Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy

Nội dung text: Bài giảng Cơ lưu chất - Chương 2: Tĩnh học lưu chất - Nguyễn Thị Bảy

1. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG I. HAI TÍNH CHAÁT CUÛA AÙP SUAÁT THUYÛ TÓNH 1. p ⊥ A vaø höôùng vaøo A. (suy ra töø ñònh nghóa). 2. Giaù trò p taïi moät ñieåm khoâng phuï thuoäc vaøo höôùng ñaët cuûa beà maët taùc duïng. Xem phaàn töû löu chaát nhö moät töù dieän vuoâng goùc ñaët taïi goác toaï ñoä nhö hình veõ: Caùc löïc leân phaàn töû löu chaát: Löïc maët : pxδyδz; pyδxδz; pzδyδx; pnδyδs. Löïc khoái: ½Fδxδyδzρ. z Toång caùc löïc treân phöông x phaûi baèng khoâng: pn n pxδyδz-pnδyδs(δz/δs) + ½Fxδxδyδzρ = 0 δz y Chia taát caû cho δyδz: px δx θ δs x px -pn + ½Fxρδx = 0 ⇒ px = pn khi δx → 0. δy Chöùng minh töông töï cho caùc phöông khaùc pz Suy ra: px =py = pz = pn THUY TINH 1
2. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay II. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN Xeùt löu chaát ôû traïng thaùi caân baèng coù theå tích W giôùi haïn bôûi dieän tích A. Ta coù toång caùc löïc taùc duïng leân löu chaát =0: Löïc khoái + löïc maët = 0: ∫∫∫ Fρdw − ∫∫ pdA = 0 W w A A n Ta xeùt treân truïc x: b.d.Gauss p F ρdw − p dA = 0 F ρdw − div(p.n x )dw = 0 ∫∫∫ x ∫∫ x ⇔ ∫∫∫ x ∫∫∫ w A w W ⎛ ∂(p n ) ∂(p n ) ∂(p n ⎞ ⎜ x xx y xy z xz ⎟ ⇔ ρFx − ⎜ + + ⎟ = 0 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂(p n ) p=p =p =p ∂(p) ⇔ ρF − x xx = 0 ←⎯→⎯x ⎯y ⎯z ρF − = 0 x ∂x x ∂x Xeùt töông töï cho caùc truïc khaùc Keát luaän: ∫∫∫ Fρdw − ∫∫ pdA = 0 ⇔ ∫∫∫ Fρdw − ∫∫∫ grad(p)dw = 0 w A w W 1 ⇔ F − grad(p) = 0 ρ III. TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN ⎧ 1 ∂p ⎫ ⎪Fx − = 0 × dx⎪ ⎪ ρ ∂x ⎪ ⎪ 1 ∂p ⎪ 1 ⎨Fy − = 0 × dy⎬+ ⇒ (Fxdx + Fydy + Fzdz) − dp = 0 ⎪ ρ ∂y ⎪ ρ ⎪ 1 ∂p ⎪ ⎪Fz − = 0 × dz ⎪ ⎩ ρ ∂z ⎭ pa ¾Chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc: Fx, Fy=0, Fz=-g: pA 1 p hAB −gdz= dp⎯ρ⎯→=const⎯ gz+ =const ρ ρ zA pB p p p z hay: z+ =const ⇔ z + A =z + B (1) chuaån 0 B γ A γ B γ hay: pB = pA + γhAB hay p = pa+γh(2) (1), (2) laø phöông trình thuyû tónh THUY TINH 2
3. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay ¾Chaát khí naèm trong tröôøng troïng löïc, neùn ñöôïc: pV p Xem nhö chaát khí laø khí lyù töôûng: = R hay = RT T ρ 1 RT − gdz = dp ⇔ −gdz = dp ρ p Neáu bieát ñöôïc haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao, ví duï: T=T0 – az; a>0, T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (thoâng thöôøng laø möïc nöôùc bieån yeân laëng): R(T0 − az) dp dz g − gdz= dp⇒ = −g ⇒ lnp = ln(T0 − az) + ln(C) p p R(T0 − az) aR g aR ⇒ p = C(T0 − az) g aR p 0 p 0 = CT0 ⇒ C = Goïi p0 laø aùp suaát öùng vôùi z=0: g aR T0 g ⎛ T − az ⎞ aR Phöông trình khí tónh: p = p ⎜ 0 ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎝ T0 ⎠ AÙp suaát tuyeät ñoái taïi maët bieån yeân laëng laø 760mmHg, töông öùng vôùi Ví duï 1: nhieät ñoä T=288 0K. Nhieät ñoä taàng khí quyeån giaûm 6,5 ñoä K khi leân cao 1000m cho ñeán luùc nhieät ñoä ñaït 216,5 ñoä K thì giöõ khoâng ñoåi. Xaùc ñònh aùp suaát vaø khoái löôïng rieâng cuûa khoâng khí ôû ñoä cao 14500m. Cho R=287 J/kg.0K Giaûi: T0 laø nhieät ñoä öùng vôùi ñoä cao z=0 (maët bieån yeân laëng): Ta tìm haøm phaân boá nhieät ñoä theo ñoä cao: T=T0 – az; vôùi a=0, 0065 Cao ñoä öùng vôùi nhieät ñoä T1=216,5 ñoä K laø z1= 11000m Suy ra: 216,5=288 – 0,0065z1 Nhövaäytöøz0=0 ñeán z1=11000m, aùp suaát bieán thieân theo phöông trình khí tónh: g g 9.81 ⎛ T − az ⎞ aR ⎛ T − az ⎞ aR ⎛ 216,5 − 0.0065*11000 ⎞ 0.0065*287 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ p = p0 ⎜ ⎟ ⇒ p1 = p0 ⎜ ⎟ = 0.76⎜ ⎟ ⎝ T0 ⎠ ⎝ T0 ⎠ ⎝ 216,5 ⎠ p1 = 0.1695mHg p p 0.1695 *13 .6 * 9.81 *10 3 Töø: 1 3 = RT ⇒ ρ1 = = = 0.364 kg/m ρ RT 1 287 * 216 .5 THUY TINH 3
4. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Töø z1=11000 m ñeán z2=14500m, nhieät ñoä khoâng ñoåi neân: RT RT RT RT dp RT ⎛ − 1 ⎞ − 1 − gdz = 1 dp ⇒ dz = − 1 ⇒ z = − 1 ln p + ln(C) = ln⎜Cp g ⎟ ⇒ Cp g = ez ⎜ ⎟ p g p g ⎝ ⎠ Taïi ñoä cao z1 ta coù aùp suaát baèng p1; suy ra: z g e 1 (z1 −z) C = ⇒ p = p e RT1 RT1 1 g ()p1 Nhövaäytaïiñoäcaoz2 =14500m ta tính ñöôïc: g 9.81 (z1 −z2 ) (11000−14500) RT1 278*216.5 p2 = p1e = 0.17*e = 0.09752 mHg = 97.52mmHg p2ρ1 3 vaøø: ρ2 = = 0.209kg / m p1 IV. MAËT ÑAÚNG AÙP, P TUYEÄT ÑOÁI, P DÖ, P CHAÂN KHOÂNG ¾Maët ñaúng aùp cuûa chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc laø maët phaúng naèm ngang ¾Phöông trình maët ñaúng aùp: Fxdx + Fydy + Fzdz=0 ¾AÙp suaát dö : pdö = ptñ -pa ¾Neáu taïi moät ñieåm coù pdö < 0 thì taïi ñoù coù aùpsuaátchaânkhoângpck pck= -pdö = pa –ptñ ¾p trong phöông trình thuyû tónh laø aùp suaát tuyeät ñoái ptñ. hoaëc aùp suaát dö 0 5 6 ¾Các điểmnaøo (?) có áp suấtbằng nhau; 7 trong ñoaïn oáng 2-5-6 chöùa chaát khí hay 1341 2 34 chaát loûng ? THUY TINH 4
5. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay V. ÖÙNG DUÏNG 1. Caùc aùp keá: p=0, chaân khoâng tuyeät ñoái p B a B tñ dö p h A h A a A hck A A B A td du du du du du du ck ck ck A = B + γ = γ p A = p B −γh ⇒p A = γh pA = pB +γh p p h h A’ 2. Ñònh luaät bình thoâng nhau: A’ B’ γ2 h Töøp.tr thuyûtónh: pA=pA’+ γ2h2; pB=pB’+ γ1h1 2 h1 A B Suy ra γ h =γ h 1 1 2 2 γ1 3. Ñònh luaät Pascal: f Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáp aùp suaát taêng leân moät ñaïi löôïng Δp thì ñaïi löôïng naøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löu chaát p=f/a → öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc. F=pA Pascal 1623-1662 , Phaùp THUY TINH 5
6. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 4. Bieåu ñoà phaân boá aùp suaát chieàu saâu: p p pa a a h h h pdö=γh pdö/γ=h pa+γh ck ck p pck ck p ck p pck/γ p /γ ck/ h h h1=p γ h dö tñ p =0, p =pa ck ck p -γh p /γ-h dö p /γ=h-h1 5 . Phaân boá aùp suaát treân moät maët cong: h p/γ=h p/γ=h 6 . AÙp keá vi sai: p pa→pa+ Δp a Ban ñaàu thì p =p =p : 1 2 a γ1h1= γ2h2 Δz C A γ2 Khi aùp suaát oáng beân traùi taêng leân Δp: p1=pa+Δp; p2=pa γ1 h1 B pa + Δp = pA = pB − γ1hAB = pC + γ2hBC − γ1hAB h2 h = pa + γ2hBC − γ1hAB 0 ⇒Δp=γ2hBC −γ1hAB =γ2(h2 −h+Δz)−γ1(h1 −h−Δz) ⇒ Δp = h(γ1 − γ 2 ) + Δz(γ1 + γ 2 ) Goïi A, a laàn löôït laø dieän tích ngang oáng lôùn vaø oáng nhoû: ah ah ⇒ a.h = A.Δz ⇒ Δz = ⇒ Δp = h(γ − γ ) + (γ + γ ) A 1 2 A 1 2 THUY TINH 6
7. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH PHAÚNG ¾ Giaù trò löïc pa O(x) du du α F = ∫∫p dA = γhdA = ∫ γy sin αdA AAA h h D y du = γ sin α∫ ydA =γ sin αyC A = γhC A = pC A hC A F dA du du F = pC A ¾ Ñieåmñaëtlöïc C y D D 2 yDF = ∫∫ydF = yγ sinαydA = γ sinα∫ y dA = γ sinαIxx y AA A Taâm aùp Suy ra: γ sin αI I I +y 2 A löïc y = xx = xx = C C D F y A y A C C x I =I +y 2A IC y xx c C yD = yC + yC Ixy=Ix’y’+xCyCA yCA Töông töï : Ic γ sin αI I I +x y A xy xy x'y' C C C xD = = = F yCA yCA I = + x'y' xD xC Ic: M. q tính cuûa A so vôùi truïc //0x vaø qua C ycA Ix’y’: M. q tính cuûa A so vôùi troïng taâm C ¾ Löïc taùc duïng leân thaønh phaúng chöõ nhaät ñaùy naèm ngang: h A + h B pC = γ Ω 2 hA F hA A h + h hB ⇒ F = Ap = γ A B (AB)b C 2 C* hB D B Ñaët: Ω=(hA+hB).(AB)/2 Suy ra: F=γΩb BD=[(hB+2hA)/(hB+hA)].(AB)/3 THUY TINH 7
8. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VII. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH CONG ÑÔN GIAÛN F = F2 + F2 + F2 x y z Az dAz O(y) pa x ¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông x Maët F = dF = pdA cos(n, ox) cong A x ∫ x ∫ h A A A = γhdA = γhdA = p A x ∫ x ∫ x cx x A Ax dFx dAx (n,ox) ¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông z n z dA F = dF = γhdA cos(n, oz) z ∫ z ∫ A A = γhdA = γW ∫ z A W: theå tích vaät aùp löïc: laø theå tích cuûa vaät thaúng ñöùng giôùi haïn bôûi maët cong A vaø hình chieáu thaúng ñöùng cuûa A leân maët thoaùng töï do (Az) pa ¾ Caùc ví duï veà vaät aùp löïc W: pdö/γ ck pa pdö p F z pck/γ Fz pa w w w pck pck pa w ck ck F p /γ Fz p /γ z1 w1 pa Fz w w2 p a Fz2 Pa ck Pck P Pa Pdu w w Fz Fz Fz w Pa THUY TINH 8
9. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay pa pa pdö pdö F Fz z W : phaàn cheùo lieàn neùt W1: phaàn cheùo lieàn neùt 1 →F höôùng leân. →Fz1 höôùng xuoáng. z1 W : phaàn cheùo chaám chaám W2: phaàn cheùo chaám 2 chaám →Fz2 höôùng xuoáng. W=W -W →Fz2 höôùng leân. 1 2 →F höôùng xuoáng W=W1-W2 z →Fz höôùng leân ¾ Löïc ñaåy Archimeøde: Ar W1 Ar = γW2 − γW1 = γW W W2 (phaàn gaïch cheùo) Archimede 287-212 BC THUY TINH 9
10. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VIII. SÖÏ CAÂN BAÈNG CUÛA MOÄT VAÄT TRONG LÖU CHAÁT Ar = −G Ar G Ar ¾ Vaät chìm lô löûng C D D C C D G G Ar oån ñònh khoâng oån ñònh Phieám ñònh A G ¾ Vaät noåi Ar Ar C M C C M yy D D D G Ar G oån ñònh: MD>CD khoâng oån ñònh:MD<CD →M cao hôn C →M thaáp hôn C M: Taâm ñònh khuynh. I yy MD = Iyy: Moment quaùn tính cuûa dieän tích maët noåi A so vôùi truïc quay yy. W W: theå tích nöôùc bò vaät chieám choã VIII. ÖÙNG DUÏNG 3; Ví duï 2: Tính z, pa=76cmHg, γnb=11200 N/m γHg=133000 3 N/m pa Ta coù: pA = pB + γHg hAB=0.84 γHg + γHg hAB p =0 = γHg (0.84+0.8)=1.64 γHg tñ z Maët khaùc: pA –pa = γnb .(z+0.4) B 40cm 84cm 40cm A Suy ra: (z+0.4)=(pA –pa )/ γnb =(1.64 γHg -0.76 γHg )/ γnb =0.88(γHg / γnb ) Hg =0.88.133000/11200=10.45m Suy ra z = 10.05 m THUY TINH 10
11. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 3: Bình ñaùy vuoâng caïnh a=2m. Ñoå vaøo bình hai chaát ; 3 3. loûng khaùc nhau, δù1 =0,8 δ 2=1,1. V1=6m ; V2=5m Tìm pB Giaûi: ^3 3 γ1= δù1 γn=0.8*9.81*10 N/m pa γ γ = δù γ =1.1*9.81*10^3 N/m3 γ 2 2 2 n 1 h1 A h2 B Goïi h2 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 2: h2=(5/4)m. h=1m Goïi h1 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 1: h1=(6/4)m. a=2m Ta coù hAB = h2 – h = 0.25m Suy ra: pB=pA+γ2*hAB= pA + γ2*(0.25) Suy ra: pB= pa+ γ1*h1 + γ2*(0.25) du 3 Suy ra: p B= 0+ γ1*(1.5) + γ2*(0.25)=9.81*10 (0.8*1.5+1.1*0.25)=14.5 m nöôùc Thí nghiệm: Ottovon Guericke (8.5.1654) tại Maydeburg, Đức Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suấttuyệt đối trong qủacầubằng không . Cho 2 đàn ngựakéovẫn không tách bán cầurađược. Vậyphảicần1 lực bằng bao nhiêu để tách hai bán cầura(xemlựcdìnhgiữa2 báncầu không đáng kể) Chân không p(tuyệt đối) = 0 D F =? F =? THUY TINH 11
12. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Van phaúng AB hình chöõ nhaät cao 1,5m, roäng 2m, quay quanh truïc A Víduï4: naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van . Tính löïc F (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: du du 3 Giaù trò löïc: Fn = pC A = γh CA = 9.81*10 *(5 −1,5/ 2)*1,5*2 =125.0775 KN Vò trí ñieåm ñaët löïc D: p 2*1.53 a O IC 12 yD = yC + = 4.25 + = 4.294m yC=hC yCA 4.25*1.5*2 A yD ⇒ DB = 5 − 4.294m = 0.706m 5m 1,5m C Tính caùch khaùc: Fn D h + 2h AB 5 + 2*3.5 1.5 C* F? DB = B A . = = 0.706m B h B + h A 3 5 + 3.5 3 y Ñeå tính löïc F giöõ van yeân, ta caân baèng moment: Fn(AD)=F(AB) Suy ra: F=Fn(AD)/(AB)=125.07*(1.5-0.706)/(1.5) = 66.22 KN Ví duï 5: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: pa O hC = 3+2/3 = 3.666m AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu, E A 2 2 4 3m h AB = = = = 2.31m C sin(600 ) 3 3 A C 2 Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.667m C 2m D 2 Fn B Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m α=600 F du B AÙp löïc: Fn =γhCA=9.81*3.666*3.079 = 110,76 KN 0 y Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(60 ) = 4.234m b*h3 2.667*2.313 IC 36 36 OD = yD = yC + = yC + = 4.234 + = 4.304m yCA yCA 4.234*3.079 Fn(AD)=F(2) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=110.76*(OD-OA)/2 = 110.76*(4.304-3.464)/2 =46.507 KN THUY TINH 12
13. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 6: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân p Giaûi: a O h = 1+ 3+2/3 = 4.666m 1m C P du = 0,1at AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu, 0 2 2 4 E AB = 0 = = = 2.31m sin(60 ) 3 3 3m h A 2 C A Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(600)=2.667m C 2 Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3.079 m C 2m D AÙp löïc: F du =γh A=9.81*4.666*3.079 = 140,97 KN Fn B n C α=600 F 0 B Toaï ñoä yC = OC= hC/sin(60 ) = 5.389m b*h3 2.667*2.313 IC 36 36 y OD = yD = yC + = yC + = 5.389 + = 5.444m yCA yCA 5.389*3.079 F (AD)=F(2) n Ghi chuù: OA=4/sin(600) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OD-OA)/2 = 140.97*(5.444 – 4.619)/2 =58.133 KN Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm Ví duï 7: ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeân Giaûi: 3 3 2 pC = -γhC = -9.81*10 *(1+ 2-2/3) = -9.81*10 * 2.333 N/m ck P0 = 0,6at AB =2.31 m AE= 2.667m 3m A A=3.079 m2 A C du AÙp löïc: Fn =-γhCA=-9.81*2.333*3.079 D = -70.483 KN C 2m F n B hC α=600 F 0 B Toaï ñoä yC = - OC= hC/sin(60 ) = -2.694 m 1m pa O b*h3 2.667*2.313 y IC 36 36 OD = yD = yC + = yC + = −2.694 + = -2.804m yCA yCA − 2.694*3.079 F (AD)=F(2) n Ghi chuù: OA=3/sin(600) Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140.97*(OA-OD)/2 = 70.483*(3.464 – 2.804)/2 =23.25 KN THUY TINH 13
14. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 8: Van tam giaùc ñeàu ABM caïnh AB=1m ñaët giöõ nöôùc nhö hình veõ (caïnh AB thaúng ñöùng). Aùp suaát treân bình chöùa laø aùp suaát khí trôøi. Bieát hA=1m. Goïi D laø vò trí ñieåm ñaët löïc F cuûa nöôùc taùc duïng leân van öùng vôùi ñoä saâu laø hD. Xác định hD pa ĐS: hD=1,53m Hdẫn: Ta để ý thấycôngthức tính moment quán tính hA A A đốivới tam giác như trong phụ lục: hD bh3 I = (*) D M c 36 so vớitrụcsong songvớimộttrong3 cạnh (đáy b) B B Trong khi đó, từ lý thuyết đãchứng minh, để xác định vị trí D ta áp dụng công thức: IC yyDC=+ yAC Với Ic là moment q tính củadiện tích A so vớitrục song song Ox và qua trọng tâm C củaA Như vây, muốn ứng dụng công thức (*) trong tính toán yD cầnphảicómột trong 3 cạnh của tam giác phải song song vớiOx (cụ thể là nằm ngang). Trong hình vẽ của bài toán, không có cạnh nào củatam giácnằm ngang, nên trướctiêncần chia tam giác ra hai sao cho mộtcạnh củamỗi tam giác nhỏ nằm ngang. Sau đó tính lựcvà vị trí điểm đặtlựcriêngđốivớitừng tam giác nhỏ. Cuối cùng tìm vị trí điểm đặtlựctổng theo công thức: F11yFyD + 2D 2 yD = FF12+ Ví duï 9: Mộthệ thống tựđộng lấy Cửacóbề nướcvàoống đường kính D = 0,3 m rộng b đượcthiếtkế bằng mộtcửachắnchữ Cửachắnnước L. Cửachắncóbề rộng (thẳng góc với vuông góc trang giấy) b = 1,2m và quay quanh O. Nước Biếtápsuấttrongống là áp suất khí Trục quay trờivàtrọng lượng cửa không đáng kể. a) Giảithíchcơ chế hoạt động củacửa D khi độ sâu h thay đổi. b) Xác định độ sâu h tốithiểu để cửa L=1m bắt đầu quay. ống lấynước HD: Chọnchiều quay ngượcchiềukimđồng hồ là chiềudương Phân tích các lựctácdụng lên cửa gồm hai lực: Fx tác động lên phầnvan chữ nhậtthẳng đứng, moment so vớiO sẽ là: Fxh/3 Fz tác động lên phầndiện tích tròn đường kính D, moment so vớiO sẽ là: FzL 3 2 Để van có thể lấynướcvàoống thì tổng moment: Fxh/3-FzL = γh b/6 - γ LhπD /4 >0 Suy ra: h(γh2b/6 - γ LπD2/4) > 0 suy ra: γh2b/6 > γ LπD2/4 suy ra: h2 > (LπD2/4) / (b/6 ) Suy ra: 3LDπ 2 hm>=0,56 2b THUY TINH 14
15. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 10: Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=3m quay quanh truïc naèm ngang qua O. Van coù khoái löôïng 6000 kg vaø troïng taâm ñaët taïi G nhö hình veõ. Tínhaùplöïcnöôùctaùcduïngleânvan vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D . Xaùc ñònh moment caàn môû van Giaûi: 1.5 F = p A = γh A = 9.81*103 * *1.5*3 = 33.10KN x cx x cx 2 πR 2 π*1.52 F = γW = γ L = 9.81*103 * *3 = 52KN z 4 4 pa 2 2 2 2 O F = Fx + Fz = 33.10 + 52 = 61.65KN 0,6m Fz 52 0 0,6mG 1,5m tg(α) = = = 1.570796 ⇒ α = 57,52 D Fx Fx 33.1 α M = G *0.6 = 9.81*6000 *0.6 = 35316 Nm G Fz F nöôùc Ví duï 11: Moät hình truï baùn kính R=2m; daøi L=2m ÔÛ vò trí caân baèng nhö hình veõ . Xaùc ñònh troïng löôïng cuûa phao vaø phaûn löïc taïi A Giaûi: Fz1=γW1 pa R A = Fx = pcx A x = γh cx A x R 2 = 9.81*103 * *2*2 A 2 = 39.24KN nöôùc G Fz2=γW2 G + Fz1 + Fz2 = 0 3 ⇒ G = γW - γW = 9.81*L*( πR 2 + R 2 ) 2 1 4 G = 263.3941KN THUY TINH 15
16. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 12: Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=2m quay quanh truïc naèm ngang qua O nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïngleânvan vaøvòtríñieåmñaëclöïcD . 2 2 Giaûi: AB = 2R = 2 *1.5 = 2.12m Fz1 A pa Fx = p cx A x = γh cx A 3 2.12 nöôùc = 9.81*10 * * 2.12 * 2 R 2 0 O 45 C = 44.145 KN 450 Fx ⎛ πR 2 R 2 ⎞ Fz2 ⎜ ⎟ Fz = γW = γ⎜ − ⎟L α ⎝ 4 2 ⎠ 2 2 B F 3 ⎛ π*1.5 1.5 ⎞ = 9.81*10 *⎜ − ⎟* 2 ⎝ 4 2 ⎠ Fz = 12.5989 KN 2 2 2 2 F = Fx + Fz = 44.145 +12.60 = 45.91KN F 12.6 tg(α) = z = = 0.285 ⇒ α = 15.92 0 Fx 44.15 Ví duï 13 Moät oáng troøn baùn kính r = 1 m chöùa nöôùc ñeán nöûa oáng nhö hình veõ. Treân maët thoùang khí coù aùp suaát dö po = 0,5 m nöôùc. Bieát nöôùc ôû traïng thaùi tónh. Tính toång aùùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ¼ maët cong (BC) treân 1m daøi cuûa oáng po r Giaûi: B C r F = p A = γ(0,5 + )r.1 = 9810*(0,5 + 0,5)*1 = 9810N x cx x 2 r 2 F = γW = γ(π + 0,5r).1 = 9810 *1.285 = 12605.85N z 4 2 2 F = Fx + Fz =15973.2 N THUY TINH 16
17. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 14: Moät khoái hình hoäp caïnh a=0,3m ñoàng chaát tyû troïng 0,6 noåi treân nöôùc nhö hình veõ. Tính chieàu saâu ngaäp nöôùc x cuûa hình hoäp . Giaûi: 3 G = Ar ⇔ 0.6*γn*a = 2 γn*a *x x ⇒x= 0.6*a =0.6*0.3 x = 0.18 m Câu 13: Ví duï 15: a a Một vật hình trụ đồng chất có tiết diện hình vuông, cạnh là a = 1m, chiều cao là H = 0,8m. Khi cho vào nước, mực nước ngập H đến độ cao là h=0,6m. Lực tác dụng lên một mặt bên của vật và h tỷ trọng của vật là: Hình câu 14 ĐS: F=1765,8 N; δ=0,75 Ví duï 16: Mộtquả bóng có trọng lượng 0,02 N, phía dướicóbuộtmộtvậtnhỏ (bỏ qua thể tích) 3 khi trọng lượng 0,3N. Cho γkhong khi=1,23 kg/m . Nếubơm bóng đầybằng khí có γ =0,8 kg/m3 thì đường kính D quả bóng phảibằng bao nhiêu để bóng có thể bay lên được Gb Gv gamakk gamak Wb D3 D ĐS: 0.02 0.3 1.23 0.8 0.076 0.14 0.52522 Hdẫn: GGb++= Vat G khiγγγ khongkhi W b →++ GG b Vat khi W b = khongkhi W b GGbVat+ Wb = γγkhongkhi− khi Ví duï 17: Vật đồng chấtnằmcânbằng lơ lửng trong môi trường dầu-nướcnhư hình vẽ. Biếttỷ trọng củadầu là 0,8. Phầnthể tích vậtchìmtrongnướcbằng phầnthể tích vậttrongdầu. Tỷ trọng củavật? ĐS: 0,90 Dầu Hướng dẫn: Trọng lượng củavật cân bằng vớivớilực Vật đẩy Archimede do dầutácdụng lên nửacầutrênvà nướclênnửacầudưới Nước THUY TINH 17
18. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 18 Moät oáng ño tæ troïng nhö hình veõ coù khoái löôïng M = 0,045kg vaø tieát dieän ngang cuûa oáng laø ω = 290mm2 . Khi boû vaøo trong nöôùc coù tæ troïng δN = 1 , oáng chìm ñeán vaïch A, vaø khi boû vaøo trong daàu coù tæ troïng δD = 0,9 oáng chìm ñeán vaïch B. Tìm khoûang caùch ñoïan AB Giaûi: B • A B • • G = gM = γn W = γd (W + LABω) ω A Nöôùc • ω Daàu G G ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⇒ W = ; LAB = ⎜ −1⎟ γn ωγn ⎝ δd ⎠ 9.81*0.045 ⎛ 1 ⎞ LAB = ⎜ −1⎟*1000 = 17.24mm 290 *10−6 *9810 ⎝ 0.9 ⎠ Ví duï 19: Bình truï troøn chöùa chaát loûng trong ñoù coù thaû phao hình caàu. Bình naøy laïi ñöôïc nhuùng noåi treân maët thoaùng beå chöùa cuøng loaïi chaát loûng. Bieát : Troïng löôïng cuûa bình laø G1; Troïng löôïng cuûa chaát loûng chöùa trong bình laø G2; TyÛ soá caùc chieàu saâu (nhö hình veõ) k=z1/z2; Tìm troïng löôïng cuûa phao Giaûi: Theo ñònh luaät Ar.; toaøn boä heä chòu taùc duïng cuûa G löïc ñaåy Ar, höôùng leân, baèng troïng löôïng cuûa khoái 1 chaát loûng bò vaät chieám choã. G Trong khi ñoù löïc theo phöông thaúng ñöùng taùc z1 duïng leân toaøn boä heä bao goàm G+G1+G2 . z2 G2 Vaäy: G + G1 + G2 = Ar = z1A γ vôùi A laø tieát dieän ngang cuûa bình. Ar Xeùt rieâng heä goàm chaát loûng trong bình vaø phao, ta coù troïng löôïng cuûa phao cuõng baèng troïïng löôïng cuûa khoái chaát loûng bò phao chieám trong bình : G = z2A γ -G2 ⇒ Aγ = (G+G2)/z2 G Suy ra: G + G + G = z (G+G )/z = kG+kG ⇒ G = 1 − G 1 2 1 2 2 2. k −1 2 THUY TINH 18
19. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 20: Một bình baèng saét hình noùn cuït khoâng ñaùy ( δ=7.8) đượcuùpnhư hình vẽ. Đaùy lôùn R=1m, ñaùy nhoû r=0,5m, cao H=4m, daøy b=3mm. Tính giới hạn möïc nöôùc x trong bình ñeå bình khoûi bò nhaác leân. Giaûi: 2 2 Vnoncuttrong = πH(R + r + Rr) / 3 2 2 Vnoncutngoai = πH((R + b) + (r + b) + (R + b)(r + b)) / 3 Troïng löôïng bình: G = γnδV = γnδ(Vnoncutngoai − Vnoncuttrong ) =1000*7.8*0.057 = 441.96kgf Ta tính löïc F höôùng leân do nöôùc taùc duïng leân bình: z r x R − r x Từ quan hệ: = x ⇒ r = R − ()R − r b H R − r x H ⎡ 2 πx 2 2 ⎤ H Fz = γn W = γn R πx − (R − rx + Rrx ) r ⎣⎢ 3 ⎦⎥ x πx ⎡ 2 x 2 x ⎤ x = γn 2R − (R − (R − r)) − R(R − (R − r)) W 3 ⎣⎢ H H ⎦⎥ 2 R πx ⎡3R(R − r) ⎛ (R − r) ⎞ ⎤ = γ x − x = 392.7x 2 −16.36x3 n ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ Fz 3 ⎣⎢ H ⎝ H ⎠ ⎦⎥ Ñieàu kieän: G ≥ Fz 3 2 Suy ra: 441.96 ≥ Fz ⇔ 16.36x − 392.7x + 441.96 ≥ 0 Giaûi ra ñöôïc x ≤ 1.09 m THUY TINH 19
20. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VIII. TÓNH HOÏC TÖÔNG ÑOÁI z 1.Nöôùc trong xe chaïy tôùi tröôùc nhanh daàn ñeàu: x •Phaân boá aùp suaát: O α 1 A (Fdx+Fdy+Fdz)− dp=0 vôùi Fx=-a; Fy=0; Fz=-g a H x y z ρ B Suy ra: g* 1 p g (−adx − gdz) − dp = 0 ⇒ ax + gz + = C ρ ρ Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng: p p A + gz = B + gz ⇒ p = p + γh hay p = p + γh* ρ A ρ B B A AB a •P.tr Maët ñaúng aùp: a (−adx − gdz) = 0 ⇒ ax + gz = C ⇒ z = − x + C g 2.Nöôùc trong bình truï quay ñeàu quanh truïc thaúng ñöùng: z •Phaân boá aùp suaát: H/2 2 2 H ÔÛ ñaây: Fx=ω x; Fy=ω y; Fz=-g. H/2 O A r ω2r Suy ra: 1 p ω2r2 (ω2xdx+ω2ydy−gdz)− dp=0⇒z+ − =C B ρ γ 2g g ω Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng: p ω2r 2 p ω2r 2 z + A − A =z + B − B ⇒p =p +γh hay p=p +γh* A γ 2g B γ 2g B A AB a •P.tr Maët ñaúng aùp: ω2r2 ω2r2 (ω2xdx+ω2ydy−gdz) =0⇒z− =C⇒z = +C 2g 2g THUY TINH 20
21. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay IX. ÖÙNG DUÏNG TÓNH TÖÔNG ÑOÁI Nguyeân lyù laéng ly taâm : ρlWg Fl ρr ρl : chìm ra ρrWg Fr ¾Haït daàu quay cuøng trong nöôùc seõ noåi leân maët thoaùng vaø ôû taâm bình truï. ¾Haït caùt quay cuøng trong nöôùc seõ chìm xuoáng vaø ôû meùp daùy bình truï. Ví duï 21: Moät thuøng hình truï hôû cao H = 1,2 m chöùa nöôùc ôû ñoä saâu ho=1m vaø di chuyeån ngang theo phöông x vôùi gia toác a = 4m/s2. Bieát bình coù ñöôøng kính D = 2m. Tính aùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ñaùy bình trong luùc di chuyeån vôùi gia toác treân Giaûi Choïn goác toaï ñoä laø giao ñieåm cuûa truïc bình vaø maët thoaùng , p.tr maët thoaùng: a z = − x g 4 z = 1 = 0.407m > H − h = 1.2 −1 = 0.2m Taïi x=-D/2: −D / 2 9.81 0 D Vaäy khi bình chuyeån ñoäng nöôùc traøn ra ngoaøi. Sau khi traøn ra xong, maët thoaùng nöôùc phaûi vöøa chaïm meùp sau Δh/ Δh bình. Giaû söû luùc aáy bình döøng laïi, thì möïc nöôùc trong 2 O H h1 bình coøn laïi laø h1. Ta coù: x Δh 4 Δh = z = 1= 0.407m⇒h = H− =1.2−0.407= 0.793m 2 −D/2 9.81 1 2 D2 Suy ra löïc taùc duïng leân ñaùy bình luùc aáy laø: F = γh π = 24.42 KN 1 4 THUY TINH 21
22. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 22: Quả bóng không trọng lượng đượcbuộc trong thùng kín đầynước. Thùng chuyển động tới nhanh dần đềuvớigiatốca. Quả bóng sẽ chuyển động như thế nào? Và ở vị trí nào thì đạt đượcgiátrị cân bằng. Lựccăng T tác động lên sợidây HƯỚNG DẪN: Do thùng chuyển động nhanh dần đều, áp suấttácdụng lên các điểm ở nửamặttrướcquả bóng nhỏ hơnnửamặt sau (xem lạilýthuyết thùng nướcchuyển động tới nhanh dần đều trong tĩnh tương đối). Như vậybóngsẽ chuyển động về phía trước Khi sợidâyđạttớivị trí nghiêng mộtgócα vớiphương ngang như hình vẽ thì bong bóng sẽ cân bằng vớigócα được tính như sau: cotgα = g/a Giá trị lựccăng T sẽ tìm đượctrêncơ sở cân bằng lựctrênphương củalựccăng T (phương củag*) a a g* g α Ví duï 23: Một bình bên trái đựng nước, bên phảikínkhívớiápsuấtdư p0. Trên vách ngăngiữa hai bên có một van hình vuông nằm ngang, có thể quay quanh trụcnằm ngang qua A, cạnh b=0,2m. Khoảng cách thẳng đứng từ trọng tâm van tớibề mặtnướccủangănbên trái là hC=1m. Toàn bộ bình được đặt trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều 2 vớigiatốca=2m/s. Nếuápsuất bên trên mặtnướccủangăntráilàpck=2 m nướcthì để van ở trạng thái cân bằng như hình vẽ, áp suấtp phải là bao nhiêu? ĐS: 0 2 2 2 2 b, m hc, m pdu, m nươc Pdu, N/m a, m/s A, m pc, N/m Fn, N 0.2 1 -0.2 -1962 2 0.04 9848 393.92 2 2 2 hA, m hB, m pA, N/m pB, N/m AD, m F0, N p0, N/m 0.9 1.1 8667 11029 0.103997 409.6667 10241.67 Hdẫn: a ppCdu=++() gahρ C pck p0 FnC= pA ⎛ 2 ppAB+ ⎞ b hC AD=− b ⎜⎟ A ⎝⎠ppAB+ 3 F0 bADF() F Fn D ()AD F=→=→= () F Fn p 0 B n 2/200bA 0 THUY TINH 22
23. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 24: Xe chôû nöôùc daøi 3m, cao 2m. Nöôùc trong bình luùc xe ñöùng yeân laø 1,5m. Xe ñang chuyeån ñoäng ñeàu treân maët phaúng ngang ñeán moät doác nghieâng leân 300. a) Hoûi neáu xe vaån chuyeån ñoäng ñeàu thì nöôùc coù traøn ra khoâng? b) Ñeå nöôùc khoâng traøn ra thì xe phaûi chaïy chaäm daàn ñeàu vôùi gia toác a=bao nhieâu? c) Tính aùp löïc taùc duïng leân thaønh tröôùc vaø sau xe khi xe chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu nhö Hdẫn: caâu b. Cho beà roäng xe b=1m Nhaän xeùt thaáy khi xe ñöùng yeân treân doác thì nöôùc ñaõ traøn ra roài (tính ra Δh=1,5*tg(300)=0,866m>0,5m). Neân ñeå nöôùc khoâng traøn ra ngoaøi thì xe phaûi chaïy chaäm daàn ñeàu vôùi giai toác a. Ta choïn heä truïc xoz nhö hình veõ vaø phaân tích löïc khoái cuûa phaàn töû löu chaát, vaø chieáu leân phöông x, z(xem hình veõ). ag− sin300 Ptr maët ñaúng aùp: (ag−−=⇔=+ sin3000 ) dxg cos30 dz 0 z xC g cos300 1 p Ptr phaân boá aùp suaát: (a −−=⇔=−−+g sin3000 )dx g cos30dz dp (a g sin30 00 )x g cos30 zC ρρ Ñeå nöôùc khoâng traøn ra ngoaøi neân maët thoaùng phaûi ñi qua B(-1,5; 0,5) vaø A(1,5; -0,5), theá vaøo ptr maët ñ. aùp. Suy ra gia toác a=2,07m/s2 Töø ptr phaân boá aùp suaát nhaän xeùt thaáy treân thaønh xe sau hoaëc tröôùc, aùp suaát cuûa moät ñieåm baát kyø ñöôïc gang tính theo aùp suaát cuûa ñieåm treân maët thoaùng nhö sau: aèm n z ôøng n pp000B Ñö +=+⇒=−gzcos30 gzp cos30γ cos30 ( zzB ) ρρ x ) ; -0,5 Suy ra löïc taùc duïng leân thaønh sau, tröôùc laø: A(1,5 ,5) 0 o m 2 ,5;0 30 1 2 3m (-1 0 a 002 B 30 Δh -gsin Fs ==γγcos30hbdh cos30 b m ∫0 2 2 2m 1,5m 2 1 1 00 300 F ==γγcos30hbdh cos30 b 0 gcos tr ∫0 2 30 g Ví duï 25: Moät bình truï D=100mm chöùa nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Khi möïc chaát loûng giöõa bình haï thaàp xuoáng 200mm (so vôùi luùc tónh) thì bình quay vôùi vaän toác bao nhieâu? Neáu quay bình vôùi n=800v.ph maø khoâng muoán ñaùy bò caïn thì chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi baèng bao nhieâu? Giaûi z ω2r 2 ω2R 2 Phöông trình maët thoaùng: z = ⇒ H = 2g 2g 0.2 H 0.2m O A m r Khi möïc nöôùc giöõa bình haï xuoáng 0,2m thì H=0,4m. ω2r Suy ra: B ω2 (0.05)2 0.4*2*9.81 g 0.4 = ⇒ ω = = 56.03s-1 = 535vong / ph 2*9.81 (0.05)2 ω Neáu quay bình vôùi n=800v/ph =83,76 s-1 maø khoâng muoán ñaùy bò caïn thì : (83.76)2 (0.05)2 H = = 0.896m 2*9.81 Vaây chieàu cao toái thieåu cuûa bình phaûi laø 0.896 m THUY TINH 23
24. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 26: Moät heä thoáng goàm 3 oáng nghieäm thaúng ñöùng baèng vaø thoâng nhau quay quanh Oz qua oáng giöõa nhö hình veõ. Vaän toác quay n=116 voøng/ph. Boû qua ñoä nghieâng maët nöôùc trong oáng. Tìm pC, pO, pB trong hai tröôøng hôïp nuùt kín vaø khoâng nuùt C, C’, Giaûi: Neáu nuùt kín C,C’ thì khi quay, nöôùc khoâng di chuyeån, nhöng aùp suaát taïi C vaø C’ seõ taêng leân. Phöông trình maët ñaúngaùp–aùpsuaátpC (choïn goác toaï ñoä taïi ñaùy parabol): A C ω2r 2 12.152 *0.22 C’ z = ⇒ h = = 0.30 m h 2g 2*9.81 O Nhö vaäy aùp suaát dö taïi C vaø C’ baèng nhau vaø baèng: 40cm du du 2 pC = pC' = γh = 9810*0.30 = 2951N/m ω D B du 2 ⇒ pD = γ*0.4 = 9810*0.40 = 3924N/m r=0.2m r=0.2m du 2 ⇒ pB = γ*(0.4 + 0.3) = 6875 N/m Neáu khoâng nuùt C,C’ thì khi quay, nöôùc taïi A seõ haï thaáp xuoáng h, vaø nöôùc taïi C vaø C’ seõ daâng leân h/2. Phöông trình maët ñaúng aùp – aùp suaát khí trôøi (choïn goác toaï ñoä taïi C’A C h/2 ñaùy parabol): h ω2r 2 3 12.152 *0.22 z = ⇒ h = = 0.30 m ⇒ h = 0.2m O 2g 2 2*9.81 ω D B du du 2 ⇒==ppCC' γ h/ 2 = 9810*0.10 =981N/m r=0.2m r=0.2m du 2 ⇒ pD = γ*(0.4 − 0.2) = 9810*0.2 =1967.5N/m du 2 ⇒ pB = γ*(0.4 + 0.1) = 4905 N/m THUY TINH 24
25. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 27: Mộthệ thống gồmbìnhtrụ hở bánkínhR chứa nướccaosovới đáy là H. Cho bình quay đều quanh trụcthẳng đứng qua tâm vừa đủ để nước không tràn ra. Sau đó đặt toàn bộ hệ thống quay này trong thang máy chuyển động lên nhanh dần đều với gia tốc a. Cho biết : R=0,4m; H=1,2m; a=2m/s2 a) GọiA làđiểm ởđáy parabol mặtthoángnước. So vớikhichưa đặthệ thống vào thang máy, thì vị trí củaAnhư thế nào? b) Lực tác dụng lên đáy bình khi bình trong thang máy? H dẫn: Khi thùng chuyển động lên nhanh dần đều, nếuchọngốctọa độ tại đáy củamặt thoáng thì phương trình mặtthoángtrở thành: A ω 22r H z = 2(g + a ) Vậy paraboloit mặtthoángtrở nên cạnhơn, nên nướcsẽ không tràn ra ngoài, điểmA sẽ di chuyển lên trên VíCâu dụ 1428:: Một bình hình trụ bán kính R=0,6m, chiều cao là H=0,7m; đựng nước đến độ cao h = 0,4m. Bình quay tròn với vận tốc N (vòng / phút) được treo trong thang máy chuyển động lên chậm dần đều với gia tốc không đổi là a = 1,5 m/s2. Xác định N tối đa để nước không tràn ra ngoài. ĐS: 54,61 vòng/phút Ví duï 29: Moät bình hình hoäp kín (cao b, ñaùy vuoâng caïnh a) chöùa nöôùc ñaày nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Bieát taïi A- taâm ñaùy treân cuûa bình laø aùp suaát khí trôøi. Tính löïc taùc duïng leân maët beân cuûa bình Giaûi Maët ñaúng aùp - pa ω2r 2 Ta coù: h* = h* 2g A Löïc taùc duïng leân vi phaân dAx baèng: b ⎛ a 2 ⎞ ⎜ ω2 (y2 + ) ⎟ C y b 4 dF = p dA = γ⎜ + ⎟bdy dA C x ⎜ 2 2g ⎟ x ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ y r x a / 2 ⎛ 2 2 ⎞ Suy ra: b ω 2 a 0 a/2 F = 2γb ∫ ⎜ + (y + )⎟dy 0 ⎝ 2 2g 4 ⎠ a ⎡b a ω2 ⎛ a / 2 3 a 2 a ⎞⎤ ⎜ () ⎟ = 2γb⎢ + ⎜ + ⎟⎥ ⎣⎢2 2 2g ⎝ 3 4 2 ⎠⎦⎥ ⎡ 2 3 3 ⎤ ⎡ b ω 2a 2 ⎤ ab ω ⎛ a a ⎞ F = γab + = 2γb⎢ + ⎜ + ⎟⎥ ⇒ ⎢ ⎥ ⎣ 4 2g ⎝ 24 8 ⎠⎦ ⎣ 2 6g ⎦ THUY TINH 25
26. PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 30: Một hệ thống ống nghiệm gồm ba ống thông nhau, cách đều nhau với khoảng cách L, chứa nước độ cao H. Hệ thống quay đều quanh trục thẳng đứng quanh ống một với tốc độ n (vòng/phút) (xem hình vẽ). Giả sử khi quay nước không tràn ra ngoài. Cho H=1m, L=0,3m; n=80 vòng/phút.Cột nước trong ba ống khi đã quay? DS: h1= 0.46 m; h2=0.79 m; h3=1.75 m HDẫn: Phương trình mặt thoáng (qua 3 điểm trên mặt thoáng ba ống ) có dạng: ω 22r zC=+ 1 2 3 2g Chọn gốc tọa độ tại O (đáy của ống nghiệm 1) như hình vẽ, thế tọa độ của 3 điểm trên mặt thoáng ba ống , lần lượt ta có: ωω22LL 24 2 hCh==+=+;; Ch C 1222gg 3 Với h1, h2, h3 lần lượt là cột nước trong ba ống H h2 h3 h1 Lưu ý rằng: h1+ h2+ h3 =3H 22 Vậy: ⎛⎞ω 5L 22 ⎜⎟ ω 5L 2g 33HCCH=+⇒=−⎜⎟ 23g ⎜⎟ L L ⎜⎟ ⎛ ω225L ⎞ ⎝⎠ ω hH1 =−⎜ ⎟ ⎝ 6g ⎠ Ví duï 31: Mặt chõm cầucóchiềucaolàh tương ứng vớibánkínhcầulàR, tiếpxúcvớinướcnhư hình vẽ. Mặt đáy củachõmcầu nghiêng vớiphương ngang α và có đường kính d. Tìm lựcthẳng đứng củanướctácdụng lên mặtchõmcầu. HDẫn: Nhận xét thấy nếu tiến hành phân tích và vẽ vật áp lực để tìm lực Fz tác dụng lên mặt chõm cầu, ta sẽ rất khó tính thể tích vật áp lực. Trong JtrJGJJGJJJường hợp này,GJJG nếu xem toàn bộ các mặt bao quanh chõm cầu đều tiếp xúc với nước, ta có: ∑ FFzz=+=12 F z Ar Trong đóFz1 và Fz2 lần lượt là áp lực theo phương z tác động lên mặt chõm cầu (hướng lên) và mặt đáy tròn (hướng xuống). Chiếu trên phương z (hướng lên) ta có: Fz1-Fz2 = Ar Như vậy, để tìm Fz1 ta chỉ cần tìm lực đẩy Ar tác dụng lên chõm cầu và áp lực nước (tưởng tượng là có) tác động lên đáy chõm cầu Fz2 (nhớ là chiếu trên phương z!) πh2 Để tìm lực đẩy Ar, ta cần thể tích chõm cầu: WRhAr=−=(3 ); γW 3 Với h là chiều cao chõm cầu, R là bán kính cầu tương ứng. hA Để tìm lực F ta cần biết áp suất tại trọng tâm C của mặt đáy z2 hC A d chõm cầu (đường kính d). Trong hình vẽ: α C hC=hA+dsin(α)/2 2 h Lực tác động lên mặt đáy chõm cầu là F2=γhCA= γhC (πd /4). Nước Suy ra thành phần thẳng đứng của F2 là: 2 Fz2=F2cos(α)= γhC (πd /4)cos(α) Vậy:Fz1 hướng lên và có giá trị: Fz1 = Ar + Fz2 THUY TINH 26