Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động - Vũ Anh Đào

99 trang ngocly 2600

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động - Vũ Anh Đào", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_co_so_dieu_khien_tu_dong_vu_anh_dao.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động - Vũ Anh Đào

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG BÀI GIẢNG MÔN CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Giảng viên: Ths. Vũ Anh Đào Điệnthoại/E-mail: anhdaoptit@gmail.com Bộ môn: Kỹ thuật điệntử Họckỳ/Nămbiênsoạn: 2009 Giới thiệu môn học • Mục đích: Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản để phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển kỹ thuật trong miền thời gian và miền tần số bằng công cụ toán học, tập trung chủ yếu là các vấn đề trong miền liên tục. Môn học thuộc lĩnh vực lý thuyết điều khiển, và là những cơ sở cơ bản nhất của lý thuyết hệ thống điều khiển được ứng dụng cho kỹ thuật. Các phương pháp được đề cập đến để phân tích và tổng hợp hệ thống là phương pháp kinh điển và phương pháp không gian trạng thái. Sinh viên được làm quen với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng và tổng hợp hệ thống • Thời lượng: 3 đvht – Lý thuyết : 37 tiết – Kiểm tra : 2 tiết – Thí nghiệm: 6 tiết • Điểm thành phần: – Chuyên cần : 10% – Kiểm tra : 10% – Thí nghiệm : 10% – Thi kết thúc học phần: 70%
Nội dung môn học PHẦN I. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC Chương 1: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ liên tục Chương 2: Đặc tính của các khâu cơ bản và của hệ thống ĐKTĐ liên tục Chương 3: Khảo sát tính ổn định của hệ thống ĐKTĐ liên tục Chương 4: Khảo sát chất lượng hệ thống ĐKTĐ liên tục Chương 5: Tổng hợp hệ thống ĐKTĐ liên tục PHẦN II. HỆ THỐNG ĐKTĐ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chương 6: Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ rời rạc Chương 7: Phân tích và thiết kế hệ thống ĐKTĐ rời rạc Tài liệu tham khảo [1]. Vũ Anh Đào, Đặng Hoài Bắc, Bài giảng Cơ sở điều khiển tự động, HVCNBCVT, 2008. [2]. Phạm Công Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001 [3]. Nguyễn Văn Hoà, Cơ sở Lý thuyết điều khiển tự động, NXB KHKT, 2001. [4]. Nguyễn Thương Ngô, Lý thuyết Điều khiển tự động thông thường và hiện đại, NXB KHKT, 2005. [5]. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice - Hall International Editions, Seventh Edition 1995.
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.1 Giớithiệu chung • ĐK học là khoa học nghiên cứuvề các quá trình thu thập, xử lý tín hiệuvàđiều khiển trong mọilĩnh vực đờisống xã hội, khoa học công nghệ, môi trường • Điều khiểnhọckỹ thuật là khoa học nghiên cứuvề quá trình thu thập, xử lý tín hiệu và điều khiểncácquátrìnhvàhệ thống thiếtbị kỹ thuật. Khái niệm điều khiển được hiểulàtậphợptấtcả các tác động mang tính tổ chứccủamột quá trình nhằm đạt đượcmục đích mong muốncủa quá trình đó. Hệ thống điều khiển mà không có sự tham gia trựctiếpcủa con người trong quá trình điều khiển đượcgọilàđiềukhiển tựđộng. • Một HTĐKTĐ hở (không có đường phảnhồi) mô tả trong hình 1.1 gồm hai thành phầncơ bảnlàđốitượng điềukhiển (Object) và thiếtbịđiềukhiển (Controller): Tín hiệuvào Thiếtbị Tínhiệu điềukhiển Đốitượng Tín hiệura điều khiển điều khiển Hình 1.1 Hệ thống điềukhiểnhở • Nhiệmvụ cơ bảncủa điều khiểntạo ra tín hiệu điều khiển để có được giá trịđầura mong muốn. Những tác động từ bên ngoài lên hệ thống đượcgọilàtácđộng nhiễu 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.1.1 Sơđồkhối • Hệ thống có đường phảnhồigọilàhệ kín, mô tả trong hình 1.2. f đượcgọi là tín hiệuphảnhồi, e là sai lệch. Trong thựctế, các hệ thống điều khiển đượcsử dụng đềulàcáchệ kín, tức thông tin đầurađược đưa quay trở vềđầuvàođể góp phần tạotatínhiệu điều khiển. Thiếtbị Tín hiệu điềukhiển Đốitượng Tín hiệura u exđiều khiển điều khiển y f Thiếtbị đo Hình 1.2 Hệ thống điềukhiểnkín • Có ba phương thức điều khiểnlàphương thức điều khiển theo chương trình, phương thức bù nhiễuvàphương thức điều khiểntheosailệch (đây là phương pháp điều khiểnphổ biếnnhất) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.1.2 Phân loạihệ thống ĐKTĐ • Theo tính chấtcủa các phầntử, HTĐKTĐ được phân làm 2 loạichínhlàhệ tuyếntínhvàhệ phi tuyến. – Hệ tuyến tính: tấtcả các phầntửđềutuyến tính. – Hệ phi tuyến: có ít nhất1 phầntử có tính phi tuyến. • Dựa vào tính chấttruyềntínhiệu, HTĐKTĐ được phân làm 2 loạilàhệ liên tụcvàhệ rờirạc (các khái niệmliêntụcvàrờirạc ởđây đượchiểutheo biếnthờigian). – Hệ liên tục: thông tin truyền điliêntục ở tấtcả các khâu. – Hệ rờirạc: thông tin truyền đibị gián đoạn ở mộtkhâunàođó • Dựavàolượng thông tin thu thậpban đầuvề ĐTĐK và tính chấtcủa nó, HTLTTT đượcphânralàm2 loạilàhệ thông thường và hệ thích nghi – Hệ thông thường: cấutrúcvàthamsố củathiếtbịđiềukhiển là không đổivới đốitượng điềukhiểncụ thể – Hệ thích nghi: Khi đốitượng điều khiển có thông tin ban đầu không đầy đủ hay quá trình công nghệ có yêu cầu đặcbiệt 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.2 Các phương pháp mô tảđộng học 1.2.1 Mô tả trong miềnthờigian • Hàm truyền đạt: : là tỉ số giữa tín hiệuravàtínhiệu vào theo biến đổi Laplace với điềukiện đầutriệttiêu – Một HTĐKTĐ thường đượcbiểudiễndướidạng PTVP dạng tổng quát: L{y ()t } Wp()= Lut{}() Biến đổi Laplace 2 vế, ta có hàm truyền đạt: dynn d−−11 y dy du mm d y du aa01++++=++++ aaybbnn−− 1 01 b mm 1 bu dtnn dt−−11dt dt mm dt dt Và phương trình đặctrưng: nn−1 ap01++++= ap ann− 1 p a 0 – Nghiệmtử số củahàmtruyền đạt đượcgọilàcácđiểm không (zero) và nghiệmmẫu sốđượcgọilàcácđiểmcực (pole) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Hệ phương trình không gian trạng thái ⎧xAxBu =+ ⎨ ⎩yCxDu=+ ⎡⎤⎡⎤aa11 12 a 1nr bb 11 12 b 1 ⎡⎤⎡⎤cc11 12 c 1nr dd 11 12 d 1 ⎢⎥⎢⎥aa a bb b ⎢⎥⎢⎥cc c dd d AB==⎢⎥⎢⎥21 22 2nr, 21 22 2 CD==⎢⎥⎢⎥21 22 2nr, 21 22 2 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦aann12 a nn bb nn 12 b nr ⎣⎦⎣⎦ccm12 m c mn dd m 1 m 2 d mr x, dx/dt là các vector các biếntrạng thái n chiều, u là vector tín hiệuvàor chiều, y là vector tín hiệuram chiều D + Hình 1.3 Sơđồcấutrúc ut x (t) t xt( ) yt( ) ( ) + ()dτ trạng thái hệ liên tục B ∫o C + + A 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Chuyểntừ hàm truyền đạt sang hệ phương trình trạng thái: – Nếuhệ thống có hàm truyền đạtdạng: Yp() K Wp== () nn−1 Up() pAp++++11 ApAnn− – Đặt: Ta có hệ PTTT: ⎧xAxBu =+ ⎨ ⎩yCxDu=+ ⎧yx= 1 ⎪ dx ⎡⎤⎡xx 0 1 0 ⎤⎡⎤⎡⎤0 ⎪ 1 =−xAx 11 211 ⎢⎥⎢xx 0 0 0 ⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎪ dt ⎢⎥⎢22 ⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ =+u dx2 ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪ =−xAx321 ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ dt xAA −− − AxK ⎨ ⎣⎦⎣nnn−11 ⎦⎣⎦ n⎣⎦ ⎪ ⎡⎤x1 ⎪dx ⎢⎥ ⎪ n−1 =−xAx x dt nn−11 yt()= []10 0⎢⎥2 ⎪ ⎢⎥ ⎪dxn ⎢⎥ =−Ku A x x ⎩⎪ dt n 1 ⎣⎦n 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Trên cơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệ thống (hình 1.5) và sơđồcấutrúctrạng thái củahệ thống (hình 1.6) ⎧yx= 1 u y yn−1 y yy= ⎪ yn 1 n 1 2 1 y2 y1 1 1 dx1 k0 ⎪ =−xAx p p p p ⎪ dt 211 ⎪dx ⎪ 2 =−xAx An An−1 A2 A1 ⎪ dt 321 ⎨ ⎪ ⎪dx Hình 1.5 Mô hình hệ thống ⎪ n−1 =−xAx dt nn−11 + ⎪ ut() y y + yt( ) B t C ⎪dxn ()dτ =−Ku A x ∫0 ⎩⎪ dt n 1 + ⎧xAxBu =+ A ⎨ ⎩yCxDu=+ Hình 1.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ – Nếuhệ thống có hàm truyền đạtdạng: Yp() Bpmm++++ Bp−1 B p B Wp==01mm− 1 () nn−1 Up() pAp++++11 ApAnn− – Đặt: Ta có hệ PTTT: ⎧xAxBu =+ ⎨ ⎧yx= 1 ⎩yCxDu=+ ⎪dx ⎪ 1 =−xAxBu + ⎡⎤⎡xA − 1 0 ⎤⎡⎤⎡ xB ⎤ ⎪ dt 2110 11 10 ⎢⎥⎢xA − 0 0 ⎥⎢⎥⎢ xB ⎥ ⎪dx ⎢⎥⎢22 ⎥⎢⎥⎢ 21 ⎥ ⎪ 2 =−xAxBu + =+u ⎪ 3211 ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥ dt ⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢ ⎥ ⎨ xA − 0 0 xB ⎪ ⎣⎦⎣nn ⎦⎣⎦⎣ nm ⎦ ⎪ dxn−1 ⎡⎤x ⎪ =−xAxBunn−−11 + m 1 1 dt ⎢⎥x ⎪ ⎢⎥2 ⎪dx yt()= []10 0 n =−Bu Ax ⎢⎥ ⎩⎪ dt mn1 ⎢⎥ ⎣⎦xn 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Chú ý: Hệ luôn phảithoả mãn điềukiện n-m=1 bằng cách thêm vào tử số các hệ số B0=0, B1=0 Trêncơ sở các phương trình trên, ta dễ dàng xây dựng mô hình hệ thống (hình 1.7) và sơđồcấutrúctrạng thái củahệ thống (hình 1.8) B B B ⎧yx= 1 m−1 1 0 ⎪ dx1 ⎪ =−xAxBu + y 2110 n 1 yn yn−1 1 y2 1 y1 1 y = y1 ⎪ dt Bm ⎪dx u p p p p ⎪ 2 =−xAxBu + ⎪ dt 3211 ⎨ An An−1 A2 A1 ⎪ ⎪dxn−1 ⎪ =−xAxBunn−−11 + m 1 Hình 1.7. Mô hình hệ thống ⎪ dt + ut( ) y y + yt( ) ⎪dxn B t C =−Bumn Ax1 ()dτ ⎪ ∫0 ⎩ dt + ⎧xAxBu =+ A ⎨ ⎩yCxDu=+ Hình 1.8. Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.2.2 Mô tả hệ thống trong miềntầnsố • Để xác định các đặc tính tầnsố củahệ thống, trướchếttaphảixácđịnh đượchàm truyền đạttầnsố bằng cách thaypj= ω vào hàm truyền đạtcủahệ thống đãcho U Y U Y Wph () Wph ( ) (a) (b) Hình 1.9 Sơ đồ hệ thống hở (a) và hệ thống kín (b) 1.2.2.1 Các đặc tính tầnsố củahệ hở Giả sử hệ thống hởđượcmôtả bởihàmtruyền đạt: Wphn( ) = WpWpWp12( ).( ) ( ) Nếuhàmtruyềntầnsố củacácphầntửđượcmôtả dướidạng: jϕi (ω) Wjii()ωω= A (). e thì hàm truyềntầnsố củahệ hởđượctínhtheobiểuthức: n n j∑ϕi ()ω i=1 Wjhi()ωω= ∏ A (). e 12/31/2009i=1 Vũ Anh Đào - PTIT 14
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Các đặc tính tầnsố củahệ hở là: – Đặc tính biên tần(BT): n AA()ω = ∏ i ()ω i=1 – Đặc tính pha tần (hay pha tần logarithm – PT- PTL) n ϕ ()ωϕω= ∑ i () i=1 – Đặc tính biên tần logarithm (BTL) nn LA()ω ==20lg ()ωωω∑∑ 20lg ALii () = () ii==11 – Như vậy, đặc tính BTL và PTL củahệ hở bằng tổng đạisố củacácđặctính BTL và PTL của các phầntử thành phần. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.2.2.2 Các đặc tính tầnsố củahệ kín • Hàm truyền đạttầnsố củahệ kín là: Ae()ωωjϕω( ) A() Wjk ()ω == 1++Ae()ω jjϕω() e− ϕω() A()ω • Sử dụng công thứcEurler: ej− jϕω( ) =−cosϕ ()ωϕω sin () ta được: A(ω) Wj()ω = k Aj()ω +−cosϕω () sin ϕω () • Tách phầnthựcvàphần ảo, ta có: AA()ωω⎣⎦⎡⎤( ) + cos ϕω( ) A(ωϕω)()sin Wjk ()ω =+ j 12cos12cos++AAAA22()ω ϕω ()() ω ++() ω ϕω ()() ω 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Các đặc tính tầnsố củahệ hở là: – Đặc tính biên tần(BT): A(ω) Ak ()ω = 12cos++AA2 ()ω ϕω ()() ω – Đặc tính PT sinϕω() ϕω()= arctg k A()ω + cosϕω () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.3 Các nguyên tắcbiến đổisơđồkhối 1.3.1 Hệ thống gồmcácphầntử mắcnốitiếp • Các phầntử mắcnốitiếpnhaunếu tín hiệuracủaphầntử trướclàtínhiệuvàocủa phầntử sau (hình 1.10) U U1 U2 Y U Y W1 W2 Wn WW12 Wn Hình 1.10 Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp • Từ hình 1.10 ta có: WUUWUUW11==,, 2 21nn = YU− 1 • Vậyhàmtruyền đạtcủahệ thống: Y Wp()== WWW. U 12 n 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.3.2 Hệ thống gồmcácphầntử mắcsong song • Các phầntử mắc song song nếu chúng có cùng tín hiệu vào, tín hiệurabằng tổng đạisố củacáctínhiệurathànhphần(hình 1.11). • Từ hình 1.11, ta có: UU1 = W1 Y YWU11= 1 UU= Y Y U Y YWU22= , 2 W 2 U 2 WW12+ ++ Wn YWUnn= Yn YYY=+++ Y UUn = 12 n Wn • Hàm truyền đạt: Hình 1.11. Sơ đồ hệ thống gồm các phần tử mắc song song Y Wp()==+ W W ++ W U 12 n 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.3.3 Hệ thống gồmcácphầntử mắcphảnhồi(hồitiếp) • Hệ thống có mạch mắcphảnhồigồmhailoạilàphảnhồiâmvàphảnhồidương (hình 1.12). U E Y U E Y W1 W1 F F + W2 W2 (a) (b) Hình 1.12 Sơ đồ hệ thống có mạch phản hồi âm (a) và dương (b) – Hệ phảnhồi âm (hình 1.12a) Hệ phảnhồidương (hình 1.12b): ⎧E =−UF ⎧E =+UF ⎪ Y W1 ⎪ Y W ⎨YWE=⇒1 Wp()== YWE= ⇒ 1 UWW1+ ⎨ 1 Wp()== ⎪FWY= 12 ⎪ UWW1− 12 ⎩ 2 ⎩FWY= 2 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.3.4 Chuyển đổivị trí các tín hiệu 1.3.4.1 Chuyển đổi tín hiệuvào • Từ trướcrasaumộtkhối (hình 1.13): – Từ hình 1.13 (a): U W 1 U1 Y YUUW=+() Y 12 U2 W U 2 W – Từ hình 1.13 (b): (a) (b) YUWUWU=+12 =+() 12 UW Hình 1.13 Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối – Vậy tín hiệuchuyểntừ trướcrasaumộtkhối thì tín hiệu đóphải điqua một khốimớicóhàmtruyền đạtchínhbằng khối đó. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Từ sau ra trướcmộtkhối (hình 1.14): – Từ hình 1.14 (a): U1 U 1 W YU=+12 UW 1 Y Y U W W – Từ hình 1.14 (b): 2 U2 (a) (b) YU=+( 12.1() WUW) Hình 1.14 Chuyển tín hiệu vào từ sau ra trước một khối =+UUW12 – Vậy tín hiệuchuyểntừ sauratrướcmộtkhối thì tín hiệu đóphải điqua một khốimớicóhàmtruyền đạtchínhbằng nghịch đảocủakhối đó. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.3.4.1 Chuyển đổitínhiệura • Từ trướcrasaumộtkhối (hình 1.15): – Từ hình 1.15 (a): Y1 Y1 1 W U U Y ⎧YU1 = W 2 ⎨ Y2 W ⎩YUW2 = – Từ hình 1.15 (b): (a) (b) Hình 1.15 Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối ⎪⎧YUWW1 ==()1 U ⎨ ⎩⎪YUW2 = – Vậymuốnchuyển tín hiệuratừ trướcrasaumộtkhối thì tín hiệu đóphải đi qua mộtkhốimớicóhàmtruyền đạtchínhbằng nghịch đảocủakhối đó 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Từ sau ra trướcmộtkhối (hình 1.16): Y1 – Từ hình 1.16 (a): Y1 W ⎧YUW1 = ⎨ U U Y2 W Y2 W ⎩YUW2 = – Từ hình 1.16 (b): (a) (b) ⎧YUW1 = ⎨ Hình 1.16 Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối ⎩YUW2 = – Vậymuốnchuyển tín hiệuratừ sauratrướcmộtkhối thì tín hiệu đóphải đi qua mộtkhốimớicóhàmtruyền đạtchínhbằng chính khối đó 1.3.4.3 Các bộ cộng liền nhau có thểđổichỗ cho nhau (hình 1.17) Y Y U1 U1 U2 U3 Hình 1.17 U3 U2 (a) (b) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Ví dụ 1.1. Xác định hàm truyền đạtcủahệ thống có sơđồnhư hình 1.18: – Cách 1: ChuyểnA về B (chuyển tín hiệuratừ sau ra trướckhối W3), sau đó hoán đổivị trí củaA vàB. – Cách 2: ChuyểnB về A (chuyển tín hiệuratừ trướcrasaukhối W3), sau đó hoán đổivị trí củaA vàB. W6 + + B Y U W W W W 1 2 3 A 4 W5 Hình 1.18 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Theo cách 1, hệ thống tương đương hình 1.19. W W = 2 236 W6 W3 1 −WWW236 • Từ hình 1.20: + U + B Y W1 W2 W3 W4 WW1236. A’ W12356 = 1.+WWW5. 1 236 W5 • Hàm truyền đạthở: WW= WW h 12356 3 4 Hình 1.19 U B Y • Hàm truyền đạtkín: W1 W236 W3 W4 Wh Wk = 1+Wh W5 WWW = 12356 3 4 1 +WWW12356 3 4 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTITHình 1.20 26
Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ 1.4 Graph tín hiệu • Ở các nhánh củaGraph đánh dấumũitênvàhàmtruyềntương ứng. Ở các nút củaGraph đánh dấumối liên hệ giữacácphầntử. • Graph đượcdùngđể xác định hàm truyền đạtcủahệ thống điều khiểntựđộng vớicácđặc điểmsau: – Graph là đồ hình gồm các nhánh và các nút. – Mỗimộtnútcủa graph đượcbiểudiễnbằng một điểm và ghi tên một đại lượng nào đó. Nút gốclàlượng vào, nút ngọnlàlượng ra. – Một nhánh nốinútgốcvànútngọncómũi tên, trên đó ghi giá trị hàm truyền đạttương ứng vớimộtkhâunàođó (hình 1.21). Hàm truyền đạtcủa một nhánh bằng tỉ số giữagiátrị nút ngọnvàgiátrị nút gốc: y a i ij y j ayyij= j i Hình 1.21 Các biểu hiện nhánh và nút của Graph 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 1. Mô tả toán họchệ thống ĐKTĐ • Các tính chất quan trọng của Graph tín hiệu: – Graph tín hiệuchỉ sử dụng cho các hệ thống tuyến tính. – Các phương trình dùng để vẽ Graph phải là các phương trình đạisố. – Các nút đượcdùngđể biểuthị các biến. Thông thường các nút đượcsắpxếptừ trái qua phải, từđầuvàođến đầura. – Trong nhánh, các tín hiệuchỉđitheohướng mũitên. – Nhánh hướng từ nút đếnbiểudiễnsự phụ thuộccủavàochứ không có chiều ngượclại. – Tín hiệu đi qua nhánh từđếnsẽđược nhân vớihệ số khuếch đạicủa nhánh, . • Ví dụ 1.2. Dùng Graph biểudiễnhệ phương trình sau: ⎧yayay2121323=+ ⎪ ⎪yayay3232434=+ ⎨ ⎪y4=++a 242y a 343y a 444y ⎪ ⎩yayay5252454=+ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28
a32 a12 y1 y2 y3 y4 y5 a. yayay2121323=+ a32 a43 a12 a23 y1 y2 y3 y4 y5 yayay=+ b. 2121323 a44 yayay3232434=+ a32 a43 a12 a23 a34 y1 y2 y3 y4 y5 a24 yayay2121323=+ c. yayay3232434=+ yayayay4=++ 242 343 444 a44 a32 a43 a12 a23 a34 a45 y1 y2 y3 y4 y5 a24 a25 yayay2121323= + yayay=+ d. 3232434 yayayay4242343444=++ 12/31/2009yayay5252454=+ Vũ Anh Đào - PTIT 29 ìCáớ â Gíiệ í Chương 1. Mô tả toán học hệ thống ĐKTĐ a2 a1 y1 y2 aa123+ + a a3 Hình 1.23. Graph của nhánh mắc song song y1 y y y 2 3 4 y1 y4 a a2 a3 1 aa123 a Hình 1.24 Graph của nhánh mắc nối tiếp y y a1 1 2 y1 y2 a 1 1+ aa12 −a2 Hình 1.25. Graph của nhánh mắc phản hồi 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.1 Giớithiệu chung • Có hai loại tín hiệu bên ngoài tác động và hệ thống, đó là tín hiệu đặttrướcvà nhiễu. Trong các HTĐK, tín hiệu đặttrướcthường là mộthằng số. • Nhiễusẽ làm cho đầuracủahệ thống bị lệch khỏi giá trị mong muốn. Nó có thể là những độtbiếntăng (đường 1) hay giảm(đường 2), có thể theo một đường nhất định (tiền định) (đường 3) hay ngẫu nhiên (đường 4 – hình 2.1). • Dựavàomiềnlàmviệccủa tín hiệu thì HTĐKTĐ có hai đặc tính cơ bảnlàđặctính thờigianvàđặc tính tầnsố. Dựavàođặc tính củahệ thống thì ta có đặctínhđộng (đặctrưng cho quá trình quá độ ) và đặc tính tĩnh (đặctrưng cho quá trình xác lập). x(t) 3 1 2 4 t Hình 2.1 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.2 Đặctínhthờigiancủahệ thống • Khi phân tích mộtHT, tathường dùng tín hiệuchuẩn làm tín hiệu vào, đặc tính của hệ thống được đánh giá bằng cách nghiên cứu đáp ứng củahệ thống trong miềnthời gian. Việc đánh giá cuối cùng các đặctínhcủa HTĐK là dựa vào các đáp ứng thời gian. • Đáp ứng thờigianthường được chia thành hai phầnlàđáp ứng ở trạng thái quá độ và đáp ứng ở trạng thái xác lập. Ký hiệu y(t) là đáp ứng củamộthệ thống liên tục thì ta có thể viết: y(t) =+yqd(t) y xl (t) trong đó yqd(t) là đáp ứng ở trạng thái quá độ và yxl(t) là đáp ứng ở trạng thái xác lập. • Đáp ứng quá độ là phần đáp ứng thờigianmànótiếntới0 saumộtkhoảng thời gian rấtlớn: limytqd ( ) = 0 t→∞ • Đáp ứng xác lậplàphần đáp ứng thời gian sau khi quá trình quá độ kết thúc. Đáp ứng xác lậpvẫncóthể thay đổi trong những trường hợpcốđịnh, ví dụ như khi đầu vào là sóng sin, hàm dốctăng theo thời gian. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Để đơngiản khi xét tính chấtcủamộthệ thống, ta thường chia nhỏ nó thành các phầntử. Đặc tính thờigiancủaphầntử là sự thay đổicủaphầntử theo thời gian khi tác động ởđầuvàolànhững tín hiệuchuẩn. Các đặctínhđóbaogồm hàm quá độ, đường quá độ, hàm quá độ xung và đường quá độ xung. Tín hiệu vào Tín hiệu ra Phần tử x y Hình 2.2 Mô hình biểu diễn phần tử • Các hàm thờigiannàyđềumôtả sự biến thiên của tín hiệu ra khi phầntử chuyểntừ trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác do sự tác động củamột trong các nhiễuchuẩn. Để đơngiản, ta xét trạng thái cân bằng ban đầucủacácphầntử là không ( y(0)=0) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.2.1 Tín hiệutácđộng ởđầuvào • Tín hiệubậc thang đơnvị 1(t): 1(t) δ ()t ⎧0khi0t ≤ 1()t = ⎨ 1 ⎩1 khit > 0 • Tín hiệu xung đơnvị δ(t): 0 t 0 t d ⎧0 khit ≠ 0 (a) (b) δ ()tt==1() ⎨ dt ⎩∞=khit 0 1(t) 1()t – Hàm δ(t) có tính chất: yt()= atxt( ) yt()= atxt2 ( ) ∞ δ ()t =1 0 t 0 t ∫−∞ (c) (d) • Tín hiệutuyến tính: Hình 2.3. (a). Đồ thị hàm 1()t ; (b). Đồ thị hàm δ ()t yt()= atut () c. Hàm tuyến tính; d. Hàm parabol trong đólàhằng số thực. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Hàm parabol: y ()tatxt= 2 () trong đólàhằng số thực • Tín hiệucódạng bấtkỳ x(t): có thểđượcmôtả thông qua hàm 1(t) và δ(t): – Biểudiễn x(t) qua hàm 1(t): dựa vào tích phân Duyamen (khi α→0): t dx(τ ) x()tx=+ (α ).1 () t .1() t −ττ d ∫0 dτ – Biểudiễn x(t) qua hàm δ(t): (khi α→0): t+α xt()=− x (τ ).δττ ( t ) d ∫α 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.2.2 Phản ứng củaphầntử • Hàm quá độ h(t): là phản ứng củaphầntử khi đầu vào là hàm 1(t). Nếuthìx(tt) =1( ) Lt⎣⎦⎡⎤11() = p Mối liên hệ giữahàmtruyền đạt và hàm quá độ củaphầntử là: Lht( ( )) Wp( ) Wp()== pLht. ⎡⎤() ⇒ Lht ⎡⎤ () = Lt()1() ⎣⎦ ⎣⎦ p • Đường quá độ: ĐượckýhiệulàH(t), là phản ứng củaphầntử khi tín hiệutácđộng ởđầuvàolà nhiễubậc thang có biên độ bằng A dạng A.1(t). Dựa vào nguyên lý xếpchồng của phầntử tuyến tính: A.Wp( ) Ht()=⇒ Aht. () LHt() () = p 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Hàm quá độ xung (hàm trọng lượng) k(t): là phản ứng củaphầntử khi đầuvàolà hàm δ(t). Lt⎣⎦⎡⎤δ ()=⇒1 LktWp ⎣⎦⎡⎤ () = ( ) • Đường quá độ xung K(t):là phản ứng củaphầntử khi đầu vào là hàm A.δ(t) Theo tính chấtcủa δ(t) ta có thể viết: tt xt()=−=− xt () δ ( tττ ) d x ( τδττ ) ( t ) . d ∫∫00 Trong đó x(τ) là giá trị hàm x(t) tạithời điểm t= τ và δ(t-τ) là giá trị hàm δ(t) được phát tạithời điểm t= τ . Theo nguyên lý xếpchồng, ta có thể xác định đáp ứng y(t) củaphầntử: t y ()txktd=− (τ ) (ττ ). ∫0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Mối liên hệ giữa hàm quá độ h(t) và hàm trọng lượng k(t): Wp( ) Ta nhậnthấyvàLht⎡⎤() = L ⎡⎤kt() = W( p) ⎣⎦ p ⎣⎦ ⎧⎫dh VìL ⎨⎬= pL. {} h() t . ⎩⎭dt Vậy: kt( ) = h'( t) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.3 Đặctínhtầnsố củahệ thống • Đặc tính tầnsố củaphầntử mô tả mốiliênhệ giữa tín hiệu ra và tín hiệuvàocủa phầntửởtrạng thái xác lập khi thay đổitầnsố dao động điềuhòatácđộng ởđầu vào củaphầntử. • Muốn tìm các đặc tính tầnsố củahệ thống, trướchếttaphảitìmhàmtruyền đạttần số củahệ thống bằng cách thay p=jω vào hàm truyền đạtcủanó mm−1 A b .()jωω++++b . ()j b .j ωb Wj()ω ==r ejϕω() 01mm− 1 A()ωA = AArv nn−1 v a01.()jωω++++a . ()j ann− 1 .j ωa • Tách riêng phầnthực, phần ảocủatử số và mẫusố trong (2.29) ta được: j RjI()ω + ()ω Wj()ωω== A (). eϕω() 11 RjI22()ω + ()ω Trong đólàA()ω = AArv đặc tính biên tầncủaphầntử; RR 12 ( ω ) , ( ω ) là đặc tính phầnthựccủatử số và mẫusố; II 12 ( ω )() , ω là đặc tính phần ảocủatử số và mẫusố 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Tách phầnthựcvàphần ảocủabiểuthứctrêntađược: RR()ω ()ωωω+− II () () R() ωωωω I () RI () () Aeω . jϕω()=+12 12 j 21 12 () 22 22 RI22()ωω++ () RI 22() ωω () • Đặc tính phầnthựccủaphầntử: RR()ω ()ωωω+ II () ( ) R ω = 12 12 () 22 RI22()ωω+ () • Đặc tính phần ảocủaphầntử: RI()ω ()ωωω− RI () ( ) I ω = 21 12 () 22 RI22()ωω+ () • Ta nhậnthấy R(ω) là hàm chẵn, nghĩalàR(ω) = R(-ω); còn I(ω) là hàm lẻ, nghĩalà I(ω) = -R(-ω) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Đặc tính biên tầncủaphầntửđượcxácđịnh theo biểuthức: ARI()ω =+22 ()ωω () • Đặc tính pha tầncủaphầntửđượcxácđịnh theo biểuthức: I (ω) ϕω()= arctg R()ω • Đặc tính biên tần logarithm thường được đobằng decibel (dB). Khi tính theo decibel, đặc tính BTL đượcxácđịnh theo công thức: LA(ω)()= 20lg ω • Cho ω thay đổitừ -∞ đến ∞, ta sẽ xây dựng được các đặc tính BT và PT. Trong hệ toạđộR(ω) và I(ω) sẽ xây dựng được đặc tính tần biên pha (TBP) đốixứng qua trụcthực. Khi xây dựng các đặc tính BT, PT, TBP, ta chỉ xét ω thay đổitừ 0 đến ∞ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.4 Các khâu động họccơ bản • Tính chấtcủa quá trình quá độ toàn hệ thống phụ thuộc vào tính chất động họccủa các phầntử hợp thành. Các phầntử hợp thành đóthường được phân tích thành những khâu cơ bản • Các khâu động họccơ bảnlàcácphầntử của HTĐKTĐ có các tính chấtsau: – Chỉ có một tín hiệu vào và một tín hiệura – Tín hiệuchỉ truyền đimộtchiều – Quá trình động họccủaphầntửđượcbiểudiễnbằng ptvp không quá bậchai. • Có 4 khâu động họccơ bản: – Khâu nguyên hàm (khâu khuếch đại, khâu quán tính bậc 1, khâu dao động bậc2) – Khâu tích phân – Khâu vi phân – Phầntử trễ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.4.1 Khâu nguyên hàm 2.4.1.1 Khâu khuếch đại • Phương trình vi phân: y=k.x trong đó k là hệ số khuếch đại Các phầntử có hàm truyền đạt là khâu khuếch đại: các phầntửđolường (sensor, biếntrở, bộ phát tín hiệucảm ứng ), phầntử khuếch đại(bộ khuếch đại điệntử, bán dẫn, ion ). ht( ) • Hàm truyền đạt: W(p)=k k • Các đặc tính thờigian: – Hàm quá độ: h(t)=k.1(t) 0 t – Hàm trọng lượng: k(t)=k.δ(t) kt.δ ( ) – Các đặc tính thờigianđượcmôtả trên hình 2.4 0 t Hình 2.4. Các đặc tính thời gian của khâu khuếch đại 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Các đặc tính tầnsố: – Hàm truyềntầnsố: W(jω)=k – Đặc tính BT: A(ω)=k – Đặc tính PT: ϕ(ω)=0 – Đặc tính BTL: L(ω)=20.lgk – Các đặc tính tầnsốđượcmôtả trên hình 2.5 • Nhận xét: – Tín hiệu vào và ra cùng pha với nhau. A(ω) BT ϕ ()ω PT k 0 ω 0 ω I (ω) TBP BTL L()ω 20.lg k k 0 R(ω) lgω 0 Hình 2.5 Các đặc tính tần số của khâu khuếch đại 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.4.1.2 Khâu quán tính bậc1 • Phương trình vi phân: dy Tykx. += dt trong đó k là hệ số truyềnvàT là hằng số thờigiancủa khâu Các phầntử thuộc khâu quán tính bậcnhất: khuếch đạitừ, máy phát điệnmộtchiều, mạch điện R-C, L-R, lò điệntrở, động cơđiện không đồng bộ hai pha và ba pha nếu lượng ra là tốc độ quay k • Hàm truyền đạt: Wp()= Tp +1 • Các đặc tính thờigian: −−11⎧⎫Wp( ) ⎪⎪⎧⎫k – Hàm quá độ h(t): ht()== L⎨⎬⎨ L ⎬ ⎩⎭ppTp⎩⎭⎪⎪()+1 −−11⎧⎫⎛⎞111T ⎪⎪⎧⎫⎛⎞ =−=−Lk⎨ ⎜⎟⎬⎨ Lk⎜⎟ ⎬ ⎩⎭⎝⎠p Tp++11⎩⎭⎪⎪⎝⎠ p p T =−ke()1,−αt α = 1 T 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục ht() k – Hàm trọng lượng: kt()== h' () tα ke−αt – Các đặc tính thờigianđượcmôtả trên hình 2.6 • Các đặc tính tầnsố: t 0 – Hàm truyềntầnsố: kk kTω kt() Wjω == − j =+ Rωω jI () 22() () Tjω +1 ()TTωω++11() αk – Đặc tính BT: k ARI()ωωω=+=22 () () 2 t ()Tω +1 0 – Đặc tính PT: I ()ω ϕ ()ωω==−arctg arctg()T Hình 2.6 Đặc tính thời gian R()ω của khâu quán tính bậc 1 – Đặc tính TBP: Từ mối liên hệ A2(ω)= R2(ω)+ I2(ω) , qua mộtsố phép biến đổi ta tìm được: 22 ⎛⎞kk2 ⎛⎞ ⎜⎟RI()ωω−+() = ⎜⎟ ⎝⎠22 ⎝⎠ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục Đây chính là phương trình đường tròn có tâm (k/2;0) và bán kính bằng k/2. Nếulấy ω thay đổitừ 0 đến ∞ nó là nửa đường tròn nằm ở góc phầntư thứ IV. – Đặc tính BTL: LAkT()ωω==−+20.lg ()20.lg 20.lg ( ω )2 1 Vẽ chính xác thì L(ω) là một đường cong nhưng ta có thể vẽ gần đúng bằng cách tuyến tính hóa từng đoạn: A(ω) ϕ()ω PT + ωω >1TL ,(ωω) ≈ 20.lg k − 20.lg T 0 ω ω =1/T đượcgọilàtầnsố cắt ω π c 0 − 2 TBP Đặc tính tầnsố của khâu quán tính L ω I (ω) ( ) 20.lgK BTL bậc1 đượcmôtả trên hình 2.7 ω = 0 0 ω =∞ R()ω -20dB/dec 0 lgωc lgω Hình 2.7 Đặc tính tần số của khâu quán tính bậc 1. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Nhận xét: – Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc1 chotathấy, khâu quán tính bậc1 không đạt ngay giá trị k mà tiếntừ từđến giá trị k theo quy luậthàmmũ (vì thế khâu quán tính bậc1 cònđượcgọi là khâu phi chu kỳ). Như vậy, quá trình tích luỹ năng lượng và giải phóng năng lượng không xảyrađồng thời, gây ra hiện tượng quán tính. – Hàm trọng lượng k(t) của khâu quán tính bậc1 chotathấy, khi hàm quá độ h(t) đạt giá trị xác lậphàmtrọng lượng k(t) sẽ giảmvề 0, có nghĩa là lúc này khâu quán tính bậc1 đượcgiải phóng sức ì quán tính. – Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu quán tính bậc 1 không làm việc đượcvới tín hiệu cao tần(đặc tính A(ω) giống như bộ lọc thông thấp) – Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệuracủa khâu quán tính bậc 1 luôn chậm pha so với tín hiệuvàomột góc từ 0 đến π/2, nghĩa là khâu quán tính bậc1 có độ tác động chậm. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.4.1.3 Khâu dao động bậc2 • Phương trình vi phân: dy2 dy TTykx2.2 ++=ξ dt2 dt trong đó: : T là hằng số; k là hệ số truyềnvàξ là hệ số Các phầntử thuộckhâudaođộng: mạch điện R-L-C, động cơđiệnmộtchiềukích từđộclậplượng vào là điệnápphần ứng, lượng ra là tốc độ quay; hệ cơ học đàn hồi; con quay hồi chuyển trong bộ phậnláimáybay • Hàm truyền đạtcủa khâu: Dùng biến đổi Laplace, chuyển PTVP sang dạng toán tử p, ta được: (Tp22.2 1 ++ξ Tp) Yp() = kXp () Vậyhàmtruyền đạtlà: Yp( ) k Wp()== Xp() Tp22.2 1+ ξ Tp+ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục Ta nhậnthấyphương trình đặctrưng của khâu dao động là phương trình bậc 2 nên nó sẽ có hai nghiệm. Nếu Δ’≥0 thì phương trình này sẽ có hai nghiệmthực: Δ '101=−=−≥⇔≥ξξ22TTT 2 2() 2 ξ Vì ξ là hệ số nên ξ >0. Vậy điềukiện để phương trình đặctrưng có hai nghiệmthựclà ξ ≥1. Khi đó ta có thể tách khâu dao động bậc hai thành hai khâu quán tính bậc1: kk Wp()= 12. Tp12++11 Tp Nếunhư vậy thì khâu dao động không thể có tính chất dao động được. Vậy để phương trìnhviphântrênbiểudiễn khâu dao động bậc2 thì0<ξ <1. • Các đặc tính thờigian: Phương trình đặctrưng của khâu dao động: Tp22.2 10++=ξ Tp Phương trình có hai nghiệmphức liên hợplà: ξ 1−ξ 2 pj=− ± =−α ± jβ 1, 2 TT 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục ht( ) A1 ke1+ −αt • Hàm quá độ h(t): A2 ( ) ⎪⎪⎧⎫k 1 ht= L−1 . () ⎨⎬22 k ⎩⎭⎪⎪Tp.2 1++ξ Tp p ke(1− −αt ) t ⎡⎤−αt ⎛⎞α 0 =−kt.1() .⎢⎥ 1 e⎜⎟ cosββ t + sin t T ⎣⎦⎝⎠β 1 1 Trong đó: αξωβ==−=.; 1 ξωω2 .; kt() 000T 2 • Hàm trọng lượng: dh() t k.ω A kt()==0 .1() t . e−αt .sin β t 1 dt β Hình 2.8 mô tả các đặc tính thờigiancủa khâu dao động t 0 Từđồthị của h(t) ta xác định được các tham số ⎧ 21π A k, A1, A1 và T. Từđótínhra: αβ=;= .ln1 ⎪ T TA ⎪ 112 T1 ⎪ 221 ⎨ωαβ=+= 0 T Hình 2.8 Các đặc tính thời ⎪ gian của khâu dao động ⎪ξα= .T 12/31/2009⎪ Vũ Anh Đào - PTIT 21 ⎩ Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục jQ()ω 0 ω = 0 • Các đặc tính tầnsố: ω =∞ P()ω k k – Hàm truyềntầnsố: Wj()ω = −TTj22.2 1ωξω++2ξ k A()ω = – Đặc tính BT: 2 ()1.−+ωξω22TT 4 222 L()ω 2.ξ .ω .T 20.lg k – Đặc tính PT: ϕω =−arctg () 22 1.−ω T lgω 0 ωc – Đặc tính BTL: -40 dB/dec 222 222 L()ωω==−−+20.lgAk () 20.lg 20.lg 1 ωξω . T 4. . . T ϕ (ω) ω () 0 c – Hình 2.9 mô tả các đặc tính tầnsố của khâu dao động. −π 2 ω −π Hình 2.9 Đặc tính tần số của khâu dao động 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Nhậnxét: – Hàm quá độ h(t) của khâu quán tính bậc1 chotathấy, khâu quán tính bậc1 không đạt ngay giá trị k mà dao động tiến đếngiátrị k. Muốnhệ dao động, trong hệ phảicóbộ tích động năng và mộtbộ tích thế năng, ví dụ trong mạch R-L-C thì C tích thế năng còn L tích động năng. – Hàm trọng lượng k(t) của khâu dao động cho ta thấy, khi hàm quá độ h(t) đạt giá trị xác lậphàmtrọng lượng k(t) sẽ giảmvề 0, có nghĩa là lúc này khâu dao động đượcgiải phóng sức ì quán tính. – Đặc tính BT A(ω) cho ta thấy, khâu dao động cũng không làm việc đượcvới tín hiệu cao tầnvàđạtgiátrị Amax(ω) tại ωc – Đặc tính PT ϕ(ω) cho ta thấy tín hiệuracủakhâudaođộng cũng luôn chậm pha so với tín hiệuvàotứclàkhâudaođộng có độ tác động chậm. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục 2.4.2 Khâu tích phân ht() • Phương trình vi phân: ykxdt= . ∫ tgα = k trong đó T=1/k là hằng số thời gian tích phân α t 1 0 • Hàm truyền đạt: Wp()= Tp kt( ) • Các đặc tính thờigian: k – Hàm quá độ: ht()== k.1∫ () t . dt kt t 0 – Hàm trọng lượng: kt()== h' () t k Hình 2.10 Các đặc tính thời gian của khâu tích phân – Hình 2.10 mô tả các đặc tính thờigiancủa khâu tích phân 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Các đặc tính tầnsố: 11 – Hàm truyềntầnsố: Wj()ω ==− j T. jω Tω – Đặc tính BT: A(ω) = 1/Tω TBP – Đặc tính PT: ϕ(ω)= -π/2 A(ω) I ()ω R(ω) – Đặc tính BTL: BT ω = 0 L(ω) =20.lgA(ω)=-20.lgTω ω =∞ 0 – Hình 2.11 mô tả các đặc tính 0 ω tầnsố của khâu tích phân. L ω ϕ (ω) () BTL PT ω 0 20.lgT −20dB/dec π - lgω 2 0 0 Hình 2.11 Các đặc tính tần số của khâu tích phân 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Nhậnxét: – Hàm quá độ h(t), hàm trọng lượng k(t) củahệ thống của tích phân cho ta thấy, khâutíchphâncótínhchấtcónhớ. Nghĩa là, khâu tích phân sẽ giữ nguyên trạng thái tạithời điểmdừng tác động đầuvào. – Đặc tính PT của khâu tích phân bậc 1 là tín hiệuraluônchậm pha so với tín hiệuvàomột góc bằng π/2. ht( ) 2.4.3 Khâu vi phân Tt.δ ( ) • Phương trình vi phân: y = Tdxdt trong đó T là hằng số thời gian vi phân 0 t kt • Hàm truyền đạt: Wp( ) = Tp ( ) Tt.'δ () • Các đặc tính thờigian: – Hàm quá độ: ht( )()()== T.1' t T .δ t – Hàm trọng lượng: kt()== h'.' () t Tδ () t 0 t – Hình 2.12 mô tả các đặc tính thờigiancủa khâu vi phân. Hình 2.12. Các đặc tính thời gian của khâu vi phân 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Các đặc tính tầnsố: – Hàm truyềntầnsố: W(jω)=T. jω – Đặc tính BT: A(ω) = Tω – Đặc tính PT: ϕ(ω)= π/2 – Đặc tính BTL: A()ω I ()ω TBP L(ω) =20.lgA(ω)=20.lgTω BT ω =∞ ω = 0 R(ω) 0 – Hình 2.13 mô tả các đặc tính 0 ω tầnsố của khâu vi phân. ϕ ()ω PT L()ω BTL π 2 ω 20.lgT 20dB/dec lgω 0 0 Hình 2.13 Các đặc tính tần số của khâu vi phân 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Nhậnxét: – Các đặc tính quá độ h(t) và trọng lượng k(t) của khâu vi phân cho thấykhâuvi phâncóxuhướng mất ổn định. – Khâu vi phân có tín hiệu ra luôn sớm pha hơn tín hiệuvàomột góc bằng π/2, đây là đặc tính nổibậtcủa khâu vi phân khiến cho hệ thống tác động nhanh. 2.4.4 Phầntử trễ ht( ) 1()t −τ • Phương trình vi phân: y(t)=x(t-τ) 1 • Hàm truyền đạt: • Các đặc tính thờigian: 0 τ t – Hàm quá độ: h(t)=1(t-τ) kt() – Hàm trọng lượng: k(t)=h’(t)=δ(t-τ) δ ()t −τ – Hình 2.14 mô tả các đặc tính thờigiancủa khâu vi phân. 0 τ t Hình 2.14 Các đặc tính thời gian của khâu trễ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28
Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Các đặc tính tầnsố: Nếu tín hiệuvàocódạng: x(t)=A. ejωt thì tín hiệurasẽ có dạng: x(t)=A. ejω(t- τ) – Hàm truyềntầnsố: W(jω)=ejωτ – Đặc tính BT: A(ω) = 1 A(ω) I (ω) TBP – Đặc tính PT: ϕ(ω)= -ωτ BT 1 – Đặc tính BTL: 1 R()ω -1 0 L(ω) =20.lgA(ω)=0 0 ω -1 ϕ (ω) – Hình 2.15 mô tả các đặc PT L(ω) BTL 0 tính tầnsố của khâu vi phân. ω 0 lgω Hình 2.15 Các đặc tính tần số của khâu trễ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29 Chương 2. Các đặc tính củahệ liên tục • Nhậnxét: – Ta thấyrằng khâu trễ sẽ luôn có tín hiệurachậm pha so với tín hiệuvào 2.5 Tổng kết • Sau khi đã nghiên cứu các khâu cơ bảntrêntathấyrằng: – Khâu khuyếch đại có tín hiệu ra trùng pha tín hiệu vào. Khâu tích phân, khâu quán tính bậc 1, khâu dao động, khâu trễ làcáckhâucótínhiệurachậm pha hơn so với tín hiệuvào. Chỉ có duy nhất khâu vi phân là tín hiệu ra nhanh pha hơn so với tín hiệuvào. – Các đặc tính biên độ tầnsố logarith BTL có những đặc điểmtheobậcn của PTĐT như sau: – n = 0 độ dốc 0db/dec – n = 1 độ dốc ±20 db/dec – n = 2 độ dốc ±40 db/dec – Dấu+ chobiếttínhiệu ra nhanh pha hơn so với tín hiệuvào. – Dấu-chobiếttínhiệurachậm pha hơn so với tín hiệuvào. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.1 Giớithiệu chung • Ổn định là tiêu chí đặt lên hàng đầu khi xét mộthệ thống điềukhiểntựđộng. Một hệ thống nếu không thể hoạt động ổn địnhthìdùnócóthỏamãnrất nhiềutiêuchí đặtratạimộtthời điểmnàođó thì hệ thống đócũng không thể sử dụng được. • HTKĐTĐ đượcgọilàổn định nếu sau khi bị phá vỡ trạng thái cân bằng do tác động của nhiễu, nó sẽ tựđiềuchỉnh để trở lạitrạng thái cân bằng. Nếu nó không trở lạitrạng thái cân bằng mà tín hiệuratiếntới vô cùng thì hệ thống sẽ không ổn định. Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định đượcgọilàbiêngiới ổn định, khi đótínhiệuracủahệ thống dao động vớibiênđộ không đổi. • Trong chương này sẽ trình bày điềukiện để một HTĐKTĐ ổn định; các tiêu chuẩn đạisố và tầnsố thường dùng để xét tính ổn định củahệ thống có thông số bấtbiến; phương pháp quỹđạo nghiệmsố dùng để xét tính ổn định cho hệ thống có thông số bấtbiến và khái niệm độ dự trữổn định củahệ thống. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống tín hiệu ra yt( ) 3.2 Điềukiện ổn định củahệ thống a • Hệ thống sẽổn định nếu limet()→ 0 t→∞ • Hệ thống sẽ không ổn định nếu.lim et( ) →∞ t→∞ • Hệ thống sẽởbiên giới ổn định nếu lim et()→ t→∞ dao động có biên độ không đổi • Khảo sát tính ổn định củahệ thống chính 0 tqđ t là khảosáthệ thống ở 2 quá trình: quá độ và Hình 3.1 Đáp ứng của HTĐKTĐ xác lập. Ta thấyrằng ở quá trình xác lập, hệ thống luôn ổn định. Xét sựổn định củahệ thống chính là khảosáthệ thống ở quá trình quá độ. • Mộthệ thống tuyến tính liên tục đượcgọilàổn định nếu quá trình quá độ củanótắt dầntheothời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ củanótăng dầntheothời gian và ở biên giới ổn định nếu quá trình quá độ củanódaođộng vớibiênđộ không đổihoặcbằng hằng số. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Hình 3.2 mô tả 5 trạng thái quá độ của HTĐKTĐ: – (1): Hệ thống ổn định và không dao động. – (2): Hệ thống ổn định và dao động. – (3): Hệ thống không ổn định và không dao động. – (4): Hệ thống không ổn định và dao động. – (5): Hệ thống dao động vớibiênđộ không đổi(biêngiới ổn định). yqđ (t) (4) (1) (2) t (3) (5) Hình 3.2. Các trạng thái của hệ thống ĐKTĐ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Dạng tổng quát củaphương trình vi phân: dnn y d−−11 y dy d mm u d y du aa01++++=++++ aaybbnn−− 1 01 b mm 1 bu dtnn dt−−11dt dt mm dt dt NghiệmcủaPTVP nàygồmhaiphần: y(t) = yc(t)+yr(t) = yqd(t)+yxl(t) Với: yqd(t) là nghiệmtổng quát, đặctrưng cho quá trình quá độ và yxl(t) là nghiệm riêng, đặctrưng cho quá trình xác lậpcủahệ thống yqd(t) có đượcbằng cách giảiPTVP đồng nhất: dynn d−1 y dy aa01+ ++ aaynn− 1 + = 0 dtnn dt −1 dt • yxl(t) phụ thuộctácđộng đầu vào, nếutácđộng đầuvàocốđịnh thì yxl(t) cũng cố định, như vậy nó không ảnh hưởng đến tính ổn định củahệ thống. • Tính ổn định củahệ thống đượcphản ánh qua nghiệmtổng quát, nghiệm này hoàn toàn không chịu ảnh hưởng củatácđộng bên ngoài, vậy tính ổn định là tính chất bên trong củahệ thống, là bảnchấtcủahệ thống. Một khi hệ thống đã ổn định thì các tác nhân bên ngoài không thể làm thay đổi tính chất ổn định củahệ thống. nn−1 • Để xác định yqd(t), ta phải tìm nghiệmcủa PTĐT: ap01+ ap++ ann− 1 p + a = 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống n yt= cepit • Dạng tổng quát của y (t) là: qd() ∑ i qd i=1 trong đó ci là các hằng số. Nghiệm pi có thể tồntạimột trong các dạng sau: – Nghiệmthực: pi =αi – Nghiệmphức: pi =αi ± jωi – Nghiệmthuần ảo: pi =jωi • Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chấtcủahệ thống: – Nghiệmcủa PTĐT là nghiệmthực(hệ không dao động): α t ⎧→ 0 – Nghiệmcủa PTĐT là nghiệmphức(hệ dao động): ()αω+ jt⎧ → 0 – Nghiệmcủa PTĐT là nghiệmthuần ảo: lim eωit → dao động vớibiênđộ không đổi t→∞ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Như vậy: – HTĐKTĐ ổn định (lim yqd→0 khi t→∞) nếutấtcả các nghiệmcủa PTĐT có phầnthực âm (các nghiệmnằm ở nửa bên trái mặtphẳng phức). – HTĐKTĐ không ổn định (lim yqd→∞ khi t→∞) nếu PTĐT chỉ cầncómột nghiệmcóphầnthựcdương (nghiệmnằm ở nửabênphảimặtphẳng phức). – HTĐKTĐ sẽ nằm ở biên giới ổn định nếu PTĐT chỉ cần có 1 nghiệmcóphần thực = 0 và các nghiệm còn lạicóphầnthực <0 (có 1 nghiệmnằmtrêntrục ảo, các nghiệm còn lạinằmtrênmặttráimặtphẳng phức). Ví dụ 3.1: Hệ thống ĐKTĐ có phương trình đặctrưng là: 2p2-5p+1 = 0 Hệ thống này có ổn định không? Giải: Tìm nghiệmcủaphương trình đặctrưng: Δ = 25-4*2 = 17 → p1,2 =±(5174) Vậyhệ thống đã cho không ổn định 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.3 Các tiêu chuẩn ổn định đạisố 3.3.1 Điềukiệncần • Điềukiệncầnthiết để mộthệ thống điềukhiểntuyến tính ổn định là các hệ số của phương trình đặctrưng dương. Ví dụ 3.2: HTĐKTĐ có phương trình đặctrưng: 0.2p3+ 3p2 + 0.1p + 5 = 0 Có các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điềukiệncần. HTĐKTĐ có phương trình đặctrưng: 2p4 + 5p2 + 3p + 2 = 0 ??? 3.3.2 Tiêu chuẩn Routh (1875) • Phát biểu: Điềukiệncầnvàđủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tấtcả các số hạng trong cộtthứ nhấtcủabảng Routh dương. • Bảng Routh: Giả sử hệ thống có phương trình đặctrưng bậc n: nn−1 ap01++++= ap ann− 1 p a 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống – Cách lậpbảng: ¾ Dòng đầu tiên củabảng Routh ghi các số hạng có chỉ số chẵn, dòng thứ hai ghi các số hạng có chỉ số lẻ. ¾ Mỗisố hạng trong mộthàngcủabảng Routh là mộtsố âm có giá trị là một định thứcbậchaivớicộtthứ nhấtlàcộtthứ nhấtcủa hai hàng ngay sát trên hàng có số hạng đang tính; cộtthứ hai là hai hàng ngay sát trên và nằmbên phảihàngcósố hạng đang tính. ¾ Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn mộtsố hạng – Cách tính các hệ số củabảng Routh: aa aa a0 a2 a4 a6 02 04 bb02=−, =− a1 a3 a5 a7 aa13 aa 15 b0 b2 b4 aa aa bb=−13, =− 15 b1 b3 b5 13bb b 0 02 0 aa06 bb 02 z0 bc=−, =− 40aa bb z1 17 13 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Tính chấtcủabảng Routh: – Có thể nhân hoặc chia các số hạng trên cùng mộthàngcủabảng Routh vớimột số dương – Hệổn định khi tấtcả các số dạng trong cột đầu tiên củabảng Routh dương. – Hệ không ổn định nếucột đầutiêncủabảng có mộtsố hạng bằng âm hoặc bằng 0. Số lần đổidấucủa các số hạng trong cột đầu tiên củabảng Routh bằng số nghiệmcủaphương trình đặctrưng có phầnthựcdương. – Hệởbiên giới ổn định khi các số hạng cuối cùng trong cột đầu tiên củabảng Routh bằng 0, những số hạng còn lạidương. • Ứng dụng: – Tiêu chuẩnnàyđượcsử dụng để xét ổn định cho cả hệ hở và kín. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Ví dụ 3.3: Xét tính ổn định củahệ thống có phương trình đặctrưng: 12p5 + 6p4 + 18p3 + 6p2 + 6p + 1 = 0 Giải: • Điềukiệncần: Các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điềukiệncần. • Điềukiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh: – Lậpbảng Routh: 23 21 66 12 18 6 231 bb=− =6; =− = 4; b =− = 12 0266 61 1 64 661 661 6 1 6 4 12 6 bb02 bb02 bc=− =6; =− = 12; c =− = 72 ⇔ 3060 126 1 120 bb13 bb13 c0 c0 c1 c1 (chia các số hạng thuộchàng1 củabảng Routh cho 6). Các số hạng trong cột đầu tiên củabảng Routh dương nên hệ thống ổn định. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 1 Ví dụ 3.4: Cho hệ thống có đốitượng điều khiển: Wp0()= ppp32+ 584++ và bộđiều khiển(bWpCPD()=+ K Kp ộđiềukhiểnPD) Tìm khoảng hiệuchỉnh các tham số củabộđiều khiển? Giải: u y + WpC ( ) WpO ( ) Bước1: Tìm đathức đặctrưng củahệ kín : • Hàm truyền đạtcủahệ hở: 1 Hình 3.3. Hệ thống kín WphC()== WpWp0 ().() .( K PD + Kp ) ppp32+++584 • Hàm truyền đạtcủahệ thống kín: Wp() KKp+ Wp()==h PD k 32 1()+Wph pp+++++5(8)(4) KpKDP • Phương trình đặctrưng củahệ thống kín là: 32 Ap()=+ p 5 p ++ (8 KD ) p ++ (4 KP ) = 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Bước2: Xét ổn định: • Điềukiệncần: Các hệ số ai > 0: ⎪⎧80+>KKDD⎧ > 8 ⎨⎨⇔ ⎩⎪40+>KKPP⎩ >− 4 ⎧KD > 8 ⎨ Trên thựctế KD > 0, KP ≥ 0 nên ta có điềukiệncần để hệổn định là :⎩KP ≥ 0 • Điềukiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh: – Lậpbảng Routh: 18+ KD 18+ KD bKK=− =36 + 5 − 0 54+ K D p 54+ KP p b0 54+ K p bKb10=− =(4 + p ) b1 b0 0 – Điềukiện ổn định: Kếthợp điềukiệncần: ⎧b0 > 0 ⎪⎪⎧⎧36+−> 5KKDp 0 K p 0 ⎩⎩⎪⎪40+>KKpp >− 4 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống KP KKp =+36 5 D • Kếthợp điềukiệncần: ⎧ KD ≥ 0 36 ⎪ Miền ổn định ⎨ KP > 0 ⎪ -36/5 ⎩KKPD<+36 5 KD 3.3.3 Tiêu chuẩn Hurwitz (1895). Hình 3.4. Phân bố nghiệm của hệ thống • Phát biểu: Điềukiệncầnvàđủ để hệ thống tuyếntínhcóphương trình đặctrưng vớicáchệ số dương ổn định là tấtcả các định thức Hurwitz dương. • Cách lập định thức Hurwitz: – Định thức Hurwitz bậc n: Đường chéo chính củabắt đầutừ a1 đến an. Trong cùng mộtcột, các số hạng trên số hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số tăng dần; các số hạng dướisố hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số giảmdần. Nếuchỉ số lớnhơn n hoặcnhỏ hơn 0 thì ghi 0. Có tấtcả n định thức Hurwitz từ bậc1 đếnbậc n. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Giả sử hệ thống có phương trình đặctrưng bậc n: nn−1 Ap()=+ ap01 ap +++= ann− 1 p a 0 Δ=11a aaa135 000 aaa 000 024 aa13 Δ=2 0000aa13 aa02 Δ=n aaa135 000 aann−2 0 Δ=3024aaa 000 aann−−31 0 0 aa13 000 aaannn−−42 • Ứng dụng: – Dùng cho hệ thống có phương trình đặctrưng bậcthấp(n < 4). – Dùng để xét ổn định cho cả hệ hở và kín. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Ví dụ 3.5: Xét tính ổn định củahệ thống có phương trình đặctrưng sau theo tiêu chuẩn Hurwitz: 3p3 + 5p2 + 6p + 1 = 0 Giải: • Điềukiệncần: Các hệ số ai > 0 nên hệ thoả mãn điềukiệncần • Điềukiện ổn định theo Hurwitz: Lập định thức Hurwitz: aa1351 Δ=11a =50; > Δ 2 = = = 270 > aa0236 aa130 Δ=302aa0 = a 32 . Δ= 1.27 = 27 > 0 0 aa13 Ta nhậnthấytấtcả các định thức Hurwitz đềudương nên hệ thống đãchoổn định. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.4 Các tiêu chuẩn ổn định tầnsố 3.4.1 Tiêu chuẩn Mikhailope • Dựa vào tính chấttầnsố của đathức đặc tính để xét tính ổn định củahệ thống. • Giả sử HTĐKTĐ có PTĐT dạng: nn−1 Ap()=+ ap01 ap +++= ann− 1 p a 0 • Đathức đặctrưng có n nghiệmnêntacó: n jω A()pa=−0 ( ppi ) ∏ p i=1 i • Nếu xét trên mặtphẳng phức thì mỗisố jω hạng trong đathứctrênlàmột vector có α pi chân tại điểm pi và đỉnh nằmtrêntrục ảo. − jω • Vector quay theo chiềukimđồng hồ, góc tạo thành mang dấu âm còn ngượclạilấydấudương Hình 3.5 Vector jpω − i trên mặt phẳng phức 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống – Nếu pi nằm bên trái trục ảothì Δ−=arg ()jpω i π -∞≤ω ≤∞ – Nếu pi nằmbênphảitrục ảothì Δarg( jpω −=−i ) π -∞≤ω ≤∞ • Biểu đồ vector đathức đặc tính có thể biểudiễnnhư sau: n nnjjp∑arg()ω - i i=1 Ap()=−=− a00∏∏() p pii a jω pe. Vậy ii==11 n Δ=Δ=−−=−argAj()ω ∑ arg() jωπππ -pnkknki () ( 2 ) -∞≤ω ≤∞ i=1 với k là số nghiệmcủa PTĐT có phầnthựcdương. Hệ thống ổn định khi k = 0 nên: Δ=Δ=arg Aj( ω) nπωπhay arg Aj( ) n.2 -0∞≤ωω ≤∞ ≤ ≤∞ vì thường xét ω biến đổitừ 0 đến ∞. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Từ những phân tích trên, Mikhailope đã phát biểuthànhtiêuchuẩn ổn định như sau: HTĐKTĐ có đathức đặctínhbậcn vớicáchệ số dương sẽổn định nếubiểu đồ vector đathức đặc tính A(jω)xuất phát từ một điểmtrênphầndương trụcthực quay một góc bằng nπ/2 quanh gốctọa độ và ngượcchiềukimđồng hồ khi ω thay đổitừ 0 đến ∞. • Hình 3.6 là biểu đồ vector đathức đặc tính cho hệ thống ổn định (a) và không ổn định (b). n=2 Im(ω) Im(ω) n=1 n=1 Re(ω) Re(ω) n=3 n=4 n=4 (a) (b) Hình 3.6. Các dạng biểu đồ vector đa thức đặc tính 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.4.2 Tiêu chuẩnNyquist • Dùng xét ổn định cho hệ kín dựavàođặc tính tần–biên–phacủahệ hở • Phát biểu: Nếu PTĐT củahệ hở có k nghiệmnằmbênphảitrục ảo thì hệ kín tương đương sẽổn định nếu đặc tính TBP củahệ hở bao điểm(-1; j0) một góc bằng kπ khi ω thay đổitừ 0 đến ∞. • Khái niệm đường cong bao một điểm: • Kẻ một vector có chân là điểm được bao còn đầu ở trên đường cong. Cho đầu vector trượttừđầu đường cong đếncuối đường cong. Góc quay củavector bằng bao nhiêu thì ta nói đường cong bao điểm đãchobấy nhiêu. ϕ = 0 ϕ = 2π M2 M1 Hình 3.7 Sơ đồ mô tả góc bao 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Chứngminhtiêuchuẩn Nyquist: Qp( ) – Giả sử hệ thống hở có hàm truyền đạt: Wp()= h Pp() Trong đó P(p) là đathức đặc tính bậc n và là Q(p) đathứcbậc m với m<n. Giả sử P(p) có k nghiệmnằmbênphảitrục ảo. Như vậy: Δ=−−=−argPj( ω) ( n k)ππ 2 k 2( n 2 k) π 2 0≤≤∞ω – Hàm truyền đạtcủahệ thống kín: Wph () Qp( ) Wpk ()== 1++Wph () QpPp() () – Đathức đặc tính củahệ thống kín là Q(p) + P(p). Theo tiêu chuẩn Mikhailope, hệ kín sẽổn định nếu: Δ+=arg⎣⎦⎡⎤Qj( ω) Pj( ωπ) n 2 0≤≤∞ω 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Qj( ω) + Pj( ω) • Xét biểuthức Jj()ωω=+1 W () j = h Pj()ω Δ=Δ+−ΔargJj( ω) arg⎣⎦⎡⎤Q( jωω) P ( j )() arg P j ω 00≤≤∞ωω0≤≤∞ω ≤≤∞ • Khi hệ kín ổn định thì Δ=−−=argJj()ω nnkkπππ 2( 2) 2 0≤≤∞ω • Như vậy, khi ω thay đổitừ 0 đến ∞, biểu đồ vector J(jω) sẽ bao tâm tọa độ một góc bằng kπ. Biểu đồ J(j ω) chính là do đặc tính TBP củahệ thống hở chuyển sang bên phải1 đơnvị. Do đó, nếu J(jω) bao tâm tọa độ một góc bằng kπ thì đặc tính TBP củahệ hở sẽ bao điểm(-1; j0) một góc bằng kπ. • Trong thựctế thường gặphệ hởổn định hay ở biên giới ổn định (k = 0), lúc đóhệ kín sẽổn định nếu đặc tính TBP củahệ hở không bao điểm (-1; j0). 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Trong nhiềutrường hợp, hệ hởổn định hay ở biên giới ổn định có đặc tính TBP rất phứctạpnênviệcxácđịnh nó bao hay không bao điểm(-1; j0) rất khó khăn. Đối vớitrường hợp này, ta có thể sử dụng số lần chuyểntừ âm sang dương (C+) và từ dương sang âm (C-) của đặc tính TBP củahệ hở trên nửa đường thẳng từ -∞ đến –1 thuộctrụcthực. – Nếu C+ = C- thì hệ kín ổn định (đặc tính TBP hệ hở không bao điểm). – NếuC+ ≠ C- thì hệ kín không ổn định. jω 2 C+ C+ -1 ω C- C- ω = ∞ ω = 0 1 Hình 3.8 Cách xét ổn định cho các đường đặc tính TBP phức tạp 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.5 Phương pháp quỹđạonghiệmsố 3.5.1 Đặtvấn đề • Quỹđạo nghiệmsố là quỹ tích các nghiệmsố củaphương trình đặctrưng khi thông số củahệ thay đổitừ 0 đến ∞. • Phương pháp quỹđạo nghiệmsố dùng để phân miền ổn định của HTĐKTĐ trong tọa độ thay đổi thông số củanó. Ứng vớimột giá trị cốđịnh của thông số biến đổi, hệ thống có mộttrạng thái ổn định nào đó. Ta có thể biểudiễntrạng thái ổn định củahệ bằng vị trí nghiệmsố của PTĐT trên mặtphẳng phức. Khi giá trị thông số biến đổi thì vị trí nghiệmcủa PTĐT trên mặtphẳng phứccũng thay đổi. Do sự thay đổi đómàvị trí các nghiệmsố phương trình đặc tính sẽ tạonênmộtsố quỹđạonào đó trong mặtphẳng phức. • Những đoạnquỹđạo nghiệmsố nằm bên trái trục ảo ứng vớihệ thống ổn định; giao điểmcủaquỹđạo nghiệmsố vớitrục ảochotatrạng thái hệ thống ở biên giới ổn định và nếuquỹđạo nghiệmsố nằmbênphảitrục ảothìhệ thống không ổn định. • Phương pháp này thường dùng cho hệ có một thông số biến đổituyến tính. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.5.2 Phương pháp xây dựng quỹđạo nghiệmsố • Xét hệ thống có PTĐT bậc n: nn−1 Ap()=+ ap01 ap +++= ann− 1 p a 0 • Nếu trong hệ thống có một thông số λ biến đổi thì PTĐT sẽ có dạng: A(p) = N(p) + λM(p) = 0 trong đó N(p) là đathứcbậc n và M(p) là đathứcbậc m với n ≥ m. • Từ phương trình trên ta có: −Np() λ =− M ()p Gọi: p’’j (j = 0, 1, 2, , m) là các nghiệmcủaphương trình M(p) = 0 p’i (j = 0, 1, 2, , n) là các nghiệmcủaphương trình N(p) = 0 pi (j = 0, 1, 2, , n) là các nghiệmcủaphương trình A(p) = 0 • Ta có thể biểudiễn M(p), N(p) và A(p) thông qua dạng tích của các thừasố: mnn '' ' M ()pppNpppAppp=−∏∏∏()j ;;() =−()ii() =−() jii===111 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Khi đó, phương trình trên sẽ có dạng: nm ''' Ap()= ∏∏() p−+ pijλ ( p − p ) =0 ij==11 • Để xây dựng quỹđạo nghiệmsố ta cầnxácđịnh: điểmxuấtphátvàđiểmkếtthúc củaquỹđạo nghiệmsố; số lượng quỹđạotrênmặtphẳng nghiệm; các đường tiệm cậncủaquỹđạo, hướng dịch chuyểncủaquỹđạo và các điểm đặcbiệt. 1. Xác định điểmxuất phát củaquỹđạo nghiệmsố • Ứng với giá trị λ = 0. Theo phương trình trên, các nghiệm p’i của N(p) = 0 cũng chính là nghiệm pi của A(p) = 0. Vì bậccủa N(p) bằng bậccủa A(p) nên quỹđạo nghiệmsố có n điểmxuất phát từ p’i. 2. Xác định điểmkếtthúccủaquỹđạo nghiệmsố • Ứng với giá trị λ = ∞, PTĐT trên có thể viếtdướidạng: 1 nm pp−+''' pp − =0 λ ∏∏()()ij ij==11 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Do đó, các nghiệm p’’j của M(p) = 0 cũng chính là nghiệm pi của A(p) = 0. Vậy, với λ = ∞, quỹđạo nghiệmsố sẽ kếtthúcở m điểm là nghiệm p’’j của M(p) = 0. 3. Xác định số lượng quỹđạotrênmặtphẳng nghiệm: • Ứng vớimột giá trị λ xác định, PTĐT A(p) = 0 có n nghiệmsẽđượcbiểudiễn tương ứng n vị trí trên mặtphẳng phức. Khi λ biến đổitừ 0 đến ∞, các nghiệm pi sẽ biến đổi, do đó n nghiệmsẽ vạch nên n đường trên quỹđạo nghiệmsố. • + Nếu m < n, quỹđạo nghiệmsố có m đường khởi đầutừ n nghiệm p’i và kết thúc ở m nghiệm p’’j. Vì quỹđạo nghiệmsố có n đường nên sẽ có (n-m) đường khởi đầu từ (n-m) nghiệm p’i và tiến xa vô cùng. • + Vì các nghiệmcủa A(p) = 0 có thể có các nghiệmphức liên hợp nên các quỹđạo nghiệmsốđósẽđốixứng qua trụcthực. 4. Xác định các đường thẳng tiệmcận • Có (n-m) đường tiếnxavôcùngnêntaphải tìm các đường thẳng tiệmcận cho (n- m) đường đó. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 121k+ j π nm−− nm pe≈+=−−λ Rknm0 ()0, 1, , 1 với 1 ⎛⎞nm Rpp=−⎜⎟''' 0 nm− ⎜⎟∑∑ij ⎝⎠ij==11 • là phương trình các đường thẳng tiệmcậncủa(n-m) quỹđạotiến xa vô cùng • Theo đó, khi λ = 0 thì p = R0 = const, tức(n-m) đường tiệmcận đều đi qua 1 điểm (tâm) trên trục hoành có hoành độ R0. Các đường tiệmcậnnàytạonênmộthìnhsao gồm(n-m) tia. Mỗi tia củahìnhsaotạovớitrục hoành một góc nghiêng là: 21k + απ==−−()knm0, 1, , 1 k nm− Ví dụ 3.6. π • Nếu n-m =1 thì từ phương trình trên: α0 ==π nm− Đường thẳng tiệmcận chính là mộtnửatrụchoànhtiến ra xa vô cùng như hình 3.9a • Nếu n-m =2 thì ta có hai đường tiệmcậnnhư hình 3.9b là: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống π π α ==()k =0 0 nm− 2 211×+ 3π απ==()k =1 1 22 • Nếu n-m =3 thìtacóbađường tiệmcậnnhư hình 3.9c là: π π 211×+ ααππ==khi()kk = 0 ; = = khi() = 1 01nm− 33 221×+ 5π απ==khi()k = 2 2 33 jω λ = ∞ jω π jω λ =∞ π λ =∞ π α α α 0 2 0 0π 3 R0 3π R0 2 5π λ = ∞ (a) λ = ∞ (b) 3 (c) Hình 3.9. Đường tiệm cận với nm−=1, 2 và 3 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 5. Xác định hướng dịch chuyểncủaquỹđạo nghiệm • Từ phương trình A(p) = N(p) + λM(p) = 0 → -λ = N(p)/M(p) • Giả thiết p là số thực, ta xây dựng đồ thị hàm f(p) = N(p)/M(p). Giao điểmcủa đường cong f(p) với đường thẳng -λ sẽ xác định các nghiệm pi của A(p) = 0 ứng với các trị số λ xác định. • Từ các điểmcựctrị (df(p)/dp = 0) sẽ xác định các điểm các điểm tách khỏitrục thựccủamặtphẳng nghiệm. • Từđồthị f(p) và đường thẳng -λ, tùy thuộcvàosự biến đổicủa λ mà ta xác định đượchướng dịch chuyểncủaquỹđạo. 6. Xác định các giao điểmcủaquỹđạo nghiệmsố vớitrục ảocủamặtphẳng nghiệm • Nghiệmnằmtrêntrục ảocógiátrị p=jωc, khi đó PTĐT có dạng: A(jω) = PA(ωc) + jQA(ωc) = 0 Trong pt này còn có thông số λc chưabiếtnênphốihợpgiảihaiphương trình sau, ta sẽ tìm được giá trị tầnsố ωc và λc ở giao điểmquỹđạo nghiệmsố và trục ảo. PQAcc(ωλ) = 0; Acc( ωλ) = 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.5.3 Trình tự xây dựng quỹđạo nghiệmsố • Xác định các điểm đầuvàđiểmcuốicủaquỹđạo – Viết PTĐT dạng: N(p) + λM(p) = 0 – Điểm đầucủaquỹđạo ứng với n nghiệmcủa N(p) = 0 – Điểmcuốicủaquỹđạo ứng với m nghiệmcủa M(p) = 0 • Xác định các đường thẳng tiệmcậncủa(n-m) quỹđạotiếnraxavôcùng – Tâm hình sao của các tia tiệmcậncóhoànhđộ: 1 ⎛⎞nm R =−⎜⎟pp''' 0 nm− ⎜⎟∑ ij∑ ⎝⎠ij==11 21k + – Góc tạobởi các tia của hình sao và trục hoành: απ==−−()knm0, 1, , 1 k nm− • Xác định điểm tách khỏitrụcthựcvàhướng dịch chuyểncủaquỹđạo – Vẽđồthị hàm để tìm hướng dịch chuyểncủaquỹđạo: – Tính đạohàm để tìm điểm tách khỏitrụcthực(df(p)/dp = 0). – Nếucónhiều điểmcực đại. ta phảichọn điểmcó để phù hợpvớiphương trình -λ = N(p)/M(p) • Xác định giao điểmcủatrục ảovàquỹđạo nghiệm • Giảicácphương trình PQAcc()ωλ= 0; Acc( ωλ) = 0 để tìm ra ωc và λc. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Ví dụ 3.7. Vẽ quỹđạo nghiệmsố củahệ thống có hàm truyền đạthở: k Wph ()= p()()11++pT12 pT với k thay đổitừ 0 đến ∞ và T1=0.001s, T2=0,005s, Giải: Từ hàm truyền đạtcủahệ hở, ta có PTĐT củahệ kín tương ứng: ⎛⎞⎛⎞11k Ap()=+ p⎜⎟⎜⎟ p p ++=0 ⎝⎠⎝⎠TTTT1212 Với ⎛⎞⎛⎞11 k Mp()=+ pp⎜⎟⎜⎟ p +;1; Np() ==λ ⎝⎠⎝⎠TT12 TT 12 n=3, m=0, tứclàn-m=3 nên hệ thống này có ba đường tiệmcận (hình 3.9c). 1 1−− 1000 200 • Xác định điểm R0: pp12==−=−=−=−⇒=0, 1000; p 2 200 R 0 =− 400 TT12 3 11 • Vậy quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ pp12==−=−=−=−0, 1000; p 2 200 TT12 khi λ = 0 và tiệm cận với 3 tia khi λ = ∞. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 31 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.6 Độ dự trữổn định • Để đánh giá được chính xác quá trình quá độ ta phảibiết chính xác nghiệmcủa PTĐT. Có thể không cầngiải PTĐT mà vẫnbiết được vùng phân bố nghiệmsố của nó trên mặtphẳng phức. Ví dụ, có thể tìm được giá trị λ là giá trị phầnthựccủa nghiệmsố gầntrục ảonhất so với các nghiệm khác. Vùng gạch sọc trên hình 3.10a là vùng phân bố nghiệmsố của PTĐT. Giá trị λ đượcgọilàhệ số tắtdần, mức độ ổn định hay độ dự trữổn định củahệ thống. Nếu độ dự trữ nhỏ, hệ thống có thể từ ổn định trở nên mất ổn định. Bởivậy, khi thiếtkế cầnphảilựachọn độ dự trữổn định có độ lớncầnthiết. jω jω jω λ λ ϕ ϕ α α α ϕ ϕ (a) (b) (c) Hình 3.10 Các vùng phân bố nghiệm số 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 32
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống • Cũng có thể không cầngiải PTĐT mà tìm được giá trị góc 2ϕ, tương ứng vớiphần gạch sọc trên hình 3.10b, trong đó phân bố tấtcả các nghiệmsố của PTĐT. Giá trị m=-cotgϕ đượcgọilàmức độ dao động củahệ thống. Cả λ và m đềulànhững chỉ tiêugiántiếp đánh giá chấtlượng của quá trình quá độ. Nếukếthợp λ và m ta sẽ đượcsự phân bố nghiệmcủa PTĐT trong phầngạch sọc trên hình 3.10c. Ví dụ 3.8. • Tìm k để HTĐKTĐ saucóhệ số tắtdần λ=0.1 Up 1 Yp ( ) ⎛⎞1 ( ) k ⎜⎟1+ 3211pp2 + ++ p ⎝⎠2 p ()() Hình 3.11 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển Giải: ⎛⎞ ⎛⎞11⎜⎟kp()21+ • Hàm truyền đạtcủahệ hở: Wph ()=+ k⎜⎟1 = ⎝⎠2 p ⎜⎟321123211pp22+ ++ p pppp +++ ⎝⎠()() ()() 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 33 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống Wp( ) kp()21+ • Hàm truyền đạtcủahệ kín: Wp==h k () 2 1+Wph () 23pp()++ 2 p 1()() p ++ 1 kp 2 + 1 • PTĐT củahệ thống kín: 61062ppppkk432+++++=() 1 0 • Thay p = s - 0.1vào phương trình đặctrưng: 6ss43++ 7.6 3.36 sk 2 ++() 2 1.076 sk +− 0.8 0.1494 = 0 • Hệ có hệ số tắtdần λ trong tọa độ p sẽ tương ứng vớihệởbiên giới ổn định trong tọa độ s. Giả sử dùng tiêu chuẩn Routh để xét hệ thống • Lậpbảng Routh: 6 3.36 0.8k − 0.1494 7.6 2k + 1.076 0 19.08−− 12k 6.08 1.13544 0 −−24kk2 20.96 + 29.16 ⎪⎧ 19.08−> 12k 0 • Vậyhệởbiên giới ổn định khi: ⇔=kk0.749 > 0 ⎨ 2 () ⎩⎪−−24kk 20.96 + 29.16 = 0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 34
Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống jω jω y(t) y(t) mặt phẳng p mặt phẳng p 1 1 0 σ 0 σ t t 0 0 jω mặt phẳng p y(t) y(t) jω mặt phẳng p 0 σ 1 0 σ 1 t t 0 0 jω y(t) mặt phẳng p 1 0 σ t 0 Hình 3.12 Ví trí phân bố nghiệm trong mặt phẳng p 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 35 Chương 3. Khảo sát tính ổn định củahệ thống 3.7 Kếtluận • Nếuphương trình đặctrưng củahệ thống có ít nhấtmộthệ số âm thì có thể kếtluận hệ thống đó không ổn định • Tiêu chuẩnRouththường được dùng để xét ổn định củahệ thống vì đốivớicáchệ thống có phương trình đặc tính bậc cao, việctínhtoáncácđịnh thức Hurwitz rất phứctạp • + Các tiêu chuẩn ổn định tầnsố (Mikhailope, Nyquist) thường được dùng khi có sự trợ giúp của máy tính vì chúng xét ổn định củahệ thống dựavàobiểu đồ vector đa thức đặctrưng. • + Phương pháp xét ổn định cho hệ thống có thông số thay đổidựatrênquỹđạo nghiệmsố ít đượcsử dụng vì chúng ta thường xét các hệ thống có thông số bất biếntheothờigian(hệ thống dừng). • + Độ dự trữổn định củahệ thống điềukhiểntựđộng không những đảmbảokhả năng ổn định củahệ thống khi có thông số thay đổimàcònảnh hưởng đến tính chất quá độ củahệ thống. Trị số cụ thể của độ dự trữổn định đượcchọndựavàoyêucầu của quá trình quá độ 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 36
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống 4.1 Giớithiệu chung • Ổn định mớilàtiêuchíđầu tiên xem hệ thống có làm việc được hay không, còn chấtlượng củahệ thống nói lên rằng hệ thống đócósử dụng được hay không? Có ba chỉ tiêu chấtlượng cơ bảnlàchỉ tiêu ở trạng thái tĩnh, chỉ tiêu quá độ và chỉ tiêu tích phân. • + Ở trạng thái quá độ, hệ thống được đánh giá thông qua các tham số như thờigian điều khiển, độ quá điều khiển, thời gian quá độ, thờigianđáp ứng • + Ở trạng thái xác lập, hệ thống được đánh giá thông qua sai sốởtrạng thái xác lập. 4.2 Chỉ tiêu chấtlượng hệ thống ở trạng thái xác lập • Một trong các tiêu chí củahầuhếtcáchệ thống điều khiểntựđộng là ở trạng thái xác lập, đáp ứng đầu ra theo tín hiệuchuẩn ởđầuvàochínhxácđến đâu? Sai lệch giữa đầuravàtínhiệuchuẩn đầuvàoở trạng thái xác lập đượcgọilàsai số xác lập. Trên thựctế, do ma sát, do thiếtbị không hoàn hảo, do điềukiệnmôitrường nên hiếm khi không có sai số xác lập. Khi thiếtkế hệ thống, một trong các tiêu chí đặt ra là làm cách nào để sai số xác lậplànhỏ nhấthoặcthấphơnsaisố ngẫu nhiên và cùng vớinólàđáp ứng quá độ phảithoả mãn các chỉ tiêu đặtra. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống Trạng thái xác lậpcủahệ thống được đánh giá ut( ) bằng sai lệch dư của điều khiển, nó là giá trị y∞ sai lệch còn tồntại sau khi quá trình điều khiển kết thúc. Chỉ tiêu vềđộchính xác của điều ∂ khiển này do yêu cầucủa quy trình công nghệ tín hiệu ra yt( ) đặtramàhệ thống điều khiểnnhấtthiếtphải đáp ứng được. Giá trị sai lệch dư theo lý thuyết t đượckýhiệulà∂ và đượctínhtheocôngthức: 0 Hình 4.1 Đáp ứng của hệ thống ĐKTĐ ∂=lim et( ) t→∞ Trong đó e(t) là sai lệch động. Up() E ( p) Yp( ) Wph () Xét hệ thống như hình 4.2 với Wh(p) là hàm truyền đạthở: ⎪⎧Ep( ) =− Up( ) Yp( ) 1 ⎨ ⇒=E ()pUp() Hình 4.2. Hệ thống kín 1+Wp ⎩⎪Yp()= EpW (). h () p h () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Theo định lý tiếntớigiớihạn ảnh và gốc trong biến đổiLaplace: p limet()=⇒∂== lim pEp ( ) lim et () lim U() p tp→∞ →00 tp →∞ → 1+Wph () ⎧0 khit < 0 1 • Khi tín hiệuvàout()==1 () t⎨ ⇒ U ( p ) = ⎩1khit ≥ 0 p 1 Ta có ∂= lim p→01+Wph () • Khi tín hiệuvào ui()=⇒ kt U ( p ) = k p2 1 k Ta có: ∂= lim . p→01+Wpph () 1 Ví dụ 4.1: Tín hiệu vào có dạng bậcthangđơnvị : ut()=⇒1 () t U ( p ) = p • Nếuhệ là khâu dao động bậc2: kp11 Wp=⇒∂==lim () 2 k Tp++21ξ Tp p→01+ p k +1 Tp2 ++21ξ Tp 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Nếuhệ là khâu dao động bậchaimắcnốitiếpvớimột khâu tích phân: p 1 ∂=lim = 0 p→0 1 ⎛⎞k p 1+ ⎜⎟2 p ⎝⎠Tp++21ξ Tp Ví dụ 4.2: Nếu tín hiệuvàolàhàmtăng dần đều u(t)=t → U(p)=1/p2, hệ vẫn là khâu dao động bậchaimắcnốitiếpmột khâu tích phân. Sai lệch tĩnh được tính như trên: p 11 ∂=lim = p→0 1 ⎛⎞k p2 k 1+ ⎜⎟2 p ⎝⎠Tp++21ξ Tp • Khâu tích phân và hệ số khuếch đạicóảnh hưởng lớn trong việcxácđịnh sai lệch tĩnh củahệ thống. Tách riêng hai thành phần này trong hàm truyền đạthở: k bpmm+++ bp −1 1 Wp= 01 h () rnrnr−−−1 pap01+ ap ++ 1 r đượcgọilàbậc vô sai tĩnh củahệ thống 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Bảng 4.1 là kếtquả củamộtsố trường hợpthường gặp. Ởđây kp, kv, ka tương ứng là hệ số khuếch đạivớitrường hợptínhiệu vào là không đổi, tốc độ tín hiệu vào không đổivàgiatốccủa tín hiệu vào không đổi. Bảng 4.1 Bậc vô sai r = 0 r =1 r = 2 tĩnh Tín hiệu vào ut==1, t U p 1 p 0 0 ( ) ( ) ( ) 11( + K p ) 2 ut()== tU,1 ( p ) p ∞ 1 kv 0 23 ut()==()12 t , U () p 1 p ∞ ∞ 1 ka 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống 4.3 Chỉ tiêu chấtlượng ở quá trình quá độ σ • Xét hệ có đầuvàobậcthangđơnvị 2Δ • Đáp ứng quá độ củamộthệ thống là yt( ) vào bậc thang đơn vị rất quan trọng vì cả biên độ và thời 1.05 1 gian quá độ đềuphải đượcgiữ trong 0.95 phạm vi cho phép. 0.9 • Đốivớimộthệ thống điều khiển, đáp ứng quá độ thường có đượcbằng 0.5 cách ta cho tín hiệuvàohệ thống có dạng bậc thang đơnvị. Đầuracủahệ thống lúc đó đượcgọilàđáp ứng 0.1 bậc thang đơnvị. Hình 4.3 là đáp 0 td tm tσ ứng bậc thang đơnvị củamộthệđiều t tr khiểntuyến tính. Các chấtlượng được đánh giá trựctiếpgồm: tqd Hình 4.3 Đáp ứng quá độ của một hệ điều khiển 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Độ quá điềuchỉnh cực đại yymax − ∞ σ =−yymax ∞ hoặc σ %= 100 y∞ Độ quá điềuchỉnh cực đạithường đượcsử dụng để kiểm tra tính ổn định tương đối củahệ thống điều khiển. Mộthệ thống có độ quá điềuchỉnh cực đạilớnthường không phải là mong muốn. Khi thiếtkế, ngườitaxemđộ quá điềuchỉnh cực đạinhư là một tiêu chí trong miềnthời gian. Trên hình 4.3, độ quá điềuchỉnh cực đạixảyraở lần quá điềuchỉnh đầu tiên. Ở mộtsố hệ thống, độ quá điềuchỉnh cực đạicóthể xảy ra ởđỉnh sau đó. Nếuhàmtruyền đạtcủahệ thống có sốđiểm không (zero) nằmbên phảimặtphẳng p lẻ thì hiệntượng độ quá điềuchỉnh âm có thể xảyra. • Thờigiantrễ: Thờigiantrễ td được định nghĩalàthờigianyêucầu để đáp ứng đạt 50% giá trị xác lập. • Thờigiantăng: Thờigiantăng là thờigianyêucầu để đáp ứng tăng từ 10% lên 90% giá trị xác lập. Có một cách định nghĩa khác, thờigiantăng là nghịch đảocủa đường đáp ứng tạithời điểmnóđạt 50% giá trị xác lập. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Thời gian quá độ Thờigianquáđộ tqd đượcxácđịnh bởithời điểmmàhàmquáđộ y(t) không vượtra khỏibiêngiớicủamiềngiớihạn Δ quanh trị số xác lập. • Thờigianđáp ứng Thờigianđáp ứng tm xác định bởithời điểm mà hàm quá độ lần đầu tiên đạt được trị số xác lập y∞ khi có quá điềuchỉnh. • Thờigiancóquáđiềuchỉnh Thờigiancóquáđiềuchỉnh tσ đượcxácđịnh bởithời điểm hàm quá độ đạtcực đại. • Số lần dao động Số lầndaođộng N được tính bởisố lần mà hàm quá độ dao động quanh trị số xác lậptrongthời gian quá độ. σ , tσ và N đặctrưngchotínhchất suy giảmcủa quá trình quá độ. tqd và tm đặctrưng cho tính chấttácđộng nhanh củahệ. • Trên đây là các chỉ tiêu đánh giá chấtlượng quá trình quá độ của đáp ứng bậc thang đơnvị. Các chỉ số này tương đốidễđo đốivới đáp ứng bậc thang. Tuy nhiên, theo phép phân tích thì những đạilượng này rất khó xác định trừ khi hệ thống có bậc nhỏ hơn3. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống 4.4 Đánh giá chấtlượng hệ thống • Đánh giá chấtlượng hệ thống qua tiêu chuẩn tích phân. Quá trình quá độ điềukhiển có thểđược đánh giá là tốthay xấu thông qua giá trị tích phân củasailệch giữagiá trị chủđạovàgiátrị tứcthời đo đượccủa đạilượng cần điềukhiển. • Gọi tín hiệuracủahệ thống là y(t), giá trị củanóở trạng thái xác lậplày(0), sai lệch củacả quá trình điều khiểnlàe(t) = y(t) - y(0). • Đốivớihệ thống không dao động vớisailệch của tín hiệu điều khiển đượcmôtả trong hình 4.4 có thể sử dụng tiêu chuẩn tích phân dạng I1 để đánh giá chấtlượng của quá trình quá độ. ∞ Ietdt1 = () ∫0 e 2 • I chính là diện tích hình đượctạobởi đường cong 1 1 và hai trụctọa độ. Theo hình 4.4, quá trình quá độ trường hợp1 tốthơn, giá trị của I1 trong trường hợp1 t nhỏ hơn. Vậy I1 càng nhỏ thì quá trình quá độ xảyra càng nhanh và ngượclại. Quá trình quá độ sẽ tốtnhất Hình 4.4 Quá độ không dao động nếu I1→min 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Đốivớihệ có dao động thì I1 lại không sử dụng được. Theo hình 4.5, quá trình quá độ theo đường 1 tốthơnnhưng nếu tính theo I1 thì nó lại cho giá trị lớnhơn. Trong trường hợp này, ta phảisử dụngtíchphândạng: ∞ I2 = edt ∫0 • Với công thức này, dấucủa không còn ảnh hưởng tới giá trị của tích phân nữa. Theo hình 4.5, giá trị I2 của đường 1 nhỏ hơn đường 2 và quá trình điều khiểnsẽ tốt nhấtnếu I2→min. • Tuy I2 có thể sử dụng để đánh giá chấtlượng của quá trình quá độ có hay không có dao động nhưng trên thựctế nó ít đượcsử dụng vì muốn tính I2 thì phảibiếttrước đường biến thiên của e. • Để thuậntiện cho việc đánh giá quá trình quá độ, e 1 ngườitasử dụng tiêu chuẩntíchphânbìnhphương 2 sai lệch được tính theo công thứcdạng: t ∞ 2 Iedt3 = ∫0 I3 cho phép tính toán và thựchiện đơngiảnhơn I2 Hình 4.5 Quá độ có dao động 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống • Cáctíchphântrêncómộtnhược điểmcơ bảnlàchưa đánh giá ảnh hưởng củatốc độ thay đổicủa e lên chấtlượng quá trình quá độ. Để khắcphụcnhược điểm này, có thể sử dụng tiêu chuẩntíchphândạng: ⎡ 2 ⎤ ∞ 2 ⎛⎞de I4 =+⎢edtα ⎜⎟⎥ ∫0 ⎢ ⎝⎠dt ⎥ ⎣ ⎦ tt trong đó α là giá trị cốđịnh, thông thường đượcchọn trong khoảng qd<<α qd 63 • I4 cho ta sựđánh giá đầy đủ về chấtlượng quá trình quá độ. Khi I4→min nghĩalà đạt được I4 nhỏ nhưng tốc độ thay đổicủasailệch cũng không cao. Đốivớitừng hệ thống riêng biệtphảichọn được giá trị α thích hợp, có thể chọn α nhỏ cho quá trình cho phép dao động lớn. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 4. Đánh giá chấtlượng hệ thống 4.5 Tổng kết • + Chỉ tiêu ở trạng thái tĩnh: được đánh giá dựavàosailệch dư của điều khiểnvà được tính theo công thức: • + Chỉ tiêu ở trạng thái quá độ: được đánh giá bằng hai chỉ tiêu cơ bảnlàthờigian kéo dài của quá trình điều khiểnvàtínhdaođộng của điều khiển. Các chỉ tiêu này do yêu cầuvề chấtlượng của quy trình công nghệđặtra. Nóđượcthể hiện qua một số tiêu chí như thờigianđiềuchỉnh, độ quá điềuchỉnh, số lầndaođộng • + Chỉ tiêu tích phân: Dùng để đánh giá chấtlượng của quá trình quá độ. Dựavào đặc điểmcủatừng loại quá trình quá độ mà ta có thể dùng các chỉ tiêu tích phân khác nhau như quá trình quá độ có dao động, không có dao động 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.1 Giới thiệu chung • Thiết kế một hệ thống điều khiển tuyến tính có thể được thực hiện trong miền thời gian hoặc trong miền tần số. Ví dụ, khi đầu vào có dạng bậc thang, xung Diract hoặc là đường parabol và cần xác định độ chính xác thì ta tiến hành phân tích hệ thống trong miền thời gian. Khi xét các chỉ tiêu như độ quá điều chỉnh cực đại, thời gian đáp ứng, thời gian quá độ thì việc phân tích hệ trong miền thời gian đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong miền tần số, ta thường xét đồ thị Bode, toạ độ các điểm cực, đồ thi biên độ - pha và biểu đồ Nichols. Đối với hệ bậc hai, ta có thể dễ dàng xác định mối quan hệ giữa các đặc điểm trong miền thời gian và trong miền tần số nhưng với các hệ thống có bậc cao hơn, việc này rất khó thực hiện. • Hầu hết các phương pháp thiết kế một hệ thống điều khiển thông thường đều có cấu hình “cứng”. Nhiệm vụở đây là phải chọn bộ điều khiển có cấu trúc như thế nào? Bộ điều khiển là cơ cấu có cấu trúc nhất định và thông số có thể thay đổi trong phạm vi nhất định. Khác với bộ điều khiển, khâu điều khiển được lắp ráp với thông số cố định, sau đó tính toán đối với một đối tượng cụ thể. Chức năng của bộ điều khiển và khâu điều khiển là như nhau. Có thể mắc cả khâu điều khiển và bộ điều khiển trong cùng một hệ thống để nâng cao chất lượng. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 1 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Theo chức năng, bộ điều u e x y u e x y khiển được phân thành C O O các loại là bộ điều khiển tỉ lệ (P - Proportional), C a. bộ điều khiển tích phân b. (I – Integration), bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân u e x u e x y C A C1 O (PI), bộ điều khiển tỉ lệ - y vi phân (PD - Proportional Derivative) C2 B c. và bộ điều khiển tỉ lệ vi d. tích phân (PID). • Vị trí của bộ điều khiển u e x y C1 trong một hệ thống điều C1 C2 O khiển tương đối linh u x y C2 O hoạt. Hình 5.1 biểu diễn e e. một số cấu hình hệ thống f. thường được sử dụng Hình 5.1. Cấu hình hệ thống điều khiển tự động 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Hệ thống trên hình 5.1 a, b, c chỉ yêu cầu một bộ điều khiển, thậm chí nó dùng được cho hệ thống có nhiều hơn một tham số thay đổi. Nhược điểm của các hệ thống này là nó giới hạn các chỉ tiêu kỹ thuật yêu cầu. • Bộ điều khiển thường sử dụng trong các hình 5.1 d, e, f là PID vì nó xử lý tín hiệu vào theo ba thành phần là tỉ lệ, vi phân và tích phân. Do các tín hiệu này rất dễ nhận ra và phân biệt trong miền thời gian nên bộ điều khiển PID được sử dụng để phân tích hệ thống trong miền thời gian. • Sau khi đã chọn được cấu hình cho bộ điều khiển, người điều khiển lại phải chọn cách điều khiển cho phù hợp với đối tượng nhằm thoả mãn các chỉ tiêu kỹ thuật đã đặt ra. • Tiếp theo là chọn thông số cho bộ điều khiển. Các thông số này thường là một hoặc nhiều thông số của hàm truyền đạt của bộ điều khiển. Cách thông thường là sử dụng công cụ phân tích đã giới thiệu ở các chương trước để xác định sựảnh hưởng của từng tham số riêng rẽ lên hệ thống. Dựa vào thông tin này mà các tham số được chọn nhằm thoả mãn các yêu cầu đặt ra • Khithiết kế phải vạch ra được các điểm chính hay tìm được luật thiết kế. Trong miền thời gian thì sử dụng phương pháp biến đổi Laplace (mặt phẳng p) còn trong miền tần số thì sử dụng đồ thị biên độ - pha. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.2 Các phương pháp nâng cao chất lượng hệ thống • Khi đã xác định được tham số tối ưu của thiết bị điều khiển mà vẫn không đáp ứng được chất lượng của quá trình điều khiển thì ta phải tìm các biện pháp khác để nâng cao chất lượng, đólà thay đổi cấu trúc của hệ thống điều khiển tự động. 5.2.1 Phương pháp bù tác động nhiễu • Trong hệ thống điều khiển tự động thường có nhiễu tác động làm ảnh hưởng chất lượng của quá trình điều khiển. Nếu các nhiễu này đo được thì có thể sử dụng nguyên lý bất biến bù tác động nhiễu để nâng cao chất lượng điều khiển của hệ thống. Nếu có một nhiễu nào đó tác động lên hệ thống nhưng cả tín hiệu ra và sai lệch đều không đổi thì hệ thống bất biến với tác động của nhiễu đó. Như vậy, nếu chúng ta xây dựng được hệ thống bất biến với nhiễu tác động thường xuyên thì chất lượng của quá trình điều khiển được nâng cao rất nhiều. Nhiễu của hệ thống được chia ra làm hai loại là nhiễu phụ tải và nhiễu đặt trước. 5.2.1.1 Bù nhiễu phụ tải • Hệ thống điều khiển tự động chịu tác động của nhiễu phụ tải z(t). Yêu cầu đặt ra là phải xây dựng lại hệ thống sao cho nó bất biến với tác động đó. Muốn vậy, trong hệ thống phải ghép thêm phần tử bù với hàm truyền đạt Wb(p) như hình 5.2. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Để y(t) bất biến với nhiễu z(t), nghĩa là khi có z(t) tác động thì y(t) vẫn cố định thì cấu trúc của hệ thống phải thỏa mãn điều kiện: WpWpWpb () 12 () ()+ Wp 3 ()= 0 • Vậy, hàm truyền đạt của phần tử bù phải được xây dựng theo công thức: Wp3 ( ) Wpb ()=− WpWp12(). () • Khi khối bù có hàm Z ( p) truyền đạt như trên thì Đối tượng y(t) sẽ hoàn toàn cố định Wpb ( ) khi có tác động z(t). Ta Wp3 ( ) nói y(t) bất biến tuyệt Up() E ( p) Wp2 () đối so với tác động z(t). Wp1 ( ) Yp() Hình 5.2 Xây dựng hệ thống bất biến với nhiễu phụ tải 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.2.1.2 Bù nhiễu đặt trước • Trong hệ thống điều khiển chương trình, tín hiệu vào thường thay đổi liên tục. Việc xây dựng hệ thống điều khiển chương trình có độ chính xác cao là rất cần thiết. Nếu chỉ sử dụng các hệ thống điều khiển thông thường thì luôn tồn tại sai lệch dư (xem chương 4). Có thể làm cho hệ thống điều khiển có độ chính xác cao hơn bằng cách sử dụng nguyên lý bất biến theo tác động của tín hiệu vào( hình 5.3). • Điều kiện bất biến ở đây là giá trị ra y(t) của hệ thống phải luôn luôn bằng giá trị đặt u(t), tức giá trị sai lệch e(t)=0 khi u(t) thay đổi. Để điều kiện này xảy ra thì cấu trúc của hệ thống phải đảm bảo được đẳng thức: WpWpb ( ).12 ( ) = Wpb ( ) • Như vậy, hàm truyền đạt của khối bù phải được Up Ep( ) ( ) Wp() Wp( ) Yp( ) xây dựng theo công thức: 1 2 1 Wpb ()= Wp2 () Hình 5.3 Sơ đồ hệ thống điều khiển bù nhiễu đặt trước 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Khi cấu trúc của khối bù được xây dựng hoàn toàn chính xác theo công thức trên thì sẽ luôn đảm bảo y(t)=u(t) và ta có thể nói hệ thống bất biến với nhiễu đặt trước. • Trong thực tế, W2(p) là hàm truyền đạt của đối tượng điều khiển có cấu trúc phức tạp nên việc xây dựng hàm truyền đạt của khối bù theo công thức trên không thể thực hiện được, có nghĩa là không thể tạo được bất biến tuyệt đối mà chỉ có thể xây dựng hệ thống bất biến tương đối. Có thể sử dụng phép bù tĩnh là phép bù đơn giản nhất. Trong phép bù tĩnh, hàm truyền đạt của khối bù chỉ là khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại bằng giá trị nghịch đảo hệ số truyền của đối tượng. 5.2.2 Phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng • Sự chậm trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu theo kênh điều khiển của đối tượng là những nguyên nhân cơ bản làm cản trở tốc độ tác động của thiết bị điều khiển và vì vậy, làm giảm độ chính xác của điều khiển. Trong trường hợp này, nhiều hệ thống điều khiển có cấu trúc mạch vòng không đáp ứng được yêu cầu về chất lượng của quá trình điều khiển ngay cả khi sử dụng các quy luật điều khiển phức tạp với tham số tối ưu của nó. Để nâng cao chất lượng của các hệ thống điều khiển đó, tốt nhất là sử dụng hệ thống điều khiển tầng có sơ đồ cấu trúc được mô tả như trong hình 5.4. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Hệ thống có hai thiết bị điều khiển. Đại lượng cần điều khiển ở đây là y(t), tín hiệu vào là u(t), thiết bị điều khiển có hàm truyền đạt Wm1(p) và đối tượng có hàm truyền đạt W1(p). Do tính chất trễ và quán tính trong việc truyền tín hiệu điều khiển theo kênh nên chất lượng của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu. Chất lượng của hệ thống điều khiển sẽ được nâng cao nếu chúng ta xây dựng thêm một mạch điều khiển phụ tựổn định và một tham số trung gian của đối tượng điều khiển y1(t), có hàm truyền đạt là W2(p). Để ổn định đại lượng trung gian này, thiết bị điều khiển Wm2(p) được sử dụng. Z ( p) Xp1 () Up( ) E ( p) Yp() Wpm1 () Wpm2 ( ) Wp1 () Yp1 () Wp2 () Hình 5.4 Hệ thống điều khiển tầng 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Điều cơ bản ở đây là tín hiệu truyền qua đối tượng theo kênh W2(p) phải nhanh hơn kênh W1(p). Thiết bị điều khiển Wm1(p) không tác động trực tiếp lên đối tượng điều khiển mà tín hiệu ra của nó là tín hiệu chủ đạo cho thiết bị điều khiển Wm2(p). • Trong khi tổng hợp hệ thống phải đảm bảo quá trình quá độ của mạch vòng trong (Wm2(p)-W2(p)) phải xảy ra nhanh hơn rất nhiều so với mạch vòng ngoài (mạch vòng chính với thiết bị điều khiển Wm1(p)). Như vây, khi có nhiễu z(t) tác động thì máy điều khiển Wm2(p) sẽ nhanh chóng tác động theo tín hiệu trung gian y1(t) để khửảnh hưởng của nhiễu này lên mạch vòng chính. Rõ ràng, chất lượng của quá trình điều khiển được nâng cao rất nhiều. • Đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm2(p) là W2(p), còn đối tượng điều khiển của thiết bị điều khiển Wm1(p). phải được xác định theo công thức: WpWpm21(). () Wpd1 ()= 1.+WpWpm22() () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3 Bộ điều khiển 5.3.1 Bộ điều khiển tỉ lệ (P) • Trong các ví dụ về hệ thống điều khiển, bộ điều khiển thường là một bộ khuếch đại đơn giản với hệ số khuếch đại là hằng số K. Đây được gọi là bộ điều khiển tỉ lệ vì mối quan hệ giữa tín hiệu vào và ra tuân theo quy luật tỉ lệ. • Tín hiệu điều khiển trong quy luật tỉ lệ được hình thành theo công thức: x=KP.e • Trong đó KP là hệ số khuếch đại của quy luật. • Đặc điểm: – Tín hiệu ra luôn trùng pha với tín hiệu vào. – Tồn tại sai lệch tĩnh khi sử dụng cho các đối tượng tĩnh. • Trong công nghiệp, quy luật tỉ lệ thường được dùng cho những hệ thống cho phép tồn tại sai lệch tĩnh. Để giảm sai lệch tĩnh, quy luật tỉ lệ thường được hình thành theo biểu thức. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ x =x0 + KP.e • Trong đó x0 là điểm làm việc của hệ thống. Tác động điều khiển luôn giữ cho tín hiệu điều khiển thay đổi xung quanh giá trị này khi xuất hiện sai lệch. Hình 5.5 mô tả quá trình điều khiển với các hệ số KP khác nhau e K3 KK123>> K K2 K1 0 t Hình 5.5 Quá trình điều khiển với các hệ số K p khác nhau 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.2 Bộ điều khiển tích phân (I) • Trong quy luật tích phân, tín hiệu điều khiển được xác định theo biểu thức: 11L Xp( ) 1 xK==⎯⎯i ∫∫ edt edt→= Xp() Ep() ⎯⎯→== Wp () TTpEpTpii() i trong đó Ti=1/Ki được gọi là hằng số thời gian tích phân • Giá trị điều khiển x chỉ đạt được giá trị xác lập khi e = 0. Như vậy ưu điểm của quy luật tích phân là triệt tiêu sai lệch tĩnh. • Hàm truyền đạt tần số của khâu tích phân: 11 Wj()ω ==−⎯⎯ j→=Re 0; Im =− 1 ω Ti jTωωii T Im π ⎯⎯→=ϕω() arctg = arctg () −∞=− Re 2 • Vậy, tín hiệu ra luôn chậm pha so với tín hiệu vào một góc π/2 Æ độ tác động chậm Æ hệ kém ổn định Æ ít được sử dụng 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.3 Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD) • Tác động điều khiển của quy luật PD được hình thành theo công thức: de⎛⎞ de Xp() x =+KeKPD = K P⎜⎟ eT + D . ⎯⎯→==+=+ Wp() K PDPD K . p K() 1. Tp dt⎝⎠ dt E() p • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân. • Hàm truyền tần số của quy luật PD: Wj()ω =+ KPD (1. jTωω ) ⎯⎯→= Re;Im K P = KT PD Im ⎯⎯→=ϕω() arctg = arctg()T . ω Re D • Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ 0 đến π/2, Æ tốc độ tác động của PD nhanh hơn P. PD cải thiện quá trình quá độ, giảm độ quá điều chỉnh cực đại. Do có thành phần vi phân nên hệ thống phản ứng với các nhiễu cao tần có biên độ nhỏ, PD cũng không làm giảm sai lệch dư Æ PD chỉ sử dụng khi cần tốc độ tác động nhanh như điều khiển tay máy 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 5. yt (Thi) ết kế hệ thống ĐKTĐ 1 0 t et( ) 1 0 t de dt 0 t 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14 Hình 5.7 Dạng sóng của yt( ), et( ) và de dt
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.4 Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI) • PD cải thiện quá trình quá độ và thời gian lên của hệ thống, tăng băng thông và tần số cộng hưởng. Tuy nhiên, nó không thể triệt tiêu sai số xác lập, nhất là với các hệ thống có nhiễu. Do vậy, rất nhiều trường hợp không thể sử dụng bộ điều khiển PD. • Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức: ⎛⎞11Xp( ) KI ⎛⎞ xKeK=+PI ∫∫ edtK = P⎜⎟ e + edt . ⎯⎯→= Wp() =+=+ K P K P ⎜⎟ 1 ⎝⎠TEppTpII() ⎝⎠. • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân. • Hàm truyền tần số của quy luật PI: ⎛⎞1 KP Wj()ω =− KPP⎜⎟1Re;Im j ⎯⎯→= K =− ⎝⎠TTII ω ω Im⎛⎞ 1 ⎯⎯→=ϕω() arctg =− arctg ⎜⎟ Re⎝⎠TI .ω • Khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ thì ϕ thay đổi từ -π/2 đến 0. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Phương pháp khả thi khi thiết kế bộ điều khiển PI đólàchọn điểm không ở vị trí p=-KI/KP, vì nó rất gần với gốc toạ độ và xa các điểm cực của quá trình, các giá trị của Kp và Kp phải tương đối nhỏ. e 1 3 2 5 4 0 t Hình 5.10 Các quá trình quá độ điều khiển của quy luật PI 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.3.5 Bộ điều khiển tỉ lệ -vi phân - tích phân (PID) • PID được tạo thành từ việc mắc song song hai bộ điều khiển PI và PD: • + Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển PD: chọn hệ số khuếch đại sao cho đạt được độ ổn định theo yêu cầu. Trong miền thời gian, độ ổn định có thể được đo bằng độ quá điều chỉnh cực đại và trong miền tần số là độ dự trữ pha. • + Lựa chọn tham số của hai thành phần tỉ lệ trong hai bộ điều khiển để thoả mãn các yêu cầu đã đặt ra trên cơ sở tính ổn định của hệ thống • Tác động điều khiển của quy luật PI được hình thành theo công thức: de⎛⎞1 de xKeK=+PI ∫∫ edtK + D = K P⎜⎟ e + edtT + D dt⎝⎠ TI dt KI ⎛⎞1 ⎯⎯→=++=++Wp() KPDPD K.1 p K⎜⎟ T . p pTp⎝⎠I . • Trong đó KP là hệ số khuếch đại và TI=KP/KI là hằng số thời gian tích phân, TD=KD/KP là hằng số thời gian vi phân 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Hàm truyền tần số của khâu PID: ⎛⎞11⎛⎞ Wj()ωω=++ KPDPPD⎜⎟1Re;Im jT ⎯⎯→= K = K⎜⎟ ω T − ⎝⎠jωωTTiI⎝⎠ • Đặc tính pha tần: Im ⎛⎞ω2TT.1− ϕω ==arctg arctg ID () ⎜⎟ Re ⎝⎠ωTI 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.4 Tính điều khiển được và quan sát được 5.4.1 Tính điều khiển được • Điều khiển được nếu có một vector điều khiển để với một tác động đầu vào, hệ thống chuyển từ trạng thái này đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian hữu hạn . −1 p−1 y u x2 p x2 1 x1 x1 1 Hình 5.11 Hệ thống không điều khiển được hoàn toàn • Hình 5.11, tín hiệu u(t) không có ảnh hưởng gì đến biến trạng thái x1 nên hệ này không điều khiển được hoàn toàn 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Định lý 5.1. (định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ thống tuyến tính được mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n: xt ()=+ Axt ( )() But điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằngn: P = ⎡⎤BABAB.21 . An− . B ⎣⎦ • Ví dụ: Cho hệ thống: ⎧ ⎡⎤⎡⎤0.5 0− 1 ⎪XXU=+⎢⎥⎢⎥ ⎨ ⎣⎦⎣⎦−21 0 ⎪ ⎩yX= []11. Hệ có điều khiển được hoàn toàn không? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.4.2 Tính quan sát được • Quan sát được nếu từ các tọa độ đo được ở đầu ra của hệ thống có thể khôi phục được các vector trạng thái x(t) trong một khoảng thời gian hữu hạn. −1 −1 y u x2 p x2 x1 p x1 1 Hình 5.13 Hệ thống không quan sát được hoàn toàn • Hệ thống trong hình 5.13 không quan sát được hoàn toàn vì tín hiệu ra y(t) không có thông tin gì về biến trạng thái x2. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ • Định lý 5.2. (Đây là định lý bất biến về tính quan sát được của hệ thống): Hệ tuyến tính dừng liên tục được mô tả bởi phương trình trạng thái: xt ()=+ Axt ( )() But • được gọi là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận sau có hạng bằng n: LCACAC= ⎡⎤''.''.' '.'()21 () An− C ⎣⎦⎢⎥ • Ví dụ: Cho hệ thống: ⎧ ⎡⎤⎡⎤010 0 ⎪ ⎢⎥⎢⎥ ⎪XXU=−⎢⎥⎢⎥0.5 − 0.2 0.3 . + 0 . ⎨ ⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎣⎦⎣⎦−−−30 65 5 30 ⎪ ⎩yX= []100. • Xét tính quan sát được của hệ thống? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22
Chương 5. Thiết kế hệ thống ĐKTĐ 5.5 Tổng kết • Có những hệ thống không thể thỏa mãn được các yêu cầu kỹ thuật đặt ra dù các tham số của bộ điều khiển đã được chọn tối ưu. Trong trường hợp đó, ta phải thay đổi cấu trúc của nó theo các phương pháp khác nhau như phương pháp bù tác động nhiễu (nếu biết được nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu phụ tải hoặc nhiễu đặt trước), phương pháp xây dựng hệ thống điều khiển tầng, phương pháp phân ly • Theo chức năng, các bộ điều khiển được phân ra thành bộ điều khiển tỉ lệ, bộ điều khiển tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân, bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân và bộ điều khiển tỉ lệ vi tích phân. Bộ điều khiển P làm giảm sai lệch nhưng không thể triệt tiêu vì hệ số khuếch đại không thể quá lớn. Bộ điều khiển I có thể triệt tiêu sai lệch tĩnh nhưng có độ tác động chậm. Bộ điều khiển PI có thể thay đổi được tốc độ giảm sai lệch Bộ điều chỉnh PD cải thiện được chất lượng động nhưng không triệt tiêu được sai lệch tĩnh còn bộ điều khiển PID kết hợp được các đặc điểm của cả ba thành phần PID là hệ thống có thể làm việc ổn định với mọi đối tượng, triệt tiêu được sai lệch tĩnh của hệ thống và bộ điều khiển có tác động nhanh. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Nội dung 9 6.1 Giới thiệu chung 9 6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc 9 6.3 Mô tả toán học hệ thống rời rạc 9 6.4 Hàm truyền đạt trong hệ rời rạc 9 Tổng kết 12/31/2009V ũ Anh Đào - PTIT1 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.1 Giới thiệu chung •Chuyển tín hiệu liên tục thành gián đoạn gọi là quá trình lấy mẫu. – Theo mức: giá trị tín hiệu ra chia theo những mức phụ thuộc vào giá trị tín hiệu vào. – Theo thời gian: thực hiện sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ lấy mẫu T. Phần tử thực hiện điều này là phần tử xung –Hỗn hợp: chia giá trị tín hiệu ra những mức đều nhau. Chu kỳ lấy mẫu là cố định, giá trị tín hiệu ra bằng giá trị mức lấy mẫu gần với giá trị tín hiệu vào tại thời điểm lấy mẫu nhất. •Hệ gián đoạn sử dụng phần tử xung gọi là hệ xung. Quá trình hình thành xung ở đầu ra của phần tử xung phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu tại thời điểm lấy mẫu, và được gọi là quá trình điều chế xung. Có bốn phương pháp điều chế xung là theo biên độ, theo độ rộng, theo pha và theo tần số. Hệ xung sử dụng phương pháp điều chế theo biên độ hoặc độ rộng xung. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 2
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 5 4 3 2 1 0 T 2T 3T 4T 5T (a) (b) 5 4 Một số phương pháp lấy mẫu 3 (a). Lấy mẫu theo mức 2 (b). Lấy mẫu theo thời gian 1 (c). Lấy mẫu hỗn hợp 0 T 2T 3T 4T 5T (c) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 3 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.1.1 Sơ đồ khối hệ thống ut( ) et( ) eiT() ut1 ( ) yt( ) ZOH WpLT () T f (t) WpFH ( ) 6.1.2 Bộ lưu giữ bậc 0 (ZOH – Zero Order Hold) • Trong khoảng thời gian T, giá trị hàm rời rạc được giữ không đổi. • Hàm truyền đạt của khâu ZOH: 1 Wp()= 1- e- pT LG p () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 4
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.2 Mô tả toán học tín hiệu rời rạc 6.2.1 Biến đổi Z Định nghĩa – Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k): ∞ Xz()== Zxk{} () ∑ xkz()−k Trong đó: k =−∞ ¾ Z=eTp với p là biến Laplace ¾ X(z) là biến đổi z của chuỗi x(k) − Nếu x(k)=0, ∀k<0: ∞ X ()zZxk=={} () ∑ xkz()−k k =0 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 5 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Miền hội tụ ROC (Region Of Convergence): Là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn •Giả xử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ T ta được chuỗi rời rạc x(k)=x(kT). •Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t): ∞ X * ()pxkTe= ∑ ( )−kTp k=0 •Biểu thức biến đổi Z của chuỗi x(k)=x(kT): ∞ Xz()= ∑ xkz ()−k k =0 •Do z=epT nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi z là như nhau. Vậy bản chất của việc biến đổi z một tín hiệu là rời rạc hoá tín hiệu đó. 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 6
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Tính chất của biến đổi Z: •Cho x(k), y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là X(z), Y(z): 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 7 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Biến đổi Z của các hàm cơ bản •Hàm δ(t): • Hàm 1(t): 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 8
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 9 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.2.2 Sai phân •Nếu dãy xung x(nT) có độ rộng vô cùng nhỏ, có thể xem đó là xung tức thời (hàm rời rạc x(i)). •Với hàm rời rạc x(i), không có phép tính đạo hàm, tích phân, vi phân nhưng có phép tính tương tự là sai phân và tổng. 6.3 Mô tả toán học hệ rời rạc 6.3.1 Mô tả toán học bằng phương trình sai phân và hàm truyền đạt ayinayin01( ++) ( +−++1 ) ann− 1 yi( ++ 1) ayi( ) =+++−++++buimbuim01() (1 ) bmm− 1 ui () 1 bui () Trong đó n>m, n là bậc của hệ thống. Biến đổi Z hai vế phương trình: nn−1 aZYZ01()++++ aZYZ () ann− 1 ZYZ( )() aYZ mm−1 =+bZUZ01() bZUZ () +++ bmm− 1 ZUZbUZ () () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 10
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Yz bZmm++++ bZ−1 b Z b • Hàm truyền đạt: ( ) 01mm− 1 WZ()==nn−1 Uz() aZ01+ aZ++ ann− 1 Z + a −−(nm) −−+−11mm Yz() zbbZbZbZ( 01+++ mm− 1 + ) Hoặc WZ()== −−+−11nn Uz() a01++++ aZ ann− 1 Z aZ •Vídụ:Tìm hàm truyền đạt của hệ có phương trình sai phân: 5433yi()+−+++−=+−++ yi () yi( 1233212)()() yi ui ui( )() ui •Giải: Biến đổi Z cả hai vế của phương trình, ta được: 53Z 43Yz( ) −+−=−+ ZYz( ) ZYz( ) 2322 Yz( ) ZUz 3( ) ZUz( ) Uz( ) Yz() 322ZZ3 −+ • Hàm truyền đạt của hệ là: Wz()== Uz() 53 Z43−+− Z Z 2 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 11 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Cấu hình thường gặp của các hệ điều khiển rời rạc: et() eiT( ) ut( ) ut1 ( ) y (t) WC(p) ZOH WpLT () T f (t) WpFH ( ) Yz() WCLT( zW)(). z • Hàm truyền đạt của hệ kín: Wzk ()== Uz() 1.+ WC () zWz () −1 ⎧WpLT ( )⎫ −1 ⎧WpWpLT(). PH ( )⎫ Trong đó: WzLT ()=−()1 zZ⎨ ⎬ Wz()=−()1 z Z⎨ ⎬ ⎩⎭p ⎩⎭p 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 12
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Vídụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: U(p) Y(p) WLT(p) 3 Wp()= LT p + 2 • Hàm truyền đạt hệ hở −−11⎧⎫WpLT ( ) ⎪⎪⎧⎫3 0.949 WzLT ()=−()11 zZ⎨⎬ =−() zZ ⎨ ⎬ = ⎩⎭pppz⎩⎭⎪⎪()+−2 0.368 • Hàm truyền đạt hệ kín: WzLT ( ) 0.948 Wzk ()== 10.580++WzLT () z 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 13 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Vídụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: Up() Yp( ) − p ZOH WpLT ( ) 3e T=0.5 Wp()= LT p + 3 1 WpFH ()= WfFH ( ) p +1 − p −−11⎧⎫WpLT () ⎪⎧ 3e ⎪⎫ WzLT ()=−()11 zZ⎨⎬ =−() zZ ⎨ ⎬ ⎩⎭ppp⎪⎩⎭()+ 3 ⎪ 0.777 = zz2 ()− 0.223 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 14
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc ⎧⎫WpWp( ). ( ) zAzB( + ) Wz=−131 z−−−112 ZLT PH = − z z () ()⎨⎬() −×3 0.5 −× 1 0.5 ⎩⎭p ()zzeze−−1 ()() − ()131−−−ee−×30.5( 0.5) A ==0.0673 31()− 3 31eeee−×30.5()(−− − 0.5 − 0.5 1 − −× 30.5 ) B ==0.0346 31()− 3 −1 ⎧⎫WpWpLT(). PH ( ) 0.202z + 0.104 ⎯⎯→=−Wz() ()1 z Z⎨⎬ =2 ⎩⎭pzzz()()−−0.223 0.607 • Hàm truyền đạt hệ kín: Yz( ) W( z) 0.777( z− 0.607) Wz()==LT = k Uz() 1+−+++ Wz() z43 0.83 z 0.135 z 2 0.202 z 0.104 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 15 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Vídụ: Tìm hàm truyền đạt của hệ thống: Up e(i) u(i) Yp() () ZOH WzC () WpLT () T=0.5 WfFH ( ) •Trong đó: 5e−0.2 p Wp()==,0.1 Wp() LTp2 FH Bộ điều khiển có mối quan hệ vào – ra theo phương trình: ui( ) =10 ei( ) −− 2 ei( 1) 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 16
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Hàm truyền đạt của bộ điều khiển Uz( ) Wz()==−10 2 z−1 C Ez() −0.2 p −−11⎧⎫WpLT ( ) ⎧⎫5e 0.1( z+ 1) WzLT ()=−()11 zZ⎨⎬ =−() zZ ⎨⎬3 = 2 ⎩⎭pp⎩⎭zz()−1 −0.2 p −−11⎧⎫WpWpLT().0.011 PH ( ) ⎧⎫50.1e × () z+ Wz()=−()11 z Z⎨⎬⎨⎬ =−() z Z 3 = 2 ⎩⎭pp⎩⎭zz()−1 • Hàm truyền đạt hệ kín: 2 Yz( ) WCLT( zW). ( z) zz+−0.8 0.2 Wzk ()== =43 2 Uz() 1+−++− WC () zWz . () z 2 z 1.1 z 0.08 z 0.02 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 17 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.3.2 Mô tả trong không gian trạng thái Dd •Là phương trình sai phân bậc 1 dạng: + yi ui() xi()+1 x()i + () Bd Trễ Cd ⎪⎧x(iAxiBui+=1)()()dd + ⎨ + ⎩⎪yi()=+ Cxidd () Dui () Ad •Trong đó: Hình 6.6 Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ rời rạc 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 18
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.4 Thành lập hệ PTTT từ PTSP 6.4.1 Vế phải PTSP không chứa sai phân TH vào ayinayin01( ++) ( +−++1 ) ann− 1 yi( ++ 1) ayi( ) = kui( ) • Cách 1: Đặt biến trạng thái theo quy tắc: –Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra –Biến thứ i (i=2 l) bằng sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu ⎧xi1 ()= yi () ⎪ yi( ++ n) Ayi1 ( +−+ n 1) ⎪xi12()+=1 x () i ⎪ +++=Aynn−1 (iA1 )y ()iKui () ⎪xi23()+=1 xi () ⎨ ⎪ ⎪xi+=1 xi ⎪ nn−1 () () ⎩⎪xnnn(iAxiAxiAxiAxiKui+=−1 )112211 () −−− () −− nn () − () + () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 19 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Hệ PTTT: ⎧⎡⎤xi11( +1) ⎡⎤01 00 ⎡⎤ xi( ) ⎡⎤0 ⎪⎢⎥ ⎢⎥ xi+1 ⎢⎥00 00 xi ⎢⎥ ⎪⎢⎥22() ⎢⎥ ⎢⎥() ⎢⎥0 ⎪⎢⎥=×+⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ui() ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥xinn−−11()+1 ⎢⎥00 01 ⎢⎥ xi() ⎢⎥0 ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦xinn()+1 ⎣⎦−−AAnn−121 −− AA ⎣⎦ xi() ⎣⎦K ⎨ ⎪ ⎡⎤xi1 () ⎢⎥ ⎪ xi ⎪ ⎢⎥2 () ⎪yi()=×[]1 0 0 0 ⎢⎥ ⎢⎥ ⎪ xi ⎪ ⎢⎥n−1 () ⎢⎥ ⎩⎪ ⎣⎦xin () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 20
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc • Cách 2: đặt ⎧xi1 ( ) = yi( ) ⎪ ⎪xi1211(+=1 ) x () i − Axi () ⎪ ⎧⎡⎤xi11()+1 ⎡⎤−A1 1 0 0 ⎡⎤ xi( ) ⎡⎤0 ⎨xi2321(+=1 ) xi () − Axi () ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ xi()+1 −A2 0 0 0 xi() 0 ⎪ ⎪⎢⎥22⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥=×+⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ui() ⎪⎢⎥ ⎢⎥ ⎪xinn(+=1 ) KuiAxi () − 1 () ⎢⎥⎢⎥ ⎩ ⎪⎢⎥xinn−−11()+1 ⎢⎥−An−1 0 0 1 ⎢⎥ xi() ⎢⎥0 ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦xinn()+1 ⎣⎦−An 0 0 0 ⎣⎦ xi() ⎣⎦K ⎨ •Hệ PTTT: ⎪ ⎡⎤xi1 () ⎢⎥ ⎪ xi ⎪ ⎢⎥2 () ⎪yi()=×[]10 00 ⎢⎥ ⎢⎥ ⎪ xi ⎪ ⎢⎥n−1 () ⎢⎥ ⎩⎪ ⎣⎦xin () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 21 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc xi+1 xin ()+1 n−1 ( ) xi2 ()+1 xi1 ( +1) x ()i x2 ()i ui( ) n x1 ()i = y ()i K z−1 z−1 z−1 z−1 An An−1 A2 A1 Ví dụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP: 443352yi()+− yi( +−)()()()() yy +− yi ++ 125 yi = ui Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 22
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có: yi()+−40.7531.2520.2510.5 yi () +− yi( +−)()() yi ++ yi = 1.25 ui( ) • Đặt: ⎧xi1 ( ) = yi( ) ⎪ ⎪xi12()+=1 x () i ⎪ ⎨xi23()+=1 xi () ⎪ ⎪xi34()+=1 xi () ⎪ ⎩xi44321(+=1 ) 0.75 xi () + 1.25 xi () + 0.25 xi () − 0.5 xi () + 1.25 ui () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 23 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống ⎧⎡⎤xi11()+1 ⎡⎤⎡⎤0100 ⎡⎤ xi( ) 0 ⎪⎢⎥ ⎢⎥ xi()+1 ⎢⎥⎢⎥0010 xi() 0 ⎪⎢⎥22=×+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ui ⎪ () ⎢⎥xi33()+1 ⎢⎥⎢⎥0001 ⎢⎥ xi() 0 ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦xi44()+1 ⎣⎦⎣⎦−0.5 0.25 1.25 0.75 ⎣⎦⎢⎥ xi() 1.25 ⎨ ⎪ ⎡⎤xi1 () ⎢⎥ ⎪ xi() ⎪yi()=×[]1000 ⎢⎥2 ⎪ ⎢⎥xi3 () ⎪ ⎢⎥ ⎩ ⎣⎦⎢⎥xi4 () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 24
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.4.2 Vế phải PTSP chứa sai phân tín hiệu vào: ayinayin01()++ ( +−++1 ) ann− 1 yi () ++ 1 ayi( ) =+++−++++bu01() i m bui ( m11 ) bmm− 1 u () i b u () i yi()++ n Ayi11 ( +−++ n1 ) Ann− yi () ++ 1 Ayi () =+++−++++B01ui() m Bui ( m11 ) Bmm− 1 ui () Bui () • Đặt biến theo quy tắc: –Biến đầu tiên bằng tín hiệu ra –Biến thức i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i-1 một chu kỳ lấy mẫu và trừ một lượng tỉ lệ với tín hiệu vào: 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 25 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc ⎧xi1 ()= yi () ⎪ ⎪xi12110(+=1 ) x () i − Axi () + Bui () ⎪ ⎪xi23211(+=1 ) xi () − Axi () + Bui () ⎨ ⎪ ⎪x ixiAxiBui+=1 − + ⎪ nnnm−−−1111( ) () () () ⎪⎩xinnm()+=−1 Axi1 ()() + Bui ⎧⎡⎤xi11()+1 ⎡⎤⎡⎤−AB101 00 ⎡⎤ xi() ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎢⎥xi22()+1 ⎢⎥⎢⎥−AB210 00 ⎢⎥ xi() ⎪⎢⎥=×+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ui() Hệ PTTT: ⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎢⎥xinn−−11()+1 ⎢⎥⎢⎥−ABnm−−110 01 ⎢⎥ xi() ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎣⎦xinn()+1 ⎣⎦⎣⎦−ABnm0 00 ⎣⎦ xi() ⎪ ⎩⎪yi()=×[]10 00 xi() 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 26
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc Bm−1 B1 B0 xin ()+1 xin−1 ( +1) xi2 ()+1 xi1 ()+1 x ()iyi= () −1 −1 −1 −1 1 Bm z z z z ui () xn ()i x2 (i) An An−1 A2 A1 •Vídụ: Cho hệ thống được biểu diễn bằng PTSP: 443352yi( +−) yi( +−) yy( +−) yi( ++ 1232215) yi( ) = ui( +−) ui( ++) ui( ) Biểu diễn hệ dưới dạng hệ PTTT? 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 27 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4 ta có: yi()+−4 0.75 yi () +− 3 1.25 yi () +− 2 0.25 yi( ++ 1)() 0.5 yi =+−++0.75ui 2 0.5 ui 1 1.25 ui • Đặt: () () () ⎧xi1 ( ) = yi( ) ⎪ ⎪xi12(+=10.75 ) x () i + xi 1 () ⎪ ⎨x23(ixixiui+=1 ) () + 1.25 1 () + 0.75 () ⎪ ⎪x34(ixixiui+=1 ) () + 0.25 1 () − 0.5 () ⎪ ⎩xi41(+=−1 ) 0.5 xi () + 1.25 ui () 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 28
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Hệ phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống: ⎧⎡⎤xi11()+1 ⎡⎤⎡⎤0.75 1 0 0 ⎡⎤ xi() 0 ⎪⎢⎥ ⎢⎥ xi()+1 ⎢⎥⎢⎥1.25 0 1 0 xi() 0.75 ⎪⎢⎥22=×+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ui ⎪ () ⎢⎥xi33()+1 ⎢⎥⎢⎥0.25 0 0 1 ⎢⎥ xi() − 0.5 ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥xi44()+1 ⎣⎦⎣⎦−0.5 0.25 1.25 0.75 ⎣⎦⎢⎥ xi() 1.25 ⎨ ⎪ ⎡⎤xi1 () ⎢⎥ ⎪ xi() ⎪yi()=×[]1000 ⎢⎥2 ⎪ ⎢⎥xi3 () ⎪ ⎢⎥ ⎩ ⎣⎦⎢⎥xi4 () • BT: Chuyển hệ sau sang dạng hệ PTTT và vẽ mô hình hệ thống? 2452y ()i +−y (i ++) y (i ++ 12415)()()()y iuiui = +− 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 29 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc 6.5 Chuyển từ hệ liên tục sang hệ rời rạc: ⎪⎪⎧⎧x ()t=+ Axt( )() But xi() +=+1 Axidd ()() Bui ⎨⎨⎯⎯→ ⎩⎩⎪⎪y ()tCxtDut=+ () () y ()iCxiDui =dd () + () •Phương pháp 1: Dùng biến đổi Laplace: ⎧ATd =Φ( ) ⎪ ⎪ T ⎪Bd =Φ()τ Bdτ ⎨ ∫0 ⎪CC= ⎪ d ⎩⎪DDd = Trong đóvΦ=()tL−1{} ( pIA − )−1 ới I là ma trận đơn vị 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 30
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Phương pháp 2:Tính gần ⎧Ad = ITA+ đúng đạo hàm cấp 1: ⎪ ⎪BTBd = ⎨ ⎪CCd = ⎪ ⎩DDd = −1 ⎧ ⎡⎤⎡⎤TA TA •Phương pháp 3: Phương ⎪AId =−⎢⎥⎢⎥. I + ⎪ ⎣⎦⎣⎦22 pháp hình thang ⎪ −1 ⎪ ⎡⎤TA ⎨BId =− TB ⎪ ⎣⎦⎢⎥2 ⎪CC= ⎪ d ⎩⎪DDd = 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 31 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Vídụ: . Cho hệ liên tục: ⎧ ⎡⎤01 ⎡⎤ 0 ⎪x ()txtut=+⎢⎥ () ⎢⎥ () ⎨ ⎣⎦02− ⎣⎦ 1 ⎪ ⎩yt()= []10 0 xt() Chuyển sang miền rời rạc với chu kỳ lấy mẫu T=0.5(s) •Phương pháp 1: Tìm ma trận quá độ Φ(t): ⎡⎤111⎛⎞ 1 −1 ⎢⎥⎜⎟− −1 ⎛−⎞⎡⎤pp1211 ⎡⎤ + ⎢⎥ppp22⎝⎠+ Φ=−()ppIA ( ) =⎜⎟⎢⎥ = ⎢⎥ = ⎝⎠⎣⎦02pp+ pp()+ 2 ⎣⎦ 0 ⎢⎥1 ⎢⎥0 ⎣⎦p + 2 ⎡⎤1 −2t −1 −1 11()− e Φ=()tL⎡⎤ ( pIA − ) =⎢⎥2 ⎣⎦⎢⎥−2t ⎣⎦0 e 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 32
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc ⎡⎤⎡⎤11−−×220.5T ⎢⎥⎢⎥11()−−ee 11()⎡⎤10.316 ATd =Φ() =22 = =⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥−−×220.5T ⎣⎦00.368 ⎣⎦⎣⎦00ee ⎡⎤1 −2τ TT11()− e ⎡⎤0 ⎡ 0.092 ⎤ BBdt=Φ()ττ Φ () =⎢⎥2 d τ = d ∫∫00⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥−2τ ⎣⎦1 ⎣ 0.316 ⎦ ⎣⎦0 e CCd ==[]10 0 ⎧ ⎡⎤⎡⎤1 0.316 0.092 ⎪xi(+=1 )⎢⎥⎢⎥ xi () + ui () •Hệ rời rạc tương ứng: ⎨ ⎣⎦⎣⎦0 0.368 0.316 ⎪ ⎩yi()= []10 0 xi() 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 33 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Phương pháp 2: –Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục ⎧ ⎡⎤10 ⎡ 0 1 ⎤⎡⎤ 10.5 ⎪AITAd =+ =⎢⎥ +0.5 ⎢ ⎥⎢⎥ = ⎪ ⎣⎦01 ⎣ 0− 2 ⎦⎣⎦ 0 0 ⎪ ⎡⎤00 ⎡ ⎤ ⎨BTBd ==0.5⎢⎥ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣⎦10.5 ⎣ ⎦ ⎪ CCd ==[]10 0 ⎪ ⎧ ⎡⎤⎡⎤10.5 0 ⎩⎪ ⎪xi(+=1 )⎢⎥⎢⎥ xi () + ui () –Hệ rời rạc tương ứng: ⎨ ⎣⎦⎣⎦00 0.5 ⎪ ⎩yi()= []10 0 xi() 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 34
Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc •Phương pháp 2: –Rời rạc hoá phương trình trạng thái của hệ liên tục −1 −−11 ⎡⎤TA ⎡⎤⎡−⎤⎡⎤100.5 ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 1 0.25 ⎤ ⎡ 10.167 ⎤ ⎢⎥I −=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ − ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣⎦22⎣⎦⎣⎦⎣⎦0 1 ⎣ 0− 2 ⎦ ⎣ 0 1.5 ⎦ ⎣ 0 0.667 ⎦ ⎡⎤TA ⎡⎤⎡10⎤⎡⎤⎡⎤0.5 0 1 10.25 ⎢⎥I +=⎢⎥⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥ + = ⎣⎦22⎣⎦⎣01⎦⎣⎦⎣⎦ 0− 2 0 0.5 −−11 ⎡⎤⎡⎤TA TA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤1 0.167 1 0.25 1 0.334 AId =−⎢⎥⎢⎥ ×+ I =⎢⎥⎢⎥⎢⎥ × = ⎣⎦⎣⎦22⎣⎦⎣⎦⎣⎦0 0.667 0 0.5 0 0.334 −1 ⎡⎤TA ⎡1 0.167⎤⎡⎤⎡⎤ 0 0.084 BId =−⎢⎥ TB =⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥ × 0.5 × = ⎣⎦2 ⎣0 0.667⎦⎣⎦⎣⎦ 1 0.334 CCd ==[10 0] 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 35 Chương 6. Mô tả toán học hệ rời rạc –Hệ rời rạc tương ứng: ⎧ ⎡⎤⎡⎤1 0.334 0.084 ⎪xi()+=1 ⎢⎥⎢⎥ xi () + ui () ⎨ ⎣⎦⎣⎦0 0.334 0.334 ⎪ ⎩yi()= []10 0 xi() 12/31/2009 Vũ Anh Đào - PTIT 36