Bài giảng Cơ sở truyền nhiệt

262 trang ngocly 70 Free

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở truyền nhiệt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_so_truyen_nhiet.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở truyền nhiệt

PGS.TS. Trịnh Văn Quang C ơ sở Truyền nhiệt - 0 - Tp Hồ Chí Minh - 2016
LỜI NÓI ĐẦU Qua nhiều năm giảng dạy môn học Kỹ thuật nhiệt , Lý thuyết Truyền nhiệt cho các lớp Cơ khí, chuyên ngành Nhiệt - lạnh , chương trình Cao học Cơ khí tại các trường ĐH Giao thông HN, ĐH Công nghiệp TpHCM cũng như tham gia thực hiện và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy một tài liệu chuyên sâu về Truyền nhiệt là hết sức cần thiết. Tài liệu đó không chỉ có kiến thức cơ sở về truyền nhiệt để giảng dạy cho chương trình đại hoc, mà cần có một số kiến thức chuyên sâu để sử dụng trong tính toán nghiên cứu. Cuốn sách “Cơ sở Truyên nhiệt” được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên. Cuốn sách bao gồm 5 chương như sau: Chương 1 - Dẫn nhiệt, trình bày các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng, vách trụ, vách cầu, dẫn nhiệt ổn định hai chiều và các bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều. Chương 2 - Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt, gồm phương pháp Sai phân hữu hạn và phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH). Trong đó các PTHH cơ bản như phần tử một chiều, phần tử tam giác và phần tử chữ nhật được khảo sát. Từ đó xây dựng các phương trình PTHH đặc trưng để giải các bài toán dẫn nhiệt ổn định qua các PTHH. Chương 3 - Tỏa nhiệt đối lưu, ngoài các kiến thức cơ bản như Lý thuyết đồng dạng, các phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt đối lưu trong các trường hợp khác nhau, các Quá trình tỏa nhiệt khi sôi và ngưng tụ cũng được đề cập. Chương 4 - Bức xạ nhiệt bao gồm các khái niệm cơ bản vè bức xạ, các định luật về bức xạ, bức xạ của vật đen. Bên cạnh đó, bức xạ của vật xám, bức xạ trong môi trường có hấp thụ , bức xạ của vật có phản xạ gương là những vấn đề mới cũng được đề cập. Chương 5 – Truyền chất, nêu các khái niệm về truyền chất và đề cập chất cụ thể là nước và hơi ẩm trong vật liệu Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trình đại học, chương trình cao học ngành cơ khí, động lực, năng lượng, chuyên ngành nhiệt – lạnh, và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về truyền nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng công trình, luyện kim Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc. Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhưng chắc rằng cuốn sách vẫn còn có những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp. Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà nội hoặc địa chỉ [email protected] , chúng tôi xin chân thành cám ơn. Tác giả PGS.TS Trịnh Văn Quang - 1 -
Mục lục Trang Chương 1. Dẫn nhiệt §1.1. Khái niệm 1 §1.2. Phương trình vi phân dẫn nhiệt và điều kiện đơn trị 8 §1.3. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách phẳng 11 §1.4. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách trụ 14 §1.5. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 3 qua vách phẳng 18 §1.6. Dẫn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 3 qua vách trụ 20 §1.7. Dẫn nhiệt qua vách cầu 21 §1.8. Dẫn nhiệt ổn định qua thanh và cánh 23 §1.9. Dẫn nhiệt ổn định qua vách có vật liệu hỗn hợp 26 §1.10. Dẫn nhiệt ổn định hai chiều 27 §1.11. Dẫn nhiệt ổn định của vật có nguồn nhiệt bên trong 31 §1.12. Dẫn nhiệt không ổn định với phương pháp quy tụ 37 §1.13. Dẫn nhiệt không ổn định của tấm phẳng rộng 45 §1.14. Dẫn nhiệt không ổn định của vật dày vô hạn một phía 51 $1.15. Dẫn nhiệt của vật dày vô hạn có nhiệt độ bề mặt thay đổi tuần hoàn 55 Chương 2. Phương pháp số giải bài toán dẫn nhiệt A. Phương pháp sai phân hữu hạn $2.1. Bài toán ổn định hai chiều 57 $2.2. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều 58 $2.3. Bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều 61 $2.4. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính của nhiệt độ 65 B. Phương pháp phần tử hữu hạn $2.5. Nội dung cơ bản, trình tự giải bài toán nhiệt bằng phương pháp pthh 74 $2.6. Các phần tử cơ bản và hàm nội suy 76 2.6.1. Phần tử một chiều bậc nhất 76 2.6.2. Phần tử một chiều bậc hai 79 2.6.3. Phần tử hai chiều tam giác bậc nhất 83 2.6.4. Phần tử chữ nhật bậc nhất 91 2.6.5. Các phần tử đẳng tham số 93 $2.7. Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử đối với ph trình vi phân dẫn nhiệt 191 2.7.1. Phương pháp biến phân 103 2.7.2. Phương pháp galerkin 109 $2.8. Giải bài toán dẫn nhiệt một chiều bằng phương pháp pthh 110 2.8.1. Vách phẳng một lớp 110 2.8.2. Vách phẳng nhiều lớp 113 $2.9. Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên trong 116 1. Giải bằng phần tử bậc nhất 116 2. Giải bằng phần tử bậc hai 119 $2.10. Dẫn nhiệt qua vách trụ 123 $2.11. Dẫn nhiệt qua thanh trụ có nguồn trong 127 - 2 -
$2.12. Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi 132 $2.13. Dân nhiệt ổn định hai chiều dùng phần tử tam giác 137 $2.14. Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật 158 Chương 3. Toả nhiệt đối lưu §3.1. Khái niệm 163 §3.2. Hệ phương trình vi phân trao đổi nhiệt đối lưu - điều kiện đơn trị 165 §3.3. Lý thuyết đồng dạng 168 $3.4. Phương trình tiêu chuẩn toả nhiệt đối lưu 175 $3.5. Trao đổi nhiệt đối lưu khi có biến đổi pha 177 $3.6. Toả nhiệt khi ngưng màng 178 $3.7. Ngưng màng trong ống nằm ngang 182 $3.8. Các nhân tố ảnh hưởng đến toả nhiệt khi ngưng 184 $3.9. Trao đổi nhiệt khi sôi 185 $3.10. Các nhân tố ảnh hưởng dện toả nhiệt khi sôi 189 $3.11. Một số công thức tính toán toả nhiệt khi sôi 190 Chương 4. Bức xạ nhiệt $4.1. Những khái niệm cơ bản 194 $4.2. Các định luật bức xạ cơ bản 196 $4.4. Bức xạ giữa các vật đen 199 4.4.1. Hệ số góc bức xạ 199 4.4.2. Một số đặc điểm chung của các hệ số góc bức xạ 204 4.4.3. Xác định hệ số góc bức xạ trong một số trường hợp 206 $4.5. Trao đổi nhiệt bức xạ giữa các vật xám 209 4.5.1. Trạng thái bề mặt vật thực 209 4.5.2. Các đại lượng đặc trưng 210 $4.6. Trao đổi nhiệt bức xạ giữa các mặt xám 212 4.6.1. Bức xạ giữa hai mặt 212 4.6.2. Hệ thống bức xạ có 3 mặt 213 4.6.3. Các bề mặt cách nhiệt và bề mặt có diện tích lớn 215 4.6.4. Bức xạ giữa hai mặt song song nhau rộng vô hạn 218 $4.7. Bức xạ trong môi trường có hấp thụ và xuyên qua 219 4.7.1. Thành phần bức xạ xuyên qua môi trường 219 4.7.2. Thành phần trao đổi giữa bề mặt 1 và môi trường. 219 4.7.3. Trao đổi nhiệt của hệ thống 220 4.7.4. Môi trường hấp thụ và xuyên qua có nhiều lớp 222 $4.8. Trao đổi nhiệt bức xạ của các mặt phản xạ gương 225 4.8.1. Bức xạ giữa 2 bề mặt phản xạ gương 225 4.8.2. Bức xạ tại bề mặt có phản xạ gương 226 4.8.3. Bức xạ của hệ thống kín có phản xạ gương 227 Chương 5. Truyền chất $5.1. Khái niệm 230 $5.2. Phương trình vi phân khuếch tán và điều kiện đơn trị 236 $5.3. Truyền chất ổn định điều kiện biên loại 1 qua vách phẳng 240 - 3 -
$5.4. Truyền chất ổn định qua vách nhiều lớp, trở lực khuếch tán 241 $5.5. Truyền chất giữa hai pha, quá trình toả chất 243 5.5.1. Khái niệm 243 5.5.2. Mật độ dòng toả chất, hệ số toả chất 244 5.5.3. Sự tương tự truyền nhiệt - truyền chất 245 5.5.4. Tiêu chuẩn đồng dạng và phương trình tiêu chuẩn toả chất 246 $5.6. Trao đổi ẩm của vật liệu với không khí 248 5.6.1. quá trình dẫn ẩm trong vật liệu 248 5.6.2. quá trình toả ẩm từ bề mặt kết cấu tới môi trường không khí 252 Tài liệu tham khảo 261 - 4 -
Chương 1. DẪN NHIỆT §1.1. KHÁI NIỆM 1. Đặc điểm Dẫn nhiệt là một trong ba phương thức truyền nhiệt cơ bản. Dẫn nhiệt xảy ra bên trong vật thể hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi có sự chênh lệch nhiệt độ giữa các phần đó. Dẫn nhiệt không chỉ có mặt trong vật rắn, mà có mặt cả trong chất lỏng và trong chất khí. Dẫn nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động các phần tử vi mô của vật thể: trong kim loại dẫn nhiệt chủ yếu nhờ quá trình truyền dao động của các điện tử tự do, trong chất điện môi và chất lỏng dẫn nhiệt nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt, trong chất khí dẫn nhiệt nhờ quá trình khuếch tán các phân tử. 2. Trường nhiệt độ Trong vật thể, nhiệt độ phụ thuộc vào vị trí điểm khảo sát và thời gian. Tập hợp các giá trị nhiệt độ tại mọi điểm thuộc vật thể tại một thời điểm nhất định tạo thành “trường nhiệt độ“. Như vậy trường nhiệt độ là hàm số của toạ độ và thời gian được biểu thị bởi: t = f(x, y, z, ) (1.1) trong đó: x, y, z là toạ độ của điểm khảo sát,  là thời gian. Trường nhiệt độ trong vật thể không thay đổi theo thời gian được gọi là trường nhiệt độ ổn định: t = f(x, y, z); t = 0  3. Mặt đẳng nhiệt Mặt đẳng nhiệt là tập hợp các điểm có cùng nhiệt độ tại một thời điểm trong vật thể. Các mặt đẳng nhiệt là mặt không gian. Những mặt đẳng nhiệt khác nhau sẽ không cắt nhau. 4. Gradient nhiệt độ - grad t Gradt là một véc tơ biểu thị thay đổi nhiệt độ giữa các mặt đẳng nhiệt, có phương vuông góc với mặt đẳng nhiệt, có chiều theo chiều nhiệt độ tăng, có độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương pháp tuyến mặt đẳng nhiệt: t gradt = n . (1.2) 0 n n 0 là véc tơ pháp tuyến đơn vị. t gradt n Hình 1.1a. Các mặt đẳng nhiệt khác nhau. - 5 -
Biến thiên nhiệt độ theo hướng s được xác định bởi: t = t cos s n trong đó là góc hợp bởi pháp tuyến mặt đẳng nhiệt với hướng s. Thấy rằng = 0 biến thiên nhiệt độ có giá trị lớn nhất bằng t . n 5. Véc tơ mật độ dòng nhiệt q Mật độ dòng nhiệt q là lượng nhiệt truyền theo phương pháp tuyến mặt đẳng nhiệt trong một đơn vị thời gian qua một đơn vị diện tích: q = dQ , W/m2 (1.3) dF.d Nếu mật độ dòng nhiệt phân bố đều theo diện tích và không đổi theo thời gian thì: q = Q , W/ m2 F  Véc tơ mật độ dòng nhiệt q : q là một véc tơ có phương vuông góc với mặt đẳng Hình 1.1b. Véc tơ mật độ dòng nhiệt nhiệt, có chiều theo chiều nhiệt độ giảm, có độ lớn bằng mật độ dòng nhiệt: q = q 6. Định luật Furiê Véc tơ mật độ dòng nhiệt tỷ lệ với gradient nhiệt độ: q = - .gradt t q = - . (1.4) n - 6 -
Trong (1.4), dấu (-) biểu thị chiều của mật độ dòng nhiệt ngược với chiều của gradt,  là hệ số dẫn nhiệt (W/m0C). Lượng nhiệt Q truyền qua bề mặt F trong thời gian : t Q = qdFd =  dFd (1.5) ,F ,F n 7. Hệ số dẫn nhiệt  Từ (1.5):  = dq , W/mđộ (1.6) t / n Hệ số dẫn nhiệt  của các chất khác nhau có giá rất khác nhau có thể so sánh trong bức tranh chung như sau: TINH THỂ W/m0C phi k/loại 1000 Kim cương Than chì KIM LOẠI Silic sạch -Bạc HỢP KIM -Đồng 100 -H.K nhôm oxítbary CHẤT RẮN phi k/loại -Sắt các ôxít -HK đồng & thiếc 10 -Nicrom Mangan Thạch anh CHẤT LỎNG Thuỷ ngân Đá 1 Nước CÁCHNHIỆT Thực phẩm Phíp Cao su CHẤT KHÍ Dàu 0,1 Hydrô Gỗ Hêli Không khí Chất xốp cácbonníc 0,01 Hệ số dẫn nhiệt  bằng mật độ dòng nhiệt dẫn qua vật khi có gradient nhiệt độ bằng 1 độ/m. Hệ số dẫn nhiệt  đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật thể,  càng lớn thì vật thể dẫn nhiệt càng tốt. Hệ số dẫn nhiệt  phụ thuộc vào nhiều yếu tố: bản chất vật - 7 -
thể, nhiệt độ, áp suất, độ ẩm, độ xốp Hệ số dẫn nhiệt  của hầu hết các vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm bậc nhất:  = 0(1 + bt) (1.7) 0 trong đó: 0 - hệ số dẫn nhiệt của vật ở 0 C, b - hệ số thực nghiệm. Tuy vậy, nếu khoảng nhiệt độ tính toán không lớn lắm, có thể lấy hệ số dẫn nhiệt là hằng số bằng giá trị trung bình trong khoảng nhiệt độ đó. §1.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT VÀ ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ 1. Phương trình vi phân dẫn nhiệt Để xác định nhiệt độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ độ và thời gian. Đó chính là phương trình vi phân dẫn nhiệt. a. Phương trình vi phân dẫn nhiệt đối với vật không có nguồn nhiệt trong Xét một vật thể đồng chất, đẳng hướng, các thông số vật lý là hằng số và không có nguồn nhiệt bên trong. Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ Oxyz. Phân tố có kích thước dxdydz. Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng x,y,z sau thời gian d: Theo hướng x: Lượng nhiệt vào phân tố qua mặt thứ nhất: t dQx1 = -  dydz.d x Lượng nhiệt ra khỏi phân tố qua mặt thứ hai: t t dQx2 = -  (t + dx) dydz.d x x 2 Hình 1.2.Phân tố vật thể = -  t dydz.d -   t dxdydzd x x 2 Lượng nhiệt phân tố nhận được theo hướng x:  2 t  2 t dQx = dQx1 - dQx2 =  dxdydzd =  dV.d x 2 x 2 - 8 -
Tương tự như vậy theo hướng y và theo hướng z, phân tố nhận được: 2 t 2 t dQy = dQy1 - dQy2 =  dxdydzd =  dVd y 2 y 2  2 t  2 t dQz = dQz1 - dQz2 =  dxdydzd =  dVd. z2 z2 Theo cả ba hướng x, y, z lượng nhiệt phân tố nhận được là: 2 t 2t  2 t dQ = dQx + dQy + dQz =  ( + + ) dV.d (1.8) x 2 y2 z2 2 2t 2 Đặt: 2t = (  t + +  t ), 2 là toán tử Laplace. x2 y2 z2 Khi đó (1.8) trở thành: dQ = .2t.dV.d (1.9) Lượng nhiệt trên sẽ làm phân tố thay đổi nội năng sau thời gian d là: dU = c. .dV.dt = c. .dV. t d (1.10)  ở đây: c - nhiệt dung riêng, J/kgđộ, - mật độ, kg/m3; t - đạo hàm nhiệt độ theo  thời gian. Do dQ = dU, nên rút ra: .2t.dV.d = c .dV. t d  hay: t =  2t  c Đặt a =  - gọi là hệ số khuếch tán nhiệt độ, đặc trưng cho quán tính nhiệt của vật; c. ta được: t = a.2t (1.11)  Phương trình (1.11) gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt Phuriê mô tả quan hệ của nhiệt độ tại các điểm theo thời gian khi trong vật không có nguồn sinh nhiệt. Trong toạ độ trụ, toán tử Laplace có dạng: 2 t 1 t 1 2 t  2t 2t = . . (1.12) r 2 r r r 2  2 z 2 - 9 -
trong đó: r - bán kính mặt trụ qua điểm khảo sát; - góc của bán kính r với trục x; z - độ cao. Nếu trong quá trình dẫn nhiệt, nhiệt độ tại các điểm không đổi theo thời gian, tức là t/ = 0, khi đó phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định sẽ là: 2t = 0 (1.13) b. Phương trình vi phân dẫn nhiệt khi vật Hinh 1.3. Hệ toạ độ trụ có nguồn trong Trường hợp trong vật thể tồn tại nguồn sinh nhiệt phân bố đều có năng suất sinh 3 nhiệt thể tích qv (W/m ), thì nhiệt sinh ra trong phân tố sau thời gian d là: dQV = qvdV.d (1.14) Khi đó lượng nhiệt phân tố có được gồm dẫn nhiệt theo 3 hướng (1.9) và nguồn nhiệt bên trong (1.14) sẽ là: 2 dQ = . t.dV.d + qv.dV.d (1.15) Do lượng nhiệt trên bằng thay đổi nội năng (1.10) của phân tố nên: t 2 c. . dV.d = . t.dV.d + qvdV.d  q hay: t = a2t + v (1.16)  c. (1.16) là phương trình vi phân dẫn nhiệt khi trong vật có nguồn nhiệt bên trong. Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong Khi quá trình là ổn định tức nhiệt độ không thay đổi theo thời gian, phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định có nguồn trong sẽ trở thành: q 2t + v = 0 (1.17)  - 10 -
2. Điều kiện đơn trị Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị cho biết các đặc điểm riêng của bài toán, bao gồm: Điều kiện ban đầu Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ở thời điểm ban đầu. Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định thì không cần điều kiện ban đầu. Điều kiện biên giới Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật thể, gồm có: - Điều kiện biên giới loại 1: Cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trên bề mặt vật (tm). - Điều kiện biên giới loại 2: Cho biết mật độ dòng nhiệt tại bề mặt vật (qm). - Điều kiện biên giới loại 3: Cho biết quy luật toả nhiệt giữa bề mặt vật và môi trường chất lỏng bao quanh vật tuân theo phương trình Niu tơn - Rích man: q = . t. Trong đó là hệ số toả nhiệt đối lưu, t là độ chênh nhiệt độ giữa bề mặt vật tm và chất lỏng tL, t = tm- tL. - Điều kiện biên giới loại 4: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua mặt tiếp xúc giữa hai vật được bảo toàn, nghĩa là: t t 1 = 2 (1.18) n m1 n m2 §1.3. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 1 QUA VÁCH PHẲNG 1. Vách phẳng một lớp Xét vách phẳng một lớp đồng chất, đẳng hướng, có bề dày  nhỏ hơn nhiều so với chiều cao và bề rộng, hệ số dẫn nhiệt  = const, nhiệt độ tại hai mặt vách là tm1 và tm2 (tm1 > tm2). Với điều kiện trên dòng nhiệt chỉ dẫn theo một hướng nên nhiệt độ cũng chỉ thay đổi theo hướng đó. Đặt vách trong toạ độ t-x, như hình 1.3. Phương trình vi phân dẫn nhiệt trong trường hợp này (ổn định, một biến) là: 2 d t = 0 (1.19) dx 2 Điều kiện biên loại 1: Tại x = 0, t = tm1 Tại x = , t = tm2 (1.20) - 11 - Hình 1.3.
Giải phương trình (1.19): Tích phân lần thứ nhất được: dt = C1 (1.21) dx Tích phân lần hai được: t = C1x + C2 (1.22) Từ nghiệm tổng quát (1.22) thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường thẳng. Để xác định các hằng số C1, C2 cần sử dụng điều kiện biên (1.20): x = 0 thì tm1 = C1.0 + C2 rút ra: C2 = tm1 t m2 t m1 x =  thì tm2 = C1. + tm1 rút ra được: C1 =  Vậy nghiệm xác định là: t m1 t m2 t = tm1 - .x (1.23)  Từ (1.23) thấy với mỗi giá trị x chỉ có một giá trị nhiệt độ, vậy mặt đẳng nhiệt là các mặt phẳng song song nhau Mật độ dòng nhiệt q: q = -  dt dx Từ (1.21) có q = - C1, thay C1 ở trên vào sẽ được: t t q = m1 m2 , W/m2 (1.24a)   Đặt R =  gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng:  t t q = m1 m2 (1.24b) R 2 Nhận xét: Lấy đạo hàm dq = -  d t = 0, tức q = const tại mọi mặt đẳng nhiệt. dx dx 2 Lượng nhiệt truyền qua diện tích F, trong thời gian : Q = q.F. , J 2. Vách phẳng nhiều lớp Xét vách phẳng ba lớp có bề dày các lớp lần lượt là 1, 2, 2; hệ số dẫn nhiệt của các lớp là hằng số và tương ứng bằng 1, 2, 3. Cho biết nhiệt độ tại mặt trong và ngoài cùng là tm1 và tm2. Giả thiết giữa các lớp có tiếp xúc lý tưởng để nhiệt độ hai mặt tiếp xúc như nhau. Gọi các nhiệt độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và ttx2. Áp dụng kết quả ở trên cho từng lớp: - 12 - Hình 1.4.
t m1 t tx1 t m1 t tx1 Lớp 1: q1 = = 1 / 1 R1 t tx1 t tx2 t tx1 t tx2 Lớp 2: q2 = = 2 /  2 R2 t tx2 t m2 t tx2 t m2 Lớp 3: q3 = = 3 / 3 R3 R1, R2, R3 gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tương ứng của các lớp 1, 2, 3 của vách phẳng: 1 2 3 R1 = ; R2 = ; R3 = 1  2  3 Do quá trình ổn định nên: q1 = q2 = q3 = q. Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức: a a a a q = 1 = 2 = = 1 2 b1 b 2 b1 b2 với các đẳng thức trên sẽ được: t t t t t t q = m1 m2 = m1 m2 = m1 m2 (1.25) 3 3 R1 R2 R3 i  R i  i 1 i 1  i t t t t Suy ra với vách có n lớp: q = m1 m2 = m1 m2 n n  i  Ri  i 1 i 1  i 1 Nhiệt độ tiếp xúc: ttx1 = tm1 - q. = tm1 - q.R1 1 2 ttx2 = ttx1 - q. = ttx1 - q.R2  2 i ttxi = ttxi-1 - q. = ttxi-1 - q.Ri  i n n i R =  R i =  gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tổng của vách phẳng có n lớp. i 1 i 1  i Thí dụ Vách phẳng hai lớp có bề dầy và hệ số dẫn nhiệt tương ứng là: 1 = 10 cm, 1 = 2,5 0 W/mđộ; 2 = 0,3 m, 2 = 1,5 W/mđộ. Nhiệt độ mặt phải tm2 = 25 C khi có dòng nhiệt q = 500 W/m2 dẫn qua vách. Xác định: a) Nhiệt độ mặt trái tm1, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx? b) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp? c) Nếu giữ nguyên lớp có gradt nhỏ và duy trì gradt như cũ, thì lớp còn lại phải thay đổi độ dày ' và chọn ’ bằng bao nhiêu để gradt như nhau trên cả vách, khi nhiệt độ các mặt và dòng nhiệt không đổi. - 13 -
Giải a. Xác định nhiệt độ mặt trái, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx: - Nhiệt trở dẫn nhiệt của các lớp:   Lớp 1: 1 = 0,1 = 0,04 m2độ/W; Lớp 2: 2 = 0,3 = 0,2 m2độ/W 1 2,5  2 1,5 2 Nhiệt trở tổng: R = 0,04 + 0,2 = 0,24 m độ/W q 0 - Tính độ chênh nhiệt độ hai mặt: t = tm1 - tm2 = = 500/0,24 = 120 C, R  0 - Nhiệt độ mặt trái: tm1 = tm2 + t = 120 + 25 = 145 C 1 0 - Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - q = 145 - 500.0,04 = 125 C 1 b) Tính gradien nhiệt độ mỗi lớp: gradt = t/, Lớp 1: |gradt1| = t1/1 = (145 - 125)/0,1 = 200 độ/m Lớp 1: |gradt2| = t2/2 = (125 - 25)/0,3 = 333,33 độ/m q hoặc |gradt | = :  0 Lớp 1: |gradt1| = q/1 = 500/2,5 = 200 C/m 0 Lớp 2: |gradt2| = q/2 = 500/1,5 = 333,33 C/m Vậy lớp 1 có grad t nhỏ. c) Giữ nguyên lớp 1, thay lớp 2 bằng 2’. Để gradt2’ = gradt1 thì |gradt2’| = 200, tức là q/2' = 500/2’. Vậy lớp 2’ có hệ số dẫn nhiệt 2' = 500/200 = 2,5 W/mđộ. Mặt khác gradt = t2/2’, vậy bề dày lớp mới 2’ = t2/gradt = 100/200 = 0,5 m. §1.4. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 1 QUA VÁCH TRỤ 1. Vách trụ một lớp Xét vách trụ một lớp đồng chất đẳng hướng có đường kính trong d1, đường kính ngoài d2 nhỏ hơn nhiều so với chiều cao, hệ số dẫn nhiệt  không đổi. Cho biết nhiệt độ tại hai mặt vách là tm1 và tm2 (tm1 > tm2). Phương trình vi phân dẫn nhiệt (1.11) trong toạ độ trụ là: t  2t 1 t 1  2 t  2 t = a. . . (1.26) 2 2 2 2  r r r r  z Với điều kiện trên có thể coi nhiệt chủ yếu truyền theo hướng bán kính và nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng bán kính. Khi dẫn nhiệt ổn định, một chiều, phương trình (1.26) sẽ trở thành: 1 dt d 2 t . + = 0 (1.27) r dr dr 2 - 14 -
Điều kiện biên loại 1: Tại r = r1; t = tm1 Tại r = r2; t = tm2 2 Giải phương trình (1.27) trên, đặt dt = u thì d t = du , thay vào (1.27) sẽ được: dr dr 2 dr du + u = 0 hay du + dr = 0 dr r u r Tích phân được: lnu + lnr = lnC1 nghĩa là: u.r = C1 dt dt thay = u sẽ được: .r = C1, rút ra: dr dr dr dt = C1. r tích phân lần hai được: t = C1lnr + C2 (1.28) Thấy rằng phân bố nhiệt độ trong vách là đường cong logarit. Xác định C1 và C2 theo điều kiện biên: tại r = r1 thì tm1 = C1lnr1 + C2 tại r = r2 thì tm2 = C1lnr2 + C2 Hình 1.5. Vách trụ một lớp. Giải hệ phương trình bậc nhất trên được: t t t t C = m1 m2 ; C = t - m1 m2 .lnr 1 r 2 m1 r 1 ln 1 ln 1 r2 r2 Từ đó nghiệm của (1.27) là: t m1 t m2 d t = tm1 - .ln (1.29) d d ln 2 1 d1 Như vậy nhiệt độ trong vách là đường cong lôgarít nối 2 điểm tm1 và tm2. Do ứng với mỗi giá trị của d, chỉ có một trị số nhiệt độ nên các mặt đẳng nhiệt là các mặt trụ đồng trục với vách. Mật độ dòng nhiệt q C t t t t q = -  dt = - . 1 = - . m1 m2 = . m1 m2 , W/m2 (1.30) dr r r d r.ln 1 r.ln 2 r2 d1 Vậy mật độ dòng nhiệt phụ thuộc vào bán kính r của mặt đẳng nhiệt khảo sát. - 15 -
Mật độ dài của dòng nhiệt qL Mật độ dài của dòng nhiệt qL là lượng nhiệt truyền qua mặt xung quanh của vách có chiều cao bằng 1 m: Q F q. .d. t m1 t m2 qL = = = , W/m (1.31)   1 d .ln 2 2  d1 1 d Đặt ln 2 = R gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ, như vậy mật độ dài của dòng 2  d1 nhiệt: t m1 t m2 qL = (1.32) R Vậy qL không phụ thuộc vào bán kính r, qL = const tại các mặt đẳng nhiệt. 2. Vách trụ nhiều lớp Xét vách trụ ba lớp đồng chất đẳng hướng có đường kính các lớp lần lượt là d1, d2, d3, d4; hệ số dần nhiệt tương ứng bằng 1, 2, 3. Cho biết nhiệt độ tại mặt trong cùng và ngoài cùng là tm1 và tm2. Giả thiết giữa các lớp có tiếp xúc lý tưởng để nhiệt độ hai mặt tiếp xúc là như nhau. Gọi các nhiệt độ tại hai chỗ tiếp xúc là ttx1 và ttx2. Áp dụng kết quả ở trên cho từng lớp của vách: Hình 1.6. t m1 t tx1 t m1 t tx1 Lớp 1: qL1 = = 1 d R .ln 2 1 2 .1 d1 t tx1 t tx2 t tx1 t tx2 Lớp 2: qL2 = = 1 d R .ln 3 2 2 .2 d2 t tx2 t m2 t tx2 t m2 Lớp 3: qL3 = = 1 d R .ln 4 3 2 .3 d3 Với R1, R2, R3 gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt tương ứng của lớp 1, 2, 3 của vách trụ: 1 d2 1 d3 1 d4 R1 = ln ; R2 = ln ; R3 = ln 2 1 d1 2 2 d2 2 3 d3 Khi ổn định: qL1 = qL2 = qL3 = qL. Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức như phần trước sẽ được: t m1 t m2 qL = R1 R2 R3 - 16 -
t m1 t m2 hay: qL = 1 d 1 d 1 d ln 2 ln 3 ln 4 2 .1 d1 2 . 2 d2 2 . 3 d3 Nếu vách có n lớp thì: t m1 t m2 qL = (1.33) n 1 d  ln i 1 i 1 2 .i di Tính nhiệt độ tiếp xúc: ttx1 = tm1 - qL.R 1 (1.34) ttx2 = ttx1 - qL.R2 (1.35) Thí dụ Vách trụ hai lớp, đường kính trong cùng d1 = 20 cm, bề dày và hệ số dẫn nhiệt hai lớp tương ứng của hai lớp là: 1 = 2 cm, 1 = 1,2 W/mđộ; 2 = 3 cm, 2 = 0,8 W/mđộ. 0 0 Nhiệt độ mặt trong cùng và ngoài cùng là tm1 = 80 C, tm2 = 20 C. Xác định: a) Dòng nhiệt dài qL qua vách, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx? b) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2) tại chỗ tiếp xúc? c) Gradt tại mặt trong cùng? Giải a) Dòng nhiệt dài qL qua vách, nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx: Đường kính các lớp: d2 = d1 + 21 = 0,2 + 2.0,02 = 0,24 m d3 = d2 + 22 = 0,24 + 2.0,03 = 0,30 m Nhiệt trở dẫn nhiệt mỗi lớp của vách trụ: 1 d 1 0,24 Lớp 1: ln 2 = ln = 0,0241 mđộ/W 2 1 d1 2 .1,2 0,2 1 d 1 0,3 Lớp 2: ln 3 = ln = 0,0444 mđộ/W 2 2 d2 2 .0,8 0,24 Nhiệt trở dẫn nhiệt tổng: R = Rt1 + Rt2 = 0,0685 mđộ/W - Mật độ dòng nhiệt dài: t 80 20 qL = = = 875,91 W/m R  0,0685 1 d2 0 - Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - qL. ln = 80 - 875,91.0,024 = 58,97 C 2 1 d1 b) Mật độ dòng nhiệt tại chỗ tiếp xúc: Chỗ tiếp xúc có đường kính d2: - 17 -
q q = L = 875,91/(3,14.0,24) = 1161 W/m2 d2 c) Gradt ở mặt trong cùng: mặt trong cùng có đường kính d1: q q L 1 875,91 0 |gradt1| = = . = = 1161 C/m 1 .d1 1 1,2. .0,2 §1.5. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3 QUA VÁCH PHẲNG 1. Vách phẳng 1 lớp Xét vách phẳng đồng chất đẳng hướng, bề dày  nhỏ hơn nhiều bề rộng và cao, hệ số dẫn nhiệt là  hằng số. Hai phía của vách phẳng có hai chất lỏng, nhiệt độ lần lượt là tL1 và tL2 (tL1 > tL2), hệ số toả nhiệt giữa bề mặt của vách với từng chất lỏng lần lượt bằng 1, 2. Cần xác định mật độ dòng nhiệt truyền qua vách và nhiệt độ hai mặt vách. Hình 1.7. Vách phẳng Quá trình truyền nhiệt giữa hai chất lỏng qua vách gồm ba giai đoạn: - Toả nhiệt từ chất lỏng 1 tới mặt thứ nhất của vách: q1 - Dẫn nhiệt từ mặt 1 tới mặt 2 của vách: q2 - Toả nhiệt từ mặt thứ hai của vách tới chất lỏng 2: q3 Theo Niutơn Ríchman, toả nhiệt giữa chất lỏng và bề mặt vách tỷ lệ với hệ số toả nhiệt và độ chênh nhiệt độ giữa chúng: q = (tL - tm) t L1 t m1 t L1 t m1 Bởi vậy sẽ có: q1 = 1(tL1 - tm1) = = 1 R1 1  t m1 t m2 t m1 t m2 q2 = (tm1 - tm2) = =   R  t m2 t L2 t m2 t L2 q3 = 2(tm2 - tL2) = = 1 R3 2 - 18 -
1 1 trong đó: R1 = , R3 = gọi là nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trái và mặt phải của 1 2  vách phẳng; R2 = gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng.  Do khi ổn định các dòng nhiệt trên bằng nhau, áp dụng tính chất của tỷ lệ thức sẽ được: t t q = L1 L2 R1 R2 R3 t t hay q = L1 L2 (1.36) 1  1 1  2 Đặt: R1 + R2 + R3 = R và gọi là nhiệt trở truyền nhiệt của vách phẳng thì: t t q = L1 L2 R 2. Vách phẳng nhiều lớp Hình 1.8. Vách phẳng 3 lớp Nếu vách có nhiều lớp, công thức tính là: t t q = L1 L2 (1.37) 1 n  1  i 1 i 1  i 2 Thí dụ Vách phẳng hai lớp có: 1 = 40 cm, 1 = 20 W/mđộ; 2 = 20 mm, 2 = 4 W/mđộ. Hai 0 phía có hai chất lỏng, nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL1 = 120 C, 1 = 20 2 0 2 W/m độ, tL2 = 40 C, 2 = 8 W/m độ. Xác định: a) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2) truyền qua vách? b) Nhiệt độ tại hai mặt tm1, tm2 và nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx? c) Gradien nhiệt độ tại mỗi lớp? Giải a) Mật độ dòng nhiệt q (W/m2) truyền qua vách. Tính nhiệt trở các lớp: 1 1 2 + Nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trong: R 1 = = = 0,05 m độ/W; 1 20 1 2 + Nhiệt trở dẫn nhiệt lớp 1: R1 = = 0,4/20 = 0,02 m độ/W 1 - 19 -
2 2 + Nhiệt trở dẫn nhiệt lớp 2: R2 = = 0,02/4 = 0,005 m độ/W  2 1 1 2 + Nhiệt trở toả nhiệt tại mặt ngoài: R 2 = = 0,125 m độ/W 2 8 2 + Nhiệt trở tổng: R = 0,05 + 0,02 + 0,005 + 0,125 = 0,2 m độ/W t t - Mật độ dòng nhiệt: q = t = L1 L2 = (120 - 40)/0,2 = 400 W/m2 R  R b) Nhiệt độ tại hai mặt tm1, tm2 và nhiệt độ chỗ tiếp xúc ttx 0 - Nhiệt độ mặt 1: tm1 = tL1 - q.R 1 = 120 - 400.0,05 = 100 C, 0 0 - Nhiệt độ tiếp xúc: ttx = tm1 - q.R1 = 100 - 400.0,02 = 92 C, t1 = 8 C 0 0 - Nhiệt độ mặt 2: tm2 = ttx - q.R2 = 92 - 400.0,005 = 90 C, t2 = 2 C c) Tính gradien nhiệt độ các lớp: q 0 Lớp 1: |gradt1| = = 400/20 = 20 C/m 1 q 0 Lớp 2: |gradt2| = = 400/4 = 100 C/m 2 §1.6. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3 QUA VÁCH TRỤ 1. Vách trụ một lớp Xét vách trụ một lớp đồng chất đẳng hướng, có đường kính trong d1, đường kính ngoài d2, hệ số dẫn nhiệt của vách . Bên trong và ngoài vách có hai chất lỏng, có nhiệt độ tương ứng là tL1 và tL2 (tL1 > tL2). Hệ số toả nhiệt giữa bề mặt của vách với từng chất lỏng lần lượt bằng 1, 2. Xác định mật độ dài của dòng nhiệt truyền qua vách và nhiệt độ tại hai mặt vách. Gọi mật độ dài của dòng nhiệt truyền bằng toả nhiệt từ chất lỏng 1 tới mặt trong vách là qL1. Gọi mật độ dài của dòng nhiệt dẫn từ mặt trong tới mặt ngoài của vách là qL2. Gọi mật độ dài của dòng nhiệt truyền bằng Hình 1.9. Vách trụ một lớp. toả nhiệt từ mặt ngoài vách tới chất lỏng 2 là qL3. t L1 t m1 t L1 t m1 qL1 = 1 d1(tL1 - tm1) = = 1 R1 1d1 - 20 -
t m1 t m2 t m1 t m2 qL2 = = 1 d R ln 2 2 2  d1 t m2 t L2 t m2 t L2 qL3 = 2 d2(tm2 - tL2) = = 1 R3 2d2 1 1 trong đó: R1 = và R3 = gọi là nhiệt trở toả nhiệt tại mặt trong và tại mặt 1d1 2d 2 1 d2 ngoài của vách trụ; R2 = ln gọi là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách trụ. 2  d1 Do ổn định các dòng nhiệt trên bằng nhau: qL1 = qL2 = qL3 = qL, áp dụng tính chất của tỷ lệ thức sẽ được: t L1 t L2 qL = R1 R2 R3 t L1 t L2 hay: qL = (1.38) 1 1 d 1 ln 2 1d1 2  d1 2 d2 Đặt R = R1 + R2 + R3 gọi là nhiệt trở truyền nhiệt của vách trụ thì: t L1 t L2 qL = R 2. Vách trụ nhiều lớp Nếu vách có nhiều lớp, tương tự trên dẫn ra công thức tính: t t q = L1 L2 (1.39) L n 1 1 di 1 1  ln Hình 1.10. Vách trụ 1d1 i 1 2  i di 2d n 1 nhiều lớp. §1.7. DẪN NHIỆT QUA VÁCH CẦU Phương trình vi phân 2 dT d 2T 0 (1.40) r dr dr 2 Điều kiện biên T = Tw1 tại r = r1 T = Tw2 tại r = r2 (1.41) - 21 -
Đặt  = (a) thì  = (b) Hình 1.11. Vách cầu Thay (a) và (b) vào (1.40) sẽ được 2 d  0 (c) r dr Tách biến (c) bằng cách nhân (c) với sẽ được  dr d 2 0 (d). r  C Tích phân (d) được lnμ 2lnr lnC hay μ 1 r 2 C thay  vào (a) được = 1 hay r 2 dr = C (e) 1 r 2 C Tích phân (e) lên sẽ được: = 1 C . r 2 Để xác định C1, C2 từ điều kiện biên có : C1 C1 Tm1 C2 và Tm2 C2 r1 r 2 Từ đó suy ra T T m2 m21 T T r r C m1 m2 ; C 1 2 (1.42) 1 1 1 2 1 1 r1 r2 r1 r2 Cuối cùng có nghiệm - 22 -
T T 1 1 T T w1 w2 (1.43) w1 1 1 r r 1 r1 r2 phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol Dòng nhiệt qua vách cầu T T T 2 Q w1 w2 w (W/m ) (1.44) 1 d 2 d1 R 2 k d1d 2 §1.8. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA THANH VÀ CÁNH Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài. Nếu chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong trường hợp ngược lại gọi là cánh. Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt là như nhau. 1. Thanh có tiết diện không đổi Thanh thẳng có tiết diện A không đổi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại mặt ngoài thanh có toả nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta , đỉnh thanh cách nhiệt. Nhiệt độ trên thanh giảm dần từ Tb ở gốc thanh đến Ta ở đỉnh thanh. Xét phân tố thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện là P, diện tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, hình 1.4. Nhiệt độ tại mặt cắt ngang (x+dx) là T, dT tại mặt cắt ngang x là T dx dx dT Lượng nhiệt di vào thể tích phân tố tại (x+ dx) là dQ k. A x dx dx d dT Lượng nhiệt đi ra khỏi thể tích phân tại x là dQx k. T dx A dx dx Lượng nhiệt đi ra khỏi thể tích phân tại bề mặt xung quanh là dQh h.(T Ta )Pdx. Lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại (x+ dx) cân bằng với tổng lượng nhiệt dẫn ra khỏi phân tố tại x và lượng nhiệt tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh: dQx+dx =dQx + dQh: dT d dT k. A h.(T Ta )Pdx. k. T dx A dx dx dx hay d 2T kA hP(T T ) 0 (1.45) dx2 a - 23 -
x hP 2 2 2 Đặt (T – Ta) =  ;  ; m2 và m L =  khi đó phương trình trên trở thành L kA d 2  2 0 (1.46) d 2 Hình 1.4. Dẫn nhiệt một chiều qua thanh Các điều kiện biên : d - tại đỉnhthanh:  = 0 0 d - tại gốc thanh:  = 1  = b (1.47) Nghiệm của (1.45) và (1.46) có dạng coshm L x    (1.48) 0 cosh mL 2. Thanh có tiết diện thay đổi Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo x. Gốc thanh x = 0, nhiệt độ T0 , đặt trong môi trường nhiệt độ Ta,, hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h, thể hiện trên hình 1.5 - 24 -
Hình 1.5. Thanh có tiết diện thay đổi Tại x, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh P(x)dx. Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là : dT Q kA(x) (1.49) x dx Lượng nhiệt ra khỏi phần tử tại mặt f(x+dx) là: dA(x) d dT (1.50) Qx dx k A(x) dx T dx dx dx dx Lượng nhiệt toả ra môi trường tại mặt xung quanh phần tử là: Qh hP(x)dx(T Ta ) (1.51) Do ổn định nên Qx Qx dx Qh , dẫn tới phương trình d dT (1.52) kA(x) hP(x)dx(T Ta ) 0 dx dx Tuỳ thuộc vào dạng hàm số A(x) theo x mà dẫn tới các phương trình khác nhau, xét cánh cụ thể có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x. 3. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x x Cánh có tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x : A(x) 2 b L Thay A(x) vào (1.52) dẫn tới d(T T ) d x a 2hb (1.53) k2 b (T Ta ) 0 dx L dx k - 25 -
Hình 1.6. Cánh có tiết diện thay đổi tuyến tính theo x x T T đặt ; và a  sẽ dẫn tới L T0 Ta d 2 d hL2   0 (1.54) d 2 d k (1.54) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến. Nghiệm của (1.54) được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1 : hLx I 2 0 k (1.55)  hL2 I 2 0 k với I0 là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn. §1.9. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH QUA VÁCH CÓ VẬT LIỆU HỖN HỢP Trong thực tế có nhiều trường hợp các vách được cấu tạo bởi các vật liệu có tính chất nhiệt khác nhau thí dụ như tường được xây bằng gạch có xen kẽ các lớp vữa dày. Khi đó coi dòng nhiệt dẫn qua vách tương tự như dòng điện qua mạch có các điện trở ghép nối tiếp hoặc song nhau. Khảo sát một vách phẳng rất rộng có ba lớp dày 1, 2, 3 tạo nên bởi nhiều vật liệu khác nhau như hình 1.11. Mỗi vật liệu có tính chất nhiệt đồng nhất. Hai phía của vách có hai chất lỏng nhiệt độ và hệ số toả nhiệt tương ứng là tL1, 1 và tL2, 2. Khi đó dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày. Gọi các đoạn vách có cấu trúc giống nhau là một phần tử thì dòng nhiệt qua mọi phần tử là hoàn toàn như nhau. Từ tính chất tương tự của khái niệm cường độ dòng điện (a), mật độ dòng nhiệt (b): U t I (a) q (b) R I R q - 26 -
trong đó: U và t tương ứng là hiệu điện áp hai đầu mạch điện và độ chênh nhiệt độ giữa hai chất lỏng; I và q tương ứng là cường độ dòng điện qua mạch và mật độ dòng nhiệt truyền qua vách có thể rút ra công thức tính nhiệt trở tổng theo công thức tính điện trở tổng RI. Điện trở tổng RI của mạch điện trên là: RBRC R I R1 RA RD R2 RB RC Hình 1.11. Từ đó suy ra công thức tính nhiệt trở tổng:   B . C 1     1 1  1  1 R A B C D A D q         1 A B C D 2 1 A B C D 2  B  C  B C (1.56) trong đó: 1 1 và tương ứng là nhiệt trở toả nhiệt tại hai mặt ngoài vách; 1 2   A và D tương ứng là nhiệt trở dẫn nhiệt của lớp A và D;  A  D 1 là nhiệt trở dẫn nhiệt tương đương của hai lớp B và C.   B C B C Từ đó tính ra mật độ dòng nhiệt truyền qua vách hỗn hợp: q = t L1 t L2 R q Cách tính nhiệt độ tại các mặt trong vách hoàn toàn như trước. §1.10. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 1 Bài toán dẫn nhiệt ổn định hai chiều thường hay gặp trong thực tế. Đó là trường hợp nhiệt độ tại các điểm bên trong vật thay đổi theo hai hướng. Khảo sát vật thể là thanh thẳng khá dài có tiết diện ngang là hình chữ nhật với chiều rộng  và chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với chiều dài  : (, h) <<  . - 27 -
Vật liệu của thanh đồng chất đẳng hướng, hệ số dẫn nhiêt  không đổi. Nhiệt độ tại mỗi mặt xung quanh của thanh có trị số không đổi. Khi đó nhiệt độ trong thanh không thay đổi theo hướng trục thanh mà chỉ thay đổi theo hướng bề rộng  và bề cao h của thanh. Gọi tiết diện ngang hình chữ nhật của thanh là OLKH thì nhiệt độ trên mọi tiết diện ngang của thanh thay đổi như nhau theo hướng bề rộng là OL và theo hướng chiều cao là OH. Đặt hình chữ nhật trong toạ độ xy như hình 1.12. Điều kiện biên loại một cho biết tại 3 cạnh OH, OL, LK có nhiệt độ là t1 = const, cạnh HK có nhiệt độ t2 = const. Khi đó nhiệt độ t là hàm của x và y. Phương trình vi phân trong trường hợp này sẽ là: 2 t 2 t = 0 (1.57) x 2 y2 Điều kiện biên loại 1 cho biết: tại: x = 0, x =  thì t = t1 y = 0 thì t = t1 Hình 1.12. y = h thì t = t2 Độ chênh nhiệt độ tại các điểm bên trong vách so với với nhiệt độ các cạnh HOL là sẽ là (t - t1). t t Lập tỷ số: * = 1 , gọi là nhiệt độ không thứ nguyên. t 2 t1 Khi đó phương trình (1.57) trở thành: 2* 2* = 0 (1.58) x2 y2 Các điều kiện biên loại 1 tương ứng khi đó sẽ là: tại cạnh OH: x = 0, * = 0 tại cạnh LK: x = , * = 0 tại cạnh OL: y = 0, * = 0 tại cạnh HK: y = h, * = 1 Để giải phương trình (1.58), dùng phương pháp tách biến: coi *(x, y) là tích của hai hàm theo từng biến riêng là (x) và (y), tức là: *(x, y) = (x).(y) (1.59) Lấy đạo hàm của *(x, y) theo từng biến riêng x và y: - 28 -
2  2 *   * = "(x).(y); = (x)."(y) x 2 y2 Thay vào phương trình (1.58) sẽ được: "(x) "(y) = - (1.60) (x) (y) (1.60) là phương trình đạo hàm riêng có mỗi vế là hàm riêng của từng biến độc lập, nhưng luôn bằng nhau, nên mỗi vế chỉ có thể là hằng số, đặt hằng số đó là - k2: "(x) = - "(x) = - k2 (1.61) (x) (y) Khi đó (1.61) tương đương với hai phương trình vi phân thường: "(x) + k2. (x) = 0 (1.62) 2 "(y) - k .(y) = 0 (1.63) Nghiệm của (1.62) là: (x) = C1cos(k.x) + C2.sin(k.x) (1.64) Nghiệm của (1.63) là: (y) = C3.exp(ky) + C4.exp(-ky) (1.65) Nghiệm tổng quát của (1.60) bằng tích của hai nghiệm riêng (1.64) và (1.65) ở trên: *(x,y) = (x)(y) = [C1cos(kx) + C2sin(kx)].[C3exp(ky) + C4.exp(-ky)] trong đó C1, C2, C3, C4 là các hằng số. Các hằng số này được xác định theo điều kiện biên: - Khi x = 0 thì *(0, y) = 0. Do (0) phải bằng 0 nên rút ra C1 = 0. - Khi y = 0 thì *(x, 0) = 0. Do (0) phải bằng 0 nên: [C3.exp(k.0) + C4.exp(- k.0)] = [C3.1 + C4/1] = 0, suy ra C4 = - C3. Như vậy nghiệm trên có dạng: *(x, y) = C2.C3.sin(k.x).[exp(+ ky) - exp(- ky)] - Khi x =  thì *(, y) = 0, tức là: - 29 -
C2.C3.sin (k.).[exp(ky) - exp(- ky)] = 0 Vậy: sin (k.) = 0. Suy ra: k = n. ; (n = 1, 2, 3, ), nghĩa là: k = n  n y n y n y Do exp - exp = 2sh , nên nghiệm trên trở thành:    n x n y *(x, y) = 2C2C3sin .sh   Như vậy sẽ có vô số nghiệm riêng ứng với các giá trị của n (n = 1, 2, 3, ). Gộp 2C2.C3 = Cn thì nghiệm của phương trình (1.60) sẽ là tổng của các nghiệm riêng đó: n x n y *(x, y) =  C n sin .sh (1.66)   Hằng số Cn được đánh giá từ điều kiện biên: khi y = h, thì * = 1, *(x, h) = 1; tức là: n x n h C n sin .sh = 1 (1.67)    (1.67) có thể coi là hàm phức tại biên, từ đó xác định Cn bằng cách sử dụng khai triển chuỗi vô hạn của hàm trực giao. Tập hợp vô hạn các hàm: gn(x) = g1(x), g2(x), g3(x), được gọi là trực giao trong miền xác định a x b nếu: b g (x)g (x)dx = 0 với m n a n m (1.68) b b g (x)g (x)dx = g2 (x)dx với m = n a n m a n Có rất nhiều hàm biểu thị đặc tính trực giao như trên. Cụ thể ở đây các hàm lượng giác: sin(n x/) và cos(n x/) luôn thoả mãn (1.68) trong khoảng 0 x . Như vậy một hàm f(x) có thể được khai triển thành chuỗi vô hạn các hàm lượng giác có tính trực giao: f(x) = An.gn(x) (1.69) Hệ số An trong chuỗi này được xác định bằng cách nhân mỗi vế của (1.69) với hàm gm(x), với m là một số cụ thể nhận một trong các giá trị 1, 2, , của n, và lấy tích phân trong khoảng a, b: b b f(x)g (x)dx = g (x)A g (x)dx (1.70) a m a m n n Theo đặc tính (1.68) của hàm trực giao rõ ràng vế phải của (1.70) chỉ còn một số hạng khi n = m, tất cả các số hạng khác còn lại đều bằng 0 vì m n: b b f(x)g (x)dx = A g2 (x)dx (1.71) a n a n n - 30 -
b f(x).g n (x).dx Từ đó rút ra được hệ số A : A = a (1.72) n n b 2 g n (x).dx a Áp dụng kết quả trên để tính hệ số Cn của phương trình (1.66) như sau. Từ (1.67) đã có f(x) = 1, có thể chọn hàm trực giao là gn(x) = sin(n x/), thay vào (1.72) sẽ được: b n x sin( )dx n 1 a  2 ( 1) 1 A n . b n x n sin2 ( )dx a  So sánh với (1.69) sẽ có: 2 ( 1)n 1 1 n x 1 = f(x) = A ngm (x) =  . .sin n  Đó chính là khai triển chuỗi Phuriê của 1. So sánh với (1.46) sẽ nhận được: 2 ( 1)n 1 1 Cn = . ; n = 1, 2, 3 n n h sh  Thay Cn vào (1.46), cuối cùng nghiệm của bài toán là: 2 ( 1)n 1 1 n x sh n y /  *(x, y) =  .sin . (1.73) n  sh(n h / ) Đó là một chuỗi hội tụ, tức là trong miền xác định (0 x , 0 y h), với mọi n = 1, 2, 3 *(x, y) tiến tới một giá trị hữu hạn. Như vậy * được xác định theo các giá trị x và y, kết quả thay các giá trị x = 0   và y = 0  h sẽ vẽ được các đường đẳng Hình 1.13. Phân bố nhiệt độ hai nhiệt như trên hình 1.13. chiều trong vách §1.11. DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH CỦA VẬT CÓ NGUỒN NHIỆT BÊN TRONG 1. Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại một Dẫn nhiệt của vật có nguồn nhiệt bên trong cũng thường gặp trong các kết cấu công trình. Đó là trường hợp khi đúc các cấu kiện bê tông, phản ứng hydrat hoá xi măng sinh ra nhiệt. Lượng nhiệt hydrat hoá được quy về mật độ nguồn thể tích qv, hay gọi là năng suất sinh nhiệt thể tích (W/m3). Xét một vách phẳng rộng đồng chất đẳng - 31 -
hướng, bề dày 2 nhỏ hơn nhiều so với chiều cao và bề rộng. Nguồn nhiệt trong vách 2 phân bố đều theo thể tích vật qv (W/m ) = const. Nhiệt độ tại hai mặt ngoài của vách là tm1 và tm2. Khi đó dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày và nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này. Phương trình vi phân dẫn nhiệt trường hợp này chỉ có một biến của toạ độ, gọi biến đó là x và đặt vật trong toạ độ t -x: d 2 t q v = 0 (1.74) dx 2  Điều kiện biên loại 1: Tại x = -  thì t = tm1 x =  thì t = tm2 (1.75) Giải (1.75) như sau: tích phân lần thứ nhất: dt q v x + c1 dx  Tích phân lần 2: 2 q vx t = - + c1x + c2 (1.76) Hình 1.13.  Từ (1.81) thấy rằng phân bố nhiệt độ là đường cong bậc hai, hệ số của x2 có giá trị âm nên đường cong nhiệt độ có chiều lõm quay xuống duới. Các hằng số c1, c2 được xác định từ điều kiện biên (1.80): q v 2 Khi x = -  thì t = tm1 tm1 = - . - c1 + c2 (a) 2 q v 2 Khi x =  thì t = tm2 tm2 = - . + c1 + c2 (b) 2 t m2 t m1 (b) - (a) c1 = ; 2 2 q v . t m1 t m2 (a) + (b) c2 = 2 2 Thay C1, C2 vào (1.81), được phân bố nhiệt độ trong vách: q (2 x2 ) t t t t t(x) = v m2 m1 .x m1 m2 (1.77) 2 2 2 Trong vách sẽ có nhiệt độ cực đại khi dt = 0 trong khoảng -   . dx dt q .x t t Từ (1.82): v m2 m1 , rút ra toạ độ điểm nhiệt độ cực đại là: dx  2 t m2 t m1 x0 = . = 0 (1.78) 2q v t m2 t m1 Với điều kiện: -  < x0 < . Tức là: -  < . < . 2.q v - 32 -
Từ đó rút ra: 22 .q + Khi: t t tm2 thì x0 0, điểm cực đại sẽ nằm bên phải trục tung. Nhiệt độ cực đại tại x0 trong vách là: 2 2 2 2 q .  x t t t t q v . t m2 t m1  t m1 t m2 t = v 0 m2 m1 .x m1 m2 = (1.80) max 0 2 2 2 2 2 8 q v 2 22 .q + Khi: t t > v thì trong vách không có nhiệt độ cực đại. Khi đó nhiệt m2 m1  độ lớn nhất và nhỏ nhất của vách nằm trên hai mặt vách, và dòng nhiệt chỉ truyền theo một chiều từ mặt có nhiệt độ cao tới mặt có nhiệt độ thấp hơn. Mật độ dòng nhiệt tại mỗi điểm trong vật được xác định theo (1.54) và công thức Furiê và phụ thuộc vào toạ độ x: dt q v x t m2 t m1 t m1 t m2 2 q(x) = - = -  = qv.x + (W/m ) (1.81) dx  2 2  Mật độ dòng nhiệt tại mặt trái (x=-): t t q = - q  + m1 m2 (1.82) (x = - ) v 2  Mật độ dòng nhiệt tại mặt phải (x = +): t t q = q  + m1 m2 (1.83) (x = ) v 2  Trường hợp nhiệt độ trên hai mặt bằng nhau: Khi tm2 = tm1 = tm, phân bố nhiệt độ trong vách sẽ đối xứng qua trục tung: 2 2 q v .  x t(x) = + tm (1.84) 2 Nhiệt độ cực đại sẽ nằm trên trục giữa tấm: 2 q v . t(0) = + tm (1.85) 2 Như vậy tại giữa vách không có dòng nhiệt truyền qua. Mật độ dòng nhiệt tại mặt trái (x = - ) và tại mặt phải (x = + ): - 33 -
q(x = - ) = - qV.; q(x = + ) = + qV. (1.86) 2. Dẫn nhiệt qua vách phẳng điều kiện biên loại 3 Bài toán điều kiện biên loại 3 khá phức tạp, ở đây chỉ xét trường hợp điều kiện biên loại 3 đối xứng cho đơn giản, tức là cho biết nhiệt độ chất lỏng và hệ số toả nhiệt tại hai phía của vách là như nhau và tương ứng Do tính đối xứng của bài toán nên chỉ cần khảo sát một nửa bên phải tấm. Điều kiện biên: Hình 1.13. Tại x = 0 thì (dt/dx)x = 0 = 0 x =  thì - (dt/dx)x =  = (tm - tL) (1.87) Từ phương trình nghiệm đã có (1.81): 2 q v x t = - + c1x + c2  Cần xác định hằng số c1, c2 từ điều kiện biên loại 3 (1.93): c1 = 0 2 q v . q v . c2 = tL + + (1.88) 2 Thay vào sẽ được: 2 2 q v .  x q v . t(x) = + + tL (1.89) 2 Do nguồn nhiệt phân bố đều trong vách nên dòng nhiệt tại hai mặt q (x = ): q  = qv. = (tm - tL) (1.90) Nhiệt độ tại mặt tấm: q v . t(x = ) = + tL (1.91) Cũng có thể dẫn ra kết quả trên từ điều kiện cân bằng giữa dẫn nhiệt và toả nhiệt tại bề mặt tấm: qx =  = qv. = (tm - tL) Rút ra nhiệt độ bề mặt: - 34 -
q v . tm = + tL (1.92) Thay (1.98) vào (1.82) sẽ được: 2 2 q v .  x q v . t(x) = + + tL (1.93) 2 Thí dụ 1 Tấm bê tông dày 80 cm, rộng 3 m, dài 6 m, hệ số dẫn nhiệt  = 2 W/mđộ. Nguồn nhiệt trong do phản ứng thuỷ nhiệt xi măng, mỗi m3 bê tông trong 1 giờ sinh ra lượng 3 0 nhiệt QV = 1800 J/m h. Nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau là tm = 30 C. Xác định: a) Lượng nhiệt sinh ra của tấm bêtông trong một giờ? b) Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài? c) Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm, 20 cm? Giải a) Lượng nhiệt tấm bê tông sinh ra trong một giờ: Q = QV.V = 1800.0,8.3.6 = 25,920 J b) Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt: 3 - Năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m ): 3 qV = QV/ = 1800/3600 = 500 W/m - Dòng nhiệt bề mặt: Bề dày tấm là 80 cm = 0,8 m, nên  = 0,8/2 = 0,4 m 2 qx =  = qV. = 500.0,4 = 200 W/m c) Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm, 20 cm: q v 2 2 Nhiệt độ trong tấm xác định theo công thức: t =  x + tm 2 - Nhiệt độ tại giữa tấm có x = 0: 500 0 t = 0,42 30 = 50 C 2.2 - Nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 15 cm: Toạ độ của lớp trên là: x = 0,4 - 0,15 = 0,25 m 500 2 2 0 tx=0,25 = 0,4 0,25 30 = 42,18 C 2.2 - Nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 20 cm: Toạ độ của lớp trên là: x = 0,4 - 0,2 = 0,20 m 500 2 2 0 tx=0,20 = 0,4 0,20 30 = 45 C 2.2 Thí dụ 2 Tấm bê tông dày 40 cm, hệ số dẫn nhiệt  = 1 W/m độ, mật độ = 2000 kg/m3. Nhiệt 0 độ không khí hai bên phía ngoài tấm bằng nhau là tL = 30 C. Do phản ứng thuỷ nhiệt - 35 -
của xi măng, nhiệt độ tại hai mặt ngoài của tấm bằng nhau và cao hơn nhiệt độ không khí 70C, hệ số toả nhiệt trên bề mặt ngoài = 10 W/m2 độ. Xác định: a. Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài? 3 b. Năng suất sinh nhiệt thể tích qV (W/m )? c. Năng suất sinh nhiệt khối lượng qM (W/kg)? d. Nhiệt độ tại giữa tấm, nhiệt độ tại lớp cách bề mặt 5 cm, 10 cm, 15 cm? Giải 0 Nửa bề dày tấm:  = 0,4/2 = 0,2 m; nhiệt độ mặt ngoài tấm tm = 37 C. a. Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt ngoài: Tại bề mặt tấm có dòng nhiệt do toả nhiệt q bằng dòng nhiệt do dẫn nhiệt q x = . Dòng nhiệt do toả nhiệt: 2 q = (tm - tf) = 10.(37 - 30) = 70 W/m Dòng nhiệt do dẫn nhiệt q x = xác định theo công thức: qx =  = qV., trong đó qV là năng suất sinh nhiệt thể tích. b) Năng suất sinh nhiệt thể tích: 3 qV = qx = / = 70/0,2 = 350 W/m c) Năng suất sinh nhiệt khối lượng: qM = qV/ = 350/2000 = 0,175 W/kg d) Nhiệt độ tại các lớp: - Nhiệt độ tại các điểm bên trong tấm xác định theo công thức: q v 2 2 q v  q v 2 2 t =  x + + tL hoặc t =  x + tm 2 2 - Nhiệt độ tại giữa tấm: x = 0 350 2 350.0,2 0 tx=0 = (0,2) + + 30 = 44 C 2.1 10 - Nhiệt độ tại lớp cách mặt 5 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,05 = 0,15 m 350 2 2 0 tx=0,15 = (0,2 0,15 ) + 37 = 41,06 C 2.1 - Nhiệt độ tại lớp cách mặt 10 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,1 = 0,10 m 350 2 2 0 tx=0,10 = (0,2 0,10 ) + 37 = 42,25 C 2.1 - Nhiệt độ tại lớp cách mặt 15 cm: lớp này có toạ độ x = 0,2 – 0,15 = 0,05 m 350 2 2 0 tx=0,05 = (0,2 0,05 ) + 37 = 43,56 C 2.1 - 36 -
§1.12. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY TỤ 1. Xuất phát điểm Dẫn nhiệt không ổn định là quá trình dẫn nhiệt khi nhiệt độ của vật thể thay đổi theo thời gian. Thí dụ làm lạnh hoặc làm nóng một vật, khi đó nhiệt độ tại các điểm bên trong vật luôn thay đổi theo thời gian và được thể hiện bởi phương trình: t = f(x, y, z, ) Để tìm được phân bố nhiệt độ của vật không có nguồn trong, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt: t 2 t  2t 2 t a. (1.94) 2 2 2  x y z kèm theo các điều kiện đơn trị của bài toán. Việc giải phương trình vi phân trên là khá phức tạp, chỉ có thể thực hiện được trong một số trường hợp vật thể có hình dáng đơn giản kèm theo những giả thiết hạn chế nhất định. Trong các quá trình dẫn nhiệt không ổn định thực tế có nhiều trường hợp nhiệt độ của vật thay đổi khá chậm, thí dụ khối kim loại hoặc các cấu kiện công trình có dạng tấm khá mỏng được làm nguội tự nhiên trong không khí khi đó có thể tìm mối quan hệ giữa dẫn nhiệt bên trong vật và toả nhiệt tại mặt ngoài để khảo sát thì vấn đề sẽ đơn giản và dễ dàng. Một phương pháp khảo sát như vậy là phương pháp quy tụ. 2. Phương pháp quy tụ cấp 1 a. Khảo sát phân bố nhiệt độ trong vật Xét truyền nhiệt của vật là tấm phẳng nhiệt độ ban đầu t0 được làm nguội trong môi trường có nhiệt độ tL, với t0 > tL. Tấm phẳng dày 2, hệ số dẫn nhiệt của tấm , nhiệt của tấm phẳng sẽ truyền từ bên trong qua hai bề mặt tấm tới môi trường, hệ số toả nhiệt tại bề mặt (hình 1.15). Tại một thời điểm nào đó, nhiệt độ ở giữa tấm phẳng là t0’, nhiệt độ bề mặt tm, với t0’ > tm > tL. Nếu như t0’ không lớn hơn tm nhiều lắm tức là t0’ tm, khi đó tại mỗi thời điểm có thể coi phân bố nhiệt độ Hình 1.15. Truyền nhiệt của tấm phẳng. trong tấm phẳng gần như đường thẳng (như trong chế độ ổn định). Dòng nhiệt do dẫn nhiệt trong mỗi nửa tấm từ giữa tới bề mặt bằng với dòng nhiệt do toả nhiệt trên mỗi mặt bên nên có: t' 0 t m = (tm - tL) (a)  /  - 37 -
t' t . hay: 0 m (b) t m t L  Khi nhiệt độ tại bề mặt của tấm phẳng nhỏ hơn nhiệt độ giữa tấm rất ít thì có thể coi tấm có nhiệt độ đồng nhất: t0’ tm. Từ (b) thấy rằng: - Khi: (t0’ - tm) << (tm - tL), tức là . <<  hay nói cách khác là khi có hoặc  khá nhỏ thì có thể coi nhiệt độ bề mặt và giữa tấm bằng nhau: t0’ tm. - Trường hợp: (t0’ - tm) (tm - tL) thì không thể coi nhiệt độ trong vật là đồng nhất được. Lập luận trên cũng hoàn toàn phù hợp với các vật có hình dạng khác với tấm phẳng. b. Phương pháp quy tụ cấp 1 Phương pháp quy tụ là phương pháp quy vật thể về “một điểm” để toàn bộ vật thể có cùng một nhiệt độ. Nói cách khác, phương pháp này coi nhiệt độ tại mọi điểm của vật thể luôn đồng nhất nhưng vẫn thay đổi theo thời gian, và không quan tâm tới mức độ phức tạp của hình dạng vật thể. Xét một vật thể khối lượng M, thể tích V, diện tích toàn bộ mặt ngoài F, nhiệt dung riêng c, ở thời điểm đầu nhiệt độ của vật đồng nhất bằng t0. Đặt vật vào trong môi trường có nhiệt độ không đổi tL với tL < t0, hệ số toả nhiệt tại bề mặt xung quanh vật với môi trường là khá nhỏ và không đổi. Khi đó nhiệt độ của vật sẽ giảm chậm theo thời gian nên vẫn được duy trì đồng nhất tại mọi điểm trong vật như lập luận trên. Sau thời gian d, lượng nhiệt mất đi do toả ra môi trường qua bề mặt ngoài của vật có diện tích F là: dQ = .F.(t - tL).d (c) trong đó: t là nhiệt độ mặt ngoài vật tại thời điểm khảo sát, cũng là nhiệt độ trong vật; (t - tL) là độ chênh nhiệt độ mặt ngoài với môi trường. Khi mất nhiệt, nội năng của vật thể giảm đi một lượng là: dU = - M.c.dt (d) trong đó: U - nội năng, M - khối lượng của vật, c - nhiệt dung riêng, dt - biến đổi nhiệt độ của vật sau thời gian d. Độ giảm nội năng của vật bằng chính lượng nhiệt toả ra môi trường, nên: .F.(t - tL).d = - M.c.dt (e) Vì tL = const nên d(t - tL) = dt, và M = .V, nên (e) sẽ trở thành: d(t t ) .F L = - .d (g) t t L .V.C - 38 -
Lấy tích phân phương trình (g), với vế trái theo nhiệt độ t: t từ t0 t(); vế phải theo thời gian :  từ 0 , sẽ được: t() t .F. ln L = - t 0 t L .V.c t() t L .F. từ đó rút ra: = exp (h) t 0 t L .V.c Đặt: V = L gọi là kích thước đặc trưng của vật, m. F b = .F = (i) .V.c .L.c -b Hay: t = tL + (t0 - tL). e (1.95) Biểu thức (1.95) cho phép xác định nhiệt độ bên trong vật theo thời gian  hoặc xác định thời gian để nhiệt độ vật đạt được giá trị t cho trước. Quá trình gia nhiệt chậm vật trong môi trường nóng cũng tương tự trên dẫn ra được: -b t = tL - (tL - t0). e (1.96) Thấy rằng nhiệt độ của vật tiến dần tới nhiệt độ môi trường theo hàm mũ. Khi giá trị b càng lớn nhiệt độ vật tiến tới nhiệt độ môi trường càng nhanh. Ngược lại khi b có giá trị nhỏ nhiệt độ vật thay đổi rất chậm tới nhiệt độ môi trường. b tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt F của vật thể và hệ số toả nhiệt tại bề mặt vật, nhưng tỷ lệ nghịch với khối lượng M = V và nhiệt dung riêng c của vật. c. Tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ cấp 1 + Tiêu chuẩn Biô: Để xác định xem khi nào nhiệt độ trong vật là đồng nhất tại mọi điểm để có thể áp dụng công thức (l.66), tức là áp dụng được phương pháp quy tụ đối với vật thể, cần khảo sát số mũ b: .F.  F L .L   .L a. b = = . . . . = . . = . = Bi.Fo .V.c .c  V L  c. L2  L2 trong đó: Bi = .L - tiêu chuẩn Biô;  Fo = . - tiêu chuẩn Phuriê, Fo gọi là thời gian không thứ nguyên L2 (m) Như vậy (1.66) trở thành: t() t * = L = exp(- Bi.Fo) t 0 t L Xét số Bi-ô thấy rằng: Bi = = nhiÖt trë dÉn nhiÖt = kh¶ n¨ng to¶ nhiÖt (n)  / L nhiÖt trë to¶ nhiÖt kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt - 39 -
Từ (n) thấy Bi đặc trưng cho tỷ số giữa khả năng toả nhiệt tại mặt ngoài vật và khả năng dẫn nhiệt trong vật. Vậy với giá trị nào của Bi thì phân bố nhiệt độ trong vật sẽ được coi là đồng nhất? Trở lại mục (a) và công thức (b) sẽ thấy: t' t 0 m = = . = Bi (o) t m t L  /   Từ lập luận trong mục (a) và (o) cho thấy: Khi (t0’- tm) rất nhỏ, cũng là Bi rất nhỏ thì nhiệt độ trong vật được coi là đồng nhất. Trường hợp Bi = 1 sẽ có (t0’ - tm) = (tm - tL), hoặc khi Bi > 1 sẽ có (t0’ - tm) > (tm - tL), thì nhiệt độ trong vật là không đồng nhất. Nếu lấy Bi = 1 để so sánh thì có thể rút ra kết luận: - Khi Bi = 1, nhiệt độ trên mặt vật giảm dần tới nhiệt độ môi trường, phân bố nhiệt độ trong vật là đường cong thoải nối từ t0’ tại tâm vật tới điểm tm trên bề mặt. tm = (t0’+ tL)/2. - Khi Bi rất nhỏ: Bi > 1 (khả năng toả nhiệt lớn hơn dẫn nhiệt trong vật rất nhiều) nhiệt độ trên mặt vật giảm nhanh tới nhiệt độ môi trường, phân bố nhiệt độ trong vật là đường cong rất dốc. tm >> (t0’+ tL)/2; tức t0’ >> tm. + Kích thước đặc trưng L: Từ (m) hoặc (o) có: Bi = .L/, trong đó L là kích thước đặc trưng. Thấy rằng L có vai trò quan trọng, nếu không nhỏ lắm nhưng L đủ nhỏ thì Bi vẫn có giá trị nhỏ bởi vậy bài toán vẫn thoả mãn điều kiện để áp dụng phương pháp quy tụ. Từ định nghĩa L = V/F, kích thước đặc trưng L của một số vật điển hình được xác định như sau: Đường cong phân bố nhiệt độ phụ thuộc vào tiêu chuẩn Bi - 40 -
+ Vách phẳng dày 2, khá rộng. Gọi bề rộng và cao cùng là a; với a >> 2. Khi đó: 2 2 L = a .2 a .2 =  2a 2 4a.2 2a 2 + Hình trụ bán kính R, chiều dài h khá lớn: h >> R. Khi đó: 2 2 L = V = R h R h = R F 2 R 2 2 Rh 2 Rh 2 3 + Hình cầu đường kính D, sẽ có L = V = D / 6 = D . F D 2 6 Các vật có hình dạng phức tạp khác cần biết thể tích V và tính được diện tích toàn phần của mặt ngoài vật. Tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ: Từ trên thấy rằng điều kiện để hệ quy tụ hay nhiệt độ trong vật trở nên sẽ đồng nhất là Bi phải rất nhỏ so với 1: Bi << 1. Nhưng Bi cụ thể bằng bao nhiêu? Các tính toán lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng: trong tính nhiệt sai số nhỏ hơn 20% là cho phép chấp nhận. Trở lại bài toán quy tụ của tấm phẳng trên, nếu độ chênh nhiệt độ giữa tâm vật và mặt ngoài nhỏ hơn 10% độ chênh nhiệt độ tại mặt ngoài với nhiệt độ môi trường thì lượng nhiệt truyền từ hai mặt của tấm ra môi trường có sai số nhỏ hơn 20%. Vậy (t0’ - tm) 0,1(tm - tL), thì t0’ tm, từ (0) thấy rõ là Bi 0,1. Vậy tiêu chuẩn đặc trưng cho hệ quy tụ là: Bi 0,1 (1.97) Để xác định Bi trước tiên phải tính kích thước đặc trưng của vật L = V/F, sau đó tính Bi và so sánh Bi với 0,1. Nếu Bi càng nhỏ thì phép tính càng chính xác. Thí dụ Một tấm bêtông có kích thước 4 m 4 m 3 cm, nhiệt độ 250C. Bêtông có hệ số dẫn nhiệt  = 1,8 W/mđộ, khối lượng riêng = 2200 kg/m3, nhiệt dung riêng c = 840 J/kgđộ được đặt trong không khí nhiệt độ 500C, hệ số toả nhiệt tại mặt tấm với không khí = 10 W/m2độ. Xác định nhiệt độ của bêtông sau thời gian 10 phút, 30 phút, một giờ? Giải: Xác định Bi = .L , trong đó L là kích thước đặc trưng:  L = V = (4 4 0,03)/[(4+4) 2 0,03+(4 4 2)] = 0,48 m3/32,48 m2 = F 0,0147 m Bi = .L = (10 0,0147)/1,8 = 0,0616  Bi < 0,1 nên áp dụng phương pháp quy tụ cho kết quả đủ chính xác. - 41 -
Xác định b: b = = 10/(2200 840 0,0147) = 3,681.10-3 .L.c Thay giá trị trên vào (9) và (8) rút ra được: -3 -3 t = tK - (tK - t0)exp(- 3.681.10 ) = 50 - (50 - 25).exp(- 3.681.10 ) Sau 10 phút = 600 s: -3 0 t600s = 50 - 25.exp(- 3,681.10 .600) = 29,95 C Sau 30 phút = 1800 s: -3 0 t1800s = 50 - 25.exp(- 3,681.10 .1800) = 37,11 C Sau 1 giờ = 3600 s: -3 0 t 3600s = 50 - 25.exp(- 3,681.10 .3600) = 46,57 C 3. Hệ quy tụ cấp hai Xét hệ thống gồm hai tấm dày L1 và L2 , hệ số dẫn nhiệt, nhiệt dung riêng, và mật độ tương ứng của mỗi tấm là k1, k2 , c1, c2, 1, 2. Nhiệt trở tiếp xúc giữa hai tấm R =1/hC khá lớn, nghĩa là hệ số truyền nhiệt hC chỗ tiếp xúc giữa hai tấm rất nhỏ so với hệ số dẫn nhiệt của từng tấm. Nhiệt độ hai tấm ban đầu đều bằng t0. Mặt trái cách nhiệt, mặt bên phải đặt trong môi trường có nhiệt độ tL = const, hệ số toả nhiệt h tại mặt bên phải khá nhỏ. Hình 1.8. Mô tả hệ quy tụ cấp hai h .L h .L h.L Khi đó hai tấm thoả mãn điều kiện quy tụ nghĩa là C 1 , C 2 và 2 (là các số Bi) nhỏ k1 k2 k2 hơn rất nhiều so với 1. Phương trình vi phân trên mỗi tấm là: - Tấm 1: Lượng nhiệt truyền sang tấm 2 qua diện tích chung F bằng độ giảm nội năng của tấm: dt kF t t c V 1 (1.98) 1 2 1 d - 42 -
- Tấm 2: Lượng nhiệt toả ra môi trường và nhận từ tấm 1 bằng độ giảm nội năng của tấm: dt F t t kF t t c V 2 (l .99) 2 L 1 2 2 d c V c V Hằng số thời gian của mỗi tấm: b 1 và b 2 1 kF 2 .F Khi đó (l.98) trở thành: dt t b 1 t (1.100) 2 1 d 1 Thay t2 trong (1.100) vào (1.99) sẽ được: 2 dt1 k dt1 d t1 dt1 b1 t1 tL b1 b1b2 b2 (1.101) d h d d 2 d Sắp xếp lại như sau: d 2t 1 1 k dt t t 1 1 1 L 0 (1.102) 2 d b1 b2 h.b2 d b1b2 1 1 k 1 đặt (1.103) b; c; t1 tL  b1 b2 h.b2 b1b2 sẽ được phương trình vi phân cấp hai: d 2 d b c. 0 (1.104) d 2 d Nghiệm tổng quát của (1.105) có thể viết dưới dạng : D  C1e Phương trình (1.97) có thể viết dạng: D2 + bD + c = 0 (1.105) 2 b b Trong đó D c 2 2 Nghĩa là nghiệm tổng quát của (1.105) là : - 43 -
2 2 b b b b  C exp c  C exp c  (1.106) 1 2 2 2 2 2 để tìm hai hằng số C1 và C2 cần sử dụng điều kiện ban đầu :  = 0 t1 = t2 = t0 , sẽ có : 0 t0 tL C1 C2 (1.107) dt1 kF Mặt khác  = 0 thì : (t1 t2 ) 0 d  0 (c V )1 thay các kết quả trên vào (1.107) sẽ nhận được: 2 2 b b b b  c C c C (1.108) 2 2 1 2 2 2 mà C2 = L – C1 Rút ra được C1 và C2: 2 2 b b b b c c 2 2 2 2 (1.109) C1  L ; C2  L ; 2 2 b b 2 c 2 c 2 2 Cuối cùng :  t t b/2 (b/2)2 c b/2 (b/2)2 c 1 L exp b/2 (b/2)2 c  exp b/2 (b/2)2 c  2 2 0 t0 tL 2 (b/2) c 2 (b/2) c (1.110) - 44 -
§1.13. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH CỦA TẤM PHẲNG RỘNG Khảo sát vật thể là tấm phẳng rất rộng có bề dày 2, hệ số dẫn nhiệt là hằng số. Nhiệt độ lúc đầu đồng nhất trong toàn bộ vật bằng t0. Vật được đặt trong môi trường chất lỏng có nhiệt độ thấp tL = const. Hệ số toả nhiệt giữa bề mặt tấm và môi trường là không đổi. Khi đó nhiệt được truyền từ tấm qua hai mặt tới môi trường. Do tấm có hình dạng đối xứng qua trục nên phân bố đổi nhiệt độ cũng có dạng đối xứng qua trục của tấm. Với điều kiện trên dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày của tấm, và nhiệt độ trong tấm thay đổi theo một chiều, gọi đó là chiều x, thể hiện trên hình 1.15. Ngay sau thời điểm đầu nhiệt độ tại 2 mặt ngoài của Hình 1.15 vật giảm mạnh do toả nhiệt từ mặt tấm đến môi trường xung quanh. Sau đó do dẫn nhiệt từ bên trong tấm ra lớp phía ngoài nên phân bố nhiệt độ là những đường cong thoải dần. 1. Phương trình vi phân và điều kiện đơn trị Từ phân tích trên thấy rằng nhiệt độ là hàm của thời gian và chỉ thay đổi theo một toạ độ (một chiều), nên được biểu thị bằng phương trình vi phân: 2 t 2  t a t a 2  x Đặt:  = t - tL, gọi là nhiệt độ dư khi đó:  t  2  2t và   x 2 x 2 Phương trình vi phân dẫn nhiệt trở thành:   2 a (1.111)  x 2 Điều kiện ban đầu: khi  = 0  = t0 - tL = 0 Điều kiện biên: + tại 2 mặt: x =   = - . x x   x  - 45 -
+ do đối xứng tại tâm tấm: x = 0  = 0 x x 0 2. Phương pháp giải và nghiệm của bài toán Dùng phương pháp tách biến Phuriê, coi (x, ) là tích của hai hàm của từng biến riêng là () và (x): (x, ) = ().(x) (1.112) Sau khi lấy đạo hàm của (x,) theo x và theo , thay vào phương trình (1.112), tách biến sẽ được: 1 '() "(x) . = (1.113) a () (x) Do mỗi vế của (1.70) là hàm độc lập của từng biến riêng, nhưng luôn bằng nhau với mọi  và x, nên mỗi vế chỉ có thể là hằng số, đặt bằng - k2, sẽ được hai phương trình: 1 '() . + k2 = 0 (1.114) a () "(x) 2 + k = 0 (1.115) (x) Nghiệm của (1.114) là: 2 () = C1. exp(- ak ), Nghiệm của (1.115) là: (x) = C2.sin(k.x) + C3.cos(k.x) Theo (1.112) thì phải có: 2 (x, ) = C1.exp(- ak ).[C2sin(k.x) + C3.cos(k.x) ] (1.116) Các hằng số được xác định từ các điều kiện đơn trị như sau: + tại x = 0 ’xx = 0 = 0, tức là: 2 ’xx = 0 = [k.C2cos(k.0) - k.C3.sin(k.0)].C1.exp(-ak ) = 0 2 hay: [ k.C2].C1.exp(-ak ) = 0 C2 = 0 Khi đó (1.122) trở thành: 2 (x, ) = C1.exp(- ak ).C3.cos(k.x) Đặt C1.C3 = A, sẽ được: (x, ) = A.exp(- ak2).cos(k.x) (1.117) - 46 -
. ' + tại x =  x x  = - (1.118)  x  trong đó: 2 ’x x =  = k.A.exp(- ak ).[-sin(k.)] 2 và:  x x =  = A.exp(- ak ).cos(k.) Thay kết quả trên vào (1.124) sẽ được: k.A.exp(- ak2).sin(k.) = - .A . exp(- ak2).cos(k.) (1.119)  Rút gọn được: cos(k.) = k = k. (1.120) sin(k.) /  . /  Đặt (k.) = , và . = Bi thì (1.74c) trở thành:  cotg =  (1.121) Bi (1.121) được gọi là phương trình đặc trưng, đó là hàm siêu việt phải giải bằng phương pháp đồ thị: Đặt: y1 = cotg ; y2 = /Bi. Nghiệm của (1.121) là hoành độ giao điểm của y1 và y2. Trong toạ độ y-, đường y1 = cotg cắt trục hoành tại vô số điểm có n = /2, 3 /2, 5 /2, ,(2n-1) /2, còn y2 = /Bi là đường thẳng qua gốc toạ độ. Góc nghiêng Hình 1.16. của y2 phụ thuộc vào giá trị của Bi. Khi Bi 0, đường y2 trùng với trục tung. Khi Bi , đường y2 trùng với trục hoành. Khi Bi trong khoảng 0 , y1 và y2 cắt nhau tại vô số điểm có hoành độ là các i. Các i chính là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.121). Khi đó biến đổi (1.117) như sau: (x,) = A.exp (- ak2).cos(k.x) = A.exp(- a.k2.2/2).cos(k.x/) hay: (x, ) = A.exp[-2 (a/2].cos [.(x/)] (1.122) Do có vô số i thoả mãn (1.128), nên sẽ có vô số nghiệm i tương ứng các giá trị của i. Các nghiệm đó là những nghiệm riêng: - 47 -
2 2 1(x, ) = A1.exp[-1 (a/ ].cos[1.(x/)] 2 2 2(x, ) = A2.exp[-2 (a/ ].cos[2.(x/)] 2 2 n(x, ) = An.exp[-n (a/ ].cos[n.(x/)] Nghiệm của bài toán sẽ là tổng các nghiệm riêng trên, nên là một chuỗi vô hạn: 2 2 (x, ) =  {An.exp[-n (a/ ].cos[n.(x/)] } (1.123) Để tìm hệ số An cần sử dụng điều kiện ban đầu: 2 2 + khi  = 0 (x, 0) = 0; thay exp[-n (a.0/ ] = 1 vào (1.77) được:  0 =  [An.cos(n.x/)] với n = 1, 2, 3, , n (1.124) Các hàm cos(i.x/) là hàm trực giao khi x trong khoảng 0  . Tức là:  cos (i.x/).cos(j.x/)dx = 0 khi i j 0  2 cos (i.x/).cos(j.x/)dx = cos (j.x/)dx 0 khi i = j 0 Để xác định An, nhân (1.78) với cos(n.x/), rồi lấy tích phân theo x từ 0 đến + . Khi đó sẽ được:  2  .cos(nx/)dx = An.cos (n.x/)dx 0 0  sin  n .cos n 20 sinn = An.. 1   n Rút ra hệ số An: 20 sin n An = (1.125)  n sin n .cos n Thay (1.125) vào (1.124) được nghiệm cuối cùng có dạng: 2 sin  x a (x, ) = 0 n cos  exp  2 . (1.126)  n n 2 n 1  n sin  n .cos  n   trong đó: n = k.; k = 1, 2, 3, , n là nghiệm của phương trình đặc trưng: cotg =  . với Bi = . Các giá trị của n phụ thuộc vào Bi. Bi  3. Nghiệm không thứ nguyên Đặt: Fo = a gọi là tiêu chuẩn Phuriê, thời gian không thứ nguyên 2 - 48 -
X = x , gọi là kích thước đặc trưng, toạ độ không thứ nguyên  2sinn Dn = gọi là hệ số không thứ nguyên n sin n .cos n (x,) * = gọi là nhiệt độ không thứ nguyên 0 Khi đó có thể viết nghiệm ở dạng không thứ nguyên: 2 *(x, ) =  D n cos(n.X).exp(-n Fo) (1.127) n 1 là một chuỗi số giảm rất nhanh theo độ lớn của Fo, khi Fo 0,3 chỉ cần lấy một số hạng đầu cũng đủ chính xác: 2 *(x, ) = D1cos(1.X).exp(-1 Fo) (1.128) Do D1 là hàm của 1 tức là hàm của Bi, bởi vậy có thể biểu thị * như sau: *(x, ) = f (Bi, Fo, X) (1.129) Fo = a./2 Hình 1.17a. Nhiệt độ không thứ nguyên tại bề mặt tấm. Trong kỹ thuật thường chỉ cần biết nhiệt độ tại tâm và trên mặt tấm, khi đó mối quan hệ * = f(Bi, Fo, X) tại tâm X = 0 (x = 0), và tại mặt ngoài X = 1 (x = ) được tính sẵn theo giá trị của Bi và Fo và lập thành đồ thị để tra nhiệt độ tại tâm và mặt ngoài của tấm phẳng. 4. Điểm định hướng đường phân bố nhiệt độ - 49 -
Từ phương trình (1.80) và (1.81) thấy nghiệm là hàm chẵn đối với x, tức là phân bố nhiệt độ trong tấm đối xứng qua trục tấm. Tại thời điểm ban đầu  = 0 (Fo = 0), phân bố nhiệt độ là đường nằm ngang, tại các thời điểm tiếp theo, đường cong nhiệt độ giảm đơn điệu và có tiếp tuyến luôn đi qua điểm cố định trên trục hoành, gọi đó là điểm định hướng có toạ độ là: 1 X0 = Bi Hình 1.17b. Nhiệt độ không thứ nguyên tại tâm tấm. Thực vậy, từ điều kiện biên tại x =  có:  .  = - , nhân 2 vế với x x   x  0    .  0 = - x    0 x   x  Đó là dạng không thứ nguyên: Hình 1.17c.  *  * = - Bi. X 1 X X 1 Hệ số góc của đường phân bố nhiệt độ tại bề mặt tấm: tg = -  * =  * X X X 1 0 X 1 - 50 -
 * 1 X 0 1 từ đó: = Bi.  * vậy: X0 = hay ở toạ độ thường: tức là toạ độ X X 1 Bi  . /  0 X 1  điểm định hướng là: X0 = . 5. Đánh giá đường cong nhiệt độ theo Bi - Khi Bi rất lớn: Bi (trường hợp Bi > 100), hình 1.18a: Toả nhiệt tại mặt rất lớn: tg = Bi.* x = 1 , đường cong nhiệt độ tại mặt rất dốc, điểm định hướng có toạ độ X0 = [*(x = 1)/Bi.*(x = 1)] 1, (vì *(x = 1) 0), nghĩa là nằm ngay trên bề mặt vật. Đường cong nhiệt độ trong vách là những đường rất dốc. - Khi Bi rất nhỏ: Bi 0 (trường hợp Bi < 0,1), hình 1.18b: Toả nhiệt tại mặt rất nhỏ: tg = Bi.*x = 1 0, độ dốc đường cong nhiệt độ tại 1 mặt bằng không, điểm định hướng có toạ độ X0 = , nghĩa là nằm rất xa bề Bi mặt vật. Đường cong nhiệt độ trong vách gần như những đường nằm ngang. - Khi Bi có các giá trị trung gian: Bi = 0,1 100, hình 1.18c: Toả nhiệt tại mặt đáng kể: tg = Bi.* x = 1 có giá trị lớn hơn 0, nhỏ hơn , đường cong nhiệt độ tại mặt có độ dốc phụ thuộc vào Bi, điểm định hướng có toạ độ 1 X0 = , nằm ngoài bề mặt vật. Phân bố nhiệt độ trong vách là những đường cong Bi thoải dần theo thời gian và đồng quy tại X0. a) Bi b) Bi 0 c) Bi = 0,1 100 Hình 1.18. Các đường phân bố nhiệt độ trong vách ứng với Bi khác nhau. §1.14. DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH CỦA VẬT DÀY VÔ HẠN MỘT PHÍA Bài toán dẫn nhiệt không ổn định của vật thể có một phía dày vô hạn rất hay gặp và có nhiều ý nghĩa trong thực tế. Vật dày vô hạn một phía là những vật có một mặt xác định đủ rộng và bề dày là hết sức lớn như nền đất Trong trường hợp này quá - 51 -
trình dẫn nhiệt không ổn định chỉ theo một chiều bề dày của vật. Phương trình vi phân dẫn nhiệt có dạng: 2 t = a.  t (1.130)  x 2 Nghiệm phải tìm của bài toán là: t = f(x, ). Điều kiện đơn trị của bài toán gồm điều kiện ban đầu: t(x, 0) = t0 và một trong các điều kiện biên tuỳ theo điều kiện cụ thể của bài toán: - Điều kiện biên loại 1, cho biết nhiệt độ tại bề mặt: t(0, ) = tm - Điều kiện biên loại 2, cho biết mật độ dòng nhiệt tại bề mặt: - (t/ x) m = q0 - Điều kiện biên loại 3, cho biết nhiệt độ môi trường chất lỏng tiếp xúc với mặt vật tL và hệ số toả nhiệt tại bề mặt . Điều kiện biên loại 1 Điều kiện biên loại 2 Điều kiện biên loại 3 Hình 1.19. Ba loại bài toán ứng với ba loại điều kiện biên. Bài toán điều kiện biên loại 1: Dùng phương pháp đổi biến kép để chuyển phương trình vi phân đạo hàm riêng (1.130) thành phương trình vi phân thường như sau: -1/2  -1/2  1 -3/2 x 1/2 Đặt  = x.(4a.) thì = (4a) và x. (4a) .4a = - (4a) x  2 2 Theo đó điều kiện ban đầu:  = 0, tức là  thì t( ) = t0 Điều kiện biên loại 1: x = 0, tức là  = 0, thì t( = 0) = tm. Bây giờ lấy các đạo hàm của t theo x và  qua biến : t dt  1 dt . . (1.131) x d x 4a d  2 t  1 dt 1  dt 1 d dt  1 d2t . . . (1.132) 2 2 x x 4a d 4a x d 4a d d x 4a d t dt  x dt . . (1.133)  d  2. 4a d - 52 -
Thay (1.132) và (1.133) vào (1.130) sẽ có: d2 t dt 2. (1.134) d2 d (1.134) là phương trình vi phân thường, đặt u() = dt/d thì du/d = d2t/d2, thay vào (1.134) sau đó thay trở lại hàm u sẽ có: du du 2.u 2.d ln u 2 C u exp( 2 ).C d u dt exp( 2 ).C dt() exp( 2 ).C.d d Lấy tích phân:  t() C exp( 2 )d  0  0 Để xác định hằng số C cần áp dụng điều kiện biên loại 1: Với  là biến trung gian:  = 0 thì t() = tm và  thì t() t0. Tích phân trong biểu thức trên được xác định theo tích phân xác suất Gauss:  exp( 2 )d (1.135)  0 2 Từ đó giải ra C: 2(t m t 0 ) t m t 0 C C 2 Để tìm giá trị nhiệt độ tại một thời điểm nào đó t(), thay trở lại tích phân trên, vế trái t nhận giá trị từ tm đến t(), vế phải  nhận giá trị từ 0 đến () với  là cận tích phân biến đổi của biến số u nào đó, sẽ được:  2.(t 0 t m ) 2 t() t m . exp( u ).du 0  2.(t 0 t m ) 2 Từ đó có: t() . exp( u ).du t m 0 Hoặc viết dạng sau cho tiện tính toán: t() t 2  m . exp( u 2 ).du erf. (1.136) (t 0 t m ) 0 x Tích phân trong biểu thức (1.90) gọi là Tích phân sai số Gauss,  = là biến số 2. a giả, erf. được gọi là hàm sai số Gauss là một hàm chuẩn trong toán học được lập sẵn giá trị thành bảng. - 53 -
Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thức Phuriê: 2 t d(erf.)  2 exp(  ) .(t m t 0 ) q = - . = - 0.(t0 - tm). . = .(tm - t0). . = x x 0 d x  0 4a a (1.137) Bài toán điều kiện biên loại 2: cho mật độ dòng nhiệt tại bề mặt qm = q0 Nhiệt độ xác định theo: a 2q . 0 x2 q .x x .exp 0 .erfc t(x, ) - t0 = (1.138)  4a  2 a Mật độ dòng nhiệt: 2 t d(erf.)  2 exp(  ) .(t m t 0 ) q = - . = - 0.(t0 - tm). . = .(tm - t0). . = x x 0 d x  0 4a a (1.139) Bài toán điều kiện biên loại 3: cho biết quy luật toả nhiệt đối lưu tại bề mặt: t -  = [tx= - t(0, )] x x 0 Nhiệt độ vật: t(x, ) x .x 2 .a. x . a erfc exp . erfc (1.140) 2 t x t 0 2 a   2 a  Erfc được gọi là Hàm sai số bù, được định nghĩa là: erfc = 1- erf  2 2 x Hàm sai số Gauss: erf  = e u du ; với  = 0 2 a - 54 -
Thí dụ 0 Nền đất ban đầu có nhiệt độ đồng nhất t0 = 20 C bỗng gặp thời tiết lạnh, nhiệt độ làm bề mặt giảm xuống tới - 150C. Xác định độ sâu tối thiểu để nước có trong nền đất bị đóng băng qua 60 ngày. Đất có: = 2050 kg/m3,  = 0,52 W/m0C, c = 1840 J/kg.0C, a = /(c ) = 0,138.10-6 m2/s. Giải: 0 0 Theo đầu bài có: t0 = 20 C, tm = - 15 C, nước trong đất đóng băng khi đất có nhiệt độ t(x, ) = 00C,  = 60 ngày = 60 24 3600s = 5,184.106 s, áp dụng (1.90) sẽ có: t(x,) x 0 ( 15) x erf.( ) 0,429 erf( ) (t 0 t m ) 2 a. 20 ( 15) 2. a. x Tra bảng giá trị hàm erf = 0,429  = 0,40 = ( ) . 2. a Độ sâu tối thiểu nền đất có nhiệt độ 00C sau 60 ngày là: x = 0,40 2 a = 0,8 0,138 10 6 5,184 106 = 0,68 m $1.15. DẪN NHIỆT CỦA VẬT DÀY VÔ HẠN CÓ NHIỆT ĐỘ BỀ MẶT THAY ĐỔI TUẦN HOÀN Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đổi theo hàm tuần hoàn, quá trình truyền nhiệt trong vật là tựa ổn định được biểu thị bởi phương trình vi phân - 55 -
T  2T a (1.141)  x 2 Điều kiện biên giới : Tw Tw Tw cos  (1.142) với Tw là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, Tw là biên độ dao động của nhiệt độ tại bề mặt 2  là tần số dao động;  , 0 là chu kỳ dao động  0 Để giải (1.147) với điều kiện (1.148), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị trung bình Tw như sau: T x, Tw T x, (1.143) Trong đó T(x,) được coi là tích của hai hàm có biến độc lập: T (x,) = (x). () (1.144) Với () = exp(-j). Sau khi thay (1.144) vào (1.143), lấy đạo hàm nhiệt độ theo thời gian  và theo toạ độ x, rồi thay vào (1.141) sẽ dẫn tới phương trình thuần nhất cấp hai  2 j  x 0 (1.145) x 2 a Giải ra nhiệt độ 1  1  T x, T T exp x cos x  (1.146) w w 2 a 2 a là một hàm dao động chu kỳ có biên độ giảm dần theo tọa độ x. - 56 -
Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN DẪN NHIỆT A. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN $2.1. BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU 1. Phương trình sai phân hữu hạn Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều có dạng :  2T  2T 0 (1.147) x 2 y 2 Xây dựng phương trình sai phân hữu hạn (SPHH) như sau : Chia vật thể bởi một mạng các đường vuông góc có bước mạng x, y, ứng với hai chiều x,y. Khi đó tại điểm nút i,j các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nhiệt độ viết dạng sai phân như sau (hình 2.1) : T T T T i, j i 1, j x x x Hình 2.1.Mạng các điểm nút T T T T i, j i, j 1 y y y  2T ( T ) (T T ) (T T ) i 1 j i, j i, j i 1, j (2.1) x 2 ( x) 2 ( x) 2  2T ( T ) (T T ) (T T ) i , j 1 i , j i , j i, j 1 (2.2) y 2 ( y) 2 ( y) 2 Thay (1.154) và (1.155) vào phương trình vi phân (1.153) sẽ được : (T T ) (T T ) (T T ) (T T ) i 1 j i, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j i, j 1 0 (2.3) ( x)2 ( y)2 - 57 -
(2.3) là phương trình SPHH dẫn nhiệt viết cho điểm nút (i,j) 2. Xây dựng hệ phương trình bậc nhất Để giải (2.4) , có thể chọn x = y. Khi đó sẽ được : 1 T (T T T T ) (2.4) i, j 4 i 1, j i 1, j i, j 1 i, j 1 Vậy nhiệt độ tại điểm nút bằng trung bình cộng của bốn điểm nút xung quanh . Từ (1.157) viết lần lượt cho các điểm, rồi chuyển các nhiệt độ đã biết sang vế phải, các nhiệt độ chưa biết sang vế trái, sắp xếp lại sẽ được n phương trình cho n điểm nút chưa biết nhiệt độ bên trong vật, tạo thành hệ phương trình bậc nhất : a11T1 a12T2 a1nTn C1 a T a T a T C 21 1 22 2 21 n 2 (2.5) an1T1 an2T2 annTn Cn Từ đó có thể giải ra các nhiệt độ cần tìm bằng các phương pháp: Gauss, Gauss Seidel, Gauss Jordan, Ma trận nghịch đảo $2.2. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH MỘT CHIỀU Phương trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định 1 chiều : T  2T a (2.6)  x 2 1. Các điểm bên trong vật Gọi p là thời điểm trước, (p+1) là thời điểm sau. Phương trình (2.6) được sai phân hoá như sau : T T T p 1 T p i i (2.7)    Vế phải của (2.7) viết cho thời điểm sau (p+1) :  2T ( T) (T p 1 T p 1 ) (T p 1 T p 1 ) i 1 i i i 1 (2.8) x 2 ( x)2 ( x)2 - 58 -
thay (2.7) và (2.8) vào (2.6): T p 1 T p (T p 1 T p 1 ) (T p 1 T p 1) i i a i 1 i i i 1 (2.9)  ( x) 2 (2.9) là phương trình SPHH dẫn nhiệt không ổn định 1 chiều, để giải (2.9) cần biến đổi: a.  (T p 1 2T p 1 T p 1 ) T p 1 T p (2.10) ( x) 2 i 1 i i 1 i i a.  Đặt Fo sẽ được ( x)2 p 1 p p 1 p 1 p 1 Ti Ti Fo.(Ti 1 2Ti Ti 1 ) (2.11) vậy : p 1 p 1 p 1 p -FoTi 1 (1 2Fo)Ti Fo.Ti 1 Ti (2.12) Phương trình (2.12) biểu thị các nhiệt độ tại thời điểm sau theo nhiệt độ tại thời điểm trước. 2. Các điểm trên biên Các điểm trên biên có i = 1. Phân tố bề mặt vật có bề dày x/2, diện tích y. z = 1m 1m, nhận nhiệt từ môi trường và nhiệt từ phân tố liền kề phía trong (i = 2) - Dòng toả nhiệt từ môi trường bên ngoài tới sau thời gian  : p 1 p 1 qh h TK T1  (2.13) - Dòng nhiệt dẫn từ phân tố bên trong tới sau thời gian : k q (T p 1 T p 1)  (2.14) k x 2 1 Độ tăng nội năng dU phân tố sau thời gian  : x dU c . V (T p 1 T p ) c (T p 1 T p ) (2.15) 1 1 2 1 1 Độ tăng nội năng dU bằng tổng hai dòng nhiệt trên : k x h T p 1 T p 1  (T p 1 T p 1)  c (T p 1 T p ) (2.16) K 1 x 2 1 2 1 1 - 59 -
k h x  k  2 T p 1 T p 1 2 (T p 1 T p 1) T p 1 T p (2.17) c k ( x)2 K 1 c ( x)2 2 1 1 1 a.  h. x k Đặt Fo = , Bi , a ; Fo là tiêu chuẩn Phuriê, Bi là tiêu chuẩn Biô, a là hệ ( x)2 k c số khuyếch tán nhiệt độ sẽ được : p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 2Bi.Fo TK T1 2Fo(T2 T1 ) T1 T1 Chuyển nhiệt độ tại p đã biết và các đại lượng đã biết sang vế phải, nhiệt độ chưa biết tại (p+1) sang vế trái p 1 p 1 p 1 p 2Bi.Fo 2Fo 1 .T1 2Fo.T2 2Bi.Fo.TK T1 (2.18) (2.18) là phương trình dạng hàm ẩn đối với nhiệt độ cần tìm các điểm ở thời điểm sau theo nhiệt độ thời điểm trước và nhiệt độ môi trường. Từ đó có thể thành lập hệ phương trình tuyến tính các nhiệt độ cần tìm sau : a11T1 a12T2 a1nTn C1 a T a T a T C 21 1 22 2 21 n 2 (2.19) an1T1 an2T2 annTn Cn trong đó: aij là các hệ số của nhiệt độ phải tìm, P 1 Ti là nhiệt độ cần tìm ở thời điểm (p+1), viết gọn của Ti Ci là các hệ số chính là nhiệt độ đã biết ở thời điểm trước Hệ trên viết dạng ma trận như sau : aij  Ti  Ci  (2.20) trong đó: aij  là ma trận vuông gồm các hệ số của nhiệt độ phải tìm, Ti  là ma trận cột gồm nhiệt độ cần tìm ở thời điểm (p+1) Ci  là ma trận cột gồm các hệ số chính là nhiệt độ đã biết ở thời điểm trước Từ đó giải ra các nhiệt độ cần tìm tại thời điểm (p+1): 1 Ti  aij  Ci  (2.21) - 60 -
1 aij  là ma trận nghịch đảo của [aii], Sau khi giải ra các nhiệt độ tại thời điểm nào đó, thì các nhiệt độ đã biết này trở thành hệ số [Ci] trong phương trình (2.21) để tính các nhiệt độ ở thời điểm tiếp theo $2.3. BÀI TOÁN DẪN NHIỆT KHÔNG ỔN ĐỊNH HAI CHIỀU Bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều, với điều kiện biên hỗn hợp loại 2 và loại 3 được mô tả bởi - Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều: T  2T  2T a. 2T a (2.22) 2 2  x y - Điều kiên biên loại 2 : với một biên giả sử là chữ nhật có x = 0  a; y = 0  b qx = 0 = q1() ; qx = a = q2() (2.23) qy = 0 = q3() ; qy = b = q4() - Điều kiện biên loại 3 : T h T h 1 T ; 2 T x x 0 k x x a k T h T h 3 T ; 4 T (2.24) x y 0 k x y b k Đối với các hình phức tạp không thể giải bằng phương pháp giải tích, nên phải dùng phương pháp số . Một trong các phương pháp số là PP SPHH được xây dựng như sau : Chia vật thể bởi một mạng các đường vuông góc có bước mạng x , y, ứng với hai chiều x,y. Khi đó tại điểm nút i,j các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nhiệt độ viết dạng sai phân như sau ( hình 2.2) : 1. Các điểm bên trong vật Hình 2.2. Mạng các điểm nút Tại nút i, j , ở mỗi thời điểm các số hạng có thể viết - 61 -
 2T ( T ) (T T ) (T T ) T 2.T T i 1 j i, j i, j i 1, j i 1, j i, j i 1, j (2.25) x 2 ( x) 2 ( x) 2 ( x) 2  2T ( T ) (T T ) (T T ) T 2.T T i, j 1 i, j i, j i, j 1 i, j 1 i, j i, j 1 (2.26) y 2 ( y) 2 ( y) 2 ( y) 2 Riêng đạo hàm theo thời gian luôn có T T T p 1 T p i, j i, j (2.27)    Viết (2.25), (2.26) ở thời điểm p rồi cùng với (2.27) thay vào phương trình vi phân (2.22) sẽ được : T p 1 T p k T p 2.T p T p T p 2.T p T p i, j i, j i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 (2.28) 2 2  c. ( x) ( y) Viết (2.25), (2.26) ở thời điểm (p+1) rồi cùng với (2.27) thay vào phương trình vi phân (2.22) sẽ được : T p 1 T p k T p 1 2.T p 1 T p 1 T p 1 2.T p 1 T p 1 i, j i, j i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 (2.29) 2 2  c. ( x) ( y) (2.28) và (2.29) sẽ dẫn tới các hệ phương trình nhiệt độ tại các điểm nút bên trong vật, giải theo phương pháp khác nhau. - Từ (2.28) sẽ có: T p 2.T p T p T p 2.T p T p k T p 1 i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 .  T p (2.30) i, j 2 2 i, j ( x) ( y) c. (2.30) là dạng hàm tường vì vế trái chưá một nhiệt độ tại điểm i,j ở thời điểm (p+1), phải giải bằng phương pháp tính thế dần. - Từ (2.29) sẽ có: t p 1 2.t p 1 t p 1 t p 1 2.t p 1 t p 1 k i 1, j i, j i 1, j i, j 1 i, j i, j 1 . .  t p 1 t p (2.31) 2 2 i, j i, j ( x) ( y) c. (2.31) là dạng hàm ẩn vì chưá nhiệt độ các điểm ở thời điểm (p+1). (2.31) tạo thành hệ n phương trình bậc nhất, giải bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, có thể chọn bước thời gian  tuỳ ý. - 62 -
Từ (2.30) và (2.31) có thể tìm được nhiệt độ tại các điểm bên trong vật. b. Các điểm trên biên Các điểm trên biên phải áp dụng phương pháp cân bằng năng lượng trên phân tố thể tích . Tại bề mặt điều kiên loại 2 được quy về điều kiện loại 3 tại thời điểm p như sau : - Điều kiên loại 2 : P P Dòng bức xạ là q R ( ) .I , với  là hệ số hấp thụ của vật, I là năng suất bức xạ chiếu tới - Điều kiên loại 3 : P P Dòng đối lưu từ không khí là qK ( ) h(TK Tm ) - Dòng nhiệt tổng : .I P P P P P P P P q ( ) h(TK Tm ) .I h TK Tm h(TK Tm ) (2.32) h trong đó : P P TK ,Tm là nhiệt độ không khí và nhiệt độ bề mặt của kết cấu h ,  là hệ số toả nhiệt và hệ số hấp thụ của bề mặt .I P là nhiệt độ quy đổi của bức xạ h .I P T P T P là nhiệt độ tương đương của không khí có kể đến bức xạ K K h Theo nguyên lý bảo toàn năng lượng thì tại phần tử thuộc nút (i,j) tổng các dòng nhiệt nhận dẫn đến phần tử từ xung quanh sau thời gian  bằng độ tăng nội năng của phần tử . Bởi vậy phương trình cân bằng năng lượng viết cho các phần tử (được giới hạn bởi đường nét đứt trong hình) như sau : Hình 2.3 a Hình 2.3 b Hình 2.3 c Hình 2.3 d. + Các phần tử bên trong mặt cắt , hình 2.3 a : Phần tử (i,j) rộng x , cao x, dài 1m : p 1 p 1 k p 1 p 1 k p 1 p 1 k p 1 p 1 k Ti 1, j Ti, j y T1 1, j Ti, j y Ti, j 1 Ti, j x Ti, j 1 Ti, j x  x x y y p 1 p c . x. y Ti, j Ti, j (2.33) - 63 -
+ Tại biên giới tiết diện, phần tử rộng x, cao y/2, hình 2.3b, có bức xạ và đối lưu tại mặt trên: p 1 p 1 k y p 1 p 1 k y p 1 p 1 k p 1 p 1 Ti 1, j Ti, j Ti 1, j Ti, j Ti, j 1 Ti, j x h TK Ti, j x  x 2 x 2 y y p 1 p c . x T T (2.34) 2 i, j i, j + Các phần tử tại góc lồi, hình 2.3c : phần tử rộng x/2, cao y/2, có bức xạ, đối lưu tại 2 mặt lồi ngoài : p 1 p 1 k y p 1 p 1 y p 1 p 1 k x p 1 p 1 x Ti 1, j Ti, j h TK Ti, j Ti, j 1 Ti, j h TK Ti, j  x 2 2 y 2 2 x y c . T p 1 T p (2.35) 2 2 i, j i, j + Các phần tử tại góc khuyết trong, hình 2.3d : rộng x, cao y, có đối lưu, bức xạ tại hai mặt khuyết : p 1 p 1 k y p 1 p 1 k p 1 p 1 y Ti 1, j Ti, j . Ti 1, j Ti, j . y h T K Ti, j  x 2 x 2 p 1 p 1 k x p 1 p 1 x p 1 p 1 k 3 p 1 p Ti, j 1 Ti, j . h T K Ti, j Ti, j 1 Ti, j . x  c x y Ti, j Ti, j y 2 2 y 4 (2.36) k  h. x Sau khi lấy x = y , và đặt Fo , Bi , thay vào các phương trình trên sẽ c x 2 k được : Phương trình tại các phần tử thuộc nút bên trong : p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p Fo(Ti 1, j Ti 1, j Ti, j 1 Ti, j 1 ) (1 4)FoTi, j Ti, j (2.37) Phương trình tại các phần tử thuộc nút trên biên : p 1 p 1 p 1 p 1 p p 1 Ti 1, j Ti 1, j 2Ti, j 1 Fo 1 4Fo 2Bi.Fo Ti, j Ti, j 2Bi.Fo.TK (2.38) Phương trình tại các phần tử thuộc nút ở góc lồi : p 1 p 1 p 1 p p 1 2Fo(Ti 1, j Ti, j 1) 4Fo Bi 1 Ti, j Ti, j 4Bi.Fo.TK (2.39) - 64 -
Phương trình tại các phần tử thuộc nút ở góc lõm : 2 p 1 p 1 p 1 p 1 4 p 1 p 4 p 1 Fo(Ti 1, j 2Ti 1, j Ti, j 1 2Ti, j 1 ) 4Fo Bi.Fo 1 Ti, j Ti, j Bi.Fo.TK 3 3 3 (2.40) (2.37), (2.38), (2.39) và (2.40) là các phương trình đặc trưng để tính nhiệt độ tại các nút trong bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều, tuỳ thuộc vị trí nút cụ thể trong hình mặt cắt mà các chỉ số i,j được lấy giá trị tương ứng. Từ đó viết lần lượt cho các nút, lập thành hệ phương trình bậc nhất của nhiệt độ. $2.4. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CỦA NHIỆT ĐỘ Khi gải các bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp gần đúng như sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn thường gặp nhiệt độ viết dạng hàm ẩn được biểu thị bởi hệ phương trình sau a11T1 a12T2 a1nTn C1 a T a T a T C 21 1 22 2 21 n 2 (2.41) an1T1 an2T2 annTn Cn Viết ở dạng ma trận : a11 a12 a13 a1n T1  C1  a21 a22 a23 a21 T2 C2   (2.42) an1 an2 an3 ann Tn  Cn  Khi đó có thể sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính như sau. Các phương pháp giải thông dụng 1. Phương pháp định thức - 65 -
a11 a12 a13 a1n C1 a12 a13 a1n a a a a C a a a D 21 22 23 2n ;D 2 22 23 2n ; 1 an1 an2 an3 ann Cn an2 an3 ann a11 C1 a13 a1n a11 a12 a13 C1 a C a a a a a C D 21 2 23 2n ; ,D 21 22 23 2 ; 2 n an1 Cn an3 ann an1 an2 an3 Cn D D D Nghiệm sẽ là T 1 ;T 2 ; ; T n ; (2.43) 1 D 2 D n D 2. Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss là phương pháp biến ma trận vuông aij thành ma trận “tam giác”. Phép biến đổi ma trận dựa trên nguyên tắc biến đổi hệ phương trình cơ bản quen thuộc sau: 1. Nhân (hay chia) một phương trình với một hằng số thì phương trình đó không đổi 2. Cộng (hay trừ) một phương trình với một phương trình khác trong hệ sẽ được phương trình mới tương đương với tương với phương trình ban đầu Thí dụ 2.1 : Cho hệ phương trình (a1), (b1) Hệ ban đầu: hệ 1 2x + 2y = 4 (a1) x + 4y = 3 (b1) Áp dụng tính chất 1 với (a1): chia (a1) cho 2 được (a2) tương đương (a1). Hệ mới gồm (a2) và (b1) (a1)/2 x + y = 2 (a2) hệ 2  hệ 1 x + 4y = 3 (b1) Áp dụng tính chất 2 với (b1): lấy (b1) trừ đi (a2) được (b2) tương đương với (b1), được hệ mới (a2) (b2) x + y = 2 (a2) hệ 3  hệ 2 (b1)-(a2) 0 + 3y = 1 (b2) Giải ra : (b2) y = 1/3 ; (a2) x = 2 - y = 2 – 1/3 = 5/3. Thử lại : (a1) : 2.(5/3) + 2.(1/3) = 12/3 = 4 (b1): 5/3 + 4.(1/3) = 9/3 = 3 - 66 -
Các bước của phương pháp Gauss Hệ ban đầu 1 1 1 1 a11 a12 a1n T1  C1  1 1 1 1 a a a T2 C 21 22 2n  2  (1) a1 a1 a1 a1 31 32 33 3n 1 1 1 1 1 an1 an2 an3 ann Tn  Cn  a. Làm các số hạng đầu của mỗi hàng thành 1, bằng cách chia từng hàng cho số hạng đầu tiên của mỗi hàng đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 a11 / a11 a12 / a11 a1n / a11 T1  C1 / a11  1 1 1 1 1 1 1 1 a / a a / a a / a T2 C / a 21 21 22 21 2n 21  2 21  a1 / a1 a1 / a1 a1 / a1 a1 / a1 / a1 31 31 32 31 33 31 3n 31 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an1 / an1 an2 / an1 an3 / an1 ann / an1 Tn  Cn / an1  2 2 2 1 a12 a 1n T1  C 1  2 2 2 1 a a T 2 C 22 2 n  2  (2) 1 a 2 a 2 a 2 32 33 3 n 2 2 2 2 1 a n 2 a n 3 a nn T n  C n  b. Từ hàng thứ 2, làm các số hạng đầu của các hàng bằng 0, bằng cách lấy các hàng 2, 3 n trừ đi hàng 1 : 2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  2 2 2 2 2 2 1 1 (a a ) (a a ) T2 (C C ) 22 12 2n 1n  2 1  1 1 (a2 a2 ) (a2 a2 ) (a2 a2 ) 32 12 33 13 3n 1n 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (an2 a12) (an3 a13) (ann a1n) Tn  (Cn C1 ) 2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  3 3 T 3 0 a22 a2n 2 C2   (3) 0 a 3 a 3 a 3 32 33 3n 3 3 3 3 0 an2 an3 ann Tn  Cn  c. Từ hàng 2 trở đi , làm các số hạng thứ 2 của mỗi hàng thành 1, bằng cách chia mỗi hàng cho số hạng thứ 2 của hàng đó (tức lập lại bước 1 với hàng 2 trở đi) - 67 -
2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  3 3 3 3 3 3 0 a / a a / a T2 C / a 22 22 2n 22  2 22  0 a3 / a3 a3 / a3 a3 / a3 32 32 33 32 3n 32 3 3 3 3 3 3 3 3 0 an2 / an2 an3 / an2 ann / an2 Tn  Cn / an2  2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 4 0 1 a a T2 C 23 2n  2  (4) 0 1 a 4 a 4 33 3n 4 4 4 0 1 an3 ann Tn  Cn  d. Làm các số hạng thứ hàng thứ 3 trở đị bằng 0, bằng cách lấy hàng 3, 4 n trừ đi hàng 2 (tức lập lại bước 2 với hàng thứ 3 trở đi) 2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 T 4 0 1 a23 a2n 2 C2   0 1 1 a 4 a 4 a 4 a 4 33 23 3n 2n 4 4 4 4 4 4 0 1 1 an3 a23 ann a2n Tn  Cn C2  2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 4 0 1 a a T2 C 23 2n  2  0 0 a 5 a 5 33 3n 5 5 5 0 0 an3 ann Tn  Cn  (5) e. Lập lại bước 1 đối với hàng 3 trở đi để các số hàng thứ 3 của mỗi hàng trở thành 1 2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 4 0 1 a a T2 C 23 2n  2  0 0 a 5 / a 5 a 5 / a 5 C 4 / a 5 33 33 3n 33 3 33 5 5 5 5 5 5 0 0 an3 / an3 ann / an3 Tn  C n / an3  2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 4 0 1 a a T2 C 23 2n  2  (6) 0 0 1 a 6 C 6 3n 3 6 6 0 0 1 a nn Tn  C n  k g. Tiếp tục như vậy cho đến khi số hạng ann 1, thì sẽ được tam giác sau - 68 -
2 2 2 1 a12 a1n T1  C1  4 4 4 0 1 a a T2 C 23 2n  2  (7) 0 0 1 a 6 T C 6 3n 3 3 k 0 0 0 1 Tn  Cn  k h. Giải ra tính ngược từ dưới lên: hàng dưới cùng : Tn Cn ; 6 6 6 6 hàng chứa T3 có : T3 a3nTn C3 T3 a3nTn C3 ,. 3. Phương pháp Gauss - Jordan Phương pháp Gauss - Jordan là phương pháp biến ma trận [aij ] thành ma trận đơn vị. Giả sử đã có hệ phương trình ban đầu là ma trận tam giác là 1 1 1 1 a12 a13 a1n T1  C1  1 1 1 0 1 a a T2 C2 23 2n   0 0 1 a1 T C 1 3n 3 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  1 a. Lấy hàng 2 làm gốc, nhân hàng 2 với a12 sẽ được: 1 2 2 2 0 a12 a23 a2n T2  C2  Lấy hàng 1 trừ đi hàng vừa có ở trên 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 a12 a12 a13 a23 a1n a2n T1  C1 C2  0 1 a1 a1 T C 1 23 2n 2 2 1  1  0 0 1 a T3 C 3n 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  2 2 2 1 0 a13 a1n T1  C1  0 1 a1 a1 T C1 23 2n 2 2 (1) 1  1  0 0 1 a T3 C 3n 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  1 1 2 2 b. Lấy hàng 3 làm gốc, nhân hàng 3 với a23 sẽ được: 0 0 a23 a3n T3  C3 ; Lấy hàng 2 trừ đi hàng vừa có 2 2 2 2 2 2 1 0 a13 a1n T1  C1  1 0 a a T  C  13 1n 1 1 0 1 a1 a1 . a1 a 2 T C1 C 2 2 2 23 23 2n 3n 2 2 3 0 1 0. a2n T2 C2     (2) 1 T 1 1 1 0 0 1 a3n 3 C3 0 0 1 a3n T3 C3 0 0 0 1 T C1 0 0 0 1 T C1 n  n  n  n  - 69 -
c. Tiếp tục như vậy sẽ được 2 2 2 1 0 a13 a1n T1  C1  2 2 0 1 0 a T2 C 2n  2  (3) 0 0 1 0 T C 2 3 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  2 2 d. Để triệt tiêu a13 của hàng 1, lấy hàng 3 làm gốc, nhân hàng 3 với a13 , rồi lấy hàng 1 trừ đi kết quả mới có. 3 3 3 1 0 0 a14 a1n T1  C1  2 2 0 1 0 a T2 C 2n  2  (4) 0 0 1 0 T C 2 3 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  3 3 e. Để triệt tiêu a14 của hàng 1, lấy hàng 4 làm gốc, nhân hàng 4 với a14 rồi lấy hàng 1 trừ đi kết quả mới có. 4 4 1 0 0 0 a1n T1  C1  2 2 2 0 1 0 a a T2 C 24 2n  2  (5) 0 0 1 0 T C 2 3 3 1 0 0 0 1 Tn  Cn  Cứ như vậy đến khi hàng 1 chỉ còn số hạng đầu , các số hạng khác đều bằng 0. Tiếp tục làm với hàng 2, 3, n g. Cuối cùng có ma trận đơn vị như sau, và có ngay các nghiệm cần tìm k k 1 0 0 0 0 T1  C1  T1  C1  k k 0 1 0 0 0 T2 C T2 C  2   2  (6) 0 0 0 1 0 T k T k 3 C3 3 C3 k k 0 0 0 1 Tn  Cn  Tn  Cn  4. Phương pháp Gauss - Seidel Nội dung cơ bản của phương pháp này là cách tính lặp. Phương pháp Gauss- Seidel bao gồm các bước sau. Ban đầu chuyển hệ phương trình nhiệt độ dạng hàm tường cho các nút dạng như sau - 70 -
T1 a21T2 a31T3 an1Tn ;(1) T a T a T a T : (2) 2 12 1 32 3 n2 n Tn a1nT1 a2nT2 an 1.nTn 1;(n) Lần 1: - Bước 1. Trừ một nhiệt độ tại nút 1 (hoặc nút m nào đó định tính trước tiên), tất cả nhiệt độ còn lại cho bằng không, thay vào (1) tính ra T1 - Bước 2. Thay các giá trị T1 mới và T3 = 0, ,Tn = 0 vào (2) tính ra T2 - Bước 3. Thay các giá trị T1 , T2 mới và T4 = 0, ,Tn = 0 vào (3) tính ra T3. - Bước n. Thay các giá trị T1 , T2 , , Tn-1 mới vào (n) tính ra Tn. Như vậy khi tính được một giá trị nhiệt độ mới phải sử dụng ngay trong các phương trình còn lại . Nghĩa là mọi phương trình luôn phải nhận được giá trị mới nhất nếu có, cho đến phương trình cuối cùng. Lần 2: Lặp lại từ đầu - Bước 1. Thay các giá trị T2, T3, , Tn vừa có ở lần 1 vào (1) để tính T1 mới. - Bước 2. Thay các giá trị T3, , Tn của lần 1 đã có và T1 mới vào (2) để tính T2 mới Tiếp tục như lần 1 đến Tn. Quá trình tính được tính lặp lại lần 3 , lần 4 với các giá trị nhiệt độ mới nhất, cho đến khi nào chênh lệch nhiệt độ tại mọi điểm ở hai lần tính sát nhau nhỏ tới mức đủ chấp nhận thì dừng. Thí dụ 2.2 Giải bài toán ổn định hai chiều điều kiện biên loại 1: Một dầm bêtông , tiết diện ngang có hình dạng như hình bên có x= y. Biết nhiệt độ tại các cạnh và góc của tiết diện như trên hình 2.4 . Xác định nhiệt độ tại các điểm bên trong.1,2,3,4,5,6 . Giải : Do x= y , theo (4) các nhiệt trở thành phần của Hình 2.4. Chia mạng tiết mọi phân tố đều bằng nhau là Rịj =1/ , nên sẽ có : diện ngang dầm bêtông 1 T T T T T , i, j 4 i1 i2 i3 i4 Tại các điểm 1,2,3,4,5,6 viết được 6 phương trình nhiệt độ dạng hàm tường sau : T1 = (T2 + 60 + 100 + 50)/ 4 (1) T4 = (T3 +100 + 80 +70 )/ 4 (4) T2 = (T1 + T3 + T5 + 100)/4 (2) T5 = (T2 + T6 + 50 + 40 )/ 4 (5) T3 = (T2 + T4 + T6 + 100)/4 (3) T6 = (T3 + T5 + 70 + 40 )/ 4 (6) Bước 1: Thay T2 = 0; T3 = 0; T4 = 0; T5 = 0; T6 = 0 vào (1) tính được T1 = 52,50 Bước 2: Thay T1 =52,5 (giá trị mới) và T3 = 0; T5 = 0 vào (2) tính được T2 = 38,125 - 71 -
Bước 3: Thay T2 = 38,125 vào (3) tính được T3 = 34.5313 Bước 4: tiếp tục như vậy sẽ tính được T 4, T 5 , T 6 thứ tự như sau : 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 Các lần sau : Kết quả tính lặp sau 8 lần viết theo ma trận hàng T = [T1 T2 T3 T4 T5 T6] như sau (1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 (2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819 (3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405 (4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197 (5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915 (6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088 (7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458 (8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575 Bước 6 : Sai số tuyệt đối 2 lần cuối tương ứng là : 0.0366 0.0462 0.0259 0.0065 0.0208 0.0117 là quá nhỏ nên có thể dừng phép tính lặp . Nếu tính theo phương pháp ma trận nghịch đảo , nhiệt độ các điểm tương ứng sẽ là : 71.8630 77.4380 80.5120 82.6310 57.3340 61.9500 Các bài toán thực tế có số nhiệt độ phải tìm lên tới hàng trăm thì phương pháp Gauss -Seidel tỏ rõ rất ưu thế. 5. Phương pháp Ma trận nghịch đảo Hệ phương trình tuyến tính nhiệt độ dạng ma trận : a11 a12 a13 a1n T1  C1  a21 a22 a23 a21 T2 C2   an1 an2 an3 ann Tn  Cn  Hay ở dạng gọn sau : [aij]. [Ti] = [Ci] Từ đó sẽ rút ra được : - 1 [Ti] = [Ci] [aij] - 1 trong đó [aij] là ma trận nghịch đảo của [aij] có dạng : - 72 -
b11 b12 b13 b1n b a a b a 1 21 22 23 21 ij bn1 bn2 bn3 bnn Các phần tử bịj của ma trận nghịch đảo là phần bù của ma trận chuyển vị của [aịj] . Khi đó nhiệt độ phải tìm sẽ là : T1 = b11C1 + b12C2+ b13C3 + b1nCn T2=b21C1+ b22C2+ b23C3 + b2nCn T3 = b31C1+ b32C2+ b33C3 + b3n Cn Tn = bn1C1 bn2C2+ bn3C3 + bnnCn Ngày nay nhờ công cụ tính toán hiện đại và các phần mềm tiên tiến nên phương pháp ma trận nghịch đảo được giải rất thuận tiện. B. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Giới thiệu khái quát Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ số để xác định nghiệm xấp xỉ đối với một lớp rất rộng các bài toán kỹ thuật. Phương pháp PTHH rất được chú ý trong đào tạo kỹ thuật và công nghệ bởi vì nó là một công cụ phân tích có tính đa dạng và mềm dẻo cao. Phương pháp PTHH bắt đầu được hình thành từ nhu cầu giải các bài toán phân tích kết cấu trong lý thuyết đàn hồi trong kỹ thuật công trình và kỹ thuật hàng không. Những người đầu tiên đưa ra phương pháp này là Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Sau Courant đã có nhiều tác giả sử dụng phương pháp rời rạc hoá như Polya, Hersch,Weinberger tập trung vào nghiên cứu các bài toán giá trị riêng. Từ nửa cuối năm 1950, các tác giả đã phát triển dần hoàn chỉnh phương pháp PTHH. Năm 1959 Greestadt sử dụng nguyên lý biến phân để xác định hàm xấp xỉ trong từng phần tử, và xây dựng các nội dung cơ bản của phương pháp và sau này trở thành lý thuyết toán học của phương pháp PTHH. Các nhà vật lý cũng đã phát triển phương pháp PTHH để áp dụng trong các bài toán vật lý, kỹ thuật như Prager, Synge. Besselinh, Melosh, Fraeijs de Veubeke và Jones đã coi phương pháp PTHH là một dạng của phương pháp Ritz, và là một phương pháp tổng quát nhất để nghiên cứu các bài toán đàn hồi. Họ đã áp dụng cho các bài toán biến phân trong cơ học - 73 -
chất rắn và đã đạt được kết quả khá chính xác. Năm 1965, Zienkiewicz và Cheung đã chứng minh rằng Phương pháp PTHH có thể áp dụng cho tất cả các bài toán của lý thuyết trường, và được công nhận là một phương pháp nội suy rộng. Năm 1973, Fix và Strang đã xây dựng những lý luận toán học chặt chẽ cho phương pháp PTHH, và từ đó nó trở thành một lĩnh vực toán học ứng dụng và được phổ biến và ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, để xây dựng mô hình dạng số cho các hiện tượng vật lý như trường điện từ và động học chất lỏng $2.5. NỘI DUNG CƠ BẢN, TRÌNH TỰ GIẢI BÀI TOÁN NHIỆT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PTHH Việc giải các bài toán liên tục bằng phương pháp PTHH luôn được thực hiện theo một trình tự gồm các bước nối tiếp nhau như sau: Bước 1: Rời rạc hóa bài toán , chọn phần tử hữu hạn Miền nghiệm của bài toán, tức vật thể, được chia thành các phần tử có kích thước nhỏ gọi là các phần tử hữu hạn sao cho không có kẽ hở cũng như sự chồng lên nhau giữa các phần tử để bảo đảm tính liên tục của bài toán. Kết quả tạo nên một mạng các phần tử hữu hạn. Tùy thuộc tính chất của bài toán mà chọn phần tử có hình dạng khác nhau: - Với bài toán một chiều, các phần tử được chọn là các đoạn thẳng. - Với bài toán hai chiều, các phần tử được chọn là các hình phẳng như tam giác, tứ giác, chữ nhật - Với bài toán ba chiều, phần tử được chọn là các hình khối, như khối tứ diện, lập phương, hình hộp, lăng trụ Mỗi loại phần tử có thể chọn là bậc nhất, bậc hai hoặc bậc ba tùy theo nhiệt độ phụ thuộc vào toạ độ là hàm bậc mấy. Đặc biệt là trong một loại bài toán có thể dùng các phần tử có dạng khác nhau. Giữa các phần tử ngăn cách nhau bởi biên giới là các nút, đoạn thẳng, hay bề mặt. Hình 2.5. Các dạng phần tử hữu hạn Tuỳ thuộc loại phần tử mà mỗi phần tử có hai hay nhiều nút. - 74 -