Bài giảng Cấu trúc dữ liệu (Bản đẹp)

84 trang ngocly 50

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Cấu trúc dữ liệu (Bản đẹp)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_cau_truc_du_lieu_ban_dep.pdf

Nội dung text: Bài giảng Cấu trúc dữ liệu (Bản đẹp)

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI BỘ MÔN: KHOA HOC̣ MÁ Y TÍNH KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI GIẢNG CẤU TRÚC DỮ LIỆU TÊN HỌC PHẦN : Cấu trúc dữ liệu MÃ HỌC PHẦN : 17207 TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY DÙNG CHO SV NGÀNH : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HẢI PHÒNG - 2008
11.7. Tên học phần: Cấu trúc dữ liệu Loại học phần: 2 Bộ môn phụ trách giảng dạy: Khoa học Máy tính Khoa phụ trách: CNTT Mã học phần: 17207 Tổng số TC: 3 TS tiết Lý thuyết Thực hành/Xemina Tự học Bài tập lớn Đồ án môn học 60 30 30 0 0 0 Điều kiện tiên quyết: Sinh viên phải học xong các học phần sau mới được đăng ký học phần này: Toán cao cấp, Toán rời rạc, Ngôn ngữ C, Tin học đại cương. Mục tiêu của học phần: Cung cấp kiến thức và rèn luyện kỹ năng thực hành cấu trúc dữ liệu cho sinh viên. Nội dung chủ yếu - Những vấn đề cơ bản về cấu trúc dữ liệu; - Các cấu trúc dữ liệu cơ bản - Danh sách liên kết; - Ngăn xếp, hàng đợi; - Cấu trúc cây; - Bảng băm, Nội dung chi tiết của học phần: PHÂN PHỐI SỐ TIẾT TÊN CHƢƠNG MỤC TS LT TH/Xemina BT KT Chƣơng I : Khái niệm liên quan đến CTDL 2 2 0 1.1. Giải thuật và cấu trúc dữ liệu. 1.2. Giải thuật và các vấn đề liên quan. 1.3. Ngôn ngữ diễn đạt giải thuật. 1.4. Kiểu dữ liệu, cấu trúc dữ liệu, kiểu dữ liệu trừu tượng. Chƣơng II : Các kiểu dữ liệu trừu tƣợng cơ bản 12 6 6 2.1. Danh sách 2.1.1. Khái niệm danh sách 2.1.2. Các phép toán trên danh sách 2.1.3. Cài đặt danh sách 2.1.4. Các dạng danh sách liên kết (DSLK): DSLK đơn, vòng, kép, 2.2. Ngăn xếp (stack) 2.2.1. Khái niệm 2.2.2. Cài đặt ngăn xếp bởi mảng, DSLK 2.2.3. Ứng dụng 2.3. Hàng đợi (queue) 2.3.1. Khái niệm 2.3.2. Cài đặt hàng đợi bởi mảng, DSLK 2.3.3. Ứng dụng 2.4. Bài tập áp dụng Chƣơng III: Cây (tree). 18 9 8 1 3.1. Khái niệm. i
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT TÊN CHƢƠNG MỤC TS LT TH/Xemina BT KT 3.2. Cây tổng quát. 3.2.1. Biểu diễn cây tổng quát. 3.2.2. Duyệt cây tổng quát. 3.2.3. Vài ví dụ áp dụng. 3.3. Cây nhị phân. 3.3.1. Định nghĩa và tính chất 3.3.2. Lưu trữ cây. 3.3.3. Duyệt cây. 3.3.4. Cây nhị phân nối vòng. 3.4. Các phép toán thực hiện trên cây nhị phân. 3.4.1. Dựng cây 3.4.2. Duyệt cây để tìm kiếm 3.4.3. Sắp xếp cây nhị phân 3.5. Cây tìm kiếm nhị phân (binary search tree) 3.5.1. Khái niệm, cài đặt. 3.5.2. Cây AVL 3.6. Bài tập Chƣơng IV: Bảng băm (hash table) 14 7 6 1 5.1. Khái niệm 5.2. Các loại hàm băm 5.3. Các phương pháp giải quyết xung đột 5.4. Đánh giá hiệu quả các phương pháp băm 5.5. Bài tập áp dụng Nhiệm vụ của sinh viên : Tham dự các buổi thuyết trình của giáo viên, tự học, tự làm bài tập do giáo viên giao, tham dự các bài kiểm tra định kỳ và cuối kỳ. Tài liệu học tập : 1. Đinh Mạnh Tường, Cấu trúc dữ liệu và thuật toán, Nhà xuất bản ĐH QG Hà Nội, 2004. 2. Đỗ Xuân Lôi, Cấu trúc dữ liệu và giải thuật, Nhà xuất bản ĐH QG Hà Nội, 2004. 3. Robert Sedgewick, Cẩm nang thuật toán, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000. Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: - Hình thức thi cuối kỳ : Thi viết. - Sinh viên phải đảm bảo các điều kiện theo Quy chế của Nhà trường và của Bộ Thang điểm: Thang điểm chữ A, B, C, D, F Điểm đánh giá học phần: Z = 0,3X + 0,7Y. ii
CHƢƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1. Giải thuật và cấu trúc dữ liệu. Ðể giải một bài toán trong thực tế bằng máy tính ta phải bắt đầu từ việc xác định bài toán. Nhiều thời gian và công sức bỏ ra để xác định bài toán cần giải quyết, tức là phải trả lời rõ ràng câu hỏi "phải làm gì?" sau đó là "làm như thế nào?". Thông thường, khi khởi đầu, hầu hết các bài toán là không đon giản, không rõ ràng. Ðể giảm bớt sự phức tạp của bài toán thực tế, ta phải hình thức hóa nó, nghĩa là phát biểu lại bài toán thực tế thành một bài toán hình thức (hay còn gọi là mô hình toán). Có thể có rất nhiều bài toán thực tế có cùng một mô hình toán. Ví dụ : Tô màu bản đồ thế giới. Ta cần phải tô màu cho các nước trên bản đồ thế giới. Trong đó mỗi nước đều được tô một màu và hai nước láng giềng (cùng biên giới) thì phải được tô bằng hai màu khác nhau. Hãy tìm một phương án tô màu sao cho số màu sử dụng là ít nhất. Ta có thể xem mỗi nước trên bản đồ thế giới là một đỉnh của đồ thị, hai nước láng giềng của nhau thì hai đỉnh ứng với nó được nối với nhau bằng một cạnh. Bài toán lúc này trở thành bài toán tô màu cho đồ thị như sau: Mỗi đỉnh đều phải được tô màu, hai đỉnh có cạnh nối thì phải tô bằng hai màu khác nhau và ta cần tìm một phương án tô màu sao cho số màu được sử dụng là ít nhất. Ðối với một bài toán đã được hình thức hoá, chúng ta có thể tìm kiếm cách giải trong thuật ngữ của mô hình đó và xác định có hay không một chưong trình có sẵn để giải. Nếu không có một chương trình như vậy thì ít nhất chúng ta cũng có thể tìm được những gì đã biết về mô hình và dùng các tính chất của mô hình để xây dựng một giải thuật tốt. Khi đã có mô hình thích hợp cho một bài toán ta cần cố gắng tìm cách giải quyết bài toán trong mô hình đó. Khởi đầu là tìm một giải thuật, đó là một chưỗi hữu hạn các chỉ thị (instruction) mà mỗi chỉ thị có một ý nghĩa rõ ràng và thực hiện được trong một lượng thời gian hữu hạn. Nhưng xét cho cùng, giải thuật chỉ phản ánh các phép xử lý, còn đói tượng để xử lý trong máy tính chính là dữ liệu (data ), chúng biểu diễn các thông tin cần thiết cho bài toán: các dữ liệu vào, các dữ liệu ra, dữ liệu trung gian, Không thể nói tới giải thuật mà không nghĩ tới: giải thuật đó được tác động trên dữ liệu nào, còn xét tới dữ liệu thì phải biết dữ liệu ấy cần được giải thuật gì tác động để đưa ra kết quả mong muốn Như vậy, giữa cấu trúc dữ liệu và giải thuật có mối liên quan mật thiết với nhau. 1.2. Cấu trúc dữ liệu và các vấn đề liên quan. Trong một bài toán, dữ liệu bao gồm một tập các phần tử cơ sở, được gọi là dữ liệu nguyên tử. Dữ liệu nguyên tử có thể là một chữ số, một ký tự, cũng có thể là một số, một xâu, tùy vào bài toán. Trên cơ sở các dữ liệu nguyên tử, các cung cách khả dĩ theo đó lien kết chúng lại với nhau, sẽ đãn đến các cấu trúc dữ liệu khác nhau. Lựa chọn một cấu trúc dữ liệu thích hợp để tổ chức dữ liệu vào và trên cơ sở đó xây dựng được giải thuật xử lý hữu hiệu đưa tới kết quả mong muốn cho bài toán (dữ liệu ra), là một khâu quan trọng. Cách biểu diễn một cấu trúc dữ liệu trong bộ nhớ được gọi là cấu trúc lưu trữ. Đây chính là cách cài đặt cấu trúc ấy trên máy tính và trên cơ sở các cấu trúc lưu trữ này mà thực hiện các phép xử lý. Có thể có nhiều cấu trúc lưu trữ khác nhau cho cùng một cấu trúc dữ liệu và ngược lại. Khi đề cập tới cấu trúc lưu trũ, cần phân biệt: cấu trúc lưu trữ tương ứng với bộ nhớ trong – lưu trữ trong; cấu trúc lưu trữ ứng với bộ nhớ ngoài – lưu trữ ngoài. Chúng có đặc điểm và cách xử lý riêng. 1.3. Ngôn ngữ diễn đạt giải thuật. Việc sử dụng một ngôn ngữ lập trình bậc cao để diễn đạt giải thuật, như Pascal, C, C++, sẽ gặp một số hạn chế sau: 1
- Phải luôn tuân thủ các quy tắc chặt chẽ về cú pháp của ngôn ngữ khiến cho việc trình bày về giải thuật và cấu trúc dữ liệu có thiên hướng nặng nề, gò bó. - Phải phụ thuộc vào cấu trúc dữ liệu tiền định của ngôn ngữ nên có lúc không thể hiện được đầy đủ các ý về cấu trúc mà ta muỗn biểu đạt Một khi đã có mô hình thích hợp cho bài toán, ta cần hình thức hoá một giải thuật, một cấu trúc dữ liệu trong thuật ngữ của mô hình đó. Khởi đầu là viết những mệnh đề tổng quát rồi tinh chế dần thành những chuỗi mệnh đề cụ thể hơn, cuối cùng là các chỉ thị thích hợp trong một ngôn ngữ lập trình. Ở bước này, nói chung, ta có một giải thuật, một cấu trúc dữ liệu tương đói rõ ràng, nó gần giống như một chương trình được viết trong ngôn ngữ lập trình, nhưng nó không phải là một chương trình chạy được vì trong khi viết giải thuật ta không chú trọng nặng đến cú pháp của ngôn ngữ và các kiểu dữ liệu còn ở mức trừu tượng chứ không phải là các khai báo cài đặt kiểu trong ngôn ngữ lập trình. Chẳng hạn với giải thuật tô màu đồ thị GREEDY, giả sử đồ thị là G, giải thuật sẽ xác định một tập hợp Newclr các đỉnh của G được tô cùng một màu, mà ta gọi là màu mới C ở trên. Ðể tiến hành tô màu hoàn tất cho đồ thị G thì giải thuật này phải được gọi lặp lại cho đến khi toàn thể các đỉnh đều được tô màu. void GREEDY ( GRAPH *G, SET *Newclr ) { Newclr = ; /*1*/ for (mỗi đỉnh v chưa tô màu của G) /*2*/ if (v không được nối với một đỉnh nào trong Newclr) /*3*/ { đánh dấu v đã được tô màu; /*4*/ thêm v vào Newclr; /*5*/ } } Trong thủ tục bằng ngôn ngữ giả này chúng ta đã dùng một số từ khoá của ngôn ngữ C xen lẫn các mệnh đề tiếng Việt. Ðiều đặc biệt nữa là ta dùng các kiểu GRAPH, SET có vẻ xa lạ, chúng là các "kiểu dữ liệu trừu tượng" mà sau này chúng ta sẽ viết bằng các khai báo thích hợp trong ngôn ngữ lập trình cụ thể. Dĩ nhiên, để cài đặt thủ tục này ta phải cụ thể hoá dần những mệnh đề bằng tiếng Việt ở trên cho đến khi mỗi mệnh đề tương ứng với một doạn mã thích hợp của ngôn ngữ lập trình. Chẳng hạn mệnh đề if ở /*3*/ có thể chi tiết hoá hơn nữa như sau: void GREEDY ( GRAPH *G, SET *Newclr ) { Newclr= ; /*1*/ for (mỗi đỉnh v chưa tô màu của G) /*2*/ { int found=0; /*3.1*/ for (mỗi đỉnh w trong Newclr) /*3.2*/ if (có cạnh nối giữa v và w) /*3.3*/ found=1; /*3.4*/ if (found==0)/*3.5*/ { đánh dấu v đã được tô màu; /*4*/ thêm v vào Newclr; /*5*/ } } } GRAPH và SET ta coi như tập hợp. Có nhiều cách để biểu diễn tập hợp trong ngôn ngữ 2
lập trình, để đơn giản ta xem các tập hợp như là một danh sách (LIST) các số nguyên biểu diễn chỉ số của các đỉnh và kết thúc bằng một giá trị đặc biệt NULL. Với những qui ước như vậy ta có thể tinh chế giải thuật GREEDY một bước nữa như sau: void GREEDY ( GRAPH *G, LIST *Newclr ) { int found; int v,w ; Newclr= ; v= đỉnh đầu tiên chưa được tô màu trong G; while (v null) && (found=0) { if ( có cạnh nối giữa v và w ) found=1; else w= đỉnh kế tiếp trong newclr; } if (found==0 ) { Ðánh dấu v đã được tô màu; Thêm v vào Newclr; } v= đỉnh chưa tô màu kế tiếp trong G; } } 1.4. Kiểu dữ liệu (data types), cấu trúc dữ liệu (data structures), kiểu dữ liệu trừu tượng (abstract data types –ADT). Khái niệm trừu tƣợng hóa Trong tin học, trừu tượng hóa nghĩa là đơn giản hóa, làm cho nó sáng sủa hơn và dễ hiểu hơn. Cụ thể trừu tượng hóa là che di những chi tiết, làm nổi bật cái tổng thể. Trừu tượng hóa có thể thực hiện trên hai khía cạnh là trừu tượng hóa dữ liệu và trừu tượng hóa chương trình. Trừu tƣợng hóa chƣơng trình Trừu tượng hóa chương trình là sự định nghĩa các chương trình con để tạo ra các phép toán trừu tượng (sự tổng quát hóa của các phép toán nguyên thủy). Chẳng hạn ta có thể tạo ra một chương trình con Matrix_Mult để thực hiện phép toán nhân hai ma trận. Sau khi Matrix_mult đã được tạo ra, ta có thể dùng nó như một phép toán nguyên thủy (chẳng hạn phép cộng hai số). Trừu tượng hóa chương trình cho phép phân chia chương trình thành các chương trình con. Sự phân chia này sẽ che dấu tất cả các lệnh cài đặt chi tiết trong các chương trình con. Ở cấp độ chương trình chính, ta chỉ thấy lời gọi các chương trình con và điều này được gọi là sự bao gói. Ví dụ như một chương trình quản lý sinh viên được viết bằng trừu tượng hóa có thể là: void main() { Nhap(Lop); Xu_ly (Lop); Xuat (Lop); } 3
Trong chương trình trên, Nhap, Xu_ly, Xuat là các phép toán trừu tượng. Chúng che dấu bên trong rất nhiều lệnh phức tạp mà ở cấp độ chương trình chính ta không nhìn thấy được. Còn Lop là một biến thuộc kiểu dữ liệu trừu tượng mà ta sẽ xét sau. Chương trình được viết theo cách gọi các phép toán trừu tượng có lệ thuộc vào cách cài đặt kiểu dữ liệu không? Trừu tƣợng hóa dữ liệu Trừu tượng hóa dữ liệu là định nghĩa các kiểu dữ liệu trừu tượng Một kiểu dữ liệu trừu tượng là một mô hình toán học cùng với một tập hợp các phép toán (operator) trừu tượng được định nghĩa trên mô hình đó. Ví dụ tập hợp số nguyên cùng với các phép toán hợp, giao, hiệu là một kiểu dữ liệu trừu tượng. Trong một ADT các phép toán có thể thực hiện trên các đói tượng (toán hạng) không chỉ thuộc ADT đó, cũng như kết quả không nhất thiết phải thuộc ADT. Tuy nhiên, phải có ít nhất một toán hạng hoặc kết quả phải thuộc ADT đang xét. ADT là sự tổng quát hoá của các kiểu dữ liệu nguyên thưỷ. Ðể minh hoạ ta có thể xét bản phác thảo cuối cùng của thủ tục GREEDY. Ta đã dùng một danh sách (LIST) các số nguyên và các phép toán trên danh sách newclr là: - Tạo một danh sách rỗng. - Lấy phần tử đầu tiên trong danh sách và trả về giá trị null nếu danh sách rỗng. - Lấy phần tử kế tiếp trong danh sách và trả về giá trị null nếu không còn phần tử kế tiếp. - Nếu chúng ta viết các chương trình con thực hiện các phép toán này, thì ta dễ dàng thay các mệnh đề hình thức trong giải thuật bằng các câu lệnh đơn giản Câu lệnh Mệnh đề hình thức MAKENULL(newclr) newclr=; w=FIRST(newclr) w=phần tử đầu tiên trong newclr w=NEXT(w,newclr) w=phần tử kế tiếp trong newclr INSERT( v,newclr) Thêm v vào newclr Ðiều này cho thấy sự thuận lợi của ADT, đó là ta có thể định nghĩa một kiểu dữ liệu tuỳ ý cùng với các phép toán cần thiết trên nó rồi chúng ta dùng như là các đói tượng nguyên thuỷ. Hơn nữa chúng ta có thể cài đặt một ADT bằng bất kỳ cách nào, chương trình dùng chúng cũng không thay đổi, chỉ có các chương trình con biểu diễn cho các phép toán của ADT là thay đổi. Cài đặt ADT là sự thể hiện các phép toán mong muốn (các phép toán trừu tượng) thành các câu lệnh của ngôn ngữ lập trình, bao gồm các khai báo thích hợp và các thủ tục thực hiện các phép toán trừu tượng. Ðể cài đặt ta chọn một cấu trúc dữ liệu thích hợp có trong ngôn ngữ lập trình hoặc là một cấu trúc dữ liệu phức hợp được xây dựng lên từ các kiểu dữ liệu cơ bản của ngôn ngữ lập trình. Sự khác nhau giữa kiểu dữ liệu và kiểu dữ liệu trừu tượng là gì? Mặc dù các thuật ngữ kiểu dữ liệu (hay kiểu - data type), cấu trúc dữ liệu (data structure), kiểu dữ liệu trừu tượng (abstract data type) nghe như nhau, nhưng chúng có ý nghĩa rất khác nhau. Kiểu dữ liệu là một tập hợp các giá trị và một tập hợp các phép toán trên các giá trị đó. 4
Ví dụ kiểu Boolean là một tập hợp có 2 giá trị TRUE, FALSE và các phép toán trên nó như OR, AND, NOT . Kiểu Integer là tập hợp các số nguyên có giá trị từ -32768 đến 32767 cùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, Div, Mod Kiểu dữ liệu có hai loại là kiểu dữ liệu sơ cấp và kiểu dữ liệu có cấu trúc hay còn gọi là cấu trúc dữ liệu. Kiểu dữ liệu sơ cấp là kiểu dữ liệu mà giá trị dữ liệu của nó là đơn nhất. Ví dụ: kiểu Boolean, Integer . Kiểu dữ liệu có cấu trúc hay còn gọi là cấu trúc dữ liệu là kiểu dữ liệu mà giá trị dữ liệu của nó là sự kết hợp của các giá trị khác. Ví dụ: ARRAY là một cấu trúc dữ liệu. Một kiểu dữ liệu trừu tượng là một mô hình toán học cùng với một tập hợp các phép toán trên nó. Có thể nói kiểu dữ liệu trừu tượng là một kiểu dữ liệu do chúng ta định nghĩa ở mức khái niệm (conceptual), nó chưa được cài đặt cụ thể bằng một ngôn ngữ lập trình. Khi cài đặt một kiểu dữ liệu trừu tượng trên một ngôn ngữ lập trình cụ thể, chúng ta phải thực hiện hai nhiệm vụ: 1. Biểu diễn kiểu dữ liệu trừu tượng bằng một cấu trúc dữ liệu hoặc một kiểu dữ liệu trừu tượng khác đã được cài đặt. 2. Viết các chương trình con thực hiện các phép toán trên kiểu dữ liệu trừu tượng mà ta thường gọi là cài đặt các phép toán. 5
CHƢƠNG 2. CÁC KIỂU DỮ LIỆU TRỪU TƢỢNG CƠ BẢN 2.1. Danh sách 2.1.1. Khái niệm danh sách Mô hình toán học của danh sách là một tập hợp hữu hạn các phần tử có cùng một kiểu, mà tổng quát ta gọi là kiểu phần tử (ElementType). Ta biểu diễn danh sách như là một chuỗi các phần tử của nó: a1, a2, . . ., anvới n ≥ 0. Nếu n=0 ta nói danh sách rỗng (empty list). Nếu n > 0 ta gọi a1 là phần tử đầu tiên và an là phần tử cuối cùng của danh sách. Số phần tử của danh sách ta gọi là độ dài của danh sách. Một tính chất quan trọng của danh sách là các phần tử của danh sách có thứ tự tuyến tính theo vị trí (position) xuất hiện của các phần tử. Ta nói ai đứng trước ai+1, với i từ 1 đến n- 1; Tương tự ta nói ailà phần tử đứng sau ai-1, với i từ 2 đến n. Ta cũng nói ai là phần tử tại vị trí thứ i, hay phần tử thứ i của danh sách. Ví dụ: Tập hợp họ tên các sinh viên của lớp TINHOC 26 được liệt kê trên giấy như sau: 1. Nguyễn Trung Cang 2. Nguyễn Ngọc Chương 3. Lê Thị Lệ Sương 4. Trịnh Vu Thành 5. Nguyễn Phú Vinh là một danh sách. Danh sách này gồm có 5 phần tử, mỗi phần tử có một vị trí trong danh sách theo thứ tự xuất hiện của nó. 2.1.2. Các phép toán trên danh sách Ðể thiết lập kiểu dữ liệu trừu tượng danh sách (hay ngắn gọn là danh sách) ta phải định nghĩa các phép toán trên danh sách. Và như chúng ta sẽ thấy trong toàn bộ giáo trình, không có một tập hợp các phép toán nào thích hợp cho mọi ứng dụng (application). Vì vậy ở đây ta sẽ định nghĩa một số phép toán cơ bản nhất trên danh sách. Ðể thuận tiện cho việc định nghĩa ta giả sử rằng danh sách gồm các phần tử có kiểu là kiểu phần tử (ElementType); vị trí của các phần tử trong danh sách có kiểu là kiểu vị trí (position) và vị trí sau phần tử cuối cùng trong danh sách L là ENDLIST(L). Cần nhấn mạnh rằng khái niệm vị trí (position) là do ta định nghĩa, nó không phải là giá trị của các phần tử trong danh sách. Vị trí có thể là đồng nhất với vị trí lưu trữ phần tử hoặc không. Các phép toán được định nghĩa trên danh sách là: INSERT_LIST(x,p,L): xen phần tử x ( kiểu ElementType ) tại vị trí p (kiểu position) trong danh sách L. Tức là nếu danh sách là a1, a2, . , ap-1, ap ,. . , an thì sau khi xen ta có kết quả a1, a2, . . ., ap-1, x, ap, . . . , an. Nếu vị trí p không tồn tại trong danh sách thì phép toán không được xác định. LOCATE(x,L) thực hiện việc định vị phần tử có nội dung x đầu tiên trong danh sách L. Locate trả kết quả là vị trí (kiểu position) của phần tử x trong danh sách. Nếu x không có trong danh sách thì vị trí sau phần tử cuối cùng của danh sách được trả về, tức là ENDLIST(L). RETRIEVE(p,L) lấy giá trị của phần tử ở vị trí p (kiểu position) của danh sách L; nếu vị trí p không có trong danh sách thì kết quả không xác định (có thể thông báo lỗi). DELETE_LIST(p,L) chương trình con thực hiện việc xoá phần tử ở vị trí p (kiểu position) của danh sách. Nếu vị trí p không có trong danh sách thì phép toán không được định nghĩa và danh sách L sẽ không thay dổi NEXT(p,L) cho kết quả là vị trí của phần tử (kiểu position) đi sau phần tử p; nếu p là phần tử cuối cùng trong danh sách L thì NEXT(p,L) cho kết quả là ENDLIST(L). Next không xác định nếu p không phải là vị trí của một phần tử trong danh sách. PREVIOUS(p,L) cho kết quả là vị trí của phần tử đứng trước phần tử p trong danh sách. Nếu p là phần tử đầu tiên trong danh sách thì Previous(p,L) không xác định. Previous cũng không xác định trong trường hợp p không phải là vị trí của phần tử nào trong danh sách. FIRST(L) cho kết quả là vị trí của phần tử đầu tiên trong danh sách. Nếu danh sách 6
rỗng thì ENDLIST(L) được trả về. EMPTY_LIST(L) cho kết quả TRUE nếu danh sách có rỗng, ngược lại nó cho giá trị FALSE. MAKENULL_LIST(L) khởi tạo một danh sách L rỗng. Trong thiết kế các giải thuật sau này chúng ta dùng các phép toán trừu tượng đã được định nghĩa ở đây như là các phép toán nguyên thủy. Ví dụ: Dùng các phép toán trừu tượng trên danh sách, viết một chương trình con nhận một tham số là danh sách rồi sắp xếp danh sách theo thứ tự tăng dần (giả sử các phần tử trong danh sách thuộc kiểu có thứ tự). Giả sử SWAP(p,q) thực hiện việc dổi chỗ hai phần tử tại vị trí p và q trong danh sách, chương trình con sắp xếp được viết như sau: void SORT(LIST L) { Position p,q; //kiểu vị trí của các phần tử trong danh sách p= FIRST(L);//vị trí phần tử đầu tiên trong danh sách while (p!=ENDLIST(L)) { q=NEXT(p,L);//vị trí phần tử đứng ngay sau phần tử p while (q!=ENDLIST(L)) { if (RETRIEVE(p,L) > RETRIEVE(q,L)) swap(p,q); // dịch chuyển nội dung phần tử q=NEXT(q,L); } p=NEXT(p,L); } } Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh rằng, đây là các phép toán trừu tượng do chúng ta định nghĩa, nó chưa được cài đặt trong các ngôn ngữ lập trình. Do đó, để cài đặt giải thuật thành một chương trình chạy được thì ta cũng phải cài đặt các phép toán thành các chương trình con trong chương trình. Hơn nữa, trong khi cài đặt cụ thể, một số tham số hình thức trong các phép toán trừu tượng không đóng vai trò gì trong chương trình con cài đặt chúng, do vậy ta có thể bỏ qua nó trong danh sách tham số của chương trình con. Ví dụ: phép toán trừu tượng INSERT_LIST(x,p,L) có 3 tham số hình thức: phần tử muốn thêm x, vị trí thêm vào p và danh sách được thêm vào L. Nhưng khi cài đặt danh sách bằng con trỏ (danh sách liên kết đon), tham số L là không cần thiết vì với cấu trúc này chỉ có con trỏ tại vị trí p phải thay đổi để nối kết với ô chứa phần tử mới. Trong bài giảng này, ta vẫn giữ dúng những tham số trong cách cài đặt để làm cho chương trình đồng nhất và trong suốt đói với các phương pháp cài đặt của cùng một kiểu dữ liệu trừu tượng. 2.1.3. Cài đặt danh sách a. Cài đặt danh sách bằng mảng (danh sách đặc) Ta có thể cài đặt danh sách bằng mảng như sau: dùng một mảng để lưu giữ liên tiếp các phần tử của danh sách từ vị trí đầu tiên của mảng. Với cách cài đặt này, dĩ nhiên, ta phải ước lượng số phần tử của danh sách để khai báo số phần tử của mảng cho thích hợp. Dễ thấy rằng số phần tử của mảng phải được khai báo không ít hơn số phần tử của danh sách. Nói chưng là mảng còn thừa một số chỗ trống. Mặt khác ta phải lưu giữ độ dài hiện tại của danh sách, độ dài này cho biết danh sách có bao nhiêu phần tử và cho biết phần nào của mảng còn trống như trong hình II.1. Ta định nghĩa vị trí của một phần tử trong danh sách là chỉ số của mảng tại vị trí lưu trữ phần tử đó + 1(vì phần tử đầu tiên trong mảng là chỉ số 0). 7
. Chỉ số 0 1 Last-1 Maxlength-1 Nội dung . Phần tử cuối cùng . Phần tử thứ 1 Phần tử thứ 2 phần tử trong danh sách Cài đặt danh sách bằng mảng Với hình ảnh minh họa trên, ta cần các khai báo cần thiết là #define MaxLength //Số nguyên thích hợp để chỉ độ dài của danh sách typedef ElementType;//kiểu của phần tử trong danh sách typedef int Position; //kiểu vị trí cuả các phần tử typedef struct { ElementType Elements[MaxLength]; //mảng chứa các phần tử của danh sách Position Last; //giữ độ dài danh sách } List; Trên đây là sự biểu diễn kiểu dữ liệu trừu trượng danh sách bằng cấu trúc dữ liệu mảng. Phần tiếp theo là cài đặt các phép toán cơ bản trên danh sách. Khởi tạo danh sách rỗng Danh sách rỗng là một danh sách không chứa bất kỳ một phần tử nào (hay độ dài danh sách bằng 0). Theo cách khai báo trên, trường Last chỉ vị trí của phần tử cuối cùng trong danh sách và đó cũng độ dài hiện tại của danh sách, vì vậy để khởi tạo danh sách rỗng ta chỉ việc gán giá trị trường Last này bằng 0. void MakeNull_List(List *L) { L->Last=0; } Câu hỏi áp dụng: 1. Hãy trình bày cách gọi thực thi chương trình con tạo danh sách rỗng trên? 2. Hãy giải thích cách khai báo tham số hình thức trong chương trình con và cách truyền tham số khi gọi chương trình con đó? Kiểm tra danh sách rỗng Danh sách rỗng là một danh sách mà độ dài của nó bằng 0. int Empty_List(List L){ return L.Last==0; } Xen một phần tử vào danh sách Khi xen phần tử có nội dung x vào tại vị trí p của danh sách L thì sẽ xuất hiện các khả năng sau: - Mảng đầy: mọi phần tử của mảng đều chứa phần tử của danh sách, tức là phần tử cuối cùng của danh sách nằm ở vị trí cuối cùng trong mảng. Nói cách khác, độ dài của danh sách bằng chỉ số tối đa của mảng; Khi đó, không còn chỗ cho phần tử mới, vì vậy việc xen là không thể thực hiện được, chương trình con gặp lỗi. - Ngược lại ta tiếp tục xét: Nếu p không hợp lệ (p>last+1 hoặc p L.last+1 thì khi xen sẽ làm cho danh sách L không còn là một danh sách đặc nữa vì nó có một vị trí trong mảng mà chưa có nội dung.) - Nếu vị trí p hợp lệ thì ta tiến hành xen theo các bước sau: + Dời các phần tử từ vị trí p đến cuối danh sách ra sau 1 vị trí. 8
+ Ðộ dài danh sách tăng 1. + Ðua phần tử mới vào vị trí p Chương trình con xen phần tử x vào vị trí p của danh sách L có thể viết như sau: void Insert_List(ElementType X, Position P, List *L) { if (L->Last==MaxLength) printf("Danh sach day"); else if ((P L->Last+1)) printf("Vi tri khơng hop le"); else{ Position Q; /*Dời các phần tử từ vị trí p (chỉ số trong mảng là p-1) đến cuối danh sách sang phải 1 vị trí*/ for(Q=(L->Last-1)+1;Q>P-1;Q ) L->Elements[Q]=L->Elements[Q-1]; //Ðưa x vào vị trí p L->Elements[P-1]=X; L->Last++;//Tăng độ dài danh sách lên 1 } } Xóa phần tử ra khỏi danh sách Xoá một phần tử ở vị trí p ra khỏi danh sách L ta làm công việc ngược lại với xen. Trước tiên ta kiểm tra vị trí phần tử cần xóa xem có hợp lệ hay chưa. Nếu p>L.last hoặc p L->Last)) printf("Vi tri khơng hop le"); else if (EmptyList(*L)) printf("Danh sach rong!"); else{ Position Q; /*Dời các phần tử từ vị trí p+1 (chỉ số trong mảng là p) đến cuối danh sách sang trái 1 vị trí*/ for(Q=P-1;Q Last-1;Q++) L->Elements[Q]=L->Elements[Q+1]; L->Last ; } } Ðịnh vị một phần tử trong danh sách Ðể định vị vị trí phần tử đầu tiên có nội dung x trong danh sách L, ta tiến hành dò tìm từ đầu danh sách. Nếu tìm thấy x thì vị trí của phần tử tìm thấy được trả về, nếu không tìm thấy thì hàm trả về vị trí sau vị trí của phần tử cuối cùng trong danh sách, tức là ENDLIST(L) (ENDLIST(L)= L.Last+1). Trong trường hợp có nhiều phần tử cùng giá trị x trong danh sách thì vị trí của phần tử được tìm thấy đầu tiên được trả về. Position Locate(ElementType X, List L) { Position P; int Found = 0; P = First(L); //vị trí phần tử đầu tiên /*trong khi chưa tìm thấy và chưa kết thúc danh sách thì xét phần tử kế tiếp*/ while ((P != EndList(L)) && (Found == 0)) if (Retrieve(P,L) == X) Found = 1; 9
else P = Next(P, L); return P; } Lƣu ý : Các phép toán sau phải thiết kế trƣớc Locate - First(L)=1 - Retrieve(P,L)=L.Elements[P-1] - EndList(L)=L.Last+1 - Next(P,L)=P+1 Ví dụ : Vận dụng các phép toán trên danh sách đặc để viết chương trình nhập vào một danh sách các số nguyên và hiển thị danh sách vừa nhập ra màn hình. Thêm phần tử có nội dung x vào danh sách tại ví trí p (trong đó x và p được nhập từ bàn phím). Xóa phần tử đầu tiên có nội dung x (nhập từ bàn phím) ra khỏi danh sách. Hướng giải quyết : Giả sử ta đã cài đặt đầy đủ các phép toán cơ bản trên danh sách. Ðể thực hiện yêu cầu như trên, ta cần thiết kế thêm một số chương trình con sau : - Nhập danh sách từ bàn phím (READ_LIST(L)) (Phép toán này chưa có trong kiểu danh sách) - Hiển thị danh sách ra màn hình (in danh sách) (PRINT_LIST(L)) (Phép toán này chưa có trong kiểu danh sách). Thực ra thì chúng ta chỉ cần sử dụng các phép toán MakeNull_List, Insert_List, Delete_List, Locate và các chương trình con Read_List, Print_List vừa nói trên là có thể giải quyết được bài toán. Ðể dáp ứng yêu cầu đặt ra, ta viết chương trình chính để nối kết những chương trình con lại với nhau như sau: int main() { List L; ElementType X; Position P; MakeNull_List(&L); //Khởi tạo danh sách rỗng Read_List(&L); printf("Danh sach vua nhap: "); Print_List(L); // In danh sach len man hinh printf("Phan tu can them: "); scanf("%d",&X); printf("Vi tri can them: "); scanf("%d",&P); Insert_List(X,P,&L); printf("Danh sach sau khi them phan tu la: "); PrintList(L); printf("Noi dung phan tu can xoa: "); scanf("%d",&X); P=Locate(X,L); Delete_List(P,&L); printf("Danh sach sau khi xoa %d la: ",X); Print_List(L); return 0; } b. Cài đặt danh sách bằng con trỏ ( danh sách liên kết) Cách khác để cài đặt danh sách là dùng con trỏ để liên kết các ô chứa các phần tử. Trong cách cài đặt này các phần tử của danh sách được lưu trữ trong các ô, mỗi ô có thể chỉ đến ô chứa phần tử kế tiếp trong danh sách. Bạn đọc có thể hình dung cơ chế này qua ví dụ sau: Giả sử 1 lớp có 4 bạn: Ðông, Tây, Nam, Bắc có địa chỉ lần lượt là d, t, n, b. Giả sử: 10
Ðông có địa chỉ của Nam, Tây không có địa chỉ của bạn nào, Bắc giữ địa chỉ của Ðông, Nam có địa chỉ của Tây (xem hình vẽ sau). Bắc d Đông n Nam Tây d t Như vậy, nếu ta xét thứ tự các phần tử bằng cơ chế chỉ đến này thì ta có một danh sách: Bắc, Ðông, Nam, Tây. Hơn nữa, để có danh sách này thì ta cần và chỉ cần giữ địa chỉ của Bắc. Trong cài đặt, để một ô có thể chỉ đến ô khác ta cài đặt mỗi ô là một mẩu tin (record, struct) có hai trường: trường Element giữ giá trị của các phần tử trong danh sách; trường next là một con trỏ giữ địa chỉ của ô kế tiếp. Trường next của phần tử cuối trong danh sách chỉ đến một giá trị đặc biệt là NULL. Cấu trúc như vậy gọi là danh sách cài đặt bằng con trỏ hay danh sách liên kết đơn hay ngắn gọn là danh sách liên kết. Ví dụ (hình b1): 1 2 n a1 a2 an NULL HEADER 11
Ðể quản lý danh sách ta chỉ cần một biến giữ địa chỉ ô chứa phần tử đầu tiên của danh sách, tức là một con trỏ trỏ đến phần tử đầu tiên trong danh sách. Biến này gọi là chỉ điểm đầu danh sách (Header) . Ðể đơn giản hóa vấn đề, trong chi tiết cài đặt, Header là một biến cùng kiểu với các ô chứa các phần tử của danh sách và nó có thể được cấp phát ô nhớ y như một ô chứa phần tử của danh sách (hình b1). Tuy nhiên, Header là một ô đặc biệt nên nó không chứa phần tử nào của danh sách, trường dữ liệu của ô này là rỗng, chỉ có trường con trỏ Next trỏ tới ô chứa phần tử đầu tiên thật sự của danh sách. Nếu danh sách rỗng thì Header->next trỏ tới NULL. Việc cấp phát ô nhớ cho Header như là một ô chứa dữ liệu bình thường nhằm tăng tính đơn giản của các giải thuật thêm, xoá các phần tử trong danh sách. Ở đây, ta cần phân biệt rõ giá trị của một phần tử và vị trí (position) của nó trong cấu trúc trên. Ví dụ, giá trị của phần tử đầu tiên của danh sách trong hình vẽ trên là a1, Trong khi vị trí của nó là địa chỉ của ô chứa nó, tức là giá trị nằm ở trường next của ô Header. Giá trị và vị trí của các phần tử của danh sách trong hình trên như sau: Phần tử Giá trị Vị trí thứ 1 a1 HEADER 1 2 a2 1 n an (n-1) Sau phần Không N và n->next có giá trị là tử cuối cùng xác định NULL Như đã thấy trong bảng trên, vị trí của phần tử thứ i là (i-1), như vậy để biết được vị trí của phần tử thứ i ta phải truy xuất vào ô thứ (i-1). Khi thêm hoặc xoá một phần tử trong danh sách liên kết tại vị trí p, ta phải cập nhật lại con trỏ trỏ tới vị trí này, tức là cập nhật lại (p-1). Nói cách khác, để thao tác vào vị trí p ta phải biết con trỏ trỏ vào p mà con trỏ này chính là (p-1). Do đó, ta định nghĩa p-1 như là vị trí của p. Có thể nói nôm na rằng vị trí của phần tử ai là địa chỉ của ô đứng ngay phía trước ô chứa ai. Hay chính xác hơn, ta nói, vị trí của phần tử thứ i là con trỏ trỏ tới ô có trường next trỏ tới ô chứa phần tử ai Như vậy vị trí của phần tử thứ 1 là con trỏ trỏ đến Header, vị trí phần tử thứ 2 là con trỏ trỏ ô chứa phần tử a1, vị trí của phần tử thứ 3 là con trỏ trỏ ô a2, , vị trí phần tử thứ n là con trỏ trỏ ô chứa an-1. Vậy vị trí sau phần tử cuối trong danh sách, tức là ENDLIST, chính là con trỏ trỏ ô chứa phần tử an (xem hìnhvẽ). Theo định nghĩa này ta có, nếu p là vị trí của phần tử thứ p trong danh sách thì giá trị của phần tử ở vị trí p này nằm trong trường element của ô được trỏ bởi p->next. Nói cách khác, p->next->element chứa nội dung của phần tử ở vị trí p trong danh sách. Các khai báo cần thiết là typedef ElementType; //kiểu của phần tử trong danh sách typedef struct Node { ElementType Element;//Chứa nội dung của phần tử Node* Next; /*con trỏ chỉ đến phần tử kế tiếp trong danh sách*/ }; typedef Node* Position; // Kiểu vị trí typedef Position List; Tạo danh sách rỗng Như đã nói ở phần trên, ta dùng Header như là một biến con trỏ có kiểu giống như 12
kiểu của một ô chứa một phần tử của danh sách. Tuy nhiên, trường Element của Header không bao giờ được dùng, chỉ có trường Next dùng để trỏ tới ô chứa phần tử đầu tiên của danh sách. Vậy nếu như danh sách rỗng thì trường ô Header vẫn phải tồn tại và ô này có trường next chỉ đến NULL (do không có một phần tử nào). Vì vậy khi khởi tạo danh sách rỗng, ta phải cấp phát ô nhớ cho HEADER và cho con trỏ trong trường next của nó trỏ tới NULL. void MakeNull_List(List *Header) { (*Header)=(Node*)malloc(sizeof(Node)); (*Header)->Next= NULL; } Kiểm tra một danh sách rỗng Danh sách rỗng nếu như trường next trong ô Header trỏ tới NULL. int Empty_List(List L) { return (L->Next==NULL); } Xen một phần tử vào danh sách : Xen một phần tử có giá trị x vào danh sách L tại vị trí p ta phải cấp phát một ô mới để lưu trữ phần tử mới này và nối kết lại các con trỏ để đưa ô mới này vào vị trí p. Sơ đồ nối kết và thứ tự các thao tác được cho trong hình b2. 13
p->next P H ì [2] n 4 3 h 1 b 2 : Thêm một phần tử vào danh sách tại vị trí p void Insert_List(ElementType X, Position P, List *L) { Position T; T=(Node*)malloc(sizeof(Node)); T->Element=X; T->Next=P->Next; P->Next=T; } Câu hỏi ôn tập: Tham số L (danh sách) trong chương trình con trên có bỏ được không? Tại sao? Xóa phần tử ra khỏi danh sách temp 1 P 2 Hình b3: Xóa một phần tử tại vị trí p Tương tự như khi xen một phần tử vào danh sách liên kết, muốn xóa một phần tử khỏi danh sách ta cần biết vị trí p của phần tử muốn xóa trong danh sách L. Nối kết lại các con trỏ bằng cách cho p trỏ tới phần tử đứng sau phần tử thứ p. Trong các ngôn ngữ lập trình không có cơ chế thu hồi vùng nhớ tự động như ngôn ngữ Pascal, C thì ta phải thu hồi vùng nhớ của ô bị xóa một các tường minh trong giải thuật. Tuy nhiên, vì tính đơn giản của giải thuật cho nên đôi khi chúng ta không đề cập đến việc thư hồi vùng nhớ cho các ô bị xoá. Chi tiết và trình tự các thao tác để xoá một phần tử trong danh sách liên kết như trong hình b3. Chương trình con có thể được cài đặt như sau: void Delete_List(Position P, List *L) { Position T; if (P->Next!=NULL) { T=P->Next; /*/giữ ô chứa phần tử bị xoá để thư hồi vùng nhớ*/ P->Next=T->Next; /*nối kết con trỏ trỏ tới phần tử thứ p+1*/ free(T); //thư hồi vùng nhớ } } 14
Ðịnh vị một phần tử trong danh sách liên kết Ðể định vị phần tử x trong danh sách L ta tiến hành tìm từ đầu danh sách (ô header) nếu tìm thấy thì vị trí của phần tử đầu tiên được tìm thấy sẽ được trả về nếu không thì ENDLIST(L) được trả về. Nếu x có trong sách sách thì hàm Locate trả về vị trí p mà trong đó ta có x = p->next->element. Position Locate(ElementType X, List L) { Position P; int Found = 0; P = L; while ((P->Next != NULL) && (Found == 0)) if (P- >Next->Element == X) Found = 1; else P = P->Next; return P; } Thực chất, khi gọi hàm Locate ở trên ta có thể truyền giá trị cho L là bất kỳ giá trị nào. Nếu L là Header thì chương trình con sẽ tìm x từ đầu danh sách. Nếu L là một vị trí p bất kỳ trong danh sách thì chương trình con Locate sẽ tiến hành định vị phần tử x từ vị trí p. Xác định nội dung phần tử: Nội dung phần tử đang lưu trữ tại vị trí p trong danh sách L là p->next->Element. Do đó, hàm sẽ trả về giá trị p->next->element nếu phần tử có tồn tại, ngược lại phần tử không tồn tại (p->next=NULL) thì hàm không xác định ElementType Retrieve(Position P, List L) { if (P->Next!=NULL) return P->Next->Element; } Hãy thiết kế hàm Locate bằng cách sử dụng các phép toán trừu tượng co bản trên danh sách? c. So sánh hai phương pháp cài đặt Không thể kết luận phương pháp cài đặt nào hiệu quả hơn, mà nó hoàn toàn tuỳ thuộc vào từng ứng dụng hay tuỳ thuộc vào các phép toán trên danh sách. Tuy nhiên, ta có thể tổng kết một số ưu nhược điểm của từng phương pháp làm cơ sở để lựa chọn phương pháp cài đặt thích hợp cho từng ứng dụng: Cài đặt bằng mảng đòi hỏi phải xác định số phần tử của mảng, do đó nếu không thể ước lượng được số phần tử trong danh sách thì khó áp dụng cách cài đặt này một cách hiệu quả vì nếu khai báo thiếu chỗ thì mảng thường xuyên bị đầy, không thể làm việc được còn nếu khai báo quá thừa thì lãng phí bộ nhớ. Cài đặt bằng con trỏ thích hợp cho sự biến động của danh sách, danh sách có thể rỗng hoặc lớn tuỳ ý chỉ phụ thuộc vào bộ nhớ tối đa của máy. Tuy nhiên, ta phải tốn thêm vùng nhớ cho các con trỏ (trường next). Cài đặt bằng mảng thì thời gian xen hoặc xoá một phần tử tỉ lệ với số phần tử di sau vị trí xen/ xóa. Trong khi cài đặt bằng con trỏ các phép toán này mất chỉ một hằng thời gian. Phép truy nhập vào một phần tử trong danh sách, chẳng hạn như PREVIOUS, chỉ tốn một hằng thời gian đói với cài đặt bằng mảng, trong khi đói với danh sách cài đặt bằng con trỏ ta phải tìm từ đầu danh sách cho đến vị trí trước vị trí của phần tử hiện hành.Nói chung, danh sách liên kết thích hợp với danh sách có nhiều biến động, tức là ta thường xuyên thêm, xoá các phần tử. d. Cài đặt bằng con nháy Một số ngôn ngữ lập trình không có cũng cấp kiểu con trỏ. Trong trường hợp này ta có thể "giả" con trỏ để cài đặt danh sách liên kết. Ý tuởng chính là: dùng mảng để chứa các phần 15
tử của danh sách, các "con trỏ" sẽ là các biến số nguyên (int) để giữ chỉ số của phần tử kế tiếp trong mảng. Ðể phân biệt giữa "con trỏ thật" và "con trỏ giả" ta gọi các con trỏ giả này là con nháy (cursor). Như vậy để cài đặt danh sách bằng con nháy ta cần một mảng mà mỗi phần tử xem như là một ô gồm có hai trường: trường Element như thông lệ giữ giá trị của phần tử trong danh sách (có kiểu Elementtype) trường Next là con nháy để chỉ tới vị trí trong mảng của phần tử kế tiếp. Chẳng hạn hình d.1 biểu diễn cho mảng SPACE đang chứa hai danh sách L1, L2. Ðể quản lí các danh sách ta cũng cần một con nháy chỉ đến phần tử đầu của mỗi danh sách (giống như header trong danh sách liên kết). Phần tử cuối cùng của danh sách ta cho chỉ tới giá trị đặc biệt Null, có thể xem Null = -1 với một giả thiết là mảng SPACE không có vị trí nào có chỉ số -1. Trong hình d.1, danh sách L1 gồm 3 phần tử : f, o ,r. Chỉ điểm đầu của L1 là con nháy có giá trị 5, tức là nó trỏ vào ô lưu giữ phần tử đầu tiên của L1, trường next của ô này có giá trị 1 là ô lưu trữ phần tử kế tiếp (tức là o). Trường next tại ô chứa o là 4 là ô lưu trữ phần tử kế tiếp trong danh sách (tức là r). Cuối cùng trường next của ô này chứa Null nghĩa là danh sách không còn phần tử kế tiếp. Phân tích tương tự ta có L2 gồm 4 phần tử : w, i, n, d 0 d Null 1 o 4 2 3 n 0 4 r Null 5 f 1 Chỉ điểm của danh sách thứ nhất L1 → 6 i 3 7 w 6 Chỉ điểm của danh sách thứ hai L2 → 8 9 Chỉ số Elements Next Mảng SPACE Hình d.1 Mảng đang chứa hai danh sách L1 và L2 Khi xen một phần tử vào danh sách ta lấy một ô trống trong mảng để chứa phần tử mới này và nối kết lại các con nháy. Ngược lại, khi xoá một phần tử khỏi danh sách ta nối kết lại các con nháy để loại phần tử này khỏi danh sách, điều này kéo theo số ô trống trong mảng tăng lên 1. Vấn đề là làm thế nào để quản lí các ô trống này để biết ô nào còn trống ô nào đã dùng? một giải pháp là liên kết tất cả các ô trống vào một danh sách đặc biệt gọi là AVAILABLE, khi xen một phần tử vào danh sách ta lấy ô trống đầu AVAILABLE để chứa phần tử mới này. Khi xoá một phần tử từ danh sách ta cho ô bị xoá nối vào đầu AVAILABLE. Tất nhiên khi mới khởi đầu việc xây dựng cấu trúc thì mảng chưa chứa phần tử nào của bất kỳ một danh sách nào. Lúc này tất cả các ô của mảng đều là ô trống, và như 16
vậy, tất cả các ô đều được liên kết vào trong AVAILABLE. Việc khởi tạo AVAILABLE ban đầu có thể thực hiện bằng cách cho phần tử thứ i của mảng trỏ tới phần tử i+1. Các khai báo cần thiết cho danh sách #define MaxLength //Chieu dai mang #define Null -1 //Gia tri Null typedef ElementType; /*kiểu của các phần tử trong danh sách*/ typedef struct{ ElementType Elements; /*trường chứa phần tử trong danh sách*/ int Next; //con nháy trỏ đến phần tử kế tiếp } Node; Node Space[MaxLength]; //Mang toan cuc int Available; AVAILLABLE → 0 1 1 2 . . . Maxlength-2 Maxlength-1 Maxlength-1 Null Chỉ số Elements Next Mảng SPACE Hình d2: Khởi tạo Available ban đầu Khởi tạo cấu trúc – Thiết lập available ban đầu Ta cho phần tử thứ 0 của mảng trỏ đến phần tử thứ 1, , phần tử cuối cùng trỏ Null. Chỉ điểm đầu của AVAILABLE là 0 như trong hình II.7 void Initialize() { int i; for(i=0;i<MaxLength-1;i++) Space[i].Next=i+1; Space[MaxLength-1].Next=NULL; Available=0; } Chuyển một ô từ danh sách này sang danh sách khác Ta thấy thực chất của việc xen hay xoá một phần tử là thực hiện việc chuyển một ô từ danh sách này sang danh sách khác. Chẳng hạn muốn xen thêm một phần tử vào danh sách L1 trong hình II.6 vào một vị trí p nào đó ta phải chuyển một ô từ AVAILABLE (tức là một ô trống) vào L1 tại vị trí p; muốn xoá một phần tử tại vị trí p nào đó trong danh sách L2, chẳng hạn, ta chuyển ô chứa phần tử đó sang AVAILABLE, thao tác này xem như là giải phóng bộ nhớ bị chiếm bởi phần tử này. Do đó, tốt nhất ta viết một hàm thực hiện thao tác chuyển một ô từ danh sách này sang danh sách khác và hàm cho kết quả kiểu int tùy theo chuyển thành công hay thất bại (là 0 nếu chuyển không thành công, 1 nếu chuyển thành công). Hàm Move sau đây thực hiện chuyển ô được trỏ tới bởi con nháy P vào danh sách khác được trỏ bởi con nháy Q như trong hình d3. Hình d3 trình bày các thao tác cơ bản để chuyển một ô (ô được chuyển ta tạm gọi là ô mới): 17
3 P 2 4 Q 1 temp Hình d3: Chuyển 1 ô từ danh sách này sang danh sách khác (các liên kết vẽ bằng nét dứt biểu diễn cho các liên kết cũ - trước khi giải thuật bắt đầu) -Dùng con nháy temp để trỏ ô được trỏ bởi Q. -Cho Q trỏ tới ô mới. -Cập nhật lại con nháy P bằng cách cho nó trỏ tới ô kế tiếp. -Nối con nháy trường next của ô mới (ô mà Q đang trỏ) trỏ vào ô mà temp đang trỏ. int Move(int *p, int *q) { int temp; if (*p==Null) return 0; //Khơng co o de chuyen else { temp=*q; *q=*p; *p=Space[*q].Next; Space[*q].Next=temp; return 1; //Chuyen thanh cong } } Trong cách cài đặt này, khái niệm vị trí tương tự như khái niệm vị trí trong trường hợp cài đặt bằng con trỏ, tức là, vị trí của phần tử thứ I trong danh sách là chỉ số của ô trong mảng chứa con nháy trỏ đến ô chứa phần tử thứ i. Ví dụ xét danh sách L1 trong hình d.1, vị trí của phần tử thứ 2 trong danh sách (phần tử có giá trị o) là 5, không phải là 1; vị trí của phần tử thứ 3 (phần tử có giá trị r ) là 1, không phải là 4. Vị trí của phần tử thứ 1 (phần tử có giá trị f) được định nghĩa là -1, vì không có ô nào trong mảng chứa con nháy trỏ đến ô chứa phần tử f. Xen một phần tử vào danh sách Muốn xen một phần tử vào danh sách ta cần biết vị trí xen, gọi là p, rồi ta chuyển ô đầu của available vào vị trí này. Chú ý rằng vị trí của phần tử đầu tiên trong danh sách được định nghĩa là -1, do đó nếu p=-1 có nghĩa là thực hiện việc thêm vào đầu danh sách. void Insert_List(ElementType X, int P, int *L) { if (P = = -1) //Xen dau danh sach { if (Move(&Available,L)) Space[*L].Elements=X; else printf("Loi! Khơng con bo nho trong"); } else //Chuyen mot o tu Available vao vi tri P { 18
if (Move(&Available,&Space[P].Next)) // O nhan X la o tro boi Space[p].Next Space[Space[P].Next].Elements=X; else printf("Loi! Khơng con bo nho trong"); } } Xoá một phần tử trong danh sách Muốn xoá một phần tử tại vị trí p trong danh sách ta chỉ cần chuyển ô chứa phần tử tại vị trí này vào đầu AVAILABLE. Tương tự như phép thêm vào, nếu p=-1 thì xoá phần tử đầu danh sách. void Delete_List(int p, int *L) { if (p==-1) //Neu la o dau tien { if (!Move(L,&Available)) printf("Loi trong khi xoa"); // else Khơng lam gi ca } else if (!Move(&Space[p].Next,&Available)) printf("Loi trong khi xoa"); //else Khơng lam gi } 2.1.4. Các dạng danh sách liên kết (DSLK): DSLK đơn, vòng, kép, Một số ứng dụng đòi hỏi chúng ta phải duyệt danh sách theo cả hai chiều một cách hiệu quả. Chẳng hạn, cho phần tử X cần biết ngay phần tử trước X và sau X một cách mau chóng. Trong trường hợp này ta phải dùng hai con trỏ, một con trỏ chỉ đến phần tử đứng sau (next), một con trỏ chỉ đến phần tử đứng trước (previous). Với cách tổ chức này ta có một danh sách liên kết kép. Dạng của một danh sách liên kép như sau: Z Y a2 X Z Hình II.15 Hình ảnh một danh sách liên kết kép Các khai báo cần thiết typedef ElementType; //kiểu nội dung của các phần tử trong danh sách typedef struct Node{ ElementType Element; //lưu trữ nội dung phần tử //Hai con trỏ trỏ tới phần tử trước và sau Node* Prev; Node* Next; }; typedef Node* Position; typedef Position DoubleList; Ðể quản lí một danh sách liên kết kép ta có thể dùng một con trỏ trỏ đến một ô bất kỳ trong cấu trúc. Hoàn toàn tương tự như trong danh sách liên kết đơn đã trình bày trong phần trước, con trỏ để quản lí danh sách liên kết kép có thể là một con trỏ có kiểu giống như kiểu phần tử trong danh sách và nó có thể được cấp phát ô nhớ (tương tự như Header trong danh sách liên kết đơn) hoặc không được cấp phát ô nhớ. Ta cũng có thể xem danh sách liên kết kép như là danh sách liên kết đơn, với một bổ sung duy nhất là có con trỏ previous để nối kết các ô theo chiều ngược lại. Theo quan điểm này thì chúng ta có thể cài đặt các phép toán thêm 19
(insert), xoá (delete) một phần tử hoàn toàn tương tự như trong danh sách liên kết đơn và con trỏ Header cũng cần thiết như trong danh sách liên kết đơn, vì nó chính là vị trí của phần tử đầu tiên trong danh sách. Tuy nhiên, nếu tận dụng khả năng duyệt theo cả hai chiều thì ta không cần phải cấp phát bộ nhớ cho Header và vị trí (position) của một phần tử trong danh sách có thể định nghĩa như sau: Vị trí của phần tử ai là con trỏ trỏ tới ô chứa ai, tức là dịa chỉ ô nhớ chứa ai. Nói nôm na, vị trí của ai là ô chứa ai. Theo định nghĩa vị trí như vậy các phép toán trên danh sách liên kết kép sẽ được cài đặt hơi khác với danh sách liên đơn. Trong cách cài đặt này, chúng ta không sử dụng ô đầu mục như danh sách liên kết đơn mà sẽ quản lý danh sách một các trực tiếp (header chỉ ngay đến ô đầu tiên trong danh sách). Tạo danh sách liên kết kép rỗng Giả sử DL là con trỏ quản lí danh sách liên kết kép thì khi khởi tạo danh sách rỗng ta cho con trỏ này trỏ NULL (không cấp phát ô nhớ cho DL), tức là gán DL=NULL. void MakeNull_List (DoubleList *DL) { (*DL)= NULL; } Kiểm tra danh sách liên kết kép rỗng Rõ ràng, danh sách liên kết kép rỗng khi và chỉ khi chỉ điểm đầu danh sách không trỏ tới một ô xác định nào cả. Do đó ta sẽ kiểm tra DL = NULL. int Empty (DoubleList DL) { return (DL==NULL); } Xóa một phần tử ra khỏi danh sách liên kết kép Ðể xoá một phần tử tại vị trí p trong danh sách liên kết kép được trỏ bởi DL, ta phải chú ý đến các trường hợp sau: - Danh sách rỗng, tức là DL=NULL: chương trình con dừng. - Trường hợp danh sách khác rỗng, tức là DL!=NULL, ta phải phân biệt hai trường hợp Ô bị xoá không phải là ô được trỏ bởi DL, ta chỉ cần cập nhật lại các con trỏ để nối kết ô trước p với ô sau p, các thao tác cần thiết là (xem hình II.16): 1 2 P->previous P p->next Hình II.16 Xóa phần tử tại vị trí p Nếu (p->previous!=NULL) thì p->previous->next=p->next; Nếu (p->next!=NULL) thì p->next->previous=p->previous; Xoá ô đang được trỏ bởi DL, tức là p=DL: ngoài việc cập nhật lại các con trỏ để nối kết các ô trước và sau p ta còn phải cập nhật lại DL, ta có thể cho DL trỏ đến phần tử trước nó (DL = p->Previous) hoặc đến phần tử sau nó (DL = p->Next) tuỳ theo phần tử nào có mặt trong danh sách. Ðặc biệt, nếu danh sách chỉ có một phần tử tức là p->Next=NULL và p- >Previous=NULL thì DL=NULL. void Delete_List (Position p, DoubleList *DL) 20
{ if (*DL == NULL) printf(”Danh sach rong”); else { if (p==*DL) (*DL)=(*DL)->Next; //Xóa phần tử đầu tiên của danh sách nên phải thay dổi DL else p->Previous->Next=p->Next; if (p->Next!=NULL) p->Next->Previous=p->Previous; free(p); } } Thêm phần tử vào danh sách liên kết kép Ðể thêm một phần tử x vào vị trí p trong danh sách liên kết kép được trỏ bởi DL, ta cũng cần phân biệt mấy trường hợp sau: Danh sách rỗng, tức là DL = NULL: trong trường hợp này ta không quan tâm đến giá trị của p. Ðể thêm một phần tử, ta chỉ cần cấp phát ô nhớ cho nó, gán giá trị x vào trường Element của ô nhớ này và cho hai con trỏ previous, next trỏ tới NULL còn DL trỏ vào ô nhớ này, các thao tác trên có thể viết như sau: DL=(Node*)malloc(sizeof(Node)); DL->Element = x; DL->Previous=NULL; DL->Next =NULL; Nếu DL!=NULL, sau khi thêm phần tử x vào vị trí p ta có kết quả như hình II.18 Y H ình II.1 7 P Dan P->previous p->next h sác h trước khi thêm phần tử X X Y P p->next P->previous Hình II.18: Danh sách sau khi thêm phần tử x vào tại vị trí p (phần tử tại vị trí p cũ trở thành phần tử "sau" của x) Lưu ý: các kí hiệu p, p->Next, p->Previous trong hình II.18 để chỉ các ô trước khi thêm phần tử x, tức là nó chỉ các ô trong hình II.17. Trong trường hợp p=DL, ta có thể cập nhật lại DL để DL trỏ tới ô mới thêm vào hoặc để nó trỏ đến ô tại vị trí p cu như nó đang trỏ cũng chỉ là sự lựa chọn trong chi tiết cài đặt. void Insert_List (ElementType X,Position p, DoubleList *DL) 21
{ if (*DL == NULL) { (*DL)=(Node*)malloc(sizeof(Node)); (*DL)->Element = X; (*DL)->Previous =NULL; (*DL)->Next =NULL; } else{ Position temp; temp=(Node*)malloc(sizeof(Node)); temp->Element=X; temp->Next=p; temp->Previous=p->Previous; if (p->Previous!=NULL) p->Previous->Next=temp; p- >Previous=temp; } } 2.2. Ngăn xếp (stack) 2.2.1. Khái niệm Ngăn xếp (Stack) là một danh sách mà ta giới hạn việc thêm vào hoặc loại bỏ một phần tử chỉ thực hiện tại một đầu của danh sách, đầu này gọi là đỉnh (TOP) của ngăn xếp. Ta có thể xem hình ảnh trực quan của ngăn xếp bằng một chồng đĩa đặt trên bàn. Muốn thêm vào chồng đó 1 đĩa ta để đĩa mới trên đỉnh chồng, muốn lấy các đĩa ra khỏi chồng ta cũng phải lấy đĩa trên trước. Như vậy ngăn xếp là một cấu trúc có tính chất “vào sau - ra trước” hay “vào trước – ra sau“ (LIFO (last in - first out ) hay FILO (first in – last out)). Các phép toán trên ngăn xếp - MAKENULL_STACK(S): tạo một ngăn xếp rỗng. - TOP(S) xem như một hàm trả về phần tử tại đỉnh ngăn xếp. Nếu ngăn xếp rỗng thì hàm không xác định. Lưu ý rằng ở dây ta dùng từ "hàm" để ngụ ý là TOP(S) có trả kết quả ra. Nó có thể không dồng nhất với khái niệm hàm trong ngôn ngữ lập trình như C chẳng hạn, vì có thể kiểu phần tử không thể là kiểu kết quả ra của hàm trong C. - POP(S) chương trình con xoá một phần tử tại đỉnh ngăn xếp. - PUSH(x,S) chương trình con thêm một phần tử x vào đầu ngăn xếp. - EMPTY_STACK(S) kiểm tra ngăn xếp rỗng. Hàm cho kết quả 1 (true) nếu ngăn xếp rỗng và 0 (false) trong trường hợp ngược lại. Như đã nói từ trước, khi thiết kế giải thuật ta có thể dùng các phép toán trừu tượng như là các "nguyên thủy" mà không cần phải định nghĩa lại hay giải thích thêm. Tuy nhiên, để giải thuật đó thành chương trình chạy được thì ta phải chọn một cấu trúc dữ liệu hợp lí để cài đặt các "nguyên thủy" này. Ví dụ: Viết chương trình con Edit nhận một chưỗi kí tự từ bàn phím cho đến khi gặp kí tự @ thì kết thúc việc nhập và in kết quả theo thứ tự ngược lại. void Edit(){ Stack S; char c; MakeNull_Stack(&S); do{ // Lưu từng ký tự vào ngăn xếp c=getche(); 22
Push(c,&S); }while (c!='@'); printf("\nChươi theo thư tu ngươc lai\n"); // In ngăn xep while (!Empty_Stack(S)) { printf("%c\n",Top(S)); Pop(&S); } } Câu hỏi ôn tập: Ta có thể truy xuất trực tiếp phần tử tại vị trí bất kỳ trong ngăn xếp được không? 2.2.2. Cài đặt ngăn xếp bởi mảng, DSLK a. Cài đặt ngăn xếp bằng danh sách: Do ngăn xếp là một danh sách đặc biệt nên ta có thể sử dụng kiểu dữ liệu trừu tượng danh sách để biểu diễn cách cài đặt nó. Như vậy, ta có thể khai báo ngăn xếp như sau: typedef List Stack; Khi chúng ta đã dùng danh sách để biểu diễn cho ngăn xếp thì ta nên sử dụng các phép toán trên danh sách để cài đặt các phép toán trên ngăn xếp. Sau dây là phần cài đặt ngăn xếp bằng danh sách. Tạo ngăn xếp rỗng: void MakeNull_Stack(Stack *S) { MakeNull_List(S); } Kiểm tra ngăn xếp rỗng: int Empty_Stack(Stack S) { return Empty_List(S); } Thêm phần tử vào ngăn xếp void Push(Elementtype X, Stack *S) { Insert_List (x, First (*S), &S); } Xóa phần tử ra khỏi ngăn xếp void Pop (Stack *S) { Delete_List (First (*S), &S); } Tuy nhiên để tăng tính hiệu quả của ngăn xếp ta có thể cài đặt ngăn xếp trực tiếp từ các cấu trúc dữ liệu như các phần sau. b. Cài đặt bằng mảng Dùng một mảng để lưu trữ liên tiếp các phần tử của ngăn xếp. Các phần tử đưa vào ngăn xếp bắt đầu từ vị trí có chỉ số cao nhất của mảng, xem hình sau. Ta còn phải dùng một biến số nguyên (TOP_IDX) giữ chỉ số của phần tử tại đỉnh ngăn xếp. 0 1 top_idx Phần tử 1 Phần tử 2 23
Maxlenth-1 Phần tử cuối cùng (phần tủ đầu tiên được them vào ngăn xếp) Khai báo ngăn xếp #define MaxLength //độ dài của mảng typedef ElementType; //kiểu các phần tử trong ngăn xếp typedef struct { ElementType Elements[MaxLength]; //Lưu nội dung của các phần tử int Top_idx; //giữ vị trí đỉnh ngăn xếp } Stack; Tạo ngăn xếp rỗng Ngăn xếp rỗng là ngăn xếp không chứa bất kỳ một phần tử nào, do đó đỉnh của ngăn xếp không được phép chỉ đến bất kỳ vị trí nào trong mảng. Ðể tiện cho quá trình thêm và xóa phần tử ra khỏi ngăn xếp, khi tạo ngăn xếp rỗng ta cho đỉnh ngăn xếp nằm ở vị trí maxlength. void MakeNull_Stack(Stack *S) { S->Top_idx=MaxLength; } Kiểm tra ngăn xếp rỗng int Empty_Stack(Stack S) { return S.Top_idx==MaxLength; } Kiểm tra ngăn xếp đầy int Full_Stack(Stack S) { return S.Top_idx==0; } Lấy nội dung phần tử tại đỉnh của ngăn xếp : Hàm trả về nội dung phần tử tại đỉnh của ngăn xếp khi ngăn xếp không rỗng. Nếu ngăn xếp rỗng thì hàm hiển thị câu thông báo lỗi. ElementType Top(Stack S) { if (!Empty_Stack(S)) return S.Elements[S.Top_idx]; else printf("Loi! Ngăn xep rong"); } Chú ý Nếu ElementType không thể là kiểu kết quả trả về của một hàm thì ta có thể viết Hàm Top như sau: void TOP(Stack S, Elementtype *X) { //Trong đó, x sẽ lưu trữ nội dung phần tử tại đỉnh của ngăn xếp if (!Empty_Stack(S)) *X = S.Elements[S.Top_idx]; else printf(“Loi: Ngăn xep rong “); } Chương trình con xóa phần tử ra khỏi ngăn xếp Phần tử được xóa ra khỏi ngăn xếp là tại đỉnh của ngăn xếp. Do đó, khi xóa ta chỉ cần dịch chuyển đỉnh của ngăn xếp xuống 1 vị trí (top_idx tăng 1 đơn vị ) 24
void Pop(Stack *S){ if (!Empty_Stack(*S)) S->Top_idx=S->Top_idx+1; else printf("Loi! Ngăn xep rong!"); } Chương trình con thêm phần tử vào ngăn xếp : Khi thêm phần tử có nội dung x (kiểu ElementType) vào ngăn xếp S (kiểu Stack), trước tiên ta phải kiểm tra xem ngăn xếp có còn chỗ trống để lưu trữ phần tử mới không. Nếu không còn chỗ trống (ngăn xếp đầy) thì báo lỗi; Ngược lại, dịch chuyển Top_idx lên trên 1 vị trí và đặt x vào tại vị trí đỉnh mới. void Push(ElementType X, Stack *S) { if (Full_Stack(*S)) printf("Loi! Ngăn xep day!"); else{ S->Top_idx=S->Top_idx-1; S->Elements[S->Top_idx]=X; } } Bài tập: Cài đặt ngăn xếp sử dụng con trỏ. 2.2.3. Ứng dụng Ứng dụng ngăn xếp để loại bỏ đệ qui của chương trình Nếu một chương trình con đệ qui P(x) được gọi từ chương trình chính ta nói chương trình con được thực hiện ở mức 1. Chương trình con này gọi chính nó, ta nói nó đi sâu vào mức 2 cho đến một mức k. Rõ ràng mức k phải thực hiện xong thì mức k-1 mới được thực hiện tiếp tục, hay ta còn nói là chương trình con quay về mức k-1. Trong khi một chương trình con từ mức i di vào mức i+1 thì các biến cục bộ của mức i và địa chỉ của mã lệnh còn đang dở phải được lưu trữ, địa chỉ này gọi là địa chỉ trở về. Khi từ mức i+1 quay về mức i các giá trị đó được sử dụng. Như vậy những biến cục bộ và địa chỉ lưu sau được dùng trước. Tính chất này gợi ý cho ta dùng một ngăn xếp để lưu giữ các giá trị cần thiết của mỗi lần gọi tới chương trình con. Mỗi khi lùi về một mức thì các giá trị này được lấy ra để tiếp tục thực hiện mức này. Ta có thể tóm tắt quá trình như sau: Bước 1: Lưu các biến cục bộ và địa chỉ trở về. Bước 2: Nếu thoả điều kiện ngừng đệ qui thì chuyển sang bước 3. Nếu không thì tính toán từng phần và quay lại bước 1 (đệ qui tiếp). Bước 3: Khôi phục lại các biến cục bộ và địa chỉ trở về. Ví dụ sau dây minh hoạ việc dùng ngăn xếp để loại bỏ chương trình đệ qui của bài toán "tháp Hà Nội" (tower of Hanoi). Bài toán "tháp Hà Nội" được phát biểu như sau: Có ba cọc A,B,C. Khởi đầu cọc A có một số dĩa xếp theo thứ tự nhỏ dần lên trên đỉnh. Bài toán đặt ra là phải chuyển toàn bộ chồng đĩa từ A sang B. Mỗi lần thực hiện chuyển một đĩa từ một cọc sang một cọc khác và không được đặt đĩa lớn nằm trên đĩa nhỏ Chương trình con đệ qui để giải bài toán tháp Hà Nội như sau: void Move(int n, int A, int B, int C) //n: số đĩa, A,B,C: cọc nguồn , đích và trung gian { if (n==1) printf("Chuyen 1 đĩa tu %c sang %c\n",Temp.A,Temp.B); else { Move(n-1, A,C,B); //chuyển n-1 đĩa từ cọc nguồn sang cọc trung gian 25
Move(1,A,B,C); //chuyển 1 đĩa từ cọc nguồn sang cọc đích Move(n-1,C,B,A); //chuyển n-1 đĩa từ cọc trung gian sang cọc đích } } Quá trình thực hiện chương trình con được minh hoạ với ba đĩa (n=3) như sau: 26
Move(1,A,B,C) Move(2,A,C,B) Move(1,A,C,B) Move(1,B,C,A) Move(3,A,B,C) Move(1,A,B,C) Move(1,C,A,B) Move(2,C,B,A) Move(1,C,B,A) Move(1,A,B,C) Mức 1 mức 2 mức 3 Ðể khử đệ qui ta phải nắm nguyên tắc sau dây: Mỗi khi chương trình con đệ qui được gọi, ứng với việc di từ mức i vào mức i+1, ta phải lưu trữ các biến cục bộ của chương trình con ở bước i vào ngăn xếp. Ta cũng phải lưu "địa chỉ mã lệnh" chưa được thi hành của chương trình con ở mức i. Tuy nhiên khi lập trình bằng ngôn ngữ cấp cao thì dây không phải là địa chỉ ô nhớ chứa mã lệnh của máy mà ta sẽ tổ chức sao cho khi mức i+1 hoàn thành thì lệnh tiếp theo sẽ được thực hiện là lệnh đầu tiên chưa được thi hành trong mức i. Tập hợp các biến cục bộ của mỗi lần gọi chương trình con xem như là một mẩu tin hoạt dộng (activation record). Mỗi lần thực hiện chương trình con tại mức i thì phải xoá mẩu tin lưu các biến cục bộ ở mức này trong ngăn xếp. Như vậy nếu ta tổ chức ngăn xếp hợp lí thì các giá trị trong ngăn xếp chẳng những lưu trữ được các biến cục bộ cho mỗi lần gọi đệ qui, mà còn "điều khiển được thứ tự trở về" của các chương trình con. Ý tuởng này thể hiện trong cài đặt khử đệ qui cho bài toán tháp Hà Nội là: mẩu tin lưu trữ các biến cục bộ của chương trình con thực hiện sau thì được đưa vào ngăn xếp trước để nó được lấy ra dùng sau. //Kiểu cấu trúc lưu trữ biến cục bộ typedef struct{ int N; int A, B, C; } ElementType; // Chương trình con MOVE không đệ qui void Move(ElementType X) { ElementType Temp, Temp1; Stack S; MakeNull_Stack(&S); Push(X,&S); do { Temp=Top(S); //Lay phan tu dau Pop(&S); //Xoa phan tu dau if (Temp.N==1) printf("Chuyen 1 đĩa tu %c sang %c\n",Temp.A,Temp.B); else { // Lưu cho loi goi Move(n-1,C,B,A) Temp1.N=Temp.N-1; Temp1.A=Temp.C; Temp1.B=Temp.B; Temp1.C=Temp.A; Push(Temp1,&S); //Lưu cho loi goi Move(1,A,B,C) 27
Temp1.N=1; Temp1.A=Temp.A; Temp1.B=Temp.B; Temp1.C=Temp.C; Push(Temp1,&S); //Lưu cho loi goi Move(n-1,A,C,B) Temp1.N=Temp.N-1; Temp1.A=Temp.A; Temp1.B=Temp.C; Temp1.C=Temp.B; Push(Temp1,&S); } } while (!Empty_Stack(S)); } Minh họa cho lời gọi Move(x) với 3 đĩa, tức là x.N=3. Ngăn xếp khởi đầu: 3,A,B,C Ngăn xếp sau lần lặp thứ nhất: 2,A,C,B 1,A,B,C 2,C,B,A Ngăn xếp sau lần lặp thứ hai 1,A,B,C 1,A,C,B 1,B,C,A 1,A,B,C 2,C,B,A Các lần lặp 3,4,5,6 thì chương trình con xử lý trường hợp chuyển 1 đĩa (ứng với trường hợp không gọi đệ qui), vì vậy không có mẩu tin nào được thêm vào ngăn xếp. Mỗi lần xử lý, phần tử đầu ngăn xếp bị xoá. Ta sẽ có ngăn xếp như sau. 2,C,B,A Tiếp tục lặp bước 7 ta có ngăn xếp như sau: 1,C,A,B 1,C,B,A 1,A,B,C Các lần lặp tiếp tục chỉ xử lý việc chuyển 1 đĩa (ứng với trường hợp không gọi đệ qui). Chương trình con in ra các phép chuyển và dẫn đến ngăn xếp rỗng. 2.3. Hàng đợi (queue) 2.3.1. Khái niệm Hàng đợi, hay ngắn gọn là hàng (queue) cũng là một danh sách dặc biệt mà phép thêm vào chỉ thực hiện tại một đầu của danh sách, gọi là cuối hàng (REAR), còn phép loại bỏ thì thực hiện ở đầu kia của danh sách, gọi là đầu hàng (FRONT). Xếp hàng mua vé xem phim là một hình ảnh trực quan của khái niệm trên, người mới đến thêm vào cuối hàng còn người ở đầu hàng mua vé và ra khỏi hàng, vì vậy hàng còn được gọi là cấu trúc FIFO (first in - first out) hay "vào trước - ra trước". Các phép toán co bản trên hàng - MAKENULL_QUEUE(Q) khởi tạo một hàng rỗng. - FRONT(Q) hàm trả về phần tử đầu tiên của hàng Q. - ENQUEUE(x,Q) thêm phần tử x vào cuối hàng Q. - DEQUEUE(Q) xoá phần tử tại đầu của hàng Q. - EMPTY_QUEUE(Q) hàm kiểm tra hàng rỗng. 28
- FULL_QUEUE(Q) kiểm tra hàng đầy. 2.3.2. Cài đặt hàng đợi bởi mảng, DSLK Như đã trình bày trong phần ngăn xếp, ta hoàn toàn có thể dùng danh sách để biểu diễn cho một hàng và dùng các phép toán đã được cài đặt của danh sách để cài đặt các phép toán trên hàng. Tuy nhiên làm như vậy có khi sẽ không hiệu quả, chẳng hạn dùng danh sách cài đặt bằng mảng ta thấy lời gọi INSERT_LIST(x,ENDLIST(Q),Q) tốn một hằng thời gian trong khi lời gọi DELETE_LIST(FIRST(Q),Q) để xoá phần tử đầu hàng (phần tử ở vị trí 0 của mảng) ta phải tốn thời gian tỉ lệ với số các phần tử trong hàng để thực hiện việc dời toàn bộ hàng lên một vị trí. Ðể cài đặt hiệu quả hơn ta phải có một suy nghi khác dựa trên tính chất dặc biệt của phép thêm và loại bỏ một phần tử trong hàng. a. Cài đặt hàng bằng mảng Ta dùng một mảng để chứa các phần tử của hàng, khởi đầu phần tử đầu tiên của hàng được đưa vào vị trí thứ 1 của mảng, phần tử thứ 2 vào vị trí thứ 2 của mảng Giả sử hàng có n phần tử, ta có front=0 và rear=n-1. Khi xoá một phần tử front tăng lên 1, khi thêm một phần tử rear tăng lên 1. Như vậy hàng có khưynh hướng di xuống, đến một lúc nào đó ta không thể thêm vào hàng được nữa (rear=maxlength-1) dù mảng còn nhiều chỗ trống (các vị trí trước front) trường hợp này ta gọi là hàng bị tràn (xem hình sau).Trong trường hợp toàn bộ mảng đã chứa các phần tử của hàng ta gọi là hàng bị đầy. Cách khắc phục hàng bị tràn - Dời toàn bộ hàng lên front -1 vị trí, cách này gọi là di chưyển tịnh tiến. Trong trường hợp này ta luôn có front<=rear. - Xem mảng như là một vòng tròn nghĩa là khi hàng bị tràn nhưng chưa đầy ta thêm phần tử mới vào vị trí 0 của mảng, thêm một phần tử mới nữa thì thêm vào vị trí 1 (nếu có thể) Rõ ràng cách làm này front có thể lớn hơn rear. Cách khắc phục này gọi là dùng mảng xoay vòng (xem hình II.12). 0 front 0 1 1 2 2 front 3 3 4 rear 4 5 5 6 6 rear 7 7 Hàng tràn Hàng sau khi dịch chuyển tịnh tiến 29
Hình vẽ minh họa việc di chưyển tịnh tiến các phần tử khi hàng bị tràn Cài đặt hàng bằng mảng theo phương pháp tịnh tiến Ðể quản lí một hàng ta chỉ cần quản lí đầu hàng và cuối hàng. Có thể dùng 2 biến số nguyên chỉ vị trí đầu hàng và cuối hàng Các khai báo cần thiết #define MaxLength //chiều dài tối da của mảng typedef ElementType; //Kiểu dữ liệu của các phần tử trong hàng typedef struct { ElementType Elements[MaxLength]; //Lưu trữ nội dung các phần tử int Front, Rear; //chỉ số đầu và duôi hàng } Queue; Tạo hàng rỗng Lúc này front và rear không trỏ đến vị trí hợp lệ nào trong mảng vậy ta có thể cho front và rear dều bằng -1. void MakeNull_Queue(Queue *Q) { Q->Front=-1; Q->Rear=-1; } Kiểm tra hàng rỗng Trong quá trình làm việc ta có thể thêm và xóa các phần tử trong hàng. Rõ ràng, nếu ta có đưa vào hàng một phần tử nào đó thì front>-1. Khi xoá một phần tử ta tăng front lên 1. Hàng rỗng nếu front>rear. Hơn nữa khi mới khởi tạo hàng, tức là front = -1, thì hàng cũng rỗng. Tuy nhiên để phép kiểm tra hàng rỗng đơn giản, ta sẽ làm một phép kiểm tra khi xoá một phần tử của hàng, nếu phần tử bị xoá là phần tử duy nhất trong hàng thì ta đặt lại front=- 1. Vậy hàng rỗng khi và chỉ khi front =-1. int Empty_Queue(Queue Q) { return Q.Front==-1; } Kiểm tra đầy Hàng đầy nếu số phần tử hiện có trong hàng bằng số phần tử trong mảng. int Full_Queue(Queue Q){ return (Q.Rear-Q.Front+1)==MaxLength; } Xóa phần tử ra khỏi hàng Khi xóa một phần tử đầu hàng ta chỉ cần cho front tăng lên 1. Nếu front > rear thì hàng thực chất là hàng đã rỗng, nên ta sẽ khởi tạo lại hàng rỗng (tức là đặt lại giá trị front = rear =- 1). void DeQueue(Queue *Q) { if (!Empty_Queue(*Q)) { Q->Front=Q->Front+1; if (Q->Front>Q->Rear) MakeNull_Queue(Q); //Dat lai hàng rong } else printf("Loi: Hàng rong!"); } 30
Thêm phần tử vào hàng Một phần tử khi được thêm vào hàng sẽ nằm kế vị trí Rear cũ của hàng. Khi thêm một phần tử vào hàng ta phải xét các trường hợp sau: Nếu hàng đầy thì báo lỗi không thêm được nữa. Nếu hàng chưa đầy ta phải xét xem hàng có bị tràn không. Nếu hàng bị tràn ta di chưyển tịnh tiến rồi mới nối thêm phần tử mới vào duôi hàng ( rear tăng lên 1). Ðặc biệt nếu thêm vào hàng rỗng thì ta cho front=0 để front trỏ dúng phần tử đầu tiên của hàng. void EnQueue(ElementType X,Queue *Q) { if (!Full_Queue(*Q)) { if (Empty_Queue(*Q)) Q->Front=0; if (Q->Rear==MaxLength-1) { //Di chưyen tinh tien ra trước Front -1 vi tri for(int i=Q->Front;i Rear;i++) Q->Elements[i-Q->Front]=Q->Elements[i]; //Xac dinh vi tri Rear moi Q->Rear=MaxLength - Q->Front-1; Q->Front=0; } //Tăng Rear de lưu noi dung moi Q->Rear=Q->Rear+1; Q->Element[Q->Rear]=X; } else printf("Loi: Hàng day!"); } b. Cài đặt hàng với mảng xoay vòng Maxlength-1 rear 0 1 front Hình II.12 Cài đặt hàng bằng mảng xoay vòng Với phương pháp này, khi hàng bị tràn, tức là rear=maxlength-1, nhưng chưa đầy, tức là front>0, thì ta thêm phần tử mới vào vị trí 0 của mảng và cứ tiếp tục như vậy vì từ 0 đến front-1 là các vị trí trống. Vì ta sử dụng mảng một cách xoay vòng như vậy nên phương pháp này gọi là phương pháp dùng mảng xoay vòng. Các phần khai báo cấu trúc dữ liệu, tạo hàng rỗng, kiểm tra hàng rỗng giống như phương pháp di chưyển tịnh tiến. Khai báo cần thiết #define MaxLength //chiều dài tối đa của mảng typedef ElementType; 31
//Kiểu dữ liệu của các phần tử trong hàng typedef struct { ElementType Elements[MaxLength]; //Lưu trữ nội dung các phần tử int Front, Rear; //chỉ số đầu và đuôi hàng } Queue; Tạo hàng rỗng Lúc này front và rear không trỏ đến vị trí hợp lệ nào trong mảng vậy ta có thể cho front và rear dều bằng -1. void MakeNull_Queue(Queue *Q){ Q->Front=-1; Q->Rear=-1; } Kiểm tra hàng rỗng int Empty_Queue(Queue Q){ return Q.Front==-1; } Kiểm tra hàng đầy Hàng đầy nếu toàn bộ các ô trong mảng đang chứa các phần tử của hàng. Với phương pháp này thì front có thể lớn hơn rear. Ta có hai trường hợp hàng đầy như sau: - Trường hợp Q.Rear=Maxlength-1 và Q.Front =0 - Trường hợp Q.Front =Q.Rear+1. Ðể đơn giản ta có thể gom cả hai trường hợp trên lại theo một công thức như sau: (Q.rear-Q.front +1) mod Maxlength =0 int Full_Queue(Queue Q) { return (Q.Rear-Q.Front+1) % MaxLength==0; } Xóa một phần tử ra khỏi hàng Khi xóa một phần tử ra khỏi hàng, ta xóa tại vị trí đầu hàng và có thể xảy ra các trường hợp sau: Nếu hàng rỗng thì báo lỗi không xóa; Ngược lại, nếu hàng chỉ còn 1 phần tử thì khởi tạo lại hàng rỗng; Ngược lại, thay dổi giá trị của Q.Front. (Nếu Q.front != Maxlength-1 thì đặt lại Q.front = q.Front +1; Ngược lại Q.front=0) void DeQueue(Queue *Q){ if (!Empty_Queue(*Q)){ //Nếu hàng chỉ chứa một phần tử thì khởi tạo hàng lại if (Q->Front==Q->Rear) MakeNull_Queue(Q); else Q->Front=(Q->Front+1) % MaxLength; //tăng Front lên 1 đơn vị } else printf("Loi: Hàng rong!"); } Thêm một phần tử vào hàng Khi thêm một phần tử vào hàng thì có thể xảy ra các trường hợp sau: - Trường hợp hàng đầy thì báo lỗi và không thêm; - Ngược lại, thay dổi giá trị của Q.rear (Nếu Q.rear =maxlength-1 thì đặt lại Q.rear=0; Ngược lại Q.rear =Q.rear+1) và đặt nội dung vào vị trí Q.rear mới. void EnQueue(ElementType X,Queue *Q) 32
{ if (!Full_Queue(*Q)) { if (Empty_Queue(*Q)) Q->Front=0; Q->Rear=(Q->Rear+1) % MaxLength; Q->Elements[Q->Rear]=X; } else printf("Loi: Hàng day!"); } Câu hỏi ôn tập: Cài đặt hàng bằng mảng vòng có ưu điểm gì so với bằng mảng theo phương pháp tịnh tiến? Trong ngôn ngữ lập trình có kiểu dữ liệu mảng vòng không? c. Cài đặt hàng bằng danh sách liên kết (cài đặt bằng con trỏ) Cách tự nhiên nhất là dùng hai con trỏ front và rear để trỏ tới phần tử đầu và cuối hàng. Hàng được cài đặt như một danh sách liên kết có Header là một ô thực sự, xem hình II.13. Khai báo cần thiết typedef ElementType; //kiểu phần tử của hàng typedef struct Node { ElementType Element; Node* Next; //Con trỏ chỉ ô kế tiếp }; typedef Node* Position; typedef struct { Position Front, Rear; //là hai trường chỉ đến đầu và cuối của hàng } Queue; Khởi tạo hàng rỗng Khi hàng rỗng Front va Rear cùng trỏ về 1 vị trí đó chính là ô header front * rear Hình II.13: Khởi tạo hàng rỗng void MakeNullQueue(Queue *Q) { Position Header; Header=(Node*)malloc(sizeof(Node)); //Cấp phát Header Header->Next=NULL; Q->Front=Header; Q->Rear=Header; } Kiểm tra hàng rỗng Hàng rỗng nếu Front và Rear chỉ cùng một vị trí là ô Header. int EmptyQueue(Queue Q) { return (Q.Front==Q.Rear); } 33
front X * rear front X Y * rear front H Y * ình rear II.14 Hàng sau khi thêm và xóa phần tử Thêm một phần tử vào hàng Thêm một phần tử vào hàng ta thêm vào sau Rear (Rear->next ), rồi cho Rear trỏ đến phần tử mới này, xem hình II.14. Trường next của ô mới này trỏ tới NULL. void EnQueue(ElementType X, Queue *Q){ Q->Rear->Next=(Node*)malloc(sizeof(Node)); Q->Rear=Q->Rear->Next; //Dat gia tri vao cho Rear Q->Rear->Element=X; Q->Rear->Next=NULL; } Xóa một phần tử ra khỏi hàng Thực chất là xoá phần tử nằm ở vị trí đầu hàng do đó ta chỉ cần cho front trỏ tới vị trí kế tiếp của nó trong hàng. void DeQueue(Queue *Q){ if (!Empty_Queue(Q)) { Position T; T=Q->Front; Q->Front=Q->Front->Next; free(T); } else printf(”Loi : Hàng rong”); } 2.3.3. Ứng dụng Hàng đợi là một cấu trúc dữ liệu được dùng khá phổ biến trong thiết kế giải thuật. Bất kỳ nơi nào ta cần quản lí dữ liệu, quá trình theo kiểu vào trước-ra trước dều có thể ứng dụng hàng dợi. Ví dụ rất dễ thấy là quản lí in trên mạng, nhiều máy tính yêu cầu in dồng thời và ngay cả một máy tính cũng yêu cầu in nhiều lần. Nói chung có nhiều yêu cầu in dữ liệu, nhưng máy in không thể đáp ứng tức thời tất cả các yêu cầu đó nên chương trình quản lí in sẽ thiết lập một hàng đợi để quản lí các yêu cầu. Yêu cầu nào mà chương trình quản lí in nhận trước nó sẽ giải quyết trước. 34
Một ví dụ khác là duyệt cây theo mức được trình bày chi tiết trong chương sau. Các giải thuật duyệt theo chiều rộng một đồ thị có hướng hoặc vô hướng cũng dùng hàng đợi để quản lí các nút đồ thị. Các giải thuật đổi biểu thức trung tố thành hậu tố, tiền tố. 2.4. Bài tập áp dụng 1. Viết khai báo và các chương trình con cài đặt danh sách bằng mảng. Dùng các chương trình con này để viết: a. Chương trình con nhận một đãy các số nguyên nhập từ bàn phím, lưu trữ nó trong danh sách theo thứ tự nhập vào. b. Chương trình con nhận một đãy các số nguyên nhập từ bàn phím, lưu trữ nó trong danh sách theo thứ tự ngược với thứ tự nhập vào. c. Viết chương trình con in ra màn hình các phần tử trong danh sách theo thứ tự của nó trong danh sách. 2. Tương tự như bài tập 1. nhưng cài đặt bằng con trỏ. 3. Viết chương trình con sắp xếp một danh sách chứa các số nguyên, trong các trường hợp: a. Danh sách được cài đặt bằng mảng (danh sách đặc). b. Danh sách được cài đặt bằng con trỏ (danh sách liên kết). 4. Viết chương trình con thêm một phần tử trong danh sách đã có thứ tự sao cho ta vẫn có một danh sách có thứ tự bằng cách vận dụng các phép toán co bản trên danh sách 5. Viết chương trình con tìm kiếm và xóa một phần tử trong danh sách có thứ tự. 6. Viết chương trình con nhận vào từ bàn phím một đãy số nguyên, lưu trữ nó trong một danh sách có thứ tự không giảm, theo cách sau: với mỗi phần tử được nhập vào chương trình con phải tìm vị trí thích hợp để xen nó vào danh sách cho dúng thứ tự. Viết chương trình con trên cho trường hợp danh sách được cài đặt bằng mảng và cài đặt bằng con trỏ và trong trường hợp tổng quát (dùng các phép toán cơ bản trên danh sách) 7. Viết chương trình con loại bỏ các phần tử trùng nhau (giữ lại duy nhất 1 phần tử) trong một danh sách có thứ tự không giảm, trong hai trường hợp: cài đặt bằng mảng và cài đặt bằng con trỏ. 8. Viết chương trình con nhận vào từ bàn phím một đãy số nguyên, lưu trữ nó trong một danh sách có thứ tự tang không có hai phần tử trùng nhau, theo cách sau: với mỗi phần tử được nhập vào chương trình con phải tìm kiếm xem nó có trong danh sách chưa, nếu chưa có thì xen nó vào danh sách cho đúng thứ tự. Viết chương trình con trên cho trường hợp danh sách được cài đặt bằng mảng và cài đặt bằng con trỏ. 9. Viết chương trình con trộn hai danh sách liên kết chứa các số nguyên theo thứ tự tăng để được một danh sách cũng có thứ tự tăng. 10. Viết chương trình con xoá khỏi danh sách lưu trữ các số nguyên các phần tử là số nguyên lẻ, cũng trong hai trường hợp: cài đặt bằng mảng và bằng con trỏ. 11. Viết chương trình con tách một danh sách chứa các số nguyên thành hai danh sách: một danh sách gồm các số chẵn còn cái kia chứa các số lẻ. 35
CHƢƠNG 3. CÂY (TREE). 1. Điṇ h nghiã 1.1. Đồ thị (Graph) Trướ c khi xem xét khái niêṃ thế nào là môṭ cây (tree) chúng ta nhắc lại khái niệm đồ thị (graph) đa ̃ đươc̣ hoc̣ trong hoc̣ phần Toán rờ i rac̣ : Đồ thị G bao gồm hai thành phần chính: tâp̣ các đỉnh V (Vertices) và tập các cung E (hay caṇ h Edges ), thườ ng viết ở daṇ g G = . Trong đó tâp̣ các đỉnh V là tâp̣ các đối tươṇ g cùng loaị , đôc̣ lâp̣ , chẳng haṇ như các điểm trên măṭ phẳng toạ đô ̣, hoăc̣ tâp̣ các thành phố , tâp̣ các traṇ g thái của môṭ trò chơi , môṭ đối tươṇ g thưc̣ như con ngườ i, tất cả đều có thể là các đỉnh của môṭ đồ thi ̣nào đó . Tâp̣ các cung E là tâp̣ các mối quan hê ̣hai ngôi giữa các đỉnh của đồ thi ̣ , đối vớ i đỉnh là các điểm thì đây có thể là quan hệ về khoảng cách, tâp̣ đỉnh là các thành phố thì đây có thể là quan hê ̣về đườ ng đi (có tồn taị đườ ng đi trưc̣ tiếp nào giữa các thành phố hay không ), hoăc̣ nếu đỉnh là các traṇ g thái của một trò chơi thì cạnh có thể là cách biến đổi (transform) để đi từ trạng thái này sang một trạng thái khác , quá trình chơi chính là biến đổi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích (có nghĩa là đi tìm một đường đi). Ví dụ về đồ thị: Hình 5.1. Đồ thị có 6 đỉnh và 7 cạnh, tham khảo từ wikipedia. Có rất nhiều vấn đề liên quan tới đồ thị , ở phần này chúng ta chì nhắc lại một số khái niêṃ liên quan. Môṭ đồ thi ̣đươc̣ goị là đơn đồ thi ̣ (simple graph) nếu như không có đườ ng đi giữa hai đỉnh bất kỳ của đồ thi ̣bi ̣lăp̣ laị , ngươc̣ laị nếu như có đườ ng đi nào đó bi ̣lăp̣ laị hoăc̣ tồn taị khuyên (self-loop), môṭ daṇ g cung đi từ 1 đỉnh đến chính đỉnh đó , thì đồ thị được gọi là đa đồ thị (multigraph). Giữa hai đỉ nh u, v trong đồ thi ̣có đườ ng đi trưc̣ tiếp thì u , v đươc̣ goị là liền kề với nhau, cạnh (u, v) đươc̣ goị là liên thuôc̣ vớ i hai đỉnh u, v. Đồ thì được gọi là đồ thị có hướng (directed graph) nếu như các đườ ng đi giữa hai đỉnh bất kỳ trong đồ thi ̣phân biêṭ hướ ng vớ i nhau, khi đó các quan hê ̣giữa các đỉnh đươc̣ goị chính xác là các cung , ngươc̣ laị đồ nếu không phân biêṭ hướ ng giữa các đỉnh trong các caṇ h nối giữa hai đỉnh thì đồ thi ̣đươc̣ goị là đồ thị vô hướng (undirected graph), khi đó ta nói tâp̣ E là tâp̣ các caṇ h của đồ thi.̣ Các cung hay các cạnh của đồ thj có thể được gán các giá trị gọi là các trọng số (weight), môṭ đồ thi ̣có thể là đồ thi ̣có troṇ g số hoăc̣ không có troṇ g số . Ví dụ như đối với đồ thị mà các đỉnh là các thành phố ta có thể gán trọng số của các cung là độ dài đường đi nối giữa các thành phố hoăc̣ chi phí đi trên con đườ ng đó Môṭ đườ ng đi (path) trong đồ thi ̣là môṭ daỹ các đỉnh v 1, v2, , vk, trong đó các đỉnh v i, vi+1 là liền kề với nhau . Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối được gọi là chu trình (cycle). Giữa hai đỉnh của đồ thi ̣có thể có các đườ ng đi trưc̣ tiếp nếu chúng liền kề vớ i nhau , hoăc̣ nếu có môṭ đườ ng đi giữa chúng (gián tiếp ) thì hai đỉnh đó được gọi là liên thông (connected) vớ i nhau. Môṭ đồ thi ̣đươc̣ goị là liên thông nếu như hai đỉnh bất kỳ của nó đều 36
liên thông vớ i nhau. Nếu đồ thi ̣không liên thông thì luôn có thể chia nó thành các thành phần liên thông nhỏ hơn. 1.2. Cây (tree) Có nhiều cách định nghĩa cây khác nhau nhưng ở đây chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm cây theo lý thuyết đồ thị (graph theory). Cây là môṭ đồ thi ̣vô hướ ng , không có troṇ g số , liên thông và không có chu trình . Ví dụ hình vẽ sau là một cây: Hình 5.2. Cây, tham khảo từ wikipedia Cấu trúc cây là môṭ cấu trúc đươc̣ sử duṇ g rất rôṇ g rã i trong cuôc̣ sống hàng ngày và trên máy tính, chẳng haṇ cấu trúc tổ chứ c của môṭ công ty là môṭ cây phân cấp , cấu trúc của môṭ web site cũng tương tư:̣ Hình 5.3. Cấu trúc web site wikipedia, tham khảo từ wikipedia. Cấu trúc tổ chứ c thư muc̣ của hê ̣điều hành là môṭ cây Trong cây luôn có môṭ nút đăc̣ biêṭ goị là gốc của cây (root), các đỉnh trong cây được gọi là các nút (nodes). Từ gốc của cây đi xuống tất cả các đỉnh liền kề vớ i nó , các đỉnh này gọi là con của gốc , đến lượt các con của gốc lại có các nút con (child nodes) khác, như vâỵ quan hê ̣giữa hai nút liền kề nhau trong cây là quan hê ̣cha con , môṭ nút là cha (parent), môṭ nút là con (child), nút cha của cha của môṭ nút đươc̣ goị là tổ tiên (ancestor) của nút đó. Các nút trong cây được phân biệt làm nhiều loại : các nút có ít nhất 1 nút con được gọi là các nút trong (internal nodes hay inner nodes), các nút không có nút con được gọi là các nút lá (leaf nodes ). Các nút lá không có các nút con nhưng để thuận tiện trong quá trình cài đặt ngườ i ta vâñ coi các nút lá có hai nút con giả , rỗng (NULL) đóng vai trò lính canh , gọi là các nút ngoài (external nodes). Các nút trong cây được phân chia thành các tầng (level), nút gốc thuộc tầng 0 (level 0), sau đó các tầng tiếp theo se ̃ đươc̣ tăng lên 1 đơn vi ̣so vớ i tầng phía trên nó cho đến tầng cuối cùng. Độ cao (height) của cây đươc̣ tính bằng số tầng của cây , đô ̣cao của cây se ̃ quyết điṇ h đô ̣phứ c tap̣ (số thao tác) khi thưc̣ hiêṇ các thao tác trên cây. Mỗi nút trong của cây tổng quát có thể có nhiều nút con , tuy nhiên các nghiên cứ u của ngành khoa h ọc máy tính đã cho thấy cấu trúc cây quan trọng nhất cần nghiên cứu chính là các cây nhị phân (binary tree), là các cây là mỗi nút chỉ có nhiều nhất hai nút con . Môṭ cây tổng quát luôn có thể phân chia thành các cây nhi ̣phân. 37
Các nút con của một nút trong cây nhị phân được gọi là nút con trái (left child) và nút con phải (right child). Trong chương này chúng ta se ̃ nghiên cứ u môṭ số loaị cây nhi ̣phân cơ bản và đươc̣ ứ ng dụng rộng rãi nhất , đó là cây tìm kiếm nhi ̣phân BST (Binary Search Tree), cây biểu thứ c (expression tree hay syntax tree) và cây cân bằng (balanced tree) AVL. Hoặc một cách định nghĩa khác (đọc thêm) Cây là một tập hợp các phần tử gọi là nút (nodes) trong đó có một nút được phân biệt gọi là nút gốc (root). Trên tập hợp các nút này có một quan hệ, gọi là mối quan hệ cha - con (parenthood), để xác dịnh hệ thống cấu trúc trên các nút. Mỗi nút, trừ nút gốc, có duy nhất một nút cha. Một nút có thể có nhiều nút con hoặc không có nút con nào. Mỗi nút biểu diễn một phần tử trong tập hợp dang xét và nó có thể có một kiểu nào đó bất kỳ, thường ta biểu diễn nút bằng một kí tự, một chưỗi hoặc một số ghi trong vòng tròn. Mối quan hệ cha con được biểu diễn theo qui ước nút cha ở dòng trên nút con ở dòng dưới và được nối bởi một doạn thẳng. Một cách hình thức ta có thể dịnh nghĩa cây một cách đệ qui như sau: Ðịnh nghĩa - Một nút đơn dộc là một cây. Nút này cũng chính là nút gốc của cây. - Giả sử ta có n là một nút đơn độc và k cây T1, , Tk với các nút gốc tương ứng là n1, , nk thì có thể xây dựng một cây mới bằng cách cho nút n là cha của các nút n1, , nk. Cây mới này có nút gốc là nút n và các cây T1, , Tk được gọi là các cây con. Tập rỗng cũng được coi là một cây và gọi là cây rỗng kí hiệu . Ví dụ: Xét mục lục của một quyển sách. Mục lục này có thể xem là một cây. Xét cấu trúc thư mục trong tin học, cấu trúc này Sách cũng được xem như một cây. C3 C1 C2 3.2 1.1 1.2 2.1 2.2 2.1.1 2.1.2 Hình III.1 - Cây mục lục một quyển sách Nếu n1, , nk là một chưỗi các nút trên cây sao cho ni là nút cha của nút ni+1, với i=1 k- 1, thì chưỗi này gọi là một dường di trên cây (hay ngắn gọn là dường di ) từ n1 đến nk. Ðộ dài dường di được dịnh nghĩa bằng số nút trên dường di trừ 1. Như vậy dộ dài dường di từ một nút đến chính nó bằng không. Nếu có dường di từ nút a đến nút b thì ta nói a là tiền bối (ancestor) của b, còn b gọi là hậu duệ (descendant) của nút a. Rõ ràng một nút vừa là tiền bối vừa là hậu duệ của chính nó. Tiền bối hoặc hậu duệ của một nút khác với chính nó gọi là tiền bối hoặc hậu duệ thực sự. Trên cây nút gốc không có tiền bối thực sự. Một nút không có hậu duệ thực sự gọi là nút lá (leaf). Nút không phải là lá ta còn gọi là nút trung gian (interior). Cây con của một cây là một nút cùng với tất cả các hậu duệ của nó. Chiều cao của một nút là dộ dài dường di lớn nhất từ nút đó tới lá. Chiều cao của cây là chiều cao của nút gốc. Ðộ sâu của một nút là dộ dài dường di từ nút gốc đến nút đó. Các nút có cùng một dộ sâu i ta gọi là các nút có cùng một mức i. Theo dịnh nghĩa này thì nút gốc ở mức 0, các nút con của nút gốc ở mức 1. Ví dụ: đối với cây trong hình III.1 ta có nút C2 có chiều cao 2. Cây có chiều cao 3. nút 38
C3 có chiều cao 0. Nút 2.1 có dộ sâu 2. Các nút C1,C2,C3 cùng mức 1. Thứ tự các nút trong cây Nếu ta phân biệt thứ tự các nút con của cùng một nút thì cây gọi là cây có thứ tự, thứ tự qui ước từ trái sang phải. Như vậy, nếu kể thứ tự thì hai cây sau là hai cây khác nhau: A A C B B C Hình III.2: Hai cây có thứ tự khác nhau Trong trường hợp ta không phân biệt rõ ràng thứ tự các nút thì ta gọi là cây không có thứ tự. Các nút con cùng một nút cha gọi là các nút anh em ruột (siblings). Quan hệ "trái sang phải" của các anh em ruột có thể mở rộng cho hai nút bất kỳ theo qui tắc: nếu a, b là hai anh em ruột và a bên trái b thì các hậu duệ của a là "bên trái" mọi hậu duệ của b. 2. Cây tim̀ kiếm nhi p̣ hân (Binary Search Tree - BST) 2.1. Điṇ h nghiã Mỗi nút trong cây bất kỳ đều chứ a các trườ ng thông tin , trên môṭ cây tìm kiếm nhi ̣phân mỗi nút là môṭ struct (bản ghi – record) gồm các trườ ng: trườ ng dữ liêụ data, trườ ng khóa key để so sánh với các nút khác, các liên kết tới các nút con của nút left và right. Để tâp̣ trung vào các vấn đề thuâṭ toán ta bỏ qua trườ ng dữ liêụ , chỉ xem như mỗi nút trên cây tìm kiếm nhị phân gồm có một trường khóa key và hai trường liên kết left và right. Vớ i các giả thiết trên ta điṇ h nghiã cây tìm kiếm nhi ̣phân như sau: Cây tìm kiếm nhi ̣phân là môṭ cây nhi ̣phân (binary tree) mà mỗi nút x trong cây thỏa mãn bất đẳng thức kép sau: key(_ left child ()) x key () x key ( right _ child ()) x Trong đó left_child(x), right_child(x) là các nút con trái và phải của nút x , key() là hàm trả về giá trị khóa ở nút tương ứng. Ví dụ: Hình 5.4. Cây tìm kiếm nhi ̣phân BST, tham khảo từ wikipedia. Nhận xét: - Trên cây BST không có hai nút cùng khoá. - Cây con của một cây BST là cây BST. Ưu điểm chính của cây tìm kiếm nhi ̣phân là : nó cung cấp thuật toán sắp xếp và tìm kiếm dưạ trên kiểu duyêṭ thứ tư ̣ giữa (in-order) môṭ cách rất hiêụ quả, và là cấu trúc dữ liệu cơ bản cho các cấu trúc dữ liệu cao cấp hơn (trừ u tươṇ g hơn) như tâp̣ hơp̣ (set), các mảng liên kết 39
(associative array), các ánh xạ map, và các cây cân bằ ng tối ưu như AVL, cây đỏ đen. Chúng ta se ̃ xem xét taị sao cây tìm kiếm nhi ̣phân laị hiêụ quả như vâỵ . 2.2. Khở i taọ cây rôñ g Thao tác đầu tiên là khai báo cấu trúc cây và khở i taọ môṭ cây rỗng để bắt đầu thưc̣ hiêṇ các thao tác khác. Ở đây ta giả sử cây tìm kiếm nhị phân chỉ chứa các khóa là các số nguyên dương . Khai báo cây tìm kiếm nhi ̣phân trong ngôn ngữ C như sau: // khai bao cau truc cay tim kiem nhi phan typedef struct tree { int key; struct tree *left,*right; }BSTree; Để khở i taọ môṭ cây rỗng ta khai báo gốc của cây và gán cho gốc đó bằng NULL : // cay BSTree root; *root = NULL; 2.3. Chèn thêm một nút mới vào cây Để chèn môṭ nút mớ i vào cây ta xuất phát từ gốc c ủa cây, ta goị đó là nút đang xét . Nếu như nút đang xét có khóa bằng vớ i khóa cần chèn vào cây thì xảy ra hiêṇ tươṇ g trùng khóa , thuâṭ toán kết thúc vớ i thông báo trùng khóa . Nếu như nút đang xét là môṭ nút ngoài (external nodes) thì ta tạo một nút mới và gán các trường thông tin tương ứng cho nút đó , gán các con của nút đó bằng NULL. // them mot nut moi vao cay, gia tri khoa cua nut moi luu trong bien toan cuc newkey void insert(BSTree root) { if(*root==NULL) { *root=calloc(1,sizeof(BSTree)); (*root)->key = newkey; (*root)->left=NULL; (*root)->right=NULL; }else{ if((*root)->key>newkey) insert(&((*root)->left)); else if((*root)->key right)); else printf("\nError: Duplicate key"); } } Thuâṭ toán trên sử duṇ g bô ̣nhớ  (log n) trong trườ ng hơp̣ trung bình và  (n) trong trườ ng hơp̣ tồi nhất . Độ phức tạp thuật toán bằng với độ cao của cây , tứ c là O (log n) trong trườ ng hơp̣ trung bình đối vớ i hầu hết các cây, nhưng se ̃ là (n) trong trườ ng hơp̣ xấu nhất. Cũng nên chú ý là các nút mới luôn được chèn vào các nút ngoài của cây tìm kiếm nhị phân, gốc của cây không thay đổi trong quá trình chèn thêm nút vào cây . 40
2.4. Xóa bỏ khỏi cây một nút Khi xóa bỏ môṭ nút X khỏi cây (dưạ trên giá trị khóa), chúng ta chia ra một số trường hơp̣ sau: X là môṭ nút lá : khi đó viêc̣ xóa nút không làm ảnh hưở ng tớ i các nút khác , ta chỉ viêc̣ xóa bỏ nút đó khỏi cây. X chỉ có môṭ nút con (trái hoặc phải ): khi đó ta đưa nút con duy nhất của X lên thay cho nút X và xóa bỏ X. Còn nếu X là một nút trong và có hai con, ta se ̃ có hai lưạ choṇ , môṭ là tìm nút hâụ duê ̣ nhỏ nhất bên nhánh phải của X (gọi là Y), thay khóa của Y lên X và xóa bỏ Y. Cách thứ hai là tìm nút hậu duệ lớn nhất bên nhánh trái của X (gọi là Z), thay khóa của Z lên X và xóa bỏ Z . Các thao tác với Y hoặc Z được lặp lại tương tự như đối với X. Hình minh họa: Hình 5.5. Xóa nút trên cây BST, tham khảo từ wikipedia Do các nút thưc̣ sư ̣ bi ̣xóa trong trườ ng hơp̣ thứ ba se ̃ có thể rơi vào trườ ng hơp̣ 1 hoăc̣ 2 (là các nút lá hoặc các nút chỉ có 1 con), đồng thờ i nút bi ̣xóa se ̃ có khóa nhỏ hơn hai con của X nên trong cài đ ặt ta nên tránh chỉ sử dụng một phương pháp , vì có thể dẫn tới tình huống mất tính cân bằng của cây. Viêc̣ cài đăṭ thuâṭ toán xóa môṭ nút trên cây tìm kiếm nhi ̣phân không đơn giản như viêc̣ mô tả thuâṭ toán xóa ở trên . Trước hết ta sẽ xuất phát từ gốc của cây để đi tìm nút chứa khóa cần xóa trên cây . Trong quá trình này điều quan troṇ g là ta xác điṇ h rõ nút cần xóa (biến p trong đoaṇ ma ̃ chương trình bên dướ i ) là một nút lá, hay là môṭ nút chỉ có một con, hay là nút có đầy đủ cả hai con. Dù trong trường hợp nào thì chúng ta cũng cần xác định nút cha của nút p (nút q), và p là con trái hay con phải của q . Để xác điṇ h các trườ ng hơp̣ trên ta sử duṇ g môṭ biến cờ f, f bằng 0 tương ứ ng vớ i viêc̣ nút cần xóa là gốc của cây , f bằng 1 tương ứ ng với p là con phải của q, và f bằng 2 tương ứ ng vớ i p là con trái của q. Cài đặt bằng C của thao tác xóa một nút khỏi cây BST: // xoa bo mot khoa khoi cay void del(BSTree root, int key) { BSTree *p, *q, *r; int f=0; p = *root; q = NULL; while(p!=NULL&&p->key!=key) { q = p; if(p->key<key) { 41
f = 1; p = p->right; } else { f = 2; p = p->left; } } if(p!=NULL) { if(p->right==NULL) { if(f==1) { q->right=p->left; free(p); } else if(f==2) { q->left=p->left; free(p); }else { *root = p->left; free(p); } }else { q = p->right; r = NULL; while(q->left) { r = q; q = q->left; } p->key = q->key; if(r==NULL) p->right = q->right; else r->left = q->right; free(q); } } } Măc̣ dù viêc̣ xóa cây không phải luôn đòi hỏi phải duyêṭ từ gốc xuống thưc̣ hiêṇ ở môṭ nút lá nhưng tình huống này luôn có thể xảy ra (duyêṭ qua từ ng nút tớ i môṭ nút lá ), khi đó đô ̣ phứ c tap̣ của thuâṭ toán xóa cây tương đương vớ i đô ̣cao của cây (tình huống tồi nhất). 2.5. Tìm kiếm trên cây Viêc̣ tìm kiếm trên cây n hị phân tìm kiếm giống như khi ta thêm một nút mới vào cây . Dưạ trên khóa tìm kiếm key ta xuất phát từ gốc , gọi nút đang xét là X . Nếu khóa của X bằng 42
vớ i key, thì kết thúc và trả về X . Nếu X là môṭ nút lá thì kết quả trả về NULL (cũng chính là X). Nếu khóa của X nhỏ hơn key thì ta lăp̣ laị thao tác tìm kiếm vớ i nút con phải của X , ngươc̣ laị thì tiến hành tìm kiếm vớ i nút con trái của X. Độ phức tạp của thuật toán này bằng với độ phứ c tap̣ của thuâṭ toán chèn môṭ nút mới vào cây. Cài đặt của thuật toán được để lại như một bài tập dành cho các bạn độc giả. 2.6. Duyêṭ cây Duyêṭ cây (tree travel) là thao tác duyệt qua (đến thăm) tất cả các nút trên cây. Có nhiều cách để duyệt một cây , chẳng haṇ như duyêṭ theo chiều sâu (DFS), duyêṭ theo chiều rôṇ g (BFS), nhưng ở đây ta phân chia các cách duyêṭ môṭ cây BST dưạ trên thứ tư ̣ đến thăm nút gốc, nút con trái, và nút con phải của gốc. Cụ thể có ba cách duyệt một cây BST: duyêṭ thứ tư ̣ trướ c, thứ tư ̣ giữa, thứ tư ̣ sau. Để minh hoạ kết quả của các cách duyêṭ cây ta xét cây ví du ̣sau : Hình 5.6. Cây tìm kiếm nhi ̣phân, tham khảo từ wikipedia Duyêṭ thứ tư ̣ trướ c (pre-order traversal): Thăm gốc (visit root). Duyêṭ cây con trái theo thứ tư ̣ trướ c Duyêṭ cây con phải theo thứ tư ̣ trướ c. Cụ thể thuật toán được cài đặt như sau: // duyet theo thu tu truoc void pre_order(BSTree *node) { if(node!=NULL) { visit(node); // ham tham mot nut, don gian la in gia tri khoa pre_order(node->left); pre_order(node->right); } } Kết quả duyêṭ cây theo thứ tư ̣ trướ c: 8, 3, 1, 6, 4, 7, 10, 14, 13. Trong cách duyêṭ theo thứ tư ̣ trướ c, gốc của cây luôn đươc̣ thăm đầu tiên. Duyêṭ thứ tư ̣ giữa (in-order traversal): Duyêṭ cây con trái theo thứ tư ̣ giữa Thăm gốc 43
Duyêṭ cây con phải theo thứ tư ̣ giữa. Kết quả duyêṭ cây theo thứ tư ̣ trướ c: 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 13, 14. Môṭ điều dê ̃ nhâṇ thấy là các khóa của cây khi duyêṭ theo thứ tư ̣ giữa xuất hiêṇ theo thứ tư ̣ tăng dần. Duyêṭ thứ tư ̣ sau (post-order traversal): Duyêṭ cây con trái theo thứ tư ̣ sau Duyêṭ cây con phải theo thứ tư ̣ sau Thăm gốc Kết quả duyêṭ cây theo thứ tư ̣ sau: 1, 4, 7, 6, 3, 13, 14, 10, 8. Trong cách duyêṭ này, gốc đươc̣ thăm sau cùng. Nhận xét: - Khi duyệt trung tự (InOrder) cây BST ta được một dãy có thứ tự tăng. Cài đặt bằng C của hai cách duyệt sau được dành cho các bạn độc giả như môṭ bài tâp̣ . 2.7. Cài đặt cây BST Cây TKNP, trước hết, là một cây nhị phân. Do đó, ta có thể áp dụng các cách cài đặt như đã trình bày trong phần cây nhị phân. Sẽ không có sự khác biệt nào trong việc cài đặt cấu trúc dữ liệu cho cây TKNP so với cây nhị phân, nhưng tất nhiên, sẽ có sự khác biệt trong các giải thuật thao tác trên cây TKNP như tìm kiếm, thêm hoặc xoá một nút trên cây TKNP để luôn đảm bảo tính chất cuả cây TKNP. Một cách cài đặt cây TKNP thường gặp là cài đặt bằng con trỏ. Mỗi nút của cây như là một mẩu tin (record) có ba trường: một trường chứa khoá, hai trường kia là hai con trỏ trỏ đến hai nút con (nếu nút con vắng mặt ta gán con trỏ bằng NIL) Khai báo như sau typedef KeyType; typedef struct Node { KeyType Key; Node* Left,Right; } typedef Node* Tree; Khởi tạo cây TKNP rỗng Ta cho con trỏ quản lý nút gốc (Root) của cây bằng NULL. void MakeNullTree(Tree *Root) { (*Root)=NULL; } Tìm kiếm một nút có khóa cho trƣớc trên cây TKNP Ðể tìm kiếm 1 nút có khoá x trên cây TKNP, ta tiến hành từ nút gốc bằng cách so sánh khoá của nút gốc với khoá x. - Nếu nút gốc bằng NULL thì không có khoá x trên cây. - Nếu x bằng khoá của nút gốc thì giải thuật dừng và ta đã tìm được nút chứa khoá x. - Nếu x lớn hơn khoá của nút gốc thì ta tiến hành (một cách đệ qui) việc tìm khoá x trên cây con bên phải. - Nếu x nhỏ hơn khoá của nút gốc thì ta tiến hành (một cách đệ qui) việc tìm khoá x trên cây con bên trái. Ví dụ:tìm nút có khoá 30 trong cây ở trong hình III.15 - So sánh 30 với khoá nút gốc là 20, vì 30 > 20 vậy ta tìm tiếp trên cây con bên phải, tức là cây có nút gốc có khoá là 35. - So sánh 30 với khoá của nút gốc là 35, vì 30 < 35 vậy ta tìm tiếp trên cây con bên 44
trái, tức là cây có nút gốc có khoá là 22. - So sánh 30 với khoá của nút gốc là 22, vì 30 > 22 vậy ta tìm tiếp trên cây con bên phải, tức là cây có nút gốc có khoá là 30. - So sánh 30 với khoá nút gốc là 30, 30 = 30 vậy đến đây giải thuật dừng và ta tìm được nút chứa khoá cần tìm. - Hàm dưới đây trả về kết quả là con trỏ trỏ tới nút chứa khoá x hoặc NULL nếu không tìm thấy khoá x trên cây TKNP. Tree Search(KeyType x,Tree Root) { if (Root == NULL) return NULL; //không tìm thấy khoá x else if (Root->Key == x) /* tìm thấy khoá x */ return Root; else if (Root->Key right); else //tìm tiếp trên cây bên trái return Search(x,Root->left); } Câu hỏi ôn tập: Cây tìm kiếm nhị phân được tổ chức như thế nào để quá trình tìm kiếm được hiệu quả nhất? Nhận xét: giải thuật này sẽ rất hiệu quả về mặt thời gian nếu cây TKNP được tổ chức tốt, nghĩa là cây tương đối "cân bằng". Về chủ dề cây cân bằng các bạn có thể tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo của môn này. Thêm một nút có khóa cho trƣớc vào cây TKNP Theo dịnh nghĩa cây tìm kiếm nhị phân ta thấy trên cây tìm kiếm nhị phân không có hai nút có cùng một khoá. Do đó, nếu ta muốn thêm một nút có khoá x vào cây TKNP thì trước hết ta phải tìm kiếm để xác dịnh có nút nào chứa khoá x chưa. Nếu có thì giải thuật kết thúc (không làm gì cả!). Ngược lại, sẽ thêm một nút mới chứa khoá x này. Việc thêm một khoá vào cây TKNP là việc tìm kiếm và thêm một nút, tất nhiên, phải đảm bảo cấu trúc cây TKNP không bị phá vỡ. Giải thuật cụ thể như sau: Ta tiến hành từ nút gốc bằng cách so sánh khóa cuả nút gốc với khoá x. - Nếu nút gốc bằng NULL thì khoá x chưa có trên cây, do đó ta thêm một nút mới chứa khoá x. - Nếu x bằng khoá của nút gốc thì giải thuật dừng, trường hợp này ta không thêm nút. - Nếu x lớn hơn khoá của nút gốc thì ta tiến hành (một cách đệ qui) giải thuật này trên cây con bên phải. - Nếu x nhỏ hơn khoá của nút gốc thì ta tiến hành (một cách đệ qui) giải thuật này trên cây con bên trái. Ví dụ:thêm khoá 19 vào cây ở trong hình III.15 So sánh 19 với khoá của nút gốc là 20, vì 19 10 vậy ta xét tiếp đến cây bên phải, tức là cây có nút gốc có khoá là 17. - So sánh 19 với khoá của nút gốc là 17, vì 19 > 17 vậy ta xét tiếp đến cây bên phải. Nút con bên phải bằng NULL, chứng tỏ rằng khoá 19 chưa có trên cây, ta thêm nút mới chứa khoá 19 và nút mới này là con bên phải của nút có khoá là 17, xem hình III.16 Hình III.16: Thêm khoá 19 vào cây hình III.15 Thủ tục sau dây tiến hành việc thêm một khoá vào cây TKNP. void InsertNode(KeyType x,Tree *Root ){ if (*Root == NULL){ /* thêm nút mới chứa khoá x */ 45
(*Root)=(Node*)malloc(sizeof(Node)); (*Root)->Key = x; (*Root)->left = NULL; (*Root)->right = NULL; } else if (x Key) InsertNode(x,Root->left); else if (x>(*Root)->Key) InsertNode(x,Root->right); } Xóa một nút có khóa cho trƣớc ra khỏi cây TKNP Giả sử ta muốn xoá một nút có khoá x, trước hết ta phải tìm kiếm nút chứa khoá x trên cây. Việc xoá một nút như vậy, tất nhiên, ta phải bảo đảm cấu trúc cây TKNP không bị phá vỡ. Ta có các trường hợp như hình III.17: Hình III.17 Ví dụ về giải thuật xóa nút trên cây - Nếu không tìm thấy nút chứa khoá x thì giải thuật kết thúc. - Nếu tìm gặp nút N có chứa khoá x, ta có ba trường hợp sau (xem hình III.17) - Nếu N là lá ta thay nó bởi NULL. - N chỉ có một nút con ta thay nó bởi nút con của nó. - N có hai nút con ta thay nó bởi nút lớn nhất trên cây con trái của nó (nút cực phải của cây con trái) hoặc là nút bé nhất trên cây con phải của nó (nút cực trái của cây con phải). Trong giải thuật sau, ta thay x bởi khoá của nút cực trái của cây con bên phải rồi ta xoá nút cực trái này. Việc xoá nút cực trái của cây con bên phải sẽ roi vào một trong hai trường hợp trên. Giải thuật xoá một nút có khoá nhỏ nhất Hàm dưới dây trả về khoá của nút cực trái, dồng thời xoá nút này. KeyType DeleteMin (Tree *Root ) { KeyType k; if ((*Root)->left == NULL){ k=(*Root)->key; (*Root) = (*Root)->right; return k; } else return DeleteMin(Root->left); } Thủ tục xóa một nút có khoá cho trƣớc trên cây TKNP void DeleteNode(key X, Tree *Root) { if ((*Root)!=NULL) if (x Key) DeleteNode(x,Root->left) else if (x > (*Root)->Key) DeleteNode(x,Root->right) else if ((*Root)->left==NULL)&&((*Root)->right==NULL) (*Root)=NULL; else if ((*Root)->left == NULL) (*Root) = (*Root)->right ; else if ((*Root)->right==NULL) (*Root) = (*Root)->left; 46
else (*Root)->Key = DeleteMin(Root->right); } 3.Cây cân bằng – AVL Trong khoa học máy tính, một cây AVL là một cây tìm kiếm nhị phân tự cân bằng, và là cấu trúc dữ liệu đầu tiên có khả năng này. Trong một cây AVL, tại mỗi nút chiều cao của hai cây con sai khác nhau không quá một. Hiệu quả là các phép chèn (insertion), và xóa (deletion) luôn chỉ tốn thời gian O(log n) trong cả trường hợp trung bình và trường hợp xấu nhất. Phép bổ sung và loại bỏ có thể cần đến việc tái cân bằng bằng một hoặc nhiều phép quay. 3.1. Cây nhị phân cân bằng hoàn toàn 3.1.1. Định nghĩa Cây cân bằng hoàn toàn là cây nhị phân tìm kiếm mà tại mỗi nút của nó, số nút của cây con trái chênh lệch không quá một so với số nút của cây con phải. 3.1.2. Đánh giá Một cây rất khó đạt được trạng thái cân bằng hoàn toàn và cũng rất dễ mất cân bằng vì khi thêm hay hủy các nút trên cây có thể làm cây mất cân bằng (xác suất rất lớn), chi phí cân bằng lại cây lớn vì phải thao tác trên toàn bộ cây. Tuy nhiên nếu cây cân đối thì việc tìm kiếm sẽ nhanh. Đối với cây cân bằng hoàn toàn, trong trường hợp xấu nhất ta chỉ phải tìm qua log2n phần tử (n là số nút trên cây). Sau đây là ví dụ một cây cân bằng hoàn toàn (CCBHT): CCBHT có n nút có chiều cao h log2n. Đây chính là lý do cho phép bảo đảm khả năng tìm kiếm nhanh trên CTDL này. Do CCBHT là một cấu trúc kém ổn định nên trong thực tế không thể sử dụng. Nhưng ưu điểm của nó lại rất quan trọng. Vì vậy, cần đưa ra một CTDL khác có đặc tính giống CCBHT nhưng ổn định hơn. Như vậy, cần tìm cách tổ chức một cây đạt trạng thái cân bằng yếu hơn và việc cân bằng lại chỉ xảy ra ở phạm vi cục bộ nhưng vẫn phải bảo đảm chi phí cho thao tác tìm kiếm đạt ở mức O(log2n). 3.2. CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG (AVL) 47
3.2.1 Định nghĩa: Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng là cây mà tại mỗi nút của nó độ cao của cây con trái và của cây con phải chênh lệch không quá một. Dưới đây là ví dụ cây cân bằng (lưu ý, cây này không phải là cây cân bằng hoàn toàn): Dễ dàng thấy CCBHT là cây cân bằng. Điều ngược lại không đúng. 3.2.2 Lịch sử cây cân bằng (AVL Tree) AVL là tên viết tắt của các tác giả người Nga đã đưa ra định nghĩa của cây cân bằng Adelson- Velskii và Landis (1962). Vì lý do này, người ta gọi cây nhị phân cân băng là cây AVL. Tù nay về sau, chúng ta sẽ dùng thuật ngữ cây AVL thay cho cây cân bằng. Từ khi được giới thiệu, cây AVL đã nhanh chóng tìm thấy ứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau. Vì vậy, nó mau chóng trở nên thịnh hành và thu hút nhiều nghiên cứu. Từ cây AVL, người ta đã phát triển thêm nhiều loại CTDL hữu dụng khác như cây đỏ-đen (Red- Black Tree), B-Tree, 3.2.3 Chiều cao của cây AVL Một vấn đề quan trọng, như đã đề cập đến ở phần trước, là ta pjải khẳng định cây AVL n nút phải có chiều cao khoảng log2(n). Để đánh giá chính xác về chiều cao của cây AVL, ta xét bài toán: cây AVL có chiều cao h sẽ phải có tối thiểu bao nhiêu nút ? Gọi N(h) là số nút tối thiểu của cây AVL có chiều cao h. 48