Sử dụng phương pháp nội suy B-Spline để đánh giá sai số trong miền tần số của bộ biến đổi tín hiệu DAC

Nội dung text: Sử dụng phương pháp nội suy B-Spline để đánh giá sai số trong miền tần số của bộ biến đổi tín hiệu DAC

1. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT . SỐ 74 - 2009 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY B SPLINE ĐỂ ĐÁNH GIÁ SAI SỐ TRONG MIỀN TẦN SỐ CỦA BỘ BIẾN ĐỔI TÍN HIỆU DAC USING B SPLINE INTERPOLATION METHOD TO ESTIMATE THE INFORMATION ERROR IN FREQUENCE DOMAIN OF DAC Nguyễn Doãn Phước Trường Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT Bộ chuyển đổi tín hiệu DAC có nhiệm vụ khôi phục tín hiệu từ dạng số sang tương tự. Việc khôi phục tín hiệu đó sẽ gây ra sai lệch thông tin mà tín hiệu cần truyền tải. Bài báo sử dụng phương pháp nội suy B Spline để phân tích sai lệch trên trong miền tần số, mà ở đó bản chất chuyển đổi tín hiệu từ dạng số sang tương tự được nhìn nhận như một phép nội suy hàm liên tục từ dãy các giá trị đo được của nó. Kết quả nghiên cứu cho thấy mọi bộ biến đổi DAC làm việc theo nguyên tắc nội suy B pline bậc chẵn lớn hơn 0 đều có nguy cơ tạo ra một tín hiệu liên tục với sai số lớn trong miền tần số, thậm chí còn tồn tại những điểm tần số mà ở đó sai số thông tin là vô cùng. ABSTRACT The DAC is an equipment often used for reconstruction of continuous signal from its sample data. This reconstruction procedure causes obviously an information error, which is carried out by the signal, such as the error in frequence domain. The essences of this error have been analysed in this paper by using B Spline interpolation techniques to describe the mapping from digital values of a signal to its analog expresssion. The obtained analysing results of this paper show that the using of DA converter, which is based on B spline of even grade excepting the zerro grade, will bring a huge information error in frequence domain, even infinite in some frequences. I. ĐẶT VẤN ĐỀ X(j), Y(j) là ký hiệu chỉ ảnh Fourier của các Hình 1 mô tả nguyên lý làm việc của các tín hiệu liên tục x(t) và y(t) được tính trong thiết bị DAC để khôi phục tín hiệu liên tục x(t) khoảng thời gian [0,NT]. từ dãy các giá trị đo được của nó {xk}, k=0,1, trích mẫu , N, trong khoảng thời gian hữu hạn [0,NT], x(t) {x } y(t) trong đó x =x(kT) và T là chu kỳ trích mẫu tín k k DAC hiệu. Kết quả thu được là tín hiệu liên tục y(t) X(j) X*(j) Y(j) và tín hiệu này có quan hệ: y(kT) = x(kT), k=0,1, , N (1) Hình 1. Mô tả quá trình khôi phục tín hiệu với tín hiệu gốc x(t). Các bộ khôi phục tín hiệu khác nhau sẽ tạo ở đầu ra những tín hiệu liên Đã có nhiều công trình nghiên cứu vấn tục khác nhau. Hiển nhiên là từ dãy hữu hạn đề được đặt ra ở trên như [1,4,5]. Tiếp cận theo {xk} các giá trị ta sẽ có vô số hàm liên tục y(t) hướng tương tự, nhưng với công cụ nội suy thỏa mãn điều kiện (1), nên về nguyên tắc cũng B Spline, bài báo này sẽ xem quá trình khôi sẽ có vô số các bộ biến đổi DAC. Vấn đề phục tín hiệu của bộ biến đổi DAC chính là nghiên cứu đặt ra ở đây là cần phải chỉ ra được việc nội suy từng đoạn dãy giá trị {xi}, bộ biến đổi DAC nào sẽ cho ra sai lệch thông i=m,m+1, ,2m 1 với mỗi đoạn có m giá trị, tin trong miền tần số tính theo: để được N hàm liên tục y (t), i=1, m i  supY(j  ) X(j  ) (2)  , , trong đó ký hiệu [x] chỉ phép tính đủ nhỏ chấp nhận được, chẳng hạn như trong lấy phần nguyên của số thực x. Sau đó “dán” một dải sai lệch đủ nhỏ cho trước, trong đó các hàm liên tục yi(t) này với nhau thành tín 19
2. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT . SỐ 74 - 2009 hiệu y(t) trơn, khả vi m 1 lần. Nguyên tắc nội trong đó 1(t) là ký hiệu chỉ hàm Heviside. Với suy B Spline này mô tả đúng quy trình khôi công thức trên thì rõ ràng hàm fm(t) nhận giá trị phục tín hiệu của bộ biến đổi DAC bậc m. m1 cực đại tại T và có ảnh Fourier là: II. MÔ HÌNH HÓA KHỐI DAC BẬC m 2 BẰNG PHÉP NỘI SUY B SPLINE m1 1e jT Cũng giống như các phương pháp nội suy Fm (j ) nói chung, nội suy B Spline là phương pháp jT được xây dựng dựa trên các hàm mô hình cục Ta sẽ sử dụng công thức mô tả hàm fm(t) bộ, gọi là hàm B Spline gốc. Ký hiệu hàm như trên để mô hình hóa quá trình biến đổi B Spline gốc bậc m là fm(t), m=0,1, thì theo {xk} y(t). Nhằm có được lượng thông tin Bezier [1], [4], [6] tất cả các hàm B Spline gốc entropie lớn trong mỗi khoảng cục bộ [6], tức là sẽ có quan hệ truy hồi với nhau như sau: trong các khoảng cục bộ i=m,m+1, ,2m 1 1(t) 1(t T) cũng sẽ có sự tham gia của nhiều hàm gốc fm(t), f0 (t) (3) m T ta sẽ dịch fm(t) sang trái một khoảng T , 2 và với x là ký hiệu chỉ số nguyên nhỏ nhất fm (t) f(t)*f 0 m 1 (t) (4) nhưng không nhỏ hơn x, sao cho hàm zm(t) nhận được có điểm cực đại gần đối xứng qua trong đó * là ký hiệu phép tích chập. Các hàm gốc (hình 3), chẳng hạn như: B Spline gốc này đều thỏa mãn: z0(t)=f0(t), z1(t)=f1(t T), z2(t)=f2(t T), suppfm (t)  0,mT Vậy thì khi “dán” các hàm zm(t) này lại với t nhau để có y(t) thì: N tức là fm(t)=0 khi t [0,mT]. Hình 2 minh họa các hàm B Spline gốc bậc 0,1 và 2. y(t)  aznm (t nT) (5) n0 f0(t) f1(t) với an, n=0,1, , N là những số thực được xác 1 T định từ xk, k=0,1, , N theo quan hệ (1) phải có. t t fk(t) f4(t) T T 2T z4(t) f2(t) t t Hình 3. Mô tả hàm gốc thích hợp cho việc T 2T 3T mô hình hóa. Hình 2. Hàm B Spline gốc bậc 0,1 và 2. Thay điều kiện (1) vào (5), rồi viết lại nó lần lượt cho n=0,1, , N ta sẽ có N+1 phương Từ hai công thức (3), (4) định nghĩa của trình. Biểu diễn chung các phương trình đó Bezier ta cũng suy ra được: dưới dạng ma trận, ta được: m1 m1 (t kT)1(tm kT) f (t) ( 1)k zm (0) z m ( NT a 0 x 0 m m1  T k!(m 1 k)! k0      z(NT) z(0) a x m m N N A ab 20
3. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT . SỐ 74 - 2009 Suy ra: m1 1 jT a A b (6) 2 1 e j Zm (j( k )) e T 2 và đó là công thức xác định vector các tham số j( k )T T an, n=0,1, , N cho mô hình (5) mô tả quá trình biến đổi {x } y(t). ta được: k 1 Từ mô hình (5) trong miền thời gian ta m1 kiểm tra ngay được rằng khối DAC với tín hiệu G(j )  1 vào {xk} và ra y(t) là một khâu tuyến tính (thỏa T  2 mãn nguyên lý xếp chồng), bởi vậy nó sẽ mô tả k ( k )m1 được bằng hàm truyền G(s), tức là mô tả được T bởi (hình 1): d1m Y(j ) m  G(j ) d X* (j ) m * d1 trong đó Y(j) là ảnh Fourier của y(t) và X (j) m T  d k 2 là của {xk}. Vì có quan hệ (1) nên giữa hai ảnh  k Fourier này phải có tương quan Shannon: T Lại để ý tiếp khi m=0 thì: 2 TX* (j )  Y j(  k ) 1 T G(j ) (10) k 1 N1 2 j nT T  = Zmn (j( k )) a e k 2 T  k k n 0 T trong đó Zm(j) là ảnh Fourier của hàm gốc: cũng như từ (8): N m Y(j ) Z (j  ) a e j nT zmm (t) f (t  ) với  T 0n 2 n0 jT N và ảnh Fourier này được suy ra từ (3) và (4) với 1e j j  nT e an e ảnh Fourier F0(j) của hàm f0(j) là: jT n0 1e jT 1e jT F (j ) ej* X (j ) 0 jT jT như sau: 1e jT jT m1 G(j ) khi m=0 (11) 1e j j Zm (j ) e (7) jT thì khi so sánh (10) với (11) ta rút ra được: Ngoài ra, từ (5) ta còn có: 1j T  (12) N 2 jT j nT k  k 1e Y(j ) Zmn (j  ) a e (8) T n0 Cuối cùng, thay (12) vào công thức tổng quát Suy ra: của G(j) ta đi đến hàm đặc tính tần số của Z (j ) khâu chuyển đổi tín hiệu DAC với cấu trúc mô G(j ) m (9) 2 tả ở hình 1, như sau: m T Zm (j( k )) d1 k T Y(j ) dm  Thay (7) vào (9) và để ý rằng: G(j ) (13) X*m (j ) d 1 j d m 1 e  j T 21
4. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT . SỐ 74 - 2009 Đó cũng chính là mô hình toán học biểu diễn quá trình khô phục tín hiệu {xk} y(t) trong 4. Khi m=3 thì: miền tần số. 4 T sin 3T III. ĐÁNH GIÁ SAI SỐ THÔNG TIN G(j ) 2 T TRONG MIỀN TẦN SỐ 2  cos( T) Dựa vào hàm đặc tính tần (13) mô tả bộ 2 chuyển đổi tín hiệu số tương tự DAC trong 5. Khi m=4 thì: 5 miền tần số ta nhận thấy ngay được rằng: T sin 1. Khi m=0 ta có: 6T G(j ) 2 T TT Tsin cos 5  cos( T) G(j ) 2 22 T Như vậy tại tất cả các điểm tần số 2 T=(2k+1) , hàm G(j) ứng với m=2 hoặc 2. Khi m=1 thì: m=4 có giá trị là . Suy ra ở các tần số này, 2 kết quả y(t) thu được sau khi khôi phục tín hiệu T sin sẽ có sai lệch tần số so với tín hiệu gốc x(t) G(j ) T 2 cũng là . Tương tự ta cũng có được kết luận T này với m=6, 8, Điều này chỉ rằng việc sử 2 dụng tất cả những khối DAC bậc chẵn lớn hơn 3. Khi m=2 thì: 0 sẽ làm cho sai lệch thông tin theo nghĩa (2) tại 3 T các điểm tần số T=(2k+1) là . sin T 2 G(j ) IV. VÍ DỤ MINH HỌA TT cos Hình 4 là kết quả thực nghiệm minh họa 22 kết luận nêu trên về sai lệch thông tin ở miền Y(j) Y(j) 0.3 0.3 0.2 m=0 0.2 m=1 0.1 0.1   10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 Y(j) Y(j) 0.3 0.3 0.2 m=2 0.2 m=3 0.1 0.1   10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 Hình 4. Đồ thị ảnh Fourier của các tín hiệu liên tục thu được với DAC bậc 0,1,2,3 22
5. TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT . SỐ 74 - 2009 tần số của tín hiệu gốc ban đầu: V. KẾT LUẬN 1 Các khối DAC bậc m với nhiệm vụ khôi x(t)=e 3t, t 0 X(j ) 3j  phục tín hiệu liên tục y(t) từ dãy hữu hạn giá trị trích mẫu {xk}, k=0, 1, ,N theo nguyên tắc Tín hiệu gốc được trích 8 mẫu với chu kỳ (1), và khi chu kỳ trích mẫu T là đủ nhỏ, sẽ 1 Tx=10 s thành dãy {xk}, k=0, 1, ,7. Dãy đó luôn tạo ta được sai số trong miền thời gian: lại được tái tạo lần lượt bởi DAC bậc 0,1,2,3 theo công thức (5) và (6) thành tín hiệu liên tục sup y(t) x(t) (14) y(t). Tín hiệu liên tục y(t) sau khi đã được tái t tạo sẽ được trích mẫu với chu kỳ trích mẫu tỷ lệ nghịch với bậc m của khối, tức là với 2 những khối DAC có bậc càng cao, sai lệch Ty=10 s thành dãy N=128 giá trị {yk}, k=0, 1, ,127. thông tin (14) ở miền thời gian càng nhỏ. Nhận định này rất dễ dẫn tới sự ngộ nhận cho rằng cứ Áp dụng DFT [3] mà cụ thể là thuật toán sử dụng khối DAC càng cao, mọi thông tin Fourier nhanh FFT [2] để tính ảnh Fourier của được phục hồi sẽ càng chính xác. dãy {y } trên ta được Y(jk), k=0, 1, ,127, k Kết quả của bài báo bất ngờ đã chỉ ra với  là chu kỳ trích mẫu điều ngược lại. Không phải mọi sự xấp xỉ nào NTy 0.64 khi đã được xem là tốt trong miền thời gian trong miền tần số. Đồ thị biên độ Y(j) của tín theo nghĩa (14) cũng sẽ tốt trong miền phức hiệu liên tục y(t) được biểu diễn ở hình 4. Từ theo nghĩa (2). Thậm chí nếu cứ sử dụng khâu đó, một lần nữa ta thấy việc sử dụng DAC bậc 2 DAC bậc chẵn lớn hơn 0 như m=2,4, , tín đã gây ra sai lệch thông tin tần số rất lớn so với hiệu liên tục y(t) được khôi phục sẽ còn chứa các khối DAC bậc 0,1,3 còn lại. đựng sai lệch thông tin ở miền tần số so với tín hiệu gốc là vô cùng lớn. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Horowitz L.L.; The Effects of Spline Interpolation on Power Spectral Estimation; IEEE Transaction on ASSP, 22, pp. 22 27 (1974). 2. Brigham E.O.; Fast Fourier Transform; Verlag R.Oldenburg, München, Wien (1987). 3. Marple S.L.; Digital Spectral Analysis with Application; Prentice Hall (1993). 4. Isermann, R; Identifikation Dynamischer Systeme; Springer Verlag (1994). 5. Rabiner L.R., Allen J.B.; Short Times Fourrier Analysis Techniques for FIR System Identification and Power Spectrum Estimation. IEEE Transaction on ASSP, 27, pp. 182 192 (1979). 6. Wu N.; An Explicit Solution and Data Extention in the Maximum Entropie Method; IEEE Trans. on ASSP, 35, pp. 486 491 (1987) Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Doãn Phước - Tel. (04) 3868.0451, email: phuocnd-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển Tự động, Khoa Điện Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1, Đại Cồ Việt, Hà Nội 23