Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 6: Thế lưu

Nội dung text: Bài giảng Cơ học chất lưu - Chương 6: Thế lưu

1. CHƯƠNG VI: THẾ LƯU I. Các khái niệm II. Các chuyển động thế phẳng đơn giản III.Chồng chập các chuyển động thế
2. I. CÁC KHÁI NIỆM 1. Hàm thế vận tốc: chuyển động của lưu chất được gọi là có thế khi tồn tại một hàm thỏa mãn điều kiện: φφ φφ u = grad φ uxy = ; u = Hay ur = ; uθ = ( ) xy r θ Dịng chảy cĩ thế khi u u y − x = 0 rot( u) =0 xy 1 2 2 2 ω = rot( u) =0 ω = ωx +ω y +ω z =0 2 2. Phương trình đường đẳng thế dφ = 0 uxy dx+u dy = 0
3. I. CÁC KHÁI NIỆM 3. Ý nghĩa hàm thế vận tốc: B Γ = φ− φ là lưu số vận tốc AB B A ΓAB = u s ds A 4. Tính chất hàm thế u ux y  φφ   + = 0 = + 0 x  y  x  x  y  y 22φφ + = 0 Δφ=0 xy22 Hàm thế thỏa mãn phương trình Laplace
4. I. CÁC KHÁI NIỆM 5. Hàm dịng: hàm (x,y) thỏa mãn điều kiện: ψψ 1 ψψ uxy = ; u = - Hay u = ; u = − yx r r θrθ Như vậy hàm dịng  tồn tại trong mọi dịng chảy, cịn chỉ tồn tại trong dịng chảy 6. Hàm dịng trong thế phẳng vì là dịng chảy thế nên: u 22 y ux  ψψ   ψψ −=0 − − + = 0 x  y  x  x  y  y xy22 Hay Δψ = 0 Vậy trong dịng thế thì hàm  thỏa mãn p.tr Laplace
5. I. CÁC KHÁI NIỆM 7. Đường dịng và phương trình Từ phương trình đường dịng ta cĩ: ψψ udy-udx=0 dy+ dx=0 dψ=0 xy yx Như vậy trên cùng một đường dịng thì giá trị ψ là hằng số. Nghĩa là khi (x,y) = const – là đường dịng 8. Ý nghĩa hàm dịng BBBψψ qAB = u x dy−− u y dx= dy+ dx= dψ =ψ B ψ A AAAyx q=ABψψ B− A Trong đĩ: qAB gọi là lưu lượng qua đoạn A-B
6. I. CÁC KHÁI NIỆM 9. Sự trực giao giữa họ các đường dịng và đường đẳng thế φ  ψ  φ  ψ + =ux(− u y) +u y( u x ) =0 x  x  y  y Suy ra họ các đường dịng và các đường đẳng thế trực giao với nhau. 10. Cộng thế lưu f( z) = f12( z) +f( z) φ( x,y) = φ1( x,y) +φ 2( x,y) ++ φ n ( x,y) ψ( x,y) = ψ1( x,y) +ψ 2( x,y) + +ψ n ( x,y)
7. I. CÁC KHÁI NIỆM 11. Biểu diễn dịng thế Hàm dịng và hàm thế cĩ tính trực giao nên ta cĩ thể mơ tả bằng một hàm thế phức : f( z) =φ + iψ với z = x+iy=eiα Như vậy: df dφ dψ = u− iu = +i dzxy dx dy  Vận tốc phức: V( z) = uxy( x,y) + iu( x,y) df( z)  Vận tốc liên hợp phức: V( z) = = u( x,y) -iu( x,y) dz xy
8. Bài tập áp dụng
9. Bài 1: Thế phức của dịng phẳng cho bởi phương trình: a f( z) =( x22 - y + 2ixy) 2 Xác định các thành phần vận tốc tại điểm M cĩ tọa độ x=3cm, y=0,2cm. Cho biết hằng số (1/a) = (1/5)giây-1
10. Bài 2: Cho biết chất lỏng cĩ thế vận tốc: =axy. Tìm phương trình đường dòng của dịng phẳng và vận tốc uA tại điểm A cĩ tọa độ A(1;-2).
11. Bài 3: Cho biết thế vận tốc của dịng chất lỏng cĩ dạng : φ= 3x-2y Tìm vận tốc của nĩ, nếu x và y cĩ đơn vị là mét.
12. Bài 4: Thế vận tốc của dịng phẳng chất lỏng lí tưởng cĩ dạng : φ= x22 -y Xác định độ chênh áp suất tại hai điểm A (2;1) và B(4;5), nếu bỏ qua lực khối và cho khối lượng riêng chất lỏng là
13. Bài 5: Chất lỏng lý tưởng quay quanh trục thẳng đứng (Oz). Giả sử vận tốc quay của các phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay trên phương bán kính (u =a/r; a>0 là hằng số). a). Chứng minh rằng đây là một chuyển động thế. b). Tìm phương trình các đường dịng u r y O x
14. Hướng dẫn giải: u a -y -ay -ay r u = u.cos(u,ox) = = = y x rr r2 x 2 +y 2 O a x ax ax x uy = u.cos(u,oy) = =2 = 2 2 rr r x +y 2 2 2 2 u y  ax a(x + y ) - 2xax a(y - x ) = 2 2 = 2 2 = 2 2 2 xx x + y (x + y ) (x + y ) 2 2 2 2 ux  -ay -a(x + y ) - 2yay a(y - x ) = 2 2 = 2 2 = 2 2 2 yy x + y (x + y ) (x + y ) u u Chuyển động là khơng quay y - x = 0 rot(u) = 0 xy z (thế) trên mặt phẳng xOy Phương trình các dx dy -ay ax = uxy dy = u dx2 2 dy = 2 2 dx đường dịng: uuxy x +y x +y (x22 +y ) = C
15. II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ PHẲNG ĐƠN GIẢN 1. Chuyển động thẳng đều. f( z) = u0 z φ = u0 x u0 – vận tốc dịng chảy ψ = u0 y
16. II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ PHẲNG ĐƠN GIẢN 2. Điểm nguồn và giếng Q f( z) = ln( z) 2π Q - lưu lượng đơn vị Q φ = ln( r) 2π Q ψ = θ 2π
17. II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ PHẲNG ĐƠN GIẢN 3. Xốy tự do. Γ f( z) = ln( z) 2πi ΓΓ φ = θ; ψ = - ln( r) 2π 2π  - lưu số vận tốc
18. II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ PHẲNG ĐƠN GIẢN 4. Lưỡng cực. m f( z) = z xy φ = m ; ψ = - m x2 +y 2 x 2 +y 2 m - moment của lưỡng cực
19. III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ 1. Chuyển động bao bán vật. (dịng thẳng đều + nguồn) Q f( z) = u z + ln( z) 0 2π QQ φ = u x + ln( r) ; ψ = u y + θ 002π 2π
20. III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ 2. Chuyển động bao vật Rankine. (dịng thẳng đều + nguồn + giếng) Q z+a f( z) = u z + ln 0 2π z-a
21. III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ 3. Chuyển động bao trụ tròn. (dịng thẳng đều + lưỡng cực) R 2 f( z) = u0 z+ z RR22 φ = u00 rcosθ 1+22 ; ψ = u rsinθ 1- rr Px = 0 → nghịch lí d’Alember
22. III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ 4. Chuyển động bao trụ trịn cĩ lưu số vận tốc (dịng bao trụ trịn + xốy tự do) R2 Γ f( z) =u0 z+ + lnz z2πi Py0 = - ρu Γ → Lực nâng    Py  4 RU0
23. Bài 6: Một xốy tự do với = 10 m2/s. Hỏi vận tốc và áp suất ở cách tâm xốy 2m. Biết áp suất ở xa vơ cùng ph= 0. Hướng dẫn giải: Γ Γ Hàm dịng: ψ = - lnr Hàm thế vận tốc: φ = θ 2π 2π Vậy: 1 ψ  u = = 0 r r θ Γ1  u = uθ = ψ Γ 1 2πr u = - = θ r2πr 10π1 Tại r = 2m u = = 2,5 (m/s) 2π2 Áp dụng tích phân Lagrange: pu2 pu2 z+ + =z + + γ 2g γ 2g p u22 2,5 =- = - = 0,319 m γ 2g 2x9,81
24. Bài 7: Một trụ quảng cáo quay trịn với vận tốc quay  3 = rad/s quanh trục của nĩ. Cho khơng khí =1,2kg/m ; chiều cao trụ là H = 10m, đường kính trụ là 2m; vận tốc giĩ là 4m/s. Hỏi lực tác dụng lên trụ? Hướng dẫn giải: Ta cĩ: Γ= udC C  = ( R)x(2 R) = x2 xR2 = 19,74 m2/s Fy = xU0x xH = 1,2x4x19,74x10 = 947,5 N