Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 4: Các nguyên lý cơ học

Nội dung text: Bài giảng Cơ học lý thuyết - Phần 4: Các nguyên lý cơ học

1. Bỏch Khoa Online Giao lưu - Học hỏi - Chia sẻ kinh nghiệm của cỏc thế hệ sinh viờn Bỏch Khoa hutonline.net
2. -203- Phần 4 Các nguyên lý cơ học Cùng với hai vấn đề đã nghiên cứu là ph−ơng trình vi phân của chuyển động và các định lý tổng quát của động lực học; các nguyên lý cơ học trình bày d−ới đây sẽ cho ta một ph−ơng pháp tổng quát khác giải quyết có hiệu quả và nhanh gọn nhiều bài toán động lực học của cơ hệ không tự do. Các nguyên lý cơ học là phần cơ sở của cơ học giải tích. Căn cứ vào nguồn năng l−ợng và đặc điểm kết cấu của cơ hệ, cơ học giải tích sử dụng công cụ giải tích toán học để thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động và tìm cách tích phân các ph−ơng trình đó. Trong phần này chỉ giới thiệu một số vấn đề cơ bản nhất của cơ học giải tích cụ thể là chỉ thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động cho cơ hệ không tự do và nêu lên một số tính chất của nó mà ta không đi sâu vào ph−ơng pháp tích phân các ph−ơng trình đó. Ch−ơng 14 Nguyên lý di chuyển khả dĩ 14.1. Các khái niệm cơ bản về cơ hệ Để làm cơ sở cho việc thiết lập các nguyên lý cơ học tr−ớc hết nêu một số khái niệm cơ bản về cơ hệ không tự do. 14.1.1. Liên kết và phân loại liên kết 14.1.1.1. Cơ hệ không tự do Cơ hệ không tự do là một tập hợp nhiều chất điểm mà trong chuyển động của chúng ngoài lực tác dụng ra vị trí và vận tốc của chúng còn bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và động học cho tr−ớc.
3. -204- 14.1.1.2. Liên kết và phân loại liên kết Liên kết là điều kiện ràng buộc chuyển động lên các chất điểm của cơ hệ không tự do. Các biếu thức toán học mô tả các điều kiện ràng buộc đó gọi là ph−ơng trình liên kết. Dạng tổng quát của ph−ơng trình liên kết có thể viết : fi(rk,vk,t) ≥ 0 j = 1 m ; k = 1 n j là số thứ tự các ph−ơng trình liên kết. k là số thứ tự các chất điểm trong hệ. Phân loại liên kết Căn cứ vào ph−ơng trình liên kết ta có thể phân loại liên kết thành : liên kết dừng hay không dừng ,liên kết giữ hay không giữ , liên kết hình học hay động học Nếu liên kết mà ph−ơng trình không chứa thời gian t gọi là liên kết dừng. Ng−ợc lại ph−ơng trình liên kết chứa thời gian t gọi là liên kết không dừng hay hữu thời Nếu liên kết mà ph−ơng trình mô tả bằng đẳng thức ta gọi là liên kết giữ hay liên kết hai phía. Nếu liên kết có ph−ơng trình mô tả bằng bất đẳng thức gọi là liên kết không giữ hay liên kết một phía. Nếu liên kết có ph−ơng trình không chứa vận tốc v gọi là liên kết hình học hay liên kết hô nô nôm. Ng−ợc lại nếu liên kết có ph−ơng trình chứa yếu tố vận tốc v gọi là liên kết động học hay không hô nô nôm. Sau đây nêu một vài thí dụ về các loại liên kết. Cơ cấu biên tay quay OAB biểu diễn trên hình (14-1) có ph−ơng trình liên kết : 2 2 2 xA + yA = r ; 2 2 2 (xB + xA) + yA = l ; yB = 0 . Các ph−ơng trình liên kết trên thể hiện liên kết dừng, giữ và hô nô nôm.
4. -205- Bánh xe bánh kính R lăn không tr−ợt trên đ−ờng thẳng (hình 14-2) có ph−ơng trình liên kết : y0 ≥ R ; VP = 0 ; Liên kết này là liên kết dừng, không giữ và không hô nô nôm. Vật A treo vào đầu sợi dây vắt qua ròng dọc cố định B. Đầu kia của dây đ−ợc cuốn lại liên tục theo thời gian. Giữ cho vật dao động trong mặt phẳng oxy thẳng đứng (hình 14-3). Ph−ơng trình liên kết đ−ợc viết : 2 2 2 xA + yA = ≤ l (t) ; zA = 0 . Liên kết này không dừng, không giữ và hô nô nôm. y y B A P(t) M 1 2 R A O x C P B H ình 14.1 Hình 14.2 Hình 14.3 14.1.2. Toạ độ suy rộng. Toạ độ suy rộng là các thông số định vị của cơ hệ. Ký hiệu toạ độ suy rộng là qj ; qj có thể đo bằng đơn vị độ dài, đơn vị góc quay, điện l−ợng Nếu số các toạ độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi là toạ độ suy rộng đủ. Nếu số toạ độ d− thừa nghĩa là v−ợt quá số toạ độ cần thiết để xác định vị trí của hệ gọi là toạ độ d−. Số các toạ độ d− đ−ợc liên hệ với nhau bằng biểu thức dạng : fi(qk,qk,t) ≥ 0 gọi là ph−ơng trình liên kết.
5. -206- Cơ cấu tay quay thanh truyền biểu diễn trên hình 14-1 nếu chọn q1 = ϕ và q2 = Ψ thì giữa q1 và q2 có ph−ơng trình : rsinq1 - lsinq2 = 0. Nếu chọn q1 = xA và q2 = yA thì giữa q1 và q2 có ph−ơng trình : 2 2 2 q1 + q2 = r ; q1 = Rcosq3 . 14.1.3. Di chuyển khả dĩ của cơ hệ Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng nhỏ của cơ hệ tại vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt liên hệ. Để phân biệt với di chuyển thực dr ta ký hiệu di chuyển khả dĩ là ∂r . r r ' Nếu gọi rk và rk là véc tơ định vị của chất điểm thứ k trong hệ tại vị trí r r r ' đang xét và tại vị trí lân cân thì ∂rk = rk − rk ta có : ' ' fj(rk ,vk ,t) - fj(rk,vk,t) = 0 (j = 1 m). Với định nghĩa trên ta thấy di chuyển thực khác với di chuyển khả dĩ ở chỗ : Di chuyển thực dr phụ thuộc vào lực tác dụng và điều kiện đầu và liên kết đặt lên hệ còn di chuyển khả dĩ chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên hệ mà thôi. Chính vì thế di M δ r chuyển thực chỉ có một còn di chuyển khả dĩ có thể có một hoặc nhiều. Đối với hệ chịu liên kết dừng di chuyển thực sẽ trùng với một trong số các di chuyển khả dĩ. Trong cơ cấu Hình 14.4 tay quay thanh truyền (hình 14-1) di chuyển khả dĩ của hệ là một tập hợp các véc tơ ∂rA và ∂rB thoả mãn điều kiện liên kết nh− sau : Hình chiếu lên AB của ∂rA bằng hình chiếu lên Ab của ∂rB . Chất điểm đặt lên mặt cong (hình 14-4) có di chuyển khả dĩ là tập hợp các véc tơ ∂r tiếp tuyến với mặt cong tại vị trí đang xét.
6. -207- 14.1.4. Bậc tự do của cơ hệ Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là có nhiều tuy nhiên mức đọ nhiều có hạn chế. Trong số các di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể có một hay một số m di chuyển cơ sở. Các di chuyển còn lại đ−ợc biểu diễn qua các di chuyển cơ sở nói trên. Các di chuyển cơ sở độc lập tuyến tính với nhau và đúng bằng thông số định vị của cơ hệ tức là bằng số toạ độ suy rộng đủ. Ta goi các số di chuyển khả dĩ cơ sở của hệ là số bậc tự do m của hệ. Trong cơ cấu tay quay thanh truyền rõ ràng số bậc tự do m = 1, và có thể chọn một trong ϕ hay à làm di chuyển cơ sở. Số bậc tự do của hệ càng cao thì mức độ tuỳ ý của các di chuyển khả dĩ càng lớn có thể xác định số bậc tự do của cơ hệ bằng biểu thức : m = r - s. Trong đó r là số toạ độ d− và s là số ph−ơng trình liên kết. 14.1.5. Liên kết lý t−ởng - Lực suy rộng 14.1.5.1. Liên kết lý t−ởng Nếu tổng cộng nguyên tố của phản lực liên kết trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ đều triệt tiêu thì liên kết đặt lên cơ hệ đ−ợc gọi là liên kết lý t−ởng. r Gọi N k là phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk; ∂rk là véc tơ di chuyển khả dĩ của chất điểm đó thì theo định nghĩa trên ta có : n r r ∑ N k .∂rk = 0 (14-1) k=1 Trong thực tế nếu cần bỏ qua lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành cơ hệ thì đa số các cơ hệ thoả mãn biểu thức trên vsf nh− vậy chúng chịu các liên kết lý t−ởng. Khi phải kể đến các lực ma sát và tính đàn hồi của vạt thể ta vẫn dùng d−ợc khái niệm liên kết lý t−ởng trên đây nh−ng phải xem các lực do ma sát hoặc do tính đàn hồi của vật thể tác dụng lên cơ hệ nh− là các hoạt lực. Vật rắn tuyệt đối tự do là một cơ hệ chịu liên kết lý t−ởng.
7. -208- Quả vậy nếu ta xét một cặp chất điểm M, N bất kỳ trong vật thì lực tác dụng t−ơng hỗ giữa chúng là F, F' với F = -F'. Gọi ∂r và ∂r' là các véc tơ di chuyển khả dĩ của chất điểm M, N, ta có : 2 r r r r ' r ' r r r ' ∑ N k ∂rk = F.∂r + F ∂r = F(∂r + ∂r ). k=1 Theo động học vật rắn ta có : ∂r = ∂r ' + ∂MN nghĩa là : ∂r − ∂r ' = ∂MN. Véc tơ MN có độ lớn không r r ' đổi nên ∂MN = (∂r − ∂r ' ) vuông góc với F. Cuối cùng suy ra F.()∂r − ∂r = 0 , n r r hay ∑ N k ∂rk = 0, điều này chứng tỏ vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lý t−ởng. k=1 Hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiếp xúc với nhau tạo thành một cơ hệ chịu liên kết lý t−ởng. Cũng dễ dàng nhận thấy hai vật rắn có bề mặt trơn nhẵn tiép xúc với nhau tạo thành một cơ hệ chịu liên kết lý t−ởng. Dây mềm không dãn vắt qua ròng rọc khi bỏ qua sự tr−ợt của dây và bỏ qua ma sát ổ trục cũng là một cơ hệ chịu liên kết lý t−ởng. 14.1.5.2. Lực suy rộng Xét cơ hệ N chất điểm, có m toạ độ suy rộng đủ q1q2 qm. Biểu thức tổng công của các hoạt lực trong một di chuyển khả dĩ nào đó của cơ hệ có thể viết: n n a r a r ∑∂A k = ∑Fk ∂rk . (a) k==1 k 1 r a Trong đó Fk là tổng các hoạt lực tác dụng lên chất điểm Mk ; ∂rk là di chuyển khả dĩ của chất điểm Mk tại vị trí đang xét. r r Biểu diễn véc tơ định vị r k và di chuyển khả dĩ ∂ r k qua các toạ độ suy rộng ta có : r r rk = rk ()q1q 2 , q m ;
8. -209- ∂r ∂r ∂r r k k k ∂rk = ∂q1 + ∂q 2 + ∂q m . ∂q1 ∂q 2 ∂q m Thay kết quả vào biẻu thức (a) ở trên ta đ−ợc r r r N N r ⎛ ∂r ∂r ∂r ⎞ ∂A a = F ⎜ k ∂q + k ∂q + k ∂q ⎟ ∑∑k k ⎜ 1 2 m ⎟ k==1 k 1 ⎝ ∂q1 ∂q 2 ∂q m ⎠ N r N r N r r a ∂rk r a ∂rk r a ∂rk = ∑ Fk ∂q1 + ∑ Fk ∂q 2 + ∑ Fk ∂q m k=1 ∂q1 k=1 ∂q 2 k=1 ∂q m n Q1∂q1 + Q2∂q 2 + Qn ∂q n = ∑ Q j∂q j j=1 N r r a ∂rk Đại l−ợng Q j = ∑ Fk đ−ợc gọi là lực suy rộng t−ơng ứng với toạ độ k=1 ∂q j suy rộng qj . Ta có định nghĩa : Lực suy rộng Qj ứng với toạ độ suy rộng qj là đại l−ợng vô h−ớng biểu thị bằng hệ số của biến phân t−ơng ứng trong biểu thức tổng công của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kỳ của cơ hệ đó. Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào bản chất vật lý của toạ độ suy rộng t−ơng ứng. Chẳng hạn ta th−ờng gặp : Toạ độ suy rộng qj là độ dài thì Qj là lực; là góc quay thì Qj là mô men lực ; qj là điện l−ợng thì Qj là điện thế. qj là điện thế thì Qj là điện l−ợng. Trong thực hành để xác định lực suy rộng Qj ta có ph−ơng pháp sau đây. Cho hệ một di chuyển khả dĩ với ∂qj ≠ còn các biến phân khác của toạ độ suy rộng cho bằng không, sau đó tính công của các lực trong di chuyển đố của hệ. Theo định nghĩa trên ta có : N n a ∑∂Ak = ∑Q j∂q j k==1 j 1 Vì các biến phân ∂q ≠ ∂qj đều triệt tiêu nên biểu thức trên viết đ−ợc :
9. -210- N n a ∑∂A k = ∑Q j∂q j k==1 j 1 Từ đây suy ra biếu thức xác định lực suy rộng Qj ; N a ∑ ∂A k k=1 Q j = ∂q j Thí dụ 14.1 : Xác định lực suy rộng t−ơng ứng với toạ độ suy rộng của hệ con lắc vật lý kép biểu diễn trên hình (14-5). Cho biết trọng l−ợng của mỗi con lắc đều bằng P và đặt tại điểm giữa C1, Chứng từ của các con lắc ; Độ dài của mỗi con lắc là 1. x Bài giải : O C ϕ 1 Chọn toạ độ suy rộng đủ của hệ là các góc ϕ1 ϕ2 1 A C2 nh− trên hình vẽ. Gọi các lực t−ơnh ứnh là Q , Q . Tr−ớc ϕ2 1 2 P1 y hết xác định Q1, ta cho hệ một di chuyển khả dĩ sao cho P2 ∂ϕ1 ≠ 0 còn ∂ϕ2 = 0. Công của các hoạt lực P1, P2 trong di Hình 14.5 chuyển đó tính đ−ợc : a 1 ∑ ∂A k = −P. sin ϕ1 ,∂ϕ1 − P2lsin ϕ1∂ϕ1 ; k= 2 3Pl = lsin ϕ ∂ϕ = Q ∂ϕ . 2 1 1 1 1 Suy ra : 3Pl Q = − lsin ϕ . 1 2 1 Để tính Q2 cho hệ một di chuyển khả dĩ với ∂ϕ1 = 0 còn ∂ϕ2 ≠ 0. Khi đó chỉ có con lắc AB di chuyển và công của hoạt lực trong di chuyển này là : N a 1 1 ∑∂A k = −P2 . sinϕ2∂ϕ2 = −P. sinϕ2∂ϕ2 = Q2∂ϕ2 . k=1 2 2 1 Suy ra : Q = −P. sinϕ . 2 2
10. -211- 14.2.1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ Khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng thì điều kiện cần và đủ để nó cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công của các hoạt lực trong mọi di chuyển khả dĩ của hệ tại vị trí đạng xét bằng không. N a r r ∑ ∂A k = ∑ Fka .∂rk = 0 . k=1 Tr−ớc hết ta chứng minh điều kiện cần. Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng. Giả sử ở vị trí đang xét hệ can bằng. Ta phải chứng minh điều kiện cần có r là ∑ Fka .∂rk = 0 . Thật vậy, vì hệ cân bằng nên chất điểm Mk trong hệ cũng cân r a r bằng. Nếu gọi Fk và Nk là hoạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo sát ta sẽ có : r a r Fk + N k = 0 . r Cho hệ một di chuyển khả dĩ tại vị trí đang xét và gọi ∂rk là di chuyển của chất điểm Mk ta cũng có thể viết : r a r r r Fk .∂rk + N k .∂rk = 0 . Viết cho cả hệ, nghĩa là cho k tiến từ 1 đến N sau đó cộng vế với vế của các biểu thức sẽ đ−ợc : N N r a r r r ∑Fk .∂rk + ∑ N k .∂rk = 0 . k=1 k=1 N r r Vì liên kết là lý t−ởng nên ∑ N k .∂rk = 0 do đó cần phải có k=1 r a r Fk .∂rk = 0 . Sau đây chứng minh điều kiện đủ. N r a r Giả thiết cơ hệ thoả mãn điều kiện ∑Fk .∂rk = 0 ta phải chứng minh rằng k=1 điều kiện này đủ để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét. Thật vậy nếu cơ hệ thoả mãn điều kiện trên mà không cân bằng thì chứng tỏ nó phải khởi động tại vị trí đang xét đó. Nh− vậy biến thiên của hệ phải d−ơng. dT > 0. Theo định lý động năng ta có :
11. -212- N a r a r r r dT = ∑∑dA k = ∑Fk .∂rk + N k .∂rk . k=1 Với hệ chịu liên kết dừng thì di chuyển thực dr sẽ trùng với một trong các r di chuyển khả dĩ. Ta có dr = ∂rk . Thay vào biểu thức trên ta đ−ợc : N N r a r r r dT = ∑∑Fk.∂rk + N k .∂rk > 0 k==1 k 1 Vì hệ chịu lực liên kết lý t−ởng nên : N r r + ∑ N k .∂rk = 0 . k=1 N r a r Chỉ còn lại : dT = ∑Fk.∂rk > 0. k=1 Điều này trái với giả thiết đã nêu, chứng tỏ cơ hệ không thể khởi động tại N r r vị trí đang xét nghĩa là khi thoả mãn điều kiện ∑ Nk .∂rk = 0 thì chác chắn cơ hệ k=1 sẽ cân bằng. 14.2.2. Ph−ơng trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do N r r Từ điều kiện cân bằng ∑ N k .∂rk = 0 có thể thiết lập ph−ơng trình tổng k=1 quát cho cơ hệ d−ới hai dạng toạ độ Đề các và toạ độ suy rộng. - Dạng toạ độ Đề các . a a a r a Gọi Xk , Yk , Zk là hình chiếu của hoạt lực Fk và ∂xk, ∂yk, ∂zk, là hình r chiếu của di chuyển ∂rk lên các trục toạ độ oxyz. Ta có thể viết ph−ơng trình cân bằng của hệ d−ới dạng ph−ơng trình sau đây: N N r a r a a a ∑∑∂A k = Fk .∂rk = ∑(X k ∂x k + Yk ∂y k + Zk ∂z k ). (14-3) k=1 k=1 Ph−ơng trình này gọi là ph−ơng trình cân bằng tổng quát của hệ d−ới dạng toạ độ Đè các. - Dạng toạ độ suy rộng. Xét hệ có m toạ độ suy rộng đủ q1q2 qm. Điều kiện cân bằng của hệ có thể viết :
12. -213- N N r s r ∑∑∂A k = Fk .∂rk = ∑Q j∂q j = 0 . k=1 k=1 Nếu hệ chịu liên kết hình học (hô nô nôm) thì các ∂qj là độc lập với nhau và dễ dàng suy ra các điều kiện cân bằng sau đây : Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; Qm = 0. (14-4) Các ph−ơng trình (12-3) và (12-4) chính là điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ chịu liên kết dừng, hô nô nôm là lý t−ởng. Sau đây là các bài toán thí dụ. Thí dụ 14 .1 Xà kép gồm hai đoạn AC và chuyển động nối với nhau bằng khớp bản lề ở C. Trên đoạn chuyển động có lực tập trung P tác dụng theo ph−ơng vuông góc với xà tại E. Xác định phản lực tại gối đỡ di động B. Kích th−ớc két cấu xà cho trên hình (14-6a). N P B δs δs δs E A B C E D A B C D B C E a b l1 l2 Hình 14.6b Hình 14.6a Bài giải : Để xác định phản lực NB ta giải phỏng liên kết (gối tựa di động) tại B và thay vào đó phản lực NB. Cho hệ di chuyển khả dĩ với ∂SB, ∂Sc, ∂ScE nh− hình vẽ. Ph−ơng trình cân bằng tổng quát cho hệ viết đ−ợc : a ∑∂A k = N B∂SB − P.δSE = 0. Trong đó : b l1 ∂SE = ∂SB .Ph−ơng trình cân bằng còn viết đ−ợc : a l2 b l1 b l1 N B∂SB − P. . ∂SB = 0 hay N B − P. = 0 a l2 a l2
13. -214- Suy ra : b l1 N B = P. . a l2 Kết quả cho ta giá trị d−ơng chứng tỏ chiều của phản lực NB chọn nh− hình vẽ là đúng. Thí dụ 142: Cho cơ cấu chịu tác dụng các lực cân bằng biểu diễn trên hình (14-7). Xác dịnh độ biến dạng h của lò xo nếu cho Q = 100N; độ cứng lò xo c = 5N/cm; 0 0 r1 = 20cm; r2 = 40cm; r3 = 10cm; OA = 50cm; α = 30 ; β = 90 . δψ δψ y 1 A δsA β r2 r δϕ3 1 δsB O α 1 δs1 o2 3 x K δs r3 F δϕ1 B G 3 P G1 Q Hình 14.7 Bài giải: Xét hệ bao gồm vật D đến con tr−ợt B. bỏ qua ma sát ở trục và mặt tr−ợt liên kết đặt lên hệ là dừng, một phía, hô nô nôm và lý t−ởng. r r r r Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm trọng l−ợng Q,G1 ,G 3 ,P và các lực đàn hồi r r r F của lò xo. Trong các lực trên chỉ có lực Q và F là sinh công. Cho hệ một di chuyển khả dĩ với ∂s là di chuyển của vật D làm cơ sở. Ta có thể tìm đ−ợc ci chuyển của điểm B nh− sau :
14. -215- ∂s Ta có : ∂ϕ1 = r1 Điểm tiếp xúc K giữa hai bánh răng 2 và 3 có di chuyển ∂s1 với : r2 ∂s1 = r1∂ϕ1 = ∂s . di chuyển góc quay của bánh răng 3 sẽ là r1 ∂s1 r2 ∂ϕ3 = . r1r3 Vì thanh O3A gắn với bánh răng A nên điểm A có di chuyển : r2 ∂s A = O3A.∂ϕ3 = l ∂s . r1r3 Ta có thể xác định di chuyển của B thông qua ∂sA. Vì thanh AB chuyển động song phẳng với P là tâm vận tốc tức thời nên suy ra : PA ∂s B PA = , hay : ∂a B = ∂s A . PB ∂s A PB PB 1 Trong tam giác APB ta có : = . PA cos300 r2 Nên : ∂s B = 0 ∂s . r1r3 cos30 Thiết lập điều kiện cân bằng cho hệ nhờ nguyên lý di chuyển khả dĩ. Ta có: r r ∑Fk ∂rk = Q∂s − F∂s B = 0 Thay F = c . h r2 ta đ−ợc : Q∂s − c.h 0 ∂s = 0 . r1r3 cos30 Q r r cos300 100.20.10.0,87 Suy ra : h = 1 3 ∂s = =1,74cm . c r2 5.40.50 Nh− vậy hệ cân bằng khi lò xo bị nén một đoạn h = 1,74cm.
15. -216- Ch−ơng 15 nguyên lý da lam be 15.1. Lục quán tính và nguyên lý Da lam be đói với chất điểm r Xét chất điểm có khối l−ợng m chuyển động với gia tốc W d−ới tác dụng r r r các của lực F1 ,F2 Fn (hình 15-1). Ph−ơng trình cơ bản của động lực học F1 Fqt viết cho chất điểm : M F2 r r r r N r mW = F + F + F = F . 1 2 n ∑ i W i=1 Fn Chuyển các số hạng của ph−ơng trình trên sang một vế đ−ợc : Hình 15.1 r r ∑Fi + (− mW)= 0 . (1) r Số hạng (− mW) có thứ nguyên của lực bằng tích số giữa khối l−ợng m với gia tốc w, cùng ph−ơng nh−ng ng−ợc chiều với gia tốc đ−ợc gọi là lực quán r tính của chất điểm và ký hiệu là Fqt . r r Ta có Fqt = −mW . Thay vào ph−ơng trình (1) ta đ−ợc : N r r ∑Fi + Fqt = 0 . i=1 r r Các lực ∑Fi và lực Fqt đồng quy tại chất điểm vì vậy có thể viết : r r r r (F1F2 Fn ,Fqt )= 0 . (15-1) Biểu thức (15-1) biểu diễn nguyên lý Đa Lam Be cho chất điểm và đ−ợc phát biểu nh− sau : Khi chất điểm chuyển động, các lực thực sự tác dụng lên chất điểm (bao gồm các hoạt lực và phản lực liên kết) cùng với lực quán tính của nó tạo thành một hẹ klực cân bằng.
16. -217- Điều kiện cân bằng của hệ lực biểu diễn nguyên lý Đa Lam Be cho chất điểm viết đ−ợc : ΣXi = X1 + X2 + + Xn +Xqt = 0. ΣYi = Y1 + Y2 + + Yn +Yqt = 0. ΣZi = Z1 + Z2 + + Zn +Zqt = 0. Trong đó : Xi , Yi , Zi và Xqt , Yqt , Zqt là các hình chiếu của lực Fi thực sự rác động len r chất điểm của lực quán tính Fqt lên các trục oxyz. Chú ý : r 1. Lực quán tính Fqt không đặt lên chất điểm, đó là lực t−ởng t−ợng thêm vào để có nguyên lý Đa Lăm Be. Thực tế lực quán tính đặt vào liên kết của chất điểm. Thí dụ khi buộc một vật nặng vào đầu một sợi dây và quay thì lực thực sự tác dụng lên vật trong tr−ờng hợp này chỉ có trọng lực, lực căng của dây, lực cản không khí, còn lực quán tính của vật lại đặt lên sợi dây và có xu h−ớng đứt dây. 2. Khi chất điểm chuyển động cong, gia tốc của chất điểm có hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến do đó lực quán tính cũng có hai thành phần t−ơng ứng. Ta có : r r τ r n W = W + W . r r r τ r n r τ r n Fqt = −mW = −mW − mW = Fqt + Fqt . r τ Trong đó lực quán tính tiếp tuyến Fqt có ph−ơng tiếp tuyến với quỹ đạo có dv chiều phụ thuộc vào tính chất chuyển động của chất điểm. Nếu W = > 0 thì dt lực quán tính tiếp tuyến ng−ợc chiều với vận tốc của chất điểm. dv W τ = < 0 thì lực quán tính tiếp tuyến cùng chiều với vận tốc của chất dt điểm. Vì vậy gia tốc pháp tuyến Wn luôn luôn cùng h−ớng vào tâm của đ−ờng r n conh tại vị trí đang xét nen Fqt luôn luôn có chiều h−ớng từ tâm đ−ờng cong ra r n ngoài vì thế Fqt đ−ợc gọi là lực quán tính ly tâm (hình 15-2)
17. -218- n n F τ F τ qt W qt Fqt v v M M Fτ Wτ qt Wn Wn Hình 15.2 Nhờ nguyên lý Đa Lăm Be ta có thể giải thích các bài động lực học của chất điểm bằng ph−ơng pháp giải bài toán cân bằng của hệ lực đồng quy đã biết trong tĩnh học. Thí dụ 15-1 Một bóng đèn có trọng l−ợng P treo W trên trần của toa tầu đang chạy. Tại một thời O điểm nào đó ng−ời ta thấy dây treo đèn lệch T α T α qt Fe M qt đi so với ph−ơng đứng một góc α. Tình gia F P P tốc của tầu tại thời điểm đó. Tính lực căng của dây (hình 15-3). Bài giải : Hình 15.3 r Xét chuyển động của bóng đèn. Gọi gia tốc của bóng đèn là W ta có : các r r lực thực sự tác dụng lên bóng đèn là trọng lực P , lực căng T của dây. Lực quán tính của bóng đèn là : r P r F = − W . qt g Theo nguyen lý Đa Lăm Be có : r r r (P,T,Fqt ) 0 Hệ lực này gồm 3 lực đồng quy ta có thể thiết lập điều kiện cân bằng của chúng bằng tam giác khép kín nh− trên hình (15-3b). Từ tam giác lực này suy ra : Fqt = Ptgα. Hay mw = ptgα = mgtgα;
18. -219- w = gtgα. Tại thời điểm xét coi bóng đèn là cân bằng t−ơng đối trong toa tầu do đó gia tốc của bóng đàn cũng chính là gia tốc của toa xe. P 1 Cuối cùng lực căng T tính đ−ợc ; T = = P . cosα cosα Ta có ph−ơng chièu biểu diễn nh− hình vẽ. Thí dụ 15-2 : Một bình hình trụ chứa chất lỏng y quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc không đổi ω0. A n B N τ Tìm dạnh mặt thoáng chất lỏng ở vị trí cân bằng t−ơng qt r F đối (hình 15-4). α M O x Bài giải: P Xét mọt phần tử chất lỏng M nằm trên mặt thoáng. Giả thiết mặt phẳng oxy cắt mặt thoáng theo Hình 15.4 giao tuyến AOB di qua điểm M (hình 15-4). Các lực r r thực sự tác đọng lên chất điểm M gồm : Trọng lực P phản lực N của phần chất lỏng còn lại tác dụng lên chất điểm có h−ớng theo pháp tuyến Mn. r r Lực quán tính của chát điểm là Fqt = mW vì khối lỏng quay đều quanh r r n trục quay nên gia tốc W chỉ gồm thành phần pháp tuyến W và lực quán tính r Fqt có ph−ơng chiều nh− hình vẽ : n 2 Fqt = Fqt = mω .x , ở đây x là toạ độ của điểm M. áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho chất điểm M ta có : r r r (P,N,Fqt ) ∼ 0. Ph−ơng trình cân bằng của hệ lực này trên trực tuyến Mτ viết đ−ợc : m x ω2cosα - mgsinα = 0 ; α là góc nghiêng của đ−ờng tiếp tuyến với trục x. ω2 Suy ra tgα = .x g
19. -220- dy dy ω2 Thay tgα = ta đ−ợc : = .x dx dx g ω2 Hay dy = .x.dx . g Láy tích phân hai vế theo các cận t−ơng ứng có : y y ω2 ∫dy = ∫ .x.dx , 0 0 g ω2 Hay y = .x 2 . 2g Nh− vậy đ−ờng AOB là đ−ờng parabol và mặt thoáng của chất lỏng là một mặt paraboloit tròn xoay nhận trục oy là trục đối xứng. 15.2. Nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ 15.2.1. Nguyên lý Xét hệ gồm n chất điển : M1,M2, Mn. r i r e Tách một chất điểm Mk ra xét. Gọi Fk và Fk là tổng các nội lực và tổng các ngoại lực tác dụng lên chất điểm. Nếu chất điểm chuyển động với gia tốc r r r Wk thì lực quán tính của chất điểm sẽ là Fqtk = −mk Wk . áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho chát điểm ta có : r i r e r (Fk , Fk , Fqtk ) 0. Cho k tiến từ 1 n ta đ−ợc n hệ lực cân bằng viết theo dạng trên. Tất cả các hệ lực đó hợp lại thành một hệ lực cân bằng : r i r e r (Fk , Fk , Fqtk ) 0. (k = 1 n) (15-3) Biểu thức (15-3) biểu diễn nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ và đ−ợc phát biểu nh− sau : Khi hệ chuyển động các lực thực sự tác dụng lên hệ (kể cả nội lực và ngoại lực) cùng với lực quán tính của hệ tạo thành một hệ lực cân bằng. Hệ lực biểu diễn bởi biểu thức (15-3) là hệ lực bất kỳ trong không gian và vậy điều kiện cân bằng của hệ có thể viết nh− sau :
20. -221- N r i r e r ∑ ()Fk + Fk + Fqtk = 0 ; ki=1 N r r i r r e r r ∑ []m 0 (Fk ) + m 0 (Fk ) + m 0 (Fqtk ) = 0 . ki=1 N r i Vì ∑Fk = 0 nên ph−ơng trình còn lại : ki=1 N r e r qt ∑ ()Fk + R = 0 ; ki=1 N r r e r qt ∑ [m 0 (Fk ) + M 0 ]= 0 (15-4) ki=1 r qt r qt Trong đó R và M 0 là véc tơ chính và mô men chính lực quán tính của hệ. Nếu viết d−ới dạng hình chiếu ta có 6 ph−ơng trình sau : e qt ∑ X k +X = 0; e qt ∑ Y k +Y = 0; e qt ∑ Zk +Z = 0; e qt ∑ m x (Fk ) + M x = 0 ; e qt ∑ m y (Fk ) + M y = 0 ; e qt ∑ m z (Fk ) + M z = 0 . e e e qt qt qt Trong đó : Xk , Yk , Zk , X , Y , Z là các thành phần hình chiếu lên r 0 r qt các trục oxyz của ngoại lực Fk và véc tơ chính của lực quán tính R còn r e r e r e qt qt qt m x (Fk ), m y (Fk ), m z (Fk ) và Mx , My , Mz là mô men đối với ba trục oxyz r 0 của ngoại lực Fk và mô men chính của lực quán tính đối với ba trục. Cũng nh− đối với chất điểm nguyên lý Đa Lăm Be đối với hệ cho ta ph−ơng pháp giải các bài toán động lực học cho hệ theo ph−ơng pháp tĩnh học và đ−ợc gọi là ph−ơng pháp tĩnh động Ph−ơng pháp tĩnh động đ−ợc áp dụng rộng rãi để giải các bài toán động lực học đặc biệt là những bài toán xác định các phản lực liên kết. Khi sử dụng ph−ơng pháp khó khăn chính là việc xác định véc
21. -222- r qt qt tơ chính R và mô men chính, Mc . Sau đây sẽ trình bày kết quả thu gọn hệ lực quán tính trong một số tr−ờng hợp đặc biệt. 15.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính 15.2.2.1. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến Các chất điểm trong vật có gia tốc nh− nhau và bằng gia tốc khối tâm : r r Wk = Wc ()k =1 n . Khi thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta đ−ợc : r qt r r R c = ∑− m k Wc = −MWc ; qt r r r r r r M c = −∑ mc ()m k Wk = −∑ rk xm kWc = Mrcc xWc = 0. r Vì rcc = 0 do ta chọn C làm tâm thu gọn. Nh− vậy trong tr−ờng hợp vật chuyển động tịnh tiến hợp lực của các lực r qt r quán tính bằng véc tơ chính R c = −MWc và đi qua khối tâm C. 15.2.2.2. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định đi qua khối tâm C Gọi vận tốc và gia tốc của vật là ω và ε ta có : r qt r r r R c = ∑− m k Wk = −MWc = 0 vì Wc = 0 . N N N qt r qt r qt r qt M k = ∑ m cz ()F = ∑ m cz (Fτ )+ ∑ m cz (Fn ) . k=1 k=1 k=1 Các lực quán tính pháp tuyến luôn luôn đi qua trục quay do đó : r qt ∑ m cz ()Fn = 0 . Ta có : k N qt r qt M cz = ∑∑m cz ()Fτ = − d k m k d k ε = −J oz ε . k=1 qt Mcz = - Jozε. Với Joz là mô men quán tính của vật đối với trục quay. Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của hệ chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm là : r qt qt R c = 0 và Mcz = - Jozε.
22. -223- 15.2.2.3. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng Theo động học chuyển động song phẳng của vật có thể phân tích thành hai chuyển động cơ bản là tĩnh tiến theo khối tâm và chuyển động quay quanh trục z đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng cơ sở. Thu gọn hệ lực quán tính với từng chuyển động cơ bản đó đã đ−ợc trình bày trong hai tr−ờng hợp trên. Dễ dàng nhận thấy khi thu gọn các lực quán tính của hệ chuyển động song phẳng có kết quả sau : r qt r qt R C = −MWc và Mcz = - Jozε. trong đó M và Joz là khối l−ợng và mô men quán tính của hệ đối với trục quay cz. Wc và ε là gia tốc khối tâm và gia tốc góc của hệ. Sau đây giải một số bài toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ. Thí dụ 15-3: Hai vật A và B có trọng l−ợng P1 và P2 liên kết với nhau bằng một sợi dây không dãn trọng l−ợng không đáng kể. Hai vật chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo ph−ơng ngang ( hình 15-5 ). Xác định gia tốc của hai vật và lực căng của sợi dây. Bài giải : Xét hệ gồm cả hai vật. Các lực ngoài tác dụng lên hệ gồm trọng l−ợng r r r r r r P1 ,P2 , phản lực pháp tuyến N1 ,N 2 , lực ma sát tr−ợt F1 ,F2 và lực kéo Q. N2 N1 N2 qt qt qt F F F T 2 B 1 A Q 2 F2 F1 F2 P P 2 P1 2 a) b) Hình 15.5 r qt r qt Gọi lực quán tính đặt lên vật A và B là F 1 ,F2 ta có : r qt P r r qt P r F = − 1 W ;F = − 2 W 1 g 1 2 g 2
23. -224- r r r với W1 = W2 = W . Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta có : r r r r r r r r qt r qt (P1 , P2 , N1 , N 2 , F1 , F2 , Q, F1 , F2 )= 0 Các lực này đ−ợc biểu diễn trên hình (15-5a). Ph−ơng trình cân bằng theo ph−ơng trục ox nằm ngang viết đ−ợc: r qt r qt r r Q − F1 − F2 − F1 − F1 = 0 , P + P r hay Q = − 2 1 W − (P + P )f = 0 . g 2 1 Suy ra gia tốc hai vật : ⎛ Q ⎞ W = ⎜ − f ⎟.g ⎝ P2 + P1 ⎠ Từ kết quả tìm đ−ợc nhận thấy vật chuyển động khi : ⎛ Q ⎞ f < ⎜ ⎟ . ⎝ P2 + P1 ⎠ Để tính lực căng T của dây ta phải tách một trong hai vật ra để xét chẳng r r r r hạn xét vật B. Các lực thực sự tác dụng lên vật B là : (P2 ,N 2 ,F2 ,Q,T). lực quán r qt tính là F2 . Các lực này đ−ợc biểu diển trên hình (15-5b). áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be ta có : r r r r r r qt ( P , N , F2 , Q , T , F 2 )∼ 0. Viết ph−ơng trình của hệ cân bằng này lên ph−ơng ngang ta có: qt Q - T - F2 - F2 = 0 w Q - T - p2.f - p2 = 0 g Thay giá trị tìm đ−ợc của w vào ph−ơng trình trên tính đ−ợc : QP T = 1 . P1 + P2 Kết quả cho thấy lực căng của dây không phụ thuộc lực ma sát.
24. -225- Thí dụ 15-4: r Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng l−ợng P . Đầu A đ−ợc giữ bằng khớp r bản lề và đầu B đ−ợc giữ bằng sợi dây (hình 15.6). Xác định lực căng T của dây BD khi trục quay đều với vận tốc ωo. Cho biết góc hợp bởi giữa thanh AB và trục quay AD là α. Bài giải: Xét chuyển động của thanh AB. Các lực ngoài tác dụng lên thanh là: r r r Trọng lực P , phàn lực R A và lực căng T của dây. Gọi hợp lực của các lực quán r tính là R qt . Theo nguyên lý Đa lam be ta có: r r r r qt ( P , T , R A, R )∼ 0. r qt Ta có nhận xét: Lực quán tính F k của các phần tử trên thanh có cùng ph−ơng chiều và tỷ lệ với toạ độ xk của nó. Điều này cho phép vẽ biểu đồ phân bố y các lực quán tính theo hình (15-6). Ta nhận E D T r B E thấy rằng hợp lực của hệ lực này R qt = M. r ωo W và đi qua trọng tâm của tam giác ABE, c Rn nghĩa là đi qua điểm F cách A một đoạn C 2 yA ω xdm bằng 21/3. Dễ dàng tìm thấy ph−ơng trình h α → cân bằng cho hệ lực: P x qt A x ∑X = −T + X A + R = 0 ; A ∑Y=YA - P = 0 ; Hình 15.8 qt 2 1 ∑m A (Fi ) = T.l.cosα − R . cosα − P sin α = 0 3 2 P l .Thay R qt = M.W = sinαω2 và giải hệ ph−ơng trình trên ta đ−ợc : c g 2 2 ⎛ lω0 1 ⎞ T = P⎜ sinα + tgα⎟; ⎝ 3g 2 ⎠ ⎛ lω2 1 ⎞ P l X P⎜ 0 sin tg ⎟ sin 2 YA = P và A = ⎜ α + α⎟ − αω0 . ⎝ 3g 2 ⎠ g 2
25. -226- Ch−ơng 16 Ph−ơng trình tổng quát của động lực học - Ph−ơng trình lagrang loại 2 16.1. Ph−ơng trình tổng quát của động lực học Nh− đã biết ở ch−ơng 12 và ch−ơng 13, nguyên lý Đa Lăm Be cho ta ph−ơng pháp tĩnh để giải quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho ta ph−ơng pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ tự do. Kết hợp hai nguyên lý trên cho chúng ta thiết lập ph−ơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ tự do gọi là ph−ơng trình tổng quát của động lực học. Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng chuyển động d−ới tác dụng của r a r các hoạt lực và phản lực liên kết. Gọi Fk , N k là hoạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk . Nguyên lý Đa Lăm Be cho chất điểm Mk có thể viết ; r r r Fk + N k − m k Wk = 0. (a) r Cho hệ di chuyển khả dĩ, gọi ∂rk là di chuyển của chất điểm Mk . Nhân hai r vế của ph−ơng trình (a) với ∂rk ta đ−ợc r a r r r r r Fk ∂rk + N k ∂rk − m k Wk ∂rk = 0 . (b) Viết ph−ơng trình (b) cho tất cả các chất điểm trong hệ nghĩa là cho k = 1 N ta sẽ đ−ợc hệ N ph−ơng trình : r a r r r r r F ∂r1 + N1∂r1 − m1W1∂r1 = 0 ; r a r r r r r F ∂r2 + N2∂r2 − m2 W2∂r2 = 0 ; r a r r r r r Fn ∂rn + N n ∂rn − m n Wn ∂rn = 0 . Tiến hành cộng vế với vế của hệ N ph−ơng trình trên ta đ−ợc : N N N r a r r r r r ∑Fk ∂rk + ∑ N k ∂rk − ∑m k Wk ∂rk = 0 . (c) k=1 k=1 k=1 Vì liên kết đặt lên hệ là liên kết lý t−ởng nên số hàng thứ hai trong ph−ơng N r r trình (c) triệt tiêu : ∑ N k ∂rk = 0 . k=1
26. -227- Cuối cùng ta có : N N r a r r r ∑Fk ∂rk − ∑m k Wk ∂rk = 0 k=1 k=1 N r a r r Hay : ∑(Fk − m k Wk )∂rk = 0 (16-1) k=1 Ph−ơng trình (16-1) là ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ đ−ợc gọi là ph−ơng trình tổng quát của động lực học d−ới dạng véc tơ. Cũng có thể viết ph−ơng trình này d−ới dạng toạ độ Đề các sau đây. N N N a r a r a r ∑.(X k − m k x k )∂x k +∑∑.(Yk − m k y k )∂y k + .(Zk − m k z k )∂z k = 0 (16-2) k=1 k==1 k 1 Từ các ph−ơng trình tổng quát của động lực học ta thấy khi cơ hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng tổng vi phân công của các hoạt lực và các lực quán tính luôn luôn bằng không. Ta có : N N a qa ∑.∂A k + ∑.∂A k = 0 (16-3). k=1 k=1 Thí dụ 16-1 Trục của bộ điều chỉnh ly tâm đặt thẳng đứng và quay với vận tốc góc ω ω y (hình 16-1). Trọng l−ợng của mỗi quả O1 O2 văng là P1 = P2 = P. Trọng l−ợng của con B1 α B2 tr−ợt CC1là Q. Xác địng góc α của thanh A O và A O hợp với trục quay là hàm n n 1 1 2 2 F1 F2 A A theo vận tốc góc ω. Cho A1O1 = A2O2 = 1 2 C1 C2 1; O1B1 = O2B2 = B1C1 = B2C2 = a P1 P2 Bài giải : Q3 Xem bộ điều chỉnh bao gồm quả x văng A A và con tr−ợt là một cơ hệ. Nếu 1 2 Hình 16.1 bỏ qua lực ma sát ở các ổ trục và các khớp nối ta có thể xem cơ hệ này chịu liên kết dừng và lý t−ởng. Các hoạt lực tác r r dụng lên hệ bao gồm trọng l−ợng của các quả văng và con tr−ợt là P1 ,P2 và Q. Khi hệ quay ổn định với vận tốc góc ω thì lực quán tính của hệ chỉ bao gồm các
27. -228- r qt r qt lực quán tính ly tâm F1 ,F2 của hai quả văng. Do đối xứng các lực quán tính này có trị số bằng nhau và bằng : r qt r qt P 2 F = F = ω lsinα . 1 2 g Ph−ơng trình tổng quát của động lực học viết d−ới dạng toạ độ Đề các đã chọn nh− hình vẽ là : qt qt P1∂x1 + P2∂x2 - F1 ∂y1 + F2 ∂y2 + Q∂x0 = 0. Để xác định các biến phân của toạ độ từ hình vẽ ta có : x1 = x2 = lcosα ; y1 = -y2 = -lsinα ; xc = 2acosα. Suy ra: ∂x1 =∂x2 = -lsinα.∂α; ∂y1 =-∂y2 = -lcosα.∂α; ∂xc = -2a.sinα.∂α; Thay các kết quả vừa tìm đ−ợc vào ph−ơng trình thiết lập ở trên : 2P − 2P.2a sin α∂α + ω2 lsin α.l cos α∂α − 2Q.sin α∂α = 0 . g Suy ra : Pl + Qa cosα = g , Pl2ω2 Pl + Qa Hay : α = arccos g . Pl 2 ω2 Vì cosα ≤ 1 nên cũng từ kết quả này suy ra : Pl + Qa ω2 ≥ g . Pl2ω2 Để có góc tách α cho tr−ớc vận tốc góc của trục bao giờ cũng lớn hơn Pl + Qa hoặc bằng g . Pl 2ω2
28. -229- Thí dụ 16-2 Cơ cấu nâng hạ có kết cấu biểu 2 1 diễn trên hình (16-2). Bánh xe 1 có δϕ1 M δϕ2 qt trọng P1, bán kính quán tính ρ1. Bánh xe M2 qt 2 có trọng P2, bán kính quán tính ρ2. Xác Mt ε2 định gia tốc của vật nặng A có trọng ε1 l−ợng Q khi ta tác động lên bánh xe một δs1 ω1 mô men quay M. A qt Bài giải : FA Q Xét hệ gồm bánh xe 1, bánh xe 2 Hình 16.2 và vật nặng A. Coi ma sát trong trục bánh xe là không đáng kể thì liên kết đặt lên hệ là liên kết dừng và lý t−ởng. Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ đ−ợc viết d−ới dạng ph−ơng trình tổng quát của động lực học. n N a r r r ∑.Fk ∂rk − ∑.m k Wk ∂rk = 0 k=1 k=1 r r Hoạt lực tác dụng lên hệ bao gồm mô men M và các trọng lực P1 ,P2 ,Q. r qt qt qt Khi hệ chuyển động, các lực quán tính tác dụng lên hệ bao gồm FA ,M1 ,M 2 . r qt Q r Lực quán tính của vật A có thể xác định : F = − W A g A P P Các mô men lực quán tính của bánh xe M qt = 1 ρ2ε ;M qt = 2 ρ2ε . 1 g 1 1 2 g 2 2 r ở đây WA là gia tốc của vật A ; ε1 và ε2 là gia tốc của góc của bánh xe 1 WA r1 và 2. Theo kết cấu của hệ ta có: ε1 = ;ε 2 = WA . r rr2 Cho hệ một di chuyển khả dĩ với di chuyển ∂sA của vật A làm cơ sở. Theo kết cấu ta cũng suy ra di chuyển của các bánh xe là : ∂s A r1 r1 ∂s A ∂ϕ1 = ; ∂ϕ2 = ∂ϕ = r r2 r2 r Ph−ơng trình tổng quát của hệ động lực học viết cụ thể sẽ là :
29. -230- Q P1 2 ∂s A P2 2 r1 r1 ∂s A - Q∂s A − WA ∂s A − ρ1 ε1 − ρ2ε 2 ∂s A + M = 0 . g g r g rr2 r2 r 2 WA P1 2 WA P2 2 r1 r1 Hay : − Q(1 − ) − ρ1 2 − ρ2 2 2 W A +M = 0 . g g r g r r2 rr2 Suy ra : r 1 M − rQ r2 WA = 2 2 2 . ρ1 ρ2 r1 rQ + P + 2 P1 r r r2 16.2. Ph−ơng trình Lagrang loại II Ph−ơng trình trình tổng quát của động lực học viết d−ới dạng toạ độ suy rộng d−ợc gọi là ph−ơng trình Lagrang loại 2. Xét hệ chịu liên kết dừng và lý t−ởng. Ph−ơng trình tổng quát của hệ là : N N N r a r r r a r r r ∑.(Fk = m k Wk )∂rk = 0 , hay : ∑.Fk ∂rk − ∑.m k Wk ∂rk = 0 . k=1 k=1 k=1 N m r a r Nh− đã biết ở ch−ơng 14 ta có thể thay : ∑.Fk ∂rk = ∑.Q j∂q j k=1 j=1 ở đây Qj là lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj . Để có ph−ơng trình Lagrang loại 2 ta còn phải biến đổi trực tiếp số hạng N r r ∑.m k Wk ∂rk sang toạ độ suy rộng. ta có : k=1 N N m r m N r r r r ∂rk r ∂rk ∑.m k Wk ∂rk = ∑∑.m k Wk ( . ∂q j ) = ∑∑.( m k Wk )∂q j . k=1 k==1 j 1 ∂q j j==1 k 1 ∂q j r r r ∂rk ∂rk ∂rk ∂rk ở trên đã thay : ∂rk = ( ∂q j + ∂q j + ∂q j + ) ∂q1 ∂q 2 ∂q m ∂t N r r ∂rk Đặt ∑ m k Wk = Zj ta sẽ đ−a ph−ơng trình về dạng: k=1 ∂q j N r r m ∑.m k Wk ∂rk = ∑.Z j∂q j k=1 j=1 Sau đây tìm biểu thức của Zj :
30. -231- N r N r N r r ∂rk d r ∂rk r d ∂rk Z j = ∑.m k Wk = (∑.m k v k − ∑.m k v k ( ) . k=1 ∂q1 dt k=1 ∂q1 k=1 dt ∂q1 dr ∂r ∂r ∂r ∂r r k k k k k Thay v k = = q& 1 + q& 2 + q& m + ; dt ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂t m ∂r ∂r r k k v k = ∑ q& j + . j=1 ∂q j ∂t Từ kết quả này suy ra hai biểu thức sau : ∂r ∂vr k = k (e) ∂q j ∂q& j Thay : r 2 r 2 r 2 r 2 r d ∂rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk ( ) = q& 1 + q& 2 + + q& m + dt ∂q j ∂q j∂q1 ∂q j∂q 2 ∂q j∂q m ∂t∂q1 2 2 m r r m r r r ∂ rk ∂ rk ∂ ∂rk ∂rk ∂v k = ∑. q& j + = (∑. q& j + ) = j=1 ∂q j∂q j ∂t∂q j ∂q j j=1 ∂q j ∂t ∂q j d ∂r ∂vr Suy ra : ( k ) = k . (g) dt ∂q j ∂q j Thay kết quả tìm đ−ợc từ biểu thức (e) và (g) vào biểu thức của Zj ta đ−ợc : N ∂vr N ∂vr d r k r k Z j = (∑∑.m k v k ) − .m k v k ; dt k==1 ∂q& j k 1 ∂q j 2 2 N v v d ∂ r k ∂ k = . (∑∑.m k v k . ( .m k ) . dt ∂q& j k=1 2 ∂q j 2 d ∂T ∂T Hay : Z j = ( ) − dt ∂q& j ∂q j Thay kết quả tìm đ−ợc vào ph−ơng trình (d) ta có : N N m m r a r r r ∑.Fk ∂r2 − ∑.m k Wk ∂rk = ∑.Q j∂q j − ∑.Z j.∂q j = 0 . k=1 k=1 j=1 j=1 d ∂T ∂T Hay : ( ) − = Q j (j =1 m) (16-4). dt ∂q& j ∂q j
31. -232- Hệ ph−ơng trình dạng (16-4) đ−ợc gọi là ph−ơng trình Lagrang loại 2. Trong đó T là động năng của hệ. Qj là lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj . ∂π Trong tr−ờng hợp lực hoạt động là lực có thế Q j = − thì ph−ơng trình ∂q j (16-4) trở thành : d ∂T ∂T ∂π ( ) − = − (j =1 m) . (16-5) dt ∂q& j ∂q j ∂q j ∂π Cần chú ý rằng = 0 , do đó : ∂q j d ∂T ∂π ∂T ∂π ( − ) − ( − )= 0 dt ∂q& j ∂q j ∂q j ∂q j Nếu đặt T - π = L ( qj , q& j ,t) thì ph−ơng trình Lagrang loại 2 có dạng : d ∂L ∂L ( ) − = 0 (j =1 m) . (16-6) dt ∂q& j ∂q j Thí dụ 16-1 Một trụ tròn đồng chất có khối l−ợng M chuyển động lăn không tr−ợt trên mặt phẳng nghiêng của lăng trụ hình tam giác có khối l−ợng m và có góc nghiêng với mặt ngang là α. Lăng trụ có thể tr−ợt trên mặt ngang nhẵn (hình 16-3). Lập ph−ơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Xét hệ lăng trụ và trụ tròn. y Cơ hệ chịu liên kết dừng, giữ, hô nô nôm và lý t−ởng. Hoạt lực tác A dụng lên hệ gồm có : Trọng lực O x r r P P và Q của trụ tròn và lăng trụ Q α B x tam giác. Các lực này là lực có O1 thế. Nếu chọn hệ toạ độ suy rộng Hình 16.3 đủ của hệ là q1 = x và q2 = s (hình 16-3) ta thấy hệ có hai bậc tự do và ph−ơng trình Lagrang loại 2 có thể viết d−ới dạng :
32. -233- d ∂T ∂T ∂π ( ) − = − (a) dt ∂x& j ∂x j ∂x j d ∂T ∂T ∂π ( ) − = − (b) dt ∂s& j ∂s j ∂s j r Thế năng của hệ ứng với lực P tính nh− sau : π(P) = -Mg.sinα.s + C1 với C1 là hằng số. Thế năng của hệ ứng với lực Q là một hằng số π(Q) = const = C2 Thế năng của cả hệ π = - Mg.S.sinα + C ; C là hằng số ∂π ∂π Suy ra : = 0 và = −Mgsin α ∂x ∂s Động năng của hệ bao gồm động năng của trụ tròn và động năng của lăng trụ. Lăng trụ chuyển động tịnh tiến nên động năng của nó có thể viết : mV 2 mx 2 T = = & . 1 2 2 Trụ tròn chuyển động song phẳng nên động năng tính đ−ợc : MV 2 ω2 T = = J tr 2 0 2 V0 là vận tốc tuyệt đối của trục trụ tròn. v r r V0 = Vc + Vr Suy ra : V0x = Vcx + Vrx = x& + S& cosα V0y = Vcy + Vry = y& + S& sin α 2 2 2 2 2 V0 = Vox + Voy = (x& + S& cos α) + (y& + S& sin α) 2 2 2 2 = x& + S& + 2x& S& cosα V V S& s 2 MR 2 ω = or = r = và ω2 = & còn J = R R R R 2 0 4 Thay các kết quả trên vào biểu thức của động năng hệ ta đ−ợc :
33. -234- 2 2 mx& M 2 2 MR s& Thệ = + [](x& + S& cos α) + (y& + S& sin α) + w 2 4 R 2 2 2 x& 3M s& = (M + m) + + M x&S& cosα . 2 2 2 ∂T ∂T ∂T Suy ra : = 0 ; = 0 ; = (M + m)x& + MS& cosα ∂x ∂s ∂x& d ∂T ( ) = (M + m)&x& + M&S&cos α dt ∂x& ∂T 3M d ∂T 3M = S& + Mx& cosα ; ( ) = &S& + M&x&cosα ∂s& 2 dt ∂s& 2 Ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ ph−ơng trình Lagrang loại 2 nhận đ−ợc : (M + m)&x& + MS&&cosα = 0 ; 3M S&& + M&x& cos α = Mg sin α. 2 Từ hệ ph−ơng trình trên ta tìm đ−ợc : Mgsin 2α &x& = 2 0 3(M + m) − 2Mcos2 α Nếu ban đầu hệ đứng yên thì sau đó trụ tròn lăn xuống còn lăng trụ tr−ợt qua phải. Các chuyển động đều là chuyển động biến đổi đều. Thí dụ 16-2 Con lắc eliptic gồm con tr−ợt A và quả cầu B z nối với A bằng một thanh treo AB. Cho biết khối l−ợng của con tr−ợt m1, khối l−ợng của quả cầu là y A y m2, khối l−ợng thanh treo không đáng kể. Con tr−ợt A có thể tr−ợt theo ph−ơng AY trên mặt phẳng l ngang nhẵn. Con lắc AB có thể quay tròn quanh trục ϕ A trong mặt phẳng thẳng đứng oxy (hình 16-4). B Thiết lập ph−ơng trình vi phân của hệ. Hình 16.4
34. -235- Bài giải Xét hệ gồm con tr−ợt A và con lắc AB. Có thể chọn hai toạ độ suy rộng đủ của hệ là : q1 = y và q2 = ϕ. Ph−ơng trình vi phân của hệ có thể viết d−ới dạng : d ∂T ∂T ( ) − = Q y ; dt ∂y& ∂y d ∂T ∂T ( ) − = Qϕ . dt ∂ϕ& ∂ϕ Với T là động năng của hệ, Qy và Qϕ là các lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng là y và ϕ. r r Các hoạt lực tác dụng lên hệ gồm P1 và P2 đều là các lực có thế nên có thể viết : ∂π ∂π Q = − ; Q = − . y ∂y ϕ ∂ϕ Thế năng của hệ có thể tính nh− sau : π = -m2g.x + const = -m2glcosϕ + const. ∂π ∂π Suy ra : − = Q = 0 và − = Q = m glsinϕ ∂y y ∂ϕ ϕ 2 Động năng của hệ T = TA + TB. m V 2 m y 2 Động năng của con tr−ợt : T = 1 A = 1 & . A 2 2 2 m1VB m1 2 2 Động năng của quả cầu :TB = = (x& B + y& B ) . 2 2 Với xB = lcosϕ và x& B = −lϕsin ϕ ; yB = y + lsinϕ và y& B = y& + lϕ& cosϕ Ta có : m 2 2 2 m 2 2 2 2 T = [(−lϕsin ϕ) + (y& + lϕ& cos ϕ) ] = (l ϕ& + y& + 2ly&ϕ& cosϕ). B 2 2 Biểu thức động năng của hệ thu đ−ợc :
35. -236- 2 m1y& m 2 2 2 2 T = T + T = + (l ϕ& + y& + 2ly&ϕ& cos ϕ). A B 2 2 ∂T 2 Từ đó suy ra : = m2l ϕ& + m2ly& cosϕ ; ∂ϕ d ∂T 2 ( ) = m 2l ϕ&& + m 2l&y& cos ϕ − m 2ly&ϕ& sin ϕ ; dt ∂ϕ& ∂T = (m 2 + m1 )y& + m 2lϕ& cosϕ ; ∂y& d ∂T 2 ( ) = (m1 + m 2 )&y& + m 2l(ϕ&& cos ϕ − ϕ& sin ϕ); dt ∂ϕ& ∂T = 0 ; ∂ϕ ∂T = −m l ϕ& y& sin ϕ . ∂ϕ 2 o Thay các giá trị tìm đ−ợc vào ph−ơng trình vi phân của hệ ta đ−ợc : 2 m 2l ϕ&& + m 2l&y& cosϕ − m 2ly&ϕ& sin ϕ + m 2ly&ϕ& sin ϕ = −m 2glsin ϕ ; 2 (m1 + m2 )&y& + m2lϕ&&cosϕ − m2lϕ& sinϕ = 0 . Sau khi rút gọn đ−ợc ph−ơng trình vi phân chuyển động của hệ : lϕ&& + cosϕ&y& + gsin ϕ = 0 ; 2 (m1 + m2 )&y& + m2lϕ&&cosϕ − m2lϕ& sinϕ