›
›

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Số phức - Đặng Văn Vinh

pdf 72 trang ngocly 3090
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Số phức - Đặng Văn Vinh", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_0_so_phuc_dang_van_vinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 0: Số phức - Đặng Văn Vinh

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 0: Số phức • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn 1
  2. Mục tiêu của mơn học Tốn 2 Mơn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên sau khi kết thúc mơn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài tốn cơ bản: tính định thức, làm việc với ma trận, bài tốn giải hệ phương trình tuyến tính, khơng gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng véc tơ riêng, đưa dạng tồn phương về chính tắc. 2
  3. Số phức Ma trận Định thức Hệ phương trình tuyến tính Khơng gian véc tơ Khơng gian Euclide Phép biến đổi tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng Dạng tồn phương 3
  4. Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%) Thi cuối kỳ: tự luận (80%) 4
  5. Tài liệu tham khảo Đỗ Cơng Khanh, Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia Ngơ Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập tốn cao cấp 2. . Đỗ Cơng Khanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH quốc gia 11. www.tanbachkhoa.edu.vn 5
  6. Nội dung 0.1 – Dạng đại số của số phức 0.2 – Dạng lượng giác của số phức 0.3 – Dạng mũ của số phức 0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa 0.5 – Khai căn số phức 0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 6
  7. 0.1 Dạng đại số của số phức Khơng tồn tại một số thực nào mà bình phương của nĩ là một số âm. Hay, khơng tồn tại số thực x sao cho x2 = -1. Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo. Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn để ký hiệu một số mà bình phương của nĩ bằng –1. Định nghĩa số i Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i2 = -1 7
  8. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa số phức Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đĩ z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z. Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z). Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z). Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b = 0 thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. 8
  9. 0.1 Dạng Đại số của số phức Tất cả các số cĩ dạng 0 + bi, với b là một số thực khác khơng được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo. Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. 9
  10. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa phép nhân hai số phức. Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đĩ z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i Ví dụ Tìm dạng đại số của số phức z = (2 + 5i).(3+ 2i) Giải z = (2 + 5i)(3 + 2i) = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i = 6 + 4i + 15i + 10 i2 = 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 10
  11. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa sự bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng cĩ phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. Nĩi cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2. Ví dụ Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i. Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2. Giải 2 = m z1= z 2 2 + 3 i = m + 3 i m = 2 3= 3 11
  12. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức. Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đĩ Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 5i) + (2 - 3i). Giải z = (3 + 5i) + (2 - 3i) = (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i. Re(z ) = 5; Im( z ) = 2. 12
  13. 0.1 Dạng Đại số của số phức Tính chất của số phức liên hợp Cho z và w là hai số phức; z và w là hai số phức liên hợp tương ứng. Khi đĩ: 1. z + z là một số thực. 2. z  z là một số thực. 3. z = z khi và chỉ khi z là một số thực. 4. z + w = z + w 5. z  w = z  w 6. z = z 7. z n = () z n với mọi số tự nhiên n 13
  14. 0.1 Dạng Đại số của số phức Cộng, trừ, nhân hai số phức: Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảo tương ứng. Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại số với chú ý i2 = −1. 14
  15. 0.1 Dạng Đại số của số phức Định nghĩa số phức liên hợp Số phức z = a - bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi. Ví dụ. Tìm số phức liên hợp của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i). Giải. z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i = 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i. Vậy số phức liên hợp là z=14 - 8 i . 15
  16. 0.1 Dạng Đại số của số phức Lưu ý: So sánh với số phức. Trong trường số phức khơng cĩ khái niệm so sánh. Nĩi một cách khác, khơng thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 như trong trường số thực. Biểu thức z1 < z2 hoặc z2 ≥ z1 khơng cĩ nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 16
  17. 0.1 Dạng Đại số của số phức Phép chia hai số phức. z a+ ib 1= 1 1 z2 a 2+ ib 2 z( a+ ib )( a - ib ) 1= 1 1 2 2 z2( a 2+ ib 2 )( a 2 - ib 2 ) z a a+ b b b a - a b 1= 1 2 1 2 + i 1 2 2 1 2 2 2 2 z2 a2+ b 2 a 2 + b 2 Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu. (Giả sử z 2 0 ) 17
  18. 0.1 Dạng Đại số của số phức Ví dụ. 3+ 2i Thực hiện phép tốn 5-i Giải. Nhân tử và mẫu cho số phức 3+ 2i (3 + 2i)(5 + i) = liên hợp của mẫu là 5 + i. 5 - i (5 - i)(5 + i) 15 + 3i +10i + 2i2 = 25 +1 13+13i 1 1 = = + i Viết ở dạng Đại số 26 2 2 18
  19. 0.2 Dạng lượng giác của số phức y trục ảo b M(,) a b  z = a + bi r trục thực a o x a cos = r 2 2 : r= a + b = mod( z ) b sin = r 19
  20. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa Mơdun của số phức Mơdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau: mod(z )= | z | = a2 + b 2 Ví dụ Tìm mơđun của số phức z = 3 - 4i. Giải 2 2 2 2 a = 3; b = -4. Vậy mod(z) = |z| = a+ b =3 + ( - 4) = 5. 20
  21. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Chú ý: Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm cĩ tọa độ (a, b), thì |z |= a2 + b 2 = ( a - 0) 2 + ( b - 0) 2 là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ. Cho z = a + bi và w = c + di. |z- w | = ( a - c )2 + ( b - d ) 2 là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d). 21
  22. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa |z- 2 + 3 i | = 5 Giải |z- 2 + 3 i | = 5 |z - (2 - 3 i ) | = 5 đường trịn tâm (2,-3) bán kính bằng 5. 22
  23. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa |z- i | + | z + i | = 4 Giải |z- i | + | z + i | = 4 Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ đĩ đến hai điểm cho trước (0,1) và (0,-1) khơng thay đổi bằng 4 chính là ellipse. 23
  24. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa argument của số phức Gĩc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là arg(z )= . Lưu ý. Gĩc được giới hạn trong khoảng 0 2 hoặc - Cơng thức tìm argument của số phức. a a cos = = r a2+ b 2 b hoặc tg = b b a sin = = r a2+ b 2 24
  25. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm dạng lượng giác của số phức z= -1 + i 3. Giải a= -1; b = 3. Mơđun: r=| z | = a2 + b 2 = 2. Argument: a 1 1 b 3 3 cos = = = sin = = = r 3+ 1 2 r 3+ 1 2 2 Suy ra = 3 2 2 Dạng lượng giác: z= -1 + i 3 = 2(cos + i sin ) 3 3 25
  26. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm tất cả các số phức z thỏa |z- 2 | = | z + 2 | Giải |z- 2 | = | z + 2 | Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ đĩ đến hai điểm (2,0) và (-2,0) bằng nhau. Đây chính là trục tung. 26
  27. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm argument của số phức z=3 + i . Giải a = 3; b = 1 . Ta tìm gĩc thỏa: a 3 3 cos = = = r 3+ 1 2 Suy ra = 6 b 1 1 sin = = = r 3+ 1 2 Vậy arg(z) = 6 27
  28. 0.2 Dạng lượng giác của số phức z= a + bi; a2 + b 2 0 a b z= a2 + b 2 () + i a2+ b 2 a 2 + b 2 z= r (cos + i sin ) z= r(cos + i sin ) Dạng lượng giác của số phức 28
  29. 0.2 Dạng lượng giác của số phức z1= r 1(cos 1 + i sin 1 ); z 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ) Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác r1= r 2 z1= z 2 1= 2 + 2k Phép nhân ở dạng lượng giác z1 z 2 = r 1 r 2(cos( 1 + 2 ) + i sin( 1 + 2 )) Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: mơđun nhân với nhau và argument cộng lại. 29
  30. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm dạng lượng giác, mơđun và argument của số phức z=(1 + i )(1 - i 3). Giải z=(1 + i )(1 - i 3) z=2( c os + is in )  2( c os + is in ) 4 4 3 3 z=2 2[ c os( + ) + is in( + )] 4 3 4 3 Dạng lượng giác: z=2 2( c os + is in ). 12 12 30
  31. 0.2 Dạng lượng giác của số phức z1= r 1(cos 1 + i sin 1 ); z 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ) z2 0 r 2 0. Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác z1 r 1 =(cos( 1 - 2 ) +i sin( 1 - 2 )) z2 r 2 Chia hai số phức ở dạng lượng giác: mơđun chia cho nhau và argument trừ ra. 31
  32. 0.2 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ Tìm dạng lượng giác, mơđun và argument của số phức 2- i 12 z = . -3 + i Giải 4(cos+ i sin ) 2- 2i 3 z = = 3 3 5 5 -3 + i 2(cos+ i sin ) 6 6 - 5 - 5 z=2[cos( - ) + i sin( - )] 3 6 3 6 7 7 Dạng lượng giác: z=2( c os + is in ). 6 6 32
  33. 0.3 Dạng mũ của số phức Định lý Euler (1707-1783) ei =cos + i sin z= a + bi Dạng đại số của số phức z z= r(cos + i sin ) Dạng lượng giác của số phức z z= rei Dạng mũ của số phức z 33
  34. 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Tìm dạng mũ của số phức sau z= -3 + i 5 5 Dạng lượng giác: z=2(cos + i sin ) 6 6 5 i Dạng mũ: z= 2 e 6 34
  35. 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5. z5 = (2 + i)5 = 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5 = C5 2 + C5 2 i + C5 2 i + C5 2 i + +C5 2i + C5i = = 32 + 5.16.i +10.8.(-1) +10.4.(-i) + 5.2.1+ i = = -38 + 41i 35
  36. 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức z= e2+i ; R z= e2 (cos + i sin ) Mơđun khơng thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường trịn. 36
  37. 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức z= ea+3 i ; a R z= ea (cos3 + i sin3) Argument khơng thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa đường thẳng nằm trong gĩc phần tư thứ 2. 37
  38. 0.4 Nâng số phức lên lũy thừa Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n z= a + bi z2= z  z =( a + bi )( a + bi ) = ( a 2 - b 2 ) + (2 ab ) i z3=( a + bi ) 3 = a 3 + 3 a 2 bi + 3 a ( bi ) 2 + ( bi ) 3 = n n0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n z=( a + bi ) = Cn a + C n a ( bi ) + C n a ( bi ) + + C n ( bi ) zn = A + iB 38
  39. 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa bậc n của số phức i: i 5 = i 4  i = 1 i = i i1 = i i 6 = i 4  i 2 = 1 (-1) = -1 i 2 = -1 7 4 3 i 3 = i 2  i = (-1)  i = -i i = i  i = 1 (-i) = -i 8 4 4 i 4 = i 2  i 2 = (-1)  (-1) = 1 i = i  i = 11 = 1 Lũy thừa bậc n của i Giả sử n là số tự nhiên, khi đĩ in = ir, với r là phần dư của n chia cho 4. 39
  40. 0.3 Dạng mũ của số phức Ví dụ 1987 Tính z= i 1987= 4  496 + 3 z= i 1987 =i4 496 + 3 = i 3 = - i 40
  41. 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ Cho z = 1 + i. a) Tìm z3; b) Tìm z100. a) z3= (1 + i ) 3 =1 + 3i + 3 i2 + i 3 z=1 + 3 i - 3 - i z= -2 + 2 i b) Tính tương tự rất phức tạp. Ta sử dụng cách khác 41
  42. 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa z= a + bi =r(cos + i sin ) z2= z  z = r 2(cos2 + i sin2 ) z3= z 2  z = r 3(cos3 + i sin3 ) zn= z n-1  z = r n (cos n + i sin n ) Cơng thức De Moivre Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đĩ [(cosr + i sin )]n = r n (cos n + i sin n ) 42
  43. 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa Ví dụ. Sử dụng cơng thức de Moivre’s, tính: a) (1 + i)25 b) (-1 + i 3)200 ( 3 - i)17 c) ( 12 + 2i)20 Giải. a) Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác z =1+ i = 2(cos + isin ) 4 4 Bước 2. Sử dụng cơng thức de Moivre’s: 25 25 z25 = [ 2(cos + isin )]25 = ( 2)25(cos + isin ) 4 4 4 4 Bước 3. Đơn giản z 25 = 212 2(cos + i sin ) 4 4 43
  44. 0.4 Khai căn số phức Định nghĩa căn bậc n của số phức Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong đĩ n là số tự nhiên. z= a + bi = r(cos + i sin ) +2k + 2 k nz=n r(cos + i sin) = z = n r (cos + i sin ) k n n với k = 0, 1, 2, , n – 1. Căn bậc n của số phức z cĩ đúng n nghiệm phân biệt. 44
  45. 0.4 Khai căn số phức Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên trên mặt phẳng phức. 16i a) 3 b) 4 3 + i c) 8 8 1 + i 1 + i d) 6 e) 5+ 12i f) 1+ 2i 3 - i Giải câu a) Viết số phức ở dạng lượng giác: 8= 8(cos0 + i sin 0) Sử dụng cơng thức: 0+ 2k 0 + 2 k 3 8(cos0+i sin 0) = z = 2(cos + i sin ) k 3 3 k = 0,1,2. 45
  46. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của phương trình mà khơng chỉ cách tìm các nghiệm đĩ như thế nào. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta cĩ một hệ quả rất quan trọng sau đây Hệ quả Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) với hệ số thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. 46
  47. 0.4 Khai căn số phức Giải câu b) Viết số phức ở dạng lượng giác: 3+i = 2(cos + i sin ) 6 6 Sử dụng cơng thức: +2k + 2 k 4 2(cos+i sin ) = z =4 2(cos6 + i sin 6 ) 6 6k 4 4 k = 0,1,2,3. z1 z 0 z 2 47 z 3
  48. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức cĩ ít nhất một nghiệm. Định lý cơ bản của Đại số Đa thức P(z) bậc n cĩ đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 48
  49. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Ví dụ (sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) 1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i làm nghiệm. 2) Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i làm nghiệm. 1) Khơng tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài tốn. 2) Đa thức cần tìm là: P( z )= ( z - z1 )( z - z 1 )( z - z 2 )( z - z 2 ) P( z )= ( z - 3 i )( z + 3 i )( z - (2 + i ))( z - (2 - i )) 2 2 P( z )= ( z + 9)( z - 4 z + 5) 49
  50. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C. a) z 5 + 1 - i = 0 b) z 2 + z + 1 = 0 c) z 4 + z 2 + 2 = 0 d) z 2 + 2z + 1 - i = 0 Giải. Giải phương trình az 2 + bz + c = 0 Bước 1. Tính = b 2 - 4ac 2 Bước 2. Tìm = b - 4ac = 1,2 -b + - b + Bước 3. z= 1 ; z = 2 12a 2 2 a 50
  51. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Ví dụ (sử dụng hệ quả của định lý cơ bản) Tìm tất cả các nghiệm của P ( z ) = z 4 - 4 z 3 + 14 z 2 - 36 z + 45 biết 2 + i là một nghiệm. Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệ quả ta cĩ 2 –i cũng là nghiệm. P(z) cĩ thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) = = z2 – 4z + 5 P(z) cĩ thể ghi ở dạng P(z) = (z2 – 4z + 5)(z2 + 9) z2 + 9 cĩ hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. 51
  52. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số Ví dụ Giải phương trình sau trong C. z9 + i = 0 z9 = - i z =9 - i z =9 cos + i sin 2 2 +k2 + k 2 z =cos2 + i sin 2 k 9 9 k = 0,1, ,8. 52
  53. Kết luận 1. Dạng Đại số của số phức z = a + bi 2. Dạng Lượng giác của số phức z = r(cos + i sin ) 3. Nâng lên lũy thừa z n = [r(cos + i sin )]n = r n (cos n + i sin n ) 4. Căn bậc n của số phức + 2k + 2k n z = n r(cos + i sin ) = z = n r (cos + i sin ) k n n k = 1,2,3, , n -1. 53
  54. Bài tập 1 Thực hiện phép tốn (2 + 3i)2 z = i5 (2 - i) Bài tập 2 Viết số phức sau ở dạng lượng giác. z = (-1 + i)( 3 + i) 54
  55. Bài tập 3 Viết số phức sau ở dạng đại số z = (2 - 3i)5 Bài tập 4 Tìm tất cả các số phức z thỏa | z -1+ 2i | 1 55
  56. Bài tập 5 Cho |z| = 2. Chứng tỏ z+6 + 8 i 13 Bài tập 6 Cho |z| = 1. Chứng tỏ 1 |z2 - 3 | 4 56
  57. Bài tập 7 Tìm số phức z thỏa z- z =2 + i Bài tập 8 Tìm số phức z thỏa z2 +1 + 12 i = 6 z 57
  58. Bài tập 9 Cho z là một số phức khác 0. Tìm mơđun của số phức sau z i2008 z Bài tập 10 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z = k z- i với k là số thực dương cho trước. 58
  59. Bài tập 11 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z -1 z- 3 i = 1 và = 1 z- i z+ i Bài tập 12 4 z+ i Tìm số phức z thỏa mãn = 1 z- i 59
  60. Bài tập 13 Tìm phần thực và phần ảo của số phức 3-i 2 + i z = - 1+ i i Bài tập 14 Giải phương trình z 2 + | z | = 0 . 60
  61. Bài tập 15 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức a) sin + i 2sin2 b) cos + i (1 + sin ) 2 Bài tập 16 Tìm số căn bậc hai của số phức z = - 8 + 6i. 61
  62. Bài tập 17 Viết số phức sau ở dạng đại số z = (2 - 3i)5 Bài tập 18 Tìm tất cả các số phức z thỏa | z -1+ 2i | 1 62
  63. Bài tập 19 z +1 Xác định phần thực của số phức z -1 biết rằng |z| = 1 và z 1. Bài tập 20 z +1 Chứng minh rằng nếu là một số ảo thì |z| = 1. z -1 63
  64. Bài tập 21 Tính cos 5 và sin 5 Tính cos n và sin n Bài tập 22 1 - i Tính 6 z , với z = 1 + i 3 64
  65. Bài tập 23 Tính 4 z , với z = 16 Bài tập 24 Tính 3 - 2 + 2i 65
  66. Bài tập 25 Tính 1 + 4i Bài tập 26 7 Giải phương trình z + i = 0 66
  67. Bài tập 27 2 Giải phương trình z + z + 1 - i = 0 Bài tập 28 Chứng tỏ rằng số phức 2 + 3i là một nghiệm của phương trình z 4 - 4z 3 + 17 z 2 -16 z + 52 = 0 và tìm tất cả các nghiệm cịn lại. 67
  68. Bài tập 29 Giải phương trình z 3 - (2 + i)z 2 + (2 + 2i)z - 2i = 0 biết rằng phương trình cĩ một nghiệm thuần ảo. Bài tập 30 3 Phân tích x + 27 ra thừa số bậc nhất và bậc hai. 68
  69. Bài tập 31 0 2 4 2006 2008 Tính ACCCCC=2008 - 2008 + 2008 -  - 2008 + 2008 Bài tập 32 Tính A = cos + cos 2 + cos 3 +  + cos n Bài tập 33 Tính A=cos b + cos( b +++ ) cos( b +2 ) ++ cos( b + n ) 69
  70. Bài tập 34 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức a) sin + i 2sin2 b) cos + i (1 + sin ) 2 Bài tập 35 Tìm số phức z sao cho |z| = |z – 2| và một argument của z – 2 bằng một argument của z + 2 cộng với . 2 70
  71. Bài tập 36 Chứng minh rằng nếu ba số phức z 1 ,, z 2 z 3 thỏa mãn |z1 |= | z 2 | = | z 3 | thì một trong ba số đĩ phải bằng 1. z1+ z 2 + z 3 = 1 Bài tập 37 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z - 2 phức z sao cho cĩ một argument bằng . z + 2 3 71