Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Hạng của ma trận - Lê Xuân Trường

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Hạng của ma trận - Lê Xuân Trường

1. HẠNG CỦA MA TRẬN Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 1 / 10
2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính Xét hệ phương trình tuyến tính  a x + a x + ···a x = b  11 1 12 2 1n n 1  a x + a x + ···a x = b 21 1 22 2 2n n 2 (*)   am1x1 + am2x2 + ···amnxn = bm Ta ký hiệu    x   b  a11 a12 ··· a1n 1 1 a a ··· a  x2   b2  A =  21 22 2n  X =   và B =      .   .   ············   .   .  a a ··· a m1 m2 mn xn bm Khi đó hệ phương trình (∗) có thể viết dươi dạng dạng AX = B Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 2 / 10
3. Định lý Kronecker-Capelli Xét hệ phương trình AX = B. Ký hiệu A = [AB] | {z } ↓ ma trận hệ số mở rộng Nếu rank(A) 6= rank(A) thì hệ vô nghiệm Nếu rank(A) = rank(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu rank(A) = rank(A) = k < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc n − k tham số Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 3 / 10
4. Phương pháp khử (C. F. Gauss) Xét hệ phương trình AX = B. B1 Lập ma trận mở rộng A = [AB] B2 Đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng A b. đ. s. c trên dòng [A B ] −−−−−−−−−−−−→ 1 1 Từ đó suy ra rank(A) và rankA. Ngoài ra, ta có AX = B ⇐⇒ A1X = B1 B3 Xét các trường hợp sau Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 4 / 10
5. Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) 6= rank(A) =⇒ Hệ pt vô nghiệm rank(A) = rank(A) = n =⇒ Hệ pt có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm (bằng cách giải hệ tương đương)  α11x1 +α12x2 ··· +α1nxn = β1   α x + ··· +α x = β A X = B ⇔ 22 2 2n n 2 1 1 ··················   ··· αnnxn = βn Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 5 / 10
6. Phương pháp khử (C. F. Gauss) rank(A) = rank(A) = k < n =⇒ Hệ pt có vô số nghiệm Tìm nghiệm tổng quát: Hệ A1X = B1 có dạng  α11x1 + α12x2 + ··· + α1k xk + ··· + α1nxn = β1   α22x2+ ··· +α2k xk + ··· +α2nxn = β2 ·····················   αkk xk + ··· +αknxn = βk Chọn n − k ẩn tự do, tính các ẩn còn lại theo các ẩn tự do. Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 6 / 10
7. Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 1   −x1 + x2 + 3x4 = 2 3x2 − x3 + x4 = 3   x1 + 3x2 + x3 − x4 = 4 Giải  1 2 −1 2 1   1 2 −1 2 1   −1 1 0 3 2   0 3 −1 5 3    −→    0 3 −1 1 3   0 3 −1 1 3  1 3 1 −1 4 0 1 2 −3 3 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 7 / 10
8. Phương pháp khử (C. F. Gauss)  1 2 −1 2 1   1 2 −1 2 1   0 1 2 −3 3   0 1 2 −3 3  −→   −→    0 0 −7 10 −6   0 0 −7 10 −6  0 0 −7 14 −6 0 0 0 4 0 Vì rank(A) = rank(A) = 4 nên hệ có nghiệm duy nhất.  x + 2x − x + 2x = 1  x = − 5  1 2 3 4  1 7   9 x2 + 2x3 − 3x4 = 3 x2 = 7 hpt ⇐⇒ ⇐⇒ 6 −7x3 + 10x4 = −6 x =   3 7  4x4 = 0  x4 = 0 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 8 / 10
9. Phương pháp khử (C. F. Gauss) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình   mx1 + x2 + x3 = 1 x1 + mx2 + x3 = m 2  x1 + x2 + mx3 = m Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 9 / 10
10. Qui tắc Cramer Hệ phương trình AX = B là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả nghịch Mọi hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm bằng ma trận nghịch đảo X = A−1B Qui tắc Cramer det(A ) X = [x x ··· x ]T , x = j , 1 2 n j det(A)   a11 a12 ··· b1 ··· a1n  a21 a22 ··· b2 ··· a2n  trong đó Aj =    ··················  an1 an2 ··· bn ··· ann (Thay cột thứ j của A bằng cột tự do B ta được Aj ) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) HẠNG CỦA MA TRẬN 10 / 10