc n > 0 của số phức u là số phức z thỏa zn = u. Định lý. Mọi số phức u 6= 0 đều có đúng n căn bậc n định bởi √  ϕ + k2π ϕ + k2π  z = n r cos + i sin , k n n với k ∈ 0, n − 1, trong đó r = |z|, ϕ = arg(z). Ví dụ. Tìm căn bậc 5 của 1. Giải. Ta viết 1 dưới dạng lượng giác 1 = cos 0 + i sin 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 15 / 86
  106. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  107. k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  108. Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  109. 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  110. 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  111. 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  112. 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  113. 3. Căn của số phức 1 = cos 0 + i sin 0. Theo công thức (1), ta có các căn bậc 5 của 1 là k2π k2π z = cos + i sin với k = 0, 1, 2, 3, 4. k 5 5 Đó là các số phức: z0 = 1; 2π 2π z = cos + i sin ; 1 5 5 4π 4π z = cos + i sin ; 2 5 5 6π 6π z = cos + i sin ; 3 5 5 8π 8π z = cos + i sin . 4 5 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 16 / 86
  114. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  115. √  π π  2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác 1 + i = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  116. π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  117. Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  118. √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  119. √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  120. √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  121. 3. Căn của số phức Ví dụ. Tìm căn bậc 3 của 1 + i. Giải. Ta viết 1 + i dưới dạng lượng giác √  π π  1 + i = 2 cos + i sin . 4 4 Theo công thức (1), các căn bậc 3 của 1 + i là π π √  + k2π + k2π  z = 6 2 cos 4 + i sin 4 với k = 0, 1, 2. k 3 3 Vậy 1 + i có 3 căn bậc 3 là √  π π  z = 6 2 cos + i sin ; 0 12 12 √  9π 9π  z = 6 2 cos + i sin ; 1 12 12 √  17π 17π  z = 6 2 cos + i sin . 2 12 12 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 17 / 86
  122. Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  123. √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  124. Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  125. Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  126.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  127.  x2 = 4;  Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i. Giải. Ta có a = 3, b = 4. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  128. Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  129. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  130. 3. Căn của số phức Căn bậc hai của số phức Định lý. Cho số phức u = a + bi 6= 0. Khi đó u có 2 căn bậc hai đối nhau z = x + yi, trong đó √  2 2  2 a + a + b  x = ; √2 a − a2 + b2  y2 = − .  2 Hơn nữa, tích số xy luôn luôn cùng dấu với b (nếu b 6= 0). Ví dụ. Tìm căn bậc hai của số phức z = 3 + 4i.  x2 = 4;  Giải. Ta có a = 3, b = 4. Suy ra y2 = 1;  xy > 0 (vì b = 4 > 0). Vậy căn bậc hai của z là z1 = −2 − i; z2 = 2 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 18 / 86
  131. 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  132. √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  133. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  134. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  135. (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  136. − 91 − 60i. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  137. 3. Căn của số phức Phương trình bậc hai 2 Định lý. Phương trình bậc hai az + bz + c = 0 với a, b, c ∈ C, a 6= 0, luôn luôn có các nghiệm định bởi √ −b ± ∆ z = , trong đó ∆ = b2 − 4ac, 2a √ với quy ước ∆ là một trong hai căn bậc hai của số phức ∆. Ví dụ. Giải phương trình phức 2z2 + (2i + 1)z + 8i + 11 = 0. Giải. Ta có ∆ = b2 − 4ac = (2i + 1)2 − 4.2(8i + 11) = − 91 − 60i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 19 / 86
  138. √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  139. √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  140. xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  141. Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  142. √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  143. −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 = − 3i; 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ z = = 1 2a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  144. √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  145. −(2i + 1) − (3 − 10i) = −1 + 2i. 2.2 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ z = = 2 2a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  146. 3. Căn của số phức Gọi z = x + yi là một căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Khi đó √ −91 + 912 + 602 x2 = = 9; 2 √ −91 − 912 + 602 y2 = − = 100. 2 xy < 0 (cùng dấu với −60). Vậy z = ±(3 − 10i) là các căn bậc hai của ∆ = −91 − 60i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b + ∆ −(2i + 1) + (3 − 10i) 1 z = = = − 3i; 1 2a 2.2 2 √ −b − ∆ −(2i + 1) − (3 − 10i) z = = = −1 + 2i. 2 2a 2.2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 20 / 86
  147. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  148. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  149. √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  150. −96 ± 36i 2 1 = − ± i. 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 z = = a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  151. 2 1 − ± i. 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i z = = = a 144 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  152. Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  153. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  154. (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  155. hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86
  156. 3. Căn của số phức Ví dụ. Giải phương trình phức 144z2 + 192z + 73 = 0. Giải. Ta có ∆0 = b02 − ac = 962 − 144.73 = −1296. √ √ Vậy ∆0 = −1296 = p(36i)2 = ±36i. Suy ra nghiệm phương trình đã cho là √ −b0 ± ∆0 −96 ± 36i 2 1 z = = = − ± i. a 144 3 4 Ví dụ. Giải phương trình z2 − 2z + 1 = 0. Giải. Đặt z = x + yi. Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 Lêhay Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 21 / 86 (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0.
  157.  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  158.  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  159. • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  160. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  161. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  162. 3. Căn của số phức (x2 − y2 + 2xyi) − 2(x − yi) + 1 = 0 hay (x2 − y2 − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = 0  x2 − y2 − 2x + 1 = 0; (1) ⇐⇒ (x + 1)y = 0. (2)  x = −1 Từ (2) ⇒ y = 0 • x = −1, (1) trở thành 4 − y2 = 0 ⇔ y = ±2. • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã có 3 nghiệm là z1 = −1 + 2i; z2 = −1 − 2i; z3 = 1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 22 / 86
  163. Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 23 / 86
  164. Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 23 / 86
  165. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 23 / 86
  166. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 23 / 86
  167. 4. Định lý cơ bản của Đại số 4. Định lý cơ bản của Đại số Bổ đề. Cho f(x) ∈ R[x] là một đa thức bất kỳ với các hệ số thực. Giả sử α ∈ C là một nghiệm nào đó của f(x). Khi đó α cũng là nghiệm của f(x). Định lý. [Định lý căn bản của Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Định lý. Nếu f(x) ∈ R[x] và bậc của f(x) lớn hơn hay bằng 1 thì f(x) có thể phân tích thành tích các đa thức trong R[x] có bậc tối đa là 2. Ví dụ. Giải phương trình z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = 0. Biết phương trình này có một nghiệm là z1 = −1 + i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 23 / 86
  168. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  169. (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  170. = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  171. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  172. Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  173. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86
  174. 4. Định lý cơ bản của Đại số Giải. Nhận xét z1 = −1 + i là nghiệm của phương trình thì z2 = −1 − i cũng là nghiệm của phương trình. Ta có (z − z1)(z − z2) = (z + 1 − i)(z + 1 + i) = z2 + 2z + 2. Chia đa thức ta được z4 + 4z3 + 11z2 + 14z + 10 = z2 + 2z + 2 z2 + 2z + 5 . Phương trình z2 + 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là −1 ± 2i. Vậy phương trình ban đầu có 4 nghiệm là −1 + i; −1 − i; −1 − 2i; −1 + 2i. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0. Số phức [email protected] 24 / 86