Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Lê Xuân Trường

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức - Lê Xuân Trường

1. ĐỊNH THỨC Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống Kê Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 1 / 8
2. Ma trận con bù Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. bỏ dòng i A −−−−−→ Mij bỏ cột j ↓ ma trận con bù của aij Ví dụ: Xét ma trận  2 −1 3  A =  1 4 −5  −3 2 −2  1 −5 ma trận con bù của a : M = 12 12 −3 −2 −1 3  ma trận con bù của a : M = 31 31 4 −5 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 2 / 8
3. Khái niệm định thức Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực, ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau n = 2:   a11 a12 A = ⇒ det(A) = a11a22 − a12a21 a21 a22 1 2 Ví dụ: A = ⇒ det(A) = −2 3 4 n ≥ 3: k+1 k+n det(A) = (−1) ak1det(Mk1) + ··· + (−1) akndet(Mkn) (với k bất kỳ trong tập {1, 2, , n}) −1 2 2 Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =  3 1 4 −2 3 1 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 3 / 8
4. Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3) Qui tắc Sarrus Ví dụ: Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 4 / 8
5. Lưu ý Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau  3 1 0 2 −1 2 0 3 A =    1 −2 0 1 2 −1 −2 0 Khai triển theo cột thứ 3 3 1 2 4+3 det(A) = (−1) (−2) −1 2 3 = 28 1 −2 1 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 5 / 8
6. Phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj ) λ6=0 Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→ λdi ) Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác λ∈R di −−→ di + λdj Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 6 / 8
7. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu Nhân một dòng của ma trận A với số λ 6= 0 thì định thức của ma trận thu được gấp λ lần định thức của A Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức Ví dụ: Tính định thức của ma trận 1 2 3 4 2 3 4 1 A =   3 4 1 2 4 1 2 3 Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 7 / 8
8. Một số tính chất khác Nếu ma trận có hai dòng (hoặc cột) tỉ lệ thì định thức của ma trận đó bằng 0 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính det(λA) = λndet(A) det(AT ) = det(A) det(AB) = det(A)det(B)   a1k a2k  Nếu A = [a a a ] và a = a0 + a00, trong đó a =   thì 1 j n j j j k  .   .  ank 0 00 det(A) = det([a1 aj an]) + det([a1 aj an]) Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 8 / 8