›
›

Bài giảng Đại số - Số phức - Lê Xuân Đại

pdf 35 trang ngocly 2850
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số - Số phức - Lê Xuân Đại", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_so_phuc_le_xuan_dai.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số - Số phức - Lê Xuân Đại

  1. SỐ PHỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 1 / 33
  2. Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 2 / 33
  3. Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = −1. Định nghĩa Dạng đại số của số phức là z = a + bi;(a, b) ∈ R2. a gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re (z), b gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im (z). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 3 / 33
  4. Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Tập hợp số phức ta ký hiệu là C. Tập số thực là tập con của tập số phức vì với mọi a ∈ R ta luôn có a = a + 0i. Vậy R ⊂ C. Ví dụ Số phức −1 + i, 2 + 3i, Định nghĩa Tất cả các số phức có dạng 0 + bi, b =6 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức i, 3i, −i, là những số thuần ảo. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 4 / 33
  5. Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng xOy. Định nghĩa Khoảng cách từ z đến O gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là |z| hoặc mod(z). √ |z| = a2 + b2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 5 / 33
  6. Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Ví dụ √ Môđun của số phức 1+ i 3 là q √ 2 |z| = 12 + 3 = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 6 / 33
  7. Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa số phức bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. z1 = a1 + b1i = z2 = a2 + b2i ⇐⇒ a1 = a2 và b1 = b2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 7 / 33
  8. Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Tìm các số thực x, y thỏa (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 5 − i Giải. (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i ⇔ (x + 3y) + (2x − 5y)i = 5 − i  x + 3y = 5  x = 2 ⇔ ⇔ 2x − 5y = −1 y = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 8 / 33
  9. Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa phép cộng và phép trừ của 2 số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi đó z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 9 / 33
  10. Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 + 3i) + (−3 + 4i) − (6 − 5i) Giải. z = (2 − 3 − 6) + (3 + 4 − 5)i = −7 + 2i ⇒ Re (z) = −7, Im (z) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 10 / 33
  11. Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa phép nhân của 2 số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i là 2 số phức. Khi đó z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 11 / 33
  12. Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + bi. Tìm tất cả b sao cho z1.z2 là số thực. Giải. z1.z2 = (1.2−2.b)+(1.b+2.2)i = (2−2b)+(b+4)i. Để z1.z2 là số thực thì b + 4 = 0 ⇒ b = −4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 12 / 33
  13. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 13 / 33
  14. Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Tính chất của số phức liên hợp 1 z + z = 2.Re (z), z − z = 2i.Im (z). 2 2 z.z = |z| . 3 z = z khi và chỉ khi z là một số thực. 4 z1 ± z2 = z1 ± z2. 5 z1.z2 = z1.z2. z1 z1 6 = . z2 z2 7 z = z. n n 8 z = (z) , ∀n ∈ N TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 14 / 33
  15. Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức Định nghĩa phép chia 2 số phức z a + b i (a + b i)(a − b i) 1 = 1 1 = 1 1 2 2 z2 a2 + b2i (a2 + b2i)(a2 − b2i) z1 a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2 = 2 2 + 2 2 i. z2 a2 + b2 a2 + b2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 15 / 33
  16. Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức Ví dụ 2 + 3i Tính z = 1 + 2i Giải. 2 + 3i 2.1 + 3.2 1.3 − 2.2 8 1 z = = + i = − i. 1 + 2i 12 + 22 12 + 22 5 5 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 16 / 33
  17. Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản Cho số phức z = a + bi, z =6 0. Gọi r là khoảng cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương của trục thực và bán kính véctơ của điểm z. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 17 / 33
  18. Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Biểu thức z = r(r cos ϕ + i sin ϕ) gọi là dạng lượng giác của số phức z. Ở đây r = |z| chính là môđun của số phức z, ϕ gọi là acgumen của số phức z và ký hiệu là Arg z Chú ý. Góc ϕ được giới hạn trong khoảng 0 6 ϕ < 2π hoặc −π < ϕ 6 π. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 18 / 33
  19. Dạng lượng giác của số phức Các phép toán Cho z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) Sự bằng nhau.  r1 = r2 z1 = z2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 + k2π, k ∈ Z Phép nhân hai số phức. z1.z2 = r1.r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)). Phép chia hai số phức. z1 r1 = (cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)), z2 =6 0. z2 r2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 19 / 33
  20. Dạng lượng giác của số phức Các phép toán Ví dụ Tìm mod(z) = r√và argument Arg(z) = ϕ của số phức z = (1 + i 3)(2 − 2i). Giải. π π √ π π z = 2(cos +i sin ).2 2(cos(− )+i sin(− )) = 3 3 4 4 √ π π π π = 4 2(cos( − ) + i sin( − )) = 3 4 3 4 √ π π = 4 2(cos + i sin ). 12 12 √ π Vậy mod(z) = r = 4 2 và ϕ = . 12 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 20 / 33
  21. Dạng lượng giác của số phức Các phép toán Ví dụ √ 1 + i 3 Tìm argument ϕ của số phức z = . 1 + i Giải. 2(cos π + i sin π ) z = √ 3 3 = π π 2(cos 4 + i sin 4 ) √ π π π π = 2(cos( − ) + i sin( − )) = 3 4 3 4 √ π π = 2(cos + i sin ). 12 12 π Vậy ϕ = . 12 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 21 / 33
  22. Dạng mũ của số phức Công thức Euler Định lý eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ Nếu z = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ thì |z| = 1 và 1 z−1 = = cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin ϕ = cos ϕ−i sin ϕ. (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ) Vậy z−1 = z. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 22 / 33
  23. Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức là z = reiϕ Ví dụ √ −1 + i 3 Tìm dạng mũ của số phức z = . 1 − i Giải. √ i 2π −1 + i 3 2e 3 √ 2π −π i 3 −i 4 z = = √ −π = 2e = 1 − i 2ei 4 √ 11π = 2ei 12 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 23 / 33
  24. Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R lên mặt phẳng phức. Giải. z = e2+iy = e2.eiy = e2(cos y + i sin y). Vì y là 1 số thực bất kỳ nên tập hợp tất cả những số phức có dạng z = e2+iy , y ∈ R là đường tròn tâm O bán kính r = e2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 24 / 33
  25. Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i Lũy thừa của số phức i i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2.i = −i, i 4 = (i 2)2 = 1, i 5 = i 4.i = i, i 6 = i 4.i 2 = −1, i 7 = i 4.i 3 = −i, i 8 = (i 4)2 = 1 Định lý Giả sử n là 1 số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là số dư khi chia n cho 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 25 / 33
  26. Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i Ví dụ Tính i 2011. Giải. Ta có 2011 = 4.502 + 3. Vậy i 2011 = i 3 = −i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 26 / 33
  27. Nâng số phức lên lũy thừa Công thức Moivre Công thức Moivre Định lý Cho r > 0 và n là 1 số tự nhiên. Khi đó (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = r n(cos nϕ + i sin nϕ) Định lý Cho n là 1 số tự nhiên. Khi đó (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 27 / 33
  28. Nâng số phức lên lũy thừa Công thức Moivre Ví dụ Tìm số√ nguyên dương n nhỏ nhất để số z = (− 3 + i)n là 1 số thuần ảo. √ n 5π 5π n Giải. z = (− 3 + i) = (2(cos 6 + i sin 6 )) = n 5nπ 5nπ = 2 (cos 6 + i sin 6 ). Như vậy, để z là số thuần ảo thì 5nπ 5nπ π 3 + 6k cos = 0 ⇔ = + kπ ⇔ n = . 6 6 2 5 Số k nhỏ nhất để 3 + 6k chia hết cho 5 là k = 2 ⇒ n = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 28 / 33
  29. Khai căn số phức Định nghĩa Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho w n = z, trong đó n là 1 số tự nhiên. Định lý Cho z = a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó √ √ ϕ + k2π ϕ + k2π n z = w = n r(cos + i sin ) k n n với k = 0, 1, 2, , n − 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 29 / 33
  30. Khai căn số phức Định lý Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. Ví dụ √ Cho z = 1 − i. Tìm 3 z. . √ −π −π z = 1 − i = 2(cos + i sin ) 4 4 √ √ −π + k2π −π + k2π ⇒ 3 z = 6 2(cos 4 + i sin 4 ), 3 3 (k = 0, 1, 2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 30 / 33
  31. Định lý cơ bản của đại số Định lý Phương trình bậc n, n ∈ N∗, n n−1 anx + an−1x + + a1x + a0 = 0 (an =6 0, ai ∈ C, i = 1, n) có đúng n nghiệm kể cả nghiệm thực, phức và bội của nó. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 31 / 33
  32. Định lý cơ bản của đại số Định lý Cho phương trình bậc n, n ∈ N∗ n n−1 anx + an−1x + + a1x + a0 = 0, (an =6 0, ai ∈ R, i = 1, 2, , n). Nếu x = α là nghiệm của phương trình thì x = α cũng là nghiệm của nó. Hệ quả Phương trình bậc n với hệ số thực nếu có nghiệm phức thì sẽ có cặp nghiệm phức liên hợp. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 32 / 33
  33. Định lý cơ bản của đại số Ví dụ Giải phương trình z4 + z3 + 3z2 + z + 2 = 0 trong C biết z = i là 1 nghiệm của phương trình. Giải. Vì z = i là 1 nghiệm của phương trình nên z = −i cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó z4 +z3 +3z2 +z +2 = 0 ⇔ (z2 +1)(z2 +z +2) = 0  z = ±i √ ⇔  −1 ± i 3 z = 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 33 / 33
  34. Thực hành MatLab Thực hành MatLab 1 Lấy phần thực của số phức z : real(z) 2 Lấy phần ảo của số phức z : imag(z) 3 Lấy modul của số phức z : abs(z) 4 Lấy góc ϕ của số phức z : angle(z) 5 Số phức liên hợp của số phức z : conj(z) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 34 / 33
  35. Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 35 / 33