Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 1)

163 trang ngocly 1070

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_ly_thuyet_dieu_khien_tu_dong_phan_1.pdf

Nội dung text: Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Phần 1)

9 Chöông 1 ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 1.1 KHAÙI NIEÄM ÑIEÀU KHIEÅN 1.1.2 Ñieàu khieån laø gì? Moät caâu hoûi khaù phoå bieán vôùi nhöõng ngöôøi môùi laøm quen vôùi lyù thuyeát ñieàu khieån laø “Ñieàu khieån laø gì?”. Ñeå coù khaùi nieäm veà ñieàu khieån chuùng ta xeùt ví duï sau. Giaû söû chuùng ta ñang laùi xe treân ñöôøng, chuùng ta muoán xe chaïy vôùi toác ñoä coá ñònh 40 km /h. Ñeå ñaït ñöôïc ñieàu naøy maét chuùng ta phaûi quan saùt ñoàng hoà ño toác ñoä ñeå bieát ñöôïc toác ñoä cuûa xe ñang chaïy. Neáu toác ñoä xe döôùi 40 km /h thì ta taêng ga, neáu toác ñoä xe treân 40 km /h thì ta giaûm ga. Keát quaû cuûa quaù trình treân laø xe seõ chaïy vôùi toác ñoä “gaàn” baèng toác ñoä mong muoán. Quaù trình laùi xe nhö vaäy chính laø quaù trình ñieàu khieån. Trong quaù trình ñieàu khieån chuùng ta caàn thu thaäp thoâng tin veà ñoái töôïng caàn ñieàu khieån (quan saùt ñoàng hoà ño toác ñoä ñeå thu thaäp thoâng tin veà toác ñoä xe), tuøy theo thoâng tin thu thaäp ñöôïc vaø muïc ñích ñieàu khieån maø chuùng ta coù caùch xöû lyù thích hôïp (quyeát ñònh taêng hay giaûm ga), cuoái cuøng ta phaûi taùc ñoäng vaøo ñoái töôïng (taùc ñoäng vaøo tay ga) ñeå hoaït ñoäng cuûa ñoái töôïng theo ñuùng yeâu caàu mong muoán. Ñònh nghóa: Ñieàu khieån laø quaù trình thu thaäp thoâng tin, xöû lyù thoâng tin vaø taùc ñoäng leân heä thoáng ñeå ñaùp öùng cuûa heä thoáng “gaàn” vôùi muïc ñích ñònh tröôùc. Ñieàu khieån töï ñoäng laø quaù trình ñieàu khieån khoâng caàn söï taùc ñoäng cuûa con ngöôøi. Caâu hoûi thöù hai cuõng thöôøng gaëp ñoái vôùi nhöõng ngöôøi môùi
10 CHÖÔNG 1 laøm quen vôùi lyù thuyeát ñieàu khieån laø “Taïi sao caàn phaûi ñieàu khieån?”. Caâu traû lôøi tuøy thuoäc vaøo töøng tröôøng hôïp cuï theå, tuy nhieân coù hai lyù do chính laø con ngöôøi khoâng thoûa maõn vôùi ñaùp öùng cuûa heä thoáng hay muoán heä thoáng hoaït ñoäng taêng ñoä chính xaùc, taêng naêng suaát, taêng hieäu quaû kinh teá. Ví duï trong lónh vöïc daân duïng, chuùng ta caàn ñieàu chænh nhieät ñoä vaø ñoä aåm cho caùc caên hoä vaø caùc cao oác taïo ra söï tieän nghi trong cuoäc soáng. Trong vaän taûi caàn ñieàu khieån caùc xe hay maùy bay töø nôi naøy ñeán nôi khaùc moät caùch an toaøn vaø chính xaùc. Trong coâng nghieäp, caùc quaù trình saûn xuaát bao goàm voâ soá muïc tieâu saûn xuaát thoûa maõn caùc ñoøi hoûi veà söï an toaøn, ñoä chính xaùc vaø hieäu quaû kinh teá. Trong nhöõng naêm gaàn ñaây, caùc heä thoáng ñieàu khieån (HTÑK) caøng coù vai troø quan troïng trong vieäc phaùt trieån vaø söï tieán boä cuûa kyõ thuaät coâng ngheä vaø vaên minh hieän ñaïi. Thöïc teá moãi khía caïnh cuûa hoaït ñoäng haèng ngaøy ñeàu bò chi phoái bôûi moät vaøi loaïi heä thoáng ñieàu khieån. Deã daøng tìm thaáy heä thoáng ñieàu khieån maùy coâng cuï, kyõ thuaät khoâng gian vaø heä thoáng vuõ khí, ñieàu khieån maùy tính, caùc heä thoáng giao thoâng, heä thoáng naêng löôïng, robot, Ngay caû caùc vaán ñeà nhö kieåm toaùn vaø heä thoáng kinh teá xaõ hoäi cuõng aùp duïng töø lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng. Khaùi nieäm ñieàu khieån thaät söï laø moät khaùi nieäm raát roäng, noäi dung quyeån saùch naøy chæ ñeà caäp ñeán lyù thuyeát ñieàu khieån caùc heä thoáng kyõ thuaät. 1.1.2 Caùc thaønh phaàn cô baûn cuûa heä thoáng ñieàu khieån Chuù thích caùc kyù hieäu vieát taét: - r(t) ( reference input): tín hieäu vaøo, tín hieäu chuaån - c(t) ( controlled output): tín hieäu ra - cht (t): tín hieäu hoài tieáp - e(t) ( error): sai soá - u(t) : tín hieäu ñieàu khieån. Hình 1.1 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 11 Ñeå thöïc hieän ñöôïc quaù trình ñieàu khieån nhö ñònh nghóa ôû treân, moät heä thoáng ñieàu khieån baét buoäc goàm coù ba thaønh phaàn cô baûn laø thieát bò ño löôøng (caûm bieán), boä ñieàu khieån vaø ñoái töôïng ñieàu khieån. Thieát bò ño löôøng coù chöùc naêng thu thaäp thoâng tin, boä ñieàu khieån thöïc hieän chöùc naêng xöû lyù thoâng tin, ra quyeát ñònh ñieàu khieån vaø ñoái töôïng ñieàu khieån chòu söï taùc ñoäng cuûa tín hieäu ñieàu khieån. Heä thoáng ñieàu khieån trong thöïc teá raát ña daïng, sô ñoà khoái ôû hình 1.1 laø caáu hình cuûa heä thoáng ñieàu khieån thöôøng gaëp nhaát. Trôû laïi ví duï laùi xe ñaõ trình baøy ôû treân ta thaáy ñoái töôïng ñieàu khieån chính laø chieác xe, thieát bò ño löôøng laø ñoàng hoà ño toác ñoä vaø ñoâi maét cuûa ngöôøi laùi xe, boä ñieàu khieån laø boä naõo ngöôøi laùi xe, cô caáu chaáp haønh laø tay ngöôøi laùi xe. Tín hieäu vaøo r(t) laø toác ñoä xe mong muoán (40 km /h), tín hieäu ra c(t) laø toác ñoä xe hieän taïi cuûa xe, tín hieäu hoài tieáp cht (t) laø vò trí kim treân ñoàng hoà ño toác ñoä, sai soá e(t) laø sai leäch giöõa toác ñoä mong muoán vaø toác ñoä hieän taïi, tín hieäu ñieàu khieån u(t) laø goùc quay cuûa tay ga. Moät ví duï khaùc nhö heä thoáng ñieàu khieån möïc chaát loûng ôû hình 1.2 duø raát ñôn giaûn nhöng cuõng coù ñaày ñuû ba thaønh phaàn cô baûn keå treân. Thieát bò ño löôøng chính laø caùi phao, vò trí cuûa phao cho bieát möïc chaát loûng trong boàn. Boä ñieàu khieån chính laø caùnh tay ñoøn môû Hình 1.2 Heä thoáng ñieàu van tuøy theo vò trí hieän taïi cuûa khieån möïc chaát loûng phao, sai leäch caøng lôùn thì goùc môû van caøng lôùn. Ñoái töôïng ñieàu khieån laø boàn chöùa, tín hieäu ra c(t) laø möïc chaát loûng trong boàn, tín hieäu vaøo r(t) laø möïc chaát loûng mong muoán. Muoán thay ñoåi möïc chaát loûng mong muoán ta thay ñoåi ñoä daøi cuûa ñoaïn noái töø phao ñeán caùnh tay ñoøn. Muïc 1.5 seõ trình baøy chi tieát hôn veà moät soá phaàn töû vaø heä thoáng ñieàu khieån thöôøng gaëp, qua ñoù seõ laøm noåi baät vai troø cuûa caùc phaàn töû cô baûn trong heä thoáng ñieàu khieån.
12 CHÖÔNG 1 1.1.3 Caùc baøi toaùn cô baûn trong lónh vöïc ñieàu khieån töï ñoäng Trong lónh vöïc ñieàu khieån töï ñoäng coù raát nhieàu baøi toaùn caàn giaûi quyeát, tuy nhieân caùc baøi toaùn ñieàu khieån trong thöïc teá coù theå quy vaøo ba baøi toaùn cô baûn sau: Phaân tích heä thoáng: Cho heä thoáng töï ñoäng ñaõ bieát caáu truùc vaø thoâng soá. Baøi toaùn ñaët ra laø treân cô sôû nhöõng thoâng tin ñaõ bieát tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng vaø ñaùnh giaù chaát löôïng cuûa heä. Baøi toaùn naøy luoân giaûi ñöôïc. Thieát keá heä thoáng: Bieát caáu truùc vaø thoâng soá cuûa ñoái töôïng ñieàu khieån. Baøi toaùn ñaët ra laø thieát keá boä ñieàu khieån ñeå ñöôïc heä thoáng thoûa maõn caùc yeâu caàu veà chaát löôïng. Baøi toaùn noùi chung laø giaûi ñöôïc. Nhaän daïng heä thoáng: Chöa bieát caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng. Vaán ñeà ñaët ra laø xaùc ñònh caáu truùc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng. Baøi toaùn naøy khoâng phaûi luùc naøo cuõng giaûi ñöôïc. Quyeån saùch naøy chæ ñeà caäp ñeán baøi toaùn phaân tích heä thoáng vaø thieát keá heä thoáng. Baøi toaùn nhaän daïng heä thoáng seõ ñöôïc nghieân cöùu trong moân hoïc khaùc. 1.2 CAÙC NGUYEÂN TAÉC ÑIEÀU KHIEÅN Caùc nguyeân taéc ñieàu khieån coù theå xem laø kim chæ nam ñeå thieát keá heä thoáng ñieàu khieån ñaït chaát löôïng cao vaø coù hieäu quaû kinh teá nhaát. Nguyeân taéc 1: Nguyeân taéc thoâng tin phaûn hoài Muoán quaù trình ñieàu khieån ñaït chaát löôïng cao, trong heä thoáng phaûi toàn taïi hai doøng thoâng tin: moät töø boä ñieàu khieån ñeán ñoái töôïng vaø moät töø ñoái töôïng ngöôïc veà boä ñieàu khieån (doøng thoâng tin ngöôïc goïi laø hoài tieáp). Ñieàu khieån khoâng hoài tieáp (ñieàu khieån voøng hôû) khoâng theå ñaït chaát löôïng cao, nhaát laø khi coù nhieãu. Caùc sô ñoà ñieàu khieån döïa treân nguyeân taéc thoâng tin phaûn hoài laø: Ñieàu khieån buø nhieãu (H.1.3): laø sô ñoà ñieàu khieån theo nguyeân taéc buø nhieãu ñeå ñaït ñaàu ra c( t ) mong muoán maø khoâng caàn quan saùt tín hieäu ra c( t ) . Veà nguyeân taéc, ñoái vôùi heä phöùc taïp thì ñieàu
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 13 khieån buø nhieãu khoâng theå cho chaát löôïng toát. Hình 1.3 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån buø nhieãu Ñieàu khieån san baèng sai leäch (H.1.4): Boä ñieàu khieån quan saùt tín hieäu ra c( t ) , so saùnh vôùi tín hieäu vaøo mong muoán r( t ) ñeå tính toaùn tín hieäu ñieàu khieån u( t ) . Nguyeân taéc ñieàu khieån naøy ñieàu chænh linh hoaït, loaïi sai leäch, thöû nghieäm vaø söûa sai. Ñaây laø nguyeân taéc cô baûn trong ñieàu khieån. Hình 1.4 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån san baèng sai leäch Ñieàu khieån phoái hôïp: Caùc heä thoáng ñieàu khieån chaát löôïng cao thöôøng phoái hôïp sô ñoà ñieàu khieån buø nhieãu vaø ñieàu khieån san baèng sai leäch nhö hình 1.5. Hình 1.5 Sô ñoà khoái heä thoáng ñieàu khieån phoái hôïp Nguyeân taéc 2: Nguyeân taéc ña daïng töông xöùng Muoán quaù trình ñieàu khieån coù chaát löôïng thì söï ña daïng cuûa boä ñieàu khieån phaûi töông xöùng vôùi söï ña daïng cuûa ñoái töôïng. Tính ña daïng cuûa boä ñieàu khieån theå hieän ôû khaû naêng thu thaäp thoâng tin, löu tröõ thoâng tin, truyeàn tin, phaân tích xöû lyù, choïn quyeát ñònh, YÙ nghóa cuûa nguyeân taéc naøy laø caàn thieát keá boä ñieàu khieån phuø hôïp vôùi ñoái töôïng. Haõy so saùnh yeâu caàu chaát löôïng ñieàu
14 CHÖÔNG 1 khieån vaø boä ñieàu khieån söû duïng trong caùc heä thoáng sau: - Ñieàu khieån nhieät ñoä baøn uûi (chaáp nhaän sai soá lôùn) vôùi ñieàu khieån nhieät ñoä loø saáy (khoâng chaáp nhaän sai soá lôùn). - Ñieàu khieån möïc nöôùc trong boàn chöùa cuûa khaùch saïn (chæ caàn ñaûm baûo luoân coù nöôùc trong boàn) vôùi ñieàu khieån möïc chaát loûng trong caùc daây chuyeàn saûn xuaát (möïc chaát loûng caàn giöõ khoâng ñoåi). Nguyeân taéc 3: Nguyeân taéc boå sung ngoaøi Moät heä thoáng luoân toàn taïi vaø hoaït ñoäng trong moâi tröôøng cuï theå vaø coù taùc ñoäng qua laïi chaët cheõ vôùi moâi tröôøng ñoù. Nguyeân taéc boå sung ngoaøi thöøa nhaän coù moät ñoái töôïng chöa bieát (hoäp ñen) taùc ñoäng vaøo heä thoáng vaø ta phaûi ñieàu khieån caû heä thoáng laãn hoäp ñen. YÙ nghóa cuûa nguyeân taéc naøy laø khi thieát keá heä thoáng töï ñoäng, muoán heä thoáng coù chaát löôïng cao thì khoâng theå boû qua nhieãu cuûa moâi tröôøng taùc ñoäng vaøo heä thoáng. Nguyeân taéc 4: Nguyeân taéc döï tröõ Vì nguyeân taéc 3 luoân coi thoâng tin chöa ñaày ñuû phaûi ñeà phoøng caùc baát traéc xaûy ra vaø khoâng ñöôïc duøng toaøn boä löïc löôïng trong ñieàu kieän bình thöôøng. Voán döï tröõ khoâng söû duïng, nhöng caàn ñeå ñaûm baûo cho heä thoáng vaän haønh an toaøn. Nguyeân taéc 5: Nguyeân taéc phaân caáp Ñoái vôùi moät heä thoáng ñieàu khieån phöùc taïp caàn xaây döïng nhieàu lôùp ñieàu khieån boå sung cho trung taâm. Caáu truùc phaân caáp thöôøng söû duïng laø caáu truùc hình caây, ví duï nhö heä thoáng ñieàu khieån giao thoâng ñoâ thò hieän ñaïi, heä thoáng ñieàu khieån daây chuyeàn saûn xuaát. Hình 1.6 Sô ñoà ñieàu khieån phaân caáp Nguyeân taéc 6: Nguyeân taéc caân baèng noäi
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 15 Moãi heä thoáng caàn xaây döïng cô cheá caân baèng noäi ñeå coù khaû naêng töï giaûi quyeát nhöõng bieán ñoäng xaûy ra. 1.3 PHAÂN LOAÏI ÑIEÀU KHIEÅN Coù nhieàu caùch phaân loaïi heä thoáng ñieàu khieån tuøy theo muïc ñích cuûa söï phaân loaïi. Ví duï neáu caên cöù vaøo phöông phaùp phaân tích vaø thieát keá coù theå phaân heä thoáng ñieàu khieån thaønh caùc loaïi tuyeán tính vaø phi tuyeán, bieán ñoåi theo thôøi gian vaø baát bieán theo thôøi gian; neáu caên cöù vaøo daïng tín hieäu trong heä thoáng ta coù heä thoáng lieân tuïc vaø heä thoáng rôøi raïc; neáu caên cöù vaøo muïc ñích ñieàu khieån ta coù heä thoáng ñieàu khieån oån ñònh hoùa, ñieàu khieån theo chöông, ñieàu khieån theo doõi, 1.3.1 Phaân loaïi theo phöông phaùp phaân tích vaø thieát keá 1- Heä thoáng tuyeán tính - Heä thoáng phi tuyeán Heä thoáng tuyeán tính khoâng toàn taïi trong thöïc teá, vì taát caû caùc heä thoáng vaät lyù ñeàu laø phi tuyeán. Heä thoáng ñieàu khieån tuyeán tính laø moâ hình lyù töôûng ñeå ñôn giaûn hoùa quaù trình phaân tích vaø thieát keá heä thoáng. Khi giaù trò cuûa tín hieäu nhaäp vaøo heä thoáng coøn naèm trong giôùi haïn maø caùc phaàn töû coøn hoaït ñoäng tuyeán tính (aùp duïng ñöôïc nguyeân lyù xeáp choàng), thì heä thoáng coøn laø tuyeán tính. Nhöng khi giaù trò cuûa tín hieäu vaøo vöôït ra ngoaøi vuøng hoaït ñoäng tuyeán tính cuûa caùc phaàn töû vaø heä thoáng, thì khoâng theå xem heä thoáng laø tuyeán tính ñöôïc. Taát caû caùc heä thoáng thöïc teá ñeàu coù ñaëc tính phi tuyeán, ví duï boä khueách ñaïi thöôøng coù ñaëc tính baõo hoøa khi tín hieäu vaøo trôû neân quaù lôùn, töø tröôøng cuûa ñoäng cô cuõng coù ñaëc tính baõo hoøa. Trong truyeàn ñoäng cô khí ñaëc tính phi tuyeán thöôøng gaëp phaûi laø khe hôû vaø vuøng cheát giöõa caùc baùnh raêng, ñaëc tính ma saùt, ñaøn hoài phi tuyeán Caùc ñaëc tính phi tuyeán thöôøng ñöôïc ñöa vaøo HTÑK nhaèm caûi thieän chaát löôïng hay taêng hieäu quaû ñieàu khieån. Ví duï nhö ñeå ñaït thôøi gian ñieàu khieån laø toái thieåu trong caùc heä thoáng teân löûa hay ñieàu khieån phi tuyeán ngöôøi ta söû duïng boä ñieàu khieån on-off (bang-bang hay relay). Caùc oáng phaûn löïc ñöôïc ñaët caïnh ñoäng cô ñeå taïo ra moâmen phaûn löïc ñieàu khieån. Caùc oáng naøy thöôøng ñöôïc ñieàu khieån theo kieåu full on - full off,
16 CHÖÔNG 1 nghóa laø moät löôïng khí naïp vaøo moät oáng ñònh tröôùc trong khoaûng thôøi gian xaùc ñònh, ñeå ñieàu khieån tö theá cuûa phi tuyeán. Trong quyeån saùch naøy, heä thoáng tuyeán tính ñöôïc ñöa ra phaân tích vaø thieát keá chính yeáu coù theå aùp duïng caùc kyõ thuaät phaân tích vaø ñoà hoïa. Caùc heä phi tuyeán khoù xöû lyù theo toaùn hoïc vaø cuõng chöa coù moät phöông phaùp chung naøo ñeå giaûi quyeát cho caû moät lôùp heä phi tuyeán. Trong thieát keá heä thoáng, thöïc teá ban ñaàu thieát keá boä ñieàu khieån döïa treân moâ hình heä tuyeán tính baèng caùch loaïi boû caùc ñaëc tính phi tuyeán. Boä ñieàu khieån ñaõ thieát keá ñöôïc aùp duïng vaøo moâ hình heä phi tuyeán ñeå ñaùnh giaù hoaëc taùi thieát keá baèng phöông phaùp moâ phoûng. 2- Heä thoáng baát bieán - heä thoáng bieán ñoåi theo thôøi gian Khi caùc thoâng soá cuûa HTÑK khoâng ñoåi trong suoát thôøi gian hoaït ñoäng cuûa heä thoáng, thì heä thoáng ñöôïc goïi laø heä thoáng baát bieán theo thôøi gian. Thöïc teá, haàu heát caùc heä thoáng vaät lyù ñeàu coù caùc phaàn töû troâi hay bieán ñoåi theo thôøi gian. Ví duï nhö ñieän trôû daây quaán ñoäng cô bò thay ñoåi khi môùi bò kích hay nhieät ñoä taêng. Moät ví duï khaùc veà HTÑK bieán ñoåi theo thôøi gian laø heä ñieàu khieån teân löûa, trong ñoù khoái löôïng cuûa teân löûa bò giaûm trong quaù trình bay. Maëc duø heä thoáng bieán ñoåi theo thôøi gian khoâng coù ñaëc tính phi tuyeán, vaãn ñöôïc coi laø heä tuyeán tính, nhöng vieäc phaân tích vaø thieát keá loaïi heä thoáng naøy phöùc taïp hôn nhieàu so vôùi heä tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian. 1.3.2 Phaân loaïi theo loaïi tín hieäu trong heä thoáng 1- Heä thoáng lieân tuïc Heä thoáng lieân tuïc laø heä thoáng maø tín hieäu ôû baát kyø phaàn naøo cuûa heä cuõng laø haøm lieân tuïc theo thôøi gian. Trong taát caû caùc HTÑK lieân tuïc, tín hieäu ñöôïc phaân thaønh AC hay DC. Khaùi nieäm AC vaø DC khoâng gioáng trong kyõ thuaät ñieän maø mang yù nghóa chuyeân moân trong thuaät ngöõ HTÑK. HTÑK AC coù nghóa laø taát caû caùc tín hieäu trong heä thoáng ñeàu ñöôïc ñieàu cheá baèng vaøi daïng sô ñoà ñieàu cheá. HTÑK DC ñöôïc hieåu ñôn giaûn laø heä coù caùc tín hieäu khoâng ñöôïc ñieàu cheá, nhöng vaãn coù tín hieäu xoay chieàu. Hình 1.7 laø sô ñoà moät HTÑK DC kín vaø daïng soùng ñaùp öùng quaù ñoä cuûa heä.
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 17 Caùc thaønh phaàn cuûa HTÑK DC laø bieán trôû, khueách ñaïi DC, ñoäng cô DC, tachometer DC Hình 1.7 Sô ñoà HTÑK DC voøng kín Hình 1.8 Sô ñoà HTÑK AC voøng kín Hình 1.8 laø sô ñoà moät HTÑK AC coù cuøng chöùc naêng nhö HTÑK ôû hình 1.7. Trong tröôøng hôïp naøy, tín hieäu trong heä ñeàu ñöôïc ñieàu cheá, nghóa laø thoâng tin ñöôïc truyeàn ñi nhôø moät soùng mang AC. Chuù yù raèng bieán ñieàu khieån ñaàu ra cuûa ñoái töôïng vaãn gioáng nhö ôû HTÑK DC. HTÑK AC ñöôïc söû duïng roäng raõi trong heä thoáng ñieàu khieån maùy bay vaø teân löûa, ôû ñoù nhieãu vaø tín hieäu laï laø vaán ñeà phaûi quan taâm. Vôùi taàn soá
18 CHÖÔNG 1 soùng mang töø 400 Hz trôû leân, HTÑK AC loaïi boû ñöôïc phaàn lôùn caùc nhieãu taàn soá thaáp. Caùc thaønh phaàn cuûa HTÑK AC laø thieát bò ñoàng boä, khueách ñaïi AC, ñoäng cô AC, con quay hoài chuyeån, maùy ño gia toác Thöïc teá, moät heä thoáng coù theå lieân keát caùc thaønh phaàn AC vaø DC, söû duïng caùc boä ñieàu cheá vaø caùc boä giaûi ñieàu cheá thích öùng vôùi tín hieäu taïi caùc ñieåm khaùc nhau trong heä thoáng. 2- Heä thoáng rôøi raïc Khaùc vôùi HTÑK lieân tuïc, HTÑK rôøi raïc coù tín hieäu ôû moät hay nhieàu ñieåm trong heä thoáng laø daïng chuoãi xung hay maõ soá. Thoâng thöôøng HTÑK rôøi raïc ñöôïc phaân laøm hai loaïi: HTÑK laáy maãu döõ lieäu vaø HTÑK soá. HTÑK laáy maãu döõ lieäu ôû daïng döõ lieäu xung. HTÑK soá lieân quan ñeán söû duïng maùy tính soá hay boä ñieàu khieån soá vì vaäy tín hieäu trong heä ñöôïc maõ soá hoùa, maõ soá nhò phaân chaúng haïn. Noùi chung, moät HTÑK laáy maãu döõ lieäu chæ nhaän döõ lieäu hay thoâng tin trong moät khoaûng thôøi gian xaùc ñònh. Ví duï, tín hieäu sai leäch cuûa HTÑK chæ coù theå ñöôïc cung caáp döôùi daïng xung vaø trong khoaûng thôøi gian giöõa hai xung lieân tieáp HTÑK seõ khoâng nhaän ñöôïc thoâng tin veà tín hieäu sai leäch. HTÑK laáy maãu döõ lieäu coù theå xem laø moät HTÑK AC vì tín hieäu trong heä thoáng ñöôïc ñieàu cheá xung. Hình 1.9 minh hoïa hoaït ñoäng cuûa moät heä thoáng laáy maãu döõ lieäu. Tín hieäu lieân tuïc r(t) ñöôïc ñöa vaøo heä thoáng, tín hieäu sai leäch e(t) ñöôïc laáy maãu bôûi thieát bò laáy maãu, ngoõ ra cuûa thieát bò laáy maãu laø chuoãi xung tuaàn töï. Toác ñoä laáy maãu coù theå thoáng nhaát hoaëc khoâng. Moät trong nhöõng öu ñieåm quan troïng cuûa thao taùc laáy maãu laø caùc thieát bò ñaét tieàn trong heä coù theå chia seû thôøi gian ñeå duøng chung treân nhieàu keânh ñieàu khieån. Moät lôïi ñieåm khaùc laø nhieãu ít hôn. Do maùy tính cung caáp nhieàu tieän ích vaø meàm deûo, ñieàu khieån baèng maùy tính ngaøy caøng phoå bieán. Nhieàu heä thoáng vaän taûi haøng khoâng söû duïng haøng ngaøn caùc linh kieän rôøi raïc chæ chieám moät khoaûng khoâng khoâng lôùn hôn quyeån saùch naøy. Hình 1.10 trình
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 19 baøy caùc thaønh phaàn cô baûn cuûa boä phaän töï laùi trong ñieàu khieån teân löûa. Hình 1.9 Sô ñoà khoái HTÑK laáy maãu döõ lieäu Hình 1.10 Sô ñoà khoái HTÑK teân löûa 1.3.3 Phaân loaïi theo muïc tieâu ñieàu khieån 1- Ñieàu khieån oån ñònh hoùa Muïc tieâu ñieàu khieån laø keát quaû tín hieäu ra baèng tín hieäu vaøo chuaån r(t) vôùi sai leäch cho pheùp exl (sai soá ôû cheá ñoä xaùc laäp). = − ≤ |et ()| | rtct () ()| e xl Khi tín hieäu vaøo r(t) khoâng ñoåi theo thôøi gian ta coù heä thoáng ñieàu khieån oån ñònh hoùa hay heä thoáng ñieàu chænh, ví duï nhö heä thoáng oån ñònh nhieät ñoä, ñieän aùp, aùp suaát, noàng ñoä, toác ñoä, 2- Ñieàu khieån theo chöông trình Neáu r(t) laø moät haøm ñònh tröôùc theo thôøi gian, yeâu caàu ñaùp öùng ra cuûa heä thoáng sao cheùp laïi caùc giaù trò cuûa tín hieäu vaøo r(t) thì ta coù heä thoáng ñieàu khieån theo chöông trình. Ví duï heä thoáng ñieàu khieån maùy coâng cuï CNC, ñieàu khieån töï ñoäng nhaø maùy xi maêng Hoaøng Thaïch, heä thoáng thu nhaäp vaø truyeàn soá lieäu heä thoáng ñieän, quaûn lyù vaät tö ôû nhaø maùy 3- Ñieàu khieån theo doõi
20 CHÖÔNG 1 Neáu tín hieäu taùc ñoäng vaøo heä thoáng r(t) laø moät haøm khoâng bieát tröôùc theo thôøi gian, yeâu caàu ñieàu khieån ñaùp öùng ra c(t) luoân baùm saùt ñöôïc r(t) , ta coù heä thoáng theo doõi. Ñieàu khieån theo doõi ñöôïc söû duïng roäng raõi trong caùc HTÑK vuõ khí, heä thoáng laùi taøu, maùy bay 4- Ñieàu khieån thích nghi Tín hieäu v(t) chænh ñònh laïi tham soá ñieàu khieån sao cho heä thích nghi vôùi moïi bieán ñoäng cuûa moâi tröôøng ngoaøi. Hình 1.11 Nguyeân taéc töï chænh ñònh 5- Ñieàu khieån toái öu - haøm muïc tieâu ñaït cöïc trò Ví duï caùc baøi toaùn qui hoaïch, vaän truø trong kinh teá, kyõ thuaät ñeàu laø caùc phöông phaùp ñieàu khieån toái öu. 1.4 LÒCH SÖÛ PHAÙT TRIEÅN LYÙ THUYEÁT ÑIEÀU KHIEÅN 1.4.1 Ñieàu khieån kinh ñieån (classical control) Lyù thuyeát ñieàu khieån kinh ñieån (tröôùc 1960) moâ taû heä thoáng trong mieàn taàn soá (pheùp bieán ñoåi Fourier) vaø maët phaúng s (pheùp bieán ñoåi Laplace). Do döïa treân caùc pheùp bieán ñoåi naøy, lyù thuyeát ñieàu khieån kinh ñieån chuû yeáu aùp duïng cho heä tuyeán tính baát bieán theo thôøi gian, maët duø coù moät vaøi môû roäng ñeå aùp duïng cho heä phi tuyeán, thí duï phöông phaùp haøm moâ taû. Lyù thuyeát ñieàu khieån kinh ñieån thích hôïp ñeå thieát keá heä thoáng moät ngoõ vaøo - moät ngoõ ra (SISO: single-input /single-output ), raát khoù aùp duïng cho caùc heä thoáng nhieàu ngoõ vaøo - nhieàu ngoõ ra (MIMO: multi-input /multi-
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 21 output ) vaø caùc heä thoáng bieán ñoåi theo thôøi gian. Caùc phöông phaùp phaân tích vaø thieát keá heä thoáng trong lyù thuyeát ñieàu khieån kinh ñieån goàm coù phöông phaùp Nyquist, Bode, vaø phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá. Ñeå thieát keá heä thoáng duøng phöông phaùp Nyquist vaø Bode caàn moâ taû heä thoáng döôùi daïng ñaùp öùng taàn soá (ñaùp öùng bieân ñoä vaø ñaùp öùng pha), ñaây laø moät thuaän lôïi vì ñaùp öùng taàn soá coù theå ño ñöôïc baèng thöïc nghieäm. Moâ taû heä thoáng caàn ñeå thieát keá duøng phöông phaùp quyõ ñaïo nghieäm soá laø haøm truyeàn, haøm truyeàn cuõng coù theå tính ñöôïc töø ñaùp öùng taàn soá. Haøm truyeàn cuûa caùc heä thoáng phöùc taïp ñöôïc tính baèng caùch söû duïng sô ñoà khoái hay sô ñoà doøng tín hieäu. Moâ taû chính xaùc ñaëc tính ñoäng hoïc beân trong heä thoáng laø khoâng caàn thieát ñoái vôùi caùc phöông phaùp thieát keá kinh ñieån, chæ coù quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra laø quan troïng. Caùc khaâu hieäu chænh ñôn giaûn nhö hieäu chænh vi tích phaân tæ leä PID ( Proportional Integral Derivative ), hieäu chænh sôùm treã pha, thöôøng ñöôïc söû duïng trong caùc heä thoáng ñieàu khieån kinh ñieån. AÛnh höôûng cuûa caùc khaâu hieäu chænh naøy ñeán bieåu ñoà Nyquist, bieåu ñoà Bode vaø quyõ ñaïo nghieäm soá coù theå thaáy ñöôïc deã daøng, nhôø ñoù coù theå deã daøng löïa choïn ñöôïc khaâu hieäu chænh thích hôïp. 1.4.2 Ñieàu khieån hieän ñaïi (modern control) (töø khoaûng naêm 1960 ñeán nay) Kyõ thuaät thieát keá heä thoáng ñieàu khieån hieän ñaïi döïa treân mieàn thôøi gian. Moâ taû toaùn hoïc duøng ñeå phaân tích vaø thieát keá heä thoáng laø phöông trình traïng thaùi. Moâ hình khoâng gian traïng thaùi coù öu ñieåm laø moâ taû ñöôïc ñaëc tính ñoäng hoïc beân trong heä thoáng (caùc bieán traïng thaùi) vaø coù theå deã daøng aùp duïng cho heä MIMO vaø heä thoáng bieán ñoåi theo thôøi gian. Lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi ban ñaàu ñöôïc phaùt trieån chuû yeáu cho heä tuyeán tính, sau ñoù ñöôïc môû roäng cho heä phi tuyeán baèng caùch söû duïng lyù thuyeát cuûa Lyapunov. Boä ñieàu khieån ñöôïc söû duïng chuû yeáu trong thieát keá heä thoáng ñieàu khieån hieän ñaïi laø boä ñieàu khieån hoài tieáp traïng thaùi. Tuøy theo caùch tính vector hoài tieáp traïng thaùi maø ta coù phöông phaùp phaân boá cöïc, ñieàu khieån toái öu, ñieàu khieån beàn vöõng
22 CHÖÔNG 1 Vôùi söï phaùt trieån cuûa lyù thuyeát ñieàu khieån soá vaø heä thoáng rôøi raïc, lyù thuyeát ñieàu khieån hieän ñaïi raát thích hôïp ñeå thieát keá caùc boä ñieàu khieån laø caùc chöông trình phaàn meàm chaïy treân vi xöû lyù vaø maùy tính soá. Ñieàu naøy cho pheùp thöïc thi ñöôïc caùc boä ñieàu khieån coù ñaëc tính ñoäng phöùc taïp hôn cuõng nhö hieäu quaû hôn so vôùi caùc boä ñieàu khieån ñôn giaûn nhö PID hay sôùm treã pha trong lyù thuyeát kinh ñieån. 1.4.3 Ñieàu khieån thoâng minh (intelligent control) Ñieàu khieån kinh ñieån vaø ñieàu khieån hieän ñaïi, goïi chung laø ñieàu khieån thoâng thöôøng ( conventional control ) coù khuyeát ñieåm laø ñeå thieát keá ñöôïc heä thoáng ñieàu khieån caàn phaûi bieát moâ hình toaùn hoïc cuûa ñoái töôïng. Trong khi ñoù thöïc teá coù nhöõng ñoái töôïng ñieàu khieån raát phöùc taïp, raát khoù hoaëc khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc moâ hình toaùn. Caùc phöông phaùp ñieàu khieån thoâng minh nhö ñieàu khieån môø, maïng thaàn kinh nhaân taïo, thuaät toaùn di truyeàn moâ phoûng/baét chöôùc caùc heä thoáng thoâng minh sinh hoïc, veà nguyeân taéc khoâng caàn duøng moâ hình toaùn hoïc ñeå thieát keá heä thoáng, do ñoù coù khaû naêng öùng duïng thöïc teá raát lôùn. Khuyeát ñieåm cuûa ñieàu khieån môø laø quaù trình thieát keá mang tính thöû sai, döïa vaøo kinh nghieäm cuûa chuyeân gia. Nhôø keát hôïp logic môø vôùi maïng thaàn kinh nhaân taïo hay thuaät toaùn di truyeàn maø thoâng soá boä ñieàu khieån môø coù theå thay ñoåi thoâng qua quaù trình hoïc hay quaù trình tieán hoùa, vì vaäy khaéc phuïc ñöôïc khuyeát ñieåm thöû sai. Hieän nay caùc boä ñieàu khieån thoâng thöôøng keát hôïp vôùi caùc kyõ thuaät ñieàu khieån thoâng minh taïo neân caùc boä ñieàu khieån lai ñieàu khieån caùc heä thoáng phöùc taïp vôùi chaát löôïng raát toát. 1.5 MOÄT SOÁ VÍ DUÏ VEÀ CAÙC PHAÀN TÖÛ VAØ HEÄ THOÁNG TÖÏ ÑOÄNG 1.5.1 Caùc phaàn töû töï ñoäng Nhö ñaõ ñeà caäp ôû muïc 1.1.2, moät HTÑK goàm caùc phaàn töû cô baûn sau: * Phaàn töû caûm bieán, thieát bò ño löôøng * Ñoái töôïng hay quaù trình ñieàu khieån
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 23 * Thieát bò ñieàu khieån, caùc boä ñieàu khieån thuï ñoäng vaø tích cöïc
24 CHÖÔNG 1 Muïc ñích cuûa phaàn naøy laø trình baøy moät caùch toùm löôïc moät vaøi phaàn töû thöôøng duøng trong caùc HTÑK vaø phaân tích chuùng qua caùc ví duï minh hoïa, tính toaùn cuï theå seõ ñöôïc ñeà caäp ôû chöông 2. 1- Caùc loaïi caûm bieán, thieát bò ño löôøng Bieán trôû tuyeán tính, bieán trôû goùc quay duøng ñeå chuyeån ñoåi söï dòch chuyeån thaønh ñieän aùp. Ngoaøi ra coøn coù theå chuyeån ñoåi kieåu ñieän caûm vaø ñieän dung Nguyeân taéc chung ñeå ño caùc ñaïi löôïng khoâng ñieän nhö nhieät ñoä, quang thoâng, löïc, öùng suaát, kích thöôùc, di chuyeån, toác ñoä baèng phöông phaùp ñieän laø bieán ñoåi chuùng thaønh tín hieäu ñieän. Caáu truùc thieát bò ño goàm ba thaønh phaàn: boä phaän chuyeån ñoåi hay caûm bieán, cô caáu ño ñieän vaø caùc sô ñoà maïch trung gian hay maïch gia coâng tín hieäu ví duï nhö maïch khueách ñaïi, chænh löu, oån ñònh. Caûm bieán xenxin laøm phaàn töû ño löôøng trong caùc heä baùm saùt goùc quay, truyeàn chæ thò goùc quay ôû cöï ly xa maø khoâng thöïc hieän ñöôïc baèng cô khí. Bieán aùp xoay hay coøn goïi laø bieán aùp quay duøng ñeå bieán ñoåi ñieän aùp cuûa cuoän sô caáp hoaëc goùc quay cuûa cuoän sô caáp thaønh tín hieäu ra töông öùng vôùi chuùng. Bieán aùp xoay sin, cos ñeå ño goùc quay cuûa roâto, treân ñaët cuoän sô caáp, thaønh ñieän aùp tæ leä thuaän vôùi sin hay cos cuûa goùc quay ñoù. Bieán aùp xoay tuyeán tính bieán ñoåi ñoä leäch goùc quay cuûa roâto thaønh ñieän aùp tæ leä tuyeán tính. Con quay 3 baäc töï do vaø con quay 2 baäc töï do ñöôïc söû duïng laøm caùc boä caûm bieán ño sai leäch goùc vaø ño toác ñoä goùc tuyeät ñoái trong caùc heä thoáng oån ñònh ñöôøng ngaém cuûa caùc duïng cuï quan saùt vaø ngaém baén. Caûm bieán toác ñoä - boä maõ hoùa quang hoïc laø ñóa maõ treân coù khaéc vaïch maø aùnh saùng coù theå ñi qua ñöôïc. Phía sau ñóa maõ ñaët phototransistor chòu taùc duïng cuûa moät nguoàn saùng. Ñoäng cô vaø ñóa maõ ñöôïc gaén ñoàng truïc, khi quay aùnh saùng chieáu ñeán phototransistor luùc bò ngaên laïi, luùc khoâng bò ngaên laïi laøm cho tín hieäu ôû cöïc colecto laø moät chuoãi xung. Treân ñóa maõ coù khaéc hai voøng vaïch, ngoaøi A trong B coù cuøng soá vaïch, nhöng leäch 90 o (vaïch A tröôùc B laø 90 o ) . Neáu ñóa maõ quay theo chieàu kim ñoàng hoà thì chuoãi xung B seõ nhanh hôn chuoãi xung A laø 1/2 chu kyø vaø ngöôïc laïi. Thieát bò ño toác ñoä nhö DC Tachometer, AC Tachometer, Optical Tachometer.
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 25 Caûm bieán nhieät ñoä nhö Pt 56 Ω, Pt 100 Ω, Thermocouple 2- Ñoái töôïng ñieàu khieån Ñoái töôïng ñieàu khieån coù theå laø thieát bò kyõ thuaät, daây chuyeàn saûn xuaát, qui trình coâng ngheä laø muïc tieâu ñieàu khieån cuûa con ngöôøi trong caùc lónh vöïc khaùc nhau. Caùc phaàn töû chaáp haønh thöôøng duøng trong ÑKTÑ laø caùc loaïi ñoäng cô böôùc, ñoäng cô DC, servomotor, ñoäng cô AC, ñoäng cô thuûy löïc khí neùn Ñoäng cô böôùc ñöôïc duøng ñeå ñònh vò chính xaùc do coù caáu truùc roâto vaø stato khaù ñaëc bieät. Roâto thoâng thöôøng laø caùc nam chaâm vónh cöûu coù caïnh ñöôïc xeû raõnh raêng cöa suoát chu vi cuûa roâto, ñeå taäp trung ñöôøng söùc töø taïi caùc muõi raêng. Töông töï, stato ñöôïc cheá taïo thoâng duïng coù boán boái daây quaán xen keõ theo caùc töø cöïc. Khi coù doøng ñieän chaïy qua moät cuoän daây stato, roâto seõ quay moät goùc ñeán vò trí caân baèng töø thoâng laø giao ñieåm cuûa hai raêng stato vaø roâto. Thay ñoåi thöù töï caùc cuoän daây 1, 2, 3, 4 roâto seõ leäch moät goùc laø 90 o. Coù ba caùch ñieàu khieån ñoäng cô böôùc: ñieàu khieån haønh trình naêng löôïng thaáp, ñieàu khieån thöôøng, ñieàu khieån 1/2 böôùc. Vì cuoän daây stato coù ñieän trôû thuaàn raát nhoû khoaûng 0,2 Ω do vaäy thöôøng ñieàu khieån baèng caùc nguoàn doøng thoâng duïng nhaát laø transistor, Fet Moät loaïi ño löôøng ñieàu khieån khaùc cuõng thöôøng gaëp trong coâng nghieäp laø heä thoáng nhieät, ví duï nhö loø nung trong daây chuyeàn saûn xuaát gaïch men, loø saáy trong daây chuyeàn cheá bieán thöïc phaåm, heä thoáng laøm laïnh trong caùc daây chuyeàn cheá bieán thuûy saûn. Yeâu caàu ñieàu khieån ñoái vôùi heä thoáng nhieät thöôøng laø ñieàu khieån oån ñònh hoøa hoaëc ñieàu khieån theo chöông trình. Moâ hình toaùn cuûa ñoäng cô DC vaø loø nhieät seõ ñöôïc trình baøy ôû muïc 2.2.2. 3- Kyõ thuaät giao tieáp maùy tính Thieát bò ñieàu khieån raát ña daïng, coù theå laø moät maïch RC, maïch khueách ñaïi thuaät toaùn, maïch xöû lyù hay maùy tính PC. Tröôùc ñaây caùc boä ñieàu khieån nhö PID, sôùm treã pha thöôøng ñöôïc thöïc hieän baèng caùc maïch rôøi (xem muïc 2.2.2.2). Gaàn ñaây do söï phaùt trieån cuûa lyù thuyeát ñieàu khieån rôøi raïc vaø kyõ thuaät vi xöû lyù caùc boä ñieàu khieån treân ñaõ ñöôïc thöïc thi baèng caùc chöông trình phaàn
26 CHÖÔNG 1 meàm chaïy treân vi xöû lyù hay maùy tính. Hieän nay maùy tính ñaõ khaúng ñònh laø thieát bò ñieàu khieån ña naêng vaø tin caäy. Phaàn döôùi ñaây seõ trình baøy moät soá vaán ñeà lieân quan ñeán kyõ thuaät giao tieáp maùy tính. Boä chuyeån ñoåi ADC vaø DAC Hình 1.12 laø sô ñoà Card A/D vaø D/A 8 bit. Trong caùc öùng duïng caàn ñoä chính xaùc cao hôn coù theå söû duïng card A/D vaø D/A 12 bit. Card chuyeån ñoåi A/D vaø D/A 12 bit PCL-711B coù ñaëc ñieåm: - Chuyeån ñoåi A/D coù ñoä phaân giaûi 12 bit. - Cho pheùp 8 ngoõ vaøo töông töï ñôn. - Taùm ngoõ vaøo töông töï coù theå laäp trình ñöôïc ±5V, ±2,5 V, ±1,25 V, ±0,625 V, ±0,3125 V. - Möùc IRQ (ngaét) coù theå laäp trình ñöôïc duøng cho vieäc truyeàn döõ lieäu A/D. - Moät keânh D/A 12 bit vôùi taàm ñieän aùp 0 ÷5V hay 0 ÷10 V. - Ngoõ ra soá D/O 16 bit, ngoõ vaøo soá D/I 16 bit. - Khôûi ñoäng phaàn meàm, trigô taàn soá laäp trình ñöôïc vaø boä trigô beân ngoaøi. - Chöông trình ñieàu khieån giao dieän thaân thieän vôùi ngöôøi söû duïng. Card giao tieáp vôùi maùy tính Ví duï Card giao tieáp söû duïng IC8255 gaén treân slot môû roäng cuûa Main Board maùy tính (H.1.13). Caùc loaïi giao thöùc truyeàn tin RS232C serial Interface, chaáu noái 25 chaân duøng ñeå truyeàn döõ lieäu noái tieáp vôùi toác ñoä nhoû hôn 20.000 bits /second (naêm 1969). Khoaûng 1975 ñeán 1977 aùp duïng RS-422, RS-423, RS-449. RS- 449 chaáu noái 37 chaân, toác ñoä truyeàn coù theå nhanh gaáp naêm laàn so vôùi RS-232C. Vaøo naêm 1970-1975 phaùt trieån Bus döõ lieäu song song vôùi IEEE-488. Naêm 1978 - IEEE - 583 coù slots cho 25 moduls, noái tröïc tieáp vôùi Bus I/O cuûa maùy tính, noái song song tôùi 7 CRATES. Maïng cuïc boä - Local Area Networks (LAN)
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 27 Heä ñôn keânh IEEE - 802.4 Single - Channel Systems Toác ñoä döõ lieäu 5 ÷10 megabits /second , taàn soá ( MHz ) ñoái vôùi binary 1 laø 5 ÷10 MHz , binary 0 taêng gaáp hai laàn 10 ÷20 MHz .
28 CHÖÔNG 1 Hình 1.12 Card AD vaø DA 8 bit
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 29 Hình 1.13 Card xuaát nhaäp
30 CHÖÔNG 1 Maïng giaûi roäng IEEE - 802.4 Broadband Networks coù khaû naêng cung caáp cho nhieàu maïng LAN. Giao dieän heä thoáng môû ( The Open Systems Interface ) naêm 1979; Ethernet naêm 1980. Maïng dieän roäng - Wide Area Network (WAN) Söû duïng giao thöùc truyeàn tin Transport Control Protocol/Internet Protocol (TCP/IP). 1.5.2 Caùc öùng duïng cuûa heä thoáng ñieàu khieån töï ñoäng 1- Hình 1.14 minh hoïa moät heä thoáng ñieàu khieån möùc chaát loûng trong beå. Toác ñoä doøng chaûy ngoõ ra qua van V1 laø bieán ñoåi, heä thoáng coù theå duy trì möùc chaát loûng h = const vôùi sai soá cho pheùp khaù chính xaùc. Neáu möùc chaát loûng trong beå khoâng ñuùng, moät ñieän aùp sai leäch ñöôïc taïo ra qua khueách ñaïi ñöa vaøo boä ñieàu khieån ñoäng cô ñieàu chænh van V2 ñeå khoâi phuïc laïi möùc chaát loûng mong muoán baèng caùch ñieàu chænh toác ñoä doøng chaûy ngoõ vaøo. Trong tröôøng hôïp doøng chaûy vaøo coù toác ñoä haèng soá, phao coù hai caëp tieáp ñieåm thöôøng ñoùng, thöôøng môû ñeå ñieàu khieån ñoùng môû ñoäng cô ñieän AC. Ñeå traùnh ñoäng cô bò ñoùng ngaét khoâng döùt khoaùt, taïo hai möùc töông öùng vuøng treã Trigger Schmidt ∆h. Hình 1.14 Heä thoáng ñieàu khieån töï ñoäng möùc chaát loûng trong beå 2- Hình 1.15 minh hoïa moät heä thoáng ñònh vò duøng cho beä phoùng teân löûa. Heä thoáng hoài tieáp naøy ñöôïc thieát keá ñònh vò beä phoùng khaù chính xaùc döïa treân caùc leänh töø bieán trôû R1 laø tín hieäu vaøo ñöôïc ñaët ôû xa heä thoáng. Bieán trôû R2 cho tín hieäu hoài tieáp trôû veà boä
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 31 khueách ñaïi vi sai, hoaït ñoäng nhö moät boä phaùt hieän sai leäch. Neáu coù sai leäch, ñöôïc khueách ñaïi ñöa ñeán ñoäng cô, ñieàu chænh vò trí truïc ngoõ ra töông öùng vôùi vò trí truïc ngoõ vaøo vaø sai leäch baèng 0. Hình 1.15 Moät heä thoáng töï ñoäng ñònh vò trí duøng cho beä phoùng teân löûa 3- Moät phieân baûn veà ñieàu khieån töï ñoäng vaän toác cuûa moät ñoäng cô moät chieàu (ñieàu khieån baèng tröôøng) ñöôïc minh hoïa ôû hình 1.16. Heä thoáng hoài tieáp naøy coù khaû naêng duy trì vaän toác ngoõ ra khoâng ñoåi moät caùch töông ñoái maëc duø coù theå xuaát hieän moâmen caûn. Tachometer laø thaønh phaàn hoài tieáp, bieán ñoåi vaän toác sang ñieän aùp tæ leä ñöa veà boä khueách ñaïi vi sai. Neáu vaän toác ngoõ ra khaùc vôùi vaän toác mong muoán, boä khueách ñaïi vi sai taïo ra tín hieäu sai leäch ñieàu chænh laø doøng, thay ñoåi tröôøng trong ñoäng cô ñeå khoâi phuïc laïi vaän toác ngoõ ra mong muoán. Hình 1.16 Ñieàu khieån töï ñoäng vaän toác cho moät ñoäng cô DC ñöôïc ñieàu khieån baèng tröôøng 4- Hình 1.17 laø sô ñoà khoái HTÑK vaän toác ñoäng cô DC baèng SCR. Boä ñieàu khieån vi tích phaân tæ leä PID, ñieàu khieån goùc kích α
32 CHÖÔNG 1 ω = ω boä chænh löu SCR, thay ñoåi vaän toác sao cho ñaët . Muïc tieâu ñieàu khieån ñaït sai soá xaùc laäp baèng 0. Nguyeân taéc kích SCR thöôøng ñöôïc söû duïng laø tuyeán tính goùc α, phöông phaùp cosin vaø phöông phaùp xung - soá. Ñaëc tính cô baûn cuûa ñoäng cô DC trong voøng ñieàu khieån hoài tieáp ñöôïc caûi thieän, giöõ ñöôïc toác ñoä oån ñònh ω khi phuï taûi thay ñoåi. Kí hieäu ñ - vaän toác ñaët mong muoán, Mc - moâmen caûn taùc ñoäng leân ñoäng cô. Hình 1.17 Sô ñoà khoái HTÑK vaän toác ñoäng cô DC baèng SCR 5- Sô ñoà khoái HTÑK ñònh vò baèng maùy tính ñöôïc trình baøy ôû hình 1.18. Hình 1.18 HTÑK ñònh vò baèng maùy tính Card giao tieáp IC 8255, boä maõ hoùa Encoder loaïi caûm bieán 1000 xung khi ñoäng cô quay heát moät voøng. Taêng ñoä chính xaùc baèng caùch hoài tieáp vò trí vaø thay ñoåi vaän toác ñoäng cô ñeå döøng ñuùng vò trí mong muoán. 6- Robot laø moät lónh vöïc raát quan troïng trong öùng duïng caùc HTÑK. Vaøo thaäp nieân 1960, ngöôøi ta baét ñaàu nhaän ra Robot laø moät coâng cuï quan troïng ñeå trôï giuùp coâng vieäc cheá taïo, töø ñoù caùc öùng duïng cuûa chuùng trong nhieàu heä thoáng cheá taïo khaùc nhau ñaõ ñöôïc
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 33 phaùt trieån nhanh choùng. Lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng, nguyeân taéc ñieàu khieån thích nghi, caùc haøm Lyapunov ñöôïc aùp duïng ñeå coù ñöôïc Robot cöû ñoäng theo yù muoán hay löïc caàn thieát. Lónh vöïc cuûa Robotics cuõng tuøy thuoäc vaøo caùch söû duïng caùc caûm bieán quan saùt vaø caùc maùy tính ñeå laäp trình cho Robot hoaøn thaønh coâng vieäc theo yeâu caàu. Robot ñaõ ñöôïc saùng taïo ra ñeå thöïc hieän nhieàu coâng vieäc khaùc nhau, laøm caàu noái giöõa caùc lónh vöïc cheá taïo, caùc nhieäm vuï vaän chuyeån khoâng gian vaø chaêm soùc y teá. ÖÙng duïng chuû yeáu cuûa Robot laø töï ñoäng hoùa quaù trình saûn xuaát. Robot ñöôïc söû duïng trong daây chuyeàn saûn xuaát xe hôi, laø moät thaønh phaàn trong taøu con thoi khoâng gian cuûa NASA, laø baïn giuùp vieäc cho con ngöôøi Robot trôï giuùp trong caùc beänh vieän, thöïc hieän caùc coâng vieäc cuûa y taù chaêm soùc beänh nhaân. Caùc Robot naøy söû duïng caùc caûm bieán quan saùt, sieâu aâm vaø hoàng ngoaïi ñieàu khieån thang maùy, traùnh caùc vaät caûn doïc theo ñöôøng ñi, mang caùc khay thöùc aên theo yeâu caàu, laáy thuoác hay caùc vaät maãu cuûa phoøng thí nghieäm, ghi laïi tình traïng söùc khoûe cuûa ngöôøi beänh, baùo caùo coâng vieäc quaûn lyù 7- SCADA (Supervisory Control and Data Acquisition) giaùm saùt, ñieàu khieån vaø thu thaäp döõ lieäu. Motorola SCADA ñöôïc minh hoïa ôû hình 1.19.
34 CHÖÔNG 1 Hình 1.19 Motorola SCADA 8- Trong ñieàu khieån on-off caùc ñoái töôïng khaùc nhau nhö thang maùy, heä ñieàu haønh phaân phoái ñieän, caùc daây chuyeàn saûn xuaát, heä thoáng phaân caáp, ñieàu khieån caùc quaù trình coâng ngheä thöôøng söû duïng boä logic laäp trình ñöôïc PLC – Programmable logic Control. PLC laø moät maùy tính soá coâng nghieäp bao goàm boä xöû lyù, boä nhôù, boä ñieàu khieån vaø thieát bò vaøo – ra. 9- Hình 1.20 laø sô ñoà heä thoáng ñieàu khieån quaù trình phaân phoái DCS coù söû duïng PLC ôû caùc nhaùnh. Hình 1.20 Heä thoáng ñieàu khieån phaân phoái DCS Toång quaùt, moät heä thoáng ñieàu khieån phaân phoái cuûa moät daây chuyeàn saûn xuaát coù theå bao goàm nhieàu heä thoáng ñieàu khieån maùy coâng cuï CNC, DNC ( Direct Numerical Control ), caùc Robot coâng nghieäp cho töøng coâng ñoaïn, caùc boä PLC laäp trình meàm deûo, caùc moduls thu thaäp vaø xöû lyù döõ lieäu, boä ñieàu khieån trung taâm Xu höôùng cuûa caùc saûn phaåm töï ñoäng hoùa treân theá giôùi laø möùc ñoä thoâng minh cuûa chuùng ngaøy caøng cao. Caùc heä thoáng ñieàu khieån taäp trung seõ chuyeån daàn sang caùc heä thoáng phaân taùc coù hoäi thoaïi vôùi nhau lieân keát thaønh maïng. Thieát keá saûn phaåm, seõ ñöôïc hoã trôï
ÑAÏI CÖÔNG VEÀ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN 35 cuûa maùy tính tôùi möùc toái ña vôùi caùc thö vieän, caùc chöông trình thieát keá ñaëc chuûng coù thieát bò ngoaïi vi maïnh. Caùc heä thoáng CAD/CAM coù ñoä linh hoaït cao ñaùp öùng caùc nhu caàu thay ñoåi maãu maõ saûn phaåm nhanh phuø hôïp vôùi thò hieáu ngöôøi tieâu duøng. Maùy tính vaø Robot seõ laøm cuoäc caùch maïng coâng nghieäp thöù hai treân theá giôùi. Caùc daây chuyeàn coâng ngheä seõ ñöôïc maïng maùy tính ñieàu khieån (CIM) ñaûm baûo saûn phaåm coù chaát löôïng cao vaø giaù thaønh reû. Ngaønh vaän chuyeån baèng ñöôøng ray vaø ñöôøng khoâng ñaõ ñaït ñöôïc nhöõng tieán boä vó ñaïi: heä thoáng xe löûa ñieän töø ôû Nhaät, Berlin, Myõ vôùi toác ñoä sieâu cao, buoàng laùi tieân tieán cuûa McDonnell Douglas vôùi heä thoáng töï laùi. Caùc heä thoáng quaân söï: maùy bay, taøu ngaàm chaïy baèng naêng löôïng haït nhaân, taøu hieäu öùng beà maët, taøu caùnh ngaàm. Caùc heä thoáng ñieàu khieån caùc boä phaän trong y khoa: caùc boä phaän nhaân taïo trong cô theå, ñieàu khieån tim cuûa con ngöôøi Heä thoáng ñieàu khieån soá maùy coâng cuï theo chöông trình (CNC) taïo ra caùc phöông phaùp gia coâng môùi coù tính veä sinh moâi tröôøng cao nhö phöông phaùp gia coâng baèng lazer, ñieän hoùa, sieâu aâm. 10- Töï ñoäng hoùa kheùp kín – heä sinh thaùi coâng nghieäp loaïi boû caùc pheá thaûi laøm oâ nhieãm moâi tröôøng. Caùc pheá thaûi ôû moãi khaâu ñöôïc nghieân cöùu ñeå duøng nhö daïng nguyeân lieäu cho khaâu keá tieáp cuûa moät ngaønh saûn xuaát khaùc. Nhaø maùy töï ñoäng hoùa - phaân heä sinh thaùi coâng nghieäp: Töï ñoäng hoùa theo beà roäng vaø beà saâu theo chu trình kheùp kín: thieát keá → chuaån bò saûn xuaát → saûn xuaát vaø xöû lyù pheá thaûi → laép raùp → thöû nghieäm → thieát keá Heä töï ñoäng hoùa quaûn lyù saûn xuaát möùc ñoä tích hôïp cao; heä töï ñoäng hoùa thieát keá vaø quaûn lyù töø laäp keá hoaïch lòch taùc nghieäp, ñieàu haønh, quaûn lyù taùc nghieäp quaù trình saûn xuaát vaø ñieàu khieån thieát bò.
36 Chöông 2 MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 2.1 KHAÙI NIEÄM Ñoái töôïng nghieân cöùu cuûa lyù thuyeát ñieàu khieån raát ña daïng vaø coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau nhö heä thoáng ñieàu khieån ñoäng cô, loø nhieät, maùy bay, phaûn öùng hoùa hoïc Do ñoù, caàn coù cô sôû ñeå phaân tích, thieát keá caùc heä thoáng ñieàu khieån coù baûn chaát vaät lyù khaùc nhau, cô sôû ñoù chính laø toaùn hoïc. Toång quaùt quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng tuyeán tính coù theå bieåu dieãn baèng phöông trình vi phaân baäc cao. Vieäc khaûo saùt heä thoáng döïa vaøo phöông trình vi phaân baäc cao thöôøng gaëp nhieàu khoù khaên. Coù hai phöông phaùp moâ taû toaùn hoïc heä thoáng töï ñoäng giuùp cho vieäc khaûo saùt heä thoáng deã daøng hôn, ñoù laø phöông phaùp haøm truyeàn ñaït vaø phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi . Phöông phaùp haøm truyeàn ñaït chuyeån quan heä phöông trình vi phaân thaønh quan heä phaân thöùc ñaïi soá nhôø pheùp bieán ñoåi Laplace, trong khi ñoù phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi bieán ñoåi phöông trình vi phaân baäc cao thaønh heä phöông trình vi phaân baäc nhaát baèng caùch ñaët caùc bieán phuï (bieán traïng thaùi). Moãi phöông phaùp moâ taû heä thoáng ñeàu coù nhöõng öu ñieåm rieâng. Trong quyeån saùch naøy chuùng ta seõ moâ taû heä thoáng baèng caû hai phöông phaùp.
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 37 2.2 HAØM TRUYEÀN ÑAÏT VAØ ÑAÏI SOÁ SÔ ÑOÀ KHOÁI 2.2.1 Pheùp bieán ñoåi Laplace 1- Ñònh nghóa Cho f(t) laø haøm xaùc ñònh vôùi moïi t ≥ 0, bieán ñoåi Laplace cuûa f(t) laø: +∞ − Fs()=LLL {} ft () = ∫ ftedt (). st (2.1) 0 trong ñoù: s - laø bieán phöùc (bieán Laplace) s=σ+ j ω L - laø toaùn töû bieán ñoåi Laplace F(s) - laø aûnh cuûa haøm f(t) qua pheùp bieán ñoåi Laplace. Bieán ñoåi Laplace toàn taïi khi tích phaân ôû bieåu thöùc ñònh nghóa (2.1) hoäi tuï. 2- Tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Laplace Tính tuyeán tính = Neáu haøm f1(t) coù bieán ñoåi Laplace laø LLL {ft1()} Fs 1 () vaø haøm = f2(t) coù bieán ñoåi Laplace laø LLL {ft2()} Fs 2 () thì: + = + LLL {aft11() aft 22 ()} aFs 11 () aFs 22 .() (2.2) AÛnh cuûa ñaïo haøm Neáu haøm f (t) coù bieán ñoåi Laplace laø LLL {ft()} = Fs () thì: df( t )  + LLL   =sF() s − f (0 ) (2.3) dt  + trong ñoù f 0( ) laø ñieàu kieän ñaàu. Neáu ñieàu kieän ñaàu baèng 0 thì: df( t )  LLL   = sF( s ) (2.4) dt  AÛnh cuûa tích phaân Neáu haøm f (t) coù bieán ñoåi Laplace laø LLL {ft()} = Fs () thì:
38 CHÖÔNG 2 t   F( s ) LLL f(τ ) d τ  = (2.5) ∫ s 0  Ñònh lyù chaäm treã Hình 2.1 Laøm treã haøm f(t) moät thôøi gian laø T Neáu f(t) ñöôïc laøm treã moät khoaûng thôøi gian T, ta coù haøm f(t−T). Khi ñoù: − − L{ftT()−} = eTs . L { ft ()} = e Ts .Fs () (2.6) Ñònh lyù giaù trò cuoái Neáu haøm f (t) coù bieán ñoåi Laplace laø LLL {ft()} = Fs () thì: limf () t= lim sF () s (2.7) t→∞ s → 0 3- Bieán ñoåi Laplace cuûa moät soá haøm cô baûn Khi khaûo saùt heä thoáng töï ñoäng ngöôøi ta thöôøng ñaët tín hieäu vaøo laø caùc tín hieäu cô baûn. Ví duï nhö ñeå khaûo saùt heä thoáng ñieàu khieån oån ñònh hoùa tín hieäu vaøo ñöôïc choïn laø haøm naác, ñeå khaûo saùt heä thoáng ñieàu khieån theo doõi tín hieäu vaøo ñöôïc choïn laø haøm haøm doác, nhieãu taùc ñoäng vaøo heä thoáng coù theå moâ taû baèng haøm dirac. Tín hieäu ra cuûa heä thoáng töï ñoäng cuõng coù daïng laø toå hôïp cuûa caùc tín hieäu cô baûn nhö haøm naác, haøm muõ, haøm sin, Do ñoù trong muïc naøy chuùng ta xeùt bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn ñeå söû duïng trong vieäc phaân tích vaø thieát keá heä thoáng ôû nhöõng chöông sau. Haøm xung ñôn vò (haøm dirac) (H.2.2a) Haøm xung ñôn vò thöôøng ñöôïc söû duïng ñeå moâ taû nhieãu taùc ñoäng vaøo heä thoáng.
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 39 Hình 2.2 Caùc haøm cô baûn a) Haøm xung ñôn vò; b) Haøm naác ñôn vò; c) Haøm doác ñôn vò d) Haøm parabol; e) Haøm muõ; f) Haøm sin +∞ 0 neáu t≠ 0 δ(t ) =  thoûa δ(t ) dt = 1 (2.8) ∞ = ∫  neáu t 0 −∞ Theo ñònh nghóa: + + +∞ 0 0 − − − LLL {}δ=δ(t )∫ ( tedt ).st =δ ∫ ( tedt ). st =δ ∫ ( tedt ). 0 = 1 (2.9) 0 0 0 ⇒ LLL {δ(t ) } = 1 Haøm naác ñôn vò (H.2.2b) Trong caùc heä thoáng ñieàu khieån oån ñònh hoùa, tín hieäu vaøo coù daïng haøm naác ñôn vò. 1 neáu t≥ 0 u( t ) =  (2.10) 0 neáu t< 0 Theo ñònh nghóa pheùp bieán ñoåi Laplace ta coù: +∞ +∞ +∞ −st −∞ − 0 − − e e e  LLL {}ut( )= ute ( ). st dt = e st dt =− =−−  ∫ ∫ s s s  0 0 0   1 ⇒ LLL {}u( t ) = (2.11) s
40 CHÖÔNG 2 Haøm doác ñôn vò (haøm RAMP) (H.2.2c) Haøm doác ñôn vò thöôøng ñöôïc söû duïng laøm tín hieäu vaøo ñeå khaûo saùt heä thoáng ñieàu khieån theo doõi. t neáu t≥ 0 rt()= tut .() =  (2.12) 0 neáu t< 0 Theo ñònh nghóa +∞ +∞ +∞ −st − st − − t. e e  LLL {}ft( )=∫ fte ( ).st dt = ∫ te . st dt =−−  s 2  0 0 s  0 1 ⇒ LLL {}t. u ( t ) = (2.13) s2 Cuõng coù theå duøng tính chaát aûnh cuûa tích phaân ñeå tìm ñöôïc bieán ñoåi Laplace cuûa haøm doác ñôn vò nhö sau: t Ñeå yù raèng: rt()= tut .() =∫ u () ττ d 0 1 Maët khaùc: LLL {}u( t ) = (bieán ñoåi Laplace cuûa haøm naác ñôn vò). s Neân theo tính chaát aûnh cuûa tích phaân ta coù: t   LLL {u( t ) } 1 L{}rt()= L  ud () ττ=  = ∫ s 2 0  s Duøng tính chaát aûnh cuûa tích phaân coù theå deã daøng chöùng minh ñöôïc: n = n! LLL {t u( t ) } + (2.14) sn 1 Tröôøng hôïp n = 2 ta coù haøm parabol (H.2.2d). t2  1 LLL u( t ) =   3 2  s Haøm muõ −at − e neáu t≥ 0 ft()= eat .() ut =  (2.15) 0 neáu t< 0
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 41 Theo ñònh nghóa ta coù:ù +∞ +∞ +∞ −(s + a ) t − −− −+ e  LLL {}eutat.()=∫ eedt at . st = ∫ e( s a ) t dt =−  s+ a  0 0   0 − 1 ⇒ LLL {eat . u ( t ) } = (2.16) s+ a  sin ωt neáu t ≥ 0 Haøm sin: ft()= (sin ω tut ). () =  (2.17) 0 neáu t< 0 ω − ω ejt− e jt Ñeå yù coâng thöùc Euler: sin ωt = 2 j Theo ñònh nghóa ta coù: +∞ jtω − jt ω e− e −st 1 1 1  LLL {}(sin)()ω=t u t . e dt = −  ∫ 2j 2 jsjsj−ω +ω 0   ω ⇒ LLL {}(sinωt ) u () t = (2.18) s2+ ω 2 Phaàn treân vöøa trình baøy bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm cô baûn. Bieán ñoåi Laplace cuûa caùc haøm khaùc coù theå tra baûng bieán ñoåi Laplace ôû phuï luïc A. 2.2.2 Haøm truyeàn ñaït 1- Ñònh nghóa Hình 2.3 Tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa heä thoáng töï ñoäng Quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa moïi heä thoáng tuyeán tính baát bieán lieân tuïc ñeàu coù theå moâ taû bôûi phöông trình vi phaân heä soá haèng: n n −1 dct()+ dct () ++ dct () += ao a1− L an− 1 act n ( ) dtn dt n 1 dt m m −1 drt()+ drt () ++ drt () + = bo b1− L bm− 1 brt m ( ) (2.19) dtm dt m 1 dt
42 CHÖÔNG 2 = = trong ñoù caùc heä soá ai (i ,0 n) vaø bj ( j0 , m ) laø thoâng soá cuûa heä ≠ ≠ thoáng ( ao 0 ,ø bo 0 ); n laø baäc cuûa heä thoáng. Heä thoáng ñöôïc goïi laø hôïp thöùc ( proper ) neáu n ≥ m, heä thoáng ñöôïc goïi laø khoâng hôïp thöùc neáu n < m. Chæ coù caùc heä thoáng hôïp thöùc môùi toàn taïi trong thöïc teá. Khaûo saùt heä thoáng döïa vaøo phöông trình vi phaân (2.19) raát khoù khaên. Moät ví duï ñôn giaûn laø giaû söû ta bieát taát caû caùc thoâng soá cuûa heä thoáng vaø bieát tín hieäu vaøo, muoán tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng ta phaûi giaûi phöông trình vi phaân caáp n, moät coâng vieäc khoâng deã daøng chuùt naøo. Do ñoù ta caàn moät bieåu dieãn toaùn hoïc khaùc giuùp cho vieäc nghieân cöùu heä thoáng töï ñoäng deã daøng hôn. Nhôø pheùp bieán ñoåi Laplace, ta coù theå thöïc hieän ñöôïc ñieàu naøy. Giaû söû ñieàu kieän ñaàu baèng 0 , bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (2.19) ta ñöôïc: n+ n−1 +++ =m + m − 1 ++ + (aso as11L asaCs nno− ) () ( bs bs 11L bsbRs mm− ) ( ) − C( s ) bsm+ bs m 1 ++L bsb + ⇒ = o1 m− 1 m n+ n −1 ++ + R( s ) aso as1L asa n− 1 n − C( s ) bsm+ bs m 1 ++L bsb + Ñaët: G( s ) = = o1 m− 1 m (2.20) n+ n −1 ++ + R( s ) aso as1L asa n− 1 n G(s) goïi laø haøm truyeàn cuûa heä thoáng. Ñònh nghóa: Haøm truyeàn cuûa moät heä thoáng laø tæ soá giöõa bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo khi ñieàu kieän ñaàu baèng 0. Caàn nhaán maïnh raèng maëc duø haøm truyeàn ñöôïc ñònh nghóa laø tæ soá giöõa bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu ra vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo nhöng haøm truyeàn khoâng phuï thuoäc vaøo tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo maø chæ phuï thuoäc vaøo baäc vaø thoâng soá cuûa heä thoáng (ñeå yù veá phaûi cuûa bieåu thöùc (2.20)), do ñoù ta coù theå duøng haøm truyeàn ñeå moâ taû heä thoáng. Noùi caùch khaùc döïa vaøo haøm truyeàn ta coù theå ñaùnh giaù ñöôïc ñaëc tính cuûa heä thoáng töï ñoäng. Vieäc moâ taû heä thoáng töï ñoäng baèng phöông trình vi phaân (2.19) hay haøm truyeàn (2.20) laø hoaøn toaøn töông ñöông, tuy nhieân khaûo saùt heä thoáng döïa vaøo haøm truyeàn deã daøng hôn nhieàu do haøm
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 43 truyeàn laø moät phaân thöùc ñaïi soá khoâng coù pheùp tính tích phaân cuõng nhö vi phaân. Sau ñaây chuùng ta xeùt haøm truyeàn cuûa moät soá khaâu hieäu chænh vaø caùc ñoái töôïng ñieàu khieån thöôøng gaëp. 2- Haøm truyeàn ñaït cuûa caùc khaâu hieäu chænh Trong heä thoáng töï ñoäng caùc khaâu hieäu chænh chính laø caùc boä ñieàu khieån ñôn giaûn ñöôïc söû duïng ñeå bieán ñoåi haøm truyeàn ñaït cuûa heä thoáng nhaèm muïc ñích taêng tính oån ñònh, caûi thieän ñaùp öùng vaø giaûm thieåu aûnh höôûng cuûa nhieãu leân chaát löôïng cuûa heä thoáng. Thöôøng khaâu hieäu chænh laø caùc maïch ñieän. Coù hai daïng maïch hieäu chænh laø maïch hieäu chænh thuï ñoäng vaø maïch hieäu chænh tích cöïc. Maïch hieäu chænh thuï ñoäng khoâng coù caùc boä khueách ñaïi, ñoä lôïi cuûa caùc maïch naøy thöôøng nhoû hôn hay baèng 1. Ngöôïc laïi maïch hieäu chænh tích cöïc coù caùc khaâu khueách ñaïi, ñoä lôïi cuûa caùc maïch naøy thöôøng lôùn hôn 1. Phaàn naøy trình baøy haøm truyeàn moät soá khaâu hieäu chænh thöôøng ñöôïc söû duïng trong thieát keá heä thoáng. Ñaëc tính cuûa caùc khaâu hieäu chænh naøy seõ ñöôïc phaân tích ôû caùc chöông sau. Khaâu hieäu chænh thuï ñoäng Hình 2.4 Caùc khaâu hieäu chænh thuï ñoäng a) Khaâu tích phaân baäc moät; b) Khaâu vi phaân baäc moät
44 CHÖÔNG 2 c) Khaâu sôùm pha; d) Khaâu treã pha
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 45 Khaâu tích phaân baäc moät (H.2.4a) Quan heä giöõa doøng ñieän vaø ñieän aùp treân tuï C cho ta: dv() t dv () t itC( ) =C = C o dt dt Theo ñònh luaät Kirchoff ta coù: + = vtR() vt C () vt i () dv( t ) ⇒ Rit.()+ v () t = vt () ⇒ RCo + v() t = v () t (2.21) C i dt o i Bieåu thöùc (2.21) chính laø phöông trình vi phaân moâ taû khaâu tích phaân baäc moät. Giaû söû ñieàu kieän ñaàu baèng 0, bieán ñoåi Laplace hai veá bieåu thöùc (2.21), ta ñöôïc: V( s ) 1 RCsV() s+ V () s = V () s ⇒ G( s ) =o = o o i + Vi( s ) RCs 1 Ñaët T = RC , haøm truyeàn cuûa khaâu tích phaân baäc nhaát ñöôïc 1 vieát laïi: G( s ) = (2.22) Ts + 1 Baèng caùch töông töï nhö treân ta coù theå deã daøng ruùt ra haøm truyeàn cuûa caùc khaâu hieäu chænh sau: Khaâu vi phaân baäc moät (H.2.4b) Ts G( s ) = (T = RC ) (2.23) Ts + 1 Khaâu sôùm pha (H.2.4c) αTs + 1 G( s ) = K (2.24) C Ts + 1 R R R C trong ñoù: K = 2 ; T = 2 1 C + + R1 R 2 R1 R 2 + α = α = R1 R 2 α > T R1 C ; (1 ) R2 Khaâu treã pha (H.2.4d) αTs + 1 G( s ) = K (2.25) C Ts + 1 = = + trong ñoù: KC 1 ; T( R1 RC 2 ) R αT = R C ; α = 2 (α < 1 ) 2 + R1 R 2
46 CHÖÔNG 2 Ñeå yù raèng daïng haøm truyeàn cuûa khaâu sôùm pha vaø khaâu treã pha gioáng nhau, chæ khaùc laø ñoái vôùi khaâu sôùm pha thì α>1, ñoái vôùi khaâu treã pha thì α<1. ÔÛ chöông 6 ta seõ thaáy do ñieàu kieän raøng buoäc ñoái vôùi heä soá α laø khaùc nhau neân ñaëc tính cuûa khaâu sôùm pha vaø khaâu treã pha hoaøn toaøn traùi ngöôïc nhau. Khaâu hieäu chænh tích cöïc Hình 2.5 Caùc khaâu hieäu chænh tích cöïc a) Khaâu tæ leä; b) Khaâu tích phaân tæ leä PI c) Khaâu vi phaân tæ leä; d) Khaâu vi tích phaân tæ leä PID Khaâu tæ leä P (Proportional) (H.2.5.a) = G( s ) K P (2.26) = − R2 trong ñoù: K P R1 Khaâu tæ leä coù ñaëc ñieåm tín hieäu ra tæ leä vôùi tín hieäu vaøo. Khaâu tích phaân tæ leä PI (Proportional Integral) (H.2.5b) Haøm truyeàn cuûa khaâu PI K G( s ) = K + I (2.27) P s = − R2 = − 1 trong ñoù: K P ; K I R1 R1 C
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 47 Quan heä trong mieàn thôøi gian giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo t = + ττ cuûa khaâu PI laø: vto() Kvt Pi () K Ii∫ v () d (2.28) 0 Bieåu thöùc (2.28) cho thaáy khaâu tích phaân tæ leä PI coù ñaëc ñieåm tín hieäu ra tæ leä vôùi tín hieäu vaøo vaø tích phaân cuûa tín hieäu vaøo. Khaâu vi phaân tæ leä PD (Proportional Derivative) (H.2.5c) Haøm truyeàn cuûa khaâu PD: = + Gs( ) KP Ks D (2.29) = − R2 = − trong ñoù: K P ; KD R2 C R1 Quan heä giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo cuûa khaâu PD trong dv( t ) mieàn thôøi gian laø: vt()= Kvt () + K i (2.30) o Pi D dt Khaâu vi phaân tæ leä PD coù ñaëc ñieåm tín hieäu ra tæ leä vôùi tín hieäu vaøo vaø vi phaân cuûa tín hieäu vaøo. Khaâu vi tích phaân tæ leä PID (Proportional Integral Derivative) (H.2.5d) Haøm truyeàn cuûa khaâu PID: K GsK( ) = +I + Ks (2.31) Ps D + = − RC11 RC 22 = − 1 = − trong ñoù: K P ; K I ; KD R2 C 1 R1 C 2 R1 C 2 Quan heä trong mieàn thôøi gian giöõa tín hieäu ra vaø tín hieäu vaøo cuûa khaâu PID laø: t dv( t ) vt()= Kvt () + K v () ττ+ d K i (2.32) o Pi Ii∫ D dt 0 Bieåu thöùc (2.32) cho thaáy khaâu vi tích phaân tæ leä PID coù ñaëc ñieåm tín hieäu ra tæ leä vôùi tín hieäu vaøo, tích phaân cuûa tín hieäu vaøo vaø vi phaân cuûa tín hieäu vaøo. 3- Haøm truyeàn ñaït cuûa moät soá ñoái töôïng ñieàu khieån Ñoái töôïng ñieàu khieån raát ña daïng vaø khaùc nhau veà baûn chaát vaät lyù. Nguyeân taéc ñeå ruùt ra ñöôïc haøm truyeàn ñaït cuûa caùc ñoái
48 CHÖÔNG 2 töôïng ñieàu khieån laø döïa vaøo caùc ñònh luaät vaät lyù chi phoái hoaït ñoäng cuûa ñoái töôïng nhö ñònh luaät Kirchoff, ñònh luaät Newton, ñeå xaây döïng phöông trình vi phaân moâ taû quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra cuûa ñoái töôïng, sau ñoù suy ra haøm truyeàn baèng caùch aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace. Ñoái vôùi nhöõng heä thoáng phöùc taïp, moät phöông phaùp raát hieäu quaû ñeå tìm haøm truyeàn noùi rieâng vaø moâ hình toaùn hoïc noùi chung laø phöông phaùp nhaän daïng heä thoáng. Ñeå minh hoïa muïc naøy chæ daãn ra haøm truyeàn cuûa hai ñoái töôïng ñieàu khieån thoâng duïng laø ñoäng cô moät chieàu vaø loø nhieät. Coù theå noùi hai ñoái töôïng naøy coù maët trong haàu heát caùc daây chuyeàn saûn xuaát. Ñoäng cô moät chieàu kích töø ñoäc laäp Ñoäng cô moät chieàu ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong caùc heä ñieàu khieån nhôø ñaëc tính cô laø tuyeán tính, taàm ñieàu chænh vaän toác roäng, khaû naêng mang taûi lôùn ôû vuøng vaän toác nhoû. Sô ñoà nguyeân lyù cuûa ñoäng cô moät chieàu ñöôïc trình baøy ôû hình 2.2. Lö - ñieän caûm phaàn öùng ω - toác ñoä ñoäng cô Rö - ñieän trôû phaàn öùng Mt - moâmen taûi Uö - ñieän aùp phaàn öùng B - heä soá ma saùt Eö - söùc phaûn ñieän ñoäng J - moâmen quaùn tính Hình 2.6 Sô ñoà nguyeân lyù ñoäng cô moät chieàu kích töø ñoäc laäp Theo ñònh luaät Kirchoff ta coù phöông trình caân baèng ñieän aùp ôû maïch ñieän phaàn öùng: di( t ) UtitRL()().= +ö + Et () (2.33) öööödt ö = Φω trong ñoù: Etö () K () t - laø söùc phaûn ñieän phaàn öùng (2.34) K - laø heä soá; Φ - laø töø thoâng kích töø. AÙp duïng ñònh luaät Newton cho chuyeån ñoäng quay, ta coù
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 49 phöông trình caân baèng moâmen treân truïc ñoäng cô: dω( t ) Mt()= Mt () +ω+ Bt () J (2.35) ñ t dt = Φ trong ñoù: Mñ(t) - laø moâmen cuûa ñoäng cô: Mtñ() Kit u () (2.36) Bieán ñoåi Laplace (2.33), (2.34), (2.35) vaø (2.36) ta ñöôïc: = + + Usö() IsR ö (). ööö LsIs () Es ö () (2.37) = Φω Esu() K () s (2.38) = +ω+ω Msñ() Ms t () Bs () Jss () (2.39) = Φ Mñ () s Kisö () (2.40) = Lö Ñaët: Tö laø haèng soá thôøi gian ñieän töø cuûa ñoäng cô Rö J T = laø haèng soá thôøi gian ñieän cô cuûa ñoäng cô. c B Ta coù theå vieát laïi (2.37) vaø (2.39) nhö sau: − = + (2.37) ⇒ Usö() Es ö () R ö (1 TsIs öö )() U() s− Es () ⇒ I( s ) = ö ö (2.41) ö + Rö(1 T ö s ) − = + ω (2.??) ⇒ Msñ() Ms t () B (1 Ts c )() s M() s− Ms () ⇒ ω(s ) = ñ t (2.42) + B(1 Tc s ) Töø caùc bieåu thöùc (2.38), (2.40), (2.41) vaø (2.42) ta coù sô ñoà caáu truùc cuûa ñoäng cô moät chieàu nhö trình baøy ôû hình 2.7. Muïc 2.2.3 seõ trình baøy caùch tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng töø sô ñoà khoái. Hình 2.7 Sô ñoà caáu truùc ñoäng cô moät chieàu
50 CHÖÔNG 2 Loø nhieät Haøm truyeàn cuûa loø nhieät ñöôïc xaùc ñònh baèng phöông phaùp thöïc nghieäm. Caáp nhieät toái ña cho loø (coâng suaát vaøo P = 100%), nhieät ñoä loø taêng daàn. Sau moät thôøi gian nhieät ñoä loø ñaït ñeán giaù trò baõo hoøa. Ñaëc tính nhieät ñoä theo thôøi gian coù theå bieåu dieãn nhö hình 2.9a. Do ñaëc tính chính xaùc cuûa loø nhieät khaù phöùc taïp neân ta xaáp xæ baèng ñaùp öùng gaàn ñuùng nhö ôû hình 2.9b. Hình 2.8 Thí nghieäm xaùc ñònh haøm truyeàn loø nhieät Hình 2.9 Ñaëc tính cuûa loø nhieät a) Ñaëc tính chính xaùc; b) Ñaëc tính gaàn ñuùng Ta xaùc ñònh haøm truyeàn gaàn ñuùng cuûa loø nhieät duøng ñònh nghóa: C( s ) G( s ) = R( s ) 1 Do tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò ( P = 100%) neân: R( s ) = s Tín hieäu ra gaàn ñuùng (H.2.9b) chính laø haøm: − = − = − t/ T 2 ct() ft ( T 1 ) trong ñoù: ft() K (1 e ) K Tra baûng bieán ñoåi Laplace ta ñöôïc: F( s ) = + s(1 T2 s ) − Ke T1 s Do vaäy, aùp duïng ñònh lyù chaäm treã ta ñöôïc: C( s ) = + s(1 T2 s ) − Ke T1 s Suy ra haøm truyeàn cuûa loø nhieät laø: G( s ) = (2.43) + 1 T2 s
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 51 2.2.3 Ñaïi soá sô ñoà khoái 1- Sô ñoà khoái ÔÛ muïc 2.2.2 chuùng ta ñaõ daãn ra ñöôïc haøm truyeàn cuûa caùc phaàn töû cô baûn trong heä thoáng ñieàu khieån. Trong thöïc teá caùc heä thoáng thöôøng goàm nhieàu phaàn töû cô baûn keát noái vôùi nhau. Moät caùch ñôn giaûn nhöng raát hieäu quaû trong vieäc bieåu dieãn caùc heä thoáng phöùc taïp laø duøng sô ñoà khoái. Sô ñoà khoái cuûa moät heä thoáng laø hình veõ moâ taû chöùc naêng cuûa caùc phaàn töû vaø söï taùc ñoäng qua laïi giöõa caùc phaàn töû trong heä thoáng. Sô ñoà khoái goàm coù ba thaønh phaàn laø khoái chöùc naêng, boä toång vaø ñieåm reõ nhaùnh. Khoái chöùc naêng: Tín hieäu ra cuûa khoái chöùc naêng baèng tích tín hieäu vaøo vaø haøm truyeàn Ñieåm reõ nhaùnh: Taïi ñieåm reõ nhaùnh moïi tín hieäu ñeàu baèng nhau. Boä toång: Tín hieäu ra cuûa boä toång baèng toång ñaïi soá cuûa caùc tín hieäu vaøo. Hình 2.10 Caùc thaønh phaàn cô baûn cuûa sô ñoà khoái a) Khoái chöùc naêng; b) Ñieåm reõ nhaùnh; c) Boä toång 2- Haøm truyeàn ñaït cuûa heä thoáng bieåu dieãn baèng sô ñoà khoái Heä thoáng noái tieáp Hình 2.11 Heä thoáng noái tieáp Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng noái tieáp: ===C( s ) CsCsCsnn()1 ().() = Cs n () = CsCs2 ().() n Gs( ) Gs1 ( ). Gs 1 ( ). Rs() Rs111 () RsCs ().() Rs 2 () RsCs 22 ().() =Cn( s ) = = GsGs12(). ().L GsGsGs 12 (). () n () R3( s )
52 CHÖÔNG 2 n ⇒ = Gs()∏ Gsi () (2.44) i=1 Heä thoáng song song Hình 2.12 Heä thoáng song song Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng song song: C( s ) CsCsCs()()+ + L ()Cs() Cs () Cs () G( s ) ==1 2 n =+++1 2 L n Rs() Rs () RsRs1 ()() 2 Rsn () n = ⇒ G(s) ∑Gi (s) (2.45) i=1 Chuù yù raèng trong coâng thöùc treân toång laø toång ñaïi soá. Heä hoài tieáp moät voøng Hoài tieáp aâm (H.2.13a) Hình 2.13 Heä thoáng hoài tieáp a) Hoài tieáp aâm; b) Hoài tieáp döông C( s ) Haøm truyeàn heä thoáng hoài tieáp aâm: G( s ) = k R( s ) Ta coù: Cs()= EsGs (). () = + = − Rs() Es () Cht () s (do Es() Rs () Cht () s ) = + = E(s) C(s). H (s) (do Cht () s CsHs (). () )
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 53 =Es() + EsGsHs (). (). () (do Cs()= EsGs (). () )
54 CHÖÔNG 2 Laäp tæ soá giöõa C(s) vaø R(s) ta ñöôïc: G( s ) G( s ) = (2.46) k 1 + Gs( ). H ( s ) Tröôøng hôïp ñaëc bieät khi H(s) = 1 ta coù heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò . Trong tröôøng hôïp naøy coâng thöùc (2.46) trôû thaønh: G( s ) G( s ) = (2.47) k 1 + G( s ) Hoài tieáp döông (H.2.13b) Töông töï nhö tröôøng hôïp hoài tieáp aâm, deã daøng chöùng minh ñöôïc: G( s ) G( s ) = (2.48) k 1 − Gs( ). H ( s ) Heä hoài tieáp nhieàu voøng Ñoái vôùi caùc heä thoáng phöùc taïp goàm nhieàu voøng hoài tieáp, ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông vôùi sô ñoà khoái ñeå laøm xuaát hieän caùc daïng keát noái ñôn giaûn (noái tieáp, song song, hoài tieáp moät voøng) vaø tính haøm truyeàn töông ñöông theo thöù töï töø trong ra ngoaøi. Hai sô ñoà khoái ñöôïc goïi laø töông ñöông neáu hai sô ñoà khoái ñoù coù quan heä giöõa caùc tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra nhö nhau. Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông sô ñoà khoái thöôøng duøng laø: Chuyeån ñieåm reõ nhaùnh töø phía tröôùc ra phía sau moät khoái Chuyeån ñieåm reõ nhaùnh töø phía sau ra phía tröôùc moät khoái
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 55 Chuyeån boä toång töø phía tröôùc ra phía sau moät khoái Chuyeån boä toång töø phía sau ra phía tröôùc moät khoái Chuyeån vò trí hai boä toång Taùch moät toång thaønh hai boä toång Chuù yù: Hai caùch bieán ñoåi sô ñoà khoái döôùi ñaây raát hay bò nhaàm laãn laø bieán ñoåi töông ñöông.
56 CHÖÔNG 2 Chuyeån vò trí ñieåm reõ nhaùnh vaø boä toång Chuyeån vò trí hai boä toång khi giöõa hai boä toång ñoù coù ñieåm reõ nhaùnh 3- Moät soá ví duï tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng Ví duï 2.1. Tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau: Giaûi: Bieán ñoåi töông ñöông sô ñoà khoái nhö sau: • Chuyeån vò trí hai boä toång vaø , ñaët GA(s) = [G3(s)// G4(s)], ta ñöôïc sô ñoà khoái töông ñöông:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 57 • GB(s) = [G1(s) // haøm truyeàn ñôn vò], GC(s) = voøng hoài tieáp [G2(s), GA(s)]: = − Ta coù: GsA() Gs3 () Gs 4 () = + GsB()1 Gs1 () Gs() Gs () G( s ) =2 = 2 C + + − 1GsGs2().A () 1 GsGs 234 ().[ () Gs ()] Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng: = Gtñ () s GB (). sGs C () [1 + G ( s )]. G ( s ) ⇒ G( s ) = 1 2 g tñ + − 1 Gs2( ).[ Gs 3 ( ) Gs 4 ( )] Ví duï 2.2. Tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái: Giaûi: Bieán ñoåi töông ñöông sô ñoà khoái nhö sau: Chuyeån vò trí hai boä toång vaø Chuyeån ñieåm reõ nhaùnh ra sau G2(s)
58 CHÖÔNG 2 GB(s) = voøng hoài tieáp [ G2(s), H 2(s)] GC(s) = [ GA(s)// haøm truyeàn ñôn vò] GD(s) = [ GB(s) noái tieáp G C(s) noái tieáp G3(s)] GE(s) = voøng hoài tieáp [ GD(s), H3(s)] Trong caùc pheùp bieán ñoåi sô ñoà khoái treân, caùc haøm truyeàn ñöôïc tính nhö sau:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 59 = H1 GA G2 G G = 2 B + 1 G2 H 2 + =+ =+H1 = G 2 H 1 GC1 G A 1 G2 G 2 G  G+ H  GG+ GH GGGG=. . =2 2 1 G = 23 31 D B C 3 +   3 + 1GH22  G 2  1 GH 22 + GG23 GH 31 G1 + G H GG+ GH G =D =2 2 = 23 31 E 1+GHGG+ GH 1 +++ GHGGHGHH D 3 1 + 23 31 H 22 233 313 + 3 1 G2 H 2 Vaäy haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng laø: GG+ GH G . 23 31 G G 1 1 +GH + GGH + GHH G =1 E = 22 233 313 1 + G G GG+ GH 1 E 1 + G . 23 31 1 + + + 1 GH22 GGH 233 GHH 313 GGG+ GGH ⇒ G = 123 131 g ++ + + + 1 GH22 GGH 233 GHH 313 GGG 123 GGH 131 Ví duï 2.3. Tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng bieåu dieãn baèng sô ñoà khoái: Gôïi yù: Bieán ñoåi töông ñöông sô ñoà khoái nhö sau: Chuyeån boä toång ra tröôùc G1(s), sau ñoù ñoåi vò trí hai boä toång va ø ; chuyeån ñieåm reõ nhaùnh ra sau G2(s)
60 CHÖÔNG 2 Sau khi thöïc hieän pheùp bieán ñoåi nhö treân ta ñöôïc sô ñoà khoái töông ñöông khaù ñôn giaûn. Ñoäc giaû tieáp tuïc bieán ñoåi ñeå ñi ñeán keát quaû cuoái cuøng. g Nhaän xeùt: Phöông phaùp bieán ñoåi sô ñoà khoái laø moät phöông phaùp ñôn giaûn vaø tröïc quan duøng ñeå tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng. Khuyeát ñieåm cuûa phöông phaùp bieán ñoåi sô ñoà khoái laø khoâng mang tính heä thoáng, moãi sô ñoà cuï theå coù theå coù nhieàu caùch bieán ñoåi khaùc nhau, tuøy theo tröïc giaùc cuûa ngöôøi giaûi baøi toaùn. Ngoaøi ra, khi tính haøm truyeàn töông ñöông ta phaûi thöïc hieän nhieàu pheùp tính treân caùc phaân thöùc ñaïi soá, ñoái vôùi caùc heä thoáng phöùc taïp caùc pheùp tính naøy hay bò nhaàm laãn. Do ñoù, phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông sô ñoà khoái chæ thích hôïp ñeå tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa caùc heä thoáng ñôn giaûn. Ñoái vôùi caùc heä thoáng phöùc taïp ta coù moät phöông phaùp hieäu quaû hôn, ñoù laø phöông phaùp sô ñoà doøng tín hieäu seõ ñöôïc ñeà caäp ñeán ôû muïc tieáp theo. 2.3 SÔ ÑOÀ DOØNG TÍN HIEÄU 2.3.1 Sô ñoà doøng tín hieäu vaø coâng thöùc Mason 1- Ñònh nghóa Ñeå bieåu dieãn heä thoáng töï ñoäng, ngoaøi phöông phaùp söû duïng sô ñoà khoái, ta coøn coù theå söû duïng phöông phaùp sô ñoà doøng tín hieäu. Haõy so saùnh hai hình veõ döôùi ñaây, hình 2.14b laø sô ñoà doøng tín hieäu cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö hình 2.14a.
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 61 Hình 2.14 Bieåu dieãn heä thoáng baèng sô ñoà doøng tín hieäu a) Sô ñoà khoái; b) Sô ñoà doøng tín hieäu Ñònh nghóa Sô ñoà doøng tín hieäu laø moät maïng goàm caùc nuùt vaø nhaùnh. - Nuùt: moät ñieåm bieåu dieãn moät bieán hay tín hieäu trong heä thoáng. - Nhaùnh : ñöôøng noái tröïc tieáp hai nuùt, treân moãi nhaùnh coù muõi teân chæ chieàu truyeàn cuûa tín hieäu vaø coù ghi haøm truyeàn cho bieát moái quan heä giöõa tín hieäu ôû hai nuùt. - Nuùt nguoàn : nuùt chæ coù caùc nhaùnh höôùng ra. - Nuùt ñích : nuùt chæ coù caùc nhaùnh höôùng vaøo. - Nuùt hoãn hôïp : nuùt coù caû caùc nhaùnh ra vaø caùc nhaùnh vaøo. Taïi nuùt hoãn hôïp, taát caû caùc tín hieäu ra ñeàu baèng nhau vaø baèng toång ñaïi soá cuûa caùc tín hieäu vaøo. - Ñöôøng tieán : ñöôøng goàm caùc nhaùnh lieân tieáp coù cuøng höôùng tín hieäu ñi töø nuùt nguoàn ñeán nuùt ñích vaø chæ qua moãi nuùt moät laàn. - Ñoä lôïi cuûa moät ñöôøng tieán : tích cuûa caùc haøm truyeàn cuûa caùc nhaùnh treân ñöôøng tieán ñoù. - Voøng kín : ñöôøng kheùp kín goàm caùc nhaùnh lieân tieáp coù cuøng höôùng tín hieäu vaø chæ qua moãi nuùt moät laàn. - Ñoä lôïi cuûa moät voøng kín : tích cuûa caùc haøm truyeàn cuûa caùc nhaùnh treân voøng kín ñoù. 2- Coâng thöùc Mason Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng töï ñoäng bieåu dieãn baèng sô ñoà doøng tín hieäu coù theå tính theo coâng thöùc: 1 G= ∆ P (2.49) ∆ ∑ k k k
62 CHÖÔNG 2 trong ñoù: • Pk - ñoä lôïi cuûa ñöôøng tieán thöù k • ∆ - ñònh thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu: ∆=− + − + 1 ∑Li ∑ LL ij ∑ LLL ijm L (2.50) i ij, ijm , , • ∑ Li - toång ñoä lôïi voøng cuûa caùc voøng kín coù trong sô ñoà i doøng tín hieäu. • ∑ Li Lj - toång caùc tích ñoä lôïi voøng cuûa hai voøng khoâng i, j dính nhau. • ∑ Li L j Lm - toång caùc tích ñoä lôïi voøng cuûa ba voøng i, j,m khoâng dính nhau. • ∆k - ñònh thöùc con cuûa sô ñoà doøng tín hieäu. ∆k ñöôïc suy ra töø ∆ baèng caùch boû ñi caùc voøng kín coù dính tôùi ñöôøng tieán Pk. . Chuù yù: ∗ “khoâng dính” = khoâng coù nuùt naøo chung. ∗ “dính” = coù ít nhaát nuùt chung. 2.3.2 Moät soá ví duï tính haøm truyeàn töông ñöông duøng coâng thöùc Mason Ví duï 2.4. Tính haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng moâ taû bôûi sô ñoà doøng tín hieäu nhö sau: Giaûi: - Ñoä lôïi cuûa caùc ñöôøng tieán: = = = P1 GGGGG 12345 ; P2 GGGG 1645 ; P3 GGG 127 - Ñoä lôïi cuûa caùc voøng kín:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 63 = − = − = − = − L1 G 4 H 1 ; L2 GGH 272 ; L3 GGGH 6452 ; L4 GGGGH 23452
64 CHÖÔNG 2 - Ñònh thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu: ∆ = − + + + + 1 (L1 L2 L3 L4 ) L1L2 - Caùc ñònh thöùc con: ∆ = ∆ = ∆ = − 1 1 ; 2 1 ; 31 L 1 Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng laø: 1 G=( P ∆+ P ∆+∆ P ) ∆ 11 22 33 GGGGG+ GGGG + GGG(1 + GH ) G = 12345 1645 127 41 g +++ + + 1 GH41 GGH 272 GGGH 6452 GGGGH 23452 GHGGH 41272 Trong tröôøng hôïp heä thoáng ñöôïc cho döôùi daïng sô ñoà khoái, muoán aùp duïng coâng thöùc Mason, tröôùc tieân ta phaûi chuyeån sô ñoà khoái sang daïng sô ñoà doøng tín hieäu. Khi chuyeån töø sô ñoà khoái sang sô ñoà doøng tín hieäu caàn chuù yù: - Coù theå goäp hai boä toång lieàn nhau thaønh moät nuùt. - Coù theå goäp moät boä toång vaø moät ñieåm reõ nhaùnh lieàn sau noù thaønh moät nuùt. - Khoâng theå goäp moät ñieåm reõ nhaùnh vaø moät boä toång lieàn sau noù thaønh moät nuùt. Ví duï 2.5. Tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau: Giaûi: Chuùng ta ñaõ tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö treân ôû ví duï 2.2. Ñeå so saùnh trong ví duï naøy chuùng ta tìm haøm truyeàn cuûa heä thoáng baèng caùch aùp duïng coâng thöùc Mason. Sô ñoà doøng tín hieäu töông ñöông cuûa heä thoáng nhö sau:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 65 - Ñoä lôïi cuûa caùc ñöôøng tieán: = = P1 GGG 123 ; P2 GHG 113 - Ñoä lôïi cuûa caùc voøng kín: = − = − = − = − = − L1 G 2 H 2 ; L2 GGH 233 ; L3 GGG 123 ; L4 GHH 313 ; L5 GGH 131 - Ñònh thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu: ∆=− + + + + 1 (L1 L 2 L 3 L 4 L 5 ) - Caùc ñònh thöùc con: ∆ = ∆ = 1 1 ; 2 1 Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng laø: 1 G=( P ∆+ P ∆ ) ∆ 11 22 GGG+ GGH G = 123 131 g ++ + + + 1 GH22 GGH 233 GGG 123 GHH 313 GGH 131 Ví duï 2.6. Tìm haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau:
66 CHÖÔNG 2 Giaûi. Sô ñoà doøng tín hieäu töông ñöông: - Ñoä lôïi cuûa caùc ñöôøng tieán: = = P1 GGG 123 ; P2 G 4 - Ñoä lôïi cuûa caùc voøng kín: = − = − = − = − = − L1 G 1 H 2 ; L2 GGH 121 ; L3 GGG 123 ; L4 GGH 233 ; L5 G 4 - Ñònh thöùc cuûa sô ñoà doøng tín hieäu: ∆=−+++++ + + + − 1 (L1 L 2 L 3 L 4 L 5 )( LL 14 LL 15 LL 25 LL 45 ) LLL 145 - Caùc ñònh thöùc con: ∆ = ∆=− + + + 1 1 ; 21 (L 124 L L )() LL 14 Haøm truyeàn töông ñöông cuûa heä laø: 1 TS G=( P ∆+∆= P ) ∆ 11 22 MS +++ + + vôùi: TS = GGG123 G 4(1 GH 12 GGH 121 GGH 233 GHGGH 12233 ) ++ + + ++ MS = 1 GH12 GGH 121 GGG 123 GGH 233 G 4 GGGHH 12323 + + + + g GGH142 GGGH 1241 GGGH 2343 GGGGHH 123423 2.4 PHÖÔNG PHAÙP KHOÂNG GIAN TRAÏNG THAÙI 2.4.1 Khaùi nieäm Nhö ñaõ trình baøy ôû ñaàu chöông naøy, quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra cuûa heä thoáng lieân tuïc baát kyø coù theå moâ taû baèng phöông trình vi phaân baäc n. Nghieân cöùu heä thoáng döïa treân phöông trình
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 67 vi phaân baäc n raát khoù khaên, do ñoù caàn moâ taû toaùn hoïc khaùc giuùp cho vieäc nghieân cöùu heä thoáng deã daøng hôn. Phöông phaùp haøm truyeàn chuyeån quan heä phöông trình vi phaân caáp n thaønh phaân thöùc ñaïi soá nhôø pheùp bieán ñoåi Laplace. Nghieân cöùu heä thoáng moâ taû baèng haøm truyeàn thuaän lôïi hôn baèng phöông trình vi phaân, tuy nhieân haøm truyeàn coù moät soá khuyeát ñieåm sau: - Chæ aùp duïng ñöôïc khi ñieàu kieän ñaàu baèng 0. - Chæ aùp duïng ñöôïc cho heä thoáng tuyeán tính baát bieán, khoâng theå aùp duïng ñeå moâ taû heä phi tuyeán hay heä bieán ñoåi theo thôøi gian. - Nghieân cöùu heä thoáng trong mieàn taàn soá. Moät phöông phaùp khaùc ñöôïc söû duïng ñeå khaûo saùt heä thoáng töï ñoäng laø phöông phaùp khoâng traïng thaùi. Phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi chuyeån phöông trình vi phaân baäc n thaønh n phöông trình vi phaân baäc nhaát baèng caùch ñaët n bieán traïng thaùi. Phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi khaéc phuïc ñöôïc caùc khuyeát ñieåm cuûa phöông phaùp haøm truyeàn. 2.4.2 Traïng thaùi cuûa heä thoáng, heä phöông trình bieán traïng thaùi Traïng thaùi Traïng thaùi cuûa moät heä thoáng laø taäp hôïp nhoû nhaát caùc bieán (goïi laø bieán traïng thaùi) maø neáu bieát giaù trò cuûa caùc bieán naøy taïi thôøi ñieåm to vaø bieát caùc tín hieäu vaøo ôû thôøi ñieåm t ≥ to, ta hoaøn toaøn coù theå xaùc ñònh ñöôïc ñaùp öùng cuûa heä thoáng taïi moïi thôøi ñieåm t ≥ to. Heä thoáng baäc n coù n bieán traïng thaùi. Caùc bieán traïng thaùi coù theå choïn laø bieán vaät lyù hoaëc khoâng phaûi laø bieán vaät lyù. Ví duï ñoäng cô DC laø heä baäc hai, coù hai bieán traïng thaùi coù theå choïn laø toác ñoä ñoäng cô vaø doøng ñieän phaàn öùng (bieán vaät lyù). Tuy nhieân ta cuõng coù theå choïn hai bieán traïng thaùi khaùc. Phöông phaùp moâ taû heä thoáng baèng caùch söû duïng caùc bieán traïng thaùi goïi laø phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi. Veùctô traïng thaùi n bieán traïng thaùi hôïp thaønh veùctô coät goïi laø vectô traïng thaùi, kyù hieäu:
68 CHÖÔNG 2 = T x []x1 x 2 K x n (2.51) Baèng caùch söû duïng caùc bieán traïng thaùi, ta coù theå chuyeån phöông trình vi phaân baäc n moâ taû heä thoáng thaønh heä n phöông trình vi phaân baäc nhaát vieát döôùi daïng ma traän nhö sau: x&()t= Ax () t + B rt ()  (2.52) ct()=Cx () t + D rt () trong ñoù: a11 a 12K a 1 n  b1      a aK a b A = 21 22 2 n  B = 2  C = [c cK c ] D = d M M M  M  1 2 n 1     an1 a n 2 K a nn  bn  Phöông trình (2.52) ñöôïc goïi laø phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng. Neáu A laø ma traän thöôøng, ta goïi (2.52) laø heä phöông trình traïng thaùi ôû daïng thöôøng; neáu A laø ma traän cheùo, ta goïi (2.52) laø heä phöông trình traïng thaùi ôû daïng chính taéc. Ñoái vôùi caùc heä thoáng hôïp thöùc chaët (baäc töû soá haøm truyeàn nhoû hôn baäc maãu soá) thì D = 0. Heä thoáng moâ taû bôûi heä phöông trình traïng thaùi (2.52) coù theå bieåu dieãn döôùi daïng sô ñoà traïng thaùi nhö sau: Hình 2.15: Sô ñoà traïng thaùi cuûa heä thoáng Sau ñaây chuùng ta seõ xeùt caùc phöông phaùp thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng töø caùc daïng moâ taû toaùn hoïc khaùc nhö phöông trình vi phaân hay haøm truyeàn.
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 69 2.4.3 Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi töø phöông trình vi phaân 1- Veá phaûi cuûa phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng khoâng coù chöùa ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo Cho heä thoáng moâ taû bôûi phöông trình vi phaân: n n −1 dct()+ dct () ++ dct () += a1− L an− 1 actbrt n() o () (2.53) dtn dt n 1 dt = ≠ Ñeå yù raèng trong bieåu thöùc (2.53) heä soá ao 1 . Neáu ao 1 ta chia hai veá phöông trình vi phaân cho ao ñeå ñöôïc daïng (2.53). Qui taéc ñaët bieán traïng thaùi - Bieán ñaàu tieân baèng tín hieäu ra: = x1() t ct () - Bieán traïng thaùi thöù i ( i= 2, n ) ñaët theo qui taéc: bieán sau baèng ñaïo haøm cuûa bieán tröôùc: = xti() x& i −1 () t Phöông phaùp ñaët bieán traïng thaùi nhö treân (bieán sau baèng ñaïo haøm cuûa bieán tröôùc) goïi laø phöông phaùp toïa ñoä pha . AÙp duïng caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö moâ taû ôû treân, ta coù: = x1() t ct () = = xt2() xt& 1 () ⇒ x2() t ct& () = = xt3() xt& 2 () ⇒ x3() t&& ct () M n−1 n = = d c( t ) = d c( t ) xtn() x& n −1 () t ⇒ xn( t ) − ⇒ x&n( t ) dt n 1 dt n Thay caùc bieán traïng thaùi vaøo phöông trình (2.53) ta ñöôïc: + ++ + = xt& nn() axt1 ()L a n− 12 xt () axt no 1 () brt () Keát hôïp phöông trình treân vôùi quan heä giöõa caùc bieán traïng thaùi ta ñöôïc heä phöông trình sau:
70 CHÖÔNG 2 = xt&1() xt 2 ()  xt& ()= xt ()  2 3  (2.54)  & = xn−1() t xt n () =− − −− − + xt&nnn() axt1 () a− 12 xt ()L ax 21 n − () t axt 1 no () brt () Vieát laïi (2.54) döôùi daïng ma traän: x&1() t 010K 0  x1 ( t ) 0    x&2() t 001K 0  x2 ( t ) 0 M = MMM M  M + M r( t )    xt&n−1() 000K 1   xtn − 1 ( ) 0 −− − −   x&n() t aaannn−1 − 2K a 1  xn ( t ) b o Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: x1( t )    x2( t )  ct()= x () t = []10K 00 M  1   xn−1( t )    xn( t )  Vaäy heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: x&()t= A xt () + B rt ()  (2.55) ct()= C xt () x1( t )  01 0K 0  0        x2( t )  00 1K 0  0  vôùi: x(t ) = M  A = MM M M  B = M        xn−1( t )  00 0K 1  0    −− − −    xn( t )  aan n−1 a n − 2K a 1  b0  C = [10K 00 ] Ví duï 2.7. Cho heä thoáng ñieàu khieån coù quan heä tín hieäu vaøo - tín hieäu ra moâ taû baèng phöông trình vi phaân sau: 2&&&ct()+ 5 &&ct () + 6ct & () + 10 ct () = rt ()
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 71 Giaûi. Chia hai veá phöông trình vi phaân cho 2, ta ñöôïc: &&&ct()+25 .() &&ct + 3ct & () + 5 ct () = 05 .() rt Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: = = = x1() t ct () ; xt2() xt& 1 () ; xt3() xt& 2 () AÙp duïng coâng thöùc (2.55), ta coù heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng nhö sau: x&()t= A xt () + B rt ()  ct()= C xt () x1( t )  =   vôùi: x()t x2 () t    x3( t )  0 1 0  010  =  =  A 0 0 1  001  − − −  −−−  a3 a 2 a 1 5 3 25.  0  0  = =   B 0  0     b0 0. 5  C = [1 0 0] g 2- Veá phaûi cuûa phöông trình vi phaân moâ taû heä thoáng coù chöùa ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo Xeùt baøi toaùn xaây döïng heä phöông trình traïng thaùi cho heä thoáng: n n −1 dct()+ dct () ++ dct () += a1− K an− 1 act n ( ) dtn dt n 1 dt m m −1 drt()+ d rt () + drt () + = bo b1− K b m− 1 brt m ( ) (2.56) dtm dt m 1 dt Ñeå coù theå aùp duïng caùc coâng thöùc döôùi ñaây, m phaûi thoûa ñieàu kieän m = n –1 (caùc heä soá bo, b1, coù theå baèng 0).
72 CHÖÔNG 2 Qui taéc ñaët bieán traïng thaùi = Bieán ñaàu tieân baèng tín hieäu ra: x1() t ct () Bieán traïng thaùi thöù i ( i= 2, n ) ñaët theo qui taéc: = − β xti() x& i−1 () t i − 1 rt () . Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö treân, heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: x&()t= A xt () + B rt ()  ct()= C xt () trong ñoù: β 01 0K 0  1    β  00 1K 0  2  A = MM M M  B = M  C = [10K 00 ]     β 00 0K 1  n−1  −− − −  β  aan n−1 a n − 2K a 1  n  β =  1 bo β= − β  2b 1 a 11 β= − β− β vôùi:  3b 2 a 12 a 21   β= −β− β  nnb−111 a n −K a n − 11 Sau ñaây ta seõ chöùng minh keát quaû treân cho heä baäc ba, tröôøng hôïp toång quaùt heä baäc n coù theå suy ra töông töï. Xeùt heä baäc ba coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra qua phöông trình vi phaân: 3 2 2 dct()+ dct () + dct () += drt () + drt () + a123 a actb()o b 12 brt () (2.57) dt3 dt 2 dt dt 2 dt Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: = x1() t ct () (2.58) = −β = −β xt211() xt& () rt ()ct & () 1 rt () (2.59) = −β = −β −β xt322() xt& () rt () &&ct () 12 rt & () rt () (2.60) Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö treân, ta coù:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 73 ⇔ = + β (2.59) ct&() xt2 () 1 rt () (2.61) ⇔ = +β +β (2.60) &&ct() xt3 () 1 rt & () 2 rt () (2.62) ⇔ = +β +β &&&ct() xt &3 () 1 &&rt () 2 rt & () (2.63) Thay (2.58), (2.61), (2.62) vaø (2.63) vaøo phöông trình (2.57) ta ñöôïc: +β +β + +β +β + xt&31() &&rt () 2rt & ()  axt 131 () rt & () 2 rt ()  + +β+ = + + a221 xt() rt ()  axt 31 () brto&& () brt 1 & () brt 2 () ⇔ =−β −β − −β −β xt&3() 1 &&rt () 2 rt & () axt 13 () art 11 & () a 12 rt () − −β− + + + axt22() a 21 rt () axt 31 () brto&& () brt 1 & () brt 2 () ⇔ =− − − +−β xt&3() axt 31 () axt 21 () axt 13 ()( b 01 )()&& rt + −β−β + −β−β (b1 2 artba 11 )()(& 2 12 a 21 )() rt (2.64) Choïn β1, β2 sao cho ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo trong bieåu thöùc (2.64) bò trieät tieâu: b − β = 0 β = b o 1 ⇒ 1 0  −β − β = β= − β b1 2 a 11 0  2b 1 a 11 β= − β− β Ñaët: 3b 2 a 12 a 2 Thay vaøo (2.64) ta ñöôïc: =− − − +β xt&3() axt 31 () axt 21 () axt 13 () 3 rt () (2.65) Keát hôïp (2.59), (2.60) vaø (2.65) ta ñöôïc heä phöông trình: = + β xt&1() xt 2 () 1 rt ()  = + β xt&2() xt 3 () 2 rt ()  =− − − +β xt&3() axt 31 () axt 21 () axt 13 () 3 rt () Vieát laïi döôùi daïng ma traän: β xt&1()0 1 0   xt 1 ()  1 =   +  β xt&2()0 0 1   xt 2 ()  2 rt () −−−    β xt&3() a 3213 a axt   ()  3 β =  1 bo β= − β trong ñoù:  2b 1 a 11 β= − β− β  3b 2 a 12 a 21
74 CHÖÔNG 2 x1( t )  = = []   Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: ctxt()1 ()1 0 0  xt 2 ()    x3( t )  Treân ñaây vöøa chöùng minh caùch daãn ra heä phöông trình traïng thaùi cho heä baäc ba trong tröôøng hôïp veá phaûi cuûa phöông trình vi phaân coù chöùa ñaïo haøm cuûa tín hieäu vaøo. Sau ñaây laø moät ví duï aùp duïng. Ví duï 2.8. Thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù quan heä giöõa tín hieäu vaøo vaø tín hieäu ra qua phöông trình vi phaân: &&&ct()+++5 &&ct () 6ct & () 10 ct () = 10 rt & () + 20 rt () Giaûi. Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: = x1() t ct () = − β xt2() xt& 1 () 1 rt () = − β xt3() xt& 2 () 2 rt () Heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: β xt&1()0 1 0   xt 1 ()  1 =   +  β xt&2()0 0 1   xt 2 ()  2 rt () −−−    β xt&3() a 3213 a axt   ()  3 β = =  1 bo 0 β= − β= −×= trong ñoù  2b 1 a 11 10 5 0 10 β= −β− β= −× −×=−  3b 2 a 12 a 21 20 5 10 6 0 30 Thay thoâng soá cuûa heä vaøo phöông trình traïng thaùi, ta ñöôïc: xt&1()010   xt 1 ()  0 =   +  xt&2()001   xt 2 ()  10 rt () −−−    − xt&3()10 6 5   xt 3 ()  30 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: x1( t )    = = [] g ctxt()1 ()1 0 0  xt 2 ()    x3( t ) 
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 75 2.4.4 Thaønh laäp phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn vaø sô ñoà khoái 1- Bieán ñoåi haøm truyeàn thaønh phöông trình vi phaân Neáu heä thoáng ñöôïc cho döôùi daïng haøm truyeàn, ta coù theå duøng pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc ñeå chuyeån quan heä haøm truyeàn thaønh phöông trình vi phaân, sau ñoù aùp duïng phöông phaùp thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi ñaõ trình baøy ôû muïc 2.4.3. Sau ñaây laø moät ví duï: Ví duï 2.9. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau Giaûi: Haøm truyeàn cuûa heä thoáng kín: 10 G() ss( s + 3 ) 10 () s + 2 G( s ) = = = k 1 +GsHs()()10 1 sss ()() +++3 2 10 1 + . s( s+3 )( s + 2 ) Cs()10 () s+ 2 10 () s + 2 ⇒ = = Rs( ) ss (+3 )( s + 2 ) + 10 s3+5 s 2 + 6 s + 10 ⇒ (s3+++5 s 2 6 s 10 )()()() Cs = 10 s + 2 Rs ⇒ &&&ct()+++5 &&ct () 6ct & () 10 ct () = 10 rt & () + 20 rt () Xem tieáp lôøi giaûi ñaõ trình baøy ôû ví duï 2.8. g 2- Phöông phaùp toïa ñoä pha Moät phöông phaùp khaùc cuõng thöôøng ñöôïc aùp duïng ñeå xaây döïng heä phöông trình traïng thaùi töø haøm truyeàn laø phöông phaùp toïa ñoä pha . Xeùt heä thoáng baäc n coù haøm truyeàn laø: − C( s ) bsm+ bs m 1 ++L bsb + = o1 m− 1 m (2.66) n+ n −1 ++ + R( s ) sas1L asan− 1 n
76 CHÖÔNG 2 Ñeå thuaän lôïi cho vieäc xaây döïng heä phöông trình bieán traïng = ≠ thaùi, trong bieåu thöùc (2.66) heä soá ao 1 (neáu ao 1 , ta chia töû soá vaø maãu soá cho ao) vaø m = n −1 (caùc heä soá bo, b1, coù theå baèng 0). Ñaët bieán phuï Y(s) sao cho: =m + m −1 ++ + Cs()( bso bs1L bsbYs m− 1 m )() (2.67) =+n n −1 ++ + Rs()( s as1L asaYsn− 1 n )() (2.68) Deã thaáy raèng, baèng caùch ñaët Y(s) nhö treân, bieåu thöùc (2.66) vaãn ñöôïc thoûa maõn. Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá (2.67) vaø (2.68) ta ñöôïc: m m −1 =dyt() + d yt () ++ dyt () + ctb() o b1− L bm− 1 byt m ( ) (2.69) dtm dt m 1 dt n n −1 =+dyt() dyt () ++ dyt () + rt() a1− L an− 1 ayt n ( ) (2.70) dtn dt n 1 dt Xeùt phöông trình vi phaân (2.70), ta ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: = x1() t yt ()  = = xt2() xt& 1 ()yt & () xt()= xt& () = &&yt ()  3 2 (2.71) M  n−1  = = d y( t ) xtn() x& n −1 () t −  dt n 1 AÙp duïng keát quaû ñaõ trình baøy ôû muïc 2.4.2.1, töø phöông trình vi phaân (2.70) ta suy ra heä phöông trình traïng thaùi: x&()t= A xt () + B rt () (2.72) trong ñoù: x1( t )  01 0K 0  0        x2( t )  00 1K 0  0  x(t ) = M  A = MM M M  B = M  (2.73)       xn−1( t )  00 0K 1  0    −− − −    xn( t )  aan n−1 a n − 2K a 1  1  Maët khaùc thay caùc bieán traïng thaùi ôû bieåu thöùc (2.71) vaøo phöông trình vi phaân (2.69) ta ñöôïc:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 77 = + ++ + ct() bxton () bx11 n− () tL b m − 12 xt () bxt m 1 () Vieát döôùi daïng veùctô: c() t= Cx () t (2.74) = vôùi: C [bbm m−1K bb 1 o ] (2.75) Toùm laïi, baèng caùch ñaët bieán traïng thaùi theo phöông phaùp toïa ñoä pha, heä phöông trình bieán traïng moâ taû heä thoáng laø: x&()t= Ax () t + B rt ()  ct()= C xt () vôùi caùc ma traän traïng thaùi xaùc ñònh baèng bieåu thöùc (2.73) vaø (2.75). Ví duï 2.10. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù sô ñoà khoái döôùi ñaây baèng phöông phaùp toïa ñoä pha. Giaûi: Haøm truyeàn cuûa heä thoáng laø (xem laïi ví duï 2.9): C( s ) 10 s + 20 = R( s ) s3+5 s 2 + 6 s + 10 Ñaët bieán phuï Y(s) thoûa: Cs()(=10 s + 20 )() Ys Rs()(= s3 +5 s 2 ++ 6 s 10 )() Ys Suy ra: ct()=0&& yt () + 10yt & () + 20 yt () rt()=&&& yt () +5 &&yt () + 6yt & () + 10 yt () Ñaët caùc bieán traïng thaùi: = xt1() yt () = = xt2() xt& 1 ()yt & () = = xt3() xt& 2 () &&yt ()
78 CHÖÔNG 2 AÙp duïng caùc coâng thöùc töø (2.72) ñeán (2.75), ta ruùt ra ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: x&()t= Ax () t + B rt ()  ct()= C xt () 0 1 0  010  0  =  =  =   trong ñoù: A 0 01  001  B 0  −−−  −−−    a3 a 2 a 1 10 6 5  1  = = g C [b2 b 1 b o ] [20 10 0 ] Nhaän xeùt: Maëc duø heä thoáng cho bôûi sô ñoà khoái ôû ví duï 2.9 vaø 2.10 laø nhö nhau nhöng heä phöông trình traïng thaùi thaønh laäp ñöôïc ôû hai ví duï treân laïi khaùc nhau. Ñieàu naøy khoâng coù gì voâ lyù vì baûn chaát caùc bieán traïng thaùi laø caùc bieán phuï ñöôïc ñaët ra nhaèm chuyeån phöông trình vi phaân baäc n thaønh heä goàm n phöông trình vi phaân baäc nhaát, do caùch ñaët caùc bieán traïng thaùi ôû hai ví duï treân laø khaùc nhau neân keát quaû heä phöông trình bieán traïng thaùi baét buoäc phaûi khaùc nhau. 3- Phöông phaùp ñaët bieán traïng thaùi tröïc tieáp treân sô ñoà khoái Neáu heä thoáng ñöôïc cho döôùi daïng sô ñoà khoái ta coù theå ñaët bieán traïng thaùi tröïc tieáp treân sô ñoà khoái. Sau ñaây laø moät soá ví duï. Ví duï 2.11. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng coù sô ñoà khoái nhö sau: Giaûi. Veõ laïi sô ñoà khoái cuûa heä thoáng treân vôùi caùc bieán traïng thaùi ñöôïc ñaët nhö sau:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 79 Vôùi caùch ñaët bieán traïng thaùi nhö hình veõ, ta coù caùc quan heä sau: 10 Xs()= Xs () 1s + 3 2 + = ⇒ sXs1()3 Xs 1 () 10 Xs 2 () = − + ⇒ xt&1()3 xt 1 () 10 xt 2 () (2.76) 1 Xs()= Xs () 2s + 1 3 + = ⇒ sXs2() Xs 2 () Xs 3 () = − + ⇒ xt&2() xt 2 () xt 3 () (2.77) 1 Xs()=() Rs () − Cs () 3 s = − ⇒ sX3() s Rs () X 1 () s = − + ⇒ xt&3() xt 1 () rt () (2.78) Keát hôïp (2.76), (2.77) vaø (2.78) ta ñöôïc heä phöông trình traïng thaùi: − xt&1()3100   xt 1 ()  0 = −   +  xt&2()011   xt 2 ()  0 rt () (2.79) −    xt&3()100   xt 3 ()  1 Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: x1( t )    = = [] g ctxt()1 ()1 0 0  xt 2 ()    x3( t )  Nhaän xeùt: Deã thaáy raèng tuøy theo caùch ñaët bieán traïng thaùi treân sô ñoà khoái maø ta coù theå daãn ra ñöôïc caùc heä phöông trình traïng thaùi hoaøn toaøn khaùc nhau. Ñieàu naøy moät laàn nöõa khaúng ñònh moät heä thoáng coù theå ñöôïc moâ taû baèng nhieàu heä phöông trình traïng thaùi. Ví duï 2.12. Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng vôùi caùc bieán traïng thaùi ñöôïc xaùc ñònh treân sô ñoà khoái nhö sau:
80 CHÖÔNG 2 Giaûi: Vôùi caùc bieán traïng thaùi nhö treân sô ñoà khoái, ta coù caùc quan heä sau: s + 2 Xs()= Xs () 1s + 5 2 =− + + ⇒ sXs1()5 Xs 1 () 2 Xs 2 () sXs 2 () (2.80) =3 = 3 − Xs2() Es () RsXs ()3 ()  s+4 s + 4 =− − + ⇒ sXs2()4 Xs 2 () 3 Xs 3 () 3 Rs () (2.81) s + 1 Xs()= Xs () 3s + 6 1 = − + ⇒ sXs3() Xs 1 ()6 Xs 3 () sXs 1 () (2.82) Thay sX2( s ) ôû bieåu thöùc (2.81) vaøo bieåu thöùc (2.80) ta ñöôïc: =− + − − + sXs1()5 Xs 1 () 2 Xs 2 () 4 Xs 2 () 3 Xs 3 () 3 Rs () =− − − + ⇒ sXs1()5 Xs 1 () 2 Xs 2 () 3 Xs 3 () 3 Rs () (2.83) Thay sX1( s ) ôû bieåu thöùc (2.83) vaøo bieåu thöùc (2.82) ta ñöôïc: =− − − − + sXs31() Xs ()6 Xs 3 () 5 Xs 1 () 2 Xs 2 () 3 Xs 3 () 3 Rs () =− − − + ⇒ sXs3()4 Xs 1 () 2 Xs 2 () 9 Xs 3 () 3 Rs () (2.84) Töø caùc bieåu thöùc (2.82), (2.81) vaø (2.84) ta suy ra heä phöông trình: =− − − + xt&1()5 xt 1 () 2 xt 2 () 3 xt 3 () 3 rt ()  =− − + xt&2()4 xt 2 () 3 xt 3 () 3 rt ()  =− − − + xt&3()4 xt 1 () 2 xt 2 () 9 xt 3 () 3 rt () Vieát laïi döôùi daïng ma traän: x&()t= Ax () t + B rt () − − − x1( t )  5 2 3  3  =   = − −  =   trong ñoù: x()t x2 () t  A 0 4 3  B 3    − − −    x3( t )  4 2 9  3  = = Ñaùp öùng cuûa heä: ct() xt1 ()Cx () t vôùi: C = [1 0 0 ] g
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 81 2.4.5 Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi ôû daïng chính taéc Ñeå thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi daïng chính taéc, ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau ñaây: 1- Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi ôû daïng thöôøng: x&()t= Ax () t + B rt ()  (2.85) c() t= Cx () t 2- Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán traïng thaùi: x()t= My () t Thay vaøo phöông trình (2.85) ta ñöôïc: My&()t= AMy () t + B rt ()   c() t= CMy () t  y&()t= MAMy-1 () t + MB - 1 rt () ⇔  c() t= CMy () t  y&()t= Ay () t + B rt () ⇔  (2.86) c() t= Cy () t trong ñoù: A= M-1 AM B= M-1 B C= CM Heä phöông trình traïng thaùi (2.86) töông ñöông vôùi heä phöông trình (2.85). Ñeå (2.86) coù daïng chính taéc, phaûi choïn M sao cho ma traän M-1AM chæ coù ñöôøng cheùo khaùc 0. Theo lyù thuyeát ñaïi soá tuyeán tính, ma traän chuyeån ñoåi M ñöôïc choïn nhö sau: 111K 1  λλλ λ  1 2 3 K n  M = λλλ222K λ 2  (2.87) 1 2 3 n  MMM M    λλλnnn−−−111 λ n − 1 1 2 3 K n  λ = trong ñoù i , (i1 , n ) laø caùc trò rieâng cuûa ma traän A, töùc laø nghieäm cuûa phöông trình: det(λI − A ) = 0 .
82 CHÖÔNG 2 Ví duï 2.13. Cho heä thoáng coù haøm truyeàn: C( s ) 3 s + 1 G( s ) = = R( s ) s2 +3 s + 2 Haõy thaønh laäp heä phöông trình traïng thaùi daïng chính taéc moâ taû heä thoáng. Giaûi. AÙp duïng phöông phaùp toïa ñoä pha deã daøng suy ra heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: x&()t= Ax () t + B rt ()  c() t= Cx () t 0 1  0  trong ñoù: A =   B =   C = [1 3 ] −2 − 3  1  Trò rieâng cuûa ma traän A laø nghieäm cuûa phöông trình: det(λI − A ) = 0 10  0 1   ⇔ det λ  −   = 0 01 − 2 − 3   λ − 1   ⇔ det    = 0 2λ + 3   ⇔ λ2 +3 λ+ 2 = 0 λ = − 1 ⇔ 1 λ = −  2 2 Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: x()t= My () t vôùi ma traän M laø: 1 1  1 1  M = = λ λ  − −  1 2  1 2  − − -1 1 2 1  21  ⇒ M =  =  1×−( 2 )( −− 11 ) × 11 − 11 −  Vôùi caùch ñoåi bieán treân, ta ñöôïc heä phöông trình bieán traïng thaùi coù daïng:  y&()t= Ay () t + B rt ()  c() t= Cy () t
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 83 − -1 210111    10  trong ñoù: A= M AM =    =  −−−−−−112312    0 − 2  -1 2 10  1 B= M B =  = −1 − 11  − 1 2 1  C== CM [][]13  =−− 12 −1 − 1  Vaäy heä phöông trình bieán traïng thaùi chính taéc moâ taû heä thoáng laø: yt& ()−1 0   yt ()  1 1= 1 + r( t ) −    − yt&2()0 2   yt 2 ()  1 y1( t )  c( t ) =[] −1 − 2  g y2( t )  2.4.6 Tính haøm truyeàn töø heä phöông trình traïng thaùi Cho heä thoáng moâ taû bôûi heä phöông trình bieán traïng thaùi: x&()t= Ax () t + B rt ()  c() t= Cx () t Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình treân (giaû söû ñieàu kieän ñaàu baèng 0), ta ñöôïc: ssX()= AX () s + B Rs () (2.88) C() s= CX () s (2.89) (2.88) ⇒ (sI− AX) () s = B Rs () -1 ⇒ X()ss=() IAB − Rs () -1 ⇒ CX()s= C() s I − A B Rs () Keát hôïp vôùi bieåu thöùc (2.89) ta ñöôïc: -1 Cs()=C() s I − A B Rs () C( s ) -1 ⇒ G( s ) = =C() s I − A B (2.90) R( s )
84 CHÖÔNG 2 Coâng thöùc (2.90) cho pheùp ta tính ñöôïc haøm truyeàn khi bieát heä phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng. Ví duï 2.14. Cho heä thoáng coù heä phöông trình bieán traïng thaùi laø: xt& ()0 1   xt ()  0 1= 1 + r( t ) − −    xt&2()2 3   xt 2 ()  1 x1( t )  c( t ) = []1 3  x2( t )  Tính haøm truyeàn cuûa heä thoáng. Giaûi. Haøm truyeàn cuûa heä thoáng laø: -1 G( s ) =C() s I − A B 10 01 s − 1  Ta coù: ()sI−= A s  −  =  01− 23 −  2s + 3  −1 −1 s−11  s + 3 1 ()sI− A = =  2s+ 3s2 +3 s + 2  − 2 s −1 1s + 310  1  1 ()sI− A B =  =  ss2++32−2s  1 ss 2 ++ 32  s −1 11  3s + 1 C()s I− A B =[]1 3   = ss2++32s  ss 2 ++ 32 3s + 1 Vaäy: G( s ) = g s2 +3 s + 2 2.4.7 Nghieäm cuûa heä phöông trình traïng thaùi Cho heä thoáng coù phöông trình traïng thaùi nhö sau: x&()t= Ax () t + B rt () (2.91) c() t= Cx () t (2.92) Muoán tính ñöôïc ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi bieát tín hieäu vaøo r(t), tröôùc tieân ta phaûi tính ñöôïc nghieäm x(t) cuûa phöông trình (2.91). Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (2.91), ta ñöôïc:
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 85 + sX()s− x ()0 = AX () sRs + B () + ⇒ ()sI− A X()s = x ()0 + B R () s -1+ - 1 ⇒ X()s=−()() sI A x ()0 +− sI A B R () s (2.93) -1 Ñaët: Φ(s ) =()sI − A , thay vaøo bieåu thöùc (2.93) ta ñöôïc: + X()s=Φ ()( s x0 ) +Φ () sRs B () (2.94) Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá bieåu thöùc (2.94) ta ñöôïc: t + x()tt=Φ ()() x0 +Φ−τ∫ ( tRd ) B () ττ (2.95) 0 −1 − 1 − 1 trong ñoù: Φ=()tL [()] Φ= s L [( s I − A )] (2.96) Ma traän Φ(t) ñöôïc goïi laø ma traän quaù ñoä cuûa heä thoáng. Tính Φ(t) theo coâng thöùc (2.96) töông ñoái khoù khaên, nhaát laø ñoái vôùi caùc heä thoáng töø baäc ba trôû leân, do tröôùc tieân phaûi tính ma traän nghòch ñaûo, sau ñoù thöïc hieän pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc. Coâng thöùc seõ daãn ra döôùi ñaây giuùp cho vieäc tính Φ(t) deã daøng hôn. Döïa vaøo bieåu thöùc (2.95) ta thaáy khi r(t) = 0 thì: + x()t= Φ ()( t x 0 ) (2.97) Maët khaùc khi r(t) = 0 phöông trình (2.91) trôû thaønh: x&()t= Ax () t (2.98) + Nghieäm cuûa (2.98) laø: x()t= e At x ()0 (2.99) So saùnh (2.97) vaø (2.99) suy ra: Φ(t ) = e At (2.100) Theo ñònh lyù Caley - Hamilton, ta coù: Φ==+At +2 ++ n− 1 (teCC ) oIAA1[][][] C 2K C n − 1 A (2.101) Thay A = λ , vôùi λ laø caùc trò rieâng cuûa ma traän A (töùc laø nghieäm cuûa phöông trình det(λI −A ) = 0 ) vaøo bieåu thöùc (2.101), ta = − seõ tính ñöôïc caùc heä soá Ci , ( i0, n 1 ). Toùm laïi Ñeå tính nghieäm cuûa heä phöông trình bieán traïng thaùi ta thöïc hieän caùc böôùc sau ñaây:
86 CHÖÔNG 2 1- Tính ma traän quaù ño ä Φ(t) theo coâng thöùc (2.96) hoaëc (2.101). 2- Tính nghieäm cuûa phöông trình bieán traïng thaùi theo coâng thöùc (2.95). Neáu ñieàu kieän ñaàu baèng 0 thì: t x()t=Φ−τ∫ ( t ) B Rd () ττ 0 Neáu muoán tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng baèng phöông phaùp bieán traïng thaùi, tröôùc tieân tìm nghieäm cuûa heä phöông trình bieán traïng thaùi, sau ñoù tính: c() t= Cx () t Ví duï 2. 15. Cho heä thoáng coù haøm truyeàn laø: s G( s ) = s2 +3 s + 2 1- Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng treân. 2- Tính ma traän quaù ñoä. 3- Tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng khi tín hieäu vaøo laø haøm naác ñôn vò (giaû söû ñieàu kieän ñaàu baèng 0). Giaûi: 1- Thaønh laäp heä phöông trình bieán traïng thaùi: C( s ) s Theo ñeà baøi ta coù: = R( s ) s2 +3 s + 2 ⇒ (s2 +3 s + 2 )() Cs = sRs () ⇒ &&ct()+3ct & () + 2 ct () = rt & () Ñaët caùc bieán traïng thaùi nhö sau: = x1() t ct () = − β xt2() xt& 1 () 1 rt () Heä phöông trình bieán traïng thaùi moâ taû heä thoáng laø: x&()t= Ax () t + B rt ()  c() t= Dx () t 0 1  0 1  β  1  trong ñoù: A = = B =1 = − −  − −  β  −  a2 a 1  2 3  2  3 
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 87 β = = do 1 bo 1 β= − β= −×=− 2b 1 a 11 0 31 3 C = [1 0 ] 2- Tính ma traän quaù ñoä: −1 − 1 − 1 Caùch 1: Φ=()tL [()] Φ= s L [( s I − A )] 10 01 s − 1  Ta coù: [sI−= A ] s  −  =  01− 23 −  2s + 3  + + −1 1s31 1  s 31 Φ=−=()[s s I A ]  =  s2 +3 s + 2 −2s(s+1 )( s + 2 )  − 2 s s + 3 1      −1 − 1 (ss++1 )( 2 ) ( ss ++ 1 )( 2 )  Φ=()tL{} Φ () s = L    −2 s   (ss++1 )( 2 ) ( ss ++ 1 )( 2 )    −1s + 3  − 1 1   L  L   (ss++12 )( )  ( ss ++ 12 )( )  =     −1−2  − 1 s  L  L    (ss++12 )( )  ( ss ++ 12 )( )    −121  − 1 11   L−  L −   ()()ss++12  ()() ss ++ 12  =     −1−22  − 1 − 12  L+  L +    ()()ss++12  ()() ss ++ 12   −− −− (2eett−2 )( ee tt − 2 )  ⇒ Φ =   (t ) − − − − (−+2et 2 e2 t )( −+ e t 2 e 2 t )  Caùch 2: Ñoái vôùi heä baäc hai, coâng thöùc (2.101) trôû thaønh: Φ=At = + (te ) CoI C 1 [ A ] (2.102) Caùc trò rieâng cuûa A laø nghieäm cuûa phöông trình: det(λI − A ) = 0 10  0 1   ⇔ det λ  −   = 0 01 − 2 − 3   ⇔ λ2 +3 λ+ 2 = 0
88 CHÖÔNG 2 λ = − 1 ⇔ 1 λ = −  2 2
MOÂ TAÛ TOAÙN HOÏC HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC 89 = λ Thay A i vaøo coâng thöùc (2.102), ta ñöôïc: λ  1t = + λ e Co C 1 1  λ 2t = + λ e Co C 1 2 −  et = C − C ⇒  o 1 −2t = − e Co 2 C 1 − − C=2 et − e 2 t ⇒  o =−t − − 2 t C1 e e Thay Co, C1 vaøo coâng thöùc (2.102), ta ñöôïc: −−tt210 −− tt 2  01 Φ=−()(tee2 ) +− ( ee )  01 − 23 − −− −− (2eett−2 )( ee tt − 2 )  ⇒ Φ =   (t ) − − − − (−+2et 2 e2 t )( −+ e t 2 e 2 t )  Ta thaáy ma traän quaù ñoä tính theo hai caùch ñeàu cho keát quaû nhö nhau. 3- Ñaùp öùng cuûa heä thoáng: Tröôùc tieân ta tìm nghieäm cuûa heä phöông trình bieán traïng thaùi. Vôùi ñieàu kieän ñaàu baèng 0, nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi laø: t x()t=Φ−τ∫ ( t ) B Rd () ττ 0 −−τ −−τ −−τ −−τ t  (2ee()t−2 () t )( ee () t − 2 () t )  1  =     dτ ∫  −−−τ()t + −−τ2 () t −+ −−τ () t −−τ 2 () t  −3 0 (2e 2 e )( e 2 e )    −−τ − −τ t (−e()t + 2 e 2 () t )  =  d τ ∫ −−τ()t− −2 () t −τ  0 (e4 e )  t  −−τ − −τ (−e()t +2 e2 () t ) d τ  ∫  = 0  t −−τ − −τ  ∫ (e()t−4 e2 () t ) d τ  0 
90 CHÖÔNG 2 − − x( t )  et− e 2 t  ⇒ x(t ) =1 =     −t − 2 t x2( t )  −1 −e + 2 e  Ñaùp öùng cuûa heä thoáng laø: x( t )  − − =1 ==−t2 t g ct()[]1 0  xee1 () 1 x2( t )  2.5 TOÙM TAÉT Chöông naøy ñaõ trình baøy hai phöông phaùp moâ taû toaùn hoïc heä thoáng töï ñoäng laø phöông phaùp haøm truyeàn ñaït vaø phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi (H.2.15). Tuøy theo heä thoáng vaø baøi toaùn ñieàu khieån caàn giaûi quyeát maø chuùng ta choïn phöông phaùp moâ taû toaùn hoïc phuø hôïp. Neáu baøi toaùn laø baøi toaùn phaân tích, neáu heä thoáng coù moät ngoõ vaøo, moät ngoõ ra vaø neáu quan heä giöõa ngoõ vaøo vaø ngoõ ra coù theå bieåu dieãn baèng moät phöông trình vi phaân heä soá haèng thì coù theå choïn phöông phaùp haøm truyeàn ñaït hay phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi ñeàu ñöôïc. Neáu heä thoáng khaûo saùt laø heä bieán ñoåi theo thôøi gian hay heä phi tuyeán, heä ña bieán thì phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi neân ñöôïc söû duïng. Neáu baøi toaùn laø baøi toaùn thieát keá heä thoáng ñieàu khieån toái öu thì baát keå heä thoáng thuoäc loaïi gì ta phaûi choïn phöông phaùp khoâng gian traïng thaùi. Vì quyeån saùch naøy laø taøi lieäu giaûng daïy neân caû hai phöông phaùp moâ taû toaùn hoïc heä thoáng seõ ñöôïc söû duïng song song. Hình 2.16 Quan heä giöõa caùc caùch moâ taû toaùn hoïc heä thoáng töï ñoäng