Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương III: Động học chất lưu

Nội dung text: Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương III: Động học chất lưu

1. CHƯƠNG III: ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất. II. Một số khái niệm thường dùng III. Phương trình Bernoulli IV. Phân lọai chuyển động V. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất VI. Phân tích chuyển động của lưu chất VII. Phương pháp thể tích kiểm sốt và đạo hàm của một tích phân khối VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm sốt IX. Bài tập áp dụng.
2. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất Chuyển động của chất lưu có thể mô tả bằng hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp Euler 1). Phương pháp Lagrange: là phương pháp thông dụng trong cơ học vật rắn nghĩa là khảo sát sự chuyển động của các phần tử chất lưu so với hệ trục chọn trước. Luật chuyển động của phần tử chất lưu được xác định bởi các phương trình: dr du d2 r r = f(r0 ,t) u = a = = dt dt dt2
3. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) 1). Phương pháp Lagrange dr dx dy dz r = f(r0 ,t ) u = ux = ; u y = ; u z = dt dt dt dt du dx2 a =x = x 2 dt dt 2 du duy d y a = a = = y 2 dt dt dt du dz2 a =z = z 2 dt dt Trong phương pháp Lagrage , các yếu tố chuyển động chỉ phụ thuộc vào thời gian, VD: u = at2 +b
4. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) 1). Phương pháp Lagrange:  Dưới dạng tường minh chuyển động của thể tích lưu chất đượcmô tả bởi vị trí của các phần tử theo thời gian của thể tích: 2 du x dx x=x( x0 ,y 0 ,z 0 ,t) dx u= ax = = x 2 dt dt dt 2 dy du y d y y=y( x0 ,y 0 ,z 0 ,t) u y = a y = = 2 dt dt dt dz du dz2 u= a =z = z=z( x ,y ,z ,t) z z 2 0 0 0 dt dt dt  Ưu điểm: mô tả chuyển động một cách chi tiết.  Khuyết điểm: số lượng phương trình phải giải quá lớn (3n); không thể mô tả cùng một lúc quỹ đạo của nhiều phần tử.  Khả năng áp dụng: phòng thí nghiệm.
5. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) 2). Phương pháp Euler:  Trong trường hợp tởng quát, người ta thường nghiên cứu chuyển đợng của chất lưu bằng phương pháp Ơle. Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốc và được mô tả bởi một hàm vận tốc liên tục theo không gian và thời gian: u =u x,y,z,t xx( ) Gia tốc u = u(r,t )  uyy =u( x,y,z,t) Quỹ đạo  uxy =u( x,y,z,t) Ưu điểm: chỉ có3 phương trình. Khuyết điểm: không cho thấy rõ cấu trúc của chuyển động. Khả năng áp dụng: tính toán.
6. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) 2). Phương pháp Euler: Chuyển động của thể tích lưu chất được quan niệm là trường vận tốc 25 Th¸ng 1 Trung quốc 23 VËn tèc trªn bÒ mÆt 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 Scale 1 0.5m/s 0.1m/s 0.05m/s -1 0.01m/s -3 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121
7. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) 2). Phương pháp Euler: Trong phương pháp Euler chuyển động của thể tích lưu chất đượcquan niệm là trường vận tốc (dịnglưu chất) → Phương pháp Ơle cho ta xác định đường dòng với phương trình vi phân (phương trình đường dòng), như sau: dx dy dz = = ux u y u z  Các phương trình không có biến thời gian (t = 0) gọi là chuyển động dừng.  Các phương trình có biến thời gian gọi là chuyển động không dừng.
8. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) Bài tập áp dụng Bài 1: Chuyển động của chất lưu có các thành phần vận tốc: 2 ux =3x; u y =− 6y;ux z =0 Thiết lập phương trình đường dòng?
9. I. Hai phương pháp mô tả chuyển động của lưu chất (tt) Bài 2: Tìm các thành phần gia tốc chuyển động của phần tử chất lưu theo biến số Ơle, nếu cho biết các thành phần vận tốc của chúng. 2 2 2 ux =x; u y =y;u z =z Xác đinh gia tốc của phần tử chất lưu đó tại điểm A có tọa độ A(1;1;1). Giả sử chuyển động là dừng và các tọa độ có đơn vị mét.
10. II. Một số khái niệm thường dùng u 1). Đường dòng: là các đường s cong sao cho mỗi phần tử chất lưu u nằm trên đường dịng đều cĩ vec tơ lưu tốc tứcthời cĩphương tiếp đường dòng tuyến với đường dịng đĩ. 2). OÁng doøng laø beà maët daïng oáng taïo bôûi voâ soá caùc ñöôøng doøng cuøng ñi qua moät chu vi kheùp kín. 3). Dòng nguyên tố ống dòng
11. II. Một số khái niệm thường dùng (tt) 4). Mặt cắt ướt hay diện tích ướt (A) là mặt cắt ngang dòng chảy sao cho trực giao với các đường dòng và nằm bên trong ống dòng. 5). Chu vi ướt (P) là phần chu vi của mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc với thành rắn ( 0). 6). Bán kính thủy lực (R): A là tỉ số giữa diện tích ướt và chu vi ướt: R= P P Mặt cắt ướt (A) Chu vi ướt (P) P
12. II. Một số khái niệm thường dùng Bài 3: Hình trên: biểu diễn mặt cắt ướt của chất lưu đựng trong một chậu dạng hình hộp chiều cao a, chiều rộng b. Tìm diện tích ướt, chu vi ướt và bán kính thủy lực?
13. II. Một số khái niệm thường dùng 7). Lưu lượng (Q) Lưu lượng của dòng chảy là thể tích chất lỏng qua một Q= u.dA mặt cắt ướt qua một đơn vị A thời gian: 8).Vận tốc trung bình của mặt cắt A dA u.dA Q V= = A AA
14. III. Phương trình Bernoulli • Lấy trong chất lưu lý tưởng một ống dòng giới hạn bởi hai diện tích S1 và S2 vuông góc với các đường dòng (hình vẽ) • Gọi u1 và u2 là vận tốc chảy của chất lưu trên diện tích S1 và S2 tương ứng.  Đối với chất lỏng lí tưởng, trong trường hợp chuyển động dừng, ta có phương trình u1 Bernoulli : u 22 ρu ρu u2 p +12 +ρgh = p + +ρgh 122 1 2 2 ρu2 Áp suất động 2
15. III. Phương trình Bernoulli (tt) p u22 p u h + 1 + 1 = h + 2 + 2 Phương trình Bernoulli 12γ 2g γ 2g p u2 h+ Thế năng Động năng γ 2g → Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa là tổng thế năng, động năng là một đại lượng không đổi. Chú ý: Trường hợp chuyển động có thế phương trình Bernouli áp dụng cho 2 điểm bất kì 1 và 2 được viết: p u2 p u 2 p u 2 p u 2 1+ 1 = 2 + 2 hay 1 + 1 = 2 + 2 γ 2g γ 2g ρ 2 ρ 2
16. IV. Phân loại chuyểnđ ộng 1). Theo ma sát nhớt + Chuyeån ñoäng cuûa chaát lỏng lyù töôûng không ma sát ( = 0). + Chuyeån ñoäng cuûa chaát lỏng thöïc có ma sát( 0). 2). Theo khoái löôïng rieâng: chuyển động của lưu chất khoâng neùn ñöôïc ( = const) - neùn ñöôïc ( const) 3). Theo thôøi gian: chuyeån ñoäng oån ñònh- khoâng oån ñònh 4). Theo khoâng gian: chuyển động đều – khồng đều, một chiều, 2 chiều, 3 chiều.
17. IV. Phân loại chuyểnđ ộng (tt) 5). Theo trạng thái chảy: + Chảy tầng: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động trượt trên nhau thành từng tầng, từng lớp, không xáo trộn lẫn nhau. + Chảy rối: là trạng thái chảy mà ở đó các phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn, các lớp lưu chất xáo trộn vào nhau.  Thí nghiệm Reynolds Fqt =Re Hệ số Reynolds Fnhot Khi Re 2320 thì chất lỏng chảy rối.
18. V. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất s Xét phần tử lưu chất chuyển u động trên quỹ đạo của nó u Quỹ đạo 0 t = t0 +Δt (hình vẽ) x = x0 +Δx y = y +Δy + Theo Lagrange, gia tốc của 0 (t0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 ) z = z +Δz phần tử là: 0 du u-u a = = lim 0 dt Δt→ 0 Δt + Theo Euler, vận tốc là hàm theo không gian và thời gian → vận tốc u được tính theo u0 bằng chuỗi Taylor: u  u  u  u u =u + Δt+ Δx+ Δy+ Δz 0 t  x  y  z
19. V. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất (tt) Thay vào biểu thức giới hạn, ta cĩ uu Δx  u Δy  u Δz a = lim + + + Δt→ 0 tx Δt  y Δt  z Δt và thực hiện phép tính giới hạn: u  u  u  u a = + u +u + u tx  x y  y z  z s u u Quỹ đạo 0 t = t0 +Δt x = x0 +Δx y = y0 +Δy (t0 ,x 0 ,y 0 ,z 0 ) z = z0 +Δz
20. V. Gia tốc toàn phần của phần tử lưu chất (tt)  Các thành phần gia tốc trong hệ Oxyz du u  u  u  u a = x = x+ u x +u x +u x xdt t x  x y  y z  z du u  u  u  u a= y = y+ u y +u y +u y y dt tx  x y  y z  z du u  u  u  u a= zz = + uz +u z +u z zzdt txy  x  y  z Gia tốc cục bộ Gia tốc đối lưu
21. VI. Phân tích chuyển động của lưu chất Trong hệ trục toạ độ O(x,y,z), xét vận tốc của hai điểm M(x,y,z) vàM1 (x+dx,y+dy,z+dz), vì hai điểm rất sát nhau, nên ta có: u  u  u u = u+ x dx + x dy+ x dz x1 x x  y  z u  u  u u = u+ y dx + y dy+ y dz y1 y x  y  z u  u  u u = u+ z dy+ z dy + z dz z1 z x  y  z Vận tốc chuyển Vận tốc biến Vận tốc biến dạng động tịnh tiến dạng dài góc và vận tốc quay
22. VI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt)  Định lý Hemholtz 1).Tịnh tiến Chuyển Vận tốc 1 động của 2). Quay ω = rot( u) 2 lưu chất quay  3). Biến dạng Trong hệ Oxyz u 1 u z y Biến dạng góc Biến dạng dài ωx = - 2  y z Suất biến dạng 1 uuxz ω = ωy = - Suất biến dạng 2  z x góc: u 1 j ui dài: ui ε = + 1 u y u ji ε=i ω = - x 2  xij x x z i 2  x y
23. VI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt) Trong hệ Oxyz Suất biến dạng góc Suất biến dạng dài u 1 uz y u x εzy = ε yz = + ε=xx 2  y z x 1 uu u y xz ε= εxz = ε zx = + yy 2  z x y u u u z 1 x y ε= εxy = ε yx = + zz 2  y x z
24. VI. Phân tích chuyển động của lưu chất (tt)  Vector vận tốc quay trong hệ Oxyz: 11 ω = ω i+ω j+ω k = ×u = rot( u) x y z 22 1  u •=ω = rot( u) 0 1 uz y 2 ωx = − 2  y z chuyển động 11 uuxzthế (không quay) ω = rot( u) = ωy = − 2 2  z x 1 • ω = rot u 0 u ( ) 1 y u x 2 ωz = − 2  x y chuyển động quay. dx dy dz  Phương trình đường xoáy: = = ωx ω y ω z
25. Bài 4: Cho vector vaän toác goàm 3 thaønh phaàn: 2 2 2 2 2 ux = x + y + z ; uy = xy + yz + z ; uz = -3xz + z /2 + 4. Cho biết x = y = z =1; Xem xét đó là chuyển động gì? Tìm vector vận tốc quay?
26. VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối 1). Thể tích kiểm soát và đại lượng nghiên cứu Xét thể tích W trong không gian lưu chất chuyển động. W có diện tích bao quanh là A. Ta nghiên cứu đại lượng X nào đó của dòng lưu chất chuyển động qua không gian này. Đại lượngX của lưu chất trong không gian W được tính bằng: X= kρdW W: thể tích kiểm soát W X : Đại lượng cần nghiên cứu k: Đại lượng đơn vị ( đại lượng X trên 1 đơn vị khối lượng)
27. VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt) • Ví dụ: • X là khối lượng thì k=1 và: X= ρdW W • X là động lượng thì k = và: X= uρdW W • X là động năng thì k = u2/2 và: u2 X= ρdW W 2
28. VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt) 2). Định lí vận tải Reynolds-p. pháp thể tích kiểm soát Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W dX X = + kρu dS n Diện tích S Diện tích S dt t W S 1 2 Chứng minh: + Tại t: lưu chất vào chiếm C n A đầy thể tích kiểm soát W. B n + Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển động đến và chiếm W W khoảng không gian W1. 1
29. VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt) 2). Định lí vận tải Reynolds-phương pháp thể tích kiểm soát Nghiên cứu sự biến thiên của đại lượng X theo thời gian khi dòng chảy qua W + Tại t: lưu chất vào chiếm đầy thể tích kiểm soát W. Diện tích S Diện tích S2 + Tại t+Δt: lưu chất từ W chuyển 1 động đến và chiếm khoảng không C gian W1. n A B n + Gọi S1 là diện tích bao quanh thể tích kiểm sốt W, S2 là diện tích quanh thể tích W1, B là phần giao W W của W và W1, A là phần bù của W, 1 C là phần bù của W1
30. VII. Phương pháp thể tích kiểm soát và đạo hàm của một tích phân khối (tt) dX d Ta có: =k ρdW dt dt W dX ΔX X -X XWW -X = lim = limt+Δt t = lim 1 dt Δt→ 0Δt Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt (Xt+Δt +X t+Δt )-(X t +X t ) (Xt+Δt -X t+Δt ) = limBAAB = lim CA Δt→→ 0Δt Δt 0 Δt Xt+Δt -X t X t+Δt -X t+Δt = limWWCA + lim Δt→→ 0Δt Δt 0 Δt Δt kρunn dS+Δt kρu dS dX X SS =+lim 12 dt t W Δt→ 0 Δt X dX X = + kρu dS = + kρu dS t n n W S dt t W S
31. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát 1. Phương trình liên tục. dX X = + kρun dS dt t W S X là khối lượng: theođ ịnh luật bảo dX toàn khối lượng: =0 dt  ρdW dX W ρ =+ ρun dS = dW+ div(ρu)dW=0 dt tSWW t Biến đổi Gauss ρ Dạng vi phân phương Hay +div(ρu)=0 t trình liên tục
32. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) 1. Phương trình liên tục. a). Nếu = const. Phương trình vi phân liên tục của chất lưu không nén được: uuu div(u)=0 + += 0 x yz  b). Đối với dòng nguyên tố chuyển động ổn định, phương trình liên tục sẽ là: ρun dS=0 ρ 1 u 1 dS 1 =ρ 2 u 2 dS 2 S
33. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) c). Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra)→ phương trình liên tục cho toàn dòng lưu chất chuyển động ổn định dạng khối lượng: ρudA=1 1 1 ρudA 2 2 2 M=M 1 2 AA12 2 S n n M1: khối lượng lưu chất vào mặt un=0 u A cắt A1 trong 1 đơn vị thời gian. 2 2 1 M2: khối lượng lưu chất vào mặt 1 A cắt A1 trong 1 đơn vị thời gian. n u 1
34. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) d). Đối với toàn dòng chuyển động ổn định (có một m/c vào, 1 m/c ra), lưu chấtkhông nén được:→ phương trình liên tục cho toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn định: Q12 =Q hay Q=const e).Trong trường hợp dòng chảy có nhiều mặt cắt vào và ra, c. động ổn định, lưu chất không nén được, tại một nút, ta có: → phương trình liên tục tại một nút cho toàn dòng lưu chất không nén được chuyển động ổn định: Qđên = Qđi
35. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) 2). Phương trình năng lượng • Khi X là năng lượng E của một dòng chảy có khối lượng m, E bao gồm nội năng, động năng và thế năng (thế năng bao gồm vị năng lẫn áp năng), ta có: 2 X = E = Eu + ½ mu + mgZ với Z = z + p/ • Như vậy, năng lượng của một đơn vị khối lượng chất lưu k là: 1p k=e + u2 +gz+ u 2 ρ • trong đó: eu là nội năng của một đơn vị khối lượng, • ½ u2 là động năng của một đơn vị khối lượng, • gz là vị năng của một đơn vị khối lượng, • p/ là áp năng của một đơn vị khối lượng.
36. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) • Định luật I Nhiệt động lực học: số gia năng lượng được truyền vào chất lỏng trong một đơn vị thời gian (dE/dt) bằng suất biến đổi trong một đơn vị thời gian của nhiệt lượng (dQ/dt) truyền vào khối chất lỏng đang xét, trừ đi suất biến đổi công (dW/dt) trong một đơn vị thời gian của khối chất lỏng đó thực hiên đối với môi trường ngoài (ví dụ công của lực ma sát): dE dQ dW =- dt dt dt • Từ phương trình của định luật I nhiệt động học, dùng phương pháp thể tích kiểm soát ta sẽ thu được dạng tổng quát của phương trình năng lượng là: dQ dW 122 p 1 p - = eu + u +gz+ ρdW+ e u + u +gz+ ρu n dS dt dt tWS 2 ρ 2 ρ
37. VIII. Ứng dụng phương pháp thể tích kiểm soát (tt) 3). Phương trình động lượng • Khi X là động lượng thì k = u và: X= uρdW W • Định lý biến thiên động lượng: biến thiên động lượng của chất lưu qua thể tích W (được bao quanh bởi diện tích S) trong một đơn vị thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên khối chất lưu đó: dX =F dt ngoai luc • Dùng biểu thức của định lý vận tải Reynolds dX X = + kρun dS dt t W S • Ta thu được dạng tổng quát của phương trình động lượng:  Fungoai luc = ρdW+ uρun dS t WS
38. Bài 5: Chuyển động của chất lỏng lí tưởng không chịu nén được cho trước bằng các thành phần vận tốc: 22 ux =a( x + y ) 22 uy =a( y +z ) 22 uz =a( z + x ) Tìm lưu lượng Q đi qua mặt kín tứ diện vuông góc có đỉnh ở gốc tọa độ OABC.
39. Hướng dẫn giải: Vì : Q= div(u)W (1) Nên ta phải tìm: (W) u  u  u  x= 2ax; x = 2ay; x =0 x  y  z uy  u y  u y =0; = 2ay; = 2az  (2) x  y  z u u u zz= 2ax; =0; z = 2az Thay (2) vào x yz  (1) ta có: uuu y Q= div(u)dW= xz + + dxdydz (W) (W) x  y  z = 2a( x+y+z) dxdydz (W) 1 1-x 1-x-y a = 2a dx dy (x+y+z)dz = 0 0 0 4
40. Bài 6: Tại điểm E của bình chứa có độ sâu 10m, nối một ống dài có miệng phun ở độ sâu 30m (hình vẽ) so với mặt nước trong bình chứa. Ống có đường kính 8cm, đầu ống có lắp một vòi phun T có đường kính miệng phun d=4cm với hệ số lưu lượng là 1. A 1. Xác định vận tốc vT của 10m 30m dòng nước ra khỏi vòi. vT 2. Tính lưu lượng của nó. E S T 3. Xác định áp suất tĩnh tại các điểm E và S là điểm ở trong vòi phun. Giả thiết bỏ qua tổn thất và cho g = 10m/s2.
41. Thế vận tốc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng : = x2 – y2. Xać đinḥ độ chênh aṕ suât́ taị hai điêm̉ A (2;1) và B(4;5), nêú bỏ qua lự c khôí và cho trọ̣ ng lượ ng riêng chât́ long̉ là  = 10 Bài tập tự giải
42. Bài 1: Thế vận tốc của dòng phẳng chất lỏng lí tưởng có dạng : = x2 – y2. Xác định độ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khối và cho trọng lượng riêng chất lỏng là =103 kg/m3; cho g=9,81m/s2.
43. Bài 2: Tìm phương trình đường dòng và quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, nếu biết các thành phần vận tốc của nó là. ux = a; u y =b; u z =0
44. Bài 3 Tìm đường dòng và quỹ đạo chuyển động của các phần tử chất lưu không nén, nếu biết các thành phần vận tốc của chúng: ux =-asinα; u y =bcosα; u z =0 Trong đó =const
45. Bài 4: Các thành phần vận tốc của một phần tử chất lưu là: 2 2 2 ux =x ;u y =y ;u z =z Xác định phương trình đường dòng đi qua A(2,4,-6).
46. Bài 5: Các thành phần vận tốc của nguyên tố chất lỏng là : uxy =5x; u =-3y Tìm biểu thức thành phần vận tốc uz chất lỏng không chịu nén và chuyển động dừng. Cho biết: tại gốc tọa độ vận tốc các phần tử chất lỏng u =0
47. Bài 6: Biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng chuyển động dừng. ux =2xy; u y =2yz; u z =2zx Tìm vector vận tốc quay? Cho biết x = y = z =1, xem xét đó là chuyển động gì? Tìm phương trình các đường xoáy.
48. Bài 7: Cho biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng: ux = y +2z; u y =z + 2x; u z =x+2y Xem xét đó là chuyển động gì? Tìm phương trình các đường xoáy.
49. Bài 8: Cho biết các thành phần vận tốc các phân tử chất lỏng: ux = y +z; u y =x + z; u z =x+ y Xem xét đó là chuyển động gì? Tìm vector vận tốc quay.
50. Bài 9: Chuyển động có vector vận tốc: 2 ux = ay + by ; uy = uz =0; Với a, b là hằng số a. Chuyển động có quay không? b. Xác định a, b để không có biến dạng góc.