›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ - Đặng Văn Vinh

pdf 51 trang ngocly 4760
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_4_khong_gian_vecto_dang_v.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ - Đặng Văn Vinh

  1. Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh www.tanbachkhoa.edu.vn
  2. Nội dung I – Định nghĩa và Ví dụ II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính III – Hạng của họ véctơ IV – Cơ sở và số chiều V – Không gian con.
  3. I. Định nghĩa và các ví dụ Tập khác rỗng V Hai phép tốn Cộng Nhân véctơ với 1 số 8 tiên đề 1. x + y = y + x; 2. (x + y) + z = x + (y + z) 3. Tồn tại véc tơ khơng, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x KHƠNG4. Mọi x thuộc V, tồn GIAN tại vectơ, ký hiệuVÉCTƠ –x sao cho x + V(-x) = 0 5. Với mọi số ,K  và mọi vector x: (  )x x  x 6. Với mọi số K , với mọi x , y V : ( x y ) x y 7. (  )x (  x ) 8. 1x = x
  4. I. Định nghĩa và các ví dụ Tính chất của khơng gian véctơ 1) Véctơ khơng là duy nhất. 2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất. 3) 0x = 0 Với mọi vectơ x thuộc V và mọi số K : 4) 0 0 5) -x = (-1)x
  5. I. Định nghĩa và các ví dụ Ví dụ 1 V1 (x1, x2 , x3 ) xi R Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau: x y (x1, x2 , x3 ) (y1, y2 , y3 ) (x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau:  x (x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) x1 y1 Định nghĩa sự bằng nhau: x y x2 y2 x3 y3 V1 - Khơng gian véctơ R 3 trên trường số thực
  6. I. Định nghĩa và các ví dụ Ví dụ 2 2 V2 ax bx c a,b,c R Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức thơng thường, đã biết ở phổ thơng. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với một số thực thơng thường, đã biết ở phổ thơng. Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau). V2 - Khơng gian véctơ P2[x]
  7. I. Định nghĩa và các ví dụ Ví dụ 3 a b  V3 a,b,c,d R c d  Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương ma trận. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết. Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau. V3 - Khơng gian véctơ M 2[R]
  8. I. Định nghĩa và các ví dụ Ví dụ 4 V4 (,,) x 1 x 2 x 3 xi R 2 x 1 3 x 2 x 3 0 Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - là KGVT CHÚ Ý: Cĩ nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép tốn trên V1, ( hoặc V2, hoặc V3 ) sao cho V1 ( hoặc V2, hoặc V3 ) là khơng gian véctơ.
  9. I. Định nghĩa và các ví dụ Ví dụ 5 V5 (x,x,x)x 1 2 3i Rx  1 x 2 2 x 3 1 Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - KHƠNG là KGVT x (1,2,1) V4 , y (2,3,2) V 4 x y (3,5,3) V4
  10. II. Độc lập tuyến tính V- KGVT trên K Tập con M { x1 , x 2 , , xm }  ,,,  K khơng đồng thời bằng 0 1 2 m M– PTTT 1x 1 2 x 2  m x m 0 1x 1 2 x 2  m x m 0 M – độc lập tuyến tính 1 2  m 0
  11. II. Độc lập tuyến tính V- KGVT trên K Tập con M { x1 , x 2 , , xm } Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu  1,,, 2  m K x 1 x 1 2 x 2  m x m
  12. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ 5 Trong khơng gian R3 cho họ véc tơ M {(1,1,1);(2,1,3),(1,2,0)} 1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2. Véctơ x = (2,-1,3) cĩ là tổ hợp tuyến tính của họ M? Giải câu 1. Giả sử (,,)(,,)(,,)1 1 1  2 1 3  1 2 0 0 (,,)(,,) 2    2  3  0 0 0 2   0 1 2 1 A 1 1 2  2  0 r( A ) 2 3  0 1 3 0 Hệ cĩ vơ số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
  13. II. Độc lập tuyến tính Giải câu 2. Giả sử (,,)1 1 1  (,,) 2 1 3  (,,) 1 2 0 x (,,)(,,) 2    2  3  2 1 3 2   2 1 2 1 2  2  1 (A | b) 1 1 2 1 3  3 1 3 0 3 r(A | b) r(A) Hệ phương trình vơ nghiệm, suy ra khơng tồn tại bộ số ,,   Vậy véctơ x khơng là tổ hợp tuyến tính của M.
  14. II. Độc lập tuyến tính M {,,,} x1 x 2  xm x x  x 0 Hệ thuần nhất 1 1 2 2 m m AX=0 Cĩ duy nhất nghiệm X = 0 M – độc lập tuyến tính Cĩ nghiệm khác khơng M – phụ thuộc tuyến tính
  15. II. Độc lập tuyến tính M {,,,} x1 x 2  xm x x  x x Hệ thuần pt 1 1 2 2 m m AX= b Hệ cĩ nghiệm x là tổ hợp tuyến tính của M Hệ vơ nghiệm x khơng là tổ hợp tuyến tính
  16. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho họ M { x , y , 2 x 3 y , z } a. Vécto 2x + 3y cĩ là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
  17. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho họ M = { x, y, z} độc lập tuyến tính. Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính. Giả sử (x y 2)(23 z  x y z )(34  x y z )0 (23)(34)(2  x   y   )0 z Vì M độc lập tuyến tính nên ta cĩ 2  3  0 3  4  0   0 2   0 Vậy M độc lập tuyến tính
  18. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho họ M {,} x y ĐLTT Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính a. M 1 { 2 x, 3 y} b. M 2 {x+y,2x+3y} c. M 3 {x+y,2x+3y,x-y}
  19. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho {,} x y độc lập tuyến tính, z khơng là tổ hợp tuyến tính của x và y. Chứng minh rằng {,,} x y z độc lập tuyến tính
  20. II. Độc lập tuyến tính  Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính. M {,,,} x1 x 2  xm - phụ thuộc tt • x - là tổ hợp tuyến tính của các véctơ cịn  i lại trong M
  21. II. Độc lập tuyến tính Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu  được một họ phụ thuộc tuyến tính. Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được  họ độc lập tuyến tính. Cho họ véctơ M chứa m véctơ M { x1 , x 2 , , xm } Cho họ véctơ N chứa n véctơ N { y1 , y 2 , , yn }  Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính của M và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
  22. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho họ M = { x, y} tùy ý. Hỏi M1 ={2x+y, x+3y, 3x+y} độc lập hay phụ thuộc tt? Giả sử (2x y )  ( x 3 y )  (3 x y ) 0 (2  3  )x ( 3   ) y 0 2  3  0 Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính 3   0 Lời giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của M1 là tổ hợp tt của M Vì số lượng véctơ trong M1 là 3 nhiều hơn trong M là 2 Theo bổ đề cơ bản, M1 phụ thuộc tuyến tính.
  23. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho hai họ M {,,} x y z và M1 {,-,} x y z2 x 3 y z 3 x 4 y z a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M1 ĐLTT b. Chứng minh rằng nếu M1 ĐLTT tính thì M ĐLTT
  24. III. Hạng của họ véctơ Định nghĩa hạng của họ véctơ M {,,,,} x1 x 2  xm   V Hạng của họ M là k0 nếu tồn tại k0 véctơ độc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k0 véctơ thì phụ thuộc tuyến tính. Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính của M.
  25. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho họ M {,} x y ĐLTT Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây. a. M 1 { 2 x, 3 y} b. M 2 {x,y, 2 x 3 y} c. M 3 {x,y, 2 x 3 y, 0 }
  26. II. Độc lập tuyến tính Tính chất của hạng họ véctơ 1. Hạng của họ véctơ M khơng đổi nếu ta nhân một véctơ của M với một số khác khơng. 2. Cộng vào một véctơ của họ M, một véctơ khác đã được nhân với một số thì hạng khơng thay đổi. 3. Thêm vào họ M một véctơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng khơng thay đổi.
  27. III. Hạng của họ véctơ Ví dụ 11 Tìm hạng của họ véctơ sau. M {(1,1,1,0);(1,2,1,1);(2,3,2,1),(1,3,1,2)}
  28. III. Hạng của họ véctơ 1 2 1 1 A 3 1 0 5 2 4 1 6 Họ véctơ hàng của A M { x1 (1,2,1, 1); x 2 (3,1,0,5); x 3 ( 2,4,1,6)} Họ véctơ cột của A 1 2 1 1  N 3 , 1 , 0 , 5  2 4 1 6 
  29. III. Hạng của họ véctơ Định lý về hạng: Cho A là ma trận cở mxn trên trường K. Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ hàng A. Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ véctơ cột của A.
  30. III. Hạng của họ véctơ Ví dụ 11 Tìm hạng của họ véctơ sau M {(1,1,1,0);(1,1, 1,1);(2,3,1,1),(3,4,0,2)} Lời giải 1 1 1 0 1 1 1 1 A 2 3 1 1 3 4 0 2 M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M bằng hạng r(A) của ma trận A.
  31. III. Hạng của họ véctơ Cho tập hợp M chứa m véctơ. 1. Nếu hạng của M bằng với m (số véctơ của M) thì M độc lập tuyến tính. 2. Nếu hạng của M nhỏ hơn m (số véctơ của M ) thì M phụ thuộc tuyến tính. 3. Nếu hạng của M bằng với hạng của M thêm véctơ x, thì x là tổ hợp tuyến tính của M.
  32. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ 7 Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. M {(1,1,1);(2,1,3),(1,2,0)}
  33. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ 8 Hãy xác định tập hợp các véctơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. M { x2 x 1,2 x 2 3 x 2,2 x 1}
  34. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ 9 Hãy xác định tập hợp các ma trận sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. 1 1 2 1 3 4 1 3 M {;;;} 1 0 1 1 0 1 1 2
  35. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ 10 Xác định tất cả các giá trị của hằng số thực m, để họ véctơ sau phụ thuộc tuyến tính M {(1,1,0);(1,2,1);( m ,0,1)}
  36. IV. Cơ sở và chiều Định nghĩa tập sinh M {,,,,} x1 x 2  xm   V Tập hợp M được gọi là tập sinh của khơng gian véctơ V nếu mọi véctơ x của V là tổ hợp tuyến tính của M. M sinh ra V Khơng gian véctơ V được sinh ra bởi M
  37. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 12 Kiểm tra tập sau đây cĩ là tập sinh của khơng gian R3 M {(1,1,1);(1,2,1);(2,3,1)} x (,,). x1 x 2 x 3 R 3 Giả sử x (,,)(,,)(,,)(,,) x1 x 2 x 3 11 1 1 2 1 2 1 3 2 3 1 1 2 2 3 x 1 1 2 2 3 3 x 2 Hệ cĩ nghiệm 1 2 3 x 3 Khi đĩ x là tổ hợp tt của M, hay M sinh ra R3.
  38. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 13 Kiểm tra tập sau đây cĩ là tập sinh của khơng gian R3 M {(1,1, 1);(2,3,1);(3,4,0)} x (,,). x1 x 2 x 3 R 3 x (,,)(,,)(,,)(,,) x1 x 2 x 3 11 1 1 2 2 3 1 3 3 4 0 1 2 2 3 3 x 1 1 3 2 4 3 x 2 1 2 x 3 Tồn tại x để hệ vơ nghiệm, ví dụ: v 0 (,,)1 2 1 Hay v 0 khơng là tổ hợp của M. M khơng sinh ra R3.
  39. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 14 M { x2 x 1;2 x 2 3 x 1; x 2 2 x } M cĩ là tập sinh của khơng gian P2[x]? 2 p( x ) ax bx c P2 [x]. 2 2 2 p()()()() x 1 x x 1 2 2 x 3 x 1 3 x 2 x 1 2 2 3 a 1 3 2 2 3 b 1 2 c 2 Tồn tại p(x) để hệ vơ nghiệm, ví dụ: p0 2 x x Suy ra M khơng là tập sinh.
  40. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}. Hỏi M1 = {2x, x + y, z} cĩ là tập sinh của V?  v V v là tổ hợp tuyến tính của M ( vì M là tập sinh) v x  y  z  v ( x y ) 2 x  z 0 2 Cĩ nghĩa là v là tổ hợp tuyến tính của M1 Hay M1 sinh ra vectơ v, mà vì v tùy ý nên M1 sinh ra kgian V
  41. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}. Hỏi M2 = {x, x+y, x - y} cĩ là tập sinh của V? Trường hợp 1. z là tổ hợp tuyến tính của x và y. Khi đĩ ta chứng minh M2 là tập sinh của khơng gian véctơ V Trường hợp 2. z khơng là tổ hợp tuyến tính của x và y. Khi đĩ ta chứng minh M2 là khơng tập sinh của khơng gian véctơ V. Thật vậy, ta chứng minh M2 khơng sinh ra được véctơ z.
  42. IV. Cơ sở và chiều M {,,,,} x1 x 2  xm   V M sinh ra V M- độc lập TT M- cơ sở của V V – là khơng gian hữu hạn M cơ sở hữu hạn chiều dim V = Số véctơ trong một cơ sở của V Nếu V khơng được sinh ra bởi tập hữu hạn, thì V được gọi là khơng gian vơ hạn chiều
  43. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V. Hỏi M1 = {2x + y + z, x + 2y + z, x + y + z} cĩ là cơ sở của V? Chứng minh rằng M1 là tập sinh của V. Chứng minh rằng M1 độc lập tuyến tính bằng định nghĩa.
  44. II. Độc lập tuyến tính Ví dụ Trong khơng gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V. Hỏi M1 = {2x, 3y, z, x + y + z} cĩ là tập sinh của V? Đáp án. M1 là cơ sở của V. Thật vậy chỉ cần chứng tỏ 2x, 3y, z là tập sinh của V.
  45. IV. Cơ sở và chiều Định lý. Giả sử V là khơng gian hữu hạn chiều. 1. Tồn tại vơ số cơ sở của khơng gian vectơ V. 2. Số lượng vectơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau. Chứng minh
  46. IV. Cơ sở và chiều dim(Rn ) n . Dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở E {}(1,0,0, ,0),(0,1,0, ,0), ,(0,0,0, ,1) dim(Pn[] x ) n 1. Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở E {} xn, x n 1 , , x ,1 2 dim(Mn[] R ) n . Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở 1 0 0 0 1 0  E 0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,  0 0 0 0 0 0 0 0 
  47. IV. Cơ sở và chiều dim(V) =n Mọi tập con của V chứa nhiều hơn n véctơ thì phụ thuộc  tuyến tính. Mọi tập con của V chứa ít hơn n véctơ khơng sinh ra V.  Mọi tập độc lập tuyến tính cĩ đúng n véctơ là cơ sở của V  Mọi tập sinh của V cĩ đúng n véctơ là cơ sở của V 
  48. IV. Cơ sở và chiều {v , v , , v } Cho S { v 1 , v 2 , , v p } - tập con của V , H = Span 1 2 p a. Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính, thì cĩ thể bỏ đi một phần tử của S ta vẫn được tập sinh của H. b. Nếu S là tập độc lập tuyến tính, thì khơng thể bỏ đi bất kỳ phần tử nào của S để được tập sinh của H.
  49. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau cĩ là cơ sở của R3. M {(1,1,1);(2,3,1);(3,1,0)}
  50. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 14 Kiểm tra tập hợp sau cĩ là tập sinh của R3. M {(1,1,1);(2,0,1);(1,1,0),(1, 2,1)}
  51. IV. Cơ sở và chiều Ví dụ 15 Tập hợp sau đây cĩ là cơ sở của khơng gian P2[x]? M { x2 x 1;2 x 2 x 1; x 2 2 x 2}