5 Dạng bất đẳng thức tam giác

Nội dung text: 5 Dạng bất đẳng thức tam giác

1. Bất đẳng thức tam giác Trong tốn học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu, của hai cạnh cịn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các khơng gian như hệ thống các số thực, tất cả các khơng gian Euclide, các khơng gian Lp (p≥1) và mọi khơng gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích tốn học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các khơng gian vectơ định chuẩn và các khơng gian metric. Khơng gian vectơ định chuẩn Trong khơng gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ khơng thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đĩ. Đường thẳng thực là một khơng gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế cĩ thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau: Trong giải tích tốn học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng của hai số, theo giá trị của từng số trong hai số đĩ. Cũng cĩ một ước lượng chặn dưới mà cĩ thể tìm được bằng cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: [Khơng gian metric Trong khơng gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác cĩ dạng
2. d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M tức là, khoảng cách từ x đến z khơng thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với khoảng cách từ y đến z. Hệ quả Người ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cận trên hệ quả này cho cận dưới: | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| hay phát biểu theo metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z) điều này cho thấy chuẩn ||–|| cũng như hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đĩ là hàm liên tục. Sự đảo chiều trong khơng gian Minkowski Trong khơng gian Minkowski thơng thường hay trong các khơng gian Minkowski mở rộng với số chiều tùy ý, giả sử các vectơ khơng và các vectơ giống-thời-gian cĩ cùng chiều thời gian, bất đẳng thức tam giác bị đảo chiều: ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V sao cho ||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 và tx ty ≥ 0 Bất đẳng thức Cauchy Bài này viết về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân. Để xem bài viết về bất đẳng thức trong tích vectơ, xem Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Trong tốn học, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực khơng âm được phát biểu như sau: Trung bình cộng của n số thực khơng âm luơn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đĩ bằng nhau.
3. • Với 2 số: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b • Với n số: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Tổng quát hĩa Trung bình cĩ hệ số Cho n số x1, x2, , xn ≥ 0 và các hệ số α1, α2, , αn > 0. Đặt . Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình cĩ hệ số, như sau: Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi Với các loại trung bình khác
4. Trung bình điều hịa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng Đẳng thức khi và chỉ khi Ứng dụng trong lý thuyết tốn bat dang thuc nay rat phu hop voi viec danh gia tu trung binh cong sang tb nhan Ứng dụng trong các lĩnh vực khác Việc sử dụng bất đẳng thức giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải các phương trình vơ tỉ. Bất đẳng thức Bunyakovsky Bất đẳng thức Bunhia hay cịn gọi là Bất đẳng thức Bunyakovsky được Victor Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra để chứng minh các bất đẳng thức trong tốn học. Một số dạng cơ bản Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thơng thường • (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² • Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh bằng cách khai triển, rút gọn và biến đổi thành: (ad - bc)² ≥ 0 • Dấu " = " xảy ra khi Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số • Với hai bộ số (a1;a2; ;an) và (b1;b2; ;bn) ta cĩ :
5. • Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số bi nào đĩ (i = 1, 2, 3, , n) bằng 0 thì ai tương ứng bằng 0. Bất đẳng thức Bernoulli Trong tốn học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x. Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. Bản thân nĩ cĩ thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp tốn học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần chứng minh:
6. Thật vậy, (vì theo giả thiết ) (vì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1. Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r cĩ thể tổng quát hố thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1. Cĩ thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hố nĩi trên bằng cách so sánh các đạo hàm. Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên. Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác. Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta cĩ với e = 2.718 Bất đẳng thức này cĩ thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e.
7. Bất đẳng thức cộng Chebyshev Trong tốn học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà tốn học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hốn vị. Giả sử ta cĩ hai chuỗi số được cho như sau
8. và Vậy thì, theo bất đẳng thức hốn vị, ta cĩ là giá trị lớn nhất cĩ thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta cĩ: chia cả hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh)
9. Bất đẳng thức Holder Trong giải tích tốn học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà tốn học Đức Otto Hưlder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các khơng gian Lp: giả sử S là một khơng gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S). Khi đĩ fg thuộc L1(S) và Các số p và q nĩi trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau. Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong khơng gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lp là đối ngẫu với Lq. Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý • Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. • Trong trường hợp khơng gian Euclide, khi tập S là {1, ,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta cĩ kết quả là với mọi x, y trong Rn (Cn) • Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đĩ chúng ta cĩ được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ khơng gian lp . • Trong trường hợp khơng gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta cĩ
10. • Trong trường hợp khơng gian xác suất , là các ký hiệu để chỉ khơng gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn, , trong đĩ là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành . Trường hợp tổng quát Cĩ thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp Giả sử sao cho Giả sử . Khi đĩ ta cĩ và Bất đẳng thức Jensen Với mọi hàm lồi f trên và mọi ta cĩ .
11. Với mọi hàm lõm f trên và mọi ta cĩ . Lưu ý: f là hàm lồi khi ta cĩ f''(x) > 0 trên và là hàm lõm khi ta cĩ f''(x)< 0 trên Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata. Bất đẳng thức Minkowski Trong giải tích tốn học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các khơng gian Lp là các khơng gian vector định chuẩn. Giả sử S là một khơng gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử của Lp(S). Khi đĩ f + g cũng thuộc Lp(S), và chúng ta cĩ dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính. Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong Lp(S). Cĩ thể chứng minh nĩ bằng cách dùng bất đẳng thức Holder. Cũng như bất đẳng thức Holder, cĩ thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được: với mọi số thực (hay số phức) x1, , xn, y1, , yn và n là số chiều của S.