Luận văn Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở Trung học Phổ thông

Nội dung text: Luận văn Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở Trung học Phổ thông

1. www.VNMATH.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG KKHHAAÙÙII NNIIEEÄMÄM XXAAÙCÙC SSUUAAÁTÁT TRONG DAÏYÏ - HOÏCÏ TOAÙNÙ ÔÛ Û TRUNG HOÏCÏ PHOÅ Å THOÂNÂ G LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN Mã số: 60.14.10 Người hướng dẫn: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố HỒ CHÍ MINH Năm 2005
2. www.VNMATH.com Lôøi Caûm Ôn Toââii xiin traânâ troïïng caûûm ôn :: ¾ Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Leââ Thòò Hoaøiøi Chaââu,, ngöôøøii ñaõõ taään tìình höôùùng daããn toââii veà à maëët nghiieâân cöùùu khoa hoïcï ,, lluoâân ñoääng viieâân giiuùùp toââii coùù ñuûû niieààm tiin vaøø nghòò llöïïc trong suoáát quaùù trìình thöïïc hiieään lluaään vaêên naøøy ¾ Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Leââ Thòò Hoaøøii Chaââu,, Tiieáán só Leââ Vaêên Tiieáán,, Tiieáán só Ñoaøøn Höõuõ Haûûii,, Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Cllaude Comiitii,, Phoùù giiaùùo sö Tiieáán só Anniie Bessot,, Tiieáán só Allaiin Biirebent ñaõõ nhiieäät tìình giiaûûng daïïy,, giiaûûii ñaùùp caùùc thaééc maééc,, daããn daéét chuùùng toââii tììm hiieååu nhöõõng kiieáán thöùùc ban ñaààu vaøø truyeààn cho chuùùng toââii söïï höùùng thuùù ñoááii vôùùii chuyeâân ngaøønh Diidactiique Toaùùn Toââii xiin chaânâ thaøønh caûmû ôn :: ¾ Ban llaõõnh ñaïïo vaøø chuyeâân viieâân Phoøøng Khoa hoïïc coââng ngheää – Sau ñaïïii hoïïc,, Ban chuûû nhiieääm vaøø giiaûûng viieâân khoa Toaùùn–Tiin tröôøøng Ñaïïii hoïïc Sö phaïïm thaøønh phoáá Hoàà Chí Miinh,, ñaõõ taïoï thuaään llôïiïi giiuùùp toââii hoaøøn thaøønh lluaään vaênê naøøy ¾ Ban Giiaùùm hiieääu vaøø caùùc ñoààng nghiieääp trong toåå Toaùùn tröôøøng THPT Voõõ Thòò Saùùu ñaõõ taïïo moïïii thuaään llôïïii cho toââii trong suoáát thôøøii giian theo hoïcï cao hoïïc taïïii tröôøøng ÑHSP ¾ Ban Giiaùùm hiieääu tröôøøng THPT Nguyeããn Höõõu Huaâân ñaõõ nhiieäät tìình giiuùùp ñôõõ vaøø taïïo ñiieààu kiieään cho toââii tiieáán haøønh llaøøm Thöïïc nghiieääm taïïii quyùù tröôøøng Toââii xiin toûû lloønø g biieátá ôn ñeáán :: ¾ Trôïï llyùù sö phaïïm Andreùù Siimard ñaõõ chiia seûû vôùùii toââii nhöõõng kiinh nghiieääm giiaûûng daïïy vaø ø nhöõõng thaééc maééc veàà Xaùùc suaáát Thoááng keââ ¾ Anh Voõõ Theáá Khoââii ñaõõ tììm vaøø cung caááp saùùch tham khaûûo cho nghiieâân cöùùu trong lluaään vaêên naøøy ñoààng thôøøii cuõõng lluoâân llaøø nguoààn ñoääng viieâân llôùùn veàà maëët tiinh thaààn ñoááii vôùùii toââii ¾ Caùùc baïïn cuøøng llôùùp cao hoïcï Diidactiic Toaùùn - Khoaùù 3 :: Nguyeããn Thòò Phöông Maii,, Traààn Anh Duõõng,, Phan Höõõu Taøøii,, ñaõõ cuøøng chiia seûû nhöõõng vuii buoààn vaøø khoùù khaêên vôùùii toâiâi trong suoátá thôøøii giian theo hoïïc taïïii tröôøøng ÑHSP Tp HCM ¾ Môïï vaøø caùùc chòò em trong giia ñìình ñaõõ lluoâân naââng ñôõõ vaøø llaø ø choãã döïaï cho toââii veàà moïïii maëët Vuõõ Nhö Thö Höông
3. www.VNMATH.com MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 §I. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu 1 §II. Khung lý thuyết tham chiếu 2 §III. Trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu – Mục đích nghiên cứu 5 §IV. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn 6 Chương 1 : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT 8 §I. Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm xác suất 10 §II. Vài kết luận 23 Chương 2 : NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT 27 §I. Phân tích chương trình thí điểm 29 §II. Phân tích sách giáo khoa 30 §III. Kết luận 56 Chương 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 59 A. THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT 59 §I. Giới thiệu thực nghiệm 59 §II. Phân tích a priori các tình huống thực nghiệm 62 §III. Phân tích a posteriori 78 §IV. Kết luận 86 B. THỰC NGHIỆM THỨ HAI 87 §I. Mục đích 87 §II. Nội dung thực nghiệm 88 §III. Kết luận 103 C. KẾT LUẬN PHẦN THỰC NGHIỆM 104 KẾT LUẬN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC PROTOCOLE
4. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương PHẦN MỞ ĐẦU § I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Ở Việt nam, trong một thời gian dài, Xác suất và Thống kê chỉ được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán ở cấp đại học. Gần đây, một bộ phận cơ bản của Thống kê là Thống kê mô tả được đưa dần vào chương trình toán ở cấp trung học cơ sở (lớp 9) kể từ năm 1990. Tuy nhiên, phần Xác suất thì vẫn chưa được đưa vào giảng dạy ở phổ thông (chúng tôi không kể đến chương trình toán thí điểm dành cho phân ban KHTN trong giai đoạn 1995-1997 vì chương trình này dù có đề cập đến khái niệm xác suất nhưng lại chỉ được thực hiện ở một số rất ít trường chuyên1 có phân ban KHTN và KHXH rồi sau đó, phần này bị bỏ hẳn). Ngược lại, Xác suất và Thống kê lại được đưa vào giảng dạy khá sâu trong chương trình phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Anh, Pháp, Úc, Brasil, từ rất nhiều năm nay (chẳng hạn ở Pháp đã có một bề dày gần bốn mươi năm giảng dạy xác suất ở trung học). Điều này càng cho thấy tầm quan trọng của kiến thức về xác suất và thống kê, một ngành toán ứng dụng rất có giá trị sử dụng trong nhiều lĩnh vực như: Vật lý, Cơ học, Sinh học, Kinh tế, Y học, Xã hội học, Thấy được xu thế của thời đại, các nhà giáo dục Việt nam bắt đầu quan tâm đến việc nên đưa khái niệm thống kê và xác suất vào giảng dạy ở trường phổ thông với mục đích nhằm tiến gần và bắt kịp với thế giới bên ngoài, đồng thời cũng là để đáp ứng với việc đổi mới chương trình giáo dục và phương pháp giảng dạy ở Việt nam. Cụ thể là theo chương trình cải cách gần đây nhất2 thì kể từ năm học 2003-2004, một số yếu tố cơ bản của Thống kê mô tả được đưa vào giảng dạy ở lớp 7 tại tất cả các trường trung học cơ sở và đồng thời một số kiến thức và kỹ năng về Thống kê mô tả cũng được đưa vào lớp 10 theo chương trình thí điểm phân ban KHTN và KHXH tại một số trường trung học phổ thông. Còn Xác suất thì mới được đưa vào giảng dạy lần đầu trong chương trình thí điểm phân ban của lớp 11 năm học này (2004-2005), cũng tại các trường nói trên (trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh có 4 trường). Do đi sau các nước khác trong việc đưa khái niệm xác suất vào giảng dạy ở phổ thông trung học nên các tác giả sách giáo khoa Việt nam có nhiều tư liệu, sách giáo khoa, chương trình, của các nước khác để tham khảo cũng như có nhiều chọn lựa trong cách giới thiệu khái niệm xác suất. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi: Khái niệm 1 Ở thành phố Hồ Chí Minh chỉ có duy nhất trường phổ thông trung học chuyên Lê Hồng Phong sử dụng chương trình phân ban thí điểm này trong giai đoạn 1995-1997 2 Chương trình cải cách được tiến hành đại trà từ năm học 2002-2003 và bắt đầu ở lớp 6. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -1-
5. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương xác suất hình thành như thế nào ? Có những quan điểm nào về cách tiếp cận khái niệm xác suất ? Sách giáo khoa Việt nam đã chọn giới thiệu khái niệm xác suất như thế nào (theo quan điểm nào) ? Liệu cách giới thiệu này có giúp học sinh hiểu được « nghĩa thực tế » của khái niệm xác suất hay không ? Như đã nói, đây là lần đầu tiên khái niệm xác suất được chính thức đưa vào dạy thí điểm trước khi có thể được tiến hành dạy đại trà (từ năm học 2006-2007). Vì vậy chúng tôi càng quan tâm đến vấn đề này và quyết định chọn nghiên cứu việc dạy khái niệm xác suất ở trung học phổ thông. Chúng tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ trong phạm vi luận văn này có thể giúp thấy được phần nào thực tế của việc đưa ra khái niệm xác suất trong sách giáo khoa bằng việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi ban đầu dưới đây: – Có những tiếp cận nào cho khái niệm xác suất ? – Khái niệm xác suất được sách giáo khoa trình bày như thế nào ? – Quan hệ giữa thống kê và xác suất được thể hiện ra sao trong sách giáo khoa ? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § II. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactique toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học, khái niệm hợp đồng didactique và đồ án didactique. II.1. Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra. • Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân. Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, trong I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ? Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -2-
6. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương thể chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó trong R(I,O). • Tổ chức toán học Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng là một kiểu thực thế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, còn Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tồ chức toán học. Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ : « Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ». Do đó, việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X (chiếm một vị trí nào đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O. Việc chỉ rõ các tổ chức toán học liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số qui tắc của hợp đồng didactique: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn. II.2. Hợp đồng didactique Hợp đồng didactique liên quan đến một đối tượng dạy–học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy. Khái niệm hợp đồng didactique cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -3-
7. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactique, người ta có thể tiến hành như sau: • Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách : – Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức. – Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó. – Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà của tri thức đang xét không giải quyết được. – Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh. • Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách: – Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học. – Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức. – Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa. Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactique đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức vì việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactique) trong quá trình giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactique. Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên chính, nhất là học sinh, đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội. Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactique là cần thiết vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi. II.3. Đồ án didactique Theo Artigue M. (1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án didactique là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -4-
8. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương didactique tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học. Sau đây là một số yếu tố về khái niệm đồ án didactique: • Chức năng kép của đồ án didactique Đồ án didactique cho phép thực hiện: – một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu didactique trước. – một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy. • Các pha khác nhau của phương pháp đồ án : 1. Các phân tích ban đầu: dựa trên – Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực – Một phân tích khoa học luận về tri thức trong trò chơi – Một phân tích các kiến thức của học sinh (các quan niệm), các khó khăn gặp phải trong việc học (các chướng ngại) – Một phân tích thể chế (chương trình, sách giáo khoa, ) 2. Quan niệm về lớp (kịch bản), phân tích a priori và việc tổ chức tập dữ liệu. 3. Thực nghiệm và tổ chức các quan sát. 4. Phân tích a posteriori và sự hợp thức hóa nội tại. § III. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này: Q1. Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm xác suất có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm xác suất xuất hiện và tác động ? Những đối tượng toán học nào khác góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này ? Q2. Khái niệm xác suất được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 11 dùng cho chương trình thí điểm của phân ban KHTN hiện hành ? Theo những cách tiếp cận nào ? Cách tiếp cận nào chiếm ưu thế ? Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactique được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy–học khái niệm xác suất ? Nó được thể hiện cụ thể trong những kiểu nhiệm vụ nào, những kỹ thuật nào ? Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -5-
9. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Q4. Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập ? Q5. Cách trình bày này của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm xác suất của học sinh ? § IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Chương 1 là phần mở đầu, bao gồm: lý do chọn đề tài, các câu hỏi ban đầu, mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu, phần trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Việc nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về một khái niệm toán học nào đó không chỉ cho phép làm rõ một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó. Một cách tổng quát, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm. Vì vậy, trong chương 2 của luận văn, chúng tôi điểm lại lịch sử hình thành khái niệm xác suất và tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm xác suất dựa trên các công trình: – các bài báo của Michel Henry, Bernard Parzysz, Jean-Claude Thiénard, Jean- François Pichard (1997). – luận án tiến sĩ của Cileda de Queiroz e Silva Coutinho (2001). Từ đó, chúng tôi cố gắng chỉ ra những đặc trưng khoa học luận và các cách tiếp cận khái niệm xác suất nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Chương 3 là phần nghiên cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, sách giáo khoa. Và bằng cách phân tích sâu hơn sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, có mặt trong phần xác suất và các qui tắc hợp đồng ngầm ẩn liên quan đến việc dạy-học khái niệm xác suất. Những nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng « xác suất » đồng thời cho phép chúng tôi hình thành một số giả thuyết nghiên cứu, trong đó có các giả thuyết về qui tắc hợp đồng didactique liên quan đến việc dạy-học khái niệm này. Cùng với kết quả thu được từ chương 2 và 3, chúng tôi tìm hiểu xem sách giáo khoa đã dẫn dắt đến khái niệm xác suất theo những cách tiếp cận nào ? Tức đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi còn lại. Chúng tôi chọn phân tích hai bộ sách Đại số và Giải tích lớp 11 dùng cho phân ban KHTN, do nhóm tác giả Đoàn Quỳnh và do nhóm tác giả Trần Văn Hạo chủ biên, đang được thí điểm lần đầu tiên vào năm học 2004-2005 tại một số trường THPT (ở TP Hồ Chí Minh, có hai trường sử dụng bộ thứ nhất và hai trường sử dụng bộ thứ hai). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -6-
10. www.VNMATH.com Phần mở đầu Vũ Như Thư Hương Các giả thuyết này lại cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm trong Chương 4. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh, đối tượng chủ yếu của việc dạy-học. Chương này bao gồm hai thực nghiệm: – Thực nghiệm thứ nhất có dạng bộ câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết nghiên cứu trên. Ở đây, chúng tôi đặt học sinh lớp 11 tham gia thực nghiệm vào một tình huống « quen thuộc » hoặc « dường như quen thuộc », tức đặt chúng trước những kiểu nhiệm vụ quen thuộc hoặc dường như quen thuộc. Điều đó có nghĩa là chúng tôi tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng vì cả hai loại tình huống: tình huống quen thuộc hay tình huống phá vỡ hợp đồng, như A. Bessot và C. Comiti đã nói, đều có thể giúp ta nhận ra hiệu ứng của hợp đồng didactique. – Trong thực nghiệm thứ hai, chúng tôi thực hiện một tiểu công nghệ didactique để bổ sung thêm một hoạt động nhằm mục đích tạo thêm cơ hội mới cho học sinh đi đến khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê. Thực nghiệm này dành cho đối tượng học sinh lớp 11 phân ban KHTN đã được học khái niệm xác suất rồi và dựa trên tình huống cơ sở sau: « Tính xác suất của biến cố xuất hiện mặt ngửa (mặt ghi số) của khi gieo ngẫu nhiên gieo đồng tiền kim loại » Chương 5 là phần kết luận cùng với hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -7-
11. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT MỞ ĐẦU Trong chương này, chúng tôi không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm xác suất. Chúng tôi sẽ điểm lại phần lịch sử hình thành khái niệm xác suất và tổng hợp các kết quả có được từ một số công trình, nhằm làm rõ những đặc trưng khoa học luận cơ bản của khái niệm này. Cụ thể, bằng cách tham khảo các công trình của Bernard Parzysz [7], Jean- François Pichard [8], Michel Henry [5] và [6], Jean-Claude Thiénard [9], Cileda de Queiroz e Silva Coutinho [3], chúng tôi cố gắng tìm những yếu tố cho phép trả lời cho các câu hỏi sau: - Khái niệm xác suất đã xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu tình huống nào ? Nó có những đặc trưng cơ bản nào ? - Những đối tượng, những khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh và phát triển khái niệm xác suất ? - Khái niệm xác suất đã được tiếp cận theo những kiểu nào ? Tuy nhiên, cũng cần phải nói rõ rằng dù không thực hiện một nghiên cứu gốc về lịch sử, phân tích mà chúng tôi trình bày dưới đây cũng không đơn thuần là sự tóm tắt các công trình mà chúng tôi đã tham khảo. Trong [7], Parzysz tập trung nghiên cứu vấn đề dạy xác suất và thống kê ở Pháp từ năm 1965 đến nay. Mục đích của tác giả là nghiên cứu quá trình chuyển đổi didactique (theo nghĩa của Chevallard) của thống kê toán và xác suất từ tri thức bác học sang tri thức được giảng dạy trong trường hợp cụ thể của nước Pháp. Trong đó, ông có đề cập đến ba cách tiếp cận khái niệm xác suất. Khác với Parzysz, Pichard tiến hành nghiên cứu lịch sử lý thuyết xác suất từ bước ngoặt ở thế kỷ XVII cho đến khi các khái niệm cơ bản và lý thuyết giới hạn hình thành (tức đến 1/3 đầu tiên của thế kỷ XVII). Trong [8], ông nêu lên những cách đặt vấn đề và các dạng khác nhau của các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất nhưng lại không làm rõ các các đặc trưng khoa học luận cũng như các cách tiếp cận khái niệm xác suất. Nghiên cứu của Henry trong [6] bàn về việc dạy học xác suất ở bậc trung học từ các quan điểm lịch sử, khoa học luận và didactic. Ở đây, ông gắn liền vấn đề khoa học luận của xác suất với hình học Euclide khi thực hiện một so sánh nhỏ về các quá trình Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -8-
12. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương mô hình hóa hai khái niệm này. Điều đó có phần khác với phân tích về đặc trưng khoa học luận thuần túy của khái niệm xác suất dưới đây của chúng tôi. Còn trong hội thảo với chủ đề Sự ngẫu nhiên, báo cáo [5] của Henry chủ yếu là một phân tích lịch sử về quá trình tiến triển của khái niệm xác suất và các ứng dụng của nó. Thienard trình bày chủ yếu trong [9] những vấn đề xoay quanh định nghĩa khái niệm xác suất theo Laplace, chẳng hạn như: những khó khăn về mặt lý thuyết, logic và didactique liên quan đến định nghĩa này, các nguồn gốc của định nghĩa Laplace và nhất là vấn đề làm sao để nhận ra rằng các trường hợp đồng khả năng. Luận văn tiến sĩ [3] của Coutinho nghiên cứu một số đồ án didactique thực hiện trong môi trường tin học Cabri để giả lập các thí nghiệm của Bernoulli. Bà cũng nêu lên một số cách tiếp cận khái niệm xác suất theo tiến triển lịch sử của khái niệm này và đặc biệt chú ý đến vấn đề mô hình hóa xác suất. Như đã nói ở trên, nghiên cứu của chúng tôi có phần khác với các công trình được tham khảo vì hướng đi của nghiên cứu này vừa theo tiến trình hình thành khái niệm xác suất theo trục thời gian vừa gắn liền với các tiếp cận khái niệm xác suất quen thuộc. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -9-
13. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương §I. PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM XÁC SUẤT Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành nên khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thế kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thiên niên kỷ thứ III trước công nguyên, với các trò chơi may rủi. Dưới đây chúng tôi sẽ tổng kết lại những giai đoạn chủ yếu của lịch sử hình thành, phát triển lý thuyết xác suất và làm rõ đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất trong mỗi một giai đoạn đó. I.1. Từ thời Trung đại (Moyen-âge) đến nửa đầu thế kỷ XVII: nhu cầu tính toán các cơ hội I.1.1. Sự ngẫu nhiên Theo Michel Henry: « Không có sự ngẫu nhiên thì không có xác suất » (Henry, 2004, tr.1). Đã nói đến xác suất thì không thể không nói đến các hiện tượng ngẫu nhiên. Từ xa xưa, con người đã sớm ý thức được sự tồn tại của ngẫu nhiên khi nói rằng « Tất cả những gì tồn tại trong vũ trụ đều là kết quả của ngẫu nhiên và tất yếu ». Và người ta cũng ý thức được là con người không thể « điều khiển » được các hiện tượng ngẫu nhiên vì nó là « sự thể hiện ý muốn của thần thánh » (Pichard, 1997, tr.105). I.1.2. Trò chơi may rủi và một khai thác đầu tiên về “Đại số tổ hợp » Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến « phép thử ngẫu nhiên » đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc, rất phổ biến ở vùng Lưỡng hà từ thời Ai cập cổ đại (tức thế kỷ III trước Công nguyên). Cho đến ngày nay, trò chơi này vẫn còn là một mô hình quen thuộc trong các bài toán về xác suất. Vào thời Hy lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ Thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201-1260)), một tu sĩ uyên bác người Pháp, được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250) là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ mô tả trò chơi “ tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được” (tức là tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con xúc sắc). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -10-
14. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Một trích đoạn của bài thơ (xem Annex 1) cho thấy tác giả đã sử dụng đến hoán vị khi nói rằng việc tung 3 súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng1 các điểm, ứng với 56 dạng điểm2 và việc hoán vị3 mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc. Mặt khác trích đoạn cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau và tổng lớn nhất bằng 18 ứng với dạng điểm 6,6,6 hoặc tổng nhỏ nhất bằng 3 ứng với dạng điểm 1,1,1 rất hiếm khi xảy ra, trong khi các tổng trung bình lại thường xảy ra hơn. Để giải thích, cùng với bài thơ người ta đưa ra bảng sau đây (trích theo Henry, 2004, tr.4): 6,6,6 18 6,6,5 17 6,6,4 6,55 16 6,6,3 6,5,4 5,5,5 15 6,6,2 6,5,3 6,4,4 5,5,4 14 6,6,1 6,5,2 6,4,3 5,5,3 4,4,5 13 6,5,1 6,4,2 6,3,3 5,5,2 5,4,3 4,4,4 12 6,4,1 6,3,2 5,5,1 5,4,2 5,3,3 4,4,3 11 6,3,1 6,2,2 5,4,1 5,3,2 4,4,2 4,3,3 10 6,2,1 5,3,1 5,2,2 4,4,1 4,3,2 3,3,3 9 6,1,1 5,2,1 4,3,1 4,2,2 3,3,2 8 5,1,1 4,2,1 3,3,1 2,2,3 7 4,1,1 3,2,1 2,2,2 6 3,1,1 2,2,1 5 2,1,1 4 1,1,1 3 Mỗi dòng của bảng liệt kê các dạng điểm tương ứng với một tổng các điểm, theo thứ tự tổng các điểm giảm dần từ trên xuống (cột cuối cùng). Với bảng này, có thể thấy khả năng xảy ra trường hợp tổng các điểm bằng 9, hay 10, hay 11, hay 12 là lớn hơn cả (tức thường xảy ra hơn các trường hợp kia vì có đến 6 dạng điểm). Mặt khác, một vấn đề được đặt ra là tại sao tổng bằng 9 hay 12 cũng có cùng số dạng điểm như tổng bằng 10 hay 11 (6 dạng điểm), nhưng khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng 9 hay 12 ? Điều này có thể được giải thích phần nào4 qua thống kê theo số cách rơi của 3 súc sắc dưới đây: « tổng: 3 hay 18 số dạng điểm: 1 cách rơi: 1 tổng: 4 hay17 số dạng điểm: 1 cách rơi: 3 1 Tổng số điểm của ba súc sắc lấy giá trị từ 3 đến 18. 2 Chẳng hạn, kiểu tổng các điểm là 3 có dạng điểm 1,1,1 tổng; kiểu tổng là 5 có các dạng điểm 3,1,1, và 2,2,1. 3 Ví dụ dạng điểm 1,1,2 có 3 hoán vị là (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), tức có 3 cách rơi. 4 Chúng tôi nói « phần nào » vì bài thơ không liệt kê tất cả các cách rơi mà chỉ nói « do hoán vị ». Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -11-
15. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương tổng: 5 hay16 số dạng điểm: 2 cách rơi: 6 tổng: 6 hay15 số dạng điểm: 3 cách rơi: 10 tổng: 7 hay14 số dạng điểm: 4 cách rơi: 15 tổng: 8 hay13 số dạng điểm: 5 cách rơi: 21 tổng: 9 hay12 số dạng điểm: 6 cách rơi: 25 tổng: 10 hay11 số dạng điểm: 6 cách rơi: 27 (trích theo Henry, 2004, tr.4) Thống kê trên cho thấy ứng với tổng bằng 9 hay 12 có 25 cách rơi, còn ứng với tổng bằng 10 hay 11 có 27 cách rơi. Bài thơ này được Henry đánh giá là « một khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp trên các kết cục có thể để chỉ dẫn người chơi », vì đã « liệt kê các dạng khác nhau có thể quan sát được và gắn liền với khả năng nhận được chúng ». I.1.3. Bài toán các điểm và sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội • Bài toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm 1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalita: « Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60 điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược ? (trích theo Henry, 2004, tr.5) Giải pháp của Pacioli là chia số tiền cược tỉ lệ thuận với số bàn thắng của hai phe. Về sau này, trong tác phẩm Liber de lulo aleae5, Jérôme Cardan chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp của Cardan cũng đã bị Tartaglia (1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của mình Cardan đã chú ý đến vấn đề đồng khả năng khi coi con súc sắc như một khối lập phương hoàn hảo. Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé dùng làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa). • Trở lại với trò chơi gieo 3 súc sắc trong bài thơ De Vetula, một bài toán đáng chú ý thứ hai đã được Grand Duc de Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620: 5 Được viết vào khoảng giữa năm 1526 và 1560, mãi đến 1663 mới được xuất bản. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -12-
16. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « Tại sao kinh nghiệm của những người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10 hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6) ? » (trích theo Henry, 2004, tr.5). Phân tích lời giải đáp cho câu hỏi này của Galilé, M. Henry nhận thấy chứng minh của ông cũng sử dụng phép đếm đã được thể hiện tường minh trong bài thơ De Vetula có từ bốn thế kỷ trước đó. Hơn thế, trong một nghiên cứu (được xuất bản năm 1718) Galilé kết luận: « từ bảng này6, những người am hiểu trò chơi có thể đo lường rất chính xác tất cả mọi lợi thế của các ván chơi súc sắc, các cuộc tranh tài và tất cả các qui tắc riêng khác mà người ta quan sát được trong trò chơi ». (trích theo Henry, 2004, tr.5). Phân tích nghiên cứu của Galilé, M. Henry đã đánh giá rằng: « bằng cách đề nghị người chơi trò súc sắc « đo » cơ hội chiến thắng của họ, Galilé đã đến gần với xác suất trong gang tấc, nhưng tất nhiên là đã không diễn đạt được nó » (trích theo Henry, 2004, tr.5). Như vậy, cho đến nửa đầu thế kỷ XVII, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội. Cũng như người ta đã nói « sự kiện này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia », hay « các sự kiện có cùng khả năng xảy ra ». Nhưng cụ thể « độ đo » cơ hội xảy ra của một sự kiện là bao nhiêu ? Được tính bằng cách nào ? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác khi người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp vài trò chơi may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất nhiên, cho đến lúc này, chưa một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. I.2 Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX: vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng I.2.1. Những tính toán đầu tiên về « xác suất » với công cụ của Đại số tổ hợp • Mùa hè 1651, Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược như sau: có lần Méré cùng một người bạn gieo đồng tiền sấp ngửa ăn tiền, họ góp mỗi người 32 đồng tiền vàng làm tiền cược và qui ước nếu Méré gieo 3 lần được tất cả các mặt sấp thì ông được toàn bộ số tiền, còn nếu bạn của ông gieo 3 lần được tất cả các mặt ngửa thì tiền cược thuộc về người bạn ấy. Khi Méré được 2 lần 6 Bảng thống kê trong bài thơ De Vetula. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -13-
17. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương mặt sấp và bạn của ông mới được 1 lần mặt ngửa thì cuộc chơi phải dừng vì nhà vua gọi Méré. Vậy nên chia tiền cược thế nào? Bài toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601-1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc và vào tháng 7 năm 1654, họ đi đến kết luận là Méré được 3/4 tiền cược. Hai ông đã giải đúng nhưng theo hai cách khác nhau. Pascal đã sử dụng tam giác số học các hệ số khai triển của nhị thức (a+b)n để giải bài toán. Phân tích lời giải do Pascal đề nghị, Henry cho rằng phương pháp của ông khá độc đáo và nó nhắc ta nghĩ đến kỳ vọng thắng cuộc. Thật vậy, theo lập luận của Pascal thì phải chia cho người thứ nhất 48 đồng và người thứ hai 16 đồng, và ta thấy: 3 1 3 1 48 = . 64 ; 16 = . 64, trong đó, và lần lượt là « xác suất » để người thứ nhất 4 4 4 4 và người thứ hai nhận được 64 đồng tiền cược. Theo ngôn ngữ hiện đại, kỳ vọng toán của người thứ nhất là 48, còn của người thứ hai là 16. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654), Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ tiền cược phải chia cho hai người chơi: « có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này » (Blaise Pascal, Œuvres complètes, Edition du Seuil, 1963, tr.47, trích theo Pichard, 1997, tr.111) • Khác với Pascal, bằng cách tưởng tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác định được người chiến thắng, Fermat sử dụng các tổ hợp để liệt kê các dãy kết quả thuận lợi có thể có của mỗi người chơi rồi chia tiền cá cược theo tỉ lệ đó. Ông giải thích: « việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các phân số về cùng mẫu số » (trích theo Henry, 2004, tr.6) Chẳng hạn, để giải quyết trường hợp: có ba người chơi, ai thắng ba ván sẽ là người chiến thắng, với giả thiết người thứ nhất đã được 2 ván, hai người kia mỗi người được 1 ván và cho là trò chơi sẽ kết thúc trong tối đa 3 ván nữa, Fermat đưa ra tính toán đầu tiên về xác suất như sau: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -14-
18. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « người thứ nhất có thể thắng sau một, hai hay ba ván. Nếu anh ta thắng chỉ sau một ván, thì phải có một con súc sắc có ba mặt và trong trường hợp đó anh ta gặp thuận lợi. Một con súc sắc tạo nên 3 ngẫu nhiên, nên người chơi này có được 1/3 sự ngẫu nhiên khi chỉ chơi một ván. Nếu chơi hai ván, anh ta có thể thắng hai cách, đó là khi người thứ hai thắng ván đầu và anh ta thắng ván thứ hai, hoặc là người thứ ba thắng ván đầu và anh ta thắng ván thứ hai. Nhưng hai con súc sắc tạo nên 9 ngẫu nhiên nên người chơi này được 2/9 sự ngẫu nhiên khi anh ta chơi hai ván. Nếu chơi ba ván, anh ta chỉ có hai cách thắng: hoặc là người thứ hai thắng ván đầu, người thứ ba thắng ván thứ hai và anh ta thắng ván thứ ba; hoặc là người thứ ba thắng ván đầu, người thứ hai thắng ván thứ hai và anh ta thắng ván thứ ba; bởi vì nếu như người thứ hai hay người thứ ba thắng ở hai ván đầu thì người đó sẽ chiến thắng trò chơi chứ không phải là người thứ nhất. Nhưng ba con súc sắc có 27 ngẫu nhiên nên người thứ nhất này có 2/27 sự ngẫu nhiên khi chơi ba lần. Khi đó, các ngẫu nhiên làm cho người thứ nhất thắng, lần lượt là 1/3, 2/9, 2/27 cho tổng cộng là 17/27 ». (trích dẫn bởi Henry, 2004, tr.6) Theo Henry, có thể hiểu ngầm là Pascal đã thừa nhận sự « đồng khả năng xuất hiện » của các biến cố qua lý lẽ trong thư khi nói « sự ngẫu nhiên là bằng nhau ». Về phần Fermat, ông dùng từ « ngẫu nhiên » để chỉ xác suất của một biến cố. Cũng như Pascal, ông sử dụng tổ hợp để liệt kê các trường hợp có thể và các trường hợp thuận lợi cho mỗi người chơi. Ông cũng thừa nhận giả thiết « đồng khả năng » khi giải quyết bài toán. Tuy nhiên, cần phải nói rằng trong những bức thư trao đổi, cả Pascal lẫn Fermat chưa đưa ra một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ đề nghị dựa vào đó để chia tiền cá cược. Như chúng ta biết, tỷ lệ đó chính là tiền thân của « xác suất » sau này. Với những nghiên cứu chính thức về tính toán « xác suất » của hai nhà toán học Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên đã chuyển thành đối tượng nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính « cơ hội » thắng cuộc. Lúc này, khái niệm « xác suất » còn đang hoạt động trong phạm vi của số học và đại số tổ hợp, chưa có tên, chưa có định nghĩa tường minh và được sử dụng như công cụ tính toán các « cơ hội ». • Do cả Pascal lẫn Fermat đều không chính thức xuất bản một cuốn sách nào nói về các tính toán « xác suất » của mình nên chỉ trong cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc do Christian Huygens xuất bản năm 1657, người ta mới được biết về phép tính mới này. Tuy vậy, thuật ngữ « xác suất » vẫn chưa xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ « cơ hội » để chỉ « xác suất »: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -15-
19. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương « Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc chắn đi nữa thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có một giá trị xác định » (Huygens, bản dịch tiếng Pháp Về các tính toán trong các trò chơi ngẫu nhiên, quyển 14, (Euvres complètes, 22 vol, 1888-1950, La Haye), trích theo Pichard, 1997, tr.112) Theo Pichard, « giá trị của cơ hội » mà Huygens nói đến ở đây chính là « kỳ vọng toán ». Bản thân Huygens cũng đồng quan điểm với Pascal về kỳ vọng toán và ông coi nó như nguồn gốc cho phép tính mới này. Ngày nay, ông có vinh dự được xem là cha đẻ của « lý thuyết xác suất ». • Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ « xác suất » mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay: « đừng chỉ cho rằng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy ra hay không xảy ra và phải chú ý chính xác vào tỉ lệ mà tất cả những cái này có chung, điều này có thể được làm rõ như sau: có trò chơi gồm mười người, mỗi người góp 1 écu, chỉ một người ăn tất cả, còn chín người kia thua; cũng như mỗi người chỉ ngẫu nhiên mà mất 1 écu và có thể được 9 écu Như vậy, mỗi người có hy vọng được 9 écu và mất 1 écu, chín mức độ của xác suất để mất 1 écu và chỉ một mức độ của xác suất để ăn được chín écu. Điều này đặt sự việc trong một sự công bằng hoàn hảo». (trích theo Henry, 2004, tr.6) • Một trong những định nghĩa tường minh đầu tiên của xác suất được tìm thấy trong Thử phân tích các trò chơi ngẫu nhiên của Pierre Raymond de Montmort, xuất bản năm 1708: « Sự rủi may của Pierre7 là tỉ số của tất cả các lần thuận lợi với số tất cả các lần có thể, Trong một trò chơi công bằng, số tiền đặt cược của hai người chơi phải cùng tỉ số với độ xác suất khác nhau hay với kỳ vọng chiến thắng của mỗi người » (Henry, 2004, tr.6-7) Cũng trong tác phẩm này, Montmort đã đưa ra lời giải cho 5 bài toán của Huygens và các bài toán về cơ hội khác. Ông cũng phát triển nhị thức và đa thức, sử dụng đại số tổ hợp để phân tích các trò chơi. 7 Pierre de FERMAT. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -16-
20. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Năm 1713, Montmort xuất bản tác phẩm thứ hai là Chuyên luận về các tổ hợp. Trong tác phẩm này ông đã nhóm các tính chất của đại số tổ hợp đã sử dụng trong tác phẩm đầu của mình theo lời khuyên của Jean Bernoulli. Như thế, trong vòng nửa sau của thế kỷ XVII, từ bài toán chia tiền cá cược mà khái niệm xác suất đã được nảy sinh, và để tính xác suất người ta sử dụng Đại số tổ hợp. Trong trường hợp này, hiển nhiên phải thừa nhận tính đồng khả năng xảy ra của các biến cố. I.2.2. Sự nảy sinh cách tiếp cận « thống kê » của xác suất • Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt hai mươi năm của đời mình để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán, nhưng năm 1713 (8 năm sau khi ông mất), tác phẩm này mới được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản. Bernoulli đã lấy lại các kết quả của Huygens, nghiên cứu sâu các kết quả đó, phát triển lý thuyết chuỗi, làm sáng tỏ vai trò của công thức nhị thức, chỉ ra rằng tần suất của một biến cố tiến về một kết quả theo luật xác suất. Tác phẩm giá trị này gồm 4 phần chính: 1. Giải 5 bài toán do Huygens đặt ra 2. Học thuyết về các hoán vị và tổ hợp 3. Ứng dụng học thuyết trên trong các may rủi thay đổi và các trò chơi súc sắc 4. Áp dụng học thuyết trên vào các vấn đề hộ tịch, đạo đức và kinh tế. Một số kết quả đáng ghi nhận của Bernoulli trong phần cuối của tác phẩm đã được Henry và Coutinho tổng hợp lại như sau: - Bernoulli đã nêu lên một số định nghĩa liên quan đến xác suất: « Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn » « Dự đoán một điều gì đó chính là đo lường xác suất của nó » (trích theo Henry, 2004, tr.7) - Bernoulli thừa nhận định nghĩa tiên nghiệm của xác suất trong các tình huống đồng khả năng: « Đặt b là số trường hợp mà một đối số nào đó tồn tại, đặt c là số trường hợp mà nó có thể không tồn tại, ( ). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; ( ) sao cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của sự việc ». (trích theo Henry, 2004, tr.7) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -17-
21. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương - Nhưng ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất bằng phương pháp đếm. Sự hạn chế này sinh ra từ việc giả sử các biến cố sơ cấp là đồng xác suất. Cụ thể, Bernoulli đã chứng tỏ rằng: « Sự cần thiết này loại trừ việc ứng dụng học thuyết về cơ hội vào các hiện tượng tự nhiên phức tạp như: sự xuất hiện một bệnh nhân hay các hiện tượng về khí tượng, hay dự đoán các chiến lược của người chơi mà cách hoạt động là không thể đoán trước » (Henry, 1997, tr.22, trích theo Coutinho, 2001, tr.38). - Để ước lượng xác suất trong bối cảnh này, Bernoulli đề nghị xác định hậu nghiệm xác suất của biến cố mong đợi sau khi quan sát thực nghiệm một số lớn phép thử giống nhau qua sự ổn định tần suất. Trích đoạn dưới đây của Bernoulli gợi ra phương pháp tiến hành thống kê: « Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có được cái mà chúng ta tìm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát các kết cục của nhiều ví dụ tương tự ; » (Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39) - Điều này được Henry đánh giá là cái gút của vấn đề. Ông nói: « nó dẫn Bernoulli đến việc đề ra cách ước lượng tần suất cho khái niệm xác suất » (Henry, 2004, tr.7). - Coutinho bình luận lời lẽ của Borovcnik (1991) như sau: « chính từ sự thay đổi cương vị này của xác suất, ta có thể đưa ra một cách mới để ước lượng cơ hội xảy ra của biến cố, đó là phương pháp thực nghiệm. Một tiếp cận như vậy giả sử rằng xác suất là một dữ kiện khách quan, gắn liền với biến cố và phép thử. Sự ước lượng này được chứng minh bởi sự hội tụ của dãy các tần suất được quan sát, các dữ kiện bên trong của phép thử được lặp lại, độc lập với vị trí chủ quan của người quan sát » (Coutinho, 2001, tr.39) - Để làm rõ thêm cho tiếp cận nêu trên, Coutinho trưng ra định nghĩa khái niệm xác suất của Rényi (được trình bày trong giáo trình xác suất của ông, xuất bản năm 1966): « Ta gọi xác suất của một biến cố là con số mà tần suất tương đối của biến cố được xem xét dao động xung quanh con số này ( ) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -18-
22. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Vì vậy ta coi xác suất như một giá trị độc lập với người quan sát, giá trị này gần bằng với tần suất của biến cố được xem xét khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử » (Coutinho, 2001, tr.39) Định nghĩa xác suất như trên theo Rényi còn được gọi là định nghĩa « thống kê » của xác suất. Như vậy, có thể nói là với « Thuật suy đoán » của Bernoulli, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích. Chúng ta biết rằng điều này có một ý nghĩa quan trọng, bởi từ chỗ chỉ có thể tính xác suất tiên nghiệm cho trường hợp các biến cố đồng khả năng xuất hiện người ta đã chuyển sang phạm vi của những biến cố phức tạp hơn như tác giả nói. • Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công trình Học thuyết về cơ hội của Abraham de Moivre được công bố vào năm 1718. Tác phẩm này là một xử lý thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất. Với Học thuyết về cơ hội, Moivre đã tu chỉnh định lý của Bernoulli và đưa ra một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý về giới hạn trung tâm. Trong tác phẩm này Moivre cũng giải các bài toán chia tiền cược trong trường hợp mỗi người trong hai người chơi có một xác suất riêng nào đó để chiến thắng trong từng ván. Ngoài ra ông còn đưa vào khái niệm hàm sinh, khái niệm độc lập, và khái niệm xác suất có điều kiện. Có thể nói là nếu như trước thế kỷ XVIII công cụ số học và đại số tổ hợp gắn liền với các công trình nghiên cứu về tính toán cơ hội thì ở đây các thành tựu của giải tích hiện đại đã thực sự được sử dụng trong tính toán xác suất. • Vấn đề còn lại mà Bernoulli chưa làm sáng tỏ được là việc tối ưu hóa số thí nghiệm cần thiết để phỏng đoán một xác suất. Moivre và sau này là Laplace đã tìm cách giải quyết vấn đề đó. Henry ghi nhận lại kết quả của hai ông như sau: « Định lý Moivre-Laplace sau này cho phép đưa ra một giá trị tương đương với xác suất P (F -ε < p < F + ε) nên cũng cho phép tính được con số lý tưởng các thí nghiệm cần thực hiện để có độ chính xác ε và độ tin cậy 1-α cho trước. Cũng như với độ chính xác 3% và độ tin cậy 95% (α = 5%) thì các điều tra thông thường hiện nay có thể phỏng đoán được xác suất với kích thước mẫu thử vào khoảng 1000 » (Henry, 2004, tr.8) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -19-
23. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương • Liên quan đến kiểu tiếp cận này, như chúng ta biết, Buffon8 là một trong những người đầu tiên đã tiến hành thực nghiệm với việc tung đồng xu nhiều lần. Ông đã đưa ra bảng tần số xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa để chứng tỏ tần suất xuất hiện mỗi mặt đều xấp xỉ bằng 1/2. I.2.3. Định nghĩa khái niệm xác suất của Laplace Cho đến đầu thế kỷ XIX, ngoài định nghĩa theo kiểu mô tả của Bernoulli (« Xác suất trong thực tế là mức độ chắc chắn », « Dự đoán một điều gì đó chính là đo lường xác suất của nó ») thì chưa có một định nghĩa toán học nào về khái niệm xác suất. Vấn đề này chỉ được giải quyết bởi Pierre Simon Marquis de Laplace trong Chuyên luận giải tích về xác suất công bố năm 1812. Với chuyên luận này Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất. Định nghĩa của ông được trình bày trong cùng một cách tiếp cận của Pascal, Fermat, Huygens và Monmort: « Nguyên lý thứ nhất cũng là định nghĩa của xác suất, như đã biết, đó là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra» (P.S. Laplace, Introduction du traité analytique des probabilité, trích theo Thiénard, 1997, tr.140) Để nhấn mạnh điều kiện sử dụng cho định nghĩa trên, Laplace đã viết: « Lý thuyết về sự ngẫu nhiên dựa trên việc rút gọn tất cả các biến cố cùng loại về một số nào đó các trường hợp đồng khả năng xác định số các trường hợp thuận lợi cho biến cố mà ta tính xác suất. Tỉ số của con số này với số tất cả các trường hợp có thể, là số đo của xác suất, nó là một phân số có tử là số trường hợp thuận lợi và mẫu là số tất cả các trường hợp có thể ». (trích theo Thiénard, 1997, tr.140) Như vậy, trước khi tính xác suất, ta phải đưa ra các giả thiết về sự đồng khả năng rồi tính xác suất bằng cách đếm các kết cục thuận lợi. Tuy vậy, Laplace cũng nhận thấy không phải luôn luôn có thể đưa về các trường hợp đồng khả năng được, nên trong nguyên lý thứ hai, ông viết: « Nhưng điều đó giả định rằng các trường hợp là đồng khả năng. Nếu chúng không đồng khả năng, trước hết ta phải xác định các khả năng riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một trong 8 Năm 1733, trong một luận văn trình bày trước Viện hàn lâm khoa học hoàng gia, Buffon còn giới thiệu khái niệm « xác suất hình học » qua trò chơi « Franc-Carreau » và « bài toán cây kim ». Từ bài toán này ông đã tính gần đúng số pi (tham khảo Henry, 2004). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -20-
24. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương những điểm khó nhất của lý thuyết về sự ngẫu nhiên. Khi đó, xác suất sẽ là tổng các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi ». (trích dẫn bởi Thiénard, 1997, tr.140) Ví dụ mà Laplace đưa ra để minh họa cho nguyên lý thứ hai này là tung một đồng tiền có hai mặt: sấp và ngửa. Bài toán yêu cầu tìm xác suất để được ít nhất một mặt ngửa sau hai lần tung. Laplace nêu lên rằng: « rõ ràng là có bốn trường hợp đồng khả năng ». Để đơn giản trong cách viết, chúng tôi ghi bốn trường hợp này là NN, NS, SN, SS (S: sấp; N: ngửa). Ông đã giải thích rằng: bốn trường hợp có xác suất đều bằng 1/4, ba trường hợp đầu là thuận lợi cho biến cố có ít nhất một mặt ngửa nên xác suất cần tìm là 3/4. Mặc dù Laplace không ghi rõ phép toán, nhưng có thể hiểu rằng: 3 1 1 1 = + + 4 4 4 4 Ông còn phân tích một lời giải sai và sửa lại như sau: « Khi lần đầu được mặt « ngửa » thì không cần tung lần thứ hai; nếu lần đầu « sấp » thì lần thứ hai có thể là « ngửa » hay « sấp ». Điều này rút gọn về xác suất 2/3, nếu ta coi ba trường hợp này là đồng khả năng như d’Alambert. Nhưng rõ ràng là xác suất để có mặt « ngửa » lần đầu là 1/2, trong khi hai trường hợp kia có xác suất là 1/4. Trường hợp đầu là một biến cố đơn tương ứng với hai biến cố kép: « ngửa » lần đầu và lần hai; « ngửa » lần đầu và « sấp » lần hai. Theo nguyên lý thứ hai, ta thêm xác suất 1/2 của hai mặt « ngửa » lần đầu với xác suất 1/4 của trường hợp « sấp » lần đầu, « ngửa » lần hai thì được 3/4 cho xác suất cần tìm, điều đó phù hợp với kết quả tìm được khi giả sử là tung đồng tiền hai lần. Giả thiết này không làm thay đổi gì sự may rủi của người cá cược biến cố này. Nó chỉ giúp rút gọn các trường hợp khác nhau về các trường hợp đồng khả năng ». (trích theo Thiénard, 1997, tr.140-141) Có thể nói Laplace đã đưa ra một định nghĩa tường minh cho khái niệm xác suất, dựa trên giả thiết về sự đồng khả năng. Ngày nay, định nghĩa khái niệm xác suất như trên của Laplace còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác suất, hay « định nghĩa theo Laplace ». Nó được gọi là cổ điển vì xác suất chính là tỉ số đã được Pascal, Fermat và Huygens nói đến trước đây (bấy giờ nó chưa có tên gọi chính thức là xác suất như Laplace nêu lên ở đây). Tóm lại, trong suốt hai thế kỷ rưỡi, các tính toán xác suất đã hình thành và phát triển với hai điểm nổi bật là: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -21-
25. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương - Tính xác suất theo công thức của Laplace với giả thiết về sự đồng khả năng của các biến cố. - Ước tính xác suất hậu nghiệm qua quan sát thực nghiệm một số lượng lớn các phép thử ngẫu nhiên như nhau theo Bernoulli khi các biến cố không đồng khả năng. I.3. Thế kỷ XX: Giai đoạn toán học hiện đại và vấn đề tiên đề hóa lý thuyết xác suất Một trong những khó khăn trong việc phát triển lý thuyết xác xuất là đi đến một định nghĩa tổng quát, chính xác trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích, trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thể thay cho các hàm sinh bởi một hàm số đặc trưng. Tiếp đó là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XX đã dẫn đến xu hướng xây dựng một lý thuyết xác suất hình thức hơn theo phương pháp tiên đề của Hilbert. Năm 1928, Von Mises đề nghị một hệ tiên đề bằng tiếp cận thống kê, theo đó xác suất được định nghĩa như là giới hạn chung của một dãy các tần suất. Nhưng định nghĩa này được đánh giá là nặng về mặt kỹ thuật và không đủ cho sự hiểu biết tổng quát về mặt khái niệm (tham khảo Henry, 2004). Borel đã giải thích là phải đi theo chiều hướng nào: « Lý thuyết xác suất liên tục có thể đặt cơ sở trên các hệ tiên đề và các định nghĩa hoàn toàn giống với cái mà ta đã làm trong lý thuyết độ đo » (Henry, 2004, tr.10) Năm 1933, một công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Nga Andreï Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Theo lý thuyết này, một phép thử ngẫu nhiên và các kết cục của nó được biểu thị bởi một tập hợp Ω bất kỳ, trên đó có định nghĩa một độ đo bị chặn μ với μ(Ω) = 1. Xác suất của một biến cố là độ đo μ của tập hợp mô tả biến cố A nào đó liên quan đến một phép thử ngẫu nhiên. Đó là một số thực, được ghi là μ(A) sao cho μ thỏa các tiên đề: Tiên đề 1 Với mọi biến cố A, 0 ≤ μ(A) ≤ 1 Tiên đề 2 Với Ω là không gian các biến cố sơ cấp, μ (Ω) = 1. Tiên đề 3 Với mọi dãy các biến cố đôi một rời nhau, A1, A2, , thì: μ(A1 ∪ A2 ∪ ) = ∑ μ(Ai) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -22-
26. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Hệ tiên đề này chấp nhận một cách hài hòa các khái niệm về biến ngẫu nhiên và các qui luật (sự chuyển từ Ω và µ trong lĩnh vực số). Kể từ đó, những ý tưởng này đã được chọn lọc lại phần nào và ngày nay lý thuyết xác xuất và thống kê trở thành một ngành toán ứng dụng, được biết đến như là lý thuyết độ đo và có phạm vi hoạt động rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như: vật lý (phương trình sóng), cơ học (chuyển động Brownien), sinh vật, kinh tế (đánh giá trợ cấp lợi tức trọn đời, đánh giá sự biến động tài sản-hàng hóa, ), địa lý, giáo dục, xã hội học, nhân khẩu học (tỉ lệ trẻ sơ sinh trai-gái, tỉ lệ sinh-tử,) . §II. VÀI KẾT LUẬN Việc tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu lịch sử của lý thuyết xác suất ở trên cho phép chúng tôi hình dung được quá trình nảy sinh, phát triển của nó, và đặc biệt là một số đặc trưng khoa học luận chủ yếu của khái niệm xác suất. II.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển Như nhiều khái niệm toán học khác, sự hình thành khái niệm xác suất phải trải qua một thời gian khá dài và gắn liền với những vấn đề nảy sinh từ thực tế. Có thể phân chia quá trình hình thành khái niệm này thành bốn giai đoạn chủ yếu, trong đó, ba giai đoạn đầu tương ứng với ba cơ chế khác nhau của nó. • Trong giai đoạn đầu (Từ thời Trung đại đến nửa đầu thế kỷ XVII): xác suất lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất hiện như là công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi. Ở giai đoạn này, Đại số tổ hợp đã bước đầu được khai thác trong tính toán các cơ hội (xác suất). • Giai đoạn thứ hai (nửa sau thế kỷ XVII): khái niệm xác suất nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cá cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat. Thuật ngữ xác suất lần đầu xuất hiện năm 1662 trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và Pierre Nicole nhưng vẫn chưa có định nghĩa toán học chính thức nào. Xác suất vẫn lấy cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên cứu. Nói cách khác, nó xuất hiện dưới hình thức paramathématique. Trong giai đoạn này, các tính toán về cách chia tiền cá cược đều được đưa về xét trên các biến cố đồng khả năng xuất hiện, và thường lấy đại số tổ hợp làm công cụ tính. • Giai đoạn thứ ba (đầu thế kỷ XVIII đến cuối thế kỷ XIX): xác suất chính thức có cơ chế của một khái niệm toán học. Với công trình công bố năm 1812 của Laplace, xác suất được định nghĩa là tỷ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -23-
27. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương • Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Với Andreï Kolmogorov (1933), khái niệm xác suất được định nghĩa một cách hình thức bằng phương pháp tiên đề. Tính toán xác suất ngày càng phát triển và là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của toán ứng dụng, vật lý học, cơ học, sinh vật học, II.2. Phạm vi tác động của khái niệm xác suất và các bài toán có liên quan • Phạm vi tác động của khái niệm xác suất: Khái niệm xác suất bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng bài toán tính cơ hội thắng cuộc trong trò chơi cá cược, sau đó được sử dụng như một công cụ trong số học (tính giá trị gần đúng của số pi, ), rồi trong các lĩnh vực ngoài toán học như trong vật lý học, cơ học, sinh học, kinh tế, • Các bài toán trong đó khái niệm xác suất có cơ hội tác động là - Bài toán chia tiền cá cược trong trò chơi may rủi ăn thua, - Bài toán ước tính cơ hội chiến thắng trong trò chơi ngẫu nhiên, - Bài toán tính giá trị gần đúng của số pi, - Bài toán tính gần đúng diện tích của một hình bằng phương pháp ngẫu nhiên (xác suất hình học), - Các bài toán ứng dụng trong lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, sinh học, II.3. Các đối tượng có liên quan Sự nảy sinh và phát triển lý thuyết xác suất gắn liền với các khái niệm khác phát triển đồng thời với nó. Trước hết phải nói đến phép thử có các kết quả ngẫu nhiên mà phổ biến nhất là trò chơi gieo súc sắc ăn tiền. Chính vì không biết trước kết quả xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên mà người ta phải tìm cách đánh giá, ước lượng và tính toán khả năng xảy ra của một biến cố có thể xảy ra với phép thử đó. Cũng chính vì thế mà Bernoulli đã mô tả xác suất như một con số để đánh giá khả năng xảy ra của biến cố. Các phép thử ngẫu nhiên này lại chia thành nhiều loại: - phép thử ngẫu nhiên có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Tập hợp các phép thử đồng khả năng này chính là phạm vi hợp thức của định nghĩa cổ điển theo Laplace - phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả không đồng khả năng xuất hiện (thường phải sử dụng quan sát thực nghiệm để tính tần số xuất hiện của biến cố, từ đó ước lượng giá trị gần đúng cho xác suất), - phép thử ngẫu nhiên bất kỳ (sử dụng mô hình tiên đề của Kolmogorov để định nghĩa xác suất một cách tổng quát), Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -24-
28. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương Những khái niệm khác có vai trò quan trọng trong lịch sử của khái niệm xác suất là: tỉ lệ thức, đại số tổ hợp (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) được sử dụng như công cụ để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của Laplace. Khái niệm tần số, tần suất xuất hiện của một biến cố, dãy số, giới hạn, cũng có vai trò kỹ thuật khi ước lượng giá trị của xác suất theo quan điểm thống kê. Một khái niệm không thể không nói đến chính là hàm số, nó có mặt trong lý thuyết xác suất hiện đại như một độ đo và là công cụ để hoàn thiện lý thuyết về xác suất hiện đại. II.4. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất Từ nghiên cứu lịch sử, các tác giả Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Michel HENRY, Bernard Parzysz đều thống nhất rằng khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách sau đây: • Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne): - Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. - Để tính xác suất theo Laplace, đòi hỏi phải có một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận này). - Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất. Chính vì thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là « tiếp cận đại số tổ hợp ». - Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính được xác suất mà không cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác suất theo định nghĩa của Laplace là « xác suất chủ quan » hay « xác suất tiên nghiệm ». • Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique): - Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử. - Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là « xác suất khách quan » vì giá trị của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm. Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -25-
29. www.VNMATH.com Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất Vũ Như Thư Hương không thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng từ góc độ dạy-học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau: - Trước hết, nó dựa trên sự « hội tụ » của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích. - Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là « học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất » (tham khảo Parzysz, 2003, tr.31-32). • Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique) - Xác suất được định nghĩa như « một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên » và thỏa mãn một hệ tiên đề. - Là một mô hình thuần toán học cao cấp nên tiếp cận này quá khó hiểu đối với học sinh PTTH và chỉ được cung cấp ở bậc đại học. Trong ba tiếp cận trên, tiếp cận nào được các tác giả sách giáo khoa Việt nam chọn để giới thiệu khái niệm xác suất trong sách giáo khoa ? Sự lựa chọn này đã dẫn đến những ràng buộc thể chế nào ? Đây là những câu hỏi mà chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -26-
30. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương Chương 2 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT MỞ ĐẦU • Mục đích của chúng tôi ở đây là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất. Thể chế mà chúng tôi quan tâm là việc dạy học toán theo chương trình và sách giáo khoa hiện đang được triển khai thí điểm ở một số trường Trung học phổ thông. Nghiên cứu thể chế của chúng tôi sẽ được đặt dưới ánh sáng của phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm xác suất đã trình bày ở chương trước. Với nghiên cứu thể chế này, chúng tôi muốn tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: - Khái niệm xác suất được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán trung học phổ thông ra sao, qua những tình huống nào ? Khái niệm xác suất lấy nghĩa nào qua những tình huống trên ? - Có những đối tượng nào liên quan đến khái niệm xác suất ? Chúng đóng vai trò gì ? - Những praxéologie nào liên quan đến khái niệm xác suất được đưa vào sách giáo khoa ? - Mối liên hệ giữa thống kê và xác suất được thể hiện như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa ? - Việc dạy-học xác suất bị chi phối bởi những hợp đồng didactique nào ? • Cần phải nói rõ rằng theo chương trình thí điểm thì học sinh lớp 10, lớp 11 được phân thành hai ban, ban Khoa học tự nhiên và ban Khoa học xã hội & Nhân văn. Có 2 bộ sách giáo khoa do 2 nhóm tác giả viết theo chương trình thí điểm. Người ta gọi Bộ 1 là bộ được viết bởi nhóm tác giả do GS Đoàn Quỳnh làm tổng chủ biên, Bộ 2 có tổng chủ biên là PGS Trần Văn Hạo. Như thế, đối với lớp 11 (cũng như lớp 10 và 12) có 4 cuốn sách giáo khoa viết cho phân môn Đại số-Giải tích. Tuy nhiên, trong mỗi bộ sách 1 và 2 thì sự khác nhau giữa hai cuốn sách giáo khoa của hai ban không phải là nhiều. Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ chỉ phân tích hai cuốn sách Đại số và Giải tích dành cho ban Khoa học tự nhiên được soạn thảo bởi hai nhóm tác giả. • Đối với chương trình, trước khi phân tích phần Lý thuyết xác suất dạy ở lớp 11, chúng tôi sẽ lướt qua các nội dung về Thống kê dạy ở lớp 10, vì, như đã biết, giữa Thống kê toán - bao gồm Thống kê mô tả và Thống kê suy đoán, với Lý thuyết xác suất có một mối liên hệ khá gắn bó. Nhờ Thống kê mô tả người ta nhận ra được một số quy luật thực nghiệm của hiện tượng. Vấn đề đặt ra sau đó là từ quy luật thực nghiệm phải phát hiện ra quy luật lý Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -27-
31. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương thuyết. Thực hiện yêu cầu đó là nhiệm vụ của Thống kê suy đoán. “Chính Lý thuyết xác suất sẽ cung cấp cho ta những quy luật lý thuyết dùng để “soi sáng” các quy luật thống kê, giúp ta nghiên cứu các quy luật thực nghiệm một cách hoàn thiện hơn, làm cho Thống kê toán từ chỗ có tính chất mô tả đến chỗ có khả năng phân tích, dự đoán có cơ sở khoa học và sâu sắc” (Lê Văn Phong, 1982, tr.60). Như vậy, nếu tách rời Lý thuyết xác suất thì Thống kê toán sẽ mất đi nhiều kết quả quan trọng do phần Thống kê suy đoán mang lại, và do đó nó sẽ bị thu hẹp vào Thống kê mô tả. Mặt khác, như phân tích khoa học luận ở chương 2 đã chỉ ra, còn có một mối liên hệ theo chiều ngược lại: Thống kê mô tả cũng cần thiết cho việc nghiên cứu Lý thuyết xác suất. Nó cần thiết cho việc tiếp cận khái niệm Xác suất theo quan điểm thống kê. Vậy thì Thống kê mô tả được dạy ở các lớp dưới chuẩn bị cho việc dạy học Lý thuyết xác suất ở lớp 11 như thế nào ? Và Lý thuyết xác suất được dạy ở lớp 11 khai thác các kiến thức về Thống kê mô tả ra sao ? Trả lời những câu hỏi này cũng là một trong những điều cần thiết cho hoạt động giảng dạy hai nội dung mới của chương trình. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -28-
32. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương §I. PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH THÍ ĐIỂM I.1. Thống kê mô tả trong chương trình thí điểm lớp 10 Chương trình thí điểm bậc Trung học phổ thông là một sự tiếp nối chương trình Trung học cơ sở đã được triển khai đại trà. Theo chương trình này, từ lớp 7, học sinh đã được làm quen với vài yếu tố của Thống kê mô tả như tần số, biểu đồ, trung bình cộng, mốt của dấu hiệu. Mục đích của dạy-học thống kê mô tả ở lớp 7 là « hệ thống lại một số kiến thức và kỹ năng về thống kê mà học sinh đã biết rải rác ở các dưới, như thu thập số liệu, dãy số, số trung bình cộng, biểu đồ, bước đầu hiểu được một số khái niệm cơ bản và thấy được vai trò của thống kê trong thực tiễn » (Sách giáo viên Toán 7, tr.3). Chương trình thí điểm lớp 10 tiếp tục cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức, kỹ năng ban đầu về Thống kê mô tả, với các nội dung: – Bảng phân phối thực nghiệm ghép lớp tần suất. – Biểu đồ tần suất và đa giác tần suất. – Số trung bình cộng - Số trung vị - Mốt. – Phương sai và độ lệch chuẩn. – Hệ số biến thiên. Mục đích cần đạt được về mặt kiến thức là: « Bước đầu hiểu được cách tính, nội dung và ý nghĩa của các số đặc trưng của bảng phân phối thực nghiệm » (Sách giáo viên, Đại số 10, bộ hai, tr.151) Xét riêng về vai trò của khái niệm tần số, tần suất ở giai đoạn này thì chương trình xác định là chúng cho phép nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê qua bảng phân phối thực nghiệm (theo tần số hoặc tần suất ): « Dựa vào bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp, ta cũng nêu được nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống kê » (Sách giáo viên, Đại số 10, bộ hai, tr.155) Ở lớp 10, khái niệm tần suất được xây dựng từ khái niệm tần số ở lớp 7, nhưng lần này không chỉ là dữ liệu rời rạc mà còn mở rộng cho dữ liệu liên tục. Như vậy, trước khi học xác suất ở lớp 11, học sinh đã được cung cấp những kiến thức tối thiểu về thống kê, trong đó có khái niệm tần số, tần suất là các yếu tố cấu thành nên định nghĩa thống kê của xác suất ở lớp 11 sau này. I.2. Xác suất trong chương trình thí điểm lớp 11 Khái niệm xác suất được đưa vào giảng dạy chương II có tên gọi Tổ hợp và xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Chương này được dạy trong 20 tiết, gồm các nội dung sau: Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -29-
33. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương – Hai qui tắc đếm cơ bản. – Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. – Công thức nhị thức Newton. – Biến cố và xác suất của biến cố. – Các qui tắc tính xác suất. – Xác suất có điều kiện. – Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. – Kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc. Mục tiêu về kỹ năng mà học sinh phải đạt được sau khi học chương II là: « Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất » (Sách Giáo viên bộ 1, tr.93). « Biết cách mô tả, xây dựng không gian mẫu, mô tả các biến cố liên quan với phép thử và tính xác suất của nó theo định nghĩa cổ điển » (Sách Giáo viên bộ 2, tr.51). Phần Đại số tổ hợp đã được khẳng định là công cụ chủ yếu cho tính toán xác suất: « Các bài toán về xác suất ở đây có liên quan chặt chẽ đến vấn đề tổ hợp. Do đó, nếu học sinh có kỹ năng giải toán tổ hợp tốt thì có nhiều thuận lợi khi giải các bài toán về xác suất » (Sách giáo viên bộ 1, tr.13). Trong lời giải thích chương trình, chúng tôi không tìm thấy ở đâu yêu cầu sử dụng những kiến thức về thống kê mô tả đã được đề cập ở lớp 10 vào việc nghiên cứu xác suất. Dường như chương trình đặt trọng tâm vào việc tính xác suất bằng các phương tiện của Đại số tổ hợp. Điều này cũng có nghĩa là định nghĩa cổ điển của khái niệm xác suất được xem là trọng tâm của chương trình. Như vậy, việc bày tỏ mục tiêu và lời giải thích một cách tường minh này có thể cho thấy một qui tắc hợp đồng didactique như sau: R1: Muốn tìm xác suất của một biến cố thì phải sử dụng công thức của định nghĩa cổ điển của xác suất. §II. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA Như đã nói, chúng tôi sẽ phân tích hai cuốn sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 dành cho Ban Khoa hoc tự nhiên. Tổng chủ biên của cuốn thứ nhất là GS Đoàn Quỳnh, của cuốn thứ hai là PGS Trần Văn Hạo. Để cho tiện, chúng tôi dùng ký hiệu M1 để chỉ cuốn thứ nhất, M2 để chỉ cuốn thứ hai. Đi kèm với mỗi cuốn sách giáo khoa là một cuốn Sách bài tập và một cuốn Sách Giáo viên. Trong nhiều trường hợp, để hiểu rõ ý đồ của tác giả, chúng tôi sẽ phải tham khảo các cuốn Sách giáo viên. Chẳng hạn, trong những cuốn sách này người ta giải Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -30-
34. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương thích cho giáo viên sự lựa chọn, những điều ngầm ẩn trong sách giáo khoa. Người ta còn đưa ra lời giải cho phần lớn bài tập được đề nghị trong sách giáo khoa. Việc xem xét các lời giải đó sẽ giúp cho chúng tôi hiểu được điều người ta chờ đợi, đòi hỏi ở học sinh. Đó là một trong những yếu tố mà chúng tôi cần phải dựa vào để vạch rõ các quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng xác suất. Việc tham khảo các cuốn Sách bài tập đối với chúng tôi cũng là cần thiết, theo nghĩa nó giúp làm rõ hơn những tổ chức toán học đã được đưa vào trong sách giáo khoa. Chúng tôi sẽ dùng ký hiệu G1 để chỉ Sách giáo viên, E1 để chỉ Sách bài tập ứng với Sách giáo khoa M1. Cũng như vậy, ứng với M2 có Sách giáo viên G2 và Sách bài tập E2. Việc phân tích sách giáo khoa nhằm mục đích tìm hiểu xem khái niệm xác suất được trình bày theo quan điểm nào và qua những kiểu tình huống nào, những tổ chức toán học nào đã được đưa vào, những kỹ thuật tính xác suất nào được ưu tiên sử dụng ? Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ chỉ các qui tắc của hợp đồng didactique trong dạy và học khái niệm xác suất. II.1. Xác suất trong M1 II.1.1. Phần lý thuyết ■ Về một số khái niệm gắn liền với khái niệm xác suất • Phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu M1 đưa ra một mô hình quen thuộc của phép thử ngẫu nhiên, đó là gieo súc sắc. « Khi gieo một con súc sắc, số chấm trên mặt xuất hiện được coi là kết quả của việc gieo súc sắc. Ta nhận thấy rằng rất khó đoán trước được kết quả của mỗi lần gieo. Nó có thể là bất kỳ một con số nào trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ta gọi việc gieo súc sắc nói trên là một phép thử ngẫu nhiên ». (M1 tr.79) Qua đó, M1 đưa ra định nghĩa: « Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: - Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau; - Kết quả của nó không dự đoán trước được; - Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thường được ký hiệu bởi chữ T. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được ký hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô-mê-ga)». (M1 tr.80) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -31-
35. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương • Biến cố - Tập hợp mô tả biến cố Thuật ngữ « biến cố » được M1 sử dụng ngay trong một ví dụ có mục đích là dẫn dắt đến khái niệm biến cố. «Ví dụ3: Giả sử T là phép thử « Gieo một con súc sắc ». Xét biến cố A: « Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn». Ta thấy việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A tùy thuộc vào kết quả của T. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T là 2, hoặc 4, hoặc 6. Do đó biến cố A được mô tả bởi tập hợp ΩA = {2, 4, 6}. Biến cố A được gọi là biến cố liên quan đến phép thử T» (M1 tr.80) Ở đây, khái niệm « biến cố » được hiểu qua « tập hợp mô tả biến cố » (thuật ngữ này được sử dụng trong G1, tr.109). Sách giáo khoa M1 phân biệt « biến cố » một cách rất thận trọng với « tập hợp mô tả » nó, không đồng nhất « biến cố » với một tập hợp. G1 giải thích điều này rằng: « Về mặt toán học, ta có thể đồng nhất mỗi biến cố A với một tập con ΩA mô tả nó ». Nhưng, « Định nghĩa như vậy là hình thức, có tính “hàn lâm”, do đó làm mất đi tính trực quan sinh động vốn có của khái niệm biến cố » (G1, tr.110) Sau đó, M1 tổng quát hóa khái niệm biến cố: « Một cách tổng quát: Một biến cố A liên quan tới phép thử T được mô tả bởi một tập con ΩA nào đó của không gian mẫu Ω của phép thử đó. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập ΩA. Mỗi phần tử của ΩA được gọi là một kết quả thuận lợi cho A ». (M1 tr.81) • Tiếp sau đó, M1 đưa vào các khái niệm biến cố chắc chắn, biến cố không thể, biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố giao, biến cố độc lập. • Khái niệm Tần số - Tần suất đã nghiên cứu ở lớp 10 nay cũng được nhắc lại: « Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần. Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T » (M1 tr.83) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -32-
36. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương ■ Về định nghĩa của khái niệm xác suất Cấu trúc của tiến trình đưa vào khái niệm xác suất trong M1 là: Đại số tổ hợp ↓ Xác suất theo định nghĩa cổ điển ↓ Xác suất theo định nghĩa thống kê Trình tự này tuân theo lịch sử hình thành khái niệm xác suất: các phép đếm cơ bản, đại số tổ hợp xuất hiện trước và có vai trò công cụ cho việc tính xác suất theo định nghĩa của Laplace (định nghĩa cổ điển) với giả thiết về sự đồng khả năng xuất hiện của các kết quả. Sau đó, để giải quyết các bài toán tính xác suất trong trường hợp các kết quả không đồng khả năng xuất hiện hay phép thử có vô hạn kết quả thì phải qua thực nghiệm để tìm giá trị ổn định của tần suất xuất hiện của biến cố đó và coi như là một giá trị gần đúng của xác suất, tức sử dụng định nghĩa thống kê của xác suất theo luật số lớn của Bernoulli. Ta hãy xem M1 trình bày định nghĩa khái niệm xác suất như thế nào. • Chúng ta biết rằng trong lịch sử, thuật ngữ « khả năng », « cơ hội » ra đời trước thuật ngữ « xác suất ». Cũng vậy, M1 đã sử dụng từ « khả năng » trong lúc đặt vấn đề để đi đến khái niệm xác suất như sau: « Trong cuộc sống hàng ngày, khi nói về biến cố ta thường nói biến cố này có khả năng xảy ra hơn biến cố kia. Toán học đã định lượng hóa các khả năng này bằng cách gán cho mỗi biến cố một con số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 gọi là xác suất (phần chắc) của biến cố đó. Xác suất của biến cố A được ký hiệu là P(A). Nó đo lường khả năng khách quan sự xuất hiện của biến cố A. Biến cố chắc chắn (biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 1. Biến cố không thể (biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác suất bằng 0 ». (M1 tr.81) Như vậy, xác suất ở đây mang nghĩa là “khả năng xảy ra” của biến cố, là “phần chắc” của một biến cố; nó có dạng « một con số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1 » được gán cho mỗi biến cố với mục đích « định lượng » (quantifier) khả năng xảy ra của biến cố đó. Trong trích dẫn trên, M1 đã cho biết con số này « là một số không âm, nhỏ hơn hay bằng 1» - đây chính là nội dung của tiên đề thứ nhất trong hệ tiên đề Kolmogorov. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -33-
37. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương • Sau đó, qua một ví dụ, M1 đưa ra tình huống để phân tích các điều kiện về giả thiết của định nghĩa cổ điển: không gian mẫu có hữu hạn phần tử và các kết quả đồng khả năng xuất hiện. Cũng qua ví dụ đó, M1 liệt kê tập hợp mô tả của biến cố A để sau đó định nghĩa xác suất của chính A: « Ví dụ 4: Giả sử T là phép thử « Gieo hai con súc sắc ». Kết quả của T là cặp số (x;y), trong đó x và y tương ứng là kết quả của việc gieo con súc sắc thứ nhất và thứ hai. Các kết quả có thể xảy ra của T được cho trong bảng sau đây: y (x; y) 1 2 3 4 5 6 x 1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Không gian mẫu Ω của T là Ω ={(1; 1), (2; 1), (3; 1),(4; 1), (5; 1), (6; 1), , (1; 6), (1; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Phép thử T có 36 kết quả có thể. Nếu con súc sắc được chế tạo cân đối thì các mặt của con súc sắc đều có cùng khả năng xuất hiện. Ta nói 36 kết quả của T là đồng khả năng. Xét biến cố A: « Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là 7 » Tập con ΩA của Ω mô tả A gồm 6 phần tử là: ΩA ={ (1; 6), (2; 5), (3; 4),(4; 3), (5; 2), (6; 1) } 6 1 Khi đó tỉ số = được coi là xác suất của A » 36 6 (M1 tr.81-82) • Sau ví dụ dẫn dắt trên, M1 chính thức đưa ra thuật ngữ « Định nghĩa cổ điển của xác suất » như sau: « a) Định nghĩa cổ điển của xác suất: Một cách tổng quát: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và ΩA là Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -34-
38. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số, ký hiệu P(A), được xác Ω định bởi công thức: P( A ) = A (I.1) Ω trong đó Ω A và Ω lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω » (M1 tr.82) Ngay sau định nghĩa trên, M1 nói thêm: « Như vậy, việc tính xác suất của biến cố A được quy về việc đếm số phần tử của không gian mẫu Ω và số phần tử của tập ΩA mô tả A, tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T và số kết quả thuận lợi cho A » (M1, tr.82) Phù hợp với nhận định này, G1 nhắc nhở trước: « muốn cho học sinh học tốt bài này, giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm chắc phần tổ hợp » (G1 tr.110) Đồng thời G1 đưa ra quy trình « ba bước » của kỹ thuật giải một bài toán tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: « Bước một là tính số phần tử của không gian mẫu. Bước hai là tính số phần tử của tập con mô tả biến cố đang xét. Bước ba là lấy kết quả của bước hai chia cho kết quả của bước một » (G1, tr.111) Một điều đáng nói là trong quy trình trên không có bước nào nói đến việc phải kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử, mặc dù trong định nghĩa khái niệm xác suất M1 có nói rõ tính chất này. Điều đó còn được G1 nhấn mạnh với giáo viên: « Trong định nghĩa cổ điển của xác suất, một giả thiết quan trọng là không gian mẫu chỉ có hữu hạn phần tử và các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng » (G1, tr.110) Tìm kiếm câu trả lời cho hiện tượng này, chúng tôi chú ý đến ý kiến sau: « Khi nào thì có thể giả thiết các kết quả là đồng khả năng ? Thông thường đó là khi mà ta không có một lý do nào để xem kết quả này có khả năng xảy ra nhiều hơn kết quả kia. Chẳng hạn như: khi gieo con súc sắc chế tạo một cách cân đối thì các mặt có khả năng xuất hiện là như nhau; khi ta gieo đồng tiền cân đối thì khả năng lật mặt sấp và mặt ngửa là như nhau; khi ta chọn ngẫu nhiên một Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -35-
39. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương người trong một nhóm người một cách vô tư, không thiên vị thì khả năng được chọn của mỗi người là như nhau; khi chia một cỗ bài tú lơ khơ thì cỗ bài phải tráo thật kỹ thì kết quả mới đồng khả năng ». (G1, tr.110) Như vậy, qua vài ví dụ, G1 đã nêu lên cách nhận biết xem một phép thử có thỏa mãn điều kiện nêu trong định nghĩa cổ điển hay không, nhưng lại không nói gì về việc giáo viên phải yêu cầu học sinh kiểm tra tính có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử khi làm bài tập cũng như không hề yêu cầu giáo viên phải kiểm tra điều này trong bài làm của học sinh. Điều đó dẫn chúng tôi đến với giả thuyết về sự tồn tại qui tắc sau đây của hợp đồng didactique: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của phép thử khi giải một bài toán về xác suất bằng định nghĩa cổ điển. • Định nghĩa thống kê của xác suất Sau định nghĩa cổ điển của xác suất, G1 nêu lên lý do cần đưa ra thêm định nghĩa thống kê của xác suất: « Nếu các giả thiết trong định nghĩa cổ điển của xác suất bị vi phạm, ta phải sử dụng tới định nghĩa thống kê của xác suất ». (G1, tr.111) M1 cũng sử dụng thuật ngữ « định nghĩa thống kê của xác suất » làm tiêu đề cho mục b) và phát biểu định nghĩa này như sau (chúng tôi đã lược bớt phần định nghĩa khái niệm tần số và tần suất trong định nghĩa dưới đây): b) Định nghĩa thống kê của xác suất: Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần. Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong định nghĩa cổ điển của xác suất). (M1, tr.83-84) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -36-
40. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương Để giải thích cho cách trình bày này, G1 nói: « Vì khái niệm giới hạn được học sau chương Tổ hợp và xác suất nên trong sách giáo khoa không thể phát biểu chính xác định nghĩa thống kê các xác suất là: ″Xác suất của biến cố là giới hạn của tần suất của biến cố đó khi số phép thử N tiến ra vô hạn″ » (G1, tr.111) Tuy nhiên, lý do giải thích cho việc đưa vào định nghĩa thống kê mà G1 đã nêu ra lại không được nói đến trong M1. Điều này, cùng với ví dụ được lựa chọn để minh họa cho định nghĩa mà chúng tôi sẽ trích dẫn dưới đây (ví dụ 7, M1, tr. 84), không tạo điều kiện cho học sinh thấu hiểu sự cần thiết của định nghĩa thống kê, hay nói cách khác là biết được trong phạm vi nào thì định nghĩa cổ điển không hợp thức. Ngay sau định nghĩa trên, M1 nêu lên mối quan hệ giữa tần suất và xác suất: « Như vậy, tần suất được xem như giá trị gần đúng của xác suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn được gọi là xác suất thực nghiệm » (M1, tr.84) Ở đây, khái niệm tần suất được xem là một giá trị gần đúng của xác suất và được chấp nhận trong thực nghiệm. Chúng tôi cho rằng đây là một gạch nối liên hệ giữa thống kê và xác suất trong sách giáo khoa. Để minh họa cho định nghĩa thống kê của xác suất, sách giáo khoa đưa ra ví dụ: Ví dụ 7. Nếu ta gieo một đồng xu cân đối thì xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5. Buýp-phông (Buffon), nhà toán học người Pháp thế kỷ XVIII, đã thí nghiệm việc gieo đồng xu nhiều lần và thu được kết quả sau: Số lần gieo Tần số xuất hiện mặt ngửa Tần suất xuất hiện mặt ngửa 4040 2048 0,5070 12000 6019 0,5016 24000 12012 0,5005 (M1 tr.84) Trong ví dụ trên, kết quả « xác suất xuất hiện mặt ngửa là 0,5 » gắn liền với định nghĩa cổ điển của xác suất mà học sinh đã biết rõ qua các ví dụ và các bài toán trước đây. Những giá trị cho trong cột thứ ba của bảng chính là các giá trị gần đúng của kết quả đó. Có thể xem như ví dụ 7 đóng vai trò một dẫn chứng thực tế đủ sức thuyết phục rằng khi số lần thử càng lớn thì tần suất càng gần với giá trị xác suất được tính theo định nghĩa cổ điển, hay nói cách khác, khi đó thì tần suất là giá trị gần đúng của xác Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -37-
41. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương suất. Cùng với cách lý giải đó, cũng có thể xem như đây là một ví dụ nhằm thuyết phục rằng giá trị xác suất có được về mặt lý thuyết (để đo khả năng xảy ra của một biến cố) khá gần với thực tế khi tiến hành thực hiện phép thử với số lần đủ lớn. Chúng tôi cũng chú ý đến sự có mặt của hai hoạt động được đưa ra sau định nghĩa thống kê của xác suất (ngay sau ví dụ 7 nói trên): – Hoạt động 3 (M1, tr.84) Công ty bảo hiểm nhân thọ đã thống kê được trong 100.000 người đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100.000 người phụ nữ 50 tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi 51. a) Hãy tính xác suất thực nghiệm một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 b) Câu hỏi tương tự đối với một phụ nữ. Giải: Xác suất thực nghiệm là 0,00568 đối với đàn ông và 0,00248 đối với phụ nữ Theo G1 thì mục đích của việc đưa ra hoạt động này là: « Kiểm tra xem học sinh đã nắm được khái niệm tần số (xác suất thực nghiệm) của một biến cố hay chưa » (G1, tr.112) – Hoạt động 4 (M1, tr.84) yêu cầu học sinh thực hiện 100 lần phép thử ngẫu nhiên « gieo súc sắc » và ghi nhận lại số lần xuất hiện các kết quả rồi tính tần số, tần suất. « Gieo con súc sắc 100 lần. Ghi lại kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm. Số chấm xuất hiện Tần số Tần suất 1 2 3 4 5 6 Hoạt động này được G1 « gợi ý thực hiện » như sau: « Giáo viên chuẩn bị 5 con súc sắc cân đối. Gọi 5 học sinh và yêu cầu mỗi em gieo một con súc sắc 20 lần và ghi lại xem mặt k chấm xuất hiện bao nhiêu lần Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -38-
42. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương trong 20 lần gieo đó (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Cộng kết quả của 5 em lại, ta được tần số xuất hiện mặt k chấm trong 100 lần gieo một con súc sắc ». (G1, tr. 112) Hoạt động này đã chỉ dừng lại ở mức độ cho học sinh thực hành lặp lại một phép thử nhiều lần và tính tần suất xuất hiện của các biến cố. Dù không nêu mục đích một cách tường minh, nhưng có thể nói đây là hoạt động duy nhất trong M1 liên quan đến thống kê: thống kê số lần xuất hiện mặt k (1 ≤ k ≤ 6) chấm của con súc sắc. Rất tiếc là người ta đã không tiến xa hơn trong hoạt động. Chẳng hạn, có thể yêu cầu học sinh nêu ra nhận xét về tần số, tần suất xuất hiện của kết quả, hay cho thực hiện gieo súc sắc nhiều lần hơn nữa (khoảng 1000 lần) để có thể tiếp cận đến khái niệm xác suất theo con đường thực nghiệm. Nói cách khác, hoạt động nêu ra đã không thực sự được khai thác để đưa vào quan điểm thống kê trong định nghĩa khái niệm xác suất. Như sẽ chỉ ra ở chương sau, chúng tôi đặc biệt chú ý đến hoạt động này khi xây dựng một thực nghiệm nhằm tạo điều kiện cho học sinh có một lần tiếp xúc mới với khái niệm xác suất theo quan điểm thống kê. Phân tích trên đã cho phép chúng tôi kết luận: – Việc đi đến khái niệm xác suất theo tiếp cận thống kê đã không được chú trọng. Sách giáo khoa không đặt trọng tâm vào việc cho học sinh tiếp cận với khái niệm xác suất qua con đường thực nghiệm mà chỉ giới thiệu định nghĩa thống kê của xác suất, xem kết quả của xác suất thực nghiệm qua thống kê như một chứng minh thực tế có tính thuyết phục cho giá trị xác suất tìm được theo định nghĩa cổ điển, hay đơn giản hơn chỉ là một minh họa cho những gì được nói đến trong định nghĩa thống kê (ví dụ 7 về bảng kết quả tần suất gieo đồng tiền của Buffon). – Thống kê và xác suất thể hiện rõ trong sách giáo khoa M1 là có mối quan hệ mật thiết với nhau: « xác suất thực nghiệm là tần suất » và kết quả tần suất xảy ra của một biến cố khi thực hiện phép thử nhiều lần được xem là giá trị gần đúng của xác suất. Song mối quan hệ này đã không được tiếp tục đề cập đến trong lý thuyết. Vậy nó thể hiện ra trong các bài tập về sau ? Khi phân tích các tổ chức toán học có mặt trong M1 và E1, chúng tôi sẽ làm rõ điều này. ■ Về các công thức tính xác suất Trong chương « Tổ hợp và xác suất », M1 còn đưa ra khái niệm xác suất có điều kiện và một số qui tắc tính xác suất như qui tắc cộng xác suất, công thức tính xác suất của biến cố đối, công thức tính xác suất của biến cố giao, công thức nhân xác suất của nhiều biến cố. Những qui tắc này có vai trò là yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật tính xác suất ở phần sau. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -39-
43. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương II.1.2. Phần bài tập Phân tích hệ thống bài tập của chúng tôi tiến hành theo cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học và hợp đồng didactique. Thông qua việc nghiên cứu các praxéologie hiện diện trong sách giáo khoa, chúng tôi sẽ chỉ ra những qui tắc của hợp đồng didactique liên quan đến khái niệm xác suất. Mặt khác, phân tích này còn cho phép chúng tôi củng cố hay bác bỏ nhận định mà chúng tôi đã rút ra từ phân tích phần lý thuyết trình bày trong sách giáo khoa. Nói rõ hơn, nó sẽ giúp chúng tôi hiểu được sách giáo khoa đã tính đến các đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất như thế nào. Chúng tôi sẽ phân tích những bài toán về xác suất trong sách giáo khoa M1 và sách bài tập E1, bao gồm các ví dụ, hoạt động, bài tập luyện tập và ôn tập cuối chương. Phần lời giải của các ví dụ, hoạt động, bài tập mà chúng tôi chọn minh họa cho các kiểu nhiệm vụ Ti, nhiệm vụ cụ thể tij, kỹ thuật τij được tìm thấy trong sách giáo khoa M1, sách giáo viên G1 và sách bài tập E1. Những lời giải cho sẵn đó có vai trò quan trọng đối với việc xác định các thành phần của mỗi một praxéologie cũng như các quy tắc của hợp đồng didactique liên quan. Về yêu cầu đối với học sinh, G1 nói rõ là phải: - « Biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển » - « Biết tính xác suất thực nghiệm (tần suất) của biến cố theo định nghĩa thống kê của xác suất » (G1, tr.110) Chúng tôi sẽ xét xem yêu cầu này được thể hiện thế nào qua những kiểu nhiệm vụ mà M1 và E1 nêu ra cho học sinh. Trong hai cuốn sách này, chúng tôi thấy có tồn tại 5 kiểu nhiệm vụ: – Mô tả không gian mẫu của một phép thử – Liệt kê các kết quả thuận lợi cho một biến cố – Tính xác suất của một biến cố – Tính xác suất thực nghiệm – Thực hiện n lần phép thử ngẫu nhiên, thống kê các kết quả và tính tần suất Và sau đây chúng tôi sẽ nghiên cứu chi tiết hơn các kiểu nhiệm vụ này. ¾ T1: Mô tả không gian mẫu Ω Có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này. τ1a: − Liệt kê mọi phần tử của không gian mẫu Ω. Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -40-
44. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương θ1a: − Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê mọi phần tử của tập hợp. Ví dụ về (T1,τ1a) (M1, Ví dụ 1, tr.80) Không gian mẫu của phép thử « Gieo một con súc sắc » là tập hợp: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } τ1b: − Nêu tính chất đặc trưng của mọi phần tử của không gian mẫu. θ1b: − Biểu diễn tập hợp bằng cách nêu tính chất đặc trưng. ¾ T2: Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A τ2: − Thực hiện τ1a hoặc τ1b θ2: − Như θ1a ¾ T3: Tính xác suất của một biến cố • t31: Tính P(A), A là biến cố τ31a: − Thực hiện «ba bước» sau (sử dụng các kỹ thuật τ1a hoặc τ1b và τ2 để tính số phần tử) « Bước một là tính số phần tử của không gian mẫu. Bước hai là tính số phần tử của tập con mô tả biến cố đang xét. Bước ba là lấy kết quả của bước hai chia cho kết quả của bước một » (G1, tr.111). θ31a: − Công thức tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển. Ví dụ về (T1,τ1b ), (T2,τ2) và (t31,τ31) (M1, Bài tập 22, tr.85 với lời giải trong G1, tr.112) Gieo hai con súc sắc. a) Mô tả không gian mẫu. b) Gọi A là biến cố « Tổng số chấm trên mặt xuất hiện hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7 ». Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính P(A). Giải: a) Ω = { (a; b ) / a, b ∈ N*, 1 ≤ a ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 6 } Không gian mẫu có 36 phần tử. b) ΩA = {(6,1), (5,1), (5,2), (4,1), (4,2), (4,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) } Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -41-
45. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương 21 7 Tập ΩA có 21 phần tử. vậy P( A ) = = 36 12 τ31b: − Xem A là biến cố đối của một biến cố B nào đó. − Tính P(A) = 1 − P(B) θ31b: − Công thức (3) tính xác suất biến cố đối. • t32: Tính xác suất của biến cố hợp (tức là tính P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak) ) τ32a: − Kiểm tra rằng các biến cố A1, A2, Ak xung khắc nhau. – Tính P(A1), P(A2), P(Ak) và tính P(A1 A2 Ak) =P(A1)+P(A2 )+ +P(Ak) θ32a: – Công thức cộng xác suất: P( A1∪A2∪ ∪Ak ) = P(A1) + P(A2 ) + + P(Ak) Kỹ thuật τ32a có phạm vi hợp thức là các biến cố xung khắc nhau. Ví dụ về (t32a,τ32a), (t31b,τ31b) (M1, Ví dụ 4, tr.89) Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu. b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu. Giải: a) Gọi A là biến cố « Chọn được 2 viên bi xanh », B là biến cố « Chọn được 2 viên bi đỏ », C là biến cố « Chọn được 2 viên bi vàng » và H là biến cố « Chọn được 2 viên bi cùng màu ». Ta có H = A∪ B∪ C và các biến cố A, B, C đôi một xung khắc. Vậy theo công thức (2) ta có: P(H) =P( A∪ B∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) 2 2 2 C4 6 C3 3 C2 1 Ta có: P( A ) =2 = , P( B ) =2 = , P( C ) =2 = C9 36 C9 36 C9 36 6 3 1 5 Vậy: P( A ) = + + = 36 36 36 18 b) Biến cố « Chọn được 2 viên bi khác màu » chính là biến cố H . 5 13 Vậy theo công thức (3), ta có: P( H )= 1 − P( H ) = 1 − = 18 18 τ32b: − Tính P(A), P(B), P(A∩B) – Tính P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -42-
46. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương θ32b: – Công thức cộng mở rộng P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) được cho trong bài đọc thêm (M1, tr.93) Ví dụ về (t32b, τ 32b) (E1, Bài tập 2.45, tr.70) Chọn ngẫu nhiên một vé số xổ số có 5 chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất để số trên vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5. Giải: Gọi A là biến cố « Không có chữ số 1 »; B là biến cố « Không có chữ số 5 » Dễ thấy P(A) = P(B) = (0,5)9 và P(AB) = (0,8)5 Từ đó, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 2(0,5)9 – (0,8)5 = 0,8533 • t33: Tính xác suất của biến cố giao (tức là tính P( A1A2 Ak ) ) τ33a: – Kiểm tra rằng A1, A2, , Ak là các biến cố độc lập với nhau. − Tính P(A1), P(A2 ), , P(Ak) rồi tính P(A1A2 Ak ) = P(A1).P(A2 ) P(Ak) θ33a: − Công thức nhân xác suất: P(A1A2 Ak ) = P(A1).P(A2 ) P(Ak) Kỹ thuật τ33a có phạm vi hợp thức là các biến cố độc lập với nhau. Ví dụ về (t33,τ 33a) và (t31,τ 31b) (M1, Ví dụ 7, tr.91) Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt tương ứng là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để: a) Cả hai động cơ đều chạy tốt b) Có ít nhất một động cơ chạy tốt Giải: a) Gọi A là biến cố « Động cơ I chạy tốt », B là biến cố « Động cơ II chạy tốt », C là biến cố « Cả hai động cơ đều chạy tốt ». Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C = AB. Theo công thức(4), ta có: P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 0,8. 0,7 = 0,56. b) Gọi K là biến cố « Có ít nhất một động cơ chạy tốt ». Khi đó biến cố đối của K là K : « Cả hai động cơ đều không chạy tốt ». Ta thấy K = A B . Hai biến cố A và B độc lập với nhau nên: P( K ) = P( A ).P( B ) = (1– P(A) ).(1– P(B)) = 0,2. 0,3 = 0,06 Do đó P(K) = 1 – P( K ) = 1 – 0,06 = 0,94 τ33b: – Tính P(A), P(B/A). Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -43-
47. www.VNMATH.com Chương 2 : Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng xác suất Vũ Như Thư Hương – Tính P(AB) = P(A).P(B/A) θ33b: − Công thức xác suất có điều kiện: P(AB) = P(A).P(B/A) Kỹ thuật τ33b có phạm vi hợp thức là các biến cố không độc lập với nhau. Ví dụ về (t33,τ33b) (M1, Ví dụ 4, tr.95) An phải thực hiện hai thí nghiệm liên tiếp. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là 0,7. Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì thí nghiệm thứ hai có xác suất thành công là 0,9. Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì thí nghiệm thứ hai chỉ có xác suất thành công là 0,4. Hãy tính xác suất để Cả hai thí nghiệm đều thành công. Giải: Gọi A là biến cố « Thí nghiệm thứ nhất thành công », B là biến cố « Thí nghiệm thứ hai thành công ». Khi đó biến cố « Cả hai thí nghiệm thành công » là AB. Theo đề bài ta có: P(A) = 0,7; P(B/A) = 0,9; Do đó: P(AB) = P(A). P(B/A) = 0,7. 0,9 = 0,63 • t34: Tính P(B/A) τ34a: − Thiết lập không gian mẫu thu gọn ΩA. − Tính xác suất của biến cố B∩A trên không Ω A B∩A gian mẫu thu gọn này. θ : – Khi A đã xảy ra thì không gian mẫu thu gọn θ34a: – Khi A đã xảy ra thì không gian mẫu thu gọn là ΩA và biến cố B thu hẹp trên không gian B mẫu này là biến cố B∩A, có tập hợp mô tả là ΩB ∩ ΩA. Ví dụ về (t34,τ 34) (M1, Ví dụ 2, tr.94) Gieo hai con súc sắc cân đối. Gọi A là biến cố « Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 5 chấm » và B là biến cố « Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7 ». Hãy tính P(B/A) ? Giải: Gọi ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A. Ta có: ΩA = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} Luận văn thạc sĩ : Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT -44-